Tài liệu Luận văn Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết: ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THỊ HỒNG NGA
XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HèNH
VỚI MỘT TẬP Vễ HẠN SỐ KHUYẾT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYấN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THỊ HỒNG NGA
XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HèNH
VỚI MỘT TẬP Vễ HẠN SỐ KHUYẾT
Chuyờn ngành: GIẢI TÍCH
Mó số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. TẠ THỊ HOÀI AN
THÁI NGUYấN – 2008
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình. . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. . . . . . . . 17
2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 20
2.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Các ví dụ về đường cong ch...
45 trang |
Chia sẻ: hunglv | Lượt xem: 1202 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Luận văn Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THỊ HỒNG NGA
XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HèNH
VỚI MỘT TẬP Vễ HẠN SỐ KHUYẾT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYấN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THỊ HỒNG NGA
XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HèNH
VỚI MỘT TẬP Vễ HẠN SỐ KHUYẾT
Chuyờn ngành: GIẢI TÍCH
Mó số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. TẠ THỊ HOÀI AN
THÁI NGUYấN – 2008
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình. . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. . . . . . . . 17
2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 20
2.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo 42
1
Lời mở đầu
Lý thuyết Nevanlinna ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20 và đã
nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Lý thuyết
Nevanlinna cổ điển nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình f thông
qua hàm đặc trưng T (f, a, r) - hàm đo cấp tăng của hàm phân hình, hàm đếm
N(f, a, r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a trong đĩa bán kính r, và hàm
xấp xỉ m(f, a, r) - đo độ gần đến a của hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1,
và 1.1.2). Trọng tâm của lý thuyết này là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản
thứ nhất thể hiện sự độc lập của hàm đặc trưng với mọi giá trị a ∈ C∪{∞}.
Định lý cơ bản thứ hai nói rằng với hầu hết các giá trị a, hàm đếm N(f, a, r)
trội hơn hẳn hàm xấp xỉ m(f, a, r). Điều này dẫn đến định nghĩa số khuyết
của hàm f tại giá trị a như sau
δ(f, a) := lim inf
r→∞ {1−
N(f, a, r)
T (f, a, r)
}.
Giá trị a được gọi là giá trị khuyết cho hàm f nếu δ(f, a) > 0. Quan hệ số
khuyết là một dạng phát biểu khác của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna,
cụ thể là Nevanlinna đã chứng minh rằng∑
a∈C∪{∞}
δ(f, a) 6 2.
Mặt khác, Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy rằng số khuyết của hàm phân
hình tại một giá trị nào đó nằm trong đoạn [0, 1]. Hơn nữa người ta đã chứng
minh được rằng tập các giá trị khuyết là đếm được. Như vậy một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, giả sử {δi} là dãy các số thực
không âm sao cho
0 < δi ≤ 1,
∑
i
δi ≤ 2.
2
3Giả sử ai, là các số phân biệt trong C ∪ {∞}. Tồn tại hay không hàm phân
hình f trên C thỏa mãn δ(f, ai) = δi, và δ(f, a) = 0 cho mọi a /∈ {ai}?
Câu hỏi trên còn được biết như là bài toán ngược của Nevanlinna.
Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu bài toán ngược của Nevanlinna, cụ
thể Nevanlinna [9], Lê Văn Thiêm [11], Hayman [4],... đã giải quyết bài toán
này cho một số trường hợp đặc biệt. Đến năm 1976 vấn đề trên đã được giải
quyết trọn vẹn bởi D. Drasin trong [3]. Trong công trình này, Drasin không
chỉ xét bài toán ngược của Nevanlinna cho số khuyết mà còn cho số khuyết
rẽ nhánh. Vậy, bài toán về sự tồn tại của hàm phân hình với hữu hạn hay vô
hạn giá trị khuyết đã được nghiên cứu khá trọn vẹn.
Như ta đã biết hàm phân hình có thể được xem là đường cong chỉnh
hình từ C vào P1(C). Do đó, việc mở rộng lý thuyết Nevanlinna cổ điển
cho các đường cong chỉnh hình vào Pn(C) với n > 2 là một điều tự nhiên.
H. Cartan [1] đã chứng minh định lý sau (được gọi là định lý Nevanlinna-
Cartan cho đường cong chỉnh hình cắt các siêu phẳng)
Định lý. Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn(C). Cho H1, . . . , Hq là
các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh Pn(C). Khi đó
q∑
j=1
δ(Hj, f) 6 n+ 1.
Tương tự với trường hợp hàm phân hình, người ta cũng nghiên cứu tính
chất của số khuyết của đường cong chỉnh hình. Với n > 2, các ví dụ về
đường cong chỉnh hình với hữu hạn giá trị khuyết đã được đưa ra bởi nhiều
tác giả, trong khi đó, việc xây dựng đường cong chỉnh hình có vô hạn giá trị
khuyết không dễ chút nào. Năm 2004, N. Toda [12] đã nghiên cứu và đưa ra
các ví dụ cho đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn giá trị khuyết.
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại những kết quả đó của N. Toda
một cách có chọn lọc theo bố cục riêng của tác giả nhằm trả lời một phần
các câu hỏi trên.
Luận văn được chia thành 2 chương.
Chương1. Kiến thức chuẩn bị. Được trình bày với mục đích cung cấp các
kiến thức cần thiết để cho người đọc dễ theo dõi chứng minh các kết quả
của chương sau. Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ
4bản của lý thuyết Nevanlinna: Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình và
cho đường cong chỉnh hình, quan hệ số khuyết cho hàm phân hình và những
kiến thức liên quan, và chứng minh rằng tập hợp các giá trị a sao cho hàm
số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a dương là đếm được.
Chương 2. Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. Đây là chương
chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường cong
chỉnh hình có vô số số khuyết dương. Chương này được chia thành hai phần.
Phần thứ nhất, chúng tôi đưa ra các kết quả bổ trợ như xây dựng lại khái
niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng, số khuyết, giá trị khuyết,... cho
đường cong chỉnh hình và một số tính chất cơ bản, dễ thấy nhưng tương đối
quan trọng vì nó được sử dụng nhiều khi chứng minh những kết quả sâu hơn
ở những phần sau.
Phần thứ hai, trình bày các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị
khuyết. Kết quả chính của chương này là Định lý 2.2.8 và Định lý 2.2.9.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của
TS. Tạ Thị Hoài An. Dưới sự hướng dẫn của cô, tôi đã bước đầu làm quen và
say mê hơn trong nghiên cứu toán. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc tới cô.
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, khoa Sau đại học
ĐHSPTN, Viện Toán học Việt Nam, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức,
tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập, đặc biệt là thầy Hà Trần Phương.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của
tôi ở trường THPT Lương Thế Vinh Thái Nguyên, các anh, chị học viên lớp
cao học khoá 14 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. Nhân đây,
tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Tuấn Long đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình: bố, mẹ, và em gái
đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ bản của lý
thuyết Nevanlinna và những kiến thức liên quan khác nhằm giúp cho người
đọc dễ theo dõi. Các khái niệm và kết quả của chương này được trích dẫn từ
[2], [5], [6], [9], ...
1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình.
Giả sử f là hàm phân hình trong đĩa bán kính R và r < R.
Kí hiệu n(f,∞, r), (tương ứng, n(f,∞, r)), là số các cực điểm tính cả
bội, (tương ứng, không tính bội), của hàm f trong đĩa đóng bán kính r. Giả
sử a ∈ C, ta định nghĩa
n(f, a, r) = n
( 1
f − a,∞, r
)
,
n(f, a, r) = n
( 1
f − a,∞, r
)
.
1.1.1 Định nghĩa. Hàm đếm tính cả bội N(f, a, r), (tương ứng, hàm đếm
không tính bội N(f, a, r)), của hàm f tại giá trị a được định nghĩa như sau
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +
∫ r
0
(
n(f, a, t)− n(f, a, 0)
)dt
t
,
5
6(tương ứng,
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +
∫ r
0
(
n(f, a, t)− n(f, a, 0)
)dt
t
).
Vì thế, nếu a = 0 ta có
N(f, 0, r) = (ord+0 f) log r +
∑
z∈D(r)
z 6=0
(ord+z f) log |
r
z
|,
trong đó D(r) là đĩa có bán kính r và ord+z f = max{0, ordzf} là bội của
không điểm.
1.1.2 Định nghĩa. Hàm xấp xỉ m(f, a, r) của hàm f tại giá trị a ∈ C được
định nghĩa như sau
m(f, a, r) =
∫ 2pi
0
log+
∣∣∣ 1
f(reiθ)− a
∣∣∣dθ
2pi
,
và
m(f,∞, r) =
∫ 2pi
0
log+ | f(reiθ) | dθ
2pi
,
trong đó log+ x = max{0, log x}.
Hàmm(f,∞, r) đo độ lớn trung bình của log |f | trên đường tròn |z| = r.
1.1.3 Định nghĩa. Hàm đặc trưng T (f, a, r) của hàm f tại giá trị a ∈ C
được định nghĩa như sau
T (f, a, r) = m(f, a, r) +N(f, a, r),
T (f, r) = m(f,∞, r) +N(f,∞, r).
Xét về mặt nào đó, hàm đặc trưng Nevanlinna đối với lý thuyết hàm phân
hình có vai trò tương tự như bậc của đa thức trong lý thuyết đa thức. Từ định
nghĩa hàm đặc trưng ta có
T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) +O(1),
trong đó O(1) là một đại lượng bị chặn khi r →∞.
71.1.4 Định nghĩa. Cấp của hàm phân hình f được định nghĩa bởi công thức
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
.
Nếu ρ(f) = ∞ thì f được gọi là có cấp vô hạn, nếu 0 < ρ(f) < ∞ thì f
được gọi là có cấp hữu hạn.
Giả sử 0 < ρ(f) <∞, đặt
C = lim sup
r→∞
T (r, f)
rρ
.
Ta nói f có dạng tối đại nếu C =∞, có dạng trung bình nếu 0 < C <∞,
có dạng tối tiểu nếu C = 0.
1.1.5 Ví dụ. Nếu f là hàm hữu tỷ thì T (f, r) = O(log r), do đó hàm hữu tỷ
có cấp 0. Nếu f = ez thì T (f, r) = r/pi + O(1), do đó ez có cấp 1, dạng
trung bình. Hàm ee
z
là hàm có cấp vô hạn.
Công thức Poisson - Jensen
1.1.6 Định lý. Giả sử f(z) 6≡ 0,∞ là một hàm phân hình trong hình tròn
D = {|z| ≤ R} với 0 < R <∞. Giả sử aà, à = 1, ...,M là các không điểm
của f trong D, mỗi không điểm được kể một số lần bằng bội của nó.
bν, (ν = 1, 2, ..., N) là các cực điểm của f trong trongD, mỗi cực điểm được
kể một số lần bằng bội của nó.
Khi đó, với mỗi z = reiθ ∈ D sao cho f(z) 6= 0, f(z) 6=∞ ta có
log |f(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiφ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+
+
M∑
à=1
log
∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz
∣∣∣∣− N∑
ν=1
log
∣∣∣∣R(z − bν)R2 − bνz
∣∣∣∣. (1.1)
8Chứng minh. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong
{|z| ≤ R}, z = 0.
Khi đó ta cần chứng minh
log |f(0)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ.
Do f(z) 6= 0 trong D nên log f(z) là hàm chỉnh hình trong D. Theo Định
lý Cauchy, ta có:
log f(0) =
1
2pii
∫
|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2pi
2pi∫
0
log f(Reiϕ)dϕ.
Lấy phần thực hai vế ta có:
log |f(0)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ.
Trường hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong
{|z| ≤ R}, với z tuỳ ý, z = reiθ(0 < r < R) .
Xét ánh xạ bảo giác:
{|ξ| 6 R} → {ω 6 1}
z 7→ 0
ξ 6= z 7→ ω = R (ξ − z)
R2 − zξ
Như vậy |ς| = R tương ứng với |ω| = 1, vì
|ω| = R |ξ − z||R2 − zξ|
9và |ξ| = R⇒ ξξ = |ξ|2 = R2
suy ra
|ω| = R |ξ − z|∣∣ξξ − zξ∣∣ = R |ξ − z||ξ| ∣∣ξ − z∣∣ = 1.
Do log f(z) là chỉnh hình trong |ξ| ≤ R, theo định lý Cauchy, ta có
log f(z) =
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ς)
dξ
ξ − z . (1.2)
Mặt khác
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
zdξ
R2 − zξ =
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
−dξ
ξ − R
2
z
= 0. (1.3)
Do |z| = |z| < R nên
∣∣∣∣R2z
∣∣∣∣ > R nghĩa là điểm R2z nằm ngoài |ξ| ≤ R nên
hàm log f(ξ)
1
ξ − R
2
z
là hàm chỉnh hình. Kết hợp với (1.2) và (1.3) ta có
log f(z) =
1
2i
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
[
1
ξ − z +
1
ξ − R2z
]
dξ
=
1
2i
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
[
1
ξ − z +
z
R2 − zξ
]
dξ,
với
1
ξ − z +
z
R2 − zξ =
R2 − zξ + zξ − zz
(ξ − z) (R2 − zξ) =
R2 − r2
(ξ − z) (ξξ − zξ) = R2 − r2ξ |ξ − z|2 .
10
Mặt khác
ξ = Reiϕ = R cosϕ+ iR sinϕ,
z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,
ξ − z = (R cosϕ− r cos θ) + i (R sinϕ− r sin θ) ,
|ξ − z|2 = (R cosϕ− r cos θ)2 + (R sinϕ− r sin θ)2
= R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ− θ).
Vậy
log f(z) =
1
2pi
2pi∫
0
log f(Reiφ)
R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. (1.4)
Lấy phần thực hai vế của (1.4) ta được
log |f(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ.
Trường hợp 3: Hàm f(z) có không điểm và cực điểm trên biên {|z| = R}
nhưng không có không điểm và cực điểm ở trong miền {|z| < R}.
Ta có số không điểm và cực điểm của hàm f(z) trên biên {|z| = R} là
hữu hạn. Thật vậy, giả sử f(z) có vô hạn không điểm {zk} , khi đó {|ξ| = R}
compact, do đó
{
zkj
}
hội tụ đến zk0 ∈ {|ξ| = R} và f(zkj) = 0, do đó f = 0
trên một tập hợp có điểm giới hạn. Điều này kéo theo f ≡ 0 suy ra vô lý.
Giả sử có vô hạn không điểm {zk} , khi đó tồn tại
{
zkj
} → z0 ∈
{|ξ| = R}, z0 là điểm bất thường; vì f là hàm phân hình nên z0 là cực
điểm nghĩa là trong một lân cận của z0 hàm f chỉnh hình chỉ trừ tại z0 suy
ra vô lý vì
{
zkj
}→ z0 nên trong mọi lân cận của z0 đều chứa zkj nào đó mà
tại đó f có cực điểm.
11
Vậy f(z) có hữu hạn không điểm và cực điểm trên biên {|z| = R} . Giả
sử Z0 là không điểm hoặc cực điểm cấp k của f(ξ), Z0 ∈ ∂D. Trong một
lân cận nào đó của Z0, ta có khai triển sau:
f(ξ) = a(ξ − Z0)k + . . . , a 6= 0.
Khi đó,
log |f(ξ)| = k log |ξ − Z0|+ o(|ξ − Z0|).
Xét vòng tròn Cδ tâm Z0, bán kính δ đủ nhỏ. Thay vòng tròn |ξ| = R bởi
vòng tròn Cδ, khi đó f không có không điểm và cực điểm trên biên của miền
mới nhận được.
Quay lại trường hợp 2, ta có tích phân bên phải của bước 2 chỉ khác tích
phân ở trên vòng tròn |ξ| = R một đại lượng∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| . Ta
có ∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| = Cδ. log δ.δ.
Do đó, ∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ.
Cho δ → 0 ta có∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| → 0. Công thức được chứng
minh.
Trường hợp 4: Bây giờ ta xét trong trường hợp f(z) có các không điểm
và cực điểm trong |z| ≤ R.
Xét hàm
ψ(z) = f(z)
∏N
γ=1
R(z−bγ)
R2−bγz∏M
à=1
R(z−aà)
R2−aàz
.
12
Khi đó ψ(z) suy ra không có không điểm và cực điểm ở trong |ξ| 6 R vì
giả sử ngược lại ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0. Do đó ψ(ξ) bị khử đi mẫu số.
Tương tự ψ(ξ) cũng không có cực điểm.
áp dụng công thức đã chứng minh ta có:
log |ψ(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Nên
log |f(z)|+
N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣− M∑
à=1
log
∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz
∣∣∣∣
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Khi |z| = R thì
∣∣∣R(z−bγ)
R2−bγz
∣∣∣ = 1, và ∣∣∣R(z−aà)R2−aàz ∣∣∣ = 1.
Suy ra nếu |z| = R thì |ψ(z)| = |f(z)| .
Do đó
log |f(z)|+
N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣− M∑
à=1
log
∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz
∣∣∣∣
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Vậy
log |f(z)| = 1
2pi
∫ 2pi
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ
+
M∑
à=1
log
∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz
∣∣∣∣− N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣.
13
Từ Công thức Poisson-Jensen ta có định lý sau đây.
1.1.7 Định lý (Định lí cơ bản thứ nhất). Giả sử f là hàm phân hình, a là một
số phức tuỳ ý. Khi đó ta có
m(f, a, r) +N(f, a, r) = T (f, r)− log |f(0)− a|+ (a, r),
trong đó (a, r) ≤ log a+ log 2.
Ta thường dùng Định lý cơ bản thứ nhất dưới dạng
T (f, a, r) = T (f, r) +O(1),
trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r →∞.
Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy vế trái trong công thức không phụ
thuộc a với sai khác một đại lượng bị chặn.
1.1.8 Định lý (Định lí cơ bản thứ hai). Giả sử f(z) là hàm phân hình trong
C và a1, . . . , aq là q số phức phân biệt. Khi đó,
(q − 2)T (f, r) ≤
q∑
i=1
N(f, ai, r)−Nram(f, r) +O
(
log T (r, f)
)
,
cho r →∞ bên ngoài tập hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn và
N
ram
(f, r) = N(f ′, 0, r) + 2N(f,∞, r)−N(f ′,∞, r).
1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình
Quan hệ số khuyết là một dạng phát biểu khác của Định lý cơ bản thứ
hai của Nevanlinna. Số khuyết liên quan chặt chẽ đến bài toán ngược của
Nevanlinna trong [9]. Trước hết ta nhắc lại định nghĩa số khuyết.
14
1.2.1 Định nghĩa. Số khuyết của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi
δ(f, a) = lim inf
r→∞
{
1− N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
Số khuyết rẽ nhánh của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi
θ(f, a) = lim inf
r→∞
{N(f, a, r)−N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
Số khuyết bị chặt của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi
Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf
r→∞
{
1− N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
1.2.2 Định nghĩa. Cho a ∈ C∪{∞}, giá trị a được gọi là giá trị khuyết của
hàm f nếu δ(f, a) > 0; giá trị a được gọi là giá trị khuyết cực đại của hàm
f nếu δ(f, a) = 1.
1.2.3 Mệnh đề. Với mọi a ∈ C ∪ {∞},
0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), và Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1.
Cho hàm phân hình f và các điểm phân biệt a1, . . . , aq trong C ∪ {∞},
ký hiệu
S(f, {aj}qj=1, r) = (q − 2)T (f, r)−
q∑
j=1
N(f, aj, r) +Nram(f, r).
Khi đó, Định lý cơ bản thứ hai có thể được phát biểu ở dạng yếu hơn như
sau.
1.2.4 Định lý. Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trên C và
a1, . . . , aq là các phần tử phân biệt trong C ∪ {∞}. Khi đó
lim inf
r→∞
S(f, {aj}qj=1, r)
T (f, r)
≤ 0.
15
1.2.5 Định lý. Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong |z| < R0.
Khi đó tập hợp các giá trị a mà δ(f, a) > 0 và θ(f, a) > 0 là đếm được,
đồng thời ta có∑
a∈C∪{∞}
{δ(f, a) + θ(f, a)} =
∑
a∈C∪{∞}
Θ(f, a) 6 2.
Chứng minh. Xét q điểm khác nhau a1, a2, ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi đó
q∑
j=1
(δ(f, aj) + θ(f, aj))
= lim inf
r→∞
qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +∑qj=1N(f, aj, r)−∑qj=1 N¯(f, aj, r)
T (f, r)
.
Rõ ràng N(f, aj, r) − N¯(f, aj, r) đếm số lần hàm f = a với bội lớn hơn 1
và do đó
q∑
j=1
N(f, aj, r)−
q∑
j=1
N¯(f, aj, r) ≤ Nram(f, r) + nram(f, 0) log+ 1
r
.
Như vậy
q∑
j=1
(δ(f, aj) + θ(f, aj)) ≤ lim inf
r→∞
qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
(q − 2)T (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
S(f, {aj}qj=1, r)
T (f, r)
≤ 2,
bởi áp dụng Định lý 1.2.4.
Với mọi số nguyên dương k, tồn tại nhiều nhất hữu hạn giá trị a sao cho
Θ(f, a) ≥ 1/k. Do
{a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞k=1{a : Θ(f, a) ≥ 1/k},
ta có nhiều nhất đếm được a như vậy.
16
1.2.6 Hệ quả. Nếu f là hàm nguyên thì∑
a∈C
Θ(f, a) 6 1.
Chứng minh. Do f là hàm nguyên nên Θ(f,∞) = 1.
Chúng ta có định lý sau là hệ quả trực tiếp của định lý quan hệ số khuyết.
1.2.7 Định lý (Định lý Picard). Giả sử f(z) là hàm phân hình, không nhận
3 giá trị 0, 1,∞ khi đó f là hàm hằng.
Chứng minh. Giả sử f không phải là hàm hằng, do f(z) không nhận 3 giá
trị 0, 1,∞ nên
N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f,∞, r) = 0.
Do đó
Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f,∞) = 1.
Như thế ∑
a∈C∪{∞}
Θ(f, a) > 2,
mâu thuẫn với định lý về số khuyết, như vậy f(z) phải là hàm hằng.
Vấn đề ngược của Nevanlinna. Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, giả sử {δi} và
{θi} là dãy các số thực không âm sao cho
0 < δi + θi ≤ 1,
∑
i
(δi + θi) ≤ 2.
Giả sử ai, 1 ≤ i < N là các điểm phân biệt trong C ∪ {∞}. Nevanlinna đã
đưa ra câu hỏi sau:
Tồn tại hay không hàm phân hình f trên C sao cho
δ(f, ai) = δi, θ(f, ai) = θi, 1 ≤ i < N
17
và δ(f, a) = θ(f, a) = 0 cho mọi a /∈ {ai}?
Vấn đề này đã được giải quyết trọn vẹn bởi Drasin trong [3].
1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình.
Trước hết ta nhắc lại khái niệm không gian xạ ảnh.
1.3.1 Định nghĩa. Đặt (C∗)n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta định nghĩa một quan
hệ tương đương trên (C∗)n+1 như sau: (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) nếu tồn
tại 0 6= λ ∈ C sao cho (x0, . . . , xn) = λ(y0, . . . , yn).
Không gian xạ ảnh n chiều trên C, ký hiệu là Pn(C) hay đơn giản là Pn, là
không gian (C∗)n+1 với quan hệ tương đương ∼ . Ta có Pn = (C∗)n+1/ ∼ .
Mỗi phần tử của không gian xạ ảnh Pn là một lớp (x0, . . . , xn) theo quan hệ
tương đương ∼ . Mỗi phần tử P của không gian xạ ảnh Pn được gọi là một
điểm, kí hiệu là P = (x0 : ã ã ã : xn) và (x0 : ã ã ã : xn) được gọi là tọa độ
thuần nhất của điểm P .
1.3.2 Định nghĩa. ánh xạ f = (f0 : f1 : ã ã ã : fn) : C→ Pn(C) được gọi là
đường cong chỉnh hình nếu fi là các hàm nguyên trên C.
Ta có thể viết f = (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) trong đó f˜i là các hàm nguyên không có
các không điểm chung. Khi đó (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) được gọi là biểu diễn rút gọn
của đường cong f .
Giả sử f : C→ Pn(C) là đường cong chỉnh hình. Giả sử f = (f0, . . . , fn)
là biểu diễn rút gọn của f , trong đó f0, . . . , fn là các hàm nguyên trong C
không có không điểm chung.
Đặt
‖f(z)‖ = (|f0(z)|2 + ã ã ã+ |fn(z)|2) 12 .
18
Hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan Tf(r) được định nghĩa bởi
T (r, f) =
1
2pi
∫ 2pi
0
log ‖f(reiθ)‖dθ.
Giả sửQ là đa thức thuần nhất bậc d với n+1 biến. Hàm xấp xỉm(r,Q, f)
của ánh xạ f ứng với đa thức Q được định nghĩa là
m(r,Q, f) =
1
2pi
∫ 2pi
0
log
‖f(reiθ)‖d
|Q ◦ f(reiθ)|dθ.
Ta gọi n(r,Q, f), (tương ứng, n(r,Q, f)), là số các không điểm tính cả
bội, (tương ứng, không tính bội), của Q ◦ f trong đĩa |z| ≤ r.
Hàm đếm tính cả bội N(r,Q, f), (tương ứng, hàm đếm không tính bội
N(r,Q, f)), được định nghĩa như sau:
N(r,Q, f) =
∫ r
0
n(t, Q, f)− nf(0, Q)
t
dt− n(0, Q, f) log r,
(tương ứng, N(r,Q, f) =
∫ r
0
n(t, Q, f)− n(0, Q, f)
t
dt− n(0, Q, f) log r).
Tương tự như đối với hàm phân hình, ta cũng có hai định lý cơ bản cho
các đường cong chỉnh hình.
1.3.3 Định lý (Định lí cơ bản thứ nhất). Giả sử f : C → Pn(C) là đường
cong chỉnh hình và Q là đa thức thuần nhất bậc d trong Pn(C). Giả sử
Q ◦ f(C) 6≡ 0, thì với mọi 0 < r <∞
m(r,Q, f) +N(r,Q, f) = dT (r, f) +O(1),
trong đó O(1) là đại lượng bị chặn không phụ thuộc vào r.
1.3.4 Định lý (Định lí cơ bản thứ hai). Giả sử f : C→ Pn(C) là đường cong
chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử L1, . . . , Lq là các đa thức tuyến
tính Pn(C). Khi đó∫ 2pi
0
max
K
log
∏
j∈K
‖f(reiθ)‖‖Lj‖
|Lj(f)(reiθ)|
dθ
2pi
6 (n+ 1)T (r, f) + o(T (r, f)),
19
trong đó maximum được lấy trên tất cả các tập con K của {1, . . . , q} sao
cho Lj, j ∈ K là độc lập tuyến tính và ‖Lj‖ là maximum của các giá trị
tuyệt đối của các hệ số trong Lj.
Chương 2
Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị
khuyết
Trong Chương 1, ta đã chứng minh rằng tập hợp các giá trị a sao cho
hàm số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a dương là đếm được. Trong
chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường cong chỉnh hình có vô số hàm
số khuyết dương. Trước hết ta đưa ra các kết quả dùng để hỗ trợ cho việc
xây dựng các đường cong chỉnh hình như vậy.
2.1 Các kết quả bổ trợ
Cho a0z0 + ã ã ã + anzn = 0 là một dạng tuyến tính xác định một siêu
phẳng H trong không gian xạ ảnh Pn. Khi đó, có tương ứng 1-1 giữa siêu
phẳng H và điểm a = (a0, . . . , an) ∈ Cn+1 \ {(0, ..., 0)}. Do đó, ta có thể
thay việc xét một siêu phẳng trong không gian xạ ảnh Pn bằng việc xét một
điểm trong Cn+1 và ta ký hiệu
‖a‖ = (|a0|2 + ...+ |an|2) 12 ,
(a, f) = a0f0 + ...+ anfn,
(a, f(z)) = a0f0(z) + ...+ anfn(z),
20
21
trong đó f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) là đường cong chỉnh hình khác
hằng. Khi đó, hàm đếm, hàm xấp xỉ của Nevanlinna-Cartan được viết lại như
sau
2.1.1 Định nghĩa. Với a ∈ Cn+1 − {0}, ta có
m(r, a, f) =
1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(reiθ)∥∥
|(a, f(reiθ))| dθ,
N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)).
2.1.2 Định nghĩa. Đường cong chỉnh hình f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C)
được gọi là không suy biến tuyến tính trên C nếu f0, ..., fn là độc lập tuyến
tính trên C.
2.1.3 Định nghĩa. Đường cong f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) được gọi là
siêu việt nếu f là không suy biến tuyến tính và lim
r→∞
T (r,f)
log r =∞.
2.1.4 Định nghĩa.
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
được gọi là cấp của f.
2.1.5 Định lý (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f : C → Pn(C) là ánh xạ
chỉnh hình, a ∈ Cn+1 − {0} tuỳ ý. Khi đó ta có
T (r, f) = m(r, a, f) +N(r, a, f) +O(1), (2.1)
trong đó O(1) là đại lượng giới nội.
2.1.6 Định nghĩa. Cho f : C→ Pn(C) là ánh xạ chỉnh hình, a ∈ Cn+1−{0}.
δ(f, a) = 1− lim sup
r→∞
N(r, a, f)
T (r, f)
= lim inf
r→∞
m(r, a, f)
T (r, f)
được gọi là số khuyết của f tại a.
22
Nhận xét. Từ công thức (2.1) ta có 0 6 δ(f, a) 6 1.
Tương tự như đối với hàm phân hình, ta có các định nghĩa về giá trị khuyết
như sau.
2.1.7 Định nghĩa. Cho a ∈ Cn+1 − {0}, giá trị a được gọi là giá trị khuyết
của đường cong chỉnh hình f nếu δ(f, a) > 0; giá trị a được gọi là giá trị
khuyết cực đại của hàm f nếu δ(f, a) = 1.
2.1.8 Định nghĩa. Cho X là một tập con của Cn+1 − {0} , và N là một
số nguyên thoả mãn N > n. X được gọi là ở N - vị trí tổng quát nếu
#X > N + 1 và N + 1 phần tử bất kỳ của X sinh ra Cn+1.
Chúng ta nói rằng X là ở vị trí tổng quát nếu X ở n - vị trí tổng quát.
Định lý sau đây là một mở rộng của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna-
Cartan cho họ các phần tử ở N - vị trí tổng quát. Kết quả này được chứng
minh bởi Cartan [1] cho trường hợp N = n và bởi Nocka [10] cho N > n.
2.1.9 Định lý. Cho ánh xạ chỉnh hình f : C → Pn(C). Với q phần tử
a1, ..., aq bất kỳ của X ở N - vị trí tổng quát. Khi đó
q∑
j=1
δ(aj, f) 6 2N − n+ 1,
trong đó 2N − n+ 1 6 q 6∞.
Để xây dựng đường cong chỉnh hình có vô số giá trị khuyết, ta cũng cần
các kết quả sau đây của lý thuyết dãy.
Cho {ηv} là một dãy giảm thoả mãn
ηv > 0,
∞∑
v=1
ηv = 1, η0 = η1.
Đặt
θ0 = 0, θk = pi
k−1∑
v=0
ηv, (k = 1, 2, 3, ...).
23
Khi đó {θk} là một dãy tăng ngặt và tiến tới
pi
∞∑
v=0
ηv = piη0 + pi
∞∑
v=1
ηv 6 2pi,
khi k →∞.
2.1.10 Bổ đề. Giả sử k > 1, z = reiθ và θ thoả mãn
θk − 1
3
piηk < θ 6 θk +
1
3
piηk. (2.2)
Khi đó
(a.) cos(θv − θ) 6 cos(23piηk) với ν 6= k.
(b.)
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 er cos 23piηk với ν 6= k.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh khẳng định (a). Với v < n
θ − θv > (θn − θn−1)− 1
3
piηn = pi(ηn−1 − 1
3
ηn) >
2
3
piηn,
và với v > n ta có
θv − θ > (θn+1 − θn)− 1
3
piηn =
2
3
piηn.
Suy ra
|θv − θ| > 2
3
piηn(mod2pi), (v 6= n).
Vậy cos(θv − θ) 6 cos(23piηk).
Ta tiếp tục chứng minh khẳng định (b). Sử dụng (a), ta có :∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θv) ∣∣∣ = er cos(θ−θv) 6 er cos 23piηk, (v 6= k).
Vậy bổ đề được chứng minh.
24
Giả sử m là một số nguyên dương bất kỳ, {ak} là một dãy tuỳ ý các số
phức trong đó có ít nhất 2 phần tử của {ak}k>m phân biệt và khác không,
{bk} là một dãy các số dương thoả mãn:
S1 =
∞∑
k=1
bk |ak| <∞, S2 =
∞∑
k=1
bk <∞.
Đặt
u(z) =
∞∑
k=1
bkake
ze−iθk , vm(z) =
∞∑
k=m
bke
ze−iθk ,
và
w0(z) ≡ 0, wm−1(z) =
m−1∑
k=1
αke
ze−iθk , (m > 2)
với số phức αk bất kỳ. Hơn nữa ta đặt
A0 ≡ 0, Am−1 =
m−1∑
k=1
|αk|, (m > 2).
Ta có các mệnh đề sau.
2.1.11 Mệnh đề. Cho z = reiθ. Khi đó
1. |u(z)| 6 S1er,
2. |vm(z)| 6 S2er,
3. |u(z) + wm−1(z)| 6 (S1 + Am−1)er,
4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 (S2 + Am−1)er.
Chứng minh. Trước hết ta có:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er.
Khi đó các khẳng định được chứng minh như sau:
1. |u(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=1
bkake
ze−iθk
∣∣∣∣ = ∞∑
k=1
bk |ak|
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S1er.
25
2. |vm(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=m
bke
ze−iθk
∣∣∣∣ = ∞∑
k=m
bk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∞∑
k=1
bk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S2er.
3. |wm−1(z)| =
∣∣∣∣m−1∑
k=1
αke
ze−iθk
∣∣∣∣ = m−1∑
k=1
|αk|
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er, (m > 2),
|u(z) + wm−1(z)| 6 |u(z)|+ |wm−1(z)| 6 S1er +Am−1er = (S1 +Am−1)er.
4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 |vm(z)|+ |wm−1(z)|
6 S2er + Am−1er = (S2 + Am−1)er.
2.1.12 Bổ đề. Cho θ thoả mãn (2.2) và k > m, z = reiθ. Khi đó, ta có các
bất đẳng thức sau:
1.
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 23piηk. (2.3)
2.
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk. (2.4)
3.
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 23piηk, (2.5)
và với r đủ lớn
4. |u(z) + wm−1(z)| > 1
2
bk |ak| er cos 13piηk, (ak 6= 0). (2.6)
5. |vm(z)| > 1
2
bke
r cos 13piηk. (2.7)
6. |vm(z) + wm−1(z)| > 1
2
bke
r cos 13piηk. (2.8)
26
Chứng minh. Ta có∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣u(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
6
m−1∑
v=1
∣∣∣αveze−iθv ∣∣∣+∑
v 6=k
bv
∣∣∣aveze−iθv ∣∣∣
6
m−1∑
v=1
|αv|
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣+ ∞∑
v=1
bv |av|
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣
6 (S1 + Am−1)er cos
2
3piηk,
khẳng định (1) được chứng minh.
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=m
bke
ze−iθk − bkeze−iθk
∣∣∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
bke
ze−iθk − bkeze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
bve
ze−iθv
∣∣∣∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣
∞∑
v=1
bve
ze−iθv
∣∣∣∣∣
=
∞∑
v=1
bv
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk,
bất đẳng thức (2) được chứng minh.
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣
6 Am−1er cos
2
3piηk + S2e
r cos 23piηk
= (S2 + Am−1)er cos
2
3piηk,
đưa ra chứng minh cho bất đẳng thức (3).
27
Giả sử ak 6= 0, ta có∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− |u(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkakeze−iθk − (u(z) + wm−1(z))∣∣∣
=
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
6 (S1 + Am−1)er cos
2
3piηk.
Điều này kéo theo
|vm(z) + wm−1(z)| >
∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− (S1 + Am−1)er cos 23piηk
= bk |ak| er cos(θ−θk) − (S1 + Am−1)er cos 23piηk
> bk |ak| er cos 13piηk − (S1 + Am−1)er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk |ak| − (S1 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk))
> 1
2
bk |ak| er cos 13piηk,
khẳng định (4) được chứng minh.
Bất đẳng thức (5) được chứng minh như sau:∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z)∣∣∣
=
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk,
do đó,
|vm(z)| >
∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− S2er cos 23piηk > bker cos 13piηk − S2er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk − S2er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1
2
bke
r cos 13piηk.
28
Bất đẳng thức (6) được suy ra từ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z) + wm−1(z)∣∣∣
=
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣
6 (S2 + Am−1)er cos
2
3piηk,
điều này kéo theo
|vm(z) + wm−1(z)| >
∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− (S2 + Am−1)er cos 23piηk
> bker cos
1
3piηk − (S2 + Am−1)er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk − (S2 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk))
> 1
2
bke
r cos 13piηk.
Bổ đề được chứng minh.
2.1.13 Bổ đề.
u(z) + wm−1(z) và vm(z) là độc lập tuyến tính trên C.
Chứng minh. Trước hết từ bất đẳng thức (2.6) và (2.7) ta nhận thấy cả
u(z) + wm−1(z) và vm(z) đều không đồng nhất bằng không.
Giả sử u(z) + wm−1(z) và vm(z) là phụ thuộc tuyến tính trên C, khi đó tồn
tại một hằng số a 6= 0 thoả mãn u(z)+wm−1(z)vm(z) ≡ a.
Mặt khác do cách chọn dãy {ak} nên có ít nhất một k > m để ak 6= 0, ak 6= a,
khi đó với θ thoả mãn (2.2), với z = reiθ và r đủ lớn ta có
29
0 6= |a− ak| =
∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− akvm(z)vm(z)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze
−iθk − akvm(z) + bkakeze−iθk
vm(z)
∣∣∣∣∣
6
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣+ ∣∣∣akvm(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
|vm(z)|
6 (S1 + Am−1 + |ak|S2)e
r cos 23piηk
1
2bke
r cos 13piηk
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bk
er(cos
2
3piηk−cos 13piηk)
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bk
e−2r sin
pi
6 ηk sin
pi
2 ηk
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bke2r sin
pi
6 ηk sin
pi
2 ηk
r→∞−−−→ 0,
(do sin pi6ηk sin
pi
2ηk > 0.)
Điều này mâu thuẫn. Vậy điều giả sử không, tức u(z) + wm−1(z) và vm(z)
là độc lập tuyến tính trên C.
Cho f := (f1 : ... : fn+1) là một đường cong chỉnh hình siêu việt; p là
một số nguyên dương tuỳ ý, đặt P (z) = zp, chúng ta xét đường cong chỉnh
hình
f ◦ P = (f1 ◦ P, ..., fn+1 ◦ P ).
Chú ý rằng f1 ◦P, ..., fn+1 ◦P không có không điểm chung và độc lập tuyến
tính trên C.
2.1.14 Bổ đề. Cho a ∈ Cn+1 − {0}. Khi đó
1. T (r, f ◦ P ) = T (rp, f), và ρ(f ◦ P ) = pρ(f),
2. m(r, a, f ◦ P ) = m(rp, a, f),
3. δ(a, f ◦ P ) = δ(a, f).
30
Chứng minh. Bởi định nghĩa của hàm đặc trưng và theo giả thiết
‖f ◦ P (z)‖ = ‖f(zp)‖ = ∥∥f(rpeipθ)∥∥ ,
ta có
T (r, f ◦ P ) = 1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥f(rpeipθ)∥∥dθ − log ‖f(0)‖
=
1
2ppi
2ppi∫
0
log
∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = T (rp, f).
Mặt khác
ρ(f ◦ P ) = lim sup
r→∞
log T (r, f ◦ P )
log r
= lim sup
r→∞
log T (rp, f)
1
p log r
p
= p lim sup
r→∞
log T (rp, f)
log rp
= p ρ(f).
Khẳng định (1) được chứng minh.
Ta sẽ chứng minh khẳng định (2). Thật vậy,
m(r, a, f ◦ P ) = 1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeipθ)∥∥
|(a, f(rpeipθ))| dθ
=
1
2ppi
2ppi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥
|(a, f(rpeiφ))| dφ
=
1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥
|(a, f(rpeiφ))| dφ = m(r
p, a, f).
31
Từ (1) và (2) ta có
δ(a, f ◦ P ) = lim inf
r→∞
m(r, a, f ◦ P )
T (r, f ◦ P )
= lim inf
r→∞
m(rp, a, f)
T (rp, f)
= δ(a, f),
suy ra (3) đựơc chứng minh.
2.2 Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị
khuyết.
Như ta đã biết, bài toán về hàm phân hình với hữu hạn hay vô hạn giá trị
khuyết đã được nghiên cứu khá trọn vẹn trong các công trình của Le V. T.
[11], D. Drasin [3], Hayman [4],... Trong phần này ta nghiên cứu bài toán
này cho đường cong chỉnh hình. Ta giả thiết n > 2.
Cho {ηv}và {θk} là các dãy sao cho {ηv} là một dãy giảm với
ηv > 0,
∞∑
v=1
ηv = 1, η0 = η1,
và {θk} là một dãy tăng ngặt với
θ0 = 0, θk = pi
k−1∑
v=0
ηv, (k = 1, 2, 3...).
Cho Y = {ak = (a1k, ..., ank, 1) ∈ Cn+1} ở vị trí tổng quát và {cjk}∞k=1 ,
(j = 1, ..., n) là những dãy số dương thoả mãn:
det (cjk) 6= 0, (j, k = 1, ..., n),
c1k = c2k = ... = cnk = ck, (k = n, n+ 1, ...),
32
và
Sj =
∞∑
k=1
cjk <∞, (j = 1, ..., n),
Sn+1 =
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjk |ajk|) <∞.
Đặt
ϕj(z) =
∞∑
k=1
cjke
ze−iθk , (j = 1, ..., n)
ϕn+1(z) = −
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk)e
ze−iθk ,
ψ1(z) =
∞∑
k=n
cke
ze−iθk ,
ϕj − ψ1 = hj,
trong đó hj(z) =
n−1∑
k=1
cjke
ze−iθk , (j = 1, ..., n).
Chú ý rằng, nếu ta đặt ak =
∑n
j=1 ajk, (k = 1, 2, ...), thì do Y là ở vị trí
tổng quát, nên dãy {ak} thoả mãn các điều kiện của dãy {ak} đã nêu ở trước
Mệnh đề 2.1.11. Ta có mệnh đề sau.
2.2.1 Mệnh đề. Cho |z| = r. Khi đó
|ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1).
Chứng minh. Với số k bất kỳ và z = reiθ, ta có:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er.
Khi đó:
|ϕj(z)| =
∞∑
k=1
cjk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer, (j = 1, ..., n),
33
và
|ϕn+1(z)| =
∣∣∣∣∣−
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk)e
ze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjk |ajk|)
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sn+1er.
Vậy
|ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1).
2.2.2 Mệnh đề. Các hàm ϕ1, ..., ϕn+1 không có không điểm chung.
Chứng minh. Chúng ta chỉ phải chứng minh ϕ1, ..., ϕn không có không điểm
chung. Giả sử rằng chúng có không điểm chung tại z = z0, thì từ
ϕj(z) =
n−1∑
k=1
cjke
ze−iθk + ψ1(z), (j = 1, ..., n),
ta có
0 =
n−1∑
k=1
cjke
z0e
−iθk + ψ1(z0), (j = 1, ..., n).
Với mỗi j = 1, ..., n− 1
0 =
n−1∑
k=1
(cjk − cnk)ez0e−iθk . (2.9)
Do đó, bởi cách chọn {cjk}, ta có
0 6= det(cjk), (j, k = 1, ..., n)
= cnn det(cjk − cnk), (j, k = 1, ..., n− 1)
do cnn 6= 0 vậy nên từ (2.9) ta có
ez0e
−iθk = 0, (k = 1, ..., n− 1).
Đây là điều vô lý. Vậy ϕ1, ..., ϕn+1 không có không điểm chung.
34
2.2.3 Mệnh đề. Các hàm ϕ1, ..., ϕn+1 là độc lập tuyến tính trên C.
Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại các số αi không đồng thời bằng không
sao cho
α1ϕ1 + ...+ αn+1ϕn+1 = 0.
Khi đó
α1(h1 + ψ1) + ...+ αn(hn + ψ1) + αn+1ϕn+1 = 0,
mà kéo theo
α1h1 + ...+ αnhn + αn+1ϕn+1 + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.10)
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử αn+1 6= 0, khi đó phương trình
(2.10) tương đương với
αn+1(
α1h1 + ...+ αnhn
αn+1
+ ϕn+1) + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.11)
Từ định nghĩa của ϕn+1 , ψ1 và h1, ..., hn ta có thể xem m = n và
u = ϕn+1, wm−1 =
α1h1 + ...+ αnhn
αn+1
, vn = ψ1.
Theo Bổ đề 2.1.13 ta có u(z) + wm−1(z) và vm(z) là độc lập tuyến tính trên
C. Do đó α1h1+...+αnhnαn+1 + ϕn+1 và ψ1 là độc lập tuyến tính trên C.
Từ hệ thức (2.11) và αn+1 6= 0, điều này vô lý. Vậy αn+1 = 0.
Từ (2.9) ta có
α1h1 + ...+ αnhn + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.12)
Giả sử α1 + ...+ αn 6= 0 khi đó (2.12) tương đương với
α1h1 + ...+ αnhn
α1 + ...+ αn
+ ψ1 = 0.
35
Theo bất đẳng thức (2.8) với m = n , vn = ψ1 , wm−1 = α1h1+ããã+αnhnα1+ããã+αn .
Ta có
α1h1 + ã ã ã+ αnhn
α1 + ã ã ã+ αn + ψ1 6= 0,
suy ra mâu thuẫn, vậy α1 + ã ã ã+αn = 0 suy ra αn = −α1− ã ã ã −αn−1. Từ
(2.12) ta có
α1(h1 − hn) + ã ã ã+ αn−1 (hn−1 − hn) = 0, (2.13)
trong đó hj(z)− hn(z) =
n−1∑
k=1
(cjk − cnk)eze−iθk , (j = 1, ..., n− 1), det(cjk−
cnk) 6= 0 và do 0 < θ1 < ã ã ã < θn−1 < 2pi nên eze−iθ1 , ..., eze−iθn−1 là độc lập
tuyến tính trên C. Từ (2.13) ta có α1 = ã ã ã = αn−1 = 0 và αn = 0.
Vậy ϕ1, ..., ϕn+1 độc lập tuyến tính trên C.
Từ các Mệnh đề 2.2.2 và 2.2.3, ta thấy rằng nếu
ϕ := [ϕ1, . . . , ϕn+1]
thì ϕ là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào Pn(C).
2.2.4 Mệnh đề. Ta có
T (r, ϕ) < r +O(1).
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.2.1 ta có |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+1) nên
∥∥ϕ(reiθ)∥∥ = (∣∣ϕ1(reiθ)∣∣2 + ...+ ∣∣ϕn+1(reiθ)∣∣2) 12
6
(
(S1e
r)2 + ...+ (Sn+1e
r)2
) 1
2 6
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
er.
36
Theo định nghĩa hàm đặc trưng T (r, ϕ) ta có
T (r, ϕ) =
1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥ϕ(reiθ)∥∥ dθ 6 1
2pi
2pi∫
0
log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
erdθ
= log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
er = log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
+ log er
= r + log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
= r +O(1).
2.2.5 Mệnh đề. Cho θ thoả mãn (2.2), cho |z| = r. Khi đó
1. ∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣ 6 Sn+1er cos 23piηk. (2.14)
2. ∣∣∣ϕj(z)− cjkeze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer cos 23piηk, (j = 1, ..., n). (2.15)
3. Với r đủ lớn
|ϕj(z)| > 1
2
cjke
r cos 13piηk, (j = 1, ..., n). (2.16)
37
Chứng minh. Khẳng định (1) suy ra do∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣−
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk+
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
(
n∑
j=1
cjvajv
)
eze
−iθv
∣∣∣∣∣∣ =
∑
v 6=k
∣∣∣∣∣
(
n∑
j=1
cjvajv
)
eze
−iθv
∣∣∣∣∣
6
∞∑
v=1
(
n∑
j=1
cjv |ajv|
)∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 Sn+1er cos 23piηk.
Khẳng định (2) được kéo theo từ∣∣∣ϕj(z)− cjkeze−iθk ∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
cjke
ze−iθk − cjkeze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
cjve
ze−iθv
∣∣∣∣∣∣ 6
∞∑
v=1
cjv
∣∣∣eze−iθv∣∣∣ 6 Sjer cos 23piηk, (j = 1, ..., n).
Do |ϕj(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=1
cjke
ze−iθk
∣∣∣∣ > ∣∣∣∣ ∞∑
k=m
cjke
ze−iθk
∣∣∣∣ > 12cjker cos 13piηk,
(j = 1, ..., n) (theo bất đẳng thức (2.6)). Khẳng định (3) được chứng minh.
2.2.6 Mệnh đề. Cho θ thoả mãn (2.2), cho z = reiθ và r đủ lớn
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥
|(ak, ϕ(reiθ))| >
‖ak‖ (max16j6n cjk) er cos 13piηk
2
(
Sn+1 +
n∑
j=1
|ajk|Sj
)
er cos
2
3piηk
.
Chứng minh. Do Mệnh đề 2.2.3, (ak, ϕ(re
iθ)) 6= 0 với bất kỳ ak ∈ Y.
Với θ thoả mãn (2.2), với r đủ lớn, theo bất đẳng thức (2.16) của Mệnh
đề 2.2.5 ta có
38
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥ > ‖ak‖(max
16j6n
∣∣ϕj(reiθ)∣∣)
> ‖ak‖
2
(
max
16j6n
cjk
)
er cos
1
3piηk. (2.17)
Theo bất đẳng thức (2.14) và (2.15) của Mệnh đề 2.2.5 ta có
|(ak, ϕ(z))| = |a1kϕ1(z) + ...+ ankϕn(z) + ϕn+1(z)|
=
∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
n∑
j=1
ajkϕj(z)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk +
n∑
j=1
ajkϕj(z)−
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
6
∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
ajkϕj(z)−
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
6 Sn+1er cos
2
3piηk +
n∑
j=1
|ajk|Sjer cos 23piηk
=
(
Sn+1 +
n∑
j=1
|ajk|Sj
)
er cos
2
3piηk. (2.18)
Từ (2.17) và (2.18) ta có điều phải chứng minh
2.2.7 Mệnh đề. Với r đủ lớn
m(r, ak, ϕ) >
2
9
rη3k +O(1).
Chứng minh. Từ định nghĩa của m(r, ak, ϕ), với βk =
1
3piηk và theo Mệnh
39
đề 2.2.6 ta có
m(r, ak, ϕ) =
1
2pi
2pi∫
0
log
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥
|(ak, ϕ(reiθ))| dθ
> 1
2pi
θk+βk∫
θk−βk
log
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥
|(ak, ϕ(reiθ))| dθ
> r
2pi
θk+βk∫
θk−βk
(
cos
2
3
piηk − cos 1
3
piηk
)
dθ +O(1)
=
( r
2pi
2 sin
pi
6
ηk sin
pi
2
ηk
) 2pi
3
ηk +O(1)
> 2r
3
ηk.
2
pi
pi
6
ηk.
2
pi
pi
2
ηk +O(1)
=
2
9
rη3k +O(1),
(ta có sinx > 2pix với 0 6 x 6
pi
2 ).
Định lý sau đây cho ta một cách xây dựng đường cong chỉnh hình có bậc
1 với vô số giá trị khuyết.
2.2.8 Định lý. Giả sử ϕ, Y = {ak} và ηk như đã xây dựng ở phần trên.
I. ϕ là bậc 1.
II. δ(ak, ϕ) > 29η3k, (k = 1, 2, 3, ...).
Chứng minh. I. Từ Mệnh đề 2.2.4 và 2.2.7 ta có:
2
9
rη31 +O(1) 6 T (r, ϕ) < r +O(1).
II. Từ Mệnh đề 2.2.4 và 2.2.7 ta có:
δ(ak, ϕ) = lim inf
r→∞
m(r, ak, ϕ)
T (r, ϕ)
> 2
9
η3k.
40
Định lý sau đây cho ta một cách xây dựng đường cong chỉnh hình có bậc
p, với p là số nguyên dương nào đó, với vô số giá trị khuyết.
2.2.9 Định lý. Giả sử ϕ, Y = {ak} và ηk như đã xây dựng ở phần trên. Với
mỗi số nguyên dương p bất kỳ đặt P (z) = zp. Giả sử
ϕ ◦ P = [ϕ1 ◦ P, ..., ϕn+1 ◦ P ] .
Khi đó ta có:
I. ϕ ◦ P là bậc p.
II. δ(ak, ϕ ◦ P ) > 29η3k, (k = 1, 2, 3, ...).
Chứng minh của định lý trên suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.8 và Bổ
đề 2.1.14.
Đặt Y1 = Y ∪ {bm = (m+ 1)a1 |1 6 m 6 N −m} với N là một số
nguyên dương lớn hơn n.
2.2.10 Hệ quả. Với ϕ ◦ P được đưa ra ở Định lý 2.2.8, ta có:
δ(ak, ϕ ◦ P ) > 2
9
η3k, (k = 1, 2, 3, ...),
và
δ(bm, ϕ ◦ P ) > 2
9
η31, (m = 1, ..., N −m).
Như trong trường hợp hàm phân hình ta có hệ quả sau:
2.2.11 Hệ quả. Cho 0 < ε < 13 , tồn tại một đường cong chỉnh hình ϕ ◦ P
cấp p và dãy {ak} , (k = 1, 2, ...) ở vị trí tổng quát thoả mãn
∞∑
k=1
δ(ak, ϕ ◦ P ) 13−ε =∞. (2.19)
Kết luận
Như vậy, luận văn này đã trình bày lại các khái niệm, các tính chất và
các định lý của lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình và cho đường cong
chỉnh hình một cách có hệ thống. Phân tích và chứng minh lại một cách tỉ
mỉ, cụ thể các bổ đề, mệnh đề và các kết quả trong bài báo của N. Toda [12]
về xây dựng đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. Kết quả chính
của luận văn là đã xây dựng các đường cong chỉnh hình với hữu hạn hay vô
hạn giá trị khuyết đã được trình bày trong luận văn.
41
Tài liệu tham khảo
[1] H. Cartan, Sur les zeros des combinaisions linearires de p fonctions
holomorpes donnees, Mathematica (Cluj). 7 (1933), 80-103.
[2] W. Cherry and Z. Ye, Nevanlinna's Theory of Value Distribution. The
Second Main Theorem and its Error Terms, Springer Monographs in
Mathematics, Springer-Verlag, 2001.
[3] D. Drasin, The inverse problem of the Nevanlinna theory, Acta Math.
138 (1976), 83--151.
[4] W. K. Hayman, Meromorphic functions, Clarendo Press, Oxford, 1964.
[5] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math. vol. 52,
Springer-Verlag, New York, 1997.
[6] Hà Huy Khoái, Giáo trình giải tích phức, Viện Toán học, 2000.
[7] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc
gia, Hà Nội (1997).
[8] S. Kobayashi, Hyperbolic manifolds and holomophic mappings,Marcel
Dekker, 1970.
[9] R. Nevanlinna, Einige Eindeutigkeitssatze in der Theorie der meromor-
phen Function, Acta. Math. 48 (1926), 367-391.
[10] E. I. Nochka, On the theory of meromorphic curves, Soviet Math. Dokl.
27 (1983), no. 2, 377--381.
42
43
[11] Le Van Thiem, Uber das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre,
(German) Comment. Math. Helv. 23, (1949). 26--49.
[12] N. Toda, Holomorphic curves with an infinite number of deficiences,
Proc. Japan. Aca. 80 2004, 90--95.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Luận văn- XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT.pdf