Nguyên nhân các sai lầm về phương diện suy luận Logoc thông qua cấu túc đại số

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 16 (41) - Thaùng 5/2016 41 The reasons for errors in logical reasoning through algebraic structures rườ Đại học Sài Gòn Ph.D. Nguyen Ai Quoc, M.BA. Nguyen Thi Van Khanh Sai Gon University Tóm tắt Suy luận logic là một kĩ ă ần thiết đ i vớ ười học và nghiên cứ to đặc biệt là đ i với các s v ê à ư p ạm Toán. Tuy nhiên, thực tế giảng dạy cho thấy tồn tại một s sai lầm của sinh viên trong suy luận logic khi nghiên cứu các cấ trú đại s ơ bả ư óm và trường. Qua bài báo này, chúng tôi tìm hiểu các nguyên nhân sai lầm à t eo q a đ ểm dạy học truyền th ng, q a đ ểm d da t và q a đ ểm của thuyết hành vi bằng một khảo s t sư p ạm đ i vớ s v ê ăm nhất à ư p ạm Toán về các sai lầm trong suy luận logic khi nghiên cứu cấ trú đại s nhóm, từ đó ó t ể đề xuất các biệ p p sư p ạm giúp sinh viên cải thiệ p ươ p p ọc tập môn toán. Từ khóa: suy luận logic, sai lầm, cấu trúc đại số Abstract Logical reasoning is a necessary skill for Mathematics learning and research, especially for the students of Mathematics Pedagogy. However, the reality in the teaching of mathematics still comes up against st de ts’ errors lo al reaso w e t e st d t e bas al ebra str t res as ro ps r s a d fields. Through this article, we look into the causes of these errors based on viewpoints in traditional teaching method, didactics and behaviorism with a pedagogic survey on freshmen of Mathematics Pedagogy as to their logical reasoning when they study the algebraic structure of group. We hope to be able to propose the methodology measures to help the students improve their learning methods in Mathematics. Keywords: logical reasoning, error, algebraic structure 1. Hiện trạng Học phầ Đại s đạ ươ (t ờ lượng 60 tiết) dành cho sinh viên loại hình chính quy bậ Cao đẳng và bậ Đại họ à ư phạm Toán tại khoa Toán - Ứng dụng trườ Đại học Sài Gò được học ở học kỳ 2 sa k s v ê được học các học phần Giải tích (45 tiết) Đại s tuyến tính (45 tiết) và Lý thuyết s (45 tiết). Qua nhiều ăm ảng dạy học phần này, cụ thể là dạy khái niệm các cấ trú đại s , chúng tôi nhận thấy có khá nhiều sinh viên khi chứng minh một cấ trú óm và a trường, em t ường mắc sai lầm trong suy luận 42 logic khi tìm và chứng minh các phần tử ơ bản (phần tử trung lập, phần tử đ i xứng). Khảo s t sa được chúng tôi tiến hành vào 01/2015 trên 55 sinh viên thuộc hai bậ Cao đẳ (16 s v ê ) và Đại học (39 s v ê ) à ư p ạm Toán của khoa Toán - Ứng dụ trườ Đại học Sài Gòn với câu hỏi: “Trên tập số thực R, với R cho trước, ta định nghĩa 1 phép toán 2 ngôi “*” như sau: , , *x y R x y x y      . Chứng minh (R, *) là một nhóm Abel”, chúng tôi nhận thấy có hai sai lầm khá phổ biế l ê q a đến việ x đ nh phần tử trung lập và phần tử đ i xứng trong các câu trả lời của s v ê ư sa : Sai lầm 1: Sai lầm 2: Từ đó ú tô đã t ực hiện một th ng kê trên hai loại sai lầm à ư sa : Sai lầm Cao đẳng (16 sinh viên) Tỉ lệ Đại học (39 sinh viên) Tỉ lệ Tổng (55 sinh viên) Tỉ lệ Sai lầm 1 4 25% 20 51% 24 44% Sai lầm 2 4 25% 23 59% 27 49% 2. Đặt vấn đề Từ hiện trạ trê ú tô đặt ra câu hỏi nguyên nhân của các sai lầm này là gì? Có phải nguyên nhân của các sai lầm là do sự bất cẩn trong suy luận của các em hay do các em thiế kĩ ă s l ận vì các kiến thức về mệ đề và p ươ p p s l ận logic chỉ xuất hiện rãi rác trong các học phần toán cao cấp trướ đó mà ưa được trang b đầ đủ và theo hệ th ng? Vì vậy, việc nghiên cứu và làm sáng tỏ các sai lầm này là rất cần thiết trong việ đào tạo sinh v ê sư p ạm à o đặc biệt việc làm rõ nguyên nhân của chúng sẽ úp đưa ra các biện pháp khắc phục sai lầm o ười học, nghiên cứu và dạy học Toán sau này. 43 3. Phần tử trung lập, phần tử đối xứng trong cấu trúc nhóm Khái niệm phần tử trung lập, phần tử đ i xứ đượ đ ĩa ư sa : - Phần tử trung lập [4, trang 9] Giả sử đã cho một phép toán trong tập X. Một phần tử e của X gọi là một đơn vị trái của phép toán nếu và chỉ nếu ex = x với mọi x  X. Tương tự, một phần tử e của X gọi là một đơn vị phải của phép toán nếu và chỉ nếu xe = x với mọi x  X. Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là một đơn vị trái vừa là một đơn vị phải, thì e gọi là một đơn vị, hoặc một phần tử trung lập của phép toán. - Phần tử đ i xứng [4, trang 15] Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có các tính chất sau: 1. có phần tử trung lập e; 2. với mọi x X, có một x’ X sao cho x’x = xx’ = e (phần tử x’ gọi là một phần tử đối xứng hay nghịch đảo của x) C đ ĩa trê được phát biểu bằng ngôn ngữ mô tả, chúng có thể được đ ĩa dưới hình thức mệ đề logic lượng từ thông qua các ký hiệu toán học sau: X ó p ầ tử tr lập nếu và chỉ nếu e X: ex = x = xe, x X Mọ p ầ tử x  X ó p ầ tử đ xứ x’ X nếu và chỉ nếu x X, x’ X: x’x = xx’ = e C ú ta ầ ú ý trật tự ủa lượ từ tro p t b ể trê là rất q a trọ trật tự sa sẽ làm t a đổ ộ d ủa mệ đề Một lư ý k ứ m p ầ tử tr lập và p ầ tử đ xứ bao ồm a a đoạ một là a đoạ tìm (e X, x’ X) và a là a đoạn kiểm chứng các phần tử tìm thấ đó ó t ỏa mãn các thuộc tính (bên trái, bên phải) của chúng hay không. 4. Sai lầm và các nguyên nhân sai lầm theo một số quan điểm 4.1. Quan điểm dạy học truyền thống 4.1.1. Khái niệm sai lầm trong dạy học truyền thống “ a lầm khi giả o là đ ều trái với quy luật khách quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm đ ĩa t ê đề đ nh lý, quy luật, quy tắ p ươ p p suy luận,) dẫn tớ k ô đạt được yêu cầu của việc giả o ” [5 tra 8] 4.1.2. Các nguyên nhân sai lầm trong dạy học truyền thống Theo Lê Th ng Nhất, có 4 nguyên nhân về kiến thức của học sinh dẫ đến sai lầm khi giả o ư sa : Nguyên nhân 1: Hiể k ô đầ đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm Toán học; [5, trang 63] Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc logic của đ nh lý; [5, trang 67] Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về logic; [5, trang 70] Nguyên nhân 4: Học sinh không nắm vữ p ươ p p ả bà to ơ bản. [5, trang 74] ư vậy, sai lầm 1 và sai lầm 2 ở trên của sinh viên thực ra chỉ thuộc một loại sai lầm và có thể giải thích bởi nguyên nhân 1 và ê 3 tro đó s v ê đã hiể k ô đầ đủ và chính xác khái niệm phần tử trung lập và phần tử đ i xứ ũ ư k ô đủ kiến thức cần thiết về logic mệ đề. Việc chứng minh mệ đề logic tươ đươ với khái niệm của các phần tử à đòi hỏi phải thực hiệ a a đoạn bao gồm a đoạn tìm kiếm và a đoạn kiểm chứng các thuộc tính mà các phần tử đó p ải thỏa mãn. Cụ thể ơ sa lầm của sinh viên là chỉ thực hiệ a đoạn tìm kiếm mà ưa t ực hiện kiểm chứ để 44 làm đầ đủ và chính xác khái niệm phần tử trung lập và phần tử đ i xứng. 4.2. Quan điểm didactic 4.2.1. Khái niệm sai lầm trong didactic Các học thuyết kiến tạo gán cho sai lầm và sự nhận ra sai lầm một vai trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức, bởi vì khi tạo ra sự mất cân bằng trong hệ tư d ủa chủ đề, việc nhận ra sai lầm tạo đ ều kiện thuận lợ để vượt qua nó và làm nảy sinh một thế cân bằ a tă mới. 4.2.2. Các nguyên nhân sai lầm trong didactic “Đ đề của trường phái Bachelard khẳ đ nh rằng trong l ch sử các bộ môn khoa học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thứ ” [1 tra 57] eo Bro ssea : “ a lầm không chỉ đơ ản là do thiếu hiểu biết mơ ồ hay ngẫ ê s ra () mà ò là ậu quả của một kiến thứ trướ đ đã từng tỏ ra ó í đem lạ t à ô ư b ờ lại tỏ ra sai hoặ đơ ản là không còn thích hợp nữa. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất t ường hay không dự đo được. Chúng tạo t à ướng ngại. Trong hoạt động của o v ê ũ ư trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ ũ óp p ần xây dự ê ĩa ủa kiến thức thu nhậ đượ ” [1, trang 57] Các công trình nghiên cứu của Salin ( al 1976) đã vạ ra đặ trư ận thức của sai lầm mà được xem là chủ yếu cho sự phát triển của hệ sai lầm trong didactic. “ eo al ữ đặ trư ấy là: một mặt, sai lầm là một p ươ d ện của một kiến thứ đ i với một kiến thức khác (ở cùng một chủ thể, có thể đó là một kiến thức mớ đ i với một kiến thứ ũ) mặt khác chỉ có thể hiểu sự tồn tại của một sai lầm nế ư t động trở lại của môi trườ đượ xem ư bằng chứng của một thất bại” [1 tra 59] eo q a đ ểm này, có thể giải thích sai lầm 1 và sai lầm 2 của sinh viên có nguồn g c từ “s l ận logic không đầ đủ” mà k ò là ọc sinh phổ thông đô k em ặp phải do hoàn cả sư phạm mang lại. Chẳng hạn: - X đ nh quỹ tí đ ểm thỏa mãn một tính chất hình họ o trước ở Trung họ ơ sở hiện nay chỉ thực hiệ a đoạn tìm mà không kiểm tra tập đ ểm tìm được có thỏa mãn tính chất hình họ đã o a không. - Giả p ươ trì đa t ức ở cấp Trung họ ơ sở và hai lớp đầu cấp Trung học phổ thông mặ ê được thực hiện trên tập hợp các s thự R do đó v ệc tìm tập x đ nh của p ươ trì t ô q a việ tìm đ ều kiệ để hai vế của p ươ trì đã o ó ĩa k ô được thực hiện và nghiệm tìm được mặc nhiên là thỏa p ươ trì “ tắ ” à sa đó đã được thực hiện một “tự ê ” o quá trình suy luận logic trong các bài toán k ư ả p ươ trì p t ức hữu tỷ p ươ trì vô tỷ a p ươ trì lượng giác. - Ở cấp Trung học phổ thông, hiện tượng tìm nghiệm của một p ươ trì ó đ ều kiện mà không thực hiện việc kiểm chứng nghiệm tìm được có thỏa mãn tập x đ nh của p ươ trì đó xảy ra khá phổ biến ở họ s được xem là sự áp dụng các quy tắc giả p ươ trì đa t ức trên tập s thực R. Hiệ tượng này xảy ra t ườ x ê và đô k da dẳng ở cùng một chủ thể qua nhiều cấp lớp ở cả Trung họ ơ sở và Trung học phổ thông. Tóm lạ “s l ậ lo k ô đầy 45 đủ” à p ần nào hình thành một thói quen tiếp cậ k ô đầ đủ và chính xác một khái niệm Toán học ở học sinh và sinh viên. 4.3. Quan điểm của thuyết hành vi 4.3.1. Khái niệm sai lầm của thuyết hành vi Theo thuyết hành vi, sai lầm là một hiệ tượng tiêu cực, có hại cho việ lĩ hội kiến thứ và do đó ần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục. 4.3.2. Các nguyên nhân sai lầm theo thuyết hành vi eo Lê ă ến (2006), có 4 nguyên t ường gặp của học sinh dẫ đến sai lầm khi giả o ư sa : Nguyên nhân 1: Do học sinh bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấ đề cần giải quyết; Nguyên nhân 2: Do học sinh không nắm vững kiến thứ đã ọc, yế kĩ ă và khả ă s l ận; Nguyên nhân 3: Do học sinh thiếu hụt kiến thức; Nguyên nhân 4: Do giáo viên trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải t í k ô đủ rõ ràng. Dưới góc nhìn của thuyết hành vi, sai lầm của sinh viên có thể giải thích bởi ê 2 s v ê đã k ô ắm vững kiến thức khái niệm phần tử trung lập và phần tử đ i xứ ũ ư ưa đủ kĩ ă và p ươ p p s l ận. 5. Kết luận Tóm lạ t eo q a đ ểm dạy học truyền th ng, sai lầm nêu trên về p ươ diện logic của sinh viên trong việ x đ nh phần tử trung lập và phần tử đ i xứ đều xuất phát từ hai nguyên nhân sau: - v ê đã k ô ể đầ đủ và chính xác khái niệm phần tử trung lập và phần tử đ i xứng của một nhóm. - Sinh viên thiếu các kiến thức cần thiết về logic mệ đề. eo q a đ ểm didactic, nguyên nhân sai lầm ê trê là “s l ận logic không đầ đủ” mà ọ s và s v ê t ường tiếp cận khi còn học ở phổ thông do hoàn cả sư p ạm mang lại. Theo qua đ ểm của thuyết hành vi, nguyên nhân sai lầm trê là “ ế kĩ ă và khả ă s l ậ ” do s v ê ưa ó kĩ ă và p ươ p p s l ận logic. Bài báo này không nhằm so sánh cách giải thích nguyên sai lầm t eo q a đ ểm dạy học truyền th q a đ ểm didactic a q a đ ểm của thuyết hành vi mà chỉ mu n làm sáng tỏ các nguyên nhân này theo nhiều góc nhìn khác nhau. Dù nguyên nhân sai lầm theo bất kỳ q a đ ểm nào, chúng tôi vẫn cho rằng sai lầm này chủ yếu do s v ê k ô được trang b đầ đủ và hệ th ng các kiến thức cần thiết để các em ì t à kĩ ă và p ươ p p s luận logic. Để khắc phục các loại sai lầm này ở sinh viên, các biệ p p sư p ạm cần thiết sẽ được chúng tôi nghiên cứ và đề xuất trong bài báo tiếp theo. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Th Hoài C Lê ă ến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic Toán xb Đại học qu c gia TP.HCM. 2. C ươ trì đào tạo (2 12) PL3_SoDoCay_DTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học kỳ và năm học của các học phần do khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn quản lý. Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc đào tạo: Đại học, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Toán - Ứng dụ rườ Đại học Sài Gòn. 3. C ươ trì đào tạo (2 12) PL3_SoDoCay_CTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học kỳ và năm học của các học phần do khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn quản lý. Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc 46 đào tạo: Cao đẳng, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Toán - Ứng dụ rườ Đại học Sài Gòn. 4. oà X í (C ủ biên) - rầ ươ Dung (2003), Đại số đại cương xb Đại học ư ạm. 5. Lê Th ng Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án phó Tiế sĩ k oa ọ ư p ạm - Tâm lý. 6. Lê ă ến (2006), “Sai lầm của học sinh nhìn từ ó độ các lí thuyết về học tập”, Tạp chí Giáo dục, s 137. 7. Salin Marie Helène (1976), Le rôle de l’erreur dans l’apprentissage des mathématiques de l’école primaire, bl at o s de l’IREM de Bordea x WEBSITE 8. m_content&view=article&id=2663:chng- trinh-ao-to-chu-ki-2012- 2016&catid=195:tbaotruong&Itemid=609. 9. cua-le-thong-nhat.html. à ậ bà : 12/4/2016 B ê tập xo : 15/5/2016 Duyệt đă : 20/5/2016