Luận văn Tính chất của môđun Artin

Luận văn Tớnh chất của mụđun Artin 1Lời cảm ơn Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Thị Dung, người thầy trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH Nguyễn Tự Cường, GS. TSKH Lê Tuấn Hoa, PGS. TS Nguyễn Quốc Thắng ở Viện Toán học Hà Nội, cùng toàn thể Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên và phòng Đào tạo sau Đại học, trân trọng cảm ơn PGS. TS Lê Thanh Nhàn cùng các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường và thực hiện đề tài này. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè, đặc biệt là chồng tôi, đã luôn ủng hộ, động viên và khuyến khích tôi hoàn thành kế hoạch học tập, cũng như thực hiện thành công đề tài của mình. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2Mở đầu Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M , theo Bổ đề Nakayama ta luôn có tính chất AnnRM/pM = p, với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM . Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu rằng có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không. N. T. Cường và L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra rằng nhìn chung câu trả lời cho câu hỏi trên là phủ định, và ở đó, họ đã giới thiệu một lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng định của câu hỏi trên như sau: A được gọi là thoả mãn tính chất (∗) (hay còn gọi là tính chất linh hoá tử) nếu AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA). (∗) ý nghĩa đầu tiên của tính chất (∗) là "làm mạnh" thêm công cụ nghiên cứu môđun Artin bằng lý thuyết chiều. Ta đã biết rằng một trong những công cụ để nghiên cứu môđun Artin là khái niệm chiều Noether được đưa ra bởi R. N. Robert [14] và D. Kirby [7]. Bên cạnh đó, một cách tự nhiên, người ta cũng dùng khái niệm chiều Krull dimRA = dimR/AnnRA để nghiên cứu môđun Artin. Nếu R là vành địa phương đầy đủ thì đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương giữa phạm trù các môđun Noether và môđun Artin. Vì thế, trên vành địa phương đầy đủ, tính chất (∗) luôn thoả mãn và luôn có đẳng thức N-dimR̂A = dimR̂A, với mọi R-môđun Artin A. Tuy nhiên, trên vành giao hoán tuỳ ý ta chỉ có N-dimRA 6 dimRA, thậm chí tồn tại những môđun Artin sao cho N-dimRA < dimRA (xem [5, Ví dụ 4.1]). Một vấn đề đặt ra là tìm điều kiện khi nào xảy ra dấu đẳng thức. Kết quả chính của [5, Mệnh đề 4.5] chỉ ra rằng nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì ta có N-dimRA = dimRA. Kết quả tiếp theo về tính chất (∗) trong N. T. Cường, N. T. Dung và Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3L. T. Nhàn [3] cho phép ta nghiên cứu tính catenary của tập giá không trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh M . Giả sử rằng dimRM = d. Kí hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Ta gọi tập UsuppM = Supp(M/UM(0)) là giá không trộn lẫn của môđun M . Xuất phát từ bài toán nghiên cứu tính chất (∗) cho một lớp môđun Artin đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất Hdm(M), họ đã thu được kết quả khá bất ngờ, đó là giá không trộn lẫn Usupp(M) là catenary khi và chỉ khi Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗). Ta đã biết rằng các môđun đối đồng điều địa phương H im(M) của môđun hữu hạn sinh M , với i < d là môđun Artin và lớp môđun này nhìn chung cũng không thoả mãn tính chất (∗), ngay cả khi R là vành catenary. Điều đó chính là ý tưởng để L. T. Nhàn và T. N. An [13] tiếp tục nghiên cứu tính chất (∗) cho các môđun H im(M), với i = 1, . . . , d− 1. Theo M. Brodmann và R. Y. Sharp [2], tập giả support thứ i củaM , ký hiệu là PsuppiR(M) được định nghĩa bởi {p ∈ SpecR | H i−dim(R/p)pRp (Mp) 6= 0}. Khi đó với mỗi i, họ đưa ra điều kiện cần và đủ để môđun H im(M) thoả mãn tính chất (∗), qua đó thu được tính đóng của tập giả support của M và với giả thiết này, họ mở rộng công thức liên kết với bội cho các môđun H im(M) của Brodmann - Sharp. Hơn nữa, cũng qua nghiên cứu tính chất (∗) cho các môđun H im(M), họ thu được tính catenary phổ dụng của các vành R/AnnRM và tính chất không trộn lẫn của vành R/p, với p ∈ SuppM . Hàng loạt các kết quả trên chứng tỏ rằng tính chất (∗) không những có ý nghĩa trong việc nghiên cứu các môđun Artin mà còn thông qua đó có thể hiểu rõ hơn cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh. Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả về tính chất (∗) đã nêu ở trên trong bài báo "On the unmixedness and universal Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4catenaricity of rings and local cohomology modules" của L. T. Nhàn và T. N. An ở tạp chí Đại số năm 2008 và một phần bài báo của N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module" trên tạp chí Communication in Algebra năm 2007. Luận văn được chia làm hai chương. Chương I dành để hệ thống lại một số kiến thức về môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, vành catenary, vành thớ,... Chương II giới thiệu về tính chất (∗) (tính chất linh hoá tử) của môđun Artin và chứng minh đặc trưng tính catenary của tập giá không trộn lẫn UsuppM thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất. Nội dung chính của chương II là đặc trưng cho tính chất (∗) của các môđun đối đồng điều địa phương H im(M), kết quả này mang lại tính đóng của tập giả support PsuppiR(M) và mở rộng được công thức liên kết với bội của M. Brodmann và R. Y. Sharp. Hơn nữa, cũng thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phuơng H im(M), đặc trưng tính chất catenary phổ dụng của vành R/AnnRM và tính chất không trộn lẫn của vành R/p, với p ∈ SuppRM . Phần kết luận của luận văn tổng kết lại toàn bộ các kết quả đã đạt được. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 5Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa phương (giả thiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong từng trường hợp cụ thể),M là R-môđun hữu hạn sinh, A là R-môđun Artin. Chương này dành để nhắc lại một số kiến thức cơ bản được dùng phục vụ cho các chứng minh ở chương sau của luận văn: Cấu trúc của môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, số bội của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, tính catenary, catenary phổ dụng và thớ hình thức của vành và môđun,... 1.1 Môđun Artin Cho m là một iđêan cực đại của vành R. Nhắc lại rằng môđun con m-xoắn Γm(A) của A được định nghĩa bởi Γm(A) = ⋃ n≥0 (0 :A m n). Khi đó, ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.1.1. [15, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6] (i) Giả sử A là một R-môđun Artin khác không. Khi đó chỉ có hữu hạn iđêan cực đại m của R sao cho Γm(A) 6= 0. Nếu các iđêan cực đại phân biệt đó Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6là m1, . . . ,mr thì A = Γm1(A)⊕ . . .⊕ Γmr(A) và SuppA = {m1, . . . ,mr}. (ii) Với mỗi j ∈ {1, . . . , r}, nếu s ∈ R \ mj , thì phép nhân bởi s cho ta một tự đẳng cấu của Γmj(A). Do đó Γmj(A) có cấu trúc tự nhiên của một Rmj -môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γmj(A) là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là Rmj -môđun con. Đặc biệt Amj ∼= Γmj(A), với mọi j = 1, . . . , r. Kí hiệu 1.1.2. Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt A = A1 ⊕ . . .⊕ Ar và JA = ⋂ m∈SuppA m, trong đó Aj = ∪ n>0 (0 :A m n j ) (1 6 j 6 r). Chú ý rằng khi (R,m) là vành địa phương thì JA = m. Cho (R,m) là vành địa phương. Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adic của R, ký hiệu bởi R̂, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt, t = 0, 1, 2, . . .. R̂ được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này, R̂ làm thành một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r (xem [10]). Mệnh đề 1.1.3. [15, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artin khác không trên vành địa phương (R,m). Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun, trong đó R̂ là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi tập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là R̂-môđun con của A. Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun Artin. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7Cho (R,m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Kí hiệu D() = HomR(, E) từ phạm trù CR các R-môđun và R-đồng cấu vào chính nó. Với mỗi R-môđunM , đặt àM : M −→ DD(M) = HomR(HomR(M,E), E) là R-đồng cấu tự nhiên cho bởi àM(x)(f) = f(x), với mọi x ∈ M, và f ∈ Hom(M,E). Khi đó ta có kết quả sau của E. Matlis được trình bày trong [9, Định lý 4.2] (xem thêm [15, Định lý 2.1]). Mệnh đề 1.1.4. (i) R-môđun E là Artin. Với mỗi f ∈ HomR(E,E), tồn tại duy nhất af ∈ R : f(x) = afx,∀x ∈ E. (ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N) là Artin . (iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether. (iv) AnnM = AnnD(M), và nếu M là R-môđun sao cho `R(M) < ∞, thì `R(D(M)) = `R(M). 1.2 Biểu diễn thứ cấp Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I. G. Macdonald [8] được xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđun Noether và đây là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các môđun Artin. Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R-môđun M được gọi là thứ cấp nếu M 6= 0 và nếu với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trênM là toàn cấu hoặc luỹ linh. Trong trường hợp này Rad(AnnRM) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi M là p-thứ cấp. (ii) Cho M là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích M = N1 + . . .+Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni. Nếu Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 8M = 0 hoặcM có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n. Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng tối thiểu. Khi đó tập hợp {p1, . . . , pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu củaM và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết củaM , kí hiệu bởi AttRM . Các hạng tử Ni, i = 1, . . . , n, được gọi là các thành phần thứ cấp củaM . Mệnh đề 1.2.2. i) Cho M là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó M 6= 0 khi và chỉ khi AttRM 6= ∅. Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa Ann(M) chính là tập các phần tử tối thiểu của AttRM. (ii) Cho 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn được. Khi đó ta có AttRM ′′ ⊆ AttRM ⊆ AttRM ′ ∪ AttRM ′′. Cho A là một R-môđun Artin. Khi đó, A là biểu diễn được. Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.3, A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun và với cấu trúc này mỗi tập con của A là R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là R̂-môđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun con của A xét như R-môđun và R̂-môđun là như nhau. Từ đó ta có các kết quả sau (xem [15, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7]). Mệnh đề 1.2.3. Các mệnh đề sau là đúng. (i) AttRA = {p̂ ∩R : p̂ ∈ AttR̂A}. (ii)Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có a) Nếu N là R-môđun Noether, thì AttR(D(N)) = AssR(N). b) Nếu A là R-môđun Artin, thì AssR(D(A)) = AttR(A). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 91.3 Chiều Noether và số bội của môđun Artin Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn, trong đó pi 6= pi+1 được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n. Khi đó chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR là cận trên của độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của môđunM , ký hiệu là dimM là cận trên của các số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ dài n trong SuppM . VìM là môđun hữu hạn sinh nên ta có SuppM = V (AnnRM), do đó dimM = dimR/AnnRM = sup p∈AssM dim(R/p). Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được đưa ra bởi R. N. Roberts [14] và sau đó D. Kirby [7] đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho các môđun Noether. Các thuật ngữ về chiều Noether được dùng trong luận văn là theo [7]. Định nghĩa 1.3.1. Chiều Noether của môđun ArtinA, ký hiệu bởiN-dimRA, được định nghĩa bằng quy nạp như sau: Khi A = 0, đặt N-dimRA = −1. Với A 6= 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimRA = d nếu N-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . các môđun con của A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, với mọi n > n0. Ví dụ 1.3.2. Cho M là R-môđun khác không. Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi N-dimRM = 0. Thật vậy, giả sử M là R-môđun Noether. Vì mọi dãy tăng M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ . . . các môđun con của M đều dừng nên tồn tại n0 ∈ N sao cho Mn = Mn+1, với mọi n > n0. Do đó, Mn+1/Mn = 0, vì thế N-dimR(Mn+1/Mn) = −1 < 0, với mọi n > n0. Vì M 6= 0 nên N-dimRM > 0 và do đó theo định nghĩa, N-dimRM = 0. Ngược lại, giả sử N-dimRM = 0. Khi đó, lấy một dãy Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 tăng bất kỳ N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nn ⊆ . . . các môđun con của M . Theo định nghĩa, tồn tại số nguyên dương n0 sao cho N-dimR(Nk+1/Nk) = −1 < 0, với mọi k > n0. Do đó, Nk+1 = Nk, với mọi n > n0 hay dãy trên là dừng, nghĩa làM là R-môđun Noether. Chiều Noether cho môđun Artin có nhiều tính chất theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh. Ta đã biết rằng đối với mỗi môđun hữu hạn sinh M thì dimM = 0 nếu và chỉ nếu M 6= 0 và `R(M) < ∞. Từ Định nghĩa 1.3.1 ta có một số tính chất sau về chiều Noether. Bổ đề 1.3.3. (i) N-dimRA = 0 nếu và chỉ nếu A 6= 0 và `R(A) <∞. Trong trường hợp này AttRA = {m}. Hơn nữa, nếu 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì N-dimRA = max{N-dimRA′,N-dimRA′′}. (ii) N-dimRA 6 dimR/AnnRA = max{dimR/p : p ∈ AttRA} và tồn tại môđun Artin A sao cho N-dimRA < dimR/AnnRA. (iii) N-dimR̂A = dim R̂/AnnR̂A = max{dim R̂/p̂ : p̂ ∈ AttR̂A}. (iv) Cho (R,m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên của R̂-môđun Artin và ta có N-dimRA = N-dimR̂A. Chính vì vậy, ta có thể viết N-dimA thay cho N-dimRA hoặc N-dimR̂A. Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông qua chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđun Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 11 Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [5], [7], [14],...). Đặc biệt là kết quả sau được R. N. Roberts [14, Định lý 6] chứng minh cho trường hợp vành tựa địa phương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [4, Định lý 2.6] chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ. Mệnh đề 1.3.4. `R(0 :A J n A) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n 0 và N-dimA = deg(`(0 :A J n A)) = inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞}. Mệnh đề 1.3.4 cho phép ta đưa ra khái niệm hệ bội, số bội, hệ tham số của một môđun Artin A (xem [4]). Nhắc lại rằng một hệ x = (x1, . . . , xt) các phần tử trong m sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞ được gọi là một hệ bội củaA. Trường hợp t = 0 thì ta hiểu `R(A) <∞.Và khi t = N-dimA = d thì hệ x = (x1, . . . , xd) được gọi là hệ tham số của A. Một phần tử x ∈ m được gọi là phần tử tham số của A nếu và chỉ nếu N-dim(0 :A x) = N-dimA−1. Đối với mỗi môđun Artin A, số bội được định nghĩa thông qua đa thức Hilbert-Samuel như sau. Giả sử dimR = d. Cho q là iđêan của R sao cho `R(0 :A q) < ∞. Khi đó hàm độ dài `R(0 :A qn+1) luôn là đa thức theo n bậc N-dimA với hệ số hữu tỷ khi n 0. Theo Bổ đề 1.3.3 (ii), ta có N-dimA 6 dimA = dimR/AnnRA 6 dimR. Vì thế, ta có thể biểu diễn đa thức này dưới dạng `R(0 :A q n+1) = e′(q;A) d! nd + đa thức có bậc nhỏ hơn d, n 0, trong đó e′(q;A) là một số nguyên không âm. Như vậy, nếu N-dimA = d thì e′(q;A) > 0 và nếu N-dimA < d thì e′(q;A) = 0. Khi N-dimA = d ta gọi e′(q;A) là số bội của A ứng với iđêan q. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12 Trong [4], Cường-Nhàn đã định nghĩa số bội hình thức ứng với một hệ bội của A bằng quy nạp và họ đã chỉ ra rằng khi iđêan q sinh bởi một hệ tham số của A và N-dimA = dimR = d thì định nghĩa này tương đương với định nghĩa số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel ở trên. Mệnh đề sau trong [4] cho ta một số tính chất của hệ bội và số bội cho môđun Artin. Mệnh đề 1.3.5. Cho x = (x1, . . . , xt) là một hệ bội của A và n1, . . . , nt là các số nguyên dương. Đặt x(n) = (xn11 , . . . , x nt t ). Khi đó ta có các tính chất sau. (i) `(0 :A x(n)R) 6 n1 . . . nt`(0 :A xR) và e′ ( x(n);A ) = n1 . . . nte ′(x;A). (ii) Cho dãy khớp các R-môđun Artin 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0. Khi đó x là một hệ bội của A nếu và chỉ nếu x là một hệ bội của A′ và A′′ và ta có e′(x;A) = e′(x;A′) + e′(x;A′′). (iii) Ta luôn có 0 6 e′(x;A) 6 `(0 :A xR). Hơn nữa e′(x;A) > 0 nếu và chỉ nếu t = d = N-dimA. 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của một môđun tuỳ ý. Định nghĩa 1.4.1. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một R-môđun. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I , ký hiệu là H iI(M) được định nghĩa bởi H iI(M) = R i(ΓI(M)), trong đó Ri(ΓI(M)) là môđun dẫn suất phải thứ i của hàm tử I-xoắn ΓI() ứng vớiM . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13 Cho 0 −→ L f−→ M g−→ N −→ 0 là một dãy khớp các R−môđun. Khi đó, do tính chất δ-hàm tử đối đồng điều của môđun đối đồng điều địa phương, ta có dãy khớp dài 0 −→ H0I (L) H0I (f)−→ H0I (M) H0I (g)−→ H0I (N) −→ H1I (L) H1I (f)−→ H1I (M) H1I (g)−→ H1I (N) −→ . . . −→ H iI(L) HiI(f)−→ H iI(M) HiI(g)−→ H iI(N) −→ H i+1I (L) −→ . . . với mọi i ∈ N. Định lý sau đây của Grothedieck là một kết quả đẹp đẽ về tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. Định lý 1.4.2. [1, Định lý 6.1.2, Định lý 6.1.4] (i) Cho M là R-môđun. Khi đó, H iI(M) = 0, với mọi i > dimM. (ii) Giả sử (R,m) là vành địa phương vàM là R-môđun hữu hạn sinh, khác không và chiều Krull dimM = d. Khi đó Hdm(M) 6= 0. Tiếp theo là tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương. Định lý 1.4.3. [1, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6] (i) Cho (R,m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, R-môđun H im(M) là Artin với mọi i ∈ N0. (ii) Cho (R,m) là vành địa phương, I là một iđêan bất kì của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, khác không có chiều Krull dimM = d. Khi đó, R-môđun HdI (M) là Artin. Các Định lý đổi cơ sở phẳng và Nguyên lý địa phương hoá nâng yếu cũng thường được dùng trong luận văn. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 Định lý 1.4.4. [1, Định lý 4.3.2] Giả sử f : R −→ R′ là đồng cấu phẳng giữa các vành. Khi đó H iI(M)⊗R R′ ∼= H iI(M ⊗R R′). Định lý 1.4.5. [1, Định lý 11.3.8] (R,m) là vành địa phương, p ∈ SpecR, dimR/p = t. Nếu với mỗi số nguyên i, q ∈ SpecR, q ⊆ p mà ta có qRp ∈ AttRp(H ipRp(Mp)) thì q ∈ AttR(H i+tm (M)). Kết quả sau đây của Cường-Nhàn cho ta một cận trên của chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.4.6. [5, Định lý 3.1, Định lý 3.5] (i) Cho t là một số nguyên dương và I là một iđêan của R. Giả sử rằng các môđun đối đồng điều địa phương H iI(M) là Artin, với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó ta có N-dimR(H i I(M)) 6 i, với mọi i = 0, 1, . . . , t. (ii) ChoM là môđun hữu hạn sinh với dimM = d và I là iđêan của R sao cho môđun Artin HdI (M) là khác 0. Khi đó N-dimR(H d I (M)) = d và do đó, HdI (M) không là hữu hạn sinh nếu d > 0. Mệnh đề 1.4.7. Cho (R,m) là vành địa phương, M hữu hạn sinh với chiều dimM = d. Khi đó AttR(H d m(M)) = {p ∈ AssRM | dimR/p = d}. 1.5 Tính catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn và thớ hình thức Nhắc lại rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dimR/q = dimR, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu q ∈ min(AssR) và môđun M được gọi Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 15 là đẳng chiều nếu dimR/p = dimM với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p ∈ min(AssM). Tiết này dành để nhắc lại một số tính chất của lớp vành và môđun catenary phổ dụng và không trộn lẫn. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm sau (xem [10] và [12]). Định nghĩa 1.5.1. Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy các iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, với mọi i, được gọi là dãy nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi i, không tồn tại một iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1. Định nghĩa 1.5.2. (i) Vành R là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p, q của R sao cho p ⊂ q, mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. (ii) Ta nói rằng SuppM là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p, q ∈ SuppM sao cho p ⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. Chú ý rằng nếu vành R là đẳng chiều thì R là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + ht p = dimR, với mọi iđêan nguyên tố p của R, và rõ ràng rằng SuppM là catenary nếu và chỉ nếu R/AnnRM là catenary. Do đó, trong trường hợp M là đẳng chiều thì SuppM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + dimMp = dimM , với mọi p ∈ SuppM. Định nghĩa 1.5.3. Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi R-đại số hữu hạn sinh đều là catenary. Chú ý rằng nếu S là R-đại số hữu hạn sinh, tức là tồn tại a1, . . . , at ∈ S sao cho S = R[a1, . . . , at] thì có toàn cấu vành ϕ : R[x1, . . . , xt] −→ S từ vành đa thức t biến R[x1, . . . , xt] đến S sao cho ϕ(xi) = ai, với mọi i = 1, . . . , t. Vì thế, S đẳng cấu với vành thương của vành đa thức. Vì vành thương của vành catenary là vành catenary nên suy ra vành R là catenary phổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức với hệ số trên R đều là catenary. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 16 Định nghĩa 1.5.4. (Xem [12]) Vành R được gọi là không trộn lẫn (unmixed) nếu dim(R̂/p̂) = dimR với mọi iđêan nguyên tố p̂ ∈ Ass R̂ và vành R được gọi là tựa không trộn lẫn (quasi-unmixed) nếu R̂ là đẳng chiều, tức là dim R̂/p̂ = dim R̂ với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p̂ ∈ Ass R̂. Sau đây là một số kết quả về mối liên hệ giữa tính catenary phổ dụng và tựa không trộn lẫn. Bổ đề 1.5.5. [10, Định lý 31.6] Cho (R,m) là vành Noether địa phương tựa không trộn lẫn. Khi đó (i) Rp là tựa không trộn lẫn, với mọi p ∈ SpecR. (ii) Cho I là iđêan của R. Khi đó R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là tựa không trộn lẫn. (iii) R là vành catenary phổ dụng. Bổ đề 1.5.6. [10, Định lý 31.7] Các mệnh đề sau là tương đương (i) Vành R/p là tựa không trộn lẫn, với mọi p ∈ SpecR, nghĩa là dim R̂/p̂ = dimR/p, với mọi p̂ ∈ min Ass R̂/pR̂. (ii) Vành R là catenary phổ dụng. (iii) Vành R[x] là catenary. Để đi đến khái niệm vành thớ và thớ hình thức của vành, trước hết ta cần nhắc lại khái niệm và các kết quả về môđun phẳng như sau. Một R-môđun N được gọi là phẳng nếu với mỗi dãy khớp 0 −→ L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 các R-môđun, dãy cảm sinh 0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 17 là khớp. Một R-môđun N được gọi là phẳng hoàn toàn nếu dãy 0 −→ L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 các R-môđun khớp khi và chỉ khi dãy cảm sinh 0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0 là khớp. Cho ϕ : R −→ S là một đồng cấu vành và L là S-môđun. Khi đó L có cấu trúc là R-môđun với tích vô hướng được định nghĩa như sau: với r ∈ R và y ∈ L, ry = ϕ(r)y. Đồng cấu vành ϕ : R −→ S được gọi là đồng cấu phẳng (phẳng hoàn toàn) nếu vành S (xét như R-môđun) là R-môđun phẳng (phẳng hoàn toàn). Chú ý rằng nếu (R,m) và (S, n) là các vành địa phương và ϕ : R −→ S là các đồng cấu địa phương (tức là ϕ(m) ⊆ n) thì ϕ là đồng cấu phẳng nếu và chỉ nếu nó phẳng hoàn toàn. Định nghĩa 1.5.7. Cho ϕ : R −→ S là đồng cấu giữa các vành Noether địa phương. Với mỗi p ∈ SpecR, ta gọi vành S ⊗R R/p là vành thớ của ϕ ứng với p. Giả sử f : R −→ R̂ là đồng cấu chính tắc. Khi đó với mỗi p ∈ SpecR, tồn tại p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂ ∩ R = p. Đồng cấu f cảm sinh ra đồng cấu phẳng ψ : Rp −→ R̂p̂. Khi đó vành thớ R̂p̂ ⊗Rp (Rp/pRp) của ψ ứng với p được gọi là thớ hình thức của R trên p. Mệnh đề 1.5.8. [10, Định lý 15.1] ϕ : R −→ S là đồng cấu giữa các vành Noether và P ∈ SpecS. Đặt p = ϕ−1(P ) := P ∩R. Khi đó (i) htP 6 ht p + dim ( SP ⊗Rp (Rp/pRp) ) . (ii) Nếu ϕ là đồng cấu phẳng thì bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức. Chú ý rằng với mỗi iđêan I của R thì đầy đủ của vành R/I là R̂/IR̂. Vì thế nếu p ∈ SpecR sao cho p ⊇ I thì thớ hình thức của R/I trên p cũng chính là thớ hình thức của R trên p, với p là ảnh của p trong R/I . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 18 Chương 2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn của vành địa phương và các môđun đối đồng điều địa phương Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m, A là R-môđun Artin,M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimRM = d. Chương này nghiên cứu đưa ra một đặc trưng của môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính chất (∗) và trong trường hợp này, như một hệ quả ta có thể mở rộng được công thức liên kết với bội của M. Brodmann và R. Y. Sharp [2]. Hơn nữa, các kết quả thu được khi nghiên cứu tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phuơng H im(M) còn cho phép ta thu được những tính chất đẹp như là tính catenary phổ dụng của vành R/AnnRM và tính không trộn lẫn của vành R/p, với p ∈ SuppRM . 2.1 Tính chất linh hoá tử Tính chất linh hoá tử (thường được gọi là tính chất (∗)) được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [5]. Nhắc lại rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M ta xét một tính chất cơ bản sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 19 AnnRM . Khi đó p ∈ SuppRM và do đó Mp 6= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra (M/pM)p = Mp/pMp 6= 0. Do đó p ∈ Supp(M/pM), nghĩa là p ⊇ AnnR(M/pM). Vì vậy ta luôn có tính chất AnnR(M/pM) = p, với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM . Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không. Câu trả lời cho câu hỏi này nhìn chung là phủ định (xem [5, Ví dụ 4.3]), và ở đó, họ đã giới thiệu một lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng định của câu hỏi trên như sau. Định nghĩa 2.1.1. [5, Định nghĩa 4.2] Ký hiệu V (AnnRA) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa AnnRA. Ta nói rằng A thoả mãn tính chất (∗) nếu AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA). (∗) Rõ ràng rằng, khi vànhR là đầy đủ thì theo đối ngẫu Matlis, mọiR-môđun Artin A đều thoả mãn tính chất (∗). Lớp môđun Artin thoả mãn tính chất (∗) có nhiều tính chất "tốt", đặc biệt liên quan chặt chẽ đến chiều Noether của một môđun Artin. Nhắc lại rằng chiều Krull của môđun ArtinA, ký hiệu bởi dimRA, là chiều Krull của vành R/AnnRA. Theo I. G. Macdonald [8], mọi môđun Artin đều có biểu diễn thứ cấp và tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRA cũng chính là tập các phần tử tối thiểu của AttRA nên dimRA chính là cận trên của các số dimR/p khi p chạy khắp tập iđêan nguyên tố gắn kết dimRA = max{dimR/p | p ∈ AttRA}. Theo Bổ đề 1.3.3, (ii), ta có N-dimA 6 dimA.Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tính chất (∗) là điều kiện đủ để xảy ra dấu đẳng thức. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 20 Mệnh đề 2.1.2. [5, Mệnh đề 4.5] Nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì ta có đẳng thức N-dimRA = dimRA. Giả sử rằng dimRM = d. N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn [3] tiếp tục nghiên cứu tính chất (∗) cho một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất Hdm(M) của môđun hữu hạn sinhM và một số ứng dụng của nó. VìM là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether nên M là môđun Noether, do đó tập các môđun con của M luôn thoả mãn điều kiện tối đại. Vì thế ta có thể chứng minh được rằng môđun con lớn nhất của M có chiều thực sự nhỏ hơn d luôn tồn tại và duy nhất. Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều thực sự nhỏ hơn d. Kết quả sau đây cho ta cách tính môđun con UM(0) thông qua phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 củaM . Bổ đề 2.1.3. Nếu 0 = ⋂ p∈AssM N(p) là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 củaM , trong đó N(p) là p−nguyên sơ thì UM(0) = ⋂ p∈AssM,dimR/p=d N(p). Từ bổ đề trên, ta có thể tính được tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun M/UM(0) thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết củaM như sau. Ass(M/UM(0)) = {p ∈ AssM : dimR/p = d}. Rõ ràng rằng các iđêan nguyên tố liên kết của môđunM/UM(0) đều có chiều như nhau, vì thế Supp(M/UM(0)) = ⋃ p∈AssM, dimR/p=d V (p). Điều này dẫn đến khái niệm sau. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 21 Định nghĩa 2.1.4. Tập Supp(M/UM(0)) được gọi là giá không trộn lẫn của M và được ký hiệu bởi UsuppM. Từ định nghĩa trên và vì AttRH d m(M) = {q ∈ AssM : dimR/q = d}, hơn nữa theo Mệnh đề 1.2.2, (i), tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRH d m(M) chính là tập các phần tử tối thiểu (theo quan hệ bao hàm) của tập AttRH d m(M) nên ta có kết quả sau. Bổ đề 2.1.5. [3, Bổ đề 3.2] Cho p ∈ SuppM . Khi đó p ∈ UsuppM nếu và chỉ nếu p ⊇ AnnR(Hdm(M). Đặc biệt UsuppM = V (AnnRH d m(M)) = ⋃ p∈AssR M,dimR/p=d Var(p). Như đã nhắc ở tiết trước, SuppM là catenary nếu và chỉ nếu vành R/AnnRM là catenary và nếu M là đẳng chiều thì SuppM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p+dimMp = d, với mọi p ∈ SuppM. Đặc biệt, theo định nghĩa ta luôn có dimR/p = d với mọi p ∈ Ass(M/UM(0)), nên giá không trộn lẫn UsuppM = Supp(M/UM(0)) củaM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + dimMp = d, với mọi p ∈ UsuppM. Một kết quả thú vị trong [3] đã chỉ ra rằng mặc dù ta có đẳng thức N-dimHdm(M) = dim ( R/AnnRH d m(M) ) nhưng nhìn chung Hdm(M) không thoả mãn tính chất (∗), và một điều đáng ngạc nhiên là điều kiện để môđun Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗) lại liên quan đến một tính chất quan trọng: Tính catenary của giá không trộn lẫn của môđunM . Định lý 2.1.6. [3, Định lý 4.1] Các mệnh đề dưới đây là tương đương: (i) UsuppM là catenary. (ii) Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 22 Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho p ∈ Var(AnnR(Hdm(M))). Vì UsuppM là catenary nên dimR/p + dimMp = d. Do đó theo [3, Bổ đề 4.3] ta có Ann(0 :Hdm(M) p) = p. Vì vậy H d m(M) thoả mãn tính chất (∗). (ii) ⇒ (i). Để chứng minh UsuppM là catenary, ta chỉ cần chứng minh dimR/p + dimMp = d với mọi p ∈ UsuppM. Giả sử p ∈ UsuppM . Nếu p = m thì rõ ràng dimR/m + dimMm = 0 + dimM = d. Do đó ta giả thiết p 6= m. Đặt dimR/p = d − r. Ta cần chứng minh dimMp = r. Vì p ⊇ AnnR(M/UM(0)) nên Rad Ann ( M/UM(0)/p(M/UM(0)) ) = Rad(AnnR(M/UM(0)) + p) = p. Do đó ta có dim ( M/UM(0)/p(M/UM(0)) ) = dimR/p = d− r. Vì thế tồn tại một phần hệ tham số (x1, ..., xr) củaM/UM(0) trong p. Rõ ràng phần hệ tham số này là tối đại trong p, tức là không tồn tại một phần tử y ∈ p để (x1, ..., xr, y) là phần hệ tham số củaM/UM(0). Vì p ∈ UsuppM nên tồn tại iđêan nguyên tố p̂ ∈ UsuppR̂ M̂ sao cho p̂∩R = p.Đặt M̂1 = M̂/UM̂(0). Vì (x1, ..., xr) là phần hệ tham số củaM/UM(0) nên nó cũng là phần hệ tham số của môđun đầy đủ m-adic ̂M/UM(0) của M/UM(0). Vì M̂1 là môđun thương của môđun ̂M/UM(0) và dim M̂1 = dim ̂M/UM(0) nên ta có thể kiểm tra được (x1, ..., xr) cũng là phần hệ tham số của M̂1. Chú ý rằng p̂ ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 ) . Vì thế p̂ ⊇ p̂1 với iđêan nguyên tố tối thiểu p̂1 ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 ) . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 23 Vì xr là phần tử tham số của M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 nên xr tránh tất cả các iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1. Vì thế theo [3, Bổ đề 4.2] ta suy ra xr /∈ p̂1. Đặt p1 = p̂1 ∩ R. Khi đó xr /∈ p1. Vì xr ∈ p nên ta có p ⊃ p1 và p 6= p1. Lập luận tương tự, tồn tại iđêan nguyên tố tối thiểu p̂2 ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−2)M̂1 ) . sao cho p̂1 ⊇ p̂2. Đặt p2 = p̂2 ∩ R̂. Khi đó, lại theo [3, Bổ đề 4.2] ta có xr−1 ∈ p1 \ p2. Do đó p1 ⊃ p2 và p1 6= p2. Tiếp tục quá trình trên, sau r bước ta nhận được một dãy các iđêan nguyên tố chứa AnnRM p ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr sao cho pi 6= pi+1 với mọi i = 1, . . . , r − 1. Vì thế dimMp = r. 2.2 Tính chất linh hoá tử và bội của môđun đối đồng điều địa phương Như đã đề cập ở tiết trước, tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất tương đương với tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun M . Nhưng cần chú ý rằng, ngay cả khi vành R là catenary thì tính chất (∗) không nhất thiết thoả mãn cho các môđun đối đồng điều địa phương cấp i < d. Tiết này dành để nghiên cứu điều kiện cần và đủ để với mỗi số nguyên i, các môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính chất (∗), qua đó nhận được tính đóng của tập giả support PsuppiR(M) được định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [2], đồng thời cũng mở rộng được công thức liên kết với bội của các môđun H im(M). Trước hết ta có định nghĩa sau. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 24 Định nghĩa 2.2.1. [2] Tập {p ∈ SpecR : H i−dim(R/p)pRp (Mp) 6= 0} được gọi là tập giả support thứ i của M , ký hiệu là PsuppiR(M). Giả chiều thứ i củaM , ký hiệu bởi psdi(M), được định nghĩa bởi psdi(M) = sup{dimR/p : p ∈ PsuppiRM}. Cho (R,m) là vành thương của vành Gorenstein (S, n) với dimS = r. Khi đó ánh xạ f : S −→ R là toàn cấu và R-môđun M có cấu trúc là S-môđun thông qua đồng cấu f. Do đó ta có S-môđun ExtiS(M,S) và vì thế ExtiS(M,S) cũng có cấu trúc là R-môđun. Ký hiệu E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Khi đó ta luôn có R-môđun HomR(Ext i S(M,S), E) = D(Ext i S(M,S)). Đặt K iM = Ext r−i S (M,S) ∀i = 0, 1, . . . , dimM. Theo [1, Định lý 11.2.6] ta có đẳng cấu H im(M) ∼= Hom(K iM , E),∀i = 0, 1, . . . , dimM và đẳng cấu trên được gọi là công thức đối ngẫu địa phương, môđun KdimMM được gọi là môđun chính tắc củaM và ký hiệu là KM . Vì vành địa phương đầy đủ là vành thương của vành chính quy nên áp dụng công thức đối ngẫu địa phương, ta sẽ chứng minh rằng nếu trên vành đầy đủ R̂ thì tập giả support thứ i củaM cũng chính là tập các iđêan nguyên tố chứa linh hoá tử của môđun đối đồng điều địa phương thứ i củaM . Bổ đề 2.2.2. Với mọi R-môđun hữu hạn sinhM ta có Psuppi R̂ M̂ = Var(AnnR̂(H i m(M))). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 25 Chứng minh. Cho p ∈ Spec(R). Khi đó (Rp, pRp) cũng là vành địa phương. Vì R̂ là vành đầy đủ nên f : R̂ −→ R là toàn cấu, do đó f ′ : R̂p̂ −→ Rp cũng là toàn cấu cho bởi f ′(r̂/ŝ) = f(r̂)/f(ŝ), với mọi r̂ ∈ R̂, ŝ ∈ R̂ \ p̂ và dim R̂p̂ = dim R̂− dim(R̂/p̂). Lại vì với mọi i ∈ Z, ta có đẳng cấu giữa các Rp-môđun (K i M̂ )p̂ = (Ext dim R̂−i R̂ (M̂, R̂))p̂ ∼= Extdim R̂−i R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂) nên theo công thức đối ngẫu địa phương và công thức về chiều ở trên ta có H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= HomRp ( Ext dim R̂p̂−i+dim(R̂/p̂) R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂), ERp(Rp/pRp) ) ∼= HomRp ( Extdim R̂−i R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂), ERp(Rp/pRp) ) ∼= HomRp ( (K i M̂ )p̂, ERp(Rp/pRp) ) . Vì thế, H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0 khi và chỉ khi (K iM̂)p̂ 6= 0. Suy ra ta có p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂ khi và chỉ khi p̂ ∈ SuppR̂(K iM̂). Do K iM̂ là môđun hữu hạn sinh và áp dụng đẳng cấu giữa các R̂-môđun H i mR̂ (M̂) ∼= H im(M), ta có Psuppi R̂ M̂ = SuppR̂(K i M̂ ) = Var(AnnR̂K i M̂ ) = Var(AnnR̂H i mR̂ (M̂)) = Var(AnnR̂H i m(M)). Do đó ta có điều phải chứng minh. Định lý sau là kết quả chính của chương, cho ta mối quan hệ giữa tính chất (∗) của các môđun đối đồng điều địa phương với tập giả support của môđun M . Định lý 2.2.3. Cho i > 0 là một số nguyên. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) Các môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính chất (∗). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 26 (ii) Var(AnnR(H i m(M))) = Psupp i RM. Hơn nữa, nếu (i) và (ii) thoả mãn thì ta có psdi(M) = psdi(M̂) = N-dimR(H i m(M)) và {p ∈ PsuppiRM : dimR/p = psdiM} = {p̂ ∩R : p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂, dim(R̂/p̂) = psdi M̂}. Chứng minh. Cho số nguyên i ≥ 0. (i) ⇒ (ii). Giả sử H im(M) thỏa mãn tính chất (∗). Cho p ∈ PsuppiR(M). Theo định nghĩa, ta có H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Theo Mệnh đề 1.2.2, (i), tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp(H i−dim(R/p)pRp (Mp)), với q ⊆ p. Khi đó, q thoả mãn các điều kiện của Nguyên lý địa phương hoá nâng yếu của Brodmann-Sharp trong Định lý 1.4.5 nên ta có q ∈ AttR(H im(M)). Vì thế p ⊇ q ⊇ AnnR(H im(M)) suy ra PsuppiRM ⊆ Var(AnnR(H im(M))). Ngược lại, lấy p ∈ Var(AnnR(H im(M))). Theo giả thiết H im(M) thỏa mãn tính chất (∗) nên AnnR(0 :Him(M) p) = p. Điều này kéo theo min Var(AnnR(0 :Him(M) p)) = {p}. Do đó, nếu lấy q ⊇ AnnR(0 :Him(M) p) thì q ⊇ p. Kết hợp với giả thiết H im(M) thỏa mãn tính chất (∗), ta có AnnR(0 :0: Him(M) p q) = AnnR(0 :Him(M) q) = q. Vì thế, 0 :Him(M) p cũng thoả mãn tính chất (∗). Theo Mệnh đề 2.1.2, ta có dimR/p = dim(R/AnnR(0 :Him(M) p)) = N-dim(0 :Him(M) p) = dim ( R̂/AnnR̂(0 :Him(M) p) ) = max{dim(R̂/p̂) : p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p)}. Vì vậy, tồn tại iđêan p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p) sao cho dim(R̂/p̂) = dimR/p. Chú ý rằng nếu p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p) thì p̂ ∈ Var(AnnR̂(H im(M))) và Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 27 p̂ ∩ R ⊇ p. Hơn nữa, vì dim(R̂/p̂) = dimR/p nên p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR̂. Theo Bổ đề 2.2.2, ta có p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂ , nghĩa là H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0. Vì p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR̂ và dim(R̂/p̂) = dimR/p nên theo Định lý đổi cơ sở phẳng 1.4.4, ta có H i−dim(R/p) pRp (Mp)⊗ R̂p̂ ∼= H i−dim(R̂/p̂)p̂R̂p̂ (Mp ⊗ R̂p̂) ∼= H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0. Do đó H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0, tức là p ∈ PsuppiR(M). Vì vậy Var(AnnR(H i m(M))) ⊆ PsuppiR(M). (ii) ⇒ (i). Giả sử rằng Var(AnnR(H im(M))) = PsuppiR(M). Lấy tuỳ ý một iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR(H im(M)). Khi đó p ∈ PsuppiR(M), tức là H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Vì dimR/p = dim R̂/pR̂ nên tồn tại iđêan p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) sao cho dim R̂/p̂ = dimR/p. Khi đó p̂ ∩ R = p và p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR̂. Vì ánh xạ cảm sinh Rp −→ R̂p̂ là đồng cấu phẳng hoàn toàn nên theo Định lý chuyển cơ sở phẳng 1.4.4, ta có H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= H i−dim(R/p)pRp (Mp)⊗ R̂p̂ 6= 0. Vì thế p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) = Var(AnnR̂(H i m(M))). Ta lại có H i m(M) xem như R̂-môđun Artin luôn thoả mãn tính chất (∗) theo [5, Bổ đề 4.4] nên AnnR̂(0 :Him(M) p̂) = p̂. Do đó ta có p ⊆ AnnR(0 :Him(M) p) ⊆ AnnR̂(0 :Him(M) p̂) ∩R = p̂ ∩R = p. Suy ra AnnR(0 :Him(M) p) = p hay H i m(M) thoả mãn tính chất (∗). Cuối cùng, giả sử rằng điều kiện (i) và (ii) thoả mãn. Theo (ii) ta có psdiM = dim ( R/Ann(H im(M)) ) . Vì thế, theo Mệnh đề 1.3.3, (iii), ta có psdi(M) = N-dimR(H i m(M)) = dim ( R̂/AnnR̂(H i m(M)) ) = psdi(M̂). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 28 Đặt N-dimR(H i m(M)) = s. Cho p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s. Khi đó p ∈ Var(AnnR(H im(M))) theo (ii). Bằng lý luận tương tự như trong phần (i)⇒(ii), tồn tại p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) = Var(AnnR̂(H i m(M))) sao cho p̂ ∩R = p và dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Ngược lại, lấy p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) sao cho dim(R̂/p̂) = s. Khi đó ta có p̂ ∈ Var(AnnR̂(H im(M))). Nếu đặt p̂ ∩ R = p thì theo (ii) ta được p ∈ Var(AnnR(H im(M))) = PsuppiRM . Hơn nữa, s = dim(R̂/p̂) 6 dim(R̂/pR̂) = dimR/p 6 s. Vì thế dimR/p = s và ta có điều phải chứng minh. Từ Định lý 2.2.3 ta có các hệ quả sau. Hệ quả 2.2.4. Nếu vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i 6 d. Chứng minh. Vì vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên ta có Var(AnnR(H i m(M))) = Psupp iM với mọi i 6 d theo [2, Mệnh đề 2.5]. Do đó áp dụng Định lý 2.2.3, (ii)⇒(i), ta có H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i 6 d. Giả sử dimM = dimR = d. Nhắc lại rằng với mỗi môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương (R,m) và iđêan q của R sao cho `R(M/qM) <∞, hàm độ dài `R(M/q n+1M) luôn là đa thức theo n và có bậc dimM với hệ số hữu tỷ khi n 0. Ta có thể biểu diễn đa thức này dưới dạng `R(M/q n+1M) = e(q;M) d! nd + đa thức có bậc nhỏ hơn d, khi n  0, trong đó e(q;M) là số nguyên dương. Đa thức trên được gọi là đa thức Hilbert - Samuel và e(q;M) được gọi là số bội củaM ứng với iđêan Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 29 q. Một trong những tính chất quan trọng của số bội là công thức liên kết với bội như sau (xem [10, Định lý 14.7]). e(q;M) = ∑ p∈minAssM dim(R/p)=d `Rp(Mp)e(q;R/p) với q là ảnh của q trong R/p.Một suy nghĩ đối ngẫu là liệu rằng có một công thức tương tự như vậy cho môđun Artin hay không, nghĩa là có thể thiết lập được một công thức liên kết với bội cho một môđun Artin bất kỳ hay không. Mặc dù nhiều tính chất của số bội cho môđun Artin đã được đưa ra trong [4], nhưng rất tiếc là công thức trên lại chưa thể có được, vì các khái niệm "đối địa phương hoá" cho môđun Artin đã biết chưa thoả mãn được yêu cầu là đối địa phương hoá tại p của môđun Artin A có độ dài hữu hạn, khi p chạy trên một tập hữu hạn nào đó. Năm 2002, Brodmann và Sharp [2] đã chứng minh rằng nếu vành R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì tất cả các tập giả support của M đều đóng. Với kết quả này, họ đã xây dựng được công thức liên kết với bội cho một lớp môđun Artin đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương H im(M) ứng với mọi iđêan m-nguyên sơ q như sau. e′(q, H im(M)) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=psdi(M) `Rp(H i−dim(R/p) pRp (Mp))e(q, R/p). ở đây, với kết quả của Định lý 2.2.3 ta có thể mở rộng công thức liên kết với bội như trên của họ mà chỉ cần điều kiện các môđun H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i 6 d. Hệ quả 2.2.5. Cho i > 0 là một số nguyên và N-dim(H im(M)) = s. Với mỗi p ∈ PsuppiRM, đặt T (p) = {p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) : dim R̂/p̂ = dimR/p, p̂ ∩R = p}. Giả sử H im(M) thoả mãn tính chất (∗). Khi đó các mệnh đề sau là đúng. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 30 (i) PsuppiR(M) là tập đóng. (ii) Nếu p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s thì T (p) 6= ∅, `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) khác không, hữu hạn và `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) = `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))`R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂) với mỗi p̂ ∈ T (p). (iii) Cho q là iđêan m-nguyên sơ của R. Giả sử H im(M) 6= 0. Khi đó số bội e′(q, H im(M)) của H i m(M) ứng với iđêan q thoả mãn e′(q, H im(M)) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=psdi(M) `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(q, R/p). Chứng minh. (i). Theo Định lý 2.2.3, PsuppiR(M) = Var(AnnR(H i m(M))) nên hiển nhiên nó là tập đóng. (ii). áp dụng Định lý 2.2.3 và bằng lý luận tương tự như trong [2, Định lý 2.4, (i)], ta có thể chứng minh khẳng định (ii) như sau. Lấy p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s = N-dim(H im(M)). Vì R −→ R̂ là đồng cấu phẳng nên ánh xạ cảm sinh Spec R̂ −→ SpecR là toàn cấu. Do đó, vì p ∈ PsuppiR(M) ⊆ SpecR nên luôn tồn tại p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂∩R = p. Ta cần chứng minh p̂ ∈ T (p), tức chứng minh p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) và dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Thật vậy, vì H im(M) thoả mãn tính chất (∗) nên theo Định lý 2.2.3 ta có p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) và vì dim(R/p) = s = N-dimH im(M) = psd i(M) nên p là phần tử cực tiểu của PsuppiR(M). Gọi p̂1 là phần tử cực tiểu của Psuppi R̂ (M̂) sao cho p̂1 ⊆ p̂. Theo Định lý 2.2.3, p̂1 ∩ R ∈ PsuppiR(M). Vì p̂ ⊇ p̂1 nên p̂1 ∩ R ⊆ p̂ ∩ R = p. Do tính cực tiểu của p nên suy ra p̂1∩R = p. Vì thế p̂1 ⊇ pR̂.Mặt khác, do p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 31 pR̂ nên suy ra p̂1 = p̂. Vì vậy, p̂ là phần tử cực tiểu của Psupp i R̂ (M̂). Điều này suy ra dim(R̂/p̂) = dimR/p = s, nghĩa là p̂ ∈ T (p) hay T (p) 6= ∅. Bây giờ, ta chứng minh `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) khác không và hữu hạn. Thật vậy, theo Định lý cấu trúc Cohen, R̂ là ảnh đồng cấu của vành địa phương chính quy nên áp dụng kết quả của Brodmann-Sharp [2, Định lý 2.4, (i)], ta có p̂ là phần tử cực tiểu của Psuppi R̂ (M̂) khi và chỉ khi `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) khác không và hữu hạn. Vì dim(R̂/p̂) = dim(R/p) và Rad(pRpR̂p̂) = p̂R̂p̂ nên từ Định lý chuyển cơ sở phẳng của môđun đối đồng điều địa phương, ta có H i−dim(R/p) pRp (Mp)⊗Rp R̂p̂ ∼= H i−dim(R̂/p̂)p̂R̂p̂ (Mp ⊗Rp R̂p̂) ∼= H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂). Trong trường hợp này, vì đồng cấu cảm sinh Rp −→ R̂p̂ là hoàn toàn phẳng nên `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) khác không và hữu hạn tương đương với `Rp(H i−dim(R/p) pRp (Mp)) khác không và hữu hạn và ta có `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) = `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))`R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂) với mỗi p̂ ∈ T (p). (iii). Trước hết, theo Định lý 2.2.3 và với lập luận như trong (ii), ta có với mỗi p ∈ PsuppiRM sao cho dim(R/p) = s luôn tồn tại p̂ ∈ PsuppiR̂(M̂) sao cho p̂ ∩R = p và dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Do đó,⋃ p∈PsuppiR(M) dim(R/p)=s T (p) = {p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) : dim(R̂/p̂) = s}. Hơn nữa, nếu p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s thì ta chứng minh được đẳng thức sau T (p) = {p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) : dim(R̂/p̂) = s}. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 32 Thật vậy, lấy p̂ ∈ T (p). Khi đó p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂), dim(R̂/p̂) = s, p̂∩R = p. Vì dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s nên p̂ là iđêan tối thiểu của pR̂, tức là p̂ ∈ min Var(pR̂), suy ra p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂). Ngược lại, lấy p̂ thuộc tập hợp bên vế phải. Khi đó, dim(R̂/p̂) = s = dim(R/p) và p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂). Vì thế, theo [10, Định lý 23.2] ta suy ra p̂∩R = p. Mặt khác, vì p ∈ PsuppiRM nên H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Theo Định lý chuyển cơ sở phẳng 1.4.4 ta có H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= H i−dim(R/p)pRp (Mp)⊗ R̂p̂ 6= 0, suy ra p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂), tức là p̂ ∈ T (p). Vì vậy, ta có e′(q;H im(M)) (1) = e′(qR̂;H im̂(M̂)) (2) = ∑ p̂∈Psuppi R̂ (M̂) dim R̂/p̂=s `R̂p̂(H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂))e(qR̂, R̂/p̂) (3) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s ( `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) ∑ p̂∈T (p) `R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂)e(qR̂, R̂/p̂) ) (4) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s ( `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) ∑ p̂∈Ass(R̂/pR̂) dimR/p̂=s `R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂)e(qR̂, R̂/p̂) ) (5) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(qR̂, R̂/pR̂) (6) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=s `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(q, R/p). Trong đó, các đẳng thức trên được giải thích như sau. Đẳng thức (1) có được là do e′(q, H im(M)) và e ′(qR̂,H im̂(M̂)) đều là hệ số cao nhất của các đa thức Hilbert `R(0 :Him(M) q nR) = `R̂(0 :Hi m̂ (M̂) q nR̂). Đẳng thức (2) là do áp dụng công thức liên kết với bội [2, Định lý 2.4] của Brodmann và Sharp cho môđun Artin H im̂(M̂) trên vành R̂. Theo chứng minh ở phần đầu của (iii) ta đã mô tả được hợp của các tập T (p) chính là tập các iđêan nguyên tố Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 33 p ∈ Psuppi R̂ (M̂) sao cho dim(R̂/p̂) = s. Thêm nữa, theo (ii), độ dài của các môđun đối đồng điều địa phương trên vành địa phương đầy đủ R̂p̂ được tính thông qua độ dài của các môđun đối đồng điều địa phương trên vành địa phương Rp. Do đó ta có thể tách được tổng trong đẳng thức (2) thành các tổng trong đẳng thức (3). Đẳng thức (4) là do ta thay tập T (p) bằng tập {p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) : dim(R̂/p̂) = s} như đã chứng minh ở trên. Đẳng thức (5) có được là do áp dụng công thức liên kết với bội [10, Định lý 14.7] cho vành R̂/pR̂ ứng với iđêan qR̂. Cuối cùng, đẳng thức (6) lại do áp dụng tính chất của số bội của môđun hữu hạn sinh, ta có e(q, R/p) = e(qR̂, R̂/pR̂) vì đều là hệ số cao nhất của các đa thức Hilbert `R(R/p/q n) = `R(R̂/pR̂/q nR̂), với n 0. Như đã đề cập ở Định lý 2.1.6 của tiết trước, N. T. Cuờng, N. T. Dung và L. T. Nhàn [3] đã đặc trưng tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất Hdm(M) thông qua tính catenary của giá không trộn lẫn UsuppM của môđunM . Một hệ quả tiếp theo được suy ra từ Định lý 2.2.3 cùng với các kết quả trong [3] và [2] như sau. Hệ quả 2.2.6. Cho q là iđêan m-nguyên sơ của R. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) PsuppdR(M) là tập đóng. (ii) UsuppM là catenary, nghĩa là vành R/AnnR(H d m(M)) là catenary. (iii) Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗). (iv) Var(AnnR(H d m(M))) = Psupp d R(M). Hơn nữa, nếu các điều kiện trên thoả mãn thì UsuppM = PsuppdRM và e′(q, Hdm(M)) = ∑ p∈PsuppdR(M) dimR/p=d `Rp(H 0 pRp (Mp))e(q, R/p). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 34 Chứng minh. Theo Định lí 2.1.6 ta có (ii)⇔ (iii), và theo Định lí 2.2.3 ta có (iii) ⇔ (iv). Mặt khác theo Hệ quả 2.2.5 ta có (iii) ⇒ (i). Như vậy ta chỉ cần chứng minh (i)⇒ (ii). Giả sử ngược lại, vành R/AnnR(Hdm(M)) không catenary. Do R/AnnR(H d m(M)) là một vành đẳng chiều có chiều d nên theo McAdam và Ratliff [11], tồn tại iđêan nguyên tố p ⊇ Ann(Hdm(M)) sao cho dim(R/p) + ht(p/AnnR(H d m(M))) < d. Ta khẳng định rằng dim(R/p) + dim(Mp) < d. Thật vậy, nếu giả sử ngược lại thì sẽ phải tồn tại iđêan nguyên tố q sao cho AnnRM ⊆ q ⊆ p và dim(R/p) + ht(p/q) = d. Vì thế dim(R/q) = d và do đó q ∈ AssM . Vì vậy q ∈ AttR(Hdm(M)) suy ra q ⊇ Ann(Hdm(M)). Điều này dẫn đến dim(R/p) + ht(p/AnnR(H d m(M))) = d vô lý. Vậy khẳng định được chứng minh. Từ khẳng định trên, ta có dim(Mp) < d − dim(R/p), điều này suy ra Hd−dim(R/p)pRp (Mp) = 0, tương đương với p /∈ PsuppdR(M). Lấy p1 ∈ min Var(AnnR(Hdm(M))) sao cho p1 ⊆ p. Khi đó p1 ∈ AttR(Hdm(M)) và do đó p1 ∈ AssM và dim(R/p1) = d. Suy raH d−dim(R/p1) p1Rp1 (Mp1) 6= 0, nghĩa là p1 ∈ PsuppdR(M). Do đó PsuppdR(M) không là tập đóng, điều này mâu thuẫn với giả thiết của (i). Vậy ta có điều cần chứng minh. Hơn nữa, nếu các điều kiện tương đương trong hệ quả này được thoả mãn thì do Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗) nên áp dụng Hệ quả 2.2.5, (iii) ta có ngay công thức liên kết với bội cho môđun Hdm(M). Theo Định lý 2.2.3, nếuH im(M) thoả mãn tính chất (∗) thì tậpPsuppiR(M) là tập đóng. Điều ngược lại theo Hệ quả 2.2.6 chỉ đúng cho trường hợp i = d và nhìn chung không đúng cho trường hợp i < d. Ta xét ví dụ sau. Ví dụ 2.2.7. Cho (R,m) là miền nguyên Noether địa phương được xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud [17] (xem thêm M. Nagata [12]) sao cho Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 35 dimR = 2 và dim R̂/q̂ = 1, với q̂ ∈ Ass R̂. Vì R là miền nguyên nên H0I (R) = 0 với mọi iđêan I của R. Do đó ta có Psupp0(R) = {p ∈ SpecR : H0−dimR/ppRp (Rp) 6= 0} = ∅, Psupp1(R) = {p ∈ SpecR : H1−dimR/ppRp (Rp) 6= 0} = {m}, và theo Hệ quả 2.2.6 Psupp2(R) = Usupp(R) = Var(AnnR(H 2 m(R))) = SpecR. Rõ ràng rằng tất cả các tập trên đều là tập đóng, nhưng theo [5] thì H1m(R) không thoả mãn tính chất (∗). 2.3 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn ở chương trước, ta đã nhắc lại khái niệm và một số tính chất của vành catenary phổ dụng và thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Trong tiết này, chúng ta sẽ khảo sát tính chất (∗) cho các môđun đối đồng điều địa phương H im(M) có cấp i < d, qua đó thu lại được một số kết quả về tính catenary phổ dụng của vành địa phương. Định lí dưới đây là một trong những kết quả chính của phần này. Định lý 2.3.1. Giả sử rằng H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Khi đó vành R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ AssM và vành R/AnnRM là catenary phổ dụng. Chứng minh. Lấy p ∈ AssRM và giả sử R/p là trộn lẫn. Khi đó theo Định nghĩa 1.5.4, tồn tại p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) và số nguyên k < d sao cho dim(R̂/p̂) = k < dim(R/p). Vì đồng cấu tự nhiên R −→ R̂ là phẳng nên theo [10, Định lý 23.2, (ii)], ta có Ass M̂ = ⋃ q∈AssM Ass(R̂/qR̂). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 36 Vì thế p̂ ∈ Ass M̂. Theo [2, Hệ quả 11.3.3], ta có (Ass M̂)k ⊆ AttR̂(Hkm(M)), trong đó ta ký hiệu tập (Ass M̂)k = {p̂ ∈ Ass M̂ : dim(R̂/p̂) = k}. Vì vậy từ dim(R̂/p̂) = k suy ra p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)), kéo theo p̂ ⊇ AnnR̂(Hkm(M)). Do đó theo Bổ đề 1.3.3, (iii) ta có N-dim(Hkm(M)) = dim(R̂/AnnR̂(H k m(M))) > dim(R̂/p̂) = k. Chú ý rằng theo Mệnh đề 1.4.6, (i), ta lại có N-dim(Hkm(M)) 6 k. Điều này suy ra N-dim(Hkm(M)) = k. Theo công thức về chiều Noether trong Mệnh đề 1.3.4, tồn tại một dãy phần tử x1, . . . , xk ∈ m sao cho độ dài của môđun 0 :Hkm(M) (x1, . . . , xk)R là hữu hạn. Đặt I = (x1, . . . , xk)R. Vì k < dim(R/p) nên ta có ht ( (I + p)/p ) 6 k < dim(R/p). Vì thế phải tồn tại iđêan nguyên tố q chứa I + p sao cho q 6= m. Điều này kéo theo AnnR(0 :Hkm(M) q) là m−nguyên sơ, vì vậy AnnR(0 :Hkm(M) q) 6= q. Mặt khác, vì p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) nên theo [10, Định lý 23.2, (i)], ta có p̂ ∩ R = p. Lại vì p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)) nên theo Mệnh đề 1.2.3,(i) ta có p ∈ AttR(Hkm(M)). Suy ra q ⊇ p ⊇ AnnR(Hkm(M)). Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết là H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Do đó điều giả sử là vô lý, tức R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ AssM . Phần còn lại của định lý là chứng minh R/AnnRM là vành catenary phổ dụng. Để chứng minh điều này, theo Bổ đề 1.5.6 (i)⇔ (ii), ta cần phải chứng minh vành R/p là tựa không trộn lẫn, với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRM. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 37 Thật vậy, lấy p ∈ Var(AnnRM). Khi đó tồn tại q ∈ min(AssM) sao cho q ⊆ p. Theo khẳng định đầu tiên của định lý, ta có R/q là không trộn lẫn. Vì R/p là đẳng chiều nên theo Bổ đề 1.5.5, (ii), ta có R/p ∼= (R/q)/(p/q) là tựa không trộn lẫn. Định lý trên cho ta ngay một hệ quả sau đây. Hệ quả 2.3.2. Giả sử rằng H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Khi đó Hdm(M) cũng thoả mãn tính chất (∗). Chứng minh. Chú ý rằng vành R/AnnR(H d m(M)) là vành thương của vành R/AnnR(M). Vì H i m(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d nên vành R/AnnRM là catenary phổ dụng theo Định lý 2.3.1. Vì vành thương của một vành catenary lại là vành catenary nên vành R/AnnR(H d m(M)) là vành catenary. Lại vì Var(AnnR(H d m(M))) = UsuppRM nên ta lại có tập giá không trộn lẫn UsuppRM cũng là catenary. Vì vậy, H d m(M) thoả mãn tính chất (∗) theo Định lý 2.1.6. Theo Hệ quả 2.2.4, nếu R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay thì H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i. Tuy nhiên, nếu thiếu một trong hai giả thiết đó thì điều này không còn đúng nữa. Ta xét ví dụ sau. Ví dụ 2.3.3. Tồn tại vành Noether địa phương (R,m) sao cho tồn tại chỉ số i < dimR đểH im(R) không thoả mãn tính chất (∗) nhưng hoặcR là catenary phổ dụng hoặc tất cả các thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay. Chứng minh. Cho (R,m) là miền nguyên địa phương Noether, catenary phổ dụng và có chiều dimR > 3 sao cho R̂ có một iđêan nguyên tố nhúng (xem [1, Ví dụ 3.1]). Theo Định lý 2.3.1, tồn tại i < dimR sao cho H im(R) không thoả mãn tính chất (∗) và R có vành thớ hình thức không Cohen- Macaulay. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 38 Trong [12], M. Nagata đã đưa ra một câu hỏi như sau: Cho (R,m) là miền nguyên Noether địa phương và p ∈ SpecR, nếu giả sửR là không trộn lẫn thì R/p có là không trộn lẫn không? Brodmann và Rotthaus [BR] đã xây dựng một miền nguyên Noether địa phương (R,m) chiều 3 thoả mãn điều kiện R̂ là miền nguyên và R̂/pR̂ có một iđêan nguyên tố nhúng với p ∈ SpecR. Điều này đã đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi của Nagata. Với miền nguyên này ta có thể kiểm tra môđun đối đồng điều địa phương H2m(R) không thoả mãn tính chất (∗). Vì vậy điều khẳng định ngược lại của Định lý 2.3.1 là không đúng. Kết quả dưới đây sẽ đưa ra một tiêu chuẩn cho tính không trộn lẫn của vành R/p với iđêan nguyên tố p ∈ SuppM . Định lý 2.3.4. Giả sử rằngM là không trộn lẫn vàH im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Khi đó vành R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppM sao cho dim(R/p) > d− 1. Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh khẳng định sau. Nếu iđêan nguyên tố gắn kết p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)) và dim(R̂/p̂) = k thì p̂ ∈ AssR̂(M̂). Thật vậy, vì R̂ là vành địa phương đầy đủ nên bằng lý luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.2.2 với chú ý rằng dim R̂p̂ = dim R̂− dim(R̂/p̂) = dim R̂− k, áp dụng đối ngẫu Matlis trong Mệnh đề 1.2.3, (ii) và Nguyên lý nâng địa phương [2, Định lý 11.3.2] cho iđêan p̂ và i = 0, ta có p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M))⇔ p̂R̂p̂ ∈ AttR̂p̂ ( H0 p̂R̂p̂ (M̂p̂) ) ⇔ p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extdim R̂−k R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂) ) ⇔ p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( (Extdim R̂−k R̂ (M̂, R̂))p̂ ) ⇔ p̂ ∈ AssR̂ ( Extdim R̂−k R̂ (M̂, R̂) ) ⇒ p̂ ∈ AssR̂ M̂. Bây giờ, ta chứng minh định lý. Theo giả thiết M là không trộn lẫn, nghĩa là dim(R/p) = d với mọi p ∈ AssM . Lấy p ∈ SuppM thỏa mãn Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 39 dim(R/p) > d − 1. Nếu dim(R/p) = d thì p ∈ AssM và do đó R/p là không trộn lẫn theo Định lý 2.3.1. Cho dim(R/p) = d− 1. Giả sử R/p là trộn lẫn, khi đó tồn tại p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) sao cho dim(R̂/p̂) = k < dim(R/p) = d− 1. VìM là không trộn lẫn nên mọi iđêan nguyên tố liên kết củaM đều có chiều d, do đó từ dim(R/p) = d− 1 suy ra phải tồn tại phần tử x ∈ p tránh tất cả các iđêan nguyên tố liên kết củaM , tức là x là phần tửM - chính quy. Ta có dim(M/xM) = d− 1 = dim(R/p). Suy ra p ∈ min(Ass(M/xM)). Theo [10, Định lý 23.2, (ii)] ta có AssR̂(M̂/xM̂) = ⋃ q∈AssR(M/xM) Ass(R̂/qR̂). Do đó p̂ ∈ AssR̂(M̂/xM̂), kết hợp điều kiện dim(R̂/p̂) = k ta có p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M/xM)) theo [2, Hệ quả 11.3.3]. Mặt khác từ dãy khớp ngắn 0 −→M x−→M −→M/xM −→ 0 ta có dãy khớp 0 −→ Hkm(M)/xHkm(M) −→ Hkm(M/xM) −→ 0 :Hk+1m (M) x −→ 0. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.2, (ii) ta có AttR̂(H k m(M/xM)) ⊆ AttR̂ ( Hkm(M)/xH k m(M) )∪AttR̂(0 :Hk+1m (M) x). Nếu p̂ ∈ AttR̂ ( Hkm(M)/xH k m(M) ) thì p̂ ∈ AttR̂(Hkm(M)). Vì vậy theo khẳng định ở trên ta có p̂ ∈ Ass M̂ . Do đó p = p̂ ∩ R ∈ AssM , mà dim(R/p) = d − 1, mâu thuẫn với M là không trộn lẫn. Như vậy ta có p̂ ∈ AttR̂(0 :Hk+1m (M) x). Suy ra p̂ ∈ Var(AnnR̂(Hk+1m (M))). Khi đó ta có N-dimR(H k+1 m (M)) > dim(R̂/p̂) = k theo Bổ đề 1.3.3. Mặt khác lại có N-dimR(H k+1 m (M)) 6 k + 1 theo Mệnh đề 1.4.6, (i). Vậy k 6 N-dimR(Hk+1m (M)) 6 k + 1. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 40 Nếu N-dimR(H k+1 m (M)) = k + 1 thì theo Bổ đề 1.3.3 tồn tại iđêan nguyên tố q̂ ∈ AttR̂(Hk+1m (M)) sao cho dim(R̂/q̂) = k + 1. Vì vậy lại theo khẳng định trên, q̂ ∈ Ass M̂ . VìM là không trộn lẫn nên dim(R̂/q̂) = d 6= k + 1, mâu thuẫn. Vậy N-dimR(H k+1 m (M)) = k. Mặt khác vì dim(R̂/p̂) = k và p̂ ∈ Var(AnnR̂(Hk+1m (M))) nên p̂ ∈ min AttR̂(Hk+1m (M)). Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có p = p̂ ∩R ∈ AttR(Hk+1m (M)). Do đó dim(R/AnnR(H k+1 m (M))) > dim(R/p) = d−1 > k = N-dimR(Hk+1m (M)). Điều này có nghĩa Hk+1m (M) không thoả mãn tính chất (∗) theo Mệnh đề 2.1.2, mâu thuẫn với giả thiết H im(M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Vậy R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppM và dim(R/p) > d− 1. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 41 Kết luận Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày lại và chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo "On the unmixedness and universal catenaricity of rings and local cohomology modules " của L. T. Nhàn và T. N. An ở tạp chí Đại số năm 2008 và một phần bài báo của N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module" trên tạp chí Communication in Algebra năm 2007. Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau. 1. Hệ thống lại một số tính chất của môđun Artin có liên quan đến nội dung của luận văn: cấu trúc, chiều, bội của môđun Artin; đối đồng điều địa phương, một số tính chất của vành thớ hình thức, vành catenary, catenary phổ dụng. 2. Giới thiệu tính chất (∗) (tính chất linh hoá tử) của môđun Artin và chứng minh đặc trưng tính catenary của tập giá không trộn lẫn UsuppM thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất. 3. Đặc trưng được tính chất (∗) của các môđun đối đồng điều địa phương H im(M), qua đó thu được tính đóng của tập giả support Psupp i R(M) và mở rộng được công thức liên kết với bội của M. Brodmann và R. Y. Sharp. 4. Cũng thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phuơng H im(M), đặc trưng tính chất catenary phổ dụng của vành R/AnnRM và tính chất không trộn lẫn của vành R/p, với p ∈ SuppRM . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 42 Tài liệu tham khảo [1] Brodmann, M. and R. Y. Sharp (1998), "Local Cohomology: An Alge- braic Introduction with Geometric Applications", Cambridge University Press, Cambridge. [2] Brodmann, M. and R. Y. Sharp (2002), "On the dimension and multiplic- ity of local cohomology modules", Nagoya Math. J, 167, pp. 217-233. [3] N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2007), "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module", Communication in Algebra, 35(5), pp. 1691-1701. [4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (1999), "Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules", East-West J. Math, 1 (2), pp. 179-196. [5] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math, 30 (2), pp. 121-130. [6] Kirby, D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2), 24 (2), pp. 47-57. [7] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2), 41 (2), pp. 419-429. [8] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica, 11, pp. 23-43. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 43 [9] Matlis, E. (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific J. Math., 8, pp. 511-528. [10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer- sity press. [11] McAdam, S. and L. J. Ratliff (1977), "Semi-local taut rings", Indiana Univ. Math. J, 26, pp. 73-79. [12] Nagata, M. (1962), "Local ring", Interscience, New York. [13] L. T. Nhan and T. N. An (2008), "On the unmixedness and universal catenaricity of rings and local cohomology modules", J. Algebra, 321, pp. 303-311. [14] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2), 26, pp. 269-273. [15] Sharp, R. Y. (1989), "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour", Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465. [16] Sharp, R. Y. (1990), "Steps in commutative algebra", Cambridge Uni- versity Press. [17] Ferrand, D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian", Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn