Mô tả dữ liệu bằng các chỉ tiêu và đặc trưng - Lê Phương

Chương 3. MÔ TẢ DỮ LIỆU BẰNG CÁC CHỈ TIÊU VÀ ĐẶC TRƯNG Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: Nội dung 1 Số tuyệt đối 2 Số tương đối 3 Các đặc trưng đo lường khuynh hướng tập trung Trung bình cộng Trung bình điều hòa Trung bình nhân Số yếu vị (Mode) Số trung vị 4 Các đặc trưng đo lường độ phân tán Khoảng biến thiên Độ lệch tuyệt đối trung bình Phương sai và độ lệch chuẩn Hệ số biến thiên Số tuyệt đối Khái niệm Số tuyệt đối là chỉ tiêu khối lượng thống kê biểu hiện quy mô, khối lượng của tổng thể hiện tượng nghiên cứu. Đặc điểm • Thu thập được từ điều tra thống kê. • Gắn liền với một hiện tượng kinh tế xã hội. Phân loại 1 Số tuyệt đối thời kỳ: phản ánh mặt lượng của hiện tượng nghiên cứu trong một khoảng thời gian nhất định. Số tuyệt đối thời kỳ có thể cộng lại để cho ra trị số của thời kỳ dài hơn. Ví dụ: quí 1 năm 2015 xí nghiệp A bán được 120.000 sản phẩm. 2 Số tuyệt đối thời điểm: phản ánh mặt lượng của hiện tượng nghiên cứu tại một thời điểm nhất định. Ví dụ: lượng tiền mặt vào lúc 0 giờ ngày 1/1/2015 của công ty X là 17.352.780.000 đồng. Số tuyệt đối Đơn vị tính Có 3 loại đơn vị tính chủ yếu dùng cho các số tuyệt đối như sau 1 Hiện vật: là đơn vị tính toán phù hợp với đặc điểm vật lý của hiện tượng (dài, cao, diện tích, khối lượng, số đơn vị. . . ). • đơn vị hiện vật tự nhiên: người, cái, chiếc, con, sản phẩm. . . • đơn vị hiện vật quy ước: kg, tạ, tấn, lít, mét. . . • đơn vị hiện vật quy đổi: sức ngựa, tấn quy thóc. . . 2 Thời gian: như giờ công, ngày công. . . dùng để tính lượng lao động hao phí. 3 Tiền tệ: đồng (VND), đôla Mỹ (USD), euro (EUR), bảng Anh (GPD). . . Ví dụ: 30 lao động, 100 doanh nghiệp, 10 hecta đất canh tác, 8 giờ, 500.000 USD. . . Số tương đối Khái niệm Số tương đối là chỉ tiêu chất lượng thống kê biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai chỉ tiêu khác nhau của hiện tượng nghiên cứu. Nó phản ánh trình độ phát triển, quan hệ so sánh, kết cấu, trình độ phổ biến. . . của hiện tượng nghiên cứu. Đặc điểm • Không phải là con số thu thập được từ điều tra thống kê, • Mỗi số tương đối đều có giá trị gốc để so sánh. Phân loại • động thái / kế hoạch: chỉ tiêu cùng loại nhưng khác nhau về thời gian, • cường độ: chỉ tiêu khác loại nhưng có quan hệ với nhau, • kết cấu: bộ phận với tổng thể, • không gian: các bộ phận của cùng một tổng thể. Các loại số tương đối Số tương đối động thái (chỉ số / tốc độ phát triển) Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức độ cùng loại của hiện tượng nghiên cứu ở hai thời kì (thời điểm) khác nhau. Đơn vị tính: lần, phần trăm (%). T1/0 = y1 y0 trong đó + y1: mức độ kỳ báo cáo + y0: mức độ kỳ gốc y1, y0 phải bảo đảm so sánh được với các điều kiện sau: • cùng phương pháp tính • cùng đơn vị tính • cùng nội dung tính • cùng phạm vi tính • cùng độ dài khoảng thời gian tính Các loại số tương đối Số tương đối kế hoạch Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức độ cùng loại của hiện tượng nghiên cứu ở kỳ kế hoạch so với kỳ gốc hoặc kỳ báo cáo. Đơn vị tính: lần, phần trăm (%). • Số tương đối nhiệm vụ kế hoạch: Tk/0 = yk y0 . • Số tương đối hoàn thành kế hoạch: T1/k = y1 yk , trong đó yk là mức độ kỳ kế hoạch. Mối liên hệ: T1/0 = Tk/0 × T1/k . Các loại số tương đối Ví dụ Lợi nhuận năm 2014 của doanh nghiệp X đạt 23 tỉ đồng, tăng 7,5% so với năm 2013 và vượt 2% so kế hoạch do đại hội cổ đông thông qua. Xác định lợi nhuận của doanh nghiệp năm 2013 và số tương đối nhiệm vụ kế hoạch năm 2014 của doanh nghiệp này về lợi nhuận. Ví dụ Một doanh nghiệp kinh doanh 3 loại sản phẩm là mì ăn liền, nước tương và nước mắm với doanh thu bán hàng trong năm 2014: Sản phẩm Doanh thu (triệu đồng) % hoàn thành kế hoạch Mì ăn liền 2.640 120 Nước tương 1.285 97 Nước mắm 1.769 101 Hãy xác định tỉ lệ % hoàn thành kế hoạch về doanh thu của cả tất cả sản phẩm của công ty và tỉ trọng về doanh thu của từng loại sản phẩm. Các loại số tương đối Số tương đối kết cấu Biểu hiện mức độ của bộ phận so với mức độ của tổng thể. Đơn vị tính: lần, phần trăm (%). di = yi y1 + y2 + · · ·+ yn Ví dụ: 49% dân số Việt Nam là nữ. Số tương đối không gian Biểu hiện quan hệ so sánh giữa các hiện tượng cùng loại nhưng khác nhau về không gian, hoặc so sánh giữa các bộ phận trong cùng một tổng thể. Đơn vị tính: lần, phần trăm (%). Ví dụ: giá gạo ở Cần Thơ bằng 80% giá gạo tại TP. Hồ Chí Minh. Số tương đối cường độ Biểu hiện quan hệ so sánh giữa mức độ của hai hiện tượng khác nhau nhưng có mối liên hệ với nhau. Đơn vị tính: phức hợp. Ví dụ: mật độ dân số Việt Nam là 268 người / km2. Số trung bình (bình quân) cộng Định nghĩa • Số trung bình cộng giản đơn (áp dụng với dữ liệu chưa phân tổ): x = n∑ i=1 xi n = x1 + x2 + · · ·+ xn n . • Số trung bình cộng gia quyền (áp dụng với dữ liệu đã phân tổ): x = k∑ i=1 xi fi n = x1f1 + x2f2 + · · ·+ xk fk n , trong đó xi là lượng biến đại diện cho tổ. Số trung bình (bình quân) cộng Cách chọn lượng biến đại diện • Với tổ có khoảng cách tổ: lấy trị số giữa mỗi tổ làm lượng biến đại diện cho tổ đó xi = xi(min) + xi(max) 2 , xi(min) và xi(max): giới hạn dưới và trên của tổ thứ i . • Với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ mở (tổ thứ nhất là (−∞, x1(max)), tổ cuối cùng là (xk(min),+∞)): các lượng biến đại diện được nội suy từ tổ liền kề x1 = x1(max) − h22 xk = xk(min) + hk−1 2 hi : trị số khoảng cách tổ thứ i . Số trung bình (bình quân) cộng Ví dụ Một doanh nghiệp có 10 nhân viên với các mức lương (triệu đồng) trong tháng 12 năm 2015 như sau: 3; 3,5; 4; 4,1; 4,5; 5; 5,5; 5,7; 6; 7. Xác định tiền lương trung bình của 1 nhân viên trong tháng đó. Ví dụ Xác định số nhân khẩu bình quân của 100 gia đình trong một xã cho biết có 21 gia đình có 2 nhân khẩu, 45 gia đình có 3 nhân khẩu, 25 gia đình có 4 nhân khẩu, còn lại là các gia đình có 5 nhân khẩu. Ví dụ Xác định chiều cao trung bình của các sinh viên một lớp học với dữ liệu được cho trong bảng sau Chiều cao (cm) Số sinh viên Dưới 150 6 150–160 35 160–170 41 170–180 23 Trên 180 11 Số trung bình điều hòa Định nghĩa • Số trung bình điều hòa giản đơn: x = n n∑ i=1 1 xi = n 1 x1 + 1 x2 + · · ·+ 1 xn • Số trung bình điều hòa gia quyền: x = k∑ i=1 Mi k∑ i=1 Mi xi = M1 +M2 + · · ·+Mk M1 x1 + M2 x2 + · · ·+ Mk xk trong đó Mi = xi fi là tổng lượng biến. Ý nghĩa: Số trung bình điều hòa thường được sử dụng để tính thời gian hao phí trung bình. Số trung bình điều hòa Ví dụ Trong một xí nghiệp A có 3 tổ công nhân với số công nhân lần lượt 15 người, 20 người và 25 người. Cho biết thời gian để hoàn thành một sản phẩm của một công nhân trong mỗi tổ lần lượt là 20 phút, 25 phút và 30 phút. Tính thời gian hao phí bình quân để sản xuất ra một sản phẩm của công nhân thuộc 3 tổ đó. Ví dụ Điều tra vận tốc tối ưu của 5 loại ôtô được sản xuất ra bởi doanh nghiệp X bằng cách cho chạy thử trên quãng đường AB thì nhận thấy thời gian đi hết quãng đường của mỗi loại xe lần lượt là 1 giờ, 1 giờ 10 phút, 55 phút, 1 giờ 5 phút và 57 phút. Tính thời gian trung bình đi hết quãng đường trên của 5 loại ôtô. Số trung bình nhân Định nghĩa • Số trung bình nhân giản đơn: x = n √√√√ n∏ i=1 xi = n √ x1x2 . . . xn • Số trung bình nhân gia quyền: x = n √√√√ k∏ i=1 x fii = n √ x f11 x f2 2 . . . x fk k trong đó n = f1 + f2 + · · ·+ fk . Ý nghĩa: Số trung bình nhân thường được sử dụng để tính tốc độ phát triển trung bình trong một khoảng thời gian nhất định. Số trung bình nhân Ví dụ Lãi suất tiền gửi tiết kiệm ngân hàng trong 5 năm liên tiếp là 5%, 7%, 10%, 8% và 6%. Hãy tính lãi suất tiền gửi trung bình trong khoảng thời gian trên. Ví dụ Doanh thu của một doanh nghiệp trong 7 năm như sau: • 3 năm đầu mỗi năm có tốc độ phát triển là 120%, • 2 năm kế tiếp mỗi năm có tốc độ phát triển là 115%, • 2 năm cuối mỗi năm có tốc độ phát triển là 125%. Tính tốc độ phát triển bình quân của doanh thu trong khoảng thời gian trên. Số yếu vị (Mode) Định nghĩa Số yếu vị (Mode) là giá trị, kí hiệu Mode, Mod hoặc Mo, sao cho số đơn vị của tổng thể có lượng biến (xấp xỉ) bằng Mode là lớn nhất. • Phân tổ không có khoảng cách tổ: Mode là xi ứng với fi lớn nhất. • Phân tổ có khoảng cách tổ đều nhau: Mode = xM(min) + hM fM − fM−1 (fM − fM−1) + (fM − fM+1) trong đó M là số thứ tự của tổ có tần số lớn nhất. Nếu không có tổ kề trước / sau thì tần số của tổ tương ứng bằng 0. • Phân tổ có khoảng cách tổ không đều nhau: thay fi bởi fi/hi Mode = xM(min)+hM fM/hM − fM−1/hM−1 (fM/hM − fM−1/hM−1) + (fM/hM − fM+1/hM+1) trong đó M là số thứ tự của tổ có mật độ phân phối fM hM cao nhất. Số yếu vị (Mode) Ví dụ Xác định mode về doanh thu tháng của một chuỗi cửa hàng thời trang. Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng 140–150 6 150–160 35 160–170 40 170–180 23 180–190 16 Ví dụ Xác định mode về doanh thu tháng của một chuỗi quán cà phê. Doanh thu (triệu đồng) Số quán 40–50 40 50–60 35 60–80 70 80–100 65 100–150 36 Số trung vị (Median) Định nghĩa Trung vị là giá trị, kí hiệu Med hoặc Me, sao cho số đơn vị của tổng thể có lượng biến lớn hơn Med và nhỏ hơn Med là (xấp xỉ) bằng nhau. • Dữ liệu chưa phân tổ: sắp thứ tự tăng hoặc giảm Nếu n lẻ: Med = x(n+1)/2 Nếu n chẵn: Med = xn/2 + x(n+2)/2 2 • Phân tổ có khoảng cách tổ: Med = xM(min) + hM n 2 − (f1 + f2 + · · ·+ fM−1) fM = xM(min) + hM (fM + fM+1 + · · ·+ fk )− (f1 + f2 + · · ·+ fM−1) 2fM trong đó M là số thứ tự của tổ chia đôi tần số f1 + f2 + · · ·+ fM ≥ n2 > f1 + f2 + · · ·+ fM−1. Số trung vị (Med) Ví dụ 1 Xác định trung vị về doanh thu tháng 7/2015 của 7 cửa hàng thuộc một doanh nghiệp biết doanh thu của 7 cửa hàng này trong tháng 7/2015 lần lượt là: 540, 296, 378, 984, 153, 372, 400 (triệu đồng). 2 Khảo sát thêm một cửa hàng thứ 8 thì được kết quả cửa hàng này đạt doanh thu vào cùng thời kì là 672 triệu đồng. Xác định med về doanh thu tháng 7/2015 của 8 cửa hàng được khảo sát. Ví dụ Xác định trung vị về doanh thu tháng 7/2015 của một chuỗi cửa hàng thời trang Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng 140–150 6 150–160 35 160–170 40 170–180 23 180–190 16 Đo lường độ phân tán Khoảng biến thiên R = xmax − xmin trong đó xmax : lượng biến lớn nhất xmin: lượng biến nhỏ nhất Ví dụ Xác định khoảng biến thiên về doanh thu tháng 7/2015 của 7 cửa hàng thuộc một doanh nghiệp biết doanh thu của 7 doanh nghiệp này trong tháng 7/2015 lần lượt là: 540, 296, 378, 984, 153, 372, 400 (triệu đồng). Đo lường độ phân tán Độ lệch tuyệt đối trung bình • Với dữ liệu chưa phân tổ d = n∑ i=1 |xi − x | n = |x1 − x |+ |x2 − x |+ · · ·+ |xn − x | n • Với dữ liệu đã phân tổ d = k∑ i=1 |xi − x |fi n = |x1 − x |f1 + |x2 − x |f2 + · · ·+ |xk − x |fk n Ví dụ Xác định độ lệch tuyệt đối của dữ liệu trong ví dụ ở mục trước. Đo lường độ phân tán Phương sai • Với dữ liệu chưa phân tổ σ2 = n∑ i=1 (xi − x)2 n = (x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2 n • Với dữ liệu đã phân tổ σ2 = k∑ i=1 (xi − x)2fi n = (x1 − x)2f1 + (x2 − x)2f2 + · · ·+ (xk − x)2fk n Độ lệch (tiêu) chuẩn Là căn bậc 2 của phương sai: σ = √ σ2. Ý nghĩa: đánh giá độ biến thiên của tiêu thức. Khi giá trị trung bình cố định, độ lệch tiêu chuẩn càng nhỏ thì tổng thể càng đồng đều. Đo lường độ phân tán Hệ số biến thiên Vd = d/x hoặc Vσ = σ/x Ý nghĩa: đánh giá tỉ lệ giữa độ lệch và trung bình tổng thể. Ví dụ Xác định độ lệch tuyệt đối, độ lệch tiêu chuẩn và hệ số biến thiên về doanh thu tháng 7/2015 của một chuỗi cửa hàng thời trang Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng 140–150 6 150–160 35 160–170 40 170–180 23 180–190 16