Ôn tập tốt nghiệp THPT môn Toán

NỘI DUNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP KHỐI 12 Môn : Toán CƠ BẢN I/. PHẦN GIẢI TÍCH : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hsố dạng : y= a x3 + bx2 + cx + d ; y = ax4 +bx2 +c y = 2.Các bài toán liên quan : Sự tương giao của hai đồ thị Ba dạng tiếp tuyến Biện luận theo m số nghiệm pt bằng đồ thị Tìm các điểm trên (c ) có toạ độ là các số nguyên Tìm m để hàm số có cđ và ct Tìm m để hàm số đạt cực trị thoả đk cho trước Tìm m để () và ( ) txúc nhau Tìm GTLN và GTNN (trên 1 khoảng hoặc 1 đoạn ) Tìm m để pt có n nghiệm 3/.Nguyên hàm và tích phân : Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp Tính tích phân bằng p2 đổi biến số và pp tích phân từng phần Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể tròn xoay 4.Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và logarit : Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ và logarit. Giải hệ phương trình mũ và logarit . 5. Số phức : - Môđun của số phức , các phép toán trên số phức. - Căn bậc hai của số phức - Phương trình bậc hai với hệ số phức . - Dạng lượng giác của số phức . II /. PHẦN HÌNH HỌC : 1/.Hình học không gian tổng hợp : Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp. Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu. Tính diện tích xung quanh của hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu . 2/. Phương pháp toạ độ trong không gian : a/.Các bài toán về điểm và vectơ : Tìm toạ độ 1 điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng , giao điểm của hai đường thẳng , hình chiếu của 1 điểm trên đường thẳng , mặt phẳng , tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua đường thẳng , mặt phẳng cho trước , tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu . Chứng minh hai vectơ cùng phương hoặc không cùng phương , 2 vectơ vuông góc , 3 vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, tính góc giữa hai vectơ , diện tích tam giác , thể tích tứ diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác b/.Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng : Lập pt mặt phẳng :qua 3 điểm , mặt phẳng theo đoạn chắn , qua 1 điểm song song với mặt phẳng , qua 1 điểm với đường thẳng , qua 1 điểm song song với hai đường thẳng , qua hai điểm và với mặt phẳng , qua 1 điểm và chứa một đường thẳng cho trước , chứa 1 đt a và song song với 1 đt b. Lập pt đường thẳng : Qua 2 điểm , qua 1 điểm và song song với đt , qua 1 điểm và song song với 2 mp cắt nhau , qua 1 điểm và vuông góc với 1 mp , pt hình chiếu vuông góc của đt trên mp , qua 1 điểm và vuông góc với 2 đt , qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng , qua 1 điểm vuông góc với đt thứ nhất và cắt đt thứ hai. Vị trí tương đối của 2 đt , đt và mp. c/. Khoảng cách : Từ 1 điểm đến 1 mp , 1 điểm đến 1 đt , giữa 2 đt. d/. Mặt cầu: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước. Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I và tiếp xúc với mp , có tâm I và đi qua 1 điểm M , qua 4 điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện). Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm M thuộc mặt cầu , chứa 1 đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước và tiếp xúc với mặt cầu. e/. Góc : Góc giữa 2 vectơ góc trong của tam giác góc giữa 2 đường thẳng góc giữa 2 đường thẳng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng PHẦN I : GIẢI TÍCH VẤN ĐỀ 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. Bài 1: cho hàm số y =2x3 – 3x2 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) hàm số 2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có 3 nghiệm phân biệt Đáp số :( - 2 < k < -1) 3/Viết phương trình các tiếp tuyến của ( c ) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ Đáp số : Bài 2: Cho hàm số y= x4 +kx2-k -1 ( 1) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( c ) hàm số khi k = -1 2/ Viết phương trìh tiếp tuyến vơi ( c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= - 1. Đáp số : y= -2x-2 3/. Xác định k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = -2. Bài 3: Cho hàm số y= (x-1)2 ( 4 - x ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (c ) của hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) tại điểm uốn của (c ) . Đáp số : y = 3x - 4 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( 4 , 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = -9x + 36 Bài 4: Cho hàm số y= x4 – ax2 +b 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) của hàm số khi a =1 , b = - 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) tại giao điểm của ( c ) với ox Đáp số : và Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= x4 -3x2 + b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại các điểm uốn . Đáp số : y = 4x+3 và y = -4x +3 c/ Tìm các tiếp tuyến của (C ) đi qua diểm A ( 0, ) Đáp số : y = 0 ; y = Bài 6: Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +m -2 có đồ thị (Cm ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m= 3 2/ Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại A. 3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y= có đồ thị ( Cm ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị( C ) của hàm số với m= -1 2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu tại x = -1. 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= - . Đáp số : y = và y = Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y= - x3 – 2x2 -3x +1 2/ Tìm các giá trị của m để pt : x3 +2x2 +3x +m =0 có 3 nghiệm phân biệt 3/ Tìm m để pt : x3 +2x2 +3x -2 +m2 = 0 có 1 nghiệm 4/ Viết pttt của ( C ) song song với đường thẳng y= -3x Bài9 : Cho hàm số y= mx3 – 3x 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4 2/ Tìm giao điểm của (C )với đường thẳng : y = -x +2 Bài 10 : Cho hàm số y= x3 – 3x +1 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số 2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C )và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm của d và (C ) ĐS: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 ) Bài 11 : Cho hàm số y= - 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C ) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1 ĐS: y= 3x+1 Bài 12 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = x3 -6x2 + 9x 2/. Với các giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt . Bài 13 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = -x3 + mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4) 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số với các giá trị của m , n tìm được . Bài 14: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = -x3 +x2 + 6x -3 2/. CMR phương trình -x3 +x2 + 6x -3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt , trong đó có một nghiệm dương nhỏ hơn ½ . Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = -x4 +2x2 + 2 2/. Dùng đồ thị ( C) , biện luận theo m số nghiệm của pt : x4 -2x2 -2 +m =0 Bài 16: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = x4 +x2 -3 2/. CMR đường thẳng y = -6x-7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng -1 . Bài 17 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = 2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành . 3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung . 3/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0 Bài 18 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = 2/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( -1 ; 3) ĐS : y = Bài 19 : Cho hàm số y = 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0 2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y = Bài 20 : Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx +1 1/. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua 2 điểm A( 1 ; 2) và B( -2 ; -1) ĐS : a = 1 ; b = -1 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a và b tìm được . Bài 21 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b 1/. Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng khi x = 1 ĐS : a = -2 ; b = 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = và b = 1 . 3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 . Bài 22 : Cho hàm số y = 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x2 + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm . ĐS : y = ; y = 2x Bài 23 : Cho hàm số y = 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt. ĐS : VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= trên [2 ;4 ] Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= 2 sinx - 1/ Trên đoạn [ 0 , ] 2/ Trên đoạn [ 0 ; ] 3/ Trên đoạn [ -; 0 ] 4/ Trên R Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = trên đoạn [ -2 ; ] ĐS :miny= ; maxy = Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (1;+) ĐS :miny= 5 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ;5] ĐS :miny= Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [; ] Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [; 3] : Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số : ĐS : maxy= ; miny = -2 Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2x +2sinx - 1 với : Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ -1 ; 0 ] : ĐS : maxy= ; miny = -1 – e-2 Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ ; e2 ] : ĐS : maxy= e4 - 4 ; miny = 1 VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y= x2- 3x+ 2 , y= x -1, x = 0 , x = 2 ĐS: S= 2 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x.ex , x=1 , y=0 ĐS: S= 1 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= sin2x +x , y=x ,x=0 , x= ĐS: S= Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 =2x và y= 2x -2 ĐS : S= Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và đường thẳng y=0 ĐS: S= 63 -16 ln 8 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 = 2x +1 và y= x-1 ĐS: 16/ 3 Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Bài 8 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh của hình giới hạn bởi Parabol và trục Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi y= , các trục toạ độ quay quanh trục 0x ĐS : V= ( 3- 4 ln2 ) VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ V LOGARÍT Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1/ ĐS : x =1 2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x = 3/. 32x+2 – 28.3x + 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = -2 4/. log2x + log4(2x) = 1 ĐS : 5/. ĐS : x = 2 ; x = 4 6/. 3x +2.31 – x -5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log32 7/. ĐS : 8/. ĐS : 9/. ĐS : 10/. ĐS: x = -2; 0; 1. 11/. ĐS: 12/ 125x + 50x = 23x+1 13/. 4x – 2. 6x = 3. 9x 14/. 25x + 10x = 22x+1 15/. 16/. 8x + 18x = 2. 27x Bi 2: Giải bất phương trình : 1/. 22x+6 + 2x+7 – 17 > 0 5/. 2/. 6/. logx[ log3 ( 3x -9) ] < 1 3/. 2. 2x + 3. 3x > 6x – 1 7/. 4/. 8/. Bi 3: Giải hệ phương trình : 1/. 2/. 3/. VẤN ĐỀ 5 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN. Bài 1 : cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F() = 0 Đáp số : F(x) = Bài 2 : chứng minh F(x) = ln là nguyên hàm của f(x)= Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x) Bài 3: Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số : 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số : 9/28 5/. Đáp số Bài 4: Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số : 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số :8/15 5/. ; Đáp số :2/63 6/. ; Đáp số :ln2 7/. ; Đáp số : Bài 5: Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :e-1 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số :2e2 – 2e 4/. ; Đáp số : 5/. ; Đáp số : Bài 6: Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :-1 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số :2ln2-1 5/. ; Đáp số : 6/. ; Đáp số : 7/. ; Đáp số : 8/. ; Đáp số :0 9/. ; Đáp số : 10/. ; Đáp số :1/2 VẤN ĐỀ 6: SỐ PHỨC Bài 1: Cho các số phức z1 = 1 + i ; z2 = 1 -2i .Hãy tính các số phức và tìm mođun của chúng : 1/. 2/. z1z2 3/. 2z1 – z2 4/. 5/. 6/. Bài 2 : Tính : 1/. 2/. 3/. 4/. *Bài 3 : Tìm căn bậc hai của mỗi số phức : - 8 + 6i ; 3 + 4i ; Bài 4 : Giải phương trình : 1/. x2 – 3x + 3 + i = 0. Đáp số : x = 1 +i ; x = 2 - i *2/. x2 – (3 + i )x + 2 + 6i = 0. Đáp số : x = 2i ; x = 3 - i *3/. x2 + ix + 2i -4 = 0. Đáp số : x = -2 ; x = 2 - i 4/. x2 - 4x + 8 = 0. Đáp số : x = 2 ± 2i *5/. x2 +x -1 + = 0. Đáp số : x = -1 ; x = 1 - Bài 5 : Tìm các số thực x , y thỏa mãn đẳng thức : x( 3 + 5i ) + y( 1 -2i)3 = 9 + 14i Đáp số : x = và y = *Bài 6 : Viết dạng lượng giác của số phức : 1/. 3i 2/. + i 3/. 2- 2i 4/. 1 - 5/. ( 1 + )5 6/. ( 1 –i)4 7/. 1 - itan PHẦN II : HÌNH HỌC HÌNH HỌC TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7: HÌNH ĐA DIỆN .1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy , cạnh bên SB bằng a. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a . 2. Cho hình chĩp tứ gic đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b. 3. Cho hình chĩp tứ gic đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. 4. Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 5. Cho hình chĩp tứ gic đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. 6. Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cĩ thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V. 7. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM. Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện ABMD và ABMC. 8. Cho hình chĩp tam gic đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . a/. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC b/. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC . c/. Tính diện tích mặt cầu v thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC 9. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy , cạnh bên SB bằng a a/. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC b/. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD 10. Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Biết SA = AB = BC = a . a/. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC b/. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chĩp S.ABC. 11. Cho hình chĩp tứ gic S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a , cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy và SA = AC . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 12. Cho hình chĩp tam gic đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . a/. Chứng minh SA ^ BC b/. Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a 13. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuông tại B , đường thẳng SA vuông góc với mp(ABC) , biết AB = a , BC = a v SA = 3a. a/. Tính thể tích khối chĩp S.ABC b/. Gọi I là trung điểm của cạnh SC , tính độ dài đọan thẳng BI theo a. c/. Tính tổng diện tích cc mặt bn của hình chĩp S.ABC VẤN ĐỀ 8 : HÌNH TRỤ Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a. ĐS : Sxq = ; V = Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp hình lập phương . ĐS : Sxq = ; V = Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm , một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm2 . 1/. tính chu vi của thiết diện (S). 2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T). ĐS : 1/. 28cm 2/. Sxq = (cm2) ; V = 96p (cm2 ) Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S1 = 4pa2 và diện tích xung quanh bằng S . 1/. tính thể tích của (T) . 2/. Cho S = 25a2 , Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T). ĐS : 1/. aS 2/. Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm, một thiết diện song song với trục hình trụ , cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm2 . Tính thể tích khối trụ (T) ĐS : V = 500p (cm3) Bài 6 : Cho hình trụ (T) cao 10cm, một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng 2cm , sinh ra trên đường tròn đáy một cung chắn góc ở tâm 1200 . 1/. tính diện tích thiết diện 2/. Tính thể tích và diện tích xq của (T). ĐS : 1/. 40 (cm2 ) 2/. V = 160p (cm3) ; Sxq = 80p (cm2) Bài 7 : Cho hình trụ (T) có 2 đáy là 2 đường tròn ( O ) và (O/ ) .Một điểm A thuộc (O) và điểm B thuộc (O/ ) . Gọi A/ là hình chiếu của A trên mp chứa đáy (O/ ). Biết AB = a , góc giữa 2 đường thẳng AB và trục OO/ là và góc BO/A/ là 2 . Tính thể tích và diện tích xq của (T). ĐS : V = ; Sxq = Bài 8 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và đường cao bằng 3R ngoại tiếp hình trụ (T) .Tính bán kính và chiều cao hình trụ (T) sao cho : 1/. (T) có thể tích lớn nhất. 2/. (T) có diện tích xq lớn nhất . ĐS : 1/. Bán kính là ; chiều cao là R 2/. Bán kính là ; chiều cao là VẤN ĐỀ 9 : HÌNH NÓN Bài 1 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và góc giữa đường sinh và mp chứa đáy hình nón là . 1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón 2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón . ĐS : 1/. V = ; Sxq = 2/. R2 tan Bài 2 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB có góc ASB là 600 . 1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón 2/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón . 3/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón . ĐS : 1/. V = ; Sxq = 2/. 3/. Bài 3 : Một hình nón có diện tích xq là 20p (cm2) và diện tích toàn phần là 36p(cm2) . Tính thể tích khối nón . ĐS : V =36p (cm3 ) Bài 4 : Một khối nón có thể tích V= ( dm3) và bán kính đáy hình nón là 4 (dm) . 1/. Tính diện tích xq của hình nón. 2/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón ĐS : 1/. Sxq =24p (dm2 ) 2/. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 10 : TOẠ ĐỘ VECTƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN. Bài 1: Cho = ( -2 ,1, 0 ), = ( 1, 3,-2 ), = (2,4,3 ) 1/ Tìm toạ độ = Đáp số : 2/ Cm , không cùng phương 3/ Tìm toạ độ/ = ( 2, yo, zo ), biết / cùng phương Đáp số : Bài 2: Cho A( 0 -2, 4 ) , B( 5,-1,2 ), 1/ Cm: A, B. C không thẳng hàng. 2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy), M chia đoạn BC theo tỉ số nào? Đáp số : M( -11,9,0 ) 3/ Tìm toạ độ D , biết = ( 1,-2, -4 ) Đáp số : D ( -2,2,-3 ) 4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B Đáp số : A/ ( 10,0, 0 ) 5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành Đáp số : E( 2,5,-1 ) Bài 3 :Cho M( x, y, z ), tìm toạ độ các điểm: 1/ M1 , M2 , M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ,( 0yz) ,( 0xz ) Đáp số : M1 ( x, y, o) , M2 ( o, y, z ) , M3 ( x, o, z ) 2/ M/1 , M/2 , M/3 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz Đáp số : M/1 ( x,o,o ), M/2 ( o,y,o ),M/3( o,o,z ) 3/ A, B, C lần lượt đối xứng với M qua ox, oy, oz Đáp số : A( x,-y, –z ), B( -x, y,-z ), C( -x,-y,z ) 4/ D, E, F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz ) Đáp số : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z ) Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật OABC . O/ A/ B/C/ biết A( 2, 0, 0 ), C( 0 ,3, 0 ) , 0/ ( 0,0,4) .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật Hướng dẫn: ( vẽ hình ) , tương tự B/( 2,3,4 ) , C/ ( 0,3,4 ) VẤN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1/. là vtpt của (P) - Chú ý : Nếu ; không cùng phương và có giá song song hay nằm trong mp(P) thì (P) có vtpt 2/. Phương trình tổng quát mp(P) : Ax+By+Cz+D = 0 vtpt 3/. Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 4/. Nếu mp(P) // mp(Q) thì vtpt của (P) cũng là vtpt của (Q) 5/. Nếu mp(P) mp(Q) thì vtpt của (P) song song hay chứa trong mp (Q) và ngược lại. 6/. Phương trình mp(Oxy) : z = 0 Phương trình mp(Oxz) : y = 0 Phương trình mp(Oyz) : x = 0 7/. Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) : Với A, B, C đều khác với gốc O. BÀI TẬP Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2) 1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD. Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z -7 = 0 2/. Viết ptmpqua A và // (BCD). Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0 3/. Viết pt mp qua A và vuông góc với BC Đáp số : -3x + z + 11= 0 Bài 2: Cho A(5,1,3) , B(1,6,2) ,C(5,0,4) , D(4,0,6) 1/. Viết pt mp qua A , B và // CD. Đáp số :10x+9y+5z-74=0 2/. Viết ptmp trung trực của CD , tìm toạ độ giao điểm E của với Ox. Đáp số :-2x+4z-11=0 ; E(-11/2 , 0 ,0) 3/. Viết ptmp qua A và // (Oxy) Đáp số :Z – 3= 0 Bài 3: Cho A(4,-1,1) , B(3,1,-1) 1/. Viết phương trình mp qua A và chứa trục Oy. Đáp số : x-4z=0 2/. Viết ptmp qua A và vuông góc với trục Oy. Đáp số : y+1=0 3/. Viết ptmp qua A , // Oy , Đáp số : 4x+z-17=0 4/. Viết pt mp (P) qua B , (P) , (P) (Oxz) Đáp số : 4x+z-11=0 Bài 4: Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0) 1/. Viết ptmp qua A , B ,C. Đáp số : 12x+4y+3z-12=0 2/. cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N, P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP). Đáp số : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12=0 Bài 5 : Lập phương trình mp qua G( 2 ; -1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 6 : Lập phương trình mp qua H( 1 ; -1 ; -3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Tóm tắt lý thuyết : 1/. Cho 2 mp : cắt A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 Bài 1: xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau : 1/. Cho : 2x + ny + 3z -5 =0 : mx -6y -6z +2 =0 Đáp số : m =4 , n =3 2/. Cho : 3x - y + nz -9 =0 : 2x +my +2z -3 =0 Đáp số : m = -2/3 ; n = 3 Bài 2: Cho 2 mp : 1/. Viết pt mp (P) qua giao tuyến của và (P) Đáp số : -3x-9y+13z-33=0 2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của và (Q) song song với đường thẳng AB với A(-1,2,0) và B(0,-2,-4). Đáp số : 8x+5y-3z+31=0 VẤN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Tóm tắt lý thuyết Cách lập phương trình đường thẳng d: Tìm 1 điểm M (x0 ; y0 ; z0) thuộc d và vectơ chỉ phương của d. Khi đó phương trình của d có một trong 2 dạng sau : Pt tham số : (1) Pt chính tắc : (2) VỚI a , b , c đều khác 0 - Ghi nhớ : d vtcp của d là vtpt của ; vtpt của là vtcp của d. BÀI TẬP Bài 1: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của d biết : 1/. d qua M (2,3,-1) và d vuông góc với mp: -x-y+5z+7=0 2/. d qua N(-2,5,0) và d// d / : 3/. d qua A(1,2,-7) và B(1,2,4) Bài 2: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp : Bài 4: 1/. Viết pt mp() qua A(0,1,-1) và () 2/. Tìm toạ độ giao điểm M của () với trục Ox. 3/. Viết pt tham số của giao tuyến d / của () với (Oxy). VẤN ĐỀ 14: TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN MP, TRÊN d. TÌM M/ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA , QUA d. 1/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên và toạ độ M’đối xứng M qua : Viết pt đt d qua M , d d qua M có véc tơ chỉ phương pttsố của d H = d tọa độ H M/ đối xứng M qua H là trung điểm M M/ toạ độ M/ 2/ Tìm toạ độ hchiếu H của M trên đt d và tìm M/ đối xứng M qua đt d : + Viết ptmp qua M , + H = tọa độ của H + M/ đxứng M qua d H là trung điểm MM/ tđộ M/ Bài 1: Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2, -3, 1 )trên mp() : -x+ 2y +z+ 1= 0 . Tìm toạ độ M/ đxứng M qua () Đáp số : H (1, -1 , 2 ) ; M/( 0, 1, 3) Bài 2: Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d : Đáp số : M/ (4,-3,5) VẤN ĐỀ 15: LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC d / CỦA d TRÊN MP (P) *Phương pháp : Cách 1 : Tìm 2 điểm A và B thuộc d Tìm A/ và B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P) Lập pt đường thẳng A/B/ chính là đường thẳng d/ Cách 2 : Lập pt mp (Q) chứa d và vuông góc với mp(P) Vì d/ = (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của d/ Bài 1: Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : trên mp : x+y+2z-5=0 Bài 2 : Viết pt hình chiếu vuông góc d/ của d : trên mp:x-y+z+10=0 VẤN ĐỀ 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d/ Phương pháp : + d có vtcp và đi qua điểm M + d/ có vtcp và đi qua điểm M/ + Tính a/. d và d/ trùng nhau Û , và b/. d // d/ Û c/. d cắt d/ Û d/. d và d/ chéo nhau Û * Chú ý : Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1: d2 : Đáp số : d1 // d2 Bài 2: Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1: d2 : Đáp số : d1 chéo d2 Bài 3: Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1: d2 : Đáp số : d1 chéo d2 Bài 4: cho 2 đt d1 : d2 : a/. Tìm toạ độ giao điểm của d1 và d2 . Đáp số : A(1,-2,5) b/. Viết pt mp (P) chứa d1 và d2. Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0 Bài 5 : Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1 : d2 : Đáp số : d1 // d2 Bài 6: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đt d1 : và d2 : Đáp số : A(3,7,18) VẤN ĐỀ 17: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG d VÀ MẶT PHẲNG 1/. Cách 1: d có vtcp , có vtpt a/. Nếu .0 d cắt b/. Nếu .=0 d// hay d Tìm Md: 2/. Cách 2: Giải hệ pt của d và Hệ có 1 nghiệm d cắt Hệ vô nghiệm d // Hệ vô số nghiệm d Bài 1: Xét vị trí tương đối của đt d : Và mp: x+2y+3z+3=0 Đáp số : d// Bài 2: Cho đt d : và mp:x+3y-2z-5=0 a/. Tìm m để d cắt . Đáp số : m1 b/. Tìm m để d//. Đáp số : m=1 c/. Tìm m để d vuông góc với. Đáp số : m= -1 Bài 3: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z-1=0 Đáp số : d cắt tại A(2,1/2,-7/2) Bài 4: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z-1=0 Đáp số : d cắt tại A(1, 0,-1) Bài 5: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 5x-y+4z+3=0 Đáp số : d VẤN ĐỀ 18: KHOẢNG CÁCH 1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp: 2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt : qua M0 và có vtcp 3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau : qua M1 và có vtcp qua M2 và có vtcp *Chú ý: Khoảng cách giữa 2 mp song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên mp thứ nhất đến mp thứ hai. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên đt thứ nhất đến đt thứ hai. Khoảng cách giữa 1 đường thẳng song song với 1 mp = Khoảng cách từ 1 điểm trên đt đến mp. Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . Viết pt mpqua 3 điểm A, B, C .Tính diện tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC. Đáp số : : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= ; VOABC= Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M (1,2,-1) đến đt : Đáp số : Bài 3: Cho 2 đt chéo nhau : : : Tính khoảng cách giữa và . Đáp số : 7/3 Bài 4: Cho 2 đt : và : Chứng minh chéo . Tính khoảng cách giữa và . Đáp số : VẤN ĐỀ 19 : GÓC 1/. Góc giữa 2 vectơ : 1/. Tìm góc giữa 2 đt và : Tìm 2 vtcp và của và . 2/. Tìm góc giữa 2 mp và : Tìm 2 vtpt : và của và Chú ý : 3/. Tìm góc giữa đường thẳng d và mp : Tìm vtcp của d. Tìm vtpt của Bài 1: Tính góc giữa đt d : và trục Ox. Đáp số : =450 Bài 2: Tính góc giữa đt d : và mp: Đáp số : =300 Bài 3: Tính góc giữa 2 mp: : 3y-z-9=0 ; : 2y+z+1=0 Đáp số : =450 Bài 4: Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 600 : : và : Đáp số : m = -1 VẤN ĐỀ 20: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 1/. Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 (1) x2+y2+z2 +2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2) Với : Tâm I ( -a ; -b ; -c ) 2/. Vị trí tương đối giữa mc(S) và mp : Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 có tâm I và bán kính R. mp: Ax+By+Cz+D=0 a/. mp không có điểm chung với (S) b/. mp tiếp xúc với (S) (là tiếp diện ) c/. mp cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt : 3/. Một số dạng toán về mặt cầu: a/. Viết pt mc (S) tâm I và tiếp xúc với mp, tìm toạ độ tiếp điểm H của và (S): R = d (I , ) pt (1) H= với qua I và b/.Mặt cầu có đường kính AB tâm I là trung điểm của AB,R= c/. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ) : Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) hoặc a , b ,c d/.Mặt phẳng tiếp xúc (S) tại A(S) (tiếp diện ) + (S) có tâm I, qua A có vtpt pt () e/. Cách tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của mp và (S) : (S) có tâm I , bán kính R , có vtpt Đường thẳng qua I , pt tham số . I/ = Toạ độ I/ Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2) 1/. Chứng minh : A,B,C,D đồng phẳng . 2/. Gọi A/ là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) , Viết pt mặt cầu (S) qua A/ ,B,C,D Đáp số : A/(1,-1,0) ; ptmc(S) : x2+y2+z2 -5x -2y -2z +1 = 0 3/. Viết pt tiếp diện của (S) tại A/. Đáp số : : 3x+4y+2z+1=0 Bài 2: Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , , C(2,4,3) , 1/. Chứng minh : . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Đáp số : V= 4/3 2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung của 2 đt AB và CD . Tính góc giữa và (ABD). Đáp số : ; 3/. Viết pt mc (S) qua A , B, C, D . Viết pt tiếp diện của (S) song song với (ABD) Đáp số : (S) : x2+y2+z2 -3x -6y -2z +7 = 0 ; 1: z + =0 ; 2: z - =0 Bài 3: Cho mp: x+y+z-1=0 và đt d : 1/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C là giao điểm của với Ox ,Oy ,Oz và D = d Đáp số : V = 1/6 2/. Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I/ và bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của (S) với mp (ACD). Đáp số : (S) : x2+y2+z2 -x -y -z = 0 ; I/ Bài 4: cho A(3,-2,-2) và mp: x+2y+3z-7 = 0 1/. Viết pt mc (S) tâm A và tiếp xúc với , tìm toạ độ tiếp điểm H của (S) và . Đáp số : (S) : (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14 ; H(4,0,1) 2/. Xét vị trí tương đối của (S) với mp(Oyz) . Đáp số : (S) cắt mp(Oyz) Bài 5: Cho mp: 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x2+y2+z2 -6x +4y -2z-86 = 0 1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) . Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10 2/. Chứng minh cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) của và (S).Tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ của ( C ) . Đáp số : R/ =8 ; I/ (-1,2,3) Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2 = 77 và 2 đt d1: d2: Viết pt mp tiếp xúc với (S) và song song với d1 và d2. Đáp số : *VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG d CỦA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU d1 , d2 d1 có vtcp ,d2 có vtcp Lấy điếm A Î d1 Þ tọa độ điểm A theo t1 Lấy điếm B Î d2 Þ tọa độ điểm B theo t2 AB là đường vuông góc chung Û Giải hệ trên ta tìm được t1 và t2 Þ tọa độ A và B Viết phương trình đường thẳng AB. Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2. Bài 2: Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 1/. Chứng minh : và d1 chéo d2. 2/. Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2. -----------------------------------------------