Một phương án giới thiệu về số tự nhiên trong giảng dạy số học - Nguyễn Thị Châu Giang

HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1075.2017-0148 Educational Sci., 2017, Vol. 62, Iss. 9, pp. 27-33 This paper is available online at MỘT PHƯƠNG ÁN GIỚI THIỆU VỀ SỐ TỰ NHIÊN TRONG GIẢNG DẠY SỐ HỌC 1Nguyễn Thị Châu Giang, 1Nguyễn Thị Phương Nhung, 2Nguyễn Thành Quang 1Khoa Giáo dục, Trường Đại học Vinh 2Trung tâm Nghiên cứu - Khởi nghiệp sáng tạo, Trường Đại học Vinh Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi chỉ rõ tính cần thiết của phần nội dung về số tự nhiên trong giảng dạy học phần Số học và đề xuất một phương án trình bày trong việc xây dựng số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp. Ngoài ra, chúng tôi còn tìm được một số ứng dụng cụ thể của nguyên lí sắp thứ tự tốt trên tập hợp các số tự nhiên trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. Từ khóa: Tập hợp, bản số, số tự nhiên, tiên đề quy nạp, tính sắp thứ tự tốt. 1. Mở đầu Các nhà triết học Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một thực thể trừu tượng.Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các định đề Peano (1858 – 1932) đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một phép xây dựng khác của số tự nhiên bằng phương pháp bản số cho thấy rằng, với những thành tựu của lí thuyết tập hợp đã có, các mô hình toán học của tập hợp các số tự nhiên là tồn tại [1-3]. Tuy nhiên, nhà toán học Vygotsky [4] lại cho rằng: Khái niệm số tự nhiên là khái niệm đơn giản nhất. Khái niệm đó chỉ có thể giải thích bằng cách đưa ra các vật cụ thể. Mọi việc hình thức hoá số tự nhiên đều vô nghĩa. Euclide (thế kỷ thứ III trước công nguyên) đã định nghĩa số tự nhiên là “tập hợp được tạo thành từ các đơn vị”. Cách định nghĩa ấy có thể thấy ngay cả trong nhiều cuốn sách giáo khoa hiện nay, nhưng từ “tập hợp” cũng không dễ hiểu hơn từ “số” chút nào. Cùng với tiến trình chung của lịch sử, con người đã sáng tạo, phát triển và sử dụng số tự nhiên như là một công cụ thiết yếu và quen thuộc. Đồng quan điểm với Vygosky là những ý kiến chỉ ra những khó khăn về kiến thức chuẩn bị đối với người học. Đó là, họ cần đến những kiến thức chuẩn bị tối thiểu nhưng khá trừu tượng về tập hợp, ánh xạ và bản số [5-7]. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy về nội dung lí thuyết số tự nhiên trong học phần Số học, chúng tôi gặp phải một số câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên xuất phát từ cả trong lí luận và thực tiễn, cần quan tâm và còn có nhiều tranh luận sau đây [8, 9]: 1) Tính cần thiết của nội dung về xây dựng số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp? Ngày nhận bài: 15/4/2017. Ngày nhận đăng: 2/7/2017 Liên hệ: Nguyễn Thị Châu Giang, e-mail: chaugiangdhv@yahoo.com.vn 27 Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung và Nguyễn Thành Quang 2) Mức độ tiếp cận, nội dung và phương pháp trình bày về số tự nhiên để có thể phù hợp với khả năng tiếp nhận và lợi ích của người học? Bằng sự phân tích lí luận, kết hợp với kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy toán ở trường đại học sư phạm, mục tiêu của chúng tôi trong bài báo này là đưa ra những lí giải cũng như xây dựng các biện pháp thực hiện cần thiết để trả lời các câu hỏi trên. Ngoài ra, chúng tôi còn đi sâu khai thác tìm được một số ứng dụng cụ thể của tính chất sắp thứ tự tốt trên tập hợp các số tự nhiên trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Sự cần thiết phải trang bị cho người học lí thuyết về số tự nhiên Lí thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học. Những hiểu biết về số tự nhiên là cần thiết cho cuộc sống và mọi ngành toán học. Kronecker (xem [3]) đã viết: Thượng đế đã sáng tạo ra số tự nhiên và phần còn lại là công việc của chúng ta. Những khái niệm đầu tiên về số tự nhiên đã có từ thời rất cổ xưa, phát sinh từ sự đếm. Các nhà toán học Pythagore và Archimedean là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống về các con số như là một thực thể trừu tượng. Cùng thời kì đó, một số nơi như ấn Độ, Trung Quốc và Trung Mỹ cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự. Đến thế kỉ XIX, một định nghĩa về số tự nhiên đã xuất hiện. Với kiểu định nghĩa như vậy, việc gộp cả số 0 (ứng với tập hợp rỗng) vào tập hợp các số tự nhiên đã trở nên thuận tiện hơn trong giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học [1, 10]. Một trong những quan điểm xây dựng chương trình và sách giáo khoa môn Toán ở các nước là tiếp cận và thích ứng với xu hướng hiện đại hoá giáo dục toán học. Các kiến thức toán học dù ở bậc học nào cũng cần phải được trình bày dưới ánh sáng của những quan điểm, tư tưởng của lịch sử toán học và toán học hiện đại [9]. Vì vậy, chúng tôi đồng thuận cao với nhóm các ý kiến cho rằng: Việc trình bày nội dung số tự nhiên bằng lí thuyết toán học là cần thiết, có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng thực tiễn trong giảng dạy và học tập học phần Số học thuộc các chương trình đào tạo ngành sư phạm toán học và ngành giáo dục tiểu học ở các trường sư phạm. Với nhiều mục đích, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo nhiều hướng ứng dụng, góp phần đánh giá sự tiến bộ của con người trong việc trừu tượng hóa con số: Số thứ tự được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một dãy sắp thứ tự; bản số dùng để xác định kích thước (số phần tử) của một tập hợp hữu hạn; chính xác hoá được các khái niệm hữu hạn và vô hạn. Hơn nữa, những kiến thức đơn giản về số tự nhiên đối với sinh viên đã quá quen thuộc một cách quán tính, nay lại được bổ sung đầy đủ một cách khái quát và chính xác hoá bằng ngôn ngữ toán học hiện đại. Thông qua nội dung giảng dạy về số tự nhiên, trang bị được cho người học mối liên hệ giữa phương pháp chứng minh bằng quy nạp toán học với tiên đề hoá tập hợp các số tự nhiên. Từ đó, giảng viên tạo ra được nhu cầu, kích thích lòng say mê và tính tích cực trong học tập, góp phần bồi dưỡng tư duy biện chứng cho người học trong việc tiếp thu một khái niệm số học cụ thể bằng cả hai con đường từ tư duy trừu tượng đến cụ thể trực quan, sinh động và ngược lại theo hướng khai thác vẻ đẹp của toán học [6, 9]. Về việc tránh những khó khăn trong khi trình bày, giảng viên chỉ sử dụng các kết quả của lí thuyết tập hợp mà người học đã được trang bị trong các học phần tiên quyết trước đó là Đại số tuyến tính và Đại số đại cương. Mục tiêu đặt ra khi trình bày số tự nhiên là không đi sâu vào lí thuyết tập hợp mà chỉ sử dụng kết quả thật cần thiết của lí thuyết toán học này như những công cụ đủ để xây dựng tập hợp các số tự nhiên. Qua thực tiễn thấy rằng, trước khi được trang bị về lí thuyết về số tự nhiên, những câu hỏi kiểu: 1+1=2, a+b=b+a là định nghĩa hay định lí toán học, đã được đặt ra với nhiều sinh viên của 28 Một phương án giới thiệu về số tự nhiên trong giảng dạy số học chúng tôi và câu trả lời của họ thường không giống nhau, hoặc không cho kết quả dứt khoát. Khi người học đã nắm được các phương pháp xây dựng số tự nhiên (phương pháp tiên đề hoá và phương pháp bản số) với những khái niệm về số tự nhiên được xây dựng đầy đủ, hệ thống thì các kết quả và tính chất của số tự nhiên được chứng minh một cách lôgic, chặt chẽ. Ngoài ra, người học còn nắm được tiên đề quy nạp, cơ sở lôgic của phép chứng minh quy nạp toán học; biết ứng dụng tính chất sắp thứ tự tốt của tập hợp các số tự nhiên trong nhiều lĩnh vực toán học (Đại số tuyến tính, Đại số đại cương, Số học, Hình học, Giải tích, Xác suất thống kê,. . . ) mà người dạy và người học nhiều khi không quan tâm thật đầy đủ. 2.2. Nhận xét về phương pháp và nội dung trình bày truyền thống về số tự nhiên Trong giảng dạy học phần Số học ở Trường Đại học Vinh và nhiều trường sư phạm khác ở nước ta, nhìn chung đều có một chương đầu tiên là chương về số tự nhiên. Giáo trình tham khảo bằng tiếng Việt, chúng tôi thấy chủ yếu là cuốn Giáo trình Số học của tác giả Lại Đức Thịnh [10] và một số tài liệu của các trường đại học khác. Nội dung trình bày theo phương pháp truyền thống bao gồm: 1. Định nghĩa bản số và một số tính chất cần thiết của bản số (có chứng minh ở [10]). 2. Giới thiệu và công nhận Định lí Cantor – Berstein như là một thành tựu cơ bản của lí thuyết tập hợp để xây dựng quan hệ thứ tự ≥ giữa các bản số. 3. Định nghĩa tập hợp hữu hạn và tính chất của tập hữu hạn (có chứng minh ở [10]). 4. Định nghĩa số tự nhiên là bản số của tập hợp hữu hạn. 5. Giới thiệu và công nhận định lí về sự tồn tại cận trên và cận dưới của một tập khác rỗng các bản số và dùng định lí này để chứng minh nguyên lí sắp thứ tự tốt của tập hợp các số tự nhiên: Tập hợp N các số tự nhiên với quan hệ thứ tự ≥ là một tập sắp thứ tự tốt, nghĩa là mọi tập con khác rỗng của N đều có số nhỏ nhất. 6. Giới thiệu định lí về tiên đề quy nạp: Mọi bộ phận M của tập hợp tất cả các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất: A) 0 /∈ M; B) x /∈ M kéo theo x’ /∈ M, đều trùng với N, trong đó x’ là số tự nhiên kề sau của x. 7. Định nghĩa khái niệm số tự nhiên kề sau dựa vào công cụ bản số, không sử dụng phép cộng các số tự nhiên. Cách trình bày trên có ưu điểm nổi bật là tác giả đã triệt để sử dụng các khái niệm và kết quả của bản số tập hợp để xây dựng số tự nhiên một cách trọn vẹn, kể cả tiên đề quy nạp trên số tự nhiên cũng được chứng minh đầy đủ như là một tính chất của một loại bản số đặc biệt (bản số hữu hạn). Tuy nhiên, nếu giảng dạy theo cách trình bày ở [10], thì gặp những khó khăn cụ thể sau đây: - Khi chứng minh tính chất sắp thứ tự tốt của tập hợp số tự nhiên rất khó làm sáng tỏ, bởi vì những kiến thức của cận trên đúng và cận dưới đúng của tập các bản số được sử dụng ở đây là khá trừu tượng và ít quen thuộc với người học. - Việc sử dụng tính chất sắp thứ tự tốt của để chứng minh tiên đề quy nạp như một định lí, dễ gây hiểu nhầm cho người học nếu giảng viên không giải thích tốt và lôgic toán của sinh viên chưa thật vững vàng. ở đây, chúng tôi thường gặp những câu hỏi hoặc thắc mắc từ phía đồng nghiệp và người học: Một tiên đề toán học là một đề xuất được coi như luôn đúng mà không thể và không cần chứng minh; tiên đề là điều kiện cần thiết để xây dựng bất cứ lí thuyết nào; tiên đề thuộc nhóm những yếu tố đầu tiên; chúng ta đã thừa nhận quá nhiều tính chất của bản số, do vậy việc chứng 29 Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung và Nguyễn Thành Quang minh thêm tiên đề quy nạp liệu có cần thiết không, mà thực chất theo cách trình bày này thì tiên đề quy nạp cũng chỉ là một tính chất của bản số. - Định nghĩa số tự nhiên kề sau thông qua bản số đã tạo nên sự trừu tượng không đáng có. - Không giới thiệu định lí đặc trưng của tập hữu hạn, một tính chất rất cơ bản của tập hữu hạn để phân biệt với tập vô hạn: Tập hợp A là hữu hạn khi và chỉ khi |A| 6= |A| + 1. Tập hợp A là vô hạn khi và chỉ khi |A| = |A| + 1, trong đó |A| là bản số của tập hợp A. - Không giới thiệu tính chia hết và định lí về phép chia có dư trên tập hợp các số tự nhiên: Với các số tự nhiên a, b với b 6= 0, tồn tại duy nhất các số tự nhiên q, r sao cho a = bq + r, r <b. 2.3. Đề xuất một cách trình bày khác về xây dựng số tự nhiên 1. Định nghĩa bản số; giới thiệu Định lí Cantor – Berntein (không chứng minh, có ví dụ minh hoạ). Không giới thiệu định lí về tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập khác rỗng các bản số theo phương pháp ở trong [10]. 2. Định nghĩa quan hệ thứ tự ≥ giữa các bản số và đưa ra một số tính chất của quan hệ này (thừa nhận, không chứng minh, lấy ví dụ minh hoạ). Chú ý tính chất sau đây được dùng khi xét quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên, mà thực chất là định nghĩa quan hệ thứ tự thông qua phép cộng: Cho a, b là các bản số. Khi đó a ≥ b , khi và chỉ khi tồn tại một bản số c sao cho a=b+c. 3. Định nghĩa phép cộng và phép nhân bản số. Nêu một số tính chất cần thiết của phép cộng và nhân bản số (lấy ví dụ minh hoạ). Đặc biệt, nhấn mạnh đến tính chất sau: Với mọi bản số a và b, ta có a+1=b+1 khi và chỉ khi a=b. 4. Định nghĩa tập hợp hữu hạn, bản số hữu hạn; nêu ví dụ minh hoạ; nêu đầy đủ các tính chất cần thiết của tập hữu hạn và bản số hữu hạn trước khi định nghĩa số tự nhiên. Chú ý đến những tính chất sau: Hợp và tích của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn. Định lí đặc trưng của tập hữu hạn. Phép cộng các bản số hữu hạn thoả mãn luật giản ước, trong khi đó phép cộng các bản số vô hạn không có tính chất đó. 5. Định nghĩa số tự nhiên thông qua bản số của tập hữu hạn (lấy ví dụ các số 0, 1 là các số tự nhiên). Giới thiệu tập hợp các số tự nhiên N. 6. Giới thiệu tiên đề quy nạp (không chứng minh) và phép chứng minh quy nạp toán học; chọn bài toán Tháp Hà Nội làm ví dụ minh hoạ cho phép chứng minh quy nạp toán học. 7. Phát biểu tính chất sắp thứ tự tốt của tập hợp các số tự nhiên N; dùng tiên đề quy nạp chứng minh tính sắp thứ tự tốt của tập hợp N. Từ tính chất sắp thứ tự tốt của N suy ra tính chất: Mọi tập con khác rỗng và bị chặn trên của N đều có số lớn nhất. 8. Giới thiệu hệ tiên đề Peano xác định tập hợp các số tự nhiên. 9. Giới thiệu và chứng minh định lí về phép chia có dư trên tập hợp các số tự nhiên (trong phép chứng minh sử dụng tính chất mọi tập con khác rỗng và bị chặn trên của N đều có số lớn nhất). 2.4. Nguyên lí sắp thứ tự tốt của tập hợp các số tự nhiên bfN và các ứng dụng Bằng cách sử dụng tiên đề quy nạp, chúng tôi đề xuất một phép chứng minh nguyên lí sắp thứ tự tốt của quan hệ thứ tự ≥ trên N như sau: Giả sử A là một tập con khác rỗng của N, ta xét tập M= {n/∈N|n≤x, x/∈A}. Ta có 0/∈M. Vì A là tập con khác rỗng của N cho nên tồn tại một số tự nhiên a/∈A. Vì a+1>a nên a+1/∈M, do đó M 6=N. Từ tiên đề quy nạp, suy ra tồn tại một số tự nhiên m/∈M sao cho m+1/∈M. Ta chứng minh m là số nhỏ nhất của A. Thật vậy, do m/∈M nên m≤x, 30 Một phương án giới thiệu về số tự nhiên trong giảng dạy số học x/∈A. Ngoài ra, nếu m/∈A thì m<x, x/∈A, do đó m+1≤x, x/∈A hay m+1/∈M và ta gặp phải một mâu thuẫn. Tính chất sắp thứ tự tốt của N được sử dụng trong nhiều chứng minh và xây dựng khái niệm toán học thuộc các lĩnh vực Đại số, Số học, Giải tích, Hình học, Xác suất và Thống kê với kỹ thuật chọn số nguyên dương nhỏ nhất trong một tập con khác rỗng các số tự nhiên khác không nào đó (xem [11, 12]). Sau đây, chúng tôi chỉ ra vài ứng dụng của tính chất này thông qua một số ví dụ cụ thể, mà nhiều khi trong khi giảng dạy chúng ta thường bỏ qua và không chỉ rõ ra cho người học. Ví dụ 1 (ứng dụng trong Đại số đại cương). Chứng minh rằng, mọi nhóm con của nhóm cộng mN các số nguyên đều có dạng m, với là số tự nhiên. Giả sử M là một nhóm con tuỳ ý của N. Nếu M={0} thì M={0}=0N, (m=0). Nếu M 6={0} thì trong M sẽ có một số nguyên a khác 0 nào đó. Do M là một nhóm con của N nên trong M sẽ chứa các số nguyên ±a hay M có chứa số nguyên dương. Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất của M. Chú ý rằng, số m như vậy sẽ tồn tại do tính chất sắp thứ tự tốt của N. Ta sẽ chứng minh được rằng M=mN={mq|q/∈N}. Ví dụ 2 (ứng dụng trong Số học [13]). Cho a là số nguyên và m>1 là số tự nhiên sao cho a và m nguyên tố cùng nhau. ≡1(modm) , trong đó ϕ là hàm số Euler. Ta định nghĩa cấp của số nguyên a theo modm là số nguyên dương nhỏ nhất k sao cho ak ≡1(modm). Chú ý rằng, ngoài việc sử dụng định lí Euler để xây dựng khái niệm cấp của một số nguyên, người ta còn phải sử dụng tính chất sắp thứ tự tốt của N. Tương tự, tính chất này của còn được ứng dụng để xây dựng các khái niệm: Cấp của phần tử của nhóm (Lí thuyết nhóm), đặc số của vành (Lí thuyết vành), đặc số của trường (Lí thuyết trường), chiều của môđun (Lí thuyết môđun),. . . Ví dụ 3 (ứng dụng trong Số học bậc tiểu học [12]). Chứng minh rằng, trong bảy số hạng phân biệt có tổng bằng 100, chúng ta luôn tìm được ba số hạng có tổng không bé hơn 50. Thật vậy, giả sử có: a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=100 Sử dụng tính chất sắp thứ tự tốt của N chúng ta có thể giả thiết rằng: a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7 Nếu a4≥15 thì a5≥16, a6≥17, a7≥18. Do đó, ta có: a1+a2+a3≥18+17+16=51>50 Nếu a4≤14 thì a5≤13, a6≤12. Do đó, ta có: a4+a5+a6+a7 ≤14+13+12+11=50 Từ đó suy ra: a1+a2+a3=100-(a4+a5+a6+a7)≥50 Ví dụ 4 (ứng dụng trong Đại số tuyến tính [14]). Trong không gian vectơ thực V, cho một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính α1,...αn. Khi đó, tồn tại các số thực λ1,...λn không đồng thời bằng 0 sao cho có một tổ hợp tuyến tính triệt tiêu: λ1α1+...+λnαn=θ Gọi q là số nguyên dương bé nhất sao cho λpαp+...+λqαq=θ, λj 6=0, j=p,...q trong đó αp,...αq ∈ {α1,...αn}, λj ∈{λ1,...λn} j=p,...q. Số q như vậy là tồn tại nhờ tính chất sắp thứ tự tốt của N . Kĩ thuật chọn số tự nhiên q(1≤p≤q≤n) kiểu như vậy được sử dụng nhiều 31 Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung và Nguyễn Thành Quang trong các chứng minh thuộc Đại số tuyến tính, Hình học đại số và Giải tích hàm. Với kỹ thuật trên, chúng tôi đã thành công trong chứng minh một số kết quả toán học trong lĩnh vực nghiên cứu chuyên ngành Đại số và Lí thuyết số [15]. 3. Kết luận Qua nội dung nghiên cứu, chúng tôi thu được những kết quả cụ thể sau: - Trong chương trình đào tạo ngành sư phạm toán, nội dung xây dựng số tự nhiên thuộc học phần Số học là thật sự có ích cho người học. Những kiến thức này rất cần thiết trang bị đầy đủ cho những người thầy giáo tương lai sẽ dạy toán ở các bậc học từ tiểu học đến trung học phổ thông. - Khái niệm số tự nhiên được xây dựng dựa trên cơ sở lí thuyết tập hợp, phù hợp với cách tiếp cận hiện đại của toán học, trong đó nhiều tính chất quen thuộc của số tự nhiên được chứng minh chặt chẽ và lôgic, giúp người học nắm được bản chất và có thể ứng dụng trong những lĩnh vực khác. - Phương pháp giới thiệu về số tự nhiên đã đưa ra như trên góp phần tạo thuận lợi cho giảng viên trong việc trình bày và gây hứng khởi cho sinh viên trong việc tiếp thu về số tự nhiên. - Tính chất sắp thứ tự tốt của tập hợp các số tự nhiên là một công cụ rất hiệu quả trong việc xây dựng các khái niệm và tìm tòi các kết quả sâu sắc trong nhiều lĩnh vực của toán học. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G.N. Becman, 2003. Số và khoa học về số (bản dịch tiếng Việt). Nxb Giáo dục. Hà Nội. [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, 2003. Số học thuật toán. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] M. B. Nathanson, 2000. Elementary Methods in Number Theory. Springer. [4] M. IA. Vygotsky, 1977. Sổ tay toán học sơ cấp. Nxb Tiến bộ, Moscow (Bản dịch tiếng Việt). [5] S. G. Telang, 2001. Number Theory. McGraw-Hill. [6] A. Posamentier, 2003. Vẻ đẹp Toán học – Những bài toán gợi mở tư duy. Nxb Dân Trí (Bản dịch tiếng Việt). [7] Nguyễn Thị Phương Nhung, Nguyễn Văn Thà, 2013. Hình thành mối liên hệ giữa nội dung dạy học toán ở trường phổ thông với nội dung số học ở trường tiểu học cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học. Tạp chí Giáo dục, Số 09, tr. 141-142 [8] Nguyễn Văn Giám, 2006. Một số vấn đề về giảng dạy bộ môn Số học trong thời đại công nghệ thông tin. Tạp chí Giáo dục, Số 147, tr. 25 -28. [9] Hoàng Tụy, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Văn Thành, Hoàng Chúng, 1962. Một số vấn đề triết học về cơ sở của Toán học. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [10] Lại Đức Thịnh, 1977. Giáo trình số học. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [11] Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tồn, 2007. Sự tương tự hoá giữa số nguyên và đa thức trong nghiên cứu và giảng dạy số học. Tạp chí Giáo dục, Số 11, tr. 70 -72. [12] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Viết Dũng, 2009. Một số vấn đề về giảng dạy toán học trong hệ thống đào tạo tín chỉ. Tạp chí Giáo dục, Số 8, tr.14-16. [13] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Văn Thà, Phạm Mạnh Quyết, 2014. Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào giải một số bài toán tổ hợp. Tạp chí Giáo dục, Số 04, tr. 162-164 [14] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Văn Thà, Phan Anh Tuyến, 2015. Khai thác vẻ đẹp của bất đẳng thức trong giảng dạy toán học. Tạp chí Giáo dục, Số 5, tr. 175-177. [15] Nguyen Thanh Quang, 1998. p-adic hyperbolicity of the complement of hyperplanes in Pn(Cp). Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 23, No.1, pp. 143-149. 32 Một phương án giới thiệu về số tự nhiên trong giảng dạy số học ABSTRACT An introduction method of natural numbers in the teaching on arithmetic 1Nguyen Thi Chau Giang, 1Nguyễn Thị Phương Nhung, 2Nguyen Thanh Quang 1Faculty of Education, Vinh University 2Center for Research – Entrpreneurship Innovation, Vinh University In this paper, we indicate the necessity of the section on natural numbers in teaching the course of Arithmetic and propose a plan of presentation in constructing natural numbers by the set theory. In addition, we also find out some specific applications of the well-ordering principle of the set of natural numbers in teaching and studying mathematics. Keywords: Set, Cardinal number, Natural number, Well-ordering property, Inductive axiom. 33