Lý thuyết và bài tập Hình học 10

1 Các Khái niệm về vectơ 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối. • Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu # »AB. • Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết #»x, #»y , . . . Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A,B,C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau? Ví dụ 1.2. Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A1, A2, . . . , A2009? Định nghĩa 1.2. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu #» 0 . 2 Hai vectơ cùng phương 2.1 Giá của một vectơ Định nghĩa 2.1. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ. Giá của vectơ # » AB là đường thẳng AB. 2.2 Hai vectơ cùng phương Định nghĩa 2.2. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 3 Hai vectơ cùng hướng Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng. Chú ý • Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng. • Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng. • Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. . 3.1. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A,B,C trong các trường hợp sau: 1. # » AB và # » AC ngược hướng. 2. # » AB và # » AC cùng phương. 4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau 4.1 Độ dài của một vectơ Định nghĩa 4.1. Độ dài của vectơ # » AB, kí hiệu | # »AB|, chính là độ dài đoạn thẳng AB. Độ dài của vectơ #»0 bằng 0. Định nghĩa 4.2. Một vectơ có độ dài bằng 1 thì gọi là vectơ đơn vị. 1 4.2 Hai vectơ bằng nhau Định nghĩa 4.3. Hai vectơ #»a và #» b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu #»a = #» b nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. . 4.1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm các vectơ bằng # » OA. . 4.2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi # » AB = # » DC. . 4.3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H là trực tâm tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng # » AH = # » DC. 2. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng # » AI = # » OM . 5 Tổng của hai vectơ Định nghĩa 5.1. Cho hai vectơ #»a và #» b . Từ điểm A tuỳ ý, dựng # » AB = #»a . Từ B, dựng # » BC = #» b . Khi đó, # » AC được gọi là vectơ tổng của hai vectơ #»a và #» b . Kí hiệu # » AC = #»a + #» b . 5.1 Quy tắc ba điểm Với ba điểm A,B,C tuỳ ý, ta luôn có # » AB + # » BC = # » AC. 5.2 Quy tắc hình bình hành b A b B b D #»u #»v b C #»u + #»v Cho hình bình hành ABCD, ta có # » AB + # » AD = # » AC. 5.3 Tính chất Với mọi vectơ #»a , #» b , #»c , ta có 1. #»a + #» b = #» b + #»a ; 2. #»a + ( #» b + #»c ) = ( #»a + #» b ) + #»c ; 3. #»a + #» 0 = #» 0 + #»a = #»a . . 5.1. Tính tổng #»u = # » AB + # » DE + # » FA+ # » CD + # » EF + # » BC. . 5.2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E, F . Chứng minh rằng # » AD + # » BE + # » CF = # » AE + # » BF + # » CD. . 5.3. Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O,A,B. Với điều kiện nào thì # » OA+ # » OB nằm trên đường phân giác của góc ÂOB? . 5.4. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ # » AB + # » AC và # » AB + # » CB theo a. 2 . 5.5. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có # » MA+ # » MC = # » MB + # » MD. . 5.6. Cho tam giác ABC, về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABMN , BCPQ, CARS. Chứng minh rằng 1. # » MN + # » PQ + # » RS = #» 0 . 2. # » MQ + # » PS + # » RN = #» 0 . . 5.7. Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho | # »MA+ # »MB| = k. . 5.8. Cho các vectơ #»a , #» b , #»c . Chứng minh rằng | #»a |+ | #»b | > | #»a + #»b |. Dấu bằng xảy ra khi nào? . 5.9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu | # »AD + # »BC| = | # »AB + # »DC|, thì AC ⊥ BD. . 5.10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính PQ = 2. Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A,B,C khác P và Q. Chứng minh rằng | # »OA+ # »OB + # »OC| > 1. 6 Hiệu của hai vectơ 6.1 Vectơ đối của hai vectơ Định nghĩa 6.1. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng. • Nếu #»a và #»b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #»a = − #»b hay #»b = − #»a . • Vectơ đối của # »AB là − # »AB, và − # »AB = # »BA. • Vectơ đối của #»0 là #»0 . 7 Tính chất Tổng của vectơ #»a với vectơ đối của nó bằng vectơ - không. 7.1 Hiệu của hai vectơ Định nghĩa 7.1. Hiệu của hai vectơ #»a và #» b , kí hiệu #»a − #»b , là tổng của vectơ #»a với vectơ đối của vectơ #» b . #»a − #»b = #»a + (− #»b ). 7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu Với ba điểm A,B,C tuỳ ý, ta luôn có # » AB − # »AC = # »BC. . 7.1. Dựng hiệu của hai vectơ #»a và #» b cho trước. . 7.2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy rút gọn các vector 1. # » CO − # »BA; 2. # » CO − # »OD + # »CB; . 7.3. Cho năm điểm A,B,C,D,E. Chứng minh rằng # » AC + # » DE − # »DC − # »CE + # »CB = # »AB. 3 . 7.4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu | # »CA− # »CB| = | # »CA + # »CB|, thì tam giác ABC vuông tại C. . 7.5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện # » AB + # » AC vuông góc với # » AB − # »AC, thì tam giác ABC cân. . 7.6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ # » AB − # »BC theo a. . 7.7. Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác. Chứng minh rằng # » OA+ # » OB + # » OC + # » OD + # » OE + # » OF = #» 0 . . 7.8. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Chứng minh rằng # » OA+ # » OB + # » OC + # » OD + # » OE = #» 0 . . 7.9. Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A′B′C ′D′ có cùng tâm thì # » AA′ + # » BB′ + # » CC ′ + # » DD′ = #» 0 . . 7.10. Cho hình thoi ABCD có B̂AD = 60◦ và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | # »AB + # »AD|, | # »BA− # »BC|, | # »OB − # »DC|. . 7.11. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | # »OA− # »CB|, | # »AB+ # »DC|, | # »CD − # »DA|. 8 Tích của một số thực với một vectơ Định nghĩa 8.1. Cho số thực k và vectơ #»a . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k #»a , được xác định như sau: • Nếu k > 0, thì vectơ k #»a cùng hướng với vectơ #»a . Nếu k < 0, thì vectơ k #»a ngược hướng với vectơ #»a . • Độ dài vectơ k #»a bằng |k| · | #»a |. 9 Tính chất Cho các vectơ #»a và #» b ; cho các số thực k,m. Ta có • k · ( #»a + #»b ) = k · #»a + k · #»b ; • (k + m) · #»a = k · #»a + m · #»a ; • (k −m) · #»a = k · #»a −m · #»a ; • k(m · #»a ) = (km) · #»a ; • k · #»a = #»0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc #»a = #»0 . . 9.1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M là điểm bất kì, ta có # » MA + # » MB = 2 # » MI. . 9.2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. 4 1. Chứng minh rằng # » GA + # » GB + # » GC = #» 0 . Ngược lại, nếu # » MA + # » MB + # » MC = #» 0 , thì M là trọng tâm của tam giác ABC. 2. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có # » GA+ # » GB + # » GC = 3 # » MG. . 9.3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M sao cho # » MA + # » MB + # » MC + # » MD = #» 0 . . 9.4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có # » MA+ # » MB + # » MC + # » MD = 4 # » MO. . 9.5. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng # » AB + # » CD = 2 # » IJ . . 9.6. Cho bốn điểm A,B,C,D. Gọi I, J lần là trung điểm của các cạnh BC, CD. Chứng minh rằng 2( # » AB + # » AI + # » JA+ # » DA) = 3 # » DB. . 9.7. Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng điểm G sao cho # » GA + # » GB + # » GC + # » GD = #» 0 . Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có # » OG = 1 4 ( # » OA + # » OB + # » OC + # » OD). . 9.8. Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì. Kẻ MH,MK,MI lần lượt vuông góc với các cạnh BC,CA,AB. Chứng minh rằng # » MA+ # » MB + # » MC = 2( # » MH + # » MK + # » MI). . 9.9. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M,N,P sao cho 1. # » MA+ # » MB − 2 # »MC = #»0 ; 2. # » NA+ # » NB + 2 # » NC = #» 0 ; 3. # » PA− # »PB + 2 # »PC = #»0 . . 9.10. Cho hai tam giác ABC và A′B′C ′ có trọng tâm lần lượt là G và G′. Chứng minh rằng nếu # » AA′ + # » BB′ + # » CC ′ = #» 0 , thì G trùng G′. . 9.11. Cho lục giác ABCDEF . Gọi P,Q,R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF , FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau. 9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương Định lí 9.1. Vectơ #» b cùng phương với vectơ #»a 6= #»0 khi và chỉ khi có số k sao cho #»b = k #»a . 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Định lí 9.2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng là # » AB = k # » AC. . 9.12. Cho bốn điểm A,B,C,M thoả mãn # » MA+ 2 # » MB − 3 # »MC = #»0 . . 9.13. Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho # » MN = 2 # » MA + 3 # » MB − # »MC. 1. Tìm điểm I thoả mãn 2 # » IA + 3 # » IB − # »IC = #»0 . 2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 5 . 9.14. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. 1. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh # » AH = 2 # » OI. 2. Chứng minh # » OH = # » OA+ # » OB + # » OC. 3. Chứng minh ba điểm O,G,H thẳng hàng. . 9.15. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi # » IA = 2 # » IB; 3 # » JA + 2 # » JC = #» 0 . 1. Tính # » IJ theo # » AB và # » AC. Đáp số. # » IJ = 2 5 # » AC − 2 # »AB. 2. Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Đáp số. # » IJ = 6 5 # » IG. . 9.16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thoả 3 # » MA + 4 # » MB = #» 0 và # » CN = 1 2 # » BC. Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. . 9.17. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho # » BD = 3 5 # » BC, gọi E là điểm thoả mãn hệ thức 10 # » EA + 2 # » EB + 3 # » EC = #» 0 . Chứng minh ba điểm A,E,D thẳng hàng. Hướng dẫn. Chọn E làm gốc. # » EA = −1 2 # » ED. . 9.18. Cho tam giác ABC, gọi D, I là các điểm xác định bởi 3 # » DB − 2 # »DC = #»0 và # »IA+ 3 # »IB − 2 # »IC = #»0 . Chứng minh ba điểm A, I,D thẳng hàng. Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc { # »AB, # »AC}; # »AD = 2 # »AI. . 9.19. Cho tam giác ABC, gọi M,N là các điểm xác định bởi # » MA+3 # » MC = #» 0 và # » NA+2 # » NB+3 # » NC = #» 0 . Chứng minh ba điểm M,N,B thẳng hàng. Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc { # »BA, # »BC}; # »BM = 3 2 # » BN. 9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Định nghĩa 9.1. Cho hai vectơ #»a và #» b . Nếu vectơ #»c có thể viết được dưới dạng #»c = m #»a + n #» b , với m,n là hai số thực nào đó, thì ta nói vectơ #»c biểu thị được (hay phân tích được) qua hai vectơ #»a và #» b . Định lí 9.3. Cho hai vectơ không cùng phương #»a và #» b . Khi đó mọi vectơ #»x đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ #»a và #» b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho #»x = m #»a + n #» b . . 9.20. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh # » AM = 1 3 # » AB + 2 3 # » AC. . 9.21. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho # » BD = 3 5 . Gọi E là điểm thoả 4 # » EA + 2 # » EB + 3 # » EC = #» 0 . 1. Tính # » ED theo # » EB và # » EC. Đáp số. # » ED = 2 5 # » EB + 3 5 # » EC. 6 2. Chứng minh ba điểm A,E,D thẳng hàng. Hướng dẫn. # » EA = −5 4 # » ED. Bài toán. Cho n điểm A1, A2, . . . , An và tập hợp các số thực x1, x2, . . . , xn sao cho x1+x2+ · · ·+xn 6= 0. Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện |x1 # »MA1 + x2 # »MA2 + · · · + xn # »MAn| = k. • Bước 1. Chọn điểm I sao cho x1 # » IA1 + x2 # » IA2 + · · · + xn # »IAn = #»0 . Khi đó, điểm I xác định duy nhất và |x1 # »MA1 + x2 # »MA2 + · · · + xn # »MAn| = |(x1 + x2 + · · · + xn) # »MI |. • Bước 2. Từ điều kiện đã cho suy ra IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I, bán kính là một hằng số xác định. . 9.22. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho | # »MA + 2 # »MB| = 3. Đáp số. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = 1. . 9.23. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho • | # »MA+ # »MB + # »MC| = 3. • | # »MA+ 2 # »MB + 3 # »MC| = 12. Bài toán. Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A1, A2, . . . , An và tập hợp các số thực x1, x2, . . . , xn sao cho x1 +x2 + · · ·+xn 6= 0. Với mỗi điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điều kiện x1 # » NA1 + x2 # » NA2 + · · · + xn # »NAn = # »NM. Tìm tập hợp các điểm M . • Bước 1. Rút gọn biểu thức vế trái bằng cách chọn điểm I sao cho x1 # » IA1 + x2 # » IA2 + · · · + xn # »IAn = #»0 . Khi đó, điểm I xác định duy nhất và biểu thức vectơ được rút gọn là (x1 + x2 + · · · + xn) # »NM. • Bước 2. Đẳng thức trên chứng tỏ # »NI và # »NM cùng phương. Từ đó, suy ra tập hợp điểm M . • Chú ý xét thêm giới hạn của điểm M (nếu có). . 9.24. Cho hai điểm A,B và đường thẳng (d). Với mỗi điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả # » NM = 2 # » NA + 3 # » NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d). . 9.25. Cho hai điểm A,B và đường tròn (O;R). Với mỗi điểm N trên (O;R) ta dựng điểm M thoả # » NM = 2 # » NA+ 3 # » NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d). 7 9.4 Tìm tập hợp điểm Ta áp dụng các kết quả cơ bản sau: • Nếu | # »OM | = | #»v | với O cố định, #»v không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính | #»v |. • Nếu | # »MA| = | # »MB| với A,B cố định, thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB. • Nếu # »OM = k · #»a với O cố định, #»a không đổi, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua O và song song với giá của #»a . • Nếu # »OM = k · # »OA, với A cố định, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng OA. . 9.26. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho: 1. # » MA+ k # » MB = k # » MC (k ∈ R). 2. # » MA+ (1 − k) # »MB + (1 + k) # »MC = #»0 (k ∈ R). 3. # » MA+ (1 − k) # »MB + k # »MC = #»0 (k ∈ R). . 9.27. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho: 1. | # »MA+ # »MB| = | # »MB − # »MC|; 2. |2 # »MA + # »MB| = | # »MA + # »MB + # »MC|; 3. | # »MA+ # »MB − # »MC| = |2 # »MA− # »MB − # »MC|. 4. | # »MA+ # »MB| = k( # »MB − # »MC)| (k ∈ R). . 9.28. Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC,CA,AB. 1. Chứng minh rằng # » MD + # » ME + # » MF = 3 2 # » MO; 2. Tìm tập hợp các trọng tâm tam giác DEF khi M chuyển động sao cho | # »MD + # »ME + # »MF | có giá trị không đổi. 10 Trục toạ độ Định nghĩa 10.1. Trục toạ độ là một đường thẳng mà trên đó ta đã chọn một điểm làm gốc và một vectơ đơn vị. Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc và nhận vectơ #» i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu là (O; #» i ). Hướng dương của trục là hướng của vectơ #» i . Hướng ngược lại là hướng âm. 11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ 11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục Xét trục (O; #» i ) và điểm M trên trục. Nếu # » OM = k #» i , thì toạ độ của điểm M là k. 8 11.2 Độ dài đại số của một vectơ Cho hai điểm A,B trên trục toạ độ (O; #» i ), nếu # » AB = k #» i , thì độ dài đại số của vectơ # » AB, kí hiệu AB. 12 Hệ trục toạ độ Định nghĩa 12.1. Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ (O; #» i ) và (O; #» j ) vuông góc với nhau tại O. Một hệ trục như thế gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxy hay hệ trục toạ độ Oxy. • Điểm O gọi là gốc toạ độ. • Trục Ox gọi là trục hoành. • Trục Oy gọi là trục tung. • Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ. 13 Toạ độ của một vectơ 13.1 Toạ độ của một vectơ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực x, y sao cho # » OM = x #» i + y #» j . Bộ hai số thực (x; y) được gọi là toạ độ của vectơ # » OM , kí hiệu # » OM = (x; y) hay # » OM(x; y) # » OM = (x; y) ⇔ # »OM = x #»i + y #»j . • Toạ độ của vectơ đơn vị #»i là (1; 0), tức là #»i = (1; 0); • Toạ độ của vectơ đơn vị #»j là (0; 1), tức là #»j = (0; 1); • Toạ độ của vectơ - không là (0; 0), tức là #»0 = (0; 0). Ví dụ 13.1. Nếu # » OM = −2 #»i + 3 #»j , thì M( ; ). Ví dụ 13.2. Nếu # » OM = 5 #» i , thì M( ; ). Ví dụ 13.3. Nếu # » OM = √ 2 #» j , thì M( ; ). Ví dụ 13.4. Nếu M(1;−√3), thì # »OM = #»i + #»j . 13.2 Toạ độ của một điểm Định nghĩa 13.1. Toạ độ của điểm M cũng chính là toạ độ của vectơ # » OM . 13.3 Các phép toán về vectơ Cho các vectơ #»a = (a1; a2), #» b = (b1; b2) và số k. Ta có 1. #»a + #» b = (a1 + b1; a2 + b2); 2. #»a − #»b = (a1 − b1; a2 − b2); 3. k #»a = (ka1; ka2). 9 4. #»a = #» b ⇔ a1 = b1,a2 = b2. 5. Cho #»a 6= #»0 , vectơ #»b cùng phương với #»a khi và chỉ khi tồn tại số thực k thoả mãn b1 = ka1b2 = ka2 13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm Cho A(xA; yA) và B(xB; yB) thì # » AB = (xB − xA; yB − yA). # » AB = (xB − xA; yB − yA) 13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng Cho A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi I(xI ; yI) là trung điểm của đoạn thẳng AB, thìxI = xA + xB 2 , yI = yA + yB 2 . 13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác Cho tam giác ABC, A(xA; yA), B(xB ; yB) và C(xC ; yC). Gọi G(xG; yG) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có xI = xA + xB + xC 3 , yG = yA + yB + yC 3 . . 13.1. Cho #»u = (−1; 2), #»v = (−5;−3); #»m = (4; 1). 1. Tìm toạ độ của vectơ #»s = 2 #»u − 3 #»v ; 2. Tìm toạ độ của vectơ #» t = 5 #»m + #» j ; 3. Cho điểm A(1;−3). Tìm toạ độ điểm M sao cho 3 # »AM − 2 #»v = #»0 . . 13.2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục toạ độ (A; #» i , #» j ) sao cho #» i và # » AD cùng hướng, #» j và # » AB cùng hướng. Tìm toạ độ của các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I của hai đường chéo hình vuông, toạ độ trung điểm M của cạnh BC và toạ độ trung điểm Ncủa cạnh CD. . 13.3. Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4;−1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. . 13.4. Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. . 13.5. Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng. 1. #»a = (2; 3) và #» b = (−10;−15); 2. #»u = (0; 7) và #»v = (0; 8); 10 3. #»c = (3; 4) và #» d = (6; 9) . 13.6. Cho A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0). Chứng minh rằng ba điểm A,B,C thẳng hàng. . 13.7. Cho A(3; 4), B(2; 5). Tìm x để điểm C(−7;x) thuộc đường thẳng AB. . 13.8. Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3). Chứng minh rằng AB và CD song song. . 13.9. Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4). 1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B . 13.10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9;−5) 1. Chứng minh rằng ba điểm A,B,C thẳng hàng; 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn BD; 3. Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho ba điểm A,B,E thẳng hàng. . 13.11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2;−2) 1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC; 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD; 3. Tìm toạ độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. . 13.12. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Chọn hệ toạ độ (O; #» i , #» j ), trong đó O là trung điểm của cạnh BC, #» i cùng hướng với # » OC, #» j cùng hướng với # » OA. 1. Tính toạ độ các đỉnh của tam giác ABC; 2. Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh AC; 3. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 14.1 Nửa đường tròn đơn vị Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, ở phía trên của trục hoành. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị. 14.2 Định nghĩa Với mỗi góc α (0◦ 6 α 6 180◦), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho M̂Ox = α. Giả sử điểm M có toạ độ (x; y). Khi đó, • tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα. • tung độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα. 11 • Với x 6= 0, tỉ số y x gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα. tanα = sinα cosα , α 6= 90◦. • Với y 6= 0, tỉ số x y gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα. cotα = cosα sinα , α 6= 0◦ và α 6= 180◦. Các số sinα, cosα, tanα và cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α. . 14.1. Tính các giá trị lượng giác của góc 120◦. 14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau. 1) sin(90◦ −α) = cosα; 2) cos(90◦ −α) = sinα; 3) tan(90◦−α) = cotα; 4) cot(90◦−α) = tanα. . 14.2. Tính P = tan 5◦ · tan 10◦ · tan 15◦ · · · tan 80◦ · tan 85◦. 14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau. Nếu hai góc bù nhau, thì sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau. 1) sin(180◦ − α) = sinα; 2) cos(180◦ − α) = − cosα; 3) tan(180◦ − α) = − tanα với α 6= 90◦; 4) cot(180◦−α) = − cotα với 0◦ < α < 180◦. . 14.3. Tính tổng S = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + · · · + cos 140◦ + cos 160◦ + cos 180◦. . 14.4. Đơn giản các biểu thức 1. S1 = sin 100◦ + sin 80◦ + cos 16◦ + cos 164◦. 2. S2 = 2 sin(180◦ − α) · cotα− cos(180◦ − α) · tanα · cot(180◦ − α) với 0◦ < α < 90◦. . 14.5. Chứng minh các hệ thức sau 1. sin2 α + cos2 α = 1; 2. 1 + tan2 α = 1 cos2 α (α 6= 90◦); 3. 1 + cot2 α = 1 sin2 α (0◦ < α < 180◦). . 14.6. Cho α ∈ (90◦; 180◦) và sinα = 3 4 . Tính các giá trị còn lại của góc α. 12 . 14.7. Cho và cosα = −4 7 . Tính các giá trị còn lại của góc α. . 14.8. Cho tanα = 2. Tính các giá trị còn lại của góc α. . 14.9. Biết rằng tan a = 2 3 . Tính 1. A = 3 sin a + 2cos a 5 sin a− 2 cos a ; 2. B = 4 sin2 a + 2cos a · sin a + 3cos2 a 5 + cos2 a . . 14.10. Biết sinx + cos x = m. Tính theo m 1. sinx · cos x; 2. sin4 x + cos4 x; 3. sin6 x + cos6 x. . 14.11. Cho tan x + cot x = k. Tính các tổng sau theo k: 1. tan2 x + cot2 x; 2. tan4 x + cot4 x; 3. tan6 x + cot6 x. 15 Tích vô hướng của hai vectơ 15.1 Góc giữa hai vectơ Định nghĩa 15.1. Cho hai vectơ #»a và #» b đều khác #» 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ # » OA = #»a và # » OB = #» b . Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ #»a và #» b , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ #»a và #» b . Góc giữa hai vectơ #»a và #» b kí hiệu là ( #»a , #» b ). Chú ý. • 0◦ 6 ( #»a , #»b ) 6 180◦. • Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ #»a hoặc #»b là vectơ #»0 , thì góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý. • Nếu ( #»a , #»b ) = 90◦, thì ta nói hai vectơ #»a và #»b vuông góc với nhau, kí hiệu là #»a ⊥ #»b . 15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ Định nghĩa 15.2. Tích vô hướng của hai vectơ của hai vectơ #»a và #» b , kí hiệu #»a · #»b , là một số, được xác định bởi #»a · #»b = | #»a | · | #»b | · cos( #»a , #»b ). Từ định nghĩa trên, ta suy ra #»a · #»b = 0 ⇔ #»a ⊥ #»b . . 15.1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau. 13 1. # » AB · # »AC; # »AC · # »CB; # »AG · # »AB. 2. # » GB · # »GC; # »BG · # »GA; # »GA · # »BC. . 15.2. Cho tam giác ABC vuông ở A có  = 60◦. Tính các tích vô hướng # » CA · # »CB; # »AB · # »BC. . 15.3. Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng. Biết AB = √ 2 và AC = √ 3. Tính # » AB · # »AC. . 15.4. Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 9, CB = 5. Tính # » AB · # »AC. 15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ Định nghĩa 15.3. Với vectơ #»a tuỳ ý, tích vô hướng #»a · #»a được kí kiệu ( #»a )2hay #»a 2 và gọi là bình phương vô hướng của vectơ của vectơ #»a . Ta có #»a 2 = | #»a | · | #»a | · cos 0◦ = | #»a |2. Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó. 15.4 Tính chất của tích vô hướng Với ba vectơ #»a , #» b , #»c tuỳ ý và một số thực k, ta có 1) #»a · #»b = #»b · #»a ; 2) (k #»a ) · #»b = a · (k #»b ) = k( #»a · #»b ); 3) a · ( #»b + #»c ) = #»a · #»b + #»a · #»c ; 4) a · ( #»b − #»c ) = #»a · #»b − #»a · #»c . . 15.5. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính giá trị của biểu thức ( # » AB + 2 # » AD) · (3 # »AB − # »CD). . 15.6. Cho các vectơ #»u , #»v , #»w có độ dài bằng 1, ( #»u , #»v ) = 30◦, ( #»v , #»w) = 60◦, ( #»w, #»u ) = 120◦. Tính P = ( #»u + #»v + #»w)2. . 15.7. Cho các vectơ #»a , #» b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện | #»a + #»b | = √3. Tính ( #»a , #»b ). . 15.8. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2). . 15.9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC,BD. Chứng minh rằng AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2. . 15.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2. . 15.11. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng 1. MA2 +MC2 = MB2 + MD2; 2. # » MA · # »MC = # »MB · # »MD; 3. MA2 + # » MB · # »MD = 2 # »MA · # »MO (O là tâm của hình chữ nhật) 14 . 15.12. Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 5,  = 120◦. 1. Tính các tích vô hướng # » AB · # »AC và # »AB · # »BC; 2. Tính độ dài đườn trung tuyến AM của tam giác. . 15.13. Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M là điểm tuỳ ý, thì MA2 + MB2 + MC2 + MD2 là một số không đổi. . 15.14. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi 1. MA2 +MB2 + MC2; 2. MA4 +MB4 + MC4. . 15.15. Cho đa giác đều A1A2 . . . An nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng 1. cos M̂OA1 + cos M̂OA1 + · · · + cos M̂OAn = 0; 2. MA21 +MA 2 2 + · · · +MA2n có giá trị không đổi. . 15.16. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD,BE,CF . Chứng minh rằng # » BC · # »AD + # »CA · # »BE + # »AB · # »CF = 0. . 15.17. Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. Chứng minh rằng # » DA · # »BC + # »DB · # »CA+ # »DC · # »AB = 0. Từ đó, suy ra một cách chứng minh định lí “Ba đường cao của một tam giác đồng quy. ” 15.5 Công thức hình chiếu Định lí 15.1. Cho hai vectơ # » OA, # » OB. Gọi B′ là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng OA. Khi đó # » OA · # »OB = # »OA · # »OB′. . 15.18. Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức # » AB · # »AM = k. Hướng dẫn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AB. Ta có # » AB · # »AM = k ⇔ AH = k AB . Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H. . 15.19. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM2−BM2 = k. . 15.20. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM2+BM2 = k. . 15.21. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện # » MA · # »MB = k. . 15.22. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức MA2 + MB2 = 2MC2. 15 15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . 15.23. Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định. Một đường thẳng ∆ thay đổi, luôn đi qua M , cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng # » MA · # »MB = MO2 −R2. Hướng dẫn. Vẽ đường kính BC của đường tròn (O;R), ta có # » MA là hình chiếu # » MC trên đường thẳng MB. Sau đó, dùng công thức hình chiếu. Định nghĩa 15.4. Giá trị không đổi # » MA · # »MB = MO2 −R2 = d2 −R2 trong Bài toán trên gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là PM/(O). PM/(O) = # » MA · # »MB = MO2 −R2 = d2 −R2. Khi điểm M ở ngoài (O), MT là tiếp tuyến của (O) (T là tiếp điểm), thì PM/(O) = # » MT 2 = MT 2. . 15.24. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi # » MA · # »MB = # »MC · # »MD. . 15.25. Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác M). Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi MC2 = MA ·MB. 15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Cho hai vectơ #»a = (x1; y1) và #» b = (x2; y2). Khi đó 1) #»a · #»b = x1x2 + y1y2; 2) | #»a | = √ x21 + y 2 1 ; 3) cos( #»a , #» b ) = x1x2 + y1y2√ x21 + y 2 1 √ x22 + y 2 2 ( #»a 6= #»0 và #»b 6= #»0 ) Hệ quả. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách giữa hai điểm M(xM ; yM ) và M(xN ; yN ) là MN = | # »MN | = √ (xN − xM )2 + (yN − yM)2. . 15.26. Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 3), C(5;−1). • Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông. • Tính diện tích và chu vi tam giác ABC. • Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. . 15.27. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−√3;−1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ). Đáp số. H( √ 3;−1) và I(−√3; 1). . 15.28. (D, 2004) Cho tam giác ABC có các đỉnh A(−1; 0), B(4; 0), C(0;m) với m 6= 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. Đáp số. M(1;m/3); m = ±3√6. 16 . 15.29. Cho điểm N(2;−3). Tìm điểm M trên trục hoành sao cho độ dài đoạn MN bằng 5. Đáp số. M1(6; 0) và M2(−2; 0). . 15.30. Cho điểm N(−8;−13). Tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài đoạn MN bằng 17. Đáp số. M1(0; 28) và M2(0;−2). . 15.31. Cho các điểm M(2; 2) và N(5;−2). Tìm điểm P trên trục hoành cho tam giác MPN vuông tại P . Đáp số. P1(1; 0) và P2(6; 0). . 15.32. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C ), biết rằng (C ) đi qua điểm A(4; 2) và tiếp xúc với hai trục toạ độ. Đáp số. C1(2; 2) R1 = 2; và C1(10; 10) R1 = 10. . 15.33. Cho hình vuông ABCD với A(3; 0) và C(−4; 1). Xác định toạ độ của hai đỉnh B và D. Đáp số. B(0; 4) và D(−1;−3). . 15.34. Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9;−10), C(−5; 4). 1. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đáp số. I(3;−2) và R = 10. 2. Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC. 3. Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. . 15.35. Xác định độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC biết A(3;−5), B(−3; 3), C(−1;−2) Đáp số. 14 √ 3 2 . . 15.36. Xác định độ dài đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC biết A(3;−5), B(1;−3), C(2;−2) Đáp số. 4. . 15.37. Cho điểm A(7;−3) và B(23;−6). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục hoành. Đáp số. C(−9; 0). . 15.38. Cho điểm A(5; 2) và B(−4;−7). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục tung. Đáp số. C(0;−3). . 15.39. Cho hai điểm A,B và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho # » AM · # »BM = k. Hướng dẫn. Chọn A(0; 0), B(0; b) và M(x; y). . 15.40. Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC. Chứng minh rằng nếu AC > BC, thì AM > BN . Hướng dẫn. Chọn A(a; 0), B(b; 0) và C(0; c). 17 16 Hệ thức lượng trong tam giác Trong mục này, với tam giác ABC, ta kí hiệu • AB = c, AC = b, BC = a; • ma, mb, mc lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ A,B,C; • ha, hb, hc lần lượt là các đường cao xuất phát từ A,B,C; • R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; • r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC; • S diện tích của tam giác ABC; • p = AB + BC +CA 2 là nửa chu vi của tam giác ABC. 16.1 Định lí côsin trong tam giác Trong tam giác ABC, ta có • a2 = b2 + c2 − 2bc cosA; • b2 = a2 + c2 − 2ac cosB; • c2 = a2 + b2 − 2ab cosA. Hệ quả Trong tam giác ABC, ta có • cosA = b 2 + c2 − a2 2bc ; • cosB = a 2 + c2 − b2 2ac ; • cosC = a 2 + b2 − c2 2ab . 16.2 Định lí sin trong tam giác Định lí 16.1. Với mọi tam giác ABC, ta có a sinA = b sinB = c sinC = 2R. 16.3 Công thức trung tuyến Trong tam giác ABC, ta có • m2a = b2 + c2 2 − a 2 4 ; • m2b = a2 + c2 2 − b 2 4 ; • m2c = a2 + b2 2 − c 2 4 . 18 16.4 Diện tích của tam giác Trong tam giác ABC, ta có • S = 1 2 aha = 1 2 bhb = 1 2 chc; • S = 1 2 ab sinC = 1 2 acb sinB = 1 2 bc sinA; • S = abc 4R ; • S = pr; • S = √ p(p− a)(p− b)(p − c) (công thức Hê - rông). . 16.1. (Biết hai cạnh và góc xen giữa) Cho tam giác ABC có b = 4, c = 5 và  = 60◦. Tính cạnh a, SABC , ma, ha, R và r. Đáp số. a = 7, SABC = 10 √ 3, ha = 20 √ 3 7 , R = 7 √ 3 3 . . 16.2. (Biết hai cạnh và góc không xen giữa) Cho tam giác ABC có AC = 8, AB = 5 và Ĉ = 120◦. Tính cạnh BC, SABC , ma, ha, R và r. . 16.3. (Biết một cạnh và hai góc) Cho tam giác ABC có BC = 8, B̂ = 60◦ và Ĉ = 45◦. Tính các cạnh và góc còn lại. Tính SABC , mb, hb, R và r. . 16.4. (Biết ba cạnh) Cho tam giác ABC có a = √ 6, b = 2, c = 1 + √ 3. Tính các góc của tam giác. Tính ha, R. Đáp số.  = 60◦, B̂ = 45◦, Ĉ = 75◦, ha = (1 + √ 3) √ 2 2 , R = √ 2. . 16.5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = √ 13, độ dài cạnh BC = 6 và góc B̂ = 60◦. Tính độ dài cạnh c và R, r. Đáp số. c = 4, R = 2 √ 21 3 , r = √ 3(5 −√7) 3 . . 16.6. Tính góc A của tam giác ABC, biết b(b2 − a2) = c(c2 − a2), b 6= c. Đáp số.  = 120◦. . 16.7. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích bằng 3 √ 3. Tìm cạnh BC. Hướng dẫn. • S = 1 2 AB · AC · sinA. Từ đó, tìm được sinA. • BC2 = AB2 +AC2 − 2AB · AC · cosA. Đáp số. BC = √ 13 hoặc BC = √ 37. . 16.8. Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD. Chứng minh rằng AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2. 19 . 16.9. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo. . 16.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng 1. GA2 + GB2 + GC2 = 1 3 (a2 + b2 + c2). 2. với mọi điểm M , ta luôn có MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2. . 16.11. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2 + c2 = 5a2. . 16.12. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết b2 + c2 = 15, ha = 3 4 , sinA = 3 5 . Hướng dẫn. • S = 1 2 aha = 1 2 bc sinA ⇒ bc = 5 4 a • a2 = b2 + c2 − 2bc cosA. Từ sinA = 3 5 ⇒ cosA = ±4 5 • Xét hai trường hợp của cosA, cùng với giả thiết suy ra được a2 +2a− 15 = 0 ⇒ a = 3. Có a, sẽ có bc và b2 + c2. Từ đó tìm được b và c. . 16.13. Tính diện tích tam giác ABC, biết b = 3 √ 3, a + c = 3hb,  = 30◦. Hướng dẫn. c = 2hb, c = 2a, a2 = b2 + c2 − 2bc cosA. Suy ra a = 3, b = 6, S = 9 √ 3 2 . . 16.14. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết  = 45◦, B̂ = 60◦, hc = 2 √ 2. Đáp số. 2√ 3 . . 16.15. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện sinB = 2 sinA · cosC, thì tam giác đó cân. . 16.16. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện a cosB + c cosC = a sinB · sinC , thì tam giác đó vuông. . 16.17. Kí hiệu `a là độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng `a = 2c cos a 2 b + c . . 16.18. Chứng minh rằng nếu a > b, thì `a > `b. 17 Phương trình đường thẳng 17.1 Phương trình tham số của đường thẳng Định nghĩa 17.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là vector khác #» 0 , có giá song song với ∆ hoặc trùng ∆. Nhận xét. Một đường thẳng cho trước có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau. 20 17.2 Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(xo; yo) và nhận vectơ #»a = (a1; a2) làm một vectơ chỉ phương. Hệ phương trình x = xo + a1 · t,y = yo + a2 · t, (t ∈ R) (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆. Ngược lại, mỗi hệ phương trình có dạng (1) là phương trình của một đường thẳng đi qua điểm M(xo; yo) và nhận vectơ #»a = (a1; a2) làm một vectơ chỉ phương. 18 Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa 18.1. Cho đường thẳng ∆. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là vectơ khác #» 0 , có giá vuông góc với ∆. Nhận xét. 1. Một đường thẳng cho trước có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ pháp tuyến này cùng phương với nhau. 2. Nếu #»n là một vectơ pháp tuyến của ∆ và #»a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆, thì #»n vuông góc với #»a . 3. Nếu #»a = (a1; a2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆, thì một vectơ pháp tuyến của ∆ là #»n = (a2;−a1) hay #»n = (−a2; a1), và ngược lại. Định lí 18.1. Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(xo; yo) và nhận vectơ #»n = (A;B) làm một vectơ pháp tuyến là A(x− xo) + B(y − yo) = 0. (2) Ta có thể viết (2) về dạng Ax + By + C = 0 (3) Định nghĩa 18.2. Mỗi phương trình có dạng (3), trong đó A, B không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận vectơ #»n = (A;B) là một vectơ pháp tuyến. 18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(a; 0) và B(0; b) trong đó a · b 6= 0 là x a + y b = 1. (4) Phương trình có dạng (4) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. . 18.1. Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−2; 5), C(4; 7). 1. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC; 2. Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC; 3. Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác. 21 . 18.2. Cho tam giác ABC với A(1;−2), B(5; 4), C(−2; 0). Viết phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của tam giác. Đáp số. 5x + y − 3 = 0, x− 5y − 11 = 0. . 18.3. Cho đường thẳng ∆ : 2x− 3y − 5 = 0 và điểm A(−4;−3). 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với ∆; Đáp số. 2x− 3y − 1 = 0 2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với ∆; Đáp số. 3x + 2y + 18 = 0. . 18.4. Cho tam giác ABC biết M(2; 1), N(5; 3), P (3;−4) lần lượt là trung điểm của ba cạnh. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Đáp số. 7x− 2y − 12 = 0, 5x + y − 28 = 0, 2x− 3y − 18 = 0. . 18.5. Tìm hình chiếu của điểm P (−6; 4) trên đường thẳng ∆ : 4x− 5y + 3 = 0. Đáp số. (−2;−1). . 18.6. Tìm toạ độ điểm Q đối xứng với điểm P (−5; 13) qua đường thẳng ∆ : 2x− 3y − 3 = 0. Đáp số. Q(11;−11). . 18.7. Cho các điểm A(−7; 1) và B(−5; 5) và đường thẳng ∆ : 2x− y− 5 = 0. Tìm toạ độ điểm P trên ∆ sao cho MA + MB nhỏ nhất. Đáp số. P (2;−1). . 18.8. Cho các điểm A(4; 1) và B(0; 4) và đường thẳng ∆ : 3x− y− 1 = 0. Tìm toạ độ điểm P trên ∆ sao cho |MA−MB| lớn nhất. Đáp số. P (2; 5). . 18.9. Cho hai điểm A(2; 5) và B(4;−1). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng ∆ : 3x + 4y + 5 = 0 sao cho 2MA2 + 3MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn. Ta có • 2MA2 + 3MB2 = 2 # » MA2 + 3 # » MB2 = 2( # » MI + # » IA)2 + 3( # » MI + # » IB)2 = 5MI2 + 2 # » MI · (2 # »IA + 3 # »IB) + 2IA2 + 3IB2 • Chọn điểm I sao cho 2 # »IA + 3 # »IB = #»0 . Khi đó, I cố định, và do đó, 2IA2 + 3IB2 không đổi. • 2MA2 +3MB2 = 5MI2 +2IA2 +3IB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên ∆. Có thể làm trực tiếp. 22 . 18.10. (269) Trong tam giác ABC, phương trình cạnh AB, phương trình đường cao AN và phương trình đường cao BN lần lượt là 5x − 3y + 2 = 0, 4x − 3y + 1 = 0, 7x + 2y − 22 = 0. Viết phương trình của các cạnh còn lại và viết phương trình đường cao thứ ba. In a triangle ABC, the equations of the side AB, of the altitude AN and of the altitude BN are 5x− 3y + 2 = 0, 4x− 3y + 1 = 0, 7x + 2y − 22 = 0, respectively. Write the equations of the other two sides and of the third altitude of the triangle. Đáp số. BC : 3x + 4y − 22 = 0, CA : 2x− 7y − 5 = 0, CN : 3x + 5y − 23 = 0 . 18.11. (270) Viết phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(1; 3) và phương trình hai đường trung tuyến là x− 2y + 1 = 0 và y − 1 = 0. Find the equations of the sides of a triangle ABC with A(1; 3) as a vertex, if x−2y+1 = 0 and y−1 = 0 are the equations of two of its medians. ĐS. x + 2y − 7 = 0, x− 4y − 1 = 0, x− y + 2 = 0. . 18.12. (271) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(−4;−5) và phương trình hai đường cao của tam giác là5x + 3y − 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0. Find the equations of the sides of a triangle ABC having B(−4;−5) as a vertex, if 5x + 3y − 4 = 0 and 3x + 8y + 13 = 0. are the equations of two of its altitudes. Đáp số. 3x− 5y − 13 = 0, 8x− 3y + 17 = 0, 5x + 2y − 1 = 0. . 18.13. (272) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng A(4;−1) và x−1 = 0, x−y−1 = 0 là phương trình các đường phân giác trong của tam giác. Find the equations of the sides of a triangle ABC having A(4;−1) as a vertex, if x−1 = 0, x−y−1 = 0 are the equations of two bisectors of its angles Đáp số. 2x− y + 3 = 0, 2x + y − 7 = 0, x− 2y − 6 = 0. . 18.14. (273) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(2; 6) và nếu x− 7y + 15 = 0 và 7x + y + 5 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ một đỉnh. Find the equations of the sides of a triangle having B(2; 6) as a vertex, if x−7y+15 = 0 and 7x+y+5 = 0 are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from one and the same vertex. Đáp số. 4x− 3y + 10 = 0, 7x + y − 20 = 0, 3x + 4y − 5 = 0. . 18.15. (274) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABCbiết rằng B(2;−1) và nếu 3x− 4y + 27 = 0 và x+2y− 5 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau. Find the equations of the sides of a triangle having B(2;−1) as a vertex, if 3x − 4y + 27 = 0 and x + 2y − 5 = 0 are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from diferrent vertices. Đáp số. 4x + 7y − 1 = 0, y − 3 = 0, 4x + 3y − 5 = 0. . 18.16. (275) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(4;−1) và nếu 2x− 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ một đỉnh. Find the equations of the sides of a triangle having C(4;−1) as a vertex, if 2x − 3y + 12 = 0 and 2x + 3y = 0 are the respective equations of an altitude and a median drawn from one and the same vertex. Đáp số. 3x + 7y − 5 = 0, 3x + 2y − 10 = 0, 9x + 11y + 5 = 0. . 18.17. (276) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(2;−7) và nếu 3x+ y+11 = 0 và x + 2y + 7 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau. Find the equations of the sides of a triangle having B(2;−7) as a vertex, if 3x + y + 11 = 0 and x + 2y + 7 = 0 are the respective equations of an altitude and a median drawn from diferrent vertices. 23 Đáp số. x− 3y − 23 = 0,7x + 9y + 19 = 0,4x + 3y + 13 = 0. . 18.18. (277) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(4; 3) và nếu x + 2y − 5 = 0 và 4x+13y− 10 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ một đỉnh. Find the equations of the sides of a triangle having C(4; 3) as a vertex, if x+2y−5 = 0and 4x+13y−10 = 0 are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from one and the same vertex. Đáp số. x + y − 7 = 0, x + 7y − 5 = 0, x− 8y + 20 = 0. . 18.19. (278). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng A(3;−1) và nếu x− 4y + 10 = 0 và 6x+10y− 59 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau. Find the equations of the sides of a triangle having A(3;−1) as a vertex, if x − 4y + 10 = 0and 6x + 10y − 59 = 0 are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from diferrent vertices. Đáp số. 2x + 9y − 65 = 0, 6x− 7y − 25 = 0, 18x + 13y − 41 = 0. . 18.20. (279). Viết phương trình của đường thẳng qua gốc toạ độ và tạo với hai đường thẳng x−y+12 = 0 và 2x + y + 9 = 0 một tam giác có diện tích là 1.5 đơn vị diện tích. Write the equations of the line passing through the origin and forming, together with the line x−y+12 = 0 and 2x + y + 9 = 0 a triangle of an equal to 1.5 square units. Đáp số. x + 2y = 0, 23x + 25y = 0. . 18.21. Cho P (3; 0) và hai đường thẳng : (d1) : 2x − y2 = 0, (d2) : x + y + 3 = 0. Lập phương trình của đường thẳng qua P cắt(d1) và (d2) lần lượt tại A và B sao choP là trung điểm của AB. From lines passing through the point P (3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines 2x− y − 2 = 0, x + y + 3 = 0 is bisecteted at the point P . Đáp số. 8x− y − 24 = 0. . 18.22. (280) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P (3; 0) và cắt hai đường thẳng d1 : 2x−y−2 = 0 và d2 : x + y + 3 = 0 lần lượt tại tại A và B sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng AB. From lines passing through the point P (3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines 2x− y − 2 = 0 and x + y + 3 = 0 is bisected at the point P. Đáp số. 8x− y − 24 = 0. . 18.23. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(−5; 4), biết rằng ∆ cắt hai đường thẳng d1 : x + 2y + 1 = 0 và d2 : x + 2y − 1 = 0 lần lượt tại tại A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 5. Đáp số. 3x + 4y − 1 = 0 và 7x + 24y − 61 = 0. . 18.24. (D, 2009)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x− y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. Đáp số. 3x− 4y + 5 = 0. . 18.25. (B, 2009, chương trình Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(−1; 4) và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng ∆ : x− y − 4 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Đáp số. B1 ( 11 2 ; 3 2 ) và C1 ( 3 2 ;−5 2 ) hay B2 ( 3 2 ;−5 2 ) và C2 ( 11 2 ; 3 2 ) . 24 . 18.26. (B, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + y2 = 4 5 và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0. Xác định tạo độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C). Đáp số. K ( 8 5 ; 4 5 ) . . 18.27. (A, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Đáp số. AB : y − 5 = 0 hoặc AB : x− 4y + 19 = 0. . 18.28. (A, 2009, Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+ my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích của tam giác IAB lớn nhất. Đáp số. m = 0 hoặc m = 8 15 . . 18.29. (B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x− y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0. Đáp số. ( −10 3 ; 3 4 ) . . 18.30. (Dự bị 1, khối A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y + 10 = 0 và x− y + 1 = 0, điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một đoạn bằng √2. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. . 18.31. (Dự bị 1, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = √ 5, C(−1;−1), đường thẳng AB có phương trình x+ 2y − 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y − 2 = 0. Hãy tìm toạ độ các đỉnh A và B. . 18.32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x− 2y + 3 = 0. Tìm toạ độ các điểm A và B. Đáp số. A(2; 0), B(0; 4). . 18.33. (Dự bị 2, khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x− 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ của các đỉnh A,B,C. Đáp số. ( −2 3 ;−2 3 ) , B(−4; 1), C ( 8 3 ; 8 3 ) . . 18.34. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với A(1;−1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB,BC. Đáp số. AB : 23x− y − 24 = 0 và BC : 19x− 13y + 8 = 0. 25 . 18.35. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x− 3y− 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ B và C của tam giác. Đáp số. B(−2;−3), C(4;−5). . 18.36. (B, 2007) Cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0 và d2 : x + y − 8 = 0. Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân ở A. Đáp số. B1(3;−1), C1(5; 3) và B2(−1; 3), C2(3; 5). . 18.37. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0). Biết phương trình các cạnh AB,AC lần lượt là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C. Đáp số. A(−4; 2), B(−3;−2), C(1; 0). . 18.38. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm toạ độ các điểm B,C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. Đáp số. B(0; 0) và C(0; 5). . 18.39. (CĐSP Hà Nội, 2006) Cho tam giác ABC có điểm A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x+ y+1 = 0, x+ y− 1 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng BC. . 18.40. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) và hai đường thẳng d1 : 2x− y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A,B sao cho # » IA = 2 # » IB. Đáp số. 7x− 3y + 4 = 0. . 18.41. (Dự bị 2, B, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x+y+5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2; 3). Tìm điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(2; 0). . 18.42. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ởA. Biết A(−1; 4), B(1;−4) và đường thẳng BC đi qua điểm M ( 2; 1 2 ) . Tìm toạ độ đỉnh C. Đáp số. C(3; 5). . 18.43. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2;−1) và các đường thẳng d1 : (m− 1)x + (m− 2)y + 2 −m = 0, d2 : (2 −m)x + (m− 1)y + 3m− 5 = 0. Chứng minh rằng d1 luôn cắt d2. Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m sao cho tổng khoảng cách PA+PB lớn nhất. Đáp số. m = 1 hoặc m = 2. . 18.44. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC có trọng tâm G ( 4 3 ; 1 3 ) , phương trình đường thẳng BC là x− 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG là 7x− 4y − 8 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C. 26 Đáp số. A(0; 3), B(0;−2), C(4; 0). . 18.45. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d : x−2y+2 = 0. Tìm trên d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC. Đáp số. ( 2 5 ; 6 5 ) , C1(0; 1), C2 ( 4 5 ; 7 5 ) . 18.2 Khoảng cách Định lí 18.2. Cho đường thẳng ∆ có phương trình Ax + By + C = 0 và điểm M(xo; yo). Gọi d(M,∆) là khoảng cách từ M đến ∆. Khi đó d(M,∆) = |Ax + By + C|√ A2 + B2 . 18.46. Tính khoảng cách từ điểm A(2;−2) đến đường thẳng 3x + 4y − 1 = 0. Đáp số. d = 3 5 . . 18.47. Tính khoảng cách từ điểm A(1;−4) đến đường thẳng x = 1− 2t,y = 3 + 4t, . 18.48. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1 : x + 2y − 4 = 0 và d1 : x + 2y − 6 = 0. Đáp số. d = 2√ 5 . . 18.49. Cho ba điểm A(1; 5), B(−3;−2), C(3; 2). 1. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. 2. Tính chiều cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. Từ đó, tính diện tích của tam giác ABC. 3. Xác định bán kính của đường tròn có tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC. . 18.50. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 : x + 2y − 4 = 0 và d1 : x + 2y − 6 = 0. Đáp số. d1 : x + 2y − 5 = 0. . 18.51. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E(2;−1) và cách điểm F (−3;−1) một đoạn bằng 3. Đáp số. 3x + 4y − 2 = 0 và 3x− 4y − 10 = 0. . 18.52. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I(−2; 3) và cách đều hai điểm A(5;−1) và B(3; 7). Đáp số. y = 3, 4x + y + 5 = 0. . 18.53. (A, 2006) Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho các đường thẳng sau (d1) : x + y + 3 = 0; (d2) : x− y − 4 = 0; (d3) : x− 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng (d2). Đáp số. M1(−22;−11), M2(2; 1). 27 . 18.54. (B, 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4;−3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x− 2y − 1 = 0 sao cho tổng khoảng cách từ C đế đường thẳng AB bằng 6. Đáp số. C(7; 3), C2 ( −43 11 ;−27 11 ) . . 18.55. (Dự bị 1, khối D, 2003) Cho tam giác ABC và phương trình các đường cao vẽ từ B,C có phương trình tương ứng là x− 2y + 1 = 0 và 3x + y − 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC. Đáp số. S = 14. Hướng dẫn B(−5;−2) và C(−1; 4). . 18.56. Viết phương trình đường phân giác góc nhọn của góc tạo bởi hai đường thẳng 3x+4y − 5 = 0 và 5x− 12y + 3 = 0. Đáp số. 7x + 56y − 40 = 0 . 18.57. Viết phương trình đường phân giác góc tù của góc tạo bởi hai đường thẳng x − 3y + 5 = 0 và 3x− y + 15 = 0. Đáp số. x + y + 5 = 0. . 18.58. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng x+2y−11 = 0 và 3x−6y−5 = 0 biết góc đó chứa điểm M(1;−3). Đáp số. 3x− 19 = 0. . 18.59. Cho tam giác ABC biết A(3;−5), B(−3;−3), C(−1;−2). Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. . 18.60. Cho tam giác ABC biết A(3;−5), B(1;−3), C(2;−2). Viết phương trình đường phân giác ngoài góc B của tam giác ABC. Đáp số y = −3. 19 Đường tròn 19.1 Phương trình đường tròn 1. Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là (x− a)2 + (y − b)2 = R2. (5) Ngược lại mỗi phương trình có dạng (5) là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm tâm và có bán kính bằng R. 2. Mỗi phương trình có dạng x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0. (6) với a2 + b2 − c > 0 là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm tâm và có bán kính R = √ a2 + b2 − c. 19.2 Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn Cho điểm M và đường tròn (C ), tâm I, bán kính R. Khi đó 1. IM < R ⇔ M ở trong đường tròn; 2. IM = R ⇔ M ở trên đường tròn; 3. IM > R ⇔ M ở ngoài đường tròn. 28 19.3 Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn Cho đường thẳng δ và và đường tròn (C ), tâm I, bán kính R. Khi đó 1. d(I,∆) < R ⇔ ∆ cắt (C ) tại hai điểm phân biệt; 2. d(I,∆) = R ⇔ ∆ tiếp xúc với (C ). Nếu ∆ tiếp xúc với (C ) tại điểm H thì H gọi là tiếp điểm của ∆ và (C ); đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của (C ). 3. d(I,∆) > R ⇔ ∆ và (C ) không có điểm chung. Ta cũng có thể xét hệ phương trình (∗) { ∆, (7) (C ). (8) Ta giải hệ phương trình (*) bằng cách thế (7) vào (8). • (*) có hai nghiệm phân biệt (x1; y1) và (x2; y2) khi và chỉ khi ∆ cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2). • (*) có nghiệm kép (x; y) khi và chỉ khi ∆ tiếp xúc với (C ) tại điểm H(x; y). • (*) vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ và (C ) không có điểm chung. . 19.1. Viết phương trình đường tròn (C ) trong các trường hợp sau: 1. (C ) có tâm I(1;−1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x− 12y + 9 = 0. Đáp số. (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4. 2. (C ) qua ba điểm A(−1; 5), B(−2;−2), C(5; 5); Đáp số. (x− 2)2 + (y − 1)2 = 25. 3. (C ) qua hai điểm A(3; 1), B(−1; 3) và có tâm ở trên đường thẳng ∆ : 3x− y − 2 = 0; Đáp số. (x− 2)2 + (y − 4)2 = 10. 4. (C ) qua hai điểm A(1; 0), B(2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x− y = 0; 5. (C ) qua hai điểm A(0; 1), B(2;−3) và có bán kính R = 5; Đáp số. (x− 5)2 + (y − 1)2 = 25 và (x + 3)2 + (y + 3)2 = 25. 6. (C ) qua điểm M(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x− 4y + 2 = 0 tại điểm N(−2;−1). 7. (C ) có bán kính R = √ 5 và tiếp xúc với đường thẳng x− 2y − 1 = 0 tại điểm M(3; 1). 8. (C ) có tâm I(3;−1) và cắt đường thẳng 2x− 5y + 18 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng 6. Đáp số. (x− 3)2 + (y + 1)2 = 38 9. (C ) có tâm nằm trên đường thẳng 5x− 2y + 21 = 0 và tiếp xúc với hai trục toạ độ. Đáp số. x2 + y2 + 14x + 14y + 49 = 0 và x2 + y2 − 6x + 6y + 9 = 0. . 19.2. (Đại học Mỏ, Địa chất 2001) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết rằng phương trình đường thẳng AB là y − x− 2 = 0, 29 phương trình đường thẳng BC là 5x− y + 2 = 0, phương trình đường thẳng AC là y + x− 8 = 0. Đáp số. (x− 2)2 + y2 = 26. . 19.3. (D, 2003) Cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ′) đối xứng với đường tròn (C ) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các giao điểm của (C ) và (C ′). ĐS. (C ′) : (x− 3)2 + y2 = 4. Các giao điểm A(1; 0), B(3; 2). . 19.4. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0. Lập phương trình đường tròn (C ′) đối xứng với đường tròn (C ) qua đường thẳng d : x− 2 = 0. . 19.5. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x− y +1−√2 = 0 và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d. ĐS. x2 + y2 − 2y = 0, x2 + y2 − 2x = 0. . 19.6. (Dự bị B, 2003) Cho đường thẳng d : x − 7y + 10 = 0. Viết phương trình của đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2). ĐS. (x− 6)2 + (y + 12)2 = 200. . 19.7. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−√3;−1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS. Trực tâm H( √ 3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp (−√3; 1). . 19.8. (B, 2005) Cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. Đáp số. (x− 2)2 + (y − 1)2 = 1 và (x− 2)2 + (y − 7)2 = 1 . 19.9. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A,B và có bán kính R bằng √ 10. Đáp số. (x + 1)2 + (y − 2)2 = 10 và (x− 3)2 + (y − 6)2 = 10. . 19.10. (Dự bị, Khối A, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C ). ĐS. M1(−4;−5),M2 ( 24 5 ; 63 5 ) . . 19.11. (D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x− 2y +1 = 0 và đường thẳng d : x− y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). ĐS. M1(1; 4),M2(−2; 1). . 19.12. (CĐSP Quảng Bình, 2006) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt đường tròn (x− 1)2 + (y + 3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài bằng 8. ĐS. y = 0, 3x− 4y = 0. 30 . 19.13. (A, 2007)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2;−2), C(4;−2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M,N . Đáp số. H(1; 1), x2 + y2 − x + y − 2 = 0. . 19.14. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 = 1. Gọi (C ′) là đường tròn có tâm I(2; 2) và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng √ 2. Viết phương trình của đường thẳng AB. Đáp số. OAB vuông cân, x + y + 1 = 0 và x + y − 1 = 0. . 19.15. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 − 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y − 1 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ), biết rằng đỉnh A thuộc d. Đáp số. d đi qua I; A(6;−5), B(6;−1), C(2;−1), D(2;−5). . 19.16. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0. Gọi (C ′) là đường tròn có tâm M(5; 1), (C ′) cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng √ 3. Viết phương trình của đường tròn (C ′). Đáp số. x2 + y2 − 10x− 2y − 17 = 0 và x2 + y2 − 10x− 2y + 13 = 0. 20 Tiếp tuyến của đường tròn 20.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn . 20.1. Cho đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 25. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại điểm A(−5; 7). . 20.2. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + y − 12 = 0 và đường thẳng ∆ : x + 2y + 4 = 0. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và ∆. 20.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng cho trước; có hệ số góc k cho trước . 20.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 10x− 2y + 6 = 0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2x + y − 7 = 0. ĐS. 2x + y − 1 = 0, 2x + y + 19 = 0. . 20.4. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 − 2x + 4y = 0 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x− 2y + 9 = 0. ĐS. 2x + y − 5 = 0, 2x + y + 5 = 0. . 20.5. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 − 4x− 6y + 1 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2. ĐS. 2x− y − 1 −√60 = 0, 2x− y − 1 +√60 = 0. 31 20.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước . 20.6. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 2x − 4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 7). ĐS. 2x− y − 1 = 0, x− 2y + 10 = 0. . 20.7. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + x− 3y − 3 = 0. Gọi M,N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1;−2) đến (C). Tính độ dài đoạn thẳng MN . ĐS. 3. . 20.8. (B, 2006) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kể từ điểm M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2. ĐS. 2x + y − 3 = 0. . 20.9. (Minh hoạ, A, 2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 − 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C ) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦. Đáp số. M1(0; √ 7) và M2(0;− √ 7). . 20.10. (Dự bị 2, A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 = 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C ) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦. . 20.11. (D, 2007) Cho đường tròn (C ) : (x− 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x− 4y +m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA,PB tới (C ) sao cho tam giác ABC đều (A,B là hai tiếp điểm). Đáp số. m = 19,m = −41. . 20.12. (Dự bị 1, khối D, 2006) Cho đường thẳng d : x−y+1 = 0 và đường tròn (C ) : x2+y2+2x−4y = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C ) tại A và B sao cho ÂMB = 60◦. Đáp số. M1(3; 4) và M1(−3;−2). . 20.13. (Đề minh hoạ, D, 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình (x− 4)2 + y2 = 4 và điểm E(4; 1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn (C ) (với A,B là các tiếp điểm) sao cho đường thẳng AB qua đểm E. 20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc α . 20.14. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = 25, biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng x + 2y − 1 = 0 một góc α mà cosα = 2√ 5 . Đáp số. y ± 5 = 0; 4x + 3y ± 25 = 0. . 20.15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = 8, biết rằng tiếp tuyến đó hợp với trục Ox một góc 45◦. Đáp số. x + y + 4 = 0, x + y − 2 = 0, x− y + 4 = 0, x− y − 4 = 0. 32 20.5 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn . 20.16. (Dự bị 2006) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) : x 2 + y2 − 4y − 5 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 6x + 8y + 16 = 0. Hướng dẫn. (C1) và (C2) ngoài nhau và có bán kính bằng nhau. ĐS. 2x + y + 3 √ 5− 2 = 0; 2x + y − 3√5 − 2 = 0; y = −1; 4x − 3y − 3 = 0. . 20.17. (Dự bị 2002) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) : x 2 + y2 − 10 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x− 2y − 20 = 0. Hướng dẫn. (C1) và (C2) cắt nhau và có bán kính bằng nhau. ĐS. x + 7y − 5 + 25√2 = 0;x + 7y − 5− 25√2 = 0. . 20.18. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2005) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) : x 2 + y2 − 4x− 2y + 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x + 2y − 4 = 0. ĐS. x = 1, y = 2, 4x− 3y − 10 = 0,−3x − 4y + 5 = 0. 20.6 Vài bài khác . 20.19. (Dự bị 2, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 4). Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh tam giác OAB. . 20.20. (Đại học Ngoại ngữ, 2000) Trong mặt phẳng cho ba điểm A(−1; 7), B(4;−3), C(−4;−1). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đáp số. (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5. . 20.21. Cho đường tròn (S) có phương trình x2 + y2 = 16 và tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn, biết A(0; 4). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số. B(2 √ 3;−2) và C(2√3;−2). . 20.22. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 6x+ 2y + 6 = 0 và điểm M(1; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A,B sao cho MA = AB. Đáp số. x− y + 4 = 0 và 7x + y − 10 = 0. 33 Mục lục 1 Các Khái niệm về vectơ 1 1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Hai vectơ cùng phương 1 2.1 Giá của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.2 Hai vectơ cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 Hai vectơ cùng hướng 1 4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau 1 4.1 Độ dài của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.2 Hai vectơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 Tổng của hai vectơ 2 5.1 Quy tắc ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.2 Quy tắc hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 Hiệu của hai vectơ 3 6.1 Vectơ đối của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 Tính chất 3 7.1 Hiệu của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 Tích của một số thực với một vectơ 4 9 Tính chất 4 9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9.4 Tìm tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 10 Trục toạ độ 8 11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ 8 11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 11.2 Độ dài đại số của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 12 Hệ trục toạ độ 9 13 Toạ độ của một vectơ 9 13.1 Toạ độ của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 13.2 Toạ độ của một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 13.3 Các phép toán về vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 34 14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 11 14.1 Nửa đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 14.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 15 Tích vô hướng của hai vectơ 13 15.1 Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15.4 Tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15.5 Công thức hình chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 Hệ thức lượng trong tam giác 18 16.1 Định lí côsin trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 16.2 Định lí sin trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 16.3 Công thức trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 16.4 Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 17 Phương trình đường thẳng 20 17.1 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 17.2 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 18 Phương trình tổng quát của đường thẳng 21 18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 18.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 19 Đường tròn 28 19.1 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 19.2 Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 19.3 Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 20 Tiếp tuyến của đường tròn 31 20.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 20.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng cho trước; có hệ số góc k cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 20.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 20.5 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 20.6 Vài bài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai. 35