Một phương pháp giảm bậc cho hệ không ổn định dựa theo thuật toán chặt cân bằng

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 77 MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC CHO HỆ KHÔNG ỔN ĐỊNH DỰA THEO THUẬT TOÁN CHẶT CÂN BẰNG Đỗ Trung Hải* Tóm tắt: Trong bài báo này, tác giả đã giới thiệu phương pháp giảm bậc cân bằng của Zhou cho hệ không ổn định. Ứng dụng thuật toán giảm bậc cân bằng của Zhou vào bài toán giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc 30 của hệ thống điều khiển cân bằng robot hai bánh cho thấy bộ điều khiển giảm bậc nhỏ nhất có thể thay thế bộ điều khiển gốc bậc là bộ điều khiển bậc 2. Kết quả mô phỏng cho thấy tính đúng đắn và khả năng áp dụng của thuật toán giảm bậc cân bằng của Zhou trong bài toán giảm bậc hệ không ổn định nói chung và bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc cao nói riêng. Từ khóa: Giảm bậc cân bằng, Hệ không ổn định, Bộ điều khiển. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương pháp chặt cân bằng của Moore [1] thực hiện bài toán giảm bậc mô hình bằng cách áp dụng điều kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển và Gramian quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở. Việc tương đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyển mô hình gốc biểu diễn trong hệ cơ sở bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội. Từ không gian cân bằng đó, mô hình bậc thấp có thể tìm được bằng cách loại bỏ các giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ, tức là loại bỏ các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát. Trên cơ sở phương pháp chặt cân bằng của Moore [1] đã có nhiều thuật toán khác được đề xuất như phương pháp cân bằng ngẫu nhiên [2], cân bằng thực dương [3], phương pháp xấp xỉ chuẩn Hankel [4], các thuật toán dựa trên lý thuyết này áp dụng cho hệ tuyến tính ổn định bởi các khái niệm gốc của phương pháp chặt cân bằng (ma trận Gramian điều khiển và Gramian quan sát) luôn đi kèm yêu cầu hệ là ổn định. Nhưng trong thực tế, điều kiện ổn định này không phải lúc nào cũng được thỏa mãn [5], [6], [7]. Để giải quyết bài toán giảm bậc hệ không ổn định có hai hướng: - Mở rộng phạm vi của các thuật toán giảm bậc cho hệ ổn định sao cho nó có thể giảm bậc được cho hệ không ổn định [8], [9], [10] - Xây dựng thuật toán hoàn toàn mới thực hiện giảm bậc không phân biệt hệ gốc là ổn định hay không ổn định [11], [12]. Mỗi thuật toán giảm bậc theo hai hướng này đều có cách tiếp cận riêng. Với mong muốn đưa ra được các đánh giá cụ thể và ứng dụng thuật toán đã được đề xuất để giảm bậc hệ không ổn định, trong bài báo này, tác giả tập trung giới thiệu và ứng dụng thuật toán giảm bậc hệ không ổn định theo hướng thứ nhất – cụ thể là đánh giá, ứng dụng thuật toán thuật toán cân bằng của Zhou [10] vào bài toán giảm bậc bộ điều khiển. 2. THUẬT TOÁN GIẢM BẬC HỆ KHÔNG ỔN ĐỊNH 2.1. Bài toán giảm bậc mô hình Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau: x x u y x A B C     (1) trong đó, x  Rn, u  Rp, y  Rq, A  Rnxn, B  Rnxp, C  Rqxn. Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.” 78 Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình (1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ các phương trình: r r r r r r r x x u y x A B C     (2) trong đó, xr  R r, u  Rp, yrR q, Ar  R rxr, Br  R rxp, Cr  R qxr, với r  n; Sao cho mô hình (2) có thể thay thế mô hình (1) 2.2. Thuật toán chặt cân bằng của Zhou Vấn đề khó khăn khi áp dụng thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ổn định đó là việc xác định các gramian luôn đi kèm yêu cầu hệ gốc là ổn định tiệm cận. Để có thể xác định được các Gramian của hệ không ổn định Zhou [10] đã chứng minh được rằng có thể sử dụng các hàm đặc biệt X và Y là nghiệm của hai phương trình Lyapunov: ' ' 0 ' ' 0 XA A X XBB X AY YA YC CY       (3) Từ hai hàm đặc biệt X và Y qua phép đặt 'F B X và 'L YC , ta có thể xác định Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ không ổn định qua hai phương trình Lyapunov sau:         ' 0 ' ' 0 A BF P P A BF BB Q A LC A A LC C C           (4) Sau khi xác định được Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q ta thực hiện các bước theo thuật toán chặt cân bằng của Moore [1] sẽ thu được hệ giảm bậc của hệ gốc không ổn định. Nội dung của thuật toán như sau: Từ hệ gốc  , , A B C được mô tả trong (1) (hệ không ổn định) Bước 1: Tính hàm đặc biệt X và Y theo (3). Bước 2: Đặt 'F B X và 'L YC Bước 3: Tính Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q theo (4). Bước 4: Phân tích các ma trận sau Phân tích Cholesky ma trận TP RR , với R là ma trận tam giác trên. Phân tích giá trị suy biến ma trận T TRQR UΛV . Bước 5: Tính các ma trận 1/ 2L V Tính ma trận không suy biến 1 -1/2T T R UL Bước 6: Tính    1 1, , , ,  A B C T AT T B CT . Bước 7: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r < n . Biểu diễn  , , A B C ở dạng khối như sau:  11 12 1 1 2 21 22 2 , , ,               A A B A B C C C A A B (5) trong đó, x x x11 1 1, , r r r p q r  A B C   . Hệ giảm bậc  11 1 1, , A B C . Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 79 3. ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC HỆ KHÔNG ỔN ĐỊNH CHO BÀI TOÁN GIẢM BẬC BỘ ĐIỀU KHIỂN 3.1. Lựa chọn đối tượng Đối tượng được lựa chọn để tổng hợp bộ điều khiển và thực hiện bài toán giảm bậc mô hình theo thuật toán đề xuất là mô hình robot hai bánh tự cân bằng [11], [12] như hình 1. Hình 1. Mô hình chi tiết robot hai bánh tự cân bằng. Mô hình hóa robot hai bánh tự cân bằng với các thông số danh định ta có mô hình hàm truyền danh định của hệ thống cân bằng robot như sau [11], [12]. 3 2 (s) 0.223 4. W(s) = U(s) 722 47.2 254s s s s       (6) Với cấu trúc điều khiển robot hai bánh như hình 2, bộ điều khiển được tổng hợp là bộ điều khiển bền vững RH [8]. Hình 2. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng. Sau khi tổng hợp ta thu được bộ điều khiển đủ bậc (bậc 30) như sau: c ( ) W ( ) ( ) H s s D s  (7) 7 30 4 29 28 27 26 4 25 5 24 6 23 8 22 9 21 9 20 10 19 11 18 12 17 2.23.10 4.67.10 0.266 22.96 1006 2.853.10 5.837.10 9.144.1 ( ) 0 1.139.10 1.158.10 9.776.10 6 .949.10 4.199.10 2.172.10 9 . s s s s s s s s H s s s s s s s                  12 16 13 15 14 14 14 13 14 12 15 11 15 10 15 9 15 8 15 7 15 6 15 5 15 4 663.10 3.71.10 1.231.10 3.53.10 8.74.10 1.862.10 3.398.10 5.276.10 6.903.10 7.511.10 6.676.10 4.721.10 2.55 6.10 s s s s s s s s s s s s s             14 3 14 2 139.953.10 2.482.10 2.977.10 0.00439s s s    14 30 10 29 7 28 4 27 3 26 25 24 23 22 4 21 5 20 6 19 7 18 7 17 4.971.10 2.032.10 2.663.10 1.221.10 9.72.10 0.3918 10.14 187.1 2612 2.862.10 2.523.10 1.82.10 1.088.10 5 ( ) .428.10 2.273. s s s s s s s s s s s s s s D s                    8 16 8 15 9 14 9 13 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 9 6 9 5 8 4 7 3 10 8.005.10 2.372.10 5.9.10 1.225.10 2.107.10 2.962.10 3.341.10 2.941.10 1.931.10 8.743.10 2.286.10 1.519.10 5.226. 10 s s s s s s s s s s s s s s              6 2 223.6.10 5.32. 1 0 s s   Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.” 80 Theo [8], [13], bộ điều khiển có bậc 30 dẫn tới nhiều bất lợi khi thực hiện bài toán điều khiển, vấn đề đặt ra là cần phải giảm bậc bộ điều khiển bậc 30. Bộ điều khiển bậc 30 là một mô hình tuyến tính không ổn định. Tác giả sẽ sử dụng bộ điều khiển bậc 30 như là đối tượng để đánh giá hiệu quả thuật toán giảm bậc đã được giới thiệu ở mục 2. Để thực hiện giảm bậc bộ điều khiển bậc 30 ta thực hiện như sau: - Chuyển (7) từ mô hình hàm truyền về mô hình trạng thái dạng (1) - Thực hiện thuật toán giảm bậc từ bước 1 đến bước 7 trong 2.2 Thực hiện thuật toán giảm bậc bộ điều khiển kết quả thu được như sau (để dễ dàng biểu diễn kết quả trong bài báo, tác giả chuyển kết quả giảm bậc từ dạng hệ phương trình trạng thái sang dạng mô hình hàm truyền): Bảng 1. Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao. Bậc ( )r sR 5 6 5 4 8 3 9 27 9 9 5 4 4 3 2 4.485.10 4.048.10 1.18810 .10 6.677.10 1.799 1.049 1866 0 .10 2009 1.776.1 .10690 1.083 s s s s s s s s s s            4 6 4 3 2 7 8 4 3 2 7 82.669.10 1.68.10 14.48.10 5.91.10 .10 2 .595 -111.9 -12.000 0.509 123 s s s s s s s s        3 6 83 7 2 7 3 2 4.485.10 1.6892.683.10 5.892.10.10 2000 0.28847.15 s s s s s s        2 26 8 2 7 2 4.485.10 1.688.102.686.10 2000 -34.41 s s s s     1 6 2 7 2 2.702.104.485 10 2 00 . 0 s s s   Ta sẽ gọi bộ điều khiển giảm bậc (bậc r ) là bộ điều khiển bậc r. 3.2. Mô phỏng kiểm chứng 3.2.1. So sánh, đánh giá các đặc tính của bộ điều khiển Để so sánh, đánh giá và xác định mô hình giảm bậc thích hợp, ta sử dụng đáp ứng bước nhảy và đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển giảm bậc, các đáp ứng này thể hiện trên hình 3. Qua các đặc tính mô phỏng ta thấy: Với đáp ứng quá độ: Đáp ứng của bộ điều khiển bậc 5, bậc 4, 3, 2, 1 gần như trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng quá độ của bộ điều khiển bậc 30. Với đáp ứng tần số: + Trong vùng tần số > 0.0175 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 5 trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Trong vùng tần số <0.0175 thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 5 sai lệch so với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. + Trong vùng tần số  > 7.14 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Trong vùng tần số < 7.145 thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 sai lệch so với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30, bậc của bộ điều khiển càng giảm thì mức độ sai lệch càng tăng. + Trong vùng tần số > 16.2 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 1 trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Trong vùng tần số < 16.2 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 1 sai lệch so với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 81 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 -3 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 10 6 Step Response Time (seconds) A m p li tu d e Bo dieu khien bac 30 Bo dieu khien bac 5 Bo dieu khien bac 4 Bo dieu khien bac 3 Bo dieu khien bac 2 Bo dieu khien bac 1 (a) Đáp ứng quá độ 50 100 150 200 250 M a g n it u d e ( d B ) 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s) Bo dieu khien bac 30 Bo dieu khien bac 5 Bo dieu khien bac 4 Bo dieu khien bac 3 Bo dieu khien bac 2 Bo dieu khien bac 1 (b) Đáp ứng tần số Hình 3. Đáp ứng quá độ - Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc. 3.2.2. So sánh đánh giá các bộ điều khiển khi điều khiển đối tượng Vì bộ điều khiển giảm bậc được sử dụng trong hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng, do đó, muốn xác định chính xác bộ điều khiển giảm bậc nào phù hợp nhất để Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.” 82 thay thế bộ điều khiển bậc 30, ta cần áp dụng bộ điều khiển giảm bậc vào hệ thống điều khiển xe hai bánh. Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5, bậc 2, bậc 1 ở bảng 1 để điều khiển robot hai bánh có mô hình đối tượng điều khiển như (3) với cấu trúc như hình 4 ta thu được kết quả mô phỏng như hình 5 với góc lệch ban đầu 1( )rad  . Hình 4. Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Time (sec) R a d ia n Dap ung goc nghieng cua robot hai banh tu can bang Bo dieu khien bac 30 Bo dieu khien bac 5 Bo dieu khien bac 2 Bo dieu khien bac 1 Hình 5. Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng. Đáp ứng của hệ thống điều khiển cân bằng robot hai bánh (gọi tắt là hệ thống điều khiển) sử dụng bộ điều khiển bậc 30 và đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 5 là hoàn toàn trùng khớp. Chất lượng đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 30 và bộ điều khiển bậc 5 là: Biên độ dao động cực đại lần 1: - 0,00653 radian; Biên độ dao động cực đại lần 2: + 0,00175 radian; Số lần dao động: 2 lần; Thời gian quá độ: 2 s; Sai lệch tĩnh: 0%. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 83 Chất lượng đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 2 là: Biên độ dao động cực đại lần 1: - 0,0059 radian; Biên độ dao động cực đại lần 2: + 0,001 radian; Số lần dao động: 2 lần; Thời gian quá độ: 1,2 s; Sai lệch tĩnh: 0%. Hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 1 không có khả năng cân bằng ổn định robot hai bánh. Từ các kết quả ở trên, ta thấy: - Bộ điều khiển bậc bậc 5, 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30. Bộ điều khiển bậc 1 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30. - Nếu ưu tiên yêu cầu bậc bộ điều khiển nhỏ nhất có thể thì ta có thể sử dụng bộ điều khiển bậc 2 thay thế bộ điều khiển bậc 30. Nếu ưu tiên sai lệch đáp ứng bước nhảy, sai lệch đáp ứng tần số, sai lệch chất lượng điều khiển nhỏ nhất có thể thì ta có thể sử dụng bộ điều khiển bậc 5 thay thế bộ điều khiển bậc 30. So sánh kết quả giảm bậc bộ điều khiển theo thuật toán chặt cân bằng của Zhou với phương pháp phương pháp chặt cân bằng của Zilochian [11]. Thực hiện giảm bậc bộ điều khiển bậc 30 theo thuật toán chặt cân bằng của Zilochian [11], ta thu được bộ điều khiển bậc 2 như sau: 2 6 2 22 6 52.621.104.485.10 6.7 W ( ) 0.1359 +0.003364 77.10s s s s s      (8) Hình 6. Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Time (sec) R a d ia n Dap ung goc nghieng cua robot hai banh tu can bang Bo dieu khien bac 2 theo thuan toan Zilochian Bo dieu khien bac 2 theo thuan toan Zhou Hình 7. Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng. Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.” 84 Thực hiện mô phỏng hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 2 theo hai phương pháp giảm bậc theo hình 6, tác giả thu được kết quả đáp ứng góc nghiêng của robot hai bánh tự cân bằng như hình 7. Chất lượng đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng của Zilochian là: Số lần dao động: >25 lần; Góc nghiêng của robot không trở về 0 (tồn tại sai lệch tĩnh) – robot không có khả năng cân bằng ổn định. Từ kết quả trên ta thấy, sử dụng bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng của Zhou có thể điều khiển cân bằng ổn định robot; Bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng của Zilochian không thể điều khiển cân bằng ổn định robot. Như vậy, thuật toán chặt cân bằng của Zhou có khả năng giảm bậc tốt hơn (bộ điều khiển bậc thấp hơn) so với thuật toán chặt cân bằng của Zilochian trong bài toán giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc 30. 4. KẾT LUẬN Bài báo đã giới thiệu thuật toán giảm bậc cân bằng của Zhou cho hệ không ổn định trên cơ sở thuật toán chặt cân bằng. Kết quả áp dụng thuật toán chặt cân bằng của Zhou vào bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30 của hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng cho thấy ta có thể sử dụng bộ điều khiển bậc 2 thay thế bộ điều khiển bậc 30 nếu mong muốn bộ điều khiển bậc nhỏ nhất và chấp nhận sai lệch giảm bậc và sai lệch điều khiển, nếu mong muốn sai lệch giảm bậc và sai lệch điều khiển nhỏ nhất ta có thể sử dụng bộ điều khiển bậc 5 thay thế bộ điều khiển bậc 30. Đồng thời trong bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30, thuật toán chặt cân bằng của Zhou cho kết quả giảm bậc tốt hơn (bậc bộ điều khiển thấp hơn) so với phương pháp chặt cân bằng của Zilochian. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Moore B. C. (1981), “Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction”, IEEE Trans. Auto. Contr., AC-26, pp 17 – 32. [2]. Desai U. B., Pal D. (1984), “A Transformation Approach to Stochastic Model Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 29, No. 12, pp. 1097. [3]. Green M. (1988), “A Relative Error Bound for Balanced Stochastic Truncation”, IEEE Trans. Auto. Contr., Vol. 33, No. 10, pp. 961 – 965. [4]. Antoulas A. C., Sorensen D. C., Gugercin S. (2001), “A Survey of Model Reduction Methods for Large-scale Systems”, Structured Matrices in Mathematics, Computer Science, and Engineering, AMS 2001, pp. 193 – 219. [5]. Thanh Bui Trung , Parnichkun Manukid (2008), “Balancing control of Bycirobo by PSO-based structure-specified mixed H2/H∞ control”, International Journal of Advanced Robotic Systems, Vol. 5(4), pp. 395 – 402. [6]. Thanh Bui Trung, Parnichkun Manukid, Hieu Le Chi (2009), “Structure-specified H∞ loop shaping control for balancing of bicycle robots: A particle swarm optimization approach”, Journal of Systems and Control Engineering, Vol. 224, No. 7, pp. 857 – 867. [7]. Nguyễn Hữu Công, Vũ Ngọc Kiên, Đỗ Trung Hải, Bùi Mạnh Cường (2015), “Ứng dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán điều khiển robot hai bánh”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 132, số 2, tr. 95 – 103. [8]. Nguyễn Hưu Công (2016) “Một phương pháp giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc cao”, Tạp chí NC KH Công nghệ quân sự, số 42, 04-2016, tr. 95-102. [9]. Jonckheere E. A., Silverman L. M. (1983), “A New Set of Invariants for Linear System – Application to Reduced Order Compensator Design”, IEEE Transactions on Automatic Control, AC- 28, No. 10, pp. 953 – 964. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 85 [10]. Zhou K., Salomon G., Wu E. (1999), “Balanced realization and model reduction method for unstable systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol. 9, No. 3, pp. 183 – 198. [11]. Vũ Ngọc Kiên (2015), “Nghiên cứu thuật toán giảm bậc mô hình và ứng dụng cho bài toán điều khiển”, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên. [12]. Cong Huu Nguyen, Kien Ngoc Vu, Hai Trung Do (2015), “Model reduction based on triangle realization with pole retention”, Applied Mathematical Sciences, Vol. 9, 2015, No. 44, pp. 2187-2196. [13]. Nguyễn Doãn Phước (2009), “Lý thuyết điều khiển nâng cao”, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. ABSTRACT A REDUCTION METHOD FOR UNSTABLE SYSTEM BASED ON BALANCED TRUNCATION ALGORITHM In this paper, the author has introduced balanced reduce order algorithm of Zhou for unstable systems. Applying balanced reduce order algorithm of Zhou to reducing 30th-oder robust controller of the two-wheel robot control system shows that the smallest order controller which can replace the 30th-oder robust controller is the 2nd-order controller. The simulation results show the correctness and applicability of balanced reduce order algorithm of Zhou in reduce order ustable system problem in general and the reduce order of the high-order robust controller in particular. Keywords: Balanced reduce, Unstable system, Controller. Nhận bài ngày 20 tháng 7 năm 2017 Hoàn thiện ngày 11 tháng 8 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 18 tháng 8 năm 2017 Địa chỉ: 1 Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên *Email : dotrunghai@tnut.edu.vn