Nghiên cứu đặc tính thống kê các lỗi dự báo tín hiệu giao thoa trong thuật toán bộ lọc Kalman phi tuyến - Nguyễn Trường Sơn

Kỹ thuật siêu cao tần & Ra đa N. T. Sơn, L. N. Uyên, “Nghiên cứu đặc tính lọc Kalman phi tuyến.” 64 NGHIÊN CỨU ĐẶC TÍNH THỐNG KÊ CÁC LỖI DỰ BÁO TÍN HIỆU GIAO THOA TRONG THUẬT TOÁN BỘ LỌC KALMAN PHI TUYẾN Nguyễn Trường Sơn*, Lê Ngọc Uyên Tóm tắt: Bài báo đánh giá phân tích, xác định đặc tính thống kê các giá trị tín hiệu dự báo lỗi, phân tích biểu đồ lỗi, điều chỉnh các thông số khác nhau của tín hiệu giao thoa. Mô hình các hoạt động dự báo tín hiệu trong một số các thông số cố định và thay đổi các thông số của tín hiệu trong các thuật toán lọc phi tuyến Kalman. Đánh giá định lượng các giá trị tín hiệu giao thoa của các lỗi dự đoán bằng cách xây dựng và phân tích biểu đồ lỗi với sự ảnh hưởng của nhiễu thêm vào và thay đổi ngẫu nhiên trong biên độ và tần số của tín hiệu giao thoa. Bộ lọc phi tuyến Kalman cung cấp xử lý tín hiệu với các thông số khác nhau một cách ngẫu nhiên, tuy nhiên, không xem xét trực tiếp sai lệch của hàm vi phân tuyến tính đại diện cho tín hiệu giao thoa, mà nguyên nhân là sai số của bộ lọc. Từ khóa: Tín hiệu giao thoa bộ lọc phi tuyến Kalman, Các lỗi dự báo, Biểu đồ nhiễu Gauss. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Khảo sát và kiểm tra các đối tượng bằng các phương pháp không tiếp xúc được sử dụng trong nhiều ngành khoa học và công nghệ [1, 2]. Phương pháp giao thoa thực hiện chính xác hơn và đảm bảo các phép đo không tiếp xúc đối với các đặc điểm khác nhau của những đối tượng khảo sát [1-3]. Phương pháp dựa trên sự biến đổi Fourier được sử dụng rộng rãi để xử lý các tín hiệu giao thoa [4]. Nhược điểm của phương pháp này là sự cần thiết phải ghi đầy đủ các dữ liệu trước khi xử lý, do đó hạn chế hiệu suất và trong một số trường hợp không cho phép đo lường các đặc điểm của đối tượng khảo sát. Trong nhiều trường hợp, để đánh giá trạng thái động học của hệ thống bằng cách sử dụng kỹ thuật lọc Kalman [5, 6], dựa vào mô tả các hệ thống và tín hiệu sử dụng các phương trình vi phân ngẫu nhiên và các phương trình hiệu số. Trong phương pháp lọc Kalman rời rạc, dự đoán giá trị tham số tín hiệu và các giá trị cho mỗi bước lấy mẫu trên cơ sở các thông tin thu được trong bước trước được thực hiện. Kết quả là, so sánh các giá trị tín hiệu ghi nhận thực tế và các giá trị tín hiệu dự đoán để xác định giá trị sai lệch, giá trị sai lệch này được sử dụng điều chỉnh các giá trị dự đoán các thông số ở mỗi bước. Phương pháp này đã được sử dụng thành công xử lý động học của tín hiệu giao thoa trong mặt cắt không tiếp xúc và chụp cắt lớp gắn kết quang học [7-10], việc xử lý mô hình hai chiều của dải giao thoa [11], trong giai đoạn chuyển giao thoa với giai đoạn triển khai ba chiều [12], với điều khiển chuyển giao thoa chính xác cao [13], khi xử lý thông tin giao thoa radar mặt mở tổng hợp [14]. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Ra đa, 08 - 2016 65 Mức độ lọc tối ưu phần lớn được xác định bởi các đặc tính thống kê độ sai lệch khi sử dụng mô hình tín hiệu phi tuyến. Trong lý thuyết tuyến tính của bộ lọc Kalman thường được sử dụng giả định phân bố thống kê Gauss về lỗi dự báo và kiểm soát nhiễu Gauss [5, 7, 15]. Đối với các tín hiệu giao thoa, phụ thuộc vào các tham số phi tuyến, giả định này không hoàn toàn chính xác và cần thiết để tiến hành nghiên cứu về nguyên nhân của các lỗi dự đoán đối với dạng tín hiệu đã được xem xét. Bài báo này trình bày kết quả một nghiên cứu về hiệu suất lỗi dự báo thống kê cho một chuỗi rời rạc các giá trị của các tín hiệu dưới dạng các chức năng điều hòa thường được sử dụng để mô tả các tín hiệu giao thoa. 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP LỌC PHI TUYẾN KALMAN RỜI RẠC Thuật toán lọc phi tuyến Kalman dựa trên việc sử dụng một mô hình tham số của tín hiệu, có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức vector: s(k) = h(k, θ(k))+n(k), Trong đó, h(k, θ(k))– Mô hình tín hiệu phi tuyến; θ– Vector tham số; n(k)– Nhiễu quan sát; k – Số lượng mẫu rời rạc, k= 1,K, trong việc chọn từ K mẫu với bước rời rạc ∆x theo biến số x độc lập. Nhiệm vụ lọc là để đánh giá được động học của tham số vector () đảm bảo độ chính xác theo yêu cầu và khả năng chống nhiễu đối với nhiễu quan sát. Sự phát triển các tham số tín hiệu ở bước lấy mẫu thứ k được xác định bởi phương trình: θ(k) = θ(k–1)+f(k, θ(k–1))+w(k), Trong đó, f (k, θ (k))– vector hàm số đã biết, trong trường hợp chung có xét đến khả năng biến đổi phi tuyến của tham số vector; w (k)- hình thành nhiễu. Ước lượng (dự đoán) tiên nghiệm các tham số đối với bước xử lý thứ k: ̅() = ()( − 1) (1) Được xác định bằng ma trận chuyển đổi T(k) khi các tham số biến đổi tuyến tính trong hệ thống giao thoa bằng cách sử dụng kết quả sau khi đánh giá vector tham số ( − 1), nhận được trong bước trước đó. Đánh giá động học của vector tham số () được tính là: () = ̅() + () () − ℎ , ̅(), (2) Trong đó ̅()- Vector tham số dự đoán trong (1), P(k)- hệ số khuếch đại của bộ lọc, thực hiện điều chỉnh vector tham số ̅() cho dự báo lỗi của tín hiệu, (), trình tự ghi lại bởi một chuỗi các mẫu tín hiệu rời rạc. Cấu trúc bộ lọc phi tuyến Kalman được biểu thị trong hình 1. Trong sơ đồ này, đưa ra phép toán được xác định bởi các biểu thức (1) và (2) để ước lượng các giá trị động học của các vector tham số () và trị số của hàm quan sát ℎ , ̅(). Kỹ thuật siêu cao tần & Ra đa N. T. Sơn, L. N. Uyên, “Nghiên cứu đặc tính lọc Kalman phi tuyến.” 66 Lưu ý rằng, khi điều chỉnh các tham số trong bộ lọc phi tuyến Kalman sử dụng ước lượng của các đạo hàm ℎ(, ̅) và (, ̅). Các thuật toán đưa ra được trình bày chi tiết hơn trong tài liệu [9]. Hình 1. Cấu trúc bộ lọc phi tuyến Kalman. 3. LỖI CÁC GIÁ TRỊ TÍN HIỆU GIAO THOA CỦA DỰ BÁO Mô hình vô hướng của tín hiệu giao thoa s(k) = h(k,θ(k)) với biên độ không đổi A được thể hiện dưới dạng: () = 2∆ + (), (3) Ở đây: - Tần số sóng mang; () – Độ lệch pha ngẫu nhiên của các giá trị tín hiệu phụ thuộc vào độ tuyến tính. Rõ ràng, nếu hàm số g(x) bất kỳ có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0, thì giá trị gần xấp xỉ trong vùng lân cận của điểm này của hàm tuyến tính khi triển khai chuỗi Taylor và sử dụng đạo hàm bậc nhất, khi đó: () ≈ () + ()( − ). (4) Đối với các tín hiệu (3) khi không có trong thành phần độ lệch pha ngẫu nhiên của phương trình (4) khi = ( − 1)∆ có dạng: ̂() = (2( − 1)∆) − 2(2( − 1)∆)∆. (5) Do đó, các lỗi dự báo được xác định: () = ̂() − () = (2( − 1)∆) −2(2( − 1)∆)∆ − (2∆). (6) Khi sử dụng biểu thức đã biết được bổ sung thêm chức năng điều hòa: + = √ + sin ( + arcsin √ ) Lỗi của dự báo (6) có thể được biểu diễn dưới dạng: () = 1 + (2∆) sin (2( − 1)∆ + arcsin (∆) − (2∆)) (7) Từ (7) suy ra lỗi dự đoán thấp hơn khi giảm số gia của pha trong khoảng bước lấy mẫu, tức là khi 2∆ → 0. Từ (7) cũng cho thấy rằng các lỗi dự báo có đặc Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Ra đa, 08 - 2016 67 tính của một chức năng sóng hài, có tần số của tín hiệu gốc mặc dù biên độ và pha ban đầu của hàm số này phụ thuộc vào tần số tín hiệu và các bước lấy mẫu. Trên hình 2a, đường cong liền nét cho thấy tín hiệu giao thoa khi số lượng mẫu trong một chu kỳ thời gian bằng 7, đường nét đứt thể hiện kết quả dự đoán tuyến tính theo biểu thức (5). Hình 2b minh họa biểu thức xác định (7) các lỗi dự báo giá trị tín hiệu trên hình 2a. Hình 2. Tín hiệu gốc và kết quả dự báo tuyến tính: Đường liền – Tín hiệu giao thoa khi số lượng mẫu trong một chu kỳ bằng 7, đường đứt- Dự báo tuyến tính thỏa mãn biểu thức (5)(a); Sự biến đổi dự báo lỗi trong khoảng một chu kỳ của tín hiệu giao thoa (b). Biểu đồ dự báo lỗi, được xây dựng sử dụng các mẫu trên độ dài thực hiện 20 chu kỳ của tín hiệu, và biểu thị ước lượng mật độ xác suất của lỗi (7) được thể hiện trong hình 3. Các biểu đồ tương ứng với mật độ xác suất của quá trình sóng hài ngẫu nhiên, tức là nó tồn tại tạp không Gauss. Hình 3. Biểu đồ dự báo lỗi. Trong trường hợp có ảnh hưởng của nhiễu tạp, khi quan sát thấy tín hiệu giao thoa bị bóp méo hơn. Ta xem xét các lỗi dự báo trong trường hợp này. Cho tín hiệu có dạng (3) bị ảnh hưởng bởi nhiễu bù thêm vào. Kỹ thuật siêu cao tần & Ra đa N. T. Sơn, L. N. Uyên, “Nghiên cứu đặc tính lọc Kalman phi tuyến.” 68 () = (2∆) + (). (8) Ở đây: n(k) – Nhiễu Gauss khi quan sát với giá trị trung bình không. Hình 4 cho thấy tín hiệu ở biểu thức (8) cho A = 1 và độ lệch trung bình bình phương của nhiễu bằng 0,3. Trên hình vẽ vị trí của các đường được minh họa bởi giá trị của tín hiệu dự báo dạng (5) dưới sự ảnh hưởng của nhiễu. Từ hình vẽ cho thấy, kết quả đạt được như dự kiến, bù thêm nhiễu được ghép với lỗi dự báo. Độ sai lệch của dự báo dựa trên quan sát của nhiễu được minh họa trong hình 4b, biểu đồ của lỗi dự đoán được hiển thị trong hình 4c. Hình 4. Tín hiệu gốc (đường liền) và kết quả dự báo (đường nét đứt- Giá trị tín hiệu dự báo dạng biểu thức (5) khi ảnh hưởng của nhiễu) (a); lỗi dự báo với mẫu của nhiễu khi quan sát (b); bộ ghi độ lệch dự báo (c). Rõ ràng, mật độ xác suất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích chập xác suất của các mật độ biên. Biểu đồ thể hiện trong hình 4c, được xác định bởi tích chập các biểu đồ hình 3, với biểu đồ quan sát nhiễu Gauss và lý thuyết bao gồm hai giá trị cực đại (khi tỷ số tín/tạp theo công suất lớn hơn 1), [3] chỉ ra rằng trong trường hợp chung, sai lệch của dự báo tuyến tính trên đặc tính không Gauss trong điều kiện nhiễu Gauss được thêm vào khi quan sát. Khi hình thành các tín hiệu giao thoa cũng có khả năng độ sai lệch ngẫu nhiên của biên độ tín hiệu, trong trường hợp riêng, mức độ phản xạ của tia phát xạ từ đối tượng khảo sát. Trong trường hợp này xuất hiện một thành phần bổ sung của độ sai lệch dự báo tín hiệu. Khi độ lệch biên độ () tín hiệu giao thoa (8) có dạng: () = + () cos(2∆) + (). (9) Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Ra đa, 08 - 2016 69 Ta biết rằng biên độ của tín hiệu thay đổi theo quy luật ngẫu nhiên bởi một phương trình chênh lệch ngẫu nhiên của số hạng đầu tiên: () = ( − 1)( − 1) + (), Trong đó, là số dương, 0 < < 1, () – tạo thành nhiễu Gauss với giá trị trung bình không và độ lệch bình phương trung bình . Các kết quả nhận được được minh họa trên hình 5a, khi giá trị = 0,2. Độ sai lệch dự báo dựa trên nhiễu quan sát n(k) và độ lệch biên độ (), và biểu đồ độ lệch được trình bày ở hình 5b và hình 5c. Rõ ràng biểu đồ có dạng không Gauss phức tạp với một số cực đại cục bộ. Khi độ lệch ngẫu nhiên cục bộ của tần số, tín hiệu giao thoa được thể hiện dưới dạng: () = (2∆ + ()) + (), Trong đó, độ lệch pha được tính như sau: () = 2 ∑ ∆, fi - giá trị độ lệch tần số địa phương; β- số dương nhỏ, xác định mức lệch pha của tín hiệu. Thay đổi tần số tín hiệu có thể được xác định tương tự bởi độ lệch biên độ sử dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên của số hạng đầu tiên: () = − 1( − 1) + (), Ở đây: là số dương, 0 < < 1. Hình 5. Tín hiệu lý tưởng không làm biến đổi biên độ tín hiệu và nhiễu quan sát (đường nét đậm), Mô hình tín hiệu dạng (9) ( đường nét nhỏ) và kết quả dự báo (đường đứt đoạn) (a); Lỗi dự báo khi sai lệch biên độ ngẫu nhiên của tín hiệu và ảnh hưởng của nhiễu quan sát (b); kết quả ghi sai số dự báo (c). Các kết quả được trình bày trong hình 6a. Sai lệch dự báo dựa trên quan sát của nhiễu và độ lệch tần số, cũng như biểu đồ biểu thị lỗi dự báo trên hình 6b và hình 6c, tương ứng. Kỹ thuật siêu cao tần & Ra đa N. T. Sơn, L. N. Uyên, “Nghiên cứu đặc tính lọc Kalman phi tuyến.” 70 Tóm lại, kết quả của các nghiên cứu cho thấy các biểu đồ của dự báo lỗi (hình 4c, hình 5 và hình 6c) có hình dạng phức tạp với một số đỉnh không Gauss. Vì vậy, khi sử dụng dự báo tuyến tính trong một biến ngẫu nhiên các biên độ và tần số của các giả thuyết tín hiệu giao thoa thống kê Gauss, khoảng trống các lỗi có thể gây ra lỗi và sự bất ổn định của thuật toán lọc phi tuyến Kalman áp dụng cho các tín hiệu giao thoa. Hình 6. Tín hiệu lý tưởng không làm biến đổi tần số tín hiệu (đường nét đậm), Mô hình tín hiệu (đường nét nhỏ) và kết quả dự báo (đường đứt đoạn) (a); Lỗi dự báo khi sai lệch tần số và nhiễu quan sát (b); kết quả ghi sai số dự báo (c). 4. KẾT LUẬN Tiêu chí đánh giá các đặc tính thống kê các lỗi của các trị số dự báo tín hiệu giao thoa bằng phương pháp xây dựng và phân tích biểu đồ lỗi đối với điều kiện khác nhau và thay đổi ngẫu nhiên các tham số tín hiệu. Bộ lọc phi tuyến Kalman cho chúng ta xử lý tín hiệu với việc thay đổi các tham số phi tuyến, tuy không phải là tối ưu, chỉ cần bỏ qua các lỗi tuyến tính của các hàm điều hòa, đại diện cho các tín hiệu giao thoa. Nhược điểm chính của các dự báo tuyến tính là các thống kê không Gauss lỗi dự báo, bao gồm cả độ lệch ngẫu nhiên trong biên độ và tần số của tín hiệu. Khi lọc các tín hiệu giao thoa hợp lý nhất nên sử dụng các phương pháp dự báo, dựa trên các mẫu thống kê tín hiệu cục bộ và các tham số của nó, cũng là đối tượng của nghiên cứu tiếp. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Ra đa, 08 - 2016 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чирков А.С., “Введение в статистическую радиофизику и оптику”,. М. Наука, 2001, 340 с. [2]. Malacara D., “Optical Shop Testing”, 2nd ed, John Wiley & Sons, 2012, 192 p. [3]. Васильев В.Н, “Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам”, Санкт-Петербург, 2008. 240 с. [4]. Takeda M., “Fourier fringe analysis and its application to metrology of extreme physical phenomena: a review”, Applied Optics., V. 52. N 1, 2013, P. 20–29. [5]. Kalman R.E., “A New approach to linear filtering and prediction problems”, Journal of Basic Engineering, V 82. N 1, 2000, P. 35–45. [6]. Балакришнан А.В., “Теория фильтрации Калмана”, Пер. с англ. М.: Мир, 2008, 169 с. [7]. Gurov I., Ermolaeva E., Zakharov A., “Analysis of low-coherence interference fringes by the Kalman filtering method”, Journal of the Optical Society of America A, V. 21. N 2, 2009, P. 242–251. [8]. Gurov I., Volynsky M., Zakharov A., “Evaluation of multilayer tissues in optical coherence tomography by the extended Kalman filtering method”, Proc. SPIE-The International Society for Optical Engineering. 2007.V.6734. [9]. Волынский М.А., Гуров И.П., Захаров А.С., “Динамический анализ сигналов в оптической когерентной томографии методом нелинейной фильтрации Калмана”, Оптический журнал. T. 75. № 10, 2011, C. 89–94. [10]. Gurov I., Volynsky M., “Dynamic fringe analysis in spectral interferometry and optical coherence tomography based on recurrence computational algorithms”, Fringe 13, 7th International Workshop on Advanced Optical Imaging and Metrology. Springer-Verlag, 2013, P. 313–316. [11]. Гуров И.П., Захаров А.С., “Анализ характеристик интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана”, Оптика и спектроскопия, Т. 96, № 2, 2004, С. 210–216. [12]. Gurov I., Volynsky M., Vorobeva E., “Dynamic wavefront evaluation in phase shifting interferometry based on recurrence fringe processing”, Int. Conf. on Advanced Phase Measurement Methods in Optics and Imaging // AIP Conf. Proc., V. 1236, 2010, P. 479–484. [13] Park T.-J., Choi H.-S., Han C.-S., Lee Y.-W., “Real-time precision displacement measurement interferometer using the robust discrete time Kalman filter”, Optics and Laser Technology, V. 37, N 3, 2009, P. 229–234. [14]. Nies H., Loffeld O., Wang Y., “Two dimensional Kalman filter approach for phase unwrapping of TerraSAR-X data2008” , 7th European Conference on Synthetic Aperture Radar, EUSAR. Friedrichshafen, Germany, 2012, P. 1–4. Kỹ thuật siêu cao tần & Ra đa N. T. Sơn, L. N. Uyên, “Nghiên cứu đặc tính lọc Kalman phi tuyến.” 72 [15]. Чердынцев В.А., “Радиотехнические системы”, Минск: Вышэйшая школа, 1998, 172 с. ABSTRACT THE STATISTICAL CHARACTERISTIC INVESTIGATION OF THE PREDICTION ERRORS FOR INTERFEROMETRIC SIGNAL IN THE ALGORITHM OF NONLINEAR KALMAN FILTERING The paper analysed and determined the statistical characteristics of the error prediction signals’ values; analysed the error charts; adjusted the parameters of interference signals. Modeling of the signal prediction procedure with known fixed parameters and variable parameters of signal in the algorithm of nonlinear Kalman filtering was performed. Numerical estimates of prediction errors for interferometric signal values were obtained by formation and analysis of the histogram errors under the influence of additive noise and random variations of amplitude and frequency of interferometric signal. Nonlinear Kalman filter is shown to provide processing of signals with randomly variable parameters, however, it does not take into account directly the linearization error of harmonic function representing interferometric signal that is a filtering error source. Keywords: Interferometric signal, Nonlinear Kalman filtering, Prediction error, Gaussian noise, Histogram. Nhận bài ngày 15 tháng 06 năm 2016 Hoàn thiện ngày 26 tháng 07 năm 2016 Chấp nhận đăng ngày 01 tháng 08 năm 2016 Địa chỉ: Viện Radar/ Viện KH-CNQS. *Email: Truongsonxlth@gmail.com