Luận văn Tích phân itô – wiener nhiều chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN  NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.DƯƠNG TÔN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU Chuyên ngành: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 1LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin dành cho bậc sinh thành và gia đình, những người đã nuôi dưỡng, giáo dục, động viên về tinh thần cũng như vật chất trong suốt quá tr ình học tập. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn – Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo những khó khăn, trở ngại trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu cùng quý Thầy, Cô trong Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và đặc biệt là các Thầy: TS Tô Anh Dũng, PGS.TS Nguyễn Bác Văn, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến , GS.TSKH Nguyễn Văn Thu đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian theo học Cao học tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy trong hội đồng chấm luận văn và Thầy phản biện đã đọc và đóng góp cho tôi những ý kiến quý báu. Tôi cũng không thể không kể đến sự giúp đỡ nh iệt tình của các bạn Cao học chuyên ngành Xác Suất Thống Kê khóa 16. Tp.Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2009 Tác giả Nguyễn Văn Cần 2LỜI MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng ta chủ yếu nghiên cứu về tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều, tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và lớp các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy. Trong đó tích phân ngẫu nhiên Itô - Wiener một chiều và tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều được xây dựng dựa trên các tính chất của quá trình Wiener (hay quá trình chuyển động Brown). Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Phần đầu trình bày về các kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc sử trong các phần tiếp theo của luận văn như là: không gian xác suất cơ sở, quá trình ngẫu nhiên liên tục, quá trình ngẫu nhiên đo được, các định lý hội tụ trong xác suất, vv… . Phần tiếp theo là nội dung nghiên cứu của luận văn, trong phần này ta đi xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ dựa vào việc xấp xỉ hàm bất kỳ đó bởi dãy hàm sơ cấp (hay hàm bậc thang), và trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều. Tiếp theo, ta đi nghiên cứu một số tính chất của vi phân ngẫu nhiên Itô, trong phần này ta đưa ra một số công thức vi phân ngẫu nhi ên Itô đặc biệt, nó là công cụ tuyệt vời cho việc tính các tích phân ngẫu nhiên hay phương trình vi phân ngẫu nhiên thường gặp trong toán tài chính cũng như trong kĩ thuật bởi ngày nay lý thuyết giải tích ngẫu nhiên đã xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực. Chương II: Phần đầu trình bày về việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itô lặp nghĩa là giữa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều và tích phân Itô lặp có mối liên hệ qua lại với nhau, như vậy để tính tích phân Itô – Wiener nhiều chiều thực chất là tính tích phân Itô lặp. Tiếp theo, trình bày về cách xác định đa thức Hermite v à các tính chất quan trọng của nó. Phần cuối là một kết quả rất đặc biệt, đó là mối liên hệ giữa tích phân ngẫu 3nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều. Chương III: Phần đầu trình bày về tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy, để xây dựng tích phân này trước hết ta đưa ra các khái niệm, tính chất của quá tr ình Lévy sau đó ta tiến hành xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy và đưa ra các tính chất cơ bản của tích phân này. Tiếp theo là trình bày phần ứng dụng của quá trình Lévy trong tài chính bằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến đổi Esscher là sự biến đổi từ độ đo xác suất cơ sở P tương đương địa phương độ đo Q theo quá trình mật độ t t dQZ dP  F ). 4Mục luc Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………………… …1 Lời nói đầu………………………………………………………………… ………2 Mục lục…………………………………………………………………… ……….4 Bảng ký hiệu……………………………………………………………… ……….8 Chương I: Tích Phân Itô – Wiener Một Chiều…………………….……..10 §1.1. Những khái niệm cơ bản……………………………………………… ……10 1.1.1. Định nghĩa  đại số………………………………………… ….....10 1.1.2. Định nghĩa không gian xác suất……… ……………………………..10 1.1.3. Định nghĩa biến ngẫu nhiên…………………………………… …....11 1.1.4. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên……………………………… …….11 1.1.5. Định nghĩa liên tục ngẫu nhiên………………………………… ……12 1.1.6. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được…………………………...12 1.1.7. Định nghĩa bộ lọc……………………………………………… ……12 1.1.8. Định nghĩa matingale…………………………………………… …..13 1.1.9. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được dần………………………13 1.1.10.Định nghĩa hội tụ theo xác suất………………………………… …...14 1.1.11.Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn………………………………… ….14 1.1.12.Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)………………………………..14 §1.2. Tích phân Itô – Wiener một chiều…………......…………………………...15 1.2.1. Định nghĩa lịch sử và tương lai của quá trình Wiener…..…………...15 1.2.2. Định nghĩa……………………………………………… …………...16 1.2.3. Định nghĩa…………………………………………… ……………...16 1.2.4. Định nghĩa không gian hàm bình phương khả tích..………………...16 1.2.5. Định nghĩa hàm sơ cấp.……………………………………………...17 1.2.6. Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp………………..17 51.2.7. Bổ đề xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp………………….......17 1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ………………..18 1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô…………………………..18 1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21 §1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô……………………………………………………...23 1.3.1. Định nghĩa………………………………………………… ………...23 1.3.2. Định lý công thức vi phân Itô một chiều…………………………….24 1.3.3. Ví dụ…………………………………………………… ……………28 1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên……...28 1.3.5. Ví dụ………………………………………………………… ………30 1.3.6. Tính chất công thức vi phân……………………………………… …31 1.3.7. Ví dụ…………………………………………………………… ……31 1.3.8. Tính chất công thức vi phân……………………………………… …32 1.3.9. Ví dụ……………………………………………………………… …33 1.3.10.Tính chất công thức tích phân từng phần………………………… …34 1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34 1.3.12.Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô…………………………….34 1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều………………………...35 §1.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… ...36 1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes………………......37 1.4.2. Ví dụ…………………………………………………………… ……39 1.4.3. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross………41 Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều……………………... ...44 §2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều…..…………………….. ...44 2.1.1. Định nghĩa hàm đối xứng……………………………………………44 2.1.2. Định nghĩa………………………………………………………… ...44 2.1.3. Ví dụ………………………………………………………… ………45 62.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp……………………………………… …45 2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều...……………………47 §2.2. Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48 2.2.1. Tính chất công thức đa thức hermite……………………………… ...48 2.2.2. Tính chất đệ qui…………………………………………………… ...49 2.2.3. Tính chất………………………………………………………… ......50 2.2.4. Tính chất trực giao………………………………………………… ...52 2.2.5. Tính chất đa thức Hermite biểu diễn thành tích phân Itô – Wiener nhiều chiều………………………………………………… ……......55 Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhiên…………58 §3.1. Quá trình Levy…………………………………………………………… ...58 3.1.1. Định nghĩa quá trình Levy……………………………………… …...58 3.1.2. Định lý các tính chấ t của quá trình Levy…………………………….58 3.1.3. Định lý biểu diễn Levy – Khintchine…………………………… …..60 §3.2. Tính chất Markov mạnh của quá trình Levy……………………………… ..60 3.2.1. Định nghĩa thời điểm dừng………………………………………… ..61 3.2.2. Bổ đề…………………………………………………………… ……61 3.2.3. Bổ đề……………………………………………………… …………62 3.2.4. Tính chất………………………………………………… …………..63 3.2.5. Tính chất……………………………………………… ……………..64 3.2.6. Định lý……………………………………………… ……………….65 §3.3. Tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy………………………………… 66 3.3.1. Định nghĩa tích phân hàm bậc thang……………………………… ...66 3.3.2. Tính chất……………………………………………… ……………..67 3.3.3. Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy…………… …69 3.3.4. Tính chất……………………………………………………… ……..69 3.3.5. Tính chất công thức tích phân từng phần…………………………… 70 73.3.6. Ví dụ…………………………………………………………… ……71 §3.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… ...71 3.4.1. Định nghĩa biến đổi Esscher………………………………………… 72 3.4.2. Tính chất…………………………………………………………… ..73 3.4.3. Tính chất………………………………………………………… …..74 3.4.4. Tính chất……………………………………………………… ……..76 3.4.5. Tính chất…………………………………………………… ………..78 Kết luận………………………………………………………………………… ...80 Tài liệu tham khảo...................................................................... ............................81 8BẢNG KÝ HIỆU d không gian Euclide d  chiều  dB Borel  đại số của d P hội tụ theo xác suất . .h c c hầu chắc chắn d bằng nhau theo phân phối  exp x xe  1A x hàm chỉ tiêu: = 1 nếu x A = 0 nếu x A X tF  trường sinh bởi biến ngẫu nhiên    , ,0Xt t sX X s t    F  toán tử Laplace: 2 2 d i i ff x     toán tử Gradient: 1 , , d f ff x x           0o t t hàm vô cùng bé có bậc cao hơn bậc của 0t t  B F  trường tích nhỏ nhất chứa các tập có dạng  0, t A với ,t A  F  chuẩn trong không gian Banach 9loc tương đương địa phương  mgf  hàm sinh moment  ˆ z hàm đặc trưng của phân phối  T Thời điểm dừng:     : , 0, .tt t      FT  kết thúc một chứng minh Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 10 CHƯƠNG I TÍCH PHÂN ITÔ - WIENER MỘT CHIỀU §1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn, ta nhắc lại những kiến thức cơ bản dưới dạng kết quả mà không chứng minh. Đây là những kiến thức cần thiết sử dụng cho các phần tiếp theo của luận văn này. Định nghĩa 1.1.1: σ − đại số Giả sử A là lớp nào đấy các tập con của Ω , khi đó A được gọi là σ − đại số (hay σ − trường) nếu: (i) Ω∈A ; (ii) cA A∈ ⇒ ∈A A ; (iii) 1 , 1,2,k k k A k A ∞ = ∈ = ⇒ ∈" ∪A A . Định nghĩa 1.1.2: Không gian xác suất Cho Ω là một tập hợp, F là một σ − đại số của các tập con trong Ω , và P là một độ đo trên F . Khi đó bộ ba ( ), , PΩ F được gọi là một không gian đo. Nếu ( ) 1P Ω = thì ( ), , PΩ F được gọi là không gian xác suất. Cho không gian xác suất ( ), , PΩ F , bất kỳ tập A∈F được gọi là biến cố (hay sự kiện) và [ ]P A được gọi là xác suất của biến cố A . Tập hợp tất cả những tập Borel trên d\ , ký hiệu là ( )d\B được gọi là Borel σ − đại số của d\ . Một hàm Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 11 thực ( )f x trên d\ được gọi là đo được nếu nó là ( )d −\B đo được. Ta nói F là độ đo xác suất trên d\ nếu F là một độ đo xác suất trên ( )( ), .d d\ \B Định nghĩa 1.1.3: Biến ngẫu nhiên Cho ( ), , PΩ F là không gian xác suất, một ánh xạ : dX Ω→ \ là một biến ngẫu nhiên trên d\ nếu nó là −F đo được, tức là ( ){ }: X Bω ω ∈ ∈F cho mỗi ( )dB∈ \B , trong đó ( )d\B là Borel σ − đại số của d\ . Cho ( )dB∈ \B , ta viết ( ):P X B⎡ω ω ∈ ⎤⎣ ⎦ tương đương ( )P X B∈ . Độ đo xác suất trên ( )d\B được gọi là phân phối trên d\ . Nếu hai biến ngẫu nhiên ,X Y trên d\ có cùng phân phối, tức là X YP P= thì ta viết d X Y= . Định nghĩa 1.1.4: Quá trình ngẫu nhiên Họ các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trên d\ : { }: 0tX t ≥ xác định trên cùng một không gian xác suất ( ), , PΩ F được gọi là một quá trình ngẫu nhiên. Để đơn giản ta thường ký hiệu nó là tX (hoặc bằng các ký hiệu sau: ( ) ( ) ( ), , ,tX t X X tω ω ). • Nếu cố định các thời điểm 1 2, 0 ... mt t t t≤ < < < khi đó: ( ) ( )1 1,..., m mP X t B X t B⎡ ⎤∈ ∈⎣ ⎦ sẽ xác định một độ đo xác suất trên ( )( )md\B . • Họ của các độ đo xác suất trên với mọi cách chọn 1,..., ;mt t m N∈ , được gọi là phân phối hữu hạn chiều của quá trình tX . Ta ký hiệu nó là: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 12 ( ) ( ) ( ) 1 ,..., 1 1 1 ,..., ,..., mt t m m m F x x P X t x X t x⎡ ⎤= < <⎣ ⎦ . (1.1) Định nghĩa 1.1.5: Liên tục ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên tX được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu: ( ) [ )lim 0; 0; 0,s ts t P X X t→ − > = ∀ > ∀ ∈ ∞ε ε (1.2) Định nghĩa 1.1.6: Quá trình ngẫu nhiên đo được Ta nói rằng quá trình tX là đo được nếu ánh xạ: ( ) ( ): , ,tX + +×Ω ⊗ →\ \B F B là đo được đối với −σ trường tích + ⊗B F . Trong đó + ⊗B F là −σ trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [ ]0,t A× với ,t A+∈ ∈\ F . • Mọi quá trình tX liên tục đều đo được. Định nghĩa 1.1.7: Bộ lọc (1) Họ các −σ trường con t ⊂F F được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa các điều kiện sau: i. 0s t s t⊂ ∀ ≤ ≤ < ∞F F (họ luôn tăng) (1.3) ii. 0 0t t+> = ∀ >∩ εε εF F (họ liên tục phải) (1.4) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 13 iii. Nếu A∈F và ( ) 00P A A= ⇒ ∈F (1.5) (2) Khi bổ sung vào không gian xác suất bộ lọc { }tF ta gọi đó là không gian được lọc và ký hiệu là ( )( ), , ,t PΩ F F . (3) Quá trình ngẫu nhiên { }: 0tX t ≥ được gọi là thích nghi với bộ lọc { }: 0t t ≥F nếu với mỗi 0, tt X≥ là t −F đo được. Định nghĩa 1.1.8: Matingale Cho quá trình ngẫu nhiên { }, 0tM t ≥ thích nghi với bộ lọc { }: 0t t ≥F thỏa các điều kiện sau: 0tE M t< ∞ ∀ ≥ (1.6) ( ) ./ 0h ct s sE M M s t= ∀ ≤ ≤ < ∞F (1.7) Khi đó tM được gọi là Mactingale đối với bộ lọc ( ),0 Mt s tM s t= σ ≤ ≤ =F F . Định nghĩa 1.1.9: Quá trình ngẫu nhiên đo được dần (i) Ta nói rằng quá trình tX là đo được dần nếu với mỗi 0t ≥ nó đo được với −σ trường tích [ ]0, Xtt ⊗B F , trong đó: [ ]0,tB là −σ trường Borel trên đoạn [ ]0,t , X tF là −σ trường sinh bởi biến ngẫu nhiên ( ) ( ), , 0Xt t sX X s t= ≤ ≤ω σF (1.8) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 14 (ii) Họ −σ trường { }: 0Xt t ≥F thường được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình tX , hay là lịch sử của tX . • Về −σ trường XtF ta có thể hiểu như tập hợp của tất cả các biến cố mà có thể nhận biết được sự xuất hiện của chúng nhờ quan sát hàm ngẫu nhiên của ta cho đến thời điểm t . Định nghĩa 1.1.10: Hội tụ theo xác suất Một dãy các biến ngẫu nhiên { }: 1,2,nX n = " trên d\ được gọi là hội tụ ngẫu nhiên hay hội tụ theo xác suất đến X nếu cho mỗi 0, lim 0.nn P X X→∞ ⎡ ⎤ε > − > ε =⎣ ⎦ (1.9) Ký hiệu là: P nX X→ . Định nghĩa 1.1.11: Hội tụ hầu chắc chắn Một dãy biến ngẫu nhiên { }nX được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến X , ký hiệu: . .nX X h c c→ nếu ( ) ( )lim 1nnP X X→∞⎡ ⎤ω = ω =⎣ ⎦ . (1.10) Định lý 1.1.12: Hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội) Nếu tất cả nX , với mọi ω , bị trội trong giá trị tuyệt đối bởi một biến ngẫu nhiên dương Y có kỳ vọng hữu hạn: ( ),nX Y n E Y≤ ∀ < ∞ (1.11) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 15 và . .nX Z h c c→ thì ( ) ( )nE X E Z→ khi n →∞ . (1.12) §1.2 TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER MỘT CHIỀU Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng tạm ký hiệu là ( ),b t a I f t dWω= ∫ , trong đó ( ),f t ω là một hàm ngẫu nhiên (hay quá trình ngẫu nhiên), còn tW là một quá trình Wiener. Do nhu cầu đó mà vào khoảng năm 1940 – 1941, nhà toán học K. Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên dựa theo nguyên tắc “ ánh xạ đẳng cự “, và tích phân này mang tên ông. Sau này tích phân ngẫu nhiên Itô đã được các nhà toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu về nó và đặc biệt là ứng dụng của nó trong lĩnh vực tài chính, chứng khoán, vv… Năm 2006, K. Itô đã được hội toán học thế giới tặng giải thưởng Gauss. Để xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều thì trước tiên ta định nghĩa tích phân Itô cho một hàm sơ cấp trong ( )2 0,L T , tiếp theo ta xấp xỉ một hàm ngẫu nhiên bất kỳ trong ( )2 0,L T bởi một dãy hàm sơ cấp trong ( )2 0,L T , sau đó qua phép toán lấy giới hạn ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ trong ( )2 0,L T . Cho ( )W • là quá trình Wiener xác định trên không gian xác suất ( ), , PΩ F . Định nghĩa 1.2.1: Lịch sử và tương lai của quá trình Wiener (i) −σ đại số ( ) ( )( ): | 0t W s s t= ≤ ≤W F gọi là lịch sử của quá trình Wiener theo thời gian t . Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 16 (ii) −σ đại số ( ) ( ) ( )( ): |t W s W t s t+ = − ≥W F gọi là tương lai của quá trình Wiener theo thời gian t . Định nghĩa 1.2.2: Họ ( )•F của −σ đại số ⊆ F gọi là thích nghi (đối với ( )W • ) nếu: (i) ( ) ( ) 0t s t s⊇ ∀ ≥ ≥F F (1.13) (ii) ( ) ( ) 0t t t⊇ ∀ ≥F W (1.14) (iii) ( )tF là độc lập của ( ) 0.t t+ ∀ ≥W Định nghĩa 1.2.3: Quá trình ngẫu nhiên thực ( )G • gọi là thích nghi (đối với ( )•F ) nếu mỗi 0t ≥ , ( )G • là ( )tF đo được. Định nghĩa 1.2.4: Không gian hàm bình phương khả tích (i) Ta ký hiệu ( )2 0,L T là không gian tất cả các hàm ngẫu nhiên ( )G • bình phương khả tích nhận giá trị thực sao cho: 2 0 . T E G dt ⎡ ⎤ < ∞⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (ii) Ngược lại, ( )1 0,L T là không gian tất cả các hàm ( )F • đo được liên tục nhận giá trị thực sao cho: 0 . T E F dt ⎡ ⎤ < ∞⎢ ⎥⎣ ⎦∫ Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 17 Định nghĩa 1.2.5: Hàm sơ cấp Hàm ( )2 0,G L T∈ gọi là hàm sơ cấp nếu tồn tại khoảng { }0 10 ... mt t t TΡ = = < < < = sao cho ( ) 1,k k kG t G t t t +≡ ≤ < ( )0,1,..., 1k m= − . Thì mỗi kG là biến ngẫu nhiên đo được ( )ktF bởi vì G là thích nghi. Định nghĩa 1.2.6: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp Cho ( )2 0,G L T∈ là hàm sơ cấp như trên, thì ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều như sau: ( ) ( )( )1 1 00 : T m k k k k G dW G W t W t − + = = −∑∫ (1.15) là tích phân ngẫu nhiên Itô của G trên khoảng ( )0,T . Bổ đề 1.2.7: Xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp Nếu ( )2 0,G L T∈ thì tồn tại dãy hàm sơ cấp ( )2 0,nG L T∈ sao cho 2 0 0. T nE G G dt ⎡ ⎤− →⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (1.16) Chứng minh Nếu ( ),t G t6 ω là liên tục hầu hết với mọi ω thì ta đặt ( ) [ ]1: , , 0,..., .n k k kG t G t k nT n n n +⎛ ⎞= ≤ < =⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.17) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 18 Tổng quát, ( )2 0,G L T∈ ta định nghĩa ( ) ( ) ( ) 0 : . t m s tmG t me G s ds−= ∫ (1.18) Thì ( ) ( )2 0, , ,m mG L T t G t∈ 6 ω là liên tục hầu hết với mọi ω và 2 0 0 T mG G dt− →∫ hầu chắc chắn. , Định nghĩa 1.2.8: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ Ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích và ( )F t đo được. Đối với một hàm bất kỳ trong lớp nêu trên sẽ tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên cơ bản hội tụ về nó, khi đó ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều bởi biểu thức: 0 0 : lim T T n n G dW G dW→∞=∫ ∫ tồn tại trong ( )2 0,L T . (1.19) Định lý 1.2.9: Các tính chất của tích phân Itô Cho ,a b∈\ và [ ]2, 0,G H L T∈ ta có: i. Tính chất tuyến tính của tích phân Itô: ( ) 0 0 0 T T T aG b H dW a G dW b H dW+ = +∫ ∫ ∫ . (1.20) ii. Tính chất kỳ vọng bằng không của tích phân Itô: 0 0 T E G dW ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ . (1.21) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 19 iii. Tính chất đẳng cự của tích phân Itô: 2 2 0 0 T T E G dW E G dt ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ ∫ . (1.22) iv. Tính chất bảo toàn tích vô hướng của tích phân Itô: 0 0 0 . T T T E G dW H dW E G H dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ . (1.23) Chứng minh i. Đặt ( ) ( ) ) ( ) ( ) ), 1 , 1 1 1 0 0 1 , 1 k k k k m m k kt t t t k k G t G t H t H t + + − − ⎡ ⎡⎣ ⎣= = = =∑ ∑ Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 00 T m k k k k k aG b H dW aG t b H t W t W t − + = + = + −∑∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 11 1 0 0 m m k k k k k k k k a G t W t W t b H t W t W t − − + + = = = − + −∑ ∑ 0 0 T T a G dW b H dW= +∫ ∫ . (1.24) ii. Giả sử ( ) kG t G≡ với 1k kt t t +≤ < thì ( ) ( )( )1 1 00 T m k k k k E G dW E G W t W t − + = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑∫ (1.25) Ta thấy kG là ( )ktF đo được và ( )ktF độc lập với ( )kt+W . Mặt khác, Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 20 ( ) ( )1k kW t W t+ − là ( )kt+W đo được và kG là độc lập với ( ) ( )1k kW t W t+ − vậy ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )1 1. 0k k k k k kE G W t W t E G E W t W t+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎣ ⎦⎣ ⎦ (1.26) vì ( ) ( )1 0k kE W t W t+⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (1.27) vậy 0 0 T E G dW ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (1.28) iii. ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 , 10 T m k j k k j j k j E G dW E G G W t W t W t W t − + + = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑∫ (1.29) • nếu j k< thì ( ) ( )1k kW t W t+ − độc lập với ( ) ( )( )1k j j jG G W t W t+ − . Vậy ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1k j k k j jE G G W t W t W t W t+ +⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1k j j j k kE G G W t W t E W t W t+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦⎣ ⎦ = 0 (1.30) • Nếu j k> ta cũng có kết quả tương tự. • Nếu j k= thì Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 21 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 22 1 00 1 122 2 2 1 1 0 0 0 . . 1.31 T m k k k k Tm m k k k k k k k k E G dW E G W t W t E G E W t W t E G t t E G dt − + = − − + + = = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑∫ ∑ ∑ ∫ iv. Ta có: 2 2 0 0 0 0 0 0 1 4 T T T T T T G dW H dW G dW H dW G dW H dW ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 4 4 T T T T G H dt G H dt G H G H dt G Hdt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − = + − − = ⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 0 0 0 T T T E G dW H dW E G H dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ , . (1.32) Ví dụ 1.2.10: Dùng định nghĩa để tính tích phân ( ) ( ) 0 T W u dW u∫ trong đó ( )W u là quá trình Wiener tiêu chuẩn với ( )0 0W = . Giải: Trên đoạn [ ]0,T ta xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ; 2 ; 1 1 . n W khi u T n W T n khi T n u T n u n T n T W khi u T n n ⎧ ≤ <⎪ ≤ <⎪⎪δ = ⎨⎪ ⎛ − ⎞ −⎪ ≤ <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ " (1.33) Ta định nghĩa: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 22 ( ) ( ) ( )1 00 1 lim T n n k k TkT kTW u dW u W W W n n n − →∞ = ⎡ ⎤⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∑∫ (1.34) để đơn giản, ký hiệu k kTW W n ⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟⎝ ⎠ nên ta được: ( ) ( ) ( )1 1 00 lim . T n k k kn k W u dW u W W W − +→∞ = = −∑∫ (1.35) Ta có: ( )1 1 1 12 2 21 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 n n n n k k k k k k k k k k n n n n j k k k j k k W W W W W W W W W W W − − − − + + + = = = = − − − + = = = − = − + = + − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 1 0 0 1 2 n n n k k k k k W W W W − − + = = = + −∑ ∑ ( )12 1 0 1 . 2 n n k k k k W W W W − + = = − −∑ (1.36) ( ) ( )1 1 221 1 0 0 1 1 2 2 n n k k k n k k k k W W W W W W − − + + = = ⇒ − = − −∑ ∑ (1.37) hay ( )1 0 1n k k TkT kTW W W n n n − = ⎡ ⎤⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ( ) ( ) 2 1 2 0 11 1 . 2 2 n k k T kTW T W W n n − = ⎡ ⎤⎛ + ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∑ (1.38) Lấy giới hạn hai vế khi n →∞ , ta được: ( ) ( ) ( )2 0 1 1 . 2 2 T W u dW u W T T= −∫ (1.39) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 23 • Trong giải tích ngẫu nhiên ta sẽ có các đẳng thức sau: i. .t tdW dW dt= với tW là quá trình Wiener. ii. , ,. 0,i t j tdW dW i j= ≠ với , ,,i t j tW W là độc lập. iii. . 0tdW dt = . iv. . 0dt dt = . §1.3 VI PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ Công thức Itô là chìa khóa để tính và ước lượng tích phân ngẫu nhiên, để thực hiện các biến đổi ngẫu nhiên, để chứng minh và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên, đặc biệt nó là công cụ rất mạnh để tính toán trong toán tài chính. Định nghĩa 1.3.1: Cho quá trình ngẫu nhiên tX có vi phân ngẫu nhiên Itô: ( ) ( ), ,t td X t dt t dWα ω β ω= + (1.40) với ( ),tα ω là tham số dịch chuyển, ( ),tβ ω là tham số tán xạ. Trong đó: ( ) ( ) ( )hX t X t h X tΔ = + − với h là khoảng thời gian rất nhỏ thì: ( ) ( ) ( ) 0 1lim | ,hh E X t X t th ω α ω→ ⎡Δ = ⎤ =⎣ ⎦ (1.41) ( )( ) ( ) ( )2 2 0 1lim | ,hh E X t X t th ω β ω→ ⎡ ⎤Δ = =⎣ ⎦ (1.42) ( ) ( ) 0 1lim | 0, 3,4,... r hh E X t X t r h→ ⎡ ⎤Δ = = =⎣ ⎦ω (1.43) • Khi có (1.40) thì ta suy ra một cách tương đương: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 24 ( ) ( ) 0 0 0 0, , t t t s t t X X s ds s dW t t Tα ω β ω= + + < <∫ ∫ (1.44) Nhận xét: (1.40) và (1.44) là tương đương nhau. Định lý 1.3.2: Công thức vi phân ngẫu nhiên Itô một chiều Cho tX có dạng (1.40) và ( ) 2, :t xϕ →\ \ là hàm một lần khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên ( ),t tK t Xϕ= có vi phân Itô tính theo công thức sau: ( ) ( ) ( ) ( )2 221, , , . ,2t t t t td K t X dt t X dX t X t dtt x x ϕ ϕ ϕ β ω∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ (1.45) hay viết cách khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 , , , , . , 2 , , t t t t t t dK t X t t X t X t dt t x x t t X dW x ϕ ϕ ϕα ω β ω ϕβ ω ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.46) Chứng minh Ta có (1.46) tương đương với ( ),t tK t Xϕ= ( ) ( ) ( ) ( )2 20 2 0 0 10, , , , 2 t t sX t t ds t dWs x x x ϕ ϕ ϕ ϕϕ α ω β ω β ω⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ (1.47) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 25 Vậy để chứng minh (1.46) tương đương với chứng minh (1.47). Ta giả sử rằng 2 2, , ,t x x ϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ là giới nội (hay bị chặn), bởi vì nếu (1.47) được chứng minh cho trường hợp này thì ta cũng nhận được trường hợp tổng quát bằng cách xấp xỉ bởi các hàm nϕ sao cho 2 2, , , n n n n t x x ϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ là giới nội với mỗi n và hội tụ đều trên các tập compắc trên 2\ đến các hàm 2 2, , ,t x x ϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ . Áp dụng công thức khai triển Taylor ta có: ( ) ( ) ( )0, 0, ,t j j j t X X t Xϕ ϕ ϕ= + Δ∑ ( )00, j j j j X t X t x ϕ ϕϕ ∂ ∂= + Δ + Δ∂ ∂∑ ∑ ( ) ( )( ) ( )2 2 22 22 21 12 2j j j j jj j j jt t X X Rt t x xϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂+ Δ + Δ Δ + Δ +∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ ∑ (1.48) trong đó các đạo hàm , , t x ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ " là được tính tại các điểm ( ),j jt X , ( ) ( ) ( )1 11 1, , , , ,j j j jj j j j t t j j j t j tt t t X X X t X t X t Xϕ ϕ ϕ+ ++ +Δ = − Δ = − Δ = − và 2 2 j j jR o t X ⎛ ⎞= Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠ với mọi 1; j jj t tj W W W+Δ = − . Nếu 0jtΔ → thì ( ) ( ) 0 , ,j tj t s j j j j t X s X t t ds t t s ϕ ϕϕ ∂ ∂∂ ⋅Δ = ⋅Δ →∂ ∂ ∂∑ ∑ ∫ (1.49) ( ) ( ) 0 , ,j tj t s j j s j j t X s X X X dX x x x ϕ ϕϕ ∂ ∂∂ ⋅Δ = ⋅Δ →∂ ∂ ∂∑ ∑ ∫ (1.50) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 26 ( )2 221 02 jj ttϕ∂ Δ →∂∑ (1.51) ( )( )2 0j j j t X t x ϕ∂ Δ Δ →∂ ∂∑ (1.52) ta ký hiệu: ( ) ( ), , ,t tα α ω β β ω≡ ≡ , ( ) ( ), , , j jt j t j t tα α ω β β ω≡ ≡ . Vì t td X dt dWα β= + hay t tX t Wα βΔ = Δ + Δ nên ( ) ( ) ( )( )2 2 22 222 2 22j j jj t j t t j j j j j X t t W x x x ϕ ϕ ϕα β α∂ ∂ ∂Δ = Δ + Δ Δ∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ ( )2 222 jt j j W x ϕ β∂+ Δ∂∑ . (1.53) Hai số hạng đầu tiên trong (1.53) dần đến 0 khi 0jtΔ → . Thật vậy, chẳng hạn xét số hạng thứ hai, ta có: ( )( ) ( )2 22 2 32 2 0j j j jt t j j t t j j j E t W E t x x ϕ ϕα β α β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥Δ Δ = ⋅ Δ →⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ khi 0jtΔ → , vì ( ) ( )1 22 1 .j jj t t j j jE W E W W t t t+ +Δ = − = − = Δ Số hạng thứ nhất 0→ là hiển nhiên. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng, số hạng thứ ba trong vế trái của (1.53) dần tới 2 2 2 0 1 2 t s dsx ϕβ∂∂∫ trong ( )2L Ω khi 0jtΔ → . Muốn vậy, ta đặt ( ) ( ) ( )2 22, ,t j jt Xa t a a txϕ β∂= =∂ và ta xét đại lượng sau: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 27 ( ) ( )( ) ( )( )22 22 , j j j j i j i i j j j j i j E a W a t E a a W t W t ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ − Δ = Δ − Δ Δ − Δ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ . (1.54) Nếu i j≠ thì ( )( )2i j i ia a W tΔ − Δ và ( )( )2j jW tΔ − Δ là độc lập với nhau. Do đó, các số hạng triệt tiêu với nhau, vì ( )2i iE W tΔ = Δ và ( )2j jE W tΔ = Δ . Nếu i j= , khi đó đại lượng trên chỉ còn lại ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 4 2 22 2 2j j j j j j j j j j E a W t E a E W W t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ − Δ = ⋅ Δ − Δ Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 32 3 2 0j j j j j j j j E a t t t E a t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ Δ − Δ + Δ = ⋅ Δ →⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ khi 0jtΔ → . (1.55) Vậy ta có: ( )2 0 0 t j j s j E a W a ds ⎡ ⎤Δ − →⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ (1.56) hay: ( ) ( ) ( )22 0 t L P j j j a W a s dsΔ ⎯⎯⎯→∑ ∫ khi 0jtΔ → . (1.57) Tóm lại, trong khai triển Taylor ở trên ta có các số hạng (1.49), (1.50), (1.51), (1.52), (1.53) dần đến các giới hạn như sau: ( ) 0 , (1.49) t ss X ds s ϕ∂→ ∂∫ , 0 0 0 (1.50) t t t s sdX dW dsx x x ϕ ϕ ϕβ α∂ ∂ ∂→ = +∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ , (1.51) 0, (1.52) 0→ → , Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 28 ( )2 2( ) 22 0 0 1 1(1.53) 2 2 t t L P a s ds ds x ϕβ∂⎯⎯⎯→ = ∂∫ ∫ . Ta cũng có 0jj R →∑ . Do đó (1.49) + (1.50) + (1.51) + (1.52) + (1.53) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 2 0 0 10, , , , 2 t t sX t t ds t dWs x x x ϕ ϕ ϕ ϕϕ α ω β ω β ω⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ . , Ví dụ 1.3.3: Sử dụng công thức vi phân Itô để tính tích phân 0 t s sW dW∫ . Giải Xét hàm ( ) 21, 2t t f W t W= , theo công thức vi phân Itô ta có: ( ) 1, 2t t tdf W t dt W dW= + (1.58) ( ) 0 0 0 1, 2 t t t t s sdf W t dt W dW⇒ = +∫ ∫ ∫ (1.59) 2 0 1 1 2 2 t t s sW t W dW⇒ = + ∫ (1.60) 2 0 1 1 . 2 2 t s s tW dW W t⇒ = −∫ (1.61) Tính chất 1.3.4: Vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho tX là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )1 1, ,t tdX t dt t dWα ω β ω= + . (1.62) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 29 Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.63) Ta có công thức: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + . (1.64) Chứng minh Ta có ( ) ( )2 22 2 2 22 2t t t t t t t t t t t tX Y X X Y Y X Y X Y X Y+ = + + ⇔ = + − − . Lấy vi phân 2 vế ta được: ( ) ( )2 2 22 t t t t t td X Y d X Y dX dY= + − − . (*) Trong đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 1 22 1 2 2 , , 2 , , 2 , , . t t t t t t t t t t t t dX X dX t dt dY Y dY t dt d X Y X Y d X Y t t dt β ω β ω β ω β ω ⎧ = +⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪⎪ + = + + + +⎩ Thay vào (*) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 , , 2 , 2 , t t t t t t t t t t d X Y X Y d X Y t t dt X dX t dt Y dY t dt β ω β ω β ω β ω = + + + + − + − + = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 1 2 22 , 2 , , ,t t t tX Y dX dY t t t t dtβ ω β ω β ω β ω+ + + + + Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 30 ( )( ) ( )( )2 21 22 , 2 ,t t t tX dX t dt Y dY t dtβ ω β ω− + − + ( ) ( )1 22 2 2 , ,t t t tY dX X dY t t dtβ ω β ω= + + . Suy ra: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + . , Ví dụ 1.3.5: Cho quá trình ngẫu nhiên 2 ,t tX W= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 2t t tdX dt W dW= + . (1.65) Cho quá trình ngẫu nhiên 2 ,tWtY t e= + + trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 11 2 t tW W t tdY e dt e dW ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . (1.66) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của tích t tX Y⋅ . Giải Ta có: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + ( )( )2 11 2 2 22 t t t tW W W Wt t t t tW e dt e dW t e dt W dW W e dt⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )2 211 2 2 2 22 t t t t tW W W W Wt t t t tW e t e W e dt W e W t e dW⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )2 22 1 2 2 2 2 2 t tW Wt t t t t t We W W t dt W e W t dW ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ . (1.67) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 31 Tính chất 1.3.6: Vi phân của nghịch đảo quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.68) Ta có công thức: ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 1 , , t t t t t d t dt t dW Y Y Y β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.69) Chứng minh Ta xét ( ) 1,t X X ϕ = thì: 0 t ϕ∂ =∂ , 2 2 2 3 1 2, X X X X ϕ ϕ∂ ∂= − =∂ ∂ suy ra ( )222 3,1 1 t t t t t d dY dt Y Y Y β ω⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 , , t t t t t dt t dW Y Y β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ . , (1.70) Ví dụ 1.3.7: Cho quá trình ngẫu nhiên ,tWtY e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 1 2 t tW W t tdY e dt e dW= + . (1.71) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của 1 tY . Giải Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 32 Ta có: ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 1 , , t t t t t d t dt t dW Y Y Y β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 1 1 2 t t t t t t Y Y dt Y dW Y Y ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 1 2 tt t dt dW Y Y = − 1 1 2 t t tW W dt dW e e = − . (1.72) Tính chất 1.3.8: Vi phân của thương hai quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho tX là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )1 1, ,t tdX t dt t dWα ω β ω= + . (1.73) Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.74) Ta có công thức: ( ) ( ) ( )2 122 3, ,, t tt t t t t t t t t X t YX Y dX X dYd t dt Y Y Y β ω β ωβ ω⎛ ⎞ −−= +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.75) Chứng minh Ta có ( ) ( )21 2,1 1 1. ,t t t t t t t t t tXd d X X d dX t dt Y Y Y Y Y β ωβ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )22 1 22 3 2, , ,1 1t t t t t t t t t t X dY dt dX dt Y Y Y Y β ω β ω β ω⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )22 1 23 2 2, , , 1 tt t t t t t t t t t XX dt dt dX dY Y Y Y Y β ω β ω β ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ . , (1.76) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 33 Ví dụ 1.3.9: Cho quá trình ngẫu nhiên ,taWtX e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 21 2 t taW aW t tdX a e dt a e dW= + . (1.77) Cho quá trình ngẫu nhiên ln ,tW atY e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: ( )21 ln ln 2t t t t dY a Y dt Y a dW= + . (1.78) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của thương t t X Y . Giải Ta có: ( ) ( ) ( )2 122 3, ,, t tt t t t t t t t t X t YX Y dX X dYd t dt Y Y Y β ω β ωβ ω⎛ ⎞ −−= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )22 2 1 1ln ln 2 2t t t t t t t t t Y aX dW a X dt X Y a dW a Y dt Y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ( ) ( ) 2 2 2 3 1 1ln . .1 2 2ln 2 t t t t t t a Y X a Y X a Y dt Y − + ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 22 21 1ln ln ln ln2 4t ttt tX Xa a dW a a dt a a a dtY Y⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( )( ) ( )2 221 1ln ln 1 ln2 2t ttX a a dW a a a dtY ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2ln 21 1ln 1 ln ln .2 2tW a a te a a a dt a a dW− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.79) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 34 Tính chất 1.3.10: Công thức tích phân từng phần Giả sử ( ) ( ),f s f sω = chỉ phụ thuộc vào s và f là hàm bị chặn trên đoạn [ ]0,T khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 0 0 . T T s t sf s dW f t W W df s= −∫ ∫ (1.80) Chứng minh Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 T T s sf s dW f s f T f T dW= − − + −∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) 0 0 T T s sf T f s dW f T dW= − − +∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 T T T s s s dW f u du f T dW′= − +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 T u T s sf u du dW f T dW′= − +∫ ∫ ∫ ( )( ) ( )( )0 0 0 T u Tf u W W du f T W W′= − − + −∫ ( ) ( ) 0 . T T uW f T W df u= − ∫ , (1.81) Ví dụ 1.3.11: Tính tích phân 0 T ssdW∫ . Giải Áp dụng công thức từng phần ta có: 0 0 . T T s T ssdW T W W ds= −∫ ∫ . (1.82) Tính chất 1.3.12: Công thức vi phân vectơ – Itô Nếu ( )1,2 df C +∈ ×\ \ và tWJJG là quá trình Wiener trong d\ thì Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 35 ( ) ( ) ( ) ( )1, , , , ,2t t t t t tdf t W f t W dt f t W dW f t W dt= +∇ + ΔJJG JJG JJG JJG JJG (1.83) trong đó: 2 2 1 d i f x= ∂Δ = ∂∑ là toán tử Laplace, còn 1 , , d f f x x ⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ " là toán tử Gradient. Tính chất 1.3.13: Công thức vi phân Itô nhiều chiều Cho quá trình ngẫu nhiên n chiều tX thỏa 1 1 1 11 1 1 1 ... ... m t t m t n m t n n t nm t dX u dt v dW v dW dX u dt v dW v dW = + + + = + + + # # # (1.84) hay viết dưới dạng t tdX udt vdW= + , trong đó 1 1 11 11 1 , , , t m t t t n m n n nmt t X v v Wu X u v W u v vX W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ … # # # # # " . Cho ( ) ( ) ( )( ) [ )1, , ,..., , : 0, d ppg t x g t x g t x= ∞ × →\ \ , thì quá trình ( ) ( )( ),Y t g t X t= có công thức vi phân ngẫu nhiên Itô ( ) ( ) ( )2 , 1, , , . 2 k k k k i i j i i ji i j g g gdY t X dt t X dX t X dX dX t x x x ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ (1.85) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 36 §1.4 ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Khái niệm hợp đồng Quyền Chọn Mua: Người mua có thể mua “ một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo trước ”. Cái quyền cho phép có thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậy trong tương lai thì được gọi là Quyền Chọn Mua. Các điều kiện của hợp đồng này là: • Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng có thể trả cho người viết hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. • Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người viết phải giao cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn. Lưu ý rằng người giữ hợp đồng có một Quyền Chọn đầu tư. Nếu người đó không muốn có một cổ phần thì người đó sẽ tránh không trả khoản chi phí thực thi. Hiển nhiên là điều đó xảy ra nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn thấp hơn giá thực thi. Và nếu người giữ thấy rằng giá cổ phiếu cao vào ngày đáo hạn, chắc chắn là người đó sẽ trả chi phí ấy và có được một cổ phần có giá trị. Khi đó ta nói rằng Quyền Chọn được thực thi. Quyền Chọn Mua kiểu Châu Âu là người giữ hợp đồng chỉ có thể sử dụng nó vào ngày đáo hạn. Khái niệm Bảo hộ giá: là một phương tiện để giảm thiểu tối đa những rủi ro tài chính hay Bảo hộ giá cũng có nghĩa là hạn chế rủi ro. Bảo hộ giá delta: Nếu ký hiệu giá Quyền Chọn là C còn giá cổ phiếu là S thì ta có: C S ∂Δ = ∂ nghĩa là Bảo hộ delta chính là sự cân bằng giữa sự thay đổi giá Quyền Chọn và giá cổ phiếu để triệt tiêu tác động của những thay đổi đó. Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 37 Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes, đã công bố một bài báo quan trọng về định giá Quyền Chọn. Từ đó ra đời mô hình Black – Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Ngay lập tức, mô hình đó cùng với công thức Black – Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã có một tác động có tính chất cách mạng đến các thị trường chứng khoán tại Mỹ lúc đó. Người ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường. Năm 1996, Scholes đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế (lúc đó Black đã mất) nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác của R.C. Merton, một chuyên gia lão luyện về Toán tài chính tại Viện Công nghệ Massachusetts. Gọi tS là giá cổ phiếu tại thời điểm t , vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi tS là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục ( ),tS S t= ω . Mô hình Black – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau: .t t t tdS S dt S dW= μ + σ Trong đó ,μ σ là những hằng số, còn tW là quá trình Wiener. 1.4.1 Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes Sở hữu của nhà đầu tư: một nhà đầu tư với sở hữu ban đầu là 0X và ở thời điểm t giữ ( )tΔ cổ phần của cổ phiếu ( ( ) 0t t tΔ = − là khoảng thời gian từ thời điểm bắt đầu 0t cho đến thời điểm đáo hạn t ). tS là giá của cổ phiếu được xác định bởi mô hình chuyển động Brown hình học: .t t t tdS S dt S dW= μ + σ (1.86) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 38 ( )tΔ có thể là ngẫu nhiên. Nhà đầu tư tài chính có thể mượn tiền hoặc là cho mượn tiền với tỉ lệ lãi suất là r . Ký hiệu tX là sở hữu của nhà đầu tư ở thời điểm t . Thì ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) . t t t t t t t t t t t t t dX t dS r X t S dt t S dt S dW r X t S dt rX dt t S r dt t S dW = Δ + − Δ = Δ μ + σ + − Δ = + Δ μ − + Δ σ ( )( )( ) ( ) .t t t trX t r S dt S t dW= + Δ μ − + σ Δ (1.87) Giá của một quyền chọn: Xem xét một quyền chọn kiểu Châu Âu với giá ( )Tg S ở thời điểm T . Ký hiệu ( ),v t x là giá của quyền chọn này ở thời điểm t nếu giá cổ phiếu tS x= . Hay nói cách khác giá của quyền chọn này ở thời điểm [ ]0,t T∈ là ( ), .tv t S Lấy vi phân của hàm này ta được: ( ) ( ) 2 2 1, 2 1 2 t t x t xx t t t x t t t xx t dv t S v dt v dS v dS dS v dt v S dt S dW v S dt ′ ′ ′′= + + ′ ′ ′′= + μ + σ + σ 2 21 . 2t t x xx t t x t v S v v S dt S v dW⎛ ⎞′ ′ ′′ ′= + μ + σ + σ⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.88) Danh mục đầu tư bảo hộ bắt đầu với sở hữu 0X và sau khi đầu tư sẽ sở hữu tX ở mỗi lần chọn giá ( ), .tv t S Chắc chắn rằng ( ), ;t tX v t S t= ∀ , ta đồng nhất hệ số hai vế phương trình vi phân. Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 39 Đồng nhất theo hệ số tdW ta được công thức bảo hộ delta: ( ) ( ), .x tt v t S′Δ = (1.89) Đồng nhất theo hệ số dt ta được: ( )( )2 21 . 2t t x t xx t t v S v S v rX t r S′ ′ ′′+ μ + σ = + Δ μ − (1.90) Do ( ) ( ),x tt v t S′Δ = và ( ), ;t tX v t S t= ∀ nên ta suy ra: ( )2 21 . 2t t x t xx x t v S v S v rv v r S′ ′ ′′ ′+ μ + σ = + μ − (1.91) 2 21 . 2t t x t xx rv v rS v S v′ ′ ′′⇒ = + + σ (1.92) • Kết luận v là nghiệm của phương trình vi phân Black – Scholes: ( ) ( ) ( ) ( )2 21, , , , 2t x xx r v t x v t x r xv t x x v t x′ ′ ′′= + + σ (1.93) và thỏa điều kiện cuối ( ) ( ), .v T x g x= (1.94) Nếu một người đầu tư bắt đầu với ( )0 00,X v S= và sử dụng bảo hộ delta ( ) ( ),x tt v t S′Δ = thì người ấy sẽ có ( ), ;t tX v t S t= ∀ và đặc biệt ( )T TX g S= . 1.4.2 Ví dụ Một nhà đầu tư một lượng tiền vào cổ phiếu thì lượng tiền này sẽ thay đổi theo thời gian và được mô tả bởi quá trình ngẫu nhiên tX có phương trình vi phân ngẫu nhiên thỏa mô hình Black – Scholes: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 40 t t t tdX X dt X dW= μ + σ , trong đó ,μ σ là hằng số. (1.95) ⇒ t t t dX dt dW X = μ + σ (1.96) Để giải phương trình này ta áp dụng công thức Itô cho hàm ( ), ln , 0.g t x x x= > Ta có: ( ) ( )2 221 1 1 1ln 2 2tt t tt t t dXd X dX X dt dt X X X ⎛ ⎞= + − σ = − σ⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.97) ( ) 21ln 2 t t t dX d X dt X ⇒ = + σ . (1.98) Suy ra: ( ) 21ln 2t d X dt+ σ = tdt dWμ + σ . (1.99) Lấy tích phân hai vế từ 0t đến t ta được: ( ) 0 0 0 0 21ln 2 t t t t t t t t t t d X dt dt dW+ σ = μ + σ∫ ∫ ∫ ∫ (1.100) ( ) ( )0 0 2 0ln 2 t t t t X t t W W X ⎛ ⎞σ⇒ = μ − − + σ −⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.101) suy ra: ( ) ( )0 02 0exp .2t t t tX X t t W W⎧ ⎫⎛ ⎞σ⎪ ⎪= μ − − + σ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ (1.102) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 41 1.4.3 Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross Mô hình Cox – Ingersoll – Ross cho ta tính lãi suất trong tài chính được mô tả như sau: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,dr t a b cr t dt r t dW t= − + σ (1.103) trong đó , , ,a b c σ và ( )0r là những hằng số dương. Công thức tích phân tương ứng là: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 . t t r t r a b cr u du r u dW u= + − + σ∫ ∫ (1.104) Ta áp dụng công thức Itô để tính ( )2dr t , nghĩa là ( )( )df r t trong đó ( ) 2f x x= 0; 2 ; 2.t x xxf f x f′ ′ ′′⇒ = = = Vậy ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 dr t df r t f r t dr t f r t dr t dr t = ′ ′′= + ( ) ( ) ( ) ( )32 2 22 2 2 .ab r t dt acr t dt r dW t= + σ − + σ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22r t a b cr t dt r t dW t a b cr t dt r t dW t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + σ + − + σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 222 2 2abr t dt acr t dt r t dW t r t dt= − + σ + σ (1.105) ( )2dr t⇒ ( ) ( ) ( ) ( )32 2 22 2 2 .ab r t dt acr t dt r dW t= + σ − + σ (1.106) Kỳ vọng của ( )r t . Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 42 Từ phương trình ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 , t t r t r a b cr u du r u dW u= + − + σ∫ ∫ lấy kỳ vọng hai vế ta được: ( ) ( ) ( )( ) 0 0 . t Er t r a b cEr u du= + −∫ (1.107) Lấy vi phân hai vế ta được: ( ) ( )( ) ( )d Er t a b cEr t ab acEr t dt = − = − . (1.108) Suy ra ( ) ( ) ( ) .act act actd de Er t e acEr t Er t e ab dt dt ⎡ ⎤⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.109) Lấy tích phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) 0 0 1 . t act acu actbe Er t r ab e du e c − = = −∫ (1.110) Suy ra ( ) ( )0 .actb bEr t e r c c − ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.111) Phương sai của ( )r t . Lấy tích phân hai vế của (1.106), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 . t t t r t r ab r u du ac r u du r u dW u= + + σ − + σ∫ ∫ ∫ (1.112) Lấy kỳ vọng hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0 0 0 2 2 . t t Er t r ab Er u du ac Er u du= + + σ −∫ ∫ (1.113) Lấy vi phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 .d Er t ab Er t acEr tdt = + σ − (1.114) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 43 suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 .act act actd de Er t e acEr t Er t e ab Er tdt dt⎡ ⎤= + = + σ⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.115) Lấy tích phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 2 0 0 . 2 act act act b b b bEr t r e ac c c ac c b br e r e c ac ac c − − − ⎛ ⎞σ σ⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.116) Suy ra ( ) ( ) ( )( )22var r t Er t Er t= − ( ) ( )2 2 22 22 0 0 .2 2act act b b br e r e ac c ac ac c − −σ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.117) Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 44 CHƯƠNG II TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU § 2.1. TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU Định nghĩa 2.1.1: Hàm đối xứng Hàm thực : [0, ]ng T →\ được gọi là đối xứng nếu 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) n n g x x g x xσ σ = (2.1) với mọi hoán vị σ của (1 , 2,…, n). Định nghĩa 2.1.2: 2 2 1 1([0, ] ) [0, ] : ( ,..., ) ... .n n n nL T T g g x x dx dx= < ∞∫ (2.2) Ta ký hiệu 2 ([0, ] )nL T  là không gian các hàm tích phân bình phương khả tích đối xứng trên khối [0, ]nT . • Đặt 1 1 2{( ,..., ) [0, ] :0 ... }.nn n nS x x T x x x T= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2.3) Tập nS chiếm 1 !n thể tích của khối [0, ]nT . • Nếu 2 ([0, ] )ng L T∈  thì Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 45 2 2 2 22 1 1([0, ] ) ( ) ! ( ,..., ) ... !n n n nL T L S n g n g x x dx dx n g S = =∫ (2.4) • Nếu f xác định trên khối [0, ]nT thì định nghĩa 11 1( ,..., ) ( ,..., ) ! nn f x x f x x n = ∑ σ σ σ (2.5) trong đó xích ma là tổng tất cả các hoán vị σ của (1,2,…,n). Chú ý rằng: f f= nếu và chỉ nếu f là đối xứng. Ví dụ 2.1.3: Cho 121 2 1 2( , ) 2 xf x x x x e= + thì 1 22 21 2 1 2 2 11( , ) (2 2 )2 x xf x x x x x e x e= + + + (2.6) Định nghĩa 2.1.4: Tích phân Itô lặp Nếu f xác định trên ( 1)nS n ≥ sao cho ( )22 2 1 1( ) : ,..., ...n n n nL S S f f t t dt dt= < ∞∫ , thì ta định nghĩa tích phân Itô lặp như sau: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2 0 0 0 0 ( ) : ,..., ... nt t tT n n nJ f f t t dW t dW t dW t ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫" (2.7) • Áp dụng tính đẳng cự của tích phân Itô ta được: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 46 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 0 0 0 ,..., nt tT n n nE J h E h t t dW t dW t ⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫" " ( ) ( ) ( )2 2 1 1 0 0 0 , , nt tT n n nE h t t dW t dW t dt ⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫" " " ( ) ( ) 2 2 22 1 1 0 0 0 , , n n t tT n n L S h t t dt dt h= = =∫ ∫ ∫" " " " (2.8) • Tương tự, nếu ( )2 mg L S∈ , và ( )2 mh L S∈ với m < n thì theo tính đẳng cự của tích phân Itô ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , m m s sT m n m m s tT n m m m E J g J h E g s s dW s dW s h t t s s dW t dW s− ⎡⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ " " " " " " " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 , , , , , , m m s sT m m m s t m m m m E g s s s dW s dW s h t s s dW t dW s ds − − − − ⎡⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎢⎨ ⎬⎪ ⎪⎢⎩ ⎭⎣ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎥⎩ ⎭⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ " " " " " " Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 47 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 21 1 1 1 1 0 0 0 0 0 , , , , , , , ms s s tT m n m m n m mE g s s h t t s s dW t dW t ds ds− − ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫" " " " " " " " = 0. (2.9) Từ đó ta suy ra tính chất trực giao: 2 ( ) 0 [ ( ) ( )] ( , ) n m n L S khi n m E J g J h g h khi n m ≠⎧⎪= ⎨ =⎪⎩ (2.10) trong đó 2 1 1 1( ) 0 ( , ) ( ,..., ) ( ,..., ) ... n n S n n nL S g h g x x h x x dx dx= ∫ (2.11) là tích vô hướng trong 2 ( )mL S . Chú ý rằng (2.10) cũng thỏa với n = 0 hay m = 0 nếu ta đặt: 0 ( )J g g= nếu g là hằng số và 2 0( ) ( , ) L S g h g h= nếu g,h là hằng số. Định nghĩa 2.1.5: Tích phân Itô – Wiener nhiều chiều Nếu [ ]( )2 0,ˆ nTg L∈ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều qua khái niệm tích phân Itô lặp. Trong đó ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích đối xứng, khi đó ta định nghĩa: ( ) : ! ( ).n nI g n J g= (2.12) Chú ý rằng: Từ (2.8) và (2.12) suy ra: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 48 2 2 2 22 2 2 2 ( ) ([0, ] ) [ ( )] [( !) ( )] ( !) ! n n n n L S L T E I g E n J g n g n g= = = (2.13) với mọi 2ˆ ([0, ] )ng L T∈ . §2.2 ĐA THỨC HERMITE Trong phần này sẽ trình bày cách xác định đa thức Hermite ( )nH x và các tính chất từ hàm sinh: ( ) ( )2 2 0 , ! n t tx n n tg x t e H x n ∞− + = = =∑ , (2.14) đây là cách tiếp cận khác so với thông thường. Tính chất 2.2.1: Công thức đa thức Hermite Từ (2.14) ta sẽ có công thức: ( ) ( ) ( )2 21 nn x xn ndH x e edx −= − . (2.15) Chứng minh Nhắc lại công thức khai triển Taylor với hàm ( )f x khả vi vô hạn lần: ( ) ( ) ( )0 0 0 ! n n f x f x x x n ∞ = = −∑ (2.16) Ta có: ( )2 2 0 ! n t tx n n te H x n ∞− + = = ∑ , sử dụng khai triển Taylor tại 0t = ta được: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 49 ( ) ( ) ( )2 2 0 0! ! n n nk k t tx n n n n n t te O t H x O t t n n − + = = ∂⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ∑ (2.17) đồng nhất hai vế ta được: ( ) ( )22 22 0 0 n n x tt tx x n t t H x e e e t t − −− + = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )22 0 1 n n x tx t e e x − − = ⎡ ⎤∂⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ( vì ( ) ( ) 2 2x t x te e t x − − − −∂ ∂= −∂ ∂ ) ( ) 2 21 .nn x xnde edx −= − , (2.18) Tính chất 2.2.2: Đệ qui Từ (2.14) ta sẽ có: ( ) ( ) ( )1 12 2 , 1n n nH x x H x n H x n+ −= − ≥ (2.19) Chứng minh Ta có ( ) ( )2 2 0 , ! n t tx n n tg x t e H x n ∞− + = = =∑ . Lấy vi phân hai vế theo t , ta được: ( ) ( ) ( )2 12 0 , 2 2 ! n t tx n n tg x t t x e H x n t n −∞− + = ∂ = − + =∂ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 2 2 ! ! 1 ! n n n n n n n n n t t tH x x H x H x n n n + −∞ ∞ ∞ = = = ⇔ − + = −∑ ∑ ∑ Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 50 ( ) ( ) ( )1 1 1 0 0 2 2 ! ! ! n n n n n n n n n t t tn H x x H x H x n n n ∞ ∞ ∞ − + = = = ⇔ − + =∑ ∑ ∑ (2.20) đồng nhất hệ số hai vế theo nt , ta suy ra: ( ) ( ) ( )1 12 2 , 1n n nH x x H x n H x n+ −= − ≥ . , • Ta xác định đa thức ( ) ( )0 1,H x H x như sau: Sử dụng khai triển Taylor theo t của (2.14) ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 1 1 2H x H x t O t t tx O t+ + = − + + (2.21) đồng nhất hệ số hai vế theo t ta được: ( ) ( )0 11, 2H x H x x= = . • Bây giờ dựa vào công thức đệ qui (2.19) ta suy ra một vài đa thức sau: ( ) ( ) ( ) 22 1 02 1 2 4 2H x xH x H x x= − × = − ( ) ( ) ( ) 33 2 12 2 2 8 12H x xH x H x x x= − × = − ( ) ( ) ( ) 4 24 3 22 3 2 16 48 12H x xH x H x x x= − × = − + . Tính chất 2.2.3: Cho ( )nH x là đa thức Hermite, ta có: i. ( ) ( )12 1.n nH x n H x n−′ = ≥ (2.22) ii. ( ) ( ) ( )2 2n n nH x x H x n H x′′ ′= − . (2.23) iii. ( ) ( ) ( )1 .nn nH x H x= − (2.24) Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 51 Chứng minh i. Từ (2.14) lấy vi phân hai vế theo x ta được: ( ) ( )2 2 0 , 2 ! n t tx n n tg x t t e H x x n ∞− + = ∂ ′= =∂ ∑ ( ) ( ) 1 0 1 2 ! ! n n n n n n t tH x H x n n +∞ ∞ = = ′⇔ =∑ ∑ ( ) ( ) ( )11 12 1 ! ! n n n n n n t tH x H x n n ∞ ∞ − = = ′⇔ =−∑ ∑ (2.25) đồng nhất hệ số hai vế theo nt , ta suy ra ( ) ( )12 1.n nH x n H x n−′ = ≥ ii. Từ hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 n n n n n H x n H x H x x H x n H x − + − ′⎧ =⎪⎨⎪ = −⎩ (2.26) ta suy ra: ( ) ( ) ( )1 2n n nH x x H x H x+ ′= − (2.27) lấy vi phân hai vế theo x ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 n n n n n n n n H x H x x H x H x n H x H x x H x H x +′ ′ ′′= + − ′ ′′⇔ + = + − ⇒ ( ) ( ) ( )2 2n n nH x x H x n H x′′ ′= − . (2.28) Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 52 iii. Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2, ,t t x t txg x t e e g x t− − + − − − +− − = = = (2.29) ( ) ( ) ( ) 0 0! ! n n n n n n t tH x H x n n ∞ ∞ = = −⇒ − =∑ ∑ (2.30) ( ) ( ) ( )1 .nn nH x H x⇒ − = − , Tính chất 2.2.4: Trực giao Cho ( ) ( ),n mH x H x là các đa thức Hermite, ta có: ( ) ( ) 2 0 !2 x n m n khi n m H x H x e dx n khi n m +∞ − −∞ ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ π =⎩ ∫ . (2.31) Chứng minh • Khi m n≠ Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 0n n nH x x H x n H x′′ ′− + = Nhân hai vế cho hàm 2xe− ta được: ( ) ( ) ( )2 2 22 2 0x x xn n ne H x e x H x e n H x− − −′′ ′− + = (2.32) ( ) ( )2 22x xn nd de H x ne H xdx dx − ⎛ ⎞⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.33) nhân hai vế cho ( )mH x ta được: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 53 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22x xm n m nd dH x e H x H x ne H xdx dx −⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . (2.34) Tương tự ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22x xn m n md dH x e H x H x me H xdx dx −⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . (2.35) Từ hai phương trình trên ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x x m n n m x x m n n m d d d dH x e H x H x e H x dx dx dx dx H x ne H x H x me H x − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − + ( ) ( ) ( )22 x n mm n e H x H x−= − . (2.36) Lấy tích phân hai vế phương trình trên theo x từ −∞ đến +∞ ta được: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2x xm n n md dH x e H x dx H x e H x dxdx dx +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∫ ∫ ( ) ( ) ( )22 x m nm n e H x H x dx +∞ − −∞ = − ∫ (2.37) tính tích phân vế trái: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2x xm n n md dH x e H x dx H x e H x dxdx dx +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∫ ∫ Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 54 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x m n m n x x n m n m d d dH x e H x H x e H x dx dx dx dx d d dH x e H x H x e H x dx dx dx dx +∞ +∞ − − −∞ −∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ∫ = 0. Vì ( ) ( )2 0.xm ndH x e H xdx +∞ − −∞ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.38) Suy ra: ( ) ( ) ( )22 0x n mm n e H x H x dx +∞ − −∞ − =∫ (2.39) ⇒ ( ) ( )2 0x n me H x H x dx +∞ − −∞ =∫ . (2.40) • Khi m n= Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 4 0 0 , ! ! n n x t tx x x n n n n tg x t e dx e dx e H x H x dx n n +∞ +∞ +∞+∞ ∞− − + − − = =−∞ −∞ −∞ = =∑∑∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 222 2 0 ! n x tt x n n te e dx H x e dx n +∞ +∞∞− − − =−∞ −∞ ⇔ = ⎡ ⎤⎣ ⎦∑∫ ∫ (2.41) Tính tích phân vế trái: ( ) 22x te dx +∞ − − −∞ ∫ , đặt 2u x t du dx x u x u = − ⇒ =⎧⎪ = −∞⇒ = −∞⎨⎪ = +∞⇒ = +∞⎩ Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 55 Suy ra ( ) 2 22x t ue dx e du +∞ +∞ − − − −∞ −∞ =∫ ∫ . (2.42) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 00 0 12 . 2 u u v r re du du e dv d re dr e ∞+∞ +∞ +∞ π ∞ − − − − − −∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = θ = π − = π⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.43) ⇒ ( )2 22x t ue dx e du +∞ +∞ − − − −∞ −∞ = = π∫ ∫ . (2.44) Suy ra ( ) 22 22 2 2 0 2 ! n x tt t n n e e dx e t n +∞ ∞− − =−∞ = π = π∑∫ (2.45) (sử dung khai triển Taylor cho hàm 22te ). Vậy 2 0 2 ! n n n t n ∞ = π =∑ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 ! n x n n t H x e dx n +∞∞ − = −∞ ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∫ . (2.46) Đồng nhất hệ số hai vế ta được: ( ) 22 2 ! .x nnH x e dx n +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = π⎣ ⎦∫ (2.47) Vậy ta đã chứng minh xong. , Tính chất 2.2.5: Đa thức Hermite biểu diễn thành tích phân Itô – Wiener nhiều chiều Đa thức Hermite theo tham số được xác định như sau: ( ) ( ) 2 21 2 22, , 0,1,2,...x xt tnnn nH x t t e e nx −∂= − =∂ . (2.48) Đa thức Hermite theo tham số là nghiệm của phương trình vi phân: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 56 ( ) ( )221, , 0,2n nH x t H x tt x ∂ ∂+ =∂ ∂ (2.49) và thỏa ( ) ( )1, , , 1,2,...n nH x t n H x t nx − ∂ = =∂ (2.50) Nhắc lại công thức Itô: Cho tX là quá trình Itô có vi phân ngẫu nhiên: ( ) ( ), ,t t t tdX a X t dt b X t dW= + . (2.51) Cho [ ): 0,f × ∞ →\ \ là hàm liên tục và khả vi hai lần, quá trình ngẫu nhiên ( ),t tY f X t= có vi phân Itô theo quá trình Wiener tW : 2 2 2 1 2t t f f f fdY a b dt b dW x t x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ , (2.52) trong đó đạo hàm của f và các hàm hệ số ,a b phụ thuộc vào ( ),tX t . Đặt ( ) ( ), , ,t t n t t tY f X t H X t X W= = = , ta có t tdX dW= , trong đó ( ) ( ), 0, , 1a x t b x t= = . Vậy theo công thức Itô ta được: ( ) ( ) ( ) ( )221, , , ,2n t n t n t n t tdH W t H W t H W t dt H W t dWt x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ . Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 57 ( ),n t tH W t dWx ∂= ∂ ( )1 ,n t tn H W t dW−= . (2.53) Suy ra: ( ) ( )1, ,n t n t tdH W t nH W t dW−= , 1,2,...n = (2.54) Tính tích phân của (2.54) từ 0 đến t : Khi n = 1, ta có: ( ) ( ) ( ) 1 11 1 0 1 0 0 0 , , 1. , 1 , 0 t t t t t t s sH W t dH W t H W t dW dW s t= = = ≤ ≤∫ ∫ ∫ . (2.55) Khi n = 2, ta có: ( ) ( ) ( )1 12 2 1 1 0 0 , , 2 , t t t t s sH W t dH W t H W s dW= =∫ ∫ 1 2 1 1 2 0 0 2 1 , 0 st s sdW dW s s t ⎛ ⎞= ≤ ≤ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (2.56) Khi n = 3, ta có: ( ) ( ) ( )2 23 3 2 2 0 0 , , 3 , t t t t s sH W t dH W t H W s dW= =∫ ∫ 1 2 1 2 3 1 2 3 0 0 0 3 2 1 ;0 . s st s s sdW dW dW s s s t ⎛ ⎞⎛ ⎞= ≤ ≤ ≤ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2.57) Tiếp tục tính đến n lần thì ta được: ( ) 11 1 2 1 2 0 0 0 , ! , 0 . n n sst n t s s s nH W t n dW dW dW s s s t − = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤∫ ∫ ∫" " " (2.58) Vậy đa thức Hermite theo tham số được biểu diễn thành tích phân Itô bội của hàm đơn vị ( )1f ≡ . Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 58 CHƯƠNG III MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN §3.1 QUÁ TRÌNH LEVY Định nghĩa 3.1.1: Quá trình levy Quá trình ngẫu nhiên { }: 0tX t ≥ nhận giá trị trong d\ được gọi là quá trình Levy nếu nó thỏa các điều kiện : (i) 0 0 .X h c= (ii) Với mọi cách chọn 0 10 ... mt t t≤ < < < các đại lượng ngẫu nhiên 0 1 0 1, ,..., m mt t t t t X X X X X −− − là các số gia độc lập (iii) tX là liên tục ngẫu nhiên (iv) ( )tX ω có giới hạn trái khi 0t > và liên tục phải khi 0t ≥ (v) Phân phối của s t sX X+ − không phụ thuộc vào s ; hay ta còn gọi tX có số gia dừng (thuần nhất theo thời gian) • Với định nghĩa trên ta thấy rằng các quá trình Wiener, Poisson đều thuộc lớp quá trình Levy. Định lý 3.1.2: Các tính chất của quá trình Levy (i) Với tX là quá trình Levy, khi đó với mọi t > 0 phân phối của tX là phân phối khả phân vô hạn. (ii) Với tX là quá trình Levy và phân phối ( )1 0X μ=L ta sẽ có Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 59 { } ( ) ( ){ }0 0ˆexp , expttE i x X x t xμ ψ= = (3.1) Chứng minh (i) Ta lấy . ; 1,2,...,k t kt k n n = = ; 0 0 0tX X= = . Đặt tXPμ = và 1t tk kn X XPμ −−= với tính chất độc lập của số gia thuần nhất theo thời gian ta sẽ có: nnμ μ ∗= bởi vì: ( ) ( ) ( )1 0 2 1 1... .n nt t t t t t tX X X X X X X −= − + − + + − (3.2) Nghĩa là tX là tổng của n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối (suy từ các điều kiện trong định nghĩa về quá trình Levy). Vậy phân phối của tX là khả phân vô hạn. (ii) Ta có ( ) { }0ˆ exp ,t s t s s sx E i x X X X+ += − +μ ( ) ( ) ( ) ( )0 0ˆ ˆexp , . exp , .s ts tE i x X E i x X x xμ μ= = . (3.3) Lấy logarit hai vế hệ thức trên ta được: ( ) ( ) ( )0 0 0ˆ ˆ ˆlog log logt s t sx x x+ = +μ μ μ . (3.4) Đặt ( ) ( )0ˆlog tx t xϕ μ= ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 0x x x xt s t ss s ϕ ϕ ϕ ϕ+ − + −= (3.5) khi 0s → ta có: ( ) ( ) ( )00 :x xt x′ ′= =ϕ ϕ ψ ( ( )0 tψ được gọi là đặc trưng mũ của quá trình Levy tX ) ( ) ( )0x t t xϕ ψ⇒ = . Từ đó ta sẽ có ( ) ( )0 0ˆlog tx t xμ ψ= . Suy ra ( ) ( ){ }0 0ˆ exptx t xμ ψ= . (3.6) Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 60 Định lý 3.1.3: Biểu diễn Levy – Khintchine 1. Nếu μ là phân phối khả phân vô hạn trong d\ , khi đó hàm đặc trưng tương ứng với nó sẽ có dạng: ( ) { } ( )( ) ( )1ˆ exp , , exp , 1 , 1 ,2 n dDz z Az i z i z x i z x x v dx z ⎡ ⎤= − + + − − ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫\ \μ γ (3.7) trong đó: { }: 1 ;D x x A= ≤ là ma trận đối xứng xác định không âm cỡ ( );n n× ;d v∈\γ là độ đo trong d\ và thỏa các điều kiện: { }( ) ( ) ( )20 0; 1 d v x v dx= ∧ < ∞∫ \ (3.8) 2. Biểu diễn của ( )ˆ zμ bởi ,A v và γ trong (3.7) là duy nhất. 3. Ngược lại, nếu A là ma trận đối xứng xác định không âm ( )n n× ; ;dR v∈γ là độ đo thỏa (3.8); khi đó tồn tại một phân phối khả phân vô hạn μ nhận biểu thức trong (3.7) làm hàm đặc trưng. Từ đây về sau ta gọi ( ), ,A v γ là bộ ba cơ sở của phân khối khả phân vô hạn μ . • A gọi là ma trận hiệp phương sai của μ . • v gọi là độ đo Levy của μ . Ta có nhận xét sau về phân phối hữu hạn chiều của quá trình Levy: • Nếu μ có bộ ba cơ sở là ( ), ,A v γ khi đó tμ sẽ có bộ ba cơ sở là ( ), ,tA tv tγ . §3.2 TÍNH CHẤT MARKOV MẠNH CỦA QUÁ TRÌNH LEVY Đặt [ )( )0, , dDΩ = ∞ \ là tập hợp những hàm ( )tω từ [ )0,∞ vào trong d\ liên tục phải và có giới hạn trái. Cho ω∈Ω , đặt ( ) ( )tX tω = ω , [ ]( )0 : 0,t sX s t= σ ∈F và [ )( )0 : 0,sX s= σ ∈ ∞F . Ta xét độ đo xác suất P trên 0F sao cho { }: 0tX t ≥ là Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 61 quá trình Levy dưới độ đo P . Quá trình { }tX dưới độ đo P là được ký hiệu bởi { }( ),tX P . Cho dx∈\ , ta có: 1 11 1 , , , , n n x t t n t t nP X B X B P x X B x X B⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈ ∈ = + ∈ + ∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦" " (3.9) với ( )1 10 , , , dn nt t B B≤ < < ∈" " \B . xP là độ đo xác suất mở rộng trên 0F và có cùng ký hiệu, vậy 0P P= . Cho 0H ∈F , [ ]xP H là đo được ở x . Cho độ đo xác suất ρ trên ( )d\B ta xác định độ đo xác suất Pρ trên 0F bởi: [ ] [ ] ( ) d xP H P H dxρ = ρ∫ \ , 0H ∈F . (3.10) Ta có: [ ] [ ] ( )0 01,xP X x P X B Bρ= = ∈ = ρ , B∈ ( )d\B . Kỳ vọng đối với xP và Pρ là được ký hiệu bởi xE và Eρ tương ứng. Định nghĩa 3.2.1: Thời điểm dừng Ánh xạ [ ]: 0,Ω→ ∞T là thời điểm dừng nếu ( ){ } [ ): , 0, .tt tω ω ≤ ∈ ∀ ∈ ∞FT Nếu T là thời điểm dừng, ta ký hiệu bởi lớp FT của H ∈F sao cho { } [ ), 0,tH t t≤ ∈ ∀ ∈ ∞∩ FT và viết { }{ }: .H H′ = ∈ ⊂ < ∞F FT T T Bổ đề 3.2.2: Cho u H∈ , quá trình ( ) { }{ } exp , : exp , t u t i u X M t E i u X = ⎡ ⎤⎣ ⎦ là martingale. (3.11) Chứng minh Ta có: Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 62 ( ) , , , , , , ,, , , , , , , . t t s s t t s s t s s t s s s t s s t s i u X i u X X i u X s si u X i u X X i u X i u X Xi u X i u X X i u X s ui u X i u X X i u X i u X X e e eE E E e E e E e E ee e eE M s E e E e E e E e − − −− − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ , F F F Bổ đề 3.2.3: Nếu { }: 0tX t ≥ là quá trình Levy thì với mọi u H∈ : ( ) ( )( )exptX u t uφ = λ trong đó : Hλ →^ . Chứng minh Để chứng minh bổ đề này, ta xây dựng hàm :f + →\ ^ thỏa các tính chất: • ( )0 1.f = • ( ) ( ) ( ) , , .f t s f t f s t s ++ = ∀ ∈\ • ( )t f t6 là liên tục. ta chọn hàm ( ) ,ztf t e z= ∈^ . Bây giờ, ta chứng minh hàm vừa mới xây dựng là thỏa yêu cầu. Ta có 0f ≠ , thật vậy nếu ( ) 0 0ntf t f n n ⎛ ⎞= ⇒ = ∀⎜ ⎟⎝ ⎠ , suy ra 0 tf n n ⎛ ⎞ = ∀⎜ ⎟⎝ ⎠ điều này mâu thuẫn với tính liên tục. Ta định nghĩa ( ) ( )( ): logg t f t= trong đó hàm log được gán giá trị từ 0 đến 1, ta có g liên tục, ( ) ( ) ( )g t s g t g s+ = + , ( )0 0g = . Vì vậy ( ) ,g t zt z= ∀ ∈^ . Bây giờ, ta kiểm tra 3 điều kiện trên cho ( ) tX t uφ6 . Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 63 Ta có: ( ) ( ) 0 exp 0 1X u Eφ = ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . Do tính thuần nhất và độc lập của số gia ta có: ( ) , , , , , , , t s t s s s t s t s s s t s i u X i u X X i u X X i u X X i u X i u X i u X u E e E e e E e E e E e E e + + + + − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤φ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ). t sX X u u= φ φ (3.12) Ta cũng chứng minh được một cách rễ ràng tính liên tục. Vậy các tính chất trên đã được thỏa với mọi u và ( ) ( ) , t t u X u e λφ = trong đó ( )uλ là tham số phức và phụ thuộc vào u . , Tính chất 3.2.4: Nếu { }: 0tX t ≥ là một quá trình Levy và T là thời điểm dừng thì trên { }< ∞T . Ta có quá trình { } 0 :t ttX X X+≥ = −T T T , khi đó d t tX X=T . (3.13) Chứng minh Cho A∈FT và theo bổ đề 3.2.2 ta có ( ) ( ), .ti u X t uuM t e e− λ= Mặt khác, theo bổ đề 3.2.3 cho s t< ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , t t s s i u X t u t u i u X X t s uu i u X s u s u u M te e eE e E E e M se e e + + + + − + λ + λ − − λ − + λ + λ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦⎣ ⎦ T T T T T T T T T T Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t s uu s u t s u u s u M t E E e M s e E E M t M s − λ + − λ + ⎡ ⎤⎡ ⎤+= ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦+⎣ ⎦ F F T T T T T T ( ) ( ) , .t st s u i u Xe E e −− λ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (3.14) Vậy cho 0s = , ta thấy tX X+ −T T và tX có cùng biến đổi Fourier, suy ra nó có cùng phân phối. , Tính chất 3.2.5: Quá trình { }( ): 0 ,tX t Pρ≥ có số gia độc lập, thuần nhất và liên tục ngẫu nhiên. Số gia của nó có cùng phân phối như quá trình lúc đầu (quá trình gốc). Chứng minh Cho 0 10 nt t t≤ < < <" và ( )0 , , dnB B ∈" \B . Thì ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 , , , , , , , , , n n n n n n t t t t t n x t t t t t n t t t t t n P X B X X B X X B dx P X B X X B X X B dx P x X B X X B X X B − − − ρ ⎡ ⎤∈ − ∈ − ∈⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ρ ∈ − ∈ − ∈⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ρ + ∈ − ∈ − ∈⎣ ⎦ ∫ ∫ " " " 0 1 0 1 0 0 0 1 .n nt t t t t nP X B P X X B P X X B− ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∈ − ∈ − ∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦" (3.15) Mặt khác, cho ,s t và B ta cũng có: Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 65 [ ] ( ) [ ]xs t s s t sP X X B dx P X X Bρ + +− ∈ = ρ − ∈∫ [ ]0 .s t sP X X B+= − ∈ (3.16) vậy đã chứng minh xong. , Định lý 3.2.6: Cho { }: 0tX t ≥ là quá trình Levy, T là thời điểm dừng và ρ là một độ đo xác suất trên d\ . Giả sử [ ] 0Pρ T , đặt { } { }, :H H′ ′ ′Ω = < ∞ ∈ ⊂ ΩF = FT và [ ] [ ] [ ],P H P H P Hρ ρ ρ′ ′ ′= Ω ∈F . Thì { }, 0tX X t+ − ≥T T và ′FT là độc lập dưới độ đo P ρ′ và { }, 0tX X t+ − ≥T T dưới độ đo P ρ′ là quá trình Levy đối với { }( )0: 0 ,tX t P≥ . Chứng minh Viết t tX X X+′ = −T T , phát biểu của định lý tương đương với: Cho hàm ( )1, , kf x x" liên tục và H ′∈FT ta có: ( ) ( ) [ ]1 10, , 1 , , ,k ks s H s sE f X X E f X X P Hρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′=⎣ ⎦ ⎣ ⎦" " (3.17) trong đó E ρ′ là kỳ vọng đối với độ đo P ρ′ . Vậy để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh công thức trên. Bước 1: Ta chứng minh công thức trên cho trường hợp giá trị của T bị thu hẹp trong tập { }1 2, , ,D t t t∞= " , trong đó t∞ = ∞ và nt < ∞ với n < ∞ . Ta có: ( ) ( ) { } ( )1 1, , 1 , , 1k n n n k n ns s H t s t t s t H T t n E f X X E f X X X X Pρ ρ ρ+ + = <∞ ⎡ ⎤⎡ ⎤′ ′ ′ ′= − − Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∩" " Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 66 ( ) { } ( )1 , ,n n n k nt s t t s t n n E f X X X X P H t Pρ ρ ρ+ + <∞ ⎡ ⎤ ′⎡ ⎤= − − = Ω⎣ ⎦⎣ ⎦∑ " ∩ T ( ) { } ( ) [ ]1 10 0, , , , .k ks s n s s n E f X X P H t E f X X P Hρ ρ <∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ " ∩ "T (3.18) Bước 2: Xét T tổng quát, đặt ( ) ( )1 2 , 2 1 2n n nn k k k= + ≤ < +T T và n = ∞T . Cho = ∞T , thì , 1,2,n n = "T là thời điểm dừng và n ↓T T khi n →∞ . Cho H ′∈FT , để ý n⊂F FT T và sử dụng bước 1, ta được: ( ) ( ) [ ]1 10, , 1 , , .n n n k n ks s H s sE f X X X X E f X X P Hρ ρ+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦" "T T T T (3.19) Cho n →∞ và theo tính liên tục phải của ( )tX ω , ta được: ( ) ( ) [ ]1 10, , 1 , ,k ks s H s sE f X X E f X X P Hρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′=⎣ ⎦ ⎣ ⎦" " . , (3.20) §3.3 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN THEO QUÁ TRÌNH LEVY Định nghĩa 3.3.1: Tích phân hàm bậc thang Cho 0 10 t t≤ < < ∞ và hàm ( )f s trên đoạn [ ]0 1,t t được gọi là hàm bậc thang nếu 0 0 1 1... nt s s s t= < < < = ta có: ( ) ( ) 1 , 1 1 j j n j s s j f s a s −⎡ ⎤⎣ ⎦= = ∑ với 1 2, ,..., na a a ∈\ . (3.21) Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 67 Khi ( )f s là hàm bậc thang, ta định nghĩa tích phân: ( ) ( )1 1 0 1 j j t n s j s s jt f s dX a X X −= = −∑∫ . (3.22) • Phân phối của (3.22) là khả phân vô hạn với hàm đặc trưng cho bởi biểu thức sau: ( ) ( )( )1 1 0 0 0exp , exp t t s t t E i x f s dX f s x dsψ⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ (3.23) Chứng minh ( )1 1 0 1 exp , exp , j j t n s j s s jt E i z f s dZ E i a z Z Z −= = −∏∫ = ( ) ( )1 0 1 exp n j j j j s s a zψ− = −∏ = ( ) ( )1 0 1 exp n j j j j s s a zψ− = ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑ = ( )( ) 1 0 0exp t t f s z ds∫ ,ψ . Nhận xét: Nếu ( )0 0 0, ,A v γ là bộ ba cơ sở của 0μ khi đó: ( ) { } ( )( ) ( ),0 0 0 011 , , 1 , 12 d i x i yx x A x i x e i x y y v dy≤= − + + − −∫\ψ γ (3.24) Tính chất 3.3.2: Cho ( )f s là hàm đo được, bị chặn xác định trên đoạn [ ]0 1,t t và nhận giá trị thực sao cho tồn tại những hàm bậc thang bị chặn ( ) 1,nf s n n= trên đoạn [ ]0 1,t t và Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 68 . .nf f h c c→ , khi đó ( )1 0 t n s t f s dX∫ hội tụ đến đại lượng ngẫu nhiên X theo xác suất. Giới hạn đó không phụ thuộc vào cách chọn dãy nf f→ . Phân phối của X là khả phân vô hạn và ta có biểu diễn: ( )( )1 0 0exp , exp t t E i z X f s z dsψ= ∫ (3.25) Chứng minh Dựa vào tính liên tục của hàm 0ψ trong (3.24): ( ) ( )( )( )0 0 . .n mf s f s z h c cψ − → theo s khi ,n m →∞ , ta có: ( ) ( )( )( )1 0 0 0 , t n m t f s f s z ds n mψ − → →∞∫ (3.26) Từ (3.23) suy ra: ( ) ( )1 1 0 0 0 t t n s m s t t f s dZ f s dZ− →∫ ∫ theo xác suất bởi vậy nó sẽ tiến về 0 theo metric. Do đó tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên X là giới hạn theo xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên ( )1 0 t n s t f s dZ∫ . Bởi vì ( )1 0 t n s t f s dZ∫ là khả phân vô hạn nên phân phối của X cũng là khả phân vô hạn. Hơn nữa: ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 0 0 0 0 1 0 1 t tn n j j j jt t f s z ds a z s s f s z dsψ ψ ψ− = = − →∑∫ ∫ . (3.27) Theo định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn. Khi đó theo (3.23) ta sẽ có: Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 69 ( ) ( )( )1 1 0 0 0exp , exp t t n s t t E i z f s dZ f s z dsψ⎧ ⎫⎪ ⎪→⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ . (3.28) Từ đó theo (3.23) ta sẽ suy ra (3.25). • Để chứng minh giới hạn X không phụ thuộc vào cách chọn dãy ( ) ( )nf s f s→ . Ta giả sử ( ) ( ) . .ng s f s h c c→ (cả ( )nf s và ( )ng s đều bị chặn). Khi đó: ( ) ( )( )1 1 0 0 0exp , exp 1 t t n n s n n t t E i z f g dZ f g z dsψ− → − →∫ ∫ . (3.29) Khi n →∞ thì ta sẽ có: 1 1 0 0 0 t t n s n s t t f dZ g dZ− →∫ ∫ theo xác suất. , (3.30) Định nghĩa 3.3.3: Tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy Biến ngẫu nhiên X trong tính chất (3.3.2) gọi là tích phân ngẫu nhiên của hàm ( )f s đo được, bị chặn trên đoạn [ ]0 1,t t theo quá trình Levy { }, 0tX t ≥ và ta ký hiệu: ( )1 0 t X s t F f s dX= ∫ (3.31) Tính chất 3.3.4: (i) Nếu ( )f s là một hàm đo được bị chặn trên [ )0,∞ ; khi đó tồn tại một quá trình cộng tính { }, 0tY t ≥ sao cho 0t∀ > , ta có: Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 70 ( ) 0 1. t Y sP F f s dX ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (3.32) (ii) Cho ( )f s và ( )g s là các hàm đo được và bị chặn trên [ ]0 1,t t , khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 0 0 . t t t t u u t t t u g s ds f u dX f u dX g s ds h c=∫ ∫ ∫ ∫ (3.33) Tính chất 3.3.5: Công thức tích phân từng phần Công thức tích phân từng phần của tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy như sau: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0 0 0 1 0 t t u t t s t t f u dX f t X f t X X f s ds′= − −∫ ∫ (3.34) Chứng minh Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )0 1 0 0 1 1 t t u u t t f u dX f u f t f t dX= − − + −∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 t t t t t u u u u t t t u t f t f u dX f t dX dX f s ds f t dX′= − − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 t t ts u u s t t t t t t t f s ds dX f t dX f s X X ds f t X X′ ′= − + = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( )1 1 0 1 0 0 0 1 t t s t t t t t f s X ds f s X ds f t X X′ ′= − + + −∫ ∫ Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 71 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 t s t t t t t s t t t t t f s X ds f t f t X f t X X f s X ds f t X f t X f t X f t X ′= − + − + − ′= − + − + − ∫ ∫ ( ) ( ) ( )1 1 0 0 1 0 t t t s t f t X f t X f s X ds′= − − ∫ , Ví dụ 3.3.6: Tính tích phân 1 0 t u u t e dX∫ . Tính tích phân trên tương đương với tính tích phân 1 0 t u u t e dW∫ , do quá trình Wiener cũng là quá trình Levy. Theo (3.34), ta được: 1 0 t u u t e dW∫ 11 1 0 t t s t s t e W e W ds= − ∫ . (3.35) §3.4 ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Quá trình Levy mũ trong mô hình giá cổ phiếu bằng biến đổi Esscher. Giả thiết 1: Cho ( )( ), , ,t t P+∈Ω \F F là không gian xác suất được lọc thỏa các điều kiện: ( ), , PΩ F là đầy đủ, tất cả các tập rỗng của F là chứa trong 0F và ( )t t +∈\F là bộ lọc liên tục phải: s t⊂ ⊂F F F là σ − đại số với , ,s t s t+∈ ≤\ và ,s t t s s +> = ∀ ∈∩ \F F . Hơn nữa, giả sử ( ).t t+∈= σ \∪F F Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 72 Điều này cho ta thấy rõ sự biến đổi từ độ đo xác suất cơ sở P sang độ đo Q bởi quá trình mật độ ( )t tZ +∈\ . Nghĩa là độ đo Q xác định bởi mật độ t t tZ dQ dP= với mỗi t +∈\ . Nếu 0tZ t +> ∀ ∈\ thì độ đo Q và P tương đương địa phương, ký hiệu là loc Q P∼ . Phân phối của quá trình Levy xác định duy nhất bởi phân phối lề một chiều tXP (hay ký hiệu là 1XP ) từ tính chất số gia dừng và độc lập của quá trình Levy ta thấy 1XP có phân phối khả phân vô hạn. Vậy hàm đặc trưng của nó được cho bởi công thức Levy – Khintchine: ( ) ( ) ( )21exp exp 1 .2 iuxcE iuX iub u e iux F dx⎛ ⎞⎡ ⎤ = − + − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ (3.36) Giả thiết 2: Biến ngẫu nhiên 1X là không suy biến và có hàm sinh moment ( )1: expmgf u E uX⎡ ⎤⎣ ⎦6 trên tập mở ( ),a b với 1b a− > . Giả thiết 3: Tồn tại một số thực ( ), 1a bθ∈ − sao cho ( ) ( )1 .mgf mgfθ = + θ Định nghĩa 3.4.1: Biến đổi Esscher Cho { }: 0tX t ≥ là quá trình Levy xác định trên không gian xác suất được lọc ( )( ), , ,t t P+∈Ω \F F . Ta gọi biến đổi Esscher là sự biến đổi độ đo xác suất P tương đương địa phương độ đo Q theo quá trình mật độ t t dQZ dP = F của công thức ( ) ( ) exp ,tt t X Z mgf θ= θ (3.37) trong đó θ∈\ và ( )mgf u là ký hiệu hàm sinh moment của 1X . Biến đổi Esscher một chiều của phân phối lề với tham số θ được ký hiệu bởi độ đo xác suất biến đổi Esscher Pθ , ta có: Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 73 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 , . t t X x X t B t Bt t e eP X B X dP x P dx B mgf mgf θ θ θ ∈ = = ∈θ θ∫ ∫ B (3.38) Tính chất 3.4.2: Từ phương trình trên ta xác định quá trình mật độ cho mọi θ∈\ sao cho ( )1exp .E X⎡ θ ⎤ < ∞⎣ ⎦ tX lại là quá trình Levy đối với độ đo mới Q . Chứng minh Hiển nhiên tZ khả tích t∀ . Cho s t< , ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | exp | exp exp | exp exp t t s t s s t s s t s s s t s s t s E Z E X mgf X mgf E X X mgf X mgf E X mgf − − − − − − − − ⎡ ⎤= θ θ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= θ θ θ − θ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= θ θ θ θ⎣ ⎦ F F F ( ) ( )exp .ss sX mgf Z−= θ θ = (3.39) Ở đây ta sử dụng tính chất số gia thuần nhất và độc lập của tX như là định nghĩa của hàm sinh moment ( )mgf u . Ta tiếp tục chứng minh ý thứ hai của tính chất này, cho tập Borel B và cặp , s ss t F< ⊂ F ta có các điều sau: 1. t sX X− là độc lập của σ − trường sF , vậy { }1 t s tX X B s Z Z− ∈ là độc lập của 1 . sF s Z 2. [ ] 1.sE Z = Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 74 3. Lại do tính độc lập của t sX X− và sF , ta có { }1 t s tX X B s Z Z− ∈ và sF là độc lập. Suy ra, ta có: { }( ) { } { } { } { } [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 s st s t s s st s t s t t s s F t F sX X B X X B s t t F s s F sX X B X X B s s ZQ X X B F E Z E Z Z Z ZE E Z E E Z E Z Z Z − ∈ − ∈ − ∈ − ∈ ⎡ ⎤⎡ ⎤− ∈ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∩ { } { }( ) ( )1 1 .st s t s F s t s sX X B s ZE Z E Z Q X X B Q F Z− ∈ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − ∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.40) Theo tính chất số gia thuần nhất của tX đối với Q , ta thấy: { }( ) { } { } { } ( )( ) ( ) [ ] { } ( )( ) ( ) 1 1 1 exp 1 exp t s t s t s t s t t s t sX X B X X B s s t t s sX X B s t t sX B ZQ X X B E Z E Z Z E X X mgf E Z E X mgf − − ∈ − ∈ − − ∈ − −∈ ⎡ ⎤⎡ ⎤− ∈ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= θ − θ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= θ θ⎣ ⎦ { } { }( )1 .t s t s t sX BE Z Q X B− − −∈⎡ ⎤= = ∈⎣ ⎦ (3.41) Chứng minh tương tự cho trường hợp số gia độc lập, ta được điều chứng minh. , Tính chất 3.4.3: Cho quá trình giá cổ phiếu ( ) ( )0 exp expt tS S rt X= trong đó r là lãi suất, tX là quá trình Levy và các giả thiết 2, 3 là được thỏa. Thì độ đo xác suất cơ sở P là tương đương địa phương với độ đo Q sao cho triết khấu giá cổ phiếu ( ) ( )0exp expt trt S S X− = là Q − martingale. Độ đo martingale Q được xác định Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 75 bởi biến đổi Esscher với mật độ ( ) ( )( ) exp ,tt t X Z mgf θ θ= θθ là hằng số. Giá trị của θ là xác định duy nhất và là nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( )1 , , .mgf mgf a bθ = θ + θ∈ Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng tham số θ là tồn tại và duy nhất, ( )exp tX là Q − martingale nếu ( )exp t tX Z là P − martingale. Theo tính chất trên thì X là quá trình Levy dưới độ đo ( )P θ xác định bởi ( ) ( ) ( ), , t t dP Z a b dP θ θ= θ∈ F . Chọn θ là nghiệm của phương trình ( ) ( )1mgf mgfθ = θ + thì theo giả thiết 3 θ tồn tại. Do tính chất số gia thuần nhất và độc lập của tX nên để chứng minh tính martingale của Xe dưới độ đo Q ta chỉ phải chứng minh 1 1.XQE e⎡ ⎤ =⎣ ⎦ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )11 1 1 1 11 1 .XX X XQ mgf E e E e e mgf E e mgf mgf − −θ+θ θ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = θ = θ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ θ (3.42) Vậy 1 1XQE e⎡ ⎤ =⎣ ⎦ nếu ( ) ( )1mgf mgfθ = θ + . , Biến đổi độ đo liên tục tuyệt đối xuất hiện trong toán tài chính thường với mục đích thay đổi độ đo xác suất cơ sở P - độ đo xác suất khách quan – được gọi là độ đo rủi ro – trung tính loc Q P∼ . Dưới độ đo Q , triết khấu của quá trình giá được giả sử là martingale và giá là Q − khả tích. Vì vậy, độ đo này cũng được gọi là độ đo martingale. Ta ký hiệu ( )TS K +− (nghĩa là TS K> ) là lợi nhuận của nhà đầu tư khi thực hiện quyền mua với giá thực thi K của hợp đồng tại thời điểm T , TS là giá Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 76 chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T . Giả sử quá trình rt te S − là martingale dưới độ đo Q với Q là độ đo rủi ro – trung tính. Do đó, quá trình ( )( ) 0 rt t e V t− ≥ là martingale. Ta có: ( ) ( ) ( )rt rT rTQ t Q T te V t E e V T E e S K +− − −⎡ ⎤⎡ ⎤= = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F (3.43) (do điều kiện của phương trình Black – Scholes ( ) ( )TV T S K += − ). Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) .r T trt rTQ T t Q T tV t e E e S K E e S K+ +− −−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F (3.44) Tính chất 3.4.4: Cho Z là quá trình mật độ, P − martingale không âm với [ ] 1 .tE Z t= ∀ Cho Q là độ đo xác định bởi , 0 t t dQ Z t dP = ≥ F thì một quá trình thích nghi ( ) 0t tX ≥ là Q − martingale nếu ( ) 0t t tX Z ≥ là P − martingale. Hơn nữa, giả sử nếu 0, 0tZ t> ∀ ≥ thì ta có với cặp t T< và Q − khả tích, X là biến ngẫu nhiên T −F đo được: [ ]| .TQ t P t t ZE X E X Z ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ F F (3.45) Chứng minh Cho mọi ( )tA t T∈ <F ta có [ ] [ ]1 1Q A T P T A TE X E Z X= và [ ] [ ]1 1Q A t P t A tE X E Z X= . Vì vậy [ ]| 0Q T t tE X X− =F nếu [ ]| 0Q T T t t tE Z X Z X− =F . Xét quá trình ( )0t t TX ≤ ≤ được sinh bởi X là Q − martingale: Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 77 [ ]: | , 0 .t Q tX E X t T= ≤ ≤F (3.46) Do đó ( )0t t t TZ X ≤ ≤ là P − martingale, suy ra [ ]| .t t P T T tZ X E Z X= F (3.47) Chia hai vế cho tZ ta được [ ]| .TQ t P t t ZE X E X Z ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ F F , Xét mô hình giá cổ phiếu ( ) ( )0 exp expt tS S rt X= đối với quá trình Levy tX . Ta giả sử có độ đo rủi ro – trung tính Q đó là biến đổi Esscher của độ đo khách quan P : cho giá trị ( ), Q P θθ∈ =\ . Triết khấu quá trình giá được giả sử là Q − martingale. Đặc biệt, Q là độ đo martingale cho thị trường chọn bao gồm Q − khả tích quyền chọn giá châu âu S . Chứng khoán phái sinh trả một lượng ( )TSω phụ thuộc vào giá cổ phiếu , 0TS T > . Ta gọi ( )xω là hàm trả của quyền chọn. Giả sử ( )xω là đo được và ( )TSω là Q − khả tích. Theo (3.45) giá chọn ở thời điểm [ ]0,t T∈ cho bởi công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t r T t r T t r T tT T T Q T T t t t t Z S ZV t E e S e E S e E S Z S Z − − − − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ω = ω = ω⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F F ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )expexp t T tr T t r T t t T t T t X X e E S e X X mgf − − − − ⎡ ⎤θ −⎢ ⎥= ω −⎢ ⎥θ⎣ ⎦F (3.48) Do tính chất số gia thuần nhất và độc lập của tX ta suy ra: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )exp .T t t T tr T t r T t X T t y S X V t e E ye mgf − −− − − + − = ⎡ ⎤θ= ω⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.49) Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 78 Tính chất 3.4.5: Tham số θ của biến đổi Esscher là được chọn sao cho giá cổ phiếu triết khấu là martingale dưới độ đo ( )Q P θ= . Giả sử Q là độ đo martingale cho thị trường chọn. Cho [ ]0,t T∈ thì giá của quyền chọn Châu Âu với hàm trả ( )xω là kỳ vọng giá trị triết khấu của một quyền chọn khác dưới độ đo P . Quyền chọn này có hàm trả ( ) ( ): tS t xx x S θ⎛ ⎞ω = ω ⎜ ⎟⎝ ⎠  phụ thuộc vào giá cổ phiếu tS ở thời điểm t . Triết khấu cũng phụ thuộc vào lãi suất ( ) ( ): 1 ln .r r mgf= θ + + θ Chứng minh Trong chứng minh của công thức (3.49) cho giá của quyền chọn Châu Âu, ta chỉ sử dụng quá trình mật độ Z là P − martingale. Đặt 0θ = trong công thức này ta được kỳ vọng giá triết khấu của quyền chọn Châu Âu dưới độ đo P . Gọi hàm trả ω và hàm lãi suất r , ta được: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ; , exp exp exp t T t T t y S E t r E r T t S r T t E y r T t X − = ⎡ ⎤ω ≡ − − ω⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − − ω − +⎣ ⎦ F ( )( )exp t T t y S Sr T t E y S = ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − ω⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.50) cũng theo (3.49) ta có ( ) ( )( )exp . t T T t t y S S ZV t r T t E y S Z = ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − ω⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.51) Chương III Luận văn thạc sĩ toán học 79 Đặc biệt, với quá trình mật độ Esscher Z , ta có thể diễn tả T t Z Z trong giá cổ phiếu như sau: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) exp ln exp ln exp exp exp ln exp exp ln T TT t t t T t T t X mgfZ Z X mgf X rT T t r T t mgf X rt S T t r mgf S θ θ − θ= θ − θ θ + θ= − − θ − − θθ + θ ⎛ ⎞= − − θ + θ⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( )( )( )1 exp ln , 0.T t Sy T t r mgf y y S θ θ ⎛ ⎞= − − θ + θ >⎜ ⎟⎝ ⎠ (3.52) thay vào công thức trên ta được: ( ) ( )( )( )( ) 1exp ln . t T T t t y S S SV t r r mgf T t E y y y S S θ θ = ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= − + θ + θ − ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.53) So sánh với kỳ vọng ở trên ta được điều chứng minh. , 80 KẾT LUẬN Qua việc hoàn thành luận văn này đã giúp tôi bắt đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, biết cách sắp xếp v à lựa chọn đề tài một cách hợp lý và có hệ thống, điều đó sẽ giúp ích nhiều cho tôi trong công việc nghi ên cứu khoa học sau này. Tuy nhiên để hoàn tất luận văn này, tôi cũng gặp không ít khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu có liên quan đến đề tài ngoài những tài liệu Thầy đưa cho. Luận văn này đã trình bày khá kĩ và đầy đủ về tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener và đặc biệt là các công thức vi phân ngẫu nhiên Itô. Bởi tích phân Itô cũng như công thức vi phân Itô đóng một vai trò hết sức quan trọng về mặt lý thuyết để giải các bài toán trong tài chính, trong k ĩ thuật, vv… . Ngoài ra, luận văn này cũng trình bày khá đầy đủ về việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình levy, và các tính chất quan trọng của chúng.