Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học - Nguyễn Ái Quốc

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 33 (58) - Thaùng 10/2017 29 Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học Didactic research on concepts of figure and drawing in geometry TS. Nguyễn Ái Quốc, Trường Đại học Sài Gòn Nguyen Ai Quoc, Ph.D., Saigon University Tóm tắt Bài báo này trình bày một số quan điểm của các nhà Didactic Toán trên hai đối tượng của Hình học là "hình vẽ biểu diễn" và "hình", trong tiếng Anh là "drawing" và "figure", hay trong tiếng Pháp là "dessin" và "figure". Hơn nữa, bài báo cũng đề cập đến một số đối tượng khác liên quan đến hai đối tượng trên như "mô thức hình học" và "hình vẽ hình học". Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, hình, mô thức, hình hình học. Abstract - the two objects in geometry which are called "dessin" and "figure" respectively in French. Moreover, the paper refers to some miscellaneous objects in association with two previous objects called "paradigm" and "geometric drawing". Keywords: drawing, figure, paradigm, geometric drawing. 1. Mô thức hình học 1.1. Mô thức của Kuhn "Từ mô thức, theo phương diện tổng thể, chỉ tập hợp các niềm tin, kỹ thuật và các giá trị mà một nhóm nhà khoa học chia sẽ với nhau. Nó cố định cách thức đúng đắn để đặt ra và thực hiện việc giải quyết một vấn đề. Theo nghĩa này, Kuhn cũng nói đến ma trận môn học, cái mà cho phép nhóm các lý thuyết, và tổng quát hơn, các kiến thức của một nhóm làm việc trên cùng một chủ đề. Theo nghĩa thứ hai, khá thú vị trong quan điểm didactic Toán, mô thức nêu lên đặc trưng các ví dụ có ý nghĩa cho sinh viên để dạy cho họ nhận biết, tách riêng và phân biệt các thực thể cấu thành của mô thức tổng thể. Điều này đề cập đến thực hành của các cá thể của trường môn học này." [11] 1.2. Mô thức hình học của Houdement – Kuzniak "Tốt hơn hết là xem sự tiến triển của hình học là một chuỗi đứt gãy không thể hòa hợp được, chúng ta chấp nhận một tầm nhìn thống nhất của hình học nhờ vào ý tưởng tổng hợp biện chứng tiến hóa giữa các cực khác nhau" [9, tr.11]  "Hình học tự nhiên hay sự lẫn lộn giữa hình học và thực tế (GI): Hình học tự nhiên là nguồn đánh giá thế giới thực, cảm nhận được. Nó bao gồm NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 30 ba phương diện trực quan, kinh nghiệm, suy diễn, nhưng suy diễn được thực hiện chủ yếu trên các đối tượng vật chất nhờ trực quan và thao tác các dụng cụ. Điều này sẽ đặt ra vấn đề về tính hợp thức Đây là một bằng chứng rõ ràng trên giác quan, không phải trên suy diễn logic và trừu tượng thuần túy. Theo nghĩa này, ta có thể nói đến một "hình học thực nghiệm" Việc xây dựng và nhận thức là trái tim của hình học tự nhiên kiểu thực nghiệm." [10, tr.97-98]  "Hình học tiên đề tự nhiên hay hình học như một sơ đồ của thực tế (GII): Trong tổng hợp tiên đề Eulide, các phương diện "không chặt chẽ" và các yêu cầu trực quan nhường chỗ cho suy diễn logic và chứng minh nằm trong một hệ thống tiên đề chính xác nhất có thể Hình học này không đòi hỏi như hình học tự nhiên là một thực tế, nhưng nó khao khát là một sơ đồ thực tế." [9, tr.12-13] "Các tiên đề của nó tương ứng với một mô hình không gian thực mang tính địa phương." [10, tr.98]  "Hình học tiên đề hình thức chủ nghĩa hay sự độc lập của Hình học với thực tế (GIII): Lần này dây chằng buộc hình học và thực tế bị chặt đứt. Các tiên đề không còn được dựa trên tri giác và tính ưu việt của suy luận logic là cần thiết." [9, tr.11-13] Như vậy, trong GI, học sinh làm việc trên các đối tượng vật chất nhờ vào nhận thức và thao tác các dụng cụ. Các đối tượng vật chất này là các đối tượng hình vẽ hình học trong trường hợp hình học phẳng. Trong GII, hình vẽ biểu diễn chỉ là một biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết và chúng ta làm việc trên chính các đối tượng hình học lý thuyết này. Đối với Houdement và Kuzniak, đối tượng hình học của GII không có nghĩa trong lý thuyết vì nó là mô hình của một đối tượng thực. Theo quan điểm này, rõ ràng là đối tượng thứ nhất là đối tượng thực, đối tượng lý thuyết của GII là một mô hình của thực tế. Vai trò của hình vẽ biểu diễn trong GII rất phức tạp vì nó là biểu diễn của một đối tượng hình học lý thuyết mà bản thân nó chính là mô hình của một đối tượng thực. 1.3. Mô thức hình học của Parzysz Nhận xét về mô thức hình học của Houdement và Kuzniak, Parzysz cho rằng: "Sự nối khớp giữa GI và GII – về mặt bản chất khoa học luận – cơ bản hơn sự nối khớp tách đôi GII và GIII Thực vậy, trong GI, các đối tượng vẫn còn là đối tượng vật lý lý tưởng nhiều hơn hay ít hơn các tình huống của "thực tế" (mô hình ngôi nhà, hình vẽ một cánh đồng) và việc đánh giá vẫn còn theo bậc nhận thức (dụng cụ hóa hay không). Ngược lại, trong GII cũng như GIII, các đối tượng liên quan là các yếu tố nằm ngoài thực tế (nhưng được biểu diễn bởi các đối tượng vật lý), việc đánh giá các khẳng định theo bậc suy diễn: "học sinh được gợi ý từ bỏ một kiểm tra mang tính kinh nghiệm chủ nghĩa các tuyên bố của họ vì lợi ích của một kiểm tra bằng phương thức suy luận." [3, tr.32]. Như vậy, theo Parzysz, sự phân biệt của GII với GI và GIII chủ yếu dựa trên hai phương diện: 1/ GII là một mô hình hóa của không gian "vật lý" (nghĩa là GI), trong khi GIII không còn tham chiếu đến "thực tế" nào khác; 2/ GII có thể gọi là một GIII tiên đề hóa không hoàn toàn, hay tốt hơn là một hình học trong đó các "tiên đề" (có tính kinh điển hay không) ngầm ẩn theo từng NGUYỄN ÁI QUỐC 31 phần (có ý thức hay không). Nói chính xác hơn, GII dựa trên các lập luận suy diễn có hiệu lực xuất phát từ một số thực tế được xem xét như "hiển nhiên"; với điều này nó tương tự với GIII (phiên bản Euclide). Nói chung, ở một vài chỗ, nơi mà GIII bao hàm một tiên đề và có thể cả các định nghĩa và các định lý bắt nguồn từ nó thì GII đành chấp nhận "ta thấy rằng" (thậm chí có thể ngầm ẩn). Nhận thức vẫn còn hiện diện, nhưng nó coi như chỉ phục vụ xây dựng một lý thuyết của không gian nhận thức được, và không còn – ít nhất là về nguyên tắc – để hỗ trợ một luận chứng (ngay cả khi "chúng ta thấy rằng" mâu thuẫn với nhận xét này)." [16, tr.100-101] Như vậy, không giống như Houdement – Kuzniak làm nổi bật sự liên tục giữa các mô thức khác nhau, Parzysz nhấn mạnh trên sự đứt gãy giữa GI và GII. Parzysz định nghĩa các mô thức hình học của riêng mình như sau: "Bằng cách làm theo các phân biệt được trình bày ở trên, chúng tôi đề xuất một phép thử tổng hợp các mô hình trước đó, đặc biệt bao gồm một sự nối khớp khác một ít với sự nối khớp được đề xuất của Houdement – Kuzniak vì những lý do nêu trên. Các yếu tố mà mô hình này dựa trên, một mặt là bản chất của các đối tượng liên quan (vật lý với lý thuyết), mặt khác là các phương thức đánh giá (nhận thức với suy diễn logic). Bắt đầu từ "hiện thực", hay "cụ thể" (G0) mà không phải là hình học, chúng tôi gây tương phản, một mặt với một hình học không tiên đề, dựa trên các tình huống cụ thể được lý tưởng hóa để tạo thành "không gian – đồ họa" (GI) và mặt khác với một hình học tiên đề, sự tiên đề hóa có thể tường minh hoàn toàn (GIII) hay không (GII), và tham chiếu "thực" là tùy chọn cho cái thứ nhất (nhưng không cho cái thứ hai); trong trường hợp thứ hai, chúng ta sẽ nói về hình học tiền tiên đề. Tình huống có thể được sơ đồ hóa bằng biểu đồ 1 sau: Các Hình học không tiên đề Các Hình học tiên đề Kiểu hình học "Hình học" cụ thể (G0) Hình học Không gian – đồ họa (GI) Hình học tiền tiên đề (GII) Hình học tiên đề (GIII) Đối tượng Vật lý Lý thuyết Đánh giá Nhận thức Suy diễn Biểu đồ 1 Như vậy, nếu xét theo quan điểm didactic, sự phân biệt giữa các hình học này xuất hiện trong các đứt gãy của hợp đồng xảy ra giữa cái này với cái khác, hay cụ thể hơn: - Chuyển từ G0 sang GI: tính vật chất của các đối tượng liên quan (gỗ, bìa cứng, rơm) - Chuyển từ GI sang GII: độ dày của nét vẽ, của điểm; kiểm chứng bằng nhận thức - Chuyển từ GII sang GIII: các thuộc tính được coi là "hiển nhiên". [16, tr.101] Rõ ràng có một vài đặc trưng của các mô thức hình học khác nhau có thể được làm rõ bằng cách so sánh với định nghĩa của Houdement – Kuzniak. Trước hết, kinh nghiệm nuôi dưỡng sự duy diễn trong GI của Houdement – Kuzniak, nhưng trong định nghĩa của Parzysz đó là các đánh giá kiểu nhận thức. Trong cả hai trường hợp, NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 32 vấn đề là tác động mang tính vật chất trên các đối tượng thực của GI. Hành động này, chúng ta gọi là kinh nghiệm hay đánh giá kiểu nhận thức, có thể thay đổi: đo đạc, vẽ, cắt, lật ngược, Mặt khác, trong GI, chúng ta có thể đánh giá bằng sự nhận thức với hay không với dụng cụ. Sau cùng, hai định nghĩa dựa trên các yếu tố khác nhau: trực giác, kinh nghiệm và suy diễn của Houdement – Kuzniak, và bản chất của đối tượng và kiểu đánh giá vận hành ở Parzysz. 2. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng hình học 2.1. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng hình học Parzysr (1988) phân biệt hình vẽ biểu diễn với hình trong các biểu diễn đồ họa trong hình học: hình vẽ biểu diễn là vết vật chất trên một tờ giấy trong khi hình đề cập đến đối tượng lý thuyết được biểu diễn. Hay nói cách khác, hình vẽ biểu diễn thể hiện cho một hình và hình bao gồm các đối tượng hình học trong một mối quan hệ. Parzysr nhấn mạnh hai quan điểm về hình bằng cách đề cập tính đa nghĩa của từ hình qua việc sử dụng hai từ phân biệt: hình vẽ biểu diễn và đối tượng hình học: "Trong thực tế, từ này chỉ hoặc là đối tượng hình học (lý tưởng, theo nghĩa của Plato) mà các nghiên cứu thực hiện trên đó, hoặc là một hình vẽ biểu diễn của đối tượng này." [15, tr.13] Một giải thích khác về hình cũng được trình bày trong [14, tr. 80]: “Hình hình học là đối tượng hình học được mô tả bằng văn bản định nghĩa, một ý tưởng, một sự sáng tạo của trí tuệ trong khi hình vẽ biểu diễn là một sự biểu diễn cho đối tượng hình học đó.” Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm thấy sự phân biệt hình vẽ biểu diễn và hình trong một số bài báo của Arsac: "Theo truyền thống từ thời Plato đã phân biệt hình được vẽ trên giấy, thường để chỉ một hình vẽ biểu diễn, với đối tượng hình học mà trên đó thực hiện các chứng minh." [3] “Về sau, chúng ta phân biệt hình vẽ biểu diễn với hình, hình vẽ biểu diễn để chỉ hình vẽ được vẽ cụ thể trên trang giấy (hay trên cát của Archimede) và hình để chỉ đối tượng toán học mà trong đó hình vẽ chỉ là một sự biểu diễnVì thế, hình là một phần tử của "thế giới toán học" và không phải là phần tử của thế giới cảm tính” [1, tr.86] Trong một bài báo, Laborde và Capponi nêu rõ: "Người ta phân biệt các đối tượng hình học và các quan hệ hình học có tính chất lý thuyết với sự thể hiện ra bên ngoài của chúng trong các hệ thống biểu đạt khác nhau. Người ta quan tâm đặc biệt đến các thực tế đồ họa không gian (các hình vẽ biểu diễn được tạo ra bằng vết vẽ của chì trên trang giấy, của một que gỗ trên cát, của các hạt điện tử trên màn hình máy tính) biểu diễn các đối tượng lý thuyết này." [13] Như vậy, hình vẽ biểu diễn được xem là các vết vẽ vật chất trên trang giấy, trên bảng, trên cát, trên màn hình máy tính, biểu diễn cho một đối tượng hình học lý thuyết trong thế giới cảm tính, và đối tượng hình học lý thuyết này được gọi là hình (xem biểu đồ 2). Đối tượng hình học lý thuyết được xem xét dưới hai quan điểm, như Parzysz đã đề cập: một đối tượng được định nghĩa bởi một lý thuyết, chẳng hạn hình học Euclide, từ các định nghĩa, các tiên đề, và do đó hoàn toàn thuộc thế giới toán học hay nói đúng hơn là một đối tượng lý tưởng theo nghĩa của Plato, như Arsac đã nhắc lại: NGUYỄN ÁI QUỐC 33 “Các thành phần của hình (điểm, đoạn) có thể được xem như có một trạng thái của các đối tượng lý tưởng (theo quan điểm Hy lạp) hay được định nghĩa đơn giản bằng các tiên đề (theo quan điểm hiện đại)” [1, tr.86] 2.2. Hình vẽ hình học Hình vẽ hình học được Parzysz nói đến trong việc mô tả GI: "GI là một hình học trong đó các đối tượng vật lý đã trải qua sự khởi đầu của việc lý tưởng hóa, theo nghĩa chỉ có một số đặc tính của đối tượng vật chất được giữ lại thỏa đáng (ví dụ màu của các nét vẽ trên một trang giấy hay một màn hình máy tính, vật liệu mà một mô hình được thực hiện trên đó sẽ không được tính đến). Nghĩa là cái nhìn trên các đối tượng đã có một ít trừu tượng và được đơn giản hóa so với hiện thực (mô hình, vết vẽ trên trang giấy, trên màn hình máy tính)." [17] Như vậy, hình vẽ hình học không còn là một đối tượng vật lý "thô" nữa, mà là một đối tượng đã trải qua quá trình chuyển đổi trí tuệ và diễn giải để tạo ra một hình vẽ hình học. Thực tế, người đọc có thể hoặc không thể xem hình vẽ như một đối tượng hình học. Tùy thuộc vào ngữ cảnh, hình vẽ biểu diễn trở thành hình vẽ hình học kể từ lúc người đọc quyết định nó, chẳng hạn hình vẽ biểu diễn này nằm trên bảng của lớp học toán hay trên một trang sách giáo khoa toán. Hành động duy nhất của chủ thể được xem xét ở cấp độ này là xem hình vẽ biểu diễn như hình vẽ hình học trước bất kỳ sự diễn giải, suy luận và suy diễn nào. Chúng ta có thể bổ sung quan điểm này bằng sự phân loại việc xử lý hình vẽ của Duval: "Sự lĩnh hội nhận thức cho phép ngay lập tức nhận dạng hay nhận biết một hình dạng, hay một đối tượng, hoặc trong mặt phẳng, hoặc trong không gian. Quá trình nhận dạng một hình dạng 2D hay 3D được thực hiện theo các quy tắc được gọi là "những nhà tổng hình học" của tổ chức hay theo các thông số cấu hình ví dụ sự khác biệt về kích thước hay định hướng." [6, tr.123] Mặc dù Duval nói đến hình (ông không phân biệt hình và hình vẽ biểu diễn) ở đây nhưng chúng ta vẫn xem hình vẽ biểu diễn theo nghĩa sự lĩnh hội nhận thức xảy ra trên đối tượng vật lý, vết vẽ trên giấy,, được xem xét như một hình vẽ hình học. 2.3. Hình vẽ biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết Thực tế cho thấy, mối quan hệ giữa đối tượng hình học lý thuyết và biểu diễn của nó rất phức tạp. Labord và Capponi [13] đặc biệt xem xét một số khía cạnh của tính phức tạp này. 2.3.1. Đa diễn giải Việc biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết dễ dẫn đến nhiều diễn giải khác nhau. Mặc dù cùng một việc đọc hình học, nhưng diễn giải lại phụ thuộc vào tri thức Hình vẽ biểu diễn  Vết vẽ vật chất trên một giá vẽ, thực tế đồ họa. không gian Đối tượng hình học lý thuyết  Đối tượng được định nghĩa bởi một lý thuyết hình học.  Đối tượng lý tưởng. Biểu đồ 2 NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 34 của người đọc. Chẳng hạn, hình vẽ biểu diễn (hình 1) trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, có thể được diễn giải như một đường tròn hay một hình tròn tâm O(0; 0), bán kính bằng 1 ở học sinh lớp 10, hay tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn cho số phức z = x+iy trong mặt phẳng phức thỏa mãn hệ thức ở học sinh lớp 12, hay như một quả cầu đóng tâm O(0; 0) và bán kính 1 ở sinh viên toán năm 2 của trường đại học. Diễn giải này cũng phụ thuộc vào ngữ cảnh. Cùng một học sinh cấp trung học cơ sở sẽ xem hình vẽ biểu diễn (hình 2) như một đường tròn hay một hình tròn tùy theo học sinh đó đang quan tâm đến chu vi hay là diện tích hình. Diễn giải này cũng phụ thuộc vào các ràng buộc của thể chế dạy học. Chẳng hạn, trong hình biểu diễn ở hình 3, một học sinh trung học cơ sở có thể xem là hình bình hành, nhưng một học sinh trung học phổ thông có thể xem là một hình chữ nhật, hay hình thoi, hay hình vuông hay có thể là một mặt phẳng. Hay nói cách khác, cùng một hình vẽ có thể đề cập đến các đối tượng hình học lý thuyết khác nhau. 2.3.2. Miền hoạt động bị giới hạn Miền hoạt động của một đối tượng hình học lý thuyết được định nghĩa như sau: "Như là biểu đạt của một đối tượng hình học lý thuyết, hình vẽ biểu diễn trình bày các tính chất của đối tượng này nhưng chỉ thực hiện được từng phần. Người ta có thể gắn liền một miền hoạt động với hình vẽ biểu diễn (là tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ biểu diễn)." [13, tr.171] Đối tượng hình học lý thuyết có một số tính chất có thể không thấy được trên hình vẽ biểu diễn. Miền hoạt động là miền trong đó hình vẽ biểu diễn có khả năng cung cấp các thông tin thỏa đáng. Bởi vì hình vẽ biểu diễn không nói được hết tất cả mọi thứ của đối tượng hình học lý thuyết, do đó cần thiết phải có văn bản mô tả. Chẳng hạn, trong hình 4, làm thế nào biết hình vẽ biểu diễn một đoạn thẳng hay một đường thẳng? Chúng ta có thể lưu ý rằng, từ một văn bản mô tả, có thể thực hiện một hình vẽ biểu diễn, thậm chí là nhiều hơn, vì đối tượng hình học lý thuyết hoàn toàn được xác định bởi một văn bản mô tả, nhưng từ một hình vẽ biểu diễn, không thể tái tạo lại văn bản mô tả và do đó không thể xác định được đối tượng hình học lý thuyết một cách chắc chắn. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 NGUYỄN ÁI QUỐC 35 2.3.3. Miền diễn giải bị giới hạn "Tất cả các tính chất của hình vẽ biểu diễn không thể được diễn giải như đề cập đến các thuộc tính của đối tượng, do đó có một miền diễn giải gắn liền với hình vẽ biểu diễn. Chẳng hạn, vị trí của hình vẽ biểu diễn trong trang giấy nằm ngoài miền diễn giải của các hình vẽ như các biểu đạt của các đối tượng của hình học Euclide. Một số vấn đề học sinh gặp phải cho thấy chính xác rằng họ hoạt động với một miền diễn giải khác với miền diễn giải của hình học Euclide." [13, tr.172] Thực tế cho thấy học sinh cấp trung học phổ thông dễ dàng sử dụng các biểu thức kiểu "ở phía trên", "ở trên", "bên phải", "ngang", "thẳng đứng", mà không phải là một phần của "miền diễn giải các hình vẽ biểu diễn như biểu đạt của các đối tượng của hình học Euclide." Chẳng hạn, trong hình 5, một điểm thuộc miền 3 có thể được học sinh diễn giải nằm phía dưới mặt phẳng và một điểm thuộc miền 4 có thể được học sinh diễn giải nằm phía trên mặt phẳng. Các diễn giải này bắt nguồn từ xu hướng của học sinh mở rộng mặt phẳng theo phương nằm ngang nhiều hơn so với phương thẳng đứng. 2.3.4. Vắng bóng đẳng cấu và mô tả suy lý logic Tính phức tạp của diễn giải hình vẽ biểu diễn cho thấy rõ sự vắng bóng của "đẳng cấu" giữa tập hợp các hình vẽ biểu diễn và tập hợp các đối tượng hình học lý thuyết bởi vì cùng một hình vẽ biểu diễn có thể tương ứng với nhiều đối tượng hình học lý thuyết, chẳng hạn trường hợp hình vuông và quả cầu trong mục 2.2.1., và ngược lại nhiều hình vẽ biểu diễn có thể tương ứng với cùng một đối tượng hình học lý tưởng, chẳng hạn nhiều hình vẽ biểu diễn thể hiện cho một tam giác bất kỳ. Từ đó, không thể xác định đối tượng hình học lý thuyết bằng một hình vẽ và cần thiết phải có một mô tả suy lý logic để:  tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ biểu diễn "Một mô tả suy lý logic nêu đặc trưng đối tượng hình học lý thuyết là cần thiết để tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ biểu diễn." [13, tr.171]  lựa chọn đối tượng được biểu diễn: "Một hình chỉ có thể biểu diễn một tình huống hình học trong một phạm vi mà ý nghĩa của một số đơn vị biểu trưng và một số quan hệ của chúng được cố định tường minh ngay từ đầu cùng một hình vẽ có thể biểu diễn nhiều tình huống toán học rất khác nhau và như vậy phục vụ hỗ trợ trực quan cho các suy luận khác nhau. Do đó cần phải có một sự chỉ dẫn bằng lời nói để cố định hình vẽ như sự biểu diễn cho đối tượng toán học nào đó." [7, tr.188]  hay chỉ đơn giản định nghĩa đối tượng này: "Hình là đối tượng hình học được mô tả bằng văn bản định nghĩa cho nó." [14, tr.80] 2.4. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng của hình học Đối với học sinh tiểu học và trung học cơ sở, trong giai đoạn đầu khi học hình học, đối tượng hình học lý thuyết là một đối tượng tư duy không thể tiếp cận được. Khi đó, hình vẽ biểu diễn là đối tượng hình học mà học sinh làm việc trên đó. Học sinh Hình 5 NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 36 trước hết trích ra các tính chất bằng tri giác, sau đó dẫn đến việc sử dụng các dụng cụ hình học để kiểm chứng các giả thuyết được phát biểu. Do đó, các hoạt động hình học được thực hiện trực tiếp trên các hình vẽ hình học mà không tham chiếu đến một đối tượng hình học lý thuyết. Mục đích chính của các hoạt động này là cho phép học sinh làm quen với các đối tượng của mặt phẳng và của không gian và chuyển dần dần từ một hình học trong đó các đối tượng và các tính chất của chúng được kiểm tra bằng tri giác sang một hình học trong đó họ nhờ đến các công cụ và kiến thức về một số tính chất của đối tượng hình học lý thuyết. Chẳng hạn, ở bài tập 13, trang 79, Sách giáo khoa Toán 6, tập hai [18], học sinh được yêu cầu đo các góc , , ở hình 6: Việc xác định số đo của ba góc trong tam giác IKL được học sinh thực hiện bằng cách sử dụng thước đo độ thao tác trực tiếp trên hình vẽ biểu diễn để đo các góc. Trong trường hợp này, đối với học sinh, hình vẽ biểu diễn tam giác IKL được xem là đối tượng hình học và không được xem là hình vẽ biểu diễn cho đối tượng hình học lý thuyết. Trong tất cả các trường hợp như trên, đối tượng làm việc là hình vẽ, không có bất cứ sự mã hóa cũng như mô tả suy lý logic nào cho phép xem xét một đối tượng hình học lý thuyết. Tuy nhiên, việc đưa vào mã hóa không có nghĩa là người ta cần quan tâm đến đối tượng hình học lý thuyết. Chẳng hạn, trong một bài tập được trích ra từ Sách giáo khoa Toán của Pháp Maths CM1 [5, tr.79], tương đương lớp 4 của Việt Nam, học sinh được yêu cầu dựng lại một hình với các số đo thực trên giấy kẻ ô lưới 1cmx1cm với các dụng cụ hình học từ một sơ đồ vẽ bằng tay cho trước trên đó có ghi số đo của các cạnh (Hình 7). Sơ sồ trong hình 7 có thể được diễn giải như một biểu diễn của một đối tượng vật lý hay một đối tượng lý thuyết, nhưng nó không được quan tâm trong bài tập này. Hoạt động của học sinh trong trường hợp này là giải mã sơ đồ trong 7 để thực hiện dựng hình. Việc dựng hình ở đây được xem xét đơn giản là tạo ra một hình vẽ hình học tương ứng với mô tả bằng mã hóa. Do đó, đối tượng làm việc ở đây là hình vẽ mà trên đó học sinh cần đo độ dài các cạnh, sử dụng thước êke, 3. Hình 3.1. Hình là hình vẽ biểu diễn Duval định nghĩa hình theo nghĩa vết vẽ vật chất trên trang giấy, hay nói cách khác, Duval sử dụng từ hình cho cái mà chúng ta gọi là hình vẽ biểu diễn hay hình vẽ hình học, đối tượng hình học hay biểu diễn của một đối tượng hình học lý thuyết. 3.2. Hình là đối tượng hình học lý thuyết Theo quan điểm cổ điển của Arsac và Parzysz, từ hình để chỉ một số đối tượng hình học lý thuyết. "chúng tôi dành riêng (là một quy ước, có thể tranh luận như mọi quy ước Hình 6 Hình 7 NGUYỄN ÁI QUỐC 37 khác) từ HÌNH cho bản thể hình học, trong khi chúng tôi sử dụng từ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN cho một biểu diễn đồ họa (mặt phẳng) của hình này." [15, tr.14] Tuy nhiên, trong thực tế, từ hình được sử dụng để chỉ một đối tượng phức tạp hơn các đối tượng của hình vẽ biểu diễn hay của đối tượng hình học lý thuyết. 3.3. Hình là lớp tương đương các hình vẽ biểu diễn Arsac, trong một số trường hợp, xem xét hình như một lớp tương đương các hình vẽ biểu diễn cùng một đối tượng hình học lý thuyết. Chính là cái mà Arsac gọi là quan điểm toán học trên hình. "Một hình xuất hiện như một lớp tương đương: cụ thể, hai hình vẽ biểu diễn cùng một hình khi chúng đồng dạng và đẳng cự (tùy theo loại thuộc tính mà chúng ta muốn nghiên cứu) hay thậm chí chúng tương ứng trong một phép biến đổi affine." [2, tr.174] Trong trường hợp của hai hình vẽ biểu diễn trong hình 8, không tồn tại một phép biến đổi affine biến hình vẽ biểu diễn này thành hình vẽ biểu diễn kia. Tuy nhiên, nếu xét từ một quan điểm khác, chúng biểu diễn cùng một đối tượng hình học : một tứ giác bất kỳ và đường tròn ngoại tiếp của nó. Vậy chúng ta có thể mở rộng định nghĩa ở trên của Arsac và xem xét hình như tập hợp tất cả các hình vẽ biểu diễn của một đối tượng hình học được định nghĩa bằng một phát biểu mô tả các đối tượng, các thuộc tính, các mối quan hệ: một tứ giác bất kỳ, nghĩa là không có góc vuông, không có hai cạnh song song và đường tròn ngoại tiếp của nó. Labord và Capponi phát triển khái niệm lớp tương đương theo cách phức tạp hơn: đưa khái niệm hình vào trong tam giác cái biểu đạt – cái được biểu đạt – cái quy chiếu. Hình vẽ biểu diễn là cái biểu đạt, sự biểu diễn; đối tượng hình học lý thuyết là quy chiếu, đối tượng được biểu diễn. "Hình hình học bao gồm sự ghép cặp một quy chiếu cho trước với tất cả các hình vẽ biểu diễn, do đó nó được định nghĩa như tập hợp các cặp được hình thành từ hai từ, từ thứ nhất là quy chiếu, từ thứ hai là một trong các hình vẽ biểu diễn; từ thứ hai được lấy từ trong không gian tất cả các hình vẽ biểu diễn có thể của quy chiếu. Trong sự chấp nhận này, từ hình hình học phản chiếu việc thiết lập một quan hệ giữa một đối tượng hình học và các biểu diễn có thể có của nó. Trong cách tiếp cận này, các mối liên quan giữa hình vẽ biểu diễn và quy chiếu của nó được xây dựng bởi một chủ thể, người đọc hay người tạo ra hình vẽ biểu diễn, bao gồm cái được biểu đạt của hình hình học liên kết với chủ thể này. Cái được biểu đạt này tương ứng với cái mà Fischbein (1993) gọi là khái niệm hình." [12, tr.168] 4. Kết luận Việc làm rõ các quan điểm về hình và hình vẽ biểu diễn cũng như mối quan hệ giữa chúng là điều cần được quan tâm trong công tác đào tạo giáo viên Toán bậc phổ thông từ tiểu học đến trung học phổ thông. Sự phân biệt giữa hai đối tượng hình và hình vẽ biểu diễn mở ra một miền rộng lớn cho các nghiên cứu liên quan đến chúng. Các đặc trưng của mối quan hệ giữa hai đối tượng này trong hình học phẳng đã được nhiều nhà didactic toán làm rõ trong các công trình nghiên cứu của họ. Hình 8 NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 38 Thực tế dạy học cho thấy trong hình học không gian, mối quan hệ giữa hình và hình vẽ biểu diễn rất phức tạp vì vấn đề biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết của không gian 3D trong không gian 2D được thực hiện qua phép chiếu song song và việc chọn lựa một môi trường làm việc trên đó, môi trường giấy-bút chì hay máy tính, sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến mối quan hệ này. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Arsac, G., (1989): La construction du concept de figure chez des éleves de 12 ans. Actes de la 13 ème conference PME. Paris. P85-92. Artigue M., Rogalski J. et Vergnaud G. 2. Arsac, G., & al. (1992): Initiation au raisonnement déductif au college. Ed. Presses Universitaires de Lyon. 3. Arsac, G., (2004): Bases élementaires de l’étude de la démonstration mathematique. Séminaire de Didactique, Histoire et Épistemologie des Mathematiques, des Sciences et des Techniques du PREMST. IUFM de Lyon. 28 janvier 2004. 4. Berthelot, R., & Salin, M. (1992): Espace et géométrie dans la scolarite obligatoire. Thèse de doctorat. Université de Bordeaux 1. 5. Charney, R., & Combier, G., & Dussuc M. P. (2003): Cap Maths. CM1. Ed. Hatier. 6. Duval, R. (1994): Les differents fonctionnements d’une figure dans une démarche géometrique. Reperes IREM. n 0 17. P121-138. Ed. IREM de Grenoble. 7. Duval, R. (1995): Sémiosis et pensée humaine. Ed. Springer. Berne. 8. Fischbein, E. (1993): The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics. Vol. 24. n 0 2. P139-162. Ed. Kluwer Academic Publishers. 9. Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999.3): Géométrie et paradigmes géométriques. Petit x. n 0 51. P5-21. Ed. IREM de Grenoble. 10. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2000): Formation des maitres et paradigmes géométriques. Recherches en Didactique des Mathematiques. Vol. 20. n 0 1. P 89-116. Ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. 11. Kuhn, T. (1977). The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change. Chicago: University of Chicago Press. 12. Labord, C., & Capponi, B. (1994): Cabri- Géometre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure géometrique. Recherches en Didactique des mathematiques. Vol. 14. n 0 1.2. p165-210. Ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. 13. Labord, C., & Capponi, B. (1995): Modelisation à double sens. Actes de la 8 ème Ecole d’éte de Didactique des mathematiques. Saint Sauves d’Auvergne. Aout 1995. Ed. IREM de Clemont-Ferrand. 14. Parzysz, B. (1988): "Knowing" vs "seeing". Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics. n 0 19. P79-92. Ed. Kluwer Academic Publishers. 15. Parzysz, B. (1989): Représentations planes et enseignement de la géométrie de l’espace au lycée. Contribution à l’étude de la relation voir/savoir. Thèse de doctorat. Université Paris-7. Ed. IREM Paris-7. 16. Parzysz, B. (2002): Articulation entre perception et déduction dans une démarche géometrique en PÉ. Actes du 28 ème colloque Inter-IREM des formateurs et professeurs chargés de la formation des maitres. Tours. Mai 2001. P.99-110. Ed. Presses Universitaires d’Orléans. 17. Parzysz, B. (2004): Preuve perceptive ou démonstration? Le rapport des PE1 à la géometrie, étudie à travers leur discours "méta". Actes du 31 ème colloque Inter-IREM des formateur et professeurs charges de la formation des maitres. Foix. Mai 2004. Ed. IREM de Toulouse. 18. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012), Toán 6 – tập hai, Nxb Giáo Dục Việt Nam. Ngày nhận bài: 02/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017