Luận văn Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– ĐẶNG KHẮC QUANG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT Chuyên ngành: Lí luận và Phƣơng pháp dạy học Toán Mã số: 60.14.10 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thái Nguyên - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên CÔNG TRÌNH ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Bùi Văn Nghị Ngƣời phản biện: Phản biện 1: Nguyễn Anh Tuấn Phản biện 2: Cao Thị Hà Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn Họp tại trƣờng Đại học sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên Vào hồi 15 giờ, ngày 25 tháng 10 năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn tại Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên THAI NGUYEN UNIVERSITY THAI NGUYEN TEACHER TRAINING COLLEGE –––––––––––––––––––––––––––– DANG KHAC QUANG APPLYING TEACHING METHOD OF DISCOVERY WITH GUIDING IN TEACHING INEQUALITY AT HIGH SCHOOL Limited speciality: Argument and Teaching Method Code: 60.14.10 SUM UP EDUCATIONAL AND SCIENTIAL M.A. ESSAY THAI NGUYEN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––– ĐẶNG KHẮC QUANG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– ĐẶNG KHẮC QUANG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT Chuyên ngành: LL&PP DẠY HỌC TOÁN Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI VĂN NGHỊ THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1 2. Giả thuyết khoa học..................................................................................... 3 3. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................. 3 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 4 6. Cấu trúc luận văn......................................................................................... 4 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN......................................... 6 1.1. Dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn............................. 6 1.1.1. Khái quát............................................................................................... 6 1.1.2. Tổ chức các hoạt động học tập khám phá............................................. 7 1.1.3. Điều kiện thực hiện............................................................................... 8 1.2. Các hoạt động và hoạt động thành phần.................................................. 9 1.2.1. Khái quát............................................................................................... 9 1.2.2. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung......................... 12 1.2.3. Phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần................... 13 1.2.4. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích............................................... 14 1.3. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya..................... 15 1.4. Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông..... 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Kết luận chƣơng 1....................................................................................... 22 Chƣơng 2. VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT.................................................................... 23 2.1. Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết............................................. 23 2.2. Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức.............................. 34 2.3. Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức............................... 51 2.4. Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện................................. 64 2.5. Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa.................................. 75 Kết luận chƣơng 2....................................................................................... 84 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM................................................ 86 3.1. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sư phạm............................... 86 3.2.Các giáo án thực nghiệm sư phạm.......................................................... 87 3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.............................................................. 103 Kết luận chƣơng 3..................................................................................... 105 KẾT LUẬN................................................................................................ 106 Tài liệu tham khảo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS - TS Bùi Văn Nghị, đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: - Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên. - Các thầy giáo ở Viện Toán học Việt Nam, trường ĐHSP Hà Nội, trường ĐHSP Thái Nguyên, đã hướng dẫn chúng tôi học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. - Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trường THPT Lạng Giang số 2 - Bắc Giang đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình. - Bạn bè và gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái nguyên, tháng 10 năm 2009 Học viên Đặng Khắc Quang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN [?] : Câu hỏi và bài tập kiểm tra [!] : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh BĐT : Bất đẳng thức GV : Giáo viên HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản PPDH : Phương pháp dạy học THPT : Trung học phổ thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" (chương I, điều 4). "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (chương I, điều 24). Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu nói chung của phương pháp giáo dục ở nước ta hiện nay. Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới PPDH là: PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn gọn hơn là hoạt động hoá người học [6]. Đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, nhằm khơi dậy và phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập, sáng tạo, rèn luyện kỹ năng vận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Có thể kể ra một số phương hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông hiện nay là: - Phát triển tư duy và rèn luyện các hoạt động trí tuệ. - Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. - Sử dụng đa phương tiện để giải quyết vấn đề, minh họa cho học sinh tìm tòi từ tình huống, nghiên cứu, phát hiện vấn đề … - Bồi dưỡng phương pháp tự học, phương pháp đọc sách. - Đổi mới phương pháp đánh giá, kết hợp đánh giá của thầy, với tự đánh giá của trò. - Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập tương tác: hoạt động theo nhóm… - Tăng cường các hoạt động hỗ trợ: tự học, chuyên đề, hội thảo, báo cáo thực hành. - Rèn luyện phong cách hòa nhập với cộng đồng. Nhìn chung tư tưởng chủ đạo của phương pháp đổi mới là: tập trung vào các hoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cường giao lưu trao đổi giữa trò và trò. Các định hướng này phù hợp với quan điểm tâm lý học cho rằng hoạt động có ảnh hưởng trực tiếp tới sự hình thành và phát triển nhân cách, phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học Macxit: Con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Vấn đề dạy học khám phá có hướng dẫn dựa trên các hoạt động của học sinh do giáo viên tạo ra trên lớp, đã được khá nhiều thầy giáo quan tâm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 nghiên cứu. Tuy nhiên việc khai thác ứng dụng những lý luận này vào thực tế giảng dạy môn toán ở trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế, vì hầu hết các thầy cô giáo chưa thấy hết được tác dụng to lớn của phương pháp này nên chưa được coi trọng và áp dụng vào thực tế giảng dạy. Ngoài ra giáo viên cũng chưa có nhiều kinh nghiệm và thiếu những cơ sở lý luận để xây dựng các hoạt động tương thích với nội dung, chưa được huấn luyện một cách có hệ thống, chưa có nhiều tài liệu tham khảo… Mặt khác trong chương trình môn toán ở trường phổ thông bất đẳng thức là một nội dung khó đối với nhiều học sinh. Nhiều giáo viên cũng gặp trở ngại, khó khăn khi giảng dạy phần này . Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài là: “Vận dụng phƣơng pháp dạy học khám phá có hƣớng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trƣờng THPT ”. 2. Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng hợp lý phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy bất đẳng thức ở trường THPT, thì HS học tập một cách chủ động, tích cực, sáng tạo hơn, qua đó phát triển trí tuệ hơn và nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông. 3. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một số giáo án dạy học bất đẳng thức ở trường THPT vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Phân tích làm sáng tỏ tính ưu việt của phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn - Nghiên cứu lý luận đổi mới phương pháp dạy học, sách giáo khoa và thực tế việc dạy học theo quan điểm mới để vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn vào một số nội dung cụ thể. - Nghiên cứu thực tế vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn ở trường THPT. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: đọc và nghiên cứu các tài liệu viết về lí luận dạy học môn toán và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài để làm sáng tỏ về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn. Phương pháp quan sát điều tra: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi toán, có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy bất đẳng thức ở một số trường phổ thông. Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại trường THPT Lạng Giang số 2 nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 6. Cấu trúc luận văn Mở đầu Chƣơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn Chƣơng II: Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT Chƣơng III: Thực nghiệm sư phạm Kết luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương này sẽ trình bày các vấn đề lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, các hoạt động và hoạt động thành phần trong khám phá, các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya. Ứng với mỗi phần lý luận đều có các ví dụ minh hoạ cụ thể. Chương này được viết dựa trên các tài liệu [6], [15]. 1.1. Dạy học bằng các hoạt động khám phá có hƣớng dẫn 1.1.1. Khái quát Học tập là quá trình lĩnh hội tri thức mà loài người đã tích lũy được các kiến thức sách giáo khoa và các bài giảng của thầy chủ yếu mang lại cho học sinh những kiến thức đã có sẵn. Thường thì GV ít làm rõ nguồn gốc của các tri thức cho học sinh (phát minh vào lúc nào và bằng cách nào) mà cố gắng truyền đạt để HS hiểu rõ nội dung các kiến thức. Trong học tập, HS cũng cố gắng hiểu rõ các kiến thức mà thầy giáo truyền đạt và sau đó vận dụng vào làm các bài tập đó là cách dạy và học bằng phương pháp thuyết trình: thầy giảng, trò nghe. Phương pháp này làm cho HS tiếp thu một cách thụ động thiếu hứng thú trong học hành. Các nhà nghiên cứu giáo dục, các nhà giáo đang quan tâm tới những phương pháp dạy học làm cho HS luôn tích cực, hứng thú. Những phương pháp này chủ yếu dựa vào các hoạt động của HS do thầy giáo tạo ra trên lớp; trong đó phải kể đến phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn. Đó là phương pháp dạy học thông qua các hoạt động do thầy dẫn dắt, HS tự khám phá ra các kiến thức. Nếu làm được như vậy HS sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng những gì mình đã nắm được qua hoạt động chủ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 động, tự lực khám phá của chính mình. Tới một trình độ nhất định thì sự học tập tích cực, sự khám phá sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và người học cũng tạo ra những tri thức mới. Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của GV, Trong đó GV đã khéo léo đặt HS vào địa vị người phát hiện lại, người khám phá lại tri thức của loài người. 1.1.2. Tổ chức các hoạt động học tập khám phá Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ thấp lên trình độ cao, tuỳ theo trình độ năng lực tư duy của người học và được tổ chức hoạt động theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tuỳ theo độ phức tạp của vấn đề cần khám phá. Các hoạt động khám phá học trong học tập có thể là: + Trả lời câu hỏi. + Điền từ, điền bảng, tra bảng... + Lập bảng, biểu đồ, đồ thị... + Thử nghiệm, đề xuất giải quyết, phân tích nguyên nhân, thông báo kết quả. + Thảo luận, tranh cãi về một vấn đề. + Giải bài toán, bài tập. + Điều tra thực trạng, đề xuất giải pháp cải thiện thực trạng, thực nghiệm giải pháp lớn. + Làm bài tập lớn, chuyên đề, luận án, luận văn, đề án... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Quyết định hiệu quả học tập là những gì HS làm chứ không phải những gì GV làm. Vì vậy phải thay đổi quan niệm soạn giáo án, từ tập trung vào thiết kế các hoạt động của GV chuyển sang tập trung vào thiết kế các hoạt động của HS. Tuy nhiên không nên cực đoan, có tham vọng biến toàn bộ nội dung bài học thành chuỗi các nội dung bài học khám phá. Số lượng hoạt động và mức độ tư duy đòi hỏi ở mỗi hoạt động trong mỗi tiết học phải phù hợp với trình độ HS để có đủ thời lượng cho thầy trò thực hiện các hoạt động khám phá. 1.1.3. Điều kiện thực hiện Việc áp dụng dạy học khám phá đòi hỏi các điều kiện sau: HS phải có những kiến thức kỹ năng cần thiết để thực hiện các hoạt động khám phá do GV tổ chức. Sự hướng dẫn của GV trong mỗi hoạt động phải ở mức cần thiết không quá ít không quá nhiều, đảm bảo cho HS phải hiểu chính xác mình phải làm gì trong mỗi hoạt động khám phá. Muốn vậy GV phải hiểu rõ khả năng HS của mình. Hoạt động khám phá phải được GV giám sát trong quá trình HS thực hiện. GV cần chuẩn bị một số câu hỏi gợi mở từng bước để giúp HS tự đi tới mục tiêu của hoạt động. Nếu là hoạt động tương đối dài, có thể từng chặng yêu cầu một vài nhóm HS cho biết kết quả tìm tòi của mình. Xét về khía cạnh tìm tòi, khám phá thì phương pháp dạy học này rất gần với phương pháp dạy học đàm thoại Ơrixtic và dạy học phát hiện, giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, chỉ khác nhau về cách tổ chức các hoạt động học tập. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví dụ 1: Trong dạy học bài toán “Cho ba số dương a, b, c và thoả mãn 1abc  . Chứng minh rằng 3 3 3a b c a b c     ”, ta có thể thiết kế các hoạt động khám phá thông qua chuỗi câu đàm thoại phát hiện như sau: - Hãy nhìn vào một ẩn, ẩn a chẳng hạn: vế trái là 3a , vế phải là a , làm thế nào để “hạ bậc” từ 3a xuống a (so sánh giữa 3a và a )? (áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương: 3a , 1, 1) - Nếu áp dụng cho ba số dương 3a , 2, 4 có được không, vì sao? (cũng được nhưng không đi đến kết quả) - Đẳng thức xảy ra khi nào? Điều này có ảnh hưởng gì đến việc chọn số thích hợp? (đẳng thức xảy ra khi 1a b c   , nên chọn hai số 1 là phù hợp) - Vận dụng tương tự với 3b và 3c rồi so sánh cái đã có với yêu cầu của bài toán. (áp dụng tương tự với 3b và 3c suy ra 3 3 3 3( ) 6a b c a b c      ) - Xem xét lại yêu cầu của bài toán (so sánh với yêu cầu của bài toán ta cần chứng minh 3a b c   ) - Bạn đã dùng hết giải thiết chưa? Tổng và tích 3 số , ,a b c liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức nào? (bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm: 33a b c abc   ) Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Trong ví dụ này, học sinh đã học bất đẳng thức Côsi và có kỹ năng cần thiết để chứng minh một bài toán bất đẳng thức. Giáo viên gợi ý ở mức độ vừa phải để học sinh hiểu rõ mình phải làm gì trong mỗi hoạt động khám phá. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 1.2. Các hoạt động và hoạt động thành phần 1.2.1. Khái quát Hoạt động và hoạt động thành phần là một trong những thành tố cơ sở quan trọng nhất của phương pháp dạy học. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Phát hiện những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung là cụ thể hoá được mục đích dạy học nội dung đó, chỉ ra được cách kiểm tra việc thực hiện mục đích này, đồng thời vạch ra được con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục đích dạy học khác. Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trong nội dung để đạt được mục đích dạy học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ giữa nội dung, mục đích và phương pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Quá trình dạy học là quá trình điều khiển hoạt động và giao lưu của HS nhằm đạt được mục đích dạy học. Đây là quá trình điều khiển con người, chứ không phải điều khiển máy móc, vì vậy cần quan tâm đến yếu tố tâm lý, chẳng hạn HS có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện hoạt động này, hoạt động khác hay không. Xuất phát từ nội dung dạy học, ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó, rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà chọn lựa để tập luyện cho học sinh một số những hoạt động đã phát hiện được. Việc phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần cũng giúp ta tổ chức cho HS tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ. Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và tích cực. Vì vậy, cần cố gắng gợi động cơ để học sinh ý thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 rõ vì sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác. Trong hoạt động đôi khi kết quả của hoạt động trước lại là tiền đề cho hoạt động tiếp theo. Theo [15] tư tưởng chủ đạo về quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học như sau: + Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học. + Gợi động cơ cho các hoạt động học tập. + Dẫn dắt HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động. + Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học. Trên đây là những tư tưởng chủ đạo giúp người thầy giáo điều khiển quá trình học tập của HS. Những tư tưởng chủ đạo này cũng là những luận điểm phân biệt với quan điểm thực dụng phản diện, chỉ quan tâm đến những hoạt động thụ động máy móc. Khác với quan điểm đó, ở đây chúng ta chú ý đến mục đích, động cơ, đến tri thức phương pháp, đến trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo được tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của hoạt động học tập nói riêng. Những tư tưởng chủ đạo trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục đích dạy học việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái độ, cũng là nhằm giúp HS hoạt động trong học tập cũng như trong đời sống. Như vậy những mục đích thành phần được thống nhất trong hoạt động, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa chúng với nhau. Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng biến đổi của hoạt động. Hướng vào hoạt động theo các tư tưởng chủ đạo trên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diện của mục dích đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 1.2.2. Phát hiện những hoạt động tƣơng thích với nội dung Xuất phát từ nội dung dạy học, trước hết cần phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung này. Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Kết quả ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài. Chẳng hạn: khi một người xây nhà thì kết quả bên ngoài là ngôi nhà xây được, còn kết quả bên trong là những tri thức được kiến tạo, những kỹ năng được rèn luyện, là sự trưởng thành của chủ thể trong quá trình xây dựng này. Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau: khái niệm, định lý hay phương pháp về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý. Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau, trên những bình diện khác nhau. Những hoạt động sau đây cần được chú ý: + Nhận dạng và thể hiện, + Những hoạt động toán học phức hợp, + Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, + Những hoạt động trí tuệ chung, + Những hoạt động ngôn ngữ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Ví dụ 2: Trong dạy học bài toán “Cho  , , 0;1a b c thoả mãn 1a b c   . Chứng minh rằng 2 2 2 1a b c   ” ta có thể khai thác một số hoạt động và hoạt động thành phần như sau: - Khai thác giả thiết để so sánh 2a và a (ta có: 20 1a a a    ). - Vận dụng tương tự với ẩn b và c, so sánh giữa cái đã có và yêu cầu của bài toán (suy ra 2 2 2 2 2 2 1a b c a b c a b c         ). - Hoạt động thành phần: dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (dấu đẳng thức xảy ra  ( , , ) (1,0,0), (0,0,1), (0,1,0)a b c  ). - Nhìn bất đẳng thức ở phương diện khác: điều kiện 1a b c   gợi ta nhớ đến phương trình mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz. Còn 2 2 2a b c  chính là bình phương khoảng cách từ O đến điểm ( ; ; )M a b c , giả thiết  , , 0;1a b c suy ra điểm M thuộc hình lập phương. Từ đó ta có điểm M thuộc thiết diện của mặt phẳng và hình lập phương. Qua ví dụ này ta thấy trong mỗi nội dung ẩn chứa những hoạt động, giáo viên cần khai thác, hướng dẫn HS phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung nhằm góp phần đem lại kết quả giúp HS chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. 1.2.3. Phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện như một thành phần của hoạt động khác, phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho HS hoạt động toàn bộ, vừa chú ý cho HS tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Ví dụ 3: Tìm trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác nhọn ABC, các điểm M, N, P sao cho chu vi của tam giác MNP nhỏ nhất. Hoạt động giải bài tập này có thể tách ra thành các hoạt động thành phần tương ứng với việc giải bài toán trong những trường hợp riêng, từ dễ đến khó. - Cho tam giác ABC và điểm M cố định trên AB, điểm N cố định trên BC. Tìm điểm P trên AC sao cho chu vi của tam giác MNP nhỏ nhất. - Cho tam giác ABC và điểm M cố định trên AB, tìm N, P lần lượt thuộc BC, CA tương ứng sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất. - Bài toán tương tự: Cho điểm M thuộc xOy, tìm trên Ox, Oy các điểm N, P tương ứng sao cho chu vi tam giác MNP là nhỏ nhất . Như vậy là khi phân tích hoạt động giải bài toán trên thành các hoạt động thành phần, đưa HS về giải một số bài toán đơn giản hơn. 1.2.4. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích Mỗi nội dung đều tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên nếu khuyến khích tất cả những hoạt động như thế thì có thể xa vào tình trạng dàn trải, làm cho HS rối ren. Để khắc phục tình trạng này, cần phải sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất định. Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại. Ví dụ 4: Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm điểm ( )M P sao cho 2 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Cần lựa chọn các hoạt động của học sinh tập trung vào các hoạt động sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 - HS hiểu và biết vận dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác. - HS hiểu và nắm vững tính chất hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. - Rèn luyện cho HS năng lực dự đoán, phân tích. - Cho HS luyện tập các hoạt động nhận dạng, thể hiện. 1.3. Quy trình giải một bài toán theo bốn bƣớc của Polya Một nhà khoa học đã nói: một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh. Bài toán mà anh giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo, và nếu tự mình giải lấy bài toán đó thì anh sẽ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi. Những tình cảm như vậy đến một độ tuổi nào đó, có thể khuấy động sự ham thích công việc trí óc và mãi mãi để lại dấu vết trong cá tính người làm toán. Khi HS đã có sự đam mê đối với toán học, lúc đó người thầy giáo hãy chỉ cho HS một cách học hợp lý. Đứng trước một bài toán, có phải sau khi tìm được một lời giải đẹp, trình bày sạch sẽ là gấp sách lại hay không? Để HS tự tìm được lời giải bài toán người thầy cần hướng dẫn cho học sinh cách giải bài tập theo các bước của Polya như sau: I- Hiểu rõ bài toán - Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thoả mãn điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 - Vẽ hình. Sử dụng một kí hiệu thích hợp. - Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể biểu diễn các phần đó thành công thức không? II- Xây dựng chương trình giải - Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác? - Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Một định lí có thể dùng được không? - Xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự. - Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không? - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? - Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? - Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng mọi điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? III- Thực hiện chương trình giải Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không? Bạn có thể kiểm tra tính đúng sai của kết quả không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 IV- Khảo sát lời giải đã tìm được - Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp kết quả không? - Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không? Ví dụ 5: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( )( )( )abc a b c b c a c a b       (1) Bước 1. (Tìm hiểu nội dung đề bài ) [?] Bài toán cho gì? yêu cầu gì? [!] , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác Cần chứng minh ( )( )( )abc a b c b c a c a b       Bước 2. Xây dựng chương trình giải [?] Vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến công thức diện tích nào? [!] 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b S                        28 ( )( )( ) S a b c b c a c a b p         Với 2 a b c p    [?] Vế trái của bất đẳng thức (1) là tích 3 cạnh của tam giác gợi cho các bạn công thức diện tích nào? [!] 4 4 abc S abc RS R    [?] Hãy viết lại bất đẳng thức cần chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 [!] 28 4 2 S S R RS p p     2 2 R r R r   [?] Hãy nhớ lại hệ thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn đó? [!] 2 2 2OI R Rr  (O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC ) [?] Xét dấu 2OI và từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [!] 2 20 2 0 2OI R Rr R r      [?] Đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Đẳng thức xảy ra khi 0OI O I ABC    đều. Bước 3. Trình bày lời giải Kí hiệu ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC ; ,S p lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác ABC. Sử dụng công thức diện tích , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 28 4 S RS p  . Mặt khác S pr nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2R r . Mặt khác gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ABC ta có 2 2 2OI R Rr  . Mà 2 20 2 0 2OI R Rr R r      Đẳng thức xảy ra O I ABC   đều. Bước 4. Khảo sát lời giải đã tìm được Có thể tìm kết quả một cách khác không? [?] 3 cạnh của tam giác có mối quan hệ gì? [!] 0, 0, 0a b c b c a c a b         Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 [?] Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? [!] Nếu đặt ; ;x a b c y b c a z c a b         , thì 2 ;2 ;2a x z b x y c y z      [?] Phát biểu bài toán theo ẩn mới. [!] Cho , ,x y z là các số dương . Chứng minh rằng ( )( )( ) 8x y y z z x xyz    [?] Giả thiết , ,x y z dương gợi cho các bạn nghĩ đến điều kiện của bất đẳng thức nào? Hãy áp dụng bất đẳng thức đó vào bài toán? [!] Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có 2 ; 2 ; 2x y xy y z yz z x zx      . Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [?] Tích hai số a b c  và c a b  có đặc điểm gì? [!] 2 2 2( )( ) ( )a b c c a b a b c a       2( )( )a b c c a b a      [?] Áp dụng tương tự với ( )( )a b c b c a    và ( )( )b c a c a b    [!] 2( )( )a b c b c a b     ; 2( )( )b c a c a b c     . Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [?] Tổng của hai trong ba số hạng , ,a b c b c a c a b      có đặc điểm gì đặc biệt? [!] ( ) ( ) 2a b c b c a b      ; ( ) ( ) 2b c a c a b c      ; ( ) ( ) 2a b c c a b a      [?] Tổng và tích 2 số dương liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 [!] 2x y xy  hay 2 2 x y xy        [?] Vận dụng vào bài toán này như thế nào? [!] 2( )( )a b c b c a b     ; 2( )( )b c a c a b c     ; 2( )( )a b c c a b a     Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [?] Nghiên cứu sâu lời giải . Nếu , , 0a b c  thì tổng của 2 trong 3 số hạng , ,a b c b c a c a b      đều không âm nên chỉ có nhiều nhất một số âm trong 3 số hạng trên Nếu trong 3 số hạng trên có một số âm thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. Vậy ở ví dụ trên các bạn thấy chỉ cần điều kiện , ,a b c không âm là đủ. [?] Bạn có thể sử dụng kết quả này cho một bài toán nào khác không? [!] Nếu , , 0a b c  thì có thể viết (1) tương đương với bất đẳng thức 1 1 1 1 a b b c c a c c a a b b                   (2). Đặt ; ; 1; , , 0 a c b x y z xyz x y z c a       và (2) trở thành 1 1 1 1 1 1 1x y z y z x                   Ta có bài toán “Cho , ,a b c là các số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a                   ”. 1.4. Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trƣờng phổ thông Điều tra thực tiễn chúng ta sử dụng bài kiểm tra 45 phút để đánh giá kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của HS. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Đối tượng là HS lớp 1 2 310 ,10 ,10A A A , trường trung học phổ thông Lạng giang số 2, tỉnh Bắc giang. Mỗi lớp có 40 HS, các em học theo chương trình nâng cao. Đề bài: Câu 1. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ. Chứng minh rằng 2 2 2a b c ab bc ca     . Câu 2. Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3( 2)a b c a b c      Câu 3. Cho a, b, c, d là 4 số thực bất kỳ. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d       Dụng ý sư phạm là: - Đánh giá kiến thức cơ bản. - Đánh giá kỹ năng vận dụng bất đẳng thức cơ bản. - Đánh giá khả năng sáng tạo. - Đánh giá khả năng khám phá. - Thống kê kết quả: tính theo số HS làm được bài Bài 1 Bài 2 Bài 3 110A 38 25 10 210A 35 24 8 310A 39 26 8 Phân tích kết quả: kết quả kiểm tra cho thấy đa số HS đều nắm vững kiến thức cơ bản, nhưng còn hạn chế về khả năng khám phá. Chẳng hạn ở bài 3, HS thường làm theo phương pháp biến đổi tương đương, rất ít HS Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 khám phá ra phương pháp hình học. Nếu biết sử dụng phương pháp hình học thì lời giải bài toán đơn giản hơn nhiều. Giả sử ( ; ); ( ; )M a b N c d thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng OM ON MN  , đây là bất đẳng thức đúng. Dấu đẳng thức xảy ra  O, M, N thẳng hàng và O nằm giữa M, N. Kết luận chƣơng 1 Chương này trình bày một số vấn đề về dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn. Phân tích các hoạt động, hoạt động thành phần và nghiên cứu kỹ quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya. Điều cơ bản trong PPDH này là giáo viên tạo tình huống hướng dẫn HS khám phá tri thức mới, bằng cách đưa ra một số câu hỏi gợi mở từng bước giúp HS tự đi tới mục tiêu của hoạt động. Để làm được điều này giáo viên cần gợi cho HS phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất định. Qua việc tìm hiểu thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông, chúng tôi nhận thấy còn nhiều hạn chế về khả năng khám phá của HS, đồng thời nhiều giáo viên chưa chú trọng vào phương pháp dạy học tích cực này. Việc vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong chứng minh bất đẳng thức sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Những cơ sở lí luận trình bày trong chương này sẽ định hướng cho quá trình vận dụng cụ thể ở chương 2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Chƣơng 2 VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT 2.1. Khám phá vận dụng các bất đẳng thức đã biết (Côsi, Bunhiacopxki..) Vấn đề là khám phá ra cái gì chung về nhận dạng, về định hướng vận dụng sau khi nghiên cứu một loạt bài toán này. Ví dụ 6: Cho 0, 0a b  . Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 1a a b b a b a b      . Hoạt động khám phá: - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để từ 3 1 a làm xuất hiện 1 a ? Bất đẳng thức Côsi cho số 3 1 a và hai số nào đó. - Đẳng thức xảy ra khi nào? chọn hai số đó là số nào? Đẳng thức xảy ra khi 1a b  , nên chọn hai số đó là 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3 1 3 1 1 a a    . - Vận dụng tương tự với 3 3 a b và 3b và so sánh với BĐT cần chứng minh? 3 3 3 3 1 1 3( ) 6 a a b b a b a b       . - Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu ta phải chứng minh bất đẳng thức nào? 1 1 3( ) 6 a a b b a b a b       hay 1 3 a b a b    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ này cho thấy: có thể sử dụng BĐT Côsi để "hạ bậc" (từ a3 xuống a). Ví dụ 7: Cho , , 0a b c  và 3 4 a b c   . Chứng minh rằng 3 3 33 3 3 3a b b c c a      Hoạt động khám phá: - Căn bậc 3 gợi cho ta nghĩ tới bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương , ,x y z . 3 3 x y z xyz         - Đẳng thức xảy ra khi nào? chọn hai số đó là số nào? Đẳng thức xảy ra khi 1 4 a b c   và 3 1a b  . Vậy 2 số còn lại là số 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3 3 33 3 3a b b c c a     3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3 3 a b b c c a            4( ) 6 3 3 a b c     Ví dụ 8: Cho , ,x y z là các số thực dương và có tích bằng 1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 x y z y z z x x y          Hoạt động khám phá: - Vai trò , ,x y z bình đẳng nên cần áp dụng đều cho , ,x y z - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số (1 )(1 )y z  Bất đẳng thức Côsi 3 (1 ) (1 ) 3 (1 )(1 ) x y z x y z        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ( khi 1x y z   ), hãy sửa lại để phù hợp với nhận xét này? 3 1 1 3 (1 )(1 ) 8 8 4 x y z x y z        . - Vận dụng tương tự với 3 3 , (1 )(1 ) (1 )(1 ) y z z x x y    và so sánh với BĐT cần chứng minh? 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 4 x y z x y z y z z x x y             . - Khi đó cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 3 3 3 2 4 4 x y x x y z         Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi ( vì 1xyz  ), suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ này cho thấy: giữa mẫu số của các biểu thức và tổng của các mẫu số đó có mối liên quan, khi đó ta có thể sử dụng BĐT Côsi để khử mẫu số. Ví dụ 9: Cho , 0a b  và 1ab  . Chứng minh rằng 3 3 1 1 1 a b b a     Hoạt động khám phá: - Vai trò ,a b bình đẳng nên cần áp dụng đều cho ,a b . - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số 1 b , để ý tử số chứa lập phương Bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 3 ,1 1 a b b   và một số nào đó? - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ( khi 1a b  ), hãy sửa lại để phù hợp với nhận xét này 3 1 1 3 1 4 2 2 a b a b      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 - Vận dụng tương tự với 3 1 b a và so sánh với BĐT cần chứng minh? 3 3 5 3 ( ) 1 1 4 2 a b a b b a       . - Khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 5 3 ( ) 1 4 2 a b   hay 2a b  ( Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi vì 1ab  ). Tổng quát: cho , 0a b  và 1ab  . Chứng minh rằng a) 1 1 1 n n n m a b b a     ; b) 3 3 2 1 a b k b k a k      Ví dụ này cho thấy: có thể "khử" các mẫu số bằng cách "thêm, bớt" các số hạng bằng mẫu số. Ví dụ 10: Cho a, b là hai số bất kỳ và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng 2 2 2( )a b a b x y x y     (*) Hoạt động khám phá: - Trước hết ta có thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương (*) 2 2 2( ) ( ) ( )a y x y b y x y xy a b      2 2 2 2 2a y b x axby   2( ) 0y bx   Bất đẳng thức sau cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra a b x y   - Tiếp theo, có thể khám phá ra một cách chứng minh nữa bằng cách hướng dẫn HS nhìn BĐT đã cho có gần gũi với BĐT quen thuộc nào không? BĐT Bunhiacopxki 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 - Từ đó ta có một cách chứng minh nữa như sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 2( ) ( ) a b x y a b x y          2 2 2( )a b a b x y x y      Ví dụ 11: Cho a, b,c là ba số bất kỳ và x, y,z là ba số dương. Chứng minh rằng zyx cba z c y b x a    2222 )( Hoạt động khám phá: - Tạm thời chứng minh bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, với hai số hạng, xem có phát hiện ra cách chứng minh bài toán đã cho hay không? Bài toán đơn giản hơn đó chính là ví dụ 10 ở trên: 2 2 2( )a b a b x y x y     - Từ đó ta có lời giải sau: Sử dụng bất đẳng thức 2 2 2( )a b a b x y x y     ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c a b c a b c a b c a b c x y z x y z x y z x y z x y z                     (**). Đẳng thức xảy ra a b c x y z    - Hai ví dụ trên là hai trường hợp cụ thể của BĐT Côsi - Svac. Tổng quát hóa hai bất bất đẳng thức trên, ta có bài toán: Cho 1 2, , , na a a là n số bất kỳ và 1 2, , , nx x x là n số dương. Chứng minh rằng 2 22 2 1 21 2 1 2 1 2 ( )n n n n a a a aa a x x x x x x           Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Ví dụ 12: Cho a, b,c, 1 1 1, ,x y z là các số dương bất kì. Chứng minh rằng 2 1 1 1 1 1 1 ( )a b c a b c x y z ax by cz        Hoạt động khám phá: - BĐT này có tương tự BĐT nào đã gặp hay chưa? Đó chính là Ví dụ 11 ở trên, từ đó có cách chứng minh như sau: Bất đẳng thức (**) 2( ) . . . a b c a b c x y z x y z a b c a b c a b c         Đặt 1 1 1, , x y z x y z a a a    , ta được bất đẳng thức. 2 1 1 1 1 1 1 ( )a b c a b c x y z ax by cz        (***) trong đó 1 1 1, ,ax by cz là 3 số dương Đẳng thức xảy ra 1 2 3x x x   . Ví dụ 13: (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ năm 2005) Cho các số dương , ,x y z thoả mãn 1 1 1 4 x y z    . Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z          Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? (Chú ý từng hệ thức) Đó chính là bất đẳng thức 2 2 2( )a b a b x y x y     hay 2 2 2( )a b a b x y x y     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? (Lưu ý vai trò của , ,x y z như nhau) 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( )x y z x y x z            2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 4 4 x y x z x y x z                                 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 x y x z                           1 2 1 1 16 x y z         - Vận dụng tương tự với các hệ thức còn lại: 1 1 2 1 1 ; 2 16x y z x y z           1 1 1 1 2 2 16x y z x y z           - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: cộng từng vế ba bất đẳng thức trên và sử dụng 1 1 1 4 x y z    1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z                   Đẳng thức xảy ra 3 4 x y z    Qua ví dụ này ta thấy: dạng "tổng nghịch đảo" là hệ quả của BĐT: 2 2 2( )a b a b x y x y     hay ) 11 ( 4 baba   Ví dụ 14: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1995) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn 1abc  . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b       . Hoạt động khám phá: - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? (lưu ý 1abc  ) 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 b c c a a b a b c b c a c a b       - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức zyx cba z c y b x a    2222 )( Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c c a a b a b c b c a c a b      2( ) 2( ) 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca         - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Ta phải chứng minh 3 3 2 ab bc ca   - Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? 3 số dương a, b, c là 3 số dương thoả mãn 1abc  , gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Côsi: 3 2 2 23 3 3 2 2 ab bc ca a b c    Đẳng thức xảy ra 1a b c    Ví dụ 15: Cho các số dương a, b, c, p, q. Chứng minh rằng 3a b c pb qc pc qa pa qb p q        . Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức 2( )a b c a b c x y z ax by cz        - Có thể sử dụng kết quả của nó không? a b c pb qc pc qa pa qb      2( ) ( ) ( ) ( ) a b c a pb qc b pc qa c pa bq         2( ) ( )( ) a b c p q ab bc ca       - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Ta phải chứng minh 2( ) 3 a b c ab bc ca      - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? 2 2( ) 3 ( ) 3( ) a b c a b c ab bc ca ab bc ca            2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c a       . Bất đẳng thức đúng với mọi a, b, c dương. Đẳng thức xảy ra a b c   Ví dụ 16: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 2001) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 2 2 2 1 8 8 8 a b c a bc b ca c ab       Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức 2( )a b c a b c x y z ax by cz        - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 28 8 8 a b c a bc b ca c ab      2 2 2 2 ( ) 8 8 8 a b c a bc b b ca c c ab         - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Ta phải chứng minh 2 2 2 2 ( ) 1 8 8 8 a b c a a bc b b ca c c ab         hay 2 2 2 28 8 8 ( )a a bc b b ca c c ab a b c        - Bất đẳng thức này có gần gũi với bất đẳng thức quen thuộc nào không? Bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 2 2 2 2 2(ax+by+cz) ( )( )a b c x y z     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2( 8 8 8 )a a bc b b ca c c ab      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 2 2 2 2( ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ))a a a bc b b b ca c c c ab      3 3 3( )( 24 )a b c a b c abc      - So sánh với bất đẳng thức cần chứng minh Ta phải chứng minh: 3 3 3 324 ( )a b c abc a b c      - Chứng minh bất đẳng thức trên như thế nào? 3 3 3 3( ) 3( )( ) 3a b c a b c a b c ab bc ca abc           3 3 3 3 2 2 233.3 .3 3a b c abc a b c abc     3 3 3 24a b c abc    .Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Đẳng thức xảy ra a b c   Ví dụ 17: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 1a b c   . Chứng minh rằng 2 2 2 1 9 30Q a b c ab bc ca        . Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức 2 2 2( )a b a b x y x y     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 (1 3) a b c ab bc ca a b c ab bc ca             - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c   . Vậy cách làm trên không sai nhưng chưa được gì. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 - Vai trò của a, b, c bình đẳng nên cần áp dụng đều cho a, b, c. Đẳng thức 1a b c   và các số hạng 2 2 2;a b c ab bc ca    gợi cho các bạn nghĩ tới đẳng thức nào? 2 2 2 22( ) ( )a b c ab bc ca a b c        - Suy nghĩ xem vận dụng bất đẳng thức tương tự nào? zyx cba z c y b x a    2222 )( - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca ab bc ca         2 2 2 2 (1 1 1) 2 2 2a b b c a         2 9 9 ( )a b c     Mặt khác 2 2 2 21 ( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca        1 3( ) 3 ab bc ca ab bc ca      Suy ra 9 7.3 30Q   . Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c    . Ví dụ 18: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993) Chứng minh với mọi số dương a, b, c, d ta có 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 a b c d b c d c d a d a b a b c             - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn không? Đó chính là bất đẳng thức 2( )a b a b x y ax by     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Vận dụng tương tự ta có 2( )a b c d a b c d x y z t ax by cz dt           Suy ra 2( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 4( ) a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c ab bc cd da ac bd                    - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Ta phải chứng minh 2( ) 2 4( ) 3 a b c d ab bc cd da ac bd          - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương với 2 2 2 23( ) 2( )a b c d ab bc cd da ac bd         . Bất đẳng thức này đúng vì 2 2 2 22( ) 2( )a b c d ab bc cd da       và 2 2 2 2 2a b c d ac bd     Đẳng thức xảy ra a b c d    2.2. Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức Điều quan trọng trong phương pháp này là phát hiện ra cần sử dụng hàm số nào, kinh nghiệm là: Dạng 1: Bất đẳng thức phụ thuộc một biến số duy nhất, ta có thể khảo sát hàm số (ẩn x) ngay đƣợc. Ví dụ 19: (dựa theo bài thi tuyển sinh vào ĐH Bách Khoa năm 1998) Cho tam giác ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện A B C  .Chứng minh rằng sin sin sin sin sin sin sin sin x A x B A B x C x C A C         Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Xét hàm số sin sin ( ) sin sin x A x B f x x C x C       - Tìm tập xác định của hàm số? Ta có A B C a b c     2 sin 2 sin 2 sin sin sin sinR A R B R C A B C      . Vì thế tập xác định của hàm số là  ( ;sin ) sin ;C A   . Ta có 2 2 sin sin sin sinsin sin ( sin ) ( sin )sin sin ( ) sin sin sin sin 2 2 2 2 sin sin sin sin A C B Cx A x B x C x Cx C x C f x x A x B x A x B x C x C x C x C                               Vì sin sin sinA B C  nên ( ) 0f x  và ta có lim ( ) 2; lim ( ) 2 x x f x f x     - Lập bảng biến thiên của ( )f x và suy ra sin sin ( ) sin sin A B f x A C    Ví dụ 20: Chứng minh rằng với mọi x 0; 2       ta luôn có 2 2 4 4 sin x x x     Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? Xét hàm số 2 2 4 4 ( ) sf x inx x x    trên 0; 2       - Xét dấu ( )f x như thế nào? Tạm thời chưa xét dấu được ngay ( )f x , các bạn xét dấu "( )f x xem có phát hiện được dấu của ( )f x hay không? Ta có 2 8 ( ) cos 4 f x x x       và 2 8 ( )f x sinx      Suy ra 2 8 ( ) 0 sin (0; ) 2 f x x arc b        Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Vậy ( )f x là hàm số liên tục và đồng biến trên  0;b , nghịch biến trên ; 2 b       . Đồng thời, ta lại có (0) 0f   và ( ) 0 2 f    nên (0). ( ) 0f f b   , do đó tồn tại duy nhất số thực (0; )c b để ( ) 0f c  . - Lập bảng biến thiên và ta đi đến kết luận ( ) 0, 0; 2 f x x         Dấu đẳng thức xảy ra 0x  hoặc 2 x   . Từ đó ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 21: (dựa theo bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -2003) Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện (cot ) sin2 cos2f x x x  với mọi x thuộc khoảng (0; ) . Chứng minh rằng  1;1x   ta luôn có 1 4 34 ( ). (1 ) 25 f x f x    Hoạt động khám phá: - Biểu thức sin 2 ,cos2x x có mối liên hệ với cot x bởi công thức nào? 2 2 2 2cot cot 1 sin 2 ,cos2 cot 1 cot 1 x x x x x x      - Với mối liên hệ trên, có thể chuyển theo ẩn mới như thế nào? Đặt cot x t thì 2 2 2 1 ( ) 1 t t f t t     , vì (0; )x  t R  . - Tính tích ( ). (1 )f x f x Dẫn tới 2 2 2 2 (1 ) 8 (1 ) 2 ( ) ( ). (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 x x x x g x f x f x x x x x            với mọi x R . - Khảo sát hàm số ẩn x này như thế nào? Hàm số ( )g x khá phức tạp, nhưng cả tử và mẫu đều có chứa biểu thức nào, có thể chuyển theo biến trung gian nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Đặt (1 )u x x  . Dễ thấy khi  1;1x  thì 1 2; 4 u        . Vì vậy từ ( )g x trở thành 2 2 8 2 ( ) 2 2 u u h u u u      - Khảo sát hàm số 2 2 8 2 ( ) 2 2 u u h u u u      trên 1 2; 4       , ta suy ra 1 4 34 ( ). (1 ) 25 f x f x    . Ví dụ 22: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1993) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất đẳng thức 2ln(1 )x x ax   đúng với mọi 0x  . Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? 2( ) ln(1 )f x ax x x    trên  0; - Xét dấu ( )f x như thế nào? Ta có ( ) (2 2 1), 1 x f x ax a x      0x  thì ( )f x cùng dấu với ( ) 2 2 1g x ax a   - Hãy biện luận theo tham số dấu của ( )f x * Nếu a = 0 thì ( ) 0 1 x f x x      với mọi x > 0, suy ra f(x) nghịch biến nên ( ) (0) 0f x f  và (0) 0 0f x   * Nếu 0a  thì ( )g x có nghiệm 0 1 2 2 a x a   , do đó cần xét ba trường hợp sau với a. +) Với a < 0 thì 0 0x  và ( ) 0g x  với mọi 00x x  , từ (1) suy ra f(x) nghịch biến nên ( ) (0) 0f x f  và ( ) 0 0f x x   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 +) Với 1 (0; ) 2 a thì 0 0x  và ( ) 0g x  với mọi 00 x x  , từ (1) suy ra f(x) nghịch biến, ( ) (0) 0f x f  và ( ) 0 0f x x   . +) Với 1 2 a  thì 0 0x  và ( ) 0g x  với mọi x > 0, từ (1) suy ra f(x) đồng biến nên ( ) (0) 0f x f  và ( ) 0 0f x x   . Vậy ( ) 0f x  với mọi 1 0 2 x a   . Ví dụ 23: (bài thi Olympic Toán 30/4 năm 1999 ) Cho 0 2 x    . Chứng minh rằng 3sin cos 3 x x       . Hƣớng dẫn: Xét hàm số 3 ( ) sin 3! x f x x x   trên 0; 2      , ta suy ra được 3 sin , (0; ) 3! 2 x x x x      . Từ đó với mọi 0; 2 x       ta có 33 2 2 4 6sin 1 1 6 2 12 216 x x x x x x                (1) Mà 2 2 19 36 4 x x    hay 4 6 24 216 x x  . Như vậy 2 2 2 2 6 1 1 2 24 2 12 216 x x x x x       (2) Mặt khác 2 4 cos 1 2 24 x x x    (3) Từ (1), (2), (3) suy ra 3sin cos x x x       . Ví dụ 19: (bài thi Olympic Toán 30/4 năm 1998) Cho x > 0 và , (0; ), 2      . Chứng minh rằng x sin sinx sin sin x sin sin                   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? Xét hàm số ( ) x sin x sin f x x sin            trên  0; Ta có ( ) ln . ( ) x sin sin sin f x f x x sin x sin                       - Xét dấu ( )f x như thế nào? Xét hàm số ( ) ln x sin sin sin g x x sin x sin               trên  0; Có   2 2 ( ) ( ) 0 0; ( ) ( ) sin sin g x x x sin x sin               ( )g x là hàm nghịch biến trên  0; ; mà lim ( ) 0 x g x   .  ( ) 0, 0;g x x      '( ) 0, 0;f x x     ( )f x là hàm số đồng biến trên  0; ( ) (0)f x f  x sin sin x sin sin x sin sin                    . Dạng 2: Bất đẳng thức phụ thuộc nhiều biến số a) Quy về một ẩn để sử dụng hàm số. Ví dụ 25: (bài thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Chứng minh rằng 2 2 2 2( 1) ( 1) 2 2 3x y x y y         Hoạt động khám phá: - Biểu thức xuất hiện trong bài toán 2 2 2 2( 1) , ( 1)x y x y    giống biểu thức nào trong hình học? (biểu thức toạ độ nào?) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Khoảng cách giữa hai điểm hoặc độ dài của véc tơ. - Chọn véc tơ có toạ độ như thế nào để phù hợp với các biểu thức trên? ( 1; ), ( 1; )u x y v x y     , suy ra 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y u v       - Bất đẳng thức nào thể hiện mối liên quan giữa hai véc tơ ,u v ? Đẳng thức xảy ra khi nào? u v u v   (1). Đẳng thức xảy ra khi ,u v cùng hướng. - Vận dụng vào bài này như thế nào? Áp dụng BĐT (1) ta có 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 4 4 2 1x y x y y y         . Đẳng thức xảy ra 0x  . Khi đó 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 2 2 1 2x y x y y y y           . - Ta chuyển về chứng minh bất đẳng thức ẩn y : 22 1 2 2 3y y     Xét hàm số 2( ) 2 1 2f y y y    +) Với 2y  ta có 2( ) 2 1 2f y y y    là hàm số đồng biến ( ) (2) 2 5f y f   +) Với 2y  ta có 2 2 2 ( ) 2 1 2 , ( ) 1 1 y f y y y f y y        . Giải phương trình ( ) 0f y  , ta được 1 3 y  . Lập bảng biến thiên và ta suy ra 2 3B   . Ví dụ 26: (dựa theo bài thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006) Cho 2 số thực x, y khác 0 thay đổi thoả mãn điều kiện 2 2( )x y xy x y xy    . Chứng minh rằng 3 3 1 1 16 x y   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? - Biểu thức 2 2( )x y xy x y xy    và 3 3 1 1 x y  đối xứng với hai ẩn ,x y . Ta quy về một ẩn số như thế nào? Ta có 3 3 1 1 A x y   2 22 2 3 3 ( )( ) 1 1x y x xy y x y x y xy x y                   . Đặt x ty , cũng từ giả thiết 2 2( )x y xy x y xy    suy ra 3 2 2( 1) ( 1)t ty t t y    Do đó 2 2 2 1 1 , 1 t t t t y x ty t t t          . Từ đó 22 2 2 1 2 1 1 t t A x y t t                Xét hàm số 2 2 2 1 ( ) 1 t t f t t t      có 2 2 2 3 3 ( ) ( 1) t f t t t       Giải phương trình ( ) 0f t  ta được 1t   . Lại có 2 2 2 1 ( ) 1 1t t t t lim f x lim t t        Lập bảng biến thiên và ta suy ra 2 (1) 16A f  Ví dụ 27: (dựa theo bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam năm 2004) Cho các số thực dương , ,x y z thoả mãn hệ điều kiện sau 4 2 x y z xyz      . Chứng minh rằng 4 4 4383 165 5 18x y z     Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (phải quy về một ẩn để khảo sát hàm số) - Biểu thức 4 4 4P x y z   đối xứng với ba ẩn , ,x y z . Biến đổi P theo , ,x y z xyz xy yz zx    như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Ta có 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( )P x y z x y z x y y z z x         2 2 2(4 2( )) 2(( ) 2 ( ))xy yz zx xy yz zx xyz x y z          - Với mối quan hệ trên, chuyển P theo biến mới như thế nào? Đặt t xy yz zx   và từ giả thiết 4; 2x y z xyz    ta có 22( 32 144)P t t   - Tìm điều kiện theo ẩn mới như thế nào? Từ các điều kiện đối với x, y, z ta được 2 4 ;y z x yz x     do đó 2 (4 )t x x x    - Tìm điều kiện đối với ẩn x và chuyển điều kiện đó theo ẩn t Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z và từ (2) ta được 2 3 28(4 ) 8 16 8 0x x x x x        2( 2)( 6 4) 0x x x    3 5 2x    . Xét hàm số 2 ( ) (4 )t x x x x    trên đoạn 3 5;2    , có 2 2 2( 1)( 1) ( ) x x x t x x       Từ việc xét dấu của ( )t x trên đoạn 3 5;2    , ta được 5 5 1 5 2 t    . - Khảo sát hàm số 2( ) 2( 32 144)f t t t   trên 5 5 1 5; 2       và suy ra 4 4 4383 165 5 18x y z     Ví dụ 28: Chứng minh rằng nếu , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 thì 2 2 23( ) 4 13a b c abc    . Hoạt động khám phá: - BĐT cần chứng minh chứa ba ẩn , ,a b c và thoả mãn 3a b c   . Hãy suy nghĩ biến đổi 2 2 23 3 3 4T a b c abc    sao cho ít ẩn hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Ta có T  2 23(3 ) 3 2 (2 3)c c ab c    - Tích ab và tổng 3a b c   gợi cho các bạn nghĩ tới BĐT nào? 2 2 3 2 2 a b c ab ab                . Từ đó ta có lời giải sau: Đặt 2 2 23 3 3 4T a b c abc    Do vai trò bình đẳng của , ,a b c nên ta có thể giả sử 0 a b c   Chu vi tam giác bằng 3 nên 3 3a b c a b c       , mà 3 1 2 a b c c     Ta biến đổi 2 2 2 2 23( ) 3 4 3 ( ) 2 3 4T a b c abc a b ab c abc           2 23(3 ) 3 2 (2 3)c c ab c     . Vì 3 2 3 0 2 c c    và 2 2 23 3 (2 3) (2 3) 2 2 2 a b c c ab ab c c                          . Do đó 2 2 2 33(3 ) 3 2(2 3) 2 c T c c c            3 23 27 2 2 c   . Xét hàm số 3 23 27( ) 2 2 f c c c   trên 3 1; 2       , có 2( ) 3 3 ; ( ) 0 1f c c c f c c      Lập bảng biến thiên và suy ra ( ) 13 13f x T   hay 2 2 23( ) 4 13a b c abc    Ví dụ 29: (USA- 1980) Cho  , , 0;1a b c . Chứng minh rằng (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 1 a b c a b c b c c a a b              . Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? Ta có thể xem một biến nào đó là đối số x của hàm số ( )f x , các biến còn lại ta coi là các hằng số, đặt a x ,  0;1x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Xét hàm số ( )f x  (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 x b c x b c b c c x x b             trên  0;1 Ta có 2 2 1 ( ) (1 )(1 ) 1 ( 1) ( 1) b c f x b c b c c x x b              - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu ' ( )f x thì xét dấu '' ( )f x xem có phát hiện gì không?  2 2 2 2 ( ) 0 0;1 ( 1) ( 1) b c f x x c x x b           ( )f x đồng biến trên  0;1 . Trong 3 trường hợp y luôn dương, y luôn âm, đổi dấu trên đoạn  0;1 ta luôn có  ( ) (0), (1)f x Max f f . - So sánh giữa cái đã biết với yêu cầu bài toán, cần chứng minh (0) 1; (1) 1f f  1 1 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c b c f b c c b b c b c b                    2 21 (0) (1 )(1 ) 1 1 1 1 b c b c b c f b c c b b c bc                . Suy ra  ( ) (0), (1) 1f x Max f f  . Vậy  0;1 : ( ) 1x f x   . Ví dụ 30: (bài thi Olympic Toán 30/4 năm 2004) Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn 21 2 8 12ab bc ca   . Chứng minh rằng 1 2 3 15 2 S a b c     . Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (có thể chuyển theo ẩn mới được không? ) Đặt 1 2 3 ; ;x y z a b c    , bài toán trở thành Cho , , 0x y z  và 2 4 7 2x y z xyz   (1), cần chứng minh 15 2 S x y z    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 - Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn được không? Từ (1) suy ra 2 4 (2 7) 2 4 (2 7 0) 2 7 x y z xy x y z xy xy          Do đó 14 14 2 4 2 4 72 7 (2 ) x y x y x xS x y x y xy x y x             . 14 14 2 2 2 2 2 7 7 2 7 2 2 2 7 x x xyx xx y x x xy x x x xy               2 11 7 2 1 2 x x x     (áp dụng bất đẳng thức Côsi ) Xét hàm số 2 11 7 ( ) 2 1 2 f x x x x     trên (0; ) , có 2 3 2 11 14 ( ) 1 2 7 1 f x x x x      - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu ' ( )f x thì xét dấu '' ( )f x xem có khám phá ra dấu của ' ( )f x không? Ta có ( ) 0 (0; )f x x     suy ra ( )f x đồng biến trên (0; ) và 11 14 (3) 1 0 18 36 f      . Lập bảng biến thiên và ta đi đến kết luận 15 2 S  . b) Khảo sát lần lƣợt từng biến, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số, rồi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số. Ví dụ 31: (bài thi Olympic 30/4 năm 2002) Cho  , , 1;2a b c . Chứng minh rằng 1 1 1 ( )( ) 10a b c a b c      (1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (Coi một biến là ẩn, các biến còn lại là tham số, hãy xét hàm số với ẩn đó) Ta có (1) ( )( ) 10 0a b c ab bc ca abc       . Xét hàm số ( ) ( )( ) 10f a a b c ab bc ca abc      ẩn a trên  1;2 Có ( ) ( )( ) 10f a ab bc ca a b c b c bc         - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu '( )f a thì xét dấu '' ( )f a xem có khám phá ra điều gì không?  ( ) 2( ) 0 , 1;2f a b c b c b c b c          ( )f a là hàm số đồng biến trên  1;2 Trong 3 trường hợp y luôn dương, y luôn âm, đổi dấu trên đoạn  1;2 ta luôn có  ( ) (1), (2)f a Max f f   (1 )( ) 10 ;(2 )(2 2 ) 20Max b c b c bc bc b c b c bc bc           *) Xét hàm số ( ) (1 )( ) 10g b b c b c bc bc      , ẩn b trên  1;2 . Có ( ) (1 )(1 )g b b c bc b c c        ;  ( ) 2(1 ) 0 1;2g b c c      ( )g b là hàm số đồng biến trên  1;2 Ta luôn có    ( ) (1), (2) (2 )(1 2 ) 10 ;(3 )(2 3 ) 20g b Max g g Max c c c c c c        . +) Xét hàm số ( ) (2 )(1 2 ) 10h c c c c    trên  1;2 Có  ( ) 4 5; ( ) 4 0 1;2h c c h c c      ( )h c đồng biến trên  1;2 Ta luôn có    ( ) (1), (2) 1,0 0h c Max h h Max    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 +) Xét hàm số ( ) (3 )(2 3 ) 20h c c c c    trên  1;2    ( ) (1), (2) 0;0 0h c Max h h Max    . * Xét hàm số ( ) (2 )(2 2 ) 20g b b c b c bc bc      , ẩn b trên  1;2 , tương tự suy ra BĐT cần chứng minh. Ví dụ 32: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1991) Cho các số thực dương , ,x y z với x y z  . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y z z x y      . Hoạt động khám phá: - Bạn có nhận xét gì về bậc của hai vế? Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn không? Chia cả 2 vế cho 5 0y  , thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 . ( 1) x z z x x z x z y y y y y y y y      (1). Đặt ; x z u v y y   ta có 1 0u v   và (1) được đưa về dạng 3 2 2 3 2 2( 1)u v u v uv u v    3 2 3 2 2(1 ) (1 ) 0v u v uv v v       (2) Nếu 1v  , thì (2) có dạng 2 2 1 0u u   , tức là (2) đúng. Nếu 0 1v  . Xét hàm số sau (biến là u) 3 2 3 2 2( ) (1 ) (1 )f u u v u v uv v v      với 1u  , thì 2 3 2( ) 3 (1 ) 2 (1 )f u u v uv v v      - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu ' ( )f u thì xét dấu '' ( )f u xem có khám phá ra dấu của ' ( )f u không? 3( ) 6 (1 ) 2 0f u u v v     (do 0 1v  và 1u  ). Vậy ( )f u là hàm đồng biến trên  1; nên  1u  ta có 3 2( ) (1) 4 3 ( 1)( 3) 0f u f v v v v v          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 (do 0 1v  ) ( )f u là hàm đồng biến trên  1; nên  1u  ta có 2( ) (1) 2 1 0f u f v v     . Vậy (2) đúng 1 0u v    . Ví dụ 33: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1999) Xét các số thực dương , ,a b c thoả mãn điều kiện abc a c b   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c       Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết abc a c b   , có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn không? Đặt 2 2 2 2 2 3 1 1 1 P a b c       Biến đổi giả thiết thành 1 (1 ) 0a c b ac a c       và 1 a c b ac    (1). Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được 2 2 2 2 2 2 3 2( ) 2 1 1 (1 )(1 ) a c P a c a c          (2) - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (Coi một biến là ẩn, biến còn lại là tham số, hãy xét hàm số với ẩn đó) Xét hàm số 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 (1 )(1 ) x c f x x x c       với 1 0 x c   và coi c là tham số ( 0)c  , có 2 2 2 2 2 ( 2 1) ( ) (1 ) (1 ) c x cx f x x c        - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Trên 1 0; c       thì ( ) 0f x  có nghiệm duy nhất là 2 0 1x c c    (3) Với 0 1 0 x c   . Qua 0x thì ( )f x đổi dấu từ dương xang âm nên ( )f x đạt cực đại tại 0 0 2 ( ) ( ) 1 1 c x f x f x c      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Từ đó theo (2) ta có: 2 22 3 2 3 2 ( ) 2 ( ) 1 11 c P f x g c c cc         Xét hàm số ( )g c với 0c  , có 2 2 2 2 2(1 8 ) ( ) ( 1) (3 1) c g c c c c       . Với 0c  thì ( ) 0g c  tại 0 1 8 c  và qua 0c thì ( )g c đổi dấu từ dương sang âm nên 0( )g c là giá trị cực đại, suy ra 1 10 38 P g        . Giá trị 10 3 P  đạt được khi 1 2 , 28 c a  và 2b  theo (1), (3). c) Dựa vào dạng chung của các biểu thức có trong bài toán để đặt hàm số Ví dụ 34: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng 2 1 (sin sin sin ) (tan tan tan ) 3 3 A B C A B C       Hoạt động khám phá: - Viết lại BĐT cần chứng minh 2 1 (sin sin sin ) (tan tan tan ) 3 3 A B C A B C A B C        - Các biểu thức xuất hiện trong bài toán có dạng hàm số nào? hãy khảo sát hàm số đó? Xét hàm số 2 1 ( ) sin tan 3 3 f x x x x   trên 0; 2      , có 2 1 1 '( ) (2 3) 3 f x cosx cos x    - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Tổng 2 2 1 1 2cosx cosx cosx cos x cos x     chưa phát hiện được gì, nhưng tích của chúng là hằng số. Từ đó gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? áp dụng vào bài này như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có 3 2 2 1 1 3 3cosx cosx cosxcosx cos x cos x     '( ) 0 0; 2 f x x          hàm số f(x) đồng biến trên 0; 2      ( ) (0) 0, 0f x f x     Vận dụng vào các góc nhọn A, B, C ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 35: Chứng minh rằng 1 1 12 2 2 3 3 A B C cos cos cos A B C       . Trong đó các góc A, B, C của tam giác ABC đo bằng radian. Hoạt động khám phá: - Ba biểu thức xuất hiện trong bài toán có dạng hàm số nào? Hãy khảo sát hàm số đó? Xét hàm số ( ) tan sin 2f t t t t   trên 0; , (0) 0 2 f      Ta có 2 1 ( ) cos 2, (0) 0, 0; 2 f t t f t cos t            có 2 2 2 1 1 ( ) cos 2 cos 2 2 2 0 0; 2 f t t t t cos t cos t                  Suy ra ( )f t đồng biến trong 0; 2      ( ) (0) 0, 0; 2 f t f t          . Áp dụng vào bài toán đã cho ta có tan 2 2 A A sin A  hay 1 2 cot 2 A cos A A   . Tương tự 1 2 cot 2 B cos B B   ; 1 2 cot 2 C cos C C   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 Do vậy 1 1 12 2 2 cot cot cot 2 2 2 A B C cos cos cos A B C A B C         (1) Mặt khác trong ABC ta luôn có 33cot cot cot cot .cot .cot 3 cot cot cot 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C T T      . 3 3T  (2). Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Khám phá lời giải bằng hàm số khác: Với (0; ) 2 x   thì s inx x nên 2 2 2cos 1 2 1 2( ) 1 2 2 2 x x x x sin      áp dụng vào bài toán ta được 2 2 2 1 ; 1 ; 1 2 8 2 8 2 8 A A B B C C cos cos cos      . Do vậy 1 1 1 2 2 22 2 2 8 A B C cos cos cos A b C A B C A B C            29 144 2. 3 3 8 8A B C           . 2.3. Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức Thông thường đặt ẩn phụ để quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc. a) Phân tích một số ví dụ Ví dụ 36: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1983) Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a      , đẳng thức xảy ra khi nào? Hoạt động khám phá: - Ba đại lượng a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì có thể biểu diễn qua ba biến trung gian như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 Tồn tại x, y, z > 0 thoả mãn , ,a y z b z x c x y      . - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 3 3 3 2 2 2x z y x z y x yz xy z xyz     hay 2 2x y z x y z y z x     - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử mẫu số ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh Bất đẳng thức Côsi 2 2 2 2 , 2 , 2 x y z y x z y x z y z x       hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki     2 2 2 2x y z x y z x y z y z x             Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi x y z  a b c   hay ABC đều. - Có thể đề xuất bài toán tổng quát được không? Tổng quát: cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên 1n  thì ( ) ( ) ( ) 0n n na b a b b c b c c a c a      , đẳng thức xảy ra khi nào? Qua ví dụ này cho thấy: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn , ,a y z b z x c x y      . Ví dụ 37: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1985) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b       Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b, c được xác định như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 , , 0a b c  và 1abc  - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? Đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z    ta có , , 0x y z  và 1xyz  - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y       - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử mẫu số , ,y z z x x y   ? Bất đẳng thức Côsi 2 ( ) 2 x y z x y z     - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1x y z   ) , hãy sửa lại bất đẳng thức trên để phù hợp với nhận xét này? 2 4 x y z x y z     , 2 4 y z x y z x     , 2 4 z x y z x y     hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki   2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) x y z y z z x x y x y z y z z x x y                  Từ đó suy ra 2 2 2 2 x y z x y z y z z x x y         - Khi đó ta phải chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 3 2 2 x y z   hay 3x y z   (BĐT này đúng theo BĐT Côsi, vì 1xyz  ) Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 Qua ví dụ này cho thấy: nếu ba số dương a, b, c có tích bằng 1 thì tồn tại các số dương x, y, z có tích bằng 1 thoả mãn 1 1 1 ; ;a b c x y z    . Ví dụ 38: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993) Cho các số thực dương a, b, c, d bất kỳ. Chứng minh rằng 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 a b c d b c d c d a d a b a b c             Hoạt động khám phá: - Nếu coi các đại lượng 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3b c d c d a d a b a b c        là các biến số trung gian , , ,x y z t thì các biến số , , ,a b c d được biểu diễn qua biến trung gian như thế nào? Đặt 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3x b c d y c d a z d a b t a b c            thì , , , 0x y z t  Suy ra 1 ( 5 7 ) 24 a x y z t     , 1 ( 5 7 ) 24 b y z t x     1 ( 5 7 ) 24 c z t x y     , 1 ( 5 7 ) 24 d t x y z     - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 20 1 7 7 7 7 2 4 24 3 a b c d y z t z t x t x y x y z x y z t x x x y y y z z z t t t                        - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 36 số dương ta có ... ... ... ... 36 y y y t t z z t x t t x y x x y z x x x x x y y y y z z z z t t t t                     Suy ra 20 36 2 24 24 3 a b c d x y z t        , đẳng thức xảy ra a b c d    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Qua ví dụ này cho thấy: nếu các đại lượng ở mẫu số là tổ hợp của các đại lượng của tử số thì có thể biểu diễn mẫu số qua các biến trung gian nào đó. Ví dụ 39: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 2008) Cho x, y, z là các số thực khác 1 thoả mãn 1xyz  . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y z x y z       . Hoạt động khám phá: - Nếu coi các đại lượng , , 1 1 1 x y z x y z   là các biến số trung gian , ,a b c . Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa , ,a b c Đặt , , 1 1 1 x y z a b c x y z       1 1 1 1 , 1 , 1 1 1 1 a b c x y z           Ta có ( 1)( 1)( 1)a b c    1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) xyz abc x y z x y z         (vì 1xyz  ) Suy ra ( ) ( ) 1 0ab bc ca a b c       ( ) ( ) 1ab bc ca a b c       - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 2 2 2 1a b c   - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? Ta có 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab bc ca         2( ) 2( ) 2a b c a b c      21 1 1b c      Ví dụ 40: (bài thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương năm 2002) Cho các số dương a, b, c thoả mãn 1 1 1 1 a b c    . Chứng minh rằng a bc b ca c ab abc a b c         . Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b, c được xác định như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 , , 0a b c  và 1 1 1 1 a b c    - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? Đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z    ta có , , 0x y z  và 1x y z   - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 1x yz y zx z xy xy yz zx         hay x yz y zx z xy x y z xy yz zx           - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? - Vế trái và vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có gì đặc biệt? Vế trái chứa x yz , vế phải chứa x yz . - Phải chăng có mối quan hệ x yz x yz   , hãy thử chứng minh điều đó Ta có 2(2) 2x yz x yz x yz x x yz yz        1 2 2x yz x y z x yz          2 0y z   , đúng  x, y > 0 Tương tự, ta có y zx y zx   ; z xy z xy   . Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 41: Cho các số thực dương , , ,x y z t thoả mãn 1xyzt  . Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 3x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx             . Đẳng thức xảy ra khi nào? Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng , , ,x y z t được xác định như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 , , , 0x y z t  và 1xyzt  - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? Đặt 1 1 1 1 ; ; ;a b c d x y z t     ta có , , , 0a b c d  và 1abcd  - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 2 2 2 2 4 3 a b c d S b c d c d a d a b a b c              - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử mẫu số , , ,b c d c d a d a b a b c        ? Bất đẳng thức Côsi 2 ( ) 2 a b c d a b c d       - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1a b c d    ) , hãy sửa lại bất đẳng thức trên để phù hợp với nhận xét này? 2 2 9 3 a b c d a b c d       ; 2 2 9 3 b c d a b c d a       2 2 9 3 c d a b c d a b       ; 2 2 9 3 d a b c d a b c       Hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki   2( ) ( ) ( ) ( ) ( )S b c d c d a d a b a b c a b c d               - Khi đó ta phải chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 1 4 ( ) 3 3 a b c d    hay 4a b c d    (BĐT này đúng theo BĐT Côsi, vì 1abcd  ), từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy ra khi nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 Đẳng thức xảy ra khi 1a b c d    hay 1x y z t    . Qua ví dụ này cho thấy: + Nếu bốn số dương a, b, c, d có tích bằng 1 thì tồn tại các số dương x, y, z, t có tích bằng 1 thoả mãn 1 1 1 ; ;a b c x y z    ; 1 d t  . + Có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopski để khử dạng mẫu Ví dụ 42: (dựa theo bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1999) Cho các số dương , ,a b c thoả mãn abc a c b   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c       Hoạt động khám phá: - Đẳng thức 1 1 . . 1abc a c b ac a c b b        tương ứng với hệ thức lượng giác nào giữa các góc trong một tam giác? tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    - Có thể biểu diễn các đai lượng , ,a b c qua các hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức trên được không? Chọn , , (0; )A B C  sao cho 1 tan , tan , tan 2 2 2 A B C a c b    Theo giả thiết tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    A B C     - Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào? 2 2 2 102 2sin 3 2 2 2 3 A B C cos cos   hay 3 11 cos cos cos 2 6 A B C   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 - Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 23 112sin (1 2sin ) 2 2 2 2 6 C A B C cos     2 21 1sin 0 2 3 2 9 2 C A B A B cos cos           Bất đẳng thức này đúng, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi A B và 1 sin 2 3 C  hay 2 1 , 2, 2 8 a b c   Qua ví dụ này cho thấy: nếu giả thiết của bài toán tương ứng với một hệ thức lượng giác nào đó thì có thể đặt ẩn phụ đưa về các bất đẳng thức tam giác. Ví dụ 43: Cho x, y, z dương thoả mãn x y z xyz   . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 3 21 1 1x y z       Hoạt động khám phá: - Đẳng thức x y z xyz   tương ứng với hệ thức lượng giác nào giữa các góc trong một tam giác? tan tan tan tan tan tanA B C A B C   - Có thể biểu diễn các đại lượng x, y, z qua các hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức trên được không? Chọn , , (0; ) 2 A B C   sao cho tan , tan , tanx A y B z C   Theo giả thiết tan tan tan tan tan tanA B C A B C   A B C    - Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 2 2 2 1 1 1 3 21 tan 1 tan 1 tanA B C       hay 3 cos cos cos 2 A B C   - Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào? Ta có cos cos cos 2cos cos cos 2 2 A B A B A B C C        22sin 1 2sin 2 2 2 C A B C cos     2 21 11 2 in 2 2 2 2 A B A B cos cos           1 3 1 2 2    . - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi 3 A B C     hay 3x y z   Ví dụ 44: Các số dương , ,x y z thoả mãn 2 2 2 4x y z xyz    . Chứng minh rằng 3x y z   Hoạt động khám phá: - Đẳng thức 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z xyz                                       , tương đương với hệ thức lượng giác nào giữa các góc trong một tam giác? 2 2 2 2cos cos cos 1cos A cos B cos C A B C    - Có thể biểu diễn các đại lượng , ,x y z qua các hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức trên được không? Chọn , , (0; ) 2 A B C   sao cho cos , cos , cos 2 2 2 x y z A B C   Theo giả thiết 2 2 2 2cos cos cos 1cos A cos B cos C A B C   A B C     - Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào? 2cos 2cos 2cos 3A B C   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 Mặt khác 3 cos cos cos 2 A B C    2cos 2cos 2cos 3A B C   - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi 3 A B C     hay 1x y z   Ví dụ 45: Cho 2x y  . Chứng minh rằng 5 5 2x y  Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng ,x y được xác định như thế nào? 2x y  - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua một biến số trung gian như thế nào? Đặt 1 , 1 ,x a y a a R     - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo ẩn mới 5 5(1 ) (1 ) 2a a    - Chứng minh bất đẳng thức này như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 42 20 10 2a a   (BĐT này đúng với mọi a) - Đẳng thức xảy ra khi nào? (Đẳng thức xảy ra khi 0a  hay 1x y  ) Ví dụ 46: Chứng minh rằng nếu 4; 5; 6a b c   và 2 2 2 90a b c   thì 16a b c   . Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng , ,a b c được xác định như thế nào? 4; 5; 6a b c   và 2 2 2 90a b c   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến số trung gian như thế nào? Đặt 4 , 5 , 6a x b y c z      , ta có , , 0x y z  - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo ẩn mới 1x y z   - Chứng minh bất đẳng thức này như thế nào? + Nếu trong ba số , ,x y z có ít nhất một số lớn hơn 1 thì 1 x y z   (vì , , 0x y x  ). + Nếu ; ; 1x y z  thì 2 2 213 8 10 12 12 12 12 13( ) 1x y z x y z x y z x y z x y z x y z                   Như vậy trong mọi trường hợp ta có 1x y z   . - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi 0x y  và 1z  , tức là 4, 5a b  và 7c  . b) Những tri thức phƣơng pháp rút ra từ các ví dụ Giả thiết Chuyển theo ẩn phụ mới Cho ba số dương a, b, c có tích bằng 1 - Tồn tại các số dương x, y, z có tích bằng 1 thoả mãn 1 1 1 ; ;a b c x y z    . - Tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn ; ; x y z a b c y z x    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 Cho n số dương 1 2, , , na a a có tích bằng 1 - Tồn tại các số dương 1 2, , , nx x x có tích bằng 1 thoả mãn 1 2 1 2 1 1 1 ; ; ; n n a a a x x x    . - Tồn tại các số dương 1 2, , , nx x x thoả mãn 1 2 1 2 2 3 1 ; ; ; nn xx x a a a x x x    . Cho ba số dương , ,a b c có tổng bằng 1 Tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn ; ; x y z a b c x y z x y z x y z          Cho n số dương 1 2, , , na a a có tổng bằng 1 Tồn tại các số dương 1 2, , , nx x x thoả mãn 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ; ; ; n n n n n x x a a x x x x x x x a x x x             . Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Tồn tại ba số dương x, y, z thoả mãn , ,a y z b z x c x y      . Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 1xy yz zx   - Tồn tại tam giác ABC thoả mãn. tan ; tan ; tan 2 2 2 A B C x y z   - Tồn tại tam giác nhọn ABC thoả mãn cot ; cot ; cotx A y B z C   . Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn x y z xyz   - Tồn tại tam giác nhọn ABC thoả mãn tan ; tan ; tanx A y B z C   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 - Tồn tại tam giác ABC thoả mãn cot ; cot ; cot 2 2 2 A B C x y z   . Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 2 2 2 2 1x y z xyz    Tồn tại tam giác nhọn ABC thoả mãn cos ; cos ; cosx A y B z C   . 2.4. Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phƣơng diện Phân tích qua một số ví dụ Ví dụ 47: Cho 2 24 9 36x y  . Chứng minh rằng 5 2 5x y    Các hoạt động khám phá lời giải bài toán: HĐ1: Nhìn bài toán ở dạng lƣợng giác - Hệ thức 2 24 9 36x y  hay 2 2 1 3 2 x y             tương ứng với hệ thức lượng giác nào của một góc? 2 2sin 1t cos t  - Có thể biểu diễn các đại lượng ,x y ,...? 3sin ; 2cosx t y t  - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo ẩn mới 5 3sin 4cos 5t t    - Chứng minh bất đẳng thức này theo ẩn mới này như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 3 4 1 sin cos 1 5 5 t t    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71 Vì 2 23 4 1 5 5              nên chọn 3 4 ; sin 5 5 cos   . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 1 sin( ) 1t     , bất đẳng thức này đúng với t nên bất đẳng thức ban đầu đúng ,x y . HĐ2: Nhìn bài toán theo phƣơng diện đại số (đặt 2m x y  ) - Hãy tìm tập giá trị của m để hệ phương trình 2 2 2 (1) 4 9 36 (2) m x y x y      có nghiệm . - Khử ẩn x hoặc (ẩn y) từ hệ như thế nào? Rút x từ (1) thế vào (2) ta được 2 2 2 24( 2 ) 9 36 25 16 4 36 0m y y y my m        - Tìm điều kiện của m để phương trình (ẩn y) có nghiệm Phương trình có nghiệm  2 2 20 64 25(4 36) 0 25 5 5m m m m             suy ra 5 2 5x y    . HĐ3: Nhìn bài toán theo phƣơng diện hình học (đặt 2m x y  ). - Tìm tập giá trị của m để hệ phương trình 2 2 2 0 (1) 4 9 36 (2) x y m x y       có nghiệm. - Hệ thức (1) và (2) là phương trình các đường nào trong mặt phẳng Hệ thức (1) là phương trình đường thẳng. Hệ thức (2) : 2 2 1 9 4 x y   là phương trình đường Elíp. - Chuyển yêu cầu từ đại số sang yêu cầu hình học tương ứng như thế nào? Tìm điều kiện để hệ có nghiệm. Tìm điều kiện để đường thẳng d: 2 0x y m   cắt (E), hay tìm điều kiện để đường thẳng d nằm kẹp giữa hai tiếp tuyến 1 2,d d của (E) song song với d. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 72 - Nhắc lại điều kiện để đường thẳng 0Ax By c   là tiếp tuyến của (E): 2 2 2 2 1 x y a b   2 2 2 2 2a A b B C  . - Áp dụng vào bài này như thế nào? 2 2 29.1 4( 2) 25 5m m m        hoặc 5m  Từ đó suy ra điều kiện để đường thẳng d cắt (E) là 5 5 5 2 5m x y       . HĐ4: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc - Hãy viết lại bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số ( ; )( ; )a b c d 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd    - Giả thiết của bài toán là 2 24 9 36x y  hay 2 2(2 ) (3 ) 36x y  , gợi cho ta áp dụng cho 2 cặp số nào? (2 ;3 )x y hay 1 2 ( ; ) 2 3  . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 2 2 21 2(2 ) (3 ) ( 2 ) 2 3 x y x y                       2( 2 ) 25 5 2 5x y y       Ví dụ 48: (bài thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002). Cho , ,x y z là 3 số dương và 1x y z   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z       . Các hoạt động khám phá lời giải bài toán: HĐ1: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 73 - Hãy để ý vào vế trái của bất đẳng thức, tổng bình phương đại lượng 2 2 1 x x  gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bunhiacopxki cho 2 bộ số ( ; )a b và ( ; )c d . 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd    Đẳng thức xảy ra khi a b c d  hay 2 bộ ( ; )a b và ( ; )c d tỉ lệ. - Vai trò , ,x y z bình đẳng nên cần áp dụng đều cho , ,x y z - Đẳng thức xảy ra khi nào? ( khi 1 3 x y z   ), hãy tìm bộ số tỉ lệ với bộ 1 ( ; )x x ? 1 ( ;3) 3 hoặc (1;9) ,... - Cần áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1 ( ; )x x và bộ số nào? Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số 1 ( ; )x x và (1;9) ta có 2 2 2 2 2 1 9 (1 9 )( ) ( )x x x x     hay 2 2 1 9 82 ( )x x x x    Vận dụng tương tự với 2 2 1 y y  và 2 2 1 z z  và suy ra bất đẳng thức nào? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 82 9x y z x y z x y z x y z                      - Khi đó cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 1 1 1 9 82x y z x y z            Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 - Các biểu thức 1 1 1 x y z   và x y z  gợi cho ta nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc nào? 1 1 1 9 9x y z x y z            hay 1 1 1 9 x y z x y z     . - Vận dụng vào bài toán ta cần chứng minh bất đẳng thức nào? 81 82x y z x y z       . - Tích 81 ( )x y z x y z     là hằng số gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? Côsi cho 2 số dương 81 2 81x y z x y z       , nhưng chưa suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. - Hãy xem lại dấu đẳng thức xảy ra ? ( khi 1 3 x y z   hay 1x y z   ) khi đó cần áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số nào? 1 ( ) 2x y z x y z       . Ta cần chứng minh 80 80 x y z    hay 1x y z   (theo giả thiết ), từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. - Đề xuất bài toán tương tự hoặc tổng quát hoá được không? - Bài toán đã cho áp dụng cho ba số dương có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 1, có thể mở rộng cho n số dương được không? (lưu ý dấu đẳng thức xảy ra) Tổng quát: cho 1 2, , , nx x x là n số dương và 1 2 1nx x x    . Chứng minh rằng 2 2 2 4 1 22 2 2 1 2 1 1 1 1n n x x x n x x x         Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 75 HĐ2: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Côsi) - Khai thác từ giả thiết: tổng và tích ba số dương gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc nào? BĐT Côsi cho ba số dương 3 3 1 3 3 x y z xyz         - Vế trái của bất đẳng thức là tổng các số hạng thì chưa có mối quan hệ với giả thiết, nhưng tích của chúng có mối quan hệ với giả thiết. Tổng và tích các số dương gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc nào? (bất đẳng thức Côsi ) - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1 3 x y z   ) - Để ý vào từng số hạng 2 2 1 x x  , nếu số thứ nhất là 2x thì các số còn lại là số nào? - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1 3 x y z   . Vậy các số còn lại là 2 1 81x ) Từ đó ta có lời giải sau: sử dụng bất đẳng thức Côsi cho nhiều số, ta có 2 2 2 82 2 2 2 2 81 81 8041 1 1 1 2 82 81 81 (81 ) 9 x x x x x x x x        Tương tự với y, z. Sử dụng BĐT Côsi cho ba số và giả thiết có: 3 41 4181 40 40 40 81 40 40 4041 41 41 4141 41 82 1 1 1 82 1 1 1 3. 82 3 3 S x y z x y z           - Với cách làm trên thì căn bậc hai và bậc của x không ảnh hưởng trực tiếp vào lời giải bài toán, đề xuất bài toán tổng quát hoá được không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 76 Tổng quát: cho , ,x y z là 3 số dương và 1x y z   . Chứng minh rằng với số tự nhiên 1n  bất kì ta có: a) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82.3n nnn nx y z x y z       b) 21 1 1 (9 1).3n n n n n n n n x y z x y z        Từ đó đề xuất được bài toán: cho 1 2, , , nx x x là n số dương và 1 2 1nx x x    . Chứng minh rằng với số tự nhiên 1n  bất kì ta có: a) 2 2 2 4 2 1 22 2 2 1 2 1 1 1 ( 1). nnn n n n n x x x n n x x x         b) 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ( 1).n n n n nnn n n n x x x n n x x x         HĐ3: Nhìn bài toán theo phƣơng diện hình học - Có thể tìm kết quả một cách khác không? - Hãy nhìn vào vế trái của bất đẳng thức, các đại lượng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , ,x y z x y z    có gợi cho các em một ý nghĩa nào trong hình học không? Độ dài các véc tơ 2 2( ; ),u a b u a b   - Hãy đưa vào bài toán các đại lượng véc tơ thích hợp. 1 2 3 1 1 1 ( ; ); ( ; ); ( ; )u x u y u z x y z    Ta có 2 2 2 1 2 32 2 2 1 1 1 ; ;u x u y u z x y z       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 77 Vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là 1 2 3u u u  - Bất đẳng thức nào thể hiện mối liên hệ giữa độ dài các véc tơ? 1 2 3 1 2 3u u u u u u     . - Hãy vận dụng vào bài này? ta có 1 2 3 1 1 1 ( ; )u u u x y z x y z        . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )x y z x y z x y z x y z                 . - Khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 2 2 1 1 1( ) 82x y z x y z            Làm tương tự như trên ta cũng có bất đẳng thức cần chứng minh. HĐ4: Nhìn bài toán ở dạng khái quát của một bất đẳng thức phụ - Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Có thể sử dụng kết quả của nó được không? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )a b a b a b a a a b b b           - Chứng minh bài toán phụ này như thế nào? - Tạm thời chứng minh bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, với hai dấu căn, xem có phát hiện ra cách chứng minh cho bài toán phụ hay không? 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d       - Chứng minh bất đẳng thức này như thế nào? Bất đẳng thức tương đương 2 2 2 2( )( )a b c d ac bd    . Đây chính là BĐT Bunhiacopxki Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 78 - Từ đó ta có cách chứng minh sau  2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 3 3 1 2 1 2 3 3( ) ( )a b a b a b a a b b a b           2 2 1 2 3 1 2 3( ) ( )a a a b b b      . - Vận dụng vào bài này như thế nào? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )x y z x y z x y z x y z                 Làm tương tự như trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 49: Cho a, b, c, là ba số dương thoả mãn 3a b c   . Chứng minh rằng 4 4 4 3 3 3a b c a b c     Các hoạt động khám phá lời giải bài toán: HĐ