Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số - Giải tích ở tỉnh Thanh Hóa - Nguyễn Hữu Hậu

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 59 - Thaùng 7/2018 62 Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số - Giải tích ở tỉnh Thanh Hóa A Study on Errors Made in Solving Algebra - Calculus Problems by High School Students in Thanh Hoa Province TS. Nguyễn Hữu Hậu, Trường Đại học Hồng Đức Nguyen Huu Hau, Ph.D., Hong Duc University Tóm tắt Bài báo trình bày thực trạng của sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số - Giải tích, nhận định của giáo viên về mức độ mắc sai lầm của học sinh (khảo sát 1008 học sinh, 66 giáo viên tại 25 lớp thuộc 05 trường của tỉnh Thanh Hóa. Kết quả nghiên cứu cho thấy, học sinh có nhiều sai lầm phổ biến khác nhau trong khi giải toán, giáo viên cũng cho rằng những sai lầm đó của học sinh là phổ biến, thường xuyên và đều thấy sự cần thiết phải có biện pháp hữu hiệu để tập luyện cho học sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình giải toán. Từ khóa: sai lầm, phân tích sai lầm, dạy học Đại số - Giải tích, dạy học giải toán. Abstract This paper presents the reality of errors made by high school students in solving Algebra- Calculus problems and of teachers’ comments on their errors (A survey on 1008 students, 66 teachers in 25 classes from 05 high schools in Thanh Hoa province). The results showed that students had many different common errors when solving math problems. The teachers thought that the errors are so common and frequent that it is neccessary to have effective methods to train the students to detect and correct the errors on their own. Keywords: errors, error analysis, teaching and learning Algebra - Calculus, teaching and learning mathematics. 1. Mở đầu Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh (HS), phải xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo [7]. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc NGUYỄN HỮU HẬU 63 năng lực giải toán của HS còn hạn chế do HS còn mắc nhiều sai lầm (SL). Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên (GV) chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các SL cho HS ngay trong các giờ học toán. Hơn nữa những SL này còn xuất phát từ HS, tác giả Bell và cộng sự cho rằng HS thường nhìn vào điểm số mà không nhìn vào các SL mắc phải, bởi vì họ muốn biết câu trả lời của mình là đúng hay điểm số đạt được trong bài kiểm tra là gì, mà không muốn đi xa hơn điểm số để nhìn lại để biết tại sao và làm thế nào mà mình lại nhận điểm số như vậy [2]. Vì điều này, HS nhiều khi gặp phải tình trạng SL nối tiếp SL, nhưng là cách duy nhất để cải thiện điểm số và tiếp thu kiến thức mới. Hơn nữa việc nghiên cứu các SL mà HS mắc phải sẽ là nguồn để GV có thể thiết kế các chiến lược dạy học hiệu quả nhằm hạn chế và từng bước loại bỏ chúng. Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò và sự cần thiết của việc sửa chữa SL của HS trong quá trình giảng dạy toán, G. Polia: “Con người phải biết học ở những SL và những thiếu sót của mình” [13, tr. 204], A.A. Stôliar: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các SL của HS” [1, tr. 105]; A.N. Kôlmôgôrôv “Năng lực bình thường của HS trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” [3, tr. 10]. R. Marzano [9] cũng xem phân tích SL của HS là biện pháp để mở rộng tinh lọc kiến thức và yêu cầu khi phân tích SL cần chú ý: phải xác định đó là SL gì, nguyên nhân nào dẫn đến SL và cách ngăn ngừa. Về thái độ cần thiết của GV đối với SL của HS, tác giả M. Lagutko [8] yêu cầu: (1) GV thừa nhận quyền bị SL của HS; (2) GV phải cố gắng hiểu biết SL đã xảy ra của HS; (3) trong quá trình dạy học, cần dạy cho HS các chiến lược hạn chế SL khi làm bài như kiểm tra lại đáp số, kiểm tra lại các bước biến đổi, kiểm tra lại việc tính toán, liên hệ với bối cảnh thực tiễn, sử dụng đồ thị, giải bài toán bằng các cách khác nhau. Về học tập môn toán, tác giả Legutko còn cho rằng, việc HS phạm lỗi là điều không thể tránh khỏi. Như vậy, có thể khẳng định rằng, các SL của HS trong giải toán là cần thiết và có thể khắc phục được. Các công trình nghiên cứu đề cập tới SL của HS khi giải toán còn tương đối ít, trong số đó có thể kể tới Luận án Phó tiến sĩ của tác giả Lê Thống Nhất “Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh PTTH thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải Toán” [10]. Công trình này đã xem xét các SL của HS ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn như chủ đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số... Cách phân tích như trên của tác giả có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu. Tuy nhiên, hạn chế ở chỗ: số lượng chủ đề kiến thức rất nhiều, khó kể hết, mà gộp lại như thế để thành các chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể. Các nhóm tác giả trong ”Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá” [11] và ”Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải Toán” [12] đều sắp xếp SL của HS theo từng chủ đề kiến thức. Tác giả Hodes và Nolting đã đề xuất 4 kiểu SL và giải thích như sau: lỗi bất cẩn, các lỗi này được bắt gặp một cách tự động sau khi xem xét lại bài làm của mình; lỗi khái niệm, các lỗi được tạo ra khi người học không hiểu các tính chất hay quy tắc được đề cập trong sách giáo khoa và bài giảng; lỗi áp dụng, các lỗi mà người học tạo ra khi họ biết các khái niệm đó nhưng không thể áp dụng vào tình huống hay câu hỏi cụ thể; lỗi quy trình, các lỗi này xuất hiện khi người học bỏ qua hoặc NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 64 hiểu sai các bước nhưng vẫn trả lời cho câu hỏi hay bài toán đó [6]. Cách sắp xếp SL dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức như các tác giả nói trên chưa thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả các kiểu SL cho HS. Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu SL thường gặp, như SL liên quan đến các thao tác tư duy, SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí... Có thể nói, việc nghiên cứu SL của HS khi giải toán nhìn từ góc độ hoạt động toán học, nghĩa là xem xét các SL theo phương diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán học còn tương đối ít. Để tìm hiểu những SL mà HS thường gặp phải trong giải toán đại số - giải tích ra sao, chúng tôi nghiên cứu trường hợp ở tỉnh Thanh Hóa với hai câu hỏi nghiên cứu chính: Trong giải toán đại số - giải tích, học sinh mắc phải SL phổ biến nào? Ý kiến của GV về mức độ thường xuyên của các SL của HS? 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Mô tả khảo sát Để thấy được thực trạng SL của HS khi giải toán đại số - giải tích ở trường THPT, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực tiễn ở 4 trường THPT tỉnh Thanh Hóa: THPT Đông Sơn 2; THPT Hàm Rồng; THPT Đào Duy Từ; THPT Hậu Lộc 2; THPT Thạch Thành 2, với sự tham gia của 1008 HS và 66 GV. Nghiên cứu này dựa trên một số phương pháp như: sau khi phân loại các SL của HS, chúng tôi dùng bảng hỏi để tìm hiểu ý kiến của GV về mức độ thường xuyên của các SL ở HS; phỏng vấn, đánh giá qua dự giờ; đánh giá qua việc nghiên cứu sản phẩm giáo dục (phân tích bài làm của HS ở một số bài kiểm tra trong năm học 2015-2016 để tìm và phân loại các SL của HS). Dưới đây là một số kết quả được rút ra từ quá trình nghiên cứu. Bảng 1: Số bài làm của học sinh được phân tích Trường Lớp Số bài THPT Đông Sơn 2 10A1 10A6 11A2 12A4 12A1 170 THPT Hàm Rồng 10A1 10A4 11B6 11B2 12C2 230 THPT Đào Duy Từ 10B2 10B5 11C4 12C2 12C5 225 THPT Hậu Lộc 2 10C1 11B4 11B6 12C1 12C4 205 THPT Thạch Thành 2 10C1 10C2 11B1 12A1 12A6 178 2.2. Tổng hợp và phân tích số liệu khảo sát 2.2.1. Về một số sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đại số - giải tích được thể hiện qua kết quả bài kiểm tra NGUYỄN HỮU HẬU 65 Bảng 2: Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đại số - giải tích Trường Các sai lầm Đông Sơn 2 (%) Hàm Rồng (%) Đào Duy Từ (%) Hậu Lộc 2 (%) Thạch Thành 2 (%) SL liên quan đến cảm nhận trực quan 35,2% 26,08% 27,55% 29,2% 33,7% SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí 40,58% 30% 31,1% 34,6% 38,2% SL liên quan đến nhận thức sự tương ứng 32,9% 25,65% 24,88% 27,3% 31,4% SL liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 41,17% 30,4% 32% 34,14% 39,3% SL liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 33,52% 26,95% 30,66% 27,31% 31,46% SL liên quan đến suy luận 42,94% 30,43% 31,11% 34,14% 39,32% SL liên quan đến thao tác tư duy 30,58% 22,6% 23,11% 25,36% 29,21% 2.2.2. Kết quả khảo sát giáo viên về mức độ mắc sai lầm của học sinh Chúng tôi sử dụng bảng hỏi nhằm tìm hiểu những sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải toán đại số - giải tích. Với câu hỏi: Thầy/ Cô cho biết hhi làm bài tập đại số và giải tích mức độ HS mắc phải sai lầm khi giải toán như thế nào đối với mỗi sai lầm sau? Thu thập số liệu và sử dụng phần mềm SPSS phân tích số liệu, chúng tôi thu được kết quả dưới đây: Bảng 3: Nhận định của GV về mức độ mắc sai lầm của học sinh Trường Các sai lầm Đông Sơn 2 Hàm Rồng Đào Duy Từ Hậu Lộc 2 Thạch Thành 2 Kết quả chung SL liên quan đến cảm nhận trực quan 0,36 0,41 0,43 0,45 0,33 0,396 SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí 0,40 0,41 0,45 0,46 0.38 0,42 SL liên quan đến nhận thức sự tương ứng 0,37 0,61 0,62 0,41 0,33 0,468 SL liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 0,38 0,42 0,44 0,46 0,36 0,412 SL liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 0,22 0,60 0,41 0,4 0,21 0,33 SL liên quan đến suy luận 0,39 0,21 0,23 0,29 0,35 0,294 SL liên quan đến thao tác tư duy 0,29 0,61 0,64 0,45 0,26 0,45 (Từ 0 đến 0,2: rất thường xuyên; từ 0,21 đến 0,4: thường xuyên; từ 0,41 đến 0,60: thỉnh thoảng; từ 0,61 đến 0,80: rất ít khi; từ 0,81 đến 1: chưa bao giờ). NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 66 2.2.3. Đánh giá chung Qua phân tích kết quả điều tra, chúng tôi cho rằng SL của HS khi giải toán rất đa dạng và có nhiều nguyên nhân khác nhau. Các GV được khảo sát đều cho rằng những SL đó xảy ra thường xuyên trong quá trình dạy học. Ngoài ra, kết quả thu được còn cho thấy thực tiễn phạm lỗi của học sinh tương hợp với quan điểm về lỗi của M. Legutko. Do vậy, để nâng cao hiệu quả dạy học môn giải tích ở trường phổ thông, trong quá trình dạy học GV cần chú ý ngăn ngừa và kịp thời sửa lỗi cho HS, cũng như hướng dẫn HS các cách hạn chế bị lỗi khi giải toán giải tích [5]. 2.3. Phân tích một số sai lầm trong bài làm của học sinh Trong mục này, để thấy rõ nguyên nhân SL của HS khi giải toán đại số - giải tích, chúng tôi ghi lại 7 sai lầm (có tính đại diện) của HS đã được chỉ ra trong Bảng 2. Để chỉ ra những lời giải có mắc phải SL, chúng tôi dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để bình luận và phân tích SL của HS. 2.3.1. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan Trực quan giúp cho ta phát hiện vấn đề, chẳng hạn có những bài toán về hình học, nếu như vẽ hình chính xác và thấy lặp đi lặp lại một số quy luật, thì nhiều khi có thể khám phá ra một vấn đề ẩn náu đằng sau những hình ảnh đó. Tuy nhiên, trong toán học không chấp nhận việc chứng minh mà trong đó không có những luận cứ rõ ràng. Vì vậy, trực quan chỉ là chỗ dựa để khám phá chứ không phải là phép chứng minh. Nếu không nhận thức được điều đó, nhiều khi ta sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan. Ví dụ 1: Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x. (?): Đặt g(x) = Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y 2x tương đương với hệ phương trình vô nghiệm      1 15 m 1 15 (!): Từ trực quan của hình vẽ HS nghĩ rằng cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng nghĩa là đồ thị hàm số không cắt đường thẳng . Nhưng thực ra đường thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm cực tiểu vẫn nằm khác phía so với đường thẳng y 2x . Lẽ ra HS phải giải như sau: Hàm số có cực đại và cực tiểu tương đương với m 3 . Gọi A , B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:   y 2x m , khi đó ; . Để A và B nằm về hai phía của đường thẳng , điều kiện cần và đủ là là giá trị cần tìm. 2.3.2. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí 2.3.2.1. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học Khảo sát điều tra 1008 HS cho thấy, trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên sẽ dẫn tới HS hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất của khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, 2x 2mx 5 y x 1      2x 2mx 5   2 g(1) 2m 6 0 x 2mx 5 2x x 1            y 2x  1 1x ; y  2 2x ; y 1 1 y 2x m   2 2 y 2x m   y 2x   1 1 2 22x y 2x y 0    2 2 6 m 2 2 6      NGUYỄN HỮU HẬU 67 nên việc không nắm và hiểu không đúng các khái niệm này làm cho học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới. Sai lầm về các khái niệm toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu là học kém môn toán. Vì vậy, có thể nói sự “mất gốc” của HS về kiến thức toán trước hết là sự “mất gốc” về các khái niệm toán học. Có nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới sự nhận thức khái niệm toán học một cách hình thức biểu hiện ở chỗ: + HS không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai; + Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm, nên diễn đạt và vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng minh). Ví dụ 2: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy. Lời giải (3): Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10, nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là 3 10 A 720 cách; Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ tự là 3 6 A 120 cách; Vậy, số cách bố trí 3 cặp nhảy là 6 3 10 6 A A 84600 . (!): Cách giải này HS mắc phải SL ở chỗ: tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạn nam và 3 bạn nữ. Giả sử có 3 bạn nam theo thứ tự là A, B, C ghép nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự là a, b, c, tức là có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c). Nếu lấy thứ tự khác của 3 bạn nam là A, C, B và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c, b thì ghép 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b) vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước. Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần. Lời giải đúng là: Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn là một tổ hợp chập 3 của 10 nên số cách chọn là 3 10 C ; tương tự số cách chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn nữ là 3 6 C . Với 3 bạn nam và 3 bạn nữ được chọn, ta xem có bao nhiêu cách ghép thành 3 cặp nhảy (tất nhiên mỗi cặp gồm một nam và một nữ). Giả sử 3 bạn nam là A, B, C và 3 bạn nữ là a, b, c thì mỗi cách ghép 3 cặp nhảy chẳng qua là một hoán vị của 3 nữ mà thôi (tất nhiên có thể coi là một hoán vị của 3 bạn nam thì kết quả vẫn thế). Vậy, số cách ghép 3 cặp nhảy cho 6 bạn này là 3!. Do đó, số cách bố trí 3 cặp nhảy là 3 3 10 6 C .C .3! 14400 . 2.3.2.2. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A B, trong đó A là giả thiết của định lí, B là kết luận của định lí. SL phổ biến khi học định lí do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận SL: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B, nên sử dụng B mà không nhớ A, có B suy ra có A, có A nhưng suy ra không phải B. Do chỉ chú trọng phương pháp giải trên trong quá trình áp dụng vào giải toán, HS áp dụng thiếu điều kiện, áp dụng đúng nhưng không chính xác; hoặc sử dụng định lí như định nghĩa. Đặc biệt là với những định lí HS bị  NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 68 “mất gốc” hoặc không hiểu bản chất, thì khi sử dụng họ không hiểu rõ phạm vi của chúng. Ví dụ 3: Giải phương trình   x 1 x x5 .8 500 (1) (?): Với điều kiện x 0 thì (1)       3x 3 x 3 x 3 2 x 3x x5 .2 5 .2 5 .2 1        x 3 x 3 ln5 .ln2 0 x Xét hàm số f(x) =       x 3 f(x) x 3 ln5 .ln2 x với x 0   , 2 3 f (x) ln5 ln2 0 x mọi x 0 , suy ra hàm số đồng biến. Mà f(3) 0 nên x 3 là nghiệm duy nhất. (!): Sai lầm trong lời giải trên ở chỗ: Hàm f(x) đồng biến trên và đồng biến trên , do đó phương trình f(x) 0 có không quá một nghiệm trên và có không quá một nghiệm trên , chứ không phải phương trình f(x) 0 có không quá một nghiệm trên  ¡ \ 0 . Như vậy, do f(3) 0 nên x 3 là nghiệm duy nhất trên , ngoài ra f(x) 0 vẫn có thể có nghiệm trên . Giải đúng như sau: (1)                    5 x 3x 3 ln2 (x 3) ln5 ln2 0 x 3 ln5 0 x log 2x x HS thường nhầm lẫn điều kiện cần và điều kiện đủ; chẳng hạn, dạy về cực trị có định lí: “Giả sử hàm số y f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại 0 x và , thì 0 x là một điểm cực trị của hàm số”. Hơn nữa: + Nếu thì 0 x là một điểm cực tiểu; + Nếu thì 0 x là một điểm cực đại. 2.3.3. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng Tư duy hàm có bốn tư tưởng chủ đạo, trong đó có việc “Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học...” [7]. Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, HS thường SL trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia vào bài toán. Điều đó, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số hoặc cần đặt ẩn phụ. Ví dụ 4: Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng  y 1sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị  4 2y x 2x . (?): Gọi điểm cần tìm là A (m; -1) thì đường thẳng qua A có hệ số góc k là   y k(x m) 1 . Đường thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ có nghiệm đối với ẩn x. Từ hệ trên, ta được phương trình (1). Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến thì (1) phải có ba nghiệm phân biệt. Mặt khác  2x 1 0 , do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để f(x) =  ;0  0;  ; 0  0;  0;  ;0  , 0 f (x ) 0 ,, 0 f (x ) 0 ,, 0 f (x ) 0 ,, 0 f (x ) 0 4 2 3 x 2x k(x m) 1 4x 4x k            2 2x 1 3x 4x.m 1 0    x 1  NGUYỄN HỮU HẬU 69    2f(x) 3x 4xm 1 0 có duy nhất một nghiệm khác , điều đó tương đương với . Vậy có hai điểm A nằm trên đường thẳng  y 1 mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị. (!): HS đã mắc phải SL khi nghĩ rằng có ba tiếp tuyến nghĩa là có 3 giá trị của x. Đúng ra có 3 tiếp tuyến tức là có 3 giá trị của k, tuy nhiên không phải mỗi giá trị của k tương ứng với một và chỉ một giá trị x. Mỗi giá trị x thì tạo ra một giá trị của k, nhưng có những giá trị k tạo ra nhiều giá trị x, chẳng hạn, với k 0 thì tồn tại 3 giá trị   x 0;x 1. Cách giải đúng của bài này phải là: Để có ba tiếp tuyến, trước hết phương trình (1) có không ít hơn 3 nghiệm theo ẩn x (vì mỗi x chỉ tạo ra một k). Tuy nhiên các nghiệm  x 1chỉ tạo ra được k 0 , do đó phương trình phải có hai nghiệm  1 2 x x khác , khác 0 sao cho tức . 2.3.4. Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” Chủ nghĩa hình thức trong nhận thức của HS thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức HS có sự phá vỡ nào đó mối quan hệ tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy” (dẫn theo [11]). Ví dụ 5: Tìm m để phương trình     2mx 2(m 1)x 3(m 2) 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn  1 2x 2x 1 . (?): HS cho rằng, 2 x là nghiệm lớn còn 1 x là nghiệm nhỏ, nên sau khi tìm được điều kiện có nghiệm, cần tìm từng nghiệm rồi thay vào hệ thức đã cho trong bài toán. Suy nghĩ như vậy làm mất sự bình đẳng giữa hai nghiệm, trong khi kỳ thực hai nghiệm này có vai trò như nhau; 1 2 x ,x chỉ là kí hiệu hình thức. Hơn nữa, nếu các nghiệm có chứa căn bậc hai thay vào được phương trình vô tỷ thì học sinh rất dễ giải sai. (!): Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*) Theo Định lí Viét và giả thiết thì x1, x2 thỏa mãn              1 2 1 2 1 2 2 m 1 3 m 2 x x ;x .x m m x 2x 1 giải hệ và so sánh với (*), tìm được là m 3 hoặc  2 m 3 . 2.3.5. Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) =        ¡2 2x x 1 x 3x 1 x (?):                             2 22 2 1 3 3 1 f(x) x x 2 2 2 2 Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét các điểm A , B và M(x;0) , thì  f(x) MA MB . Theo bất đẳng thức tam giác  MA MB AB , mà   2 3 1 AB 2 , nên   2 3 1 minf(x) 2 . 1 0 3 m f( 1) 0 2        23x 4mx 1 0   1 3 3 1 1 2 2 x x x x      2 21 2 1 1 2 2x x x x x x 1 0                    22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 x x x x 1 0 x x x x 1 0 S P 1 0  2 4m 1 3 1 0 m 3 3 2            m 0 2 6 2 6 m 2 2          1 3 ; 2 2        3 1 ; 2 2        NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 70 (!): SL ở đây là khi chuyển đổi từ bài toán đại số sang hình học, HS không ý thức được vị trí tồn tại của M, nên đã chọn điểm A , B là hai điểm cùng phía so với trục hoành. Đoạn thẳng AB không cắt x,x chứa 0xnên bất đẳng thức  MA MB AB không xảy ra và không tồn tại điểm  0 M 0x sao cho   0 0 MA MB AB . Để tránh SL trên, khi chuyển đổi bài toán sang sử dụng công cụ tọa độ cần phải lưu ý: trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng d đi qua M. Khi đó: nếu A, B cùng phía so với d, MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB1 với đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng với B qua d, khi đó   1 MA MB AB . Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d thì MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB với d. Bài toán trên có lời giải đúng phải là: Chọn       1 3 A ; 2 2 ;       3 1 B ; 2 2 và C(x;0) , ta có    1f(x) MA MB AB , trong đó                     2 2 1 3 1 1 3 AB 2 2 2 2 2 nên f(x) 2 , dấu bằng xảy ra khi  x 3 1 . 2.3.6. Sai lầm liên quan đến suy luận Suy luận là một hình thức và cũng là quá trình tư duy rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã cho. Một suy luận thường có cấu trúc logic ; Trong đó, A là tiền đề, B là kết luận. Cấu trúc logic đó phản ánh cách thức rút ra kết luận. HS thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề, sẽ mắc phải SL trong suy luận. SL trong suy luận khi giải toán thường có các kiểu: SL về luận cứ; SL về luận chứng; SL về luận đề. Ví dụ 7: Cho x,y,z 0 thỏa mãn   1997 1997 1997x y z 3 , tìm giá trị lớn nhất của   2 2 2F x y z . (?): Do vai trò x,y,z như nhau nên có thể giả sử:   x y z 0 ; mặt khác dễ thấy x 3    1997 1997 1997 19973 x y z 3z z ≤ 1. Do vai trò x, y, z như nhau, nên  x 1;y 1  F 3  maxF 3 , dấu bằng xẩy ra khi   x y z 1 . Kết quả trên là đúng, nhưng việc HS cho rằng x, y, z có vai trò như nhau lần thứ hai là sai, vì khi giả sử   x y z 0 thì điều đó không còn đúng nữa. Có HS lập luận như sau: Giả sử   x y z 0 2 2x z ; 2 2x y   2 2 2 2x y z 3x , dấu bằng xẩy ra khi  x y z , thay vào điều kiện suy ra  2maxF 3x 3 . (!): Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 1995 số 1 và hai số x1997 ta được ; tương tự . Cộng từng vế bất đẳng thức ta được F 3 suy ra  maxF 3 dấu bằng xẩy ra khi . 1 3 ; 2 2        3 1 ; 2 2        A B 3 x y z 0            x y z 1    1997 1997 2 21997 1995 2x (x ) x 1997 1997 21995 2y y ; 1997   1997 21995 2z z 1997     x y z 1 NGUYỄN HỮU HẬU 71 2.3.7. Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy Ví dụ 8: Chứng minh bất đẳng thức           2 2 2 2 2a b c d e a b c d e (1), a,b,c,d R Xin nêu hai cách giải cho bài toán này không phải nhằm tìm ra nhiều lời giải, mà với mục đích: mỗi cách giải sẽ gợi lên một phương hướng tổng quát hóa bài toán. Cách 1: Ta có + Cách 2: Xét hiệu          2 2 2 2 2f(a) a a b c d e b c d e là một tam thức bậc hai đối với a có . Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được , từ đó suy ra đpcm. HS có thể tổng quát hóa bài toán từ cách giải 2 như sau: Do a là một số cố định nên mở rộng cho n số hạng tiếp theo ta được:          2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 2 na a a ... a a a a ... a , a , a , ...a R (!): Với cách giải tương tự, xét hiệu:          2 2 2 21 2 n 1 2 nf(a) a a a ... a a a a ... a = Đây là một tam thức bậc hai đối với a. Muốn tam thức này luôn không âm thì (1) Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Nếu              2 2 2 2 1 2 n 1 2 n n 4 a a ... a 4 a a ... a (1) luôn được thỏa mãn . Nhưng với n 4 , nếu chọn thì nên tồn tại những giá trị của a làm cho giá trị của tam thức f(a) âm. Cụ thể, ta có thể lấy , khi đó               2 2n n n n f(a) f n 4 n . 0 2 4 2 4 (vì n 4 ) nên bất đẳng thức tổng quát hóa không đúng. Vậy, bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1, vì vế trái có lặp lại bốn lần và cộng lại bằng . Nhưng, nếu số hạng ở vế trái nhiều hơn hay ít hơn thì sự phân tích như trên không còn đúng nữa. Nếu tăng số hạng lên n số thì cần phải có n lần có tổng bằng a2, khi đó với cách viết tương tự ta được: Bất đẳng thức được tổng quát đúng là: 3. Kết luận và kiến nghị Phản hồi của GV và qua bài làm của HS, cho thấy HS thường gặp nhiều sai lầm khác nhau trong giải toán. Kết quả nghiên cứu trên sẽ giúp cho HS nhận ra và sửa chữa những SL trong quá trình giải toán. Ngoài ra đó cũng là cơ sở để GV có thái độ tích cực đối với SL của HS và xem chúng như là thông tin phản hồi cần được lưu tâm để có sự điều chỉnh về phương pháp, có những  2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 0         2 a b 2        2 a c 2       2 a d 2        2 a e 0 2             2 2 2 2 2b c d e 4 b c d e         0          2 2 2 21 2 n 1 2 na a a a ... a a a ... a     2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 0 a a ... a 4 a a ... a 0               22 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n1 1 ... 1 a a ... a a a ... a                22 2 2 1 2 n 1 2 n n a a ... a a a ... a            22 2 2 1 2 n 1 2 n n a a ... a a a ... a 0            2 2 2 2 1 2 n 1 2 n a a ... a n a a ... a 0          i a 1 2 n a a ... a 1    2n 4n 0    n a 2  2 a 2       2a 2 a n       2 1 a a n        2 2 a a n        2 n a a 0 n                2 2 2 21 2 n 1 2 n 2 a a a ... a a a a ... a n NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 72 biện pháp ngăn ngừa SL của HS nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn toán. Theo chúng tôi, để tập luyện cho học sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình giải toán cần thực hiện những yêu cầu sau: - Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, cần quan tâm tập luyện cho HS những hoạt động và hoạt động thành phần mà khi giải toán HS thường gặp những khó khăn, vướng mắc, hoặc sai lầm trong việc thực hiện các hoạt động này; - Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS; - GV thiết kế các tình huống dạy học dễ dẫn tới SL để học sinh được thử thách với những SL đó; - Cần tạo điều kiện cho HS bộc lộ những khó khăn, SL thông qua việc rèn luyện cho HS kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá [4]. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A. A. Stoliar (1969), Giáo dục học Toán học, Nxb Giáo dục, Minsk (Tiếng Nga). 2. Bell, A, - The Tookit team (1993), Learning from mistakes and misconceptions: Gaining the skills. A strategy in the Toolkit for the change Agents, MARS Micchigan Stale University. 3. Cruchetxki V. A. (1973), Tâm lý năng lực toán học của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 4. Nguyễn Hữu Hậu (2011), Tập luyện cho học sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia về giáo dục toán học ở trường phổ thông, Nxb Giáo dục Việt Nam. 5. Trần Công Thái Hòe, Nguyễn Phú Lộc, Lỗi của học sinh trong giải toán Giải tích: Nghiên cứu điều tra học sinh và giáo viên ở Thị xã Tân Châu -Tỉnh An Giang, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, phần C, số 34 (2014), tr 27 - 33. 6. Hodes, E. - Nolting, P. (1998), Winning at Mathematics?. SBCC Mathematics Department Academic Success Press. 7. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 8. Legutko, M (2008), An analysis of students’ mathematical errors in teaching- research process. In “Handbook of Mathematics. 9. Marzano, R.(1992). A different kinds of classroom- Teaching with dimensions of learning. Alexandria, Va: Association for Supervision and Curriculum Development. 10. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh PTTH thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải Toán, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm - Tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh, Vinh. 11. Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002), Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 12. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải Toán, Nxb Hà Nội, Hà Nội. 13. Pôlya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào?, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 14. Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2010), Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. Ngày nhận bài: 28/10/2017 Biên tập xong: 15/7/2018 Duyệt đăng: 20/7/2018