Luận văn Xấp xỉ tuyến tính cho một vài phương trình sóng Phi Tuyến

BOÄ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN TRAÀN NGOÏC DIEÃM XAÁP XÆ TUYEÁN TÍNH CHO MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH : TOAÙN GIAÛI TÍCH MAÕ SOÁ : 1.01.01 THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 10-1998 LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC HOAØN THAØNH TAÏI TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Ngöôøi Höôùng Daãn : PTS Nguyeãn Thaønh Long Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông Thaønh Phoá Hoà Chí Minh Ngöôøi Nhaän Xeùt 1 : PGS-PTS Döông Minh Ñöùc Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh Ngöôøi Nhaän Xeùt 2 : PTS Nguyeãn Bích Huy Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh Ngöôøi Thöïc Hieän : Traàn Ngoïc Dieãm Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông Thaønh Phoá Hoà Chí Minh LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC BAÛO VEÄ TAÏI HOÄI ÑOÀNG CHAÁM LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Lôøi ñaàu tieân, toâi xin kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaønh Long, lôøi caûm ôn saâu saéc veà söï taän tình giuùp ñôõ cuûa thaày ñoái vôùi toâi trong suoát khoùa hoïc vaø nhaát laø trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Xin chaân thaønh caûm ôn Thaày Döông Minh Ñöùc vaø Thaày Nguyeãn Bích Huy ñaõ ñoïc vaø cho nhöõng yù kieán quyù baùu cuõng nhö nhöõng lôøi pheâ bình boå ích ñoái vôùi luaän vaên. Toâi cuõng xin caûm ôn taát caû quyù Thaày trong hoäi ñoàâng chaám luaän vaên ñaõ daønh cho toâi thôøi gian quyù baùu vaø nhöõng goùp yù saâu saéc cho buoåi baûo veä luaän vaên. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ khoa Toaùn, Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông, Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình höôùng daãn vaø cung caáp cho toâi nhöõng tö lieäu caàn thieát trong suoát thôøi gian hoïc taäp. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ thuoäc Phoøng quaûn lyù sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi veà thuû tuïc haønh chính trong khoùa hoïc. Caûm ôn caùc Baïn hoïc vieân lôùp Cao hoïc khoùa 6 ñaõ hoå trôï raát nhieàu cho toâi veà moïi maët trong thôøi gian qua. Lôøi thaân thöông nhaát xin gôûi ñeán gia ñình toâi, nôi taïo cho toâi moïi ñieàu kieän thuaän tieän ñeå hoïc taäp vaø laøm toát luaän vaên naøy. Traàn Ngoïc Dieãm MUÏC LUÏC Muïc luïc. trang 0 1. Phaàn môû ñaàu. 1 2. Chöông 1. Moät soá khoâng gian haøm vaø kyù hieäu. 6 1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm. 6 2. Vaøi boå ñeà quan troïng. 6 3. Chöông 2. Khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát. 8 1. Môû ñaàu. 8 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát. 9 3. Khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi. 18 4. Chuù yù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát. 23 5. Xeùt moät tröôøng hôïp cuï theå. 25 4. Chöông 3. Phöông trình soùng phi tuyeán vôùi toaùn töû Kirchoff-Carrier. 30 1. Môû ñaàu. 30 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi. 30 5. Keát luaän. 39 6. Taøi lieäu tham khaûo. 40 1 PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt moät soá phöông trình soùng phi tuyeán moät chieàu lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát hoaëc khoâng thuaàn nhaát. Chuùng toâi thu ñöôïc lôøi giaûi baèng caùch thieát laäp moät daõy qui naïp hoäi tuï maïnh trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp. Moät soá tính chaát veà lôøi giaûi thu ñöôïc cuõng ñöôïc khaûo saùt sau ñoù. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi taäp trung vaøo vieäc khaûo saùt hai baøi toaùn chính naèm ôû chöông 2 vaø chöông 3. Ñoái vôùi baøi toaùn thöù nhaát chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán sau ñaây ( )u u f x x t Ttt xx x t− = < < < <,t ,u,u ,u , ,0 1 0 , (0.1) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u t h u o t g t u t h u t g t x x 0 1 1 0 0 1 1 , , , , , , − = + = (0.2) vaø ñieàu kieän ñaàu ( ) ( ) ( ) ( )u x u x u x u xt, ~ , , ~0 00 1= = , (0.3) trong ñoù h0 , h1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc vôùi h0 + h1 > 0; go , g1 ∈ C3([0,∞)) ; [ ] [ )( )f C R∈ × ∞ ×1 30 1 0, , laø caùc haøm cho tröôùc. Phöông trình (0.1) vôùi caùc daïng khaùc nhau cuûa f vaø caùc ñieàu kieän bieân khaùc nhau ñaõ ñöôïc khaûo saùt bôûi nhieàu taùc giaû.Cuï theå laø moät soá tröôøng hôïp sau: Trong [8]. Ficken vaø Fleishman ñaõ thieát laäp söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi toaøn cuïc vaø tính oån ñònh cuûa lôøi giaûi naøy cho phöông trình u u u u u btt xx t− − = + > - 2 , 1α α ε ε2 3 0 beù. (0.4) Rabinowitz [19]ñaõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa lôøi giaûi tuaàn hoaøn cho phöông trình ( )u u u f u u u x ttt xx t x t− = + 2 1α ε , , , , , (0.5) trong ñoù ε laø tham soá beù vaø f tuaàn hoaøn theo thôøi gian. Trong [2] Caughey vaø Ellison ñaõ goäp laïi caùc tröôøng hôïp tröôùc ñoù ñeå baøn veà söï toàn taïi,duy nhaát vaø oån ñònh tieäm caän cuûa caùc lôøi giaûi coå ñieån cho moät lôùp caùc heä ñoäng löïc lieân tuïc phi tuyeán. Trong [4], Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (0.1), (0.3) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát ( ) ( )u t u t0 1 0, ,= = , (0.6) 2 vôùi soá haïng phi tuyeán trong (0.1) coù daïng ( )f f t= ε ,u . (0.7) Baèng söï toång quaùt cuûa [4], Alain Phaïm Ngoïc Ñònh vaø Nguyeãn Thaønh Long ñaõ xeùt baøi toaùn (0.1), (0.3), (0.6) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng ( )f f t u ut= , , . (0.8) Trong [13], [14],Nguyeãn Thaønh Long vaø Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (0.1), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng ( )f f u ut= , . (0.9) Trong [13], caùc taùc giaû ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát ( ) ( ) ( ) ( )u t hu t g t u tx 0 0 1 0, , ,= + =, , (0.10) trong ñoù h>0 laø haèng soá cho tröôùc ; trong [14] vôùi ñieàu kieän bieân ñöôïc xeùt toång quaùt hôn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t g t hu t k t s u s ds u tx t 0 0 0 1 0 0 , , , ,= + − − =∫ , . (0.11) Trong [15] chuùng toâi xeùt baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi tröôøng hôïp ( ) ( )g t g t0 1 0= = . (0.12) Chuùng toâi lieân keát vôiù phöông trình (0.1) moät daõy qui naïp tuyeán tính lieân heä vôùi moät baát phöông trình tích phaân Volterra phi tuyeán vaø daõy naøy bò chaän trong moät khoâng gian haøm thích hôïp.Söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp Galerkin vaø compact yeáu.Chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong caùc baøi baùo[5], [15] khoâng duøng ñöôïc trong caùc baøi baùo [13], [14]. Neáu caùc haøm soá [ ] [ )( )f C R0 2 30 1 0∈ × ∞ ×, , vaø [ ] [ )( )f C R1 1 30 1 0∈ × ∞ ×, , thì moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp 2 theo ε cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu ñöôïc vôùi veá phaûi cuûa (0.1) coù daïng ( ) ( ) ( )f x t u u u f x t u u u f x t u u ux t x t x t, , , , , , , , , , , ,= +0 1ε , (0.13) vôùiε ñuû nhoû.Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái cuûa[1], [5]vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [15]. Baøi toaùn thöù hai trong luaän vaên naøy ñöôïc xeùt vôùi phöông trình soùng phi tuyeán sau ñaây chöùa toaùn töû Kirchoff-Carrier ( )( ) ( ) ( ) ( )u b B u u f u F x t x t Ttt − + ∇ + = ∈ = < <0 2 0 1 0Δ Ω, , , , , (0.14) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát ( ) ( )u t u t0 1 0, ,= = , (0.15) 3 vaø ñieàu kieän ñaàu ( )u x,0 = ( ) ( ) ( )~ , ~u x u x u xt0 0 , 1= , (0.16) trong ñoù b T0 0 0> > , laø caùc haèng soá cho tröôùc ;B , f, F, ~u0 , ~u 1 laø caùc haøm cho tröôùc. Caùc giaû thieát veà caùc haøm naøy seõ ñöôïc chæ roõ sau ñoù. Trong phöông trình (0.14) haøm B ( )∇u 2 phuï thuoäc vaøo tích phaân ( )∇ = ∫u uy y t dy2 2∂ ∂ ,Ω . (0.17) Phöông trình (0.14) lieân quan ñeán moät phöông trình dao ñoäng phi tuyeán sau ñaây cuûa moät sôïi daây ñaøn hoài [3] : ( )ρ ∂∂hu P Eh L u y y t dy u x L t Ttt L xx= +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ < < < <∫0 2 0 2 0, , , 0 . (0.18) ÔÛ ñaây u laø ñoä voõng, ρ laø maät ñoä khoái löôïng (khoái löôïng rieâng), h laø thieát dieän, L laø chieàu daøi ban ñaàu, E laø suaát Young vaø P0 laø löïc caêng ban ñaàu cuûa daây. Khi f= 0, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho (0.14) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû; chaúng haïn nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda [7], Pohozaev [18],Yamada [21] vaø caùc taùc giaû xuaát hieän trong taøi lieäu tham khaûo ôû ñoù. Trong [17] Medeiros ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) vôùi ( )f u bu= 2 ,trong ñoù b laø haêøng soá döông cho tröôùc, Ω laø moät taäp môû bò chaän cuûa R3 . Trong [9] Hosoya vaø Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) vôùi ( )f u = δ αu u , trong ñoù δ α> ≥0 0, laø caùc haèng soá cho tröôùc . Trong [16] Nguyeãn Thaønh Long vaø caùc ñoàng taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cho phöông trình sau ( ) ( ) ( )u u B u u u u F x t x t Ttt t t+ − ∇ + = ∈ = < <−λΔ ε α2 2 1 0 1 0Δ Ω, , , , , (0.19) trong ñoù λ > 0 , ε > 0 , 0 1< <α laø caùc haèng soá cho tröôùc . Trong [10] Ikehata vaø Okazawa ñaõ xeùt baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) nhö moät phöông trình tieán hoùa caáp hai aù tuyeán tính theo thôøi gian trong moät khoâng gian Hilbert thöïc H vôiù giaû thieát sau ñaây treân haøm f, trong tröôøng hôïp cuûa chuùng toâi cuï theå ra thì ñieàu kieän ñoù laø: ( ) ( ) ( )f u f v L u v u v u v HL H H H− ≤ + − ∀ ∈2 01 01 01 01 , , , (0.20) trong ñoù [ )( )L C∈ +∞0, laø moät haøm khoâng giaûm. ÔÛ tröôøng hôïp cuûa chuùng toâi thì ′f bò chaän bôûi moät haøm khoâng giaûm L ( ) ( )f x L x' ≤ ∀ ∈ , x R , (0.21) 4 do ñoù (0.20) seõ ñöôïc thoûa maõn . Trong baøi toaùn thöù hai naøy, chuùng toâi lieân keát baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) moät thuaät giaûi qui naïp tuyeán tính maø söï toàn taïi duy nhaát lôøi giaûi ñòa phöông ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp compact yeáu lieân keát vôùi baát phöông trình tích phaân Volterra. Thuaät giaûi naøy cho pheùp chuùng ta söû duïng ñöôïc moät soá thuaät giaûi tính soá hieäu quaû ñeå giaûi baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16). Keát quaû thu ñöôïc ñaõ toång quaùt töông ñoái caùc keát quaû [7], [9], [10], [16], [17], [18] vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6]. Toaøn boä luaän vaên naøy seõ chia thaønh caùc chöông sau ñaây: _Chöông môû ñaàu laø phaàn giôùi thieäu toång quaùt veà caùc baøi toaùn vaø ñieåm qua caùc keát quaû tröôùc ñoù, ñoàng thôøi giôùi thieäu toùm taét caùc chöông tieáp theo . _Chöông 1 laø phaàn giôùi thieäu moät soá kyù hieäu vaø caùc khoâng gian haøm thoâng duïng . Moät soá keát quaûveà pheùp nhuùng cuõng ñöôïc nhaéc ñeán ôû ñaây. _Chöông 2 ñi vaøo vieäc khaûo saùt baøi toaùn thöù nhaát (0.1) -(0.3), keát quaû chính cuûa chöông naøy laø chöùng minh moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi yeáu trong tröôøng hôïp [ ] [ )( ) [ )( )f C R u H u H g g C∈ × ∞ × ∈ ∈ ∈ ∞1 3 0 2 1 1 0 1 30 1 0 0, , ~ ~ , , , , , ,caùc haèng soá khoâng aâm h h0 1, thoûa h h0 1 0+ > . Phöông phaùp söû duïng laø xaây döïng moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh. Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt nheï nhaøng keát quaû [15] cuûa chuùng toâi vaø chöùa tröôøng hôïp g g0 1 0= ≡ nhö laø moät tröôøng hôïp rieâng. Vaãn trong chöông naøy, chuùng toâi cuõng thu ñöôïc caùc keát quaû veà khai trieån tieäm caän theo moät tham soá beùε ñeán caáp i cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán f coù daïng sau : ( ) ( ) ( )f x t u u u f x t u u u f x t u u ux t x t x t, , , , , , , , , , , ,= +0 1ε , trong ñoù [ ] [ )( ) [ ] [ )( ) f C R i f C R i 0 3 1 1 3 0 1 0 1 2 0 1 0 ∈ × ∞ × = ∈ × ∞ × . , , . , , . Keát quaû naøy cuõng ñaõ toång quaùt caùc keát quaû ñaõ coù [1], [5], [15]. Moät soá khai trieån tieäm caän cuõng ñöôïc khaûo saùt trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå cuûa soá haïng phi tuyeán. _ Chöông 3 laø phaàn khaûo saùt baøi toaùn thöù hai (0.14), (0.15), (0.16). Keát quaû chính laø baèng caùch tuyeán tính hoùa caùc soá haïng phi tuyeán ( )f u vaø ( )B u∇ 2 , chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi duy nhaát cuûa moät lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) trong tröôøng hôïp ( ) [ )( )f C R B C B∈ ∈ ∞ ≥1 1 0 0 , , , 5 vaø moät soá ñieàu kieän phuï sau ñoù. Keát quaû ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû tröôùc ñoù vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6]. _ Chöông cuoái cuøng laø phaàn keát luaän veà caùc keát quaû thu löôïm ñöôïc trong luaän vaên. Sau cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 6 Chöông 1 MOÄT SOÁ KHOÂNG GIAN HAØM VAØ KYÙ HIEÄU 1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm Chuùng ta boû qua ñònh nghóa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng vaø söû duïng caùc kyù hieäu goïn laïi nhö sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω Ω = = × > = = = 0 1 0 0 0 0 , , . , , , , , Q T T L L H H H H T p p m m m m Caùc kyù hieäu . ,. vaø . duøng ñeå chæ tích voâ höôùng vaø chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng töông öùng treân L2 . Kyù hieäu . ,. cuõng duøng ñeå chæ caëp tích ñoái ngaãu giöõa phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vaø moät phaàn töû trong khoâng gian haøm naøo ñoù naèm trong L2 . Ta kyù hieäu . X laø chuaån treân khoâng gian Banach X. Goïi ′X laø ñoái ngaãu cuûa X. Ta vieát u(t) , ( )&u t , ( )&&u t , ux = ∇u , u uxx = Δ thay cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x t u t x t u t x t u x x t u x x t, , , , , , , , ,∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 theo thöù töï. Ta kyù hieäu ( )L T X pp 0 1, , , ,≤ ≤ ∞ laø khoâng gian Banach caùc haøm ño ñöôïc ( )f T X : 0, → sao cho ( ) ( )f f t dtL T X XpT pp 0 0 1 , ; = ∫⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ < ∞ , 1≤ < ∞p vaø ( ) ( )f ess f tL T X t T X∞ < < =0 0 , ; sup . 2. Vaøi boå ñeà quan troïng Cho ba khoâng gian Banach B0, B, B1 vôùi B0⊂B⊂B1; B0, B1 phaûn xaï, (1.1) B0⊂ B vôùi pheùp nhuùng compact. (1.2) Ta ñònh nghóa : ( ) ( )W v L T B v dvdt L T Bp p= ∈ ′ = ∈⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ 0 10 00 1, ; , ; : trong ñoù T pi< ∞ < < ∞,1 , i = 0,1. Trang bò treân W moät chuaån nhö sau 7 ( ) ( )v v vW L T B L T Bp p= + ′0 0 1 10 0, ; , ; Khi ñoù W laø khoâng gian Banach. Hieån nhieân ( )W L T Bp⊂ 0 0, ; . Ta coù keát quaû sau : Boå ñeà 1.1 (Boå ñeà veà tính compact cuûa J.L Lions, xem [11], trang 57) Döôùi giaû thieát (1.1), (1.2) vaø neáu 1 < < ∞pi , i=0,1, pheùp nhuùng ( )W L T Bp⊂ 0 0, ; laø compact. Boå ñeà 1.2 (xem[11] trang 12) Cho O laø môû bò chaän cuûa RN, g, gm∈ ( )Lq O , 1< < ∞q thoûa (i) ( )g C mm Lq O ≤ ∀, , (ii) g gm → haàu heát trong O. Khi ñoù g gm → trong ( )Lq O yeáu. 8 Chöông 2 KHAÛO SAÙT PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN LIEÂN KEÁT VÔÙI ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN HOÃN HÔÏP 1. Môû ñaàu Trong chöông 2, chuùng toâi xeùt baøi toaùn giaù trò bieân vaø giaù trò ban ñaàu sau ñaây ( )u u f x t u u u x t Ttt xx x t− = ∈ < <, , , , , ,Ω 0 , (2.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t h u t g t u t h u t g tx x0 0 1 10 0 1 1, , , ,− = + =, , 0 < <t T , (2.2) ( ) ( ) ( ) ( )u x u x u x u xt, ~ , ~0 00 1= =, , x∈Ω , (2.3) vôùi h0, h1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc, soá haïng phi tuyeán f cuõng laø haøm cho tröôùc thuoäc lôùp [ ] [ )( )C R1 30 1 0, ,× ∞ × . Trong chöông naøy, ta seõ thieát laäp moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) baèng phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính keát hôïp vôùi phöông phaùp Galerkin vaø phöông phaùp compact yeáu. Sau ñoù chuùng toâi khaûo saùt vaán ñeà khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (2.1)-(2.3) theo tham soá beù ε khi soá haïng phi tuyeán f trong (2.1) ñöôïc thay bôûi ( ) ( )f x t u u u g x t u u ux t x t, , , , , , , ,+ ε . Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau ( ) ( ) ( ) [ ] [ )( ) ( ) [ )( ) H , , H , , H , 1 2 3 h h u H u H f C R H g g C 0 1 0 2 1 1 1 3 4 0 1 3 0 0 0 1 0 0 > ≥ ∈ ∈ ∈ × ∞ × ∈ ∞ ~ ~ , , , , . Xeùt haøm soá phuï ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ x t h h g t e g t eh x h x, = + −− −10 1 1 1 00 1 . (2.4) Ñaët ( ) ( ) ( ) ( ) B v v t h v t B v v t h v t x x 0 0 1 1 0 0 1 1 = − = + ⎧⎨⎩ , , , , , 0 < <t T . (2.5) Khi ñoù, vôùi pheùp ñoåi bieán ( ) ( ) ( )w x t u x t x t x t T, , ,= − ∈ < <ϕ , ,Ω 0 , (2.6) thì w thoûa maõn phöông trình 9 ( )w w f x t w w w x t Ttt xx x t− = ∈ < <~ , , , , , , Ω 0 , (2.7) vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát B w B w 0 1 0 0 = = ⎧⎨⎩ , 0 < <t T , (2.8) vaø ñieàu kieän ñaàu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w x u x x w x w x u x x w x x t t , ~ , ~ , , ~ , ~ , 0 0 0 0 0 0 1 1 = − = = − = ⎧⎨⎩ ∈ ϕ ϕ Ω (2.9) trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ , , , , , , , , , , ~ ~ , ~ ~ , f x t w w w f x t w w w x t x t w x u x x w x u x x x t x x t t tt xx t = + + + − + = − = − ⎧⎨⎩ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ , , ,0 0 1 10 0 (2.10) thoûa [ )( )~ , ~ ~f C R w H w H∈ × ∞ × ∈ ∈1 3 0 2 1 10Ω , , . (2.11) Nhö vaäy töø baøi toaùn bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát (2.1)-(2.3) vôùi pheùp bieán ñoåi (2.6) seõ töông ñöông vôùi baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát (2.7)-(2.9). Do ñoù, khoâng laøm maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû raèng g ii = 0 0 1, = , . (2.12) 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát Treân H1 ta söû duïng moät chuaån töông ñöông sau : ( ) ( )v v v x dxH1 2 2 0 1 1 2 0= + ′⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫ . (2.13) Trong chöông naøy, ta ñònh nghóa daïng song tuyeán tính treân H 1 nhö sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a u v u x v x dx h u v h u v u v H, ' ' ,= + + ∀ ∈∫ 0 1 0 1 10 0 1 1 , (2.14) Khi ñoù ta coù caùc boå ñeà sau Boå ñeà 2.1 Pheùp nhuùng ( )H C1 0⊂ Ω laø compact vaø ( )v v v HC H0 1 12Ω ≤ ∀ ∈, . Boå ñeà 2.1 laø moät keát quaû quen thuoäc maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy trong nhieàu taøi lieäu lieân quan ñeán lyù thuyeát veà khoâng gian Sobolev, chaúng haïn [20]. Boå ñeà 2.2 Vôùi giaû thieát ( )H1 , daïng song tuyeán tính ñoái xöùng ñònh nghóa bôûi (2.14) lieân tuïc, cöôõng böùc treân H H1 1× , nghóa laø: 10 ( ) ( ) ( ) ( ) i a u v C u v u v H ii a u u C u u H H H H , , , , , , . ≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ 1 1 0 2 1 1 1 1 vôùi { } { }C h C h h0 0 1 0 11 1 2= =min , , max , , . Chöùng minh : Söû duïng baát ñaúng thöùc Schwartz vaø boå ñeà 2.1 ta coù (i) ñuùng . Chöùng minh (ii) thì deã daøng neân ta boû qua . Boå ñeà 2.3 Toàn taïi moät cô sôû Hilbert tröïc chuaån { }wj cuûa L2 goàm caùc vector rieâng wj öùng vôùi trò rieâng λ j sao cho 0 1 2 < ≤ ≤ ≤ ≤ = ∞ →∞ λ λ λ λ , ,L L j j j lim (2.15) ( )a w v w vj j j, ,= λ , vôùi moïi v H j∈ =1 1 2, , ,L . (2.16) Hôn nöõa daõy { }wj jλ cuõng laø cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa H 1 töông öùng vôùi tích voâ höôùng ( )a .,. . Maët khaùc, chuùng ta cuõng coù haøm wj thoûa maõn baøi toaùn giaù trò bieân sau: − =Δw wj j jλ , trong Ω , (2.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ − = ′ + = ∈ ∞w h w w h w w Cj j j j j0 0 1 1 00 1 , Ω . (2.18) Chöùng minh boå ñeà 2.3 coù theå tìm trong [20] (ñònh lyù 6.2.1, p.137, vôùi V H H L= =1 2, vaø ( )a .,. ñònh nghóa nhö (2.14)). Vôùi M T> >0 0, ta ñaët ( ) ( )wvutxffTMKK ,,,,sup,,00 == , (2.19) ( ) ( )( ).,,,,sup,,11 wvutxffffffTMKK wvutx ′+′+′+′+′== (2.20) sup trong (2.19), (2.20) ñöôïc laáy treân mieàn 0 1 0≤ ≤ ≤ ≤x t T, , , ,u v w M≤ 2 . ( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) } W M T v L T H v L T H v L T L M M ML T H L T H L T L , , ; & , ; && , ; & && ., ; , ; , ; = ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ : , ; v , v , v 0 0 02 1 2 0 2 0 1 0 2 (2.21) Tieáp theo, ta xaây döïng daõy { }um trong ( )W M T, baèng qui naïp. Daõy { }um seõ ñöôïc chöùng minh hoäi tuï veà lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) trong ( )W M T, (vôùi söï choïn löïa M vaø T thích hôïp). Choïn soá haïng ban ñaàu u0 ∈ ( )W M T, . Giaû söû raèng um-1 ∈ ( )W M T, . (2.22) 11 Ta lieân keát baøi toaùn (2.1)-(2.3) vôùi baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính sau: Tìm um ∈ ( )W M T, thoûa ( ) + =&& , , ,u v a u v F vm m m , vôùi moïi v ∈ H1, (2.23) ( ) ( )u u u um m0 00 1= =~ , & ~ , (2.24) trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( )( )F x t f x t u x t u x t u x tm m m m, , , , , , , & ,= ∇− − −1 1 1 . (2.25) Söï toàn taïi cuûa um cho bôûi ñònh lyù döôùi ñaây. Ñònh lyù 2.1([15]) Giaû söû ( ) ( )H H1 3− ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M > 0 vaø T > 0 sao cho: vôùi moïi u0 ∈ ( )W M T, cho tröôùc, toàn taïi moät daõy qui naïp tuyeán tính {um}⊂ ( )W M T, xaùc ñònh bôûi (2.23)-(2.25). Chöùng minh :Chöùng minh bao goàm ba böôùc. Böôùc 1 : Duøng phöông phaùp xaáp xæ Galerkin ñeå xaây döïng lôøi giaûi xaáp xæ ( ) ( )u tmk cuûa(2.23)-(2.25). Goïi { }wj laø cô sôû tröïc chuaån cuûa H1 nhö trong boå ñeà 2.3 ( )w wj j j= λ . Ñaët ( ) ( ) ( ) ( )u t c t wmk mjk j j k= = ∑ 1 , (2.26) trong ñoù ( ) ( )c tmjk thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính sau: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )&& , , ,u t w a u t w F t w j kmk j mk j m j+ = ≤ ≤, 1 , (2.27) ( ) ( ) ( ) ( )u u u umk k mk k0 00 1= =~ & ~, , (2.28) vôùi ( )~ ~u w u Hk j k j j k 0 1 0 2= → = ∑α trong , (2.29) ( )~ ~u w u Hk j k j j k 1 1 1 1= → = ∑β trong . (2.30) Töø giaû thieát (2.22), toàn taïi ( )Tmk > 0 sao cho baøi toaùn (2.27), (2.28) coù duy nhaát lôøi giaûi ( ) ( )u tmk treân ( )[ ]0,Tmk . Caùc ñaùnh giaù sau ñaây trong böôùc 2 cho pheùp ta laáy ( )T Tmk = , vôùi moïi k vaø vôùi moïi m. 12 Böôùc 2 : Ñaùnh giaù tieân nghieäm. * Trong (2.27) thay wj bôûi ( ) ( )&u tmk ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )12 122ddt u t ddt a u t u t F t u tmk mk mk m mk& , , &+ = , sau ñoù tích phaân theo t ta ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t p F u dmk mk m mk t= + ∫0 2 0 τ τ τ, & , (2.31) trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )p t u t a u t u tmk mk mk mk= +2 , . * Trong (2.27) thay wj bôûi − 1λ j jwΔ , khi ñoù ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )&& , , ,u t w a u t w F t wmk j mk j m jΔ Δ Δ+ = , hay ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )a u t w u t w a F t wmk j mk j m j&& , , ,+ =Δ Δ . Thay wj bôûi ( ) ( )&u tmk trong ñaúng thöùc treân,keát hôïp vôùi (2.18) sau ñoù laáy tích phaân theo t, ta ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )q t a u t u t u t q a F u dmk mk mk mk mk m mkt= + = + ∫& , & , &Δ 2 0 0 τ τ τ . (2.32) * Ñaïo haøm (2.27) theo t, sau ñoù thay wj bôûi ( ) ( )&&u tmk ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )12 122ddt u t ddt a u t u t F t u tmk mk mk m mk&& & , & ,&&+ = ′ . Tích phaân hai veá theo t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t u t a u t u t r F u dmk mk mk mk mk m mkt= + = + ′∫&& & , & ,&&2 0 0 2 τ τ τ . (2.33) Töø (2.31)-(2.33) daãn ñeán ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) s t p t q t r t s F u d a F u d F u d m k m k m k m k m k m m k t m m k t m m k t = + + = + + + ′∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 0 0 0 τ τ τ τ τ τ τ τ τ, & , & ,&& (2.34) Caùc tích phaân ôû veá phaûi (2.34) laàn löôït ñöôïc ñaùnh giaù döôùi ñaây. + Tích phaân thöù nhaát Töø (2.19) vaø (2.22) ta coù 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 0 0 0 F u d F u d K p dm m k t m m k t m k tτ τ τ τ τ τ, & &∫ ∫ ∫≤ ≤ . (2.35) + Tích phaân thöù hai Do boà ñeà 2.2 ta coù ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 0 1 0 1 1a F u d C F u dm m k t m H m k H tτ τ τ τ, & &∫ ∫≤ . (2.36) Töø (2.19), (2.20) vaø (2.22) ta tìm ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , , 0 1 F F F t F t K F f f u f u f u dx f f f f u u u dx K u u K M m H m m m m x u m u m u m x u u u m m m m H m H 1 2 1 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 0 1 4 1 4 1 2 = ∇ + ≤ ∇ = ′ + ′∇ + ′ + ′∇ ≤ ′ + ′ + ′ + ′ + ∇ + + ∇ ≤ + + ≤ + − ∇ − − ∇ − − − − − ∫ ∫ , , & & & . & & Δ Δ Vaäy ( )∇ ≤ +F K Mm 2 12 24 1 2 . Vaø do ñoù ( )F K M Km H12 12 2 024 1 2≤ + + . (2.37) Töø (2.32), (2.36), (2.37) ta coù ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 0 1 0 1 2 0 0 a F u d C C K M K q dm m k t m k t , & τ τ τ∫ ∫≤ + + . (2.38) + Tích phaân thöù ba Ta coù ( ) ( )2 2 0 0 ′ ≤ ′∫ ∫F u d F u dm mkt mt mk,&& &&τ τ . (2.39) Töø (2.20) vaø (2.22) ta thu ñöôïc ( ) ( ) ( ) ′ = ′+ ′ + ′ ∇ + ′ ≤ + + ∇ + ≤ + − ∇ − − − − − ∫F f f u f u f u dx K u u u K M m t u m u m u m m m m 2 1 1 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 4 1 3 & & && & & && & . Do ñoù töø (2.39) ta suy ra 14 ( ) ( ) ( )2 4 1 3 0 1 2 0 ′ ≤ +∫ ∫F u d K M r dm mkt mkt,&& τ τ τ . (2.40) Töø (2.34), (2.35), (2.38), (2.40) ta thu ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t s K s dmk mk mk t≤ + ∫0 0 τ τ , (2.41) trong ñoù ( ) ( )K K CC K M K K M K M T f= + + + + + =2 2 2 1 2 4 1 40 10 1 2 0 1 2 , , . (2.42) Tieáp theo ta ñaùnh giaù soá haïng ( ) ( )smk 0 . Ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s u a u u u u a u umk mk k k k k k k0 0 22 1 1 1 2 0 2 0 0= + + + +&& ~ ,~ ~ ~ ~ ,~Δ . (2.43) Trong (2.27), thay wj bôûi ( ) ( )&&u tmk , sau ñoù laáy t = 0 ta ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )&& ~ ,&& , ,~ , ~ ,~ ,&&u u u f x u u u umk k mk mk0 0 0 02 0 0 0 1− = ∇Δ . Töø ñaây suy ra ( ) ( ) ( )&& ~ , ,~ , ~ ,~u u f x u u umk k0 00 0 0 1≤ + ∇Δ . (2.44) Ta suy töø (2.29), (2.30), (2.43), (2.44) raèng toàn taïi moät soá M > 0 ñoäc laäp vôùi k vaø m sao cho ( ) ( )s Mmk 0 42≤ , vôùi moïi k vaø m . (2.45) Ta löu yù, vôùi giaû thieát ( )H 3 , suy ra töø (2.19), (2.20) raèng ( )lim , , , T i TK M T f i→ + = = 0 0 0 1, . (2.46) Keát hôïp (2.42) vaø (2.46),tìm ñöôïc T > 0 sao cho ( )TK M T f M, , ≤ . (2.47) vaø ( ) ( )k C TK M T fT = + +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ <2 1 2 1 1 1 0 1 , , . (2.48) Cuoái cuøng ta suy ra töø (2.41), (2.45) raèng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t M K s d t Tmk mk t m k≤ + ≤ ≤∫2 04 0τ τ, . (2.49) Maët khaùc, haøm ( ) ( )s t M K t= +2 2 2 (2.50) 15 laø lôøi giaûi cöïc ñaïi cuûa phöông trình tích phaân Volterra phi tuyeán sau ñaây treân [0,T] vôùi nhaân khoâng giaûm s (xem [12]). ( ) ( )s t M K s d t Tt= + ≤ ≤∫2 04 0τ τ, , (2.51) vaø do ñoù töø (2.49)-(2.51) ta nhaän ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( )[ ]s t s t M t Tmk mk≤ ≤ ∀ ∈2 0, , . (2.52) Töø ñaây ta coù ( )T Tm k = , vôùi moïi m vaø k vaø ta suy ra töø ñaây raèng ( ) ( )u W M Tmk ∈ , . (2.53) Böôùc 3 : Qua giôùi haïn Töø (2.53), toàn taïi moät daõy con ( ){ }umkj cuûa ( ){ }umk vaø toàn taïi um sao cho ( ) ( )u u L T Hmk mj → ∞ trong 0 2, ; yeáu *, ( ) ( )& & , ;u u L T Hmk mj → ∞ trong 0 1 yeáu *, (2.54) ( ) ( )&& && , ;u u L T Lmk mj → ∞ trong 0 2 yeáu *, thoûa ( )u W M Tm ∈ , . (2.55) Töø (2.55) qua giôùi haïn trong (2.27), (2.28) ta coù theå kieåm tra deã daøng raèng um thoûa maõn (2.23), (2.24) trong ( )L T∞ 0, yeáu *. Ñònh lyù 2.1 chöùng minh hoaøn taát. Ñònh lyù 2.2 ([15]) Giaû söû (H1)-(H3) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi M > 0, T > 0 sao cho baøi toaùn (2.1)-(2.3) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu u ∈ ( )W M T, . Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính {um} xaùc ñònh bôûi (2.2ø2)-(2.24) hoäi tuï maïnh veà lôøi giaûi yeáu u trong khoâng gian ( ) ( ) ( ){ }W T u L T H u L T L1 1 20 0= ∈ ∈∞ ∞, ; & , ; : . (2.56) Hôn nöõa ta cuõng coù ñaùnh giaù sai soá ( ) ( )u u u u Ckm L T H m L T L Tm− + − ≤∞ ∞0 01 2, ; , ;& & , vôùi moïi m , (2.57) trong ñoù 0 1< <kT xaùc ñònh bôûi(2.48) vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc T, u0, uù1, vaø kT. Chöùng minh : a/ Söï toàn taïi lôøi giaûi u : 16 Tröôùc heát ta löu yù raèng W1(T) laø khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem [11]) ( ) ( ) ( )u u uW T L T H L T L1 1 20 0= +∞ ∞, ; , ;& . Ta seõ chöùng minh raèng { }um laø daõy Cauchy trong ( )W T1 . Ñaët v u um m m= −+1 . Khi ñoù vm thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau : ( ) ( ) ( ) + = ∀ ∈ = = ⎧⎨⎩ +&& , , , & v v a v v F F v v H v v m m m m m m , , . 1 1 0 0 0 (2.58) Laáy v um= & trong (2.58) vaø söû duïng giaû thieát (H3), ta suy töø ñònh lyù 2.1, sau khi tích phaân theo t ta coù ( ) ( ) ( ) & , , & & & v a v v F F v d K v v v d m m m m m m t m m H t m 2 1 0 1 1 1 0 2 2 1 2 1 + = − ≤ + + + − − ∫ ∫ τ τ (2.59) Söû duïng boå ñeà 2.2 (ii) vaø (2.59) ta thu ñöôïc ( ) ( ) ( ) [ ]& ,v C v K T v v t Tm m H m W T m W T2 0 2 1 11 1 12 1 2 0+ ≤ + ∀ ∈− , . (2.60) Töø (2.60) daãn ñeán ( ) ( )v k vm W T T m W T1 11≤ − , vôùi moïi m . (2.61) Vì vaäy ( ) ( )u u u u k km p m W T W T T m T + − ≤ − −1 11 0 1 , vôùi moïi m, p . (2.62) Keát hôïp (2.48) vaø (2.62) ta coù{ }um laø daõy Cauchy trong W1(T), do ñoù toàn taïi ( )u W T∈ 1 sao cho ( )u u W Tm → trong 1 maïnh . (2.63) Baèng caùch aùp duïngmoät lyù luaän töông töï maø chuùng ta ñaõ söû duïng trong ñònh lyù (2.1), ta coù theå laáy ra moät daõy con { }umj cuûa { }um sao cho ( )u u L T Hmj → ∞ trong 0 2, ; yeáu * , (2.64) ( )& & , ;u u L T Hmj → ∞ trong 0 1 yeáu * , (2.65) ( )&& && , ;u u L T Lmj → ∞ trong 0 2 yeáu * , (2.66) ( )u W M T∈ , . (2.67) Aùp duïng ñònh lyù Riesz-Fischer, töø (2.63), toàn taïi daõy con cuûa { }umj −1 vaãn kyù hieäu laø { }umj −1 sao cho: 17 ( )u u x t Qm Tj − → ∈1 h.h , , (2.68) ( )∇ → ∇ ∈−u u x t Qm Tj 1 h.h , , (2.69) ( )& & ,u u x t Qm Tj − → ∈1 h.h . (2.70) Do f lieân tuïc, aùp duïng ñònh lyù hoäi tuï bò chaän Lebesgue, töø (2.68)-(2.70) ta coù ( ) ( )F f x t u u u L Qm x t Tj → , , , , trong 2 maïnh . (2.71) Maët khaùc vì ( )F Km L T Lj ∞ ≤0 02, ; , vôùi moïi j , (2.72) neân ta coù theå trích ñöôïc töø { }Fmj moät daõy con vaãn goïi laø { }Fmj sao cho ( )F F L T Lmj → ∞ trong 0 2, ; yeáu * . (2.73) So saùnh (2.71) vaø (2.73) suy ra ( ) ( ) ( )F x t f x t u u u x t Qx t T, , , , , ,= ∈, h.h . (2.74) Vaäy ( ) ( )F f x t u u u L T Lm x tj → ∞, , , , , ; trong 0 2 yeáu * . (2.75) Qua giôùi haïn (2.23), (2.24), baèng söï keát hôïp vôùi (2.64), (2.66), (2.75), ta thu ñöôïc u thoûa baøi toaùn bieán phaân sau : ( ) ( )&&, , , , , , ,u v a u v f x t u u u vx t+ = , vôùi moïi v H∈ 1 , ( ) ( )u u u u0 00 1= =~ & ~, , trong ( )L T∞ 0, yeáu * . b/ Söï duy nhaát lôøi giaûi Giaû söû uù1vaø uø2 laø hai lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3),thoûa ui ( )∈W M T, , i=1,2. Ñaët u = u u1 2− , khi ñoù u laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieán phaân sau : ( ) ( ) ( ) &&, , , & , u v a u v F F v v H u u + = − ∀ ∈ = = ⎧⎨⎩ 1 2 1 0 0 0 , , (2.76) trong ñoù ( ) ( )F x t f x t u u u ii i i i, , , , , & ,= ∇ =, 1 2 . Laáy v u= & trong (2.76), sau khi tích phaân theo t ta coù 18 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) & , , & & & . u t a u t u t F F u d K u u u u d m t t 2 1 2 0 1 0 2 2 + = − ≤ + ∇ + ∫ ∫ τ τ τ τ τ τ (2.77) Ñaët ( ) ( ) ( ) ( )( )z t u t a u t u t= +& ,2 . (2.78) Khi ñoù, ta suy töø (2.77) raèng ( ) ( )z t K C z d t≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫2 2 2 1 0 0 τ τ . (2.79) Söû duïng boå ñeà Gronwall ta suy ra ( )z t u u= =0 1 2, hay . Ñaùnh giaù sai soá (2.57) ñöôïc suy töø (2.62), (2.63) baèng caùch cho p → ∞ . Vaäy ta ñaõ chöùng minh xong ñònh lyù 2.2. 3. Khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi Trong phaàn naøy, ta giaû söû raèng ( )h h0 1, vaø ( )~ ~u u0 1, laàn löôït thoûa maõn caùc giaû thieát ( )H1 , ( )H 2 . Ta ñöa vaøo giaû thieát sau : ( ) [ )( )H f g C R5 1 30 , ,∈ × ∞ ×Ω . Chuùng ta xeùt baøi toaùn nhieãu sau ñaây, trong ñoù ε laø tham soá beù: (Pε) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u F x t u u u x t T u t h u t u t h u t u x u x u x u x F x t u u u f x t u u u g x t u u u tt xx x t x x t x t x t x t − = ∈ < < − = + = = = = + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ε ε ε , , , , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , ~ , ~ , , , , , , , , , , , , , , , , . Ω 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 Tröôùc heát ta chuù yù raèng neáu f, g thoûa ( )H5 , khi ñoù caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm cuûa daõy xaáp xæ Galerkin ( ){ }umk trong chöùng minh ñònh lyù 2.1 töông öùng vôùi f = Fε , vôùi ε < 1 , thoûa maõn ( ) ( )u W M Tmk ∈ , , (2.80) trong ñoù caùc haèng soá M, T ñoäc laäp vôùi ε . Thaät vaäy, trong quaù trình chöùng minh, chuùng ta choïn caùc haèng soá döông M vaø T trong (2.43)-(2.45), (2.47), (2.48) maø trong ñoù caùc ñaïi löôïng ( )f x u u u, ,~ , ~ ,~0 0 0 1∇ vaø ( )K M T f ii , , ,, = 0 1 seõ ñöôïc thay bôûi ( )f x u u u, ,~ , ~ ,~0 0 0 1∇ + ( )g x u u u, ,~ , ~ ,~0 0 0 1∇ vaø ( ) ( )K M T f K M T gi i, , , ,+ theo thöù töï. 19 Vì vaäy, giôùi haïn uε trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp cuûa daõy ( ){ }umk khi k → +∞, sau ñoù m→ +∞ , laø lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn ( )Pε thoûa maõn ( )u W M Tε ∈ , . (2.81) Khi ñoù, theo caùch töông töï vôùi chöùng minh ñònh lyù 2.2, ta coù theå chöùng minh ñöôïc raèng giôùi haïn cuûa hoï { }uε trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp khi ε → 0 laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát u0 cuûa baøi toaùn (P0)(öùng vôùi ε = 0 ) thoûa maõn ( )u W M T0 ∈ , . (2.82) Hôn nöõa ta coù ñònh lyù sau : Ñònh lyù 2.3 [15] Giaû söû ( ) ( )H H1 2, vaø ( )H 5 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M > 0 vaø T > 0 sao cho, vôùi moïiε, ε < 1 , baøi toaùn (Pε) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu uε∈W(M,T) thoûa maõn moät öôùc löôïng tieäm caän ( )u u CW Tε ε− ≤0 1 , (2.83) trong ñoù C laø moät haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo h h T0 1, , , ( )K M T g0 , , , ( )K M T f1 , , , vaø ( )u W M T0 ∈ , laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ( )P0 öùng vôùi ε = 0. Chöùng minh : Ñaët u u u= −ε 0 . Khi ñoù u thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) &&, , ~, , , & , ~ , , , , , & , , , , & , , , , , & . u v a u v f v v v H u u f x t f x t u u u f x t u u u g g x t u u u + = ∀ ∈ = = = ∇ − ∇ = ∇ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ + g , ε ε ε ε ε ε ε 1 0 0 0 0 0 0 (2.84) Trong (2.84), laáy v u= & , sau khi tích phaân theo t ta ñöôïc ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) & , , , & , & , , . u t a u t u t K M T f C u a u u d u d K M T g T t t 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2+ ≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + + ∫ ∫ τ τ ε (2.85) Do ñoù ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) & , , , & , , , . u t a u t u t K M T f C u a u u d K M T g T t 2 1 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1+ ≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + ∫ τ ε (2.86) Baèng caùch aùp duïng boå ñeà Gronwall, töø (2.86) ta thu ñöôïc 20 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] & , , , exp , , , u t a u t u t K M T g T K M T f C t t T 2 2 0 2 1 0 2 2 2 1 0 + ≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∀ ∈ε , . (2.87) Keát hôïp vôùi boå ñeà 2.2 ta coù ( ) ( )u u u CW T W Tε ε ε− = ≤ <0 1 1 1, .. (2.88) Vaäy ñònh lyù 2.3 ñöôïc chöùng minh .¦ Moät keát quaû maø chuùng toâi tìm ñöôïc tieáp theo sau laø veà khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi yeáu uε ñeán caáp 2 theo ε , vôùi ε ñuû nhoû. Chuùng toâi ñöa theâm giaû thieát sau ( ) [ )( ) [ )( )H f C R C R6 2 3 1 30 0 , g∈ × ∞ × ∈ × ∞ ×Ω Ω, , . Goïi ( )u W M T0 ∈ , laø lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn ( )P0 nhö trong ñònh lyù 2.3. Goïi ( )u W M T1 ∈ , (vôùi M, T thích hôïp) laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ( ) ( ) ( ) ( ) P Lu F x t u u u x t T B u i u x u x i1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 , , , , , , = ∇ ∈ < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ~ , , , , & , , & , Ω trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L t x F x t u u u u f x t u u u u f x t u u u u f x t u u u g x t u u u u u u x = − ∇ = ∇ + ∇ ∇ + + ∇ + ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ~ , , , , & , , , , & , , , , & & , , , , & , , , , && , (2.89) vaø Bi ñònh nghóa nhö (2.5). Giaû söû ( )u W M Tε ∈ , laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ( )Pε . Ñaët v u u u u h= − − = −ε εε0 1 , khi ñoù v thoûa maõn baøi toaùn sau [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) Lv f v h f h g v h g h x t x t T B v i v x v x i = + − + + − + ∈ < < = = = = ε α ε, , , , , , & , . , , , Ω 0 0 0 1 0 0 0 (2.90) trong ñoù ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) α ε ε ε ε ε , , & &x t f u u f u u f u u f u u f u g u u g u u u ux = + − − + ∇ + + + + − 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 (2.91) 21 ôû ñaây, ñeå laøm goïn caùch vieát, ta söû duïng kyù hieäu [ ] ( )f u f x t u u ux t= , , , , (2.92) Chuùng ta söû duïng khai trieån Taylor ñeáùn caáp 2 cho [ ]f u u0 1+ ε vaø ñeán caáp 1 cho [ ]g u u0 1+ ε taïi ( )x t u u u, , , , &0 0 0∇ . Sau ñoù do tính bò chaän cuûa caùc haøm u u u ii i i, , & ,∇ =, 0 1, trong khoâng gian haøm ( )L T H∞ 0 1, ; , ta thu ñöôïc ( ) ( )α ε ε, , ~ ,x t K x t QT≤ ∈2 , h.h , (2.93) vôùi ( ) ( )~ , , , ,K M K M T f MK M T g= +9 3 22 2 1 , (2.94) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( [ ] [ ] ) K M T f f u f u f u f u f u f u uu uxux uu uux uu uxu 2 , , sup , & & & & = ′′ + ′′ + ′′ + ′′ ′′ + ′′ + (2.95) trong ñoù sup laáy treân 0 1 0 2≤ ≤ ≤ ≤ ∇ ≤x t T u u u M, , , , & . Baây giôø ta ñònh nghóa daõy haøm{ }vm nhö sau [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) v Lv f v h f h g v h g h x t x t T B v i v x v x m m m m i m m m 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 = = + − + + − + ∈ < < = = = = ≥ ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ − − , , , , , , , . ε α ε, , , , & , Ω (2.96) Vôùi m = 1, ta coù baøi toaùn ( ) ( ) ( ) Lv x t x t T B v i v x v x i 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 = ∈ < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ α ε, , , , & , , , , , , , Ω (2.97) Tích voâ höôùng hai veá (2.97) vôùi &v1 , sau ñoù laáy tích phaân theo t, keát hôïp (2.93) ta coù ( ) ( )& , ~ & , ,v a v v K T v L T L1 2 1 1 2 1 02 2+ ≤ ∞ε Vì vaäy ( )v C KTW T1 0 2 1 2 1 1≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ~ ε . (2.98) Ta seõ chöùng minh toàn taïi moät haèng soá CT ñoäc laäp m vaø ε sao cho ( )v C C mm W T T1 0 21 1 1≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ < ∀ε ε, , . (2.99) 22 Tích voâ höôùng hai veá (2.96) vôùi &vm , sau khi laáy tích phaân theo t ta coù: ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) & , & ~ &, ; , ; v a v v f v h f h g v h g h v d KT v m m m m m m L T L t m L T L 2 1 1 0 2 0 2 0 22 2 + ≤ + − + + − +− − ∞ ∞∫ τ ε . (2.100) Ñaët ( )γ m m W Tv= 1 , (2.101) Töø (2.100), (2.101) suy ra γ σγ δm m≤ +−1 , (2.102) trong ñoù ( ) ( ) ( )( )σ δ ε = +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + = +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 2 C T K M T f K M T g C KT , , , , ~ , , (2.103) Vôùi giaù trò thích hôïp cuûa T, giaû söû raèng σ thoûa σ < 1 . (2.104) Baây giôø ta caàn boå ñeà döôùi ñaây, maø noù coù theå ñöôïc chöùng minh raát deã daøng. Boå ñeà 2.4 Giaû söû daõy { }γ m thoûa 0 12 0 1 0 ≤ ≤ + = = −γ σγ δ γ m m m, , , , ,... (2.105) trong ñoù 0 1< <σ vaø δ ≥ 0 laø caùc haèng soá cho tröôùc. Khi ñoù γ δσm ≤ −1 , vôùi moïi m = 1,2,... . (2.106) Ta suy ra raèng, töø (2.101)-(2.104) vaø (2.106) raèng ( )v C Cm W T T1 1 1 0 2≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ε , (2.107) trong ñoù C KTT = −2 1 1 ~ σ (2.108) Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính { }vm ñònh nghóa bôûi (2.96) hoäi tuï maïnh trong W1(T) veà lôøi giaûi v cuûa baøi toaùn (2.90). Vì vaäy qua giôùi haïn (2.107) khi m→ ∞ ta coù 23 u u u W Tε ε− − ≤0 1 1 ( ) 1 1 0 2+⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟C CTε . (2.109) Vaäy, ta coù ñònh lyù döôùi ñaây. Ñònh lyù 2.4 [15] Giaû söû ( ) ( )H H1 2, vaø ( )H 6 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> >0 0, sao cho,vôùi moïi ε, ε < 1 ,baøi toaùn (Pε) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu duy nhaát ( )u W M Tε ∈ , thoûa öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp hai nhö (2.109), caùc haøm u u0 1 , laø caùc lôøi giaûi yeáu cuûa caùc baøi toaùn ( )P0 vaø ( )P1 laàn löôït . 4. Chuù yù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát (2.1)-(2.3) Trong phaàn naøy, chuùng toâi ruùt ra keát quaû cuûa baøi toaùn giaù trò bieân khoâng thuaàn nhaát (2.1)-(2.3) öùng vôùi tröôøng hôïp g g1 20 0≠ ≠, vaø thoûa giaû thieát ( )H 4 . Töø pheùp bieán ñoåi (2.4), (2.6) vaø löu yù (2.11), ta daãn baøi toaùn (2.1)-(2.3) toång quaùt veà vieäc giaûi baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát (2.7)-(2.9). Giaû söû ( )H1 − ( )H 4 thoûa maõn. Ta xaây döïng daõy haøm { }wm bôûi: Choïn soá haïng ñaàu tieân ( )w W M T0 ∈ , . Giaû söû ( )w W M Tm− ∈1 , , ta lieân keát baøi toaùn (2.7)-(2.9) vôùi baøi toaùn : Tìm ( )w W M Tm ∈ , thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính: ( ) ( ) ( ) && , , ~ , , ~ & ~ , w v a w v F v v H w w w w m m m m m + = ∀ ∈ = = ⎧⎨⎩ , , 1 0 10 0 (2.110) trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ , ~ ~ , ~ , ~ , , , , & ~ , , , , & , , , , & & w x u x x w x u x x F x t f x t w w w f x t w w w f x t w w w t m m m m tt xx 0 0 1 1 1 1 1 0 0 = − = − = ∇ ∇ = + ∇ + ∇ϕ + − + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ − − − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ , , , . (2.111) Theo ñònh lyù (2.1) vôùi , , thay cho , , ~ ~ ~w w f u u f0 1 0 1 laàn löôït, thì toàn taïi hai haèng soá M T> >0 0, sao cho daõy { }wm xaùc ñònh bôûi (2.110), vôùi ( )w W M T0 ∈ , cho tröôùc. Maët khaùc, theo ñònh lyù 2.2 thì daõy { }wm hoäi tuï maïnh trong ( )W T1 veà lôøi giaûi duy nhaát ( )w W M T∈ , cuûa baøi toaùn (2.7)-(2.9). Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau: Ñònh lyù 2.5 Giaû söû ( ) ( )H H1 4− ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> >0 0, sao cho: 24 (i) Vôùi moïi ( )u W M T0 ∈ , cho tröôùc, toàn taïi moät daõy qui naïp tuyeán tính { } ( )u W M Tm ⊂ , xaùc ñònh bôûi : u w m m m = + ≥ϕ, 1, wm xaùc ñònh töø (2.110), (2.111) öùng vôùi giaù trò ban ñaàu w u0 0= + ϕ . (ii) Baøi toaùn (2.1)-(2.3) toàn taïi duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu ( )u W M T∈ , . (iii) ( )u u W Tm → trong 1 maïnh. Hôn nöõa ta cuõng coù ñaùnh giaù ( )u u Ckm W T T m− ≤ 1 , vôùi moïi m (2.112) trong ñoù k T laø haèng soá döông thoûa maõn ( ) ( )k C TK M T f T = + +⎛⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ <2 1 2 1 1 1 0 1 , ,~ , (vôùi M T> >0 0, thích hôïp), C laø haèng soá chæ tuøy thuoäc vaøo T, w0, w1 vaø kT . Ñoái vôùi baøi toaùn khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi theo tham soá beù ε , ta xeùt baøi toaùn nhieãu sau ñaây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ , , , , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , ~ , ~ , , , , , , , , , , , , , P u u F x t u u u x t T u t h u t g t u t h u t g t u x u x u x u x F x t u u u f x t u u u g x t u u u tt xx x t x x t x t x t x t ε ε ε ε , , , , . − = ∈ < < − = + = = = = + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ Ω 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 (2.113) Giaû thieát ( ) ( ) ( )H H H1 2 4, , vaø ( )H 5 laø ñuùng . Theo ñònh lyù 2.5, baøi toaùn ( )~P0 öùng vôùi ε = 0 vaø baøi toaùn ( )~Pε laàn löôït coù duy nhaát lôøi giaûi u0 vaø ( )u W M Tε ∈ , , trong ñoù M, T laø caùc haèng soá döông thích hôïp ñoäc laäp vôùi tham soá beù ε . Khi ñoù u u u= −ε 0 laø lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) u u f u f u g u x t T B u B u u u tt xx t − = − + ∈ < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ε εε0 0 1 0 0 0 0 0 , , , , . Ω (2.114) Chöùng minh töông töï trong ñònh lyù 2.3 ta coù ñaùnh giaù ( ) ( )u u u CW T W T1 10 1= − ≤ <ε ε ε, , (2.115) trong ñoù C laø haèng soá chæ tuøy thuoäc vaøo ( ) ( )h h T K M T g K M T f0 1 0 1, , , ,, , , , . 25 Khi ñoù ta coù ñònh lyù Ñònh lyù 2.6 Giaû söû ( ) ( ) ( )H H H1 2 4, , vaø (H5) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá vaø M T> >0 0, sao cho , vôùi moïi ε, ε ñuû beù , baøi toaùn (Pε) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu uε∈W(M,T) thoûa öôùc löôïng tieäm caän sau ( )u u CW Tε ε− ≤0 1 , (2.116) vôùi C laø moät haèng soá nhö ñaõ noùi ôû treân. Ñoái vôùi khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai, ta coù ñònh lyù sau ñaây maø chöùng minh coù phaàn ñieàu chænh chuùt ít so vôùi chöùng minh cuûa ñònh lyù 2.4, vì vaäy ta boû qua. Ñònh lyù 2.7 Giaû söû ( ) ( ) ( )H H1 2, , H4 vaø ( )H 6 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> >0 0, sao cho,vôùi moïi ε, ε < 1 , baøi toaùn ( )~Pε toàn taïi duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu duy nhaát ( )u W M Tε ∈ , thoûa öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp hai nhö sau u u u W Tε ε− − ≤0 1 1 ( ) 1 1 0 2+⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟C CTε , (2.117) trong ñoù ( )u u W M T0 1, ,∈ laàn löôït chính laø caùc lôøi giaûi yeáu cuûa caùc baøi toaùn ( )~P0 (öùng vôùi ε = 0 ) vaø baøi toaùn ( )~P1 , öùng vôùi ε = 1 , ( ) ( ) ( ) ( )g t g t u x u x0 1 0 10 0= = = =, ~ ~ , [ ] [ ] [ ] [ ]F u f u u f u u f u g uu u uxε = + ∇ + +1 0 1 0 1 0 0& & , CT laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T, M, ( ) ( ) ( )K M T f K M T f K M T g1 2 1, , , , , , ., , 4. Xeùt moät tröôøng hôïp cuï theå cuûa f, g cho baøi toaùn bieân khoâng thuaàn nhaát Trong phaàn cuoái cuûa chöông 2 naøy chuùng toâi xem xeùt moät ví duï veà khai trieån tieäm caän vôùi tröôøng hôïp f = 0, g = ( )g u u& &= 3 . (2.118) Ñaàu tieân, chuùng toâi xeùt tröôøng hôïp toång quaùt vôùi g thoûa maõn giaû thieát sau ( )g C RN∈ . (2.119) Goïi uε laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Lu g u x t T B u g t i u u u u i iε ε ε ε ε ε ε , , , = < < < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ & , , , , ~ & ~ . 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Vôùi M T> >0 0, thích hôïp ta tìm ( )u u W M T0 1, ,∈ laàn löôït laø lôøi giaûi cuûa caùc baøi toaùn sau 26 ( ) ( ) ( ) ( ) P Lu x t T B u g t i u u u u i i0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , , , = < < < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , ~ & ~ , ( ) ( ) ( ) ( ) P Lu g u x t T B u i u u i1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , , = < < < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ & , , , & . Vôùi 2 ≤ ≤p N , goïi ( )u W M Tp ∈ , laø lôøi giaûi baøi toaùn ( ) ( ) ( ) ( ) P Lu F F x t u u u x t T B u i u u p p p p p i p p p , , , = = < < < < = = = = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ −, , & , & ,... , & , , , & , 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( ) F g u u F g u u g u u u u p p p k p p pp k i i i p p k p 2 0 1 0 1 0 1 1 2 2 2 2 1 2 21 2 2 1 2 1 2 1 3 = ′ = ′ + ∑ ≥− − − −+ + + − = = − = − = − ∑∑ & & , & & & & & ... & ... ... α α α α α α α α α α! ! ! , (2.120) Ñaët v u h u u up p p N= − = − − = ∑ε ε ε0 1 , (2.121) Khi ñoù v laø lôøi giaûi baøi toaùn ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) Lv g v h g h x t x t T B v i v x v x i = + − + < < < < = = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ε α ε& & & , , , , , , & , , , , , 0 1 0 0 1 2 0 0 0 (2.122) trong ñoù ( ) ( ) ( )[ ]α ε ε ε, , & & .x t g h g u Fp p p N = − − = ∑0 2 (2.123) Ñaët ( ) ( ) ( )( )K T g g u x t k Nk x t T k, sup & , , ,... , ,= = ≤ ≤≤ ≤0 10 0 12 , (2.123) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , supK M T g g vN v N M N= ≤ +2 1 (2.124) Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau ñaây Boå ñeà 2.5 Giaû söû ( ) ( ) ( )H H H1 2 4, , vaø (2.119) ñuùng, khi ñoù toàn taïi haèng soá ~K sao cho ( ) ( )α ε ε, , ~, ;x t KL T L N∞ ≤ +0 12 (2.125) 27 ôû ñaây ~K chæ phuï thuoäc vaøo N, M, T vaø caùc haèng soá ( )K T g k Nk , , = −12 1, ,... , , ( )~ , ,K M T gN . Chöùng minh Tröôøng hôïp N = 1 chöùng minh deå daøng, ta boû qua chöùng minh chi tieát. ÔÛ ñaây ta chæ xeùt tröôøng hôïp N ≥ 2 . Ñaët U up p p N = = ∑ε 1 . Baèng caùch khai trieån Taylor cho ( )g u U& &0 + quanh ñieåm &u0 ñeán caáp N . Ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g h g u g u U g u g uk U g u UN U k k k N N N& & & & & & & & & &− = + − = + + < < = −∑0 0 0 0 1 1 0 0 1 ! ! θ θ (2.126) ( ) ( ) ( )& & ... & & ... & ... $ U u k u u uk i i i N k N N N N N k i nguyen = ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ == + + + = ≥ ∑ ∑ε α α α ε ε εα α αα α α α 1 1 1 1 2 2 2 1 2 0 ! ! ! ! 2 (2.127) Töø (2.126), (2.127) ta coù ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( )g h g u C p g C N p g gp p N p p N N N & & , ~ , , ,− = + − = − = −∑ ∑0 1 1 1 1ε ε ε + R N (2.128) trong ñoù [ ] ( ) ( )C p g g u u u uk p p p p k i i i p p k p , & & & ... & ... = ∑ + + + = = = = ∑∑ 0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 α α α α α α α α α α! !... ! (2.129) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ , , & & , & & & C N p g g u u R g g u U u k k p k N N N N − = = + = = = − = ∑∑ ∑ 1 0 1 1 0 r r α α η α α η α α α ε θ α ε ! ! (2.130) trong (2.130), ta ñaõ söû duïng caùc kyù hieäu ña chæ soá sau : ( ) ( ) ( ) α α α α α α α α α α α α η α α α α α α α α = ∈ = + + + = = + + + = ∈ = +1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 , ,... , , ... ... ... , , ,... , ... . N N N N N N N N N Z N v v v v R v v v v , ! ! ! !, , r r (2.131) Vaäy töø (2.120), (2.123), (2.128)-(2.131) ( )α ε, ,x t ñöôïc vieát laïi nhö sau ( ) [ ] ( ) ( )α ε ε ε ε, , ~ , , ,x t C N p g gp p N N N = −⎛⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = −∑ 11 + R N (2.132) 28 Do caùc haøm & , , ,... ,u i Ni = 12 bò chaän trong khoâng gian haøm ( )L T H∞ 0 1, ; , ta suy ra töø (2.123), (2.124), (2.130) raèng ( ) ( )α ε ε,. ,. ~, ;L T L NK∞ +≤0 2 1 trong ñoù ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , ~ , ,K N N MNk K T g MNN K M T g k k k N N N = − + = −∑2 1 1 2 ! ! (2.133) Boå ñeà 2.5 ñaõ ñöôïc chöùng minh xong.„ Tieáp theo, ta xeùt daõy haøm { }vm ñònh nghóa bôûi ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) v Lv g v h g h x t x t T B v i v x v x m m m i m m m 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ≡ = + − + ∈ < < = = = = ≥ − , & & & , , , , , , & , . ε α ε , , , , Ω (2.134) Vôùi m = 1, ta coù ( ) ( ) ( ) Lv x t x t T B v i v x v x i 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 = ∈ < < = = = = α ε, , , , , , & , , , , . Ω (2.135) Nhaân hai veácuûa (2.135) vôùi &v1 , ta suy ra töø (2.125) raèng ( ) ( )& , ~ & ., ;v a v v K T vN L T L1 2 1 1 1 1 0 22+ ≤ + ∞ε (2.136) Töø (2.136) ta coù ( ) ( )v v C K TL T H L T L N 1 0 1 1 0 2 0 12 1 1∞ ∞ ++ ≤ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟, ; , ;& ~ .ε (2.137) Ta seõ chöùng minh raèng toàn taïi moât haèng soá CT , ñoäc laäp m vaø ε sao cho ( ) ( )v v C T mm L T H m L T L T N∞ ∞ ++ ≤ ≤ ∀0 1 0 2 1 1, ; , ;& ,ε ε , (2.138) Nhaân hai veá cuûa (2.134) vôùi &vm , sau khi tích phaân theo t ta thu ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) & , & & & & ~ & . , ; , ; v a v v g v h g h d v K T v m m m m t m L T L N m L T L 1 2 0 0 2 1 0 22 + ≤ + − + ∫ ∞ + ∞ ε τ ε (2.139) Ñaët ( ) ( ) ( )~ &, ; , ;γ m m W T m L T H m L T Lv v v= = +∞ ∞1 0 1 0 2 . Töø (2.139) suy ra ~ ~~ ~γ σγ δ m m ≤ +−1 , (2.140) trong ñoù 29 ( ) ( )~ ~ , , ~ ~ σ δ ε = +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 1 1 1 2 2 1 1 0 1 0 1 C TK M T g C KT N , , (2.141) Vôùi giaù trò cuûa T > 0 thích hôïp, giaû söû raèng ~σ thoûa ~σ < 1 . (2.142) Aùp duïng boå ñeà 2.4, ta coù ~ ~ ~γ δσm ≤ −1 , vôùi moïi m = 1,2,... . (2.143) hay ( )v Cm W T T N 1 1≤ +~ ε , (2.144) trong ñoù ~ ~ ~C C KTT = +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −2 1 1 1 1 0 σ . (2.145) Daõy qui naïp tuyeán tính { }vm ñònh nghóa bôûi (2.134) hoäi tuï maïnh veà lôøi giaûi v cuûa baøi toaùn (2.122) trong ( )W T1 . Vì vaäy qua giôùi haïn (2.144) khi m→ ∞ ta ñöôïc ( ) ( )u u v C p p p N W T W T T N ε ε ε− = ≤ = +∑ 0 1 1 1~ (2.146) Khi ñoù ta coù Ñònh lyù 2.8 Giaû söû ( ) ( ) ( )H H H1 2 4, , ñuùng vaø ( )g C RN∈ . Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> >0 0, sao cho vôùi moïi ε ε, < 1, baøi toaùn ( )Pε coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu ( )u W M Tε ∈ , thoûa moät öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp N + 1 nhö (2.146), trong ñoù caùc haøm u p N p , = 0 12, , ,... , laàn löôït laø caùc lôøi giaûi cuûa caùc baøi toaùn ( )P p Np , = 0 1 2, , ,... , . Trong ñoaïn sau cuøng ta xeùt g cuï theå nhö (2.118), khi ñoù ( )g C R∈ ∞ . Ta cuõng löu yù raèng ( )g kk = ∀ ≥0 4 , , do ñoù phaàn dö trong khai trieån Taylor cuûa g xuaát hieän trong (2.132) laø ( )R g NN ε, = ≥0 4 , . (2.147) Do ñoù ( )α ε, ,x t trong (2.132) vieát laïi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α ε ε α ε α α η α , , & &x t g u uk k k p p p N N N = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟= = = = − ∑ ∑∑ 0 1 31 r ! (2.148) Do ñoù ta coù ñaùnh giaù ( ) ( ) ( )( )α ε ε,. ,. , ;L T L NN N N N M∞ +≤ − + +0 2 3 2 2 3 12 3 3 (2.149) 30 Caùc bieåu thöùc F p trong baøi toaùn ( )Pp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F g u F g u u F g u u g u u F g u u g u u u g u u F g u u g u u u u p p p k p p p i i p k i i i p p k 0 1 0 2 0 1 3 0 2 0 1 2 4 0 3 0 1 2 0 1 3 0 1 0 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 0 1 2 1 3 4 = = = ′ = ′ + ′′ = ′ + ′′ + ′′′ = ′ + ∑ ∑ ≤ ≤− − − − = − = = − = − = ∑∑ , & , & & , & & & & , & & & & & & & , & & & & & ... & ! ! !... ! , α α α α α α α α N. Cuoái cuøng ta coù keát quaû Ñònh lyù 2.9 Giaû söû caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 2.8 ñöôïc thoûa maõn vaø (2.118) laø ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T sao cho baøi toaùn ( )Pε coù duy nhaát lôøi giaûi yeáu ( )u W M Tε ∈ , thoûa öôùc löôïng tieäm caän ( ) ( )u u N Tp p p N W T N ε ε ε− ≤ = +∑ 0 1 1C , , trong ñoù ( ) ( )( )C N T C N N N N T, = +⎛⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ − + + −2 1 1 2 3 3 1 1 0 3 2 2 σ , ( )σ = + +⎛⎝⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟24 1 2 1 1 0 2 C TM . 31 Chöông 3 PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN VÔÙI TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF-CARRIER 1. Môû ñaàu Trong chöông 3, chuùng toâi xeùt baøi toaùn giaù trò bieân vaø giaù trò ban ñaàu sau: ( )( ) ( ) ( )u b B u u f u F x ttt − + ∇ + =0 2 Δ , , x t T∈ < <Ω, 0 , (3.1) ( ) ( )u t u t0 1 0, ,= = , (3.2) ( ) ( ) ( ) ( )u x u x u x u xt, ~ , , ~0 00 1= = , (3.3) ôû ñaây, b T0 0 0> >, laø caùc haèng soá döông cho tröôùc; B, f, F cuõng laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát sau ñoù. Nhö chöông 2, chuùng toâi seõ keát hôïp baøi toaùn (3.1)-(3.3) vôùi moät thuaät giaûi qui naïp tuyeán tính, maø söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi ñòa phöông ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp compact yeáu keát hôïp vôùi baát phöông trình tích phaân Volterra 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A u H H u H A b B C R B A f C R 1 0 0 1 2 1 0 1 2 0 1 4 1 0 0 , , , A , , , 3 ~ ~∈ ∩ ∈ > ∈ ≥ ∈ + ( ) ( )A5 F L T H∈ 2 010, ; , vôùi moät T > 0 thích hôïp maø ta seõ choïn sau. Vôùi M vaø T > 0, ta ñònh nghóa ( ) ( ){ }K K f M f u u M0 0= = ≤, sup : , (3.4) ( ) ( ) ( ){ }K K f M K f M f u u M1 1 0= = ′ = ′ ≤, , sup : , (3.5) ( ) ( ){ }~ ~ , supK K B M B s s M0 0 20= = ≤ ≤ : , (3.6) ( ) ( ) ( ){ }~ ~ , ~ , supK K B M K B M B s s M1 1 0 20= = ′ = ′ ≤ ≤ : , (3.7) ( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) } V M T v L T H H v L T H v L Q v M v M v M T L T H H L T H L QT , , ; & , ; ,&& , , & , && ., ; , ; = ∈ ∩ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ ∞ ∞ ∞ ∩ ∞ 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 : (3.8) Laáy u0 = 0 vaø giaû söû ñaõ bieát um-1 vaø thoûa 32 ( )u V M Tm− ∈1 , . (3.9) Ta lieân keát baøi toaùn (3.1)-(3.2) vôùi baøi toaùn tuyeán tính hoùa ( )Pm nhö sau Baøi toaùn ( )Pm : tìm um ( )∈V M T, thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )&& , , , ,u t v b B u t u t v f u t v F vm m m m+ + ∇ ∇ ∇ + =− −0 1 2 1 , ∀ ∈v H 01 , (3.10) ( ) ( )u u u um m0 00 1= =~ & ~, (3.11) Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau . Ñònh lyù 3.1 Giaû söû ( ) ( )A A1 5− ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> >0 0 , sao cho toàn taïi daõy { } ( )u V M Tm ⊂ , ñöôïc xaùc ñònh bôûi (3.10)-(3.11) . Chöùng minh Laáy moät cô sôû { }wj cuûa H 01 , ñöôïc laäp töø caùc haøm rieâng ( ) ( )w x j xj = sin π cuûa toaùn töû Δ = − ∂∂ 2 2x . Xeùt baøi toaùn sau ñaây: Tìm ( ) ( ) ( ) ( )u t c t wmk mjk j j k= = ∑ 1 thoûa maõn ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )&& , , , ,u t w b B t u t w f t w F w j kmk j m mk j m j j+ + ∇ ∇ + = ≤ ≤, 1 , (3.12) ( ) ( ) ( ) ( )u u u umk k mk k0 00 1= =~ & ~, , (3.13) vôùi ( ) ( )( ) ( ) ( )( )B t B u t t f u tm m m m= ∇ =− −1 2 1, f , vaø ôû ñaây ~ ~u uk0 0→ , trong H H01 2∩ maïnh , (3.14) ~ ~u uk1 1→ , trong H 01 maïnh . (3.15) Heä (3.12), (3.13) xaùc ñònh duy nhaát moät lôøi giaûi ( ) ( )u tmk treân khoaûng ( )0 ≤ ≤ ≤t T Tmk . Döïa vaøo moät soá ñaùnh giaù tieân nghieäm sau ñaây ta coù theå laáy ( )T Tm k = , vôùi moïi m vaø vôùi moïi k . Ñaùnh giaù tieân nghieäm _Trong (3.12), thay wj bôûi ( ) ( )&u tmk , sau ñoù laáy tích phaân töøng phaàn theo t ta coù 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p t u t b B t u t p B u d F f u d m k m k m m k m k m m k t m m k t ≡ + + ∇ = + + ′ ∇ + −∫ ∫ & , & 2 0 2 2 0 0 0 2τ τ τ τ τ τ τ . (3.16) _Trong (3.12), thay ( )( )w w jj j j j= − =1 2λ λ πΔ , khi ñoù ta thu ñöôïc ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ∇ ∇ + + + + ∇ ∇ = ∇ ∇ ≤ ≤ && , , . , u t w b B t u t w f t w F w j k m k j m m k j m j j 0 1 Δ Δ , . (3.17) Trong (3.17) thay wj bôûi ( ) ( )&u tmk , sau ñoù tích phaân töøng phaàn ta ñöôïc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t u t b B t u t q B u d F f u d m k m k m m k m k m m k t m m k t ≡ ∇ + + = + + ′ + ∇ − ∇ ∇∫ ∫ & , & . 2 0 2 2 0 0 0 2 Δ Δτ τ τ τ τ τ τ (3.18) Maët khaùc, (3.12) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )&& , , , ,u t w b B t u t w f t w F w j kmk j m mk j m j j− + + + = ≤ ≤0 1Δ , Vì vaäy thay wj bôûi ( ) ( )&&u tmk vaø tích phaân theo t ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r t u d b B u d F f d m k m k t m m k t m t ≡ = = + + − ∫ ∫ ∫ && τ τ τ τ τ τ τ τ 2 0 0 2 2 0 2 0 2 2Δ . (3.19) Ñaët ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t p t q t r tmk mk mk mk= + + . (3.20) Töø (3.16), (3,18)-(3.20) ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t s B u u d b B u d F f d F f u d F f u d m k m k m m k m k t m m k t m t m m k t m m k t ≤ + + ′ ∇ + + + + + − + − + ∇ −∇ ∇ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 0 0 0 τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Δ Δ , & , & . (3.21) Töø giaû thieát (A3), (A4) vaø (3.9) ta thu ñöôïc 34( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t f u t K f f u u K M B t B u K B t B u u u u u B u M K m m m m m m m m m m m m m m = ≤ ∇ = ′ ∇ ≤ ≤ = ∇ ≤ / ′ = ′ ∇ ∇ ∇ ≤ ∇ ∇ ′ ∇ ≤ − − − − − − − − − − 1 0 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 2 2 2 , , , . ~ , & & ~ (3.22) Cuoái cuøng, keát hôïp (3.21) vaø (3.22) ta suy ra raèng ( ) ( )s tmk thoûa maõn baát phöông trình tích phaân ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t s C M T C M s dmk mk mk t≤ + + ∫0 1 2 0 , τ τ , (3.23) trong ñoù ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) C M T F K d F K M d C M K Mb b K T T 1 0 2 0 1 2 0 2 1 2 0 0 0 3 2 1 2 , ~ ~ . = + + ∇ + = + + + ∫ ∫τ τ τ τ , (3.24) Baèng caùch söû duïng boå ñeà Gronwall, ta suy ra töø (3.23) raèng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) s t s C M T C M t t T T T T m k m k m k m k ≤ + ∀ ∈ 0 0 0 0 1 2, exp ,, , , . (3.25) Maët khaùc ta laïi coù ( ) ( ) ( )( )( )s u u b B u u umk k k k k0 1 2 1 2 0 0 2 0 2 0 2= + ∇ + + ∇ ∇ +~ ~ ~ ~ ~Δ . (3.26) Töø (3.14), (3,15), (3.26), ta coù theå choïn ñöôïc M > 0 sao cho ( ) ( )s M kmk 0 2 2 ≤ ∀ , . (3.27) Chuù yù, töø (3.24) ta coù ( )lim , T C M T→ + = 0 1 0 , vì vaäy ta seõ choïn T > 0 sao cho ( ) ( )( )M C M T C M T M2 1 2 22 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≤, exp . (3.28) Töø (3.25), (3.27) vaø (3.28) ta coù ( ) ( ) [ ]s t M t T k mmk ≤ ∀ ∈ ∀2 0 , , , , , (3.29) nghóa laø ( )T Tm k = . Ta suy ra töø ñaùnh giaù (3.29) raèng toàn taïi moät daõy con ( ){ }umkj cuûa ( ){ }umk sao cho 35 ( ) ( )u u L T H Hmk mj → ∩∞ trong 0 01 2, ; yeáu *, (3.30) ( ) ( )& & , ;u u L T Hmk mj → ∞ trong 0 01 yeáu *, (3.31) ( ) ( )&& &&u u L Qmk m Tj → trong 2 yeáu , (3.32) ( )u V M Tm ∈ , (3.33) Töø (3.30)-(3.33), qua giôùi haïn trong (3.12), (3.13) ta chöùng minh khoâng khoù khaên raèng um(t) laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (3.10), (3.11) . Ñònh lyù 3.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát ¦ Söï hôïi tuï cuûa daõy { }um Ñaët vm = u um m+ −1 , khi ñoù vm thoûa maõn phöông trình ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) && , , , , v t w b B t v t w B t B t u w f t f t w w H m m m m m m m m + + ∇ ∇ − − + − = ∀ ∈ + + + 0 1 1 1 0 10 Δ , , (3.33) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ( ) ( )v vm m0 0 0= =& . (3.34) Trong (3.33), thay w bôûi &vm ta coù ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 2 0 1 2 1 1 d dt v t b B t d dt v t B t B t u t v t f t f t v t m m m m m m m m m m & , & , & . + + ∇ − − + − = + + +Δ (3.35) Ta thu ñöôïc sau khi tích phaân töøng phaàn (3.35) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) & , & , & . v t b B t v t B v d B B u v d f f v d m m m m m t m m m m t m m m t 2 0 1 2 1 2 0 1 0 1 0 2 2 + + ∇ = ′ ∇ + − − − + + + + ∫ ∫ ∫ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τΔ (3.36) Ta cuõng ñeå yù raèng ( )′ ≤+B t K Mm 1 1 22 ~ , (3.37) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) B t B t B u t B u t K M v t m m m m m + − − − = ∇ − ∇ ≤ ∇ 1 2 1 2 1 12 . ~ (3.38) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) f t f t f u t f u t K v t K v t m m m m m m + − − − − = − ≤ ≤ ∇ 1 1 1 1 1 1 (3.39) Ta suy ra töø (3.37)-(3.39) raèng 36 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )& ~ ~ &v t b v t K M v d K M K v v dm m mt m mt2 0 2 1 2 2 0 1 2 1 1 0 2 4 2+ ∇ ≤ ∇ + + ∇∫ ∫ −τ τ τ τ τ . (3.40) Choïn T > 0 sao cho ( )0 1 1 2 1 1 2 10 1 2 1 0 1 2 1< = +⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ + +⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ +⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ <~ ~ exp ~K b K M K T b K M K TT (3.41) Baèng caùch choïn T nhö vaäy ta thu ñöôïc töø (3.40) raèng q K qm T m≤ −~ 1 (3.42) ôû ñaây ( ) ( )( )q v vm m L T L m L T L= ′ + ∇∞ ∞02 022 2 12, ; , ; . Vaäy suy töø (3.42) raèng { }um laø daõy Cauchy trong khoâng gian Banach ( )V T1 ñònh nghóa bôûi ( ) ( ) ( ){ }V T v L T H v L T L1 01 20 0= ∈ ∈∞ ∞, ; & , ; : . (3.43) Do ñoù toàn taïi ( )u V T∈ 1 sao cho ( )u u W Tm → trong 1 maïnh . (3.44) Ta cuõng löu yù raèng ( )u V M Tm ∈ , , khi ñoù ta trích ñöôïc töø { }um moät daõy con { }umj sao cho ( )u u L T H Hmj → ∩∞ trong 0 01 2, ; yeáu *, (3.45) ( )& & , ;u u L T Hmj → ∞ trong 0 01 yeáu *, (3.46) ( )&& &&u u L Qm Tj → trong 2 yeáu , (3.47) ( )u V M T∈ , . (3.48) Tieáp theo ta xeùt caùc soá haïng phi tuyeán. Ta coù ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) b B t u b B u u b B t u u B t B u u m m m m m 0 0 2 0 2 + ∇ − + ∇ ∇ = + ∇ − + − ∇ ∇ (3.49) Töø (3.49) ta suy ñöôïc ( )( ) ( )( ) ( ) b B t u b B u u b K u u M K u u m m m m 0 0 2 0 0 2 1 12 + ∇ − + ∇ ∇ = + ∇ − ∇ + ∇ − ∇−~ ~ . (3.50) 37 Töø (3.44) ta suy ra veá phaûi cuûa (3.50) daàn veà 0 khi m→ ∞ , vì theá ( )( ) ( )( ) ( )b B t u b B u u L T Lm m0 0 2 20+ ∇ → + ∇ ∇ ∞ trong , ; maïnh khi m→∞ (3.51) Töông töï ( ) ( ) ( ) ( )f u f u K u u mm L T L m L T L− −− ≤ − → → ∞∞ ∞1 0 1 1 02 2 0, ; , ; khi (3.52) Ta thu ñöôïc nhôø (3.45)-(3.47), (3.51) vaø (3.52) sau khi qua giôùi haïn trong (3.10), (3.11) khi m mj= → ∞ raèng ( )u V M T∈ , thoûa maõn phöông trình bieán phaân ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )&& , , , ,u t v b B u t u t v f u t v F v+ + ∇ ∇ ∇ + =0 2 ,∀ ∈v H 01 , (3.53) vaø ñieàu kieän ñaàu ( ) ( )u u u u0 00 1= =~ & ~, . (3.54) Söï duy nhaát lôøi giaûi Giaû söû ui, i = 1,2 laø hai lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (3.53), (3.54) thoûa maõn ( )u V M T ii i i∈ =, ,, 12 (3.55) Khi ñoù ( ) ( ) ( ) ( )w t u t u t t T T T= − ≤ ≤ =1 2 1 20, min , thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) && , ~ , ~ ~ , , w t v b B t w t v B t B t u t v f u t f u t v + + ∇ ∇ − − + − = 0 1 1 2 2 1 2 0Δ (3.56) vaø ñieàu kieän ñaàu ( ) ( )w w0 0 0= =& (3.57) trong ñoù ( ) ( )( )~B t B u ti i= ∇ 2 . Trong (3.56) thay v bôûi ′w , sau khi tích phaân töøng phaàn ta coù ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ t w t b B t w t B w d B B u w d f u f u w d M K w d M K w w d K w w d t t t t t t ≡ ′ + + ∇ = ′ ∇ + − ′ − − ′ ≤ ∇ + ∇ ′ + ′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 1 2 1 2 0 1 2 2 0 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 0 2 2 2 4 2 ~ ~ ~ ~ , , ~ ~ Δ (2.58) vôùi ( )M M M= max ,1 2 . Ñaët 38 ~ ~ ~K M Kb M K K b = + +2 4 2 2 2 1 0 2 1 1 0 , (3.59) Ta suy ra töø (3.58), (3.59) raèng ( ) ( ) [ ]ρ ρ τ τt K d t Tt≤ ∀ ∈∫~ , 0 0, . (3.60) Söû duïng boå ñeà Gronwall ta thu ñöôïc [ ]ρ ≡ ≡ ∀ ∈0 01 2 i.e u u t T, . Khi ñoù ta coù ñònh lyù nhö sau Ñònh lyù 3.2 Giaû söû caùc giaû thieát ( ) ( )A A1 5− ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M > 0 vaø T > 0 sao cho baøi toaùn (3.1)-(3.3) coù duy nhaát lôøi giaûi yeáu u ( )∈V M T, Maët khaùc daõy qui naïp tuyeán tính hoùa { }um ñònh bôûi (3.10), (3.11) hoäi tuï maïnh veà u trong khoâng gian ( )V T1 . 39 Chöông 4 PHAÀN KEÁT LUAÄN Luaän vaên söû duïng phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính ñeå khaûo saùt moät soá phöông trình soùng phi tuyeán vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát, khoâng thuaàn nhaát. Phöông phaùp naøy khoâng nhöõng cho ta chöùng minh söï toàn taïi lôøi giaûi, khai trieån tieäm caän lôøi giaûi theo moät tham soá nhieãu, maø baûn thaân noù coøn cho ta thieát laäp lôøi giaûi tuyeán tính hoùa baèng moät thuaät toaùn giaûi tích soá thích hôïp. Noäi dung chính cuûa luaän vaên vaø caùc keát quaû môùi thu ñöôïc chöùa ñöïng trong hai chöông 2 vaø 3. ÔÛ chöông 2 chuùng toâi nghieân cöùu phöông trình soùng phi tuyeán ( )u u f x t u u utt xx x t− = , , , , vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát vaø khoâng thuaàn nhaát. Chuùng toâi thu ñöôïc keát quaû veà söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi baèng phöông phaùp noùi treân vôùi f C∈ 1 . Neáu f ñöôïc thay bôûi ( ) ( )f x t u u u g x t u u u f C g Cx t x t, , , , , , , ,+ ∈ ∈ε , , 2 1 thì chuùng toâi thu ñöôïc lôøi giaûi töông öùng coù moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai theo ε , vôùi ε ñuû nhoû. Keát quaû naøy laø söï toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû tröôùc ñoù trong [1], [2], [4], [5], [8], [11], [13], [14], [15], [19], maø moät phaân keát quaû naøy chuùng toâi ñaõ coâng boá trong [15]. Cuõng trong chöông 2, chuùng toâi ñaõ thu ñöôïc lôøi giaûi baøi toaùn coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N + 1 vôùi f = 0, g = g(ut), ( )g C RN∈ . Ñoù laø yù töôûng khai trieån tieäm caän caáp cao hôn hai khi veá phaûi f coù daïng ( ) ( )f x t u u u g x t u u ux t x t, , , , , , , ,+ ε . ÔÛ chöông 3, vaãn vôùi phöông phaùp xaáp xæ tuyeân tính keát hôïp vôùi phöông phaùp Galerkin ñeå nghieân cöùu söï toàn taïivaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchoff-Carrier. Keát quaû thu ñöôïc ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [7], [9], [10], [16], [17],[18], [21] vaø seõ coâng boá trong [6]. _Caùc keát quaû treân ñaây ñaõ tham gia baùo caùo trong caùc hoäi nghò Toái öu vaø ñieàu khieån, taïi Qui Nhôn (27/5 - 1/6/1996), Hoäi thaûo Toaùn Hoïc Vieät-Phaùp, taïi Thaønh phoá Hoà Chí Minh (3 - 8/3/1997), Hoäi nghò Toaùn Hoïc Vieät Nam toaøn quoác laàn 5, taïi Haø Noäi (17 - 20/9/1997). _Moät phaàn keát quaû ñaõ ñöôïc coâng boá trong [15] vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6]. 40 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 1. Boujot J., Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Veyrier J.P., Oscillateurs harmoniques faiblement perturbeùs: L’algorithme numeùrique des “par de geùants” RAIRO, Analyse numeùrique 14 (1980), 3-23. 2. Caughey T., Ellison J., Existence,uniqueness and stability of solutions of a class of nonlinear differential equations, J. Math. Analysis Applic. 51 (1975), 1-32. 3. Carrier C.F., On the vibration problem of elastic string., Q. J. Appl. Math., 3 (1945), 151-165 . 4. Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Sur un probleøme hyperbolique faiblement non- lineùaire en dimension 1, Demonstratio Math., 16 (1983), 269-289 . 5. Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math., 19 (1986), 45-63. 6. Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, Linear recursive schemes associated with the Kirchhoff-Carrier operator., (baøi gôûi ñaêng). 7. Ebihara Y., Medeiros L.A. and Milla Miranda M., Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation., Nonlinear Anal.TMA., 10 (1986), 27-40. 8. Ficken F., Fleishman B., Initial value problems and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Communs pure appl. Math., 10 (1957), 331-356. 9. Hosoya M. and Yamada Y., On some nonlinear wave equations I: local existence and regularity of solutions., J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math., 38 (1991), 225-238 . 10. Ikehata R. and Okazawa N., A class of second order quasilinear evolution equations., J. of Diff. Equat., 114 (1994), 106-131. 11. Lions J.L., Quelques meùthodes de reùsolution des probleømes aux limites nonlineùaires., Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969. 12. Lakshmikantham V., Leela S., Differential and integral inequalities, Vol.1. Academic Press, New York, 1969. 13. Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, On the quasilinear wave equation: ( )u u f u utt xx t− + =, 0 associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Analysis, 19 (1992), 613-623. 14. Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Analysis, 24 (1995), 1261-1279. 41 15. Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On the nonlinear wave equation ( )u u f x t u u utt xx x t− = , , , , associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, 29 (1997), 1217-1230. 16. Lan H.B., Thanh L.T., Long N.T., Cuong T.L., Bang N.T, Minh T.N., On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral.,Comp. Maths. Math. Phys., 33 (1993), 1171-1178 . 17. Medeiros L.A., On some nonlinear perturbation of Kirchhoff-Carrier operator., Comp. Appl. Math., 13 (1994), 225-233. 18. Pohozaev S.I., On a class of quasilinear hyperbolic equation., Math. U.S. S.R.-Sb, 25 (1975), 145-158. 19. Rabinowitz P.H., Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Communs pure appl. Math., 20 (1967), 145-205. 20. Raviart P.A., Thomas L.M., Introduction aø l’analyse numeùriques des equations aux deùriveùes partielles. Masson, Paris, 1983. 21. Yamada Y., Some nonlinear degenerate wave equation., Nonlinear Anal.TMA., 11 (1987), 1155-1168. Caùc baùo caùo ñaõ tham gia hoäi nghò 22. Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On the nonlinear wave equation associated with the mixed homogeneous conditions , Kyû yeáu hoäi nghò “Toái öu vaø ñieàu khieån”, Qui Nhôn 27 - 1/6/1996, 6(1996), 76-82 ; Baùo caùo Hoäi thaûo Toaùn hoïc Vieät - Phaùp, Thaønh phoá Hoà Chí Minh, toùm taét baùo caùo trang 35. 23. Döông Thò Thanh Bình, Traàn Ngoïc Dieãm, A non linear equations with mixed boundary conditions, Baùo caùo Hoäi nghò Toaùn hoïc Vieät nam laàn 5, 17- 20/9/1997, toùm taét baùo caùo trang 7.