Luận văn Ứng dụng quá trình bán markov vào mô hình rủi ro trong bảo hiểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ngô Ngọc Minh ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TÔ ANH DŨNG TP. Hồ Chí Minh - 2009 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, Bộ môn Xác suất - Thống kê cùng tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình: TS. Tô Anh Dũng, Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tôi cảm ơn thầy về những lời khuyên, gợi ý và sự hỗ trợ tận tình, chu đáo của thầy trong quá trình học tập và giúp tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến PGS. TS Nguyễn Bác Văn, TS. Dương Tôn Đảm. Các thầy đã trang bị cho tôi kiến thức, giúp tôi hiểu rõ hơn về xác suất, thống kê và ảnh hưởng sâu sắc đến con đường học tập, nghiên cứu khoa học của mình. TP. HCM - Ngày 20 tháng 06 năm 2009 Tác giả Ngô Ngọc Minh Lời mở đầu Hầu hết ở các nước phát triển, vốn dự phòng ban đầu là một lượng nhỏ cố định được quy định bởi chính phủ và phụ thuộc vào sự luân chuyển vốn của công ty bảo hiểm. Thật vậy, điều đó giúp bảo vệ khách hàng tránh tình trạng không may là công ty phải trả một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn làm công ty mất khả năng chi trả (rủi ro). Vấn đề quản lý rủi ro trong bảo hiểm là một trong các vấn đề quan trọng nhất. Việc có một mô hình toán học giúp quản lí rủi ro là rất cần thiết cho các công ty bảo hiểm. Jarrow Land và Turnbull chỉ ra rằng có thể giải quyết được vấn đề rủi ro trong tài chính và bảo hiểm bằng công cụ xích Markov. Sau đó nhiều bài báo đã chỉ ra rằng xích Markov có thể nảy sinh nhiều vấn đề. Cũng từ thời điểm này người ta nghĩ đến việc ứng dụng bán Markov vào rủi ro trong tài chính và bảo hiểm. Nguyên nhân là đối với xích Markov thời gian chuyển đổi giữa các trạng thái là rời rạc. Đây là lý do tại sao bán Markov được dùng tốt hơn xích Markov. Trong luận văn này tôi sẽ trình bày ứng dụng của quá trình bán Markov vào quản lý rủi ro trong bảo hiểm. Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời mở đầu 3 Mục lục 4 1 Thuyết tái tạo 1 1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Định nghĩa chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Phương trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1 Đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Các thời điểm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.3 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng . . . . . . . . . . . . . 30 1.10 Dạng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10.2 Một vài công thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Xích Markov 45 2.1 Tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Định nghĩa tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Định nghĩa xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản . 50 MỤC LỤC 5 2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Số lần chiếm giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Tính xác suất hấp thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) . . . . . . . . . . . 63 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận . . . . . . . . . . 65 2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe . . . . . . . . . . . 68 2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính tắc. 72 3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov 82 3.1 Quá trình (J-X) dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Các tính chất chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm . . . . . . . . . . . 86 3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết 87 3.6 Các hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7 Phương trình tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8.1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . 92 3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.9.1 Trường hợp tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.9.2 Trường hợp không tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11.1 Mô hình bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.12 Quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.13 Các hàm của quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 103 3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . 107 4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 109 4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . 109 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.2 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Ba quá trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.4 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.2 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.4 Ước lượng Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 MỤC LỤC 6 4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . . 123 4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.2 Mô hình rủi ro ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) . . . . . . . . 125 4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát . . . . . . . . 132 4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro . . . . . . 134 Kết luận 137 Tài liệu tham khảo 138 Chương 1 Thuyết tái tạo 1.1 Mục đích Đặt (Xn, n ≥ 1) là một dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và có cùng phân phối được xác định trên không gian xác suất (Ω,=, P ). Ta xét vấn đề về độ tin cậy như sau: tại thời điểm 0, hệ được xét bắt đầu với một thành phần mới và sau đó nó bị hỏng tại thời điểm ngẫu nhiên T1. Tại thời điểm này, một thành phần mới khác lập tức được thay thế cho thành phần đầu tiên trong hệ, sau đó nó cũng bị hỏng tại thời điểm c và cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tất cả các thành phần này đều cùng loại. Ta gọi (Tn, n ≥ 0) là các thời điểm thay thế liên tiếp, ta có T0 = 0. (1.1) Tuổi thọ của các thành phần liên tiếp được đưa vào hệ cho bởi Xn = Tn − Tn−1, n ≥ 1. (1.2) Hình 1.1: Đồ thị của N(t) 1.2 Định nghĩa chính 2 Từ quan điểm toán tử, một đặc trưng quan trọng của hệ được xét tại thời điểm t là tổng số các thay thế xảy ra trong khoảng [0, t]. Lưu ý rằng ta không xét thành phần đầu tiên. Nếu N(t) là biến ngẫu nhiên ta vừa định nghĩa, với n ≥ 1 ta có: N(t) > n− 1 ⇔ Tn ≤ t. (1.3) Quá trình ngẫu nhiên (N(t), t ≥ 0), được thể hiện ở hình 1.1. Mômen cấp một của N(t) sẽ cho số lượng trung bình của sự thay thế trong (0, t]. Đặc biệt nếu tại thời điểm 0, người quản lý có đủ khả năng để thực hiện toàn bộ sự thay thế, số lượng thay thế trung bình sẽ là kì vọng E(N(t)). Dĩ nhiên, nhà quản lý phải dự trữ thêm để ngăn chặn sự gia tăng ngẫu nhiên. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong mục 1.7. Lĩnh vực nghiên cứu xác suất của các quá trình này được gọi là thuyết tái tạo. Nó được sử dụng cho xác suất ứng dụng, một trong những chủ đề quan trọng để giải quyết một số vấn đề trong cuộc sống. 1.2 Định nghĩa chính Định nghĩa 1.1. Dãy ngẫu nhiên (Tn, n ≥ 0), trong đó T0 = 0, (1.4) Tn = X1 + . . .+Xn, n ≥ 1 (1.5) được gọi là dãy tái tạo hoặc quá trình tái tạo. Các biến ngẫu nhiên Tn, n ≥ 0 được gọi là thời điểm tái tạo và biến ngẫu nhiênXn, n ≥ 1 được gọi là khoảng thời gian giữa hai lần chuyển đổi. Ví dụ 1.1. 1. Ta xét hệ thống hàng đợi của một dịch vụ, quá trình khách hàng đến và quá trình số lần phục vụ được áp dụng bởi luật FIFO, nghĩa là khách hàng nào tới trước sẽ được phục vụ trước. Trong nhiều mô hình của lý thuyết hàng đợi, quá trình đến được thừa nhận là một quá trình tái tạo. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn là thời gian đến của khách hàng thứ n, khi đó khách hàng số 0 thì sẽ được phục vụ tại thời điểm 0 và biến ngẫu nhiên Xn mô tả khoảng thời gian đến giữa khách hàng thứ (n− 1) và thứ n. 2. Quá trình đến cũng được xét trong lý thuyết rủi ro. Ta xét một công ty bảo hiểm bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu u(u ≥ 0). Khách hàng đóng phí bảo hiểm và công ty bảo hiểm phải trả tiền bồi thường khi khách hàng xảy ra tai nạn. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn mô tả yêu cầu bồi thường bảo hiểm thứ n và công ty sẽ bắt đầu xem xét chi trả tiền bồi thường với yêu cầu đầu tiên được gọi là yêu cầu bồi thường 0, biến ngẫu nhiên Xn là “khoảng thời gian đến” giữa sự bồi thường thứ (n− 1) và thứ n. 3. Trong lý thuyết đếm, ta xét các mẫu đến tại thời điểm Tn, n ≥ 0 với T0 = 0, biến ngẫu nhiên Xn thỏa các điều kiện của thời điểm đến giữa 2 lần chuyển đổi liên tục. Định nghĩa 1.2. Với mỗi dãy tái tạo, ta có thể kết hợp các quá trình ngẫu nhiên sau có thời gian liên tục với các giá trị trong N : (N(t), t ≥ 0) (1.6) khi đó N(t) > n− 1 ⇔ Tn ≤ t, n ∈ N0. Quá trình này được gọi là quá trình đếm kết hợp hoặc quá trình đếm tái tạo. N(t) mô tả tổng số tái tạo trong (0, t]. 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 3 Định nghĩa 1.3. Hàm tái tạo được định nghĩa H(t) = E(N(t)) (1.7) trong đó kì vọng được quy định là hữu hạn. 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo Ta giả sử rằng các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên R có hàm phân phối F như vậy: F (0) < 1. (1.8) Nếu F (+∞) = 1 (1.9) ta sẽ có trường hợp thông thường của các biến ngẫu nhiên thực. Từ hệ thức 1.5, ta có: P (N(t) > n− 1) = F (n)(t), n ≥ 1 (1.10) F (n) là tích chập n lần của hàm F với chính nó. Từ đó với n ≥ 1 P (N(t) = n) = P (N(t) > n− 1)− P (N(t) > n). (1.11) Áp dụng hệ thức 1.10 ta có: P (N(t) = n) = F (n)(t)− F (n+1)(t), n ≥ 1. (1.12) F (0) đựơc định nghĩa là phân phối Heaviside với giá trị tại thời điểm ban đầu F (0) = U0, (1.13) hệ thức 1.12 vẫn đúng cho n = 0, do đó P (N(t) = 0) = 1− F (t). (1.14) Áp dụng bổ đề Stein, kết quả quan trọng sau được chứng minh. Mệnh đề 1.4. Nếu F (0) < 1, với mọi t thì N(t) có mô men bậc bất kì. Đặc biệt, mệnh đề này có nghĩa là hàm tái tạo hữu hạn với mọi t hữu hạn. Do đó, ta có thể viết : E(N(t)) = ∞∑ n=1 n [ F (n)(t)− F (n+1)] = F (t)− F (2)(t) + 2F (2)(t)− 2F (3)(t) + · · · (1.15) = F (t) + F (2)(t) + F (3)(t) + · · · vì thế sử dụng hệ thức 1.7: H(t) = ∞∑ n=1 F (n)(t). (1.16) 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 4 Trong một vài trường hợp, nó hữu ích để xét tái tạo ban đầu và để định nghĩa biến ngẫu nhiên N ′(t) vào thời điểm t là tổng số tái tạo trong [0, t]. Rõ ràng, với mọi t ≥ 0: N ′(t) = N(t) + 1 (1.17) do đó: E(N ′(t)) = H(t) + 1. (1.18) Đặt R(t) = E(N ′(t)) (1.19) Theo hệ thức 1.18, 1.16 và 1.13 ta có: R(t) = ∞∑ n=0 F (n)(t). (1.20) Hiển nhiên ta có: R(t) = U0(t) +H(t). (1.21) Sự phân loại của quá trình tái tạo dựa trên ba khái niệm: hồi quy, nhất thời và tuần hoàn. Định nghĩa 1.5. i) Một quá trình tái tạo (Tn,n ≥ 1) là hồi quy nếu Xn < ∞ với mọi n, ngược lại nó được gọi là nhất thời. ii) Một quá trình tái tạo (Tn,n ≥ 1) là tuần hoàn với chu kì δ nếu các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1 có dạng tập hợp đếm được {0, δ, 2δ, . . .}, và δ là số lớn nhất. Ngược lại, nếu không có δ nào dương thì quá trình tái tạo là không tuần hoàn. Kết quả trực tiếp của định nghĩa này là đặc trưng của một kiểu quá trình tái tạo với sự trợ giúp của hàm phân phối F. Mệnh đề 1.6. Một quá trình tái tạo của hàm phân phối F là i) Hồi quy khi và chỉ khi F (∞) = 1. ii) Nhất thời khi và chỉ khi F (∞) < 1. iii) Tuần hoàn với chu kì δ (δ > 0) khi và chỉ khi nếu F là hằng số nằm ngoài khoảng [nδ,(n + 1)δ), n ∈ N và tất cả các bước nhảy của nó xảy ra tại các điểm nδ, n ∈ N. Nếu t tiến đến +∞ hệ thức 1.16 cho: H(+∞) =  +∞ nếu F (+∞) = 1F (+∞) 1− F (+∞) nếu F (+∞) < 1. (1.22) Hoặc tương đương với với hệ thức 1.20: R(+∞) =  +∞ nếu F (+∞) = 11 1− F (+∞) nếu F (+∞) < 1. (1.23) Điều này sẽ được chứng minh ở định lí tiếp theo. Mệnh đề 1.7. Quá trình tái tạo của hàm phân phối F là hồi quy hay nhất thời phụ thuộc vào H(+∞) = +∞ hoặc H(+∞) < +∞. Trong trường hợp cuối, ta có R(+∞) = 1 1− F (+∞) hoặc H(+∞) = F (+∞) 1− F (+∞) . (1.24) 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 5 Sự phân loại được trình bày ở trên sẽ rõ ràng hơn với khái niệm tuổi thọ của quá trình tái tạo. Định nghĩa 1.8. Tuổi thọ của quá trình tái tạo (Tn, n ≥ 1) là biến ngẫu nhiên L được định nghĩa: L = sup{Tn : Tn <∞}. (1.25) Vì thế, nếu L = `, có nghĩa là chỉ có một số lượng hữu hạn sự tái tạo trên [0,∞). Ta cũng định nghĩa một biến ngẫu nhiên N mới, nó là tổng số lượng tái tạo trên [0, L). Định nghĩa 1.9. Tổng số lượng các tái tạo trong (0,∞), có thể là vô hạn, được cho bởi N = sup{N(t), t ≥ 0}. (1.26) Trong lý thuyết độ tin cậy, biến cố {N = k} có nghĩa là thành phần thứ (k + 1) được đưa vào hệ thống và sẽ có tuổi thọ là vô hạn. Phân phối xác suất của N được cho bởi công thức P (N = 0) = 1− F (+∞), (1.27) P (N = 1) = F (+∞)(1− F (+∞)) (1.28) và tổng quát với k ∈ N : P (N = k) = (F (+∞))k(1− F (+∞)). (1.29) Hiển nhiên nếu F (+∞) = 1, ta có N = +∞. (1.30) Trong trường hợp quá trình tái tạo nhất thời, theo hệ thức 1.29 ta có: E(N) = ∞∑ k=1 k[F (+∞)]k(1− F (+∞)). (1.31) Như hàm số 1 1− x với |x| < 1 (hay −1 < x < 1) có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa: 1 1− x = ∞∑ n=0 xn. (1.32) Với x ∈ (−1,+1) và như vậy, lấy đạo hàm ta được 1 (1− x)2 = ∞∑ n=1 nxn−1. (1.33) Viết hệ thức 1.31 dưới dạng E(N) = F (+∞)(1− F (+∞)). ∞∑ k=1 k[F (+∞)]k−1 (1.34) theo 1.33 ta có: E(N) = F (+∞) 1− F (+∞) . (1.35) 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 6 Vì vậy, có thể tính được trung bình của tổng số các tái tạo một cách dễ dàng trong trường hợp nhất thời. Ta cũng có thể đưa ra hàm phân phối của L. Thực vậy, ta có: P (L ≤ t) = ∞∑ n=0 P (Tn ≤ t, Xn+1 = +∞). (1.36) Với Tn và Xn+1 độc lập nhau ta suy ra : P (L ≤ t) = 1− F (+∞) + ∞∑ n=1 F (n)(t)(1− F (+∞)). (1.37) Cuối cùng, theo đẳng thức 1.20: P (L ≤ t) = (1− F (+∞))R(t). (1.38) Để tính tuổi thọ trung bình của quá trình, ta sử dụng thủ thuật sau dựa trên tính độc lập của các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1, ta có thể viết: E(L) = E(T1 .I{T1<∞}) + E(L).E(I{T1<∞}) (1.39) = F (+∞) +∞∫ 0 ( 1− F (t) F (+∞) ) dt+ E(L).F (+∞) (1.40) vì thế E(L) = +∞∫ 0 (F (+∞)− F (t))dt+ E(L).F (+∞). (1.41) Và cuối cùng E(L) = 1 1− F (+∞) +∞∫ 0 (F (+∞)− F (t)) dt. (1.42) Vì vậy, với quá trình tái tạo nhất thời, tuổi thọ luôn hữu hạn và có một giá trị trung bình hữu hạn được cho bởi hệ thức 1.42. Ví dụ 1.2 (Quá trình Poisson). Trong lý thuyết hàng đợi và lý thuyết rủi ro đã được trình bày trong ví dụ 1.1, giả thiết cổ điển của quá trình đến là nó hình thành quá trình tái tạo mà ở đó biến ngẫu nhiên Xn thường có hàm phân phối được cho bởi F (x) = { 0 nếu x < 0 1− e−λx nếu x ≥ 0 (1.43) với λ là một hằng số xác định dương. Với F (+∞) = 1 thì quá trình đến là một quá trình hồi quy. Theo 1.10, có thể có biểu thức giải tích của tích chập liên tục n lần. Thực vậy, ta có thể viết tiếp: 1.4 Phương trình tái tạo 7 F (2)(t) = λ ∫ t 0 (1− e−λ(t−x))e−λxdx (1.44) = λ t∫ 0 (e−λx − e−λt)dx (1.45) = 1− e−λt − λte−λt (1.46) = 1− e−λt(1 + λt) (1.47) và tổng quát: F (n)(t) = 1− e−λt n−1∑ k=0 (λt)k k! . (1.48) Áp dụng kết quả 1.12 ta có: P (N(t) = n) = 1− e−λt n−1∑ k=0 (λt)k k! − 1 + e−λt n∑ k=0 (λt)k k! = e−λt (λt)n n! . (1.49) Với mọi t cố định, quá trình (N(t)) là quá trình Poisson của tham số λt. Giá trị của hàm tái tạo H theo hệ thức 1.16 và 1.15 H(t) = ∞∑ n=1 ne−λt (λt)n n! (1.50) = e−λt ∞∑ n=1 (λt)n (n− 1)! (1.51) = e−λtλt ∞∑ n=1 (λt)n−1 (n− 1)! . (1.52) hoặc H(t) = λt. (1.53) Theo đó, trong quá trình tái tạo Poisson thì hàm tái tạo là tuyến tính. Ta sẽ thấy trong phần 1.5, một quá trình tái tạo có thể cũng được mô tả bởi hàm tái tạo của nó. Quá trình tái tạo Poisson là một quá trình có hàm tái tạo tuyến tính. 1.4 Phương trình tái tạo Trở lại hệ thức 1.16 ta sử dụng tính liên đới của tích chập ta có: H(t) = F (t) + F (2)(t) + F (3)(t) + · · · = F + F • [F + F (2) + · · · ](t) (1.54) = F (t) + F •H(t). 1.4 Phương trình tái tạo 8 Hệ thức này được gọi là phương trình tích phân của thuyết tái tạo, hoặc đơn giản là phương trình tái tạo. Nó được viết như sau: H(t) = F (t) + t∫ 0 F (t− x)dH(x). (1.55) Hoặc F •H(t) = H • F (t) (1.56) suy ra H(t) = F (t) +H • F (t) hay H(t) = F (t) + t∫ 0 H(t− x)dF (x). (1.57) Trong trường hợp riêng trong đó hàm mật độ f của F tồn tại thì phương trình tích phân cuối cùng trở thành: H(t) = F (t) + t∫ 0 H(t− x)f(x)dx. (1.58) Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng tính hội tụ trội cho 1.16 chỉ ra sự tồn tại của hàm mật độ h của H là: h(t) = ∞∑ n=1 f [n](t) (1.59) với f [1](t) = f(t) (1.60) f [2](t) = t∫ 0 f(t− x)f(x)dx (1.61) ... f [n](t) = t∫ 0 f [n−1](t− x)f(x)dx. (1.62) Từ hệ thức 1.58 hoặc 1.59 ta được phương trình tích phân cho h : h(t) = f(t) + f ⊗ h(t) (1.63) với f ⊗ h(t) = t∫ 0 f(t− x)h(x)dx. (1.64) Hoặc f ⊗ h(t) = h⊗ f(t), (1.65) 1.4 Phương trình tái tạo 9 h(t) = f(t) + h⊗ f(t). (1.66) Thực tế, phương trình tái tạo 1.55 là trường hợp riêng của một dạng phương trình tích phân: X(t) = G(t) +X • F (t) (1.67) ở đó X là một hàm chưa biết, F và G là các hàm đo được bị chặn trên một khoảng hữu hạn và • là tích chập. Phương trình tích phân đó được gọi là thuộc kiểu tái tạo. Khi G = F, ta được phương trình tái tạo. Các phương trình tích phân này đã được nghiên cứu từ lâu gồm các đóng góp của Lotka (1940), Feller (1941), Smith (1954), Cinlar (1969). Cinlar đưa ra hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1.10 (Sự tồn tại và tính duy nhất). Phương trình tích phân của kiểu tái tạo 1.67 có duy nhất một nghiệm được cho bởi X(t) = R •G(t) (1.68) R được định nghĩa bởi hệ thức 1.20. Chứng minh. 1. Sự tồn tại: Trong thành phần thứ hai của phương trình 1.67, ta thay X bởi biểu thức 1.68: G(t) +R •G • F (t). (1.69) Sử dụng tính chất giao hoán của tích chập ta có: G(t) +R •G • F (t) = (U0(t) +R • F (t)) •G(t). (1.70) Và bởi 1.21 G(t) +R •G • F (t) = R •G(t). (1.71) Vì vậy, hàm R •G(t) là một kết quả của phương trình kiểu tái tạo 1.67. 2. Tính duy nhất: Đặt X1 và X2 là hai nghiệm của phương trình 1.67, và Y được định nghĩa bởi: Y = X1 −X2 (1.72) Khi đó ta có Y = Y • F (t) (1.73) Áp dụng phép quy nạp ta được: Y = Y • F (n) với mọi n > 0. (1.74) Hàm tái tạo R có thể được định nghĩa bởi chuỗi 1.20 hội tụ với mọi t dương, ta biết rằng: lim n F (n)(t) = 0 với mọi t ≥ 0. (1.75) Do đó lim n Y • F (n)(t) = 0 với mọi t ≥ 0 (1.76) Và với 1.74: Y (t) = 0 với mọi t ≥ 0. (1.77) 1.4 Phương trình tái tạo 10 Nó cũng có thể dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho phép giải các kiểu phương trình tái tạo. Kết quả cơ bản là “định lí khóa tái tạo” đã được chứng minh bởi W.L Smith (1954), trên thực tế về mặt toán học nó tương đương với định lí Blackwell (1948), được trình bày ở đây bởi hệ quả 1.13. Kết quả của định lí khóa tái tạo áp dụng định lí Blackwell được tìm thấy ở Cinlar (1975b). Mệnh đề 1.11 (Dáng điệu tiệm cận và định lí khóa tái tạo). i) Trong trường hợp nhất thời, ta có: lim t→∞ X(t) = R(∞)G(∞) (1.78) cho ta giới hạn G(∞) = lim t G(t) (1.79) tồn tại. ii) Trường hợp hồi quy, ta có: lim t→∞ X(t) = 1 m ∞∫ 0 G(x)dx, (1.80) với G Reiman khả tích trên [0,∞) và giả sử: m = E(Xn) = ∞∫ 0 (1− F (x))dx. (1.81) Hệ quả 1.12. Trong trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với phương sai hữu hạn σ2,ta có: lim t→∞ ( R(t)− t m ) = m2 + σ2 2m2 . (1.82) Chứng minh. Trong phương trình tích phân của kiểu tái tạo 1.67, ta chọn X(t) = R(t)− t m . (1.83) Ta sẽ tính hàm G, như vậy phương trình tích phân này có giá trị. Ta lấy: G(t) = X(t)−X • F (t) (1.84) = R(t)− t m − R • F (t) + 1 m t∫ 0 F (t− x)dx. (1.85) Từ 1.21, với mọi t ≥ 0 ta có: R(t) = U0 +H(t) (1.86) 1.4 Phương trình tái tạo 11 vì thế: G(t) = 1 +H(t)− t m − F (t)− F •H(t) + 1 m t∫ 0 F (t− x)dx. (1.87) Áp dụng phương trình tái tạo 1.55 và trong thành phần thứ hai của tích phân đặt x′ = t− x ta được: G(t) = 1− t m + 1 m t∫ 0 F (x′)dx′. (1.88) Và như vậy: G(t) = 1− 1 m t∫ 0 (1− F (x))dx. (1.89) Từ m = ∞∫ 0 (1− F (x))dx, (1.90) ta suy ra: G(t) = 1 m ∞∫ t (1− F (x))dx. (1.91) Kết luận: Hàm G được đưa ra trong hệ thức cuối là hàm duy nhất cho phương trình tích phân kiểu tái tạo có nghiệm là hệ thức 1.83. Rõ ràng, hàm G là hàm đơn điệu không tăng trên [0,+∞) và: ∞∫ 0 G(t)dt = 1 m ∞∫ 0  ∞∫ t (1− F (x))dx dt. (1.92) Dùng phép hoán đổi thứ tự tích phân (định lí Fubini). Ta được: ∞∫ 0 G(t)dt = 1 m ∞∫ 0 x (1− F (x))dx. (1.93) và ta có: σ2 +m2 = ∞∫ 0 x2dF (x) (1.94) = − ∞∫ 0 x2d(1− F (x)). (1.95) 1.4 Phương trình tái tạo 12 lấy tích phân từng phần ta được: σ2 +m2 = 2 ∞∫ 0 x (1− F (x))dx. (1.96) Trở lại hệ thức 1.93, cuối cùng ta có: ∞∫ 0 G(t)dt = σ2 +m2 2m . (1.97) Như vậy hệ quả 1.12 là hệ quả trực tiếp của kết quả (ii) của mệnh đề 1.11. Chú ý 1.1. 1) Từ kết quả 1.82, ta được một kết quả tương tự cho hàm tái tạo H . Thực vậy, từ hệ thức 1.21 ta biết rằng R(t) = H(t) + U0(t), t ≥ 0. (1.98) Áp dụng kết quả 1.82, ta được: lim t→∞ ( H(t)− t m ) = m2 + σ2 2m2 − 1 (1.99) hoặc lim t→∞ ( H(t)− t m ) = σ2 −m2 2m2 . (1.100) 2) Hai kết quả 1.82 và 1.100 thường được viết theo các dạng sau: R(t) = t m + m2 + σ2 2m2 + O(1) (1.101) H(t) = t m + σ2 −m2 2m2 + O(1) (1.102) trong đó O(1) là hàm của t xấp xỉ 0 khi t tiến đến vô cực. Hệ quả 1.13. Trong trường hợp một quá trình tái tạo hồi quy với giá trị trung bình m hữu hạn ta có: lim t→∞ R(t) t = 1 m . (1.103) Hệ quả 1.14 (Định lí Blackwell). Trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với m trung bình hữu hạn và với mỗi τ dương ta có: lim t→∞ (R(t)−R(t− τ)) = τ m . (1.104) Chứng minh. Ta xét phương trình kiểu tái tạo 1.67 với hàm G được định nghĩa như sau: G(t) = { 1 τ , 0 ≤ t ≤ τ 0, τ < t (1.105) 1.4 Phương trình tái tạo 13 Trong đó τ là một số thực cố định dương. Từ định lí khóa tái tạo (mệnh đề 1.11, phần (ii)), ta biết rằng cách giải duy nhất đó được cho bởi mệnh đề 1.10: X(t) = R •G(t) (1.106) như vậy lim t→∞ X(t) = 1 m ∞∫ 0 G(x)dx. (1.107) Theo định nghĩa 1.105 của hàm G ta có X(t) = 1 τ R(t)− 1 τ R(t− τ) (1.108) và ∞∫ 0 G(x)dx = 1. (1.109) Thay các kết quả của 1.108 và 1.109 vào hệ thức 1.107 ta được 1.104. Chú ý 1.2. 1) Giải thích xác suất của hàm mật độ tái tạo. Đặt k(t)dt là xác suất có sự tái tạo trong khoảng thời gian (t, t+ dt) và phải thỏa mãn hệ thức sau, hệ thức này có được bởi tham số xác suất đơn giản sử dụng tính độc lập của tuổi thọ liên tục: k(t)dt = f(t)dt+ t∫ 0 f(x)k(t− x)dt. (1.110) Từ phần duy nhất nghiệm của mệnh đề 1.10, với mọi t ≥ 0 ta được: k(t) = h(t). (1.111) Vì vậy, xác suất được định nghĩa ở trên được cho bởi h(t)dt và tổng quát hơn là bởi dH(t) với một sai số chính xác của O(dt). 2) Phương sai của N(t): Từ bổ đề Stein, ta biết rằng với mọi t thì N(t) có mô ment bậc bất kì. Đặt α2(t) là mô men có tâm bậc 2 của N(t) : α2(t) = E((N(t)) 2). (1.112) Theo kết quả 1.12, tiếp theo ta có: α2(t) = ∞∑ k=1 k2(U0 − F ) • F (v)(t) (1.113) = ∞∑ k=1 k2F (k)(t)− ∞∑ k=1 k2F (k+1)(t) (1.114) = ∞∑ k=1 k2F (k)(t)− ∞∑ v=1 (v − 1)2F (v)(t) (1.115) 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 14 = ∞∑ v=1 [v2 − (v − 1)2]F (v)(t) (1.116) = ∞∑ v=1 (2v − 1)F (v)(t) (1.117) = 2 ∞∑ v=1 (v − 1)F (v)(t)+ ∞∑ v=1 F (v)(t). (1.118) Bây giờ nếu ta tính H(2)(t) bởi trung bình của hệ thức: H(2)(t) = ( ∞∑ v=1 F (v)(t) ) • ( ∞∑ v′=1 F (v ′)(t) ) (1.119) khi đó ta dễ dàng thấy rằng: H(2)(t) = ∞∑ v=1 (v − 1)F (v)(t). (1.120) Sử dụng 1.16 và thay thế kết quả cuối cùng này vào 1.118, ta được: α2(t) = H(t) + 2H(2)(t). (1.121) Kết quả cuối cùng là: V ar(N(t)) = H(t) + 2H(2)(t)− (H(t))2. (1.122) 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 1.5.1 Phép biến đổi Laplace Để chỉ ra sự hữu ích của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình tái tạo, ta giả sử rằng hàm phân phối F đặc trưng cho quá trình tái tạo hồi quy được xét có hàm mật độ là f . Ta dùng các kí hiệu tổng quát như sau: với bất kì hàm α nào trên [0,∞), α˜ sẽ mô tả biến đổi Laplace của nó, với: α˜(s) = ∞∫ 0 e−sxα(x)dx, (= ˜`(α(x))). (1.123) Với quy ước này và sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace ˜`(α⊗ β)(x)) = α˜(s) · β˜(s) (1.124) từ phương trình tái tạo ta có: h˜(s) = f˜(s) + h˜(s) · f˜(s). (1.125) Theo biến đổi Laplace ta được: h˜(s) = f˜(s) 1− f˜(s) . (1.126) Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta tìm được giá trị của h(t). 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 15 Chú ý 1.3. Từ phương trình đại số 1.125, ta suy ra được biểu thức hàm mật độ f như là hàm mật độ tái tạo h. Trong phép biến đổi Laplace, ta có: f˜(s) = h˜(s) 1− h˜(s) . (1.127) Phép biến đổi Laplace ngược cho ta một hàm của h. Điều này dẫn đến kết quả quan trọng là mỗi quá trình tái tạo (nếu có) được đặc trưng bởi mật độ tái tạo của nó hoặc bởi hàm tái tạo của nó. Như vậy, có sự tương ứng một-một giữa hàm phân phối F của hàm tái tạo và hàm tái tạo H của nó. Ví dụ 1.3 (Quá trình Poisson). Xét lại ví dụ 1.2. Từ hệ thức 1.43, ta được f(x) = λe−λx, x ≥ 0. (1.128) Trường hợp này ta có phép biến đổi Laplace f˜ : f˜(s) = λ ∞∫ 0 e−(s+λ)xdx (1.129) vì thế f˜(s) = λ s+ λ . (1.130) Theo đẳng thức 1.126 ta được: h˜(s) = λ s . (1.131) Với mỗi hằng số K: `(K) = K s (1.132) và sử dụng tính duy nhất của phép biến đổi Laplace ngược ta suy ra: h(t) = λ. (1.133) Từ đó: H(t) = t∫ 0 h(x)dx (1.134) Ta cũng có: H(t) = λt. (1.135) Theo đó quá trình Poisson là duy nhất cho loại mà có hàm tái tạo tuyến tính. Kết quả này đã được trình bày trong ví dụ 1.2. Trong trường hợp này, các kết quả của hệ quả 1.13 và 1.14 là chính xác. 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 16 1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) Phép biến đổi L-S tổng quát hơn phép biến đổi Laplace. Thực vậy, cho hàm α xác định trên [0,∞), α¯ là phép biến đổi L-S của nó và có dạng: α¯(s) = ∞∫ 0 e−sxdα(x) (= ¯`(α(x))). (1.136) Với một hàm α sao cho lim x→∞ e−sxα(x) = 0 (1.137) tích phân từng phần cho ta hệ thức giữa α˜ và α¯ : α¯(s) = −α(0) + sα˜(s). (1.138) Hàm ¯` thỏa mãn tính chất sau: ¯`((α • β)(x)) = ¯`(α(x)) · ¯`(β(x)) (1.139) từ phương trình tái tạo 1.57 ta được: H¯(s) = F¯ (s) + H¯(s) · F¯ (s). (1.140) hoặc: H¯(s) = F¯ (s) 1− F¯ (s) (1.141) hệ thức trên tương đương với hệ thức 1.126 nếu ta không thừa nhận sự tồn tại hàm mật độ của F . Hiển nhiên nếu tồn tại hàm mật độ thì từ 1.136 ta có: F¯ (s) = f˜(s) (1.142) H¯(s) = h˜(s) (1.143) và vì vậy cho nên các hệ thức 1.141 và 1.126 là đồng nhất. Ví dụ 1.4. Xét mô hình tất định với F = U1. Từ F¯ (s) = ∞∫ 0 e−sxdUl(x) (1.144) = e−s (1.145) 1.141 cho ta: H¯(s) = e−s 1− e−s (1.146) = e−s ( 1 + e−s + e−2s + · · · ) (1.147) = ∞∑ k=1 e−ks. (1.148) 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 17 Nhưng ∞∫ 0 e−sxdUk(x) = ¯` {( U (k) 1 (x) )} (1.149) = e−ks (1.150) ta có thể đảo H¯ để được: H(t) = ∞∑ k=1 U (k) 1 (t). (1.151) Hoặc: H(t) = ∞∑ k=1 Uk(t). (1.152) 1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo Từ ví dụ 1.3, ta biết rằng H tuyến tính khi và chỉ khi quá trình tái tạo là Poisson: H(t) = λt⇔ F (x) = 1− e−λx, x ≥ 0. (1.153) Nếu nhân H(t) với hằng số µ thì hàm H1(t) = µλt (1.154) vẫn là một hàm tái tạo. Chính xác hơn, H1 tương ứng với hàm phân phối F1 cho bởi: F1(x) = 1− e−µλx. (1.155) Tổng quát hơn, Daley (1965) xét vấn đề là nhân một hàm tái tạo H với hằng số α nếu có thể, để mô tả đặc điểm cho một quá trình tái tạo mới. Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.15 (Daley (1965)). Nếu H là một hàm tái tạo, thì hàm αH với hằng số α thuộc [0, 1] vẫn là hàm tái tạo tương ứng với hàm phân phối Fα sau: Fα(x) = α ∞∑ n=1 (1− α)n−1F (n)(x), x ≥ 0. (1.156) Chứng minh. Giả sử rằng Fα là hàm phân phối tương ứng với hàm tái tạo αH . Hệ thức 1.140 vẫn đúng cho αH nên ta có: F¯α(s) = αH¯(s) 1 + αH¯(s) . (1.157) Từ đó với 1.141: H¯(s) = F¯ (s) 1− F¯ (s) (1.158) 1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald 18 Ta có thể viết: F¯α(s) = αF¯ (s) 1− F¯ (s) . 1 1 + αF¯ (s) 1− F¯ (s) . (1.159) hoặc: F¯α(s) = αF¯ (s) 1− (1− α) F¯ (s) . (1.160) Giả sử rằng α < 1 ta được: 0 ≤ (1− α) F¯ (s) ≤ (1− α) < 1. (1.161) Như vậy ta có thể sử dụng dạng mở rộng của hàm số (1− x)−1 để mô tả F¯α(s): F¯α(s) = F¯ (s) ∞∑ n=0 (1− α)n[F¯ (s)]n. (1.162) hoặc F¯α(s) = α ∞∑ n=0 (1− α)n−1[F¯ (s)]n (1.163) hoặc 1.156 bởi phép nghịch đảo. Rõ ràng hàm Fα là một hàm không âm và không giảm xác định trên [0, α), như vậy: lim x→∞ Fα(x) = α ∞∑ n=0 (1− α)n−1. (1.164) Bây giờ ta có thể nói rằng Fα là một hàm phân phối, và do đó hàm phân phối duy nhất có αH là một hàm tái tạo. 1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald 1.6.1 Đẳng thức Wald Chúng ta đều biết rằng E(Sn) = nm (1.165) với Sn = X0 + . . .+Xn (1.166) và E(N(t)) = R(t). (1.167) Bây giờ ta xét thời điểm của lần thay đổi đầu tiên sau thời gian t. Nó được cho bởi SN ′(t). Bổ đề Wald tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên này. Mệnh đề 1.16 (Bổ đề Wald ). E(SN ′(t)) = mR(t). (1.168) 1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald 19 Chứng minh. Từ các định nghĩa tổng quát, ta có thể viết: nếu N(t) = n thì ta có N ′(t) = n+ 1 và do đó: SN ′(t) = Sn+1 = n∑ k=0 Xk+1I[Sn≤t<Sn+1] (1.169) như vậy trong trường hợp này: Sn ≤ t < Sn+1. (1.170) Vì vậy, khi không biết giá trị của N(t), ta có: SN ′(t) = ∞∑ n=0 n∑ k=0 Xk+1I[Sn≤t<Sn+1]. (1.171) Hoán vị các tổng trên ta được SN ′(t) = ∞∑ k=0 k∑ n=0 Xk+1I[Sn≤t<Sn+1] (1.172) = ∞∑ k=0 Xk+1 k∑ n=0 I[Sn≤t<Sn+1] (1.173) = ∞∑ k=0 Xk+1I[Sk≤t]. (1.174) Các biến ngẫu nhiênXk+1và Sk độc lập, sử sụng định lí Lebesgue hội tụ đơn điệu ta có: E ( SN ′(t) ) = ∞∑ k=0 E (Xk+1) .E ( I[Sk≤t] ) (1.175) = ∞∑ k=0 mF (k)(t) (1.176) = mR(t) (1.177) áp dụng kết quả 1.20. Chú ý 1.4. Theo 1.17: N ′(t) = N(t) + 1 (1.178) áp dụng hệ thức 1.21 ta có thể viết kết quả cho 1.168 như sau: E(SN(t)+1) = m[H(t) + 1]. (1.179) 1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R Hệ quả 1.17. Với mọi t dương ta có R(t) ≥ t m . (1.180) 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) 20 Chứng minh. Theo định nghĩa N ′(t), ta có: t ≤ SN ′(t). (1.181) Lấy kì vọng cho cả hai vế ta được: t ≤ E (SN ′(t)) . (1.182) Hoặc từ mệnh đề 1.16 : t ≤ mR(t) (1.183) ta được bất đẳng thức 1.180. Chú ý 1.5. Sau này, ta sẽ thấy rằng khái niệm quá trình tái tạo dừng sẽ dẫn đến chặn trên của R(t) cho một lớp lớn của các quá trình tái tạo. 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) Phần này sẽ cho ta hai kết quả quan trọng có liên quan đến quá trình đếm (N(t), t ≥ 0) kết hợp với quá trình tái tạo hồi quy được đặc trưng bởi hàm phân phối F. Mệnh đề 1.18 (Luật mạnh số lớn). Nếu m <∞ thì hầu như chắc chắn rằng: lim t→∞ N(t) t = 1 m . (1.184) Chứng minh. Với bất mẫu đường dẫn của một quá trình tái tạo, ta có: SN(t) ≤ t ≤ SN(t)+1. (1.185) Theo đó: N(t) SN(t)+t < N(t) t ≤ N(t) SN(t) . (1.186) Như một quá trình tái tạo hồi quy, ta sử dụng 1.30 để thấy rằng: lim t→∞ N(t) = ∞. (1.187) Với bởi giả thiết Xn độc lập và có cùng phân phối, ta sử dụng luật mạnh số lớn khi đó ta có: lim n→∞ X1 + ... +Xn n = m. (1.188) Hoặc lim n→∞ n Sn = 1 m . (1.189) Hạng của ( N(t) SN(t) , t > 0 ) là một dãy con của ( n Sn , n > 0 ) , ta cũng có: lim t→∞ N(t) SN(t) = 1 m . (1.190) 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) 21 Và N(t) SN(t)+1 = N(t) + 1 SN(t)+1 . N(t) N(t) + 1 (1.191) theo kết quả 1.187, lập luận tương tự ta cũng có: lim t→∞ N(t) SN(t)+1 = 1 m (1.192) Như vậy kết quả của mệnh đề là do từ 1.188 và từ kết quả giới hạn cổ điển của dãy. Mệnh đề 1.19 (Định lí giới hạn trung tâm). Nếu σ2 <∞, thì với mọi y ∈ R : lim t→∞ P ( N(t)− tupslopem√ σ2tupslopem3 ≤ y ) = Φ(y), (1.193) trong đó Φ là hàm phân phối chuẩn. Chứng minh. Ta biết rằng các tuổi thọ X1, X2, ..., Xn, ... liên tiếp của quá trình tái tạo là độc lập cùng phân phối và có phương sai hữu hạn. Như vậy, ta có thể áp dụng định lí giới hạn trung tâm cổ điển cho dãy tổng riêng (Tn, n ≥ 0), khi đó: lim n→∞ P ( Tn − nm σ √ n ≤ y ) = Φ(y). (1.194) Theo định nghĩa 1.2 ta chuyển từ dãy Tn sang quá trình N(t): P (N(t) ≥ n) = P (Tn ≤ t) (1.195) = P ( Tn − nm σ √ n ≤ t− nm σ √ n ) . (1.196) Bây giờ ta cố định biến y và đặt n và t tiến ra +∞ theo cách đó: lim t→∞ n→∞ t− nm σ √ n = y. (1.197) như vậy t− nm σ √ n = t σ √ n − √ n σ m (1.198) Từ 1.197 cho ta: lim t→∞ n→∞ t σ √ n = +∞. (1.199) Tương tự vậy t− nm σ √ n = t (1− nmupslopet ) σ √ n (1.200) một ứng dụng của kết quả 1.199 chỉ ra rằng lý thuyết giới hạn có vai trò quan trọng: lim t→∞ n→∞ nm t = 1. (1.201) 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) 22 Bây giờ ta xét sác suất của thành phần đầu tiên trong đẳng thức 1.195. Ta có: P (N(t) ≥ n) = P ( N(t)− tupslopem√ σ2tupslopem3 ≥ n− tupslopem√ σ2tupslopem3 ) (1.202) trong đó n− tupslopem√ σ2tupslopem3 = nm− t σ √ t √ m (1.203) = nm− t σ √ n √ nm t . (1.204) Nếu n→ ∞ và t→∞, theo hệ thức 1.197 và 1.201 thì lượng bên trên sẽ tiến đến −y: lim t→∞ P ( N(t)− tupslopem√ σ2tupslopem3 ≥ −y ) = lim t→∞ n→∞ P (N(t) ≥ n) (1.205) = Φ(y). (1.206) Kết quả cuối cùng có nghĩa là: lim t→∞ P ( N(t)− tupslopem√ σ2tupslopem3 ≤ y ) = 1− Φ(−y) (1.207) = Φ(y) (1.208) bởi tính chất của hàm phân phối chuẩn. Chú ý 1.6. Từ mệnh đề 1.19, ta có xấp xỉ cho số lớn t như sau: var(N(t) ∼ σ 2 m3 t (1.209) là kết quả của sự rút gọn của 1.122. Ví dụ 1.5 (Áp dụng cho lý thuyết thống kê). Vấn đề sau chỉ ra rằng mệnh đề 1.19 có thể dẫn đến các kết quả ứng dụng. Một thiết bị kĩ thuật có tuổi thọ ngẫu nhiên trung bình là m = 100 giờ và có độ lệch chuẩn là σ = 60 giờ. Với lý do an toàn, các thay thế phải được thực hiện liên tục không đựơc gián đoạn trong suốt 8000 giờ. Số lượng của các thiết bị được thay thế vào hệ tại thời điểm 0 để không có sự gián đoạn nào với xác suất 0.95 là bao nhiêu? Từ 1.193, ta có: P ( N(8000)− 8000upslope100 60 √ 8000upslope1000000 ≤ 1.65 ) ∼= 0.95. (1.210) Hoặc P ( N(8000) ≤ 80 + 165.0.6. √ 0.008 ) ∼= 0.95. (1.211) Như vậy, ta có P (N(8000) ≤ 80 + 9) ∼= 0.95. (1.212) 1.8 Các thời điểm hồi quy 23 Do đó số lượng các thiết bị dự trữ tại thời điểm 0 ít nhất là 89. Ở đây con số 89 có thể tìm ra bằng cách tính toán như trên nhưng thường dùng quy tắc tỉ số tupslopeµ = 8000 100 = 80, ta cộng thêm 10% an toàn ta có 88 gần với kết quả tối ưu trên. 1.8 Các thời điểm hồi quy 1.8.1 Định nghĩa Xét quá trình tái tạo (Tn, n ≥ 0) được đặc trưng bởi hàm phân phối F của giá trị trung bình m. Tại thời điểm t dương, ta biết rằng tuổi thọ của XN(t)+1 hoặc XN(t) là: SN(t) ≤ t ≤ SN(t)+1. (1.213) Trong giới hạn của quá trình thay thế, thành phần chịu tác động tại thời điểm t có độ tuổi δ(t) cho bởi δ(t) = t− SN(t) (1.214) và thời gian mà thành phần này phải đợi đến khi bị hư hỏng là γ(t), được cho bởi: γ(t) = SN(t)+1 − t. (1.215) Hiển nhiên ta có tổng tuổi thọ của thành phần này là XN(t)+1 thõa : XN(t)+1 = δ(t) + γ(t). (1.216) Ta sẽ sử dụng các thuật ngữ sau: biến ngẫu nhiên δ(t), γ(t) và XN(t)+1 được gọi là tuổi, tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tại. Hình 1.2: Tuổi, tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tạo Các biến ngẫu nhiên này hay chính xác hơn là các quá trình ngẫu nhiên này thì có ích cho nhiều ứng dụng. Ví dụ, ta có thể tính toán được xác suất mà thiết bị bắt đầu hoạt động tại thời điểm t và không hư hỏng trong suốt khoảng thời gian [t, t+ τ ], ta tính phải tính được xác suất sau: P (γ(t) > τ). (1.217) 1.8 Các thời điểm hồi quy 24 1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy Trước hết ta đưa ra hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên δ(t), γ(t) và XN(t)+1 với mọi t. Kế đến, ta sẽ nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của các hàm phân phối này tức là khi t tiến dần ra +∞. Mệnh đề 1.20 (Phân phối của tuổi (δ(t))). Nếu Fδ(t) là hàm phân phối tuổi δ(t) thì: Fδ(t)(x) = 1, x ≥ t (1.218) Fδ(t)(x)− Fδ(t)(t− 0) = 1− F (t), (1.219) Fδ(t) = ∫ [t−s,t] [1− F (t− u)] dH(u). (1.220) Mệnh đề 1.21 (phân phối của tuổi thọ còn lại). Nếu Fγ(t) là hàm phân phối của γ(t), với mọi x dương ta có: Fγ(t)(x) = ∫ [0,t] [F (t− u+ x)− F (t− u)] dR(u). (1.221) Hình 1.3: Phân tích biến cố tuổi thọ Chú ý 1.7. Theo 1.21 chúng ta có thể viết P (γ(t) ≤ x) = F (t+ x)− F (t) + ∫ [0,t] [F (t− u+ x)− F (t− u)] dH(u). (1.222) Chú ý 1.8. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của Fγ(t), hệ thức 1.222 được sử dụng dưới một dạng khác. Dạng này có được do ta thay F bằng 1−F c trong tích phân 1.221 , trong đó F c(x) mô tả F c(x) = P (Xn > x). (1.223) Ta có P (γ(t) ≤ x) = F (t+ x)− F (t) + ∫ [0,t] [F c(t− u)− F c(t− u+ x)] dH(u). (1.224) 1.8 Các thời điểm hồi quy 25 Hoặc tương đương: P (γ(t) ≤ x) = F (t+ x)− ∫ [0,t] F c(t− u+ x)dH(u)− F (t)− t∫ 0 F c(t− u)dH(u)  . (1.225) Theo phương trình tái tạo 1.55, giới hạn trong ngoặc xấp xỉ bằng 0. Điều này cho kết quả sau: P (γ(t) ≤ x) = F (t+ x)− ∫ [0,t] F c(t− u+ x)dH(u). (1.226) Chú ý 1.9. (Kì vọng của γ(t)) Sử dụng kết quả 1.179 kết hợp với 1.215 ta được: E (γ(t)) = m [H(t) + 1]− t. (1.227) Kết quả này cho ta giá trị chính xác của kì vọng khi ta biết được H(t). Áp dụng kết quả 1.227 cho quá trình Poisson ta có: E (γ(t)) = m (1.228) là kết quả tự nhiên nếu ta nhớ “tính không nhớ” của phân phối mũ. Mệnh đề 1.22 (Phân phối của thời gian tồn tại). Nếu FXN(t)+1 là hàm phân phối của thời gian tồn tại XN(t) thì ta có: FXN(t)+1(x) =  t∫ t−x [F (x)− F (t− u)]dH(u) nếu x ≤ t F (x)− F (t) + t∫ 0 [F (x)− F (t− u)]dH(u) nếu x > t (1.229) Hình 1.4: Phân tích các biến cố thời gian tồn tại Chứng minh. Ta xét các biến cố XN(t)+1 ≤ x. Giả sử x > t. Như vậy, thành phần chịu tác động tại thời điểm t vẫn là thành phần đầu tiên. Trong trường hợp này, xác suất của biến cố được xét là F (x)− F (t). 1.8 Các thời điểm hồi quy 26 Một khả năng khác đó là tồn tại ít nhất một sự tái tạo trước hoặc tại thời điểm t. Nếu ta giả sử thành phần chịu tác động vào thời điểm t đã được đưa vào hệ thống trong khoảng thời gian từ u đến u + du, ta phải tính xác suất mà thành phần này có tuổi thọ trong khoảng (t−u, x). Kết quả này kết hợp với chứng minh xác suất của hàm tái tạo cho ta tích phân của 1.229. Hiển nhiên, nếu x ≤ t thì nhất thiết sẽ có ít nhất một sự tái tạo trước hoặc tại thời điểm t và xác suất của biến cố XN(t)+1 ≤ x được cho bởi tích phân. Chú ý 1.10. Áp dụng hàm tái tạo R được xác định bởi hệ thức 1.20, ta có kết quả của 1.227 như sau FXN(t)+1(x) = t∫ t−x [F (x)− F (t− u)] dR(u). (1.230) Thừa nhận rằng hàm H và R bằng 0 với đối số có giá trị âm. Hệ quả 1.23. Nếu F có đạo hàm là f thì FXN(t) cũng có đạo hàm là fXN(t)và : fXN(t) = { f(x)[M(t)−M(t− x)] nếu x ≤ t f(x)[M(t)−M(t− x)] + f(x) nếu x > 1. (1.231) Chứng minh. Hệ quả này là hệ quả đơn giản của công thức mà cho ta đạo hàm của hàm λ(x) theo x, được định nghĩa: λ(x) = β(x)∫ α(x) K(u, x)du (1.232) λ′(x) = β(x)∫ α(x) ∂ ∂x K(u, x)du+ β ′(x)K(β(x), x)− α′(x)K(α(x), x). (1.233) 1.8.3 Dáng điệu tiệm cận Trong nhiều trường hợp thực tiễn, ta giả sử rằng quá trình tái tạo được quan sát sẽ tiếp diễn trong một thời gian dài, vì vậy với các điều kiện đúng để quan sát quá trình “cân bằng”, đó là trạng thái dừng khi t→∞. Mệnh đề tiếp theo cho ta dáng điệu tiệm cận của hàm phân phối Fδ(t), Fγ(t) và FXN(t)+1 . Mệnh đề 1.24. Nếu m hữu hạn thì với mọi x dương: (i) lim t→∞ Fδ(t)(x) = lim t→∞ Fγ(t)(x) = 1 m x∫ 0 [1− F (u)] du. (1.234) (ii) lim t→∞ FX(t)+1(x) = 1 m x∫ 0 udF (u). (1.235) 1.8 Các thời điểm hồi quy 27 Chứng minh. (i) Từ biểu đồ 1.2 ta có thể viết P (δ(t) ≤ x) = P (γ(t− x) ≤ x) (1.236) hoặc Fδ(t)(x) = Fγ(t−x)(x). (1.237) Với bất kì hàm g và x cố định ta có: lim t→∞ g(x, t) = lim (t−x)→∞ g(x, t) (1.238) Vì thế, từ 1.236 ta suy ra Fδ(t) và Fγ(t) có cùng giới hạn. Từ 1.222 ta có: P (γ(t) > x) = t∫ 0 F c(t− u+ x)dH(u) + F c(t+ x). (1.239) Như 1.21 ta biết rằng R(u) = U0(u) +H(u); u ∈ R. (1.240) Ta cũng có: P (γ(t) > x) = t∫ 0 F c(t− u+ x)dR(u)− F c(t+ x) + F c(t+ x) (1.241) = t∫ 0 F c(t− u+ x)dR(u). (1.242) Ta có thể sử dụng mệnh đề 1.11 để chỉ ra rằng lim t→∞ P (γ(t) > x) = 1 m ∞∫ 0 F c(z + x)dz. (1.243) Thay biến u = z + x, ta được: lim t→∞ P (γ(t) > x) = 1 m ∞∫ x F c(u)du. (1.244) Từ hệ thức 1.223 ta có: F c = 1− F (1.245) khi đó: lim t→∞ P (γ(t) ≤ x) = 1− 1 m ∞∫ x [1− F c(u)] du. (1.246) 1.8 Các thời điểm hồi quy 28 với m = ∞∫ 0 [1− F (u)]du (1.247) ta có điều cần chứng minh. (ii) Xét F¯XN(t)+1(x) = K(x, t). (1.248) Trong cách đặt điều kiện cho giá trị của X1(gọi là y), ta có P ( XN(t)+1 > 1,X1 = y ) =  1 nếu y > max{x, t} K(x, t− y) nếu y ≤ t 0 nơi khác. (1.249) Lấy kì vọng toán học cho cả hai thành phần ta được: K(x, t) = 1− F (max{x, t}) + t∫ 0 K (x, t− y)dF (y). (1.250) Áp dụng mệnh đề 1.10 ta có: K(x, t) = (1− F (max{x, .}) •R(.)) (t). (1.251) Bây giờ, áp dụng kết quả 1.80 của mệnh đề 1.11 ta có dáng điệu tiệm cận của K(x, t) với t→∞: lim t→∞ K(x, t) = 1 m ∞∫ 0 [1− F (max{x, u})] du. (1.252) Áp dụng tích phân từng phần và với khai triển sau đây, tích phân này được biến đổi thành: ∞∫ 0 [1− F (max{x, u})] du = x∫ 0 [1− F (x)] du+ ∞∫ x [1− F (u)] du (1.253) = [1− F (x)] x+ [(1− F (u))u]∞x + ∞∫ x udF (u). (1.254) Với giá trị trung bình hữu hạn m cho ta: lim t→∞ [1− F (u)]u = 0 (1.255) do đó, với hai số hạng đầu đối nhau, ta có: ∞∫ 0 [1− F (max{x, u})] du = ∞∫ x udF (u). (1.256) Vì vậy, kết quả 1.235 có được từ 1.252. 1.8 Các thời điểm hồi quy 29 Hệ quả 1.25. Nếu m hữu hạn thì : (i) Phân phối hữu hạn Fδ của Fδ(t) và Fγ(t) có hàm mật độ fδ được cho bởi fδ(u) = 1− F (u) m (1.257) (ii) Phân phối hữu hạn của FXN(t)+1 có mật độ phân phối: uf(u) m (1.258) hàm F có f là hàm mật độ. Mệnh đề 1.26. (i) Với mọi t, x, y, y < t dương P (γ(t) > x,δ(t) > y) = t−y∫ 0 F c (t− u+ x) dH(u) + F c(t+ x). (1.259) (ii) Nếu m hữu hạn thì lim t→∞ P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 m ∞∫ x+y [1− F (u)] du. (1.260) Chứng minh. (i) Biểu đồ bên dưới chỉ rõ sự tương đương của các biến cố Hình 1.5: Phân tích các biến cố tuổi thọ và tuổi thọ còn lại {ω: γ(t, ω) > x, δ(t, ω) > y} (1.261) và {ω: γ(t− y) > x+ y} . (1.262) Do đó, P (γ(t) > x,δ(t) > y) = P (γ(t− y) > x+ y) . (1.263) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 30 Áp dụng hệ thức 1.222, ta được P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1− F (t+ x)− ∫ [0,t−y] [1− F (t− u+ x)] dH(u) (1.264) 1.259 có được do kết hợp với: F c = 1− F. (1.265) (ii) Từ tính chất giới hạn, ta có: lim t→∞ P (γ(t− y) > x+ y) = lim t→∞ P (γ(t) > x+ y) . (1.266) Một ứng dụng của 1.263 và kết quả 1.234 của mệnh đề 1.24 cho: lim t→∞ P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1− 1 m x+y∫ 0 [1− F (u)]du (1.267) = 1 m ∞∫ x+y [1− F (u)du (1.268) với m = ∞∫ 0 [1− F (u)] du. (1.269) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng Khái niệm quá trình tái tạo dừng là một phần của quá trình tái tạo trì hoãn. Quá trình tái tạo trì hoãn A cũng là một quá trình tái tạo nhưng biến ngẫu nhiên đầu tiên X1 không cùng phân phối với các biến ngẫu nhiên khác dù chúng vẫn độc lập nhau. Chính xác hơn, đặt (Xn, n ≥ 1) là dãy các biến độc lập độc lập không âm, G là hàm phân phối của tất cả các biến ngẫu nhiên khác. Dãy tương ứng (Tn, n ≥ 0), với T0 = 0, (1.270) Tn = X1 + . . .+Xn (1.271) được gọi là dãy tái tạo trì hoãn hoặc quá trình tái tạo trì hoãn. Rõ ràng, định nghĩa cổ điển của quá trình tái tạo có thể được mở rộng cho trường hợp quá trình tái tạo trì hoãn. Ví dụ nếu Hd(t) là hàm tái tạo của quá trình tái tạo trì hoãn và nếu đặt điều kiện là X1 = x, thì ta có: Hd(t|X1 = x) = { 0 nếu x > t 1 +H(t− x) nếu x ≤ t (1.272) trong đó H là hàm tái tạo kết hợp với hàm phân phối F . Khi đó, với định nghĩa: Hd(t|X1) = E(N(t)|X1) (1.273) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 31 ta được: E(N(t)) = E(Hd(t, X1)) (1.274) = t∫ 0 [1 +H(t− x)]dG(x). (1.275) hoặc: Hd = G(t) +H •G(t). (1.276) Vì thế nếu biết được hàm tái tạo H muốn tính Hd thì ta chỉ cần tính tích chập. Khái niệm quá trình tái tạo trì hoãn này đựơc trình bày bởi vì nó giải thích rằng nếu một quá trình tái tạo được khảo sát và nó đang hoạt động trong một khoảng thời gian dài thì biến đầu tiên X1 được khảo sát là tuổi thọ còn lại γ tại thời điểm bắt đầu của quá trình khảo sát. Ta có thể giả sử rằng hàm phân phối giới hạn của γ được cho bởi 1.234. Hiển nhiên, các biến ngẫu nhiên Xn,n ≥ 2 còn lại có hàm phân phối F . Như vậy ta có quá trình tái tạo trì hoãn riêng cho nó là G(x) = 1 m x∫ 0 [1− F (u)]du; x ≥ 0. (1.277) Quá trình như vậy được gọi là quá trình tái tạo dừng. Hai kết quả chính, liên quan đến quá trình tái tạo dừng, có liên quan đến hàm tái tạo H và hàm phân phối tuổi thọ còn lại. Mệnh đề 1.27. Với mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G,F ) với giá trị trung bình hữu hạn m cho f , với mọi t ta có: Hs(t) = t m (1.278) Hs là hàm tái tạo của quá trình tái tạo dừng. Chứng minh. Nếu áp dụng phép biến đổi Laplace Stieltjes cho cả hai vế của 1.276 ta được: Hd(s) = G(s) +H(s).G(s) (1.279) với quy ước: K(s) = ∞∫ 0 e−sxdK(x). (1.280) Từ phương trình tái tạo cổ điển 1.57 ta suy ra: H(s) = F (s) + F (s).H(s) (1.281) hoặc H(s) = F (s) 1− F (s) . (1.282) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 32 Từ 1.277 và tính chất của phép biến đổi L-S, ta được: G(s) = 1 m ∞∫ 0 e−su [1− F (u)] du (1.283) = 1 m 1 s − ∞∫ 0 e−suF (u)du  . (1.284) Lấy tích phân từng phần ta có: G(s) = 1 m 1− F (s) s . (1.285) Thay H(s) và G(s) bằng 1.282 và 1.285 vào đẳng thức 1.279 ta được: H(s) = 1 m 1− F (s) s [ 1− F (s) 1− F (s) ] . (1.286) Hoặc sau khi rút gọn ta được: Hs(s) = 1 m 1 s . (1.287) Ta biết rằng ∞∫ 0 e−sxdx = 1 s . (1.288) Như vậy, theo đó phép biến đổi Laplace Stieltjes ngược của 1.287 cho ta: Hs(t) = t m . (1.289) Mệnh đề 1.27 có ý nghĩa quan trọng. Thực vậy, giá trị Hs là tiệm cận đúng cho mọi quá trình tái tạo, nhưng ở đây với trường hợp quá trình tái tạo dừng, biểu thức tiệm cận này đúng với mọi t. Bây giờ, đặt γs(t) là tuổi thọ còn lại tại thời điểm t với quá trình tái tạo dừng và khi đó: F cγs(t)(x) = 1− Fγs(x). (1.290) Mệnh đề 1.28. (i) Mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G,F ) có giá trị trung bình hữu hạn m cho F và với mọi t ta được: P (γ(t) ≤ x) = G(t+ x)− ∫ [0,t] [1− F (t+ x− u)] dHd(u). (1.291) (ii) Hơn nữa, nếu quá trình tái tạo là dừng với mọi t thì : P (γ(t) ≤ x) = 1 m x∫ 0 [1− F (u)] du. (1.292) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 33 Chứng minh. (i) Điều kiện cho giá trị của X1 γs(t) = { X1 − t nếu t < X1 γ(t−X1) nếu t ≥ X1 (1.293) Từ đó, với t > x: P (X1 > y|X1 > t) = 1−G(y) 1−G(t) (1.294) và từ 1.293 ta suy ra: P (γs(t) > x) = [1−G(t)]P (X1 − t > x|X1 > t) + t∫ 0 P (γ(t− y) > x) dG(y) (1.295) = [1−G(t)] .1−G(t+ x) 1−G(t) + t∫ 0 P (γ(t− y) > x) dG(y). (1.296) Hoặc: F cγs(t)(x) = 1−G(t+ x) + t∫ 0 F cγ(t−y)(x)dG(y). (1.297) Đẳng thức này biểu diễn F cγs(t) như một hàm của F c γ(t). Hàm cuối này có được từ mệnh đề 1.21 và theo 1.222 có thể được viết lại dưới dạng: F cγs(t)(x) = 1− F (t+ x) + ∫ [0,t] [1− F (t− u− x)] dH(u). (1.298) Để đơn giản ta viết: 1− F (t+ x) = F x(t). (1.299) Như vậy 1.298 có dạng: F cγs(t)(x) = F x(t) + F x(t− u) •H(t). (1.300) Trở lại 1.297, ta được: F cγs(t)(x) = 1−G(t+ x) + F x •G(t) + F x •H •G(t) (1.301) hoặc F cγs(t)(x) = 1−G(t+ x) + F x • [G+H •G](t). (1.302) Sử dụng hàm tái tạo Hs và áp dụng hệ thức 1.276 thì 1.302 trở thành: F cγs(t)(x) = 1−G(t+ x) + F x •Hd(t) (1.303) đây là điều phải chứng minh. (ii) Với mệnh đề 1.27, trong trường hợp dừng, hệ thức 1.303 trở thành: F cγs(t)(x) = 1−G(t+ x) + t∫ 0 F¯x(t− u)du m . (1.304) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 34 Thay u′ = t− u được: F cγs(t)(x) = 1−G(t+ x) + 1 m t∫ 0 F¯x(u)du. (1.305) Với hàm G trong 1.277 ta có: F cγs(t)(x) = 1− 1 m x+t∫ 0 [1− F (u)]du+ 1 m x+t∫ x [1− F (u)]du. (1.306) Bởi tính chất cộng tính của tích phân liên quan đến miền tích phân nên ta có: Fγs(t)(x) = 1− x∫ 0 [1− F (u)] du (1.307) hoặc 1.292. Phần (ii) trong mệnh đề 1.28 cho kết luận tương tự như định lí trước: trong trường hợp dừng, phân phối tiệm cận của tuổi thọ còn lại γ(t) là phân phối đúng với mọi t. Kết quả này đưa ra một số hệ quả quan trọng. Hệ quả 1.29. Với mỗi quá trình tái tạo dừng và với mọi t ta có: (i) F cδ(t)(x) = 1 m x∫ 0 [1− F (u)]du. (1.308) (ii) P (γ(t) > x, δ(t) > y) = 1 m ∞∫ x+y [1− F (u)] du. (1.309) (iii) P ( XN(t)+1 ≤ x ) = 1 m x∫ 0 udF (u). (1.310) Chứng minh. Kết quả (i) và (ii) trực tiếp có được từ các hệ thức 1.236 1.263 và kết quả 1.291 từ mệnh đề 1.28. Với (iii) ta sử dụng hệ thức 1.216 với XN(t)+1 là tổng của hai biến ngẫu nhiên δ(t) và γ(t). Từ mệnh đề 1.28 và hệ thức 1.308, ta biết phân phối của biến ngẫu nhiên hai chiều (γ, δ) độc lập với t và do đó nó cũng đúng cho γ(t) + δ(t). Cho t > Xt, ta có: XN(t)+1 = XN(t−X1)+1 (1.311) vì vậy: P ( XN(t)+1 ≤ x|t > X1 ) = P ( XN(t−X1)+1 ≤ x|t > X1 ) . (1.312) 1.10 Dạng số 35 Cho t tiến ra +∞ ta được: P ( XN(t)+1 ≤ x ) = 1 m x∫ 0 [1− F (u)] du (1.313) vì biến cố {ω : t > X1(ω)} là tiệm cận của xác suất 1. Như vậy hàm phân phối của XN(t)+1 độc lập với t, kết quả 1.310 tương đương với 1.313. Chú ý 1.11. Với biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), ta có P (X ≤ x,Y ≤ y) = 1− P (X > x)− P (Y > y) + P (X > x,Y > y) . (1.314) Ta có thể ứng dụng kết quả cơ bản này vào hàm phân phối đồng thời của (γ(t), δ(t)), được cho bởi 1.309. Khi đó ta có: P (γ(t) ≤ x, δ(t) ≤ y) =  1 m y∫ 0 [1− F (u)] du+ 1 m x+y∫ x [1− F (u)] du nếu x > y 1 m x∫ 0 [1− F (u)] du+ 1 m x+y∫ y [1− F (u)] du nếu x ≤ y (1.315) 1.10 Dạng số Phương trình tái tạo 1.57 có thể được giải trực tiếp (như đã trình bày trong các phần trước) trong một số trường hợp đặc biệt hoặc được giải bằng phép biến đổi Laplace hay Laplace Stieltjes cho các trường hợp còn lại. Bằng cách này, có thể giải phương trình tích phân 1.57 bằng phép giải tích. Nhưng trong phần lớn các ứng dụng thực tế phương trình giải được bằng mô hình thì không giải được bằng các phương pháp giải tích. Với các trường hợp này ta cần sử dụng phép xấp xỉ số để giải phương trình tái tạo tổng quát 1.57 trong khoảng thời gian horizon bị chặn. Một cách để giải quyết vấn đề này là sử dụng phép biến đổi Laplace nhưng khi đó ta cần phép biến đổi Laplace ngược để có được nghiệm của phương trình, nhưng ta biết rằng phép biến đổi ngược này không ổn định về mặt số học. Vì vậy, cách tốt nhất để giải 1.57 là áp dụng phương pháp số cho phương trình tích phân mà không sử dụng phép biến đổi Laplace. 1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát Ta thừa nhận hàm mật độ f của F tồn tại. Do đó ta phải giải phương trình tích phân được cho bởi 1.58. Công thức của phép cầu phương tổng quát được viết dưới dạng: kh∫ 0 f(t)dt ∼= k∑ l=0 wk,lf(lh) (1.316) Trong đó h là độ dài bước nhảy, k ≤ N, k,N ∈ N, wk,l là các trọng số liên quan đến công thức phép cầu phương 1.316. Chúng là các hàm được tính giá trị tại cả điểm đầu và điểm cuối. 1.10 Dạng số 36 Ngoài ra, N là số sao cho hk = t,hN = Y và 0 ≤ t ≤ Y , Y mô tả độ dài thời gian horizon. Phương pháp cầu phương tổng quát có nghĩa là giá trị của trọng số wk,l phụ thuộc vào đa thức được sử dụng để xấp xỉ hàm lấy tích phân. Áp dụng kết quả 1.316, ta có hệ thức xấp xỉ kết quả của 1.58 như sau: Hˆ(kh) = F (kh) + k∑ l=0 wk,lHˆ(kh− lh)f(lh); k = 1, ..., N (1.317) trong đó Hˆ là giá trị xấp xỉ của hàm H . Bằng cách này, hệ tuyến tính sau có: Hˆ(h) −w1,0Hˆ(h)f(0) = w1,1Hˆ(0)f(h) + F (h) Hˆ(2h) −w2,0Hˆ(2h)f(0) −w2,3Hˆ(h)f(h) = w2,2Hˆ(0)f(2h) + F (2h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hˆ(kh) −wk,0Hˆ(kh)f(0) −wk,1Hˆ((k − 1)h)f(h) · · · −wk,k−1Hˆ(h)f((k − 1)h) = wk,kHˆ(0)f(kh) + F (kh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.318) Hệ 1.318 có nghiệm nếu 1− wk,0f(0) 6= 0, k = 1, . . . , N. (1.319) Có một định lí được thiết lập bởi Baker (1977) đưa ra điều kiện rằng nếu h → 0 thì Ĥ → H . Trước khi đưa ra định lý 1.316 ta xét hai bổ đề với các số thực sau và được chứng minh trong Baker (1977). Bổ đề 1.30. Nếu |ξr| ≤ A r−1∑ i=0 |ξi|+B, r = q,q + 1, . . . ; q ≥ 1 (1.320) trong đó A > 0, B > 0 và q−1∑ i=0 |ξi| ≤ ξ thì: |ξr| ≤ (Aξ +B)(1 + A)r−q,r = q,q + 1,...q ≥ 1. (1.321) Bổ đề 1.31. Giả sử A = hLˆ ≤ 0 và ph = x ≥ 0 (1.322) thì (1 + A)p−q ≤ eLˆx nếu p ≥ q. (1.323) Chú ý 1.12. Từ bổ đề 1.30 và 1.31 ta được: |ξr| ≤ (Aξ +B) (1 + A)r−q ≤ (Aξ +B) eL̂x = ( hL̂ξ +B ) eL̂rh. (1.324) Định lý 1.32. Đặt F : [0, Y ] → R, H : [0, Y ] → R (1.325) và q ∈ {1, ...,N} , N ∈ N, như vậy Nh ≤ Y . 1.10 Dạng số 37 Đặt ξk(h) = Hˆ(kh)−H(kh), k = 0,1,2, ..., N (1.326) trong đó H(kh) là nghiệm của 1.57 và Hˆ(kh) là nghiệm của 1.318 Nếu ta định nghĩa: ηk(h) = ∣∣ξk(h)∣∣ (1.327) và w = wN = max 0≤u≤k≤N |wku| h <∞ (1.328) thì tk(h) = kh∫ 0 H(kh− τ)f(τ)dτ − k∑ u=0 wkuHˆ(kh− uh)f(uh) (1.329) σk(h) = ∣∣tk(h)∣∣ (1.330) τ(h) = τN (h) = max q≤k≤N σk(h) (1.331) ξ(h) = n−1∑ u=0 ηu(h). (1.332) Hơn nữa, nếu ta thừa nhận |f(t)| ≤ c1 với t ∈ [0, Y ] thì ηk(h) ≤ τ(h) +mhwNc1ξ(h) 1−mhwNc1 e mc1wNkh 1−mhwN c1 , k = q,q + 1, . . . , N (1.333) trong đó mhwNc1 < 1. 1.10.2 Một vài công thức đặc biệt Trong phần này vài công thức của phương pháp số của phương trình tái tạo sẽ được trình bày. Công thức 1.317 sẽ liên quan đến công thức tổng quát riêng Newton-Cotes. Phương trình có được từ phép cầu phương Simpson là: Hˆ(kh) = F (kh) + h 3 Hˆ(kh)f(0) + 4h 3 k 2∑ τ=1 Hˆ(kh− (2τ − 1)h)f((2τ − 1)h) + 2h 3 k 2 −1∑ τ=1 Hˆ(kh− 2τh)f(2τh) + h 3 Hˆ(0)f(kh). (1.334) Áp dụng công thức Bezout ta được: Hˆ(kh) = F (kh) + h 2 Hˆ(kh)f(0) + h k−1∑ τ=1 Hˆ(kh− τh)f(τh)+h 2 Hˆ(0)f(kh). (1.335) 1.10 Dạng số 38 Cuối cùng, áp dụng phương pháp phép cầu phương (công thức hình chữ nhật), ta được hai công thức khác: một cho ta giá trị hàm tích phân tại thời điểm ban đầu và thứ hai cho ta vào thời điểm cuối của khoảng thời gian được xét. Bằng cách này, ta được các hệ thức sau: Hˆ(kh) = F (kh) + h k∑ τ=1 Hˆ(kh− τh)f(τh). (1.336) Hˆ(kh) = F (kh) + h k−1∑ τ=0 Hˆ(kh− τh)f(τh). (1.337) Thay vi phân bởi trung bình của sai phân tương ứng cho ta kết quả sau: Hˆ(kh) ∼= F (kh) + k∑ τ=1 Hˆ(kh− τh)(F (τh)− F ((τ − 1)h)), (1.338) Hˆ(kh) ∼= F (kh) + k−1∑ τ=0 Hˆ(kh− τh)(F ((τ + 1)h)− F ((τ)h)). (1.339) Trong 1.338 ta giả sử h = 1 thì: Hˆ(k) ∼= F (k) + k∑ τ=1 Hˆ(k − τ)(F (τ)− F (τ − 1)). (1.340) Hơn nữa, đặt: v(τ) = { F (τ) nếu τ = 0 F (τ)− F (τ − 1) nếu τ > 0 (1.341) ta được H(k) = F (k) + k∑ τ=1 H(k − τ)v(τ) (1.342) đó là phương trình tái tạo với thời gian rời rạc xem Feller (1957 trang 330). Trong quyển sách của Freiberger và Grenander (1971), có xấp xỉ nghiệm số của quá trình tái tạo nhưng không có bất kì sự chứng minh nào về phương pháp này. Bây giờ ta đặt H là hàm tái tạo với thời gian liên tục và {Tn} là các thời điểm tái tạo. Nếu ta đặt: T hn = [ Tn h ] h (1.343) và Nh(t) = n nếu T hn ≤ t < T hn+1 (1.344) thì hàm tái tạo với thời gian rời rạc liên quan được cho bởi: Hh(kh) = F h(kh) + k∑ τ=1 Hh((k − τ)h)vh(τh). (1.345) Quá trình tái tạo T hn được xác định trong cùng không gian xác suất (Ω, F, P ) của Tn. Cho w ∈ Ω, ta có kết quả sau. 1.10 Dạng số 39 Định lý 1.33. Quá trình T hn hội tụ đến Tn với ∀w khi h→ 0. Chứng minh. Theo các định nghĩa đã được nêu trong mục 1.10.2 và hệ thức 1.345 ta có: P ( Nh(t) h→0 = n ) = P (N(t) = n) ∀n. (1.346) Công thức 1.346 cho: T hn h→0 hcc−−→ Tn. (1.347) 1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô a) Mô tả dữ liệu. Trong phần này phương trình tái tạo được ứng dụng cho dữ liệu thực trong thống kê bảo hiểm. Chúng ta hy vọng rằng quá trình tái tạo có thể được ứng dụng cho trường hợp tổng quát với dữ liệu từ quan sát thống kê. Trong trường hợp này ta sử dụng công thức được cho bởi hệ thức 1.342. Ta áp dụng thuyết tái tạo cho trường hợp tai nạn xe. Trong một hợp đồng bảo hiểm xe mỗi lần người được bảo hiểm gặp tai nạn, công ty bảo hiểm sẽ trả tiền tổn thất cho họ. Điều đó có nghĩa là khi xe được bảo hiểm mang đi sữa chữa thì đó chính là được tái tạo. Tại thời điểm bắt đầu của hợp đồng thì thuyết tái tạo cũng được áp dụng. Ta có dữ liệu tai nạn thô của một công ty bảo hiểm được theo dõi trong 50 năm. Từ dữ liệu này ta có thể xây dựng hàm phân phối tăng dần với thời gian tái tạo rời rạc về tai nạn xe. Nói chung, ta có dữ liệu của 156.428 người mua bảo hiểm và trong số họ 22.395 người có ít nhất một lần bị tai nạn trong thời gian mua bảo hiểm. Trong hồ sơ không có dữ liệu liên quan đến ngày mua bảo hiểm. Ta xây dựng hai vector. Vector thứ nhất đếm số lượng người được bảo hiểm mà lần thứ hai bị tai nạn trong vòng 1 năm, 2 năm,. . . kể từ lần đầu tiên. Vector thứ hai ta đếm số người được bảo hiểm bị tai nạn lần thứ ba trong 1 năm, 2 năm,. . . kể từ lần thứ 2. Chính xác hơn, tại thời điểm ban đầu, ta đặt tất cả các phần tử của hai vector là 0. Ta thêm 1 tại phần tử thứ n của vector đầu tiên khi tai nạn lần thứ hai được xác định sau n− 1 và trước n năm kể từ lần tai nạn đầu tiên. Tương tự vậy, ta thêm 1 tại phần tử thứ n của vector thứ hai khi tai nạn lần thứ ba được xác minh sau n − 1 và trước n năm kể từ tai nạn lần thứ hai. Cuối cùng, phần tử thứ n của hai vector sẽ đưa ra số tai nạn trong suốt năm thứ n từ năm trước đó. Kết quả thu được sẽ được trình bày trong bảng 1.1. Ví dụ, số 1.576 ở hàng thứ ba trong bảng mô tả số tai nạn lần thứ hai xảy ra sau hai năm và trước năm thứ ba kể từ tai nạn đầu tiên và tương tự số 226 mô tả số tai nạn lần thứ ba xảy ra sau hai năm và trước năm thứ ba sau tai nạn lần thứ hai. Số năm 1-2 2-3 1-2 + 2-3 1 153 88 241 2 695 126 821 3 1 576 226 1 802 4 1 549 224 1 773 5 1344 172 1 516 1.10 Dạng số 40 6 928 176 1 104 7 619 138 757 8 386 107 493 9 278 86 364 10 189 69 258 11 139 61 200 12 101 33 134 13 77 21 98 14 40 15 55 15 36 16 52 16 15 7 22 17 11 3 14 18 11 4 15 19 10 3 13 20 7 2 9 21 14 1 15 22 6 6 23 8 8 24 7 7 25 7 7 26 2 2 27 - - 28 4 4 29 3 3 30 5 5 31 3 3 32 2 2 33 1 1 34 - - 35 1 1 36 - - 37 1 1 Tổng 8228 1578 9 806 Bảng 1.1: Số tai nạn xảy ra trong một năm Trong bảng 1.2 ta trình bày số lượng trung bình và phương sai hằng năm liên quan đến ba phân phối của bảng 1.1 1-2 2-3 1-2 + 2-3 Trung bình 5.3453 5.8676 5.4293 Phương sai 10.8680 11.7207 11.0421 Bảng 1.2: Trung bình và phương sai hằng năm của các tai nạn 1.10 Dạng số 41 Trong bảng 1.3, ta trình bày phân phối thực nghiệm của ba vector trong bảng 1.1. Các kết quả trong cột có được là do chia mỗi ô cho tổng số tai nạn xảy ra trong vector (phần tử cuối cùng). Mặc dù giá trị trung bình và phương sai không bằng nhau nhưng biểu đồ có được từ bảng 1.3 có dạng giống như quá trình Poisson. Năm 1-2 2-3 1-2 + 2-3 1 0.018595 0.055767 0.02457679 2 0.084468 0.079848 0.08372425 3 0.191541 0.143219 0.183765042 4 0.18826 0.141952 0.180807669 5 0.163345 0.108999 0.154599225 6 0.112786 0.111534 0.112584132 7 0.075231 0.087452 0.077197634 8 0.046913 0.067807 0.050275342 9 0.033787 0.054499 0.037120131 10 0.02297 0.043726 0.026310422 11 0.016894 0.038657 0.020395676 12 0.012275 0.020913 0.013665103 13 0.009358 0.013308 0.009993881 14 0.004861 0.009506 0.005608811 15 0.004375 0.010139 0.005302876 16 0.001823 0.004436 0.002243524 17 0.001337 0.001901 0.001427697 18 0.001337 0.0002535 0.001529676 19 0.001215 0.001901 0.001325719 20 0.000851 0.001267 0.000917805 21 0.001702 0.000634 0.001529676 22 0.000729 0.00061187 23 0.000972 0.000815827 24 0.000851 0.000713849 25 0.000851 0.000713849 26 0.000243 0.000203957 27 0 0 28 0.000486 0.000407914 29 0.000365 0.000305935 30 0.000608 0.000509892 31 0.000365 0.000305935 32 0.000243 0.000203957 33 0.000122 0.000101978 34 0 0 35 0.000122 0.000101978 36 0 0 37 0.000122 0.000101978 Bảng 1.3: Phân phối tần số Quan sát dữ liệu dẫn đến các vấn đề cần xem xét sau: 1.10 Dạng số 42 i) Cả ba phân phối đều có cùng dạng. ii) Các phân phối này có dạng Poisson nhưng phương sai xấp xỉ gấp đôi giá trị trung bình. iii) Giá trị trung bình và phương sai của hai cột đầu tiên trong bảng 1.1 là tương tự nhau. Do đó, ta có thể nói rằng giả thiết tái tạo là chấp nhận được vì chúng đồng dạng và có cùng tham số của hai phân phối đầu tiên. Ta có thể giả sử rằng sau một tai nạn quá trình được tái tạo và chế độ của người được bảo hiểm là giống nhau. Để có được dữ liệu đáng tin cậy hơn ta gộp các phân phối thứ nhất và thứ hai lại với nhau ta sẽ có cột thứ ba cho mỗi bảng. a) Phân phối kết quả Bây giờ ta xét tần số trong cột cuối cùng của bảng 1.3 như xác suất mà một tai nạn mới xảy ra sau n − 1 và trước n năm kể từ tai nạn trước. Kết quả thứ n được xem như một ước lượng xác suất sẽ có một tai nạn sẽ xảy ra giữa năm n − 1 và n, ít nhất là một tai nạn, như đã nói ở trên, ta không có dữ liệu liên quan đến dữ liệu của hợp đồng bảo hiểm đầu tiên. Ta xét khoảng thời gian giữa hai lần xảy ra tai nạn. Các giá trị được nêu trong cột thứ hai là xác suất có điều kiện của biến cố có ít nhất một tai nạn như đã được trình bày trước đó. Áp dụng mô hình tái tạo ta cần xây dựng hàm phân phối cho xác suất có một tai nạn trong vòng n năm. Xác suất có ít nhất một tai nạn (được cho bởi dữ liệu thô) là ta chia số lượng người bị ít nhất một tai nạn (22.395) cho tổng số người có bảo hiểm (156.428). Với 9.806 là số tai nạn xảy ra sau khi đã từng bị tai nạn. Ta định nghĩa các biến cố sau cho người được bảo hiểm: A: biến cố có ít nhất hai tai nạn trong suốt thời gian khảo sát. Bn: biến cố một tai nạn khác xảy ra sau năm thứ n− 1 và trước năm thứ n kể từ tai nạn trước. C: có ít nhất một tai nạn trong suốt thời gian kí hợp đồng (xác suất: 22.395/156.428 = 0,14316). Ta hy vọng có thể ước lượng được các xác suất sau cho các tai nạn xảy ra liên tiếp. Dn: có một tai nạn sau năm thứ n − 1 và trước năm thứ n kể từ ngày kí hợp đồng bảo hiểm hoặc từ tai nạn trước đó. Phần tử thứ n trong cột thứ hai của bảng 1.3 bằng với cột thứ tư trong bảng 1.2 có giá trị như sau: P [Bn/A] . (1.348) Nhưng ta quan tâm đến: P [Dn/C] (1.349) Trong dữ liệu, như phần lý thuyết đã trình bày, ta không có ngày của hợp đồng bảo hiểm. Ta quan tâm đến xác suất P [Dn]. Theo giả thiết tái tạo ta có: P [Bn/A] ∼= P [Dn/C]. Khi đó với ý nghĩa của định lí Bayes, ta xây dựng lại xác suất ρ [Dn] để có xác suất của tai nạn đầu tiên sau một năm, hai năm,. . . Các kết quả này được trình bày trong cột thứ ba của bảng 1.4. 1.10 Dạng số 43 Năm Tần số có điều kiện Tần số Tần Số Số lượng trung bình 1 0.024577 0.003519 0.003519 0.003519 2 0.083724 0.11986 0.015505 0.01551738 3 0.183765 0.026309 0.041814 0.14191078 4 0.180808 0.025885 0.067699 0.06812506 5 0.154599 0.022133 0.089832 0.09107341 6 0.112584 0.016118 0.10595 0.10866922 7 0.077198 0.011052 0.117002 0.12175334 8 0.050275 0.007198 0.1242 0.13130704 9 0.03712 0.005314 0.129514 0.13903198 10 0.02631 0.003767 0.133281 0.14506757 11 0.020396 0.00292 0.136201 0.15000748 12 0.013665 0.001956 0.138157 0.15371498 13 0.009994 0.001431 0.139588 0.15663962 14 0.005609 0.000803 0.140391 0.15870604 15 0.005303 0.000759 0.14115 0.16051876 16 0.002244 0.000321 0.141471 0.16170875 17 0.001428 0.000204 0.141676 0.16261899 18 0.00153 0.000219 0.141895 0.16340732 19 0.001326 0.00019 0.142085 0.16404851 20 0.000918 0.000131 0.142216 0.16453603 21 0.00153 0.000219 0.142435 0.16503802 22 0.000612 8.76E-05 0.142523 0.16535298 23 0.000816 0.000117 0.142639 0.16565263 24 0.000714 0.000102 0.142742 0.16590744 25 0.000714 0.000102 0.142844 0.16613383 26 0.000204 2.92E-05 0.142873 0.16626641 27 0 0 0.142873 0.16635287 28 0.000408 5.84E-05 0.142931 0.16648298 29 0.000306 4.38E-05 0.142975 0.16658543 30 0.00051 7.38E-05 0.143048 0.16670596 31 0.000306 4.38E-05 0.143092 0.16679003 32 0.000204 2.92E-05 0.143121 0.16685396 33 0.000102 1.46E-05 0.143136 0.16690042 34 0 0 0.143136 0.16692826 35 0.000102 1.46E-05 0.14315 0.16696609 36 0 0 0.14315 0.16698588 37 0.000102 1.46E-05 0.143165 0.16701685 Bảng 1.4: kết quả tái tạo của tai nạn Trong cột thứ tư của bảng này, hàm phân phối tăng có được bởi các thành phần của cột thứ ba. Trong trường hợp này, thành phần thứ n mô tả xác suất xảy ra tai nạn đầu tiên trong vòng n năm. Các dữ liệu này mô tả hàm phân phối trong phương trình tái tạo với thời gian rời rạc để ước tính số lượng tai nạn trung bình của một người có bảo hiểm trong 1, 2, ..., n năm. Giải phương trình tái tạo với thời gian rời rạc (36) ta được kết quả 1.10 Dạng số 44 trình bày ở cột cuối cùng trong bảng 1.3. Ở đây các kết quả cho ta số lượng tai nạn trung bình là thấp. Với dữ liệu được sử dụng là thực, được cung cấp bởi công ty bảo hiểm và hơn nữa đây là kết quả kết hợp với giá trị xác suất có ít nhất một tai nạn xảy ra trong suốt thời gian bảo hiểm, như ta đã nêu ở trên là 0,14316. Chương 2 Xích Markov 2.1 Tính Markov 2.1.1 Định nghĩa tính Markov Giả sử chúng ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ vật lí hoặc sinh thái nào đó (có thể là phân tử, hạt cơ bản, người hoặc một sinh vật nào đó,. . . ). Kí hiệu X(t) là vị trí của hệ tại thời điểm t. Tập hợp các vị trí có thể có của hệ được gọi là không gian trạng thái. Giả sử trước thời điểm s hệ ở trạng thái nào đó, còn ở thời điểm s hệ ở trạng thái i. Ta cần biết tại thời điểm t trong tương lai (t > s)hệ ở trạng thái j với xác suất bao nhiêu? Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc vào s, t, i, j thì điều này có nghĩa là: sự tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ. Đó là tính Markov. Hệ có tính chất này gọi là quá trình Markov. Chẳng hạn, nếu gọi X(t) là dân số tại thời điểm t (trong tương lai), thì có thể xem X(t) chỉ phụ thuộc vào dân số hiện tại và độc lập với quá khứ. Nói chung, các hệ (sinh thái, vật lý hoặc cơ học,. . . ) không có trí nhớ hoặc sức ỳ, là những hệ có tính Markov. Ta kí hiệu E là tập gồm các giá trị của X(t)và gọi E là không gian trạng thái của X(t). Nếu X(t)có tính Markov và E đánh số được (đếm được), thì X(t) được gọi là xích Markov. Thêm vào đó, nếu t = 0, 1, 2 . . . thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc, còn nếu t ∈ [0;∞) thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian liên tục. Về phương diện toán học, tính Markov được định nghĩa như sau: Định nghĩa 2.1 (Tính Markov). Ta nói rằng X(t) có tính Markov nếu: P {X(tn+1) = j|X(t0) = i0, . . . , X(tn−1) = in−1, X(tn) = i} = = P {X(tn+1) = j|X(tn) = i} với bất kì t0 < t1 < . . . < tn < tn+1 < . . . và i0, . . . , in−1, i, j ∈ E. Ta xem tn là hiện tại, tn+1 là tương lai, (t0, t1, . . . , tn−1) là quá khứ. Vì thế biểu thức trên chính là tính Markov của X(t). Đặt p(s, i, t, j) = P {X(t) = j|X(s) = i} , (s < t). Đó là xác suất có điều kiện để hệ (hay quá trình) tại thời điểm sở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j. Vì thế ta gọi p(s, i, t, j) là xác suất chuyển của hệ (hay quá trình). Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào (t− s), tức là, p(s, i, t, j) = p(s+ h, i, t+ h, j), thì ta nói hệ (hay quá trình) là thuần nhất theo thời gian. 2.1 Tính Markov 46 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ 2.1. Cho ξ0, ξ1, . . . , ξn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, Ek là tập hợp các giá trị của ξk,Ek hữu hạn hay đếm được (k = 0, 1, . . . , n, . . .). Đặt E = ∞⋃ k=0 Ek, rõ ràng E là tập hợp không quá đếm được. Khi đó, ta thấy P {ξn+1 = j|ξ0 = i0, . . . , ξn−1 = in−1, ξn = i} = = P {ξn+1 = j} = P {ξn+1 = j|ξn = i} = p(n, i, n+ 1, j) với i0 ∈ E0, i1 ∈ E1, . . . , in−1 ∈ En−1, i ∈ En, j ∈ En+1. Như thế (ξn,n = 0, 1, 2, . . .) là xích Markov. Ví dụ 2.2. Cho ξ0, η1, . . . , ηn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, nhận các giá trị là những số nguyên. Đặt Xn = ξ0 + η1 + η2 + . . .+ ηn (n = 1, 2, . . .). Ta có P {Xn+1 = j|ξ0 = i0, X1 = i1, . . . , Xn−1 = in−1, Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0, η1 = i1 − i0, . . . , ηn = i− in−1} = P {ηn+1 = j − i|ξ0 = i0, η1 = i1 − i0, . . . , ηn = i− in−1} = P {ηn+1 = j − i} và P {Xn+1 = j|Xn = i} = P {Xn+1 + ηn+1 = j|ξ0 + η1 + . . .+ ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = j − i|ξ0 + η1 + . . .+ ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = j − i} Như thế (Xn;n = 1, 2, . . .) là xích Markov. Các xích Markov ở ví dụ 2.1 và 2.2 trên là không thuần nhất. Nếu trong ví dụ 2.1 cho ξ0, ξ1, . . . , ξn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập và cùng phân phối xác suất, thì (ξn;n = 0, 1, 2, . . .) là xích Markov thuần nhất và ngược lại. Trong ví dụ 2.2, nếu cho η1, η2, . . . , ηn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập và cùng phân phối xác suất, thì (Xn;n = 1, 2, . . .) là xích Markov thuần nhất. Thật vậy, bằng lập luận như trên ta có P {Xn+h = j|Xn = i} = P {ηn+1 + ηn+2 + . . .+ ηn+h = j − i} = P {η2 + η3 + . . .+ ηh+1 = j − i} = P {Xh+1 = j|X1 = i} với mọi n = 1, 2, . . . ; h = 1, 2, . . . ; j, j ∈ E ⊂ N. 2.2 Định nghĩa xích Markov 47 2.2 Định nghĩa xích Markov Xét một hệ kinh tế hoặc vật lí S với m trạng thái có thể, được mô tả bởi tập hợp I : I = {1,2, . . . ,m}. (2.1) Đặt S là hệ được tạo ra ngẫu nhiên với thời gian rời rạc (t = 0,1,2, . . . ,n, . . .) và Jn là biến ngẫu nhiên mô tả trạng thái của hệ S tại thời điểm n. Định nghĩa 2.2. Dãy ngẫu nhiên (Jn,n ∈ N) là một xích Markow khi và chỉ khi với mọi j0, j1, . . . , jn ∈ I : P (Jn = jn|J0 = j0, J1 = j1, . . . , Jn−1 = jn−1) = P (Jn = jn|Jn−1 = jn−1) (2.2) (với xác suất này có nghĩa). Định nghĩa 2.3. Một xích Markow (Jn,n ≥ 0) là thuần nhất khi và chỉ khi xác suất 2.2 không phụ thuộc vào n và không thuần nhất trong các trường hợp khác. Tạm thời, ta chỉ xét trường hợp thuần nhất, ta có: P (Jn = j|Jn−1 = i) = Pij (2.3) và ma trận P được định nghĩa như sau: P = [pij]. (2.4) các phần tử của ma trận P có các tính chất sau: (i) pij ≥ 0, với mọi i, j ∈ I. (2.5) (ii) ∑ j∈I pij = 1, với mọi i ∈ I. (2.6) Ma trận P thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi là ma trận Markov hoặc ma trận chuyển. Với mỗi ma trận chuyển, ta có thể kết hợp với một mạch chuyển có đỉnh mô tả các trạng thái. Có một cung nằm giữa hai đỉnh i và j khi và chỉ khi pij > 0. Hình 2.1: Để định nghĩa đầy đủ cho sự thác triển xích Markov cần cố định phân phối ban đầu cho trạng thái J0, có nghĩa là vectơ p = (p1, . . . , pm) (2.7) 2.2 Định nghĩa xích Markov 48 như vậy : pi ≥ 0, i ∈ I (2.8)∑ i∈I pi = 1. (2.9) Với mọi i, pi mô tả xác suất ban đầu của trạng thái bắt đầu từ i : pi = P (J0 = i). (2.10) Phần còn lại của chương này ta sẽ xét xích Markov thuần nhất được đặc trưng bởi cặp (p,P). Nếu Jn = i và nếu hệ bắt đầu từ trạng thái i với xác suất bằng 1 thì khi đó các thành phần của vectơ p sẽ là: pj = δij . (2.11) Bây giờ ta xét xác suất chuyển p(n)ij , được định nghĩa như sau: p (n) ij = P (Jv+n = j|Jv = i). (2.12) Từ tính chất Markov (1.2) rõ ràng với điều kiện liên quan đến Jv+1, ta được p (2) ij = ∑ k pikpkj. (2.13) Sử dụng kí hiệu ma trận sau: P(2) = [p (2) ij ] (2.14) Ta thấy rằng hệ thức 2.13 tương đương với P(2) = P2. (2.15) Dùng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu P(n) = [p (n) ij ] (2.16) thì với mọi n ≥ 1 ta được: P(n) = Pn. (2.17) Ghi chú: 2.17 chỉ ra rằng ma trận xác suất chuyển sau n bước sẽ bằng với lũy thừa thứ n của ma trận P. Với phân phối lề liên quan đến Jn, với i ∈ I và n ≥ 0 ta định nghĩa rằng: pi(n) = P (Jn = i). (2.18) Các xác suất này được tính như sau: pi(n) = ∑ j pjp (n) ji , i ∈ I. (2.19) Nếu ta viết p (0) ji = δji hoặc P (0) = I (2.20) 2.2 Định nghĩa xích Markov 49 thì hệ thức 2.19 đúng với mọi n ≥ 0. Nếu p(n) = (p1(n), . . . , pm(n)) (2.21) thì hệ thức 2.19, sử dụng kí hiệu ma trận, trở thành: p(n) = pPn. (2.22) Định nghĩa 2.4. Ma trận Markov P chính quy nếu tồn tại một số nguyên dương k, sao cho mọi phần tử của ma trận P(k) đều dương. Từ hệ thức 2.17, P chính quy khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương k sao cho mọi phần tử của ma trận P lũy thừa k đều dương. Ví dụ 2.3. i) Nếu P = [ .5 .5 1 0 ] (2.23) thì P2 = [ .75 .25 .5 .5 ] (2.24) vì thế P là chính quy. Sơ đồ chuyển kết hợp với P được thể hiện trong biểu đồ 2.2. ii) Nếu P = [ 1 0 .75 .25 ] (2.25) P không chính quy vì với bất kì số nguyên k thì p (k) 12 = 0. (2.26) Sơ đồ chuyển trong trường hợp này được mô tả trong biểu đồ 2.3. Hình 2.2: Tương tự đúng với ma trận: P = [ 0 1 1 0 ] (2.27) 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 50 Hình 2.3: iii) Bất kì ma trận P nào mà các phần tử của nó đều dương thì nó là chính quy. Ví dụ13 231 4 3 4  và .7 .2 .1.6 .2 .2 .4 .1 .5  (2.28) 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn Đặt i ∈ I và d(i) là ước số chung lớn nhất của tập hợp số nguyên n, như vậy p (n) ii > 0. (2.29) Định nghĩa 2.5. Nếu d(i) > 1 thì trạng thái i được gọi là tuần hoàn với chu kì d(i). Nếu d(i) = 1 thì trạng thái i là không tuần hoàn. Rõ ràng, nếu pii > 0 thì i là không tuần hoàn. Tuy nhiên, ngược lại là không đúng. Chú ý 2.1. Nếu P chính quy thì mọi trạng thái đều không tuần hoàn. Định nghĩa 2.6. Một xích Markov với các trạng thái không tuần hoàn được gọi là một xích Markov không tuần hoàn. Sau này ta chỉ xét xích Markov loại này. 2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản Định nghĩa 2.7. Trạng thái i được gọi là hướng đến trạng thái j (kí hiệu i . j) khi và chỉ khi có một số nguyên dương n sao cho pnij > 0 (2.30) i 6 .j có nghĩa là i không hướng đến j. Định nghĩa 2.8. Trạng thái i và j được gọi là liên thông khi và chỉ khi i . j và j . i hoặc j = i. Ta kí hiệu i / .j. Định nghĩa 2.9. Trạng thái i được gọi là ước lượng được khi và chỉ khi nó liên thông với mọi trạng thái mà nó hướng đến. Ngược lai, nó được gọi là không ước lượng được. 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 51 Quan hệ /. định nghĩa quan hệ tương đương bên ngoài không gian trạng thái I có kết quả là một phân hoạch của I. Lớp tương đương chứa trạng thái i được mô tả bởi C(i). Định nghĩa 2.10. Một xích Markov được gọi là tối giản khi và chỉ khi có duy nhất một lớp tương đương. Rõ ràng, nếu P chính quy thì xích Markov có cả tính tối giản và không tuần hoàn. Một xích Markov như vậy được gọi là ergodic. Dễ thấy rằng, nếu trạng thái i ước lượng được (không ước lượng được) thì mọi thành phần của lớp C(i) là ước lượng được (không ước lượng được) (xem Chung (1960)). Định nghĩa 2.11. Một tập con E của không gian trạng thái I được gọi là đóng khi và chỉ khi : ∑ j∈E pij = 1, với mọi , i ∈ E. (2.31) Điều này chỉ ra rằng với mọi lớp ước lượng được đều là đóng cực tiểu. Xem Chung (1960). 2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy Định nghĩa 2.12. Cho các trạng thái i và j, với J0 = i, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên τij là thời gian chuyển đầu tiên đến trạng thái j như sau: τij = { n nếu Jv 6= j, 0 < v < n, Jn = j ∞ nếu Jv 6= j với mọi v > 0 (2.32) τij được gọi là thời gian đến của trạng thái {j}, bắt đầu từ trạng thái i vào thời điểm 0. Giả sử: f (n) ij = P (τij = n|J0 = i), n ∈ N0 (2.33) và fij = P (τij <∞|J0 = i) (2.34) có thể thấy rằng với n > 0: f (n) ij = P (Jn = j, Jv 6= j, 0 < v < n|J0 = i) (2.35) = ∑ S′n,i,j n−1∏ k=0 pαkαk+1 (2.36) trong đó tập hợp tổng S ′n,i,j được định nghĩa: S ′n,i,j = {(α0, α1, . . . , αn):α0 = i, αn = j, αk ∈ I, αk 6= j,k = 1, . . . , n− 1}. (2.37) Ta cũng có: fij = ∞∑ n=1 f (n) ij , (2.38) 1− fij = P (τij = ∞|J0 = i) (2.39) 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 52 Các thành phần của f (n)ij dễ dàng được tính bằng phép quy nạp, sử dụng các hệ thức sau: pij = f (1) ij , (2.40) p (n) ij = n−1∑ v=1 f (v) ij p (n−v) jj + f (n) ij , n ≥ 2. (2.41) Đặt: mij = E(τij |J0 = 1) (2.42) với xác suất trung bình vô hạn. Giá trị của mij được cho bởi: mij = ∞∑ n=1 nf (n) ij −∞(1− fij). (∗) (2.43) Nếu i = j thì mij được gọi là trung bình thời gian chuyển đầu tiên hoặc thời gian hồi quy trung bình của trạng thái i. Với mọi j, ta định nghĩa dãy số lần quay lại trạng thái j (r(j)n , n ≥ a) liên tiếp như sau: r (j) 0 = 0 (2.44) r(j)n = sup k {k ∈ N0, k > r(j)n−1, Jv 6= j, r(j)n−1 0 (2.45) Sử dụng tính Markov và giả sử J0 = j, dãy số lần trở lại trạng thái j là một dãy tái tạo với biến ngẫu nhiên r(j)n − r(j)n−1, n ≥ 1 (2.46) có phân phối theo τjj. Nếu J0 = i, i 6= j thì (r(j)n , n ≥ 0) là một dãy tái tạo tổng quát. Trong trường hợp này: r(j)n = τij (2.47) và r(j)n − r(j)n−1 ∼ τjj, n > 1 (2.48) Điều này chỉ ra rằng xích Markov bao hàm nhiều quá trình tái tạo được nhúng. Các quá trình này được dùng để định nghĩa sự phân loại các trạng thái tiếp theo. Định nghĩa 2.13. Một trạng thái i được gọi là nhất thời (hồi quy) nếu quá trình tái tạo liên kết với số lần quay lại trạng thái i liên tiếp của nó là nhất thời (hồi quy). Hệ quả trực tiếp của định nghĩa này là: i nhất thời ⇔ fii < 1, (2.49) i hồi qui ⇔ fii = 1. (2.50) Một trạng thái hồi quy i được gọi là null (dương) nếu mii = ∞ (mii <∞). Nó chỉ ra rằng nếu mii <∞ thì ta chỉ có trạng thái hồi quy dương. Sự phân loại này dẫn đến định lí khai triển (xem Chung 1960). 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 53 Mệnh đề 2.14 (Định lí khai triển). Không gian trạng thái I của bất kì xích Markov nào cũng có thể được phân tích thành r(r ≥ 1) tập con C1, ..., Cr có dạng phân hoạch, như vậy mỗi tập con Ci chỉ là một trong các dạng sau: a) Một tập đóng dương hồi quy ước lượng được. b) Một tập không đóng nhất thời không ước lượng được. Chú ý 2.2. 1) Nếu một lớp không ước lượng được giảm đến trạng thái {i}, có hai khả năng: a) Tồn tại một số nguyên dương N sao cho: 0 < pNii < 1. (2.51) b) Trong trường hợp số N trong a) không tồn tại thì trạng thái i được gọi là trạng thái không quay lại. 2) Nếu trạng thái {i} có dạng một lớp ước lượng được thì pii = 1 (2.52) và trạng thái i được gọi là trạng thái hấp thu. 3) Nếu m = ∞, có thể có hai dạng khác của lớp trong định lí khai triển: a) Đóng nhất thời ước lượng được. b) Các lớp không đóng hồi quy ước lượng được. Tài liệu về xích Markov đưa ra các điều kiện cần và đủ sau cho trạng thái nhất thời và hồi quy. Mệnh đề 2.15. (i) Trạng thái i là nhất thời khi và chỉ khi ∞∑ n=1 pnii <∞. (2.53) Trong trường hợp này, với mọi k ∈ I: ∞∑ n=1 p (n) ki <∞ (2.54) và trong trường hợp riêng: lim n→∞ p (n) ki = 0, ∀k ∈ I. (2.55) (ii) Trạng thái i là hồi quy khi và chỉ khi ∞∑ n=1 p (n) ii = ∞. (2.56) 2.4 Số lần chiếm giữ 54 Trong trường hợp: k / .i⇒ ∞∑ n=1 p (n) ki = ∞ (2.57) và k 6 .i⇒ ∞∑ n=1 p (n) ki = 0 (2.58) 2.4 Số lần chiếm giữ Với bất kì trạng thái j, và n ∈ N0, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên Nj(n) là số lần trạng thái j xảy ra trong n lần chuyển đầu tiên. Nj(n) = #{k ∈ {1, ..., n} : Jk = j}. (2.59) Theo định nghĩa, biến ngẫu nhiên Nj(n) được gọi là số lần xảy ra trạng thái j trong n phép chuyển đầu tiên. Biến ngẫu nhiên Nj(∞) = lim n→∞ Nj(n) (2.60) được gọi là số lần xảy ra của trạng thái j. Với bất kì trạng thái j và n ∈ N0 ta định nghĩa: Zj(n) = { 1 nếu Jn = j 0 nếu Jn 6= j. (2.61) Ta có thể viết: Nj(n) = n∑ v=1 Zj(v). (2.62) Từ hệ thức 2.34 ta có: P(Nj(∞) > 0|J0 = i) = fij . (2.63) Đặt gij là xác suất có điều kiện của vô hạn phép chuyển xảy ra trạng thái j, bắt đầu với J0 = i và: gij = P (Nj(∞) = ∞|J0 = i). (2.64) Khi đó: gii = lim n→∞ f (n) ii (2.65) gij = fij · gjj (2.66) gii = 1 ⇔ fii = 1 ⇔ i hồi quy . (2.67) gii = 0 ⇔ fii < 1 ⇔ i nhất thời. (2.68) Kết quả 2.67 có thể được giải thích như sau: hệ S sẽ xảy ra trạng thái hồi quy với số lần vô hạn và sẽ xảy ra trạng thái nhất thời với số lần hữu hạn. 2.5 Tính xác suất hấp thu 55 2.5 Tính xác suất hấp thu Mệnh đề 2.16. i) Nếu i hồi quy và j ∈ C(i) thì fij = 1. ii) Nếu i hồi quy và j /∈ C(i) thì fij = 0. Chứng minh. (i) Từ định nghĩa xác suất gij (xem hệ thức 2.64), với mọi số nguyên dương n ta có: gij = ∑ k∈I p (n) ik gkj (2.69) hoặc 1− gij = ∑ k∈I p (n) ik (1− gkj) . (2.70) Theo giả thiết i / .j và trạng thái i là hồi quy, theo mệnh đề 2.14 thì trạng thái j cũng hồi quy. Như vậy, theo 2.67 gjj = 1. Từ 2.70, với mọi n > 0: p (n) jk (1− gkj) = 0. (2.71) Với j . i, tồn tại một số nguyên dương N sao cho: p (N) ij > 0. (2.72) Áp dụng hệ thức 2.71 với k = i, ta được: gij = 1 (2.73) do đó, theo 2.66 fij = 1. (2.74) (ii) Vì C(i) là lớp hồi quy nên C(i) đóng. Như vậy nếu j /∈ C(i) thì i không hướng tới j và như vậy: fij = 0. (2.75) Mệnh đề 2.17. Đặt T là tập hợp các trạng thái nhất thời của I, và đặt C là một lớp hồi quy . Với mọi j, k ∈ C ta có fij = fik. (2.76) Đánh dấu cho giá trị thông thường này như fiC, các xác suất (fiC , i ∈ T ) thỏa mãn hệ tuyến tính: fi,C = ∑ k∈T pikfk,C + ∑ k∈C pik, i ∈ T. (2.77) 2.6 Dáng điệu tiệm cận 56 Chứng minh. Từ hệ thức 2.63 ta có: fij = ∑ k∈I pikP (Nk(∞) > 0|J1 = k) (2.78) hoặc fij = ∑ k∈I pikfkj. (2.79) Theo mệnh đề trước, ta được: fi,C = ∑ k∈T pikfk,C + ∑ k∈C pik, i ∈ T. (2.80) Chú ý 2.3. Parzen (1962) chứng minh rằng theo giả thiết của mệnh đề 2.17, hệ tuyến tính 2.77 có nghiệm duy nhất. Điều này nói rằng, đặc biệt nếu chỉ có một lớp tối giản C, với mọi i ∈ T thì: fi,C = 1. (2.81) Định nghĩa 2.18. Xác suất fi,C đựơc trình bày trong mệnh đề 2.17 được gọi là xác suất hấp thu trong lớp C, bắt đầu từ trạng thái i. Nếu lớp C hồi quy: fi,C = { 1 nếu i ∈ C 0 nếu i hồi qui, i /∈ C. (2.82) 2.6 Dáng điệu tiệm cận Xét một xích Markov tối giản không tuần hoàn hồi quy dương. Giả sử rằng giới hạn sau tồn tại: lim n→∞ pj(n) = pij , j ∈ I (2.83) bắt đầu với J0 = i. Hệ thức pj(n+ 1) = ∑ k∈I pk(n)pkj (2.84) trở thành: p (n+1) ij = ∑ k∈I p (n) ik pkj (2.85) vì pj(n) = p (n) ij . (2.86) Do không gian trạng thái I là hữu hạn, từ 2.83 và 2.85 ta được: pij = ∑ k∈I pikpkj (2.87) 2.6 Dáng điệu tiệm cận 57 và từ 2.86: ∑ i∈I pii = 1. (2.88) Kết quả: lim n→∞ p (n) ij = pij (2.89) được gọi là kết quả ergodic, từ đó giá trị của giới hạn trong 2.89 độc lập với trạng thái ban đầu i. Từ kết quả 2.89 và 2.19, với bất kì hàm phân phối ban đầu p nào ta có: lim n→∞ pi(n) = lim n→∞ ∑ j pjp (n) ji (2.90) = ∑ j pjpii (2.91) vì thế lim n→∞ pi(n) = pii. (2.92) Điều này nói rằng dáng điệu tiệm cận của xích Markov được trình bày bởi sự tồn tại (hoặc không tồn tại) giới hạn của ma trận Pn. Một kết quả chuẩn liên quan đến dáng điệu tiệm cận của Pn được cho nêu ở mệnh đề tiếp theo và được chứng minh ở Chung (1960), Parzen (1962) hoặc Feller (1957). Mệnh đề 2.19. Với bất kì xích Markov không tuần hoàn của ma trận chuyển P và số lượng hữu hạn trạng thái, ta có: a) Nếu trạng thái j là hồi quy (dương) thì (i) i ∈ C(j) ⇒ lim n→∞ p (n) ij = 1 mjj . (2.93) (ii) i hồi quy và /∈ C(j) ⇒ lim n→∞ p (n) ij = 0. (2.94) (iii) i nhất thời lim n→∞ p (n) ij = fi,C(j) mjj . (2.95) b) Nếu i nhất thời thì với mọi i ∈ I: lim n→∞ p (n) ij = 0. (2.96) Từ mệnh đề 2.19, ta có các hệ quả sau được suy ra. 2.6 Dáng điệu tiệm cận 58 Hệ quả 2.20 (Trường hợp tối giản). Nếu xích Markov của ma trận chuyển P là tối giản thì với mọi i, j ∈ I: lim n→∞ p (n) ij = pij (2.97) với pij = 1 mjj . (2.98) Theo đó với mọi j: pij > 0. (2.99) Nếu ta sử dụng chú ý 2.3 trong trường hợp riêng khi đó ta chỉ có duy nhất một lớp hồi quy và ở đó các trạng thái là nhất thời (vì thế được gọi là trường hợp duy nhất rút gọn được), khi đó ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.21 (Trường hợp duy nhất rút gọn được). Nếu xích Markov của ma trận chuyển P có một lớp C ước lượng được (đại lượng hồi quy dương) và T là tập hợp nhất thời, khi đó ta có: i) Với mọi i,j ∈ C : lim n→∞ p (n) ij = pij (2.100) với {pij , j ∈ C} là nghiệm duy nhất của hệ: pij = ∑ i∈C piipij , (2.101) ∑ j∈C pij = 1. (2.102) ii) Với mọi j ∈ T : lim n→∞ p (n) ij = 0 với mọi i ∈ I. (2.103) iii) Với mọi j ∈ C: lim n→∞ p (n) ij = pij với mọi i ∈ T. (2.104) Chú ý 2.4. Hệ thức 2.101 và 2.102 đúng vì tập hợp các trạng thái hồi quy C có thể được xem như xích Markov phụ của xích ban đầu. Nếu trạng thái nhất thời thời ` thuộc tập hợp {1, . . . , `}, sử dụng phép hoán vị của tập hợp I thì ma trận P có dạng sau: 1 ...l l + 1 ...m 1 ... l `+ 1 ... m  P11 O P12 P22  = P (2.105) 2.6 Dáng điệu tiệm cận 59 Điều này chứng minh rằng ma trận phụ P22 chính là một ma trận chuyển Markov. Bây giờ ta xét một xích Markov của ma trận P. Trường hợp tổng quát được nêu bởi một phân hoạch của I: I = T ⋃ C1 ⋃ . . . ⋃ Cr. (2.106) trong đó T là tập hợp các trạng thái nhất thời và C1, . . . , Cr là r lớp hồi quy dương. Sắp xếp lại thứ tự của các phần tử trong I, ta giả sử rằng T = {1, . . . , `}, (2.107) C1 = {`+ 1, . . . , `+ v1}, (2.108) C2 = {`+ v1 + 1, . . . , `+ v1 + v2}, (2.109) ... Cr = { `+ r−1∑ j=1 vj + 1, . . . ,m } (2.110) trong đó vj là số lượng các phần tử trong Cj, (j = 1, . . . , r) và `+ r∑ j=1 vj = m. (2.111) Điều này có kết quả từ phân hoạch khối của ma trận P sau: P =  P`×` 0 0 ... 0 P`×v1 Pv1×v1 0 ... 0 P`×v2 0 Pv2×v2 ... 0 · · · · · · · · · . . . · · · P`×vr 0 0 ... Pvr×vr  (2.112) trong đó, với j = 1, . . . , r: P`×` là ma trận con chuyển cho T . P`×v1 là ma trận con chuyển từ T đến Cj. Pvj×vj là ma trận con chuyển cho lớp Cj. Từ mệnh đề 2.19, ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.22. Cho một xích Markov tổng quát của ma trận P , theo 2.112, ta có: i) Với mọi i ∈ I và j ∈ T : lim n→∞ p (n) ij = 0. (2.113) lim n→∞ p (n) ij =  pij nếu i ∈ Cv 0 nếu i ∈ Cv′ , v′ 6= v fi,Cvpi v j nếu i ∈ T. (2.114) Hơn nữa, với mọi v = 1, . . . ,r : ∑ j∈Cv pivj = 1. (2.115) 2.7 Các ví dụ 60 Dựa vào kết quả cuối cùng này ta có thể tính được các giá trị giới hạn vô cùng đơn giản. Cho (pivj , j ∈ Cv), v = 1, . . . ,r, nó đủ để giải quyết các hệ tuyến tính cho mỗi v cố định:  pivj = ∑ k∈Cv pivkpkj, j ∈ Cv,∑ i∈Cv pivi = 1. (2.116) Thực vậy, từ đó mỗi Cv chính là một tập hợp không gian xích Markov tối giản của ma trận Pv×v , các hệ thức trên chính là 2.87 và 2.88. Cho xác suất hấp thu (fi,Cv , i ∈ T ), v = 1, . . . ,r, nó đủ để giải hệ tuyến tính sau với mỗi v cố định. Theo mệnh đề 2.17, ta có: fi,Cv = ∑ k∈T pikfi,Cv+ ∑ k∈Cv pik, i ∈ T. (2.117) 2.7 Các ví dụ Xích Markov xuất hiện trong nhiều lĩnh vực thực nghiệm như các nghiên cứu về phép toán, thương mại, khoa học xã hội,. . . Để chứng thực cho khả năng này, ta sẽ xét một vài ví dụ đơn giản sau trong trường hợp nghiên cứu sự phát triển đầy đủ của một mảng bảo hiểm xã hội. i) Cho ma trận P như sau P = [ .5 .5 1 0 ] (2.118) Từ đó P2 = [ .75 .25 .5 .5 ] (2.119) Ma trận P là chính quy nên tối giản và không tuần hoàn. Phân phối giới hạn (pi1,pi2) thỏa mãn hệ 2.87 và 2.88: .5pi1 + pi2=pi1 .5pi1 =pi2 pi1 + pi2=1 (2.120) Nghiệm duy nhất là: pi1 = 2 3 , pi2 = 1 3 . (2.121) Theo 2.98, kết quả này cho ta giá trị của các trạng thái quay lại trung bình là: m11 = 3 2 , m22 = 3. (2.122) 2.7 Các ví dụ 61 ii) Bài toán chuyển. (Anton-Kolman (1978)). Ta xét một công ty taxi của một thành phố V , ta chia thành phố ra thành ba khu vực V1, V2 và V3. Một xe taxi có thể đón và đưa hành khách đến bất kì đâu trong ba khu vực trên. Ta có thể xem một xe taxi như một hệ vật lý S và có thể là một trong ba trạng thái: khu vực V1, V2 hoặc V3. Sự khảo sát về xe taxi hướng đến cấu trúc của một xích Markov với ba trạng thái. Xích Markov này có ma trận P như sau, ví dụ: P = 0.5 0.4 0.10.3 0.6 0.1 0.2 0.1 0.7  (2.123) ma trận này là chính quy, do đó tối giản và không tuần hoàn, với tất cả các phần tử của nó đều dương. iii) Vấn đề quản lí của một công ty bảo hiểm Một công ty bảo hiểm xe phân loại khách hàng thành ba nhóm: G0 : Khách hàng không xảy ra tai nạn nào trong cả năm. G1 : Khách hàng bị tai nạn một lần duy nhất trong một năm. G2 : Khách hàng bị tai nạn nhiều hơn một lần trong một năm. Ban thống kê của công ty quan sát thấy rằng sự chuyển đổi hàng năm của ba nhóm này có thể được mô tả bởi xích Markov với không gian trạng thái {G0, G1, G2} và ma trận chuyển: P = .85 .10 .050 .80 .20 0 0 1  . (2.124) Ta giả sử rằng mỗi năm công ty đưa ra 50.000 hợp đồng mới và muốn biết sự phân phối của các hợp đồng này trong bốn năm kế tiếp. Sau một năm, mỗi nhóm có kết quả trung bình như sau: + Nhóm G0:50, 000× 0.85 = 42, 500. + Nhóm G1:50, 000× 0.10 = 5, 000. + Nhóm G2:50, 000× 0.05 = 2, 500. Các kết quả này chỉ là các phần tử dòng đầu tiên của ma trận P nhân với 50.000. Sau hai năm, nhân các phần tử dòng đầu tiên của ma trận P(2) với 50.000 ta được: + Nhóm G0: 36, 125. + Nhóm G1: 8, 250. + Nhóm G2: 5, 625. Tính toán tương tự ta đưa ra: Sau 3 năm Sau 4 năm G0 30.706 26.100 2.7 Các ví dụ 62 G1 10.213 11.241 G2 9.081 12.659 Bảng 2.1: Dạng của xích Markov với ma trận chuyển 2.124, có lớp {1,2} là nhất thời và lớp {3} là hấp thu. Như vậy, theo hệ quả 2.21 ta có ma trận giới hạn A = 0 0 10 0 1 0 0 1  (2.125) Ma trận giới hạn có thể được giải thích là: bất chấp thành phần ban đầu của nhóm, khách hàng sẽ kết thúc hợp đồng khi xảy ít nhất hai tai nạn. iv) Hệ thống sưởi - vấn đề quản lí nhà Một cuộc điều tra về các hệ thống sưởi cho các căn hộ (sử dụng nhiên liệu dầu hỏa, gas hoặc điện) chỉ ra rằng việc chuyển từ một hệ này sang hệ khác được mô tả bởi xích Markov với ba trạng thái: 1: nhiên liệu dầu hỏa. 2: gas. 3: điện năng và được mô tả bởi ma trận sau: P = .825 .175 0.60 .919 .021 .049 0 .951  (2.126) Vấn đề được giải quyết như sau: Nếu phân phối hiện thời của hệ thống sưởi là 26% đối với dầu, 60% đối với gas và 14% đối với điện, phân phối cuối cùng của thị trường sẽ là gì? Để giải quyết vấn đề này ta cần tính toán giá trị tiệm cận của P. Sơ đồ chuyển liên quan đến P cho ta ma trận là tối giản và không tuần hoàn. Giải hệ 2.87, 2.88 ta được: pi1 = .244, pi2 = .529, pi3 = .227 (2.127) Đó là khoảng 24% cho nhiên liệu dầu, 53% cho gas và 23% cho điện. Chú ý 2.5. Nếu muốn biết trạng thái sau một hoặc hai sự biến đổi, có thể dùng hệ thức 2.19 với n = 1, 2, 3 và với P cho bởi: p = (.26, .60, .14). (2.128) 2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 63 Ta thu được kết quả sau: p (1) 1 = .257 p (1) 2 = .597 p (1) 3 = .146 p (2) 1 = .255 p (2) 2 = .594 p (2) 3 = .151 p (3) 1 = .254 p (3) 2 = .590 p (3) 3 = .156. Kết quả cho ta thấy sự hội tụ của p(n) về pi tương đối nhanh. 2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) Để tính toán tiền bảo hiểm và trợ cấp lương hưu cho các trường hợp bệnh nghề nghiệp như nhiễm bụi silic, ta cần tính toán mức độ trung bình của bệnh tật vào thời điểm cho trước. Giả sử rằng ta có m mức độ bệnh tật: S1, . . . , Sm, và cuối cùng là trả 100% lương hưu nhưng chưa tính tiền tử. Theo Yntema, giả sử rằng người quyết định chính sách bảo hiểm có thể chọn từ mức độ Si đến Sj với xác suất pij. Giả thiết này dẫn đến việc xây dựng một mô hình xích Markov với ma trận m×m: P = [pij ] (2.129) là ma trận chuyển liên quan đến mức độ bệnh tật. Các cá thể bắt đầu tại thời điểm 0 với Si là mức độ bệnh. Mức độ trung bình của bệnh tật sau bước chuyển thứ n là: Si(n) = m∑ j=1 p (n) ij Sj. (2.130) Để nghiên cứu sự cân bằng tài chính của tiền quỹ ta phải tính giá trị giới hạn của Si(n): Si = lim n→∞ Si(n) (2.131) hoặc: Si = lim n→∞ m∑ j=1 p (n) ij Sj . (2.132) Giá trị này được tính bởi hệ quả 2.22 với i = 1, . . . , m. Ví dụ 2.4. Dùng dữ liệu thực tế của bệnh nhiễm bụi silic, Yntema (1962) bắt đầu với các mức độ nhiễm bệnh như sau: S1 = 10%; S2 = 30%; S3 = 50%; S4 = 70%; S5 = 100%. Sử dụng dữ liệu ở Hà Lan, ông xét ma trận chuyển P sau: P =  .90 .10 0 0 0 0 .95 .05 0 0 0 0 .90 .05 .05 0 0 0 .90 .10 0 0 .05 .05 .90  (2.133) Biểu đồ chuyển kết hợp với ma trận 2.133 được thể hiện trong hình 2.4: Từ đó ta có: 2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 64 i) Tất cả các trạng thái đều không tuần hoàn. ii) Tập {S3, S4, S5} là một lớp ước lượng được (hồi quy dương). iii) Các nút trạng thái 1 và 2 là các lớp nhất thời không ước lượng được. Do đó một xích Markov duy nhất rút gọn được có thể kết hợp được với ma trận P. Vậy, ta có thể áp dụng hệ quả 2.21. Theo hệ thức 2.132 ta có: Si = lim n→∞ 5∑ j=3 pijSj (2.134) Trong đó (pi3, pi4, pi5) là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính: pi3 pi5 pi4 1 = = = = .9 · pi3 .05 · pi3 .05 · pi3 pi3 + + + + 0 · pi4 .9 · pi4 .05 · pi4 pi4 + + + + .05 · pi5, .05 · pi5, .9 · pi5, pi5 (2.135) Hình 2.4: Nghiệm của hệ là: pi3 = 2 9 , pi4 = 3 9 , pi5 = 4 9 . (2.136) Vì vậy: S¯i = ( 2 9 50 + 3 9 70 + 4 9 100 ) % (2.137) Hoặc S¯j = 79% (2.138) 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 65 đây là kết quả của Yntema. Hệ thức 2.138 chứng minh rằng mức độ trung bình của bệnh tật độc lập với trạng thái ban đầu i. 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận Trong phần này ta trình bày một thuật toán hữu ích cho cách giải đầy đủ dáng điệu tiệm cận của một xích Markov. Nó sẽ diễn tả ví dụ về bảo hiểm xã hội được cho trong phần trước. Thuật toán, được đưa ra bởi De Dominics, Manca (1984b), hữu ích cho sự phân loại trạng thái của xích Markov. Nó thể hiện trên đồ thị mô tả các phép chuyển của quá trình từ trạng thái này sang trạng thái khác. Để biểu diễn các bước của thuật toán ta sẽ theo ví dụ đã được nêu trong phần trước. Đầu tiên, ta mô tả ngắn gọn lý thuyết đồ thị dạng Christophidies (1975). Đặt Γ là không gian trạng thái: Γ = {x1, x2, ..., xm} (2.139) Trong đó nút xi mô tả trạng thái thứ i. Γ(xi) mô tả tập hợp các nút có thể đạt được sau một bước đơn từ xi, ta nói rằng xj ∈ Γ(xi)nếu có một cung nối trực tiếp từ xi đến xj . Γk(xi) mô tả tập hợp các nút có thể đạt được từ xi theo một đường dẫn có độ dài k. Cuối cùng, R(xi) là tập hợp của tất cả các nút có thể đạt được từ xi nghĩa là giả sử Γ0(xi) = {xi} nó có kết quả là: R(xi) = p⋃ k=1 Γk(xi) (2.140) trong đó p ≤ m− 1 là số nguyên nhỏ nhất như vậy Γp+1(xi) ⊆ p⋃ k=1 Γk(xi). (2.141) Bây giờ đặt A là ma trận kề của đồ thị. Như đã biết nó cho kết quả là: aij = { 1 nếu xj ∈ Γ(xi) 0 nếu xj /∈ Γ(xi) (2.142) Ma trận kề liên quan đến đồ thị trong hình minh họa 2.4 được thể hiện trong bảng 2.2. Trạng Thái 1 2 3 4 5 1 1 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 0 0 1 1 5 0 0 1 1 1 Bảng 2.2: Ma trận kề Như có thể thấy trong bảng 2.2, các phần tử của giá trị 1 là vị trí của các phần tử khác 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 66 0 trong ma trận chuyển 2.133. A có thể được xem là ma trận Boolean. Đặt: Ak = Ak−1A (2.143) cho ta: kaij = { 1 nếu xj ∈ Γk(xi) 0 nếu xj /∈ Γk(xi) (2.144) Khi đó, kí hiệu R là ma trận đạt được của đồ thị được định nghĩa như sau: rij = { 1 nếu xj ∈ R(xi) 0 nếu xj /∈ R(xi) (2.145) ta thấy rằng: R = A0 ∨A1 ∨A2 ∨ ... ∨Am−1. (2.146) Quan hệ giữa ma trận đạt được và ma trận kề của bảng 2.2 được thể hiện trong bảng 2.3. Trạng thái 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 3 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 5 0 0 1 1 1 Bảng 2.3: Ma trận đạt được Với ma trận đạt được, ta có thể chia nhỏ tập hợp các trạn