Một tiếp cận có tính kiến tạo để khắc phục khó khăn của học sinh trong giải phương trình bậc nhất một ẩn - Đỗ Thị Diên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 62 (02/2019) No. 62 (02/2019) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn 68 MỘT TIẾP CẬN CÓ TÍNH KIẾN TẠO ĐỂ KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A constructivist approach to teaching the concept of linear equality ThS. Đỗ Thị Diên(1), TS. Phạm Sỹ Nam(2) (1),(2)Trường Đại học Sài Gòn Tóm tắt Khi dạy phương trình bậc nhất, đa số các giáo viên đưa ra phương trình, sau đó nêu quy tắc và phương pháp giải. Chính vì thế học sinh khó khăn trong việc xây dựng kiến thức và kết nối kiến thức với thực tiễn. Bài viết này nêu một số khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình giải phương trình, đồng thời bằng tiếp cận có tính kiến tạo, nghiên cứu này thiết kế các nhiệm vụ toán học hỗ trợ học sinh trong việc kiến tạo khái niệm và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn. Kết quả nghiên cứu cho thấy, việc thực hiện cho phép học sinh hình thành các giả thuyết, kiểm nghiệm, bác bỏ những quan niệm sai và xây dựng kiến thức về phương trình bậc nhất một cách dễ dàng hơn Từ khóa: Bài toán có liên quan tới thực tiễn, lý thuyết kiến tạo, phương trình bậc nhất. Abstract When teach linear equation, most teachers give the equation followed by rules and solutions, which causes students to have difficulty in building knowledge and connecting knowledge with reality. This article addresses some of the difficulties that students face in solving math equations, and by using a constructivist approach, this study used mathematical tasks that support students in constructing the concept and solving of linear equation. The results show that experimentation enables students to form and verify hypotheses, reject the wrong ones and construct the knowledge about linear inequality in an easier way. Key words: Mathematical problems related to real life, constructivism, linear equation. 1. Mở đầu Nội dung phương trình bậc nhất một ẩn là chủ đề cốt lõi, quan trọng trong chương trình trung học cơ sở (THCS), Bởi đây là kiến thức được sử dụng trong việc xây dựng kiến thức sau này, là nội dung có nhiều cơ hội kết nối Toán học với thực tiễn cuộc sống, là nền tảng toán học cho các hoạt động trong giáo dục STEM và tạo cơ hội cho việc giáo dục tài chính. Tuy nhiên, việc dạy học kiến thức này chưa được coi trọng đúng mức để người học xây dựng được kiến thức và hiểu bản chất về kiến thức. Ngay từ tiểu học, học sinh đã làm các bài tập ngầm ẩn kiến thức về phương trình như điền vào chỗ trống, do đó trong giảng dạy khái niệm này giáo viên thường đưa ra dạng phương trình, sau đó nêu quy tắc và phương pháp giải. Khái niệm phương trình bậc nhất một Email: dtdien@sgu.edu.vn ĐỖ THỊ DIÊN - PHẠM SỸ NAM TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 69 ẩn là khái niệm toán học trừu tượng đối với học sinh. Khi trình bày về khái niệm này, sách giáo khoa lớp 8 có viết “Ở lớp dưới, ta đã gặp các bài toán như: Tìm x, biết ( ) .x x   2 5 3 1 2 Trong bài toán đó, ta gọi hệ thức ( )x x   2 5 3 1 2 là một phương trình với ẩn số x (hay ẩn x).” [2, tr 5.] Sau đó, sách giáo khoa trình bày định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, phương pháp giải và nêu thêm hai quy tắc đó là: quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số. Với các bước trình bày như trên, khi học tập, học sinh gặp một số khó khăn: + Học sinh bị áp đặt tiếp nhận khái niệm phương trình ẩn x. + Các ký hiệu a, b đưa ra ngay từ đầu gây khó hiểu cho học sinh. + Cách giải phương trình mà sách giáo khoa đưa ra dựa trên hai quy tắc: quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số. Hai quy tắc này thực sự khó hiểu đối với học sinh, với cách trình bày này thì giáo viên thường áp đặt các quy tắc và áp dụng chúng. Điều này không tạo được cơ hội cho học sinh tự trải nghiệm và kiến tạo kiến thức cho bản thân. Hơn nữa, các em đã được học quy tắc tìm số hạng, số trừ, số bị trừ, thừa số; thêm hai quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số, các em bị lẫn lộn khi nào thì dùng các quy tắc này, vì áp dụng cả hai quy tắc cùng lúc nên nhiều em dẫn tới sai lầm mà không hiểu vì sao lại sai. Trong bài viết này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các khó khăn của học sinh và trả lời câu hỏi: Trên cơ sở của lý thuyết kiến tạo, cần xây dựng các hoạt động học tập như thế nào để hỗ trợ học sinh xây dựng khái niệm, cách giải phương trình bậc nhất? 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lý luận Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì học sinh phải là chủ thể tích cực xây dựng kiến thức cho bản thân mình chứ không phải chỉ thu nhận một cách thụ động từ môi trường bên ngoài. Điều quan trọng nhất là trong quá trình xây dựng kiến thức cho bản thân, học sinh cần dựa trên những kiến thức hoặc kinh nghiệm đã có từ trước. Trong quá trình này, học sinh vận dụng những kiến thức đã có để giải quyết một tình huống mới nảy sinh và sắp xếp kiến thức mới nhận được vào kiến thức hiện có. Nghiên cứu về khó khăn trong học tập môn Toán Tall [5, tr. 225] đã nêu những lý do cho những khó khăn trong học tập của học sinh nói chung như sau: - Học các khái niệm cơ bản không đầy đủ. - Không được rèn luyện trong việc chuyển đổi ngôn ngữ toán học (chuyển đổi công thức - ký hiệu - hình vẽ - diễn đạt bằng lời văn). Nhận thức về những khó khăn mà học sinh gặp phải trong bất kỳ chủ đề nào là điều quan trọng đầu tiên cho các nghiên cứu về học tập. Những nghiên cứu quan trọng đó sẽ là cơ sở quan trọng cho việc sắp xếp chương trình giảng dạy và hình thành phương pháp giảng dạy [4]. Việc nghiên cứu khó khăn có ý nghĩa trong dạy học. Dựa trên những khó khăn đã nghiên cứu, nhà giáo dục thiết kế các hoạt động học tập nhằm khắc phục khó khăn đó. Các thiết kế hoạt động học tập trong bài viết này được dựa theo quan điểm của các nhà kiến tạo Theo Confrey [1]: - Hoạt động của cá nhân không phải là hoạt động thụ động mà là hoạt động tích cực, tức là cá nhân hành động trên môi SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 62 (02/2019) 70 trường để xây dựng kiến thức. - Quá trình xây dựng kiến thức là quá trình phát triển, nó không phải quá trình tĩnh mà là quá trình động. - Kiến thức được hình thành thông qua quá trình liên ảnh hưởng giữa việc học tập trước đó và liên quan với việc học tập mới. - Kiến thức không phải là một lời giải thích của sự thật, mà như là sự hợp lý hóa kinh nghiệm của cá nhân. Như vậy, mỗi cá nhân xây dựng kiến thức ngay cả trong các tình huống giống nhau, có thể không giống nhau. Theo G.Polya: “việc học tập bắt đầu từ hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến các từ và các khái niệm và phải kết thúc bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẻ nào đó của tư chất trí tuệ” [3; 255]. Như vậy trong dạy học cần tạo điều kiện cho học sinh tự kiến tạo, tự khám phá kiến thức. Tuy nhiên, để kiến tạo kiến thức được thành công và đạt kết quả cao và không mất quá nhiều thời gian thì việc “khám phá” cần được đặt trong một môi trường học tập với dụng ý sư phạm của giáo viên. Vận dụng điều này trong dạy học, chúng tôi yêu cầu học sinh chú ý vào hình ảnh mà các em quan sát nhằm hình thành ý tưởng về kiến thức được học. 2.2. Một số khó khăn của học sinh trong học tập phương trình Chúng tôi đã tiến hành khảo sát 150 học sinh tại 3 lớp tại trường THCS Mạch Kiếm Hùng ở quận 5, 2 lớp tại trường THCS Hậu Giang quận 6 và phỏng vấn các giáo viên có kinh nghiệm dạy ở hai trường này. Nội dung khảo sát, chúng tôi yêu cầu học sinh viết những khó khăn trong quá trình học tập kiến thức phương trình bậc nhất một ẩn. Kết quả khảo sát cho thấy, học sinh thường gặp những khó khăn chủ yếu sau: a. Khó khăn trong việc tiếp cận khái niệm phương trình. Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu khái niệm phương trình, học sinh lạ lẫm với biểu thức chứa ẩn. Một số học sinh khi viết phương trình nhưng sử dụng nhiều dấu bằng trong một biểu thức, điều này có nguyên nhân là các em quen với bài toán tính giá trị của biểu thức. b. Khó khăn trong việc hiểu và vận dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu. Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu tại sao khi chuyển vế phải đổi dấu. c. Học sinh gặp khó khăn khi tìm x biết ax = b hoặc không giải thích được quá trình thực hiện để dẫn đến kết quả. Một số em do không hiểu nên đã thực hiện abx  . d. Khó khăn trong việc xác định thứ tự thực hiện phép toán. e. Học sinh gặp khó khăn với các bài toán khi biến đổi ẩn ở vế phải, ví dụ như 453  x . f. Khó khăn trong việc giải bài toán liên quan đến việc lập phương trình bậc nhất. Đối với bài toán giải bằng cách lập phương trình bậc nhất, học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang phương trình toán học. 2.2.1. Thiết kế hoạt động nhằm hỗ trợ học sinh giải quyết các khó khăn khi học phương trình bậc nhất Giáo viên cần tập trung vào tầm quan trọng của các khái niệm chủ chốt, không tập trung quá sâu vào các giai đoạn dạy học chung chung hoặc miêu tả chung chung. Chẳng hạn, trong dạy học phương trình chúng tôi tập trung vào các hoạt động xuất phát từ tình huống thực tiễn. Trên cơ sở đó, tạo hoạt động để cho học sinh không cảm thấy khó khăn, tiếp nhận khái niệm, được ĐỖ THỊ DIÊN - PHẠM SỸ NAM TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 71 trải nghiệm và hình thành kiến thức. Đối với việc giải phương trình: thông qua các hoạt động làm rõ được trình tự của việc giải phương trình, xây dựng các hoạt động để học sinh tự hình thành được các quy tắc khi giải, học sinh không cảm thấy bị áp đặt – bớt gây khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức. Đồng thời giáo viên cần có kế hoạch cho các hoạt động tiếp theo để ứng phó với các câu trả lời sai của học sinh. Cần có kế hoạch lâu dài để phát triển hiểu biết sâu sắc của học sinh về kiến thức bài, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, quen thuộc và dễ hiểu giúp học sinh hiểu kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn. Ý tưởng thiết kế Ý tưởng thiết kế của chúng tôi khi dạy khái niệm là: đầu tiên, tạo các hoạt động để từ thực tiễn cuộc sống quen thuộc với học sinh hoặc từ hình vẽ để có được trực giác về kiến thức cần dạy, sau đó tiến hành các hoạt động nhằm giúp học sinh dần dần hiểu chính xác kiến thức cần dạy. Trong quá trình thực hiện hoạt động trên, học sinh có được những ý tưởng nhất định liên quan đến khái niệm nên những câu hỏi chúng tôi đặt ra có kết thúc mở nhằm tạo cơ hội cho các em đề xuất ý tưởng. Hoạt động 1 nhằm giúp học sinh khắc phục khó khăn trong việc tiếp thu khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn. Thông qua một tình huống quen thuộc trong cuộc sống để từ đó hình thành nên ví dụ cụ thể về phương trình. Kết quả của hoạt động 1 tạo hình ảnh trực quan và làm cơ sở cho việc kiến tạo định nghĩa phương trình. Hoạt động 2 nhằm giúp học sinh khắc phục khó khăn trong việc hình thành các bước giải phương trình. Thông qua các hình ảnh trực quan để học sinh hình thành nên quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với một số. Hoạt động 3 nhằm giúp học sinh tháo gỡ khó khăn trong giải các bài toán thực tế, vận dụng các trải nghiệm đã có để giải quyết các tình huống thực tiễn, luyện tập, củng cố kiến thức về cách xây dựng phương trình và cách giải. Thiết kế các nhiệm vụ toán học Điều quan trọng là chọn được nhiệm vụ và các hoạt động toán học phù hợp với học sinh, muốn vậy việc thiết kế phải đạt các yêu cầu: nhiệm vụ đưa ra phải kích thích được sự tích cực tư duy của học sinh, nhiệm vụ cần kết nối được kiến thức và kinh nghiệm đã có của học sinh. Nhằm đảm bảo các yêu cầu trên, chúng tôi thiết kế các hoạt động dưới đây. Phiếu học tập số 1 Bài toán: Bảo mang theo một số tiền đi nhà sách, nếu mua hết số tiền mình có, em có những cách lựa chọn đồ như sau: Cách 1: nếu mua 1 hộp bút giá 30 ngàn đồng thì mua được x cuốn tập loại 9 ngàn 1 cuốn. Cách 2: nếu mua 1 hộp bút giá 50 ngàn đồng thì mua được x cuốn tập loại 7 ngàn 1 cuốn. Cách 3: nếu mua 1 hộp bút giá 57 ngàn thì mua được x3 cuốn tập loại 9 ngàn 1 cuốn. Câu hỏi 1: Tính số tiền Bảo phải trả nếu chọn cách 1 theo x. Câu hỏi 2: Tính số tiền Bảo phải trả nếu chọn cách 2 theo x. Câu hỏi 3: Tính số tiền Bảo phải trả nếu chọn cách 3 theo x. Câu hỏi 4: So sánh số tiền Bảo phải trả trong cách thứ 1 và cách thứ 2. Mục đích của câu hỏi 1, 2, 3 nhằm yêu cầu học sinh xác định được tổng số tiền mà Bảo phải trả theo x. Kết quả của việc tính toán “ngầm ẩn” một sự tương ứng giữa giá trị x với số tiền, về bản chất đây chính là sự tương ứng hàm số. Chính điều này là lý do SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 62 (02/2019) 72 để chúng ta có thể hiểu khái niệm phương trình thông qua hàm số. Kết quả cũng ngầm ẩn một vế của phương trình sau này. Đồng thời là cơ hội để các em tập đọc để phân tích đề, trải nghiệm việc chuyển từ chữ viết sang ký hiệu toán học, giúp các em làm quen dần với các bài toán thực tế sau này. Các bài toán gắn với cuộc sống luôn giúp học sinh hào hứng đi tìm lời giải và đọc hiểu đề tốt. Mục đích của câu hỏi 4 là nhằm yêu cầu học sinh so sánh hai biểu thức. Kết quả câu hỏi 4 cho học sinh một ví dụ cụ thể về phương trình. Điều này giúp học sinh thấy được sự xuất hiện bất phương trình một cách tự nhiên, tránh được sự bỡ ngỡ cho học sinh. Đồng thời kết quả so sánh cho học sinh thấy được một phương trình có thể xem như là so sánh giá trị của hai hàm số. Sau khi học sinh kiến tạo được khái niệm, chúng tôi phát phiếu học tập số 2 nhằm tạo cơ hội để học sinh trải nghiệm, từ đó hình thành cách giải phương trình. Phiếu học tập số 2 Bài toán: Với giả thiết như trong phiếu học tập số 1, nếu số tiền Bảo có là 120 ngàn đồng. So sánh số tiền Bảo phải trả trong 3 cách trên với 120 ngàn đồng. Ở hoạt động này chúng tôi mong muốn giúp học sinh hình thành được khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn. Khi thiết lập được hai phương trình 120309 x và 12057)3(9 x (hoặc một số học sinh thiết lập: 309120  x và 57)3(9120  x ), điều này giúp học sinh nhận ra được khái niệm phương trình bậc nhất một cách tự nhiên. Đồng thời để học sinh thấy rằng “hình thức” của phương trình bậc nhất có thể thay đổi, nhưng số ẩn và bậc của ẩn không được thay đổi. Ngoài ra hoạt động này giúp các em nhận ra rằng, các em không thể thực hiện phép chia 120 cho 9 trước. Trong bài toán này nếu thực hiện phép chia trước điều gì sẽ vô lý? Số tiền (120 ngàn) chia cho số tiền một cuốn (9 ngàn) thì ra được số cuốn tập có thể mua, như vậy không còn tiền để mua hộp bút. Từ việc hiểu ý nghĩa của phép toán, học sinh nhận thấy lỗi sai và học sinh sẽ rút ra được kinh nghiệm cho bản thân mình. Để giúp học sinh hình thành được quy tắc chuyển vế đổi dấu, chúng tôi tiến hành hoạt động tiếp theo. Phiếu học tập số 3 Hình vẽ sau vẽ hai trục số biểu thị giá trị của x và x +5. Khi di chuyển đầu mút thanh trượt trên trục x +5 đến một giá trị cụ thể thì mũi tên biểu thị giá trị của x di chuyển đến giá trị tương ứng. a. Sử dụng phần mềm Geogebra, hãy di chuyển đầu mút thanh trượt x5 và quan sát giá trị của x tương ứng. Sau đó điền vào bảng dưới đây. ĐỖ THỊ DIÊN - PHẠM SỸ NAM TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 73 x5 -2 -1 0 1 2 3 4 x b. Cho biết cách xác định giá trị của x khi biết giá trị của .x5 c. Khi các giá trị của x5 di chuyển sao cho x 5 30 thì giá trị x di chuyển như thế nào? Hoàn thành phần còn thiếu ...x x  5 30 d. Hoàn thành phần còn thiếu ...x a b x   Sở dĩ chúng tôi chọn cách tiếp cận trực quan từ hai trục số biểu thị giá trị của x5 và x bởi chúng tôi muốn thông qua hình ảnh trực quan để giúp học sinh thấy được quy luật khi x5 thay đổi sao cho x 5 30 thì x cũng thay đổi và đồng thời tạo hình ảnh để giúp học sinh nhận ra được cần phải trừ cả hai vế cho 5 để có tập giá trị .x Thông qua quá trình đó, nhằm giúp học sinh nhận ra được cách tìm tập nghiệm x a b  được diễn đạt dưới dạng đại số đó là cộng hai vế với –a. Từ đây, nhằm giúp học sinh có thể tự hình thành cho mình “quy tắc chuyển vế” một cách trực quan. Khi học sinh hiểu được quy tắc này, khó khăn khi giải các phương trình có chứa ẩn ở bên phải sẽ được tháo gỡ. Như vậy, quy tắc chuyển vế đổi dấu đã giúp học sinh tháo gỡ nhiều khó khăn khi giải phương trình. Chúng tôi tiến hành dự giờ của các giáo viên khác khi dạy nội dung này, cuối buổi học chúng tôi phát câu hỏi nhỏ cho các bạn học sinh làm trong khoảng 15 phút và thu thập các câu trả lời của học sinh. Những giáo viên chúng tôi xin dự giờ đều là những giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy trên 6 năm trong trường. Sau những tiết dự giờ đó, chúng tôi tiến hành lên lớp và trực tiếp dạy nội dung này cho các lớp khác có mức học được đánh giá là tương đương. Trong lúc dạy và cuối buổi dạy chúng tôi cũng phát phiếu học tập cho các em, sau đó thu lại để đánh giá kết quả. Chúng tôi coi những lớp dự giờ là những lớp đối chứng (ĐC), những lớp chúng tôi tiến hành dạy là lớp thực nghiệm (TN). Điểm Lớp TN: Số HS (tỷ lệ %) ĐC: Số HS (tỷ lệ %) 0 0 (0%) 0 (0%) 1 0 (0%) 0 (0%) 2 0 (0%) 0 (0%) 3 0 (0%) 0 (0%) 4 6 (4,55%) 9 (17,65%) 5 9 (6,82%) 12 (23,53%) SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 62 (02/2019) 74 Điểm Lớp TN: Số HS (tỷ lệ %) ĐC: Số HS (tỷ lệ %) 6 6 (4,55%) 3 (5,88%) 7 30 (22,73%) 6 (11,76%) 8 36 (27,27%) 12 (23,53%) 9 30 (22,73%) 6 (11,76%) 10 15 (11,36%) 3 (5,88%) Từ kết quả đánh giá định lượng ở trên, nhìn tổng thể ta thấy: kết quả học tập của học sinh lớp thực nghiệm tốt hơn kết quả học tập của học sinh lớp đối chứng. Như vậy bước đầu có thể cho thấy việc hiểu bài và vận dụng kiến thức ngay trên lớp của lớp thực nghiệm tốt hơn lớp đối chứng. Điều này bước đầu cho thấy: nếu vận dụng được một số quan điểm của thuyết kiến tạo để thiết kế các hoạt động trong dạy học phương trình bậc nhất sẽ đem lại hiệu quả trong quá trình dạy học. 3. Kết luận Việc nghiên cứu các khó khăn của học sinh, từ đó thiết kế các nhiệm vụ toán học kết nối với thực tiễn trên cơ sở vận dụng thuyết kiến tạo sẽ tạo cơ hội cho học sinh khám phá toán học. Học sinh được thực hành nhiều hơn và có cơ hội thể hiện suy nghĩ của bản thân, từ đó có những dự đoán đúng về đặc điểm kiến thức cần lĩnh hội. Bên cạnh đó cũng có những học sinh đưa ra kết quả không được như mong đợi, nhưng đây là cơ hội để giáo viên đưa ra các hoạt động nhằm giúp học sinh hình thành được kiến thức đúng, tránh việc hiểu sai kiến thức. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Confrey, J. (1991). Learning to listen: A students’ understanding of powers of ten, In E. Von Glasersfeld (Ed.) Radical constructivism in Mathematics Education. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, pp. 111-138. 2. Bộ giáo dục và đào tạo. (2016). Toán 8 – tập. Nxb Giáo dục Việt Nam. 3. G. Polya. (2010). Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục Việt Nam. 4. Rasmussen, C. L. (1998). Reform in differential equations: a case study of students’ understandings and difficulties. The Annual Meeting of American Educational Research Association, San Diego, CA. - Available at ata/ericdocs2sql/content_stroge_01/000001 9b/80/15/8e/cb.pdf (Retrieved 12 September 2009). 5. Tall, D. O. & Razali, M. R. (1993). Diagnosing students’ difficulties in learning mathematics. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 24(2), 209–222. Ngày nhận bài: 10/10/2018 Biên tập xong: 15/02/2019 Duyệt đăng: 20/02/2019