Nghiên cứu lí thuyết khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phương tâm khối - Nguyễn Quang Học

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1059.2016-0001 Natural Sci. 2016, Vol. 61, No. 4, pp. 3-9 This paper is available online at Ngày nhận bài: 19/2/2016. Ngày nhận Ďăng: 20/3/2016. Tác giả liên lạc: Nguyễn Quang Học, Ďịa chỉ e-mail: hocnq@hnue.edu.vn 3 NGHIÊN CỨU LÍ THUYẾT KHUẾCH TÁN CỦA HỢP KIM XEN KẼ AB VỚI CẤU TRƯC LẬP PHƢƠNG TÂM KHỐI Nguyễn Quang Học1, Đinh Quang Vinh1, Lê Hồng Việt2 và Nguyễn Văn Phƣơng3 1Khoa Vật lí, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Sĩ quân Lục quân 1, Hà Nội 3Trường Trung học phổ thơng Hoằng Hĩa 2, Thanh Hĩa Tĩm tắt. Bài báo nghiên cứu lí thuyết khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phƣơng tâm khối. Bằng phƣơng pháp thống kê mơmen chúng tơi Ďã rút ra các biểu thức giải tích của năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ, khoảng cách lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử xen kẽ, các thơng số hợp kim Ďối với nguyên tử xen kẽ, các Ďại lƣợng khuếch tán nhƣ tần số bƣớc nhảy của nguyên tử xen kẽ, Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng, thừa số tƣơng quan, hệ số khuếch tán và năng lƣợng kích hoạt cùng với phƣơng trình trạng thái Ďối với hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phƣơng tâm khối dƣới tác dụng của áp suất. Trong trƣờng hợp khi nồng Ďộ nguyên tử xen kẽ bằng khơng ta thu Ďƣợc lí thuyết khuếch tán của kim loại chính A. Từ khĩa: Hợp kim xen kẽ, tần số bƣớc nhảy, Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng, thừa số tƣơng quan, hệ số khuếch tán, năng lƣợng kích hoạt. 1. Mở đầu Hợp kim nĩi chung và hợp kim xen kẽ (HKXK) nĩi riêng là những vật liệu phổ biến trong khoa học và cơng nghệ vật liệu. Việc nghiên cứu HKXK Ďã và Ďang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu [1-7]. Một trong các lí thuyết Ďƣợc sử dụng Ďể nghiên cứu hợp kim là lí thuyết khuếch tán. Đối với hợp kim nĩi chung và HKXK nĩi riêng, cĩ hai cơ chế khuếch tán cơ bản là cơ chế thay thế và cơ chế xen kẽ. Cơ chế nào là chủ Ďạo phụ thuộc vào từng kim loại và các tạp chất pha tạp. Hai thơng số cơ bản nhất cần Ďƣợc xác Ďịnh khi nghiên cứu quá trình khuếch tán là năng lƣợng kích hoạt và hệ số khuếch tán. Cĩ một số phƣơng pháp lí thuyết Ďể xác Ďịnh các thơng số này nhƣ mơ hình Einstein, phƣơng pháp tốc Ďộ phản ứng, phƣơng pháp Ďộng học nguyên tử, Tuy nhiên, các phƣơng pháp nĩi trên phần lớn chỉ mới giải quyết về mặt Ďịnh tính và khi nghiên cứu Ďịnh lƣợng gặp nhiều khĩ khăn về mặt tốn học do phải thực hiện nhiều phép tính gần Ďúng Ďặc biệt là Ďối với các mơ hình hợp kim nhƣ HKXK. Phƣơng pháp thống kê mơmen Ďã Ďƣợc áp dụng trong nghiên cứu tính chất cấu trúc, nhiệt Ďộng, Ďàn hồi, chuyển pha và khuếch tán của kim loại và hợp kim [8-10]. Hiện nay chƣa cĩ nhiều nghiên cứu Ďịnh lƣợng về sự khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phƣơng tâm khối. Bằng phƣơng pháp thống kê mơmen khi nghiên cứu sự khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phƣơng tâm khối chúng tơi cĩ thể rút ra Ďƣợc các biểu thức giải tích của năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ, khoảng cách lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử xen kẽ, các thơng số hợp kim Ďối với nguyên tử xen kẽ, các Ďại lƣợng khuếch tán nhƣ tần số bƣớc nhảy của nguyên tử xen kẽ, Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng, thừa số tƣơng quan, hệ số khuếch tán và năng lƣợng Nguyễn Quang Học, Đinh Quang Vinh, Lê Hồng Việt và Nguyễn Văn Phƣơng 4 kích hoạt cùng với phƣơng trình trạng thái Ďối với HKXK AB với cấu trúc lập phƣơng tâm khối (LPTK) dƣới tác dụng của áp suất. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ chế khuếch tán trong hợp kim xen kẽ Trong mơ hình HKXK AB với cấu trúc LPTK, các nguyên tử A cĩ kích thƣớc lớn nằm ở các Ďỉnh (nút mạng) và tâm khối, cịn các nguyên tử xen kẽ B cĩ kích thƣớc nhỏ hơn nằm ở các tâm mặt. Trong mơ hình này, cĩ 2 cách Ďể nguyên tử B dịch chuyển Ďến tâm của các mặt mạng bên cạnh. Theo cách I, nguyên tử B từ tâm mặt (vị trí 1) di chuyển qua Ďiểm giữa cạnh ơ mạng (vị trí 2) tới tâm mặt lân cận với khoảng cách a (a là chiều dài cạnh ơ mạng). Theo cách này, cĩ 4 vị trí mà nguyên tử B cĩ thể dịch chuyển tới (Hình 1). Theo cách II, nguyên tử B từ tâm mặt (vị trí 1) di chuyển qua Ďiểm giữa Ďoạn nối 2 tâm của 2 mặt mạng vuơng gĩc với nhau của một ơ mạng (vị trí 3) tới tâm mặt lân cận với khoảng cách / 2a (vị trí 3). Theo cách này, cĩ 8 vị trí mà nguyên tử B cĩ thể dịch chuyển tới (Hình 2). 2.2. Năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ trong hợp kim xen kẽ Năng lƣợng tự do của một nguyên tử xen kẽ B trong HKXK AB với cấu trúc LPTK Ďã Ďƣợc xác Ďịnh bởi [9]. Hình 1. Cơ chế khuếch tán của mạng LPTK theo cách I Hình 2. Cơ chế khuếch tán của mạng LPTK theo cách II 1 3 1 2 Nghiên cứu lí thuyết khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phương tâm khối 5   2 2 2 2 1 0 22 2 3 ln 1 3 1 3 2                    x xcthxU x e x cth x k         3 2 2 2 1 1 24 2 4 1 2 2 1 1 3 2 2 xcthx xcthx xcthx xcthx k                           (1) trong phép gần Ďúng phi Ďiều hịa hoặc  20 003 ln 1 , 6 2 xu ux e U             (2) trong phép gần Ďúng Ďiều hịa. Ở Ďây, 23 161,38.10 J/K 1,38.10 erg/KBk    là hằng số Boltzmann, 34 27, 1,055096.10 Js 1,055096.10 erg.s 2 B k x k T m     là hằng số Planck và các Ďại lƣợng 0 1 2, , ,u k   Ďƣợc Ďịnh nghĩa trong [9]. Nhƣ vậy, Ďể tính năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ B ta cần phải xác Ďịnh các Ďại lƣợng 0BU và Bk ở nhiệt Ďộ T. Để làm Ďiều Ďĩ, cần xác Ďịnh các khoảng cách lân cận gần nhất 1 (0)Br và 1 ( )Br T giữa 2 nguyên tử B trong HKXK ở áp suất khơng ở nhiệt Ďộ 0 K và nhiệt Ďộ T. 2.3. Khoảng cách lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử xen kẽ trong hợp kim Cĩ thể xác Ďịnh khoảng cách lân cận gần nhất 1 (0,0)Br giữa 2 nguyên tử B trong HKXK ở áp suất khơng và ở nhiệt Ďộ 0 K 1 (0,0)Br từ phƣơng trình trạng thái hoặc từ Ďiều kiện 0 1 0 0B B T K U r        (3) bằng cách giải phƣơng trình nhờ phần mềm Maple, trong Ďĩ 0BU là năng lƣợng liên kết giữa nguyên tử xen B và các nguyên tử A của hợp kim. Sau khi tính Ďƣợc 1 (0,0)Br , cĩ thể xác Ďịnh giá trị của các Ďại lƣợng , , B B B B B k k m   tại 1 (0,0)Br và từ Ďĩ xác Ďịnh   2 6 1 2 6 1 02 3 2 2 , 1 , ,..., , , (0, ) . 2 3 i B BB B B B B B B B B B B iB B B iB B B k Tk T x a x cthx a a A a a y T A k T k k                ở áp suất khơng và nhiệt Ďộ T [9]. Do Ďĩ, cĩ thể xác Ďịnh Ďƣợc khoảng cách lân cận gần nhất 1 (0, )Br T giữa 2 nguyên tử B trong HKXK ở áp suất khơng và nhiệt Ďộ T theo cơng thức 1 1 0(0, ) (0,0) (0, ),B B Br T r y T  (4) trong Ďĩ , ,B B Bk   Ďƣợc xác Ďịnh ở áp suất khơng và nhiệt Ďộ 0 K. Trong trƣờng hợp khi nguyên tử xen kẽ B khuếch tán theo cách II thì khi chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2, do các vị trí khơng gian giống nhau (số nguyên tử trên các quả cầu là nhƣ nhau) nên ta phải tính Ďến sự thay Ďổi khơng gian Ďể tính 2 (0,0),Br nghĩa là * 2 2 2(0,0) (0,0) ,B B Br r r  (5) trong Ďĩ * 2 (0,0)Br Ďƣợc xác Ďịnh từ Ďiều kiện cực tiểu năng lƣợng liên kết và 2Br là phần Ďặc trƣng cho sự thay Ďổi năng lƣợng kích hoạt. Nguyễn Quang Học, Đinh Quang Vinh, Lê Hồng Việt và Nguyễn Văn Phƣơng 6 2.4. Các thơng số hợp kim đối với nguyên tử xen kẽ Khi nguyên tử xen kẽ B ở vị trí 1 và trong phép gần Ďúng ba quả cầu phối vị [10].      01 1 1 12 2 4 5 ,B AB AB ABU r r r     (6)        1 (2) (2) (1) (1)1 1 1 1 1 1 4 2 16 5 5 2 5 , 5 25 B AB AB AB AB k r r r r r r        (7)      (4) (2) (1)11 1 1 12 3 1 1 1 1 2 2 2 , 24 8 16 B AB AB AB r r r r r       (8)            (3) (3) (2) (2) (1) (1)21 1 1 1 1 1 13 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 , 4 8 2 8 2 16 B AB AB AB AB AB AB r r r r r r r r r r r r             (9)  1 11 21 .4B B B    (10) Khi nguyên tử xen kẽ B ở vị trí 2 và trong phép gần Ďúng ba quả cầu phối vị,      02 1 1 12 2 4 5 ,B AB AB ABU r r r     (11)          (2) (2) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 1 1 1 2 8 1 2 12 5 5 2 5 , 5 2 25 AB AB AB AB AB B k r r r r r r r r          (12)      (4) (3) (2)12 1 1 12 1 1 1 2 1 2 2 48 16 8    B AB AB AB r r r r r          (2) (1) (1)1 1 12 3 3 1 1 1 3 1 3 2 2 2 , 32 8 64 AB AB AB r r r r r r      (13)        (4) (3) (3) (2)22 1 1 1 12 1 1 1 1 1 2 1 2 2 8 4 8 2     B AB AB AB AB r r r r r r r           (2) (1) (1)1 1 12 3 3 1 1 1 7 1 7 2 2 2 , 16 2 32 AB AB AB r r r r r r      (14)  2 12 22 .4B B B    (15) Khi nguyên tử xen kẽ B ở vị trí 3 và trong phép gần Ďúng ba quả cầu phối vị,      03 1 1 1 1 3 5 , 2 B AB AB AB U r r r     (16)      (2) (2) (2)1 1 13 1 1 1 3 5 4 6 2    AB AB AB B k r r r        (1) (1) (1)1 1 1 1 1 1 1 5 3 5 3 5 , 4 18 10 AB AB AB r r r r r r      (17) Nghiên cứu lí thuyết khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phương tâm khối 7        (4) (4) (3) (2)13 1 1 1 12 1 1 1 1 1 3 3 192 864 32 64     B AB AB AB AB r r r r r r           (2) (1) (1)1 1 12 3 3 1 1 1 11 3 5 3 3 3 , 864 64 864 AB AB AB r r r r r r      (18)        (4) (4) (3) (3)23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 32 288 16 48     B AB AB AB AB r r r r r r      (19)        (2) (2) (1) (1)1 1 1 12 2 3 3 1 1 1 1 7 5 7 5 3 3 3 , 32 288 32 864 AB AB AB AB r r r r r r r r         3 13 234 .B B B    (20) Nếu biết thế tƣơng tác BBAA  , thì cĩ thể xác Ďịnh thế tƣơng tác AB giữa 2 nguyên tử A và B trong HKXK AB nhƣ sau:   1 . 2 AB AA BB     (21) 2.5. Phƣơng trình trạng thái của hợp kim xen kẽ Coi khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử trong HKXK AB xấp xỉ bằng khoảng cách lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử trong kim loại sạch A (hoặc B). Phƣơng trình trạng thái của HKXK với cấu trúc LPTK ở nhiệt Ďộ T Ďƣợc viết dƣới dạng 0 1 1 1 1 1 , 6 2 u k Pv r xcthx r k r            (22) trong Ďĩ 3 14 3 3 r v  và sử dụng 1 1 . 2 x x k r k r      Cĩ thể áp dụng tốt phƣơng trình (22) nếu nhiệt Ďộ 0T Ďƣợc chọn Ďể tính các thơng số gần với nhiệt Ďộ T. Ở 0 K, (22) cĩ dạng 0 0 1 1 1 1 . 6 2 u k Pv r r k r           (23) Nếu biết dạng của thế tƣơng tác thì (23) cho phép xác Ďịnh khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử trong hợp kim ở áp suất P và nhiệt Ďộ 0 K. Bằng cách làm tƣơng tự, cĩ thể xác Ďịnh Ďƣợc các khoảng cách lân cận gần nhất 1 ( ,0)Br P và 1 ( , )Br P T giữa 2 nguyên tử xen kẽ, năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ ở áp suất P và nhiệt Ďộ T và các thơng số hợp kim Ďối với nguyên tử xen kẽ ở các vị trí 1, 2 và 3 trong HKXK ở áp suất P và nhiệt Ďộ 0 K. 2.6. Các đại lƣợng khuếch tán của hợp kim xen kẽ Khi khuếch tán theo cơ chế xen kẽ, hệ số khuếch tán của HKXK cĩ dạng 2 ,D g a  (24) trong Ďĩ  là tần số bước nhảy, a là độ dài bước nhảy hiệu dụng và g là một hệ số phụ thuộc vào cấu trúc tinh thể, nhiệt Ďộ, cơ chế khuếch tán và Ďƣợc xác Ďịnh bởi 1g n f (25) với f là thừa số tương quan và n1 là số vị trí gần nhất mà nguyên tử khuếch tán (nguyên tử xen kẽ) B cĩ thể nhảy vào. Nếu các vị trí mà nguyên tử xen kẽ B cĩ thể nhảy vào cĩ xác suất nhƣ nhau thì f = 1. Do các vị trí gần mà nguyên tử xen kẽ B cĩ thể nhảy vào cĩ xác suất lớn hơn so với các vị trí xa nên f < 1 và gần Ďúng Ďƣợc xác Ďịnh bởi cơng thức: Nguyễn Quang Học, Đinh Quang Vinh, Lê Hồng Việt và Nguyễn Văn Phƣơng 8 2 1 1 1 2 1 1 .f n n          (26) Đối với mạng LPTK, nếu khuếch tán theo cách I, n1 = 4, f = 0,5 và nếu khuếch tán theo cách II, n1 = 8, f = 0,75. Tần số bước nhảy của nguyên tử xen kẽ B Ďƣợc xác Ďịnh bởi cơng thức *exp , , , 2 B B B B B k k T m                    (27) trong Ďĩ * B là năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ B ở vị trí 1 và B là năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ B ở vị trí 2. Độ dài bước nhảy hiệu dụng Ďối với mạng LPTK bằng 1 2a r r  (28) nếu khuếch tán và theo cách I 1 2 1 2 2 r a r        (29) nếu khuếch tán và theo cách II. Hệ số khuếch tán cĩ dạng 0 exp , B E D D k T        (30) trong Ďĩ 2 0 1 2 D n fa    (31) và E   (32) là năng lượng kích hoạt. Khi nồng Ďộ nguyên tử xen kẽ cB thay Ďổi thì Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng a và hệ số trƣớc hàm mũ D0 thay Ďổi theo. Ta sử dụng các gần Ďúng sau:  * * * * *1 , 2 A B A A B B B A B B A r r c r c r c r c r r      (33) trong Ďĩ ,A Bc c là các nồng Ďộ cuả nguyên tử A và B, rA là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử A trong kim loại sạch, * Ar là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử A trong HKXK, * Br là khoảng lân cận gần nhất giữa nguyên tử B và các nguyên tử A trong HKXK, rB là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử B. Từ Ďĩ xác Ďịnh 1 2 3, ,B B Br r r tƣơng ứng với các vị trí 1, 2 và 3 và các Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng 1 2B Ba r r  hoặc 1 3 1 2 2 B B r a r        . Sau Ďĩ tìm Ďƣợc sự phụ thuộc của D0, D vào nồng Ďộ nguyên tử xen kẽ cB. Sau khi xác Ďịnh khoảng cách lân cận gần nhất, năng lƣợng tự do, các thơng số hợp kim Ďối với nguyên tử xen kẽ ở các vị trí 1, 2, 3, cĩ thể tìm Ďƣợc các Ďại lƣợng khuếch tán của HKXK nhƣ Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng, tần số bƣớc nhảy, năng lƣợng kích hoạt, hệ số trƣớc hàm mũ và hệ số khuếch tán. Trong trƣờng hợp nồng Ďộ nguyên tử xen kẽ bằng khơng, ta thu Ďƣợc lí thuyết khuếch tán của kim loại chính A [8]. Nghiên cứu lí thuyết khuếch tán của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phương tâm khối 9 3. Kết luận Bằng phƣơng pháp mơmen thống kê, chúng tơi rút ra các biểu thức giải tích của năng lƣợng tự do của nguyên tử xen kẽ, khoảng cách lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử xen kẽ, các thơng số hợp kim Ďối với nguyên tử xen kẽ, các Ďại lƣợng khuếch tán nhƣ tần số bƣớc nhảy của nguyên tử xen kẽ, Ďộ dài bƣớc nhảy hiệu dụng, thừa số tƣơng quan, hệ số khuếch tán và năng lƣợng kích hoạt cùng với phƣơng trình trạng thái Ďối với hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc lập phƣơng tâm khối phụ thuộc vào nhiệt Ďộ và áp suất. Trong trƣờng hợp nồng Ďộ nguyên tử xen kẽ bằng khơng, ta thu Ďƣợc lí thuyết khuếch tán của kim loại sạch. Trong bài báo tiếp theo, chúng tơi áp dụng các kết quả lí thuyết thu Ďƣợc trong bài báo này Ďể nghiên cứu sự khuếch tán của nguyên tử xen kẽ trong các hợp kim xen kẽ FeSi và FeH dƣới tác dụng của áp suất. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K. M. Zhao, G. Jiang, L. Wang, 2011. Electronic and thermodynamic properties of B2-FeSi from first principles. Physica B406, pp. 363-357. [2] W. Xiong, M. Selleby, Q. Chen, J. Odqvist, Y. Du, 2010. Phase equilibria and thermodynamic properties in the Fe-Cr system. Critical reviews in solid state and materials sciences 35, pp. 125-152. [3] W. F. Smith, 1993. Structure and properties of engineering alloys. McGraw-Hill, Inc. [4] S. L. Chaplot, R. Mittal, N. Chouduhry, 2010. Thermodynamic properties of solids: experiment and modeling. Wiley-VCH Verlag GmBh & Co.KgaA. [5] Y. Fukai, 1993. The metal-hydrogen system. Springer. Berlin. [6] T. T. Lau, C. J. Fưrst, X. Lin, J. D. Gale, S. Yip, K. J. Van Vliet, 2007. Many-body potential for point defect clusters in Fe-C alloys. Phys. Rev. Lett. 98. p. 215501. [7] L. S. I.Liyanage, S-G. Kim, J. Houze, S. Kim, M. A. Tschopp, M. I. Baskes, M. F.Horstemeyer, 2014. Structural elastic and thermal properties of cementite (Fe3C) calculated using a modified embedded atom method. Phys. Rev. B 89. p. 094102. [8] Hồng Văn Tích, 2000. Lí thuyết khuếch tán của tinh thể kim loại và hợp kim. Luận án TS Vật lí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội. [9] Vũ Văn Hùng, 2009. Phương pháp thống kê mơmen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể. Nxb Đại học Sƣ phạm, Hà Nội. [10] Nguyen Quang Hoc, Dinh Quang Vinh, Bui Duc Tinh, Tran Thi Cam Loan, Ngo Lien Phuong, Tang Thi Hue, Dinh Thi Thanh Thuy, 2015. Thermodynamic properties of binary interstitial alloys with a BCC structure: dependence on temperature and concentration of interstitial atoms. Journal of Science of HNUE, Math. and Phys. Sci., 60, 7, pp.146-155. ABSTRACT Diffusion of interstitial atoms in binary AB interstitial alloys with a BCC structure under pressure The free energy of interstitial atoms, the nearest neighbor distance between two interstitial atoms, the alloy parameters for interstitial atoms, the diffusion quantities for the jumping frequency of interstitial atom, the effective jumping length, the correlation factor, the diffusion factor and the activated energy and the equation of state for AB binary interstitial alloy with a BCC structure under pressure were derived using the statistical moment method. When the concentration of interstitial atoms is equal to zero, we obtain the diffusion theory of main metal A. Keywords: Interstitial alloy, jumping frequency, effective jumping length, correlation factor, diffusion factor, activated energy.