Luận văn Tính ổn định tiệm cận của tập Idean nguyên tố liên kết của Modun đối đồng điều địa phương

1ffi„I HÅC THI NGUY–N TRìÍNG ffi„I HÅC Sì PH„M  NGUY™N TRUNG DễNG TNH ấN ffiÀNH TI›M CŁN CếA TŁP Iffi–AN NGUY–N Tẩ LI–N K˜T CếA MặffiUN ffiẩI ffiầNG ffiI—U ffiÀA PHìèNG LUŁN V‹N TH„C Sž TON HÅC ThĂi Nguyản - 2010 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2ffi„I HÅC THI NGUY–N TRìÍNG ffi„I HÅC Sì PH„M  NGUY™N TRUNG DễNG TNH ấN ffiÀNH TI›M CŁN CếA TŁP Iffi–AN NGUY–N Tẩ LI–N K˜T CếA MặffiUN ffiẩI ffiầNG ffiI—U ffiÀA PHìèNG Chuyản ng nh: ffiÔi số v  Lỵ thuyát số M số: 60. 46. 05 LUŁN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS. Nguyạn Vôn Ho ng ThĂi Nguyản - 2010 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3Mửc lửc Trang Mửc lửc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lới cÊm ỡn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mð Ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chữỡng 1. Kián thực cð sð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Iảan nguyản tố liản kát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Mổun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Mổun ối ỗng iãu àa phữỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Chiãu v  ở sƠu cừa mổun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.5. V nh v  mổun phƠn bêc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chữỡng 2. Tẵnh ờn ành tiằm cên cừa mởt số mð rởng cừa ở sƠu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1. M−dÂy tứ chiãu > k v  cĂc tẵnh chĐt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Chựng minh ffiành lỵ 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.3. Mởt số tẵnh chĐt liản quan án depthk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chữỡng 3. Tẵnh ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. Chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. Chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 T i liằu tham khÊo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc ho n th nh sau hai nôm hồc tÔi Trữớng ffiÔi hồc sữ phÔm - ffiÔi hồc ThĂi Nguyản v  dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v  nghiảm khưc cừa TS. Nguyạn Vôn Ho ng. NhƠn dàp n y tổi xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy v  gia ẳnh. Tổi xin b y tọ lỏng biát ỡn tợi GS.TSKH Nguyạn Tỹ Cữớng, PGS.TS Nguyạn Quốc Thưng, PGS.TS Lả Thanh Nh n v  TS. Nguyạn Thà Dung; cĂc thƯy cổ ð Khoa ToĂn v  Phỏng ffi o tÔo Sau ffiÔi hồc Trữớng ffiÔi hồc Sữ phÔm - ffiÔi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giÊng dÔy v  giúp ù tổi trong suốt thới gian hồc têp. Cuối cũng tổi xin b y tọ lỏng biát ỡn tợi ngữới thƠn, bÔn b± v  tĐt cÊ nhỳng ngữới  giúp ù, ởng viản tổi trong suốt quĂ trẳnh hồc têp. ThĂi Nguyản, thĂng 8 nôm 2010 Hồc viản Nguyạn Trung Dụng Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 5Mð Ưu Cho (R,m) l  v nh giao hoĂn Noether àa phữỡng, I, J l  hai iảan cừa R v  M l  mởt R−mổun hỳu hÔn sinh. Nôm 1979, M. Brodmann  chựng minh ữủc rơng cĂc têp AssR(J nM/Jn+1M) v  AssR(M/J nM) l  ờn ành khi n ừ lợn. ffiº chựng minh kát quÊ trản, ổng  dỹa v o tẵnh ờn ành cừa depth(I, JnM/Jn+1M) v  depth(I,M/JnM) khi n ừ lợn. GƯn Ơy, M. Brodmann v  L.T. Nh n  ành nghắa khĂi niằm M−dÂy tứ chiãu > k nhữ sau: cho số nguyản k ≥ −1, mởt dÂy x1, ..., xr cĂc phƯn tỷ cừa m ữủc gồi l  M−dÂy tứ chiãu > k náu vợi mội i ∈ {1, ..., r} ta cõ xi /∈ p vợi mồi p ∈ AssR(M/(x1, ..., xi−1)M) m  dim(R/p) > k. Hồ  ch¿ ra rơng mồi M−dÂy tứ chiãu > k tối Ôi trong I ãu cõ ở d i nhữ nhau v  bơng số nguyản i b² nhĐt sao cho tỗn tÔi p ∈ Supp(H iI(M)) cõ dim(R/p) > k. Ta kẵ hiằu ở d i chung n y l  depthk(I,M). ffi°c biằt, depth−1(I,M) l  ở sƠu depth(I,M) cừa M trong I l  ở d i cừa M−dÂy tối Ôi trong I, depth0(I,M) l  ở sƠu lồc f-depth(I,M) cừa M trong I ữủc kẵ hiằu bði Luă v  Tang v  depth1(I,M) l  ở sƠu suy rởng cừaM trong I ữủc ành nghắa bði L. T. Nh n. Tứ õ ta cõ mởt cƠu họi mð °t ra l : CƠu họi 1: Liằu rơng cĂc số depthk(I, J nM/Jn+1M) v  depthk(I,M/J nM) cõ trð nản ờn ành hay khổng khi n ừ lợn? Nôm 2008, trong mởt b i bĂo cừa N. T. Cữớng, N. V. Ho ng v  P. H. KhĂnh (xem [8]), hồ  trÊ lới kh¯ng ành cho cƠu họi trản, õ cụng l  mởt kát quÊ mð rởng cho mởt ffiành lỵ cừa Brodmann, cử thº l  ành lỵ sau: ffiành lỵ 0.0.1. [8, ffiành lỵ 1.1] Cho (R,m) l  v nh àa phữỡng, I, J ⊆ R l  cĂc iảan v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. Khi õ vợi mồi số Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6nguyản k ≥ −1, cĂc số depthk(I, JnM/Jn+1M) v  depthk(I,M/JnM) trð th nh cĂc hơng số rk v  sk vợi n ừ lợn. M°t khĂc, nôm 1990, C. Huneke  ữa ra giÊ thuyát rơng têp AssR(H j I (M)) l  hỳu hÔn vợi mồi mổun hỳu hÔn sinh M , mồi iảan I, v  mồi j . CƠu trÊ lới kh¯ng ành cho cƠu giÊ thuyát õ ữủc ữa ra bði Huneke-R.Y. Sharp, G. Lyubeznik cho cĂc v nh chẵnh quy àa phữỡng chựa mởt trữớng. M°c dũ, sau õ A. Singh, M. Katzman  ch¿ ra cĂc phÊn vẵ dử cho giÊ thuyát n y, những giÊ thuyát õ văn cỏn úng trong nhiãu trữớng hủp. Ch¯ng hÔn, K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian, L.T. Nh n  chựng minh rơng AssR(H j I (M)) l  têp hỳu hÔn vợi mồi j ≤ depth1(I,M). Tứ õ v  tứ ffiành lỵ 0.0.1 ta thĐy rơng khi j ≤ r1 = depth1(I, JnM/Jn+1M) v  i ≤ s1 = depth1(I,M/JnM) thẳ cĂc têp AssR(H j I (J nM/Jn+1M)) v  AssR(H i I(M/J nM)) l  hỳu hÔn vợi n ừ lợn. Vẳ thá nhữ mởt l³ tỹ nhiản, ngữới ta họi rơng CƠu họi 2. Cho cĂc số nguyản j ≤ r1 v  i ≤ s1, liằu rơng cĂc têp AssR(H j I (J nM/Jn+1M)) v  AssR(H i I(M/J nM)) cõ trð nản ờn ành hay khổng khi n ừ lợn? Cụng trong b i bĂo nảu trản cừa N. T. Cữớng, N. V. Ho ng v  P. H. KhĂnh (xem [8]), hồ  trÊ lới kh¯ng ành cho mởt cƠu họi yáu hỡn cƠu họi trản, cử thº hồ thu ữủc ành lỵ sau: ffiành lỵ 0.0.2. [8, ffiành lỵ 1.2] Cho (R,m) l  v nh àa phữỡng, I, J ⊆ R l  cĂc iảan v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. LĐy rk = depthk(I, J nM/Jn+1M) v  sk = depthk(I,M/J nM) khi n ừ lợn nhữ trong ffiành lỵ 0.0.1. Khi õ cĂc mằnh ã sau l  úng: (i) AssR(H r−1 I (J nM/Jn+1M)) v  AssR(H s−1 I (M/J nM)) l  cĂc têp ờn ành khi n ừ lợn. (ii) ⋃ j≤r0 AssR ( HjI (J nM/Jn+1M)) v  ⋃ i≤s0 AssR ( H iI(M/J nM)) l  cĂc têp ờn ành khi n ừ lợn. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7(iii) ⋃ t≤j AssR ( H tI(J nM/Jn+1M))∪{m} v  ⋃ t≤i AssR ( H tI(M/J nM))∪{m} vợi mồi j ≤ r1 v  i ≤ s1 l  cĂc têp ờn ành khi n ừ lợn. Nhỳng vĐn ã nảu trản cõ mởt ỵ nghắa quan trồng chuyản ng nh Ôi số, Ôi số giao hoĂn v  Ôi số ỗng iãu, vẳ thá nõ  thu hút sỹ quan tƠm cừa nhiãu nh  toĂn hồc trản thá giợi v  trong nữợc. Mửc ẵch cừa luên vôn n y l  hằ thống mởt số kián thực cƯn thiát vã Ôi số giao hoĂn, Ôi số ỗng iãu cõ liản quan án cĂc cƠu họi 1, 2; Sau õ trẳnh b y lÔi mởt cĂch chi tiát chựng minh cho cĂc ffiành lỵ 0.0.1 v  ffiành lỵ 0.0.2 v  mởt số hằ quÊ cừa chúng. Luên vôn gỗm 3 chữỡng. Chữỡng 1 d nh º nhưc lÔi mởt số kián thực cỡ sð vã Ôi số giao hoĂn, ối ỗng iãu àa phữỡng, mổun phƠn bêc nhơm phửc cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ cừa cĂc chữỡng tiáp sau. Trong phƯn Ưu cừa chữỡng 2, chúng tổi giợi thiằu khĂi niằm M−dÂy tứ chiãu > k, ở d i cừa M−dÂy tứ chiãu > k trong I. Tiáp theo, chúng tổi chựng minh ffiành lỵ 0.0.1 v  hằ quÊ cừa nõ. PhƯn cuối cừa chữỡng n y, chúng tổi x²t mởt số tẵnh chĐt quan trồng cừa M−dÂy tứ chiãu > k v  mð rởng cừa ở sƠu. Chữỡng cuối cũng, chúng tổi d nh to n bở cho viằc chựng minh ffiành lỵ 0.0.2. Trong õ, trữợc mội phƯn chựng minh chúng tổi ãu ữa ra cĂc tẵnh chĐt cõ liản quan. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 8Chữỡng 1 Kián thực cỡ sð Trong suốt luên vôn n y, ta luổn kẵ hiằu (R,m) l  v nh giao hoĂn, àa phữỡng, Noether vợi iảan cỹc Ôi duy nhĐt m; v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. 1.1 Iảan nguyản tố liản kát ffiành nghắa 1.1.1. Mởt iảan nguyản tố p cừa R ữủc gồi l  iảan nguyản tố liản kát cừa M náu tỗn tÔi mởt phƯn tỷ x ∈ M sao cho Ann(x) = p. Têp cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M ữủc kẵ hiằu l  AssR(M) ho°c Ass(M). Sau Ơy l  mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp cĂc iảan nguyản tố liản kát. Mằnh ffiã 1.1.2. (a) Cho p l  iảan nguyản tố cừa R. Khi õ p ∈ AssR(M) náu v  ch¿ náu M chựa mởt mổun con ¯ng cĐu vợi R/p. (b) Cho p l  phƯn tỷ tối Ôi cừa têp cĂc iảan cõ dÔng Ann(x) trong õ 0 6= x ∈ M . Khi õ p ∈ AssR(M). Vẳ thá, M 6= 0 khi v  ch¿ khi AssR(M) 6= 0. Hỡn nỳa, têp ZD(M) cĂc ữợc cừa khổng cừa M chẵnh Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 9l  hủp cừa cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M. (c) Cho 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 l  dÂy khợp cĂc R−mổun. Khi õ AssRM ′ ⊆ AssRM ⊆ AssRM ′ ∪ AssRM ′′. (d) AssR(M) ⊆ SuppR(M) v  mội phƯn tỷ tối thiºu cừa SuppR(M) ãu thuởc AssR(M). (e) NáuM l  R−mổun hỳu hÔn sinh thẳ AssR(M) l  têp hỳu hÔn. Hỡn nỳa, AssR(M) ⊆ V (AnnM) v  mội phƯn tỷ tối thiºu cừa V (AnnM) ãu thuởc AssR(M). Vẳ thá Ann(M) l  giao cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M . (f) Náu N l  mổun con cừa M thẳ AssR(N) ⊆ AssR(M) ⊆ AssR(M/N) ∪ AssR(N). (h) AssRp(Mp) = {qRp|q ∈ AssR(M), q ⊆ p}. Dữợi Ơy l  mởt kát quÊ rĐt quan trồng cừa M. Brodmann vã tẵnh ờn ành cừa têp cĂc iảan nguyản tố liản kát. ffiành lỵ 1.1.3. Cho I l  mởt iảan cừa R v  M l  hỳu hÔn sinh. Khi õ cĂc têp AssR(M/I nM) v  AssR(I n−1M/InM) khổng phử thuởc v o n khi n ừ lợn. 1.2 Mổun Ext ffiº tiằn theo dói, trong mửc n y, ta nhưc ngưn gồn cĂc khĂi niằm mổun Ext v  mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa nõ. ffiành nghắa 1.2.1. Mởt giÊi xÔ Ênh cừa M l  mởt dÂy khợp . . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→M −→ 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 trong õ mội Pi l  mổun xÔ Ênh. Chú ỵ 1.2.2. GiÊi xÔ Ênh cừa mởt mổun M luổn tỗn tÔi. Thêt vêy, giÊ sỷ Y l  mởt hằ sinh cừa M , gồi P0 = ⊕y∈YRy, vợi Ry = R, l  R−mổun tỹ do trản têp Y. Khi õ ta cõ to n cĐu ϕ : P0 −→ M cho bði ϕ(ay)y∈Y = Σy∈Y ayy. ffi°t K1 = Kerϕ. LĐy Y1 l  hằ sinh cừa K1 v  P1 l  R−mổun tỹ do sinh bði Y1. Khi õ ta cõ mởt to n cĐu tỹ nhiản f1 : P1 −→ K1. ffi°t à1 = j1f1, trong õ j1 : K1 ↪→ P0 l  ph²p nhúng tỹ nhiản tứ K1 v o P0. Dạ thĐy Imà1 = Kerϕ. ffi°t K2 = Kerà1. Bơng cĂch lêp luên tữỡng tỹ, ta cõ mởt to n cĐu f2 : P2 −→ K2 sao cho P2 l  mổun tỹ do v  Imà2 = Kerà1, trong õ à2 = j2f2 vợi j2 : K2 ↪→ P1 l  ph²p nhúng tỹ nhiản. Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta thu ữủc mởt dÂy khợp . . . à2−→ P1 à1−→ P0 ϕ−→M −→ 0 trong õ mội Pi l  mổun tỹ do. Vẳ mội mổun tỹ do l  xÔ Ênh nản dÂy khợp trản l  giÊi xÔ Ênh cừa M . ffiành nghắa 1.2.3. Cho N l  R−mổun. X²t h m tỷ Hom(−, N) l  phÊn bián, khợp trĂi. Cho M l  R−mổun. LĐy giÊi xÔ Ênh cừa M . . . . f2−→ P2 f1−→ P1 f0−→ P0 à−→M −→ 0. TĂc ởng h m tỷ Hom(−, N) v o dÂy khợp trản ta cõ phực 0 −→ Hom(P0, N) f ∗ 0−→ Hom(P1, N) f ∗ 1−→ Hom(P2, N) f ∗ 2−→ . . . . Khi õ ExtiR(M,N) = Ker f ∗ i / Im f ∗ i−1. Mổun n y khổng phử thuởc v o viằc chồn giÊi xÔ Ênh cừa M . Sau Ơy l  mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mổun Ext. Mằnh ffiã 1.2.4. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 11 (a) Náu M l  xÔ Ênh thẳ ExtiR(M,N) = 0 vợi mồi i ≥ 1. (b) Ext0R(M,N) ∼= Hom(M,N). (c) Náu 0 −→ N ′ −→ N −→ N” −→ 0 l  dÂy khợp ngưn thẳ tỗn tÔi cĂc ỗng cĐu nối ExtnR(M,N ′′) −→ Extn+1R (M,N ′) vợi mồi n ≥ 0 sao cho ta cõ dÂy khợp d i 0 −→ Hom(M,N ′) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M,N ′′) −→ Ext1R(M,N ′) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M,N ′′) −→ Ext2R(M,N ′) −→ . . . (d) Náu 0 −→ N ′ −→ N −→ N” −→ 0 l  dÂy khợp ngưn thẳ tỗn tÔi cĂc ỗng cĐu nối ExtnR(N ′,M) −→ Extn+1R (N ′′,M) vợi mồi n ≥ 0 sao cho ta cõ dÂy khợp d i 0 −→ Hom(N”,M) −→ Hom(N,M) −→ Hom(N ′,M) −→ Ext1R(N ′′,M) −→ Ext1R(N,M) −→ Ext1R(N ′,M) −→ Ext2R(N ′′,M) −→ . . . Tứ Chú ỵ 1.2.2 v  tứ ffiành nghắa Ext ta cõ ngay kát quÊ sau. Hằ quÊ 1.2.5. NáuM,N l  cĂc R−mổun hỳu hÔn sinh thẳ ExtnR(M,N) l  hỳu hÔn sinh vợi mồi n. Kát quÊ sau Ơy cho ta tẵnh chĐt giao hoĂn giỳa Ext v  h m tỷ àa phữỡng hõa. Mằnh ffiã 1.2.6. Náu S l  têp õng nhƠn cừa R thẳ S−1(ExtnR(M,N)) ∼= ExtnS−1R(S−1M,S−1N) trong õ S−1 l  h m tỷ àa phữỡng hõa. ffi°c biằt, (ExtnR(M,N))p ∼= ExtnRp(Mp, Np) vợi mồi iảan nguyản tố p cừa R. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12 1.3 Mổun ối ỗng iãu àa phữỡng ffiành nghắa 1.3.1. Cho I l  iảan cừa R. Vợi mội R−mổun M , ta ành nghắa ΓI(M) = ⋃ n≥0(0 :M I n). Náu f : M −→ N l  ỗng cĐu cĂc R−mổun thẳ ta cõ ỗng cĐu cÊm sinh f ∗ : ΓI(M) −→ ΓI(N) cho bði f ∗(m) = f(m). Khi õ ΓI(−) l  mởt h m tỷ hiằp bián, khợp trĂi tứ phÔm trũ cĂc R−mổun án phÔm trũ cĂc R−mổun. ΓI(−) ữủc gồi h m tỷ I−xoưn. Bờ ã 1.3.2. Cho I l  iảan cừa v nh Noether R. GiÊ sỷ M l  hỳu hÔn sinh. CĂc phĂt biºu sau l  úng. (a) ΓI(M) 6= 0 náu v  ch¿ náu I ⊆ ZD(M), trong õ ZD(M) = {a ∈ R : tỗn tÔi 0 6= m ∈M sao cho am = 0} (b) Ass(ΓI(M)) = Ass(M)∩V (I) v  Ass(M/ΓI(M)) = Ass(M)\V (I). ffiành nghắa 1.3.3. Mởt giÊi nởi xÔ cừa M l  mởt dÂy khợp 0−→M à−→ E0 f0−→ E1 f1−→ E2 f2−→ . . . trong õ mội Ei l  mổun nởi xÔ. Chú ỵ 1.3.4. GiÊi nởi xÔ cừa mởt mổun M luổn tỗn tÔi. ffiành nghắa 1.3.5. Cho M l  R−mổun v  I l  iảan cừa R. Cho giÊi nởi xÔ cừa M 0−→M à−→ E0 f0−→ E1 f1−→ E2 f2−→ . . . TĂc ởng h m tỷ I−xoưn v o dÂy khợp trản ta ữủc phực 0 −→ ΓI(E0) f ∗ 0−→ ΓI(E1) f ∗ 1−→ ΓI(E2) f ∗ 2−→ . . . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13 Khi õ H iI(M) = Ker f ∗ i / Im f ∗ i−1 l  mổun ối ỗng iãu thự i cừa phực v  ữủc gồi l  mổun ối ỗng iãu àa phữỡng thự i cừa M ối vợi iảan I. Sau Ơy l  mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mổun ối ỗng iãu àa phữỡng. Mằnh ffiã 1.3.6. (a) Náu M l  nởi xÔ thẳ H iI(M) = 0 vợi mồi i ≥ 1. (b) ΓI(M) ∼= H0I (M). (c) Náu 0 −→ M ′ −→ M −→ M” −→ 0 l  dÂy khợp ngưn thẳ tỗn tÔi cĂc ỗng cĐu nối HnI (M ′′) −→ Hn+1I (M ′) vợi mồi n ≥ 0 sao cho ta cõ dÂy khợp d i 0 −→ ΓI(M ′) −→ ΓI(M) −→ ΓI(M ′′) −→ H1I (M ′) −→ H1I (M) −→ H1I (M ′′) −→ H2I (M ′) −→ . . . Kát quÊ sau Ơy cho ta tẵnh chĐt giao hoĂn giỳa ối ỗng iãu àa phữỡng v  h m tỷ àa phữỡng hõa. Mằnh ffiã 1.3.7. Náu S l  têp õng nhƠn cừa R v  S−1 l  h m tỷ àa phữỡng hõa thẳ S−1HnI (M) ∼= HnS−1I(S−1M). ffi°c biằt, (HnI (M))p ∼= HnIRp(Mp) vợi mồi iảan nguyản tố p cừa R. Tứ mằnh ã trản ta cõ kát quÊ sau. Bờ ã 1.3.8. Vợi mội iảan nguyản tố p cừa R ta cõ p ∈ AssHnI (M) náu v  ch¿ náu pRp ∈ AssHnIRp(Mp). 1.4 Chiãu v  ở sƠu cừa mổun ffiành nghắa 1.4.1. Cho R l  v nh giao hoĂn Noether v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh khĂc 0. DÂy cĂc phƯn tỷ a1, . . . , an ∈ R ữủc gồi l  M−dÂy chẵnh quy náu: Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 (i) M/(a1, . . . , an)M 6= 0, v  (ii) ai l  phƯn tỷM/(a1, . . . , ai−1)M−chẵnh quy, vợi mồi i = 1, . . . , n. ffiở d i cừa M−dÂy l  số phƯn tỷ cừa dÂy. M−dÂy khổng cõ phƯn tỷ n o gồi l  M−dÂy cõ ở d i 0. * Lữu ỵ: (i) a ∈ R l  phƯn tỷ M−chẵnh quy náu a khổng l  ữợc cừa 0 trong M . (ii) a1, . . . , an ∈ R ữủc gồi l  M−dÂy chẵnh quy khi v  ch¿ khi M/(a1, . . . , an)M 6= 0 v  ai /∈ p vợi mồi p ∈ AssRM/(a1, . . . , ai−1)M vợi i = 1, . . . , n. ffiành nghắa 1.4.2. Cho R l  v nh giao hoĂn Noether v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh khĂc 0. LĐy I l  iảan cừa R sao choM 6= IM v  a1, . . . , an l  M−dÂy chẵnh quy trong I. Ta nõi rơng a1, . . . , an l  M−dÂy chẵnh quy tối Ôi trong I náu khổng tỗn tÔi phƯn tỷ an+1 ∈ I sao cho a1, . . . , an, an+1 l  M−dÂy chẵnh quy cõ ở d i n+ 1. ffiành nghắa 1.4.3. Cho R l  v nh giao hoĂn Noether v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh khĂc 0. LĐy I l  iảan cừa R sao choM 6= IM . Khi õ mồi dÂy chẵnh quy cừa M trong I ãu cõ thº mð rởng th nh dÂy chẵnh quy tối Ôi trong I v  cĂc dÂy chẵnh quy tối Ôi cừaM trong I cõ cũng ở d i. ffiở d i n y gồi chung l  ở sƠu cừa M trong I. Kẵ hiằu l  depth(I,M). * Nhên x²t: Náu R l  v nh àa phữỡng vợi iảan cỹc Ôi m. Khi õ mồiM−dÂy chẵnh quy a1, . . . , an phÊi cõ cĂc phƯn tỷ thuởc m, ỡn giÊn vẳ M 6= (a1, . . . , an)M . Chú ỵ ta cõ M 6= mM theo Bờ ã Nakayama. Do õ dÂy cĂc phƯn tỷ cừa R l  M−dÂy chẵnh quy khi v  ch¿ khi nõ l  M−dÂy chẵnh quy trong m. Trong trữớng hủp n y, ở sƠu cừa M trong m gồi l  ở sƠu cừa M v  kẵ hiằu l  depthM. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 15 Kát quÊ sau Ơy l  °c trững qua tẵnh khổng triằt tiảu cừa mổun Ext . Mằnh ffiã 1.4.4. Cho R l  v nh Noether, I l  iảan cừa R v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. Khi õ depth(I,M) = inf{i | ExtiR(R/I,M) 6= 0}. ffiở sƠu cụng cõ thº ữủc °c trững qua tẵnh khổng triằt tiảu cừa mổun ối ỗng iãu àa phữỡng. Mằnh ffiã 1.4.5. GiÊ sỷ I l  iảan cừa R v  M l  hỳu hÔn sinh. Khi õ depth(I,M) = inf{i | H iI(M) 6= 0}. Ta gồi mởt dÂy cĂc iảan nguyản tố p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn, trong õ pi 6= pi+1 l  mởt dÂy nguyản tố cõ ở d i n. Chiãu cừa v nh R, kẵ hiằu l  dimR, l  cên trản cừa cĂc ở d i cừa cĂc dÂy iảan nguyản tố trong R. Chiãu cừa mổun M , kẵ hiằu l  dimM l  cên trản cừa cĂc số n sao cho cõ mởt dÂy nguyản tố cõ ở d i n trong SuppM . Khi M l  hỳu hÔn sinh thẳ SuppM = V (AnnRM), do õ dimM = dimR/AnnRM = sup p∈AssM dim(R/p). Khi R l  v nh Noether àa phữỡng thẳ mồi R−mổun hỳu hÔn sinh ãu cõ chiãu hỳu hÔn. ffi°c biằt, ta cõ kát quÊ sau Ơy. Mằnh ffiã 1.4.6. Cho (R,m) l  v nh àa phữỡng v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. Khi õ `(M/mnM) l  mởt a thực vợi hằ số hỳu tff khi n ừ lợn v  dimM = deg(`(M/mnM)) = inf{t : ∃a1, . . . , at º `(M/(a1, . . . , atM)) <∞}. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 16 GiÊ sỷ dimM = d. Theo mằnh ã trản, cõ cĂc phƯn tỷ a1, . . . , ad ∈ m sao cho `(M/(a1, . . . , adM)) <∞. Mởt hằ nhữ thá ữủc gồi l  hằ tham số cừa M. Kát quÊ sau Ơy ch¿ ra rơng chiãu cừa mởt mổun cõ thº °c trững thổng qua tẵnh triằt tiảu v  khổng triằt tiảu cừa mổun ối ỗng iãu àa phữỡng. Mằnh ffiã 1.4.7. Cho I l  iảan cừa R v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh khĂc 0. Khi õ (a) H iI(M) = 0 vợi mồi i > dimM. (b) Náu (R,m) l  v nh àa phữỡng thẳ dimM = sup{i : H im(M) 6= 0}. 1.5 V nh v  mổun phƠn bêc ffiành nghắa 1.5.1. (i) Mởt v nh phƠn bêc A l  mởt v nh giao hoĂn thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt A = ⊕∞ n=0An (tờng trỹc tiáp cĂc nhõm con An cừa A) v  An.Am ⊆ An+m vợi mồi n,m. Mội phƯn tỷ cừa An ữủc gồi l  phƯn tỷ thuƯn nhĐt bêc n. Náu A = ⊕n≥0An l  mởt v nh phƠn bêc thẳ A0 l  mởt v nh con cừa A v  An l  A0−mổun vợi mồi n ≥ 0. ffi°c biằt, A cõ cĐu trúc tỹ nhiản l  mởt A0 Ôi số. Náu tỗn tÔi hỳu hÔn phƯn tỷ a1, . . . , an ∈ A1 sao cho A = A0[a1, . . . , an] thẳ ta nõi A l  A0−Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh, trong trữớng hủp n y A l  Ênh ỗng cĐu cừa v nh a thực n bián trản A0. Náu A0 l  v nh Noether thẳ theo ffiành lẵ cỡ sð Hilbert, v nh a thực trản A0 l  v nh Noether. Vẳ thá A l  v nh Noether. (ii) Cho A l  v nh phƠn bêc v M l  A−mổun thẳM gồi l  A−mổun phƠn bêc náu thọa mÂn cĂc iãu kiằn sauM = ⊕∞ n=0Mn (nhữ l  nhõm) v  An.Mm ⊆ Mn+m vợi mồi n,m. Khi õ mởt phƯn tỷ x ∈ Mn gồi l  cĂc phƯn tỷ thuƯn nhĐt (phƠn bêc) cõ bêc l  n. Cho N l  mổun con Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 17 cừa mổun phƠn bêc M , N ữủc gồi l  mổun con thuƯn nhĐt (phƠn bêc) náu N = ⊕∞ n=0(Mn ∩N). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 18 Chữỡng 2 Tẵnh ờn ành tiằm cên cừa mởt số mð rởng cừa ở sƠu Trong chữỡng n y, ta nhưc lÔi khĂi niằmM−dÂy tứ chiãu > k v  chựng minh ffiành lỵ 0.0.1. 2.1 M−dÂy tứ chiãu > k v  cĂc tẵnh chĐt ffiành nghắa 2.1.1. Cho k ≥ 0 l  mởt số nguyản. Mởt dÂy x1, ..., xr cĂc phƯn tỷ cừa m ữủc gồi l  M−dÂy tứ chiãu > k náu vợi mội i ∈ {1, ..., r} ta cõ xi /∈ p vợi mồi p ∈ AssR(M/(x1, ..., xi−1)M) m  dim(R/p) > k. Dạ thĐy rơng x1, ..., xr l  mởt M−dÂy tứ chiãu > −1 náu v  ch¿ náu nõ l  mởt dÂy chẵnh quy cừa M, v  x1, ..., xr l  mởt M−dÂy tứ chiãu > 0 náu v  ch¿ náu nõ l  mởt dÂy lồc chẵnh quy cừa M ữủc giợi thiằu bði N. T. Cữớng, P. Schenzel v  N. V. Trung (xem [9]). Hỡn nỳa, x1, ..., xr l  mởt M−dÂy tứ chiãu > 1 náu v  ch¿ náu nõ l  mởt dÂy chẵnh quy suy rởng cừa M ữủc ành nghắa bði L. T. Nh n (xem [21]). Chú ỵ 2.1.2. (i) Cho k l  mởt số nguyản. GiÊ sỷ dim(M/IM) > k. Khi õ bĐt kẳ M−dÂy tứ chiãu > k trong I cõ ở d i hỳu hÔn, v  Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 19 tĐt cÊ cĂc M−dÂy tứ chiãu > k tối Ôi trong I ãu cõ ở d i nhữ nhau v  bơng số nguyản i b² nhĐt sao cho tỗn tÔi p ∈ Supp(H iI(M)) vợi dim(R/p) > k (xem [4, ffiành lỵ 2.4]). Trong trữớng hủp n y ta kẵ hiằu, depthk(I,M) l  ở d i cừa mởt M−dÂy tứ chiãu > k tối Ôi trong I. Hỡn nỳa, náu x1, ..., xr l  mởt dÂy tứ chiãu > k tối Ôi trong I, thẳ x1, ..., xr l  mởt phƯn hằ tham số cừa M , v  do õ depthk(I,M) ≤ dim(M) − dim(M/IM). Chú ỵ rơng, depth−1(I,M) l  ở sƠu thổng thữớng depth(I,M) cừa M trong I, depth0(I,M) l  ở sƠu lồc f-depth(I,M) cừa M trong I ữủc kẵ hiằu bði Luă v  Tang (xem [15]), v  depth1(I,M) l  ở sƠu suy rởng cừa M trong I ữủc ành nghắa bði L. T. Nh n (xem [21]). (ii) Náu dim(M/IM) ≤ k thẳ ta cõ thº chồn mởt M−dÂy tứ chiãu > k trong I cõ ở d i r nguyản dữỡng bĐt kẳ, v  trong trữớng hủp n y ta °t depthk(I,M) =∞. Cho S l  têp con cừa Spec(R) v  i ≥ 0 l  mởt số nguyản, ta °t S≥i := {p ∈ S| dim(R/p) ≥ i} v  S>i := {p ∈ S| dim(R/p) > i}. Bờ ã 2.1.3. Cho k ≥ −1 l  mởt số nguyản. Khi õ depthk(I,M) = inf{j | dim(ExtjR(R/I,M)) > k} = inf{depthk−i(Ip,Mp)|p ∈ Supp(M/IM)≥i} vợi mồi 0 ≤ i ≤ k + 1, ð Ơy ta quy ữợc rơng inf(∅) =∞. Chựng minh. Ta cõ depthk(I,M) =∞ náu v  ch¿ náu dim(M/IM) ≤ k, do õ mằnh ã úng trong trữớng hủp depthk(I,M) = ∞. GiÊ sỷ Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 20 r = depthk(I,M) l  mởt số nguyản khổng Ơm. Theo [ 4, Bờ ã 2.4 ], ta cõ r = inf{i|∃p ∈ Supp(H iI(M)), dim(R/p) > k}. Hỡn nỳa, theo [ 7, Bờ ã 2.8 ], ta ữủc⋃ j≤l Supp(HjI (M)) = ⋃ j≤l Supp(ExtjR(R/I,M)) vợi mồi l ≥ 0. Do õ r = inf{j|∃p ∈ Supp(ExtjR(R/I, (M)), dim(R/p) > k} hay r = inf{j| dim(ExtjR(R/I,M)) > k}. Ta chựng minh dĐu bơng thự hai trong bờ ã. Cho x1, . . . , xr l  mởt M−dÂy tứ chiãu > k trong I v  i ∈ {0, . . . , k + 1}. Vợi mội p ∈ Supp(M/IM)≥i, ta thĐy x1/1, . . . , xr/1 l  mởt Mp−dÂy tứ chiãu > k−i trong Ip. Thêt vêy, xi/1 ∈ Ip do xi ∈ I v  1 /∈ p. GiÊ sỷ, tỗn tÔi i sao cho xi/1 ∈ qRp vợi qRp ∈ (AssR(Mp/(x1, . . . , xi−1)Mp))>k−i, khi õ tỗn tÔi mởt xẵch nguyản tố pRp ⊃ . . . ⊃ qRp cõ ở d i > k−i, do õ tỗn tÔi mởt xẵch nguyản tố m ⊃ . . . ⊃ p ⊃ . . . ⊃ q cõ ở d i > k− i+ i = k. Nhữ vêy, xi ∈ q vợi q ∈ Ass(M/(x1, . . . , xi−1)M) v  dim(R/q) > k, iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát. Do õ, r ≤ depthk−i(Ip,Mp). M°t khĂc, theo dĐu bơng thự nhĐt, tỗn tÔi q ∈ Supp(ExtrR(R/I,M)) vợi dim(R/q) > k. Do õ, tỗn tÔi dÂy nguyản tố q ⊂ q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qk ⊂ qk+1 ⊂ . . . ⊂ m vợi qi ∈ Supp(M/IM). Tứ õ, ta cõ thº chồn ữủc mởt iảan nguyản tố p′ sao cho p′ ⊃ q m  dim(R/p′) = i v  dim(Rp′/qRp′) > k − i. Do õ, qRp′ ∈ SuppRp′(ExtrR(R/I,M))p′)>k−i hay qRp′ ∈ Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 21 SuppRp′(Ext r Rp′(Rp′/Ip′,Mp′))>k−i. Suy ra r ≥ depthk−i(Ip′,Mp′). Vẳ vêy r = inf{depthk−i(Ip,Mp)|p ∈ Supp(M/IM)≥i}. Kẵ hiằu 2.1.4. ChoR = ⊕n≥0Rn l  mởt Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản v nh àa phữỡng R0 = R v M = ⊕n≥0Mn l  mởt R−mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh. ffiº tiằn lủi, ta kẵ hiằu Nn l  R−mổun Mn ho°c M/JnM . Theo ành lỵ cừa Brodmann vã sỹ ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát [1] (xem cÊ [18, ffiành lỵ 3.1]), ta cõ bờ ã sau. Bờ ã 2.1.5. Têp AssR(Nn) l  ờn ành vợi n ừ lợn. Bờ ã 2.1.6. Cho k ≥ −1 v  r ≥ 1 l  nhỳng số nguyản. Náu dim(ExtiR(R/I,Nn)) ≤ k vợi vổ hÔn n v  mồi i < r. Thẳ luổn tỗn tÔi r phƯn tỷ x1, . . . xr l  Nn−dÂy tứ chiãu > k trong I vợi mồi n ừ lợn. Chựng minh. GiÊ sỷ T := {n ∈ Z| dim(ExtiR(R/I,Nn)) ≤ k,∀i < r}. Ta chựng minh bờ ã bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo r. Náu r = 1, thẳ dim(Hom(R/I,Nn)) ≤ k vợi mồi n ∈ T . Khi õ I 6⊆ p vợi mồi p ∈ AssR(Nn)>k. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng tỗn tÔi p ∈ AssR(Nn)>k sao cho I ⊆ p. Vẳ AssR(Hom(R/I,Nn)) = AssR(Nn) ∩ V (I) nản p ∈ AssR(Hom(R/I,Nn)) suy ra p ∈ Supp(Hom(R/I,Nn)) do õ dim(Hom(R/I,Nn)) > k. ffiiãu n y l  mƠu thuăn. Vẳ AssR(Nn) l  ờn Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 22 ành vợi n ừ lợn theo Bờ ã 2.1.5, nản tỗn tÔi số nguyản a ∈ T sao cho I 6⊆ p vợi mồi n ≥ a. Vẳ vêy, cõ thº chồn mởt phƯn tỷ x1 ∈ I l  Nn−dÂy tứ chiãu > k vợi mồi n ≥ a. GiÊ sỷ r > 1 v  mằnh ã úng vợi r−1. Ta chựng minh mằnh ã úng vợi r. Trữợc tiản ta chựng minh dim(ExtiR(R/I,Nn/x1Nn)) ≤ k vợi mồi i < r − 1 rỗi Ăp dửng theo giÊ thiát quy nÔp trong trữớng hủp r − 1. GiÊ sỷ dim(0 :Nn x1) > k thẳ sup{dim(R/p)|p ∈ AssR(0 :Nn x1)} > k, suy ra tỗn tÔi 0 6= m ∈ (0 :Nn x1) v  p ∈ SpecR sao cho p = Ann(m) v  dim(R/p) > k. M°t khĂc, vẳ x1 l  Nn− dÂy tứ chiãu > k nản x1 /∈ p, vợi mồi p ∈ AssR(Nn) v  dim(R/p) > k, lÔi do 0 6= m ∈ (0 :Nn x1) nản x1m = 0, suy ra x1 ∈ Ann(m) = p. ffiiãu n y vổ lẵ. Vêy, náu x1 l  Nn−dÂy tứ chiãu> k thẳ dim(0 :Nn x1) ≤ k v  dim(ExtiR(R/I,Nn)) ≤ k mồi n ∈ T vợi n ≥ a v  mồi i < r. Tứ dÂy khợp ngưn 0 −→ (0 :Nn x1) −→ Nn −→ Nn/(0 :Nn x1) −→ 0 ta cõ dÂy khợp ExtiR(R/I,Nn) −→ ExtiR(R/I,Nn/(0 :Nn x1)) −→ Exti+1R (R/I, (0 :Nn x1)). Do dim(0 :Nn x1) ≤ k nản dim(Supp(H iI(0 :Nn x1))) ≤ k vợi mồi i ≥ 0, lÔi do⋃ i≤r−1 Supp(H iI(0 :Nn x1)) = ⋃ i≤r−1 Supp(ExtiR(R/I, (0 :Nn x1))) nản dim(ExtiR(R/I, (0 :Nn x1))) ≤ k vợi mồi i < r − 1. Tứ dÂy khợp trản, ta suy ra dim(ExtiR(R/I,Nn/(0 :Nn x1))) ≤ k vợi mồi i < r. M°t khĂc, tứ dÂy khợp ngưn 0 −→ Nn/(0 :Nn x1) −→ Nn −→ Nn/x1Nn −→ 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 23 ta cõ dÂy khợp sau Exti−1R (R/I,Nn) −→ Exti−1R (R/I,Nn/x1Nn) −→ ExtiR(R/I,Nn/(0 :Nn x1)). Tứ õ, theo giÊ thiát v  dim(ExtiR(R/I,Nn/(0 :Nn x1))) ≤ k ta suy ra dim(ExtiR(R/I,Nn/x1Nn)) ≤ k vợi mồi i < r−1,mồi n ∈ T v  mồi n ≥ a. Do õ, theo giÊ thiát quy nÔp, tỗn tÔi mởt Nn/x1Nn−dÂy tứ chiãu > k ch¯ng hÔn l  x2, . . . , xr ∈ I vợi mồi n ≥ a (vợi a n o õ thuởc T ). 2.2 Chựng minh ffiành lỵ 0.0.1 Chựng minh. Ta cõ dimNn = dimR/AnnRNn = sup p∈AssNn dim(R/p). Theo Bờ ã 2.1.5, tỗn tÔi số nguyản u > 0 sao cho d = dimNn v  d′ = dim(Nn/INn) vợi mồi n ≥ u. Náu d′ ≤ k, thẳ luổn tỗn tÔi Nn−dÂy chẵnh quy tứ chiãu > k trong I cõ ở d i l vợi số nguyản l tũy ỵ, nản depthk(I,Nn) = ∞ vợi mồi n ≥ u. GiÊ sỷ d′ > k, thẳ 0 ≤ depthk(I,Nn) ≤ dimNn − dim(Nn/INn) theo Chú ỵ 2.1.2 hay 0 ≤ depthk(I,Nn) ≤ d− d′. Do õ tỗn tÔi mởt têp con vổ hÔn T cừa Z v  mởt số nguyản r ∈ {0, . . . , d− d′} sao cho r = inf{i | dim(ExtiR(R/I,Nn)) > k} vợi mồi n ∈ T. Ta s³ chựng minh r = depthk(I,Nn) vợi n ừ lợn. Thêt vêy, náu r = 0 thẳ dim(Ext0R(R/I,Nn)) = dim(Hom(R/I,Nn)) > k vợi mồi n ∈ T vẳ AssR(Hom(R/I,Nn)) = AssR(Nn)∩V (I) nản theo Bờ ã 2.1.5 têp AssR(Hom(R/I,Nn)) l  ờn ành vợi mồi n ≥ a, a ∈ T. ffiiãu Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 24 õ kh¯ng ành rơng depthk(I,Nn) = 0 vợi n ≥ a. Náu r ≥ 1 thẳ tỗn tÔi v ≥ 0 sao cho depthk(I,Nn) ≥ r vợi mồi n ≥ v theo Bờ ã 2.1.6. Do õ dim(ExtiR(R/I,Nn)) ≤ k vợi mồi n ≥ v v  mồi i < r. CƯn chựng minh dim(ExtrR(R/I,Nn)) > k, giÊ sỷ rơng dim(Ext r R(R/I,Nn)) ≤ k vợi mồi n trong têp con vổ hÔn S cừa Z. Vẳ theo Bờ ã 2.1.6 nản tỗn tÔi số nguyản b ≥ v sao cho depthk(I,Nn) ≥ r + 1 v  vẳ vêy dim(ExtrR(R/I,Nn)) ≤ k theo Bờ ã 2.1.3. MƠu thuăn vợi ành nghắa cừa r. Vêy tỗn tÔi số nguyản c ừ lợn sao cho dim(ExtrR(R/I,Nn)) > k v  dim(ExtiR(R/I,Nn)) ≤ k vợi mồi n ≥ c v  mồi i < r. Do õ lÔi theo Bờ ã 2.1.3 ta cõ depthk(I,Nn) = r vợi mồi n ≥ c. Trong ffiành lỵ 0.0.1, náu r = depthk(I,Nn) vợi mồi n ừ lợn, ta gồi r l  giĂ trà ờn ành cừa depthk(I,Nn). Theo Bờ ã 2.1.6 v  cĂch chựng minh ffiành lỵ 0.0.1, ta cõ hằ quÊ tiáp theo. Hằ quÊ 2.2.1. Cho k ≥ −1 l  mởt số nguyản v  r l  giĂ trà ờn ành cừa depthk(I,Nn). Khi õ r = inf{i | dim(ExtiR(R/I,Nn)) > k vợi vổ hÔn n}. 2.3 Mởt số tẵnh chĐt liản quan án depthk Bờ ã sau ch¿ ra mối quan hằ giỳa depthk(I, J nM/Jn+1M) v  depthk(I,M/J nM). Bờ ã 2.3.1. Cho k ≥ −1 l  mởt số nguyản. GiÊ sỷ rơng r v  s lƯn lữủt l  cĂc giĂ trà ờn ành cừa depthk(I, J nM/Jn+1M) v  depthk(I,M/J nM). Khi õ ta cõ r ≥ s. Chựng minh. Cho n > 0. ffi°t r(n) = depthk(I, J nM/Jn+1M) v  s(n) = depthk(I,M/J nM). Tứ dÂy khợp ngưn 0 −→ JnM/Jn+1M −→M/Jn+1M −→M/JnM −→ 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 25 ta cõ dÂy khợp d i sau . . . −→ Extj−1R (R/I,M/JnM) −→ ExtjR(R/I, JnM/Jn+1M) −→ ExtjR(R/I,M/Jn+1M)) −→ . . . Do õ vợi bĐt kẳ j < min{s(n) + 1, s(n + 1)} nản theo Bờ ã 2.1.3 ta cõ dim(ExtjR(R/I,M/J n+1M)) ≤ k do j < s(n+ 1) v  dim(Extj−1R (R/I,M/J nM)) ≤ k do j − 1 < s(n). V  theo dÂy khợp d i trản thẳ dim(ExtjR(R/I, J nM/Jn+1M)) ≤ k lÔi do Bờ ã 2.1.3 nản r(n) ≥ min{s(n) + 1, s(n+ 1)}. M  theo ành nghắa cừa r v  s thẳ tỗn tÔi mởt số nguyản a > 0 sao cho r = r(n) v  s = s(n) vợi mồi n ≥ a. Do õ, r ≥ min{s+ 1, s}. Suy ra, r ≥ s. Nhưc lÔi rơng mởt dÂy x1, . . . , xr ∈ I ữủc gồi l  mởt dÂy I−lồc chẵnh quy cừa M náu vợi mội i ∈ {1, . . . , r} ta cõ xi /∈ p vợi mồi p ∈ AssR(M/(x1, . . . , xi−1)M) \ V (I) trong õ V (I) l  têp tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố cừa R chựa I. Bờ ã 2.3.2. Cho k ≥ −1 l  mởt số nguyản v  r l  giĂ trà ờn ành cừa depthk(I,Nn). GiÊ sỷ 1 ≤ r < ∞. Khi õ tỗn tÔi mởt dÂy x1, . . . , xr trong I sao cho nõ ỗng thới l  Nn−dÂy tứ chiãu > k hoĂn và ữủc v  l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Nn hoĂn và ữủc vợi mồi n ừ lợn. Chựng minh. Cho l l  số nguyản thọa mÂn 1 ≤ l ≤ r. Ta chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo l vã sỹ tỗn tÔi cừa mởt dÂy gỗm l phƯn tỷ trong I thọa mÂn Bờ ã. Vợi l = 1, theo Bờ ã 2.1.5, ta cõ thº giÊ sỷ rơng tỗn tÔi số nguyản t > 0 sao cho AssR(Nn) l  ờn ành vợi mồi n ≥ t. Vẳ r ≥ 1 nản I 6⊆ p vợi mồi p ∈ AssR(Nn)>k v  mồi n ≥ t (vẳ náu ngữủc lÔi thẳ mồi x ∈ I ⊆ p Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 26 mƠu thuăn vợi r ≥ 1). Tứ Ơy, theo ffiành lỵ trĂnh nguyản tố ta cõ I 6⊆ p vợi mồi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn) \ V (I)) v  vợi mồi n ≥ t. Do õ, tỗn tÔi 0 6= x1 ∈ I m  x1 /∈ p vợi mồi p ∈ AssR(Nn) \ V (I) v  x1 /∈ q vợi mồi q ∈ AssR(Nn)>k. Suy ra mằnh ã ữủc chựng minh trong trữớng hủp l = 1. GiÊ sỷ, vợi 1 < l ≤ r v  mằnh ã ữủc chựng minh cho l−1. Khi õ tỗn tÔi số nguyản t v  mởt dÂy x1, . . . , xl−1 ∈ I sao cho nõ ỗng thới l  Nn−dÂy tứ chiãu > k hoĂn và ữủc v  l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Nn hoĂn và ữủc vợi mồi n ≥ t. Ta chựng minh mằnh ã úng vợi l. Mội têp con J cừa {1, . . . , l−1} dÂy (xj)j∈J cõ thº mð rởng th nh Nn−dÂy chẵnh quy tứ chiãu > k trong I cõ ở d i l. Do õ, mội têp con J cừa {1, . . . , l − 1}, tỗn tÔi mởt phƯn tỷ Nn/ ∑ j∈J xjNn−chẵnh quy tứ chiãu > k trong I. Tứ õ, vợi mồi p ∈ Ass(Nn/ ∑ j∈J xjNn)>k v  mồi têp con J cừa {1, . . . , l− 1} thẳ I 6⊆ p. ffi°t Ω l  têp tĐt cÊ cĂc têp con cừa {1, . . . , l − 1}. Do Ω l  hỳu hÔn, nản theo Bờ ã 2.1.5 têp T := ⋃ ∧∈Ω (AssR(Nn/ ∑ j∈∧ xjNn)>k ∪ (AssR(Nn/ ∑ j∈∧ xjNn) \ V (I))) l  ờn ành vợi n ừ lợn. Theo ffiành lỵ trĂnh nguyản tố, tỗn tÔi xl ∈ I m  xl /∈ p vợi mồi p ∈ T . Trữợc tiản, ta chựng minh x1, . . . , xl l  Nn−dÂy tứ chiãu > k hoĂn và ữủc. Cho δ ∈ Sl l  mởt hoĂn và cừa {1, . . . , l}. GiÊ thiát ngữủc lÔi rơng, xδ(1), . . . , xδ(l) khổng l  Nn−dÂy tứ chiãu > k. Cho a ∈ {1, . . . , l} l  số nguyản b² nhĐt sao cho xδ(1), . . . , xδ(a) khổng l  Nn−dÂy tứ chiãu > k. Khi õ, δ(i) = l vợi mồi i < a (vẳ náu ngữủc lÔi thẳ xl ∈ p vợi mồi p ∈ T mƠu thuăn) v  tỗn tÔi p ∈ (AssR(Nn)/(xδ(1), . . . , xδ(a−1))Nn)>k sao cho xδ(a) ∈ p. Vẳ thá, xδ(1), . . . , xδ(a) ∈ p v  xδ(1)/1, . . . , xδ(i−1)/1, xδ(i+1)/1, . . . , xδ(a)/1, xδ(i)/1 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 27 khổng l  (Nn)p−dÂy chẵnh quy. ffi°t J := {j ∈ N|j ≤ a; j 6= i}. M  dim(R/p) > k, vợi (xδ(j)/1)j∈J l  dÂy chẵnh quy ựng vợi (Nn)p. Ngo i ra, xl/1 = xδ(i)/1 khổng l  phƯn tỷ chẵnh quy ựng vợi (Nn)p/Σj∈Jxδ(j)(Nn)p. Vẳ thá, tỗn tÔi q ∈ SpecR, q ⊆ p, sao cho xl/1 ∈ qRp ∈ AssRp((Nn)p/Σj∈Jxδ(j)(Nn)p). Suy ra, xl ∈ q ∈ AssR(Nn/Σj∈Jxδ(j)Nn)>k ⊆ T. ffiiãu n y mƠu thuăn vợi cĂch chồn xl. Suy ra, xδ(1), . . . , xδ(l) l  Nn−dÂy tứ chiãu> k. Tiáp theo ta chựng minh xδ(1), . . . , xδ(l) l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Nn vợi mồi δ ∈ Sl, mồi n ≥ t, t > 0. GiÊ sỷ ngữủc lÔi xδ(1), . . . , xδ(l) khổng l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Nn. Cho b ∈ {1, . . . , l} l  số nguyản b² nhĐt sao cho xδ(1), . . . , xδ(b) khổng l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Nn. LĐy l = δ(i) vợi i < b, tỗn tÔi p ∈ AssR(Nn)/((xδ(1), . . . , xδ(b−1))Nn)\V (I) sao cho xδ(b) ∈ p. Vẳ thá, xδ(1), . . . , xδ(b) ∈ p v  xδ(1)/1, . . . , xδ(i−1)/1, xδ(i+1)/1, . . . , xδ(b)/1, xδ(i)/1 khổng l  dÂy chẵnh quy ựng vợi (Nn)p. ffi°t J0 := {j ∈ N; j ≤ b; j 6= i}. M  p /∈ V (I), vợi (xδ(j)/1)j∈J0 l  dÂy chẵnh quy ựng vợi (Nn)p. Do õ, xl/1 = xδ(i)/1 khổng l  chẵnh quy ựng vợi (Nn)p/Σj∈J0xδ(j)(Nn)p. ffiiãu n y cõ nghắa l , tỗn tÔi q ∈ SpecR, q ⊆ p sao cho xl/1 ∈ qRp ∈ AssRp(Nn)p/Σj∈J0xδ(j)(Nn)p. Vêy cõ xl ∈ q ∈ AssR(Nn)/Σj∈J0xδ(j)(Nn)\ V (I) ⊆ T. ffiiãu n y mƠu thuăn vợi cĂch chồn xl. Vêy, xδ(1), . . . , xδ(l) l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Nn. Cuối cũng, ta nhưc lÔi mởt tẵnh chĐt ữủc sỷ dửng trong phƯn tiáp theo. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 28 Bờ ã 2.3.3. ([13, 1.2], [20, 3.4]) Náu x1, . . . , xr l  mởt dÂy I−lồc chẵnh quy cừa M thẳ HjI (M) = H j (x1,...,xr) (M) náu j < r HjI (M) = H j−r I (H r (x1,...,xr) (M)) náu j ≥ r. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 29 Chữỡng 3 Tẵnh ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát Trong chữỡng n y, ta kẵ hiằu depth−1(I,M), depth0(I,M) v  depth1(I,M) lƯn lữủt l  depth(I,M), f-depth(I,M) v  gdepth(I,M). 3.1 Chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (i) Trữợc tiản, ta nhưc lÔi mởt tẵnh chĐt cừa mổun ối ỗng iãu àa phữỡng. Bờ ã 3.1.1. [6, ffiành lỵ 2.4] Cho r = depth(I,M). GiÊ sỷ rơng 1 ≤ r <∞ v  x1, . . . , xr l  mởt dÂy chẵnh quy cừa M trong I. Khi õ AssR(H r I (M)) = AssR(M/(x1, . . . , xr)M) ∩ V (I). ffiành lỵ 0.0.2 (i) ữủc suy ra trỹc tiáp tứ cĂc ành lỵ sau. ffiành lỵ 3.1.2. ChoR = ⊕n≥0Rn l  mởt Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản v nh àa phữỡng R0 = R v M = ⊕n≥0Mn l  mởt R−mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh. Cho I l  mởt iảan cừa R v  r l  giĂ trà ờn Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 30 ành cừa depth(I,Mn). Khi õ AssR(H r I (Mn)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. Chựng minh. Náu r =∞ thẳ depth(I,Mn) = inf{i : H iI(Mn) 6= 0)} =∞. Nản H iI(Mn) = 0 mồi i, ta suy ra AssR(H r I (Mn)) = ∅ vợi n ừ lợn. Do õ, têp AssR(H r I (Mn)) l  ờn ành vợi n ừ lợn. Náu r = 0 thẳ AssR(H 0 I (Mn)) = AssR(ΓI(Mn)) = AssR(Mn) ∩ V (I) l  ờn ành vợi n ừ lợn theo Bờ ã 2.1.5. Ta chựng minh mằnh ã úng vợi 1 ≤ r < ∞. Khi õ theo ffiành lỵ 0.0.1, Bờ ã 2.1.5, Bờ ã 2.3.2 tỗn tÔi số nguyản a sao cho vợi mồi n ≥ a cĂc kh¯ng ành sau l  úng : (i) depth(I,Mn) = r; (ii) tỗn tÔi x1, . . . , xr l  mởt dÂy chẵnh quy cừa Mn trong I; (iii) AssR(Mn/(x1, . . . , xr)Mn) l  têp ởc lêp vợi n. Do õ, theo Bờ ã 3.1.1 ta cõ AssR(H r I (Mn)) = AssR(Mn/(x1, . . . , xr)Mn) ∩ V (I) vợi mồi n ≥ a v  vẳ vêy AssR(HrI (Mn)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. ffiành lỵ 3.1.3. Cho (R,m) l  mởt v nh àa phữỡng. I, J l  cĂc iảan cừa R v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. Cho s l  giĂ trà ờn ành cừa depth(I,M/JnM). Khi õ AssR(H s I (M/J nM)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. Chựng minh. Cho r l  giĂ trà ờn ành cừa depth(I, JnM/Jn+1M). Theo Bờ ã 2.3.1 ta cõ r ≥ s. Hỡn nỳa, ta cõ thº chồn ữủc mởt số nguyản Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 31 a > 0 sao cho s = depth(I,M/JnM) v  r = depth(I, JnM/Jn+1M) vợi mồi n ≥ a. Tứ dÂy khợp ngưn 0 −→ JnM/Jn+1M −→M/Jn+1M −→M/JnM −→ 0 ta cõ dÂy khợp d i sau . . . −→ Hj−1I (M/JnM) −→ HjI (JnM/Jn+1M) −→ −→ HjI (M/Jn+1M) −→ HjI (M/JnM) −→ . . . vợi mồi n ≥ 0. Ta chựng minh trong ba trữớng hủp sau. Trữớng hủp 1: r− 2 ≥ s thẳ r ≥ s+ 2 hay r > s+ 1. Bði dÂy khợp d i trản, ta cõ dÂy khợp HsI (J nM/Jn+1M) −→HsI (M/Jn+1M) −→ HsI (M/JnM) −→ Hs+1I (JnM/Jn+1M) trong õ HsI (J nM/Jn+1M = Hs+1I (J nM/Jn+1M) = 0 do r > s + 1. Nản HsI (M/J nM) ∼= HsI (M/Jn+1M) vợi mồi n ≥ a. Do vêy, AssR(HsI (M/JnM)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. Trữớng hủp 2: r − 1 = s. Cõ dÂy khợp sau HsI (J nM/Jn+1M) −→HsI (M/Jn+1M) −→ HsI (M/JnM) −→ Hs+1I (JnM/Jn+1M) trong õ HsI (J nM/Jn+1M) = 0 do r > s. Do vêy, cõ dÂy khợp sau 0 −→ HsI (M/Jn+1M) −→ HsI (M/JnM) −→ Hs+1I (JnM/Jn+1M) vợi mồi n ≥ a. Vẳ vêy AssR(H s I (M/J n+1M)) ⊆ AssR(HsI (M/JnM)) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 32 vợi mồi n ≥ a. ffiiãu õ kh¯ng ành rơng AssR(HsI (M/JnM)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn, vẳ AssR(H s I (M/J aM)) l  hỳu hÔn bði Bờ ã 3.1.1. Trữớng hủp 3: r = s. Bði dÂy khợp d i, ta cõ dÂy khợp sau: Hs−1I (M/J nM) −→HsI (JnM/Jn+1M) −→ HsI (M/Jn+1M) −→ HsI (M/JnM) vợi mồi n ≥ a, trong õ Hs−1I (M/JnM) = 0 do s − 1 < r. Do vêy, ta cõ dÂy khợp sau 0 −→ HsI (JnM/Jn+1M) −→ HsI (M/Jn+1M) −→ HsI (M/JnM) vợi mồi n ≥ a. Theo ffiành lỵ 3.1.2 tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao cho AssR(H s I (J nM/Jn+1M)) = AssR(H s I (J bM/J b+1M)) vợi mồi n ≥ b. ffi°t X := AssR(HsI (J bM/J b+1M)), khi õ theo dÂy khợp trản ta cõ X ⊆ AssR(HsI (M/Jn+1M)) ⊆ AssR(HsI (M/JnM)) ∪X vợi mồi n ≥ b. Do õ, vợi bĐt kẳ n ≥ b ta cõ AssR(H s I (M/J n+2M)) ⊆ AssR(HsI (M/Jn+1M)) ∪X = AssR(H s I (M/J n+1M)). Tứ õ, vẳ AssR(H s I (M/J b+1M)) l  hỳu hÔn bði theo Bờ ã 3.1.1, nản AssR(H s I (M/J nM)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. 3.2 Chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (ii) Trữợc tiản ta nhưc lÔi mởt °c trững cừa ở sƠu lồc thổng qua tẵnh Artin cừa mổun ối ỗng iãu àa phữỡng. Bờ ã 3.2.1. [19, ffiành lỵ 3.1] f-depth(I,M) = inf{i|H iI(M) khổng l  Artin }. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 33 BƠy giớ, ta Ăp dửng ffiành lỵ 3.1.2 v  3.1.3 º chựng minh ffiành lỵ 0.0.2(ii). Ta chựng minh iãu n y trong hai ành lỵ dữợi Ơy tữỡng ựng vợi Nn = Mn trong trữớng hủp phƠn bêc M = ⊕n≥0Mn, v  Nn = M/J nM . ffiành lỵ 3.2.2. Cho R = ⊕n≥0Rn l  mởt Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản v nh àa phữỡng R0 = R v  M = ⊕n≥0Mn l  mởt R− mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh. Cho I l  mởt iảan cừa R v  r0 l  giĂ trà ờn ành cừa f-depth(I,Mn). Khi õ ⋃ j≤r0 AssR ( HjI (Mn)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. Chựng minh. Vợi r0 = 0 ta cõ⋃ j≤r0 AssR ( HjI (Mn)) = AssR(H 0 I (Mn)) = AssR(ΓI(Mn)) = AssR(Mn) ∩ V (I). Theo Bờ ã 2.1.5 thẳ AssR(ΓI(Mn)) l  ờn ành vợi n ừ lợn. Vợi r0 =∞, theo Bờ ã 3.2.1 ta cõ f-depth(I,M) = inf{i|H iI(Mn) khổng l  Artin } nản H iI(Mn) l  Artin vợi mồi i nản ⋃ j≤r0 AssR ( HjI (Mn)) = {m} do õ nõ ờn ành vợi n ừ lợn. Ta chựng minh phƯn cỏn lÔi, trong trữớng hủp 1 ≤ r0 <∞. Khi õ theo ffiành lỵ 0.0.1, Bờ ã 2.1.5 v  2.3.2 tỗn tÔi số nguyản a sao cho vợi mồi n ≥ a cĂc kh¯ng ành sau Ơy l  úng: (i) r0 = f-depth(I,Mn); (ii) cõ mởt dÂy x1, . . . , xr0 trong I sao cho nõ ỗng thới l  mởt dÂy lồc chẵnh quy cừa Mn hoĂn và ữủc v  l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Mn hoĂn và ữủc; Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 34 (iii) AssR(Mn/(x1, . . . , xr0)Mn) l  têp ởc lêp vợi n. Trữợc hát ta chựng minh ⋃ n≥a AssR ( Hr0I (Mn)) l  têp hỳu hÔn. LĐy số nguyản n ≥ a. Ta cõ Hr0I (Mn) ∼= H0I (Hr0(x1,...,xr0)(Mn)) theo Bờ ã 2.3.3, v  Hr0(x1,...,xr0) (Mn) ∼= lim−→ t (Mn/(x t 1, . . . , x t r0 )Mn) theo [5, ffiành lỵ 5.2.9]. Nhữ vêy theo [4, Mằnh ã 2.6] ta thu ữủc AssR(H r0 I (Mn)) ⊆ ⋃ t>0 AssR ( Mn/(x t 1, . . . , x t r0 )Mn) = AssR ( Mn/(x1, . . . , xr0)Mn). Do õ têp ⋃ n≥a AssR ( Hr0I (Mn)) l  têp hỳu hÔn bði cĂch chồn cừa a. Tứ Ơy khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ thº giÊ sỷ rơng vợi a ừ lợn sao cho têp S = ⋃ n≥a AssR ( Hr0I (Mn)) ch¿ bao gỗm tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố p vợi p ∈ AssR ( Hr0I (Mn)) vợi vổ hÔn n ≥ a. Tiáp theo ta chựng minh rơng AssR ( Hr0I (Mn))\{m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Thêt vêy, vợi bĐt kẳ p ∈ S, cõ mởt têp vổ hÔn số nguyản T sao cho p ∈ AssR ( Hr0I (Mn)) vợi mồi n ∈ T. Suy ra pRp ∈ AssRp ( Hr0Ip (Mn)p). Nản Hr0Ip (Mn)p 6= 0 do vêy depth(Ip(Mn)p) ≤ r0. M°t khĂc, vẳ p ∈ AssR ( Hr0I (Mn)) vợi mồi n ∈ T , nản p ∈ Supp(Mn/IMn) \ {m}. Do õ, theo Bờ ã 2.1.3, ta cõ depth(Ip(Mn)p) ≥ r0. Vêy depth(Ip(Mn)p) = r0 vợi mồi n ∈ T . M  theo ffiành lỵ 0.0.1 thẳ depth(Ip(Mn)p) l  ờn ành vợi n ừ lợn. Do õ depth(Ip(Mn)p) = r0 vợi mồi n ừ lợn. ffiiãu õ kh¯ng ành rơng AssRp ( Hr0Ip (Mn)p) l  ờn ành vợi n ừ lợn theo ffiành lỵ 3.1.2. Do õ AssR ( Hr0I (Mn)) \ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Gồi r l  giĂ trà ờn ành cừa depth(I,Mn). Ró r ng r ≤ r0. Náu r = r0 thẳ HjI (Mn) = 0 vợi mồi j < r0 do õ⋃ j≤r0 Ass(HjI (Mn)) = AssR ( Hr0I (Mn)) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 35 l  ờn ành vợi n ừ lợn theo ffiành lỵ 3.1.2. Náu r < r0, tỗn tÔi n ừ lợn sao cho 0 6= HrI (Mn) l  mổun Artin bði ffiành lỵ 3.2.1. Nõ kh¯ng ành rơng ⋃ j≤r0 Ass(HjI (Mn)) = ⋃ j<r Ass(HjI (Mn)) ⋃ r≤j≤r0 Ass(HjI (Mn)) = ⋃ r≤j≤r0 Ass(HjI (Mn)) = AssR ( Hr0I (Mn)) ∪ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Trữợc khi chựng minh kh¯ng ành (ii) cừa ffiành lỵ 0.0.2 choM/JnM , ta cƯn chựng minh bờ ã sau. Bờ ã 3.2.3. Cho A l  mởt mổun con cừa R−mổun K. Khi õ AssR(K/A) \ Supp(A) = AssR(K) \ Supp(A). Chựng minh. Cho p ∈ AssR(K/A)\Supp(A). Khi õ tỗn tÔi 0 6= ν ∈ K sao cho p = (A : ν)R suy ra pν ⊆ A. Do õ, vẳ p /∈ SuppA suy ra nản (pν)p = 0. Vẳ pν l R−mổun hỳu hÔn sinh nản (pν)p = (R\p)−1pν = 0. Suy ra tỗn tÔi r ∈ R \ p sao cho rpν = 0 = p(rν) do õ p ⊆ annR(rν) vợi r /∈ p. M°t khĂc, lĐy bĐt kẳ x ∈ annR(rν) ta cõ xrν = (xr)ν = 0, suy ra xr ∈ annR(ν) ⊆ (A : ν)R = p. LÔi do r /∈ p nản x ∈ p suy ra annR(rν) ⊆ p. Vêy annR(rν) = p vợi p ∈ AssRK. ffiiãu õ chựng tọ rơng AssR(K/A) \ Supp(A) ⊆ AssR(K) \ Supp(A). Ta cõ dÂy khợp sau 0 −→ A −→ K −→ K/A −→ 0. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 36 Nản Ass(K) ⊆ Ass(K/A) ∪ Ass(A) ⊆ Ass(K/A) ∪ Supp(A) suy ra Ass(K) ∪ Supp(A) ⊆ Ass(K/A) ∪ Supp(A) hay Ass(K) \ Supp(A) ⊆ Ass(K/A) \ Supp(A). Vêy AssR(K/A) \ Supp(A) = AssR(K) \ Supp(A). ffiành lỵ 3.2.4. Cho (R,m) l  mởt v nh àa phữỡng. I, J l  cĂc iảan cừa R v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. Cho s0 l  giĂ trà ờn ành cừa f-depth(I,M/JnM). Khi õ ⋃ j≤s0 AssR(H j I (M/J nM)) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. Chựng minh. Theo ffiành lỵ 0.0.1 tỗn tÔi số nguyản a sao cho r0 = f-depth(I, J nM/Jn+1M) v  s0 = f-depth(I,M/J nM) vợi mồi n ≥ a. Theo ffiành lỵ 3.1.3 kát quÊ trản l  tƯm thữớng trong trữớng hủp s0 = ∞. GiÊ sỷ rơng s0 < ∞. Sỷ dửng phƯn cuối trong chựng minh cừa ffiành lỵ 3.2.2 ta ch¿ cƯn ch¿ ra rơng têp AssR(H s0 I (M/J nM)) \ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Tứ dÂy khợp ngưn 0 −→ JnM/Jn+1 −→M/Jn+1M −→M/JnM −→ 0 ta cõ dÂy khợp d i sau . . . −→ Hj−1I (M/JnM) −→ HjI (JnM/Jn+1M) −→ HjI (M/Jn+1M) −→ HjI (M/JnM) −→ . . . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 37 vợi mồi n ≥ 0. Chú ỵ rơng r0 ≥ s0 bði Bờ ã 2.3.1. Do vêy ta x²t hai trữớng hủp sau. Trữớng hủp 1: r0− 1 ≥ s0. Bði dÂy khợp d i trản Ơy, ta thu ữủc dÂy khợp sau Hs0I (J nM/Jn+1M) −→ Hs0I (M/Jn+1M) −→ Hs0I (M/JnM) vợi mồi n ≥ a, trong õ Hs0I (JnM/Jn+1M) l  Artin bði ffiành lỵ 3.2.1. Do vêy ta cõ AssR(H s0 I (M/J n+1M)) \ {m} ⊆ AssR(Hs0I (M/JnM)) \ {m} vợi mồi n ≥ a. Vẳ AssR(Hs0I (M/JnM)) l  hỳu hÔn vợi n = a theo [6, ffiành lỵ 2.5], nản têp AssR(H s0 I (M/J nM)) \ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Trữớng hủp 2: r0 = s0. Theo ffiành lỵ 3.2.2, ta thĐy tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao cho AssR(Hs0I (JnM/Jn+1M))\{m} l  ờn ành vợi mồi n ≥ b. ffi°t X = AssR(H s0 I (J bM/J b+1M)) \ {m}. X²t dÂy khợp sau Hs0−1I (M/J nM) −→ Hs0I (JnM/Jn+1M) −→ Hs0I (M/Jn+1M) −→ Hs0I (M/JnM) vợi mồi n ≥ a, trong õ Hs0−1I (M/JnM) l  Artin theo Bờ ã 3.2.1. M°t khĂc theo Bờ ã 3.2.3 ta cõ X ⊆ AssR(Hs0I (M/Jn+1M)) \ {m} ⊆ (AssR(Hs0I (M/JnM)) \ {m}) ∪X vợi mồi n ≥ b. Do õ AssR(H s0 I (M/J n+2M)) \ {m} ⊆ (AssR(Hs0I (M/Jn+1M)) \ {m}) ∪X = AssR(H s0 I (M/J n+1M)) \ {m} Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 38 vợi n ≥ b. Chú ỵ rơng theo [6, ffiành lỵ 2.5] ta cõ AssR(Hs0I (M/Jn+1M))\ {m} l  hỳu hÔn vợi mồi n = b. ffiiãu õ kh¯ng ành rơng AssR(H s0 I (M/J nM)) \ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. 3.3 Chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (iii) ffiº chựng minh kh¯ng ành (iii) cừa ffiành lỵ 0.0.2 chúng ta cƯn biát nhỳng kát quÊ sau. Bờ ã 3.3.1. [7, Hằ quÊ 4.4] Kh¯ng ành sau Ơy l  úng gdepth(I,M) = inf{i| Supp(H iI(M)) l  têp vổ hÔn}. Bờ ã 3.3.2. [7, Hằ quÊ 4.6] Têp AssR(H j I (N)) l  hỳu hÔn vợi mồi j ≤ gdepth(I,N). Kát luên thự nhĐt cừa ffiành lỵ 0.0.2(iii) l  mởt trữớng hủp °c biằt cừa kát quÊ sau. ffiành lỵ 3.3.3. ChoR = ⊕n≥0Rn l  mởt Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản v nh àa phữỡng R0 = R v M = ⊕n≥0Mn l  mởt R−mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh. Cho I l  mởt iảan cừa R v  r1 l  giĂ trà ờn ành cừa gdepth(I,Mn). Khi õ vợi mội l ≤ r1 têp ⋃ j≤l AssR ( HjI (Mn))∪ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Chựng minh. Theo ffiành lỵ 0.0.1 v  Bờ ã 2.1.5 v  Bờ ã 2.3.2 tỗn tÔi a, d, d′, r1 ∈ Z sao cho d = dim(Mn), d′ = dim(Mn/IMn) v  r1 = gdepth(I,Mn) vợi mồi n ≥ a. Trữợc tiản ta ch¿ ra rơng tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao cho S = ⋃ n≥b ⋃ j≤l AssR ( HjI (Mn)) l  hỳu hÔn.Ta chia l m Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 39 ba trữớng hủp: Trữớng hủp 1: r1 = 0 ta cõ S = ⋃ n≥b AssR ( H0I (Mn)) ⊆ ⋃ n≥a AssR ( H0I (Mn)) ⊆ ⋃ n≥a AssR ( ΓI(Mn)) ⊆ ⋃ n≥a AssR ( Mn) l  hỳu hÔn theo Bờ ã 2.1.5. Trữớng hủp 2: r1 = ∞, thẳ d′ ≤ 1, nản S ⊆ ⋃ n≥a SuppR ( Mn/IMn) l  hỳu hÔn theo Bờ ã 2.1.5. Trữớng hủp 3: 1 ≤ r1 < ∞. Theo Bờ ã 2.3.2 ta cõ thº chồn mởt số nguyản b ≥ a sao cho cĂc kh¯ng ành sau l  úng vợi mồi n ≥ b: (i) cõ mởt dÂy x1, . . . , xr1 trong I sao cho nõ ỗng thới l  dÂy chẵnh quy suy rởng cừa Mn hoĂn và ữủc v  l  dÂy I−lồc chẵnh quy cừa Mn hoĂn và ữủc; (ii) cĂc têp AssR(Mn/(x1, . . . , xj)Mn) l  ờn ành vợi mồi j ≤ r1. Tứ Ơy v  tứ [4, Mằnh ã 2.6] ta cõ S ⊆ ⋃ n≥b ⋃ j≤l AssR(Mn/(x1, . . . , xj)Mn). Do õ S l  hỳu hÔn theo Bờ ã 2.1.5. Vẳ S l  hỳu hÔn, ta cõ thº chồn số nguyản b ừ lợn sao cho S ch¿ bao gỗm tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố p, thuởc vã ⋃ j≤l AssR ( HjI (Mn)) vợi vổ hÔn n ≥ b. BĐt kẳ p ∈ S≥1, theo ffiành lỵ 0.0.1 tỗn tÔi n(p), r(p), r0(p) ∈ Z sao cho r(p) = depth(Ip, (Mn)p) v  r0(p) = f-depth(Ip, (Mn)p) vợi mồi n ≥ n(p). Theo Bờ ã 2.1.3 ta cõ r1 = gdepth(I,Mn) = depth1(I,Mn) = inf{depthi−1(Ip, (Mn)p)|p ∈ Supp(M/IM)≥i} vợi mồi 0 ≤ i ≤ 2. M°t khĂc, vẳ p ∈ S≥1 nản p ∈ SuppR(Mn/IMn)≥1 suy ra r1 ≤ r0(p). LÔi do r(p) = inf{j|HjI (Mn)p 6= 0} vợi mồi n ≥ n(p), trong khi õ p ∈ S≥1 suy ra tỗn tÔi t ≤ l sao cho H tI(Mn)p 6= 0 vợi vổ hÔn n ≥ b suy ra r(p) ≤ t ≤ l hay r(p) ≤ l. Vêy r(p) ≤ l ≤ r1 ≤ r0(p). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 40 Náu l < r0(p) thẳ ⋃ j≤l AssRp ( HjIp(Mn)p) = {pRp} vợi mồi n ≥ n(p) theo Bờ ã 3.2.1. Náu l = r0(p) thẳ theo ffiành lỵ 3.2.2 tỗn tÔi số nguyản m(p) ≥ b sao cho ⋃ j≤l AssRp ( HjIp((Mn)p)) ờn ành vợi mồi n ≥ m(p). Do õ⋃ j≤l AssR ( HjI (Mn)) ∪ {m} l  ờn ành vợi mồi n ≥ max{n(p),m(p)|p ∈ S≥1} . Cuối cũng, Ăp dửng ffiành lỵ 3.3.3 ta cõ thº chựng minh ffiành lỵ 0.0.2 (iii) cho R−mổun M/JnM . ffiành lỵ 3.3.4. Cho (R,m) l  mởt v nh àa phữỡng, I, J l  cĂc iảan cừa R v  M l  R−mổun hỳu hÔn sinh. Cho s1 l  giĂ trà ờn ành cừa gdepth(I,M/JnM). Khi õ, vợi mội l ≤ s1, ta cõ⋃ j≤l AssR ( HjI (M/J nM)) ∪ {m} l  têp ờn ành vợi n ừ lợn. Chựng minh. Theo ffiành lỵ 0.0.1 tỗn tÔi số nguyản a sao cho r1 = gdepth(I, J nM/Jn+1M) v  s1 = gdepth(I,M/J nM) vợi mồi n ≥ a. Chú ỵ rơng theo Bờ ã 2.3.1 ta cõ s1 ≤ r1. Vợi bĐt kẳ 0 ≤ l ≤ s1 ta °t Xl(n) := ⋃ j≤l AssR ( HjI (M/J nM)) ∪ {m} v  Sl(n) := ⋃ j≤l AssR ( HjI (J nM/Jn+1M)) ∪ {m}. Ta s³ chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo l rơng têp Xl(n) l  ờn ành vợi n ừ lợn. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 41 Vợi l = 0 thẳ X0(n) = AssR ( H0I (M/J nM)) ∪ {m} = AssR(ΓI(M/J nM)) ∪ {m} = (AssR(M/J nM) ∩ V (I)) ∪ {m} l  ờn ành vợi n ừ lợn. Vợi l > 0. Tứ dÂy khợp ngưn 0 −→ JnM/Jn+1M −→M/Jn+1M −→M/JnM −→ 0 ta cõ dÂy khợp d i sau . . . −→ Hj−1I (M/JnM) −→ HjI (JnM/Jn+1M) fj−→ HjI (M/Jn+1M) −→ HjI (M/JnM) −→ . . . vợi mồi n > 0. Tứ Ơy vợi bĐt kẳ j ≤ l v  n ≥ a ta cõ dÂy khợp sau 0 −→ Im fj −→ HjI (M/Jn+1M) −→ HjI (M/JnM) nản AssR(H j I (M/J n+1M)) ⊆ AssR(HjI (M/JnM)) ∪ AssR(Im(fj)). M°t khĂc, theo ffiành lỵ ỗng cĐu mổun ta cõ Im(fj) ∼= HjI (JnM/Jn+1M)/Ker fj nản theo Bờ ã 3.2.3 thẳ AssR(Im(fj)) = AssR(H j I (J nM/Jn+1M))/Ker fj) ⊆ AssR(HjI (JnM/Jn+1M)) ∪ SuppR(Ker fj). Vẳ j − 1 < s1 nản SuppR(Hj−1I (M/JnM) l  têp hỳu hÔn theo Bờ ã 3.3.1, v  vẳ thá ta cõ SuppR(Ker fj) ⊆ SuppR(Hj−1I (M/JnM)) ⊆ AssR(Hj−1I (M/JnM)) ∪ {m}. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 42 Do õ ta cõ Xl(n+ 1) ⊆ Xl(n) ∪ Sl(n). M°t khĂc, theo dÂy khợp d i trản v  Bờ ã 3.3.1, ta cõ AssR(H j I (J nM/Jn+1M)) ⊆ AssR(HjI (M/Jn+1M)) ∪ SuppR(Hj−1I (M/JnM)) ⊆ AssR(HjI (M/Jn+1M)) ∪ AssR(Hj−1I (M/JnM)) ∪ {m}. Do õ Sl(n) ⊆ Xl(n+ 1) ∪Xl−1(n) vợi mồi n ≥ a. Theo ffiành lỵ 3.3.3 v  theo giÊ thiát quy nÔp, tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao cho Sl(n) = S v  Xl−1(n) = X vợi mồi n ≥ b. Do õ, vẳ X = Xl−1(n+ 1) ⊆ Xl(n+ 1) nản S ⊆ Xl(n+ 1) ∪X = Xl(n+ 1) vợi mồi n ≥ b. Cuối cũng, ta thu ữủc cĂc bao h m sau Xl(n+ 2) ⊆ Xl(n+ 1) ∪ S ⊆ Xl(n+ 1) vợi mồi n ≥ b. Do õ X(n) l  têp ờn ành vợi n ừ lợn, vẳ Xl(b+ 1) l  hỳu hÔn theo ffiành lỵ 3.3.3. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 43 Kát luên Tõm lÔi, trong to n bở luên vôn n y, chúng tổi  trẳnh b y lÔi v  chựng minh chi tiát cĂc kát quÊ trong b i bĂo: "Asymptotic stability of center sets of associated prime ideals of local cohomology modules" cừa N. T. Cữớng, N. V. Ho ng v  P. H. KhĂnh. Kát quÊ chẵnh cừa luên vôn gỗm cĂc nởi dung sau. 1. Hằ thống lÔi mởt số kián thực cỡ sð cừa iảan nguyản tố liản kát, mổun Ext, mổun ối ỗng iãu àa phữỡng, chiãu v  ở sƠu cừa mổun, mổun v  v nh phƠn bêc . 2. Giợi thiằu khĂi niằm M−dÂy tứ chiãu > k v  cĂc tẵnh chĐt. Chựng minh kát quÊ trong b i bĂo trản vã tẵnh ờn ành tiằm cên cừa mởt số mð rởng cừa ở sƠu. 3. Chựng minh lÔi kát quÊ cừa b i bĂo trản vã sỹ ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 44 T i liằu tham khÊo [1] M. Brodmann, Asymptotic stability of AssR(M/I nM), Proc. Amer. Math. Soc., (1) 74 (1979), 16 - 18. [2] M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35 - 39. [3] M. Brodmann and A.L. Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128(2000), 2851 - 2853. [4] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, to appear in Comm. Algebra. [5] M. Brodmann and R.Y. Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications ", Cambridge University Press, 1998. [6] N. T. Cuong and N. V. Hoang, Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J. Math., (2) 7 (2005), 107 - 115. [7] N. T. Cuong and N. V. Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126 (2008), 59 - 72. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 45 [8] N. T. Cuong and N. V. Hoang and P. H. Khanh, "Asymptotic sta- bility of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules", to appear in Comm. Algebra. [9] N. T. Cuong, P. Schenzel and N. V. Trung, Verallgemeinerte Cohen-Macaulay Moduln, Math. Nachr., 85 (1978), 57 - 73. [10] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93 - 108. [11] C. Huneke and R. Y. Sharp, Bass numbers of local cohomology modules, Trans. Amer. Math. Soc., 339 (1993), 765 - 779. [12] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J. Algebra, 252 (2002), 161 - 166. [13] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian, Filter regular sequences and the finiteness of local cohomology modules, Comm. Algebra, (8) 26 (1998), 2483 - 2490. [14] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198. [15] R. Luă and Z. Tang, The f-depth of an ideal on a module, Proc. Amer. Math. Soc., (7) 130 (2001), 1905 - 1912. [16] G. Lyubeznik, Finiteness properties of local cohomoly modules (an application of D-modules to commutative algebra), Invent. Math., 113 (1993), 41 - 55. [17] T. Marley, Associated primes of local cohomology module over rings of small dimension, Manuscripta Math., (4) 104 (2001), 519 - 525. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 46 [18] L. Melkersson, On asymptotic stability for sets of primes ideals connected with the powers of an ideal, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 107 (1990), 267 - 271. [19] L. Melkersson, Some applications of a criterion for artinianness of module, J. Pure Appl. Algebra, 101 (1995), 291 - 303. [20] U. Nagel and P. Schenzel, Cohomological annihilators and Castelnuovo-Mumford regularity, In: Commutative Algebra: Syzy- gies, Multiplicities, and Birational Algebra (South Hadly, 1992). Contemp. Math., 159. Math. Soc., (1994), 307 - 328. [21] L.T. Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 33 (2005), 793 - 806. [22] A. Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett.,7 (2000), 165 - 176. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn