Ngân hàng bài tập phần Hình học giải tích trong không gian

Ngân hàng bài tập phần Hình học giải tích trong không gian. Biên soạn: Trần Hải – Trường THPT Nam Giang A. NHẮC LẠI BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Cho , , , 1. ; ; ; ; . 2. cùng phương . 3. . 4. Gọi là góc giữa hai véctơ và thì : . Với 5. Ba vectơ đồng phẳng 6. Diện tích tam giác ABC là: , trong đó là góc giữa hai vectơ . 7. Thể tích hình hộp là: 8. Thể tích tứ diện ABCD là: B. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG. 1. Viết phương trình mp(P) biết a) (P) đi qua A(1;0;-3) và có vtpt b) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và có cặp vtcp là c) (P) là mp trung trực của đoạn AB với A(-4 ;3 ;2), B(0 ;-1 ;4). d) (P) đi qua M(1 ;-1 ;1), N(0 ;2 ;0), P(-2 ;-3 ;-4). e) (P) đi qua M(2 ;3 ;4) và song song với trục Ox, Oz. f) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy g) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng h) (P) đi qua M (1; 2;1) và song song với mp (Q ) : x + y + 3z - 1 = 0 i) (P) đi qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuông góc với mp (Q):4x - y - 2z + 1 = 0 j) (P) đi qua các hình chiếu của điểm M(4 ;-1 ;2) trên các mặt phẳng tọa độ. k) (P) đi qua các hình chiếu của điểm M(4 ;-1 ;2) trên các trục tọa độ. 2. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Biết A(1 ;1 ;1), B(2 ;3 ;5), C(3 ;-2 ;2). Hãy viết phương trình các mp (ABC), (ACD). 3. Viết phương trình mp đi qua điểm M(0 ;2 ;-1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng . 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(-3 ;0 ;1), vuông góc với hai mặt phẳng và . 5. Cho hai đường thẳng : và Viết phương trình mặt phẳng P, Q song song nhau lần lượt chứa . 6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và cắt 3 trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ. 7. Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD. c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC). C. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG 8 Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau : a) (d1) : 2x-3y+4z-5=0 và (d2) : 3x-y+z-1=0. b) (d1) : -x+y-z+4=0 và (d2) : 2x-2y+2z-7=0. c) (d1) : x+y+z-3=0 và (d2) : 2x+2y-2z-3=0. d) (d1) : 3x+3y-6z-12=0 và (d2) : 4x+4y-8z-16=0. 9. Cho hai mặt phẳng và . Tìm m và n để hai mặt phẳng (P), (Q): a) song song với nhau. b) trùng nhau. c) cắt nhau. 10. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;3), chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x-y+z-3=0 và (Q): 3x+y+2z-5=0. 11. Viết phương trình mặt phẳng (P): a) Đi qua điểm A(1;2;1) và chứa trục Oy. b) Đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và đồng thời vuông góc với mặt phẳng . c) Đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và đồng thời song song với mặt phẳng . D. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12. Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng (d) biết : a) (d) đi qua A(2 ;0 ;1) và có vtcp b) (d) đi qua hai điểm A(1 ;2 ;1) và B(-1 ;0 ;0). c) (d) đi qua M(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x+2y-2z+1=0 d) (d) đi qua N(-1;2;-3) và song song với đường thẳng e) (d ) đi qua M(2;-3;-5) và vuông góc với (ABC), biết A(1;0;1),B(1;1;0),C(0;1;1). 13. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2 ;-1 ;1) và vuông góc với hai đường thẳng : Và 14. Viết phương trình hình chiếu (d’) của đường thẳng lên mặt phẳng 15. Viết phương trình hình chiếu (d’) của lên các mặt phẳng Oxy, Oyz. 16. Cho mặt phẳng và đường thẳng Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với (d) và thuộc mặt phẳng (P). 17. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-4 ;-5 ;3) và cắt cả hai đường thẳng : ; . 18. Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng và cắt cả 2 đường thẳng Và 19. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;1), vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng 20. (Đường vuông góc chung) Xác định phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng : và E. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG 21. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau : a) Và b) Và 22. Chứng minh rằng đường thẳng nằm trong mặt phẳng . 23. Chứng minh hai đường thẳng và song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. 24. Chứng minh hai đường thẳng và chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. G. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 25. Cho 2 đường thẳng và a) Chứng minh rằng chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa . 26. Tính khoảng cách từ điểm A(1;-2;1) đến đường thẳng . 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(-2;1;2) và mặt phẳng (P):2x-y+2z-5=0. Tìm trên đường thẳng những điểm cách đều A và (P). 28. a) Tính góc giữa hai đường thẳng và b) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 29. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mặt phẳng Oxy một góc 30*. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2) sao cho (d) vuông góc với (d1), và (d) tạo với (d2) một góc 450. Ở đây (d1), (d2) được cho bởi: và H. MẶT CẦU. 31. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu được cho bởi các phương trình sau: a) b) 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường tròn (C) có phương trình: 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(1;1;0), B(-1;1;2), C(1;-1;2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-4=0. 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;-1;2) và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 35. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng và 36*. Cho A(0;0;0), B(3;0;0), C(1;2;1), D(2;-1;2). Viết phương trình mặt phẳng qua C, D và qua tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. 37*. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng: Và tiếp xúc với mặt cầu I. TỔNG HỢP 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1;2;-3) và mặt phẳng a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). b) Tìm tọa độ điểm M’ là điểm đối xứng của M qua (P). 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;2) và đường thẳng a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (d). b) Tìm tọa độ điểm B là đối xứng của điểm A qua (d). 40. Cho A(3;0;2), B(1;2;1) và đường thẳng a) Tìm điểm I thuộc (d) sao cho có độ dài nhỏ nhất. b) Kẻ . Tính độ dài đoạn A’B’. 41. Cho điểm A(1;-1;1) và 2 đường thẳng d1, d2: và a) Chứng tỏ d1, d2, A đồng phẳng. b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và cắt d1, d2 lần lượt tại 2 điểm B, C sao cho A là trung điểm BC. 42. (TNTHPT 2001-2002) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng(a) : x + y + z - 1 = 0 và đường thẳng . Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt phẳng toạ độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng (a) với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz, còn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng toạ độ Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD). 43. (TNTHPT 2002-2003) Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức A = (2 ; 4 ; -1), ,C = (2 ; 4 ; 3), . Chứng minh rằng AB ^ AC, AC ^ AD, AD ^ AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung D của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (BCD). Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình tiếp diện (a) của (S) song song với mặt phẳng (ABD). 44. (TNTHPT 2003-2004) Trong mặt phẳng Oxyz cho 4 điểm A(1;-1;2),B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2). Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng. Gọi A¢ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A¢, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S) tại điểm A¢. 45. (THTHPT 2004-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : và hai đường thẳng ; . Chứng minh (D1) và (D2) chéo nhau. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (D1) và (D2). 46. (TNTHPT 2005-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểmA(1 ; 0 ; -1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OG. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S). 47. (THTHPT 2005-2006-Phân ban) Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 6). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. 48. (TNTHPT 2006-2007) Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng có phương trình và mặt phẳng có phương trình . Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng . 49. (TNTHPT 2006-2007-Phân ban) Trong không gian với hệ toạ độ cho điểm và mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng . Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng . Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . 50. (TNTHPT 2006-2007-Phân ban) Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm và mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mặt phẳng . Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng . 51. (ĐH Khối A – 2002) Cho 2 đường thẳng và a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2). b) Cho M(2;1;4). Tìm sao cho MH nhỏ nhất. 52. (ĐH Khối A-2005) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: và mặt phẳng a) Tìm tọa độ điểm I sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2. b) Tìm giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mp(P), biết qua A và vuông góc với (d). 53. (ĐH Khối D -2005) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: Và a) Chứng minh d1, d2 song song với nhau. Viết phương trình mp (P) chứa cả 2 đường thẳng d1, d2. b) Mặt phẳng tọa độ Oxy cắt 2 đường thẳng d1, d2 lần lượt tại 2 điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) 54. (ĐH Khối D-2006) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và 2 đường thẳng và a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 . 55. (ĐH Khối A – 2007) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng và .Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mp và cắt cả hai đường thẳng d1, d2. 56. (ĐH Khối B – 2007) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng a) Viết pt mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất. 57. Trong không gian cho họ đường thẳng a) Viết phương trình hình chiếu (d’) của (d) lên (Oxy). b) CMR khi m thay đổi thì (d’) luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định trong mặt phẳng Oxy. 58. Trong không gian cho đường thẳng a) CMR (d) tạo với Oz một góc không thuộc vào . b) Viết phương trình hình chiếu của (d) lên mp (Oxy). c) CMR, , (d’) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định thuộc mp (Oxy). J. SỬ DỤNG PP TỌA ĐỘ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 59. (ĐH Khối A-2006) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A’C và hợp với mp (Oxy) một góc , biết . 60. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có A’(0;0;0), B’(a,0;0), D’(0;a;0), A(0;0;a) , với a>0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, B’C’. a) Viết phương trình mp qua M và song song với 2 đường thẳng AN, BD’. b) Tính thể tích tứ diện AND’. c) Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD’. 61. Cho hình chóp IABC có tam diện đỉnh I vuông. IA=a, IB=b, IC=c. Tính theo a, b, c. Suy ra: 62. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , , M là trung điểm của AB. a) Tính . b) Tính 63. Cho hình hộp lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. I là trung điểm A1D1, J là trung điểm B1B. a) CMR b) CMR và c) Tính IJ. d) Tính góc giữa 2 đường thẳng IJ và A1D. 64*. Cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;C), với a,b,c>0. a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Tính diện tích tam giác ABC. c) Giả sử a, b, c thay đổi thỏa mãn , k>0 cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.