Ngưng tụ của vật chất trong mô hình sigma tuyến tính của hệ pha trộn hai thành phần - Lê Viết Hòa

HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1059.2019-0004 Natural Sciences, 2019, Volume 64, Issue 3, pp. 36-44 This paper is available online at NGƯNG TỤ CỦA VẬT CHẤT TRONG MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN TÍNH CỦA HỆ PHA TRỘN HAI THÀNH PHẦN Lê Viết Hòa1, Nguyễn Tuấn Anh2, Đặng Thị Minh Huệ3 và Đinh Thanh Tâm4 1Khoa Vật lí, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2Khoa Công nghệ Năng lượng, Trường Đại Học Điện Lực 3Khoa Năng lượng, Trường Đại Học Thủy Lợi 4Khoa Toán - Lí - Tin, Trường Đại Học Tây Bắc Tóm tắt. Bài báo khảo sát hiện tượng ngưng tụ vật chất trong hệ pha trộn hai thành phần trên cơ sở mô hình lí thuyết trường sigma tuyến tính. Thu được biểu thức của thế hiệu dụng Corwall-Jakiw-Tomboulis (CJT) trong gần đúng HF và từ đó rút ra các phương trình khe đối với các mật độ ngưng tụ và các phương trình SD cho hàm truyền. Các kết quả tính số chứng tỏ trong hệ có thể tồn tại hai kịch bản ngưng tụ là chỉ có một loại hoặc cả hai loại ngưng tụ nhưng không đồng thời tùy thuộc vào ảnh hưởng của nhiệt độ hay thế hóa. Các quá trình ngưng tụ này đều thuộc chuyển pha loại II dù ngưng tụ do hiệu ứng nhiệt hay do hiệu ứng lượng tử. Từ khóa: Tác dụng hiệu dụng CJT, định lí Goldstone, mô hình sigma, phương trình khe (gap), phương trình Schwinger-Dyson (SD). 1. Mở đầu Trong những năm gần đây nhiều công trình [1-3] liên quan đến chuyển pha, sự phá vỡ và phục hồi đối xứng, sự ngưng tụ Bose-Einstein đã được thực hiện trong khuôn khổ mô hình sigma tuyến tính vì mô hình này được coi là thích hợp nhất cho lí thuyết về các hiện tượng ở năng lượng thấp của sắc động lực học lượng tử (QCD). Tuy nhiên có một khó khăn nghiêm trọng liên quan đến việc tái chuẩn hóa thế hiệu dụng thỏa mãn định lí Goldstone. Ngoài ra các mô hình trước đây chủ yếu mới hạn chế ở một trường (có thể có nhiều thành phần) hoặc hai trường trong trường hợp phi tương đối tính. Do đó việc mở rộng mô hình để mô tả hệ pha trộn hai thành phần trong trường hợp tương đối tính là hết sức cần thiết vì nó cho phép làm sáng tỏ nhiều hiệu ứng liên quan đến cấu trúc nội tại của các sao compac kiểu như sao nơtron [4, 5], hay sự tồn tại của chất quac trong pha màu-vị bị giam hãm ở mật độ đủ lớn và nhiệt độ thấp [6]. Bài báo này trình bày những kết quả nghiên cứu bước đầu theo hướng đó. Ngày nhận bài: 19/1/2019. Ngày sửa bài: 4/3/2019. Ngày nhận đăng: 11/3/2019. Liên hệ: Lê Viết Hòa, địa chỉ e-mail: hoalv@hnue.edu.vn 36 Ngưng tụ của vật chất trong mô hình sigma tuyến tính của hệ pha trộn hai thành phần 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Các hệ thức tán sắc Chúng ta nghiên cứu sự ngưng tụ của vật chất trong hỗn hợp hai thành phần được mô tả bằng mật độ Lagrangien: L = (∂0φ∗)(∂0φ)− (∂aφ∗)(∂aφ)− iµ1[(∂0φ∗)φ− φ∗(∂0φ)] + (µ21 −m21)(φ∗φ) + (∂0ψ∗)(∂0ψ)− (∂aψ∗)(∂aψ)− iµ2[(∂0ψ∗)ψ − ψ∗(∂0ψ)] + (µ22 −m22)(ψ∗ψ) − λ1(φ∗φ)2 − λ2(ψ∗ψ2 − λ(φ∗φ)(ψ∗ψ). (2.1) Ở đây a = 1, 2, 3; ∂a = ∂ ∂xa , ∂0 = ∂ ∂x0 ;φ = 1√ 2 (φ1 + iφ2), ψ = 1√ 2 (ψ1 + iψ2). (2.2) Bằng phép dịch trường φ→ φ0 + 1√ 2 ( φ1 + iφ2 ) ; ψ → ψ0 + 1√ 2 ( ψ1 + iψ2 ) , (2.3) có thể viết lại Lagrangian (2.1) dưới dạng: L = L0 + L1 + L2, (2.4) trong đó L0 = (µ 2 1 −m21)φ20 + (µ22 −m22)ψ20 − λ1φ40 − λ2ψ40 − λφ20ψ20 , (2.5a) L1 = 1 2 (∂0φ1) 2− 1 2 (∂aφ1) 2 + µ2 1 −m2 1 2 φ21 − ( 3λ1φ 2 0 + λ 2 ψ20 ) φ21 + 1 2 (∂0φ2) 2 − 1 2 (∂aφ2) 2 + µ2 1 −m2 1 2 φ22 − ( λ1φ 2 0 + λ 2 ψ20 ) φ22 + 1 2 (∂0ψ1) 2 − 1 2 (∂aψ1) 2 + µ2 2 −m2 2 2 ψ21 − ( λ 2 φ20 + 3λ2ψ 2 0 ) ψ21 + 1 2 (∂0ψ2) 2 − 1 2 (∂aψ2) 2 + µ2 2 −m2 2 2 ψ22 − ( λ 2 φ20 + λ2ψ 2 0 ) ψ22 + µ1 [ (∂0φ1)φ2 − φ1(∂0φ2) ] + µ2 [ (∂0ψ1)ψ2 − ψ1(∂0ψ2) ] , (2.5b) L2 = −λ1 4 (φ21 + φ 2 2) 2 − λ2 4 (ψ21 + ψ 2 2) 2 − λ 4 (φ21 + φ 2 2)(ψ 2 1 + ψ 2 2)− µ1 √ 2φ0(∂0φ1) − µ2 √ 2ψ0(∂0ψ1) + (µ 2 1 −m21) √ 2φ0φ1 + (µ 2 2 −m22) √ 2φ0ψ1 − λ1 √ 2φ0φ1(2φ 2 0 + φ 2 1 + φ 2 2)− λ2 √ 2ψ0ψ1(2ψ 2 0 + ψ 2 1 + ψ 2 2)− 2λρσφ1φ2 − λ 2 [√ 2φ0φ1(2ψ 2 0 + ψ 2 1 + ψ 2 2) + √ 2ψ0ψ1(2φ 2 0 + φ 2 1 + φ 2 2) ] . (2.5c) 37 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ và Đinh Thanh Tâm Từ đây ta thu được các biểu thức của nghịch đảo hàm truyền ở mức cây trong biểu diễn xung lượng: iD−1 0 (k;φ0, ψ0) = ( ω2n − ~k2 −m21 2iµ1ωn −2iµ1ωn ω2n − ~k2 −m22 ) iG−1 0 (k;φ0, ψ0) = ( ω2n − ~k2 −m23 2iµ2ωn −2iµ2ωn ω2n − ~k2 −m24 ) . (2.6) Ở đây m21 = −µ21 +m21 + 6λ1φ20 + λψ20 ; m22 = −µ21 +m21 + 2λ1φ20 + λψ20 ; m23 = −µ22 +m22 + λφ20 + 6λ2ψ20 ; m24 = −µ22 +m22 + λφ20 + 2λ2ψ20 . (2.7) Mặt khác, thế cổ điển thu được trực tiếp từ (2.1) có dạng: U = (µ21 −m21)φ20 + (µ22 −m22)ψ20 + λ1φ40 + λ2ψ40 + λφ20ψ20 . (2.8) Do đó cực tiểu của nó dẫn đến (khi φ0 6= 0, ψ0 6= 0) các phương trình: δU δφ0 = 0 ⇒ −µ21 +m21 + 2λ1φ20 + λψ20 = 0, δU δψ0 = 0 ⇒ −µ22 +m22 + λφ20 + 2λ2ψ20 = 0. (2.9) Các phương trình (2.6) và (2.9) trực tiếp sinh ra các hệ thức tán sắc mà trong trường hợp |~k| ≪ 1 chúng có dạng: ω1− ≈ √ λ1φ20 λ1φ20 + µ 2 1 |~k|, ω2− ≈ √ λ2ψ20 λ2ψ20 + µ 2 2 |~k|. (2.10) Những biểu thức vừa nhận được mô tả hai boson không khối lượng được sinh ra do sự phá vỡ đối xứng SU(2) × U(1)→ U(1) theo đúng định lí Goldstone. 2.2. Thế nhiệt động ở gần đúng HF Tiếp theo ta sẽ tính thế hiệu dụng ở gần đúng HF cũng tức là gần đúng ở giản đồ bong bóng kép. Để làm điều này, ta tiến hành các tính toán như trong [3] và kết quả thu được là thế hiệu dụng 38 Ngưng tụ của vật chất trong mô hình sigma tuyến tính của hệ pha trộn hai thành phần CJT ở nhiệt độ hữu hạn V CJTβ (φ0, ψ0,D,G) trong gần đúng HF: V CJTβ (φ0, ψ0,D,G) = (−µ21 +m21)φ20 + (−µ22 +m22)ψ20 + λ1φ40 + λ2ψ40 + λφ20ψ20 + 1 2 ∫ β tr { lnD−1(k) + lnG−1(k) +D−1 0 (k;φ0, ψ0)D +G −1 0 (k;φ0, ψ0)G− 21 } + 3λ1 4 [ ∫ β D11(k) ]2 + 3λ1 4 [ ∫ β D22(k) ]2 + λ1 2 [ ∫ β D11(k) ][ ∫ β D22(k) ] + 3λ2 4 [ ∫ β G11(k) ]2 + 3λ2 4 [ ∫ β G22(k) ]2 + λ2 4 [ ∫ β G11(k) ][ ∫ β G22(k) ] + λ 4 [ ∫ β D11(k) ][ ∫ β G11(k) ] + λ 4 [ ∫ β D11(k) ][ ∫ β G22(k) ] + λ 4 [ ∫ β D22(k) ][ ∫ β G11(k) ] + λ 4 [ ∫ β D22(k) ][ ∫ β G22(k) ] . (2.11) Ở đây Daa, Gaa, (a = 1, 2) tương ứng là các thành phần của hàm truyền của các trường φ,ψ và để cho gọn chúng ta cũng sử dụng ký hiệu như trong [3]: ∫ β f(k) = 1 β n=∞∑ n=−∞ ∫ d3k (2π)3 f(ωn, ~k); ωn = 2nπ/β; β = 1/T. (2.12) Dựa vào (2.11) chúng ta thu được các phương trình sau: * Các phương trình khe (gap) cho các mật độ ngưng tụ φ0, ψ0 −µ21 +m21 + 2λ1φ20 + λψ20 +Σφ1 = 0, −µ22 +m22 + λφ20 + 2λ2ψ20 +Πψ1 = 0. (2.13) *Các phương trình Schwinger-Dyson (SD) cho hàm truyền D−1(k) = ( ω2n + ~k2 +M2 1 −2µ1ωn, 2µ1ωn ω 2 n + ~k2 +M2 2 ) , G−1(k) = ( ω2n + ~k2 +M2 3 −2µ2ωn 2µ2ωn ω 2 n + ~k2 +M2 4 ) . (2.14) Ở đây M21 = −µ21 +m21 + 6λ1φ20 + λψ20 +Σφ1 = m21 +Σφ1 , M22 = −µ21 +m21 + 2λ1φ20 + λψ20 +Σφ2 = m22 +Σφ2 , M23 = −µ22 +m22 + λφ20 + 6λ2ψ20 +Πψ1 = m23 +Πψ1 , M24 = −µ22 +m22 + λφ20 + 2λ2ψ20 +Πψ2 = m24 +Πψ2 . (2.15) 39 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ và Đinh Thanh Tâm Σφ1 = 3λ1 ∫ β D11 + λ1 ∫ β D22 + λ 2 ∫ β G11 + λ 2 ∫ β G22, Σφ2 = λ1 ∫ β D11 + 3λ1 ∫ β D22 + λ 2 ∫ β G11 + λ 2 ∫ β G22, Πψ1 = λ 2 ∫ β D11 + λ 2 ∫ β D22 + 3λ2 ∫ β G11 + λ2 ∫ β G22, Πψ2 = λ 2 ∫ β D11 + λ 2 ∫ β D22 + λ2 ∫ β G11 + 3λ2 ∫ β G22. (2.16) Các phương trình (2.14) và (2.15) cho thấy định lí Goldstone không còn được thỏa mãn trong gần đúng HF. Do đó, việc tiếp theo là phải tiến hành điều chỉnh thế hiệu dụng để chúng thỏa mãn định lí đó. 2.3. Khôi phục định lí Goldstone Để thu được thế hiệu dụng thỏa mãn định lí Goldstone ta tiến hành như trong [7]. Cụ thể là bổ sung vào thế hiệu dụng V CJTβ (φ0, ψ0,D,G) một lượng ∆V CJT β có dạng: ∆V CJTβ = xλ1 [ 2PabPba − PaaPbb ] + yλ2 [ 2QabQba −QaaQbb ] + zλPaaQbb, (2.17) trong đó đã sử dụng kí hiệu Pab = ∫ β Dab(k), Qab = ∫ β Gab(k) ; a, b = 1, 2. (2.18) Khi đó ta thu được thế hiệu dụng mới: V CJT β (φ0, ψ0,D,G) = V CJT β (φ0, ψ0,D,G) + ∆V CJT β = (−µ21 +m21)φ20 + (−µ22 +m22)ψ20 + λ1φ40 + λ2ψ40 + λφ20ψ20 + 1 2 ∫ β tr { lnD−1(k) + lnG−1(k) +D−1 0 (k;φ0, ψ0)D +G −1 0 (k;φ0, ψ0)G− 21 } + 3λ1 4 P 211 + 3λ1 4 P 222 + λ1 2 P11P22 + 3λ2 4 Q211 + 3λ2 4 Q222 + λ2 2 Q11Q22 + λ 4 P11Q11 + λ 4 P11Q22 + λ 4 P22Q11 + λ 4 P22Q22 + xλ1 [ P 211 − P11P22 − P22P11 + P 222 ] + yλ2 [ Q211 −Q11Q22 −Q22Q11 +Q222 ] + zλ [ P11Q11 + P11Q22 + P22Q11 + P22Q22 ] . (2.19) Từ đây bằng cách đòi hỏi định lí Goldstone được thỏa mãn chúng ta sẽ tìm được x = y = −1/2, z = 0. Như vậy thế hiệu dụng mà trong đó định lí Goldstone được khôi phục có biểu thức: V CJT β (φ0, ψ0,D,G) = (−µ21 +m21)φ20 + (−µ22 +m22)ψ20 + λ1φ40 + λ2ψ40 + λφ20ψ20 + 1 2 ∫ β tr { lnD−1(k) + lnG−1(k) +D−1 0 (k;φ0, ψ0)D +G −1 0 (k;φ0, ψ0)G− 21 } + λ1 4 P 211 + λ1 4 P 222 + 3λ1 2 P11P22 + λ2 4 Q211 + λ2 4 Q222 + 3λ2 2 Q11Q22 + λ 4 P11Q11 + λ 4 P11Q22 + λ 4 P22Q11 + λ 4 P22Q22, (2.20) 40 Ngưng tụ của vật chất trong mô hình sigma tuyến tính của hệ pha trộn hai thành phần Dựa vào (2.20) chúng ta thu được các phương trình khe và SD mới thay cho (2.9) và (2.10): −µ21 +m21 + 2λ1φ20 + λψ20 + 3λ1P11 + λ1P22 + λ 2 Q11 + λ 2 Q22 = 0, −µ22 +m22 + λφ20 + 2λ2ψ20 + λ 2 P11 + λ 2 P22 + 3λ2Q11 + λ2Q22 = 0, (2.21) D−1(k) = ( ω2n + ~k2 +M2 1 −2µ1ωn 2µ1ωn ω 2 n + ~k2 ) , G−1(k) = ( ω2n + ~k2 +M2 3 −2µ2ωn 2µ2ωn ω 2 n + ~k2 ) . (2.22) Ở đây M21 = −µ21 +m21 + 6λ1φ20 + λψ20 + λ1P11 + 3λ1P22 + λ 2 Q11 + λ 2 Q22, M23 = −µ22 +m22 + λφ20 + 6λ2ψ20 + λ 2 P11 + λ 2 P22 + λ2Q11 + 3λ2Q22. (2.23) Các phương trình (2.20) - (2.23) chứa toàn bộ thông tin về các quá trình nhiệt động có thể xảy ra trong hệ. Tuy nhiên đó đều là những phương trình tích phân không có nghiệm dưới dạng giải tích. Vì thế để đi đến các kết luận có ý nghĩa vật lí rõ ràng, cần phải tiến hành tính số. Đây là một quá trình phức tạp và mục tiếp theo của bài báo này sẽ nêu lên một số kết quả bước đầu của quá trình này. 2.4. Một số kết quả tính số Trong mục này chúng tôi thực hiện tính số để nghiên cứu sự ngưng tụ của vật chất trong mô hình sigma tuyến tính của hệ pha trộn hai thành phần ứng với hai quá trình khi nhiệt độ thay đổi và khi thế hóa thay đổi. Đó là hai quá trình vật lí điển hình tương ứng với chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử. Để làm điều này, trước hết cần chọn các thông số cho mô hình. Dựa vào tài liệu [8] chúng tôi chọn các khối lượng và thế hóa tương ứng với kaon, cụ thể là m1 = 5MeV,m1 = 4MeV, µ1 = 4, 5MeV ; còn các hằng số liên kết được chọn là λ1 = 0, 0048MeV, λ2 = 0, 005MeV, λ = 0, 02MeV . * Ngưng tụ do hiệu ứng nhiệt Để khảo sát sự ngưng tụ do hiệu ứng nhiệt tức là do sự thay đổi nhiệt độ, chúng tôi chọn thế hóa cho trường ψ (khác một chút so với trường φ vì ở đây thực chất chúng ta đang xét các cặp hạt gần giống nhau như cặp kaon, cặp pion...) là µ2 = 2, 5MeV . Tiến hành giải số các phương (2.21) và (2.23) với các thông số đã chọn chúng tôi thu được sự phụ thuộc nhiệt độ của các mật độ ngưng tụ φ0 và ψ0 như trên Hình 1. Rõ ràng là trong trường hợp này chỉ tồn tại sự ngưng tụ của trường ψ. Hơn nữa khi nhiệt độ tăng thì mật độ ngưng tụ ψ0, mà nó xuất hiện ở nhiệt độ gần T = 0, giảm đơn điệu về không. Đó là dấu hiệu của chuyển pha loại II tại nhiệt độ tới hạn Tc1 = 0, 25K . Kết quả này hoàn toàn phù hợp với sự phụ thuộc nhiệt độ củaM2 1 vàM2 2 được cho trên Hình 2 mà ở đó chỉ cóM2 2 mới có phần dương tương ứng với sự tồn tại của ψ0. 41 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ và Đinh Thanh Tâm Hình 1. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các mật độ ngưng tụ φ0 và ψ0 Hình 2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các bình phương khối lượng hiệu dụngM2 1 vàM2 2 * Ngưng tụ do hiệu ứng lượng tử Sự ngưng tụ do hiệu ứng lượng tử là sự ngưng tụ khi thay đổi thế hóa tại một nhiệt độ xác định. Hình 3 biểu diễn sự phụ thuộc thế hóa µ2 của φ0 và ψ0 tại nhiệt độ T = 0, 26K . Như có thể thấy trên hình này, khi thế hóa µ2 tăng, mật độ ngưng tụ ψ0 giảm dần về không và sau đó được thay thế bởi mật độ ngưng tụ φ0. Với µ2c1 = 2, 96MeV < µ2 < µ2c2 = 3, 74MeV có một vùng trống tương ứng với không tồn tại cả hai loại ngưng tụ. Hơn nữa sự biến thiên đơn điệu của φ0 và ψ0 cũng cho thấy dấu hiệu về chuyển pha loại II. Sự phụ thuộc thế hóa của các khối lượng hiệu dụng được biểu diễn trên Hình 4 cũng phù hợp với những nhận xét trên: cảM2 1 vàM2 2 đều có phần dương nhưng ngăn cách nhau bởi một vùng trống. 42 Ngưng tụ của vật chất trong mô hình sigma tuyến tính của hệ pha trộn hai thành phần Hình 3. Sự phụ thuộc thế hóa µ2 của các mật độ ngưng tụ φ0 và ψ0 Hình 4. Sự phụ thuộc µ2 của các bình phương khối lượng hiệu dụngM21 vàM 2 2 3. Kết luận Trong khuôn khổ bài báo này, với cách tiếp cận dựa vào hình thức luận tác dụng hiệu dụng CJT chúng tôi khảo sát sự ngưng tụ của vật chất trong hệ pha trộn hai thành phần được mô tả bởi mô hình lí thuyết trường sigma tuyến tính. Những kết quả chính là: 1-Thu được biểu thức của thế hiệu dụng CJT mà nó thỏa mãn định lí Goldstone. Từ đó nhận được các phương trình khe đối với các mật độ ngưng tụ và các phương trình SD cho hàm truyền. 2-Các kết quả tính số bước đầu cho phép nhận xét rằng có thể tồn tại hai kịch bản của sự ngưng tụ là: chỉ có sự ngưng tụ của một thành phần hoặc cả hai (nhưng không đồng thời) tùy thuộc 43 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ và Đinh Thanh Tâm vào ảnh hưởng của nhiệt độ hay thế hóa. Hơn nữa dù là sự ngưng tụ do hiệu ứng nhiệt hay lượng tử thì các quá trình này đều thuộc chuyển pha loại II. Để có những kết luận đầy đủ về các quá trình nhiệt động xảy ra trong hệ cần phải tiến hành nghiên cứu số một cách toàn diện về cấu trúc pha của hệ, đó chính là hướng nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới. Lời cảm ơn. Bài báo này nằm trong khuôn khổ của Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ số B2015-25-33 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G. Amelino-Camelia, 1997. Phys. Lett. B 407, 268, hepph/ 9702403. [2] J.T. Lenaghan, D.H. Rischke, 2000. J. Phys. G 26, 431, nucl-th/9901049. [3] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh and Le Viet Hoa, 2004. On the chiral phase transition in the Linear Sigma Model, European Physical Journal A. Vol. 19, Number 3, p. 359. [4] M. Prakash, I. Bombaci, P. I. Ellis, J. M. Lattimer and R. Knorren, 1997. Phys. Rep. 280, 1 and references herein. [5] J. A. Pons, S. Reddy, P. J. Ellis, M. Prakash and J. M. Lattimer, 2000. Phys. Rev. C 62, 035803. [6] M. G. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek, 1999. Nucl. Phys. B537, 443. [7] Yu. B. Ivanov, F. Riek and J. Knoll, 2005. Phys. Rev. D 71, 105016. [8] M. G. Alford, M. Braby and A. Schmitt, 2008. J. Phys. G 35, 025002. ABSTRACT The condensation of the matter in the linear sigma model of the two-component mixing system Le Viet Hoa1, Nguyen Tuan Anh2, Đang Thi Minh Hue3, Đinh Thanh Tam4 1 Faculty of Physics, Hanoi National University of Education 2 Faculty of Energy Technology, Electric Power University 3 Faculty of Energy, Water Resources University 4 Faculty of Mathematics Physics - Informatics, University of Tay Bac The paper examines the phenomenon of condensation in the two-component mixing system based on the linear sigma field theory model. The expression of Corwall-Jakiw-Tomboulis (CJT) effective potential is obtained in HF approximation and thereby leaded to gap equations for condensate density and SD equations for the generators. The numerical results show that two condensation scenarios can exist in only one type or both types of condensation (but not simultaneously) depending on the effect of temperature or chemical potential. These condensation processes belong to the phase transition of second order whether condensation is due to thermal effects or due to quantum effects. Keywords: The CJT effective action, the Goldstone theorem, the linear sigma model, the gap equations, the Schwinger-Dyson (SD) equations. 44