Một số không gian xác suất trên R - Phạm Thị Thái

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 - 29 22 MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN Phạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phƣơng3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo này đưa ra một số không gian xác suất và từ đó xây dựng một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất nói trên. Ngoài ra, bài báo cũng xây dựng một số không gian xác suất trên tập số thực cảm sinh bởi các không gian xác suất đã xây dựng. Cuối cùng, một số ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc tính kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã đề cập đến. Từ khóa:  - đại số Borel, biến ngẫu nhiên, độ đo xác suất, không gian xác suất, kì vọng, phương sai. 1. Mở đầu Trong toán học, không gian xác suất là nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại (cả trong lý thuyết xác suất cổ điển). Trong lịch sử phát triển của lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệm xác suất của biến cố được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên có thể thấy những định nghĩa đó đều không nói lên được bản chất toán học của vấn đề. Ngày nay, lý thuyết xác suất được phát triển dựa trên phương pháp tiên đề và lý thuyết độ đo. Điều này đã làm cho lý thuyết xác suất thực sự là một khoa học toán học. Bài báo này xây dựng một số ví dụ minh họa cho một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất hiện đại. Đó là không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất tổng quát. Tất cả những vấn đề nêu trên được xây dựng dựa vào lý thuyết chặt chẽ của độ đo, tích phân Lebesgue, Bài báo được trình bày theo bố cục như sau. Trước hết, dựa vào các tài liệu [1], [2] và [3] trình bày các khái niệm cơ bản cần dùng trong lý thuyết xác suất tổng quát như không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên ở phần đầu mỗi mục. Tiếp sau đó, trong phần cuối mỗi mục, một số ví dụ minh họa cho những khái niệm đã nêu được xây dựng với tiêu chí là đơn giản, tinh giản và chặt chẽ, làm phong phú thêm các khái niệm được đưa ra. 2. Không gian xác suất 2.1. Một số khái niệm Định nghĩa 2.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Một họ các tập con của X được gọi là một  - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: a) ;X  b) Nếu A thì ;CA c) Nếu   *n n A   thì 1 .n n A    3 Ngày nhận bài: 26/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 14/4/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Phạm Thị Thái, e - mail: phamthithai68@gmail.com 23 Nhận xét 2.2. Có thể thay một cách tương đương điều kiện c) bởi điều kiện: c’) Nếu   *n n A   thì 1 .n n A    Định nghĩa 2.3. Một hàm tập hợp  xác định trên  - đại số các tập con của tập hợp X được gọi là một độ đo trong X nếu  thỏa mãn các điều kiện sau: a)  0 A   với mọi ;A b)   0;   c)  là  - cộng tính, tức là với mọi 1 2, ,..., ,...nA A A  là dãy tập con rời nhau thì   1 1 n nn n A A             Hơn nữa, là một độ đo xác suất nếu   1.X  Định nghĩa 2.4. Gọi bộ ba  , ,X  là không gian xác suất, ở đó là  - đại số trên X và  là độ đo xác suất trên X. Khi đó, X là không gian mẫu, là không gian biến cố và  là hàm xác suất. Ví dụ 2.5. Xét phép thử gieo con xúc xắc một lần. Gọi s là số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc khi gieo. Khi đó không gian mẫu  1, 2, 3, 4, 5, 6 .X  Xét là họ tất cả các tập con của X (bao gồm 62 phần tử) thì là một  - đại số trên X. Vậy là không gian biến cố. Tiếp theo, xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mỗi phần tử của X, có định nghĩa    1 , 1,6. 6 ss   Từ công thức này, có thể xác định được tất cả các biến cố của . Chẳng hạn xác suất của biến cố số chấm chẵn        2, 4, 6 = 2 4 6E    ta thấy ngay   3 . 6 E  Vậy  , ,X  là một không gian xác suất. Định nghĩa 2.6. Giả sử ,  là hai độ đo trên một  - đại số trên X. Khi đó độ đo  liên tục tuyệt đối đối với độ đo  nếu với mọi  : 0E E  thì   0.E  Kí hiệu là .  2.2. Một số không gian xác suất trên Ví dụ 2.7. Đặt  0,1 .X  Kí hiệu là  - đại số trên X sinh bởi các tập con mở của X (khi đó cũng là  - đại số trên X sinh bởi các tập con đóng của X). Mặt khác, có thể thấy các biểu diễn sau đây: i) Với mọi  , 0, 1a b thì: 24     0 0 1 1 1 1 1 1 , = , ; ( , )= , ; 2j j j a b a b a b a b j j j j j b a                     ii)       1 1 1 1 1 1 = 0, ; = , , 0,1 ; 1 = 1 ,1 j j j a a a a j j j                            Bởi vì mọi tập mở trên đều là hợp không quá đếm được của các khoảng mở nên cùng với biểu diễn trên, cũng là  - đại số trên X sinh bởi họ các khoảng nửa đóng của X. Như vậy, các tập như 1 2 1 2 , ; 0, ,1 ; 3 3 3 3                  1 1 2 ; ; ;... 3 3 3             đều thuộc . Hơn nữa có thể thấy cũng được sinh bởi họ các tập     0, , 0, 1a a  hoặc bởi họ     0, , 0, 1 .a a  Thật vậy, chẳng hạn với họ     0, , 0, 1 .a a   Khi đó với mọi khoảng đóng    , , , 0, 1 ,a b a b để không mất tính tổng quát coi  , 0, 1 .a b Sẽ có:       , = \ 0, ,1 .a b X a b Mặt khác vì  0, b  nên    \ 0, = ,1X b b  và do đó    .,a b J Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mỗi ,E đặt  E là độ đo Lebesgue ([2]) của E. Rõ ràng mỗi tập thuộc đều đo được Lebesgue bởi mỗi tập con mở trên X đều là hợp của nhiều nhất là đếm được các khoảng mở, hơn nữa mỗi khoảng mở đều là đo được Lebesgue. Hơn nữa     0, 1.1X   Như vậy  là độ đo xác suất trên X. Chẳng hạn ta có độ đo (xác suất) của một số tập con (biến cố) sau: 1 2 1 1 2 2 , = ; 0, ,1 ; 3 3 3 3 3 3                              1 1 2 =0; ; =0;... 3 3 3                        Vậy  , ,X  là một không gian xác suất. Ví dụ 2.8. Đặt * 1 . 2 j j X         Xét  - đại số trên X cho bởi gồm tất cả các tập con của X. Xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mọi tập ,E đặt:   1 , 2kk I E   ở đó I là tập bao gồm các chỉ số k mà 1 . 2k E Rõ ràng khi đó  là độ đo xác suất bởi vì   * 1 1 2kk X    Vậy  , ,X  là một không gian xác suất. 25 Nhận xét 2.9. Độ đo Lebesgue của mọi tập không quá đếm được trong đều bằng không. Do vậy, từ định nghĩa của độ đo xác suất  trong các Ví dụ 2.7 và Ví dụ 2.8 nói trên, sẽ có ,  ở đó  là độ đo Lebesgue trên . 3. Biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất tổng quát 3.1. Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1. Cho  , ,X  là một không gian xác suất. Giả sử :f X  là một hàm số trên X. f là hàm Borel trên X nếu với mọi tập Borel ([1]) G đều có  1 .f G  Gọi một hàm Borel trên không gian xác suất là biến ngẫu nhiên. Nhận xét 3.2. i) f là hàm Borel trên X tương đương với   1 , , ,f aa     đồng thời cũng tương đương với   1 , , .f aa     ii) Nếu f là hàm Borel trên X thì   1 , , ,f a a    là các biến cố và do đó hàm xác suất  xác định trên các tập này. 3.2. Một số biến ngẫu nhiên trên Ví dụ 3.3. Xét không gian xác suất  , ,X  trong Ví dụ 2.5, ta xét hàm :f X  xác định như sau: , ( ) .s X f s s   Khi đó sẽ có:              1 khi 1; 1 khi 1 2; 1,2 khi 2 3; , , 1,2,3 khi 3 4; 1,2,3,4 khi 4 5; 1,2,3,4,5 khi 5 6; khi 6. a a a a f a a a a X a                          Rõ ràng   1 ,, af a     nên f là hàm Borel trên X . Ví dụ 3.4. Tương tự như Ví dụ 3.3, xét     1, 1 , 1, 1X     là  - đại số các tập Borel sinh bởi các tập con mở của  1, 1 và hàm xác suất , 2  ở đó  xác định như trong Ví dụ 2.7. Khi đó      2 1, 1 1 2 2 2 X       và có    1, 1 , 1, 1 , 2        là không gian xác suất. Xét :f X  xác định như sau:  , | | .s X f s s   Khi đó sẽ có:     1, , :| |a f a s X s a      26 Xét các trường hợp sau: Trường hợp 1. Nếu 0a  thì khi đó   1 , .f a   Trường hợp 2. Nếu 0a  thì khi đó:         1 , : = : : .f a s X a s a s X a s s X s a             Không mất tính tổng quát, cần chỉ ra  : .s X s a   Thật vậy, đặt   ,g s s s X  thì hàm g liên tục (với topo thông thường) trên X. Đồng thời:        1: = : = , ,s X s a s X g s a g a      bởi vì nghịch ảnh của tập mở  , a trong qua hàm liên tục g là tập mở trong X, do đó   1 ,g a  là tập mở và do đó thuộc vào  - đại số Borel trên X. Chứng tỏ f là hàm Borel trên X . Nhận xét 3.5. i) Tổng quát trong Ví dụ 3.4, bằng lập luận tương tự như trên, với mọi 0  thì hàm :f X  xác định bởi  , | |s X f s s    đều là hàm Borel trên X. ii) Trong Ví dụ 2.8, do mọi tập con của X đều thuộc - đại số nên mọi hàm :f X  đều có   1 , .f a   Do đó mọi hàm f xác định như trên đều là hàm Borel. Tiếp theo, dựa vào kết quả trong [5] về cách xây dựng tập không Borel, ta xây dựng một hàm không là hàm Borel như sau. Ví dụ 3.6. Giả sử ( )c x là hàm Cantor trên  0,1 . Đặt     ,g x x c x x X   ở đó xét không gian xác suất  , ,X  trong Ví dụ 2.7. Khi đó như trong [5] có  g là tập Borel và    1,g  ở đó là họ các tập Cantor trên đoạn  0,1 . Tiếp tục theo [5] thì mọi tập có độ đo Lebesgue dương đều chứa một tập con không đo được, kí hiệu bởi E. Nếu đặt  1A f E thì theo [5] có A là tập con không Borel của X, tức là .A Xét hàm :f X  xác định bởi:   0 khi ; 1 khi . x A f x x A     Khi đó do A là tập con không Borel nên có   1 ,2 .f A    Vậy f không là hàm Borel trên X. 4. Hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất 4.1. Hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất Giả sử  , ,X  là không gian xác suất và f là hàm Borel trên X. Theo định nghĩa suy ra với mọi tập Borel A có:   : .x X f x A   Do vậy có thể xác định xác suất    : .x X f x A   Đặt      : ,f A x X f x A A     là tập Borel trên . Hơn 27 nữa do nếu A  thì        : = =1,f x X f x X     tức f cũng là độ đo xác suất trên . Vậy f là hàm xác suất trên  - đại số   các tập Borel trên . Định nghĩa 4.1. Gọi f là độ đo xác suất cảm sinh bởi không gian xác suất  , ,X  và hàm Borel f trên X. Đặc biệt đặt:       , ,f fF a a f a a      và gọi fF là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên .f 4.2. Một số hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất cho trước Ví dụ 4.1. Xét không gian xác suất  , ,X  trong Ví dụ 2.7. Xét hàm :f X  cho bởi:   1 1 khi 1; 2 1 khi 0 < . 2 x f x x x         Khi đó dễ thấy f là hàm Borel trên X. Do  - đại số   các tập Borel trên sinh bởi các tập  , ,a a   nên với mọi tập Borel A trên , có thể coi  , .A a  Từ đó có:                 khi 0; 1 0, khi 0 < ; 2 , : 1 1 0, khi 1; 2 2 khi 1. f f a a a A a x X f x a a X a                               0 khi 0; 1 khi 0 < ; 2 1 1 khi 1; 2 2 1 khi 1. a a a a a             Đặc biệt có   1 0.  Tuy nhiên        1 1 1 =1 ,1 0. 2 2 f f ff x               Điều này chứng tỏ độ đo xác suất cảm sinh f không liên tục tuyệt đối đối với độ đo (Lebesgue) . Ví dụ 4.2. Xét không gian xác suất  , ,X  và hàm Borel f như trong Ví dụ 3.4. Khi đó do | | 0x  nên ta chỉ xét các tập Borel  0, 1 .A Từ đó có: 28       :| | = 2 f A x X x A A      Chẳng hạn: 1 1 1 1 1 1 ,0 0; 0, 0, ,0 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 f f                                                                     5. Kì vọng và phƣơng sai của một số biến ngẫu nhiên 5.1. Kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Giả sử  , ,X  là không gian xác suất và :f X  là một biến ngẫu nhiên (tức là một hàm Borel trên X). Kí hiệu  , , 1p X p  là tập hợp các hàm khả tích (Lebesgue) bậc p trên X. Định nghĩa 5.1. Ta nói biến ngẫu nhiên f có kỳ vọng nếu  1 , .f X  Khi đó đặt: X f df   và gọi f là kì vọng của biến ngẫu nhiên .f Đồng thời, nếu  2 ,f X  thì ta đặt     2 2 arv X df f f f f    và gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên .f Nhận xét 5.2. Theo [4] có ff fdF  và 2v r )a ( ff ff dF  5.2. Kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên Ví dụ 5.3. Xét không gian xác suất  , ,X  trong Ví dụ 2.7 và biến ngẫu nhiên:   1 khi ; 0 khi [ \ ]. x X f x x X       f là hàm Borel trên X. Thật vậy, với mọi ,a tập:   1 khi 0 , khi 0 1 [ \ ] khi 1 a f a X a X a             đều thuộc . Tiếp theo, có: [0,1]X d df f   Xét hàm    0, 0, 1g x x   thì g là hàm liên tục và theo [2] có f g trên X nên g khả tích Lebesgue trên X thỏa mãn: [0,1] [0,1] 0d gf d    . Vậy 0.f  Với cách tính tương tự, được tích phân: 29     [0,1] [0 2 ,1] 2 2 0 X f fd df df f         Vậy var 0.f  Ví dụ 5.4. Tiếp tục xét không gian xác suất  , ,X  trong Ví dụ 2.7 và biến ngẫu nhiên :f X  xác định bởi:  , | | .s X f s s s    Rõ ràng f là hàm Borel trên X. Khi đó: [0,1] [0,1]X d d sdf f      Do f liên tục trên X nên f khả tích Rieamann và do đó khả tích Lebesgue trên X và có: [0,1] 1 0 1 2 ssd ds    Vậy 1 . 2 f  Tiếp tục bằng lập luận tương tự, xét tích phân:     [0,1] [0,1] 2 21 2 0 1 1 1 2 2 12X d df f f f f sd ds                          Vậy 2 ar .v 1 1 f  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc (1996). Không gian tôpô - Độ đo và lý thuyết tích phân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. [2] Phạm Minh Thông (2007). Không gian tôpô, Độ đo - Tích phân. Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Hoàng Tụy (2003). Hàm thực và giải tích hàm. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội. [4] K. Athreya and S. Lahiri (2006). Measure Theory and Probability Theory (Springer Texts in Statistics), Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus, N. J., USA. [5] F. Burk (1997). Lebesgue Measure and Integration: An Introduction, 1 edition, Wiley- Interscience, ISBN-10: 0471179787. SOME PROBABILITY SPACES ON Pham Thi Thai, Doan Thi Chuyen, Dang Kim Phuong Tay Bac University Abstract: In this paper, gave some probability spaces and then we give some random variables on those spaces. Moreover, it follows these spaces, we also give some probability spaces on . Finally, we give some examples of expectation and variance of a random variable on the probability space introduced above. Keywords:  - algebra, expectation, probability space, probability measure, random variable, variance.