Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán

Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 20092010 và 20102009. 2/ Tìm giới hạn 20 33 1 1lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)x x x x x x→   −  + + + + + +  . Bài 2 (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x2 + y2 + z2. 2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 ... C C C 2007n+ + + + < . Bài 3 (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 21 2 2+ 3+ - m + n + p m n p ≤ . 2/ Giải hệ phương trình 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz  + + + = +  + + + = −  + + + = + . Bài 5 (2 ñiểm) 1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó. 2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … thoả mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a0, a1, a2, …, an.
2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: ( ) ( )2 2 2 2 2cos 4 4 . cos 4 2 2 0tan x a tan x api pi− − − + + ≤ . BÀI 2: (3 ñiểm) Với những giá trị nào của a thì hàm số ( ) ( ) ( ) 3 21 3 1 2 sin sin 3 2 3 x xf x x a a api= − + − + + có không quá hai ñiểm cực trị trên khoảng ( ; 5pi pi ) ? BÀI 3: (4ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x nguyên. ( ) ( ) ( )144 2 +≤++− aaxaaxx . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñiểm) ðặt t = ( )2 2cos 4tan xpi − , với 1t tan≤ . Dễ thấy rằng với [ ]0 1, 1t tan tan∈ − phương trình ( )2 2 0cos 4tan x tpi − = có số nghiệm hữu hạn. Do ñó ta tìm tất cả a sao cho hệ 2 4 2 2 01 1t at atan t tan − + + ≤ − ≤ ≤ có số nghiệm hữu hạn. ðiều này chỉ có thể khi hệ có ñúng một nghiệm. Nếu biểu thức ∆ của tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm. Nếu ∆ = 0, tức là a = 1 hay a = 2 1 − , thì nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ sẽ chỉ là một ñiểm t = 2a. Từ hai giá trị tìm ñược của a chỉ có a = 2 1 − là thích hợp, với a = 2 1 − ta ñược t = 1 [ ]1; 1tan tan∈ − từ ñây suy ra ( )2 2cos 4tan xpi − = 1 hay pipipi nx +−=− 44cos 22 , với n Z∈ . Phương trình này có nghiệm chỉ khi n = 0. Lúc ñó 4 4cos 22 pipi −=− x hay pi pi pipi 2 4 arccos4 22 kx +      −±=− , với k Ζ∈ . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm: 2 2 4 arccos4       ±−±= pipipix . Nếu ∆ > 0 thì nghiệm của bất phương trình sẽ là ñoạn [ ]21, tt , ñoạn này phải có chỉ một ñiểm chung với ñoạn [ ]1, 1tan tan− . Suy ra t1 = tan1 hay t2 = -tan1 . Lúc ñó giá trị cần tìm của tham số ñược tìm bằng cách giải tập hợp hai hệ sau : ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  =  < hay ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  − =  − > với f(t) = t2 – 4at +2 + 2a . Suy ra 21 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  + = −   >  hay ( )21 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  − +  = +  < − . Dễ thấy rằng hệ thứ nhất có nghiệm , còn hệ thứ hai vô nghiệm. Giá trị vừa tìm của tham số tương ứng t = tan1. Suy ra ( )2 2cos 4tan xpi − = tan1, pipi nx +=− 14cos 22 , n Ζ∈ . Phương trình này chỉ có ba nghiệm x1 = 0 , x2 = -2pi , x3 = 2pi . Kết luận : Nếu a = 2 1 thì 2 2 4 arccos4       ±−±= pipipix . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3 Nếu 21 2 4 1 2 tan a tan + = − , thì x1 = 0 , x2 = -2pi , x3 = 2pi . Với các giá trị còn lại của a phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm . BÀI 2 (3 ñiểm) Ta có ( ) ( ) 3 2 cos 3 cos211' xxaaxf +−+−= . Nghiệm của phương trình ( ) 0' =xf sẽ là các ñiểm tới hạn của hàm f . Ta viết : ( ) 0 3 2 cos 3 cos211 =+−+− xxaa Dễ thấy rằng phương trình này tương ñương với tập hợp:      = −= a x x 3 cos 2 1 3 cos . Phương trình thứ nhất của tập hợp có hai nghiệm x1= pi2 và x2 = pi4 trên khoảng (pi , pi5 ). Các ñiểm này là ñiểm tới hạn của hàm f . Khi viết ñạo hàm dưới dạng ( )       −      += a xx xf 3 cos 2 1 3 cos2' dễ thấy rằng các ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị chỉ khi a 2 1 −≠ (nếu a = 2 1 − thì ñạo hàm không ñổi dấu , và do ñó hàm f không có ñiểm cực trị ). Như vậy nếu 2 1 −≠a thì hàm f có ít nhất hai ñiểm cực trị trên khoảng ñược xét . Do ñó , cần tìm các giá trị a sao cho phương trình thứ hai không có thêm ñiểm cực trị . Trên khoảng (pi , pi5 ) hàm y = cos 3 x nhận tất cả các giá trị thuộc ñoạn 11; 2   −   9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16F E D Nếu       −∈ 2 1 ,1a và 2 1 −≠a thì hàm f sẽ có 4 cực trị . Có nghĩa là với những giá trị a khác hàm f sẽ có không quá hai cực trị . Kết luận : 2 1≥a , 2 1 −=a , 1−≤a . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 4 BÀI 3 (4 ñiểm) Bất phương trình ñã cho tương ñương với tập hợp hai hệ:    +≥ ≤ 4 2 ax ax hay    +≤ ≥ 4 2 ax ax . Nhờ tập hợp này ta biểu diễn nghiệm của bất phương trình ban ñầu. Kẻ các ñường thẳng x = k , với Ζ∈k . 14 12 10 8 6 4 2 -5 5 10 15 - 6 12 x=a+4 x=a2 A Lúc ñó giá trị a0 mà với nó ñường thẳng a = a0 cắt các ñường thẳng x = k không quá 4 ñiểm trong tập hợp ñã ñược ñánh dấu, sẽ là giá trị cần tìm. Căn cứ vào hình vẽ ta có các giá trị a cần tìm là : 06 <− , 10 <<a , 121 << a .
3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñiểm) Giải hệ phương trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = +  + = +  + = + . Câu 2: (4 ñiểm) Cho dãy số { }nx thoả mãn: 03 1 1 3 3 2n n n x x x x+ + =  − = + . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên *+R và thoả mãn: Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 2 2 2 (1) 5 4( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x =   − = − ∀ > Câu 4: (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñiểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con “ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A. 2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005.
4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : 1( 3) 2 1x x−− = . Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 yx + nếu : 3 2 6 7 3 4 x y x y + ≤ − ≤    . Bài 3: (4ñ) Cho dãy n21 x,.....,x,x , với     =+= = + ,....)2,1n(,xxx 2 1 x n 2 n1n 1 . Hãy tìm phần nguyên của A biết 1x 1 .... 1x 1 1x 1A 10021 + ++ + + + = . Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với :       −− = = + 2 a11 a 2 1 a 2 n 1n 1 . Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03. Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại 111 C,B,A . Tìm vị trí của M ñể thể tích hình tứ diện 111 CBMA lớn nhất.
5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN Câu 1: Giải BPT: x x xxxxxx 2 23234 1ln)ln()1222ln( −≤+−+−++ . Câu 2: Cho tam giác ABC ñều. Tìm tập hợp các ñiểm M nằm trong tam giác thoả mãn hệ thức: 222 MCMBMA += . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 6 Câu 3: Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1. Tìm min của biểu thức: A= xyyx 8 11 22 ++ . Câu 4: Cho dãy )( nx xác ñịnh: 1 1 2 2n n x x x+  =  = + (n >0). Tìm lim n x . Câu 5: Cho tam giác ñều ABC cạnh bằng 1. Trên dt (d) vuông góc với mf (ABC) tại A lấy ñiểm M tuỳ ý. Gọi H là trực tâm tam giác MBC. Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các ña thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: Với mỗi số tự nhiên n, gọi P(n) là tập hợp các số tự nhiên k sao cho: 150750 +<< nkn . Kí hiệu S là số phần tử của P(n). CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có: S=2 hoặc S=3; và CMR tồn tại vô số số tự nhiên k sao cho S = 3.
6. KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Baøi 1: (5 ñieåm). a) Tìm taát caû caùc soá nguyeân m sao cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = 0 coù moät nghieäm nguyeân. b) Giaûi baát phöông trình. Baøi 2: (5 ñieåm). a) Giaûi phöông trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho caùc soá thöïc x1,x2,… ,xn thoûa maõn sin2x1+2sin2x2 +…+ nsin2xn = a, vôùi n laø soá nguyeân döông, a laø soá thöïc cho tröôùc, ( 1)0 2 n n a +≤ ≤ . Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa x1, x2, … , xn sao cho toång S = sin2x1+2sin2x2 + … + nsin2xn ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tìm giaù trò lôùn nhaát naøy theo a vaø n. Baøi 3: (4 ñieåm). a) Cho ba soá thöïc a,b,c thoûa abc =1 .Chöùng minh : 6 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 3 .( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b+ + ≥+ + + b) Cho tam giaùc ABC nhoïn thoûa ñieàu kieän cot (cot 2cot ) 2cot( ) cot . 22cot( ) cot 2 A A B A B BA B B + + = − + + Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc caân. Baøi 4: (2 ñieåm). Cho tam giaùc ABC, treân caùc caïnh BC, CA, AB laàn löôït laáy caùc ñieåm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ vaø CC’ ñoàng qui taïi ñieåm M. Goïi S1, S2 vaø S3 laàn löôït laø dieän tích cuûa caùc tam giaùc MBC, MCA, MAB vaø ñaët ' ' ', , .MA MB MCx y z MA MB MC = = = Chöùng minh raèng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = 0. Baøi 5: (2 ñieåm). Cho daõy {un} , n laø soá nguyeân döông , xaùc ñònh nhö sau : . Tính un vaø chöùng minh raèng u1 + u2 +…+ un . Baøi 6: (2 ñieåm). Cho ña thöùc f(x)=x3+ ax2 + bx + b coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø ña thöùc g(x) = x3+ bx2 + bx + a. Tính toång S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b. 2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx 1 2 1 1 1 1 . 0 n n n n u u u u u + =  + − =   > ])2 1(1[ 4 1 1−−+≥ npi Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 7 HÖÔÙNG DAÃN CHAÁM VAØ BIEÅU ÑIEÅM MOÂN TOAÙN Baøi 1: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1. + (x+m2)(x-m) = -1. + (a) hoaëc 2 1(b) 1 x m x m  + = −  − = +Giaûi (a) m =1 hoaëc m =-2. +Giaûi (b) voâ nghieäm. +Vaäy m =1 hoaëc m =-2. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) + Bieán ñoåi: (1) +Vì neân + +Vaäy 2 1 2 1log 2 3log 2x+ +≤ ≤ 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 2: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 21)12(log3)12(log 22 ≤−+++− xx BABAxx +≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log 22 ⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log 22 xx ⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log( 22 xx 3)12((log1 2 ≤+≤ x    −=− =+ 1 12 mx mx Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 8 a)(2 ñieåm) Bieán ñoåi 4sin25x+1-sin2x+4sin5xcosx=3sin2x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x Vaäy nghieäm hoaëc hoaëc hoaëc 0.5 0.5 0.5 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi +Baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù: +Daáu = xảõy ra khi hay hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 2 2 2 2 1 2 tan tan ... tan sin 2sin ... sin sin 2 0 n n i x x x x x n x x = = =  + + +  > )cos.sin...cos2.sin2cos(sin2 2211 nn xnxnxxxxS +++= )cos...cos2)(cossin...sin2(sin2 2221222212 nn xnxxxnxxS ++++++≤ )sin...sin22sin1(2 22212 nxnnxxaS −++−+−≤ )]sin...sin2(sin)...21[(2 22212 nxnxxnaS +++−+++≤ ] 2 )1([2 annaS −+≤ n n xn xn x x x x cos sin ... cos2 sin2 cos sin 2 2 1 1 ===        ≤≤ = + ==== pi α α i n x a nn xxx 20 sin 2 )1( ... 2 21 ⇔±=+ xxx sin3cos5sin2 ⇔−±= xxx cos 2 1 sin 2 35sin ) 6 5 sin(5sin ) 6 sin(5sin pi pi −= −= xx xx 224 pipi kx +−= 336 7 pipi kx += 224 5 pipi kx +−= 336 11 pipi kx += Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 9 Vaäy Max S= ( 1)2 [ ] 2 n n a a + − khi 1 2 ... 2 sin ( 1) 0 2 nx x x a n n α α pi α   = = = =   = +  ≤ ≤  0.5 Baøi 3: (4 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(2 ñieåm) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1( )( ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) 1 1 1( . . . ) 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 1( ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c a + + + + + + + ≥ + + + ≥ + + + + + = + + + = + + + + = = + + ⇒ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ))( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 . 2 2 2 b c c a a b c a b a b c b c a c a b b c c a a b a b c + +≥ = + + + + + + + + = ≥ = 0.5 0.5 0.5 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) +Bieán ñoåi ,ta coù +Bieán ñoåi veá traùi + + Daáu = xaõy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B Vaäy tam giaùc ABC caân taïi C. 0.5 0.5 0.5 0.5 . 3 4 =x 2 2(cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( ) 2 2 A B A BA B A B+ ++ = ⇔ + = sin( ) 2sin( ) 2sin( ) cot cot sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( ) A B A B A BA B A B A B A B A B + + + + = = ≥ − − + − + 2 ( ) ( )4sin cos ( )2 2cot cot 2cot( ) 22sin 2 A B A B A BA B A B + + + + ≥ = + Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 10 Baøi 4: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2 ñieåm + Goïi S laø dieän tích tam giaùc ABC,ta coù Ta coù +Suy ra +Suy ra 1 1 1 2 3 1 2 3 ( )s sx x s x s s s s s s = ⇒ = ⇒ = + − + . +Töông töï Vaäy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 5: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2 ñieåm +Ñaët ta coù +Vì maø + + Suy ra ñpcm 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 6: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 321 SSSS ++= ' ' ' ' 1 1 MA AA s s AA MA s s =⇒= xMA MA MA MAAA s ss 1 '' '' 1 1 == − = − 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2( ), ( ); ( ) ( ) ( )s y s s s z s s S s s s x s s y s s z s s= + = + = + + = + + + + + tan 0,0 2n u pi α α= > < < 2 1 1 11 tan 1 cos tan sintan 2 cos n u α αα αα α + −+ − = = = 0 tan 2 pi α α α< < ⇒ < nn uuus +++= ...21 1 2 21 tan tan tan ,..., tan4 2.2 2.2 2.2n n u u u pi pi pi pi = = = ⇒ = = 2 1 2 2 tan tan ... tan 2.2 2.2 2.2 1 1 11 ... 1 ( ... ) 1 (1 ( ) ) 2.2 2.2 2 2 2 4 2 n n n n n s pi pi pi pi pi pi pi − = + + + ≥ ≥ + + + = + + + = + − Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 11 2 ñieåm +Theo ñònh lyù Vi eùt,ta coù p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b. +Ta coù + + 0.5 0.5 0.5 0.5 Chuù yù : hoïc sinh coù theå ñöa ra phöông aùn giaûi quyeát vaán ñeà khaùc neáu keát quaû ñuùng, hôïp loâ gic khoa hoïc vaãn cho ñieåm toái ña cuûa phaàn ñoù.
7. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995 Bài I. Xét ñường cong: 3 2y mx nx mx n= − − + (C). Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao ñiểm của (C) với trục hoành có hai giao ñiểm cách nhau 1995 ñơn vị và khoảng cách từ tâm ñối xứng của (C) ñến trục hoành là 2000 ñơn vị. Bài II Với những giá trị nào của m thì ∀ x ∈ 0; 2 pi      ta luôn có: 3 2 2sin 2 os 3 sin osm mc m cα α α α+ ≤ . Bài III Cho hai dãy số ( )na và ( )nb trong ñó với mọi i = 1, 2, 3… ta luôn có: 3 1 4 i i i a a a+ = − và i ib a= . Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của ia sao cho dãy ( )nb có giới hạn khác 0. Bài IV Cho hình Elíp 2 2 2 2 1 x y a b + = với tâm O và các tiêu ñiểm 1 2,F F . Qua O, 1F vẽ các ñường song song MOM', MF1N'. Tính tỉ số: 1 1 . ' . ' OM OM F N F N .
8. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1996 Bài I Cho dãy ( )nx xác ñịnh bởi ñiều kiện: x1 = a ; 21 3 4n n n x x x+ − + = ; ( n = 1; 2; 3…). Tìm giá trị của a sao cho: x1996 = x1997. babappppxxx bappxxx 3333 22 3 321 3 1 3 3 3 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 −+−=+−=++ −=−=++ axxxbxxxbxxxS 3)()()( 321232221333231 +++++++++= )32)(( 3)()2()33( 2 23 ++−−= +−+−+−+−= babaS aabbabbabaS Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 12 Bài II Hàm số f(x) ñược xác ñịnh bằng hệ thức: 2(1 ) 2 ( ) sinf x f x x− + = . Chứng minh rằng: 2s inf(x) < 2 . Bài III Cho phương trình: ( ) 3 2cos 2 3 cos 2 8sin 2cos 2 sin 4x m x m mα α α+ + = − + + + . Hãy xác ñịnh giá trị của m sao cho với mọi giá trị của α thì phương trình có nghiệm. Bài IV Trên mặt phẳng toạ ñộ vuông góc Oxy, cho các ñiểm A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ ñường thẳng ( )∆ vuông góc với AB tại H và ñường tròn (C) nhận AB làm ñường kính. Tìm quỹ tích tâm I của ñường tròn tiếp xúc với ( )∆ và tiếp xúc trong với (C) sao cho ñiểm M nằm ở bên ngoài ñường tròn (I).
9. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1997 Câu 1 (5 ñiểm): Cho hàm số ( ) 2 2 xef x e e = + . 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên ñoạn ln 2;ln 5   . 2. Tính tổng 1 2 3 1996 1997( ) ... 1998 1998 1998 1998 1998 S f f f f f       = + + + + +                . Câu 2 (5 ñiểm): Tìm a ñể phương trình sau có ñúng 3 nghiệm: ( ) ( ) ( )2 2 42 sin 1 13 log 4 6 3 log 0 2 sin 1 1 x xx a x x x a pi pi − − − − + + + + = − + + . Câu 3 (5 ñiểm): Cho 1 2 3 4, , ,6 4 x x x x pi pi≤ ≤ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3+11 1 1 1 cotx +cotx +cotx +cotx + + + cotx cotx cotx cotx 3   ≤    . Câu 4 (5 ñiểm): Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn xOy cho ñường thẳng (d) có phương trình: 3 17 4 12 y x= + . 1. Tìm ñiểm M(a; b) với ,a b Z∈ sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và ñộ dài ñoạn OM ngắn nhất. 2. Cho ñường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy. Tìm tập hợp tâm các ñường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C). Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 13
10. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998 Câu 1 (5 ñiểm): Cho họ ñường cong (Cm): 3 23 4y x x mx m= − + + − ( m là tham số). ðường thẳng (d): y=3-x cắt một ñường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt ñường cong tại ñiểm thứ hai là M và N. Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi. Câu 2 (5 ñiểm): Giải hệ phương trình: ( )6 4 s inx siny 10 x 1 3 2 5 ; 4 x y e y x y pipi −  =   + = +   < <  . Câu 3 (5 ñiểm): Chứng minh bất ñẳng thức: 1 1 1 2 1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c + + > + + − , với a∀ làm vế trái có nghĩa. Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ ñể có một bất ñẳng thức ñúng và mạnh hơn không? Câu 4 (5 ñiểm): Cho 2 ñường tròn thay ñổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một ñường thẳng lần lượt tại 2 ñiểm A và A' cố ñịnh. Tìm quỹ tích giao ñiểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một gócα cho trước (α là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai ñường tròn tại M ).
11. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1999 Câu 1 (5 ñiểm): Cho hai hàm số ( ) 1 xf x x = + và ( ) arctanxg x = . 1. Cmr: ñồ thị của chúng tiếp xúc nhau. 2. Giải bất phương trình: ( ) ( )f x g x x≥ + . Câu 2 (5 ñiểm): Cho tam giác ABC thoả mãn: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 cot cot cot 3 cot cot cot 2 2 2 a b cm m m A B C abc A B C + + = + + . Cmr: tam giác ABC ñều. Câu 3 (5 ñiểm): Tìm tham số a sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên ( ) ( )( ) 2 2 21 4 4log 5 10 34 2 0 4 2 2 2 4 a x a x a x x a x api pi pi pi pi pi pi  + + − − + − − − + + =   − − − − +  . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 14 Câu 4 (5 ñiểm): Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình: 2 2 4x y+ = . 1. Tìm tham số m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng 4 ñiểm sao cho qua mỗi ñiểm có 2 ñường thẳng tạo với nhau góc 450 và chúng ñều tiếp xúc với ñường tròn (C). 2. Cho 2 ñiểm A(a;b), B(c;d) thuộc ñường tròn (C) chứng minh: 4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .
12. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2001 Câu 1 (4 ñiểm): Cho hàm số 4 2 22y x m x n= − + . Tìm các giá trị của tham số m và n ñể ñồ thị có 3 ñiểm cực trị là các ñỉnh của một tam giác ñều ngoại tiếp một ñường tròn có tâm là gốc toạ ñộ. Câu 2 (4 ñiểm): Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn ñiều kiện 1 2 a −≥ và 1a b > sao cho biểu thức ( ) 32 1aP b a b + = − ñạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ñó. Câu 3 (4 ñiểm): Giải bất phương trình: 32 log 6 1 2 1 x x x + < − − . Câu 4 (4 ñiểm): Tìm các giá trị của x, ñể với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn: ( ) 3 1 2 sin os 2x+ 2 3 2 osx y x y z y c c pi −   + + = + +    . Câu 5 (4 ñiểm): Cho Elíp (E) có 2 tiêu ñiểm là F1 và F2. Hai ñiểm M và N trên (E). Chứng minh rằng: 4 ñường thẳng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng tiếp xúc với một ñường tròn.
13. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2003 Câu 1 (4 ñiểm): Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình: 3 2 3( 2) 2003( 3) 0n n nn x n x a+ + ++ − + + = (với n là số tự nhiên lẻ cho trước). Câu 2 (4 ñiểm): Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 15 Cho ñường cong (C) có phương trình 4 24 3y x x= − + − .Tìm m và n ñể ñường thẳng y mx n= + cắt ñường cong (C) tại 4 ñiểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho 1 2 AB CD BC= = . Câu 3 (4 ñiểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R' lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác có ñộ dài 3 cạnh là GA, GB, GC. Chứng minh nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñều. Câu 4 (4 ñiểm): Giải các phương trình sau: 1./ 2cosx+sin19x-5 2 sin 21 3 2 sin10x x= − . 2./ 5 332 40 10 3 0x x x− + − = . Câu 5 (4 ñiểm): Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho Parabol (P): 2 2y px= (p > 0), tiêu ñiểm là F. Từ một ñiểm I kẻ 2 ñường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N. 1. Cmr: FIM∆ ñồng dạng với FIN∆ . 2. Một ñường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'. Cmr: FQ.FQ' FT không phụ thuộc vị trí của (d).
14. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2004 Bài 1 (4 ñiểm): Cho hàm số: f(x) = 1 5 4 54 +− xmx và 122004 3 )( 3 2 −−= xx m xg có ñồ thị là (C) và (C’). Hẵy tìm tất cả cac giá trị của tham số m ñể tồn tại 4 ñường thẳng khác nhau, cùng song song với trục tung và mỗi ñường trong chúng ñều cắt (C) và (C’) tại hai ñiểm sao cho tiếp tuyến tương ứng của (C)và (C’) tại hai ñiểm ñó song song với nhau. Bài 2 (4ñiểm): Cho bất phương trình: 222 2222 xxaaxxxxx xx −+−<− . 1.Giải bpt khi a = -1. 2.Tìm a ñể bpt có nghiệm x >1. Bài 3 (4ñiểm): Giải phương trình: 2( ) 3 9 4( )2 2cos sin3 2 2 2 x x x x pi pi − − + = + . Bài 4 (4ñiểm): Một tứ giác có ñộ dài ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng 4 33 . Hãy tính ñộ dài cạnh còn lại và ñộ lớn các góc của tứ giác ñó. Bài 5 (4ñiểm): Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 16 Cho tứ diện ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi một vuông góc với nhau. Một ñiểm M tuỳ ý thuộc khối tứ diện. 1.Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là , ,α β γ . Cmr: 2sinsinsin 222 =++ γβα . 2.Gọi DCBA SSSS ,,, lần lượt là diện tích các mặt ñối diện với ñỉnh A, B, C, D của khối tư diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: DCBA SMDSMCSMBSMAQ .... +++= .
15. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2006 Câu 1 (5 ñiểm): Gọi ( )mC là ñồ thị của hàm số 4 2 2 46 4 6y x m x mx m= − + + ( m là tham số). 1. Tìm các giá trị của m ñể ( )mC có 3 ñiểm cực trị A, B, C. 2. Chứng minh rằng tam giác ABC có trọng tâm cố ñịnh khi tham số m thay ñổi. Câu 2 (3 ñiểm): Giải các phương trình sau: 1. 5 315 11 28 1 3x x x+ + = − . 2. ( ) 2 24 1 1 2 2 1x x x x− + = + + . Câu 3 (3 ñiểm): Tam giác ABC có ñộ dài các cạnh là a, b, c và bán kính R của ñường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức: ( )3 2bc R b c a = + −  . Chứng minh rằng tam giác ñó là tam giác ñều. Câu 4 (4 ñiểm): Tìm các giá trị của tham số a ñể hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1y y y12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin 2 2 2 3 32 1 2 4 x y c c c x y a x y a pipi pi pi − −  − − − + + = −     + − − = + − −   . Câu 5 (5 ñiểm): Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1. Các ñiển M, N lần lượt chuyển ñộng trên các ñoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). ðặt AM = x, AN = y. 1. Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một ñường phẳng cố ñịnh và x + y = 3xy. 2. Xác ñịnh vị trí của M, N ñể diện tích toàn phần tứ diện ADMN ñạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các giá trị ñó.
16. ðỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008 Bài 1: (2.0 ñiểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng: Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 17 4 3 )1)(1()1)(1()1)(1( 333 ≥ ++ + ++ + ++ ba c ac b cb a . Bài 2: (3.0 ñiểm) Giải phương trình: ( )22 2x x-5 log x-2x 6 0log + + = . Bài 3: (3.0 ñiểm) Tìm ña thức P (x) thỏa mãn ñiều kiện: (3) 6 ( 1) ( 3) ( ), x P xP x x P x R     = − = − ∀ ∈ . Bài 4: (2.0 ñiểm) Cho dãy số dương )( nx xác ñịnh xác ñịnh như sau: 10 451 45 7 (n 0)2 1 x x x x xnn n  =  =  = − ≥ + + . 1) Xác ñịnh số hạng tổng quát nx theo n 2) Tính số ước dương của biểu thức 2. 2 1 +−+ nxnxnx . Bài 5: (3.0 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong ñường tròn tâm O. Các ñường thẳng AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M. Các ñường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N. Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng. Bài 6 : (2.0 ñiểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1). Bài 7: (2.0 ñiểm) Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có: + + < + + + sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin A B C B C C A A B . Bài 8: (3.0 ñiểm) Giải hệ phương trình: 1.     −=+− −=+ yxyxyx xyx 1788 493 22 23 ; 2.       =−+ =−+ =−+ 16)( 30)( 2)( 23 23 23 yxzz xzyy zyxx .
17. TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A – NGHỆ AN Bài 1. (6.0 ñiểm ) a) Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm: ( 3) (2 ) 3 0.m x m x m− + − + − = b) Chứng minh rằng: 3( ) , (0; ). 2 sinx cosx x x pi > ∀ ∈ Bài 2. ( 6.0 ñiểm ) 1. Cho hai số thực x , y thoả mãn: 0; 1; 3x y x y≥ ≥ + = . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 3 2 22 3 4 5x y x xy x+ + + − . 2. Giải hệ phương trình 2 2 s inx siny 3 8x 3 1 6 2 2 1 8 , (0; ) 4 x y e y y y x y pi −  =   + + = − + +   ∈  . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 18 Bài 3. ( 2,5 ñiểm ) Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại duy nhất số thực n x sao cho 1 0. 2008 n n x x n− + = Xét dãy số ( n x )tìm giới hạn : 1lim( )n nx x+ − . Bài 4. ( 5,5 ñiểm ) a) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết A(2;-3) , B(3,-2) và trọng tâm G thuộc ñường thẳng d có phương trình : 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính ñường tròn nội tiếp △ABC. b) Trong mặt phẳng có ñường tròn tâm O , bán kính R và ñường thẳng d tiếp xúc với ñường tròn (O,R) tại ñiểm A cố ñịnh . Từ ñiểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài ñường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới ñường tròn (O, R) (T là tiếp ñiểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d. Chứng minh rằng ñường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một ñường tròn cố ñịnh khi M di ñộng trên mặt phẳng sao cho: MT = MH.
18. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2007 QUẢNG NAM Câu 1 (3 ñiểm): Giải bất phương trình sau : ( ) 41 2 0 1 x x x − − + ≥ − . Câu 2 (3 ñiểm): Giải hệ phương trình sau : 2 2 2 3 2 2 0 2 3 6 12 13 0 x y x y x x y x  − + =  + + − + = . Câu 3 (3 ñiểm): Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn : 3 3 , , 1 1 1 x xf f x x R x x x − +    + = ∀ ∈ ≠   + −    . Câu 4 (3 ñiểm): Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 – 4xy + 6y2 – 2x – 20y = 29. Câu 5 (3 ñiểm): Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) thỏa mãn ñiều kiện sau: ( ) 1 2 1 2 *3 2 1 , , , . ,n n n u a u b a R b R u u u n N + + + +  = = ∈ ∈   = ∀ ∈ . Câu 6 (3 ñiểm): Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy ñiểm D và E sao cho DE song song với cạnh BC và tiếp xúc với ñường tròn nội tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: DE ≤ 1 8 ( AB + BC + CA). Câu 7 (2 ñiểm): ðặt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, với a, b, c là các số nguyên tố. Cho biết x 2 = y và hiệu z y− là bình phương của một số nguyên tố. Xác ñịnh tất cả giá trị của a, b, c. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 19
19. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000. Bài 1: ( 2.5 ñiểm) Cho phương trình: 5 2 4x 34x a (x 1)(x 33) 1− + − − − = . a/ Giải phương trình khi a = 64. b/ Tìm a ñể phương trình có nghiệm. Bài 2:(2.5 ñiểm) Cho hai số a1, b1 với 0 < b1 = 1a < 1. Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2, .. theo quy tắc sau: n 1 n n 1 a (a b ) 2+ = + , n 1 n 1 nb a .b+ += . Tính: n n lim a →+∞ và n n lim b →+∞ . Bài 3:(2.5 ñiểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng và ba ñiểm A, B, C ( khác ñiểm 0) lần lượt trên Ox, Oy, Oz. Dãy số (an) là một cấp số cộng có a1 > 0 và công sai d > 0. Với mỗi số n nguyên dương, trên các tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các ñiểm An, Bn, Cn sao cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn. Chứng minh các mặt phẳng (An, Bn, Cn ) luôn luôn ñi qua một ñường thẳng cố ñịnh. Bài 4:(2.5 ñiểm) Tập hợp M gồm hữu hạn ñiểm trên mặt phẳng sao cho với mọi ñiểm X thuộc M tồn tại ñúng 4 ñiểm thuộc M có khoảng cách ñến X bằng 1. Hỏi tập hợp Mcó thể chứa ít nhất là bao nhiêu phần tử? HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2.5 ñiểm) Câu a: ( 2 ñiểm) +(0.25 ñ) ðặt u = 5 2x 34x a− + v = 4 (x 1)(x 33)− − +(0.25 ñ) Ta có hệ 5 4u (u 1) a 33 (I). v u 1 0  − − = −  = − ≥ +(1.00 ñ) Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > 0 ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) tăng trên [1; + ∞). +(0.50 ñ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: (u = 2,v = 1) từ ñó ta có nghiệm của phương trình là: x = 17 257± . Câu b: ( 0.5 ñiểm) + f(u) tăng trên [1; + ∞) mà f(1) = 1 nên phương trình có nghiệm khi a – 33 ≥ 1 hay a ≥ 34. Bài 2: (2.5 ñiểm) +(0.50 ñ) Tính a2, b2 với 0 < b1 = 1a < 1 ta có thể chọn 0 < a < 2 pi sao cho: b1 = cosa, suy ra a1 = cos2a. 2 2 2 1 1 a a (cos a cos a) cosa(cosa 1) cosa.cos 2 2 2 = + = + = 2 2 a ab cos acos cosa cosacos 2 2 = = +(0.75 ñ) Bằng quy nạp, chứng minh ñược: Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 20 n n 1 n 1 a a a a cos acos ...cos cos (1) 2 2 2− − = n n 1 a ab cos acos ...cos (2) 2 2 − = +(0.75 ñ) Nhân hai vế của (1) và (2) cho n 1 a sin 2 − và áp dụng công thức sin2a ñược: n 1 n n n n n 1 n 1 a sin 2a.cos sin 2a2a , b a a2 .sin 2 .sin 2 2 − − − = = . +(0.50 ñ) Tính giới hạn: n n n n sin 2a sin 2alim a , lim b 2a 2a→∞ →∞ = = Bài 3: (2.5 ñiểm) +(0.50 ñ) Phát biểu và chứng minh mệnh ñề: Nếu hai ñiểm X,Y phân biệt. ðiều kiện cần và ñủ ñể ñiểm S thuộc ñường thẳng XY là tồn tại cặp số thực x, y thỏa: OS xOX yOY x y 1  = +  + = , với ñiểm O tùy ý. +(0.25 ñ) Từ giả thiết: (an) là cấp số cộng công sai d > 0 nên: an+1 = an + d n 1 na a 1d d + − = . +(0.75 ñ) áp dụng nhận xét trên, ta có: n 1 n n n a aOI OB OA d d + = − thì I ∈ AnBn. và n n n 1 n n n 1OA a OA ; OB a OB ( do a ,a 0)+ += = > Thế vào trên ta ñược: OB OA 1OI AB , n=1,2... d d d = − = ∀ suy ra I cố ñịnh, nên ñường thẳng AnBn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh I. +(0.50 ñ) Tương tự, chứng minh ñược: • BnBn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh J xác ñịnh bởi: 1OJ BC d = . • AnCn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh K xác ñịnh bởi: 1OK AC 2d = Vậy các ñường thẳng AnBn, BnCn, AnCn lần lượt ñi qua ba ñiểm I, J, K cố ñịnh. +(0.50 ñ) Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng: Ta có: 1OI AB d = , 1OJ BC d = , 1OK AC 2d = . Do ñó: 1 1 1 1OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ) 2d 2d 2d 2 = = + = + = + Vậy I, J, K thẳng hàng. ðiều này chứng tỏ mặt phẳng AnBnCn luôn ñi qua một ñường thẳng cố ñịnh. Bài 4: (2.5 ñiểm) +(0.50 ñ) Rõ ràng có ít nhất hai ñiểm P,Q thuộc M sao cho PQ ≠ 1. Ký hiệu : MP = {X ∈ M / PX = 1}. Từ giả thiết |MP| = 4 ta có: |Mp ∩ Mq| ≤ 2. Nếu tồn tại P, Q sao cho |Mp ∩ Mq| ≤ 1 thì M chứa ít nhất 9 ñiểm. +(1.50 ñ) Trường hợp với mọi P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |Mp ∩ Mq| = 2. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 21 Khi ñó Mp ∩ Mq = {R,S}, lúc ñó MP = {R,S,T,U} và Mq = {R,S,V,W} và giả sử M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ 1. • Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy ra Mt ∩ Mq = Mu ∩ Mq = {V,W} suy ra T hay U trùng với Q, vô lý. • Nếu TR,TS,UR,US có một số bằng 1: Không giảm ñi tính tổng quát, giả sử TV = 1 lúc ñó TS ≠ 1 và TV = 1 hay TW = 1. Giả sử TV = 1 lúc ñó TW≠ 1 suy ra TU = 1, và Mt = {P,R,U,V} và Mu = {P,T,V,W} lúc ñó UTV, RPT,UTV là các tam giác ñều cạnh 1, ta có hình 1. ðiều này mâu thuẫn vì VR>2. +(0.50 ñ) Vậy M chứa ít nhất là 9 ñiểm. Dấu bằng xảy ra với hình2. Vậy M có thể chứa ít nhất là 9 ñiểm.
20. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999. Bài 1 (5 ñiểm) Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Giải phương trình khi a = 2 . b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm. Bài 2 (5 ñiểm) Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức: a2 – 3b. Bài 3 (5 ñiểm) Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: y = 1 x x(1 + a ) , (a > 0). Bài 4 (5 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC. a/ Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của SA và BK. b/ Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của ñoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các ñường thẳng BM và MN vuông góc nhau. A4 A8 A6 A5 A9 A7 A1 A2 A3 V T R U P Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 22 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 5ñiểm) cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. (0.5 ñ) + ðặt t = sinx + cosx = 2 cos(x ), |t| 2. 4 pi − ≤ cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx = 2t 1 2 − và cos3x + sin3x = 2t (3 t ) 2 − . (0.5 ñ) + Phương trình (1) trở thành: 2t (3 t ) 2 − + a. 2t 1 2 − = 0 ⇔ t3 – at2 – 3t + a = 0 (2). Câu a / (1 ñ) + Với a = 2 : (2) trở thành: t3 – 2 t2 – 3t + 2 = 0 ⇔ (t + 2 )(t2 - 2 2 t + 1) = 0 ⇔ (t + 2 )(t - 2 + 1)(t - 2 - 1) = 0 ⇔ t = - 2 hay t = 2 - 1 hay t = 2 + 1. (1 ñ) + so lại ñiều kiện: | t | ≤ 2 nên phương trình (1) tương ñương với: 5 cos(x ) 1 x k22 cos(x ) 2 4 44 ,k Z 2 1 2 12 cos(x ) 2 1 cos(x ) x ar cos k2 4 4 42 2 pi pi pi − = − = + pi − = −    ⇔ ⇔ ∈ pi pi − pi −  − = − − = = ± + pi    . Câu b / (0.25ñ) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 có nghiệm t ∈[- 2 ; 2 ] (1.25ñ) + f(t) liên tục trên R f(- 2 ) = 2 - a ; f( 2 ) = - 2 - a; f(0) = a. • a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 ∈ [- 2 ; 2 ] • a < 0: f(- 2 ).f(0) = a( 2 - a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(- 2 ;0). • a > 0: f(0).f( 2 ) = a(- 2 - a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(0; 2 ). (0.25ñ) + Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a. Bài 2: ( 5ñiểm) y = f(x) = x3 + x2 + ax + b (0.5 ñ) + Tập xác ñịnh: R. y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số ∆’ = 1 – 3a. (0.5 ñ) + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2)< 0. (0.25 ñ) + Suy ra: 1 2 1 3a 0 f (x ).f (x ) 0 − >  < (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0). (1 ñ) + Thực hiện phép chia ña thức ta ñược: f(x) = x3 + x2 + ax + b = [ ]1 1 1x y ' (6a 2)x 9b a 3 9 9   + + − + −    . Suy ra f(x1) = [ ]11 (6a 2)x 9b a9 − + − ; f(x2) = [ ]2 1 (6a 2)x 9b a 9 − + − (0.5 ñ) + f(x1).f(x2) < 0 ⇒ (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 23 (1 ñ) + Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = 0 nên x1 + x2 = 2 3 − ; x1.x2 = a 3 . Do ñó: 2 2a 2(6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 0 3 3 − − − − + − < suy ra: 4(3a – 1)(a2 – 3b) + (9b – a)2 < 0 (1 ñ) + Vì (9b – a)2 ≥ 0 và 3a – 1 0. Bài 3: ( 5ñiểm) + Tçm tiãûm cáûn âæïng: Táûp xaïc âënh: R\{0}. x 0+ thç 1 x → +∞ vaì ax 1. Do âoï : 1 x x(1 + a ) x 0 lim nãn x = 0 laì âæåìng tiãûm cáûn âæïng. a/+ Xeït træåìng håüp: 0 < a ≤ 1 + ∀x∈ (0; + ∞): 0 < 1 + ax ≤ 2 Do âoï: 1 x x0 < (1 + a ) 2≤ ( vç 1 0 x > ) nãn: 1 x x x + 1 lim (1 + a ) 1 x x lim 2 1 → ∞ →+∞ ≤ ≤ = Do âoï: 1 x x x 0 lim(1 a ) 1 +→ + = nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh phaíi. + ∀x∈ (- ∞ ; 0): x10 < 1 + a 2   ≤   . Do âoï: 1 x x11 > 1 + a 1 x2     ≥     ( vç 1 0 x < ) nãn 1 x x x - x - 11 lim 1 + lim a 1 x2 1 → ∞ → ∞    ≥ ≥ =     Do âoï: x x - 1lim 1 + =1 a→ ∞         Suy ra x x - 1lim 1 + = a a 1 x x x lim (1 a ) a →−∞ → ∞    + =      Váûy y = a laì tiãûm cáûn ngang nhaïnh traïi. b/+ Xeït træåìng håüp a > 1. + ∀x∈ (- ∞; 0) : 0 < 1 + ax < 2 Do âoï: 1 x x1> (1 + a ) 1 x2> ( vç 1 0 x < ) nãn: 1 x x x 1 lim (1 + a ) 1 x x lim 2 1 →−∞ →−∞ ≥ ≥ = Do âoï: 1 x x x lim (1 a ) 1 →−∞ + = nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh traïi. + ∀x∈ (0; + ∞): x11 < 1 + a 2   <   . Do âoï: 1 x x11 < 1 + < a 1 x2         ( vç 1 0 x > ) nãn 1 x x x x 11 lim 1 + lim a 1 x2 1 →+∞ →+∞    ≤ ≤ =     Do âoï: 1 x x x 1lim 1 + =1 a→+∞         nãn 1 x x x 1lim 1 + = a a 1 x x x lim (1 a ) a →+∞ →+∞    + =      (1 â) (1 â) (1 â) (1 â) (1 â) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 24 Váûy y = a laì âæåìng tiãûm ngang nhaïnh phaíi. Bài 4: ( 5ñiểm) Câu a / (2.5 ñiểm) + Theo giả thiết ta ñược: SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD). Mà BK ⊂ (SAC) và BK ⊥ AC ⇒ BK ⊥ SA. + Gọi H là hình chiếu của K xuống SA ⇒ HK ⊥ SA và HK ⊥ BK ( vì HK ⊂ (SAC)) ⇒ HK là ñoạn vuông góc chung của SA và BK. Suy ra ñược: BH ⊥ SA và ∆HBK vuông tại K. + Do ∆ABC vuông ñỉnh A nên: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a bBK BK AB BC a b = + ⇒ = + . + ∆SAB cân ñỉnh S, BH là ñường cao nên 2 2 ac .aSI.AB 4HB SA c − = = + Do ∆HBK vuông tại K nên: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4c a )a a bHK HB BK 4c a b − = − = − + 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4c a b )a a (4c a b )HK HK 4c (a b ) 2c (a b ) − − − − = ⇒ = + + Câu b (2.5 ñiểm) + 2BM BA BK= + ( vì M là trung ñiểm của AK) + 1 1MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2 2 = + + = + + + + 1MN KB BC 2 = + . + Do ñó: _ D _ C _ B_ A _ S _O _ K _ M _ N (0.25 â) (0.5 â) (0.5 â) (0.5 â) (0.5 â) (0.5 â) (0.5 â) (1.75 â) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 25 4BM.MN (BA BK).(KB 2BC) = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC = BA.KB BK.KB 2BK.BC = KB = + + + + + + + .(BA BK 2.BC) = KB.(BA BC BK BC) = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0 + − − + − + = + = Vậy: BM ⊥ MN. ( Có thể tính và áp dụng ñịnh lý Pythagor).bv
21. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 Câu 1 : (2,5 ñiểm) Cho hàm số f : [0;1]→ [0;1] liên tục trên ñoạn [0;1], có ñạo hàm trong khoảng (0;1) và f(0) = 0 và f(1) = 1. a) Chứng minh rằng tồn tại số c thuộc khoảng (0;1) sao cho : f(c) = 1-c. b) Chứng minh rằng tồn tại hại số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho : f '(a).f '(b) = 1. Câu 2 : (2,5 ñiểm) : Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn ñiều kiện : x - 2y + 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 89161045126 2222 +−−+++−−+ yxyxyxyx . Câu 3 : (3ñiểm) Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng sao cho : a) MCMBMCMBMA +=++ 2 3 . b) 2 4MA MB MB MC+ = − . Câu 4 : (2 ñiểm) a) Chứng minh rằng tan 2 1 8 pi = − . b) Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi :      = −+ −+ = = + ,...)3,2,1()21(1 12 2 1 1 n u u u u n n n . Tính 2006u . ðÁP ÁN + BIỂU ðIỂM CHẤM TOÁN 12 (HỌC SINH GIỎI) Câu 1 : (2,5 ñiểm) a) * ðặt g(x) = f(x) + x -1 với x thuộc ñoạn [0;1] thì g(x) cũng liên tục trên ñoạn [0;1] (0,5ñ) * g(0) = -1 0. Suy ra tồn tại c thuộc khoảng (0;1) sao cho g(c)= 0 ⇔ f(c) +c -1 = 0 hay f(c) = 1-c (0,5ñ) b) áp dụng ñịnh lí Lagrăng cho f(x) trên ñoạn [0;c] và ñoạn [c;1] ta có : ∃a thuộc(0;c) sao cho : f '(a) = c cf c fcf )( 0 )0()( = − − (0,5ñ) ∃b thuộc (c;1) sao cho : f '(b) = c cf c cff − − = − − 1 )(1 1 )()1( (0,5ñ) * Rõ ràng a khác b và tích f '(a).f '(b) = 1 1 . 1 1 )(1 . )( = − − = − − c c c c c cf c cf (0,5ñ) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 26 Câu 2: (2,5ñiểm) * Biến ñổi P = 2222 )8()5()6()3( −+−+−+− yxyx Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, gọi ∆ là ñường thẳng có phương trình x-2y+4=0 Và các ñiểm M(x;y), A(2;3), B(5;8) thì P = MA + MB (0,5ñ) *Bài toán trở thành tìm toạ ñộ ñiểm M thuộc ∆ sao cho tổng MA+MB ñạt giá trị nhỏ nhất, rõ ràng A,B nằm về 1 phía của ∆, Tìm ñược toạ ñộ ñiểm A', ñối xứng của A qua ∆, ñó là A'(5;2) (0,5ñ) *Với M thuộc ∆ ta có : MA+MB=MA' +MB≥ A'B (không ñổi) ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A',M,B thẳng hàng hay M chính là giao ñiểm của ∆ với ñường thẳng A'B (0,5ñ) * Tìm ñược phương trình của ñường thẳng A'B là : x-5 = 0 (0,25ñ) * Giải hệ phương trình x-5=0 và x-2y+4 = 0 cho x=5 và y = 9/2 (0,25ñ) * Kết luận Min P = 6 khi x=5 và y=9/2 (0,25ñ) 8 6 4 2 -2 -5 53 M O A B Á' hình vẽ0,25ñ Câu 3 : (3ñiểm) a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung ñiểm của ñoạn thẳng BC, ta có G và I cố ñịnh (0,25ñ) * M thuộc quỹ tích ⇔ MCMBMCMBMA +=++ 2 3 ⇔ MIMG 2 2 33 = ⇔ MG = MI (0,5ñ) *Vậy quỹ tích các ñiểm M là ñường trung trực của ñoạn thẳng GI (0,25ñ) b) *Gọi P là ñiểm sao cho 02 =+ PBPA (tức là P chia ñoạn AB theo tỉ số k= -0,5 (0,5ñ) * Gọi Q là ñiểm sao cho 04 =− QCQB (tức là Q chia ñoạn BC theo tỉ số k= 0,25) (0,5ñ) * M thuộc quỹ tích )()(242 PBMPPAMPMCMBMBMA +++⇔−=+⇔ QCQBMQPBPAMPQCMQQBMQ −+=++⇔+−+= 4323)()(4 (0,5ñ) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 27 MQMPMQMP =⇔=⇔ 33 .Vậy quỹ tích các ñiểm M là trung trực của ñoạn PQ (0,5ñ) Câu 4 : (2ñiểm) : a) 2 2 21 2tan ( 2 1) 8 21 2 pi − = = − + , vì tan 0 8 pi > nên ta có tan 2 1 8 pi = − (0,5ñ) b)Ta có : n n n u u u )12(1 12 1 −− −+ =+ . ðặt u1 = tana . Ta có : 1 2 1 tan 8 tan( ) 81 .tan 8 u u a u pi pi pi + = = + − , 2 3 2 tan( ) tan2 1 8 8 = tan( 2. ) 81 ( 2 1) 1 tan( ). tan 8 8 a u u a u a pi pi pi pi pi + ++ − = = + − − − + (0,5ñ) * Bằng qui nạp , ta chứng minh ñược : tan[ ( 1) 8n u a n pi = + − ] , với mọi n nguyên dương (0.5ñ) * Với n = 2006, ta có : 2006 5 5 1 tan( 2005. ) tan(25 ) tan cot 8 8 8 8 1 2 u a pi pi pi pi pi= + = + = = − = − (0.5ñ) ------------------------- *GHI CHÚ : Mọi cách giải khác, nếu ñúng cho ñiểm tối ña.
22. THI HSG LỚP 11 NĂM 2002 Câu 1 (5 ñiểm) 1) Chứng minh với mọi x ta có 1 1.sinx sinx+ − ≥ 2) Giải phương trình 21 2 os os .sinx sinx c x c x+ − = − Câu 2 (5 ñiểm) Tính các góc của △ABC nếu tam giác ñó thỏa mãn 2 2 2 1 2 b c a sinA sinB sinC  + ≤  + + = + . Câu 3 (7 ñiểm) Trong mặt phẳng (P) cho ñường tròn (O) bán kính R và ñiểm A cố ñịnh trên ñường tròn (O). Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong (O) sao cho 2 ñường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên ñường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A ta lấy ñiểm S. Nối S với A, B, C, D. 1./ Chứng minh BD⊥SC. 2./ Nêu cách xác ñịnh ñiểm I cách ñều 5 ñiểm A, B, C, D, S. 3./ Tứ giác ABCD là hình gì ñể diện tích của nó lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ñó theo R. Câu 4 (3 ñiểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn (133 29 7 2 7)(91 25 7 2 7) 0.a b c d a b c d+ + + − + + + − < Chứng minh rằng tồn tại 2 số thực u, v sao cho 7u v+ = và 3 3 2 2( ) ( ) ( ) 2 7.a u v b u v c u v d+ + + + + + = Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 28
23. THI HSG LỚP 11 NĂM 2004 Câu 1 (6 ñiểm) Cho phương trình 3 3( 3) ( 1) os ( 2) 0.m sin x m c x cosx m sinx+ + − + − + = 1./ Giải PT khi m = 5. 2./ Tìm m ñểt PT có ñúng một nghiệm trên 5; 4 pipi   . Câu 2 (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a. a) Nếu 120oABC BCD∠ = ∠ = thì diện tích tứ giác ABCD bằng bao nhiêu (tính theo a) ? b) Giả sử tứ giác ABCD thay ñổi mà AB = BC = CD = a không ñổi. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD. Câu 3 (7 ñiểm) Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy là a. 1. Ta coi hình ñã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O. Gọi α là góc giữa (SAB) và (ABC). Hãy tính cosα ñể O cách ñều tất cả các mặt của SABC. 2. Biết oASB = 30∠ . Xét mặt phẳng (P) thay ñổi ñi qua Avà cắt SB tại B’, cắt SC tai C’. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi △AB’C’ theo a. Câu 4 (3 ñiểm) Chứng minh PT 3 23 1 0x x− + = có ba nghiệm phân biệt 1 2 3, , x x x . Giả sử 1 2 3< < x x x , chứng minh rằng 1 2 1 2 3(2 )(2 )(2 ) 27 x x x x x  <  − + + > .
24. THI HSG LỚP 12 NAM ðỊNH NĂM HỌC 2004 - 2005 Câu 1 (6 ñiểm) Cho hàm số 2( ) 2 2 2 , ( là tham sô')f x mx x x m m= − − + + . a. Khi 3 2 m = − , hãy tìm các khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số. b. Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến trên ℝ. Câu 2 (4 ñiểm) Tính tích phân I = 1 2 4 2 1 1 ( 1)( 1)x x dx x x e − + + + +∫ . Câu 3 (7 ñiểm) Trên mặt phẳng Oxy cho (P) 2y x= và (C) 2 2 2 6 1 0.x y x y+ − − + = 1) Chứng minh (P) và (C) có ñúng 4 giao ñiểm phân biệt. 2) Lập phương trình ñường tròn ñi qua M(2 ; -1) và tiếp xúc với (C) tại A(1 ; 6) ∈(C). 3) Giả sử ñường thẳng (d) thay ñổi ñi qua ñiểm A sao cho (d) cắt (P) tai hai ñiểm phân biệt 1 2T , T . Gọi ( 1d ), ( 2d ) theo thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại 1 2T , T . Biết rằng ( 1d ) cắt ( 2d ) ở N. Chứng minh N nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 29 Câu 4 (3 ñiểm) Chứng minh 3 3 3. ( 1) ( 1). . ( 1), (0; 1). 2 cosx sin x cos x sinx cosx cos x x pi+ − + > + ∀ ∈ − (?)
25. THI NGÀY 18/04/2009 Bài 1: Cho △ ABC nhọn nội tiếp ñường tròn tâm O, gọi 1 1 1, ,A B C lần lượt là chân ñường vuông góc hạ từ A, B, C xuống các cạnh dối diện, 2 2 2, ,A B C lần lượt là ñiểm ñối xứng của 1 1 1, ,A B C qua trung ñiểm các cạnh BC, CA, AB. Các ñường tròn ngoại tiếp các tam giác 2 2 2 2 2 2, ,AB C BC A CA B cắt (O) tại các ñiểm thứ hai là 3 3 3, ,A B C . Chứng minh 1 3 1 3 1 3, ,A A B B C C ñồng quy. Bài 2: Cho ña thức 3 2( ) 1, ( 0)P x rx qx px r= + + + > chỉ có một nghiệm thực và nghiệm ñó không phải là nghiệm bội. Dãy số ( ) n a xác ñịnh như sau 2 0 1 2 3 2 1 1; ; ; , n n n n a a p a p q a pa qa ra n N+ + +  = = − = −  = − − − ∈ . Chứng minh rằng dãy số này chứa vô số số hạng âm. Bài 3: Cho a, b là các số nguyên dương không chính phương, ab cũng không chính phương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình 2 2 2 21; 1ax by ax by− = − = − không có nghiệm nguyên dương.
26. THI NGÀY 19/04/2009 Bài 1: Tìm các giá trị của r ñể BDT sau ñúng với mọi a,b,c dương: 31( )( )( ) ( ) 2 a b c r r r r b c c a a b + + + ≥ + + + + . Bài 2: Cho ñường tròn (O) ñường kính AB, M là ñiểm tùy ý trong (O).ðường phân giác từ M của △AMB cắt (O) tại N. Phân giác ngoài góc AMNB∠ cắt NA, NB tại P, Q. PQ cắt ñường tròn ñường kính NQ tại ñiểm thứ hai R. BM cắt ñường tròn ñường kính NP tại ñiểm thứ hai S. Chứng minh ñường trung tuyến kẻ từ N của △NSR ñi qua ñiểm cố ñịnh. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 30 Bài 3: Có 6n + 4 nhà toán học tham dự 1 hội nghị, trong ñó có 2n + 1 buổi thảo luận. Mỗi buổi thảo luận ñều có 1 bàn tròn cho 4 người ngồi và n bàn tròn cho 6 người ngồi. Biết rằng 2 người bất kỳ không ngồi cạnh nhau hoặc ñối diện nhau quá 1 lần. a. Hỏi có thể thực hiện ñược không với n = 1? b. Hỏi có thể thực hiện ñược không với n > 1? Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] và thỏa ñiều kiện f(0) = f(1). Chứng minh rằng (0;1)α∀ ∈ , ít nhất một trong 2 mệnh ñề sau ñây là ñúng: 1. [ ]0;1 : ( ) ( ).x f x f xα α∃ ∈ − + = 2. [ ]0; : ( 1 ) ( ).x f x f xα α∃ ∈ + − =
27. THI HSG BẮC NINH LỚP 12 NĂM HỌC 2007 – 2008 Câu 1: Tìm a ñể tập xác ñịnh của hàm số 2( ) 2 a xf x a x + = − chứa tập giá trị của hàm số 2 1( ) 2 4 2 g x x x a = + + − . Câu 2: Giải hệ PT 4 2 2 3 2 2 1 1 x x y x y x y x xy  + − =  − + = − . Câu 3: Cho x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 3( , , ) .yz x zx y xy zf x y z xyz − + − + − = Câu 4: Gọi V, S lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của khối tứ diện ABCD. Chứng minh 3 2 288. S V > Câu 5: Giải PT nghiệm nguyên 2 2 2 28 2 .x y x y xy− − = Câu 6: Tìm hàm số khả vi f : (-1 ; 1) → ℝ thỏa mãn ( ) ( ) ( ), , ( 1; 1). 1 x yf x f y f x y xy + + = ∀ ∈ − +
28. THI HSG LỚP 10 HÀ NỘI VÒNG 1 (1991 – 1992) Bài 1 (5 ñiểm) Chứng minh 1991 1992 19911 , 1992 1992 1992 sinx x sinx − + ≥ ∀ ∈ − ℝ. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 31 Bài 2 (5 ñiểm) Cho tứ giác ABCD với M, N theo thứ tự là trung ñiểm AC, BD. Tìm hệ thức giữa AD, CD, MN ñể góc giữa hai vecto ,AB CD là góc tù. Bài 3 (5 ñiểm) Cho a, b thỏa mãn ñiều kiện 2 1 2 2 a b m ab m m + = +  = − + . Tìm giá trị của m ñể 2 2a b+ ñạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể ñược. Bài 4 (5 ñiểm) Cho △ABC nội tiếp ñường tròn (O) và có trực tâm H. Chứng minh rằng : 1. OA OB OC OH+ + = . 2. . 2 . 2 . 2 0OA sin A OB sin B OC sin C+ + = , với giả thiết thêm rằng △ABC có ba góc nhọn.
29. THI HSG LỚP 10 HÀ NỘI VÒNG 2 (1991 – 1992) Bài 1 (4 ñiểm) Giải và biện luận phương trình a a x x− + = (x là ẩn, a là tham số). Bài 2 (4 ñiểm) Cho △ABC vuông tại A và một ñiểm M thỏa mãn AM BA CA= + . Chứng minh 3ˆ 4 tanBMC ≤ . Bài 3 (4 ñiểm) Cho f(x) = 2 2 1 1(2 3)( ) 4 5.x m x m x x + − + + + + Tìm m ñể f(x) ≥ 0 với 0x∀ ≠ . Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng trong các tam giác nội tiếp ñường tròn (O ; R) thì tam giác ñều có diện tích lớn nhất. Bài 5 (4 ñiểm) Cho hai ñường tròn (O), (O’) cắt mhau tại A, B, các tiếp tuyến chung MN, PQ (M, N, P, Q là tiếp ñiểm). Người ta vẽ ñường tròn (I) qua ba ñiểm M, N, A và ñường tròn (K) qua ba ñiểm P, Q, A. Hỏi ngoài A ra, hai ñường tròn (I), (K) còn có ñiểm chung nào nữa không ? Tại sao ?
30. THI HSG LỚP 10 HÀ NỘI VÒNG 1 (1992 – 1993) Bài 1 (6 ñiểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1992 1993y x x= − + − . Bài 2 (6 ñiểm) Cho △ABC và một ñiểm M bất kì. a. Chứng minh vecto 3 5 2u MA MB MC= − + không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm M. b. Chứng minh nếu H thỏa mãn OA OB OC OH+ + = (O là tâm ñường tròn ngoại tiếp △ABC) thì H là trực tâm △ABC. c. Tìm tập hợp ñiểm M thỏa mãn 3 2 2MA MA MC MB MC+ − = − . Bài 3 (4 ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 32 Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn 2 2 2 2 5 7 a b c d a b c d + + + =  + + + = . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có thể có của mỗi số ñó. Bài 4 (4 ñiểm) Cho △ABC, ñường tròn (O) bàng tiếp góc ˆA , tiếp xúc với các tia AB, AC lần lượt tại P, Q và tiếp xúc với cạnh BC tại T. Gọi giao ñiểm của tia QT với AP là R. Chứng minh bốn ñiểm A, B, R, P lập thành một hàng ñiểm ñiều hòa.
31. THI HSG LỚP 10 HÀ NỘI VÒNG 2 (1992 – 1993) Bài 1 Cho P(x) = 2 2 2 21 1( ) 2( 1) 1.x xm m x x + + − + + − a. Tìm m ñể phương trình P(x) = 0 có nghiệm. b. Tìm m ñể P(x) > 0, 0x∀ ≠ . Bài 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O) và ngoại tiếp ñường tròn (I). Gọi M, N, P, Q là các tiếp ñiểm của (I) với AB, BC, CD, DA. 1. Chứng minh MP⊥NQ. 2. Chứng minh . . . . 0IA sinA IB sinB IC sinC ID sinD+ + + = . 3. Gọi J, K lần lượt là trung ñiểm của AC, BD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 3 Giải hệ phương trình 1 2 1993 1 2 1993 1 1 ... 1 1992.1993 1 1 ... 1 1993.1994 x x x x x x  − + − + + − =  + + + + + + = . Bài 4 Cho ñường tròn (O) và một ñiểm A ở trên ñường tròn. Một ñường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại I và cắt tiếp tuyến của (O) kẻ từ A tại B, C (B nằm giữa A, C) sao cho C, O, O’ không thẳng hàng. Các tia AI, BI theo thứ tự cắt (O’) và (O) tại D, E. Hãy dựng ñường tròn (O’) như thế sao cho C, D, E thẳng hàng.
32. THI HSG LỚP 10 HÀ NỘI VÒNG 1 (1993 – 1994) Bài 1 Cho 1994 số dương 1 2 1994, ,...,a a a có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1994 1 1 1 ... 1 1 1 P a a a = + + + − − − . Bài 2 Cho △ABC với trực tâm H và nội tiếp trong ñường tròn (O). Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là trung ñiểm BC, CA, AB, và G, A0, B0, C0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB. 1. Chứng minh 0 0 0 5OA OB OC OG+ + = . 2. Tính A'A.A'H+B'B.B'H+C'C.C'H theo a, b, c là số ño các cạnh △ABC. Bài 3 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 33 Giải bất phương trình 31 3 4 2 10.x x x x x− + − + ≤ + Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Một ñoạn thẳng MN nằm ngoài (O) sao cho MN//AB và AM cắt DN tại I trên (O). Chứng minh giao ñiểm K của CM, BN cũng nằm trên (O).
33. THI HSG LỚP 10 HÀ NỘI VÒNG 2 (1993 – 1994) Bài 1 Giải hệ 4 4 4 2 2 2 4 1993 16 4 1994 x y z x y z  + + ≤  − + = . Bài 2 Cho ñường tròn (O ; R) và một dây cung AB cố ñịnh (AB < 2R). Gọi M là một ñiểm sao cho 2 ' ' MA MB MA MB + = với A’, B’ lần lượt là giao ñiểm của MA, MB với (O). Xác ñịnh vị trí của M ñể dienj tích hình tròn ngoại tiếp △MAB ñạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 Cho x, y thỏa mãn 2 2 1 3 2 1 y x x x y  − ≥  − + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 23 2y x x− + . Bài 4 Cho △ABC vuông ở A và một ñiểm M di ñộng. Gọi N, P lần lượt là ñiểm ñối xứng với M qua AB, BC. Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho A, N, P thẳng hàng.
34. THI HSG LỚP 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1989 – 1990) Bài 1 Giải phương trình 1990 1990 1cos x sin x− = . Bài 2 Xét △ABC trên một mp(P) ñã cho. Một ñường thẳng d ñi qua A và tạo với các ñường thẳng AB, BC, CA những góc bằng nhau. Gọi S là ñiểm trên d và khác A, gọi H, I lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, SBC. a. Chứng minh d ⊥ (P). b. Chứng minh HI ⊥ (SBC). c. Tìm vị trí S sao cho khoảng cách từ I ñến (P) lớn nhất. Bài 3 Cho △ABC trên một mp(P). Hãy dựng ñiểm M sao cho các góc 090AMB BMC CMA∠ = ∠ = ∠ = . Bài 4 Xét dãy số dương tăng 1 2 1990, ,...,a a a trong ñó 1990a < 1. Hãy so sánh 1 2 19891 1989 log ( ... )a a a+ + + và 1 2 19901 1990 log ( ... )a a a+ + + . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 34
35. THI HSG LỚP 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1989 – 1990) Bài 1 Chứng minh bất ñẳng thức 1990 1990 1988 19882( ) , sin x cos x sin x cos x x+ ≥ + ∀ ∈ℝ. Bài 2 Cho ñoạn thẳng AB, hai ñường thẳng d1, d2 vuông góc với nhau, cùng vuông góc với AB, và lần lượt ñi qua A, B. ðường thẳng d3 cắt d1, d2 lần lượt tại M, N. Gọi , ,α β γ lần lượt là ñộ lớn của góc giữa d3 với AB, d1, d2. a. Chứng minh cần và ñủ ñể MN có ñộ dài không ñổi là α không ñổi. b. Chứng minh 2 2 2sin sin sinα β γ+ + = 2. Bài 3 Cho △ABC trên một mp(P), một nửa ñường thẳng Bx vuông góc với (P). Trên Bx lấy ñiểm S khác B và kẻ ñường cao BH của △SAB. Gọi K là ñiểm ñối xứng với H qua tâm A. Chứng minh ñường tròn ngoại tiếp △SCK luôn luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh khi S thay ñổi trên Bx. Bài 4 Xét dãy số { }ia trong ñó 31 3 ( 1), 1, 2,3...i i i ia a a a i+ = − − = Xác ñịnh a1 sao cho 2 5 3 5 3( ) ( 2).(2 ).a a a a− = − −
36. THI HSG LỚP 11 HÀ NỘI (1990 – 1991) Bài 1 Cho phương trình ẩn x với α là tham số 2 (2sin 1). 1 sin 0.x xα α− − + − = 1. Tìm α ñể phương trình có nghiệm kép. 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A = 1 2 1 2x x x x+ − . Bài 2 Tính tổng 0 1 2 19901.2 2.2 3.2 ... 1991.2S = + + + + . Bài 3 Cho ba ñường thẳng a, b, c ñôi một chéo nhau và cùng song song với mp(P), một ñường thẳng d cùng tạo với a, b, c một góc α . Chứng minh α = 900. Bài 4 Giải phương trình log log log log a a b b x y y x = (với a > 1, b > 1 là hằng số). Bài 5 Cho hai ñường thẳng chéo nhau d1, d2 và một ñiểm M không nằm trên d1, d2. Hãy dựng qua M ñường thẳng d sao cho d chéo nhau với d1, và d chéo nhau với d2, các ñoạn vuông góc chung của d và d1, của d và d2 cùng bằng ñộ dài ℓ cho trước.
37. THI HSG LỚP 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1992 – 1993) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 35 Bài 1 Cho P(x) = mcosx – sin2x + 2. Tìm m ñể: 1. Phương trình P(x) = 0 có nghiệm. 2. Bất phương trình P(x) ≥ 0 nghiệm ñúng với mọi x ∈ℝ. Bài 2 Cho tứ diện ñều ABCD có các cạnh bằng a. Trên CD lấy ñiểm M, ñặt CM = x (0 < x < a). Một mp(P) ñi qua AM và song song với BC, cắt BD ở N. a. Tìm x ñể diện tích tứ giác BCMN gấp ñôi diện tích △DMN. b. Gọi E là hình chiếu của D trên (P). Tìm tập hợp ñiểm E khi M di ñộng trên CD. c. Tìm x trong trường hợp △ADE ñạt giá trị lớn nhất. Bài 3 Cho △ABC nhọn. Chứng minh 6 6 6tan A + tan B + tan C 9 3 tanA + tanB + tanC ≥ . Bài 4 Cho dãy số 1 2, ,..., na a a (n ≥ 3) thỏa mãn 1 2 2 3 n-1 n 1 n 1 1 1 n 1 ... a a a a a a a a − + + + = . Chứng minh ( na ) lập thành cấp số cộng.
38. THI HSG LỚP 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1992 – 1993) Bài 1 Cho 1 2 1( ) 1 2 x P x − = + . a. Tính P(sin2x) + P(cos2x). b. Tính S = 1992 1 ( ) 1993k kP = ∑ . Bài 2 Cho trong mp(P) một tam giác ñều ABC. Trên các nửa ñường thẳng Bx, Cy vuông góc và cùng phía với (P) ta lấy lần lượt M, N sao cho BM + CN = 2m không ñổi. a. Chứng minh (AMN) ñi qua một ñường thẳng cố ñịnh. b. Gọi D là hình chiếu của A trên MN. Tìm tập hợp các ñiểm D. c. Xác ñịnh vị trí của M, N sao cho diện tích △AMN ñạt nhỏ nhất. Bài 3 Chứng minh rằng nếu 2 2 2 2cos sin 2 . 2 thì 16. sin .cos 2 x x x x x x + > > Bài 4 Xét dãy số gồm 2n + 1 số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các bình phương của n + 1 số hạng ñầu bằng tổng các bình phương của n số hạng còn lại. Hỏi có giá trị nào của n sao cho trong dãy 2n + 1 số ñó có một số hạng bằng 1993 hay không, tại sao ?
39. THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA 2008 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 36 Câu 1 Hãy xác ñịnh số nghiệm của hệ phương trình 2 3 3 2 29 log .log 1 x y x y  + =  = . Câu 2 Cho △ABC có BEC∠ là góc nhọn, với E là trung ñiểm của AB. Trên tia EC lấy ñiểm M sao cho BME ECA∠ = ∠ . Kí hiệu BECα = ∠ . Tính tỉ số MC AB theo α . Câu 3 ðặt m = 20082007 . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m và n(2n + 1)(5n + 2) chia hết cho m? Câu 4 Cho dãy số thực ( ) n x xác ñịnh bởi 1 2 2 10; 2; 2 , 2n n x x x x n+ − = = = + ∀ ∈ℕ*. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu khi n → + ∞ . Tìm giới hạn ñó. Câu 5 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối ña 2008 chữ số và trong ñó có ít nhất 2 chữ số 9 ? Câu 6 Cho ba số thực không âm x, y, z ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1( )( 4.( ) ( ) ( )xy yz zx x y y z z x+ + + + ≥− − − Dấu bằng xảy ra khi nào ? Câu 7 Cho △ABC, trung tuyến AD. Cho ñường thẳng d vuông góc với AD. Xét ñiểm M ∈ d. Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của MB, MC. ðường thẳng ñi qua E và vuông góc với d, cắt AB ở P. ðường thẳng ñi qua F, vuông góc với d, cắt AC tại Q. Chứng minh ñường thẳng ñi qua M vuông góc với PQ luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi M di ñộng trên d.
40. CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 2005 Bài 1 Tìm tất cả các hàm số :f ℕ*→ℕ* thỏa mãn với mọi cặp số nguyên dương (x, y) ñều tồn tại số nguyên dương z sao cho 2 2( ( )) ( ). ( ) ( ( ))( ). ( ) ( ) 3 f x f x f y f yf x f y f z + +≤ ≤ . Bài 2 Cho dãy số dương không tăng {an} có tính chất: tổng của một số hữu hạn bất kì các số hạng của dãy ñều nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng lim ( ) 0.nn na→+∞ = Bài 3 Trong mặt phẳng cho ba ñiểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng, B nằm giữa A, C nhưng không trùng với ñiểm của AC. Vẽ hai ñường tròn 1(ω ) và 2(ω ) thay ñổi tương ứng ñi qua các cặp ñiểm A, B và B, C. Hai ñường tròn này cắt nhau tại ñiểm thứ hai D khác B. Gọi E là trung ñiểm của cung DA không chứa ñiểm B của 1(ω ) và F là trung ñiểm của cung DC không chứa B của 2(ω ) . Chứng minh trung ñiểm của ñoạn thẳng EF luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 37 Bài 4 Có 2005 cái hộp xếp quanh một sân vận ñộng. Giả sử ta có trong tay một số lượng ñủ lớn các quả bóng. Thực hiện một trò chơi như sau: Lần thứ nhất bỏ vào một số hộp nào ñó một số quả bóng một cách tùy ý, lần thứ hai trở ñi mỗi lần cho phép ta chọn 6 cái hộp nằm liên tiếp và bỏ thêm vào mỗi hộp 1 quả bóng. Hỏi có thể làm cho 2005 hộp ñó có số lượng bóng bằng nhau ñược không? Bài toán sẽ thay ñổi thế nào nếu xung quanh sân vận ñộng không phải 2005 mà là 2006 cái hộp? Giải thích.
41. THI HSG LỚP 12 HẢI PHÒNG BẢNG A (2008 – 2009) Bài 1 (3 ñiểm) Cho hàm số 2 1 ( ). 2 xy C x + = − 1. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) lập với hai ñường tiệm cận của (C) thành một tam giác có diện tích không ñổi. 2. Tìm các ñiểm thuộc (C) thỏa mãn tiếp tuyến tại ñó của (C) lập với hai ñường tiệm cận của (C) thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Bài 2 (1 ñiểm) Chứng minh rằng tồn một tam giác có ba góc cùng thỏa mãn phương trình 2(65sin 56)(80 64sin 65cos ) 0.x x x− − − = Bài 3 (3 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là nửa lục giác ñều cạnh a, ñường cao SA = h. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Mặt phẳng ñi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại B’, C’, D’. Chứng minh tứ giác AB’C’D’ nội tiếp trong một ñường tròn. 3. Chứng minh AB’ > C’D’. Bài 4 (2 ñiểm) Biết rằng phương trình ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt, hỏi phương trình 4(ax3 + 21x2 + 13x + 2008)(3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13)2 có tối ña bao nhiêu nghiệm thực ? Bài 5 (1 ñiểm) Chứng minh hệ phương trình 2osx = x tan 1 c y y   = có duy nhất một nghiệm (x ; y) thỏa mãn 0 < x < y < 1.
42. THI CHỌN ðỘI TUYỂN QUỐC GIA NĂM HỌC 2008 – 2009 TP HẢI PHÒNG (VÒNG 2) Bài 1 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 + y2 + z2 + t2 = 10.22008. Bài 2 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Chứng minh xy + yz + zx ≥ x + y + z. Bài 3 Cho hàm số f : ℕ* → ℕ thỏa mãn (1) 2; (2) 0; (3 ) 3 ( ) 1; (3 1) 3 ( ) 2; (3 2) 3 ( ) f f f k f k f k f k f k f k = = = +  + = + + = (∀k ∈ ℕ*). Hỏi có thể tồn tại hay không một số nguyên dương n sao cho f(n) = n + 2008 ? Bài 4 không chuyên Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 38 Cho △ABC và O, I theo thứ tự là tâm ñường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác này. Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể ∠AIO ≤ 900 là AB + AC ≥ 2BC. Bài 5 Cho dãy số ( ) n u xác ñịnh bởi 1 2 1 1; , *. 2008 n nn u u u u n N+ =   = + ∈  Tính giá trị L = 1 1 lim ( ) n i n i i u u→+∞ = + ∑ .
43. THI HSG 12 THPT NHƯ NGUYỆT VÒNG 1 Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 14 2 3 1( )xy x x + = − . Bài 2 Tìm nghiệm dương của phương trình 3 2 11 11 21 1ln(1 ) ln(1 ) 1 .x xx x x x x ++ + − + = − Bài 3 Cho (d) 2x – 2y + 1 = 0 và A(0 ; 4), B(5 ; 0). Tìm hai ñường thẳng lần lượt ñi qua A, B và nhận (d) làm ñường phân giác.
44. THI HSG 12 THPT NHƯ NGUYỆT VÒNG 2 Bài 1 Cho dãy số {xn} thỏa mãn x0 = 2007, xn = - 1 0 2007 . n i i x n − = ∑ , n = 1, 2, 3, … Tính S = 2007 0 2 .k k k x = ∑ . Bài 2 Chứng minh rằng nếu một tam thức bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt thì tồn tại nguyên hàm của nó là ña thức bậc ba có ba nghiệm thực phân biệt. Bài 3 Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (O). Xác ñịnh vị trí ñiểm M trên mặt cầu (O) sao cho MA2 + MB2 + MC2 ñạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 Có tồn tại hay không một số chính phương có tổng các chữ số bằng 2006 ? Tại sao ?
45. ðỀ THI HSG BẮC GIANG LỚP 11 NĂM HỌC 2000 – 2001 Câu 1 (5 ñiểm) Cho hàm số 2 .cos 1 cos sin 2k k x ky x x + + = + + . 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y0 (ứng với k = 0). 2. ðịnh k ñể giá trị lớn nhất của yk ñạt nhỏ nhất. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 39 Câu 2 (5 ñiểm) 1. Tính A = 0 0 2000(sin 75 os75 )c+ . 2. Cho f(x) = cos2x + a.cosx + b.sinx. Tìm a, b ñể f(x) ≥ - 1, ∀ x ∈ R. Câu 3 (5 ñiểm) Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 1, a2 = 3, an+2 = 2an+1 – an +1, ∀ n ∈ N*. 1. Chứng minh an = ( 1) , 2 n n n + ∀ ∈N*. 2. Chứng minh rằng A = 4anan+1 + 1 là số chính phương (xem lại). Câu 4 (5 ñiểm) Cho n số dương 1 2, ,..., nx x x có tổng nhỏ hơn 1. Chứng minh [ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 . ... 1 ( ... ) 1 ( ... )(1 )(1 )...(1 ) n n n n n x x x x x x x x x x x x n + − + + + ≤ + + + − − − .
46. THI HSG LỚP 10 ðẦU NĂM 2007 – 2008 (CHỌN) Câu 1 a. Tính P = 7 2 3 7 2 3− + + . b. Chứng minh 2( ) 4 . a b ab a b b a a b a b ab − + − = − + (ñk: a > 0, b > 0). Câu 2 Giải hệ phương trình ( 2) ( 2)( 4) (2 7)( 3) ( 3)(2 7) x y x y y x y x − = + −  + − = + − . Câu 3 Tìm m ñể (d) y = mx + m2 + 9 4 và (P) y = (4m2 + 1)x2 cùng ñi qua giao ñiểm (- 1; 2). Với m tìm ñược hãy tìm giao ñiểm thứ hai của (d) và (P). Câu 4 Cho dây cung BC cố ñịnh của ñường tròn (O). Lấy A nằm trên cung BC lớn sao cho △ABC nhọn. Kẻ ñường cao AD, BE, CF của tam giác này (D, E, F là chân ñường cao). H là giao ñiểm của ba ñường cao. a. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp. Từ ñó suy ra AC.AE = AF.AB. b. Gọi A’ là trung ñiểm của BC. Chứng minh AH = 2A’O. c. Kẻ tiếp tuyến d của (O) tại A. Chứng minh d // EF. Câu 5 Chứng minh không tồn tại các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2009 2007 2005 abc a abc b abc c = +  = +  = + .
47. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 ðỢT 1 NĂM HỌC 2000 – 2001 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 40 Câu 1 Tính tổng 2 11 2 3 ... nS x x nx −= + + + + . Câu 2 Cho hệ phương trình 2 2 10 0 0 x my x y x + − =  + − = . 1. Biệm luận theo m số nghiệm của hệ phương trình. 2. Tìm m ñể hệ phương trình có hai nghiệm (x1 ; y1), (x2 ; y2) thỏa mãn A = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ñạt giá trị lớn nhất. Câu 3 Cho 0 . 2 pi α β< < < Chứng minh sin sin sin sin os osc c β α β αβ α α β − − < − < . Câu 4 Cho (d) 2x – 2y + 1 = 0 và A(0 ; 4), B(5 ; 0). Tìm hai ñường thẳng lần lượt ñi qua A, B và nhận (d) làm ñường phân giác. Câu 5 Cho F(0) = a, F(n + 1) = 3. ( ) 1, 3 ( ) F n n F n + ∀ ∈ − N*. Tính F(2000). (Xem lại ?)
48. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Cho hàm số f(x) có ñạo hàm trên R và thỏa mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x, ∀x∈R. Tính f ’(0) bằng ñịnh nghĩa. Câu 2 1. Cho △ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cot cot cot tan tan tan . 2 2 2 A B CP A B C= + + + + + 2. Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2000 0 500 0 x xy y y x y x  − + =  − − = . Câu 3 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 2 1 2(1 ) ln 1 0. 2 2 1 k kx x kx k + − − − = − + 2. Tìm nghiệm dương của phương trình 3 2 11 11 21 1ln(1 ) ln(1 ) 1 .x xx x x x x ++ + − + = − Câu 4 Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. Gọi , ,α β γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng os , os , osa c b c c cα β γ có thể dựng ñược một tam giác hay không ?
Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 41 49. THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008 Bài 1 Tính gần ñúng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) = 5x – 3 + 210 8x x− − . Bài 2 Tính gần ñúng (ñến ñộ, phút, giây) nghiệm của phương trình 3cos2x + 4cos3x = 1. Bài 3 Với mỗi n∈N* ñặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 và an = (1). (3)...(2 1)(2). (4)... (2 ) f f n f f f n − . Tính gần ñúng 2009a2008. Bài 4 Dự ñoán lim( sin 1)nn n + . Bài 5 Giải gần ñúng phương trình 2 3 0 2 x xe sinx− + − = . Bài 6 Một ñất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì ñều khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng. Cùng một thời ñiểm từ mỗi sân bay có một chiếc máy bay cất cánh và bay ñến sân bay nào gần nhất. Trên bất kì sân bay nào cũng không thể có quá n máy bay bay ñến. Tìm n. Bài 7 Hình chóp tứ giác ñều có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội tiếp. Tính gần ñúng góc giữa mặt bên và mặt ñáy. Bài 8 Giải gần ñúng hệ phương trình ( ) 6 ( ) 30 ( ) 12 xy x y yz y z zx z x + =  + =  + = . Bài 9 Trên bảng có 2008 số 1 2 2008, ,..., 2008 2008 2008 . Mỗi lần xóa ñi hai số a và b ở bảng ñó người ta viết vào bảng số (a + b – 2ab). Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn lại trên bảng là số nào ? Bài 10 Cho hai ñường tròn (O1 ; R1), (O2 ; R2) cắt nhau. Biết rằng O2 nằm trên (O1 ; R1) và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích của hình tròn (O1 ; R1). Tính gần ñúng tỉ số 1 2 R R .
50. CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008) Bài 1 Tìm m ñể 2 3 4 3 , x x x mx x+ + ≥ + ∀ ∈R. Bài 2 Trên mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) x2 + y2 -2x – 4y – 20 = 0 và hai ñiểm A( 29 4 ;2), B(- 9 ; - 6). Tìm ñiểm M∈(C) sao cho 4MA + 5MB ñạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 42 Giải phương trình nghiệm nguyên 2 224( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + + . Bài 4 Cho △ABC có góc ˆA tù. Dựng △ABD vuông cân tại D và △ACE vuông cân tại E sao cho C, D khác phía so với AB còn B, E cùng phía so với AC. Gọi I, K lần lượt là các tâm ñường tròn nội tiếp △ABD và △ACE. Tính tỉ số IK BC và góc giữa hai ñường IK, BC. Bài 5 Tìm giới hạn của dãy ( ) n x cho bởi 1 2 1 1 2 , *. 2 1 n n n x x x n N x +  ≠   = ∀ ∈  − Bài 6 Xác ñịnh hàm số f(x) liên tục trên R + và thỏa mãn f(x24) + f(x10) = 2007(x24 + x10), ∀x∈R. Bài 7 Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi ñỏ, 671 bi vàng. Cứ mỗi lần lấy ñi 2 viên bi khác màu, người ta lại thêm vào 2 viên bi có màu còn lại. Hỏi có thể ñến một lúc nào ñó trên bàn chỉ còn các bi cùng màu hay không ?
51. THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 1999 – 2000 Bài 1 Cho parabol (P) y = x2 – 3x + 3. a – Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A(1 ; 1 2 ) và tiếp xúc với (P). b – M là ñiểm bất kì thuộc ñường thẳng y = 1 2 . Chứng minh qua M luôn vẽ ñược hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. Bài 2 Cho ba số a, b, c thỏa mãn 2 2 2 2 1 a b c ab bc ca  + + =  + + = . Áp dụng hệ thức VIET chứng minh a, b, c ∈ [- 4 3 ; 4 3 ]. Bài 3 a) Giải hệ phương trình 2 2 4 128 x y x y x y  + + − =  + = . b) Tìm m ñể phương trình 5 4x x m+ + − = có nghiệm duy nhất. Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD, ñiểm M bất kì. Chứng minh rằng: a. . .MA AD MB BC= . b. . .MA MC MB MD= . Bài 5 Cho △ABC cân (AB = AC) với ˆA = 2α , các ñường cao AH, BI. Chứng minh rằng: a> sin 2α = 2sinα.cosα. b> 1 – cos2α = 2sin2α. Suy ra 1 + cos2α = 2cos2α.
52. THI ðỊNH KÌ LỚP CHỌN 10A LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 43 Bài 1 (1 ñiểm) Tìm tập xác ñịnh của hàm số a. 2 2 4 2 3 x xy x − − = + . b. ( )( )( )x a x b x cy a b c + + + = + − (a, b, c là ñộ dài 3 cạnh 1 tam giác thường). Bài 2 (3 ñiểm) a – Vẽ ñồ thị hàm số 22 3 1y x x= − + . b – Dùng ñồ thị trên biện luận theo m số nghiệm của phương trình 22 3 0x x m− + = . Bài 3 (2 ñiểm) Tìm k ñể phương trình 2 2( 5 3) (3 1) 2 0k k x k x− + + − + = có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 = 2x1. Bài 4 (2 ñiểm) Các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD kéo dài thì vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích của tứ giác này nếu AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm. Bài 5 (2 ñiểm) Cho △ABC có góc ˆA nhọn. Vẽ ra bên ngoài △ABC các tam giác vuông cân ñỉnh A là △ABD, △ACE. Gọi M là trung ñiểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥DE.
53. THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñợt 1) Câu 1 Giải phương trình a. 3 31 2 2 1x x+ = − . b. 221 1 3 x x x x+ − = + − . Câu 2 Giải hệ phương trình 1. 2 2 4 4 3 17 x xy y x y  + + =  + = . 2. 12 20 15 xy yz zx =  =  = . 3. 2 2 2 2 3 2 0 2 3 4 0 x y x y x y x  − + =  + + − = . Câu 3 Tìm m ñể bất phương trình x2 + mx + m2 + 6m < 0 có ít nhất một nghiệm x thỏa mãn 1 < x < 2. Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, hai ñiểm M, N di chuyển trên AD và CD nhưng luôn có ∠MBN = 450. Xác ñịnh vị trí của M, N ñể diện tích △MBN ñạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Câu 5 Cho hai ñường tròn (O) và (O’), ñiểm M nằm ngoài cả hai ñường tròn này. Dựng ñường thẳng d ñi qua M và cắt cả hai ñường tròn (O), (O’) tạo ra hai dây cung bằng nhau.
54. THI LỚP 10 CHẤT LƯỢNG CAO NĂM HỌC 2002 – 2003 Câu I Cho A = 2 2 3x x− − − . 1. Tìm x ñể A có nghĩa. 2. Tính giá trị của A với 3 ≤ x ≤ 4. Câu II Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m -1 = 0. a. CMR với mọi m phương trình luôn có nghiệm. b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình và không phụ thuộc vào m. Câu III 1. Tìm một ña thức bậc nhỏ nhất hệ số nguyên và nhận x = 2 - 3 làm nghiệm. 2. Cho f(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 3x +1. Tính f(2 - 3 ). Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 44 Câu IV Một tứ giác ABCD có hai cạnh AB và CD cắt nhau ở M thỏa mãn MA.MB = MC.MD. Chứng minh: 1. △MAD ñồng dạng với △MCB. 2. ABCD là tứ giác nội tiếp. Câu V Cho ñiểm M nằm trong △ABC. Gọi x, y, z là khoảng cách từ M tới A, B, C, gọi p, q, r là khoảng cách từ M tới BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng: 1. x ≥ cq br a + . 2. x + y + z ≥ 2(p + q + r).
55. ðỀ THI HSG LỚP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sin 2cos 1 sin cos 2 x xy x x + + = + + . Bài 2 Chứng minh 0 04cos36 cot 7 30 ' 1 2 3 4 5 6+ = + + + + + . Bài 3 Tính giới hạn 3 20 1 2 1 3lim x x x x→ + − + . Bài 4 Chứng minh với mọi △ABC ta có 2 2 2 1 1 1 12 sin sin sin 2 2 2 A B C+ + ≥ . Bài 5 Cho tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các ñiểm A, B, C. Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC). Gọi , ,α β γ lần lượt là góc gữa OH với Ox, Oy, Oz. Chứng minh rằng 2 2 2os os osc c cα β γ+ + = 1.
56. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6. a/ Xác ñịnh m sao cho hàm số có cực trị. b/ Xác ñịnh m ñể hàm số có hai cực trị và các giá trị cực trị cùng dấu. Bài 2 Cho m > 1 và ba số a, b, c thỏa mãn 0 2 1 a b c m m m + + = + + . Chứng minh phương trình 2 0ax bx c+ + = có nghiệm (0;1).x ∈ Bài 3 Chứng minh phương trình 5 2 0x x− − = có nghiệm duy nhất 0x trên ñoạn [1 ;2] và 0 9 8x > . Bài 4 a/ Cho F(-3 ;0) và (△) 3x + 25 = 0. Tìm quỹ tích ñiểm M trong mặt phẳng sao cho 5FM = 3MK với K là hình chiếu của M trên (△). b/ Tìm quỹ tích tâm của ñường tròn (Cα) x2 + y2 – 2xcosα + 4ysinα + 3sin2α - sinα + 1 = 0 (α ∈R).
Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 45 57. THI HSG KHÁNH HÒA VÒNG 1 (23-3-2007) Bài 1 Giải phương trình: x4 - 3x2 + 4 1 x - 2 3 x - 2 = 0. Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A, vẽ các ñường cao AH, BK (K thuộc AC, H thuộc BC). Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 4BK BC AH = + . Bài 3 Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn 1 1 1 4. x y z + + = Chứng minh 1 1 1 1 2 2 2x y x x y z x y z + + ≤ + + + + + + . Bài 4 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ñiểm M (1; 4). Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua M cắt hai nửa trục dương Ox và Oy lần lượt tại A, B sao cho OA + OB nhỏ nhất. Bài 5 Cho nửa ñường tròn tâm O ñường kính BC và 1 ñiểm A trên nửa ñường tròn (A khác B, C). Kẻ ñường cao AH (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa ñiểm A ta vẽ nửa ñường tròn (O1;R1) ñường kính HB và (O2;R2) ñường kính HC và chúng lần lượt cắt các cạnh AB, AC tại ñiểm thứ hai E và F. Các tiếp tuyến của ñường tròn (O) vẽ từ A và B cắt nhau tại M. a) Chứng minh BEFC nội tiếp. b) Chứng minh 3 ñường MC, AH, EF ñồng quy. c) Gọi (I; r) là ñường tròn tiếp xúc ngoài với (O1) và (O2), và tiếp xúc EF tại D ( D thuộc EF). Chứng minh rằng 1 2 1 1 1 r R R = + .
58. THI HSG KHÁNH HÒA VÒNG 2 (24-3-2007) Bài 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho hai ñường thẳng (d1) (m-1)x + y = 3m – 4, (d2) x + (m-1)y = m (với m là tham số ). 1. Tìm giá trị nguyên của m ñể giao ñiểm M của hai ñường thẳng ñó có tọa ñộ là cặp số nguyên. 2. Tìm giá trị m ñể giao ñiểm M của 2 ñường thẳng ñó thuộc ñường tròn (O; 2 3 ). Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =7, AC = 8. Tính bán kính ñường tròn ñi qua các ñiểm B, C và trung ñiểm M của AC. Bài 3 (?) Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = x3 + y3x3(x3 + 2y3 – 3) + (y3 – 2)2 – 1 = 0 (với mọi x, y không âm). Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 2 3 BC, ñường cao AE (E thuộc cạnh BC). ðường tròn tâm O nội tiếp △ABC tiếp xúc với AC tại F . a) Chứng minh BF là tiếp tuyến của ñường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF. b) Gọi M là giao ñiểm của BF với (O) .Chứng minh BMOC là tứ giác nội tiếp ñường tròn.
59. THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001) Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình 1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 46 2. (2 ñiểm) 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 20 4 5 15 3 4 12 3 x x x x x x x x x − + + − + = + + . Bài 2 (4 ñiểm) Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = - 2, 1 , 1 n n n u u n u + = ∈ − N*. 1. Chứng minh un < 0, ∀n∈N*. 2. Với mỗi n∈N* ñặt vn =1 n n u u + . Chứng minh (vn) là một cấp số cộng và suy ra biểu thức của vn và un. Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ 27 4 1 1 5 4 27 6 1log log 6 27 4 1 x x y x y x  + =   − ≥  − ≤   . Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3. Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích bằng 1cm3. Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc.
60. THI CHỌN LỚP 12A THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Giải phương trình a/. 1 s inx 1 s inx 2cos x− + + = . b/. 32log (1 ) logx x+ = . Câu 2 Cho hàm số 4( ) 2 4 x xf x = + . Tính 2000 1 ( ) 2001i iA f = = ∑ . Câu 3 Giải biện luận phương trình sinx 1 sinx4 2 m++ = (m là tham số). Câu 4 Cho hình chóp ñều S.ABC có trung ñoạn bằng a và lập với ñáy một góc một góc α . a – Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. b – Tìm khoảng cách từ A tới (SBC).
61. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 2008 - 2009 Bài 1: (8 ñiểm) a. Giải phương trình 4 4 4 6x x x x+ − + + − = . b. Tìm các giá trị của a ñể hệ sau có ñúng 2 nghiệm 2 2 2 2(1 ) ( ) 4 x y a x y  + = +  + = . Bài 2: (6 ñiểm) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1). a. Viết phương trình ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 47 b. Giả sử M là ñiểm chuyển ñộng trên (T). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một ñường tròn cố ñịnh. Viết phương trình ñường tròn ñó. Bài 3: (2 ñiểm) Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc lần lượt là ñộ dài các ñường trung tuyến thuộc các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và có mc = 3 2 c . Chứng minh rằng: ma + mb + mc = 3 ( ) 2 a b c+ + . Bài 4: (4 ñiểm) Cho hai số thực x, y dương thoả mãn ñiều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 4P xy x y xy = + + + . ðÁP ÁN VÀ SƠ LƯỢC - THANG ðIỂM –––––––––– Bài 1: (8 ñiểm) a. (3 ñiểm) ðK: x ≥ 4 (0,5 ñiểm) 2( 4 2) 4 6x x x− + + + − = (2 ñiểm) ⇔ 2 4 4x x− = − ⇔ x = 4 b. Cách 1: 2 2 2 2(1 ) 1 2( ) 4 x y a x y a x yx y  + = + + = − ⇔  + = ±+ =  (2 ñiểm) Vậy x và y là nghiệm của phương trìnb bậc 2: 2 2 2 1 0 (1) 2 1 0 (2) X X a X X a  − + − =  + + − = (1 ñiểm) Hệ ñã cho có 2 nghiệm ⇔ (1) và (2) ñều có nghiệm kép ⇔ ∆'(1) =∆'(2) = 0 (2 ñiểm) ⇔ a = 0 Cách 2: Sử dụng tính ñối xứng giữa các nghiệm. Cách 3: Dùng ñồ thị. Bài 2: (6 ñiểm) a. E(x;y) tâm ñường tròn (T) ⇔ EA2 = EB2 = EC2 (1 ðiểm) ⇔ (x-1)2 + (y-2)2 = x2 + (y - 1)2 = (x+2)2 + (y-1)2 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 1 3( 2) ( 1) ( 1) x y x y x yx y x y  − + − = + − = − ⇔  =+ + − = + −  Vậy (T) có phương trình: (x+1)2 + (y-3)2 = 5 (1 ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 48 ðường tròn (T) có tâm E (-3;1) bán kính R = 5 b. Gọi I là trung ñiểm BC ta có: I (-1; 1) (1 ñiểm) Kẻ GK // ME, K ∈ EI KE = -2 KI ⇒ K (-1; 5 3 ) (2 ñiểm) Mặt khác: KG = 1 5 3 3 EM = Vậy trọng tâm G của tam giác MBC nằm trên ñường tròn tâm K, bán kính 5 3 . Phương trình ñường tròn này là: (x+1)2 + (y- 5 3 )2 = 5 9 . (1 ñiểm) Bài 3: (2 ñiểm) Ta có mc = 3 2 c ⇒ mc 2 = 2 2 2 2 2 2 2 23 2( ) 3 2 4 4 4 a b c c c a b c+ −⇔ = ⇔ + = (1 ñiẻm) ⇒ 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 32( ) 3 2 2( ) 3 4 3 3 2 a a b b m b m bb c a b a c b a m a m a  = =+ − =   ⇒ ⇒   + − = =   = (1 ñiểm) ⇒ ma + mb + mc = 3 ( ) 2 a b c+ + Bài 4: (4 ñiểm) + Trước hết ta chứng minh: 1 1 4 , , 0 (1)a b a b a b + ≥ ∀ > + (1 ñiểm) + Áp dụng (1) vào biểu thức P ta ñược 2 2 1 1 4P xy x y xy = + + + = 2 2 1 1 1 1 4 2 4 4 xy x y xy xy xy     + + + +   +    (1 ñiểm) ≥ 2 2 4 1 2 2 4x y xy xy + + + + (1 ñiểm) ≥ 2 2 2 4 1 52 2 7( ) ( ) ( )x y x y x y+ + = + ≥+ + + Vậy Min P = 7 khi x = y = 1 2 . (1 ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 49
62. THI HSG 12 CẤP TRƯỜNG (NAM ðỊNH 2008 – 2009) Câu 1. Cho hàm số y = f(x) = 2 20092( ) khi x 0 0 khi x=0 xx x e + − ≠   . a. Tính ñạo hàm của hàm số tại x = 0. b. Lập phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Câu 2. Cho phương trình: 2009 20082009 2sin 12009 log ( 2 sin ) 2(2 1)sin 1x m x x m+ = − − + + + . a. Giải phương trình với m = 2009. b. Tìm m ñể phương trình có nghiệm. Câu 3. Cho n∈N*. Chứng minh: 0 1 1 2 1 12( 1) 2 1 ... 2 n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C− + ++ + + = − . Câu 4. 1. Cho elip (E) có phương trình: 2 2 1 16 9 x y + = , A và B là hai ñiểm chạy trên elip thoả mãn OA⊥OB. a. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 OA OB + không ñổi b. Tìm A, B ñể OABS∆ nhỏ nhất . 2. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a 2 . a. Tính khoảng cách giữa CD và AC’. b. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm ∆C’DB, ∆C’A’B và M là ñiểm chạy trên ñọan AA’. Tìm vị trí ñiểm M ñể thể tích MDG1G2 lớn nhất. Câu 5. Chứng minh phương trình 1+ x + 2 3 ... 2 3 nx x x n + + + = 0 có không quá một nghiệm ( 2 ≤ n∈N).
63. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 SÓC TRĂNG (2008 – 2009) Bài 1: (2 ñiểm) Cho a và b là hai số thực thỏa mãn ñiều kiện: a, b ≥ – 1 và a + b = 1. Chứng minh rằng: 1 1 6a b+ + + ≤ . Bài 2: (4 ñiểm) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 65 20 x y x y y x  + =  + = . Bài 3: (2 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn ñiều kiện: f(2 – x) + xf(x) = x (x ∈ R\{1}). Bài 4: (4 ñiểm) Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6. Bài 5: (4 ñiểm) Cho tam giác ABC có số ño các góc A, B, C theo thứ tự ñó lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2. Chứng minh rằng: 1 1 1 sin sin sinA B C = + . Bài 6: (4 ñiểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, chân ñường cao trùng với tâm O của ñáy. Từ trung ñiểm I của ñường cao SO hạ ñoạn vuông góc với cạnh bên SC và ñoạn vuông góc với mặt bên SBC, hai ñoạn vuông góc này có ñộ dài lần lượt là a và b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 50 Hướng dẫn chấm Bài 1: Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacopski ñối với 2 cặp số (1 ; 1) và ( 1; 1a b+ + ): ( )( )1. 1 1. 1 1 1 1 1a b a b+ + + ≤ + + + + (1 ñiểm) ⇔ 1 1 6a b+ + + ≤ (vì a + b = 1) (0,5 ñiểm) dấu “=” xảy ra khi a + 1 = b + 1 ⇔ a = b = 1 2 (0,5 ñiểm) Bài 2: 3 3 2 2 65 20 x y x y y x  + =  + = . ðiều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, hệ phương trình biến ñổi thành: (0,5 ñiểm) ( ) ( ) ( ) 2 3 65 20 x y x y xy xy x y   + + − =     + =  (1) (1 ñiểm) ðặt u = x y+ , v = xy (u, v ≥ 0) (1) trở thành: ( )2 3 65 20 u u v uv  − =  = 2 60 65 20 u u u uv    − =      = (1 ñiểm) 5 4 u v =  = ⇔ 5 4 x y xy  + =  = (0,5 ñiểm) Giải hệ này ñược nghiệm: 16 1 x y =  = hoặc 1 16 x y =  = (1 ñiểm) Bài 3: Từ f(2 – x) + xf(x) = x (1) Thay x bởi 2 – x ta ñược: f(x) + (2 – x)f(2 – x) = (2 – x) (2) (0,5 ñiểm) Nhân (1) cho 2 – x: (2 – x)f(2 – x) + x(2 – x)f(x) = x(2 – x) (3) (0,5 ñiểm) (2) – (3): f(x) – x(2 – x)f(x) = (2 – x) – x(2 – x) f(x)(1 – x(2 – x)) = x2 – 3x + 2 f(x)(x2 – x2 + 1) = x2 – 3x + 2. Với x ≠ 1 thì: 2 3 2 2( ) 12 1 x x xf x xx x − + − = = −− + (0,5 ñiểm) Thử lại thấy hàm số 2( ) 1 xf x x − = − thỏa mãn ñiều kiện. Vậy hàm số cần tìm là: 2( ) 1 xf x x − = − (0,5 ñiểm) Bài 4: ðiều kiện: x ≠ 2 k pi (0,5 ñiểm) tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6 ⇔ (tanx + cotx) + (tanx + cotx)2 – 2 + (tanx + cotx)3 – 3(tanx + cotx) = 6 ⇔ (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2 – 2(tanx + cotx) – 2= 6 ðặt t = tanx + cotx (t  ≥ 2), ta ñược: t3 + t2 – 2t – 8= 0 (1 ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 51 S K H I D C O E A B ⇔ (t – 2)(t2 + 3t + 4) = 0 ⇔ (t – 2) = 0 (vì t2 + 3t + 4>0) ⇔ t = 2 (1 ñiểm) Vậy: tanx + cotx = 2 ⇔ 1 tan 2 tan x x + = ⇔ tan2x – 2tanx + 1 = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ ( )4x k k Z pi pi= + ∈ . (1 ñiểm) Thỏa mãn ñiều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) 4 x k k Zpi pi= + ∈ (0,5 ñiểm) Bài 5: Ta có: 2 4 A B C B A C A pi+ + =  =  = 2 4 ; ; 7 7 7 A B Cpi pi pi⇔ = = = (1 ñiểm) Ta cần chứng minh: 1 1 1 2 4 sin sin sin 7 7 7 pi pi pi = + . Ta có: 4 2 sin s in1 1 7 7 2 4 2 4 sin sin sin .sin 7 7 7 7 pi pi pi pi pi pi + + = 32s in .cos 7 7 2 4 sin .sin 7 7 pi pi pi pi = 2cos 7 2sin .cos 7 7 pi pi pi = (vì 3 4sin sin7 7 pi pi = ) 1 sin 7 pi = (ñpcm) (3 ñiểm) Bài 6: SEIHEOSI EO IH SE SI .. =⇒= ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 . . 16 16 4 1 2 2 4 4 y x x b yb SE x y b y b y b x x y b   = ⇒ = + = + ⇒ =  −  Xét hai tam giác ñồng dạng SKI và SOC ta có: (1 ñiểm) Kẻ IK ⊥ SC Kẻ IH ⊥ SE ⇒ IH ⊥ (SBC) (0,5ñiểm) Gọi x, y lần lượt là cạnh ñáy và chiều cao của khối chóp, ta có: 21 3 V x y= Xét hai tam giác ñồng dạng SHI và SOE ta có: Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 52 . . SI KI SI OC KI SC SC OC = ⇒ = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 . . 8 8 4 2 2 2 2 4 y x x a y a SC x y a y a y a x x y a   = ⇒ = + = + ⇒ =  −  (1 ñiểm) (1) & (2) ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a b aby y b a b a = ⇒ = − − ⇒ 2 2 2 2 2 8a b x a b = − (1 ñiểm) Vậy V = ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 2 16 3 2 3 2 a b ab a b a b b a a b b a = − − − − (0,5 ñiểm)
64. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 THỪA THIÊN HUẾ (2008 – 2009) Bài 1: (3.0 ñiểm) 1. Giải phương trình: 22cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x 3 cosx)+ + = + (1) 2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 tan B.tan C tan B.tan C tan C.tan A tan C.tan A tan A.tan B tan A.tan B 6 + + = − − − . Chứng minh tam giác ABC ñều. Bài 2: (3.0 ñiểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy ñiểm M di ñộng, trên cạnh AC lấy ñiểm N di ñộng sao cho 1 1 1 AM AN l + = (không ñổi).Chứng minh rằng ñường thẳng MN ñi qua một ñiểm cố ñịnh. Bài 3: (3.0 ñiểm) 1.Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 6 3 2 2 2 2 315 3 ( 5)x z x z x y z y+ − = − + . 2. Chứng minh rằng: 2009 20072007 ++2009 chia hết cho 8. Bài 4: (3.0 ñiểm) Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = a (-1 <a < 0), 1 2 1 1, 1, 2,3... 1 n n n u u n u + + = − = + 1. Chứng minh rằng: - 1 < un < 0 với ∀n∈N* và (un) là một dãy số giảm. 2. Tìm limun. Bài 5: (2.0 ñiểm) Chứng minh bất ñẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ca + + + + + + + + ≥ + + + . Bài 6: (3.0 ñiểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai ñiểm di ñộng E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1. Chứng tỏ rằng ñường thẳng EF luôn tiếp xúc với một ñường tròn cố ñịnh. 2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. Bài 7: (3.0 ñiểm) 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4. 2.Có hai bóng ñiện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là ñộc lập với nhau). Tính xác suất ñể mạch không có ñiện do bóng hỏng nếu: + Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 53 a. Chúng ñược mắc song song. b. Chúng ñược mắc nối tiếp.
65. THI HSG TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ THỪA THIÊN HUẾ 2008 – 2009 Câu1(4ñiểm): Tìm a ñể hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:     =+ ++=+ 1 2 22 2 yx axyxx . Câu 2(4 ñiểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có : B(-1;3), C(3;1), diện tích S =3 và trọng tâm G nằm trên ñường thẳng x-y = 0. Tìm toạ ñộ của ñiểm A. Câu 3(5ñiểm) : Chứng minh rằng thể tích V của khối nón tròn xoay và diện tích xung quanh S của hình nón tương ứng luôn luôn thoả mãn bất ñẳng thức: 32 3 26       ≤      pipi SV . Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào ? Câu 4(3ñiểm): Tính tích các nghiệm của phương trình 512log4 2008)5( xx x = + . Câu 5(4 ñiểm): Tính giới hạn của dãy số và hàm số sau : a) n n nn A )1sin20081(coslim += +∞→ . b) 20 2 cos2lim 2 x xB x x − = → . ðÁP ÁN Câu 1: (4ñiểm) * Nhận xét nếu (x;y) là một nghiệm của hệ thì (-x;y) cũng là một nghiệm của hệ (0.5ñ) *ðiều kiện cần : Gỉa sử hệ có nghiệm duy nhất là (x;y), ta suy ra x = - x hay x = 0 Thay x = 0 vào hệ phương trình , ta có :    = += 1 1 2y ay . Suy ra a=0 hay a = 2 (0.5ñ) *Thử lại : Với a= 0, hệ trở thành :     =+ +=+ )2(1 )1(2 22 2 yx xyxx (0.5ñ) Từ (2) ta suy ra : 1,1 ≤≤ yx (0.5ñ) Từ (2) ta suy ra : 12 2 ≥−+= xxy x (vì )1,12 2xxxx ≥⇒≤≥ (1ñ) Vậy ta có : 1 1 1 =⇔    ≥ ≤ y y y . Suy ra x=0. Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0) (0.5ñ) *Với a=2, Hệ trở thành :     =+ ++=+ 1 22 22 2 yx xyxx Dễ dàng thấy (1;0), (-1;0) là hại nghiệm của hệ, nên hệ không có nghiệm duy nhất Kết luận a = 0. (0;5ñ) Câu 2 (4ñiểm): * Gọi A(x;y) là ñỉnh cần tìm. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 54 *BC : x+2y-5 = 0 , BC = 2 5 Chiều cao của tam giác ABC là : h = d(A,BC) = 5 52 −+ yx (1ñ) *S = 3 )1(3523 5 52 .53. 2 1 =−+⇔= −+ ⇔=⇔ yx yx hBC (1ñ) *       ++ 3 4 ; 3 yyxG thuộc ñường thẳng x-y = 0 khi và chỉ khi : )2(2 3 4 3 2 =−⇔ + = + yxyx (1ñ) *Giải hệ phương trình (1) và(2) cho ta (x;y) = (4;2) , (x;y) = (2;0) Vậy A(4;2) hay A(2;0) (1ñ) Câu 3(5ñ) :* Gọi R, l lần lượt là bán kính ñáy, ñường sinh của hình nón. Ta có : S= pi Rl và V= )0( 3 1 222 lRRlR <<−pi (1ñ) *Thay vào bất ñẳng thức cần chứng minh , ta có : 33 2 33 8)(4 3 333 224 ≤−⇔≤− l R l RlRRlR 1ñ) *ðặt x = l R (0<x<1) Ta cần chứng minh : f(x) = x- x3 )1;0( 33 2 ∈∀≤ x (1ñ) * f’(x)= 1-3x2 * f’(x) = 0 3 1 =⇔ x (do x>0) *f’’(x) = -6x, f’’( 0 3 6) 33 1 < − = . Suy ra f(x) ñạt ñại tại x = 3 1 (có thể lập bảng biến thiên ñể kết luận ) (1ñ) *Vậy )1;0(, 33 2) 3 1()( ∈∀=≤ xfxf Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1 =x hay 3 3 1 Rl l R =⇔= (1ñ) Câu 4(3ñ) : *ñk : x> 0 Với ñiều kiện trên , phương trình tương ñương : xx x lg52008lg)lg5)(lg1 2 lg4( +=++ (1ñ) 02008lg)2lg41(5lglg)12lg5(lg4)(lg4 lg52008lg)lg5)(lg12lg4lg4( 2 =−−+−−+⇔ +=++−⇔ xx xxx (1ñ) * Rõ ràng các hệ số của phương trình bậc hai là : a = 4 > 0 và c = lg5(1-4lg2)-lg2008 <0 . Do ñó , phương trình có hai nghiệm : lg x1 < 0 < lg x2 (1ñ) * Theo ñịnh lí Viét : lg x1+lg x2 = 1+lg2-lg5 44lg)lg( 2121 =⇔=⇔ xxxx * Vậy, phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm bằng 4. Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 55 Câu 5(4ñ) a) (2.5ñ) Un = n nn nnn nnnnn             −      −=       +−=      + 2 1 cos2008 2 1 sin 2 1 sin21 2 1 cos. 2 1 sin2008.2 2 1 sin211sin20081cos 2 (0.5ñ) * ðặt t =       −− nnn 2 1 cos2008 2 1 sin 2 1 sin2 (0.5ñ) * Ta có : un = tn t n t t tt         +=        + 1 . 1 )1()1( (0.5ñ) * tn =       − − =       −− nn n n nnn n 2 1 cos2008 2 1 sin. 2 1 2 1 sin 2 1 cos2008 2 1 sin 2 1 sin2 (0.5ñ) * Khi n +∞→ thì : t 0→ tn → -1(0-2008.1) = 2008 et t →+ 1 )1( Suy ra : 2008lim euA n n == +∞→ (0.5ñ) b) (1.5ñ) 202020 2 cos1lim 2 12lim 2 cos2lim 22 x x xx xB x x x x x − + − = − = →←→ (0.5ñ) * 2 2ln 2 12lim 20 2 = − → x x x (0.5ñ) * 4 1 2 cos1lim 20 = − → x x x *Vậy B = 8 22ln4 4 1 2 2ln + =+ (0.5ñ)
66. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT HƯƠNG THỦY Câu1: Giải phương trình: [ ] )1(12)1()1(11 2332 xxxx −+=+−−−+ Câu2: Giải hệ bất phương trình:     ≥++ ≤++ 1 1 200720052003 1086 zyx zyx . Câu3: Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 56 a. Chứng minh rằng: (*)27256,0 434 pqxqpxx ≥⇔∀≥++ b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm ñúng (*) thì xpxqx ∀≥++ ,0134 . Câu4: Cho hàm số mxxxf −−= 22)( . ðịnh m ñể giá trị lớn nhất của hàm f trên ñoạn [– 1 ; 1] ñạt giá trị nhỏ nhất. Câu5: Hai cạnh ñối diện của một tứ diện có ñộ dài bằng x, các cạnh khác ñều có ñộ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện ñạt giá trị lớn nhất ? Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 57 ðáp án Câu1 Nội dung 2.50ñ ðiều kiện: 11 01 01 01 2 ≤≤−⇔      ≥− ≥+ ≥− x x x x 0.50ñ ðặt x = cost với [ ] ttxt sinsin1,0 22 ==−⇒∈ pi , khi ñó: [ ] 2 1 cos sin2)sin2(cos2 sin2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin22 sin2 2 cos 2 sin22. 2 cos 2 sin sin2 2 cos2 2 sin2 2 cos 2 sin sin2)cos1()cos1(sin1)1( 2222 33 3 2 3 2 2 33 −==⇔ +=+−⇔ +=      ++      −⇔ +=      −      +⇔ +=               −            +⇔ +=+−−+⇔ tx ttt t tttttt t tttt t tttt tttt 0.50ñ 1.00ñ 0.50ñ Câu2 Giải hệ bất phương trình:      ≥++ ≤++ )2(1 )1(1 200720052003 1086 zyx zyx 2.50ñ Từ (1) suy ra: x ≤ 1 ; y ≤ 1 ; z ≤ 1 (*) Ta có: ( x2003 +y2005 + z2007 ) – ( x6 + y8 + z10 ) ≥ 0 ⇒ x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≥ 0 Mặt khác (*) cho x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≤ 0 Do vậy x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) = 0 Nên: x6 ( x1997 – 1 ) = 0 ; y8 ( y1997 – 1 ) = 0 ; z10 ( z1997 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 ; y = 0 hoặc y = 1 ; z = 0 hoặc z = 1 Ta nhận thấy chỉ có : (x = 0 ; y = 0 ; z = 1) (x = 0 ; y = 1 ; z = 0) (x = 1 ; y = 0 ; z = 0) thỏa hệ phương trình. Vậy hệ có ba nghiệm là: (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.50ñ 0.50ñ 0.25ñ 0.25ñ Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 58 Câu3 a. Chứng minh rằng: (*)27256,0 434 pqxqpxx ≥⇔∀≥++ b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm ñúng (*) thì (**),0134 xpxqx ∀≥++ 1.50ñ a. Xét hàm số qpxxy ++= 4 Ta có: 33/ 4 04 pxpxy −=⇔=+= Và xxy ∀≥= ,012 2// Suy ra: qpppppMiny +−=+−+      −= 333 4 44 34 44 Do ñó: (*)272560 44 3 ,0 4334 pqqppxqpxx ≥⇔≥+−⇔∀≥++ b. x = 0 thì (**) ñúng x ≠ 0 thì (**) tương ñương: 011. 4 ≥      ++ xx pq ðặt: 0 1 4 ≥++⇒= qptt x t Bất ñẳng thức này ñúng vì p, q thỏa (*). 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.50ñ Câu4 Cho hàm số mxxxf −−= 22)( . ðịnh m ñể giá trị lớn nhất của hàm f trên ñoạn [– 1 ; 1] ñạt giá trị nhỏ nhất. 2.50ñ Parabol y = 2x2 – x + m có hoành ñộ ñỉnh là xo = 4 1 ∈ [– 1 ; 1] nên Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 59 Maxf(x) = max       − )1(,) 4 1(,)1( fff = max       +−++− mmm 1, 8 1 ,3 = M Nếu m > 0: tacó mm +−≥+ 1 8 1 Nếu m < 0: m ñủ lớn ta có – 3 + m ≥ – 1 + m  0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ Vậy:       ++−= mmMaxM 8 1 ;3 Do ñó: M ≥ – 3 + m  M ≥ m+ 8 1 ⇒ 2M ≥ – 3 + m + m+ 8 1 ≥ 8 25 8 13 =++− mm ⇒ M ≥ 16 25 Suy ra Min(M) = 16 25 .Dấu “ = ’’ xãy ra khi 8 13 +=− mm 16 23 =⇔ m 0.50ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.50ñ 0.25ñ Câu5 Hai cạnh ñối diện của một tứ diện có ñộ dài bằng x, các cạnh khác ñều có ñộ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện ñạt giá trị lớn nhất ? 1.00ñ H I A B C S D 0.25ñ Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 60 Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có ñộ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung ñiểm của BC & SA. Ta có: SA ⊥ (BCD). Do ñó: SAIDBCSABCDdtV .. 6 1 . 3 1 =∆= mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 – 2 2x Suy ra: 22 2 2 24 12 1 2 1 6 1 xx x xV −=−= Vì vậy: 39 2 =MaxV ñạt tại x = 3 32 0.50ñ 0.25ñ 0.25ñ
67. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009 BÀI I: 1.Chứng minh rằng 0>∀x và n nguyên dương ta có !!2 1 2 n xx xe n x ++++> . 2.Chứng minh rằng với 10 << x và n nguyên dương ne xx n 2 11 <− . BÀI II : Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có 3 nghiệm 0)22(log2)32(log4 3 1 22 3 2 =+−++− +−−− axxx xxax . BÀI III : ðường chéo hình hộp chữ nhật, tạo với ba kích thước a, b, c các góc γβα ,, . V là thể tích của hình hộp. Chứng minh rằng : 212 6 12 6 12 6 2178 coscoscos Vcba ≥++ γβα . BÀI IV: Người ta sơn bề ngoài của một khối lập phương thành màu trắng và cưa thành 64 khối lập phương nhỏ. Sau ñó, từ các khối lập phương nhỏ, người ta xếp ñể tạo lại khối lập phương cũ, nhưng lúc ấy các khối lập phương nhỏ có thể thay ñổi vị trí và quay ñi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các khối lập phương nhỏ ñể khối lập phương lớn có bề ngoài ñược sơn màu trắng. ðÁP ÁN BÀI I : 1. Xét hàm số =)(xf n )!!21( 2 n xx xe n x ++++− Ta phải chứng minh với mọi x>0 và n nguyên dương : 0)( >xf n Thật vậy ta có với mọi n nguyên dương : 0)0( =nf Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 61 Xét )1()(1 xexf x +−= => 01)('1 >−= xexf Vậy )(1 xf tăng => với mọi x>0 , )(1 xf > )0(1f = 0. Vậy công thức ñúng với n = 1 Giả sử công thức ñúng với n-1 ta có 0))!1(!21()( 12 1 > − ++++−= − − n xx xexf n x n Ta có =)(' xf n 0)())!1(!21( 1 12 >