Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : )!kn(!k !nCkn −= 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : = =− k k n n n!A , A (n k)! k n kC .P Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0 CCCCC CCCC CCC CC C Tính chất : k 1n k n 1k n kn n k n n n 0 n CCC CC,1CC +− − =+ === 8. Nhị thức Newton : * n0nn11n1n0n0nn baC...baCbaC)ba( +++=+ − a = b = 1 : ... 0 1 nn n nC C ... C 2+ + + = n Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : nn1n0n C,...,C,C * nnn1n1nn0nn xC...xaCaC)xa( +++=+ − Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách : nn1n0n C,...,C,C - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ... TRANG 1 - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ... - Cho a = ±1, ±2, ..., hay ∫∫ ±± 2 0 1 0 ...hay β α ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k mnC a b Kx − = Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n k k p q nC a b Kc d − = Giải hệ pt : ⎩⎨ ⎧ ∈ ∈ Zq/r Zp/m , tìm được k * Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n ∈ N...C,A knkn * ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ = ≠ == b/ca 0b 0cb a/b = c ⇔ ; ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0b bca 1n21n2 baba ++ =⇔= TRANG 2 2n 2n 2n 2n b aa b a b, a b a 0 ⎧ == ⇔ = ± = ⇔ ⎨ ≥⎩ ⎩⎨ ⎧ α=⇔=≥ ±=⇔= α abbloga,0a ab ba ⎩⎨ ⎧ > < ⎩⎨ ⎧ < > >= ⇔<−<⇔<+ b/ca 0b b/ca 0b 0c,0b cab;bcacba 2. Giao nghiệm : ⎩⎨ ⎧ <⇔< < ⎩⎨ ⎧ >⇔> > }b,amin{x bx ax ;}b,amax{x bx ax ⎧⎨Γ⎧ > ∨< < < ⎧ ⎩⇔ ⇔⎨ ⎨< Γ≥ ⎧⎩⎩ ⎨Γ⎩ p x a p qa x b(nếua b) ; x b VN(nếua b) q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≥ ⎩⎨ ⎧ ⇔≤= ≥⇔= 22 ba0 0b ba, ba 0b ba ⎩⎨ ⎧ ≥ ≥ ⎩⎨ ⎧ ∨≥ <⇔≥ 2ba 0b 0a 0b ba )0b,anếu(b.a )0b,anếu(b.aab <−− ≥= b. . : phá . bằng cách bình phương : 22 aa = hay bằng định nghĩa : )0anếu(a )0anếu(a a <− ≥= baba; ba 0b ba ±=⇔=⎩⎨ ⎧ ±= ≥⇔= a b b a ≤ ⇔ − ≤ ≤ b b 0 a b b 0hay a b a ≥⎧≥ ⇔ < ⎨ ≤ − ∨ ≥⎩ b 0baba 22 ≤−⇔≤ c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x ↑>∈= TRANG 3 0 m / n m m n m nn m n m n m n m.n n n n n n n m n a 1 ; a 1/ a ; a .a a a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b) a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1 − + − = = = = = = = = ⇔ = < ≠ ∨ α=α ><⇔< alognm a, )1a0nếu(nm )1anếu(nm aa d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN (⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN (⇐ ) 2aaa2a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, Mlog 1Mlog aa α=α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N a a 0 M N(nếua 1) log M log N M N 0(nếu0 a 1 > < < ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt ax2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+= Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG 4 Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 x.xP xxS 0g Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 : x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 x1 < x2 < 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > >Δ 0S 0P 0 * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 α < x1 < x2 ⇔ ; x⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <α >α >Δ 2/S 0)(f.a 0 1 < x2 < α ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ α< >α >Δ 2/S 0)(f.a 0 α < x1 < β < x2 ⇔ a.f( ) 0 a.f( ) 0 β ⎨⎪ α < β⎩ ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ β<α >β <α 0)(f.a 0)(f.a 7. Phương trình bậc 3 : a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : • x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : 3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠α >Δ 0)(f 0 2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠α =Δ∨⎩⎨ ⎧ =α >Δ 0)(f 0 0)(f 0 1 nghiệm ⇔ ( ) Δ⎧Δ ⎨ α⎩ = 0 < 0 hay f = 0 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 TRANG 5 3 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ < >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y 2 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ = >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y 1 nghiệm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ > >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ⇔ ⎩⎨ ⎧ = >Δ 0y 0 uốn 'y d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) α < x1 < x2 < x3 ⇔ y ' CĐ CT CĐ 0 y .y 0 y( ) 0 x Δ >⎧⎪ <⎪⎨ α <⎪⎪α <⎩ α x1 x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <α >α < >Δ CT CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 αx1 x x x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ α< <α < >Δ CĐ CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 α x1 x x x1 < x2 < x3 < α ⇔ y ' CĐ CT CT 0 y .y 0 y( ) 0 x Δ >⎧⎪ ⎪⎪ < α⎩ α x1 x x 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : TRANG 6 f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α 2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ >Δ ≠α 0 0)(f ⎩⎨ ⎧ ≠α =Δ ⎩⎨ ⎧ =α >Δ 0)(f 0 0)(f 0 Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ =α =Δ 0)(f 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = ≥= 0)t(f 0xt 2 t = x2 ⇔ x = ± t 4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 ⎩⎨ ⎧ > = 0S 0P 2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ > =Δ < 02/S 0 0P ⎩⎨ ⎧ = =Δ ⎩⎨ ⎧ < = 02/S 0 0S 0P VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > ≥Δ 0S 0P 0 0 0 P S ⎧⎪ >⎨⎪ <⎩ 4 nghiệm CSC ⇔ ⎩⎨ ⎧ = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥ c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : 2 baxt ++= , t ∈ R. TRANG 7 10. Hệ phương trình bậc 1 : ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 'cy'bx'a cbyax . Tính : D = 'b b 'a a , Dx = 'b b 'c c , Dy = 'c c 'a a D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp : ⎩⎨ ⎧ =++ =++ 'dy'cxy'bx'a dcybxyax 22 22 Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ 0 : ab 2 ba ≥+ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c ≥ 0 : 3 abc 3 cba ≥++ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : TRANG 8 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 2π 0 2− π 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 2π0 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của 6 π ( 3 1 cung phần tư) và 4 π ( 2 1 cung phần tư) α 0A x+k2π M x = α + n k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). cotg chiếu xuyên tâm tg Mcos chiếu ⊥ sin M * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 2 π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về 2 atgt = : đưa lượng giác về đại số. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. TRANG 9 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = 1 ⇔ α = 2 π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 2 π + k2π, cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 2 π + kπ, cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 2 utgt = ) 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu = 2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 2 12 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 212 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng TRANG 10 * t = tg 2 x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 14. Phương trình đặc biệt : * ⎩⎨ ⎧ = =⇔=+ 0v 0u 0vu 22 * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ = Cv Cu Cv Cu vu * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ ≤ ≤ Bv Au BAvu Bv Au * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −= −=∨⎩⎨ ⎧ = = 1vcos 1usin 1vcos 1usin * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −=∨⎩⎨ ⎧ −= = 1vcos 1usin 1vcos 1usin Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 : ⎩⎨ ⎧ =± =± )2(nyx )1(m)y(F)x(F . Dùng công thức đổi + thành nhân, thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨ ⎧ =− =+ byx ayx b. Dạng 2 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F).x(F . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. c. Dạng 3 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F/)x(F . Dùng tỉ lệ thức : db ca db ca d c b a − −=+ +⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán Δ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : TRANG 11 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * pr R4 abcCsinab 2 1ah 2 1S a ==== )cp)(bp)(ap(p −−−= * Trung tuyến : 222a ac2b22 1m −+= * Phân giác : ℓa = cb 2 Acosbc2 + IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f * α+ α= + = +α +∫ ∫ 1udu u C ; u du C 1 , α ≠ – 1 u udu ln u C; e du e C; u = + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 * = = −∫b ba a f(x)dx F(x) F(b) F(a) * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫ ∫ ∫∫∫∫ =+=+ b a b a b a b a b a fkkf;gf)gf( 2. Tích phân từng phần : udv uv vdu= −∫ ∫ Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex b. ∫ = xlnu:xlnxn c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : TRANG 12 a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2 b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2 c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx R đơn giản : 2 xtgu = ∫ π −π= 2/ 0 x 2 uđặtthử: ∫ π −π= 0 xuđặtthử: e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x g. u 1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : n n 2 21n )ax( A... )ax( A ax A)ax(, ax Aax ++++++→++→+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =+=<Δ+++++++ +→<Δ++ ∫ ∫ atgtuđặt:)au/(du)0(cbxax dxcbxax Bcbxax )bax2(A)0(cbxax 222222 TRANG 13 5. Tính diện tích hình phẳng : a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : ∫= b a D dx)x(fS f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : ∫ −= b a D dx)x(g)x(fS Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 α / b D a S f(x) g(x) dx= −∫ x=b x=a f(x) g(x) β / b D a S f(y) g(y) dy= −∫ y=a f(y) y=b g(y) Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − ( )trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y −=+=−=+= 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a b f(x)a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : [ ]∫π= b a 2 dx)x(fV a b f(y) b. [ ]∫π= b a 2 dy)y(fV b f(x) g(x a TRANG 14 c. ∫ −π= b a 22 dx)]x(g)x(f[V f(y) a g(y) b d. ∫ −π= b a 22 dy)]y(g)y(f[V a b c f(x) -g(x)f(x) g(x a be. ∫∫ π+π= b c 2 c a 2 dx)x(gdx)x(fV f. ∫∫ π+π= b c 2 c a 2 dy)y(fdy)y(gV Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tìm lim dạng 0 0 , dạng 1 ∞ : a. Phân thức hữu tỷ : 1 1 ax1 1 axax Q Plim )x(Q)ax( )x(P)ax(lim)0/0dạng( )x(Q )x(Plim →→→ =− −= b. Hàm lg : 1 u usinlimthứccôngdùng),0/0dạng( )x(g )x(flim 0uax =→→ c. Hàm chứa căn : )0/0dạng( )x(g )x(flim ax→ , dùng lượng liên hiệp : a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức e)u1(lim u/1 0u =+→ 2. Đạo hàm : a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : o o oxx 0 xx )x(f)x(flim)x('f − −= → Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : Nếu thì f có đạo hàm tại x.lim)x(f,lim)x(f oxx o / oxx o / −→−+→+ == )x(f)x(f o/o/ −+ = o. b c f(y) -g(y)a b. Ý nghĩa hình học : M α f(x) TRANG 15 k = tgα = f/(xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi d. f đạt CĐ tại M ⇔ ⎩⎨ ⎧ < = 0)x(f 0)x(f M // M / f đạt CT tại M ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0)x(f 0)x(f M // M / M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , ( )a 1log x x ln a′ = , (ex)/ = ex (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... f. Vi phân : du = u/dx 3. Tiệm cận : ∞=→ ylimax ⇒ x = a : tcđ x a y ∞ ∞ x −∞ +∞ bylim x =∞→ ⇒ y = b : tcn y b b x −∞ +∞ 0)]bax(y[lim x =+−∞→ ⇒ y = ax + b : tcx y ∞ ∞ * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. * Xét )x(Q )x(Py = TRANG 16 • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : )x(Q )x(Pbax)x(f 1++= , tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : cy ax b dx e = + + + ( d ≠ 0 ) • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a> 0 : a < 0 : d/ y = ax4 + bx2 + c a > 0 a < 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 f/ y = edx cbxax2 + ++ (ad ≠ 0) ad > 0 a > 0 a < 0 a = 0 a 0 y′Δ > 0 y′Δ = 0 y′Δ < 0 ab > 0 ab < 0 y′Δ > 0 y′Δ = 0 y′Δ < 0 TRANG 17 ad < 0 5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : x a a x = a y < b y > b b y = b g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M. ⎩⎨ ⎧ = = 0B 0A ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0C 0B 0A b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔ (hay ). Giải hệ , được M. ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0B 0A ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎩⎨ ⎧ <Δ ≠∨ ≠ = = 0 0A 0C 0B 0A Chú ý : C B A = VN ⇔ B = 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ = ≠ VNBCA 0B c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. ⎩⎨ ⎧ = = /C / C / /CC yy yy b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). TRANG 18 * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = a 1− x + m. Tìm m nhờ đk tx. c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎩⎨ ⎧ = = ky yy C / dC (1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. * f đạt cực đại tại xo ⇔ ⎩⎨ ⎧ < = 0)x(f 0)x(f o // o / f đạt cực tiểu tại xo ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0)x(f 0)x(f o // o / * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ /fΔ > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . • 1 bên (Ox) ⇔ 0 0 /f CD CTy .y Δ >⎧⎪⎨ >⎪⎩ • 2 bên (Ox) ⇔ 0 0 /f CD CTy .y Δ >⎧⎪⎨ <⎪⎩ * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). TRANG 19 * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. • Hàm bậc 2/ bậc 1 : v uy = yCĐ.yCT = )x(v).x(v )x(u).x(u CT / CĐ / CT / CĐ / , dùng Viète với pt y/ = 0. * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) b. Biện luận sự biến thiên của y = 1bậc 2bậc i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 x x p 2 m + =− . iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 x x p 2 m + =− . c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : TRANG 20 a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, ., , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : M N M N M M N N x x 2x y y 2y y f(x ) y f(x ) + =⎧⎪ + =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩ I I d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là (d') : y = – a 1 x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. B 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + edx c + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ +++= Zy,x edx cbaxy MM M MM ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∈+ +++= Z edx c,x edx cbaxy M M M MM ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+∈ +++= ccủasốướcedx,Zx edx cbaxy MM M MM 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. TRANG 21 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị : a b f g f g ⇔ ⎢⎣ ⎡ < < xb ax f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔ ⎢⎣ ⎡ ≥ ≤ bx ax VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb) (a, b) = (a/, b/) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = / / bb aa (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ 22 ba)b,a( += / / / v .vcos( v ,v ) v . v = r rr r r r ABAB),yy,xx(AB ABAB =−−= M chia AB theo tỉ số k ⇔ MBkMA = ⇔ k1 kyyy, k1 kxxx BAMBAM − −=− −= (k ≠ 1) M : trung điểm AB ⇔ 2 yyy, 2 xxx BAMBAM +=+= M : trọng tâm ΔABC ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= ++= 3 yyyy 3 xxxx CBA M CBA M (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : )'c,'b,'a(v),c,b,a(v / == [ ] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= /////// b b a a , a a c c , c c b b v,v rr / / /v ,v ] v . v .sin( v ,v )=r r r r r r[ [ // v,v]v,v rrrr ⊥ r * vr ⊥ ⇔ /v /v.v rr = 0 ; = 0 ; / /v // v [ v ,v ]⇔r r r r /// v,v,v rrr đồng phẳng ⇔ [ 0v].v,v r /// =rr TRANG 22 [ ]AC,AB 2 1S ABC =Δ [ ]AS.AC,AB 6 1V ABC.S = / 'D'C'B'A.ABCD AA].AD,AB[V = A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // ACuuur uuur * Δ trong mp : H là trực tâm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 0AC.BH 0BC.AH H là chân đường cao ha ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = BC//BH 0BC.AH M là chân phân giác trong ⇔ ∧A MC AC ABMB −= M là chân phân giác ngòai ⇔ ∧A MC AC ABMB += I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC. I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ΔABM với M là chân phân giác trong của ΔABC. ∧ B ∧ A 2. Đường thẳng trong mp : * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) : (d) : ⎩⎨ ⎧ −=−+= += b yy a xx:)d(, btyy atxx oo o o (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : 1 b y a x =+ * (AB) : AB A AB A yy yy xx xx − −=− − * (d) : Ax + By + C = 0 có )B,A(n;)A,B(v =−= * (d) // (Δ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + C′ = 0 * (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì : cosϕ = ( )/ / / d d d d d d n .n cos( n ,n ) n . n ≠ uur uuur uur uuur uur uuur * d(M,(d)) = 22 MM BA CByAx + ++ * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : TRANG 23 2/2/ /// 22 BA CyBxA BA CByAx + ++±=+ ++ /dd n.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – /dd n.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp 'v,v . (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n = [ 'v,v ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 d(M,(P)) = 222 ooo CBA DCzByAx ++ +++ * (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cosϕ = )n,ncos( )'P()P( * (P) ⊥ (P/) ⇔ )'P()P( nn ⊥ , (P) // (P/) ⇔ )'P()P( n//n 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : 'n,n : (d) : c zz b yy a xx:)d(, ctzz btyy atxx ooo o o o −=−= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − += += += ]'n,n[v = * (AB) : A A B A B A B A A x x y y z z x x y y z z − − −= =− − − * (d) = (P) ∩ (P/) : 0 0 Ax By Cz D A' x B' y C' z D' + + + =⎧⎨ + + + =⎩ * (d) qua A, vtcp v thì : d(M,(d)) = v ]v,AM[ * ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì : cosϕ = )v,vcos( /dd * ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì : TRANG 24 sinϕ = )n,vcos( pd * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) ⇔ n.v ≠ 0 (d) // (P) ⇔ n.v = 0 và M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ n.v = 0 và M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp 'v : (d) cắt (d/) ⇔ [ 'v,v ] ≠ 0 , AB]'v,v[ = 0 (d) // (d/) ⇔ [ 'v,v ] = 0 , A ∉ (d/) (d) chéo (d/) ⇔ [ 'v,v ] ≠ 0 , AB]'v,v[ ≠ 0 (d) ≡ (d/) ⇔ [ 'v,v ] = 0 , A ∈ (d/) * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = ]'v,v[ AB]'v,v[ * (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (Δ) : tìm ]'v,v[n = ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (Δ) = (P) ∩ (P/). * (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương (Δ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (Δ); (d/) = (P) ∩ (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = CBA 22 −+ * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MB.MA = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 TRANG 25 * (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ /RR − < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = /RR − (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ < /RR − (không có tt chung). 6. Mặt cầu : * Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = DCBA 222 −++ * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 ⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S). * Mặt đẳng phương của (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0 * Tương giao giữa (S), (S/) : như (C), (C/). * Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương. * Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương. 7. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0 M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a. * (E) : 2 2 2 2 b y a x + = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ BB1B2B = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2. * (E) : 1 a y b x 2 2 2 2 =+ (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1BB2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a B + b A = C ; a = b + c (Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 2 2 2 2 2 2 2 2 8. Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. M ∈ (H) ⇔ 21 MFMF − = 2a (H) : 2 2 2 2 b y a x − = 1 (pt chính tắc) tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo TRANG 26 BB1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo BB1B2B = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M ∈ nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± a b x hình chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2. (H) : 1 b x a y 2 2 2 2 =− (pt không chính tắc) tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(– b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1BB1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± a b y hình chữ nhật cơ sở : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 9. Parabol : * Cho F, F ∉ (Δ) M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(Δ)) (P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc). tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong (d)); tham số tiêu : p. (P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = – 2AC. (P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ số của x trong (d)). (P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = – 2BC . CHÚ Ý : * Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm trong mp M(xo,yo) : 2 ẩn ; điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 ẩn A, B, C - thực ra là 2 ẩn; đường tròn : 3 ẩn a, b, TRANG 27 R hay A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và cần biết dạng; mp (P) : 4 ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng trong không gian (d) = (P) ∩ (Q); đường tròn trong không gian (C) = (P) ∩ (S). * Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ. HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN VĂN NHÂN. (TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN) TRANG 28