Nghiên cứu động lực học vỏ trụ dưới tác dụng của dòng khí nén dưới âm sử dụng các lý thuyết vỏ khác nhau - Trần Ngọc Đoàn

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Kỷ niệm 55 năm Viện KHCNQS, 10 - 2015 115 NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC VỎ TRỤ DƯỚI TÁC DỤNG CỦA DÒNG KHÍ NÉN DƯỚI ÂM SỬ DỤNG CÁC LÝ THUYẾT VỎ KHÁC NHAU Trần Ngọc Đoàn1*, Nguyễn Trường Thanh2 Tóm tắt: Bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu dao động của vỏ trụ tròn kín dưới tác dụng của dòng khí nén dọc trục. Để mô hình hóa vỏ trụ, các tác giả sử dụng các lý thuyết vỏ khác nhau. Dòng chảy dưới âm được giả thiết là dòng chảy thế, trong đó các tham số của dòng chảy được biểu diễn thông qua hàm thế. Trong bài báo trình bày nghiệm giải tích của bài toán trong hai trường hợp: bỏ qua ảnh hưởng của thành phần lực quán tính dọc trục và nghiên cứu ảnh hưởng của lực quán tính dọc trục lên trạng thái động lực học của hệ thống. Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, khi hệ dao động với tần số nhỏ lực quán tính dọc trục không ảnh hưởng nhiều đến trạng thái dao động của hệ và có thể bỏ qua, ngược lại khi tần số dao động của hệ tăng lên, việc bỏ qua lực quán tính dọc trục có thể dẫn đến sai số lớn. Từ khóa: Khí động đàn hồi, Lý thuyết vỏ, Vỏ trụ tròn mỏng, Dòng khí nén dưới âm, Dòng chảy thế. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Nghiên cứu khí động đàn hồi kết cấu là một trong những bài toán phức tạp và quan trọng trong tính toán, thiết kế kết cấu, đặc biệt là kết cấu hàng không vũ trụ. Các hiện tượng khí động đàn hồi xuất hiện là do sự tương tác giữa ba nhóm lực: lực khí động, lực đàn hồi và lực quán tính. Trong tính toán kết cấu vỏ trụ, bài toán dao động của vỏ trụ dưới tác dụng của dòng khí nén chảy bên trong vỏ với vận tốc dưới âm là một bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế, do đó đây là vấn đề nghiên cứu được nhiều nhà khoa học quan tâm [1, 2, 3]. Trong bài báo này, đề nghiên cứu dao động của vỏ trụ tròn dưới tác dụng của dòng khí nén dọc trục bên trong vỏ, ta giả thiết các tham số của dòng chảy được biểu diễn thông qua hàm thế  . Dòng chảy có vận tốc nhỏ dưới âm và là dòng không nhớt. Trên thực tế, để đơn giản mô hình tính toán dòng chảy của sản phẩm cháy trong buồng đốt động cơ nhiên liệu lỏng có thể được coi như dòng chảy thế [4]. Trên cơ sở các lý thuyết vỏ khác nhau [5], bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu dao động của vỏ trụ trong cả hai trường hợp: bỏ qua và có tính đến ảnh hưởng của thành phần lực quán tính dọc trục đến trạng thái động lực học của vỏ trụ. 2. XÁC ĐỊNH CÁC THAM SỐ DÒNG CHẢY Mô hình tính toán vỏ trụ dưới tác dụng của dòng khí nén được trình bày trên hình 1. Trong đó, V là vận tốc dòng chảy; R , l lần lượt là bán kính và chiều dài vỏ trụ; , ,u v w tương ứng là chuyển vị của vỏ theo các hướng , ,x y z . Giả sử các nhiễu động của dòng chảy và biến dạng của vỏ là nhỏ. Khi đó phương trình hàm thế vận tốc của dòng chảy nén không nhớt trong hệ tọa độ trụ có thể viết lại dưới dạng sau [1]:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 0, M M x r r r a x t a t                      (1) Trong đó,  là hàm thế; /M V a là số Mach; a là vận tốc âm thanh; r là tọa độ bán kính của điểm đang xét. Khi đó, vận tốc v và áp suất p của dòng khí xác định theo công thức: Tên lửa & Thiết bị bay T. N. Đoàn, N. T. Thanh, “Nghiên cứu động lực họccác lý thuyết vỏ khác nhau.” 116 0, ,v p V x t x                  (2) Trong đó, 0 là mật độ khí. Hình 1. Sơ đồ tính toán vỏ trụ dưới tác dụng của dòng khí. Để giải phương trình (1) ta sử dụng phương pháp tách biến [6]. Sau các phép biến đổi toán học, ta nhận được biểu thức hàm thế vận tốc như sau [3]:           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 0 , i M a M M x i M a M M x a M a M i tC e C e J r e                                      (3) Trong đó, 0J là hàm Bessel bậc không [6]; 1C , 2C là các hằng số tích phân; các số sóng  và  liên hệ với nhau bởi biểu thức:   22 2 .a    Thay (3) vào (2) ta nhận được biểu thức xác định vận tốc và áp suất:           1 2 1 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 , . i x i x i t i x i x i t v i C e C e J r e p i C V e C V e J r e                         (4) Ở đây ta sử dụng những ký hiệu sau:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 22 2 1 1 , . 1 1 M a M M M a M M a M a M                  Các điều kiện biên của dòng chảy tại hai đầu vỏ trụ được xác định theo biểu thức [2]:    1 20 , ,p Z v x p Z v x l    (5) Trong đó, 1Z và 2Z là các hệ số cản âm tại đầu vào và đầu ra của vỏ trụ. Trong trường hợp đáy vỏ trụ mở, ta có 1 2 0Z Z  ( 0p  tại 0,x l ). Trong trường hợp đáy vỏ trụ kín, ta có 1 2Z Z   ( 0v  tại 0,x l ). Thay biểu thức của vận tốc và áp suất từ (4) vào (5), ta được: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Kỷ niệm 55 năm Viện KHCNQS, 10 - 2015 117              2 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 1 2 1 0 2 2 2 , , exp 2 1 1 / , . C C V Z V Z il a M M a M V Z V Z                                          Ngoài điều kiện biên (5), hàm thế dòng chảy còn cần thỏa mãn điều kiện không thấm qua thành vỏ trụ: .r Rr w t V w x         (6) 3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN VỎ TRỤ Dưới tác dụng của dòng khí chảy dọc trục, vỏ trụ thực hiện các dao động đối xứng trục, số sóng theo hướng vòng tròn (tọa độ  (hình 1)) bằng 0, mặt cắt ngang của vỏ giãn nở đối xứng so với trục của vỏ. Do đó, các thành phần chuyển vị ,u w chỉ phụ thuộc vào tọa độ x . Còn chuyển vị v triệt tiêu bằng không. Khi đó, phương trình mô tả dao động đối xứng trục của vỏ trụ dưới tác dụng của áp suất khí theo phương pháp tuyến được viết lại như sau:                 2 0 , ,1 , , ,B MOD u x t w x t p x t Eh k                    L L L L (7) Trong đó,  BL là toán tử vi phân cơ sở và được xác định theo công thức sau:       22 2 2 2 22 4 2 2 4 2 1 . 11 12 V B V x E t R x h R x R x E t                                   L (8)  MODL là toán tử vi phân bổ sung, nó có giá trị khác nhau đối với các lý thuyết vỏ khác nhau. Đối với dao động vỏ đối xứng trục, toán tử  MODL trong các lý thuyết vỏ Donnell-Mushtari, Love-Timoshenko, Goldenveizer-Novozhilov, Reissner-Naghdi, Sanders là tương đồng và bằng 0 [5]. Còn trong lý thuyết vỏ Vlasov, Flügge, toán tử  MODL được xác định theo công thức [5]:   3 3 3 3 2 0 . 1 MOD R x R x R            L (9) Trong các biểu thức trên, , , VE   lần lượt là mô đun đàn hồi, hệ số Poisson và mật độ của vật liệu làm vỏ; h là chiều dày vỏ. Hệ số k trong phương trình thứ hai của (7) bằng 2 2/12k h R . Tên lửa & Thiết bị bay T. N. Đoàn, N. T. Thanh, “Nghiên cứu động lực họccác lý thuyết vỏ khác nhau.” 118 Lý thuyết vỏ tương ứng với   0MOD L được sử dụng đối với các vỏ có chiều dày tương đối /h R nhỏ. Trong trường hợp vỏ có bề dày tương đối lớn hoặc cần chính xác hóa các kết quả tính toán tại vùng biên, cần phải sử dụng các lý thuyết vỏ tương ứng với   0MOD L . Giả thiết điều kiện biên tại hai đầu của vỏ chỉ là gối tựa. Biểu thức điều kiện biên được viết lại dưới dạng sau: 2 2 0 u w w x x        khi 0, .x l (10) 4. TRƯỜNG HỢP BỎ QUA LỰC QUÁN TÍNH DỌC TRỤC Thực tế tính toán vỏ trụ cho thấy, trong nhiều trường hợp có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực quán tính theo hướng dọc trục, có nghĩa là đặt 2 2/ 0.u t   Ta nghiên cứu dao động của vỏ trụ trong hai trường hợp: khi   0MOD L và khi  MODL xác định theo biểu thức (9). 4.1. Khi   0MOD L Từ (7) và (10), ta có phương trình dao động của vỏ như sau:   4 2 3 4 2 2 2 0, . 12 1 V w Eh w Eh D w h p D x R t             (11) Thay biểu thức của áp suất khí (4) vào (11), sau khi đặt    , i tw x t W x e  , ta nhận được phương trình vi phân sau:               4 4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 4 4 , 4 , , . V V V d W x W x f x dx h p xE f x D R h                 (12) Nghiệm của phương trình (12) có dạng:                    1 2 0 0 0 1 2 3 4 1 1 2 20 0 04 42 2 1 2 , cos sin cos sin , . 1 1 1 1 4 4 x x i x i x V W W x g x W x e A x A x e A x A x C V C Vi g x e e J R h                                                   Các hệ số  , 1,4iA i  xác định từ điều kiện biên (10). Dễ dàng nhận thấy  0W x là thành phần nghiệm thể hiện hiệu ứng biên. Trong lý thuyết vỏ mỏng, bề rộng vùng tồn tại hiệu ứng biên chỉ bằng một vài lần chiều dày của vỏ. Vì vậy, trong giới hạn chính xác cho phép, tại những điểm ở xa biên ta có thể bỏ qua thành phần  0W x . Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Kỷ niệm 55 năm Viện KHCNQS, 10 - 2015 119 Từ điều kiện không thấm qua thành vỏ (6) và bỏ qua ảnh hưởng của hiệu ứng biên ta nhận được phương trình xác định tham số  như sau:           0 2 2 2 1 2 2 2 1 1 4 2 2 0 1 , 1 1 , 1,2, 4 k k V J R J R V V h k                                         (13) Trong đó, 1J là hàm Bessel bậc 1 [6]. 4.2. Khi  MODL xác định theo biểu thức (9) Thực hiện các phép biến đổi tương tự như đối với trường hợp   0MOD L và chú ý 21 1k  , ta nhận được hệ phương trình dao động sau:   2 2 4 2 2 4 2 2 22 , 2 0. 1 V u w w kR x R x w k Eh w Eh w D w h p x x R t                      (14) So sánh (14) và (11), dễ dàng nhận thấy rằng việc tính tới ảnh hưởng của các đạo hàm bậc cao trong (9) dẫn tới xuất hiện thành phần gạch chân trong phương trình (14). Đối vởi vỏ trụ mỏng, hệ số đứng trước các số hạng gạch chân thường rất nhỏ so với các hệ số của những số hạng khác. Đặt    , i tw x t W x e  , ta nhận được phương trình vi phân sau:         4 2 2 4 4 4 2 2 2 4 4 4 , / 2 . d W x d W x W x f x dx dx R          (15) Do 4 4  nên nghiệm của phương trình (15) có dạng:                     2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 4 1 1 2 20 1 04 42 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 4 , cos sin cos sin , . 1 1 1 1 4 4 x x i x i x V W W x g x W x e A x A x e A x A x C V C Vi g x e e J R h                                                                         Từ điều kiện không thấm qua thành vỏ (6) và bỏ qua ảnh hưởng của hiệu ứng biên ta nhận được phương trình xác định tham số  như sau: Tên lửa & Thiết bị bay T. N. Đoàn, N. T. Thanh, “Nghiên cứu động lực họccác lý thuyết vỏ khác nhau.” 120           0 2 2 2 1 2 2 2 1 1 42 2 2 2 1 1 0 4 1 , 1 1 , 1,2. 4 k V J R J R V V h k                                             Như vậy, việc tính tới ảnh hưởng của các đạo hàm bậc cao trong các lý thuyết vỏ Vlasov, Flügge chủ yếu làm chính xác hóa kết quả tính toán tại vùng gần biên (chính xác hóa kết quả xác định hiệu ứng biên) trong các lý thuyết như Donnell-Mushtari, Love- Timoshenko,... Đối với các vị trí xa biên, việc tính tới ảnh hưởng của các đạo hàm bậc cao chỉ có ý nghĩa khí tỉ số 2 4/  không quá bé. 5. TRƯỜNG HỢP TÍNH ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC QUÁN TÍNH DỌC TRỤC Để khảo sát ảnh hưởng của lực quán tính dọc trục đến trạng thái động lực học của vỏ trụ, ta sử dụng các phương trình của lý thuyết vỏ tương ứng với điều kiện   0MOD L . Ta viết lại biểu thức dịch chuyển dưới dạng sóng dừng như sau:        , , , .i t i tu x t U x e w x t W x e   (16) Thay (16) vào phương trình (7), sau các phép biến đổi toán học, ta nhận được phương trình dao động của vỏ trụ:                 2 22 6 2 2 4 2 2 2 2 6 2 2 4 2 2 2 4 2 2 222 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 12 1 1 1 1 0. h d W h d W d W dx R dx R dx R d p x W p x Eh dx R                                            (17) Bỏ qua các hiệu ứng biên bậc cao, từ phương trình (17) ta tìm được phương trình xác định  W x như sau:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0. d W W dx R d p xR p x Eh dx R                             (18) Nghiệm của phương trình (18) có dạng:      1 2 2 2 1 2 0 1 1 2 2 02 2 cos sin ,i x i x R W x B x B x i C e C e J R Eh               (19) Trong đó,      22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 1 1 , , 1,2.kk k k V k R R                                Các hằng số 1B , 2B trong (19) được xác định như sau: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Kỷ niệm 55 năm Viện KHCNQS, 10 - 2015 121                   1 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 1 2 0 2 2 2 2 4 2 4 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , cos cos , sin 1 1 1 1 , 1 1 , 12 12 1 , 1,2. i l i l k k k k k k k k i J R B Eh i J R B l e l e Eh l h h R R R C C V k                                                                   Để đánh giá ảnh hưởng của lực quán tính dọc trục lên trạng thái dao động của hệ, ta giả sử 2 2 1  , tức là hệ dao động với tần số rất thấp. Khi đó 2 1  . Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình (19) và nghiệm riêng của (12)  0g x gần đúng bằng nhau. Điều này chứng tỏ, khi hệ dao động với tần số rất nhỏ lực quán tính dọc trục không ảnh hưởng nhiều đến trạng thái dao động của hệ và có thể bỏ qua. Nhưng khi tần số dao động của hệ tăng lên, việc bỏ qua lực quán tính dọc trục có thể dẫn đến sai số lớn. 6. KẾT LUẬN Trên cơ sở những kết quả nghiên cứu nhận được, có thể rút ra những kết luận chủ yếu sau: 1. Bài báo đã trình bày phương pháp giải tích nghiên cứu động lực học vỏ trụ tròn dưới tác dụng của dòng khí nén có vận tốc nhỏ dưới âm chảy bên trong vỏ dọc theo chiều dài. 2. Bài báo đã sử dụng các lý thuyết vỏ khác nhau để xây dựng mô hình tính toán, đồng thời đã chỉ ra được phạm vi ứng dụng của các nhóm lý thuyết vỏ trong các trường hợp cụ thể. Khi cần nghiên cứu các hiện tượng xảy ra gần biên, nơi hiệu ứng biên rất mạnh, thì cần phải sử dụng những lý thuyết vỏ bậc cao. Khi chỉ cần nghiên cứu các hiện tượng xảy ra ở xa biên, để đơn giản chỉ cần áp dụng những lý thuyết vỏ giản lược. 3. Phân tích ảnh hưởng của lực quán tính dọc trục tới trạng thái động lực học của vỏ trụ. Trong trường hợp cơ hệ dao động với tần số nhỏ, lực quán tính dọc trục không ảnh hưởng lớn đến kết quả tính toán nên có thể bỏ qua. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. В.В. Болотин, “Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости”, Москва, Физматгиз (1961). [2]. М.А. Ильгамов, “Колебания цилиндрических оболочек в акустической среде”, Исследование по теории пластин и оболочек, Выпуск 3 (1965), с. 218-225. [3]. Đặng Ngọc Thanh, Trần Ngọc Đại, Trần Ngọc Đoàn, “Nghiên cứu dao động của vỏ trụ tròn kín dưới tác dụng của dòng khí nén”, Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học Cơ học Thủy khí Toàn quốc năm 2011 (2012), tr. 481-489. [4]. Б.В. Раушенбах, “Вибрационное горение”, Москва, Физматгиз (1961). [5]. A. Leissa, “Vibration of shells”, Acoustical Society of America (1993). [6]. М.Н. Матвеев, “Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений”, Москва, Высшая школа (1967). Tên lửa & Thiết bị bay T. N. Đoàn, N. T. Thanh, “Nghiên cứu động lực họccác lý thuyết vỏ khác nhau.” 122 ABSTRACT INVESTIGATIONS ON THE DYNAMIC OF CYLINDRICAL SHELLS UNDER THE EFFECT OF SUBSONIC COMPRESSED AIR FLOW BY APPLYING DIFFERENT THEORIES OF SHELLS The paper presents results in researching vibration of sealed cylindrical shell, which is impacted by axial compressed gas flow. To model the cylindrical shell, authors applied different theoretical shells. The subsonic flow is assumed a potential flow, where parameters of the flow are expressed via potential function. The paper shows the analytic solutions of the problem in two cases: overlook the components’ effect of axially inertial forces and study the components’ effect of axial inertial forces on dynamic state of the system. The results show that, when the system oscillates with small frequency, the axial inertial force does not impact considerably on vibrational state of the system and it is able to ignore. In contrast, when the vibrational frequency of the system increases, the overlooking axial inertial force could lead to huge error. Keywords: Aeroelasticity, Theory of shells, Thin circular cylindrical shell, Subsonic compressible gas flow, Potential flow. Nhận bài ngày 10 tháng 07 năm 2015 Hoàn thiện ngày 05 tháng 9 năm 2015 Chấp nhận đăng ngày 10 tháng 9 năm 2015 Địa chỉ: 1 Học viện Kỹ thuật quân sự; 2 Viện Tên lửa/Viện Khoa học và Công nghệ quân sự ; * Email: ngocdoanmai@gmail.com.