Mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn có khâu đàn hồi tịnh tiến

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 111 MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN Nguyễn Quang Hoàng1,*, Nguyễn Văn Quyền1, Vũ Đức Vương2 Tóm tắt: Máy nâng hạ được sử dụng nhiều trong việc bốc dỡ hay xếp hàng trong kho. Việc nâng cao tốc độ vận hành của máy hay giảm vật liệu của khâu thao tác sẽ làm cho hiệu ứng dao động do tính đàn hồi của khâu trở nên không thể bỏ qua được. Bài báo này trình bày việc mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn với khâu đàn hồi chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm một đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát. Dựa trên các dạng riêng của dầm, các phương trình mô tả tay máy có khâu đàn hồi được thiết lập. Trên cơ sở mô hình này cùng với bộ điều khiển PD, ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến chuyển động của điểm tác động cuối được khảo sát. Nhờ công cụ phần mềm Matlab các kết quả mô phỏng được đưa ra. Từ khóa: Tay máy đàn hồi, Dầm Euler – Bernoulli tịnh tiến, Phương pháp Ritz – Galerkin bộ điều khiển PD, Điều khiển dựa trên năng lượng. 1. MỞ ĐẦU Tay máy robot được sử dụng trong nhiều lĩnh vực công nghiệp. Tay máy robot truyền thống được thiết kế có độ cứng cao, do đó, có thể được mô hình như hệ các vật rắn tuyệt đối được liên kết bởi các khớp quay hoặc khớp tịnh tiến để thuận tiện cho việc điều khiển hệ thống này. Độ cứng cao đạt được bằng cách tăng kích thước và khối lượng của khâu và do đó làm tăng kích thước của các cơ cấu dẫn truyền động, cùng với đó mức tiêu thụ năng lượng cho robot cũng tăng lên. Ngược lại, một tay máy robot nhẹ mảnh có chi phí vật liệu và năng lượng thấp hơn. Tuy nhiên, việc giảm khối lượng khâu sẽ dẫn đến việc giảm độ cứng của khâu. Các tay máy trở nên mềm hơn và khó khăn hơn để điều khiển chính xác. Do đó, tính chất đàn hồi của khâu không thể bỏ qua trong việc điều khiển robot nhẹ mảnh hoặc các thiết bị chuyển động với tốc độ cao. Báo cáo này trình bày việc mô hình hóa và mô phỏng tay máy đơn với khâu đàn hồi chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm Euler – Bernoulli dầm một đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát. Dựa trên các dạng dao động riêng, các phương trình mô tả tay máy có khâu đàn hồi được thiết lập. 2. MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN 2.1. Mô hình động lực Khảo sát mô hình tay máy như trong hình 1, bao gồm: cơ cấu chấp hành tịnh tiến ở bên trái; dầm Euler – Bernoulli đồng chất, thiết diện không đổi, có chiều dài L, khối lượng riêng ρ; và tải trọng được mô hình như chất điểm có khối lượng mt. Gọi z(t) là dịch chuyển mt u z m0 x w(x,t) L E,I,L, ĐC một chiều Khớp nối Hình 1. Mô hình tay máy đàn hồi. Hệ truyền động trục vít Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 112 dọc trục z của con trượt khối lượng m0 và ( , )w x t là độ võng của trục dầm tại mặt cắt cách con trượt một khoảng x. Áp dụng nguyên lý Hamilton hoặc nguyên lý d’Alembert, phương trình vi phân chuyển động của dầm Euler – Bernoulli [1-3] được đưa ra như sau: 4 5 2 4 4 2 0 i e w w w w EI I A z z tx t x t                                            (1) trong đó, E là môđun đàn hồi của vật liệu, I và A lần lượt là mômen quán tính mặt và diện tích của thiết diện dầm, e  là hệ số cản ngoài và i  là hệ số cản trong. Trong phương trình trên, lực cản ngoài với tỷ lệ bậc nhất với vận tốc, d e F Awdx   , và lực cản trong được suy ra từ mô hình cản Kelvin–Voigt ( ) i E      [10]. Các điều kiện biên tại hai đầu dầm được đưa ra như sau: 0x  : (0, ) 0, (0, ) 0 w w t t x     x L : 2 2 ( , ) 0 w EI L t x    (2) Và: 2 3 2 ,2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) i t e tip w w w w EI I L t m z L t z L t x tx t x t                                     (3) Phương trình chuyển động của con trượt dẫn động nhận được nhờ nguyên lý d’Alembert như sau: 2 0 20 0 2 ,2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L e t e tip w w m z Adx z x t z x t dx tt w w m z L t z L t u tt                                           (4) trong đó, 0 m là khối lượng của con trượt, c u và z d z lần lượt là lực điều khiển và lực cản nhớt tác dụng lên con trượt, fric f là lực ma sát Coulomb tác dụng lên con trượt. Nếu bỏ qua cản trong và cản ngoài phương trình mô tả hệ trở thành 4 2 4 2 0 w w EI A z x t             , khi 0 x L  (5) với điều kiện biên tại hai đầu dầm: 0x  : (0, ) 0, (0, ) 0 w w t t x     (6) x L : 2 2 ( , ) 0 w EI L t x    và 3 2 3 2 ( , ) ( , ) t w w EI L t m L t z x t            (7) cùng với phương trình chuyển động của khâu dẫn 2 2 0 2 20 ( , ) ( , ) L t c z fric w w m z Adx z x t m z L t u d z f t t                              (8) Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 113 2.2. Biến đổi bài toán về dạng phương trình vi phân thường Phương trình dao động tự do không cản của dầm với khối lượng tập trung ở đầu dầm Trong mục này, phương trình đặc trưng và dạng dao động riêng ứng với các tần số dao động riêng được đưa ra để biến đổi phương trình đạo hàm riêng về dạng phương trình vi phân thường, dùng cho bài toán mô phỏng và điều khiển. Trong trường hợp này, với 0z  các phương trình (5) trở thành [4-6]: 4 2 4 2 0 w w EI A x t        , khi 0 x L  (9) với các điều kiện biên một đầu ngàm chặt và một đầu mang khối lượng tập trung (0, ) 0, (0, ) 0 w w t t x     và 2 3 2 2 3 2 ( , ) 0, ( , ) ( , ) t w w w EI L t EI L t m L t x x t         (10) Áp dụng phương pháp tách biến Bernoulli, nghiệm của phương trình (9) được tìm ở dạng: ( , ) ( ) ( )w x t X x T t (11) Thế (11) vào phương trình (9), ta được: 2( ) ( ) 0T t T t  (12) 4 2 4 ( ) ( ) 0 d X x A X x EIdx    (13) Nghiệm của phương trình (13) có dạng: 1 2 3 4( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( )L L L LX x C x C x C x C x        (14) trong đó, 4 4 2 AL EI    và 1 2 3 4 , , ,C C C C là các hằng số. Từ các điều kiện biên (10) ta nhận được 3 1 4 2 2 1 (sin sinh ) , , (cos cosh ) C C C C C C             (15) Và: 1 1 cos cosh (cos sinh sin cosh ) 0C               (16) trong đó, t t beam m m AL m     . Từ điều kiện hệ số 1 C phải không triệt tiêu, ta nhận được phương trình đặc trưng hay phương trình tần số của dầm như sau:  1 cos cosh cos sinh sin cosh 0          (17) Giải phương trình phi tuyến (17), ta nhận được các trị riêng ,( 1,2,...) k k  , sau đó thế vào (14), ta thu được các hàm riêng:  1, 1, (sin sinh ) ( ) sin( ) sinh( ) cos( ) cosh( ) : ( ) (cos cosh ) ( ) k kx x x x k k k k k k kL L L L k k k k X x C x C x                      (18) Các hàm riêng thỏa mãn điều kiện trực giao sau đây: 0 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0, L ik i k i t k i k A x x dx L m L i k               (19) Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 114 Hằng số 1,k C trong (18) được xác định từ điều kiện chuẩn hóa 1 ik   hoặc để đơn giản, ta lấy 1, 1 k C  . Biến đổi phương trình đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường Để biến đổi hệ phương trình mô tả hệ (1)-(4) về dạng phương trình vi phân thường – dạng đơn giản để mô phỏng và thiết kế bộ điều khiển - ta tìm nghiệm ( , )w x t của hệ bằng phương pháp khai triển theo các hàm riêng dạng: 1 ( , ) ( ) ( ) p k k k w x t x q t    với 1,2, 3,...p  (20) Thế biểu thức (20) vào phương trình (1) ta nhận được: 3 3 "" "" 3 30 0 1 1 ,0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p pL L k k j k j k i j k j k k k p L L e j k e tip j k k j k t j k k d d EI x x dx L L q t I x x dx L L q t dx dx x x dx L L q t A x x dx m L L                                                                1 ,0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1,2,..., p k k L L j t j e j e tip j q t A x dx m L z x dx L z j p                                       (21) Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 23 2 "" 3 2 20 0 2 2 4 40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , L L jk k j k j L j j k j t k j jk j jk d xd d x EI x x dx L L EI dx dx dx dx EI x A x dx L m L m m AL                                     (22) với 0 ( ) ( ) ( ) ( ). L jk j k j t k m x A x dx L m L      Dựa vào tính chất trực giao của các hàm riêng (19), cùng với (22), phương trình (21) được viết lại dưới dạng thu gọn như sau: , , 1 , , , 1 , 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1,2,..., p p p i e e j k k j p j k j k k j p j k k k k k m q t m z d d q t d z k q t j p                  (23) trong đó 3 "" 4 , 3 40 ( ) ( ) ( ) ( ) L jk jki k j k i j k j i i i j jk k kd I d I x x dx L L I m EI Edx AL                        (24) , , , 1 ,0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) L L e e j k e j k e tip j k j p e j e tip j d x x dx L L d x dx L                               (25) Thế (20) vào (4), ta nhận được: ,0 0 1 1 , 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p pL L k t k k e k e tip k k k k e e tip t c z fric A x dx m L q t x dx L q t L z m AL m z u d z f                                             1, 1, 1, 1 1, 1 1 1 ( ) ( ) p p e e p k k p k k p p p p c fric k k m q t d q t m z d z u f                  (26) trong đó, các phần tử khối lượng và cản được xác định như sau: 1, 1, 1 00 1, , 1, 1 ,0 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), L p k k t k p p t L e e p k e k e tip k p p z e e tip m A x dx m L m m AL m d x dx L d d L                             (27) Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 115 Các phương trình (23) và (26) viết lại dưới dạng ma trận: ,o c fricu u u f    Ms Ds Ks B  (28) trong đó, 1 2 [ , , ..., , ] ,T p q q q zs o( 1) 1 [0, 0, ..., 0,1]T p  B . Để phân biệt giữa dịch chuyển của con trượt dẫn z và các tọa độ suy rộng q của dầm đàn hồi, phương trình chuyển động trên được viết lại ở dạng sau 11 12 11 12 11 12 21 22 21 22 21 22 1T T T u z z zm d k                                                                  M m D d K kq q q 0 m d k     (29) Hạ bậc (29) ta nhận được phương trình trạng thái của hệ dạng: u x Ax B , với [ , ]T T T x s s và 1 1 1, o                       0 I 0 A B M K M D M B (30) Phương trình đầu ra của hệ Theo sơ đồ hình 1, ta xác định được dịch chuyển của điểm đầu dầm nơi có khối lượng tập trung: 1 ( ) ( ) 1 p tip k kk z L q z L z                    q  với 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) p L L L L        (31) đo được bằng các sensor, khi đó, phương trình đầu ra của hệ thống được thể hiện bởi phương trình: ( ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 1 tip base tip base w L z z w L z z                                                       q y Cx q      (32) Trong trường hợp chỉ có thể đo được vị trí và vận tốc của con trượt dẫn, phương trình đo của hệ trở thành: 0 1 0 0 0 0 0 1 base base z z z z                                  q y Cx q   (33) 2.3. Thiết kế bộ điều khiển Xem xét hàm trữ năng 1 1 2 2 T TE  s Ms s Ks  , đạo hàm theo thời gian của hàm trữ năng và chú ý đến phương trình (28) ta thu được: ( ) .T T T ToE u zu zu         s Ms s Ks s B Ds Ks Ks s Ds           (34) Số hạng zu biểu thị năng lượng cung cấp bởi các động cơ dẫn động cho hệ. Bất đẳng thức trong phương trình (34) cho thấy rằng hệ thống là thụ động. Trong trường hợp đầu vào bằng 0, 0,u  hệ thống có một sự cân bằng ổn định , 0, 0, 0 d z z z   q q  , tại đó, năng lượng đạt giá trị cực tiểu và bằng 0. Từ tính chất thụ động của hệ thống, để thiết kế bộ điều khiển hàm Lyapunov đề xuất được chọn như sau: Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 116 2 2 1 1 ( ) 2 2v p d V E k z k z z    , với 0, 0 v p k k  (35) Đạo hàm V theo thời gian ta nhận được: ( ) T v p d V z u k z k z z         s Ds     (36) Từ phương trình (36) một luật điều khiển u sẽ được chọn thỏa mãn: ( )p d v du k z z k z k z      (37) Lưu ý rằng, từ (29) ta tính được z , sau đó, thay vào (37) để xác định luật điều khiển. Tuy nhiên, để cho đơn giản ta chọn 0 v k  , và nhận được bộ điều khiển PD như sau: ( )d p du k z k z z    (38) Khi đó, ta có 2 0T d V k z   s Ds    . 3. MÔ PHỎNG SỐ Các mô phỏng số được thực hiện để minh họa ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến chuyển động của điểm tác động cuối và hiệu quả của bộ điều khiển đề xuất. Trong mô phỏng này, bộ số liệu sau đây được sử dụng [8, 9]: 9 269 10 N/mE  , 1 424.1667 10I m , 37850 kg/m  , 5 25 10 mA  , 0.3 mL  , 0.01 kg t m  , 0 0.455 kgm  . Vị trí cần đạt tới zd = 0.3 m. Bộ điều khiển PD sử dụng các tham số: 100pk  , 50.dk  Số các dạng riêng đầu tiên được sử dụng trong các mô phỏng lần lượt là 1, 2p p  và 6p  . Các kết quả mô phỏng được thể hiện trên các hình 2 đến 5. 0 1 2 3 4 5 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 t [s] z , z tip [ m ] z z tip Hình 2. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 1, hệ 2 DOF. 0 1 2 3 4 5 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 t [s] z , z tip [ m ] z z tip Hình 3. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 2, hệ 3 DOF. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 117 0 1 2 3 4 5 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 t [s] z , z tip [ m ] z z tip Hình 4. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 6, hệ 7 DOF. 0 1 2 3 4 5 -2 0 2 4 t [s] u [ N ] Hình 5. Lực điều khiển con trượt, khi p = 1. Các đồ thị trên cho thấy con trượt đạt đến vị trí mong muốn của nó trong khoảng 2,5 giây. Ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến chuyển động của điểm tác động cuối được thể hiện trong các hình 2, 3 và 4. Các kết quả trên cũng cho thấy không có sự khác biệt nhiều khi số lượng dạng riêng 2p  và 6p  sử dụng trong mô phỏng. 4. KẾT LUẬN Bài báo này đã trình bày việc mô hình hóa tay máy đơn chuyển động tịnh tiến có khâu đàn hồi. Dựa trên các dạng riêng của dầm một đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập trung, hệ phương trình đạo hàm riêng đã được biến đổi về phương trình vi phân thường. Trên cơ sở mô hình này, cùng với bộ điều khiển PD, ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến chuyển động của điểm tác động cuối được khảo sát. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Meirovitch, L. (2001), “Fundamentals of Vibrations’’, McGraw-Hill, New York. [2] Thomson W. T., M. D. Dahleh (2005), “Theory of Vibration with Applications (Fifth Edition)”, Prentice-Hall, Inc., NJ. [3] Erturk A., D. J. Inman (2011), “Piezoelectric Energy Harvesting”, John Wiley & Sons, Ltd., United Kingdom. [4] Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4)”, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [5] Zhi-Cheng Qiu (2012), “Adaptive nonlinear vibration control of a Cartesian flexible manipulator driven by a ballscrew mechanism”, Mechanical Systems and Signal Processing, 30, pp. 248–266. Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 118 [6] Pratiher, B., S. K. Dwivedy (2009), “Nonlinear response of a flexible Cartesian manipulator with payload and pulsating axial force”, Nonlinear Dynamics, 57, pp. 177–195. [7] Pratiher, B., S. K. Dwivedy (2007), “Non-linear dynamics of a flexible single link Cartesian manipulator”, International Journal of Non-Linear Mechanics, 42, pp. 1062–1073. [8] Dadfarnia, M., N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson (2004), “Lyapunov-Based Vibration Control of Translational Euler-Bernoulli Beams Using the Stabilizing Effect of Beam Damping Mechanisms”, Journal of Vibration and Control, 10, pp. 933–961. [9] Dadfarnia, M., N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson (2003), “Lyapunov-based Piezoelectric Control of Flexible Cartesian Robot Manipulators”, Proceedings of the American Control Conference Denver, Colorado, pp. 5227–5232. [10] Banks, H. T. and D. J. Inman (1991), “On Damping Mechanisms in Beams”, Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, 58 (3), pp. 716–723. ABSTRACT MODELING AND CONTROLLING A DEGREE OF FREEDOM MANIPULATOR WITH TRANSLATIONAL ELASTIC LINK Lifting equipment are widely used in the loading or unloading in warehouses. Increasing the equipment's operating speed or reducing the dimensions of the link will cause the vibration effect of the elasticity of the suture to be inevitable. In this paper, the modeling and controlling of a degree of freedom with translational elastic link are presented. First of all, the vibration problem of a single beam and the other end of the beam is investigated. Based on the types of beams, equations describing translational elastic link are established. Based on this model together with the PD controller, the influence of the elasticity of the suture to the motion of the last impact point was investigated. Thanks to the Matlab software tools the simulation results are given. Keywords: Mechatronic system, PD controller, Ritz-Galerkin method, Flexible manipulator. Nhận bài ngày 02 tháng 5 năm 2017 Hoàn thiện ngày 10 tháng 6 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 7 năm 2017 Địa chỉ: 1Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; 2Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Điện tử, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên. * Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn