Một số phản ví dụ về các lớp không gian Tôpô quan trọng - Đoàn Thị Chuyên

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 17 - 22 17 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ CÁC LỚP KHÔNG GIAN TÔPÔ QUAN TRỌNG Đoàn Thị Chuyên3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Một trong những mục đích quan trọng khi phân loại các không gian tôpô trong toán học đó là nhằm metric hóa các không gian tôpô. Khi đó dựa vào các tính chất gần gũi của không gian metric, người ta phân loại các không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác nhau theo thứ tự giảm dần theo quan hệ bao hàm bởi các điều kiện ngày càng gần gũi với không gian metric. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ xây dựng một số phản ví dụ đơn giản về các tôpô trên một số tập con đơn giản của , nhằm chỉ ra bao hàm thức thực sự cho các lớp không gian tôpô quan trọng đã biết. Từ khóa: Không gian metric, Không gian tôpô, Metric hóa tôpô, Không gian Frechet, Không gian Hausdorff, Không gian chính quy. 1. Một số khái niệm cần thiết Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cần thiết trong không gian tôpô dùng trong bài báo này. Định nghĩa 1. Cho một tập hợp .X  Một họ  các tập hợp con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu họ  thỏa mãn các điều kiện sau: i) , ;X   ii) Nếu 1 2,G G  thì 1 2 ;G G   iii) Nếu  i i IG   thì .i i I G    Nếu trên tập hợp X có một tôpô  thì ta gọi X là một không gian tôpô, kí hiệu bởi cặp  , .X  Định nghĩa 2. Không gian tôpô X được gọi là 0T - không gian nếu với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian luôn tồn tại lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia. Ví dụ 1. Dễ dàng kiểm tra tập  0,1X  cùng với họ   , 0 ,X   là một không gian tôpô và là 0T  không gian. Định nghĩa 3. (Không gian Frechet) Không gian tôpô X được gọi là 1T  không gian nếu với mỗi cặp điểm ,x y khác nhau của không gian X luôn tồn tại một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. Ví dụ 2. Xét trên tập hợp [0;1]X  ta xét họ  , ,X G   ở đó G thu từ X bằng cách bỏ đi một số hữu hạn điểm hoặc một dãy số bất kì nằm trong X. Khi đó có thể thấy X là 1T  không gian. 3 Ngày nhận bài: 18/8/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016 Liên lạc: Đoàn Thị Chuyên, e - mail: doanchuyenkt@gmail.com 18 Định nghĩa 4. (Không gian tách Hausdorff ) Không gian tôpô X được gọi là 2T không gian nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau. Ví dụ 3. Xét trên tập hợp [0;1]X  khoảng cách (rời rạc) 1 khi ( , ) 0 khi x y x y x y      Khi đó X cùng với tôpô  cảm sinh bởi khoảng cách  nói trên là một 2T không gian. Thật vậy, với mọi x y trong X ta chọn hai lân cận 1 ( , ) 2 xU B x của x và 1 ( , ) 2 yU B y của y thì hai lân cận này thỏa mãn Định nghĩa 4. Định nghĩa 5. (Không gian tôpô chính quy) Không gian tôpô X được gọi là không gian chính quy nếu X là 1T  không gian và thỏa mãn với mỗi điểm x X và mỗi tập đóng F không chứa x luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của F sao cho: .U V  Trong trường hợp này ta cũng gọi X là 3T  không gian. Định nghĩa 6. (Không gian chuẩn tắc) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu X là 1T  không gian và thỏa mãn với hai tập đóng rời nhau 1 2,F F bất kì luôn tồn tại lân cận U của 1F và lân cận V của 2F sao cho: .U V  Trong trường hợp này ta cũng gọi X là 4T không gian. Nhận xét: Từ các định nghĩa và ví dụ minh họa ta đi đến nhận xét sau: Nếu X là 4T không gian  3T  không gian  X là 2T không gian  X là 1T  không gian  X là 0T không gian. Mặt khác nếu lấy X  thì với tôpô tự nhiên X đều thỏa mãn các không gian nói trên. Tuy nhiên điều ngược lại, nhìn chung không đúng. Mục tiêu chính của bài báo này là đưa ra các ví dụ đơn giản để thấy rằng điều ngược lại không đúng. Mặt khác rõ ràng từ định nghĩa, mọi tôpô cảm sinh bởi metric trên X là 4T không gian. 2. Một số phản ví dụ cho một số không gian tôpô quan trọng 2.1. Ví dụ về 0T không gian, không là 1T  không gian Ta xét [0;1],X  đặt: { :G X G    hoặc 0 }.G Ta sẽ chứng tỏ rằng: a.  ,X  là không gian tôpô. b. Không gian tôpô  ,X  là 0T không gian, không là 1T  không gian. Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng có thể kiểm tra  ,X  là không gian tôpô. Ta chứng minh khẳng định sau. Lấy bất kì hai điểm phân biệt 1 2,y y thuộc X. Nếu 1 2,y y khác 0, tập  10, y là tập mở không chứa 2.y Nếu  1 0 0y   không chứa 2.y Suy ra  ,X  là 0T  không gian. 19 Lấy y khác 0, theo định nghĩa của , mọi lân cận của y đều chứa 0 nên  ,X  không là 1T  không gian. 2.2. Ví dụ về 1T  không gian, không là 2T không gian Cho [0;1]X  và đặt: { :G X G    hoặc G X hoặc \X G hữu hạn}. Ta chứng tỏ rằng: a.  ,X  là một không gian tôpô (còn được gọi là tôpô Zariski). b.  ,X  là 1T  không gian mà không phải là 2T không gian. Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng có thể kiểm tra  ,X  là không gian tôpô. Ta chứng minh khẳng định b). Với mọi , , .x y X x y  Đặt    \ , \ .x yU X y V X x  Suy ra ,x yU V  và xU là lân cận của x không chứa y, yV là lân cận của y không chứa x. Do đó  ,X  là 1T  không gian. Ta chỉ ra  ,X  không là 2T không gian bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử  ,X  là 2T không gian, khi đó tồn tại lân cận ,x yU V  sao cho ,x yx U y V  và .x yU V  Mặt khác ta có    \ , \x yX U X V có hữu hạn phần tử và      \ \ \ \ .x y x yX X X U V X U X V      Suy ra X có hữu hạn phần tử mâu thuẫn với [0;1]X  là tập vô hạn. Vậy  ,X  không phải là 2T không gian. 2.3. Ví dụ về 2T không gian, không là 3T  không gian Cho ;1( )1X   là tập số thực, kí hiệu: * 1 |{ }.X n n    Mỗi x X đặt *xn  sao cho 1 1 ( ) , ( 1;1). x i xn n U x x x           Ta kí hiệu  ( ) ( ) . x n n n B x U x    Ta chứng tỏ các khẳng định sau: 1.    x X B x  là hệ lân cận xác định tôpô  trên X. 2.  ,X  là 2T không gian. 3.  ,X  không là 3T  không gian. Thật vậy, khẳng định thứ nhất    x X B x  là hệ lân cận xác định tôpô  trên X. 20 i. Rõ ràng  , ,x X B x   nếu  U B x thì .x U ii. Lấy  1 2, .V V B x Khi đó các lân cận mở của x có dạng: 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 , , , .V x x V x x n n n n                  Giả thiết 1 2n n suy ra 1 2 2.V V V  Cả hai trường hợp đều có  1 2 .V V B x  Vậy   x XB x  là hệ lân cận xác định tôpô  trên X. iii. Lấy  , ,x X y V B x    cần chỉ ra tồn tại lân cận W của y sao cho .W V [•] Nếu y x chọn ;W V [•] Nếu y x thì lân cận của x có dạng 1 1 , , x xn n V x x         khi đó chọn số nguyên ym sao cho     1 1 min , , , . y y x y m d m y d x         Suy ra 1 1 , . y y W n y y V n           Vậy họ    x X B x  sinh ra tôpô  trên X. Khẳng định thứ hai,  ,X  là 2T không gian. Gọi là tôpô tự nhiên trên tập số thực . Lấy ,G khi đó hiển nhiên ta có biểu diễn: 1 1       x G x x G= x - ,x+ n n nên ta có .G  Do đó tôpô  mạnh hơn tôpô . Lại do  ,X là không gian Hausdorff nên  ,X  là không gian Hausdorff. Khẳng định thứ ba,  ,X  không là 3T  không gian. Thật vậy, rõ ràng đóng trong không gian  , ,0X   và bất kì các tập mở ,U V lần lượt chứa 0 và có giao nhau khác rỗng. Vậy  ,X  không là 3T  không gian. 2.4. Ví dụ về 3T  không gian, không là 4T không gian Ta xét tập hợp 2[0;1] [0;1] .X    Khi đó với mỗi [0;1]x ta đặt {( , ) : 1}.x t t x X x t x       Ta xác định tôpô trên X cho bởi hệ lân cận như sau (Hình vẽ): (i) Tại mỗi điểm ( , ) : 0x y X y  ta xét các hình cầu tâm tại điểm này với khoảng cách rời rạc trong Ví dụ 2.3. (2i) Tại mỗi điểm ( ,0)x X ta trang bị cơ sở các tập mở gồm các tập có dạng \x F ở đó F là một tập hữu hạn và không chứa x. 21 Rõ ràng tôpô xác định như trên có hệ cơ sở lân cận gồm các tập vừa đóng, vừa mở và làm cho X là 2T không gian. Hơn nữa, theo [7] ta có X là một 3T  không gian. Ta sẽ thấy X không là 4T không gian. Thật vậy, xét hai tập đóng rời nhau trong X 1 2 \{(x,0): x }; {(x,0): x }.F F    Rõ ràng khi đó bởi Bổ đề Uryson trong [5] ta thấy nếu X là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ liên tục : [0;1]f X  sao cho 1 2( ) 0; ( ) 1.f F f F  Điều này là không thể do tính trù mật của và \ trong . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N. Comogonov, X.V. Fomin (1971). Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm (Tập 2). Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc (1996). Không gian tôpô - Độ đo và lý thuyết tích phân. Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001). Cơ sở Lý thuyết hàm (Tập 1). Nhà xuất bản Giáo dục. [4] Bùi Đắc Tắc, Nguyễn Thanh Hà (1999). Bài tập không gian tôpô - Độ đo tích phân. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia. [5] Phạm Minh Thông (2007). Không gian tôpô. Độ đo-Tích phân. Nhà xuất bản Giáo dục. [6] Hoàng Tụy (2003). Hàm thực và giải tích hàm. Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội. [7] G. Bezhanishvili (2009). Zero-dimensional proximities and zero-dimensional compactifications, Topology and its Applications, 156: 1496 - 1504. 22 SOME COUNTER EXAMPLES OF IMPORTANT TOPOLOGICAL SPACE Doan Thi Chuyen Tay Bac University Abstract: One of the important purposes of classifying the topological spaces is metrizing the topological spaces. Then basing on the close nature of the metric spaces, we classify topological spaces into some classes of important topological spaces according to the closer relationship with metric space. In this paper, we will introduce a simple counter-example of the topology on a subset of the real number set , which aims to indicate the relationship among some classes of important topological spaces. Keywords: Metric space, Topological space, Metrize the topological space, Frechet space, Hausdorff space, Regular space.