Một nghiên cứu về đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học trong không gian của học sinh Lớp 11 - Nguyễn Ái Quốc

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 32 (57) - Thaùng 9/2017 34 Một nghiên cứu về đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học trong không gian của học sinh lớp 11 A research on the reading of drawings of Geometric objects in space of class 11 students TS. Nguyễn Ái Quốc, Trường Đại học Sài Gòn Nguyen Ai Quoc, Ph.D., Saigon University Tóm tắt Bài báo này trình bày vấn đề hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian và các kết quả của một thực nghiệm trên việc đọc hình vẽ biểu diễn của B. Parzysz (1989). Từ các kết quả này, chúng tôi rút ra giả thuyết nghiên cứu về các diễn giải có thể mà học sinh có thể thực hiện khi đọc một hình vẽ biểu diễn và hình thành một số phỏng đoán trên các quy tắc diễn giải khác. Sau cùng tiến hành một thực nghiệm để hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu và các phỏng đoán này. Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, diễn giải, kiểu biểu diễn, quy tắc diễn giải. Abstract This paper presents the problematics of the drawing of the geometrical objects in space and the results of an experiment on the reading of the drawing by B. Parzysz (1989). Based on these results, we will develop a hypothesis on the possible interpretations that students can use when reading a drawing and we will speculate on other rules of interpretation. Finally, we carry out an experiment to validate this hypothesis and these conjectures. Keywords: drawing, interpretation, type of representation, rules of interpretation. 1. Đặt vấn đề Ngay từ lớp 8 bậc trung học cơ sở, học sinh bắt đầu tiếp cận hình học không gian qua việc nghiên cứu một số khối đa diện như hình lăng trụ đứng và hình chóp đều. Việc nghiên cứu này chỉ thực hiện ở mức độ mô tả và không nghiên cứu các quan hệ song song và vuông góc của các đối tượng cơ bản trong hình học không gian như điểm, đường thẳng và mặt phẳng. 1.1. Hình biểu diễn Hình học không gian tiếp tục được nghiên cứu ở Hình học 11 và việc sử dụng hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian được yêu cầu thông qua phép chiếu song song: “Để nghiên cứu hình học không gian, người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian.” [5, tr. 45] Biểu diễn một đối tượng hình học bằng hình vẽ biểu diễn thường dẫn đến mất một số thông tin bởi vì nhiều tính chất của đối tượng hình học có thể không được diễn dịch bằng một số mối quan hệ không gian NGUYỄN ÁI QUỐC 35 trên trang giấy tập trừ khi sử dụng các mã vẽ hình và các quy ước biểu diễn. Tương tự, các tính chất không gian của hình vẽ biểu diễn không thể luôn luôn thể hiện đầy đủ các tính chất hình học cần thiết cho bài toán và thậm chí trong một số trường hợp có thể không thỏa đáng bởi vì hình vẽ biểu diễn chỉ là sự thuyết minh vật chất của một đối tượng hình học. 1.2. Miền hoạt động – miền diễn giải Hình vẽ biểu diễn có thể được xem như mô hình của một đối tượng hình học. Chúng ta có thể gắn liền với mô hình này một miền hoạt động là tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ biểu diễn và một miền diễn giải là tập hợp các tính chất không gian của hình vẽ biểu diễn không thể diễn giải được liên quan đến các tính chất của đối tượng. Sự biểu diễn các đối tượng hình học không gian, của không gian 3 chiều, bởi các hình vẽ biểu diễn trên một trang giấy tập, không gian 2 chiều, được thực hiện bởi một hay nhiều phép chiếu. Thực tế, trong trường hợp chỉ có một phép chiếu duy nhất, chắc chắn có sự mất thông tin. Do đó cần phải sử dụng một số mã cho việc đọc và viết các biểu diễn này, như Bkouche [1, tr.16] đã nhấn mạnh: “Do đó một tình huống không gian xuất hiện thông qua một biểu diễn biến đổi nó thành một hình phẳng, điều này đòi hỏi giải thích của một mã, mã viết và mã đọc Trong các điều kiện này, sự hiểu biết tình huống không gian thông qua trung gian của biểu diễn mặt phẳng không còn phụ thuộc vào tính rõ ràng như trường hợp của hình học phẳng, người ta không còn có thể suy luận trên một hình khác với thực tế mà nó được cho là đại diện, do đó đòi hỏi sự phát triển các phương pháp suy luận phức tạp hơn”. 1.3. Phép chiếu song song Do đó, trong dạy học hình học không gian, vấn đề hình vẽ biểu diễn được gắn liền với sự lựa chọn kiểu biểu diễn các đối tượng của hình học không gian: “Thông thường muốn biểu diễn một hình không gian nào đó, người ta chiếu hình đó lên một mặt phẳng chiếu bằng phép chiếu xuyên tâm hay phép chiếu song song. Đặc biệt cũng có khi người ta dùng phép chiếu vuông góc (là phép chiếu song song đặc biệt)Ở trường THPT, chương trình chỉ hạn chế dùng hình biểu diễn qua phép chiếu song song.” [5, tr. 76] Như vậy, trong Hình học 11 ở Việt Nam, kiểu biểu diễn được lựa chọn là phép chiếu song song. Trong các phép biểu diễn phẳng khác nhau của một đối tượng hình học trong không gian, phép chiếu song song là phép chiếu cho phép bảo toàn nhiều nhất các tính chất hình học như song song, trung điểm, tỉ số độ dài của các đoạn thẳng song song, mang lại cho đối tượng biểu diễn hình ảnh gần nhất với đối tượng được biểu diễn. Hơn nữa, khi sử dụng kiểu biểu diễn phép chiếu song song, đòi hỏi một số quy tắc, quy ước và kiểu biểu diễn các đối tượng hình học không gian trên trang giấy tập mà gọi chung là các mã để giúp cho việc viết và đọc các hình biểu diễn. Vấn đề đặt ra là các quy ước biểu diễn này sẽ tác động như thế nào trên việc đọc một hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian của học sinh? 2. Quy ước, quy tắc và kiểu biểu diễn các đối tượng hình học trong Sách Giáo Khoa Hình học lớp 11 2.1. Quy ước 2.1.1. Biểu diễn một mặt phẳng Quy ước P: một mặt phẳng (P) được biểu diễn bằng một hình bình hành hay một M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 36 Hình 1 Hình 2 Hình 3 miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. (H.1 và H2) 2.1.2. Biểu diễn điểm thuộc mặt phẳng Quy ước ĐP: biểu diễn một điểm thuộc mặt phẳng bằng một điểm nằm bên trong một hình bình hành và biểu diễn một điểm không thuộc một mặt phẳng bằng một điểm nằm bên ngoài hình bình hành. (H. 3) 2.2. Kiểu biểu diễn Kiểu biễu diễn là một hình vẽ bằng tay nhằm mục đích minh họa một hay các mối quan hệ hình học giữa các đối tượng hình học trong không gian. Nó không phải là đối tượng của một quy ước, nhưng là một phần của truyền thống dạy học. 2.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Kiểu biểu diễn TP: biểu diễn một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng bằng một đoạn thẳng nằm bên trong một hình bình hành. [4, tr. 60] (H. 4). Kiểu biểu diễn TPs: biểu diễn một đường thẳng song song một mặt phẳng bằng một đoạn thẳng biểu diễn cho một đường thẳng d’ của mặt phẳng (P), nằm bên trong một hình bình hành, và một đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d song song với d’, nằm bên ngoài hình bình hành [4, tr. 61] (H. 5), hay bằng một đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d song song với một cạnh của hình bình hành. [4, tr.60] (H. 6). Kiểu biểu diễn TPc: để biểu diễn một đường thẳng cắt một mặt phẳng, người ta cho thấy giao điểm nằm bên trong hình bình hành hay bên trong miền góc và biểu diễn phần đường thẳng được giả thiết bị che khuất bằng nét đứt đoạn. [4, tr. 60] (H. 7 và H. 8). Hình 4 Hình 5 Hình 6 Hình 7 Hình 8 NGUYỄN ÁI QUỐC 37 2.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Kiểu biểu diễn TTc: hai đường thẳng cắt nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng cắt nhau nằm bên trong một hình bình hành. [4, tr. 55] (H. 9) Kiểu biểu diễn TTs: hai đường thẳng song song được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song cùng nằm trong một hình bình hành. [4, tr. 55] (H. 10). Kiểu biểu diễn TTt: hai đường thẳng trùng nhau được biểu diễn bởi một đoạn thẳng nằm trong một hình bình hành. [4, tr. 55] (H. 11) Kiểu biểu diễn TTch: hai đường thẳng chéo nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng, trong đó đoạn thẳng thứ nhất biểu diễn cho đường thẳng d nằm trong một hình bình hành và đoạn thẳng thứ hai biểu diễn cho đường thẳng d’ cắt mặt phẳng tại một điểm không thuộc đường thẳng thứ nhất. [4, tr. 56] (H. 12). 2.2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Kiểu biểu diễn PPc: để biểu diễn hai mặt phẳng cắt nhau, người ta cho thấy giao tuyến của chúng nằm trong hai hình bình hành. Hơn nữa, giao tuyến này song song với một số cạnh của hai hình bình hành. [4, tr. 48] (H. 13). Kiểu biểu diễn PPs: hai mặt phẳng song song được biểu diễn bằng hai hình bình hành có các cạnh song song từng đôi một. [4, tr. 64] (H. 14). Hình 9 Hình 10 Hình 11 Hình 12 Hình 13 Hình 14 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 38 2.3. Quy tắc Để vẽ hình biểu diễn của một đối tượng hình học trong không gian, người ta dựa vào các quy tắc sau: - Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. - Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. [4, tr. 45] Phân tích Sách giáo khoa Hình học 11 cho thấy có một sự nhập nhằng giữa các quy ước và các quy tắc của phép chiếu song song. Hơn nữa, chỉ có một số quy tắc và quy ước được phát biểu tường minh và hầu hết sử dụng các quy ước và các kiểu biểu diễn để minh họa các tính chất tương giao trong không gian và cụ thể hơn mở rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn như là mô hình của một đối tượng hình học không gian. 4. Giả thuyết nghiên cứu Xuất phát từ lợi ích của các quy ước và kiểu biểu diễn được sử dụng trong dạy học hình học không gian là cho phép mở rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn mà việc sử dụng chúng có thể bị ảnh hưởng. Chúng tôi hình thành giả thuyết nghiên cứu về sự tồn tại một số hệ quả trên quan niệm của học sinh có thể dẫn đến phát triển một số diễn giải bất hợp lý khi đọc các hình vẽ biểu diễn: Các quy ước biểu diễn của phép chiếu song song trở thành các quy tắc diễn giải một hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian của học sinh. Thực nghiệm nhằm hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu trên được kế thừa và phát triển từ một thực nghiệm trình bày trong luận án của Parzysz (1989) trên việc đọc hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học không gian của học sinh lớp Đệ Tam và Đệ Nhị ở Pháp, tương đương lớp 10 và 11 ở Việt Nam. Sự kế thừa thực nghiệm của Parzysz đối với học sinh lớp 11 Việt Nam là hợp lý vì phân tích Sách giáo khoa Pháp và Việt Nam cho thấy có một sự tương tự về cách tiếp cận các đối tượng hình học không gian và các quan hệ song song ở cấp Trung học phổ thông. Hơn nữa, các quy ước và các kiểu biểu diễn trong hai hệ thống dạy học cũng tương tự nhau và trong chương trình Pháp phép biểu diễn phẳng các đối tượng hình học không gian cũng được thực hiện bởi phép chiếu song song. 5. Thực nghiệm của Parzysz và các phỏng đoán 5.1. Mục đích Trong luận án của mình, Parzysz đã mô tả một thực nghiệm trên việc đọc hình vẽ biểu diễn các đối tượng trong không gian của học sinh trung học phổ thông để biết học sinh diễn giải như thế nào về vị trí tương đối của các đối tượng hình học gồm mặt phẳng, đường thẳng và điểm trong không gian trên một số hình vẽ biểu diễn liên quan một số tình huống thông thường của hình học không gian. Vì thế, chúng tôi đã rút ra các quy tắc diễn giải và hình thành các phỏng đoán liên quan các quy tắc diễn giải khác mà chúng tôi muốn kiểm chứng. Mặt khác, thực nghiệm của Parzysz chỉ làm rõ ảnh hưởng của các quy ước và hình vẽ nguyên mẫu trên việc đọc hình vẽ biểu diễn của học sinh mà không tính đến biến dạy học “khối đa diện”, cụ thể hơn là các hình vẽ biểu diễn các khối đa diện thông thường. Chúng tôi nghĩ rằng đây là NGUYỄN ÁI QUỐC 39 một biến dạy học quan trọng đối với việc đọc hình vẽ biểu diễn trong không gian vì học sinh trung học phổ thông tại Việt Nam bắt đầu nghiên cứu các khối đa diện ở lớp 11 mà trong đó hình hộp là một đối tượng thường xuất hiện trong các bài toán liên quan khảo sát vị trí tương đối và quan hệ song song giữa các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng và mặt phẳng. 5.2. Kết quả 5.2.1. Sự phân hoạch không gian Cho một hình bình hành biểu diễn một mặt phẳng (P), một đoạn thẳng biểu diễn một đường thẳng. Diễn giải “bên trong – mặt phẳng” Một điểm được biểu diễn nằm bên trong hình bình hành được diễn giải là một điểm thuộc mặt phẳng (P). Diễn giải “bên ngoài – mặt phẳng” Một điểm được biểu diễn bên ngoài hình bình hành được diễn giải như một điểm không thuộc mặt phẳng (P). Hơn nữa, học sinh có xu hướng mở rộng mặt phẳng, trong suy nghĩ của mình, theo phương nằm ngang nhiều hơn so với phương thẳng đứng (H. 15). Do đó, các miền 1 và 2 có thể được xem là phần mặt phẳng hơn là hai miền 3 và 4. Từ đó, chúng tôi dự đoán có một sự phân hoạch liên quan đến hai miền 3 và 4 mà chúng tôi hình thành phỏng đoán 1: “ở trên / ở dưới” như sau: Một điểm thuộc miền 3 có thể được diễn giải nằm ở trên mặt phẳng và một điểm thuộc miền 4 có thể được diễn giải nằm ở dưới mặt phẳng. 5.2.2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Diễn giải “đường thẳng - trong - mặt phẳng” Một đoạn thẳng nằm bên trong hình bình hành sẽ được diễn giải như một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). (H. 16) Trong phần này, chúng tôi không rút ra được các quy tắc diễn giải mà chỉ xây dựng một số phỏng đoán như sau: Phỏng đoán 2: “đường thẳng – song song – mặt phẳng” - Một đoạn thẳng song song với một đoạn thẳng được biểu diễn bên trong hình bình hành sẽ được diễn giải là đường thẳng song song mặt phẳng (P). (H. 17) - Một đoạn thẳng song song với một cạnh của hình bình hành được diễn giải là đường thẳng song song mặt phẳng (P). (H. 18) Hình 15 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 40 Phỏng đoán 3: “đường thẳng – bên ngoài – mặt phẳng” Sự thiếu vắng của nét đứt đoạn trong biểu diễn của một đường thẳng nằm ngoài hình bình hành có thể dẫn đến đường thẳng không cắt mặt phẳng (P). (H. 19) Phỏng đoán 4: “đường thẳng – cắt – mặt phẳng” Nếu một đoạn thẳng biểu diễn cho một đường thẳng có một đầu mút nằm bên trong hình bình hành và đầu mút kia nằm bên ngoài hình bình hành thì đường thẳng này được xem cắt mặt phẳng (P). (H. 20) 5.2.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Diễn giải “đường thẳng – song song – đường thẳng” Nếu hai đường thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, song song với nhau thì hai đường thẳng đó song song nhau. (H. 21) Các kết quả thực nghiệm của Parzysz chứng tỏ rằng học sinh xem hai đường thẳng có các biểu diễn là các đoạn thẳng cắt nhau, mà trong đó không chỉ ra giao điểm, là hai đường thẳng không song song và không cắt nhau. (H. 22) Trong sách giáo khoa Hình học 11 của VN, hai đường thẳng cắt nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng với một giao điểm. Từ đó, chúng tôi hình thành phỏng đoán 5: “đường thẳng - cắt - đường thẳng” như sau: Nếu hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, nằm trong cùng một mặt phẳng cắt nhau tại một điểm thì hai đường thẳng này cắt nhau. Hình 16 Hình 17 Hình 18 Hình 19 Hình 20 Hình 21 Hình 22 NGUYỄN ÁI QUỐC 41 6. Thực nghiệm 6.1. Mục đích Thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu trong đó chỉ ra các diễn giải của học sinh khi đọc hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian có nguồn gốc từ các quy ước và các kiểu biểu diễn được sử dụng trong dạy học. Giả thuyết đầu tiên của chúng tôi là các quy ước biểu diễn các mối quan hệ tương giao được trình bày tường minh trong sách giáo khoa hay bởi giáo viên sẽ được sử dụng trong việc đọc hình vẽ biểu diễn. 6.2. Hình thức Chúng tôi đặt ra cho học sinh một bộ câu hỏi trong đó các em phải trả lời các câu hỏi về các mối quan hệ tương giao của các thành phần như điểm, đường thẳng và mặt phẳng xuất phát từ một hình vẽ biểu diễn. Học sinh phải chọn một trong các câu trả lời: “có”, “không” và “em không biết gì cả”. Mỗi câu trả lời phải được chứng minh để cho phép diễn giải tốt nhất các câu trả lời của học sinh. Thực nghiệm được tiến hành ở các em học sinh lớp 11 của 6 lớp thuộc ba trường THPT Trần Khai Nguyên, THPT Trần Hữu Trang và THPT Hùng Vương của Thành phố Hồ Chí Minh, ngay sau khi các em học xong chương II “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” của môn Hình học. Thời gian làm bài của các em là 90 phút. Số học sinh tham gia là 206. Thực nghiệm được tiến hành vào tháng 12 năm 2016. Chúng tôi chọn thực nghiệm với lớp 11 vì hai lý do sau: - Vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học trong không gian như điểm, đường thẳng, mặt phẳng đã được học. - Phép chiếu song song và hình vẽ biểu diễn của các đối tượng hình học trong không gian như hình chóp, lăng trụ, hình hộp, hình lập phương đã được học. Bộ câu hỏi thực nghiệm bao gồm 11 bài tập: hai bài tập 1 và 2 liên quan đến khảo sát vị trí tương đối của ba điểm; bảy bài tập 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 liên quan đến nghiên cứu vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, trong đó nhóm bài tập số 6, 7, 8, 9 có đối tượng nghiên cứu là một hình hộp; hai bài tập liên quan đến nghiên cứu vị trí tương đối của hai đường thẳng. 6.3. Phân tích tiên nghiệm Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối của ba điểm. Bài toán 1. Các điểm I, J, K có nằm trong cùng một mặt phẳng không? Chứng minh. Bài toán 2. Các điểm A, B, C có nằm trong cùng một mặt phẳng không? Chứng minh. M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 42 Trong hai bài toán này, chúng tôi trình bày ba điểm không thẳng hàng. Câu hỏi đặt ra là liệu chúng có thuộc cùng một mặt phẳng hay không. Hai biến dạy học được chọn: - Tính chất của đối tượng được nghiên cứu: có khối đa diện hay không. - Có hay không nằm bên trong một đa giác. Câu trả lời đúng là “có”. Trong trường hợp này, việc chứng minh mong đợi là học sinh sử dụng tính chất hình học cho sự xác định một mặt phẳng bởi ba điểm không thẳng hàng. Chúng tôi ký hiệu tập hợp các trả lời dạng này là « P ». Một số câu trả lời có thể biểu đạt rằng mặt phẳng được thu gọn thành một đa giác biểu diễn cho nó. Các câu trả lời này thể hiện sự diễn giải phân hoạch không gian « bên trong – mặt phẳng ». Chúng tôi ký hiệu nhóm các câu trả lời này là « Pg ». Biến dạy học « khối đa diện» sẽ củng cố các diễn giải thuận lợi cho câu trả lời thuộc nhóm « Pg ». Do đó, sẽ có nhiều câu trả lời dạng « Pg » cho bài toán 1 hơn là bài toán 2. Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Ở đây chúng tôi phân biệt hai biến dạy học cho việc chọn các bài tập: tính chất của đối tượng nghiên cứu và các diễn giải có thể vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán 3. Đường thẳng d có cắt mặt phẳng (P) không? Chứng minh. Bài toán 4. Đường thẳng (AB) có cắt mặt phẳng (P) không? Chứng minh. Bài toán 5. Đường thẳng d có song song với mặt phẳng (P) không? Chứng minh. Trong bài toán 3, chúng tôi biểu diễn đường thẳng d bởi một đoạn thẳng có một điểm mút nằm bên ngoài hình bình hành biểu diễn cho mặt phẳng (P), và đầu mút thứ hai nằm bên trong hình bình hành. Chúng tôi giả thuyết rằng câu trả lời: “Có, bởi vì một điểm của đường thẳng thuộc mặt phẳng” sẽ chiếm đa số. Câu trả lời này biểu lộ việc sử dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng - cắt - mặt phẳng”. Trong bài toán 4, đường thẳng không được biểu diễn bằng một đoạn thẳng nhưng được xác định bởi hai điểm A và B được biểu diễn trên hình vẽ sao cho A “nằm phía trên” hình bình hành và B “nằm phía dưới” hình bình hành. Chúng tôi giả thuyết rằng sẽ không có câu trả lời “không”. Trong bài toán 5, đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng song song với một cạnh của hình bình hành. Việc lựa chọn cạnh theo phương nằm ngang để củng cố câu trả lời “có”. Thông qua các câu trả lời của học sinh, chúng tôi kiểm tra phỏng đoán 2 liên quan đến quy tắc diễn giải “đường thẳng - song song - mặt phẳng”. Chúng tôi thiết kế 4 bài tập số 6, 7, 8 và 9 với việc biểu diễn một hình hộp và một đoạn thẳng biểu diễn cho một đường thẳng. Chúng tôi lựa chọn hình hộp vì học NGUYỄN ÁI QUỐC 43 sinh tiếp cận hình hộp từ cấp trung học cơ sở và tiếp tục nghiên cứu hình hộp ở lớp 11 và 12. Việc lựa chọn hình hộp để nghiên cứu các bài toán tương giao với sự hiện diện của các mặt song song và các cạnh song song. Điều này cho phép chúng tôi xem học sinh có ưu tiên cho các mặt phẳng thẳng đứng hay nằm ngang hay không. Bài toán 6. Đường thẳng d có song song với mặt phẳng (ABB’A’) không? Chứng minh. Bài toán 7. Đường thẳng d có nằm trong mặt phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh Bài toán 8. Đường thẳng d có nằm trong mặt phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh. Bài 9. Đường thẳng d có nằm trong mặt phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh. Trong phần này, chúng tôi chọn hai biến dạy học: dạng câu hỏi và sự phân hoạch miền không gian của một khối hộp. Câu hỏi gồm hai dạng: nằm trong mặt phẳng hay song song với một mặt phẳng. Các mặt phẳng này được xác định bằng một mặt của hình hộp. Sự phân hoạch miền không gian bởi một hình hộp: mang khía cạnh văn hóa. Chẳng hạn, trong hình 23, tùy theo mỗi người, đường thẳng d có thể được xem nằm trong mặt phẳng (A’B’C’D’), hay nằm “phía trên” hình hộp. Hình 23 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 44 Trong bài toán 6, chúng tôi cố gắng xem biến “hình hộp” ảnh hưởng lên kiểu chứng minh đến mức nào. Chúng tôi giả thuyết rằng câu trả lời chiếm đa số sẽ là “Không, vì d không song song với một đường thẳng nào của mặt phẳng (BCC’B’). Đó chính là hệ quả của quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng”. Trong ba bài toán 7, 8 và 9, câu hỏi là liệu rằng đường thẳng d có nằm trong mặt phẳng xác định bởi mặt trước của hình hộp hay không. Chúng tôi đã thay đổi vị trí của đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng so với hình hộp. Biến dạy học sự phân hoạch miền không gian bằng một hình hộp. Chúng tôi giả thuyết rằng đối với bài tập số 7, phần lớn câu trả lời sẽ là “có” theo quy tắc diễn giải “đường thẳng – trong – mặt phẳng”, nhưng đối với bài tập 8 và 9 câu trả lời chiếm đa số sẽ là “không”. Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối của hai đường thẳng. Bài toán 10. Hai đường thẳng d và d’ có cắt nhau không? Chứng minh. Bài toán 11. Cho d là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB) và d’ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Hai đường thẳng d và d’ có cắt nhau không? Chứng minh. Trong bài toán 10, chúng tôi muốn kiểm chứng phỏng đoán 5 liên quan đến quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – đường thẳng”. Hai đường thẳng được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng cắt nhau. Trong bài toán 11, hai đường thẳng d và d’ được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm bên trong hai tam giác SAB và SCD của hình chóp S.ABCD. Không như những bài toán khác, đối với bài toán chúng tôi chỉ ra một số mối quan hệ giữa các đối tượng hình học. Những dữ liệu này cho phép quyết định ở mức độ hình vẽ các đường thẳng có cắt nhau hay không. Đây là kiểu tình huống mời học sinh giải các bài toán hình học trong không gian mà việc dựng hình có thể thực hiện được trên hình vẽ. Bằng cách kéo dài các đoạn thẳng biểu diễn của hai đường thẳng d và d’, học sinh sẽ tìm thấy cùng một tình huống với bài toán 10. Chúng tôi cũng quan tâm đến câu trả lời “không” của các em học sinh trong bài toán 10 bằng cách chứng minh rằng các đường thẳng không cắt nhau bởi không có đánh dấu chấm giao nhau của chúng. 6.4. Thu thập dữ liệu Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm bộ câu hỏi trên 206 học sinh lớp 11 của ba trường THPT. Giáo viên không được trả lời bất kỳ câu hỏi nào của học sinh liên quan đến hình vẽ và không giải thích nhiệm vụ trả lời câu hỏi của các em. Tên NGUYỄN ÁI QUỐC 45 họ học sinh ghi trong bài làm được mã hóa bằng một số tự nhiên. Để thống kê các kết quả, chúng tôi mã hóa câu trả lời “Có” bởi “C”, “Không” bởi “K” và “Em không biết gì cả” bởi “KB”. 6.5. Phân tích hậu nghiệm 6.5.1. Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối của ba điểm Bảng 1: Chính là hai bài toán 1 và 2 có kết quả thực nghiệm được trình bày trong bảng 1 Bài toán 1 2 Kiểu trả lời C K KB C K KB Số lượng Phần trăm 116 56,3 20 9,7 70 34 138 67 36 17,5 32 15,5 Kết quả thống kê cho thấy có sự gia tăng câu trả lời đúng giữa hai bài toán 1 và 2. Hơn nửa số học sinh đã huy động tính chất “ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng” độc lập với tính chất của đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên, số câu trả lời “P” trong bài tập 2 nhiều hơn trong bài tập 1. Hầu hết các câu trả lời “P” trong bài toán 1 (100 câu) cùng kiểu với các câu trả lời trong bài toán 2 (112 câu), trong đó có đến 34 câu trả lời kiểu “Pg” (34%) trong bài toán 1 và 22 câu trả lời kiểu này (19,6%) trong bài toán 2. Điều này khẳng định tầm quan trọng của biến dạy học “tính chất của đối tượng” và cụ thể hơn, học sinh bị hạn chế với các mặt phẳng được trình bày trong trường hợp đối tượng được nghiên cứu là một khối đa diện thường xuyên hơn trong các trường hợp khác. 6.5.2. Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Trường hợp đối tượng nghiên cứu không phải là hình hộp Bảng 2: Chính là ba bài toán 3, 4 và 5 có kết quả thực nghiệm được trình bày trong bảng 2 Bài toán 3 4 5 Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB Số lượng Phần trăm 36 17,5 8 3,9 162 78,6 80 38,8 6 2,9 120 58,3 142 68,9 0 0 64 31,1 Trong bài toán 3, mặc dù có gần 80% câu trả lời kiểu “KB”, nhưng học sinh đã sử dụng một số quy tắc ngầm ẩn của hình vẽ biểu diễn: “Thiếu dấu nét đứt đoạn”, “Cần kéo dài đoạn thẳng để xem”, “Cần làm rõ giao điểm”. Tám học sinh đã trả lời “K” mà không chứng minh câu trả lời bằng sự thiếu vắng nét đứt đoạn. Trong 36 câu trả lời “C”, có 8 chứng minh đề cập đến quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – mặt phẳng” và 14 sử dụng M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 46 một phần kết quả hình học: một đường thẳng hoặc song song hoặc cắt một mặt phẳng, trong đó chứng minh đường thẳng d không song mặt phẳng (P) bằng cách sử dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng” (phỏng đoán 2) Trong bài toán 4, phần lớn các chứng minh cho câu trả lời kiểu “C” là: “Có, vì A và B nằm hai phía của mặt phẳng (P)”. Một số học sinh đã cho rằng “A nằm phía trên (P) và B nằm bên dưới (P)”. Các chứng minh này là một phần quy tắc diễn giải “ở trên / ở dưới” (phỏng đoán 1). “Có, vì đường thẳng AB không song song với (P)”. Chúng tôi nghĩ rằng các học sinh đưa ra các chứng minh này vì đường thẳng AB không song song với bất kỳ cạnh nào của hình bình hành (quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng”). Các chứng minh “Vì A và B nằm hai phía mặt phẳng (P)”, “Vì đường thẳng AB xuyên qua (P)” và “Nếu ta mở rộng mặt phẳng (P) ra” “thì đường thẳng cắt mặt phẳng” là hệ quả của sự phân hoạch mặt phẳng “ở trên / ở dưới”. Trong bài toán 5, câu trả lời “C” chiếm đa số thuộc kiểu “Có, vì đường thẳng song song với một đường thẳng của mặt phẳng” (chiếm 40%) hay “Có, vì đường thẳng d không cắt mặt phẳng (P)” (chiếm 15%). Trường hợp đối tượng nghiên cứu là một hình hộp. Bảng 3: Chính là bốn bài toán 6, 7, 8 và 9 có kết quả được trình bày trong bảng 3 Bài toán 6 7 8 9 Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB C K KB Số lượng Phần trăm 2 0,9 134 65,1 70 34 46 22,3 10 4,9 150 72,8 24 11,7 32 15,5 150 72,8 20 9,7 16 7,8 170 82,5 Trong bài toán 6, đa số câu trả lời trùng với mong đợi của chúng tôi, nghĩa là trả lời “K”. Trong số đó, có 50 học sinh đã chứng minh với luận chứng liên quan đến sự hiển nhiên về mặt nhận thức: “Không, nó cho thấy rõ”. Có 64 học sinh đã chứng minh với luận chứng “Không, vì d không song song với bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng” hay “Không, vì đường thẳng d không song song với đường thẳng AC”. Các câu trả lời này là hệ quả của quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng”. Cụ thể hơn, các học sinh này đã sử dụng kết quả là nếu đường thẳng không song song với bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng thì nó không song song với mặt phẳng đó. Trong ba bài toán 7, 8 và 9, mặc dù câu trả lời kiểu “KB” chiếm tỉ lệ phần trăm khá cao, nhưng chỉ có 30% của các câu trả lời này là đúng. Một loại chứng minh khác cho câu trả lời “KB” (chiếmj 30%) dựa trên thực tế là “đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABCD) hay nằm trong mặt phẳng này”. Sự thiếu vắng của đánh dấu giao điểm hay nét đứt đoạn cho phép học sinh (khoảng 10%) kết luận về sự giao nhau của hai đườnh thẳng hay của một đường thẳng và một mặt phẳng. 6.5.3. Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối của hai đường thẳng NGUYỄN ÁI QUỐC 47 Bảng 4: Các kết quả liên quan đến hai bài toán 10 và 11 được trình bày trong bảng 4 Bài toán 10 11 Kiểu trả lời C K KB C K KB Số lượng Phần trăm 40 19,4 136 66 30 14,6 134 65,1 18 8,7 54 26,2 Câu trả lời chiếm đa số đối với bài toán 10 là “K”và đối với bài toán 11 là “C”. Trong câu trả lời “K” của bài toán 10, có 31 học sinh chứng minh “vì chúng không được chứa trong cùng một hình bình hành” và có 37 học sinh chứng minh “vì chúng không có giao điểm chung trên hình vẽ”. Trong 18 câu trả lời “K” của bài toán 11, chỉ có 6 học sinh đã chứng minh “d và d’ không cắt nhau vì giao điểm của chúng lần lượt với giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là hai điểm phân biệt”. Các chứng minh khác cho câu trả lời “K” là “d và d’ không nằm trong cùng một mặt phẳng” hay “các mặt phẳng không cắt nhau”. Các chứng minh cho câu trả lời “C” chủ yếu là: - “d và d’ cắt nhau vì chúng cùng nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau” (49%). - “Bằng cách kéo dài hai đường thẳng, ta thấy chúng cắt nhau” (7%). Các chứng minh cho câu trả lời “KB” chủ yếu là: - “bài toán cho thiếu dữ kiện” (38%). - “Cần phải biết d và d’ có đồng phẳng hay không?” (10%). 6.6. Tổng hợp các kết quả thực nghiệm Phân tích cho thấy các chứng minh dựa trên duy nhất sự hiển nhiên về mặt nhận thức chiếm số lượng rất nhỏ. Hầu hết các chứng minh đều sử dụng các tính chất hình học. Ràng buộc “Chứng minh” cho phép chúng tôi làm rõ các quy tắc diễn giải. Học sinh sử dụng theo cách liên hợp các quy tắc diễn giải cùng với các định lý của hình học trong không gian để chứng minh cho các trả lời câu hỏi. Cần lưu ý rằng các định lý này không hề mâu thuẫn với các quy tắc diễn giải vì các quy tắc diễn giải chỉ là minh họa của các định lý đó. Chúng ta có thể suy ra rằng không tồn tại các mâu thuẫn giữa kiến thức hình học và việc đọc hình vẽ biểu diễn. Điều này có thể củng cố việc sử dụng các quy tắc diễn giải. Khái niệm đồng phẳng đóng một vai trò quan trọng trong các bài toán về sự tương giao của hai đường thẳng trong không gian như trong bài toán 10 và 11. Đặc biệt đối với bài toán 11, hình vẽ có thể chỉ là thông tin nếu chúng ta sử dụng các phương tiện kiểm soát khác dựa trên các quy tắc của phép chiếu song song. Thực vậy, đây chính là bài toán duy nhất trong thực nghiệm mà chúng ta có thể trả lời bằng hình vẽ biểu diễn bằng cách sử dụng quy tắc “nếu giao điểm của d với  là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) trùng với giao điểm của d’ với  thì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau”. Quy tắc này không được phát biểu tường minh trong Sách giáo khoa, nhưng nó cần thiết phải được chứng minh. 6.6.1. Phân hoạch không gian Quy tắc diễn giải “bên trong – mặt phẳng” và “bên ngoài – mặt phẳng” đã M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 48 được Parzysz kiểm chứng. Chúng ta cũng lưu ý rằng quy tắc diễn giải “bên trong – mặt phẳng” đã được học sinh huy động trong bài toán 1. Trong bài toán 4, học sinh đã sử dụng một số chứng minh cho thấy hai miền “ở trên” và “ở dưới” mặt phẳng. Điều này cho phép hợp thức hóa phỏng đoán 1 “ở trên / ở dưới”. 6.6.2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Quy tắc diễn giải “đường thẳng – trong – mặt phẳng” đã được Parzysz kiểm chứng. Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng” đã được thực nghiệm chúng tôi kiểm chứng. Quy tắc này cho phép chứng minh rằng một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đoạn thẳng của mặt phẳng, và cũng để chứng minh rằng một đường thẳng không song song với một mặt phẳng khi trên hình vẽ nó không song song với bất kỳ một đoạn thẳng nào của mặt phẳng. Quy tắc diễn giải “đường thẳng – ngoài – mặt phẳng” đã được kiểm chứng duy nhất trong trường hợp có khối đa diện. 6.6.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – đường thẳng” đã được Parzysz kiểm chứng. Phân tích các chứng minh của bài toán 10 làm lộ rõ việc sử dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – đường thẳng”. Riêng trong bài 11, việc phân tích kết quả cho thấy sự tồn tại một định lý hành động ở học sinh: Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa trong hai mặt phẳng cắt nhau, thì chúng cắt nhau. 7. Kết luận Các quy ước biểu diễn được chấp nhận trong giảng dạy có chức năng minh họa một tình huống không gian và do đó mở rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn. Các quy ước này đã trở thành các quy tắc diễn giải ở học sinh trong việc đọc hình vẽ biểu diễn. Điều này cho phép hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu về các quy ước: Các quy ước biểu diễn của phép chiếu song song trở thành các quy tắc diễn giải một hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian ở học sinh. Tồn tại một định lý hành động ở học sinh liên quan đến sự cắt nhau của hai mặt phẳng: Nếu hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau thì chúng cắt nhau. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bkouche R., Soufflet M. (1983), Axiomatique, formalism, théorie, Bulletin Inter-Irem « Enseignement de la géometrie » (23) 3 – 24. 2. Parzysz B. (1989), Représentations planes et enseignement de la géometrie de l’espace au lycee, Contribution à l’étude de la relation voir/savoir, Thèse. Paris: Université Paris-7. 3. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành, Nguyễn Hữu Thảo (2007), Toán 8, Tập Hai, Nxb Giáo dục. 4. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Hình học 11, Nxb Giáo dục. 5. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Sách Giáo viên Hình học 11, Nxb Giáo dục. Ngày nhận bài: 07/8/2017 Biên tập xong: 15/9/2017 Duyệt đăng: 20/9/2017