Nghiệm xấp sỉ siêu cao tần trong miền thời gian đối với xung soáng khúc xạ, tán xạ qua mặt phẳng điện môi - Đinh Trọng Quang

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 32, 08 - 2014 17 NghiÖm xÊp xØ siªu cao tÇn trong miÒn thêi gian ®èi víi xung sãng khóc x¹, t¸n x¹ qua mÆt ph¼ng ®iÖn m«i ĐINH TRỌNG QUANG, TRỊNH XUÂN THỌ, PHẠM HỮU LẬP, TRẦN VĂN HÀ, NGUYỄN MINH THẮNG, PHẠM TIẾN MẠNH, LÊ VĨNH HÀ Tóm tắt: Bài báo đề xuất nghiệm xấp xỉ trong miền thời gian đối với xung sóng khúc xạ, tán xạ Gauss được quan sát trong môi trường có hằng số điện môi thấp khi xung sóng tới Gauss đến từ môi trường có hằng số điện môi cao. Tính đúng đắn của nghiệm xấp xỉ được chứng minh bằng cách so sánh với nghiệm chuẩn của xung sóng khúc xạ, tán xạ Gauss. Nghiên cứu cũng chỉ ra một hiện tượng rất thú vị về sự phân ly của xung sóng suy giảm (evanescent pulse wave) và xung sóng khúc xạ bên (lateral wave type transmitted pulse wave) trong miền xa và nông của môi trường có hằng số điện môi thấp. Từ khóa: Sóng khúc xạ, Tán xạ Gauss, Mặt phẳng điện môi, Xấp xỉ trong miền thời gian, Sóng khúc xạ bên. 1. MỞ ĐẦU Hiện tượng phản xạ, khúc xạ, và tán xạ của sóng điện từ như sóng cầu, sóng trụ hay búp sóng trên mặt phẳng tạo bởi hai môi trường điện môi là nội dung nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết trường, ăng ten và truyền sóng, kiểm tra bề mặt và có ý nghĩa thực tiễn trong chế tạo và thiết kế các hệ thống thông tin [1÷4]. Trong điều kiện siêu cao tần, việc tìm ra nghiệm xấp xỉ có ý nghĩa quan trọng trong việc giảm thời gian tính toán so với nghiệm chuẩn cũng như làm rõ được bản chất các hiện tượng vật lý của sóng điện từ để có thể áp dụng trong những ứng dụng cụ thể. Những nghiên cứu gần đây đã đề xuất nghiệm xấp xỉ đồng dạng (uniform asymptotic solution) cho sóng khúc xạ, tán xạ trụ, đặc biệt nghiệm xấp xỉ đồng dạng này có thể kết nối 2 nghiệm xấp xỉ thường khác nhau trong miền gần và miền xa của môi trường 2 thông qua miền chuyển tiếp [3]. Bài báo này sẽ tìm nghiệm xấp xỉ trong miền thời gian đối với xung sóng khúc xạ, tán xạ qua mặt phẳng điện môi được quan sát trong môi trường có hằng số điện môi thấp khi xung tới có phân bố Gauss xuất phát từ môi trường có hằng số điện môi cao. Bài báo chỉ ra một kết quả thú vị là tại miền xa và nông của môi trường có hằng số điện môi thấp, chúng ta có thể quan sát được hiện tượng phân ly của xung sóng suy giảm và xung sóng khúc xạ bên do sự chênh lệch giữa 2 quãng đường truyền sóng. 2. NGHIỆM XẤP XỈ TRONG MIỀN THỜI GIAN ĐỐI VỚI XUNG SÓNG KHÚC XẠ, TÁN XẠ 2.1. Mô hình hóa bài toán và biểu diễn tích phân của sóng khúc xạ, tán xạ trụ Hình 1 thể hiện mô hình hóa của hiện tượng phản xạ, khúc xạ và tán xạ của sóng trụ trên mặt phẳng tạo bởi hai môi trường điện môi, đẳng hướng, và không tổn hao. Trong hệ tọa độ Descartes, mặt phẳng giữa hai môi trường được định nghĩa bởi = 0, nguồn điện dòng được đặt tại vị trí (0, −ℎ) hướng theo chiều dương của trục , môi trường 1 và 2 lần lượt có hằng số điện môi là và , trong đó > . Môi trường 2 được chia làm ba miền: miền gần (near region), miền chuyển tiếp (transition region), và miền xa (far region) theo chiều dương của trục như hình vẽ. Theo chiều dương của trục , môi trường 2 được chia thành 2 miền: miền nông (shallow region) và miền sâu (deep region). Ra đa Đinh Trọng Quang,.., “Nghiệm xấp xỉ qua mặt phẳng điện môi.” 18 Khi sóng trụ sinh ra bởi nguồn điện dòng bức xạ lên mặt phẳng giữa 2 chất điện môi như Hình 1, sóng khúc xạ, tán xạ trụ quan sát trong môi trường 2 có hằng số điện môi thấp có biểu diễn tích phân như sau [3], (, ) = , = 4 ()() (1) () = 2 cos cos + √ − sin (2a) () = cos( − ) + − sin (2b) Trong phương trình trên, (, ) thể hiện cường độ điện trường quan sát tại điểm (, ), và lần lượt thể hiện cường độ của nguồn điện dòng và từ môi của môi trường 1 và 2. Hàm số () và () lần lượt tương ứng với hệ số khúc xạ và hàm số pha trên mặt phẳng phức , chiết xuất tương đối = / < 1 thỏa mãn điều kiện của phản xạ toàn phần trên mặt phẳng điện môi. Trong những nghiên cứu trước đây, nghiệm xấp xỉ đồng dạng cho biểu diễn tích phân (1) được đề xuất như sau = + + (. + ) (3) trong đó, thể hiện tia khúc xạ (transmitted geometrical ray), thể hiện sóng chuyển tiếp (transtion wave) đóng vai trò kết nối nghiệm xấp xỉ thường tại miền gần và miền xa qua miền chuyển tiếp. . và lần lượt biểu diễn sóng khúc xạ bên (lateral wave type transmitted wave) và sóng suy giảm (evanescent wave) quan sát tại miền xa và nông của môi trường 2. Hàm số đơn vị được đinh nghĩa có giá trị 1 khi điểm quan sát nằm ngoài đường cong (Hình 1) và có giá trị 0 trong trường hợp ngược lại. Các nghiệm xấp xỉ trên có biểu diễn tổng quát như sau () = () (4) trong đó, chỉ số dưới ”” có thể là ”” (transmitted ray), ”” (transition wave), ”. ” (lateral wave type transmitted wave), hoặc ”” (evanescent wave) trong phương trình (3). Trong phương trình trên, cường độ () là hàm số đối với biến số và thời gian truyền sóng được định nghĩa như sau Hình 1. Mô hình hóa hiện tượng phản xạ, khúc xạ, và tán xạ của sóng trụ trên mặt phẳng tạo bởi 2 môi trường điện môi. line source transition region medium 1 medium 2 totally reflected rays deep regionevanescent wave near region far region transmitted rays shallow region Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 32, 08 - 2014 19 = + , . = + , = (5) trong đó và lần lượt là vận tốc truyền sóng trong môi trường 1 và môi trường 2. Kết quả cụ thể cho các nghiệm () có thể tham khảo tại [3]. 2.2 Nghiệm xấp xỉ trong miền thời gian Nghiệm của sóng khúc xạ, phản xạ trong miền thời gian (, , ) có thể nhận được bằng cách áp dụng biển đổi Fourier ngược đối với tích số của nghiệm trong miền tần số (, , ) ≡ () tại điểm quan sát trong phương trình (1) và phổ () của nguồn xung () [4] () = 1 2 () () (6) Trong nghiên cứu này, ta giả định nguồn xung () có phân bố Gauss [4] () = () () ∶ 0 < < 2 0 ∶ 2 (7) Áp dụng phép biến đổi Furier cho nguồn xung (), phổ của () trên miền tần số thu được như sau [4] () = 2√ () Re[ {()}] (8) () = 2 − ( − ) (8a) Hình 2. Phần thực của nguồn xung Gauss () và biên độ của phổ Fourier (). Tham số thiết lập: = 5.0 × 10 , = 1.5 × 10 , và = 12 × 10. Trong đó, “” biểu diễn hàm sai số (error function) [4]. Hình 2(a) và 2(b) lần lượt biểu diễn phần thực của hàm số nguồn () trong miền thời gian và độ lớn của phổ Fourier () trong miền tần số. Phổ () được thiết lập thỏa mãn phân khúc chính của phổ được phân bố xung quanh tần số trung tâm = 12 × 10 từ = tới = và nằm trong miền siêu cao tần (tham khảo Hình 2(b)). Thay () trong phương trình (3) cho () trong phương trình (6) và áp dụng phép biến đổi biến số từ sang thỏa mãn = 2, ta thu được kết quả sau () = √ ()() (9) () = 2 () 2 , = 1 4 (10) (a) (b) 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 2 4 6 8 2 4 6 0 Ra đa Đinh Trọng Quang,.., “Nghiệm xấp xỉ qua mặt phẳng điện môi.” 20 = − − , () = () Re[ {()}] (11) ℎ( ) = − + , = 2 (12) Áp dụng kỹ thuật xấp xỉ siêu cao tần điểm yên ngựa [5] cho tích phân (), ta thu được nghiệm xấp xỉ trong miền thời gian đối với xung sóng khúc xạ, tán xạ như sau () = erf − , = − 2 (13) Từ phương trình (13), dễ thấy rằng với nguồn xung () sau khi chiếu xạ tới mặt phẳng điện môi từ vị trí (0, −ℎ), xung sóng khúc xạ, tán xạ () có thể quan sát tại điểm quan sát (, ) sau quãng thời gian truyền sóng được định nghĩa trong phương trình (5). 3. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ Trong khuôn khổ của bài báo này, tác giả chỉ giới thiệu một vài kết quả tính toán mang tính tổng quan do các trường hợp khác cũng có kết quả tương tự. Hình 3 biểu diễn kết quả tích toán của xung sóng khúc xạ, tán xạ quan sát tại điểm quan sát (, ) trong miền gần (near region) của môi trường 2 (tham khảo Hình 1) trong trường hợp xung có phân bố Gauss trong Hình 2 xuất phát từ điểm (0, −ℎ). Xung sóng khúc xạ, tán xạ tính toán bởi tia khúc xạ () trên miền thời gian khi thay chỉ số dưới ”” bằng ”” trong phương trình (13) được biểu diễn bằng đường màu xanh. Để đánh giá tính chính xác của nghiệm xấp xỉ trên miền thời gian cho xung tia khúc xạ (), ta tiến hành so sánh với nghiệm chuẩn (reference solution) thu được từ tính toán tích phân của phương trình (1) và (6). Từ kết quả tính toán, tính đúng đắn của nghiệm xấp xỉ trong bài báo này được kiểm nghiệm khi nghiệm xấp xỉ cho xung tia khúc xạ trên miền thời gian trùng khớp hoàn toàn với nghiệm chuẩn. Hình 3. Xung sóng khúc xạ, tán xạ quan sát tại miền gần của môi trường 2. Tham số thiết lập: = 50, ℎ = 200, = 0.1, = 2.3, và = . 5.6 5.7 5.8 5.9 0 -6 6 re sp on se w av e fo rm time t (s) : reference : Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 32, 08 - 2014 21 Hình 4(a) và 4(b) biểu diễn kết quả tính toán sóng khúc xạ, tán xạ trên miền thời gian khi quan sát tại điểm quan sát trong miền xa và nông của môi trường 2 (Hình 1). Hình 4(a) và Hình 4(b) lần lượt biểu diễn kết quả tính toán của xung sóng khúc xạ bên .() và xung sóng suy giảm () thu được từ phương trình (13) khi thay chỉ số dưới ”” bằng ”. ” và””. Dễ thấy cả 2 nghiệm xấp xỉ cho xung sóng khúc xạ bên .() ( ) và xung sóng suy giảm () ( ) cho kết quả trùng khớp với nghiệm chuẩn. Kết quả tính toán cũng cho thấy sự phân ly của xung sóng khúc xạ bên .() và xung sóng suy giảm () do sự chênh lệnh giữa 2 quãng đường truyền sóng. 4. KẾT LUẬN Bài báo đã đề xuất nghiệm xấp xỉ trên miền thời gian cho xung sóng khúc xạ, tán xạ quan sát tại môi trường có hằng số điện môi thấp trong trường hợp nguồn xung có phân bố Gauss chiếu xạ vào mặt phẳng điện môi từ môi trường có hằng số điện môi cao tới môi trường có hằng số điện môi thấp. Tính đúng đắn của nghiệm xấp xỉ được đề xuất trong bài báo này đã được chứng minh bằng cách so sánh với nghiệm chuẩn thu được từ tính toán trực tiếp tích phân của phép biến đổi Fourier ngược. Nghiên cứu cũng chỉ ra một hiện tượng vật lý rất thú vị là xung sóng khúc xạ bên có thể quan sát tại miền xa và nông của môi trường 2 đồng thời phân ly với xung sóng suy giảm do sự chênh lệnh quãng đường truyền sóng giữa 2 sóng này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. B. R. Horowitz and T. Tamir, “Unified theory of total reflection phenomena at a dielectric interface”, Appl. Phys., 1, pp. 31-38, 1973. [2]. A. Ishimaru, J. R. Thomas, and S. Jaruwatanadilok, “Electromagnetic waves over half-space metamaterials of arbitrary permittivity and permeability,” IEEE Trans. on Antennas and Propag., vol. 53, no. 3, pp. 915-921, Mar. 2005. [3]. D. T. Quang, K. Goto, T. Kawano, and T. Ishihara, “A uniform asymptotic solution for transmitted waves through a plane dielectric interface from a denser to a rarer mediums by using parabolic cylinder functions,” JKIEES, vol. 12, pp. 45-54, 2012. Hình 4. Xung sóng khúc xạ, tán xạ quan sát tại miền xa và nông của môi trường 2. Tham số thiết lập: = 300 , ℎ = 200 , = 0.1 , = 2.3 , và = . 9.2 9.3 9.4 0 -1.5 1.5 re sp on se w av e fo rm time t (s) (a) : reference : 9.5 9.6 9.7 0 -5 5 re sp on se w av e fo rm time t (s) (b) : reference : re sp on se w av e fo rm re sp on se w av e fo rm Ra đa Đinh Trọng Quang,.., “Nghiệm xấp xỉ qua mặt phẳng điện môi.” 22 [4]. B. C. K. Goto, T. Kawano, and T. Ishihara, “Time-domain asymptotic solution for transienttransient scattered field by a cylindrically curved conducting surface,” IEICE Electronics Express, vol. 6, no. 6, pp. 354-360, Mar. 2009. [5]. L. B. Felsen and N. Marcuvitz, eds., “Radiation and Scattering of Waves,” chap.4, IEEE Press (Classic Reissue), New Jersey, USA, 1994. ABSTRACT HIGH-FREQUECY TIME DOMAIN ASYMPTOTIC SOLUTION FOR TRANSMITTED GAUSIAN PULSE THROUGH A DIELECTRIC INTERFACE In this paper, a time-domain asymptotic solution for the transmitted Gaussian pulse wave will be derived when the Gaussian pulse is incident on a plane dielectric interface from the denser medium. We will confirm the validity of the time-domain asymptotic solution by comparing with the reference solution. We will show a interesting phenomenon that the evanescent pulse wave and the lateral wave type transmitted pulse wave are seperated in the far and shallow region. Keywords: Transmitted Gaussian wave, Plane dielectric interface, Asymptotic solution in time-domain, Lateral wave type transmitted wave. Nhận bài ngày 20 tháng 09 năm 2013 Hoàn thiện ngày 14 tháng 4 năm 2014 Chấp nhận đăng ngày 12 tháng 6 năm 2014 Địa chỉ: Viện Ra Đa, Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự Tel: 0963585510, E-mail: dtquang.vn@gmail.com