Luận văn Trình bày phương pháp hàm Lyaunov cho phương trình sai phân và phương trình động lực trên thang thời gian

Mục lục 1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm 1 1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định. . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm . . . 8 1.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân và phương trình động lực trên thang thời gian 17 2.1. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . . 20 2.1.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng . . . . . . . . . 21 2.1.5. Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous 24 2.1.7. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không au- tonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 i 2.1.8. Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể 29 2.1.9. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Phương trình động lực trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Các khái niệm cơ bản về thang thời gian . . . . . . . . . 34 2.2.2. Đạo hàm và tích phân trên thang thời gian . . . . . . . . 35 2.2.3. Các kết quả về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ii Lời mở đầu Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương trình sai phân được nhiều người quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong các mô hình chuyển động cơ học và các mô hình sinh thái. Tuy nhiên để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó nhiều hướng nghiên cứu mới của lý thuyết ổn định đã xuất hiện và nhận được nhiều kết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng. Trong luận văn này chúng tôi cố gắng trình bày lại một số kết quả của phương pháp hàm Lyapunov cho các hướng nghiên cứu cơ bản mà gần đây được nhiều người quan tâm là tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [3], [9], [14], [16]) và tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân (xem [3], [7]). Trong phần cuối của luận văn chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về sự ổn định nghiệm của phương trình động lực trên thang thời gian. Trong đó ngoài việc chứng minh chi tiết các điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ phương trình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gian, chúng tôi đã cố gắng dành công sức vào việc xây dựng các ví dụ cụ thể. Trên cơ sở các ví dụ này chúng tôi thấy rằng các kết quả nhận được có thể áp dụng cho các mô hình quần thể sinh học mà hiện nay đang được nhiều người quan tâm. Nội dung của luận văn gồm có hai chương: trong chương 1, ngoài một số kiến thức chuẩn bị về khái niệm và trình bày tóm tắt các kết quả cổ điển của phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân trong Rn, chúng tôi đã trình bày lại các định lý cơ bản của phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm. Chương 2 dành cho việc trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân và phương trình động lực trên thang thời gian. Trong đó có sự đóng góp của tác giả vào quá trình chứng minh các kết quả mới và xây dựng ví dụ. Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Đặng Đình Châu đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích trong iii khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy và tổ chức các buổi xemina đầy bổ ích, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi và động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2009 Tác giả Nguyễn Ngọc Huy iv Bảng ký hiệu N := Tập hợp các số nguyên không âm R := Tập hợp các số thực R+ := Tập hợp các số thực dương Rn := Không gian véc tơ thực n chiều CIP := Tập các hàm liên tục, tăng và nhận giá trị dương Mn(R) := Tập hợp các ma trận cấp nì n T := Thang thời gian σ(t) := Toán tử nhảy tiến ρ(t) := Toán tử nhảy lùi à(t) := Hàm hạt f∆(t) := Đạo hàm ∆ của f tại t v Chương 1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm 1.1. Kiến thức chuẩn bị 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Giả sử cho hệ vi phân phi tuyến thực: dy dx = Y (t, y) (1.1.1) Trong đó Y ∈ C(0,1)ty (Ω) và Ω = [a,∞)ìG (G là tập mở trong không gian Euclide thực n chiều Rn). Giả sử Ω là miền tồn tại duy nhất nghiệm, tức là tại mỗi điểm (t0, y0) ∈ Ω tồn tại và duy nhất nghiệm y = y(t, t0, y0) của hệ (1.1.1) thoả mãn điều kiện ban đầu y(t, t0, y0) = y0. Trong chương này ta giới hạn chỉ xét các nghiệm thực. Giả sử η = η(t) (t0 ≤ ∞ : t0 > a) là nghiệm của hệ (1.1.1) (chuyển động không bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó. Ký hiệu UH(η(t)) = {t0 ≤ t < ∞; ||y − η(t)|| < H ≤ ∞}. Ta đặt: x = y − η(t), (1.1.2) 1 tức x là độ lệch của nghiệm y với nghiệm η(t). Vì: . η ≡ Y (t, η(t)) nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x: dx dt = X(t, x), (1.1.3) trong đó: X(t, x) = [Y (t, x+ η(t)− Y (t, η(t))] ∈ C(0,1)tx (Z), Z = {a < t < ∞, ‖x‖ < H}, hơn nữa rõ ràng: X(t, 0) ≡ 0. Do đó, hệ (1.1.3) có nghiệm tầm thường x = 0 ứng với nghiệm đã cho η = η(t) trong không gian Rny . Hệ (1.1.3) gọi là hệ rút gọn. Như vậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm η = η(t) trong không gian Rn được đưa về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm thường x = 0 trong không gian Rn. Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.1.3) được gọi là ổn định (ôđ) theo Lyapunov khi t → +∞, nếu với ∀ > 0 , ∃δ = δ(, t0) sao cho từ bất đẳng thức ‖x(t0)‖ < δ suy ra ‖x(t)‖ <  với mọi t ≥ t0. Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.1.3) được gọi là ổn định tiệm cận (ôđtc) theo Lyapunov khi t → +∞, nếu nó ổn định theo Lyapunov và ∃h > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1.3) thoả mãn điều kiện ‖x(t0)‖ < h thì lim t→∞ ‖x(t)‖ = 0. Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.1.3) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov khi t → +∞ nếu trong các định nghĩa tương ứng, số δ chọn được không phụ thuộc vào t0. Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.1.3) được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t0, x0) của hệ đó ở trong miền nào đó t0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thoả mãn bất đẳng thức: ||x(t)|| ≤ N ||x(t0)||e−α(t−t0) (t ≥ t0) . trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t). Ta dễ dàng thấy rằng, từ sự ổn định mũ của nghiệm x = 0 suy ra sự ổn định tiệm cận của nó. Thật vậy, đặt: ||x(t0)|| <  N = , 2 trong đó  > 0 tuỳ ý, ta có: ||x(t)|| <  với t ≥ t0, tức là nghiệm x = 0 ổn định theo Lyapunov, ngoài ra rõ ràng ta có: lim t→+∞ x(t) = 0, nếu ||x(t0)|| ≤ h. Tương tự, ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm không tầm thường. Cụ thể là nghiệm ξ(t) là ổn định mũ nếu với t ≥ t0, các nghiệm x(t) gần nó thoả mãn bất đẳng thức: ||x(t)− ξ(t)|| ≤ N ||x(t0)− ξ(t0)||e−α(t−t0), (t ≥ t0). trong đó N và α là hai hằng số dương nào đó. Xét hàm số: V = V (t, x) ∈ Ctx(Z0), trong đó Z0 = {a < t < ∞, ||x|| < h}. Tiếp theo ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác định. Định nghĩa 1.1.5. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x), được gọi là không đổi dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z0, nếu: V (t, x) ≥ 0 (hay V (t, x) ≤ 0), với (t, x) ∈ Z0. Định nghĩa 1.1.6. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô hướng W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho: V (t, x) ≥ W (x) > 0, với ||x|| 6= 0, (1.1.4) V (t, 0) = W (0) = 0. Tương tự, hàm V (t, x) được gọi là hàm xác định âm trong Z0 nếu tìm được W (x) ∈ C(||x||) < h) sao cho: V (t, x) ≤ −W (x) < 0, nếu ||x|| 6= 0 3 và: V (t, x) = W (0) = 0. Hàm xác định dương hay xác định âm gọi là có dấu xác định về phía W (x), đôi khi có thể lấy: W (x) = inf t |V (t, x)| Đặc biệt, V = V (x) là hàm có dấu xác định nếu (−1)σV (x) > 0, với ||x|| 6= 0 và V (0) = 0, trong đó đối với hàm xác định dương thì σ = 0, còn đối với hàm xác định âm thì σ = 1. Định nghĩa 1.1.7. Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nếu với t0 > a nào đó, ta có: V (t, x)⇒ 0 theo t trên [t0,∞) khi t → 0, tức là đối với bất kỳ  > 0, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho: |V (t, x)| <  (1.1.5) khi ||x|| < δ và t ∈ [t0,∞). Nhờ bất đẳng thức (1.1.5), ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó: t0 ≤ t < ∞, ||x|| < h. Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t, và sao cho V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0. 1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định. Giả sử X(t, x) ∈ C(0,1)tx (Z), Z = {a < t < ∞, ‖x‖ < H} và hệ vi phân: dx dt = X(t, x) (1.1.6) là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) ≡ 0. Rõ ràng hệ (1.1.6) có nghiệm tầm thường ξ = 0. Ta đặt: V ≡ V (t, x) ∈ C(1,1)tx (Z0), Z0 = {a < t < ∞; ||x|| ≤ h < H} ∈ Z 4 và X ≡ X(t, x) = column[X1(t, x), ...Xn(t, x)]. Hàm: . V (t, x) = ∂V ∂t + n∑ j=1 ∂V ∂xj Xj(t, x) ≡ ∂V ∂t + (gradV,X) được gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.1.6). Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.1.6) thì . V (t, x) là đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là: . V (t, x) = d dt V (t, x(t)). Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z0 và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (1.1.6) xác định bởi điều kiện ban đầu: x(τ, t, x) = x. Khi đó: . V (t, x) = [ d dt V (τ, x(τ, t, x)) ] τ=t . (1.1.7) Nếu . V (t, x) > 0 với V (t, x) = C thì các đường cong tích phân x = x(t) tại điểm (t, x) của mặt cong V (t, x) = C sẽ đi từ phía âm của mặt đặc trưng bởi pháp tuyến −gradV , sang phía dương của nó xác định bởi pháp tuyến +gradV . Khi . V (t, x) < 0 ta có hình ảnh ngược lại. Loại mặt V (t, x) = C ấy ta được gọi là mặt không tiếp xúc đối với trường các đường cong tích phân của hệ (1.1.6). Chú ý. Khái niệm đạo hàm . V (t, x) theo hệ (1.1.6) có thể mở rộng được. Cụ thể, khi đó ta đặt: . V (t, x) = lim h→0+ 1 h {V (t+ h, x + hX(t, x))− V (t, x)}. Định lý 1.1.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định) Nếu đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm vô hướng xác định dương: V (t, x) ∈ C(1,1)tx (Z0), (Z0 ∈ Z), và hàm này có đạo hàm theo thời gian, . V (t, x) theo hệ đó có dấu âm không đổi, thì nghiệm tầm thường x(t) = 0, (a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi t → +∞. Ví dụ 1.1.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ dx dt = −(x− 2y)(1− x2 − 3y2) dy dt = −(x + y)(1− x2 − 3y2) 5 Chọn hàm V (x, y) = x2 + 2y2. Rõ ràng hàm đó là xác định dương. Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là dV dt = −2(1− x2 − 3y2)(x2 + 2y2) 6 0 với x, y đủ bé. Vậy nghiệm tầm thường x = 0, y = 0 của hệ đã cho là ổn định. Định lý 1.1.2. (Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận) Giả sử đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm xác định dương V (t, x) ∈ C(1,1)tx (Z0) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian V˙ (t, x) theo hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞. Ví dụ 1.1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ dxdt = −5y − 2x3dy dt = 5x− 2y3 Chọn hàm V (x, y) = x2 + 2y2 thoả mãn các điều kiện của định lý thứ hai của Liapunov. Thật vậy V (x, y) > 0 và V (t, 0, 0) = 0; dV dt = −(4x4 + 6y4) 6 0 và dV dt = 0 khi x = 0, y = 0. Vậy nghiệm tầm thường x = 0, y = 0 của hệ đã cho là ổn định tiệm cận. Định lý 1.1.3. (Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định) Giả sử đối hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm V (t, x) ∈ C(1,1)tx (Z0) có giới hạn vô cùng bé khi x → 0 và có đạo hàm V˙ (t, x) theo hệ phương trình là xác định dấu. Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận ||x|| < ∆ (∆ ≤ h < H) tìm được điểm (t0, x0) mà tại đó dấu của hàm V cùng dấu của đạo hàm V˙ , tức là: V (t0, x0)V˙ (t0, x0) > 0 (1.1.8) thì nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ (1.1.6) không ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞. Ví dụ 1.1.3. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ dx dt = x2 + y dy dt = y2 + x Chọn hàm V (x, y) = 1 3 x3 + xy + 1 3 y3 Xét trên miền E = {(t, x, y) : t > 0, x > 0, y > 0}. Vì trong E hàm V là xác định 6 dương, dV dt = (x2 + y)2 + (y2 + x)2 > 0. Vậy nghiệm tầm thường x = 0, y = 0 của hệ đã cho là không ổn định theo định lý thứ 3. Chú ý 1. Trong định lý thứ ba, hàm V (t, x) không hẳn phải có dấu xác định. 2. Hàm V (t, x) thoả mãn các điều kiện của định thứ nhất đến thứ ba của Lyapunov ta sẽ gọi, tương ứng, là hàm Lyapunov loại 1, loại 2 và loại 3. 1.1.3. Tiêu chuẩn so sánh Xét phương trình vi phân x˙(t) = f(t, x), x(t0) = x0 (1.1.9) trong đó f ∈ C[R+ ì S(ρ), Rn] và f(t, 0) = 0, S(ρ) = {x ∈ Rn : ‖x‖ < ρ}. Với hàm V ∈ C[R+ ìRn, R+], ta xác định đạo hàm của V như sau D+V (t, x) = lim sup h→0+ 1 h [V (t+ h, x + hf(t, x))− V (t, x)] với (t, x) ∈ R+ ìRn. Ta có định lý so sánh sau đây Định lý 1.1.4. (Định lý 3.9.1,xem [3]) Giả sử các điều kiện sau đây được thoả mãn (i) g ∈ C[R+ ìR,R], g(t, 0) = 0 và g(t, u) là không giảm theo u với mỗi t ∈ R+. (ii) V ∈ C[R+ ì S(ρ), R+], V(t,x) là Lipsit địa phương theo x và hàm V0(t, x) =∑N i=1 Vi(t, x) là xác định dương. (iii) f ∈ C[R+ ì S(ρ), Rn], f(t, 0) = 0 và D+V (t, x) 6 g(t, V (t, x)), (t, x) ∈ R+ ì S(ρ). Khi đó tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình u˙(t) = g(t, u), u(t0) = u0 > 0 (1.1.10) kéo theo tính ổn định tương ứng của nghiệm tầm thường của phương trình (1.1.9) Ví dụ 1.1.4. Xét hệ hai phương trìnhx˙ = ysint+ e−tx− (x3 + xy2)sin2ty˙ = xsint+ e−ty − (x2y + y3)sin2t (1.1.11) 7 Chọn hàm Lyapunov V (t, x) = 1 2 (x2 + 2Bxy + y2), khi đó D+V (t, x) dọc theo nghiệm của hệ trên bằng tổng của hai hàm w1(t, x), w2(t, x) trong đó w1(t, x) = x 2[e−t + Bsint] + xy[2Be−t + (A+ 1)sint] + y2[Ae−t + Bsint], w2(t, x) = −sin2t(x2 + y2)(x2 + 2Bxy + y2) Ta tìm A, B sao cho w1(t, x) = λ(t)V (t, x), gồm hai trường hợp sau (i) A1 = 1, B1 = 1, λ1(t) = 2(e−t + sint) thì V1(t, x) = 12(x + y) 2 (ii) A2 = 1, B2 = −1, λ2(t) = 2(e−t − sint) thì V2(t, x) = 12(x− y)2 Khi đó các giả thiết của định lý được thoả mãn, vì (a) Các hàm V1(t, x) > 0, V2(t, x) > 0 và V0(t, x) = ∑2 i=1 Vi(t, x) = x 2 + y2 là xác định dương. (b) Bất đẳng thức D+V (t, x) 6 g(t, V (t, x)) thoả mãn với các hàm g1(t, u1) = 2(e −t + sint)u1, g2(t, u2) = 2(e −t − sint)u2. Các hàm g(t, u) là không giảm theo u và nghiệm tầm thường của phương trình u˙ = g(t, u) là ổn dịnh. Do đó kéo theo nghiệm tầm thường của hệ (1.1.11) là ổn định theo định lý trên. 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm Trong phần này, tôi xin được trình bày một số kiến thức cơ bản của phương trình vi phân hàm: Giả sử x ∈ Rn, ta ký hiệu |x| là chuẩn của phần tử x trong Rn. Ký hiệu C([α, β], Rn) là không gian Banach các hàm liên tục, xác định trên [α, β] và nhận giá trị trong Rn.Với ϕ ∈ C([α, β], Rn) thì chuẩn của ϕ được định nghĩa là ‖ϕ‖ = supα6θ6β|ϕ(θ)|, Đặc biệt khi [α, β] = [−h, 0], với h là hằng số dương, ta ký hiệu C = C([−h, 0], Rn) 8 và CH = {ϕ|ϕ ∈ C, ‖ϕ‖ 6 H,H > 0}. Cho σ ∈ R,A ∈ R+, ta xét hàm x ∈ C([σ− h, σ +A], Rn). Với mỗi t ∈ [σ, σ+A] ta xác định các hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn) có tính chất xt(θ) = x(t+ θ);−h 6 θ 6 0. (xt hiểu là phần hạn chế của hàm x(.) trên đoạn [t-h, t]). Giả sử Ω = R+ ì CH, f : Ω → Rn, ký hiệu x˙ là đạo hàm phải của x tại t, chúng ta xét phương trình vi phân x˙ = f(t, xt). (1.2.12) Ta gọi phương trình (1.2.12) là phương trình vi phân có chậm hoặc phương trình vi phân hàm trên Ω. Ta luôn giả thiết hàm f : Ω → Rn là liên tục trên Ω Định nghĩa 1.2.8. Hàm x = xt(t0, ϕ) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2.12) với điều kiện ban đầu ϕ ∈ CH tại t = t0, t0 > 0 nếu tồn tại số A > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h, t0 + A), Rn) và có các tính chất (1) xt0(t0, ϕ) = ϕ, ϕ ∈ CH; (2) x(.) = xt(t0, ϕ) thoả mãn (1.2.12) với mỗi t ∈ [t0, t0 + A). Giả sử phương trình (1.2.12) thoả mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm (xem [14]) và f(t, 0) = 0,∀t ∈ R+. Khi đó, phương trình (1.2.12) có nghiệm tầm thường x ≡ 0. Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi hàm (1.2.12) bằng hai phương pháp là phương pháp từng bước và phương pháp Laplace. Ví dụ 1.2.5. (giải bằng phương pháp Laplace) Xét phương trình vi phân có chậm:x˙(t) = x(t− 1)ϕ(t) = t,−1 6 t 6 0. Ta có: x(t) → X(p); x˙(t) → pX(p), x(0) = ϕ(0) = 0. Néu f(t) → F (p) và t0 > 0 thì f(t− t0) → e−t0pF (p), x(t− 1) → e−p[ ∫ 0 −1 e−ptϕ(t)dt + X(p)] = 1− e−p p2 − 1 p + e−pX(p). 9 Phương trình vi phân có chậm đang xét được đưa về dạng: pX(p) = 1 − e−p p2 − 1 p + e−pX(p). Do đó: X(p) = − 1 p(p − e−p) + 1 − e−p p2(p− e−p) . Suy ra, X(p) = − 1 p2 + 1 p3 − ∞∑ k=1 e−kp pk+2 . Cuối cùng ta có: x(t) = ( t2 2 − t)η(t)− ∞∑ k=1 (t− k)k+1 (k + 1)! η(t− k), trong đó η là hàm đơn vị thoả mãn η(t) = 1 khi x > 0,0 khi x < 0. Ví dụ 1.2.6. (phương pháp từng bước) Xét phương trình vi phân có chậm sau:x˙(t) = 6x(t− 1),ϕ(t) = t, 0 6 t 6 1. Ta sẽ tìm nghiệm x(t0, ϕ), (t0 = 1) , của phưng trình vi phân trên đoạn [0,3]. Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:x(t) = ϕ(1) + ∫ t 1 6x(s− 1)ds; t ≥ 1, x(t) = ϕ(t); 0 6 t 6 1; Trên đoạn [1, 2] ta có:x(t) = ϕ(1) + ∫ t 1 6sds; 2 ≥ t ≥ 1, x(t) = ϕ(t); 0 6 t 6 1; hay x(t) = 1 + 3(t− 1)2; 2 ≥ t ≥ 1,x(t) = ϕ(t) 0 6 t 6 1; 10 Trên đoạn [2, 3] ta có:x(t) = ϕ(2) + ∫ t 2 6x(s− 1)ds; 3 ≥ t ≥ 2, x(t) = 1 + 3(t− 1)2; 2 ≥ t ≥ 1, Suy ra, x(t) = 6(t− 2)[(t− 2)2 + 1] + 4; 3 ≥ t ≥ 2,x(t) = 1 + 3(t− 1)2; 2 ≥ t ≥ 1, Như vây, nghiệm của phương trình trên [0,3] là x(t) = t; 1 ≥ t ≥ 0, x(t) = 1 + 3(t− 1)2; 2 ≥ t ≥ 1, x(t) = 6(t− 2)[(t− 2)2 + 1] + 4; 3 ≥ t ≥ 2, Cứ như vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý. Ta định nghĩa sự ổn định của nghiệm tầm thường của (1.2.12). Định nghĩa 1.2.9. Nghiệm tầm thường x = 0 của phương trình vi phân (1.2.12) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu: ∀ε > 0, t0 ∈ R+,∃δ = δ(t0, ε) > 0, sao cho : ‖ϕ‖ t0. Định nghĩa 1.2.10. Nghiệm tầm thường x = 0 của phương trình (1.2.12) được gọi là ổn định đều khi t → +∞ nếu số δ trong định nghĩa 1.2.9 không phụ thuộc vào t0. Định nghĩa 1.2.11. Nghiệm tầm thường x = 0 của phương trình vi phân (1.2.12) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞ nếu: 1. Nghiệm tầm thường x = 0 là ổn định, 2. ∃∆ = ∆(t0) > 0,∀ϕ ∈ C : ‖ϕ‖ < ∆ ⇒ limt→+∞ ‖xt(t0, ϕ)‖ = 0. Định nghĩa 1.2.12. Nghiệm tầm thường x = 0 của phương trình vi phân (1.2.12) được gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu: 1. Nghiệm tầm thường x = 0 là ổn định đều, 2. ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t0) sao cho ∀ϕ ∈ C, ‖ϕ‖ < ∆ ⇒ lim t→+∞ ‖xt(t0, ϕ)‖ = 0. 11 1.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn định của nghiệm tầm thường x = 0 của phương trình (1.2.12). Đây là kết quả mở rộng của phương pháp thứ hai của Lyapunov đối với phương trình vi phân thường. Định nghĩa 1.2.13. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : RìC → R+, thoả mãn điều kiện Lipchitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov. Nếu V : R ì C → R+ là liên tục và xt(t0, ϕ) là nghiệm của phương trình (1.2.12) đi qua điểm (t0, ϕ), chúng ta định nghĩa V˙ (t, ϕ) = lim h→0+ sup 1 h [V (t+ h, xt+h(t0, ϕ))− V (t, ϕ)]. Hàm V˙ (t, ϕ) được gọi là đạo hàm phải trên của hàm V (t, ϕ) dọc theo quỹ đạo của nghiệm phương trình (1.2.12). Để có thể thấy rõ vai trò của phương trình (1.2.12) trong đạo hàm đó người ta thường kí hiệu V(1.2.12)(t, ϕ). Dựa vào phiếm hàm trên ta có một số định lí về sự ổn định sau: Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng phiếm hàm Lyapunov V = V (t, ϕ) xác định trên miền Ω = R+ ì C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phân hàm (1.2.12), ta luôn giả thiết f(t, ϕ) là hoàn toàn liên tục trên Ω và f(t, 0) = 0 . Định lý 1.2.5. (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov) thoả mãn điều kiện: 1. V (t, 0) = 0; 2. a(‖ϕ‖) 6 V (t, ϕ), a ∈ CIP ; 3. V ′(1.2.12) 6 0. trong đó CIP tập các hàm liên tục, tăng và nhận giá trị dương, khi đó nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.2.12) là ổn định. 12 Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, 0) thoả mãn các điều kiện trên, ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x = 0 của phương trình vi phân (1.2.12) là ổn định. Giả sử ε > 0, (ε < H), đủ bé, ta xác định mặt cầu Sε = {ϕ|ϕ ∈ CH, ‖ϕ‖ = ε}, từ điều kiện (2) ta suy ra 0 < a(ε) 6 V (t, ϕ), t ∈ I, ϕ ∈ Sε. Vì V (t, 0) = 0, V (t, ε) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại δ(t0, ε) > 0 sao cho: ‖ϕ‖ 0 ⇒ V (t0, ϕ) < a(ε). Lấy x = x(t0, ϕ) là nghiệm của (1.2.12) sao cho với ‖ϕ‖ < δ, ta sẽ chứng minh: ‖xt(t0, ϕ)‖ t0. Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x = x(t0, ϕ) với ‖ϕ‖ < δ thỏa mãn: ‖xt1(t0, ϕ)‖ = ε (theo định nghĩa ta có thể hiểu là tồn tại s < t1 sao cho ‖xt1(t0, ϕ)‖ = ε/2). Từ điều kiện (3) ta suy ra V (t) = V (t, xt1(t0, ϕ)) giảm theo t nên ta có: V (t1, xt1(t0, ϕ)) 6 V (t, xt(t0, ϕ)), suy ra a(ε) 6 V (t1, xt1(t0, ϕ) 6 V (t0, ϕ) < a(ε) Mâu thuẫn trên chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Vậy ‖ε‖ t0 tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định. Định lý 1.2.6. (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại một phiếm hàm liên tục V : R+ ì C → R+ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. a(‖ϕ‖) 6 V (t, ϕ) 6 b(‖ϕ‖), a, b ∈ CIP ; 13 2. V ′(1.2.12) 6 0, khi đó nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.2.12) là ổn định đều. Chứng minh. Lấy ε > 0 tùy ý ε < H , xét Sε = {ϕ|ϕ ∈ CH , ‖ϕ‖ = ε, 0 < ε < H}, Từ điều kiện (2) ta suy ra a(‖ϕ‖) 6 V (t, ϕ) ⇒ a(ε) 6 V (t, ϕ),∀ϕ ∈ S. Do V (t, ϕ) 6 b(‖ϕ‖) và b ∈ CIP, suy ra với a(ϕ) > 0 ta chọn được số δ(ϕ) < 0 sao cho ‖ϕ‖ < δ ⇒ b(‖ϕ‖) < a(ε) ⇒ b(δ) < a(ε). Lấy một nghiệm tùy ý của (1.2.12) với ‖ϕ‖ < δ(ε). Khi đó với t0 cố định bất kì và từ giả thiết V˙(1.2.12) 6 0 ta có: a(‖xt(t0, ε)‖) 6 V (t, xt(t0, ε)) 6 V (t0, ϕ) 6 b(‖ϕ‖) 6 b(δ) < a(). Tức là: ‖xt(t0, ε)‖ t0, ‖ϕ‖ < δ(ϕ). Vậy nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều. Định lý 1.2.7. ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R+ ì C → R+ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. a(‖ϕ‖) 6 V (t, ϕ) 6 b(‖ϕ‖), a, b ∈ CIP , 2. V ′(1.2.12)(t, ϕ) 6 −c(‖ϕ‖), c ∈ CIP . khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều. Bây giờ ta sẽ chứng minh x ≡ 0 của phương trình (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều. 14 Do nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ0(H) > 0 sao cho với t0 ∈ R+ và ‖ϕ‖ 6 δ0, ta có: ‖xt(t0, ε)‖ t0. Mặt khác ∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 sao cho ∀t0 ∈ R+, ta có: ‖ε‖ t0. Giả sử ngược lại tồn tại một nghiệm x = x(t0, ϕ), (t0 ∈ R+, ‖ϕ‖ < δ0) nhưng không thực hiện đẳng thức lim t→+∞ ‖xt(t0, ϕ)‖ = 0, khi đó tồn tại dãy tk có tính chất: tk > t0, tk → ∞(k →∞) đồng thời δ(ε) 6 ‖x(t0, ε)(tk)‖ < H. Do đó: V (tk, x(t0, ϕ)(tk) > a(δ). Từ điều kiện ta suy ra: V˙(1.2.12)(t, ϕ) 6 −c(‖ϕ‖). Do đó tồn tại γ > 0 sao cho: V˙(1.2.12)(t, ϕ) 6 −γ. Với δ(ε) < ‖ϕ‖ ta có: ∫ t t0 V˙(1.2.12)(τ, ϕ)dτ 6 ∫ t t0 −γdτ, V (t, xt(t0, ε)) 6 V (t0, ϕ)− γ(t− t0). Kí hiệu T := b(δ0)− a(δ) γ . Vì V (t0, ϕ) 6 b(δ0) nên với t > t0 + T và ‖ϕ‖ < δ0 thì ta có: V (t0, ϕ)− γ(t− t0) 6 b(δ0)− γT 6 b(δ0)− b(δ0) + a(δ) 6 a(δ). 15 Chứng tỏ: V (t, xt(t0, ϕ) < a(δ). Mâu thuẫn với V (tk, x(t0, ϕ)(tk) > a(δ). Điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t > t0 + T, (T = T (ε)) và ‖ϕ‖ < δ0 ta có: ‖x(t0, ϕ)‖ < ϕ. Tức là ngiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều. Ví dụ 1.2.7. Xét hệ phương trình vi phânx˙(t) = y(t)− x(t).y2(t− r1(t))y˙(t) = −x(t)− y(t).x2(t− r2(t)) trong đó t ∈ R và rj(t) > 0(j = 1, 2) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ này chúng ta xét hàm : V (x, y) = x2 + y2. Khi đó ta có: V (x, y) = ‖ϕ‖2, đồng thời: V˙ (x, y) = 2.x(t).[y(t)− x(t).y2(t− r1(t))] + 2y[−x(t)− y(t).x2(t− r2(t))] = −y2(t).x2(t− r2(t))− x2(t).y2(t− r1(t)) 6 0. Vậy ta có nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều. Nhận xét: Tương tự như phương trình vi phân thường, người ta đã chứng minh các kết quả về tiêu chuẩn so sánh đối với phương trình vi phân hàm (xem [3]). 16 Chương 2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân và phương trình động lực trên thang thời gian 2.1. Phương trình sai phân 2.1.1. Sai phân hữu hạn Định nghĩa 2.1.14. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm số u(n) = un với n ∈ Z là hiệu ∆un = un+1 − un Định nghĩa 2.1.15. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n) = un là sai phân của sai phân cấp 1 của un, và nói chung sai phân cấp k của hàm un là sai phân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó. Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm un là ∆2un = ∆(∆un) = ∆un+1−∆un = un+2−un+1− (un+1−un) = un+2−2un+1 +un; Sai phân cấp 3 của hàm un là ∆3un = ∆(∆ 2un) = ∆ 2un+1 −∆2un = un+3 − 3un+2 + 3un+1 − un; Nói chung, sai phân cấp k của hàm un là ∆kun = ∆(∆ k−1un) = ∆k−1un+1 −∆k−1un = k∑ i=0 (−1)iC ikun+k−i, 17 trong đó C ik = k! i!(k−i)! . Các tính chất của sai phân: i) Tính chất 1: Sai phân các cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số ∆kun = k∑ i=0 (−1)iC ikun+k−i, trong đó C ik = k! i!(k−i)! . ii) Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính ∆k(αun + βvn) = α∆ kun + β∆ kvn Với α, β là các số thực tuỳ ý. iii) Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng: a) Hằng số nếu k = m, b) 0 nếu k > m, c) Đa thức bậc (m− k) nếu k < m. iv) Tính chất 4: ∆unvn = un∆vn + vn+1∆un, N∑ n=a ∆kun = ∆ k−1uN+1 −∆k−1ua, Đặc biẹt khi k = 1, ta có N∑ n=a ∆un = uN+1 − ua. 2.1.2. Phương trình sai phân tuyến tính Định nghĩa 2.1.16. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp F (un,∆un, ...,∆ kun) = 0 Trong đó un coi là sai phân cấp 0 của hàm un, cấp của phương trình sai phân chính là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k). 18 Định nghĩa 2.1.17. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm un là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau a0un+k + a1un+k−1 + ...+ akun = fn. Trong đó a0.a1, ..., ak với a0 6= 0, ak 6= 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của n, được gọi là vế phải; un là giá trị cần tìm, được gọi là ẩn. Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k a0un+k + a1un+k−1 + ...+ akun = fn. (1) Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng a0un+k + a1un+k−1 + ...+ akun = 0. (2) Phương trình đặc trưng a0λ k + a1λ k−1 + ...+ ak = 0. (3) Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính (1): un = u∗ + u¯, với u∗ là một nghiệm riêng của phương trình trên và u¯ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2). Nghiệm tổng quát của (2) có dạng u¯ = c1un1 + c2un2 + ...+ ckunk trong đó un1, un2 , ..., unk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và c1, c2, ..., ck là các hằng số tuỳ ý. Nếu (3) có k nghiệm phân biệt λ1, λ2, ..., λk thì hệ {λn1 , λn2 , ..., λnk} là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm tổng quát của (2) là u¯ = c1λ n 1 + c2λ n 2 + ...+ ckλ n k . Nếu (3) có nghiệm thưc λj bội s thì ngoài nghiệm λnj ta bổ sung thêm các vectơ nλnj , n 2λnj , ..., n s−1λnj cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm tổng quát của (2) là u¯ = k∑ i 6=j=1 ciλ n i + s−1∑ i=0 cijn iλnj . 19 Nếu (3) có nghiệm phức λj = r(cosϕ+ isinϕ) bội s thì ta lấy thêm các nghiệm: rnnicosnϕ, rnnisinnϕ, i = 0, ..., s− 1 u¯ = k∑ i 6=j=1 ciλ n i + s−1∑ i=0 rn(ain icosnϕ + bin isinnϕ). trong đó ai, bi là các hằng số tuỳ ý. 2.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân u1(k + 1) = a11(k)u1(k) + a12(k)u2(k) + ...+ a1n(k)un(k), u2(k + 1) = a21(k)u1(k) + a22(k)u2(k) + ...+ a2n(k)un(k), ....................... un(k + 1) = an1(k)u1(k) + an2(k)u2(k) + ...+ ann(k)un(k). Đặt u(k) =  u1(k) u2(k) ... un(k)  ;A(k) =  a11(k) a12(k) . . . a1n(k) a21(k) a22(k) . . . a2n(k) . . . . . . . . . an1(k) an2(k) . . . ann(k)  , Khi đó hệ trên tương đương với phương trình u(k + 1) = A(k).u(k) k > k0 (2.1.1) ở đây: u(k) = (u1(k), u2(k), ...un(k))T ∈ Rn và ta luôn giả thiết A(k) = (aij(k))nìnlà ma trận không suy biến. Bài toán Cauchy: Xét bài toán:u(k + 1) = A(k).u(k) k > k0,u(k0) = u0. (2.1.2) Bằng phương pháp truy hồi, chúng ta dễ dàng thấy rằng bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi: u(k) = A(k − 1).A(k − 2)...A(k0 + 1).A(k0).u0, k > k0 (2.1.3) Họ ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến: 20 Định nghĩa 2.1.18. Với mỗi s > k0, ký hiệu: W (k, s) = A(k− 1).A(k− 2)...A(s+ 1).A(s) Khi đó, họ {W (k, s)}k>s>k0 được gọi là họ ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến A(k). Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc (hay ma trận Cauchy): Định nghĩa 2.1.19. Giả sử họ {W (k, s)}k>s>k0 là họ ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến A(k). Khi đó W (k, k0) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của hệ (2.1.1). Nhận xét 1. Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ ma trận tiến hoá ta thấy, với mỗi s > k0 thì W (k, s) = W (k, k1).W (k1, s) với mọi k > k1 > s Đặc biệt: W (k, k0) = W (k, k1).W (k1, k0) với mọi k > k1 > k0, W (k, s) = W (k, k0).W −1(s, k0) với mọi k > s. 2. Khi A(k) = A là ma trận hằng, ta nhận được: W (k, k0) = Ak−k0 với mọi k > k0. 3. Nghiệm u(k) := u(k, k0, u0) của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng: u(k) = W (k, k0).u0 với mọi k > k0. 2.1.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng Xét hệ phương trình sai phân u1(k + 1) = a11(k)u1(k) + a12(k)u2(k) + ...+ a1n(k)un(k) + b1(k), u2(k + 1) = a21(k)u1(k) + a22(k)u2(k) + ...+ a2n(k)un(k) + b2(k), ....................... un(k + 1) = an1(k)u1(k) + an2(k)u2(k) + ...+ ann(k)un(k) + bn(k). Đặt u(k) =  u1(k) u2(k) ... un(k)  ;A(k) =  a11(k) a12(k) . . . a1n(k) a21(k) a22(k) . . . a2n(k) . . . . . . . . . an1(k) an2(k) . . . ann(k)  ; b(k) =  b1(k) b2(k) ... bn(k)  , 21 Khi đó bài toán Cauchy của hệ trên được viết dưới dạngu(k + 1) = A(k)u(k) + b(k) k > k0,u(k0) = u0, (2.1.4) ở đây, b(k) ∈ Rn. Định lý 2.1.8. Nghiệm u(k) := u(k, k0, u0) của hệ (2.1.4) được xác định bởi công thức: u(k) = W (k, k0)u0 + n∑ i=k0+1 W (k, i)b(i− 1) (2.1.5) Chứng minh. Ta tìm nghiệm u(k) của (2.1.4) dưới dạng: u(k) = W (k, k0).C(k) (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số. Vì u(k0) = W (k0, k0)C(k0) = C(k0) suy ra: C(k0) = u0. Từ u(k) = W (k, k0)C(k), ta có u(k + 1) = W (k + 1, k0)C(k + 1). (2) Mà: u(k + 1) = A(k)v(k) + b(k) = A(k)W (k, k0)C(k) + b(k) = W (k + 1, k0)C(k) + b(k). (3) Kết hợp (2) và (3) ta được: W (k + 1, k0)C(k + 1) = W (k + 1, k0)C(k) + b(k), Suy ra W (k + 1, k0)∆C(k) = b(k) hay ∆C(k) = W−1(k + 1, k0).b(k). Do đó n−1∑ i=k0 ∆C(i) = n−1∑ i=k0 W−1(i + 1, k0)b(i), và ta được C(k)− C(k0) = ∑n i=k0+1 W−1(i, k0)b(i− 1). (4) Thay (4) vào (1) ta nhận được kết quả (2.1.5). Hệ quả 2.1.1. Nếu A(k) = A là ma trận hằng ta được: u(k) = Ak−k0u0 + n∑ i=k0+1 Ak−ib(i− 1) với mọi k > k0. 22 2.1.5. Các khái niệm về ổn định Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến u1(k + 1) = f1(k, u1(k), u2(k), ..., un(k)), u2(k + 1) = f2(k, u1(k), u2(k), ..., un(k)), ....................... un(k + 1) = fn(k, u1(k), u2(k), ..., un(k)). Đặt u(k) =  u1(k) u2(k) ... un(k)  ; f(k, u(k)) =  f1(k, u1(k), u2(k), ..., un(k)) f2(k, u1(k), u2(k), ..., un(k)) ... fn(k, u1(k), u2(k), ..., un(k))  , Khi đó bài toán Cauchy của hệ được viết dưới dạng u(k + 1) = f(k, u(k), u(a) = u0, k ∈ N, trong đó u và f là các vectơ (1ìn) thành phần ui và fi, 1 6 i 6 n. Ta luôn giả sử f(k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) để hệ có nghiệm tầm thường u(k) = u(k, a, 0) = 0. Định nghĩa 2.1.20. Nghiệm tầm thường u(k) = 0 của hệ được gọi là ổn định (ôđ) theo Lyapunov, nếu với ∀ > 0 , ∃δ = δ(, a) sao cho từ bất đẳng thức ‖u0‖ < δ suy ra ‖u(k)‖ <  với mọi k ≥ a. Định nghĩa 2.1.21. Nghiệm tầm thường u(k) = 0 của hệ được gọi là ổn định tiệm cận (ôđtc) theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và ∃h > 0 sao cho mọi nghiệm u(k) của hệ thoả mãn điều kiện ‖u0‖ < h thì lim k→∞ ‖u(k)‖ = 0. Định nghĩa 2.1.22. Nghiệm tầm thường u(k) = 0 của hệ được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong các định nghĩa tương ứng, số δ chọn được không phụ thuộc vào a. Định nghĩa 2.1.23. Nghiệm tầm thường u(k) = 0 của hệ được gọi là ổn định mũ nếu đối với mỗi nghiệm u(k) ≡ u(k, a, u0) của hệ đó ở trong miền nào đó a ≤ k < ∞, ||u(k)|| ≤ h < H thoả mãn bất đẳng thức: ||u(k)|| ≤ N ||u0||e−α(k−a) (k ≥ a) , trong đó N và α là hai hằng số dương. 23 2.1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous Với phương trình vi phân, phương pháp hàm Liapunov được sử dụng từ những năm 1892, trong khi với phương trình sai phân thì mới được sử dụng gần đây. Xét hệ sai phân autonomous u(k + 1) = f(u(k)), u(0) = u0, k ∈ N, (2.1.6) Ta giả sử rằng f(0) = 0 và f(u) 6= 0 với u 6= 0 trong lân cận của gốc sao cho (2.1.6) có nghiệm tầm thường u(k) = u(k, a, 0) = 0. Cho Ω∗ là một tập mở trong Rn và chứa gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô hướng xác định trên Ω∗, V ∈ C[Ω∗, R] và V (0) = 0. Định nghĩa 2.1.24. V(u) được gọi là xác định dương trên Ω∗ nếu và chỉ nếu V (u) > 0 với u 6= 0, u ∈ Ω∗. Định nghĩa 2.1.25. V(u) được gọi là nửa xác định dương trên Ω∗ nếu V (u) > 0(dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định) với mọi u ∈ Ω∗. Định nghĩa 2.1.26. V(u) được gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trên Ω∗ nếu và chỉ nếu −V (u) là xác định dương (nửa xác định dương) trên Ω∗. Định nghĩa 2.1.27. Hàm φ(r) được gọi là thuộc vào lớp K nếu và chỉ nếu φ ∈ C[[0, ρ), R+], φ(0) = 0 và φ(r) là tăng chặt theo r. Vì V (u) liên tục, với r đủ nhỏ, 0 < c 6 r 6 d ta có V (u) 6 max‖v‖6rV (v), V (u) > minr6‖v‖6dV (v), (2.1.7) trong đó ‖u‖ = r. Trong (2.1.7) bên phải là hàm đơn điệu của r và ta có thể ước lượng hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại hai hàm φ, ξ ∈ K sao cho φ(‖u‖) 6 V (u) 6 ξ(‖u‖). (2.1.8) Từ đó ta có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau: Định nghĩa 2.1.28. V(u) được gọi là xác định dương trên Ω∗ nếu và chỉ nếu V (0) = 0 và tồn tại một hàm φ(r) ∈ K sao cho φ(r) 6 V (u), ‖u‖ = r, u ∈ Ω∗. Đặt Sρ là tập Sρ = {u ∈ Rn : ‖u‖ 6 ρ} và u(k) = u(k, a, u0) là một nghiệm bất kỳ của (2.1.6) sao cho ‖u(k)‖ < ρ,∀k ∈ N(a). Dọc theo nghiệm u(k) = u(k, 0, u0) của (2.1.6) ta xét số gia của hàm V(u) bởi ∆V (u(k)) = V (u(k+ 1)) − V (u(k)) = V (f(u(k)))− V (u(k)). Hàm V(u) được gọi là hàm Lyapunov. 24 Định lý 2.1.9. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (u) ∈ C[Sρ, R+] sao cho ∆V (u(k, 0, u0)) 6 0 với nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, 0, u0) của (2.1.6) thoả mãn ‖u(k‖ < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, 0, 0) = 0 của (2.1.6) là ổn định. Chứng minh. Do V(u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho φ(‖u‖) 6 V (u) với mọi u ∈ Sρ. Với 0 <  < ρ cho trước, vì V(u) liên tục và V (0) = 0, ta có thể chọn được một số δ = δ() > 0 sao cho ‖u0‖ < δ thì V (u0) < φ(). Nếu nghiệm tầm thường của (2.1.6) là không ổn định, khi đó tồn tại nghiệm u(k) = u(k, 0, u0) của (2.1.6) sao cho ‖u0‖ < δ thoả mãn  6 ‖u(k1)‖ < ρ với k1 ∈ N(1). Tuy nhiên do ∆V (u(k)) 6 0 khi ‖u(k)‖ < ρ, ta có V (u(k1)) 6 V (u0) và do đó φ() 6 φ(‖u(k1)‖) 6 V (u(k1)) 6 V (u0) < φ(), dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu ‖u0‖ < δ thì ‖u(k)‖ < ,∀k ∈ N . Nên nghiệm tầm thường của (2.1.6) là ổn định. Định lý 2.1.10. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (u) ∈ C[Sρ, R+] sao cho ∆V (u(k, 0, u0)) 6 −α(‖u(k, 0, u0‖) trong đó α ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, 0, u0) của (2.1.6) thoả mãn ‖u(k‖ < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, 0, 0) = 0 của (2.1.6) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (2.1.11) được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của (2.1.6) là ổn định. Do đó với 0 <  < ρ cho trước, giả sử tồn tại δ > 0, λ > 0 và một nghiệm u(k) = u(k, 0, u0) của (2.1.6) thoả mãn λ 6 ‖u(k)‖ < , k ∈ N, ‖u0‖ < δ. (2.1.9) Do nghiệm này thoả mãn ‖u(k)‖ > λ > 0,∀k ∈ N nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho α(‖u(k)‖) > d,∀k ∈ N . Nên ta có ∆V (u(k)) 6 −d < 0, k ∈ N . Điều này kéo theo V (u(k)) = V (u0) + k−1∑ l=0 ∆V (u(l)) 6 V (u0)− kd, và với k đủ lớn vế phải sẽ trở thành âm, mâu thuẫn với V(u) xác định dương. Do đó không tồn tại λ thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(u(k)) xác định dương và là hàm giảm theo k nên lim k→∞ V (u(k)) = 0. Suy ra lim k→∞ ‖u(k‖ = 0. Vậy nghiệm tầm thường u(k, 0, 0) = 0 của (2.1.6) là ổn định tiệm cận. 25 Định lý 2.1.11. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (u) ∈ C[Sρ, R], V (0) = 0 sao cho ∆V (u(k, 0, u0)) > α(‖u(k, 0, u0‖) với α ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, 0, u0) của (2.1.6) thoả mãn ‖u(k)‖ < ρ, và nếu trong mọi lân cận H của gốc (H ⊂ Sρ) tồn tại một điểm u0 sao cho V (u0) > 0 thì nghiệm tầm thường u(k, 0, 0) = 0 của (2.1.6) là không ổn định. Chứng minh. Lấy r > 0 đủ nhỏ sao cho tập Sr = {u ∈ Rn : ‖u‖ 6 r} ⊂ Sρ. Đặt M = max‖u‖6rV (u) , M xác định vì V liên tục. Gọi r1 là số thoả mãn 0 < r1 < r thì theo giả thiết tồn tại một điểm u0 ∈ Rn sao cho 0 0. Dọc theo nghiệm u(k) = u(k, 0, u0), k ∈ N, ∆V (u(k)) > 0 và do đó V(u(k)) là hàm tăng, V (u(0)) = V (u0) > 0. Do đó nghiệm u(k) này không thể đi về gốc. Nên infk∈N ∆V (u(k)) = d > 0, suy ra V (u(k)) > V (u0) + kd, k ∈ N . Nhưng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi k đủ lớn , thì u(k) sẽ vượt ra ngoài tập Sr nên nghiệm tầm thường u(k, 0, 0) = 0 của (2.1.6) là không ổn định. Ví dụ 2.1.8. Xét hệ phương trình sai phânu1(k + 1) = u2(k)− cu1(k)(u21(k) + u22(k))u2(k + 1) = u1(k) + cu2(k)(u21(k) + u22(k)) (2.1.10) trong đó c là hằng số, ta chọn hàm xác định dương V (u1, u2) = u21 + u 2 2 trên Ω∗ = R2. Khi đó ta tính được ∆V (u1(k), u2(k)) = c2(u21(k) + u 2 2(k)) 3. Do đó nếu c = 0 thì ∆V (u1(k), u2(k)) = 0 nên nghiệm tầm thường của hệ (2.1.10) là ổn định. Tuy nhiên nếu c 6= 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (2.1.10) là không ổn định. 2.1.7. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không autonomous Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ sai phân u(k + 1) = f(k, u(k)), u(a) = u0, k ∈ N, (2.1.11) trong đó u và f là các vectơ (1ìn) thành phần ui và fi, 1 6 i 6 n. Ta luôn giả sử f(k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) để hệ (2.1.11) có nghiệm tầm thường. Ta nhận xét rằng hàm Lyapunov cho hệ này phụ thuộc cả vào k và u. 26 Định nghĩa 2.1.29. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a) ì Sρ được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a), và tồn tại một hàm φ(r) ∈ K sao cho φ(r) 6 V (k, u), ‖u‖ = r, (k, u) ∈ N(a) ì Sρ, và là xác định âm nếu V (k, u) 6 −φ(r) . Định nghĩa 2.1.30. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a) ì Sρ được gọi là giảm dần (decrescent) nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a), và tồn tại một hàm ξ(r) ∈ K sao cho V (k, u) 6 ξ(r), ‖u‖ = r, (k, u) ∈ N(a)ì Sρ. Đặt u(k) = u(k, a, u0) là nghiệm bất kỳ của (2.1.11) sao cho ‖u(k)‖ 6 ρ với mọi k ∈ N(a). Dọc theo nghiệm này ta sẽ xét số gia của hàm V (k, u) : ∆V (k, u(k)) = V (k +1, u(k +1))−V (k, u(k)) = V (k +1, f(k, u(k)))−V (k, u(k)). Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (2.1.11). Định lý 2.1.12. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a)ì Sρ, R +] sao cho ∆V (k, u(k, a, u0)) 6 0 trong đó nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn ‖u(k‖ < ρ, thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (2.1.11) là ổn định. Chứng minh. Do V(k,u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho φ(‖u‖) 6 V (k, u) với mọi u ∈ Sρ. Với 0 <  < ρ cho trước, vì V(k, u) liên tục và V (k, 0) = 0, ta có thể chọn được một số δ = δ() > 0 sao cho ‖u0‖ < δ thì V (a, u0) < φ(). Nếu nghiệm tầm thường của (2.1.11) là không ổn định, khi đó tồn tại nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.6) sao cho ‖u0‖ < δ thoả mãn  6 ‖u(k1)‖ < ρ với k1 ∈ N(1). Tuy nhiên do ∆V (k, u(k)) 6 0 khi ‖u(k)‖ < ρ, ta có V (k1) = V (k1, u(k1)) 6 V (a, u0) và do đó φ() 6 φ(‖u(k1)‖) 6 V (k1) 6 V (a, u0) < φ(), dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu ‖u0‖ < δ thì ‖u(k)‖ < ,∀k ∈ N . Nên nghiệm tầm thường của (2.1.11) là ổn định. Định lý 2.1.13. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a)ì Sρ, R+] sao cho ∆V (k, u(k, a, u0)) 6 −α(‖u(k, a, u0‖) trong đó α ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn ‖u(k‖ < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (2.1.11) là ổn định tiệm cận. 27 Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (2.1.12) được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của (2.1.11) là ổn định. Do đó với 0 <  < ρ cho trước, giả sử tồn tại δ > 0, λ > 0 và một nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn λ 6 ‖u(k)‖ < , k ∈ N, ‖u0‖ < δ. Do nghiệm này thoả mãn ‖u(k)‖ > λ > 0,∀k ∈ N nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho α(‖u(k)‖) > d,∀k ∈ N . Nên ta có ∆V (k, u(k)) 6 −d < 0, k ∈ N . Điều này kéo theo V (k, u(k)) = V (a, u0) + k−1∑ l=0 ∆V (l, u(l)) 6 V (a, u0)− kd, và với k đủ lớn vế phải sẽ trở thành âm, mâu thuẫn với V(k, u) xác định dương. Do đó không tồn tại λ thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(k, u(k)) xác định dương và là hàm giảm theo k nên lim k→∞ V (k, u(k)) = 0. Suy ra lim k→∞ ‖u(k‖ = 0. Vậy nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của (2.1.11) là ổn định tiệm cận. Định lý 2.1.14. Giả sử các điều kiện của định lý 2.1.12 được thoả mãn đối với hàm V(k,u), đồng thời V(k, u) là giảm dần. Khi đó nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (2.1.11) là ổn định đều. Chứng minh. Do V(k, u) là hàm xác định dương và giảm dần, tồn tại hàm φ, ξ ∈ K sao cho φ(‖u‖) 6 V (k, u) 6 ξ(‖u‖) với mọi (k, u) ∈ N(a) ì Sρ. Với mỗi , 0 0 sao cho ξ(δ) < φ(). Ta chứng minh được rằng nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (2.1.11) là ổn định đều. Thật vậy nếu k1 > a và ‖u(k1)‖ k1. Vì nếu giả sử điều này không đúng thì tồn tại k2 > k1 sao cho k1 > a và ‖u(k1)‖ < δ mà  6 ‖u(k2)‖ < ρ. Tuy nhiên do ∆V (k, u(k)) 6 0 nên V (k, u(k)) 6 V (k1, u(k1)) với mọi k ∈ N(k1), do đó ta có φ() 6 φ(‖u(k2)‖) 6 V (k2, u(k2) 6 V (k1, u(k1) 6 ξ(‖u(k1)‖) 6 ξ(δ) < φ(). Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh. Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của hệ sai phân (2.1.11) là không ổn định. 28 Định lý 2.1.15. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (k, u) ∈ C[N(a)ì Sρ, R] sao cho (i) ‖V (k, u)‖ 6 ξ(‖u‖) với mọi (k, u) ∈ N(a)ì Sρ, trong đó ξ ∈ K; (ii) Với mọi δ > 0, tồn tại u0 với ‖u0‖ 6 δ sao cho V (a, u0) < 0; (iii) ∆V (k, u(k, a, u0)) 6 −φ(‖u(k, a, u0)‖) trong đó φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn ‖u(k‖ < ρ, thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (2.1.11) là không ổn định. Chứng minh. Giả sử ngược lại nghiệm tầm thường của hệ (2.1.11) là ổn định. Khi đó với mọi  > 0 thoả mãn  0 sao cho ‖u0‖ < δ, ta có ‖u(k)‖ < . Do đó từ giả thiết (i) ta có ‖V (k, u(k))‖ 6 ξ(‖u‖) < ξ(),∀k ∈ N(a) (∗) Từ giả thiết (iii) ta có V(k, u(k)) là hàm giảm, do đó với mọi k ∈ N(a), ta có V (k, u(k)) 6 V (a, u0) |V (a, u0)|. Do đó từ giả thiết (i) ta có ‖u(k)‖ > ξ−1(|V (a, u0)|). Lại theo giả thiết (iii) ta có ∆V (k, u(k)) 6 −φ(‖u(k)‖) và do đó lấy tổng từ a đến k-1 theo bất đẳng thức này ta được V (k, u(k)) 6 V (k, u0)− k−1∑ l=a φ(‖u(l)‖) Tuy nhiên từ ‖u(k)‖ > ξ−1(|V (a, u0)|), suy ra φ(‖u(k)‖) > φ(ξ−1(|V (a, u0)|)). Do đó ta có V (k, u(k)) 6 V (k, u0)− (k − a)φ(ξ−1(|V (a, u0)|)). Điều này dẫn tới lim k→∞ V (k, u(k) = −∞, mâu thuẫn với (*). Vậy nghiệm tầm thường của hệ (2.1.11) là không ổn định. 2.1.8. Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể Các mô hình chúng ta đề cập ở đây có dạng (2.1.11) trong đó với mỗi i, 1 6 i 6 n, ui(k) là không âm với mọi k ∈ N và fi là các hàm không âm của u1, ..., un. Trong ngữ cảnh quần thể sinh học, ui(k) biểu thị lượng cá thể của quần thể loài thứ i tại thời điểm k. Để nghiên cứu tính ổn định của các điểm 29 tới hạn của các hệ này, chúng ta có thể sử dụng kết quả đã được chứng minh ở phần trước. Định nghĩa 2.1.31. Cho Ω+ là tập con bất kỳ của Rn. Hàm vô hướng V(u) xác định trên Ω+ được gọi là hàm Lyapunov của hệ (2.1.11) nếu (i) V(u) là liên tục và (ii) ∆V (u) = V (f(u))− V (u) 6 0 với mọi u ∈ Ω+. Định lý 2.1.16. Giả sử u = u¯ là một điểm tới hạn của hệ sai phân (2.1.11) và tồn tại hàm Lyapunov V(u) của (2.1.11) trên Rn+ có giá trị nhỏ nhất tại u¯, V (u) → ∞ khi ‖u‖ → ∞ và ui → 0+ với mọi i, 1 6 i 6 n,∆V (u) < 0 với mọi u ∈ Rn+, u 6= u¯ thì u¯ là ổn định tiệm cận toàn cục. Ví dụ 2.1.9. Xét mô hình được cho bởi phương trình u(k + 1) = λu(k)/(1 + αu(k))β, k ∈ N, (2.1.12) trong đó u(k) và u(k +1) là các quần thể thuộc thế hệ liên tiếp , λ là tỉ lệ tăng của quần thể, α, β là các hằng số xác định sự phụ thuộc mật độ loài. Điểm tới hạn dương của mô hình là u¯ = (1− θ)/(αθ), trong đó θ = λ−1/β (0 < β < 1). Ta thực hiện phép đổi biến v = u/u¯, phương trình trên trở thành v(k + 1) = v(k)/(θ + (1− θ)v(k))β. (2.1.13) Chọn V (v) = (lnv)2, ta có ∆V (v) = [lnv−βln(θ+(1− θ)v)]2− [lnv]2 = −βln(θ+ (1 − θ)v)[2lnv− βln(θ + (1 − θ)v)]. Hàm ln(θ + (1 − θ)v) là âm với v ∈ (0, 1) và dương với v ∈ (1,∞). Xét hàm h(v) = 2lnv − βln(θ + (1 − θ)v), ta có h(1) = 0, h(v) < 0 khi v → 0+, h(v) ∼ ln(v2−β/(1 − θ)β) khi v → ∞ và h′(v) = [2θ + v(1− θ)(2 − β)]/[v(θ + (1 − θ)v)]. Nếu ta hạn chế β sao cho 0 0 khi v → ∞ và h′(v) > 0 với mọi v > 0. Do đó h(v) 0 với v ∈ (1,∞). Hay ∆V (v) < 0 với mọi v > 0 và v 6= 1. Do đó theo định lý 2.1.16 điểm tới hạn v¯ = 1 của (2.1.13) ( hoặc tương đương với u¯ = (1 − θ)/(αθ) của (2.1.12) ) là ổn định tiệm cận toàn cục nếu β ∈ (0.2]. Ví dụ 2.1.10. Xét mô hình tương tranh giữa hai loài được cho bởi phương trìnhu1(k + 1) = λ1u1(k)[1 + α1(u1(k) + γ1u2(k))]−β1,u2(k + 1) = λ2u2(k)[1 + α2(u2(k) + γ2u1(k))]−β2, k ∈ N, (2.1.14) 30 trong đó λ1, λ2 là tỉ lệ tăng của hai loài, γ1, γ2 là các hằng số cạnh tranh và α1, α2, β1, β2 là các hằng số xác định sự phụ thuộc mật độ loài. Nếu đánh giá quần thể theo sức chứa của chúng ri = (1/θi − 1)/αi, trong đó θi = λ−1/βii , 0 < θi < 1, i = 1, 2,, ta có thể viết lại hệ phương trình dưới dạngv1(k + 1) = v1(k)[θ1 + (1 − θ1)(v1(k) + d1v2(k))]−β1,v2(k + 1) = v2(k)[θ2 + (1 − θ2)(v2(k) + d2v1(k))]−β2, (2.1.15) trong đó d1 = γ1r2/r1 và d2 = γ2r1/r2. Điểm tới hạn dương của mô hình là v¯1 = (1−d1)/(1−d1d2), v¯2 = (1−d2)/(1−d1d2), trong đó di ∈ (0, 1). Ta sẽ chỉ ra hệ là ổn định tiệm cận toàn cục nếu θ1 = θ2 = θ và βi ∈ (0, 1], i = 1, 2. Ta cần sử dụng các bất đẳng thức sau: ln(1 − t) 6 −t (a), với mọi t ∈ (−∞, 1), dấu bằng xảy ra khi t = 0. (1 − t)−p − 1 6 pt(1 − t)−1 (b), với mọi t ∈ (−∞, 1) và p ∈ (0, 1]. Đặt Vi(v) = vi/v¯i − 1− ln(vi/v¯i), i = 1, 2, ta có ∆V1(v) = (v1/v¯1)([θ + (1 − θ)(v1 + d1v2)]−β1 − 1) + β1ln[θ + (1− θ)(v1 + d1v2)]. Theo các bất đẳng thức (a) và (b) với t = (1 − θ)(1− v1 − d1v2) và p = β1, ta có ∆V1(v) 6 β1(v1/v¯1)(1− θ)(1− v1 − d1v2) θ + (1− θ)(v1 + d1v2) − β1(1− θ)(1 − v1 − d1v2) = β1(1 − θ)(1 − v1 − d1v2) θ + (1− θ)(v1 + d1v2) [ d1 v¯1 (v1v¯2 − v2v¯1)− θ(1− v1 − d1v2)]. Từ (1 − v¯1)/d1 = v¯2, ta có ∆V1(v) 6 −β1θ(1− θ)(1 − v1 − d1v2) 2 θ + (1 − θ)(v1 + d1v2) + β1d1(1− θ)(1 − v1 − d1v2)(v1v¯2 − v2v¯1) v¯1[θ + (1− θ)(v1 + d1v2)] , với β1 ∈ (0, 1], dấu bằng xảy ra khi v = v¯. Tương tự ta có với β2 ∈ (0, 1] thì ∆V2(v) 6 −β2θ(1− θ)(1 − v2 − d2v1) 2 θ + (1 − θ)(v2 + d2v1) + β2d2(1− θ)(1 − v2 − d2v1)(v2v¯1 − v1v¯2) v¯2[θ + (1− θ)(v2 + d2v1)] . Do đó nếu V (v) = c1V1(v) + c2V2(v) , thì ta có ∆V (v) 6 −c1β1θ(1 − θ)(1− v1 − d1v2) 2 θ + (1 − θ)(v1 + d1v2) − c2β2θ(1− θ)(1 − v2 − d2v1)2 θ + (1− θ)(v2 + d2v1) − R(1 − θ)(1− d1d2)(v2v¯1 − v1v¯2) 2 v¯1v¯2[θ + (1− θ)(v1 + d1v2)][θ + (1− θ)(v2 + d2v1)], trong đó c1β1d1v¯2 = c2β2d2v¯1 = R. Do đó ∆V 6 0 với mọi v > 0, dấu bằng xảy ra khi v = v¯. Do đó theo định lý 2.1.16 điểm tới hạn v¯ của (2.1.15) là ổn định tiệm cận toàn cục nếu θ1 = θ2 và β1, β2 ∈ (0, 1]. 31 2.1.9. Tiêu chuẩn so sánh Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về phương pháp hàm Lyapunov - Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân dạng (2.1.11) u(k + 1) = f(k, u(k)), k ∈ N, trong đó u và f là các vectơ (1ìn) thành phần ui và fi, 1 6 i 6 n. Ta luôn giả sử f(k, 0) = 0 với mọi k ∈ N . Nếu tồn tại hàm ω : N ìR+ → R+ thoả mãn ∆V (k, u(k)) 6 ω(k, V (k, u(k))) thì ta có V (k + 1, u(k + 1)) 6 V (k, u(k)) + ω(k, V (k, u(k))) ≡ g(k, V (k, u(k))) (2.1.16) Việc so sánh mối quan hệ giữa tính ổn định nghiệm tầm thường của hệ (2.1.11) với phương trình sai phân y(k + 1) = g(k, y(k) ≡ y(k) + ω(k, y(k)) (2.1.17) thường dẫn đến các định lý sau đây Định lý 2.1.17. Giả sử tồn tại hai hàm V(k, x) và g(k, u) thoả mãn các điều kiện sau (i) g : N ìR+ → R, g(k, 0) = 0, g(k, u) là không giảm theo u; (ii) V (k, u) ∈ C[N(a)ì Sρ, R+], V (k, 0) = 0 và V(k, u) là liên tục theo biến u và xác định dương; (iii) g thoả mãn bất phương trình (2.1.16), khi đó a) Tính ổn định của nghiệm tầm thường y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định của nghiệm tầm thường u = 0 của (2.1.11). b) Tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường u = 0 của (2.1.11). Chứng minh. Theo định lý 1.9.1 (xem [3]), với V (k0, u0) 6 y0 ta có V (k, u(k)) 6 yk, với mọi n ∈ N . Theo giả thiết V(k, u) xác định dương nên tồn tại hàm φ ∈ K sao cho φ(‖u(k)‖ 6 V (k, u(k)) 6 y(k). 32 Nếu nghiệm tầm thường của (2.1.17) là ổn định thì với y0 < ξ(, k0), ta có y(k) < φ(). Do đó φ(‖u(k)‖ 6 V (k, u(k)) 6 φ(). Ta sẽ chỉ ra ‖u(k)‖ <  (∗). Từ V (k0, u0) 6 y0 6 η(, k0), theo giả thiết V(k, u) liên tục theo u, ta có thể tìm được một số δ(, k0) sao cho ‖u0‖ < δ(, k0) thì V (k, u0) 6 y0. Ta cần chứng minh (*) thoả mãn với mọi k > k0. Giả sử điều này không đúng. Khi đó tồn tại một số k1 thoả mãn u(k1) >  và u(k) φ() và φ() 6 V (k, u(k1)) < y(k1) < φ() dẫn tới mâu thuẫn. Trường hợp ổn định tiệm cận, do φ(‖u(k)‖) 6 V (k, u(k)) 6 y(k) Nên ta có lim k→∞ φ(‖u(k)‖) = 0, do đó lim k→∞ u(k) = 0. Hệ quả 2.1.2. Giả sử tồn tại hàm xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a)ì Sρ, R+], ∆V (k, u(k)) 6 0, khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.1.11) là ổn định. Chứng minh. Trường hợp này ω(k, u) = 0 và phương trình (2.1.17) trở thành y(k+ 1) = y(k) nên nghiệm tầm thường là ổn định. Định lý 2.1.18. Giả sử tồn tại hai hàm V(k, x) và ω(k, u) thoả mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) của định lý 2.1.17 và giả sử V là giảm dần (decresent) . Khi đó a) Tính ổn định đều của nghiệm tầm thường y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định đều của nghiệm tầm thường u = 0 của (2.1.11). b) Tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm thường y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm thường u = 0 của (2.1.11). Chứng minh. Do các giả thiết của định lý 2.1.17 được thoả mãn nên tính ổn định của nghiệm tầm thường y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định tương ứng của nghiệm tầm thường u = 0 của (2.1.11). Ngoài ra ta cần chỉ ra rằng số δ(, k0) chọn được không phụ thuộc vào k0. Theo giả thiết V là giảm dần, tồn tại hàm à ∈ K sao cho V (k, u(k)) 6 à(‖u(k)‖. Ta có với V (k0, u(k0)) 6 y0 6 η() thì φ(‖u(k)‖) 6 V (k, u(k)) 6 y(k) 33 Nếu ta chọn à(‖u0‖) < η() hay ‖u0‖ < δ() = à−1(η()) thì ‖u(k)‖ <  với mọi k > k0. 2.2. Phương trình động lực trên thang thời gian 2.2.1. Các khái niệm cơ bản về thang thời gian Định nghĩa 2.2.32. Thang thời gian là một tập con đóng khác rỗng của tập các số thực. Ví dụ 2.2.11. R,N,Z,N0: Tập các số thực, số nguyên, số tự nhiên, số nguyên không âm là các thang thời gian. Các tập [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪N cũng là thang thời gian. Trong khi Q,R\Q, (0, 1): Tập các số hữu tỉ, số vô tỉ, khoảng mở giữa 0 và 1 không là thang thời gian. Giải tích trên thang thời gian được đề xuất bởi Stefan Hilger, lý thuyết này nhằm mục đích hợp nhất giải tích rời rạc và liên tục. Định nghĩa 2.2.33. Cho T là một thang thời gian. Với t ∈ T , ta định nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump operator) σ : T → T xác định bởi σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} Và toán tử nhảy lùi (backward jump operator) ρ : T → T xác định bởi ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Phân loại điểm: Mỗi điểm t ∈ T được gọi là tán xạ phải (right scattered), trù mật phải (right dense), tán xạ trái (left scattered), trù mật trái (left dense) nếu σ(t) > t, σ(t) = t, ρ(t) < t, ρ(t) = t tương ứng thoả mãn. Định nghĩa 2.2.34. Hàm hạt (graininess function) được định nghĩa như sau: à : T → [0;∞) à(t) = σ(t)− t 34 Định nghĩa 2.2.35. Tập T k được suy ra từ thang thời gian T như sau T k = T \ sup T, supT = ∞T, supT < ∞ Ví dụ 2.2.12. Ta xét 2 trường hợp T = R và T = Z . i) Nếu T = R thì ta có với mọi t ∈ R, σ(t) := inf{s ∈ R : s > t} = t và ρ(t) := sup{s ∈ R : s < t} = t. Hàm hạt à(t) = σ(t) − t = 0, với mọi t ∈ R. ii) Nếu T = Z thì ta có với mọi t ∈ Z , σ(t) := inf{s ∈ R : s > t} = inf{t+ 1, t + 2, ...} = t+ 1 và ρ(t) := sup{s ∈ Z : s < t} = t− 1. Hàm hạt à(t) = σ(t)− t = 1, với mọi t ∈ Z . 2.2.2. Đạo hàm và tích phân trên thang thời gian Định nghĩa 2.2.36. Cho hàm f : T → R và lấy t ∈ T k. Khi đó ta định nghĩa f∆(t) (nếu nó tồn tại) là số thực thoả mãn với mọi  > 0 bất kỳ, tồn tại một lân cận U của t (hoặc tồn tại δ > 0 và U = (t− δ, t + δ) ∩ T ) sao cho: |f(σ(t))− f(s)− f∆(t)[σ(t)− s]| 6 |σ(t)− s|, với mọi s ∈ U . Ta gọi f∆(t) là đạo hàm Delta của f tại t trên T k. Hơn nữa ta nói rằng f là khả vi Delta (hoặc khả vi) trên T k nếu f∆(t) tồn tại với mọi t ∈ T k. Hàm f∆ : T k → R được gọi là đạo hàm của f trên T k. 35 Ví dụ 2.2.13. Nếu f : T → R được xác định bởi f(t) = t thì f∆(t) = 1 với mọi t ∈ T k. Thật vậy với mọi  > 0, |f(σ(t))− f(s)− 1.[σ(t)− s]| = |σ(t)− s− [σ(t)− s]| = 0 6 |σ(t)− s|, với mọi s ∈ T k. Định lý 2.2.19. (xem [6]) Cho hàm g : T → R và t ∈ T k. Khi đó i) Nếu g khả vi tại t thì g liên tục tại t. ii) Nếu g liên tục tại t và t là tán xạ phải thì g khả vi tại t với g∆(t) = g(σ(t))− g(t) à(t) iii) Nếu g khả vi tại t và t trù mật phải thì g∆(t) = lim s→t g(t)− g(s) t− s iv) Nếu g khả vi tại t thì g(σ(t)) = g(t) + à(t)g∆(t). Từ đó ta có thể tính đạo hàm của tổng, tích, thương của các hàm khả vi theo định lý sau: Định lý 2.2.20. (xem [6]) Giả sử f, g : T → R là các hàm khả vi tại t ∈ T k. Khi đó i) Tổng của các hàm f và g: f + g : T → R là một hàm khả vi tại t với (f + g)∆(t) = f∆(t) + g∆(t). ii) Với hằng số α bất kỳ, αf : T → R là một hàm khả vi tại t với (αf)∆(t) = αf∆(t). iii) Tích của các hàm khả vi fg : T → R cũng là một hàm khả vi với (fg)∆ = f∆(t)g(t) + f(σ(t))g∆(t) = f∆(t)g(σ(t)) + f(t)g∆(t). iv) Nếu f(t)f(σ(t)) 6= 0 , thì 1 f là một hàm khả vi với ( 1 f )∆(t) = − f ∆(t) f(t)f(σ(t)) . 36 v) Nếu g(t)g(σ(t)) 6= 0, thì f g là một hàm khả vi tại t với ( f g )∆(t) = f∆(t)g(t)− f(t)g∆(t) g(t)g(σ(t)) . Định nghĩa 2.2.37. Một hàm f : T → R được gọi là liên tục trù mật phải (rd- continuous) nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trên T và tồn tại giới hạn bên trái của f tại các điểm trù mật trái trên T. Tập các hàm liên tục trù mật phải được ký hiệu bởi Crd(T ) = C1rd(T ) = C 1 rd(T,R). Định nghĩa 2.2.38. Nếu G∆(t) = g(t) thì tích phân Cauchy của g được xác định bởi ∫ t a g(s)∆s = G(t)−G(a). Ta có thể chỉ ra rằng nếu g ∈ Crd(T ) thì tích phân Cauchy G(t) = ∫ t t0 g(s)∆s tồn tại với t0 ∈ T và thoả mãn G∆(t) = g(t) với mọi t ∈ T . Về cơ bản tích phân Cauchy trên thang thời gian cũng có các tính chất tương tự như tích phân Rieman trên R (xem [6]). Chúng tôi xin phép không trình bày chi tiết ở đây. 2.2.3. Các kết quả về tính ổn định Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều, T là thang thời gian. Sau đây ta sẽ ký hiệu T+t0 := [t0,∞) ∩ T . Để thuận tiện ta sẽ quy ước rằng tất cả các khái niệm và ký hiệu về giải tích trên thang thời gian được sử dụng giống như trong các tài liệu của M.Bohner và A.Peterson (xem [6]). Các khái niệm liên quan đến hàm Lyapunov chúng ta sẽ sử dụng theo cách xây dựng của B.Kaymakcalan (xem [4]). Trong một số trường hợp cần thiết ta sẽ nhắc lại chúng trước khi sử dụng. Xét hệ phương trình động lựcx∆(t) = f(t, x), t ∈ T + t0 x(t0) = x0. (2.2.18) 37 trong đó f ∈ Crd(T+t0 ìRn, Rn), f(t, 0) = 0,∀t ∈ T+t0 và thoả mãn tất cả các điều kiện bảo đảm cho bài toán Cauchy (2.2.18) đối với f là tồn tại và duy nhất nghiệm trên T+t0 . Trong luận văn này chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm ổn định của nghiệm tầm thường của (2.2.18) theo nghĩa như sau: Định nghĩa 2.2.39. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của (2.2.18) được gọi là ổn định trên T+t0 nếu ∀ > 0, tồn tại δ = δ(, t0) > 0 sao cho nếu ‖x0‖ < δ thì ‖x(t, t0, x0)‖ t0. Định nghĩa 2.2.40. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của (2.2.18) được gọi là ổn định tiệm cận trên T+t0 nếu nó là ổn định và tồn tại δ0 = δ0(t0) > 0 sao cho nếu ‖x0‖ < δ0 thì ta có lim t→∞ ‖x(t, t0, x0)‖ = 0 Nếu các số δ và δ0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào t0 thì ta nói nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định (tương ứng là ổn định tiệm cận) đều. Định nghĩa 2.2.41. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của (2.2.18) được gọi là ổn định mũ trên T+t0 nếu tồn tại số K = K(t0) > 0 và q > 0 sao cho ‖x(t, t0, x0)‖ 6 Ke−q(t−t0)‖x0‖, ∀t > t0 Nếu số K không phụ thuộc vào t0 thì ta nói x(t) = 0 là ổn định mũ đều. Trong trường hợp đơn giản nhất khi hệ (2.2.18) có dạngx∆(t) = p(t)x(t), t ∈ T + t0 x(t0) = x0 (2.2.19) thì (2.2.19) có nghiệm duy nhất là hàm mũ ep(t, t0). Ta nhắc lại một số tính chất quen thuộc của hàm mũ sẽ được sử dụng trong phần sau. Giả sử p, q ∈ Crd(T+t0 , R), ta ký hiệu p⊕ q = p(t) + q(t) + à(t)p(t)q(t) p = − p(t) 1 + à(t)p(t) Khi đó chúng ta sẽ có các đẳng thức sau (xem [6]): (i) e0(t, s) = 1 và ep(t, t) = 1, ∀t, s ∈ T+t0 38 (ii) ep(σ(t), s) = (1 + à(t)p(t))ep(t, s), ∀t, s ∈ T+t0 (iii) ep(t, s)ep(s, τ ) = ep(t, τ ) t > s > τ, ∀t, s ∈ T+t0 (iv) 1 ep(t,s) = e p(t, s), ∀t, s ∈ T+t0 (v) ep(t, s) = 1ep(s,t) = e p(s, t), ∀t, s ∈ T+t0 (vi) ep(t, s)eq(t, s) = ep⊕q(t, s), ∀t, s ∈ T+t0 (v) ep(t,s) eq(t,s) = ep p(t, s), ∀t, s ∈ T+t0 . Trong trường hợp đặc biệt p(t) = λ(λ ∈ C), ta có eλ(t, t0) = exp{ ∫ t t0 lim s→à(τ) log|1 + λs| s ∆τ}. Sử dụng các ký hiệu S(T ) = SR(T ) ∪ SC(T ), trong đó SC(T ) = {λ ∈ C| lim sup τ→∞ 1 τ − t0 ∫ τ t0 lim s→à(t) log|1 + λs| s ∆t} < 0, SR(T ) = {λ ∈ R|∀τ ∈ T,∃t > τ, 1 + à(t)λ = 0}. S(T) được gọi là tập ổn định mũ của eλ(t, s). Nhận xét: Nếu λ > 0 và −λ ∈ S(T ) thì e−λ(t, t0) 6 e−λ(t−t0) 6 e λ(t, t0), nên ta có thể thay điều kiện trong định nghĩa về ổn định mũ bởi ‖x(t, t0, x0)‖ 6 Ke q(t, t0) (t > t0). Trong thời gian gần đây việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ động lực trên thang thời gian được rất nhiều người quan tâm. Hầu hết các phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân theo Lyapunov đã được phát triển và áp dụng cho việc nghiên cứu phương trình động lực trên thang thời gian. Chúng ta biết rằng trong mỗi một thang thời gian có thể có nhiều hàm bước nhảy à(t) khác nhau thay đổi theo t. Hơn nữa các điểm t ∈ T cũng rất đa dạng có thể là điểm trù mật hay tán xạ. Do đó các phép tính của giải tích trên thang thời gian là phức tạp hơn nhiều do với giải tích cổ điển trên R. Để khắc phục khó khăn này chúng tôi đã cố gắng dùng cách phối hợp các phương pháp khác nhau của Lyapunov để áp dụng cho từng bài toán cụ thể. Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày các định lý về tính ổn định nghiệm 39 của hệ phương trình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gian và sau đó là các ví dụ ứng dụng. Tuy nhiên để hỗ trợ cho phần tính toán trước các ví dụ chúng tôi đã chứng minh định lý về tính ổn định mũ của phương trình động lực trên thang thời gian theo phương pháp hàm Lyapunov. Định lý này có thể xem là một hệ quả tiếp theo của tiêu chuẩn so sánh của Kaymakcalan (xem [4]). Tất cả các định lý của mục 2.2.3 có thể xem như là sự tổng quát hoá cho phương trình động lực trên thang thời gian đối với hệ phương trình sai phân tuyến tính. Để thuận tiện cho việc trình bày, trước hết ta xét phương trình động lực vô hướng: x∆(t) = p(t)x(t) + f(t, x), x(t0) = x0, t ∈ T+t0 , (2.2.20) trong đó p ∈ Crd(T+t0 , R), f ∈ Crd(T+t0 ì R,R), f(t, 0) = 0. Ngoài ra ta giả thiết thêm rằng các hàm p và f thoả mãn các điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình động lực đang xét là tồn tại duy nhất. Ta có định lý sau đây: Định lý 2.2.21. Giả sử p ∈ Crd(T+t0 , R) thoả mãn điều kiện lim sup τ→∞ 1 τ − t0 ∫ τ t0 lim s→à(t) log|1 + p(t)s| s ∆t < 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.2.20) là ổn định mũ nếu một trong các điều kiện sau đây thoả mãn a) lim x→0 |f(t, x(t)| |x(t)| = 0 ∀t ∈ T + t0 ; b) Tồn tại g(t) ∈ Crd(T+t0 , R+) sao cho |f(t, x)| 6 g(t)|x|, trong đó exp{ ∫ ∞ t0 lim s→à(t) log|1 + g(t)s| s ∆t} < +∞. Chứng minh. Đặt x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.2.20) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, ta có x(t) = ep(t, t0)x0 + ∫ t t0 ep(t, σ(s))f(s, x(s))∆s . Do đó |x(t)| 6 Kep(t, t0)|x0|+ ∫ t t0 Kep(t, σ(s))|f(s, x(s))|∆s 40 e p(t, t0)|x(t)| 6 K|x0|+ ∫ t t0 K ep(t, t0)ep(σ(s), t) |f(s, x(s))|∆s, e p(t, t0)|x(t)| 6 K|x0|+ ∫ t t0 K ep(σ(s), t0) |f(s, x(s))|∆s, e p(t, t0)|x(t)| 6 K|x0|+ ∫ t t0 K |1 + à(s)p(s)|ep(s, t0) |f(s, x(s))|∆s. (∗) Theo giả thiết a), Cho trước  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f(t, x(t)| 6 |x(t)| với t ∈ T+t0 , |x| < δ. Ta có e p(t, t0)|x(t)| 6 K|x0|+ ∫ t t0 K |1 + à(s)p(s)|e p(s, t0)|x(s)|∆s. Gọi γ là số dương thoả mãn 1|1+à(s)p(s)| 6 γ, đặt y(t) = e p(t, t0)|x(t)|, ta có y(t) 6 K|x0|+ Kγ ∫ t t0 y(s)∆s. Theo bất đẳng thức Gronwall - Bellman's (xem [6]), ta nhận được y(t) 6 K|x0|eKγ(t, t0) 6 K|x0|e ∫ t t0 Kγ∆s = K|x0|eKγ(t−t0). Hay e p(t, t0)|x(t)| 6 K|x0|eKγ(t−t0), |x(t)| 6 K|x0|ep(t, t0)‖eKγ(t−t0). Theo giả thiết ∃q : lim s→à(t) ln|1+p(t)s| s 6 q < 0, với t ∈ [t0,∞)T . Theo định lý 2.1 (xem [11]), ta có ep(t, t0) 6 eq(t−t0). Do đó |x(t)| 6 K|x0|eq(t−t0)eKγ(t−t0) = K|x0|e(q+Kγ)(t−t0). Vì q 0, đủ bé sao cho q + Kγ < 0. Vậy nghiệm tầm thường của (2.2.20) là ổn định mũ trên T+t0 . Trường hợp (b) chứng minh tương tự. Từ (*) ta có e p(t, t0)|x(t)| 6 K|x0|+ ∫ t t0 Kg(t) |1 + à(s)p(s)|e p(s, t0)|x(s)|∆s. 41 Gọi γ là số dương thoả mãn 1|1+à(s)p(s)| 6 γ, đặt y(t) = e p(t, t0)|x(t)|, ta có y(t) 6 K|x0|+ Kg(t)γ ∫ t t0 y(s)∆s. Theo bất đẳng thức Gronwall - Bellman's ( xem [6]), ta nhận được y(t) 6 K|x0|eKg(t)γ(t, t0). Theo giả thiết (b), tồn tại N > 0 sao cho eKg(t)γ(t, t0) 6 N. Do đó |x(t)| 6 KN |x0|ep(t, t0). Theo giả thiết ∃q : lim s→à(t) ln|1+p(t)s| s 6 q < 0, với t ∈ [t0,∞)T . Theo định lý 2.1 (xem [11]), ta có ep(t, t0) 6 eq(t−t0). Do đó |x(t)| 6 KN |x0|eq(t−t0). Định lý được chứng minh. Xét hệ phương trình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gianx∆(t) = A(t)x(t) + f(t, x), t ∈ T + t0 x(t0) = x0, (2.2.21) trong đó x(.) ∈ Rn; A(.) ∈ Crd(T+t0 ,Mn(R)), f ∈ Crd(T+t0 ì Rn, Rn), f(t, 0) = 0,∀t ∈ T+t0 . Giả sử rằng A(t) là thoái lui (tức là det[I+à(t)A(t)] 6= 0,∀t ∈ T ). Giả sử t0 ∈ T+t0 , ta ký hiệu φ(t) = φA(t, t0) là ma trận mũ của hệ thuần nhất tương ứng. Khi đó φ(t) xác định với mọi t ∈ T+t0 và là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchyφ∆(t) = A(t)φ(t)φ(t0) = I. (2.2.22) Dễ dàng kiểm tra được rằng φA(t, t0)−1 = φA(t0, t) và φA(σ(t), t0) = [I+à(t)A(t)]φA(t, t0). Hơn nữa bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange chúng ta sẽ nhận được biểu diễn nghiệm của (2.2.21) như sau x(t) = φA(t, t0)x0 + ∫ t t0 φA(t, σ(s))f(s, x(s))∆s. 42 Tương tự định lý 2.2.21, ta có định lý sau đây Định lý 2.2.22. Giả sử nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng là ổn định mũ tức là tồn tại K > 0,−λ ∈ S(T ) sao cho ‖φA(t, t0)‖ 6 Ke−λ(t−t0), ∀t ∈ T+t0 Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.2.21) là ổn định mũ nếu một trong các điều kiện sau được thoả mãn a) lim ‖x‖→0 ‖f(t, x(t)‖ ‖x(t)‖ = 0 ∀t ∈ T + t0 ; b) Tồn tại g(t) ∈ Crd(T+t0 , R+) sao cho ‖f(t, x)‖ 6 g(t)‖x‖, trong đó exp{ ∫ ∞ t0 lim s→à(t) log|1 + g(t)s| s ∆t} < +∞. Chứng minh. Giả sử x(t) là nghiệm của hệ (2.2.21) thoả mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0, ta có x(t) = φA(t, t0)x0 + ∫ t t0 φA(t, σ(s))f(s, x(s))∆s. Đánh giá chuẩn hai vế, kết hợp với điều kiện a) của định lý ta được ‖x(t)‖ 6 Ke−λ(t−t0)‖x0‖+ ∫ t t0 Ke−λ(t−σ(s))‖f(s, x(s))‖∆s. Theo giả thiết −λ ∈ S(T ) nên exp{−λ(t− t0)} 6 eλ(t, t0), do đó ta có ‖x(t)‖ 6 Keλ(t, t0)‖x0‖+ ∫ t t0 Keλ(t, σ(s))‖f(s, x(s))‖∆s. Lập luận tương tự các bước chứng minh như trong chứng minh định lý 2.2.21, ta có điều phải chứng minh. Sau đây chúng tôi sẽ chứng minh định lý về tính ổn định mũ của phương trình động lực trên thang thời gian. Giả sử V ∈ Crd(T+t0 ì Rn, R+), khi đó đạo hàm của V dọc theo quỹ đạo của 43 nghiệm x(t) của (2.2.18), theo công thức đạo hàm của hàm hợp V ∆(t, x) được xác định bởi V ∆(t, x) = V ∆t (t, x(σ(t))) + ∫ 1 0 V ′x(t, x(t) + hà(t)x ∆(t))dhx∆(t) = V ∆t (t, x(σ(t))) + ∫ 1 0 V ′x(t, x(t) + hà(t)f(t, x))dhf(t, x). Một hàm V(t, x) có tính chất trên được gọi là một hàm dạng Lyapunov. Định lý 2.2.23. Giả sử tồn tại một hàm V ∈ Crd(T+t0 ìRn, R+) thoả mãn các điều kiện sau đây: λ1‖x‖γ 6 V (t, x); V ∆(t, x) 6 g(t, V (t, x)), trong đó λ1 > 0 và γ > 1 là các số thực dương, g ∈ Crd(T+t0 ìR+, R). Khi nếu nghiệm tầm thường của u∆ = g(t, u), u(t0) = u0 > 0 (2.2.23) là ổn định mũ, thì nghiệm tầm thường của (2.2.18) là ổn định mũ. Chứng minh. Theo giả thiết nghiệm tầm thường của (2.2.23) là ổn định mũ, khi đó nghiệm cực đại r(t) của nó thoả mãn điều kiện |r(t)| 6 Ne−α(t−t0), t ∈ T+t0 , trong đó N > 0 và −α ∈ S(T ). Theo định lý 2.1 (xem [4]), ta có V (t, x) 6 |r(t)| 6 Ne−α(t−t0), t ∈ T+t0 . Sử dụng giả thiết ta có λ1‖x‖γ 6 V (t, x) 6 Ne−α(t−t0), t ∈ T+t0 . Do đó ‖x‖ 6 (N λ1 ) 1 γ e− α γ (t−t0), t ∈ T+t0 . Với giả thiết γ > 1 ta có thể suy ra nghiệm tầm thường x(t) = 0 của (2.2.18) là ổn định mũ. 44 Ví dụ 2.2.14. Giả sử α, β là các hằng số dương, fj : T+t0 ì R → R, j = 1, 2 là các hàm liên tục trù mật phải thoả mãn một trong các điều kiện b) của định lý 2.2.22. Xét hệ phương trìnhx∆1 (t) = −αx1 − βx2 + f1(t, x1, x2),x∆2 (t) = βx1 − αx2 + f2(t, x1, x2). (2.2.24) Ngoài ra chúng ta giả sử fj(t, 0, 0) = 0,∀t ∈ T+t0 để hệ phương trình (2.2.24) là có nghiệm tầm thường. Cùng với hệ (2.2.24), ta xét hệx∆1 (t) = −αx1 − βx2,x∆2 (t) = βx1 − αx2. (2.2.25) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (2.2.25) ta xét hàm Lyapunov V (x1, x2) = x21+x 2 2. Sử dụng các quy tắc đạo hàm Delta trên thang thời gian, chúng ta có V ∆(t, x1, x2) = 2x ∆ 1 (t)x1(t) + 2x ∆ 2 (t)x2(t) + à(t)[(x ∆ 1 (t)) 2 + (x∆1 (t)) 2]. Do đó đạo hàm theo vế phải của hệ (2.2.25) là V ∆(t, x1, x2) = [−2α + à(t)(α2 + β2)](x21 + x22). Sử dụng kết quả của định lý 2.2.21 ta suy ra nếu à(t) < 2α α2+β2 thì nghiệm tầm thường của phương trình động lực vô hướng u∆ = −2αu + à(t)(α2 + β2)u là ổn định mũ. Do đó theo định lý 2.2.23 ta suy ra nghiệm tầm thường của (2.2.25) là ổn định mũ. Các giả thiết của định lý 2.2.22 được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của hệ (2.2.24) là ổn định mũ. Ví dụ 2.2.15. Xét hệ phương trình x∆(t) = −x− y + z + y2 + xz, y∆(t) = x− y − z − xy − z2, z∆(t) = −x+ y − z − x2 + yz. (2.2.26) Cùng với hệ (2.2.26), ta nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất tương ứng x∆(t) = −x− y + z, y∆(t) = x− y − z, z∆(t) = −x+ y − z. (2.2.27) 45 Xét hàm Lyapunov V (x, y, z) = x2 + y2 + z2, ta có V ∆ = 2x∆(t)x(t) + 2y∆(t)y(t) + 2z∆(t)z(t) + à(t)[(x∆(t))2 + (y∆(t))2 + (z∆(t))2] = −2(x2 + y2 + z2) + à(t)[3(x2 + y2 + z2)− 2(xy + yz + zx)] = −2(x2 + y2 + z2) + à(t)[4(x2 + y2 + z2)− (x+ y + z)2]. Do đó V ∆(t, x, y, z) 6 (−2 + 4à(t))(x2 + y2 + z2). Theo định lý 2.2.21 nếu à(t) < 1 2 thì nghiệm tầm thường của phương trình động lực vô hướng u∆ = (−2 + 4à(t))u là ổn định mũ, nên theo định lý 2.2.23 ta suy ra nghiệm tầm thường của (2.2.27) là ổn định mũ. Xét hàm f(x, y, z) = (y2 + xz,−xy− z2,−x2 + yz), ta có ‖f(x, y, z)‖ 6 √ 3(x2 + y2 + z2) 6 2(x2 + y2 + z2), ∀x, y, z. Vậy lim x,y,z→0 ‖f(x, y, z)‖√ x2 + y2 + z2 = 0. Do đó các giả thiết của định lý 2.2.22 được thoả mãn. Vậy theo định lý 2.2.22 ta suy ra nghiệm tầm thường của hệ (2.2.26) là ổn định mũ. 46 Kết luận Luận văn gồm hai nội dung chính như sau: Nội dung thứ nhất là trình bày lại một số kết quả về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm và phương trình sai phân. Nội dung thứ hai dành cho việc trình bày một số kết quả mở rộng trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm theo Lyapunov cho hệ phương trình động lực trên thang thời gian và xây dựng các ví dụ minh hoạ. Việc áp dụng các kết quả nhận được cho các mô hình ứng dụng là các bài toán mà chúng tôi mong muốn sẽ có thể nghiên cứu trong thời gian tiếp theo. 47 Tài liệu tham khảo [1] B.P.Đêmiđôvich (1967), Bài giảng về lý thuyết ổn định toán học (dịch từ tập tiếng Nga), NXB Khoa học Maxcơva. [2] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp, Lê Đình Định (2001), Phương trình sai phân và một số ứng dụng, NXB Giáo dục. Tiếng Anh [3] V.Lakshmikantham (1965), Stability Analysis of nonlinear systems, Mar- cel Dekker, INC, New York and Basel. [4] Billur Kaymakcalan (1992), Lyapunov stability theory for Dynamic sys- tems on time scales J.Appl.Math and Stochastic Analysis 275-282. [5] S.Hilger(1990), Analysis on measure chains - a unified approach to con- tinuous and discrete calculus Results Math 19-56. [6] M.Bohner and A.Peterson (2001), Dynamic equation on time scales: An introduction with applications, Birkhauser, Boston. [7] R. P. Agarwal (1992), difference equations and inequalities, Marcel Dekker Inc., New York. [8] W.A.Coppel (1965), Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equatione, D.C Heath and Company Boston Publisher. [9] K.L. Cooke(1967), Asymptotic theory for the delay- differential equa- tions J.Math.Analysis and Appl 160-173. [10] (2002) Đặng Đình Châu. On the asymptotic equivalence of linear dif- ferential equations in Hilbert spaces, Vietnam national universty, Hanoi, Journal of science. Mathematics-Physics, Number 02, 8-17. 48 [11] M.Rashford, J.Siloti and J.Wrolstad(2006), Exponential stability of Dy- namic equation on time scales P.American Math.Journal 16, 61-73. [12] Đặng Đình Châu (2006) On the asymptotic equivalence of linear differ- ential equations in Banach spaces,Acta Mathematica Vietnamica Volume 31, Number 1, 31-38. [13] G.Eleutheriadis, M.Boudourides,(1998) On the problem of asymptotic equivalence of ordinary differential equation, Ital, J. Pure Appl. Math 4, 61-72. [14] J.K. Hale and S.M.V. Lunel,(1993) Introduction to Functional Differen- tial Equations, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Budapest. [15] Nguyễn Thế Hoàn,(1975) Asymptotic equivalence of systems of differ- ential equations, IZV.Acad. Nauk ASSR Number 2, 35-40 (Russian). [16] J. Kato (1996), The asymptotic equivalence of functional differential equations, J. differenttial Equat.1,3, 306-332. [17] N. Levinson, The asymptotic behavior of systems of linear differental equations Amer.J.Math, 63 (1946), 1-6. 49