Ôn tập Toán 12 theo 7 chủ đề

Chủ đề 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến. Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: a) y = x3 – 3x2 + 2 ; b) y = − x4 + 4x2 – 3 c) ; d) e) y = x – ex Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. ‚ Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2] ƒChứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +). Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Ÿ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. Ÿ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai. Ÿ f(x) đồng biến trên K Û f’(x) ≥ 0; "x Î K ( Û ) Ÿ f(x) nghịch biến trên K Û f’(x) ≤ 0; "x Î K ( Û) Hàm số bậc 3Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/ ( y’ = 0 Û ax2 + bx + c = 0)Ÿ Hàm số tăng trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ³ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. Ÿ Hàm số giảm trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có tham số thì phải xét khi a = 0Hàm số nhất biến : Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/Ÿ Hàm số tăng (giảm) trên (-∞; -d/c) và (-d/c; +∞) Û: y/ > 0 ( y/ 0 (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0. Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x; m) đồng biến trên K”. (nâng cao)B1. Tính đạo hàm f’(x; m). B2. Hàm số đồng biến trên K Û f’(x; m) ³ 0; "x Î K Û m ³ g(x); "xÎK (m £ g(x)) B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.  Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R. ‚ Cho hàm số a. Định m để hàm số luôn đồng biến; b. Định m để hàm số luôn nghịch biến. ƒ Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định . „ Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R … Định m để hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. † Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định . Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị Ÿ f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; Ÿ f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 Qui tắc I Ÿ D = R; Ÿ Ÿ BBT Qui tắc II Ÿ D = R; Ÿ Ÿ y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên  hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54 y’’(−3) = −30 < 0 nên  hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71 Vậy điểm cực đại M(-3; 71) điểm cực tiểu N(2; − 54) Tìm cực trị của các hàm số sau:  ‚Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x). B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT) Nhớ : Ÿ y’’(xo) ≠ 0 cực trị ; Ÿ y’’(xo) 0 cực tiểu. ; Ví dụ . Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 Ta có . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : Dùng QT I hoặc II ta có tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm  Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2. ‚ Tìm m để hàm số có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT ƒ Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1. „ Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 Û ax2 + bx + c; đồ thị (C). Ÿ hàm số có 2 cực trị. Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi yCĐ. yCT < 0. Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi xCĐ. xCT < 0. Ÿ hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi. Ÿ hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi. Ÿ đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi yCĐ. yCT = 0 1. Tìm m để các hàm số sau có cực trị : a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m; b) 2. Tìm m để hàm số sau không có cực trị y = (m − 3)x3 − 2mx2 + 3.  Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cách 1 B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b] B1: Tìm xi Î[a; b](i = 1; 2; . . . ; n) làm cho đạo hàm = 0 hoặc không xác định B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b). B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên . Lập BBT KL: = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số trên đoạn [−4; 0] Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0]. f’(x) = x2 + 4x +3; f’(x)=0 Û. Vậy: f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; f(x) = f(−4) = f(−1) = Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có):  a) y = x3 + 3x2 – 9x + 1 trên [−4; 4]; b) y = x3 + 5x – 4 trên [−3; 1] c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3]; d) y = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên [−4; 3] ‚ a) y = / (−2; 4]; b) y = x + 2 +trên (1; +∞); c) y=trên; d) y = x; e) y = x2. ex / [−1; 1]; f) y = / [e; e3]; g) y= ln(x2 +x−2) / [ 3; 6] ƒ a. / () b. trên ( ) c. f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2; 0] () d. f(x) = sin3x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5; m = ) e. f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + 5 ( M = 9; m = −11) Vấn đề 4. Khảo sát hàm số Ÿ Tìm tập xác định của hàm số . Ÿ Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0. Ÿ Tìm các giới hạn tại vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). Ÿ Lập bảng biến thiên. Ÿ Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị. Ÿ Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)− Xét y’ = 0 : D ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên R D > 0 có 2 điểm cực trị. − Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm của phương trình Ÿ Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) − Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0) − Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Ÿ Hàm nhất biến: y = (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0) − Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; −) và (−; +∞). − Tiệm cận đứng: x = −; tiệm cận ngang y = . − Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị: a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường : và : Ÿ Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : . Ÿ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường. b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình Ÿ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại) Ÿ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d). Ÿ Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) ) a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo). b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng tìm x0 ; tìm y0. Ÿ Tiếp tuyến D // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a Û f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . Ÿ Tiếp tuyến D ^ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = Û f’(x0 ) = ; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . Dạng 3: Điểm cố định của họ đường (Cm): y=f(x, m) A(x0, y0) là điểm cố định của (Cm) Û A(x0, y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m Û Am2 + Bm + C = 0, "m hoặc Am + B = 0, "m Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định. (dồn m, rút m, khử m) Dạng 4: Tập hợp điểm M(x; y) Ÿ Tính x và y theo tham số . Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y. Ÿ Giới hạn quỹ tích (nếu có). Dạng 5: CMR điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C):y=f(x) Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo . Công thức đổi trục: . Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X) Cminh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C). Dạng 6: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). Dời trục bằng phép tịnh tiến . Công thức đổi trục Thế vào y = f(x) ta được Y= f(X). C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). CÁC BÀI TOÁN THI VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1 Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)2 có đồ thị (C) , Khảo sát hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành . Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m . Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt O; A; B . Bài 2 Cho hàm số y = 1 – có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 6 –x. Bài 3 Cho hàm số y = f(x) = 3 – 2x2 – x4. Khảo sát hàm số . Gọi (C) là đồ thị ở câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox Bài 4 Cho hàm số y = có đồ thị (C) , 1. Khảo sát hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm A(3; –2) . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (D) ; Oy . Bài 5 Cho hàm số , có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 3. Bài 6 Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường thẳng x = –2 . 3. Chứng minh rằng với mọi k 0 đường thẳng y = kx cắ (C) tại 2 điểm phân biệt . Bài 7 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số . Gọi A là điểm uốn của (C), B là điểm thuộc (C) có hoành độ x = 3 . Viết các phương trinh tiếp tuyến của (C) tại A và B . Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB và các đoạn thẳng AD ; BD . Bài 8 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) . Khảo sát hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng x – y + 2 = 0 . Bài 9 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 –6x2 +9x –m =0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , các đường thẳng x =1 , x =2 Bài 10 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 –6x2 +9x –m =0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox , và các đường thẳng x = 1, x = 2 . Bài 11 Cho hàm số y = x3 –3x + 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x=1 Một đưòng thẳng (d) đi qua điểm uốn của (C) có hệ số góc k . Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) . Tmì toạ độ giao điểm trong trường hợp k =1 . Bài 12 Cho hàm số y = x3 + 3x2 +mx + m –2 , m là tham số , đồ thị là (Cm) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 3 . Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của(C) tại điểm A . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d) . Tìm giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Bài 13 Cho hàm số y = f(x) = Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox và các đường thẳng x = –2; x = 1 . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y = k . Bài 14 Cho hàm số y = x3 – ( m + 2 )x + m ; m là tham số . 1 . Định m để hàm số tương ứng có cực trị tại x = –1 . 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1 . 3. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k . Bài 15 Cho hàm số y = . 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số . 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm A(0; 1) . Chứng minh rằng có đúng một tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm B(0; –1) . 3 . Tìm tất cả các điểm nguyên trên đồ thị (H) . (Điểm nguyên là điểm mà cả hoành dộ lẫn tung độ đều là số nguyên ) . Bài 16 Cho hàm số y =x3 – 3x có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x = 2. Viết phương trình đuờng thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C) . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại M Bài 17 Cho hàm số y = – x4 + 2x2 +3 có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số . Xác định các các giá trị m để phương trình x4 – 2x2 + m =0 có 4 nghiệm phân biệt . Bài 18 Cho hàm số y = (x + a )3 + ( b + x )3 – x3 . 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1 ; b = 2 . 2 . Các số a , b thoả điều kiện gì để hàm số có cực đại , cực tiểu . Bài 19 Cho hàm số y = x3– 3mx2 +2(m2 – 1 )x – m2 – 1 . Chứng minh rằng với mọi m tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến với đồ thị . Tìm m để : a/ Hàm số không có cực trị. b/ Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =–1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và đưòng thẳng x = –2 Bài 20 Cho hàm số y = x3 –mx2 + (m+2)x +2m . 1 . KSHS khi m = –2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn . 2 . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Bài 21 Cho hàm số y = 2x3 – 3( 2a + 1 )x2 + 6a(a + 1)x . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1 . CMR "a hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 và x1 –x2 không phụ thuộc vào a . Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 1) . Bài 22 Cho hàm số y = f(x) = x3– 4x2 + 4x , có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số. Tìm toạ độ giao điểm của (C) và đường thẳng (D) : y = 3x – 6. Tiếp tuyến của (C) tại O cắt (C) tại A . Tìm toạ độ điểm A . Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thằnh y = kx . Tìm m để phương trình x3– 4x2 + 4x – m = 0 có ba nghiệm phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng (d1): y = 7x . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d2): y = x . Chủ đề 2 HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT. TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: Ÿ Các công thức cần nhớ: Ÿ Tính chất của lũy thừa: ; ; ; ; ; Ÿ Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì + Với 0 < a < 1 thì 2) Căn bậc n: ; ; ; 3) Lôgarit: Ÿ Định nghĩa: Cho : Ÿ Tính chất: Ÿ Quy tắc so sánh: + Với a > 0 thì: + Với 0 < a <1 thì: Ÿ Quy tắc tính: ; ; ; Ÿ Công thức đổi cơ số: hay hay ; Ÿ Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Hàm số mũ y = ax: Ÿ TXĐ: ¡ ; y = ax > 0 với mọi x. Ÿ Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. 2) Dạng cơ bản: Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Ví dụ 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1) pt ÛÛ x2 + 3x – 2 = −2 Û x2 + 3x = 0 Û x = 0 Ú x = − 3 2) pt ÛÛ …Û x2 – 3x + 2 = 0 Û x = 1 Ú x = 2 3) pt Û 4) Dạng 2. đặt ẩn phụ Ví dụ 1) ; 2) ; 3) 1) pt Û (*) Đặt t = 3x > 0 ta có phương trình (*) Û 6561t2 – 972t + 27 = 0 Û Với ; Với 2) pt Û (*). Đặt ; (*) Với t = 5 Û 5x = 5 Û x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1. 3) pt Û (*) Đặt . Pt (*) Với ; Vậy phương trình có nghiệm: Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – 6 = 0. (TNBTT2007) a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d) e) f) g) i) Dạng 3. Logarit hóạ a) 2x − 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = d) e) f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ¯ Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); . Tập giá trị: ¡ ¯ Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1 ¯ Phương trình và bất phương trình cơ bản: ŸŸ Dạng 1. Đưa về cùng cơ số a) ; b) c) d) e) log4x + log2x + 2log16x = 5 f) g) log3x = log9(4x + 5) + . KQ: a) 1; b) −1; c); d) Æ; e); f) 3; g) Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải : h) i) j) k) l) m) n) log3(3x – 8) = 2 – x o) p) KQ: h) ; i) ; j) 2; 3; k) e; e2; l) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4. Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = 2 – x Bất phương trình mũ  a) b) c) d) e) 16x – 4 ≥ 8 f) 52x + 2 > 3. 5x g) (1/2) 2x − 3≤ 3 ‚ a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x −2 ≤ 3 c) d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 −16x ≥ 2log48  Bất phương trình logarit a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log ½ (log3x) ≥ 0 e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 g) h) k) Bảng đạo hàm: Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho. 1) y = esinx CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 0 2) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – 1 = 0 3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan = 0 4. y = ex. cosx CMR: 2y’ − 2y − y’’ = 0 5. y = ln2x CMR: x2y’’ + xy’ = 2 Tự luyện  Giải các phương trình sau : 1/ ĐS : x =1 2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x = 3/. 32x+2 – 28.3x + 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = −2 4/. log2x + log4(2x) = 1 ĐS : 5/. ĐS : x = 2 ; x = 4 6/. 3x +2.31 – x −5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log32 7/. ĐS : 8/. ĐS : 9/. ĐS : 10/. ĐS: x = −2; 0; 1. 11/. ĐS: ‚ Giải bất phương trình : 1/. 22x+6 + 2x+7 – 17 > 0 2/. 2. 2x + 3. 3x > 6x – 1 3/ logx[ log3 ( 3x −9) ] < 1 4/. 5/. 6/. ƒ Giải hệ phương trình : 1/. 2/. 3/. Chủ đề 3 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Căn bản Mở rộng ( với a ¹ –1 ) (với a ¹ –1 ) =ln½a.x + b½+ C ò(1+ tan2 x).dx == tanx + C ò(1+ tan2a x).dx = ò(1+ cot2 x)dx = = −cotx + C ò(1+ cot2a x)dx = ( 0 < a ¹ 1 ) ( 0 < a ¹ 1 ) Tổng quát: = F(x) +C Þ= F(ax+b) +C (a ≠ 0) 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] · ; ; · (k là hằng số) · · ( a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: Công thức cơ bản: Ÿ; Ÿ ; Ÿ  Ÿ; Ÿ; Ÿ Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a Công thức hạ bậc: * sin2a = * cos2a = Công thức biến đổi tích thành tổng: * * * Hệ quả: Ÿ ;  Ÿ 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * và * ; * * a0 = 1; a1 = a ; a–n = * ; * ; * ; * * 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * * * . * (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc * (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc Có chạy, có đi thì có đến Chăm học, chăm rèn ắt tiến lên! I. BÀI TẬP nguyên hàM Œ Cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(π) = 0. Đs  Chứng minh F(x) = ln là nguyên hàm của f(x) = Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x) Ž Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = 3. f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x)= 6. f(x) = ĐS: F(x) = 7. f(x) = ; 8. f(x)= ĐS 7. ; 8. 9. f(x) = ; 10. f(x) = tan2x ĐS 9. F(x) = x – sinx + C; 10. tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx − cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx − cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = − cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x)=2sin3xcos2x ĐS. F(x)= 17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = 18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C 19. f(x) = 2ax + 3x ; 20. f(x) = e3x+1 ĐS. 19. ; 20. II. Tích phân cơ bản: . 1) Tính các tích phân a) I1 = b) I2 = c)I3 = KQ: I1 = I2 = e2 –1 I3 = 2) Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c) J3 = J1 = J2 = 7ln2 – 2 J3 = 3) Tính các tích phân a) K1 = b) K2 = c) K3 = KQ: K1 = K2 = K3 = 4. Tính các tích phân: 1) L = KQ: L = 2) I = KQ: I = 3) J = KQ: J = 4) K = KQ: K = – 2 5) M = KQ: M = 6) N = KQ: N = 7) P = KQ: P = 8) Q = KQ: 9) R = KQ: 10) S = KQ: Cố gắng Û Thành công. III. Phương pháp đổi biến số: Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ : Tính a) I1 = KQ: I1 = b) I2 = KQ: I2 = Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: t = u(x) rồi suy ra dt = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì =u(a) = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ : Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c)J3 = d) J4 = e) J5 = . KQ: J1 = ( e4 – e) J2 = J3 = J4 = J5 = Bài tập tự luyện 1) Tính a) I = KQ: I = b) J = KQ: J = –4 c) K = KQ: K = d) L = KQ: L = e) M = KQ: M = g) N = KQ: N = ln h) P = KQ: P = i) Q = KQ: 2) Tính a) I1 = KQ: 4 b) J1 = KQ: c) P = KQ: 2ln3 d) Q= KQ: 16/3 e) L1 = KQ: g) N1 = KQ: ln(e+1) h) J4’ = KQ: IV. Phương pháp tích phân từng phần: Công thức: Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức Q(x):hay Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ : Tính các tích phân a) I1 = b) I2 = c) I3 = KQ: I1 = I2 = I3 = 8ln2 – Ví dụ : Tính các tích phân a) J1 = KQ: J1 = b) J2 = KQ: J2 = Bài tập tự luyện 1) Tính các tích phân: a) I 1= KQ: I = b) I2 = KQ: c) I3 = KQ: M = – ln d) I4 = KQ: N = 2(1 – ) 2) Tính các tích phân: a) K1= KQ: b) K2 = KQ: c) K3 = KQ: J = 2 d) K4 = KQ: e) K5 = KQ: IV. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: · Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1). · Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2). Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số a) y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. ĐS: 2 b) y = 2 – x2 và y = x. ĐS: 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = (3) Ví dụ a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., ĐS: b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải: · Phương trình hoành độ giao điểm : – x2 = x3 x = 0 V x = –1 · Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng quay quanh Ox: V1== · Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: Có V2 == Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt) Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết quả sai KQs : V = đvtt. Bài tập tự luyện  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) y = x2 − 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. ĐS: 2 b) y = x.ex ; x = 1 ; y = 0. ĐS: S= 1 c) y = sin2x + x ; y = x; x = 0; x = π . ĐS: S= d) y2 = 2x và y = 2x −2 . ĐS : S= e) đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 0. ĐS: S = 63 −16 ln 8 f) y2 = 2x +1 và y = x – 1. ĐS: 16/ 3 g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox. ĐS:S = đvdt h) (P): y = – x2 và y = – x – 2 . ĐS:S = đvdt i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt ‚ Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi : a) (C): y= ; các trục toạ độ . ĐS : V= ( 3− 4 ln2 ) b) (P): y 2 = 8x và x = 2 ĐS : 16 đvtt c) y = x2 và y = 3x ĐS : đvtt d) y = ; y = 0; x = 0; x = ĐS : đvtt ƒ Tính các tích phân sau : 1/.; Đáp số : 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số : 9/28 5/. Đáp số „Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số : 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số :8/15 5/. ; Đáp số :2/63 6/. ; Đáp số :ln2 7/. ; Đáp số : … Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :e−1 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số :2e2 – 2e 4/. ; Đáp số : 5/. ; Đáp số : 6/. ; Đáp số :−1 7/. ; Đáp số : 8/. ; Đáp số : 9/. ; Đáp số :2ln2−1 10/. ; Đs: 11/. ; Đáp số : 12/. ; Đáp số : 13/. ; Đáp số :0 14/. ; Đáp số : 15/. ; Đáp số :1/2 Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: (2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x −1 (2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = ; biết F(1) = 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= và trục Ox. HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = và y = 0 là = 0 Û x = –1; x = 6. S = = (đvdt) (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y = x3 – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x =0; x = 3 quay quanh trục Ox. HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ; y = 0 là = 0 Û x = 0; x = 3. Ta có: V = . V = (đvtt) (TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I = Hướng dẫn: I = . Ÿ Tính J: Đặt u = x Þ du = dx; dv = cosx dx Þ v = sinx Ÿ Tính K: Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx. Đổi cận: . Do đó K = . Vậy I = (TNTHPT năm 2005– 2006) a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = ex; y = 2; x = 1. b. Tính tích phân: I = ( THPT năm 2005− 2006 Ban A). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = Þ . Đổi cận. ĐS (TN.THPT năm 2005 − 200 6 Ban C). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt u = 2x + 1 Þ du = 2dx; dv = exdx Þ v = ex. ĐS = e + 1. (TNTHPT năm 2006– 2007)  Tính tích phân J = . HD: Đặt t = lnx Þ dt = . Đổi cận. ĐS = . ‚ Tính tích phân I = . Đặt t = + 1 Þ dt = 3dx. Đổi cận: . Do đó I = (THPT năm 2006 − 20007 Phân ban).  Tính tích phân I = . HD : Đặt t =Þ. Đổi cận: . I = . ‚ Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 Þ x = 0. Do đó V = . (đvtt) (TNTHPT năm 2007– 2008)  Tính I . Đặt t = 1 – Þ dt = –3x2dx. Đổi cận ; ĐS ‚ Tính tích phân I = . HD: I = . Đặt Þ I = (TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I = . HD: I = .Đặt . I = (TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I . I = = = . Chủ đề 4 SỐ PHỨC Ví dụ 1: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z2; ()3; 1 + z + z2 Ÿ Vì z = Þ = Ÿ z2===Þ ()2 = Ÿ ()3 =()2 . = Ÿ 1 + z + z2 = Trong bài toán này, để tính ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực. Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: Ta có : . Suy ra Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức Giải: Ta có : .Vậy, mô đun của z bằng: Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)iÛ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i Û Giải hệ này ta được: . Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. Bài tập Chủ đề 5 & 6: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY Một số kết quả cần nhớ Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao . * Diện tích: . Tam ABC vuông tại A: . Hình vuông ABCD: * Đường chéo . * S=AB2. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ÿ Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thướca; b; c: Vhộp = a.b.c Ÿ Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao. Vchóp = Sđáy. Cao =B.h Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó. Vlăng trụ = Sđáy. Cao =B.h TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỊNH LÝ 1: Cho DABC và đường thẳng d cắt AB; AC lần lượt tại B’;C’ khi đó ĐỊNH LÝ 2: Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA;SB;SC lần lượt tại A’; B’; C’ khi đó THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Khối nón: Ÿ Sxq = πRl; Ÿ Stp = Sxq + Sđáy = πRl + πR2 ; Ÿ V =Sđáy. Cao = Khối trụ: Ÿ Sxq = 2πRl; Ÿ Stp = Sxq + 2Sđáy = 2πRl + 2πR2 ; Ÿ V = Sđáy. Cao = πR2h Khối cầu: Ÿ Smặt cầu = 4πR2; Ÿ Vcầu = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác. Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy. Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy; nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Dạng 2: Tính thể tích; diện tích của khối trụ; khối nón Xác định đường cao bán kính của khối trụ; khối nón. Áp dụng công thức phù hợp Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Các cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp. Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn. Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy. Luyện tập KHỐI ĐA DIỆN ĐS: b. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a; cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh SA vuông góc với BC. b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: a. ; b. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết AB=a; ; SA=3a. a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.ĐS: ĐS: a) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a; bán kính đáy r=1;5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. Cho hình chữ nhật ABCD; có AB=a; AC=. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC. ĐS: ; ; . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a; AB=b; AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a; góc . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300. a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. . KHỐI TRÒN XOAY Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a. ĐS : Sxq = ; V = Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp hình lập phương . ĐS : Sxq = ; V = Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm ; một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm2 . 1/. Tính chu vi của thiết diện (S). ĐS : 1/. 28cm 2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T). ĐS Sxq = (cm2) ; V = 96p Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S1 = 4pa2 và diện tích xung quanh bằng S . 1/. Tính thể tích của (T) . ĐS : aS 2/. Cho S = 25a2 ; Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T). ĐS : Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm; một thiết diện song song với trục hình trụ ; cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm2 . Tính thể tích khối trụ (T). ĐS : 500p Bài 6: Cho hình nón có bán kính đáyR và góc giữa đường sinh và mp chứa đáylà a. 1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón ĐS : V = ; Sxq = 2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón . ĐS : R2 tan a Bài 7 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB có góc ASB là 600 . 1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón 2/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón . 3/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón . ĐS : 1/. V = ; Sxq = 2/. 3/. Bài 8 : Một hình nón có diện tích xq là 20p (cm2) và diện tích toàn phần là 36p(cm2) . Tính thể tích khối nón . ĐS : V =36p (cm3 ) Chủ đề 7 TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Trong không gian Oxyz cho a) CMR : 3 điểm A, C, D không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ADC. b) CMR : 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng. a) Ta có Þ ≠ Do đó : 3 điểm A, C, D không thẳng hàng., ta có b) Ta có Þ Þ các vectơ đồng phẳng. Do đó 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng. Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC); (BCD). b) Viết PT mp(a) chứa AB và song song CD. c) Viết PT đt D qua A & vuông góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm của chúng. a) Ta có ; * Phương trình mặt phẳng (ABC) mp(ABC) có VTPT : .Do đó phương trình tổng quát mp(ABC) là: * Tương tự mặt phẳng (BCD): 3x + 8y – 2z – 8 = 0. b) Ta có . Vì (a) chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là ; do đó có một VTPT là: Do đó (a): c) Vì D ^ (BCD) nên nhận làm VTCP; do đó PTTS của đường thẳng D : ; Thay x; y; z vào phương trình (BCD); ta được: Vậy giao điểm của D với (BCD) là : Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S): a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S). b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(a): x + y − z + k = 0 tuỳ theo k. c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với D đi qua . Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó. a) Ta có .Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) ; bán kính R = . b) Ta có m Þ (a) và (S) cắt nhau. m Þ (a) và (S) tiếp xúc nhau. m Þ (a) và (S) không có điểm chung. c) Đường thẳng D qua M; N có VTCP Phương trình là: Thay x; y; z vào phương trình (S); ta được: . m t = 1: D cắt (S) tại A(2; −1; 5) * Phương trình tiếp diện tại A: Ta có Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận làm VTPT nên có PTTQ: (P): m : D cắt (S) tại . * Phương trình tiếp diện tại B: Ta có Tương tự: (Q): BÀI 4: (Đề thi kỳ 2 của sở) Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1). a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC). b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A; D và mp(ABC) a/ Ta có: Vậy Phưong trình mp(ABC): 5(x − 3) − 2(y − 2) +(z − 6) = 05x–2y+z –17 = 0 b/ Ta có là vtcp của đường thẳng AD Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) ; Khi đó: sin Þ j » arcsin. BÀI 5(TN 05+06)Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): và hai đthẳng 1.Chứng minh: (D1) và (D2) chéo nhau. 2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (D1) và (D2) 1/ Xét qua điểm A(0;1;0) và có vtcp ; qua điểm B(1;0;0) và có vtcp ; Þ (D1) và (D2) chéo nhau. 2/ Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) // với (D1) và (D2) nên có vtpt .Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m = 0 Mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;−2)và có bán kính R = 3. (P) tiếp xúc (S) Û d[I;(P)] = R +Với + Với Bài 6: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z−1=0 Đáp số : d cắt tại A(2;1/2;−7/2) Bài 7: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 5x−y+4z+3=0. (d Ì a) 6 Tự luyện A. Tọa độ điểm, vectơ  Cho = ( −2 ;1; 0 ); = ( 1; 3;−2 ); = (2;4;3 ) 1/ Tìm toạ độ = . Đáp số : 2/ Cm ; không cùng phương HD: −2: 1: 0 ≠ 1: 3: −2 3/ Tìm toạ độ/ = ( 2; yo; zo ); biết / cùng phương Đáp số : ‚ Cho A( 0 −2; 4 ) ; B( 5;−1;2 ); . 1/ Cm: A; B; C không thẳng hàng. 2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy); M chia đoạn BC theo tỉ số nào? Đáp số : M( −11;9;0 ) Þ k = 2 3/ Tìm toạ độ D ; biết = ( 1;−2; −4 ) Đáp số : D ( −2;2;−3 ) 4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B Đáp số : A/ ( 10;0; 0 ) 5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành Đáp số : E( 2;5;−1 ) ƒ Cho M( x; y; z ); tìm toạ độ các điểm: 1/ M1 ; M2 ; M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ;( 0yz) ;( 0xz ) Đáp số : M1 ( x; y; 0) ; M2 ( 0; y; z ) ; M3 ( x; 0; z ) 2/ M/1 ; M/2 ; M/3 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox; Oy; Oz Đáp số : M/1 ( x;0;0 ); M/2 ( 0;y;0 );M/3( 0;0;z ) 3/ A; B; C lần lượt đối xứng với M qua Ox; Oy; Oz Đáp số : A( x;−y; –z ); B( −x; y;−z ); C( −x;−y;z ) 4/ D; E; F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( Oxy ); ( Oyz ); ( Oxz ) Đáp số : D( x; y; −z ); E (−x ; y; z ); F ( x; −y; z ) „ Cho hình hộp chữ nhật OABC. O’A’B’C’ biết A( 2; 0; 0); C( 0; 3; 0); 0’( 0; 0; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn: ( vẽ hình ) ; tương tự B/( 2;3;4 ) ; C/ ( 0;3;4 ) B. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2) Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 0 1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD. 2/. Viết ptmp(a) qua A và (a) // (BCD). Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0 3/. Viết pt mp qua A và vuông góc với BC Đáp số : −3x + z + 11= 0 ‚ Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6) 1/. Viết pt mp (a) qua A ; B và (a) // CD. Đáp số :10x+9y+5z−74=0 2/. Viết ptmp trung trực (b) của CD ; tìm toạ độ giao điểm E của (b) với Ox. Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; 0 ;0) 3/. Viết ptmp (P) qua A và (P) // (Oxy) Đáp số : z – 3= 0 ƒ Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1) 1/. Viết phương trình mp (a) qua A và (a) chứa trục Oy. Đáp số : x−4z=0 2/. Viết ptmp (b) qua A và (b) vuông góc với trục Oy. Đáp số : y+1=0 3/. Viết ptmp (Q) qua A ; (Q) // Oy ; (Q) (a) Đáp số : 4x+z−17=0 4/. Viết pt mp (P) qua B ; (P) (a) ; (P) (Oxz) Đáp số : 4x+z−11=0 „ Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0). 1/. Viết ptmp qua A ; B ;C. 2/. (a) cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại M ; N; P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP). Đáp số : (a):12x+4y+3z−12=0. V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z−12=0 … Lập phương trình mp qua G( 2 ; −1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ;C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. † Xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau : 1/. Cho : 2x + ny + 3z −5 =0; : mx −6y −6z +2 =0 Đáp số : m =4 ; n =3 2/. Cho : 3x − y + nz −9 =0; : 2x +my +2z −3 =0 Đáp số : m = −2/3 ; n = 3 ‡ Cho 2 mp : (a1): 2x – y + 3z + 1 = 0; (`a2): x + y – z + 5 = 0 có giao tuyến (d) 1/. Viết pt mp (P) qua (d) và (P) ^ (a3): 3x – y + 1 = 0. ĐS : −3x−9y+13z−33=0 2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của (a1), (a2) và (Q) song song với đường thẳng AB với A(−1;2;0) và B(0;−2;−4). Đáp số : 8x+5y−3z+31=0 C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Ghi nhớ : d ^ (a) Þ vtcp của d là vtpt của (a) ; vtpt của (a) là vtcp của d.  Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của d biết : 1/. d qua M (2;3;−1) và d vuông góc với mp: −x−y+5z+7=0 2/. d qua N(−2;5;0) và d// d / : 3/. d qua A(1;2;−7) và B(1;2;4) ‚ Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp : ƒ 1/. Viết pt mp() qua A(0;1;−1) và () 2/. Tìm toạ độ giao điểm M của (a) với trục Ox. 3/. Viết pt tham số của giao tuyến d / của (a) với (Oxy). „ Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2; −3; 1 )trên mp(a) : −x+ 2y +z+ 1= 0 . Tìm toạ độ M/ đxứng M qua () Đáp số : H (1; −1 ; 2 ) ; M/( 0; 1; 3) … Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2; −1; 3) qua đt d : Đáp số :M/ (4;−3;5) LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC D’ CỦA D TRÊN MP (P) Phương pháp : Cách 1 : Ÿ Tìm 2 điểm A và B thuộc D Ÿ Tìm A/ và B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P) Ÿ Lập pt đường thẳng A/B/ chính là đường thẳng D/ Cách 2 : Ÿ Lập pt mp (Q) chứa D và vuông góc với mp(P) Ÿ Vì d/ = (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của D/ † Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : trên mp : x+y+2z−5=0 ‡ Viết pt hình chiếu vuông góc d/ của d : trên mp:x−y+z+10=0 D. KHOẢNG CÁCH − GÓC 1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp (a): 2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt D: qua M0 và có vtcp : 3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau : Ÿ D1 qua M1 và có vtcp ; D2 qua M2 và có vtcp : *Chú ý: Ÿ mp(P) // mp (Q) có d[(P), (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A Î (P) Ÿ đt d // d’ có d[d, d’] = d[A, d’] với điểm A Î d Ÿ đt d // mp (Q) có d[d, (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A Î d. 4/. Góc giữa 2 vectơ : Tìm góc giữa 2 đt: Tìm 2 vtcp và của và có Tìm góc giữa 2 mp: Ÿ Tìm 2 vtpt : và của a và b có . Chú ý : a ^ b Û ^ Góc giữa d và mp (a): Ÿ Tìm vtcp của d.; vtpt của (a) có Cách viết PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng CHÉO NHAU d1 ; d2 Ÿ d1 có vtcp ;d2 có vtcp Ÿ Lấy điếm A Î d1 Þ tọa độ điểm A theo t1 Ÿ Lấy điếm B Î d2 Þ tọa độ điểm B theo t2 ¯ AB là đường vuông góc chung Û Ÿ Giải hệ trên ta tìm được t1 và t2 Þ tọa độ A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.