Một số sai lầm và giải pháp vận dụng “mệnh đề - Tập hợp” để giải toán đại số 10 - Cao Hữu Hòa

1 MỘT SỐ SAI LẦM VÀ GIẢI PHÁP VẬN DỤNG “MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP” ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10 Cao Hữu Hòa Trường Đại học Trà Vinh Tóm tắt Bài viết được đề cập đến việc nghiên cứu sử dụng “mệnh đề - tập hợp” của toán học. Phân tích sai lầm và đưa ra các giải pháp thích hợp để giải quyết bài toán Đại số lớp 10 thông qua phân tích các ví dụ. Từ khóa: Sai lầm, giải pháp, mệnh đề, tập hợp, ví dụ toán học. Abstract The paper is devoted to the study using "proposition - set" of mathematic. Analyze mistakes and make appropriate solutions to solve problems Algebra class 10 through the analysis of examples. Key words: Mistakes, solutions, proposition, set, examples of Mathematic. 1. Đặt vấn đề Khi trình bày lời giải bài toán, chứng minh một định lí hoặc phát biểu một mệnh đề toán học, chúng ta thường tỏ ra lúng túng, khó khăn khi sử dụng các thuật ngữ, kí hiệu và các suy luận toán học, hoặc trình bày vấn đề không có hệ thống, không hợp logic, thậm chí còn dùng sai kí hiệu và cũng không loại trừ những trường hợp còn lạm dụng kí hiệu như từ viết tắt trong một câu văn. Chẳng hạn, “từ đó  phương trình vô nghiệm”, “không  giá trị nào của tham số”, “bất đẳng thức xảy ra với x ”,những lỗi này thường gặp trong các bài kiểm tra của HS, sách tham khảo thậm chí còn gặp ở các sách giáo khoa. Lịch sử toán học còn ghi lại những kí hiệu cho toán, lúc đầu do một nhà toán học đề xuất. Song do tính khoa học cao, sự tiện ích và tính thẩm mỹ với đầy đủ ý nghĩa của nó mà các kí hiệu ấy được nhiều người tin dùng, cải tiến và dần trở nên thông dụng quốc tế. Chẳng hạn, các kí hiệu dydx và ( )f x dx trong lĩnh vực phép tính vi phân, tích phân do G.W. Leibniz, nhà toán học Đức (1646-1716) đề xuất. Như thế, các kí hiệu toán học mà chúng ta sử dụng ngày nay là những sản phẩm trí tuệ sáng tạo của con người. Việc sử dụng chúng chính xác không những thể hiện sự nghiêm túc khoa học mà còn thể hiện thái độ trân trọng đối với những sản phẩm văn hóa khác của loài người. Do đó, khám phá những sai lầm trên và đưa ra những giải pháp trong việc vận dụng “mệnh đề - tập hợp” để giải toán là một vấn đề cấp thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn. 2. Phương pháp nghiên cứu Kết quả được thu thập qua các cuộc khảo sát HS, SV năm học 2017-2018 của bộ môn Toán ứng dụng tại Trường Đại học Trà Vinh kết hợp với nguồn tư liệu mà tác giả thu thập từ các sách giáo khoa, sách tham khảo 1.- 6. 3. Kết quả nghiên cứu 3.1. Mệnh đề 2 Là một khái niệm nguyên thủy của toán học và không định nghĩa. Thuộc tính cơ bản của nó là “giá trị chân lí”. Trong logic toán, người ta qui định “Mỗi một mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1”. Như vậy, một mệnh đề phải hoặc đúng (biểu thị 1) hoặc sai (biểu thị 0) (luật bài trung). Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai (luật phi mâu thuẫn). 3.2. Tập hợp Là một khái niệm nguyên thủy của toán học và không định nghĩa. Ở sách giáo khoa khái niệm này khá trực quan được trình bày ngắn gọn đối với HS, chủ yếu để làm phương tiện ôn tập và hệ thống lại các kiến thức. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Đại số 10 (sách chỉnh lí hợp nhất 2000), NXB Giáo dục, Hà Nội, 2004, cho thấy giữa chương “mệnh đề - tập hợp”, chương “phương trình, hệ phương trình” và chương “bất phương trình” có mối quan hệ mật thiết với nhau. Do đó, ở bài viết này, ta đi khám phá những sai lầm khi vận dụng “mệnh đề - tập hợp” để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số. 3.3. Thực trạng những sai lầm cần được khai thác 3.3.1. Sai lầm do hiểu không đầy đủ bản chất hệ thống kí hiệu toán học và các suy luận toán học Trong logic toán, nếu P, Q là hai mệnh đề thì kí hiệu “P Q ” dùng để chỉ mệnh đề “Nếu P thì Q” hoặc “Vì P nên Q” hoặc “Từ P suy ra Q”,Do đó, viết “Nếu P Q ” rõ ràng thừa từ “Nếu”. Chẳng hạn, trang 130, Bài tập Đại số 10 (1998) tác giả Ngô Thúc Lanh, Vũ Tuấn, Trần Anh Bảo có viết “Nếu m 6/7 , 1 22/7; 4/7x x  ” (không có từ “thì” nhưng từ “Nếu” lại được sử dụng). Hay trang 19, Bài tập Đại số 10 (1998) tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Hàn Liên Hải có viết “Nếu 0B  -( / ) - ( / )y A B x C B ax b    ”, Khi P, Q là hai phương trình hay bất phương trình (mệnh đề chứa biến), kí hiệu “PQ” còn để chỉ phương trình Q là phương trình hệ quả của phương trình P (tập nghiệm của Q chứa tập nghiệm của P). Muốn nói hai phương trình P, Q tương đương, ta viết “PQ” (hai phương trình có cùng tập nghiệm). Bởi vậy, trong quá trình biến đổi một phương trình (bất phương trình), có một bước nào đó ta sử dụng kí hiệu “” thì phương trình sau là phương trình hệ quả của phương trình trước và lời giải chưa kết thúc. Tuy nhiên, nhiều tác giả sách chưa chú ý. Chẳng hạn, trang 125, Đại số 10 (1998) tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Hàn Liên Hải có viết “ 2 23 2x x x   3 2 0x   3/2x  ”. Trang 148, sách Đại số và Giải tích 11 (1997) tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng có viết “cos( /2) 0x  /2 /2x k    2x k    ”,...,các kí hiệu “” phải là kí hiệu “ ”. 3.3.2. Sai lầm do lạm dụng kí hiệu " ", " ", "[", "{"  , “//”, “” tùy ý, thiếu chính xác giữa các bước biến đổi, thậm chí còn dùng sai hoàn toàn Đứng ngay sau kí hiệu “”, “ ” không phải là một mệnh đề toán học. Ví dụ, trang 67, Bài tập Đại số 10 tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, 3 Hàn Liên Hải, viết “ 2 7 - 3 0 - 5 0 3 - 0 a a a        không có”. Dùng kí hiệu “ ” không đúng chỗ. Trang 45, các bài giảng luyện thi môn Toán (1997) tác giả Lê Thống Nhất, Đào Tam, có viết “Do (1) và (2) tương đương  (2) cũng có nghiệm 1 2,x x ”. Trang 157, Toán nâng cao Đại số và Giải tích 11 (1998) tác giả Nguyễn Tiến Quang, có viết “     27 72 3 1 02 2 x x    23t 2t 1 0    , với  7t 2 x  t 1/3  hoặct 1  (loại)”. Như vậy, bất phương trình theo ẩn x không thể tương đương với bất phương trình theo ẩn t . Trang 211, các bài giảng luyện thi môn Toán (1997) tác giả Lê Thống Nhất, Đào Tam có viết “   cos 1 0f t t    với t ”, ở đây thừa từ “với”. Trang 121, tác giả có viết “vì IC1(BC1D) nên MN // (BDC1), đã dùng sai kí hiệu “”, đúng ra là kí hiệu “ ”. Một số cách viết sau đây cũng không thể chấp nhận được mặc dù người đọc vẫn hiểu đúng ý định người viết “Hai đường thẳng a và b là // với nhau”; “Đường thẳng a là  với mặt phẳng (P)”. Các kí hiệu: //,  đã bị lạm dụng để thay thế cho các từ “song song”, “vuông góc”. Các lỗi kiểu như thế trong các bài kiểm tra, bài thi của HS rất nhiều và một số sách tham khảo cũng có. Sự chủ quan vô tình này làm mất đi tính giá trị cũng như tính thẩm mỹ của các kí hiệu toán học. 3.3.3. Sai lầm trong sử dụng từ để viết kết luận nghiệm bài toán Ví dụ, giải phương trình 2 3 2 0x x      1 2 0x x    1 2x x    , HS thường ghi kết luận “Vậy phương trình có nghiệm là 1x  và 2x  (cũng có trường hợp kết luận: Vậy phương trình có nghiệm là 1 2x x   )”. Kết luận trên không chính xác, thiếu logic, đúng ra là dùng từ “hoặc” (liệt kê các phần tử của tập nghiệm) thay từ “và” hay thay cho kí hiệu “” thì hợp lí hơn. Nói chung, chương “mệnh đề - tập hợp” là cơ sở, nền tảng cho việc học tập các chương tiếp theo cũng như vận dụng suy luận toán học. Cho nên, ta phải khai thác càng sâu càng tốt những sai lầm mắc phải để giảng dạy sao cho hiệu quả. 3.4. Những khó khăn và hướng khắc phục 3.4.1. Với chương “Phương trình, hệ phương trình” và “Bất phương trình” Khi học các phép toán trên mệnh đề (phép phủ định, kéo theo, tương đương), HS thường khó phân biệt giữa điều kiện cần và điều kiện đủ, khó khăn khi chứng minh bằng phản chứng, nhầm lẫn trong cách viết tập hợp, tìm hợp, giao, hiệu các tập hợp (giữa các khoảng, đoạn). Nói chung, HS không hiểu rõ ý nghĩa của các kí hiệu " ", " ", " ", " ", " ", " ", ...      , và chưa quen sử dụng. Khắc phục vấn đề này bằng cách phân tích các ví dụ cụ thể giúp HS hiểu rõ bản chất vấn đề và tránh sai sót. Ví dụ: Câu 1: Giải phương trình  23 3 2 0x x x    Câu 2: Giải và biện luận phương trình 2m 1 m 2 2x     (Bài tập 3c trang 71 và Bài tập 26d trang 85 SGK Đại số 10). 4 Phân tích câu 1: Kết quả trong số các bài giải sai bao gồm: Thiếu điều kiện - 3 0x  . Biến đổi  23 3 2 0x x x    2 - 3 0 - 3 2 0 x x x       (dùng kí hiệu“{ thay vì [”). Kết luận nghiệm không kết hợp với điều kiện của phương trình. Dùng sai, lạm dụng các kí hiệu {"" ,"[" ,"" ,""  . Minh họa bài giải của HS  2 (1)3 3 2 0x x x     22 3 0 3 2 0 x x x          1 3 2 3 3 1 2 x x x         phương trình có nghiệm là 1 3x  hoặc 2 1x  hoặc 3 2x  . Phân tích bài giải minh họa Thiếu điều kiện ( - 3 0x  3x  ), nên nhận cả 2 1x  và 3 2x  là nghiệm. Từ (1) sang (2) là không tương đương do chưa có điều kiện 3x  (vì hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Và khi nói chúng tương đương thì phải chỉ rõ chúng tương đương trên tập xác định nào. Cụ thể, tập xác định của (1) là  3; , còn (2) hợp của hai phương trình và đều xác định R. Do đó, (1) không tương đương (2). Đúng ra là (1) (2), sau khi tìm được các nghiệm của phương trình hệ quả (2) thì phải thử lại phương trình (1) để nhận nghiệm. Nếu kết luận phương trình có ba nghiệm thì 2 1x  hoặc 3 2x  làm cho 3x  không có nghĩa. Do đó, 2 1x  và 3 2x  là hai nghiệm ngoại lai. Nguyên nhân sai: do tính chất trong tập số thực: . 0 0  a b a hoặc 0b . Trong phần kết luận bài toán, HS đã lạm dụng kí hiệu “”. Hướng dẫn giải: Ta có:  23 3 2 0x x x    2 3 0 3 0 3 2 0 x x x x            3 3 1 2 x x x x         3x  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 3x  . Phân tích câu 2: Bài toán đưa về giải và biện luận phương trình dạng: a bx  Kết quả trong số các bài giải sai bao gồm: Không xét hết các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a . Đa số đều có đặt điều kiện 2x  nhưng khi giải tìm được các giá trị của x thì không kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm. Nhiều HS còn sai sót trong suy luận. Minh họa bài giải của HS 5 Bài giải 1: Điều kiện: 2x  , Phương trình (*) 2m 1 m 2 2x     2m 1 ( 2)(m 2)x      m 2 4m - 5x    (*) có nghiệm    4m 5 / m -2x   . Bài giải 2: Với 2x  , (*) 2m 1 ( 2)(m 2)x      m 2 4m - 5x   Nếu m -2 0 m 2  0. 3x  phương trình (*)vô nghiệm. Nếu m -2 0 m 2  phương trình (*)có nghiệm    4m 5 / m -2x   Vậy m 2  : (*)vô nghiệm; m 2 : (*) có nghiệm là    4m 5 / m - 2x   Phân tích bài giải minh họa Ở bài giải 1, không xét các trường hợp xảy ra của m 2 dẫn đến việc chia hai vế phương trình cho một biểu thức mà biểu thức này có thể bằng 0. Ngoài ra, bài giải này còn một sai sót đặc biệt là không kết hợp với điều kiện 2x  để xem với giá trị nào của tham số m thì    4m 5 / m - 2x   là nghiệm của phương trình, ở bài giải này còn lạm dụng kí hiệu “” trong kết luận và còn thiếu phần kết luận của một bài toán “giải và biện luận”. Ở bài giải 2, cũng mắc sai sót là không kết hợp với điều kiện 2x  để xem với giá trị nào của tham số m thì    4m 5 / m - 2x   là nghiệm. Ngoài ra, trong lời giải có nhiều sai lầm trong suy luận, không hợp logic, lạm dụng kí hiệu “”. Chẳng hạn, “Nếu m -2 0 m 2  0. 3x  ”; “Nếu m-2 0 m 2     4m 5 / m - 2x   ”. Khi giảng dạy, giáo viên cần chỉ ra những sai lầm này và trình bày lời giải đúng, chính xác, suy luận chặt chẽ hơn. Hướng dẫn giải: Điều kiện: 2x  , với điều kiện đó,  12m 1 m 2 2x     2m 1 ( 2)(m 2)x        2m 2 4m - 5x   + Nếu m 2 thì m -2 0 , nên (2) 0 3x  , phương trình vô nghiệm. + Nếu m 2 thì m -2 0 nên (2)    4m 5 / m - 2x   . Ngoài điều kiện m 2 để 4m 5 m 2 x    là nghiệm thì 4m 5 2 m 2    hay 1 m 2  . Kết luận: Nếu m 2 hoặcm=1/2 thì phương trình vô nghiệm. Nếum 2 và m 1/2 thì phương trình có nghiệm    4m 5 / m -2x   . 3.4.2. Đối với các phương trình, bất phương trình chứa ẩn số ở mẫu, hay chứa ẩn số trong dấu căn bậc hai nói riêng (căn chẵn nói chung) Ta thường quên đặt điều kiện xác định mà đi trực tiếp vào biến đổi, trong khi các biến đổi đó là không tương đương, do chưa nắm kỹ khái niệm hai phương trình tương đương. Khắc phục: nhắc lại “Hai phương trình tương đương khi hai tập nghiệm của chúng trùng nhau” và nhấn mạnh “Chúng tương đương với nhau trên tập xác định D” hay khi ta thay tập D bởi điều kiện D “Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với nhau”. Tuy nhiên, cũng có trường hợp có đặt điều kiện nhưng khi kết luận nghiệm thì quên, hoặc thậm chí bỏ quên luôn điều kiện. Ví dụ: Giải bất phương trình 3 5 1 2 1x x    (Bài tập 34b trang 126 Đại số 10). Kết quả trong số bài giải sai bao gồm: 6 Không xét điều kiện1 0x  và 2 1 0x   ; Thực hiện qui đồng bỏ mẫu. Lạm dụng, dùng sai các kí hiệu ["","",""  . Minh họa bài giải của HS Bài giải 1:  1 3 5 1 2 1x x         2 1 0 2 1 0 3 2 1 5 1 x x x x             3 1 1 2 11 2 0 x x x          1 2 11 x x       2/11x  và 1x  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Bài giải 2:  1 3 5 1 2 1x x            1 0 2 1 0 3 2 1 5 1 0 1 2 1 x x x x x x                  1 0 2 1 0 11 2 0 1 2 1 x x x x x            1 2 hay 1 2 11 x x     Phân tích bài giải minh họa Ở bài giải 1, từ (1) sang (2) không tương đương, vì người giải qui đồng bỏ mẫu số trong khi chưa biết dấu của 1 x và 2 1x  . Hơn nữa, trong kết luận đã lạm dụng kí hiệu “”. Ở bài giải 2, sai trong kết luận các khoảng nghiệm của bất phương trình tại các đầu mút. Và kết luận nghiệm thông thường là dùng tập hợp. Chẳng hạn, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là   1 2; ;12 11    . Hướng dẫn giải: Điều kiện: 1 0 2 1 0 x x      1 1 2 x x      Khi đó 3 5 1 2 1x x            3 2 1 5 1 0 1 2 1 x x x x            ( )11 2 0 1 2 1 ix x x      Ta có bảng xét dấu vế trái của bất phương trình ( )i Vậy tập nghiệm của bất phương trình là   1 2; ;12 11    . x  -1/2 2/11 1  11 - 2x - - 0 + + 1 x + + + 0 - 2 1x  - 0 + + +     11 2 1 2 1 x x x    + - 0 + - 7 3. Kết luận Bài viết giúp chúng ta thấy việc vận dụng “ mệnh đề - tập hợp” để phát triển vốn thuật ngữ và kí hiệu toán học, hiểu rõ các phép toán logic, biết sử dụng chúng một cách chính xác, trình bày lời giải bài toán một cách mạch lạc, hợp logic. Các kí hiệu này không chỉ giúp ta diễn đạt các mệnh đề toán học một cách gọn gàng mà chúng còn mang tính khoa học, tính lịch sử và tính thẩm mỹ với đầy đủ ý nghĩa của nó. Họ hàng các kí hiệu toán thật vô cùng phong phú. Có những kí hiệu chỉ dùng trong phạm vi một bài viết do chính tác giả định nghĩa. Có những kí hiệu chỉ dùng trong phạm vi một quốc gia và có nhiều kí hiệu được sử dụng gần như thống nhất trên toàn thế giới. Các kí hiệu toán học mà chúng ta sử dụng ngày nay là những sản phẩm trí tuệ sáng tạo của con người, chúng cũng là những sản phẩm văn hóa. Tuy chưa có một qui định cụ thể nào về cách sử dụng các kí hiệu nhưng mỗi kí hiệu đều được toán học định nghĩa và nói rõ cách sử dụng. Định nghĩa và cách sử dụng ấy phải được tôn trọng. Đồng thời nó cũng là cơ sở, nền tảng cho việc học tập các kiến thức toán học chương trình toán phổ thông nói riêng và nghiên cứu toán nói chung. ______________ Tài liệu tham khảo 1. Phan Hữu Chân, Trần Lâm Hách, Nhập môn lí thuyết tập hợp và logic, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997. 2. Hoàng Chúng, Những vấn đề logic trong môn Toán ở trường trung học cơ sở, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997. 3. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Đại số 10 (sách chỉnh lí hợp nhất 2000), NXB Giáo dục, Hà Nội, 2004. 4. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao (sách giáo viên), NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006. 5. Robert.J.Marzano: A different kind of classroom - Teaching with dimension of learning, ASCD, USA, 1992. 6. Website: http//Learning.com.