Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị, M - Phụ thuộc theo khối - Lê Thị Hải Yến

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 2 (27) - Thaùng 3/2015 38 LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, M- PHỤ THUỘC THEO KHỐI LÊ THỊ HẢI YẾN (*) TÓM TẮT Mục đích chính của bài báo này là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dạng hội tụ Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach, m-phụ thuộc theo khối, cùng phân phối. Từ khóa: Phần tử ngẫu nhiên đa trị, M-phụ thuộc theo khối, hội tụ Mosco, luật mạnh số lớn. ABSTRACT The main aim of this paper is to establish the strong law of large numbers for sequence of blockwise m-dependent and identically multivalued random elements in Banach space with Mosco convergence. Keywords: Multivalued random element, blockwise m-dependent, Mosco convergence, strong law of large numbers. 1. MỞ ĐẦU* Luật số lớn trong lý thuyết xác suất vừa là vấn đề cơ bản, lại vừa là vấn đề có nhiều ứng dụng và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1987, trong [5], Moricz đã giới thiệu khái niệm dãy m-phụ thuộc theo khối và mở rộng luật số lớn Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối, không cùng phân phối. Trong bài báo này, trước hết chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, cùng phân phối. Sau đó, chúng tôi mở rộng kết quả này cho dãy phần tử ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối, cùng phân phối, nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly bất kỳ. Cuối cùng, chúng tôi thiết lập luật (*) ThS, Trường Cao đẳng Giao thông vận tải miền Trung mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên m - phụ thuộc theo khối, cùng phân phối nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach. Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn giả thiết rằng ( , P) F , là không gian xác suất đầy đủ,  .X, là không gian Banach thực, khả ly, X là không gian đối ngẫu của X , )(B X là  - đại số các tập Borel của X , 1( ;L  X) là tập hợp các hàm đo được khả tích, nhận giá trị trên X . Ký hiệu  c X là họ các tập con đóng khác rỗng của X , là tập tất cả các số thực. Trên  c X ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toán được định nghĩa như sau: 39     : , , : . A B a b a A b B A a a A         trong đó  , , .A B c  X Ánh xạ  F c: X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đa trị (nhận giá trị tập đóng), nếu với mọi tập con mở G của thì tập con        1( ) : : ( )F G F G F. Ký hiệu  [ , ]cM X là họ các phần tử ngẫu nhiên đa trị. Phần tử ngẫu nhiên f : X được gọi là một lát cắt F -đo được (hay nói gọn là lát cắt đo được) của F nếu ( ) ( )f F  với mọi .  - đại số Effros  trên  c X là  - đại số sinh bởi các tập con   : :G C c C G    X với G là một tập con mở trên . Khi đó, một hàm đa trị  F c: X là đo được khi và chỉ khi F là (F ,)-đo được, nghĩa là với mọi B , chúng ta có 1 ( )F B  F . Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo được F , ta đặt  ( ) ( , ) : ( ) ( )h.c.cp pFS f L f F    F X Kỳ vọng [ ]E F của biến ngẫu nhiên đa trị F được định nghĩa như sau  1[ ] : : ( )FE F Ef f S  F với Ef là tích phân Bochner thông thường. Cho một -đại số con A của -đại số F và một biến ngẫu nhiên đa trị A - đo được  F c: X (nghĩa là 1 ( )F G  A với mọi tập con mở G của ). Với 1 ( ) F S F và [ ]E F xác định trên P( , ) F , , ta định nghĩa:     1 1 ( ) 1 [ , ( ) ( , P, ( ) ( )h.c.c , ]= : ( . , ) F F E F S f L f F FdP Ef f S          A A A A A X) : Cho C X , ký hiệu clC là bao đóng (theo chuẩn), w clC là bao đóng (theo tôpô yếu), coC là bao lồi, coC là bao lồi đóng của C . Hàm khoảng cách (., )d C , hàm tựa ( ,.)s C của C tương ứng được định nghĩa như sau     ( , ) inf : ,( , ( , ) sup , : ,( d x C x y y C x s C x y x y C x            X) X ). Chúng ta còn định nghĩa  sup : .C x x C  Cho t là một tôpô trên X và 1 ( ) n n C  là một dãy nhận giá trị trên  c X . Đặt:   ( ) lim , , 1 . n k k n k t lsC x x t x x C k      X : = với ( ) 1 ( ) n k k C  là một dãy con của 1 ( ) n n C  . Các tập con n t liC và n t lsC tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của 1 ( ) n n C  , liên quan đến tôpô t . Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng . n n t liC t lsC   Chúng ta ký hiệu s (tương ứngw ) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tương ứng, tôpô yếu) của X . Một tập con C  được gọi là giới hạn dạng Mosco của dãy 1 ( ) n n C  và được ký hiệu bởi lim n n M C nếu  lim , , 1 , n n n n t liC x x t x x C n      X : = 40 w . n n lsC s liC C      Điều này đúng khi và chỉ khi w . n n lsC C s liC      Hội tụ Mosco cho dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trên bằng cách thay thế n C bởi ( ) n F  và C  bởi ( )F   , các phát biểu là đúng h.c.c. Giả sử  [ , ]cF M X , ta có định nghĩa  -đại số con F F của F như sau:     1 :F cF   F B XU U với    1 ( ):F F   U U . Đó chính là  - đại số bé nhất mà F đo được. Một họ các biến ngẫu nhiên đa trị  , i F i I được gọi là độc lập nếu họ các  -đại số  , i F i IF là độc lập. Một dãy các biến ngẫu nhiên đa trị  , 1 n nF  được gọi là m-phụ thuộc theo khối nếu với p đủ lớn thì -đại số   12 ( ) i p k F i F độc lập với    2 1 ( ) khi - > p i F n k mF , trong đó m, p là các số nguyên không âm. Theo [5], một dãy các phần tử ngẫu nhiên  , 1 n X n  , nhận giá trị trên không gian Banach X được gọi là m-phụ thuộc theo khối nếu với p đủ lớn thì họ  1,2piX i k   độc lập với họ  , 2 khi - >pnX n k m  , trong đó m, p là các số nguyên không âm. Từ định nghĩa trên suy ra rằng, nếu  ,n 1 n F  là dãy biến ngẫu nhiên đa trị m- phụ thuộc theo khối và 1 ( ) n n n F F f S F , thì  ,n 1 n f  là dãy phần tử ngẫu nhiên m- phụ thuộc trong 1( ;L  X). Đối với dãy m-phụ thuộc theo khối, ta có định lý như sau Định lý 1.1. ([5], Theorem 1). Giả sử  , 1 n X n  là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối. Khi đó, nếu 2 1 n n DX n     , thì 1 1 ( E ) 0 . . khi . n k k k X X h c c n n     Nhận xét rằng, nếu trong Định lý 1.1,  , 1 n X n  là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, cùng phân phối với 2 1 E X   thì 12 2 1 1 1 n n n DX DX n n         . Do đó, dãy đó tuân theo luật mạnh số lớn. Cụ thể   1lim 0 h.c.c.,n n S nEX n (1.1) trong đó     1 2 ..... n n S X X X . Tuy nhiên, trong định lý dưới đây, bằng kỹ thuật tương tự như trong chứng minh Định lý 4.1.5 ([2]), ta sẽ chứng minh rằng chỉ cần dãy  , 1 n X n  có cùng phân phối với 1 E X   là sẽ có (1.1). Định lý 1.2. Giả sử  , 1 n X n  là dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối, cùng phân phối. Khi đó, nếu 1 E X   thì   1lim 0 . . . n n S nEX h c c n (1.2) trong đó     1 2 ..... n n S X X X . Chứng minh. Đặt , Z . n n n n n n n nX n X n Y X I X Y X I       41 Do 1 E X   , nên ta có 1 1 ( 0) ( n) ( n) . n n n n P Z P X P X            Từ Bổ đề Borel – Cantelli suy ra với xác suất 1 chỉ có hữu hạn 0 n Z  . Vậy 1 1 lim 0 h.c.c. n k n k Z n   (1.3) Tiếp theo ta chứng minh 2 1 . n n DY n     Gọi  là phân phối của 1 X . Khi đó   2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x n DY E Y E Y E Y x d x       và   2 2 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) n n n x n E Y x d x n n          2 2 1 1 1 1 ( ) n n k k x k x d x n           2 2 1 1 1 ( ) k n k k x k x d x n           2 2 1 1 1 ( ) k n kk x k x d x n                 2 1 1 1 ( ) k n kk x k k x d x n                 1 1 2 ( ) k k x k x d x         1 2 .E X Có được bất đẳng thức ở dòng cuối là do với 2k  2 1 1 1 2. 1 1n k n k k k k n n kn                 Còn với 1k  thì 2 1 2 1 1 1 1 2. 1n n n nn                Vì  , 1 n X n  là dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối nên  , 1 n Y n  là dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối. Do vậy, theo Định lý 1.1, tồn tại tập D với ( ) 1P D  sao cho với mỗi D chuỗi ( ) n n n Y EY n    hội tụ. Do đó theo Bổ đề Kronecker, với mỗi D ta có   1 1 lim ( ) 0. n k k n k Y EY n     (1.4) Vì   1 lim lim ( ) n n n x n EY xd x EX    , nên 1 1 1 lim . n k n k EY EX n   (1.5) Do vậy từ (1.4) và (1.5) ta có với mỗi D 1 1 1 lim ( ) . n k n k Y EX n    (1.6) Vậy 1 1 1 lim h.c.c. n k n k Y EX n   (1.7) Từ (1.3) và (1.7) suy ra 1 1 1 lim h.c.c. n k n k X EX n   Đó là điều phải chứng minh.  2. KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, cần chú ý rằng, nếu X là không gian Banach thực, khả ly thì với mọi 1n  , xác định được ánh xạ đo được : n  X X , sao cho với mỗi phần tử ngẫu nhiên khả tích : X X , tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản 42  ( ), n 1 n n X X  để X n X  khi nvà 0 n E X X  khi .n Dựa vào chú ý trên, Định lý 1.2 và kỹ thuật tương tự trong chứng minh định lý 4.2.1 ([1]) ta thu được định lý sau. Định lý 2.1. Cho  , , 1 n X X n  là họ các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach thực khả ly X . Giả sử  , 1 n X n  là dãy m - phụ thuộc theo khối, cùng phân phối với X và E X   . Khi đó 1 1 h.c.c khi n . n i i X EX n    Chứng minh. Đầu tiên, giả sử X là phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận các giá trị 1 2 , ,..., k x x x lần lượt trên các tập 1 2 , ,..., k A A A với ( ) 0, i=1, 2, ...,k i P A  . Vì  , : 1 n X X n  cùng phân phối nên i X cũng là phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận các giá trị 1 2 , ,..., k x x x với  ( ) ( ) i t t P X x P A . Do đó ( ) 1 . i t k i X x t t X I x    Với mỗi 1, 2,...,k,t  đặt ( ) 1 . i t n t n X x i Z I    Do  ( ) : 1 i t X x I i   là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, cùng phân phối và ( ) ( ) ( ) i t X x t E I P A   nên theo định lý 1.2 ta có ( ) h.c.c khi n . t n t Z P A n   Do đó ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i t i t tn n k k n k k t n i X x t X x t n t t i i t t i t t Z X I x I x Z x x n n n n n                  1 ( ) h.c.c khi n . k t t t P A x EX     Xét trường hợp X là phần tử ngẫu nhiên khả tích bất kỳ. Với mọi 0  , từ ( ) 0 khi n n E X X    , tồn tại m sao cho ( ) n E X X   với mọi n m . Ta có 1 1 1 1 ( ) ( ( ) n n i i m i i i X EX X X n n        1 1 ( ( ) ( ) n m i m i X E X n      1 1 (E ( ) ( ) n m i X E X n     :=(I)+(II)+(III). Do  , 1 n X n  là dãy phần tử ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo khối, cùng phân phối với X , nên  ( ) : 1n m nX X n  là dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo khối, cùng phân phối với ( ) m X X . Theo định lý 1.2 ta có 1 1 (I) ( ) ( ) h.c.c khi n n i m i m i X X E X X n           Theo chứng minh trên thì (II) 0 h.c.c khi n  . Với (III) , ta có (III) ( ) . m E X X    Kết hợp các lập luận trên ta được điều phải chứng minh.  Để thiết lập kết quả chính, ta cần them một số bổ đề Bổ đề 2.1.([4], Lemma 3.1) (1) Với mỗi  [ , ]F c M X và 1 F S  , ta có [ ]= [ , ]. F coE F coE F F 43 (2) Giả sử  , [ , ]F G c M X , F và G cùng phân phối. Khi đó, với mỗi 1 ) F F f S (F , tồn tại 1 ) G G g S (F sao cho f và g cùng phân phối. (3) Nếu  , [ , ]F G c M X , cùng phân phối và 1 F S   , thì [ , ] [ , ]. F G E F E GF F Bổ đề 2.2. ([3], Lemma 3.6) Giả sử X là không gian Banach và C X . Khi đó, với mọi x coC và 0  , luôn tồn tại 1 ,..., m x x C sao cho     1 1 . m i i x x m Định lý sau đây là kết quả chính của bài báo. Kết quả này mở rộng Định lý 3.2 trong [4]. Định lý 2.2. Nếu  , 1 n F n  là một dãy các phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc, cùng phân phối, nhận giá trị tập đóng trong không gian Banach khả ly X và 1 1 , F S  thì 1 1 1 ( ) h.c.c n i i cl F coE F n       Chứng minh. Đặt 1 X coE F    và 1 1 ( ) ( ), , n 1. n n i i G n cl F       Với mọi x X  và 0  , theo Bổ đề 2.1(1), (3) và Bổ đề 2.2, ta có thể chọn 1 ( ) j j j F F f S F , 1 ,j t  sao cho 1 1 ( ) . t j j t E f x     Theo Bổ đề 2.1(2) , tồn tại dãy   n f với 1 ( ) n n n F F f S F sao cho, với mỗi 1,...,j t ,   ( 1) , 1 k t j f k    là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối. Tiếp tục, đặt ( ), 1 . j j x E f j t   Với mỗi ( 1) , 1 ,n k t t     ta có 1 1 1 1 ( ) n t i j i j f x n t      ( 1) (k 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) t k t t i t j t j j j i j j f f x n n t                 ( 1) (k 1) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) t k t i t j j t j j i j k k f x f n k n k               1 1 . t j j k x n t          Vì  ,n 1 n F  là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị tập đóng trong không gian Banach khả ly X , nên  ,n 1 n f  là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối trong 1 ( ;L  X), do đó với p đủ lớn thì họ  1,2pif i k   độc lập với họ  , 2 khi - > .pnf n k m  Ta chứng minh với mỗi 1 ,j t  thì   ( 1) , 1 k t j f k    là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối. Thật vậy, nếu đặt     ( 1) , 1 k k t j g f k     , thì phần tử thứ k của dãy là ( 1)k k t j g f    ; phần tử thứ của dãy là ( 1)t j g f    . Do đó, nếu - >k m thì      1 1t j k t j k t mt m           nên k g và g là độc lập với   12 , 2 , q qk trong đó q là số nguyên không âm đủ lớn. Nghĩa là với q đủ lớn thì họ  1,2qig i k   độc lập với họ 44  , 2 khi - > . qng n k m  Do đó, Theo định nghĩa, với mỗi 1 ,j t    ( 1) , 1 k t j f k    là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối. Áp dụng Định lý 2.1 cho dãy   ( 1) , 1 k t j f k    , ta được ( 1) 1 1 ( ) 0 h.c.c khi k i t j j i f x k k        và do đó 1 1 (k 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k k t j i t j i t j i i k f f f k k                 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 ( ) . ( ) 0 h.c.c khi k . 1 k k i t j i t j i i k f f k k k                  Vì vậy 1 1 1 1 ( ) 0 h.c.c khi . n t i j i j f x n n t        Vì ( ) n G  là tập đóng trên  c X nên 1 1 ( ) ( ) h.c.c. n i n i n f G    Vì vậy, chúng ta có 1 1 lim inf ( ) h.c.c. t j n j t x s G     Từ đó, liminf ( ) h.c.c. n X s G   Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng w lim sup ( ) X h.c.c. n G   Giả sử  jx là một dãy trù mật trong XX\ . Do X khả ly nên tồn tại dãy  jx  trong X với 1 j x   sao cho , ( , ) ( , ), 1. j j j j x x d x X s X x j     Khi đó, x X khi và chỉ khi , ( , ), j j x x s X x   với mọi 1.j  Vì hàm ( , ) j X s X x  từ  c X vào ( , )  là  c X B -đo được và     1 ( ( (.), )) ( , ) , 1, j j E s F x s X x j nên với mỗi 1,j   ( (.), ) : n 1n js F x   là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối cùng phân phối trong 1 L . Vì vậy, tồn tại N F với ( ) 0P N  sao cho với mọi \N và 1j  ta có 1 1 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) khi n . n n j i j j i s G x s F x s X x n         Với mỗi \ ,N nếu w-lim sup ( ) n x G  thì w khi k , k x x  trong đó ( ). k k n x G  Từ đó, suy ra , lim , lim ( ( ), ) ( , ), 1. k j k j n j j k k x x x x s G x s X x j        Điều này kéo theo .x X Vì vậy, w-lim sup ( ) h.c.c. n G X   TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: 1. Nguyễn Văn Quảng, Xác suất trên không gian Banach, NXB ĐHQG Hà Nội, 2012. 45 2. Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013. Tiếng Anh: 3. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap, Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13 (2012), 4, 615-636. 4. F. Hiai, Convergence of conditional expectations and strong laws of large numbers for multivalued random variables, Trans. A. M. S. 291 (1985), 613–627. 5. F. Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables, Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987), no. 4, 709-715. * Ngày nhận bài: 07/10/2014 Biên tập xong: 01/3/2015 Duyệt đăng: 20/3/2015