Mô hình toán học hệ thống dẫn đường quán tính

Thông tin khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 169 MÔ HÌNH TOÁN HỌC HỆ THỐNG DẪN ĐƯỜNG QUÁN TÍNH Nguyễn Thái Hòa*, Đỗ Xuân Ngọc, Đào Văn Hưng, Đỗ Ngọc Tuấn Tóm tắt: Trong điều khiển thiết bị bay chúng ta phải giải quyết vấn đề dẫn đường. Một trong các phương pháp dẫn đường là dẫn đường quán tính không dùng thông tin bên ngoài vật thể chuyển động mà dùng thông tin về gia tốc của bản thân vật thể chuyển động để xác định các tham số dẫn đường. Bài báo này trình bày về một mô hình động học mới cho hệ thống dẫn đường quán tính. Từ khóa: Hệ thống dẫn đường quán tính; Hệ tọa độ quán tính; Khối đo lường quán tính; Góc Euler. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ thống dẫn đường quán tính (INS) dựa trên nguyên lý tính quãng đường đi qua để xác định các tham số chuyển động của thiết bị bay (TBB) so với một hệ tọa độ nào đó. Ưu điểm cơ bản của hệ thống INS là xác định đồng thời các tham số chuyển động của TBB mà không cần thông tin nào từ bên ngoài nên đảm bảo tính độc lập cao. Tuy nhiên, nhược điểm của hệ thống INS là sai số định vị tăng theo thời gian. Vì vậy vấn đề hạn chế sai số trong hệ thống INS đã có nhiều nghiên cứu về lý thuyết cũng như giải pháp được ứng dụng trong thực tế. Một trong các phương pháp hạn chế sai số trong hệ thống INS là sử dụng các mô hình động lực học phi tuyến kết hợp với lọc Kalman trong thiết kế hệ thống. Bài báo này, trình bày mô hình động lực học phi tuyến sử dụng véc tơ quay cho thuật toán dẫn đường quán tính. Trong mô hình động học véc tơ quay, đầu ra của con quay hồi chuyển được đo trực tiếp và ước lượng theo cấu trúc phản hồi của véc tơ quay. Cấu trúc phản hồi có nghĩa là đầu ra của con quay hồi chuyển được xấp xỉ từ véc tơ quay trước đó. Đặc tính này cho sự liên kết chặt chẽ giữa các sai số của phép đo và ước lượng. Hơn nữa cũng tính chất này cho phép việc tính toán các góc nhanh hơn phương pháp Euler. Thông tin về vận tốc từ khối đo lường quán tính (IMU) được sử dụng làm các phép đo đầu vào. Và vì thế, vận tốc và các thành phần của véc tơ quay được sử dụng như là các biến trạng thái trong mô hình động lực học phi tuyến. 2. NGUYÊN LÝ DẪN ĐƯỜNG QUÁN TÍNH Trong nội dung này, chúng tôi trình bày tóm lược về nguyên lý dẫn đường quán tính, cũng như các phương trình động lực học dùng trong hệ thống dẫn đường quán tính. Xét các chuyển động diễn ra theo thuyết tương đối hẹp Galilean. Theo đó cơ sở toán học của dẫn đường quán tính là định luật cơ bản của Newton về quy luật cơ học chuyển động của trọng tâm TBB trong hệ tọa độ quán tính (i-frame). Quy luật này được mô tả như sau [4]: 2 2 ( ) (1) d R n g R dt     Trong đó R  là véc tơ vị trí của TBB; n  là véc tơ gia tốc nhận cảm của khối tâm TBB; ( )g R  là véc tơ gia tốc trọng trường của TBB do lực hấp dẫn trái đất Công nghệ thông tin N. T. Hòa, , Đỗ Ngọc Tuấn, “Mô hình toán học hệ thống dẫn đường quán tính.” 170 sinh ra (xét chuyển động trong trọng trường trái đất); 2 2 d R dt  là gia tốc tuyệt đối của TBB. Phương trình (1) thể hiện việc miêu tả toán học của một chuyển trong hệ tọa độ quán tính là đơn giản. Tuy nhiên, khi giải các bài toán chuyển động trong thực tế sẽ thuận tiện hơn khi chúng ta chuyển các hệ tọa độ quán tính sang hệ tọa độ không quán tính [3-5]. Trên cơ sở phương trình (1) người ta xây dựng các mô hình toán thể hiện động lực học cho chuyển động, cũng như các thuật toán cho các hệ thống dẫn đường quán tính. Thông tin về gia tốc nhận cảm n  có thể đo được bằng ba cảm biến gia tốc bố trí trực giao; thông tin về gia tốc trọng trường ( )g R  thường được mô tả dưới dạng hàm đã biết của R  tùy thuộc vào việc mô hình hóa trái đất. Xét phương trình (1) dưới dạng Cô-si: ( ) (2) dV n g R dt d R V dt             Khi xét các phương trình (2) này trong hệ tọa độ quay với vận tốc góc  , ta có: (3) dV dV V dt dt d R dR V dt dt               Trong đó , dV dR dt dt   là đạo hàm của các véc tơ R  và V  trong hệ tọa độ quay với vận tốc góc  . Các phương trình trên là cơ sở cho phép ta xây dựng các thuật toán dẫn đường quán tính khác nhau. Thực tế để xây dựng các thuật toán số cho hệ thống dẫn đường quán tính, người ta phải lựa chọn dạng cơ sở cho hệ tọa độ dẫn đường để xác định các tham số định vị và định hướng. Hệ tọa độ lựa chọn do kiểu loại TTB, đặc điểm quỹ đạo, và nhiệm vụ cần giải quyết quy định. Thông thường đối với TBB gần trái đất, người ta hay dùng hệ tọa với mặt phẳng cơ sở là mặt phẳng ngang và được định hướng bằng các trục theo phương vị (các trục hướng về phía bắc và phía đông). Khi các trục của tọa độ đã được định vị theo một hướng xác định, người ta quay với vận tốc xác định. Và thông tin về vị trí của đối tượng được xác định bằng kinh độ, vĩ độ và độ cao trên Ellipsoid của trái đất. 3. MÔ HÌNH TOÁN HỌC HỆ THỐNG DẪN ĐƯỜNG QUÁN TÍNH Trong phần này, chúng tôi trình bày một số mô hình toán học phi tuyến mô tả mối tương quan giữa các trạng thái dẫn đường, cũng như trình bày mô hình toán học sai số cho các đo đạc trong hệ thống dẫn đường quán tính. 3.1. Mô hình động lực học vận tốc Thông tin khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 171 Phương trình (2) xét trong hệ tọa độ địa lý địa phương (ENU), hệ động lực học vận tốc được biểu diễn: 1 2 2 2 sin 2 cos ( )cos 2 sin . (4) ( ) cos 2 cos e e u e n u e e n u n n e u e n u e v v v a v v N h N h v v v vd v a v g w dt N h M h v v v a v N h M h                                                           Trong đó: g là véc tơ gia tốc trọng trường, h là độ cao, ,M N là bán kính cong của trái đất được xác định theo công thức [1]:       2 3 2 1 22 2 2 2 1 , 1 sin 1 sin a e a M N e e       Vĩ độ  là giá trị khởi tạo ban đầu của khối đo lường quán tính (IMU), và  là tốc độ quay của trái đất. Véc tơ  , , Tenu e n uv v v v là vận tốc trong hệ tọa độ ENU. Nhiễu trạng thái của mô hình động lực học, ký hiệu 1w , nhiễu này được giả định bao gồm nhiễu trắng (Gaussian white noise), sai số bán kính trái đất (sai số do phương pháp mô hình hóa trái đất), sai số về khởi tạo vị trí ban đầu, sai số hệ thống của khối IMU. Gia tốc trong hệ tọa độ ENU, ký hiệu là enua , và được tính toán theo công thức: . (5) e enu enu a imu a n imu u a a a C A a b a              Với enuimuC là ma trận chuyển trạng thái từ hệ tọa IMU (body frame) sang hệ tọa độ ENU, và imua là đầu ra của gia tốc kế trong hệ tọa độ IMU, và ab là sai số của gia tốc kế (sai số này là tổ hợp của ba thành phần: constant bias, turn-on bias, và random walk noise). Hệ số tỉ lệ  1,2,3|aii iSF  và ma trận độ chệch không  , 1,2,3;|ajk j k j kMA   của gia tốc kế được mô tả bởi: 11 12 13 3 3 21 22 23 31 32 33 . (6) a a a a a a a a a a SF MA MA A I MA SF MA MA MA SF              Các giá trị về hệ số tỉ lệ, và độ chệch không của gia tốc kế được lấy từ đặc tính của khối đo lường quán tính IMU. Véc tơ quay liên quan đến ma trận chuyển trạng thái enuimuC của công thức (5) được cho bởi [6]: Công nghệ thông tin N. T. Hòa, , Đỗ Ngọc Tuấn, “Mô hình toán học hệ thống dẫn đường quán tính.” 172        3 3 2 1 cos sin cos . . (7)enu TimuC I                     Trong đó, véc tơ quay     1 2 , , , . T T e n u        , và ma trận của phản đối xứng của véc tơ quay được cho bởi:   0 0 . (8) 0 u n u e e e                  3.2. Mô hình động lực học trạng thái Có nhiều nghiên cứu về mô hình hệ động lực học của véc tơ quay, một trong các mô hình hệ động lực của véc tơ quay được cho dưới dạng:       2 3 3 .sin1 1 1 . (9) 2 . 2 1 cos imu T I                            Trong đó, imu là vận tốc góc trong hệ tọa IMU. Tuy nhiên công thức này không xét vận tốc quay của trái đất, cũng như không xét vận tốc quay của véc tơ vận tốc. Vì vậy, khi xem xét tới vận tốc quay của trái đất, hiệu ứng lực Coriolis, và gia tốc ly tâm thì phương trình động lực học (9) được xem xét dưới dạng: 2. (10) imu enu imu enu w                  Với                   3 3 3 3 sin 1 .1 1 .1 22 1 cos (11) sin 1 .1 1 .1 22 1 cos T T imu T T enu I I                                           Và 1    . Sai số của mô hình động lực, ký hiệu 2w được giả định là nhiễu trắng, bao gồm cả sai số bán kính trái đất và sai số nhiễu của con quay hồi quyển. Vận tốc góc enu bao gồm vận tốc góc của trái đất enu , vận tốc góc ly tâm a và hiệu ứng lực Coriolis c . Theo [6] chúng ta có thể mô tả: 0 0 cos 0 . (12) sin tan 0 n enu enu a c e e v M h v N h v N h                                                  Vận tốc góc imu được xác định theo công thức: Thông tin khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 173 . (13)imu g imu gA b     Trong đó gb là nhiễu, ký hiệu hệ số tỉ lệ  1,2,3|gii iSF  và ma trận độ chệch không  , 1,2,3;|gjk j k j kMA   của con quay hồi chuyển, khi đó: 11 12 13 3 3 21 22 23 31 32 33 . (14) g g g g g g g g g g SF MA MA A I MA SF MA MA MA SF              Các hệ số tỉ lệ, độ chệch không được lấy từ đặc tính kỹ thuật của con quay. 3.3. Mô hình đo đạc Vận tốc và tốc độ góc được sử dụng làm phép đo tham chiếu. Mô hình toán học cho phép đo vận tốc được xây dựng khá đơn giản, một trong các mô hình đó có thể mô tả như sau: 3 1 0 0 0 1 0 . (15) 0 0 1 e e n n u u v v v v w v v                                 Trong đó, sai số của mô hình 3w chính là nhiễu trắng của đầu ra các gia tốc kế. Với các mô hình động lực học đo đạc cho phương trình (15) được cho bởi biểu thức [6]: 1 3cos . (16) tan sin n imu e imu enu e v M h v w N h v N h                                                      Trong đó 3w là nhiễu trắng phép đo của con quay hồi chuyển. Từ mô hình động lực học đo đạc, người ta thiết kế các bộ lọc để giảm thiểu các sai số. Thực tế người ta thường dùng các bộ lọc Kalman trong thiết kế hệ thống [2]. 4. MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ Trong phần này, chúng tôi trình bày mô hình IMU với mục đích mô phỏng. Vì vậy các thành phần sai số được giả thiết là các quá trình Gauss-Markov bậc nhất với tự tương quan là hằng số. Hằng số tự tương quan trong mô phỏng là 7000s. Các phương trình mô tả sai số của con quay hồi chuyển, gia tốc kế được sử dụng trong mô phỏng được cho bởi:  2 1 2a a aa a b b u t      và  2 1 2g g gg g b b u t      Với ab và gb là các sai số của gia tốc kế và con quay hồi chuyển; a và g hằng số tự tương quan; 50, 0.02a g   là độ lệch chuẩn của các nhiễu ngẫu nhiên;  u t là hàm kỳ vọng của nhiễu trắng. 174 Euler đ  đư sử dụng trong mô phỏng nh Vận tốc đông (m/s) Vận tốc bắc (m/s) Vận tốc l Các phép đo c V Mô hình hóa phép Mô hình V với góc ph Ban đ ợc ới ịnh h ới ước l Hình 1 g là véc tơ gia t b    ầu góc ph ên (m/s) N. T. Hòa, , ư đo đ   ượng qua bộ lọc Kalman thích nghi. Độ lệch chuẩn của nhiễu chúng tôi ớng.            ương v . Góc phương v ủa gia tốc kế đ ạc đối với con quay hồi chuyển đ cos cos 90    cos cos  ị ương v ốc trọng tr đo v    Đỗ Ngọc Tuấn ới nhiễu trắng, phép đo đ  sin . ị đ a a b u t enu b g  ư ư trong B ị tham chiếu thực v ư a g enu imu a     ợc khởi tạo l 2.5 x 10 2.5 x 10 3.3 x 10 ợc mô tả theo mô imu ường trong hệ tọa độ quán tính;    0 B , “   là đ ảng 1: ảng 1. - - - Mô hình toán h          b u t 5 5 5 sin cos sin cos cos ầu ra của con quay hồi chuyển tại vĩ độ à Đ Vector quay đông (rad) Vector quay b Véc tơ quay lên (rad)               3.4 10 3.6 10 5.4 10           05 ộ lệch chuẩn của các quá 0.01 0.01 0.1   với sai số 0.5, ph à góc phương v hình: ư ược cho bởi: ọc hệ thống dẫn đ ợc xác định bởi:  6 6 6    .  .  ắc (rad)  Công ngh ương sai c ị ư ư , ,   ớc l ờng quán tính trình nhi 4.4 x 10 4.4 x 10 4.4 x 10 ư ệ là ba góc ợng thông tin ủa nhiễu . - - - .” ễu. 8 8 8 Thông tin khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 175 Kết quả mô phỏng (hình 1) cho thấy góc phương vị được tính bằng phương pháp véc tơ qoay (đường nét liền) gần giá trị thực hơn so với phương pháp tính bằng góc Euler (đường nét đứt). Góc phương vị tính theo phương pháp góc Euler nhấp nhô khoảng 140 trước khi hội tụ và phải mất tới 13 giây để hội tụ về giá trị thực. Trong khi đó đối với phương pháp véc tơ quay góc phương vị nhấp nhô khoảng 20 và mất khoảng 3 giây để hội tụ về giá trị thực. Hình 2. Sai số phép đo của phương pháp véc tơ quay. Trên Hình 2 là hình ảnh mật độ nhiễu của các phép đo mô phỏng con quay hồi chuyển trục X, trục Y và trục Z. Các giá trị trung bình của nhiễu trong phép đo trong khoảng từ 15 giây và 50 giây lần lượt tương ứng là 3.5 x 10-6 (rad/s), 3.64 x 10-6 (rad/s), và 5.44 x 10-6 (rad/s). Vì vậy các phương sai của nhiễu được thiết kế cho bộ lọc Kalman thích nghi với sai số tối đa khoảng 2.9%. 5. KẾT LUẬN Tùy theo những ứng dụng thực tiễn, dẫn đường quán tính được mô tả và mô hình hóa bằng thuật toán số và được thể hiện bằng kỹ thuật để giải quyết vấn đề được đặt ra. Ưu điểm của dẫn đường quán tính là chỉ cần dùng thông tin nội tại của bản thân vật thể chuyển động mà không cần các thông tin từ bên ngoài. Tuy nhiên, sai số của dẫn đường quán tính tăng theo thời gian. Chính vì vậy đã có rất nhiều nghiên cứu để cải thiện vấn đề sai số cho các hệ thống dẫn đường quán tính. Một trong các phương pháp hạn chế sai số trong hệ thống dẫn đường quán tính là sử dụng các mô hình động lực học phi tuyến kết hợp với lọc Kalman trong thiết kế hệ thống. Trong bài báo này, chúng tôi cũng đã trình bày về một mô hình IMU với những đánh giá kết quả thực tế thu được. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Jay A. Farrell, and Matthew Barth, The Global Positioning System & Inertial Navigation, McGraw-Hill, 1998. Công nghệ thông tin N. T. Hòa, , Đỗ Ngọc Tuấn, “Mô hình toán học hệ thống dẫn đường quán tính.” 176 [2]. Mohinder S. Grewal, Angus P. Andrews, Kalman Filtering Theory and Practice, Prentice Hall, 1993. [3]. Robert Grover Brown, Patrick Y.C. Hwang, Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filter, John Wiley & Sons, 1997. [4]. Robert M. Rogers, Applied Mathematics in Integrated Navigation Systems, AIAA, 2000. [5]. Oleg Salychev, Inertial Systems in Navigation and Geophysics, Bauman MSTU Press, Moscow, 1998. [6]. Mohinder S. Grewal, Lawrence R. Weill, and Angus P. Andrews, Global Positioning systems, Inertial Navigation and Integration, Wiley Interscience, 2001. ABSTRACT A MATHEMATICAL MODEL OF INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS In controlling flight vehicles, we have to solve navigation problems. One of the navigation methods is inertial navigation without using information from outside the moving object that uses information about the acceleration of the moving object itself to determine the navigational parameters. This paper presents a new dynamic mathematical model of inertial navigation systems. Keywords: Inertial navigation system; Inertial coordinates; Inertial measurement unit; Euler angle. Nhận bài ngày 28 tháng 12 năm 2018 Hoàn thiện ngày 28 tháng 02 năm 2019 Chấp nhận đăng ngày 25 tháng 3 năm 2019 Địa chỉ: Viện Công nghệ thông tin/Viện KH-CNQS. *Email: thaihoa78th@gmail.com.