Luận văn Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

bộ giáo dục và đào tạo tr−ờng đại học bách khoa hà nội --------------------------------------- V ũ c ô n g đ o à n luận văn thạc sĩ khoa học ngành : công nghệ thông tin Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai c ô n g n g h ệ th ô n g tin Vũ công đoàn 2006 - 2008 Hà Nội 2008 Hà Nội 2008 1 Mục lục Mục lục............................................................................................................ 1 Danh mục hình vẽ............................................................................................ 3 Mở đầu............................................................................................................. 5 Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ ........................................................................... 7 1.1. Tập mờ.................................................................................................. 7 1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ ....................................................... 8 1.3. Quan hệ mờ ........................................................................................ 10 1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian .............................................. 10 1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau. 13 1.4. Cơ bản về suy diễn mờ ....................................................................... 14 1.5. Nguyên lý mở rộng ............................................................................ 17 1.6. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 18 Ch−ơng 2. tập mờ loại hai ............................................................................. 19 2.1. Giới thiệu chung................................................................................. 19 2.2. Hàm thuộc loại hai ............................................................................. 19 2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai ........................................................... 19 2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm.............................. 19 2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới ............................................ 26 2.3. Tập mờ loại hai nhúng........................................................................ 27 2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai ..................................................... 30 2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai ........................................................ 30 2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai ....................................................... 32 2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai ................................................. 33 2.5. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 36 Ch−ơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai ........................................................ 37 3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành ............................................. 37 3.1.1. Khái niệm chung ......................................................................... 37 3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian ............................................................................................................... 38 3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác nhau ....................................................................................................... 41 3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại hai .......................................................................................................... 42 3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai .................................................. 43 3.3. Các dạng luật mờ................................................................................ 45 3.4. Một số ph−ơng pháp suy diễn mờ loại hai ......................................... 46 3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành.......................................... 46 3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự t−ơng tự của các tập mờ....................... 48 3.5. Nhận xét ............................................................................................. 57 2 Ch−ơng 4. Hệ logic mờ loại hai khoảng........................................................ 59 4.1. Định nghĩa.......................................................................................... 59 4.2. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của tập mờ loại hai khoảng........ 60 4.3. Phép toán hợp và giao của tập mờ loại hai khoảng ............................ 62 4.4. Suy diễn với tập mờ loại hai khoảng .................................................. 63 4.5. Giảm loại và khử mờ .......................................................................... 68 4.6. Thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng bằng ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc BP (Back-Propagation) ................................................................... 70 4.7. ứng dụng của hệ logic mờ loại hai khoảng ........................................ 76 4.8. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 79 Kết luận ......................................................................................................... 80 Tài liệu tham khảo......................................................................................... 81 3 Danh mục hình vẽ Hình 1-1: Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong n−ớc …………………………… 7 Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) )(x À và )(xBà , (b) )(xBÀ ∪ , (c) )(xBÀ ∩ , (d) )(x Bà …………………………………………………………………… 9 Hình 1-3: đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ |)(| yxc −à ………………… 11 Hình 1-4 ………………………………………………………………… 16 Hình 2-1: (a) hàm thuộc loại một, (b) vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU …………………………………………………………………………… 20 Hình 2-2: Ví dụ về hàm thuộc loại hai ………………………………… 21 Hình 2-3: (a): một tập mờ loại hai Gaussian. (b): hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4 ……………………………………………………… 23 Hình 2-4 ……………………………………………………………… 24 Hình 2-5: FOU dạng tam giac ………………………………………… 25 Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình m không chắc chắn ……………………………………………… 26 Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn δ không chắc chắn ………………………………………………………… 26 Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đ−ờng đứt tô đậm) trong một tập mờ loại hai……………………………………………………………… 28 Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đ−ợc gắn với hàm thuộc loại hai đ−ợc biểu diễn trong Hình 2-2………………. 29 Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai ………………………………………… 37 Hình 4-1: Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không gian rời rạc. Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU ………………….. 60 Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2 ……….62 Hình 4-3: Xác định lf và l f . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm. ………………………………………………………… …67 Hình 4-4: Xác định )(~ ylBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm …………………………………………………………......67 4 Hình 4-5: Xác định )(~ yBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm …………………………………………………………….68 Hình 4-6: Minh hoạ cho tập mờ loại 2 khoảng đơn trị có hai luật. (a) FOU của 11 ~F và 12 ~F trong luật 1. (b) FOU của 21 ~F và 22 ~F trong luật 2 …………..73 Hình 4-7: Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của RMSEs1, RMSEns1, RMSEs2 . (a) giá trị trung bình, (b) độ lệch chuẩn ……………………… . 78 5 Mở đầu Lý thuyết tập mờ loại hai đ−ợc Zadeh đ−a ra từ năm 1975. Tập mờ loại hai ngày càng đ−ợc khẳng định vị trí −u việt của mình trong việc cải thiện và nâng cao chất l−ợng xử lý thông tin so với nhiều ph−ơng pháp truyền thống khác. Ngày nay, Logic mờ đ−ợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ… Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh h−ởng không nhỏ tới khả năng ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế. Chính vì vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận đ−ợc rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong những h−ớng nghiên cứu đó là tìm ra các ph−ơng pháp làm giảm độ phức tạp tính toán trong các hệ logic mờ loại hai. Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại hai. Ph−ơng pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất l−ợng và độ phức tạp tính toán của toàn hệ. Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2, đ−ợc sự h−ớng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Khang – Khoa CNTT - Đại Học Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài “Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai”. Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản đối với tập mờ loại hai, một số ph−ơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai tổng quát và tập mờ loại hai khoảng. Đề tài đ−ợc chia thành các phần sau: Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ: Ch−ơng này trình bày các khái niệm cơ bản về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc tr−ng của tập mờ loại hai. Ch−ơng 2. Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nh−ợc điểm của tập mờ loại một. Ch−ơng này trình bày những khái niệm và những đặc tr−ng cơ bản của tập mờ loại hai. Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng đ−ợc trình bày ở đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy diễn mờ. 6 Ch−ơng 3. Một số ph−ơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Ch−ơng này trình bày một số ph−ơng pháp suy diễn với tập mờ loại hai. Hai ph−ơng pháp suy diễn đ−ợc trình bày ở đây đó là ph−ơng pháp suy diễn dựa trên phép hợp thành và ph−ơng pháp suy diễn dựa trên độ t−ơng tự. Từ đó đ−a ra những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn ph−ơng pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ. Ch−ơng 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ một số nh−ợc điểm nh− độ phức tạp tính toán lớn. Do có cấu trúc đặc biệt nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát. Chính vì vậy, tập mờ loại hai khoảng th−ờng đ−ợc ứng dụng trong các hệ logic mờ. Ch−ơng này trình bày những đặc tr−ng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và ph−ơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng. 7 Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ 1.1. Tập mờ Định nghĩa 1-1: Tập mờ F xác định trong không gian X đ−ợc định nghĩa nh− sau: F = {(x, )(x Fà )| x ∈X} với )(xFà ∈ [0, 1] à F đ−ợc gọi là hàm thuộc của tập mờ F và )(xFà là giá trị độ thuộc của x ∈ X vào F. Để thuận tiên cho việc biểu diễn, ng−ời ta ký hiệu tập mờ F : F = ∫ X F xx /)(à , khi X liên tục F = xx X F /)(∑ à , khi X rời rạc ở đây, các kí hiệu ∫ và ∑ không phải là phép tích phân và tổng đại số mà là tập hợp tất cả các phần tử x ∈X kết hợp với giá trị độ thuộc )(x Fà t−ơng ứng của chúng. 0 25 50 75 100 0.5 1 )(x Fà )(xDà x )(xà Hình 1-1. Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong n−ớc (1-1) (1-3) (1- 2) 8 Ví dụ 1-1: Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện đ−ợc sản xuất trong n−ớc. ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc t−ơng ứng là )(x Fà và )(xDà ; x là tỷ lệ phần trăm các linh kiện sản xuất trong n−ớc. Một chiếc ô tô đ−ợc coi là nội địa nếu có )(x Dà > )(xFà , ng−ợc lại nó đ−ợc coi là xe ngoại nhập. Thông th−ờng, đồ thị sử dụng để mô tả cho các hàm thuộc của một tập mờ có dạng hình tam giác, hình thang, Gaussian .v.v. Các hàm thuộc th−ờng đ−ợc lựa chọn một cách tùy ý trên cơ sở kinh nghiệm của ng−ời sử dụng về lĩnh vực liên quan hoặc ph−ơng pháp tính toán tối −u mà họ lựa chọn. 1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ Trong lý thuyết tập mờ, các phép toán tập hợp đ−ợc định nghĩa thông qua các hàm thuộc của chúng. Giả sử A và B là hai tập mờ xác định trên không gian X đ−ợc đặc tr−ng bởi các hàm thuộc t−ơng ứng là )(x À và )(xBà . Định nghĩa 1-2: Hợp của hai tập mờ A và B, ký hiệu BA∪ , có hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x BÀ ∪ = max[ )(xÀ , )(xBà ] Định nghĩa 1-3: Giao của hai tập mờ A và B, ký hiệu BA∩ , có hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x BÀ ∩ = min[ )(xÀ , )(xBà ] Phần bù của tập mờ A, ký hiệu A và hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x À = 1 - )(xÀ Xét ví dụ sau: Ví dụ 1-2: Cho hai tập mờ A và B có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: )(x À = ⎩⎨ ⎧ ≤≤−+ ≤≤ − 15.0],)5.0(1/[1 5.00,0 2 xx x nếu nếu (1-4) (1-5) (1-6) (1-7) 9 )(x Bà = 10,)707.0(1 1 4 ≤≤−+ xx Hình 1-2 d−ới đây mô tả các hàm thuộc )(x À , )(xBà , )(xBÀ ∪ , )(xBÀ ∩ , )(x À Ví dụ này cho thấy phép hợp, giao của một tập mờ với phần bù của nó có kết quả khác so với trong tập rõ. Bởi vì, rõ ràng XAA ≠∪ và φ≠∩ AA . Ngoài việc sử dụng các phép toán maximum và minimum, ng−ời ta còn có thể định nghĩa các phép hợp và phép giao khác cho tập mờ. Chẳng hạn, Zadeh định nghĩa hai phép toán hợp và giao cho tập mờ nh− sau: (1-8) 0.707 0.5 )(x Bà )(x À x 1 (a) 0.707 0.5 x 1 )(x BÀ ∪ (b) 0.707 0.5 )(x BÀ ∩ x 1 0.707 0.5 )(x Bà x 1 )(x Bà (d) Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) )(x À và )(xBà , (b) )(x BÀ ∪ , (c) )(xBÀ ∩ , (d) )(xBà (c) 10 1. Phép hợp: )(x BÀ ∪ = )(xÀ + )(xBà - )()( xx BA àà 2. Phép giao: )(x BÀ ∩ = )()( xx BA àà Sau đó, Klir và Yuan định nghĩa hai phép toán t-conorm cho phép hợp và t-norm cho phép giao sử dụng cho tập mờ: Phép toán t-conorm (còn gọi là s-norms) đ−ợc sử dụng cho phép hợp, đ−ợc ký hiệu là ⊕ . Maximum và phép tổng đại số là phép toán t-conorm. D−ới đây là hai ví dụ về t-conorm: ™ x⊕ y = min(1, x+y) ™ x⊕ y = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = lại ng−ợc nếu nếu nếu 1 0 0 xy yx Phép t-norm đ−ợc sử dụng cho phép giao, đ−ợc ký hiệu là ∗ . Minimun và hàm đại số là t-norm. D−ới đây là hai ví dụ về t-norm. ™ x∗y=max(0, x+y-1) ™ x∗y = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = lại ng−ợc nếu nếu nếu 0 1 1 xy yx Việc định nghĩa các t-conom, t-norm và phép lấy phần bù khác nhau sử dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ. 1.3. Quan hệ mờ Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kết hợp, sự ảnh h−ởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay nhiều tập mờ. 1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian Định nghĩa 1-4: Gọi U và V là hai không gian nền. Quan hệ mờ, R(U,V) là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các UìV. Tập mờ này là tập con của UìV và đ−ợc đặc tr−ng bởi hàm thuộc ),( yx Rà , với x U∈ và y V∈ . R(U,V) = {((x,y), ),( yx Rà )| (x,y) VU ì∈ }, với ),( yxRà ∈[0,1] (1-15) (1-9) (1-10) (1-11) (1-12) (1-13) (1-14) 11 Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực. Xét quan hệ mờ “mục tiêu x là gần với mục tiêu y”. Hàm thuộc của quan hệ mờ này đ−ợc xác định nh− sau: }0,5/|)|5max{(|)(| yxyxc −−≡−à Hàm thuộc của quan hệ này đ−ợc diễn tả trong Hình 1-3. Chú ý rằng khoảng cách giữa hai mục tiêu x và y đ−ợc xác định bởi |x-y|, đ−ợc hiểu nh− là một biến phụ thuộc. Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết tập hợp và các phép toán số học có thể đ−ợc định nghĩa và sử dụng đối với các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần tr−ớc. Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV. Các phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó đ−ợc định nghĩa: ),( yxSR∩à = ),( yxRà ∗ ),( yxSà ),( yxSR∪à = ),( yxRà ⊕ ),( yxSà ở đây, ∗ là các t-norm và ⊕ là các t-conorm. Ví dụ 1-4: Xem xét mức độ phù hợp của hai quan hệ mờ sau đây: “u gần với v” và “u nhỏ hơn v”; và quan hệ mờ “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v”. Tất cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV. Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng U={u1, u2} = {2, 12} và V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Chúng ta sẽ tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai quan hệ này. Hàm thuộc cho các quan hệ mờ “gần” và “nhỏ” ký hiệu là 1 5 |x-y| |)(| yxc −à Hình 1-3: Đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ |)(| yxc −à (1-16) (1-18) (1-17) 12 ),( vucà và ),( vusà . Các số trong ),( vucà và ),( vusà đ−ợc chọn để phù hợp với khái niệm sự so sánh hai số trong U và V. Giả sử dùng minimum t-norm (∧ ) và maximum t-conorm (∨ ) cho các phép hợp và giao khi đó: ),(),(),( jisjicjisc vuvuvu ààà ∨=∪ và ),(),(),( jisjicjisc vuvuvu ààà ∧=∩ ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Sử dụng các công thức (1-21) và (1-22), ta có: Từ (1-23) và (1-24) chúng ta thấy rằng “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn nhiều so với “u gần v” và “u nhỏ hơn v” bởi vì giá trị độ thuộc ),( vusc∪à t−ơng đối lớn, trong khi đó giá trị độ thuộc ),( vusc∩à t−ơng đối nhỏ. 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9.04.01.0 1.04.09.0 321 vvv ≡),( vucà 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3.000 16.00 321 vvv ≡),( vusà (1-21) (1-22) 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9.04.01.0 16.09.0 321 vvv ≡∪ ),( vuscà 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3.000 1.04.00 ≡∩ ),( vuscà 321 vvv (1-23) (1-24) (1-19) (1-20) 13 1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau Định nghĩa 1-5: Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các UìV và S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các VìW có các hàm thuộc t−ơng ứng là ),( yx Rà và ),( zySà với ),( yxRà ∈[0,1] , ),( zySà ∈[0,1]. Phép hợp thành giữa quan hệ mờ R và S ký hiệu là R oS, là một quan hệ mờ có hàm thuộc ),( zx SRà o đ−ợc định nghĩa: ),( zx SRà o = supy∈V[à R (x,y)∗ à S (y,z)] ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử ∗ là một t- norm, chẳng hạn nh− hàm minimum. Nh− vậy, sup-star ở đây đ−ợc hiểu nh− các sup-min và sup-product t−ơng đ−ơng với các max-min và max-product. Ví dụ 1-5: Giả sử c là một quan hệ mờ “u gần v” trên không gian tích Đê- các UìV, ở đây U={u1, u2} và V={v1,v2,v3}, với các giá trị đ−ợc cho nh− sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này đ−ợc cho bởi (1-19). Và mb một quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” trên không gian VìW, ở đây W={w1, w2}={4.8}, giá trị độ thuộc ),( wvmbà đ−ợc cho trong (1-26) d−ới đây: ),( wv mbà = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 7.0 0 0 1 6.0 0 3 2 1 21 v v v ww Phát biểu “u gần v” và “v lớn hơn nhiều w” thể hiện phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc ),( wu mbcà o đ−ợc xác định theo (1-25) và minimun-tnorm nh− sau: ),( jimbc wuà o = [ ),(),( 11 jmbic wvvu àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 22 jmbic wvvu àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 33 jmbic wvvu àà ∧ ] với i = 1,2 ; j = 1,2,3; ∧ thể hiện minimum và ∨ thể hiện maximum. Chẳng hạn: (1-25) (1-26) (1-27) 14 ),( 11 wumbcà o = [ ),(),( 1111 wvvu mbc àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 1221 wvvu mbc àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 1331 wvvu mbc àà ∧ ] = [0.9 ∧ 0] ∨ [0.4 ∧ 0.6] ∨ [0.1 ∧ 1] = 0 ∨ 0.4 ∨0.1 = 0.4 Tính toán t−ơng tự cho các phần tử còn lại chúng ta có ma trận độ thuộc của các thành phần của quan hệ mờ ),( wu mbcà o nh− sau: ),( wu mbcà o = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 7.0 1.0 9.0 4.0 2 1 21 u u ww Chú ý: Trong tr−ờng hợp V = U, khi đó hàm thuộc à R (x,y) trở thành à R (x) hoặc à R (y), ví dụ quan hệ mờ “y là một số trung bình và y nhỏ hơn z”. vì V=U, khi đó phép hợp thành sup-star trong (1-25) trở thành: supy∈V[à R (x,y)∗ à S (y,z)] = supx∈U[à R (x)∗ à S (x,z)] đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z. Nh− vậy, chúng ta có thể đơn giản ký hiệu ),( zx SRà o thành )(zSRà o , và ta có )(z SRà o = supx∈U[à R (x)∗ à S (x,z)] 1.4. Cơ bản về suy diễn mờ Luật mờ là một thành phần chính trong hệ logic mờ. Trong Logic mờ các luật th−ờng đ−ợc phát biểu d−ới dạng mệnh đề if – then (nếu – thì): If x is A, then y is B, với x ∈ X và y ∈ Y (nếu x là A thì y là B, với x ∈ X và y ∈ Y) Mệnh đề trên là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai tập mờ A và B, hàm thuộc của mối quan hệ này ký hiệu là ),( yx BÀ → , với à BA→ (x,y) ∈[0,1]. ở đây, à BA→ (x,y) xác định độ thuộc của mối quan hệ giữa x và y trong không gian tích Đê-các XìY. (1-28) (1-29) (1-30) (1-31) 15 Hàm thuộc của mối quan hệ mờ giữa hai tập mờ A và B có thể đ−ợc xác định theo các Công thức (1-32) – (1-34) d−ới đây: ),( yx BÀ → = 1- min[ )(xÀ , 1 - )(yBà ] ),( yx BÀ → = max[1- )(xÀ , )(yBà ] ),( yx BÀ → =1- )(xÀ (1- )(yBà ) Trong Logic mờ, luật Modus Ponen đ−ợc tổng quát hóa nh− sau: Giả thiết: x là A* Phép kéo theo: Nếu x là A thì y là B Kết luận: y là B* Trong đó A*, A, B*, B là các tập mờ. Từ dạng thức Modus Ponen tổng quát của luật chúng ta thấy có sự khác nhau ở tên gọi của giả thiết (A và A*) và kết luận (B và B*). Điều này nói lên rằng, trong logic mờ, tập mờ giả thiết A* không phải lúc nào cũng trùng với tập mờ giả thiết A của luật if-then. Và tập mờ kết luận B* không phải luôn trùng với kết luận B của luật if-then. Trong logic rõ, một luật chỉ đ−ợc đốt cháy nếu và chỉ nếu giả thiết trùng với vế trái của luật và kết quả chính là vế phải của luật. Trong logic mờ, luật đ−ợc đốt cháy với một độ thuộc khác 0 của sự t−ơng tự giữa giả thiết và vế trái của luật; và kết quả là một độ thuộc khác 0 của sự t−ơng tự giữa kết luận và vế phải của luật. Luật mờ dạng Modus Ponen tổng quát là một kết cấu mờ; ở đây, quan hệ mờ thứ nhất là một tập mờ đơn thuần A*. Do vậy, sử dụng (1-31), )(* yBà nhận đ−ợc từ phép hợp thành sup-star nh− sau: )(* yBà = )],()([ *sup yxx BAAXx àà →∈ ∗ Để hiểu rõ hơn về (1-35), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau đây. Trong ví dụ này, chúng ta giả sử rằng tập mờ A* là một tập mờ đơn trị (singleton), còn gọi là bộ mờ hóa đơn trị. ⎩⎨ ⎧ ∈∀≠ == Xxxx xx x A vàvới với ' ' 0 1 )(*à (1-35) (1-36) (1-32) (1-34) (1-33) 16 Với bộ mờ hóa đơn trị, (1-35) trở thành: )(* yBà = )],()([ *sup yxx BAAXx àà →∈ ∗ = ]0),,([ 'sup yxBAXx à →∈ = ),( ' yxBÀ → Nh− vậy, với bộ mờ hóa đơn trị việc tính toán supermum dễ dàng hơn, bởi vì )(* xÀ chỉ khác không tại một điểm duy nhất, x’. Ví dụ 1-6: Sử dụng (1-32) cho ),( yx BÀ → , khi đó (1-37) trở thành )(* yBà = 1- min[ )( 'xÀ , 1 - )(yBà ] Đồ thị minh họa kết quả phép hợp thành đ−ợc đ−a ra trong Hình 1-4. )(y Bà đ−ợc thể hiện trong hình (a); chúng ta tính toán 1- )(yBà và đ−ợc thể hiện trong hình (b); độ thuộc )( 'x À cũng đ−ợc đ−a ra trong hình (b), sau đó chúng ta xác định đ−ợc min[ )( 'x À , 1 - )(yBà ], cũng đ−ợc thể hiện trong hình (b). Chú ý rằng, giá trị độ thuộc )( 'x À trong hình (b) đ−ợc chọn một cách tùy ý với )( 'x À ∈ [0,1]. Cuối cùng, chúng ta xác định đ−ợc 1- min[ )( 'x À , 1 - )(yBà ] và đ−ợc thể hiện trong hình (c). )(y Bà 1 y )(1 yBà− 1 y )( 'x À min[ )( 'x À , 1 - )(y Bà ] 1 (a) (b) (c) Hình 1-4 1 - min[ )( 'x À , 1 - )(y Bà ] y (1-37) 17 1.5. Nguyên lý mở rộng Công cụ để tính toán các phép hợp, giao và phần bù của một tập mờ loại hai là nguyên lý mở rộng của Zadeh (1975); Dubois và Prade (1980). Sau đây là nguyên lý mở rộng tổng quát. Tích Đê-các của r tập rõ bất kỳ X1, X2, …, Xr , ký hiệu X1ìX2 ì…ìXr là một tập rõ của tập tất cả các bộ r phần tử đ−ợc đánh chỉ số (x1, x2, …, xr) với xi ∈ Xi , i = 1 ..r X = X1ìX2ì…ìXr = {(x1, x2, …, xr) | x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr} Gọi f là một ánh xạ từ không gian X vào không gian Y, khi đó: y = f(x1, x2, …, xr) ∈ Y Tiếp theo, giả sử A1, A2, …Ar lần l−ợt là các tập mờ loại một trong X1, X2, …Xr. Khi đó, nguyên lý mở rộng cho phép chúng ta ánh xạ r tập mờ loại một A1, A2, …Ar thành một tập mờ loại một B đ−ợc xác định trên Y qua một hàm f nh− sau, B = f(A1, A2, …Ar) với: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = − ∈ − φ ààà à )(0 )}(...,),(),(min{sup )( 1 )()..,,( 21 1 21 21 yif fxxxy f xxx y rAAA B r r ở đây f-1(y) ký hiệu tập tất cả các điểm x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr thỏa mãn: y = f(x1, x2, …, xr) Để tính toán (1-38), tr−ớc tiên chúng ta xác định các giá trị x1, x2, ..xr thỏa mãn y = f(x1, x2, …, xr), sau đó tính toán các giá trị )( 1 1 x À , …, )( rA xrà và xác định min{ )( 1 1 x À , …, )( 1xrÀ }. Nếu có nhiều hơn một bộ số (x1, …, xr) cho cùng một giá trị y = f(x1, x2, …, xr), khi đó )(yBà đ−ợc xác định là giá trị lớn nhất của các min( )( 1 1 x À , …, )( rA xrà ) ứng với mỗi bộ số. Trong định nghĩa nguyên lý mở rộng của mình, Zadeh sử dụng minimum t-norm và maximum t-conrm. Ngoai ra, Mizumoto, Tanaka và Dubois còn sử dụng các t-norm và t-conorm. Khi sử dụng một t-norm khác thay cho minimum trong (1-38), chúng ta sẽ thay thế thành phần sup-min bởi sup-star. Một cách tổng quát, tập mờ loại một B đ−ợc xác định từ r tập mờ loại một A1, A2, …Ar lần l−ợt xác định trên X1, X2, …Xr qua hàm f đ−ợc định nghĩa: (1-38) 18 B = f(A1, A2, …Ar) = ),..,(/)(...)(... 11 111 rrAXx AXx xxfxx rrr àà ∗∗∫∫ ∈∈ cho tr−ờng hợp Xi , i =1 ..r là không gian liên tục và B = f(A1, A2, …Ar) = )),..,(/)(...)(... 11 1 11∑ ∑∈ ∈ ∗∗Xx Xx rrAArr r xxfxx àà cho tr−ờng hợp Xi , i =1 ..r là không gian rời rạc Ví dụ nếu f(x1, x2) = x1x2/(x1+x2) khi đó: B = f(A1, A2) = 21 21 1 /)()( 222 111 xx xxxx rAXx AXx +∗∫∫ ∈∈ àà 1.6. Kết luận ch−ơng Trong ch−ơng này đã trình bày sơ l−ợc về khái niệm tập mờ, các phép toán tập hợp trên tập mờ bao gồm các phép toán hợp, giao, lấy phần bù. Ngoài ra, còn giới thiệu về quan hệ mờ và cơ bản về suy diễn mờ. Tập mờ trong ch−ơng này có độ thuộc của mỗi phần tử trong không gian nền là một số thực thuộc đoạn [0, 1], do đó đ−ợc gọi là tập mờ loại một để phân biệt với khái niệm tập mờ loại hai đ−ợc đ−a ra ở ch−ơng tiếp theo. (1-39) (1-40) 19 Ch−ơng 2. tập mờ loại hai 2.1. Giới thiệu chung Trong Ch−ơng một đã đề cập những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết tập mờ. Tuy nhiên, lý thuyết tập mờ thông th−ờng (tập mờ loại một) tiềm ẩn những mâu thuẫn nhất định. Đó là để phát triển bất cứ hệ logic mờ nào, ng−ời thiết kế phải xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ sử dụng trong hệ, hay là phải mô tả sự không chắc chắn bằng các hàm thuộc rõ ràng, chắc chắn. Điều đó có nghĩa là việc biểu diễn sự không chắc chắn lại sử dụng các độ thuộc mà bản thân chúng là các số thực chính xác. Năm 1975, Zadeh giới thiệu khái niệm tập mờ loại hai nhằm giải quyết vấn đề trên. Đó là thay vì độ thuộc là một số thực nh− với tập mờ thông th−ờng, với tập mờ loại hai, độ thuộc là một tập mờ loại một trên đoạn [0, 1]. Tập mờ loại hai th−ờng đ−ợc sử dụng trong những tr−ờng hợp khó xác định chính xác giá trị độ thuộc của các phần tử trong không gian nền. Trong ch−ơng này sẽ đề cập đến khái niệm tập mờ loại hai, các phép toán và các tính chất trên nó. 2.2. Hàm thuộc loại hai 2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai Đối với tập mờ loại một, độ thuộc của các phần tử là các giá trị số thực trong khoảng [0, 1]. Trong tr−ờng hợp chúng ta không thể xác định đ−ợc giá trị độ thuộc của các phần tử, khi đó chúng ta có sử dụng các tập mờ loại một đề biểu diễn giá trị độ thuộc đó. Mở rộng tập mờ loại một bằng cách cho phép các độ thuộc là các tập mờ loại một trong khoảng [0, 1] ta đ−ợc khái niệm tập mờ loại hai. Một trong những −u điểm của tập mờ loại hai so với tập mờ loại một đó là nó cho phép biểu diễn các giá trị độ thuộc bằng các giá trị mờ, các giá trị ngôn ngữ chứ không phải là các giá trị số hoàn toàn chính xác. 2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm Hình 2-1 (a) biểu diễn hàm thuộc của một tập mờ loại một. Dịch chuyển các điểm trên đồ thị này sang phải và sang trái một đoạn không nhất thiết bằng nhau, vết mờ đ−ợc tạo ra nh− Hình 2-1 (b). Tại một giá trị cụ thể của x gọi là x’, giá trị hàm thuộc không còn là một giá trị đơn nữa, mà là một tập 20 các giá trị nằm trong đoạn giao cắt của đ−ờng x = x’ với vệt mờ. Nh− vậy, chúng ta có thể gán một biên độ phân tán cho mỗi điểm. Thực hiện việc gán biên độ cho tất cả các điểm x ∈ X, chúng ta tạo ra một hàm thuộc ba chiều – một hàm thuộc loại hai, đặc tr−ng cho tập mờ loại hai. Định nghĩa 2-1: Một tập mờ loại hai, ký hiệu A~ , đ−ợc mô tả bởi một hàm thuộc loại hai ),(~ uxÀ , với x ∈ X và u ∈ Jx ⊆ [0, 1], A~ = {((x,u), ),(~ uxÀ ) | x∀ ∈ X , u∀ ∈ Jx ⊆ [0, 1]} ở đây, ),(~ uxÀ ∈ [0, 1]. Có thể biểu diễn A~ nh− sau: A~ = ),/(),(~ uxux Xx Ju A x ∫ ∫ ∈ ∈ à , Jx ⊆ [0, 1] phép ∫∫ ở đây biểu thị tập hợp tất cả các giá trị có thể chấp nhận của x và u. Ví dụ 2-1: Hình 2-2 diễn tả ),(~ uxÀ cho các giá trị x và u rời rạc. Với X = {1, 2, 3, 4, 5} và U = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J1 = {0, 0.2, 0.4}, J2 = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J3 = {0.6, 0.8} và J4 = J1 . Trong đồ thị, chúng ta chỉ thể hiện các giá trị trong J1, …, J5 có giá trị ),(~ uxÀ ≠ 0. Mỗi đ−ờng (2-1) (2-2) u 1 )(x À 0 (a) 1 0 (b) u u 1 0 (c) Hình 2-1: (a) Hàm thuộc loại một, (b) Vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU x x x x' 21 thẳng đứng đậm trong hình thể hiện một giá trị ),(~ uxÀ , t−ơng ứng với một cặp giá trị (x, u) xác định. Trong Định nghĩa 2-1, giới hạn các giá trị u: ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1], điều này phù hợp với ràng buộc của một tập mờ loại một: 0 )(x À≤ ≤ 1. Nếu vết mờ (nh− trong ví dụ Hình 2-1 (b)) biến mất thì hàm thuộc loại hai sẽ giảm thành hàm thuộc loại một. Hơn nữa, việc giới hạn 0 ),(~ uxÀ≤ ≤ 1 cũng phù hợp ràng buộc giá trị của một hàm thuộc nằm trong khoảng [0,1]. Định nghĩa 2-2: Tại mỗi giá trị của x, x = x’, mặt phẳng hai chiều mà các trục của nó là u và ),( '~ uxÀ đ−ợc gọi là một lát cắt dọc của ),(~ uxÀ . Một hàm thuộc thứ cấp là một lát cắt dọc của ),(~ uxÀ . Hàm thuộc thứ cấp chính là ),'(~ uxxA =à với x’ ∈ X và ∀u ∈ J x ' ⊆ [0, 1], ),'(~ uxxA =à ≡ )'(~ xÀ = ∫ ∈J uu x u xf /)(' J x ' ⊆ [0, 1] ở đây, 0 ≤≤ )( ' uf x 1. Vì ∀x’ ∈ X, nên ta có thể bỏ dấu phẩy trên )'(~ xÀ quy thành )(~ xÀ là một hàm thuộc thứ cấp. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 J1 J2 J3 J4 J5 a b c x u ),(~ uxÀ 1 Hình 2-2. Ví dụ về hàm thuộc loại hai (2-3) 22 Sử dụng (2-3), A~ có thể đ−ợc biểu diễn lại d−ới dạng: A~ = {(x, )(~ xÀ ) | Xx∈∀ } hoặc A~ = xx Xx A /)(~∫ ∈ à = x J uu x u x Xx f /]/)([ ∫∫ ∈∈ , Jx ⊆ [0,1] Định nghĩa 2-3: Miền của một hàm thuộc thứ cấp đ−ợc gọi là độ thuộc sơ cấp của x. Trong (2-5), Jx là độ thuộc sơ cấp của x, ở đây Jx ⊆ [0,1] với ∀x ∈ X. Định nghĩa 2-4: Giá trị của một hàm thuộc thứ cấp đ−ợc gọi là độ thuộc thứ cấp. Trong (2-5), fx(u) là một độ thuộc thứ cấp; trong (2-1), )','(~ uxÀ ( x’ ∈ X và u’ ∈ U) là một độ thuộc thứ cấp. Nếu X và Jx là các tập rời rạc khi đó vế phải của (2-5) có thể đ−ợc biểu diễn lại nh− (2-6) d−ới đây: xuuJ fA Xx u xx /]/)([~ ∑ ∑∈ ∈= = xf iN i u x u J u xi i /]/)([ 1 ∑ ∑ = ∈ = xuf k M k x 111 /)]([ 1 1 ∑ = + … + xuf NNk M k N Nx /)]([ 1 ∑ = Trong (2-6), x đ−ợc rời rạc hóa thành N giá trị và tại mỗi giá trị của x, u cũng đ−ợc rời rạc hóa thành Mi giá trị. Việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik là không giống nhau. Tuy nhiên, nếu việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik là nh− nhau thì khi đó Mi = M2 = … = MN = M. Ví dụ 2-2: Trở lại Hình 2-2, hàm thuộc thứ cấp tại x = 1 là a / 0 + b / 0.2 + c / 0.4. Các giá trị độ thuộc sơ cấp của nó tại x = 1 là u = 0, 0.2, 0.4 và các độ thuộc thứ cấp kết hợp với chúng là a, b, c. Khi fx(u) = 1 với ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1] thì các hàm thuộc thứ cấp là các tập khoảng. Nếu điều này là đúng với mọi x ∈ X, khi đó chúng ta gọi tập mờ loại hai này là tập mờ loại hai khoảng và chúng ta có hàm thuộc lọai 2 khoảng. Tập mờ loại hai khoảng sẽ đ−ợc trình bày chi tiết ở Ch−ơng bốn. Ví dụ 2-3: Hàm thuộc thứ cấp dạng Gaussian và tam giác th−ờng có đỉnh tại điểm trung tâm của độ thuộc sơ cấp của x và giá trị hàm thuộc thứ cấp giảm nhanh đối với các điểm xa điểm trung tâm đó. Nh− vậy, giá trị cực đại (2-4) (2-5) (2-6) 23 của fx(u) đạt tại trung điểm của Jx. Một hàm thuộc loại hai Gaussian đ−ợc diễn tả ở Hình 2-3. Định nghĩa 2-5: Độ không chắc chắn trong các độ thuộc sơ cấp của một tập mờ loại hai, A~ , là một miền giới hạn, đ−ợc gọi là chân đế của độ không chắc chắn (FOU). FOU là hợp của tất cả các độ thuộc sơ cấp. FOU( A~ ) = xXx J∈U Về mặt ý nghĩa hình học, FOU mô tả trực quan độ không chắc chắn của tập mờ loại hai, nó là biểu diễn hình học toàn bộ miền trị cho tất cả các độ (2-7) 0 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 1 1 f4(u) x Hình 2-3: (a): Một tập mờ loại hai Gaussian. (b): Hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4 (a) (b) u u 24 thuộc thứ cấp của một hàm thuộc loại hai. Trong các ứng dụng, FOU là một căn cứ đầu tiên để chúng ta lựa chọn các hàm thuộc loại hai phù hợp. Vùng tô đen trong Hình 2-4 (a) minh họa FOU của một tập mờ loại hai. Ví dụ 2-4: Ví dụ này chỉ ra một cách đơn giản để xây dựng một FOU cho một khoảng với hai điểm xác định với các hàm thuộc tam giác. Gọi a là giá trị trung bình của của các điểm bên trái của khoảng, b là giá trị trung bình của các điểm bên phải của khoảng và độ lệch chuẩn của các điểm bên trái là δ a , của các điểm bên phải là δ b . Chúng ta định nghĩa hai khoảng không chắc chắn t−ơng ứng với hai điểm a và b là [a - δ a , a + δ a ] và [b - δ b , b + δ b ]. Gọi r là khoảng cách giữa hai điểm a và b. Gọi T là trung điểm của a và b. Xác định đỉnh của các tam giác là giao điểm của đ−ờng u0.7 0 1 )( 1~ xÀ u 0.8 0 1 )( 2~ xÀ 0.4 Hình 2-4 (b): Các hàm thuộc sơ cấp )( 1~ xÀ và )( 2~ xÀ tại hai điểm x1 và x2. Các hàm thuộc sơ cấp này là các tập mờ khoảng Jx1 Jx2 x1 x2 x 1 Hình 2-4 (a): Miền tô đen là FOU của một tập mờ loại hai. Độ thuộc sơ cấp Jx1 và Jx2 tại điểm x1 và x2 (a) u 25 thẳng song song với trục u đi qua trung điểm T của a và b cắt với đ−ờng u = 1. FOU đ−ợc xác định là hợp của tam giác ((0, a - δ a ), (0, a + δ a ), (a+r/2,1)) và tam giác ((0, b -δ b ), (0, b+δ b ), (b-r/2,1)). (Hình 2-5). Định nghĩa 2-6: Giả sử à A (x | p1, p2, …, pv) trong đó p1, p2, …, pv là các tham số, các giá trị pi biến đổi trong một miền giá trị Pi ,(pi ∈Pi) xác định một họ hàm thuộc loại một. Một hàm thuộc sơ cấp (gọi tắt là MF) đ−ợc định nghĩa là một hàm thuộc loại một bất kỳ trong trong họ hàm thuộc loại một trên: à A (x | p1= p1’ , p2 = p2’ , …, pv = pv’) Để đơn giản, chúng ta ký hiệu một hàm thuộc sơ cấp là à A (x). Một họ hàm thuộc sơ cấp xác định một FOU. Nh− vậy, Định nghĩa 2-6 chỉ cho chúng ta một ph−ơng pháp xác định FOU từ họ hàm thuộc sơ cấp. Các ví dụ sau đây minh họa việc xác định một FOU từ một họ MF. Ví dụ 2-5: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình không chắc chắn. Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn δ không đổi và giá trị trung bình m biến đổi trong khoảng [m1, m2]: u 1 a b x δ a δ br r/2 Hình 2-5: FOU dạng tam giác 26 à A (x) = exp ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −− 2)(21 δ mx , m ∈ [m1, m2] T−ơng ứng với mỗi giá trị m chúng ta sẽ nhận đ−ợc một đ−ờng cong độ thuộc khác nhau. Họ các đ−ờng cong này xác định một FOU, nh− Hình (2-6). Ví dụ 2-6: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn không chắc chắn. Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình m không đổi và độ lệch chuẩn δ biến đổi trong khoảng [ 1δ , 2δ ] : à A (x) = exp ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −− 2)(21 δ mx , δ ∈ [ 1δ , 2δ ] T−ơng ứng với mỗi giá trị δ chúng ta sẽ nhận đ−ợc một đ−ờng cong độ thuộc khác nhau. Họ các đ−ờng cong này xác định một FOU, nh− Hình (2-7). 2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới Khái niệm FOU có thể đ−ợc diễn tả bởi một khái niệm khác đó là hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới. (2-8) (2-9) 1 xm1 m2 Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình m không chắc chắn 1 m x 1δ 2δ Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn δ không chắc chắn 27 Định nghĩa 2-7: Một hàm thuộc trên và một hàm thuộc d−ới là hai hàm thuộc loại một, là hai đ−ờng biên FOU của một tập mờ loại hai A~ . Hàm thuộc trên đ−ợc gắn với đ−ờng biên trên của FOU( A~ ) và đ−ợc ký hiệu là à A~ (x), ∀x ∈ X. Hàm thuộc d−ới đ−ợc gắn với đ−ờng biên d−ới của FOU( A~ ) và đ−ợc ký hiệu là à A~ (x), ∀x ∈ X. à A~ (x) ≡ )~(AFOU ∀x ∈ X à A~ (x) ≡ )~(AFOU ∀x ∈ X Vì miền trị của một hàm thuộc thứ cấp nằm trong khoảng [0,1] nên hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới luôn luôn tồn tại. Từ (2-7), chúng ta thấy rằng )~(AFOU = xXx J∈U và ) ~(AFOU = J xXx∈U , ở đây J x và J x ký hiệu bao trên và bao d−ới của J x . Nh− vậy, à A~ (x) = J x và à A~ (x) = J x với ∀x ∈ X. Với khái niệm này, chúng ta có thể viết lại (2-5) nh− sau: A~ = ),(~ uxÀ = xx Xx A /)(~∫ ∈ à = ∫ ∫ ∈ ∈Xx u xJ xuuf x /]/)([ = ∫ ∫ ∈ ∈Xx xxu xAA xuuf)](),([ ~~ /]/)([ àà Khi đó hàm thuộc thứ cấp à A~ (x) có thể đ−ợc viết lại theo (2-13): à A~ (x) = ∫ ∈ )](),([ ~~ /)(xxu xAA uufàà 2.3. Tập mờ loại hai nhúng Định nghĩa 2-8: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại hai nhúng A~ đ−ợc định nghĩa: eA ~ = xf x Xx /]/)([∫∫ ∈ θθ , J x∈θ ⊆ U = [0,1] Tập eA ~ đ−ợc nhúng trong tập A~ . Có vô số các tập mờ loại hai đ−ợc nhúng trong A~ khi X và U là hai không gian liên tục. (2-10) (2-11) (2-12) (2-13) (2-14) 28 Tại mỗi giá trị của x, hàm thuộc của eA ~ nhận duy nhất một giá trị độ thuộc sơ cấp θ , ( J x∈θ ) và đ−ợc kết hợp với một độ thuộc thứ cấp )(θf x . Hình 2-8 là một ví dụ về một tập mờ loại hai nhúng. Nh− vậy, một tập mờ loại hai A~ có thể đ−ợc hiểu là một tập hợp các tập mờ loại hai eA ~ , đ−ợc gọi là các tập mờ loại hai nhúng trong A~ . Khi tính toán với tập mờ loại hai, chúng ta th−ờng rời rạc hóa không gian X và U nh− trong (2-6). Khi đó, sẽ có một số hữu hạn các tập mờ loại hai nhúng eA ~ trong A~ . Định nghĩa 2-9: Cho hai không gian rời rạc X và U, một tập mờ loại hai nhúng eA ~ có N phần tử là các giá trị độ thuộc sơ cấp ký hiệu là θ 1 , θ 2 , …, θ N với J xii ∈θ ,(i = 1..N) và mỗi giá trị độ thuộc sơ cấp θ i này đ−ợc kết hợp với duy nhất một giá trị độ thuộc thứ cấp )(θ if xi , (i = 1 ..N). eA ~ = xf i N i iixi /]/)([ 1∑= θθ , J xii ∈θ ⊆ U = [0,1] Tập eA ~ đ−ợc nhúng trong A~ , và có tổng số ∏=Ni iM1 tập mờ nhúng eA~ trong A~ . Định nghĩa 2-10: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại một nhúng eA đ−ợc định nghĩa: (2-15) 1 x Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đ−ờng đứt tô đậm) trong một tập mờ loại hai. 29 eA = ∫ ∈Xx x/θ , θ ∈ J x ⊆ U = [0,1] Tập eA là tập tất cả các độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai nhúng eA ~ đ−ợc định nghĩa trong (2-14). Có vô số tập mờ loại một nhúng eA của eA ~ khi hai tập X và U liên tục. Định nghĩa 2-11: Cho hai không gian rời rạc X và U, trong mỗi tập J x1 , J x2 , .., J xN , là N độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai A ~ , ta chọn duy nhất một phần tử θ i (θ i J xi∈ , i =1 ..N) ta đ−ợc N phần tử và tạo thành một tập mờ loại một nhúng đ−ợc xác định nh− sau: eA = xi N i i∑ =1 /θ , iθ ∈ J xi ⊆ U = [0,1] Nh− vậy, tập eA là tập hợp tất cả các độ thuộc sơ cấp của eA ~ đ−ợc định nghĩa trong (2-15). Có tất cả ∏=Ni iM1 tập mờ nhúng eA . Ví dụ 2-7: Hình 2-9 thể hiện hai tập mờ loại hai nhúng của hàm thuộc loại hai đ−ợc diễn tả trong Hình 2-2. T−ơng ứng với mỗi tập mờ loại hai nhúng đó là các tập mờ loại một nhúng: 0 / 1 + 0.4 / 2 + 0.8 / 3 + 0.8 / 4 + 0.4 / 5 (Hình 2-9 (a)) và 0.2 / 1 + 0.8 / 2 + 0.6 / 3 + 0.2 / 4 +0.2 / 5 (Hình 2-9 (b)) . (2-17) (2-16) ),(~ uxÀ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 J1 J2 J3 J4 J5 x u 1 (a) 30 2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai Trong phần này đề cập tới các phép toán tập hợp đối với tập mờ loại hai nói chung. Các phép toán tập hợp bao gồm phép hợp, giao, phần bù. Cho hai tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian X: A~ = xx X A /)(~∫ à = xuuJ fX xuX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J ux B~ = xx X B /)(~∫ à = xwwJ gX xWX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J wx 2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai Định nghĩa 2-12: Hợp của hai tập mờ loại hai A~ và B~ là một tập mờ loại hai đ−ợc xác định nh− sau: A~ ∪ B~ ⇔ ),(~~ vxBÀ ∪ = xxXx BA /)(~~∫ ∈ ∪à = xvvJv hXx xv X /]/)([∫ ∫∈ ∈ , ]1,0[⊆J vx 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 J1 J2 J3 J4 J5 x u ),(~ uxÀ 1 Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đ−ợc gắn với hàm thuộc loại hai đ−ợc biểu diễn trong Hình 2-2 (b) (2-18) (2-19) (2-20) 31 ở đây: vv J hv x v x /)(∫∈ = )/)(,/)(( wwJ J guufux wxu w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ))(),(( ~~ xx BA ààϕ và hàm ϕ đóng vai trò là của hàm f trong biểu thức (1-39) trong Ch−ơng một, là một hàm t-conorm của các hàm độ thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , ( )(~ xÀ và )(~ xBà là các tập mờ loại một). ϕ là một hàm t-conorm bởi vì hợp của hai tập mờ loại một t−ơng đ−ơng với một t-conorm (chẳng hạn nh− maximum) của các hàm thuộc của chúng. Theo công thức (1-39) ở Ch−ơng một, chúng ta có thể biểu diễn lại (2-21) nh− trong (2-22) d−ới đây: )/)(,/)(( ww J J guufu x w x u w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ),(/)()( wuwguJ J f xu w xux wx ϕ∗∫ ∫∈ ∈ Khi ϕ là phép toán maximun ∨ , khi đó, từ (2-21) và (2-22) chúng ta có: )(~~ xBÀ ∪ = vvJ hvxv x /)(∫∈ = )/()()( wuwguJ J f xu w xux wx ∨∗∫ ∫∈ ∈ , x ∈ X ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó. Một cách khác để diễn tả (2-23) theo hàm thuộc thứ cấp của A~ và B~ , )(~ xÀ và )(~ xBà nh− sau: )(~~ xBÀ ∪ = )/()()( vwguJ J f xu w xux wx ∗∫ ∫∈ ∈ ≡ )(~ xÀ C )(~ xBà , x ∈ X ở đây, v ≡ u ∨ w và C thể hiện phép tuyển (join). Sử dụng ký hiệu )(~ xÀ C )(~ xBà để thể hiện phép tuyển giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của (2-24). Biểu thức (2-24) chỉ ra rằng, để xác định một phép tuyển giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , tr−ớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị v ≡ u ∨ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J ux∈ và w J wx∈ là các độ thuộc sơ cấp của A~ và B~ t−ơng ứng); t−ơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ (2-21) (2-22) (2-23) (2-24) 32 thuộc thứ cấp của )(~~ xBÀ ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của )(~ xÀ và )(~ xBà là )(uf x và )(wg x t−ơng ứng. Theo (2-20), để nhận đ−ợc ),(~~ vxBÀ ∪ ta phải xác định phép tuyển giữa )(~ xÀ và )(~ xBà với mọi giá trị x ∈ X. Trong tr−ờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị u ∨ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất. Ví dụ: Nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1∨ w1 = u2∨ w2 = θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp t−ơng ứng với θ đ−ợc chọn là maximum(fx(u1)∗gx(w1), fx(u2)∗gx(w2)). 2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai Định nghĩa 2-13: Giao của hai tập mờ loại hai A~ và B~ là một tập mờ loại hai đ−ợc xác định nh− sau: A~ ∩ B~ ⇔ ),(~~ vxBÀ ∩ = xxXx BA /)(~~∫ ∈ ∩à = xvvJv hXx xv X /]/)([∫ ∫∈ ∈ , ]1,0[⊆J vx ở đây: vv J hv x v x /)(∫∈ = )/)(,/)(( wwJ J guufux wxu w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ))(),(( ~~ xx BA ààϕ Từ công thức (1-39) ở Ch−ơng một, (2-26) có thể đ−ợc biểu diễn lại: )/)(,/)(( ww J J guufu x w x u w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ),(/)()( wuwguJ J f xu w xux wx ϕ∗∫ ∫∈ ∈ ở đây hàm ϕ là một minimun, ta sử dụng ký hiệu ∧ thay cho ϕ . Khi đó từ (2-25) và (2-27) ta có: )(~~ xBÀ ∩ = vvJ hvxv x /)(∫∈ = )/()()( wuwguJ J f xu w xux wx ∧∗∫ ∫∈ ∈ , x ∈ X ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó. Ta có thể biểu diễn (2-28) theo hàm thuộc thứ cấp của của A~ và B~ , )(~ xÀ và )(~ xBà : (2-25) (2-26) (2-27) (2-28) 33 )(~~ xBÀ ∩ = )/()()( vwguJ J f xu w xux wx ∗∫ ∫∈ ∈ ≡ )(~ xÀ ∏ )(~ xBà , x ∈ X ở đây, v ≡ u ∧ w và ∏ thể hiện phép toán hội (meet). Sử dụng ký hiệu )(~ xÀ ∏ )(~ xBà để thể hiện phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của (2-29). Biểu thức (2-29) chỉ ra rằng, để xác định một phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , tr−ớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị v ≡ u ∧ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J ux∈ và w J wx∈ là các độ thuộc sơ cấp của A~ và B~ t−ơng ứng); t−ơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ thuộc thứ cấp của )(~~ xBÀ ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của )(~ xÀ và )(~ xBà là )(uf x và )(wg x t−ơng ứng. Theo (2-25), để nhận đ−ợc ),(~~ vxBÀ ∩ ta phải xác định phép hội giữa )(~ xÀ và )(~ xBà với mọi giá trị x ∈ X. Trong tr−ờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị u ∧ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất. Ví dụ nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1∨ w1 = u2∨ w2 = θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp t−ơng ứng với θ đ−ợc chọn là maximum(fx(u1)∗gx(w1), fx(u2)∗gx(w2)). 2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai Định nghĩa 2-14: Phần bù của một tập mờ loại hai A~ là một tập mờ loại hai khác, ký hiệu A~ đ−ợc xác định nh− sau: A~ ⇔ à A~ (x,v) = xxXx A /)(~∫ ∈ à Trong biểu thức này )(~ xÀ là một hàm thuộc thứ cấp; tại mỗi giá trị của x, )(~ xÀ là một hàm (không giống nh− trong tập mờ loại một, tại mỗi giá trị của x, )(x À là một giá trị). (2-29) (2-30) 34 )(~ xÀ = )1/()( uuJ fuxu x −∫ ∈ ≡ )(~ xÀơ , x∈ X ở đây ơ ký hiệu cho phép toán phủ định. Sử dụng ký hiệu )(~ xÀơ để thể hiện đó là phần bù của )(~ xÀ , thay cho cách viết của biểu thức ở giữa của (2-31). Biểu thức (2-31) chỉ ra rằng, để thực hiện phép phủ định của một hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ , ta phải tính toán các giá trị 1-u, với mọi u J ux∈ , và độ thuộc của )(~ xÀ tại 1-u chính là độ thuộc của )(~ xÀ , fx(u). Theo (2-30), để nhận đ−ợc à A~ (x,v), ta phải xác định phủ )(~ xÀơ cho ∀x ∈ X. Ví dụ 2-8: Để minh họa cho các phép toán hợp, giao, phần bù của hai tập mờ loại hai, chúng ta xem xét ví dụ sau đây. Cho hai tập mờ loại hai, A~ và B~ : A~ = x 1.0/7.00/5.0 + và B~ = x 8.0/9.04.0/3.0 + Nh− vậy, tập xác định X của hai tập mờ A~ và B~ có một phần tử x duy nhất và hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng là )(~ xÀ = 0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 và )(~ xBà = 0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8. Từ (2-24), sử dụng minimum t-norm và maximum t-conorm, ta có: )(~~ xBÀ ∪ = )(~ xÀ C )(~ xBà = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) C (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8) = 4.00 3.05.0 ∨ ∧ + 8.00 9.05.0 ∨ ∧ + 4.01.0 3.07.0 ∨ ∧ + 8.01.0 9.07.0 ∨ ∧ = 0.3 / 0.4 + 0.5 / 0.8 + 0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 = max(0.3, 0.3) / 0.4 + max(0.5, 0.7)/ 0.8 =0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 Từ (2-29), sử dụng mini t-norm và maximum t-conorm, ta có: )(~~ xBÀ ∩ = )(~ xÀ ∏ )(~ xBà = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) ∏ (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8) (2-31) 35 = 4.00 3.05.0 ∧ ∧ + 8.00 9.05.0 ∧ ∧ + 4.01.0 3.07.0 ∧ ∧ + 8.01.0 9.07.0 ∧ ∧ = 0.3 / 0 + 0.5 / 0 + 0.3 / 0.1 + 0.7 / 0.1 = max(0.3, 0.5) / 0 + max(0.3, 0.7) / 0.1 =0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 Từ (2-29), ta có: )(~ xÀ = )(~ xÀơ = 0.5/(1 - 0) + 0.7/(1 - 0.1) = 0.5/1 + 0.7/0.9 Ví dụ 2-9: Tiếp theo, chúng ta xem xét hội của một tập mờ loại hai đơn trị (singleton), A~ và một tập mờ loại hai, B~ . Tập mờ loại hai đơn trị, A~ là một tập mờ loại hai có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: ),(~ vxÀ = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ = ' ' 0/1 1/1 xx xx Tập mờ loại hai B~ đ−ợc diễn tả bởi hàm thuộc ),(~ wxBà : ),(~ wxBà = xxX B /)(~∫ à = xwwJ gX xWX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J wx Từ (2-29), (2-31), (2-33) và sử dụng minimum t-norm chúng ta có: )(~ xÀ ∏ )(~ xBà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ = ∏ ∏ ')(0/1 ')'(1/1 ~ ~ xxx xxx B Bà à = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ =∏ '0/1 ')'(1/1 ~ xx xxx Bà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ ⊂=∧∈∫ '0/1 ]1,0[')]1/()( '' xx Jandxxww Jw g wxxW X = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ = '0/1 ')'(~ xx xxx Bà (2-32) (2-33) (2-34) 36 Nh− vậy, về mặt đồ thị, hội giữa một tập mờ loại hai đơn trị, A~ , và một tập mờ loại hai, B~ , là một lát cắt dọc của ),(~ wxBà tại x = x’ ( )'(~ xBà ) và )'(~ xBà là một tập mờ loại một. 2.5. Kết luận ch−ơng Trên đây là những khái niệm cơ bản về tập mờ loại hai. Tập mờ loại hai là sự mở rộng của tập mờ loại một, nó đ−ợc đặc tr−ng bởi các độ thuộc sơ cấp và các hàm thuộc thứ cấp, giá trị của các độ thuộc sơ cấp và thứ cấp đều thuộc đoạn [0, 1]. Tập mờ loại hai đ−ợc biểu diễn trong không gian ba chiều. Một trong những đặc tr−ng quan trọng của tập mờ loại hai đó là FOU. FOU của một tập mờ loại hai là hợp của các độ thuộc sơ cấp, nó cho biết độ không chắc chắn của một tập mờ loại hai. FOU cho phép nhìn một tập mờ loại hai trong không gian hai chiều. FOU là yếu tố quyết định tới độ phức tạp và chất l−ợng của một hệ logic mờ và nó là một trong những cơ sở xem xét đầu tiên khi thiết kế các hệ logic mờ loại hai. Ngoài ra, ch−ơng này còn đề cập tới các phép toán cơ bản trên tập mờ loại hai bao gồm các phép toán hợp, giao, phần bù. Các phép toán này đ−ợc xác định trên cơ sở phép hội, phép tuyển hoặc một hàm do ng−ời dùng tự định nghĩa. Đây là công cụ để thực hiện các suy diễn đối với tập mờ loại hai mà chúng ta sẽ đề cập tới ở ch−ơng tiếp theo. 37 Ch−ơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai Suy diễn mờ đóng vai trò quan trọng trong một hệ logic mờ, ph−ơng pháp suy diễn quyết định tính phức tạp và chất l−ợng của hệ logic mờ. Hình 3-1 mô tả một hệ logic mờ loại hai, mô tơ suy diễn dựa trên cơ sở các luật mờ để xác định tập mờ đầu ra cho mỗi tập mờ đầu vào. Việc suy diễn mờ có thể đ−ợc thực hiện theo nhiều cách khác nhau song chúng đều đ−ợc xác định dựa trên mối quan hệ mờ giữa các luật. Trong phần này giới thiệu một số ph−ơng pháp suy diễn mờ cơ bản. Tr−ớc khi đi vào các ph−ơng pháp suy diễn, chúng ta xem xét khái niệm quan hệ mờ loại hai và ph−ơng pháp xác định các thành phần của một quan hệ mờ loại hai; các dạng biểu diễn th−ờng gặp của các luật mờ, ph−ơng pháp chuyển đổi một dạng biểu diễn mờ về dạng biểu diễn chuẩn. 3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành 3.1.1. Khái niệm chung Một quan hệ R(A1, A2, …, An) của n tập rõ A1, A2,..An, là một tập rõ trong không gian tích Đê-các A1ìA2ì ..ìAn và R(A1, A2, …, An) ∈ A1ìA2ì ..ìAn. Chúng ta có thể sử dụng hàm thuộc để biểu diễn mối quan hệ rõ này nh− sau: Tập rõ đầu vào Mờ hoá Tập mờ đầu vào Suy diễn Các luật Giảm mờ Giảm loại Tập mờ đầu ra x Tập rõ đầu ra y Tập mờ giảm loại Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai 38 ),..,( 21 aaRà = ⎩⎨ ⎧ ∈ lại ng−ợc nếu 0 ),..A A,R(A),..aa ,(anếu1 n21n21 Một quan hệ mờ loại một F(A1, A2, …, An) là một tập mờ loại một đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, ở đây mỗi bộ số (a1, a2, …, an) có một độ thuộc à F (a1, a2, …, an) ∈[0,1] và đ−ợc ký hiệu: F(A1, A2, …, An) = ),...,/(),...,( 2121..21 nnAAA F aaaaaa n ∫ ììì à , ii Aa ∈ Một quan hệ mờ loại hai ),...,,(~ 21 nAAAF là một tập mờ loại hai đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, đ−ợc ký hiệu: ),...,,(~ 21 nAAAF = ),...,/(),...,( 2121.. ~21 nnAAA F aaaaaa n ∫ ììì à , ii Aa ∈ ở đây, ),..,,( 21~ nF aaaà là một hàm thuộc thứ cấp và là một tập mờ loại một tại mỗi bộ (a1, a2, …, an). 3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian Xét hai không gian tích Đê-các U và V. Gọi ),(~ vuR và ),(~ vuS là hai quan hệ mờ đ−ợc định nghĩa trên các không gian tích Đê-các UìV. Hàm thuộc thứ cấp của ),(~ vuR và ),(~ vuS là các tập mờ loại một. Chúng ta có thể biểu diễn ),(~ vuR và ),(~ vuS theo hàm thuộc thứ cấp nh− sau: ),(~ vuR = ),/(),(~ vuvuVU R∫ ì à = ),/(])([ ),( ),( vuJVU vuvu r∫ ∫ì ∈ αα α ),(~ vuS = ),/(),(~ vuvu VU S∫ ì à = ),/(])([ ),( ),( vuJVU vuvu r∫ ∫ì ∈ βα β ở đây, các hàm thuộc sơ cấp J vuα ),( , J vuβ ),( ∈ [0,1]. Từ (2-36) và (2-41) trong Ch−ơng hai, chúng ta có thể xác định hợp và giao của hai quan hệ mờ này: ),(~~ vuSRà ∪ = ),(~ vuRà C ),(~ vuSà = )/()()( ),(),( ),( ),( βαβαα βα β ∨∗∫ ∫∈ ∈ vuvu sJ J rvu vu (3-1) (3-2) (3-3) (3-4) (3-5) (3-6) 39 ),(~~ vuSRà ∩ = ),(~ vuRà ∏ ),(~ vuSà = )/()()( ),(),( ),( ),( βαβαα βα β ∧∗∫ ∫∈ ∈ vuvu sJ J rvu vu Để minh họa cho hai phép toán trên, chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 3-3: Xét các mối quan hệ mờ sau: “u gần v” và “u nhỏ hơn v”; và “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v”. Các mối quan hệ này trên cùng không gian UìV. Giả sử U = {u1, u2} = {2, 12} và V = {v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Giá trị độ thuộc thứ cấp của các mối quan hệ mờ: “gần”, ký hiệu là c~ và “nhỏ hơn” , ký hiệu là s~ đ−ợc biểu diễn qua ma trận d−ới đây: v1 v2 v3 U1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = U2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: v1 v2 v3 U1 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 0.8/0.3 + 0.8/0.4 + 0.9/0.5 + 1/0.6 0.9/0.9 + 1/1 ),(~ vusà = U2 1/0 + 0.1/0.1 + 0.1/0.2 1/0 + 0.3/0.1 1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5 ở đây ),(~ vucà là hàm thuộc của quan hệ mờ “u gần v” và ),(~ vusà là hàm thuộc của quan hệ mờ “u nhỏ hơn v”. Bằng trực giác chúng ta thấy mối quan hệ mờ “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn mối quan hệ mờ “u gần v” và “u nhỏ hơn v”. Với khái niệm quan hệ mờ, bây giờ chúng ta xác định các hàm thuộc thứ cấp của phép hợp và giao của hai quan hệ mờ trên: Từ (3-6) và (3-7), sử dụng minimun t-norm và maximum t-cornorm ta có: ),( 11~~ vuSRà ∪ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) C (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∨0) + (0.3∧0.9)/(0.8∨ 0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∨ 0.5) + (1∧1)/(0.9∨0) + (1∧0.9)/(0.9∨ 0.1) + (1∧0.4)/(0.9∨ 0.5) + 0.7∧1)/(1∨ 0) + (0.7∧0.9)/(1∨ 0.1) + (0.7∧0.4)/(1∨0.5) = 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.9/0.9 + 0.4/0.9 + 0.7/1 + (3-7) 40 0.7/1+0.4/1 = 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 và ),( 11~~ vuSRà ∩ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) ∏ (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∧0) + (0.3∧0.9)/(0.8∧0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∧0.5) + (1∧1)/(0.9∧0) + (1∧0.9)/(0.9∧0.1) + (1∧0.4)/(0.9∧0.5) + (0.7∧1)/(1∧0) + (0.7∧0.9)/(1∧0.1) + (0.7∧0.4)/(1∧0.5) = 0.3/0 + 0.3/0.1 + 0.3/0.5 + 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 + 0.7/0 + 0.7/0.1+0.4/0.5 = 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 Tính toán t−ơng tự cho mọi giá trị ui và vj với i = 1, 2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đ−ợc ),(~~ vuSRà ∪ và ),(~~ vuSRà ∩ : v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+0.8/0.4+ 0.9/0.5+1/0.6 0.9/0.9+1/1 ),(~~ vuSRà ∪ = u2 0.5/0+1/0.1+0.1/0.2 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: v1 v2 v3 u1 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 0.8/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5 0.5/0 + 1/0.1 ),(~~ vuSRà ∩ = u2 1/0 + 0.1/0.1 1/0 + 0.3/0.1 1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5 Nh− vậy, từ kết quả trên chúng ta thấy rằng các giá trị độ thuộc sơ cấp có giá trị độ thuộc thứ cấp khác 0 trong phép hợp nhìn chung lớn hơn so với phép giao. Điều này khẳng định mối quan hệ “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn so với mối quan hệ “ u gần v” và “u nhỏ hơn v”. 41 3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác nhau Gọi UìV và VìW là hai không gian tích Đê-các khác nhau. Giả sử R~ (U,V) và S~ (V,W) là hai quan hệ mờ loại hai xác định trên hai không gian đó. Phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ R~ (U,V) và S~ (V,W) là một tập mờ loại hai xác định trên không gian UìW có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: à SR ~~o (u,w) = Vv∈C [ ),(),( ~~ wvvu SR ∏àà ] u∈U, w∈W Để minh họa cho (3-8) chúng ta xem xét ví dụ sau đây: Ví dụ 3-4: Xét hai quan hệ mờ trên hai không gian tích Đê-các khác nhau: quan hệ mờ “u gần v” (ký hiệu là c~ ) trên không gian UìV, ở đây U= {u1, u2}={2, 12} và V={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}; và quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” (ký hiệu là bm~ ) trên không gian VìW, ở đây W={w1, w2}={4, 8}. Hàm thuộc của các quan hệ mờ này lần l−ợt là ),(~ vucà và ),(~ wvbmà đ−ợc xác định nh− sau: v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = u2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: w1 w2 v1 1/0+0.6/0.1 1/0+0.1/0.1 v2 0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7 1/0+0.8/0.1+0.2/0.2 ),(~ wvbmà = v3 0.7/0.9+1/1 0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8 Từ (3-8), phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ loại hai c~ và bm~ có hàm thuộc đ−ợc xác định theo (3-9) d−ới đây: à bmc ~~o (ui,wj) = [à c~ (ui,v1)∏à bm~ (v1,wj) ] C [à c~ (ui,v2)∏à bm~ (v2,wj) ] C [à c~ (ui,v3)∏à bm~ (v3,wj) ] ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Chẳng hạn: (3-8) (3-9) 42 à bmc ~~o (u1,w1) = [(0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1)∏ (1/0+0.6/0.1)] C [(0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5)∏ (0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7)] C [(0.5/0+1/0.1)∏ (0.7/0.9+1/1)] = 0.7/0.3 + 1/0.4 Tính toán t−ơng tự với mọi ui và vj , i = 1,2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đ−ợc à bmc ~~o (u,w): w1 w2 u1 0.7/0.3+1/0.4 0.5/0+1/0.1+0.2/0.2 à bmc ~~o (u,w) = u2 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8 3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại hai Trong phần này xem xét phép hợp thành của một tập mờ loại hai R~ và một quan hệ mờ loại hai S~ . Giả sử tập mờ loại hai )(~ UR xác định trên không gian U và có hàm thuộc thứ cấp là )(~ uRà ; quan hệ mờ loại hai ),(~ VUS xác định trên không gian UìV và có hàm thuộc thứ cấp là ),(~ vuSà . Khi đó, phép hợp thành của )(~ UR và ),(~ VUS đ−ợc xác định trên V và có hàm thuộc thứ cấp )(~~ vSRà o đ−ợc xác định nh− sau: )(~~ vSRà o = Uu∈C [ )(~ uRà ∏ ),(~ vuSà ] Biểu thức (3-10) đóng vai trò quan trọng nh− là một bộ máy suy diễn của một luật mờ mà các tập mờ giả thiết và kết luận của nó là các tập mờ loại hai. Đây là bộ máy suy diễn cơ bản cho các luật trong một hệ logic mờ loại hai. Ví dụ 3-5: Để minh họa điều này chúng ta xem xét ví dụ sau: xác định phép hợp thành giữa một quan hệ mờ loại hai “u gần v” ( gọi là c~ ) xác định trên không gian UìV có hàm thuộc thứ cấp là ),(~ vucà và một tập mờ loại hai “nhỏ” (gọi là s~ ) xác định trên U có hàm thuộc thứ cấp là )(~ uSà . Giả sử U = {2, 12}, V = {1, 7, 13}; ),(~ vucà và )(~ uSà đ−ợc cho nh− sau: (3-10) 43 v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = u2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và u1 u2 )(~ uSà = 0.5/0.7 + 1/0.9 1/0.1+0.3/0.4 áp dụng (3-10), ta xác định đ−ợc hàm thuộc của phép hợp thành giữa tập mờ loại hai s~ và quan hệ mờ c~ : )(~~ jcs và o = [ )( 1~ uSà ∏ ),( 1~ jc vuà ] C [ )( 2~ uSà ∏ ),( 2~ jc vuà ] với j = 1, 2, 3, thay các giá trị của ),(~ vucà và )(~ uSà vào (3-11) ta nhận đ−ợc: v1 v2 v3 )(~~ vcsà o = 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 1/0.9 0.7/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5 1/0.1 + 0.3/0.4 3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai Nh− chúng ta đã biết, tích Đê-các của n tập mờ loại một, A1, A2, …An lần l−ợt xác định trên các không gian X1, X2, …, Xn và có các hàm thuộc t−ơng ứng là )( 1 1 x À , )( 22 xÀ , …, )( nA xnà là một tập mờ loại một xác định trên không gian X1ìX2ì …ìXn và có hàm thuộc đ−ợc xác định theo (3-12): ),...,,( 21...21 nAAA xxx n à ììì = )( 11 xÀ ∗ )( 22 xÀ ∗ …∗ )( nA xnà ở đây x1∈ X1 , x2∈ X2, …, xn∈ Xn và dấu ∗ thể hiện một t-norm (chẳng hạn minimum). Giả sử 1 ~A , 2 ~A , …, nA ~ là các tập mờ loại hai lần l−ợt xác định trên các không gian X1, X2, …, Xn và có các hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng là )( 1~ 1 x À , )( 2~ 2 x À , …, )(~ nA xnà . Tích Đê-các của 1~A , 2~A , …, nA~ , ký hiệu 1~A ì 2~A ì (3-11) (3-12) 44 …ì nA~ là một tập mờ loại hai xác định trên không gian X1ìX2ì …ìXn và có hàm thuộc thứ cấp đ−ợc xác định theo (3-13): ),...,,( 21~...~~ 21 nAAA xxx n à ììì = )( 1~1 xÀ ∏ )( 2~2 xÀ ∏…∏ )(~ nA xnà ở đây x1∈ X1 , x2∈ X2, …, xn∈ Xn và dấu ∏ thể hiện phép toán hội. Trong (3-13), )(~ iA xià là hàm thuộc thứ cấp của iA~ tại giá trị xi và ),...,,( 21~...~~ 21 nAAA xxx n à ììì là giá trị hàm thuộc của tích Đê-các 1~A ì 2~A ì …ì nA~ tại giá trị (x1,…, xn). Ví dụ 3-6: Xét hai không Đê-các U = {u1, u2, u3} và V = {v1, v2}. Giả sử F~ là tập mờ loại hai xác định trên U và G~ là tập mờ loại hai xác định trên V; F~ và G~ có hàm thuộc thứ cấp nh− sau: u1 u2 u3 )(~ uFà = 0.9/0.2+0.9/0.8+0.4/1 0.1/0.4+1/0.7+1/1 0.6/0+0.8/0.2 v1 v2 )(~ vGà = 0.4/0.5+0.3/0.6 0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9 Hàm thuộc của tích Đê-các của F~ và G~ đ−ợc xác định nh− sau: ),(~~ jiGF vuà ì = )(~ iF uà ∏ )(~ jG và , i = 1, 2, 3 và j = 1, 2. Thay các giá trị của )(~ uFà và )(~ vGà vào (3-14) ta nhận đ−ợc v1 v2 u1 0.4/0.2+ 0.4/0.5+0.3/0.6 0.7/0.2+0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9 u2 0.1/0.4+0.4/0.5+0.3/0.6 0.1/0.4+0.7/0.6+0.6/0.7+0.6/0.8+0.1/0.9 ),(~~ vuGFà ì u3 0.4/0+0.4/0.2 0.6/0.7+0.7/0.2 (3-13) (3-14) 45 3.3. Các dạng luật mờ Chúng ta xem xét các dạng luật mờ trong hệ logic mờ loại một. Giả sử có p biến đầu vào x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, …,xp ∈ Xp và một biến đầu ra y ∈ Y. Dạng luật mờ chuẩn của hệ đ−ợc phát biểu: Rl : if x1 is F1 l and … and xp is Fp l then y is Gl, l = 1…M ở đây, hệ có M luật và Rl là luật thứ l của hệ. Mỗi luật luật thể hiện mối quan hệ mờ loại một giữa không gian đầu vào X1ìX2…ìXp và không gian đầu ra Y của hệ. Các dạng thể hiện của các luật mờ th−ờng gặp đ−ợc tổng hợp d−ới đây: 1. Luật mờ không đầy đủ (Incomplete): Luật mờ không đầy đủ là luật mờ mà phần giả thiết (vế trái của luật) chỉ có m biến đầu vào (m < p): if x1 is F1 and … and xm is Fm then y is G, m < p Để chuyển một luật mờ không đầy đủ thành một luật mờ đầy đủ chúng ta thêm (p – m) biến còn thiếu là các biến của (p – m) tập mờ không đầy đủ IN- COMPLETE (IN), với à IN (x) = 1 với Xx∈∀ vào vế trái của luật: (if x1 is F1 and … and xm is Fm then y là G) ⇔ (if x1 is F1 and … and xm is Fm and xm+1 is IN and …and xp is IN then y is G) 2. Luật pha trộn: Luật pha trộn là luật mà vế trái của luật vừa chứa toán tử “and” (“và”) vừa chứa toán tử “or” (“hoặc”): (if x1 is F1 and … and xm is Fm ) or (xm+1 is Fm+1 and …and xp is Fp) then y is G. Luật dạng này có thể đ−ợc biểu diễn thành hai luật: R1: (if x1 is F1 and … and xm is Fm ) then y is G R2: (if xm+1 is Fm+1 and …and xp is Fp) then y is G đây là hai luật không đầy đủ 3. Luật khai báo: Luật khai báo là luật chỉ mang tính chất khai báo một tập mờ, chẳng hạn “y is G”. Rõ ràng luật này là một tr−ờng hợp đặc biệt của luật mờ không đầy đủ và nó có thể đ−ợc biểu diễn lại: if x1 is IN and …and xp is IN then y is G (3-15) 46 4. Luật so sánh: một số luật mang tính chất so sánh nh− sau: “the smaller the x the bigger the y”( “nhỏ hơn là x, lớn hơn là y”). Với các luật dạng này chúng ta có thể chuyển sang dạng phát biểu if-then: if x is S then y is B ở đây S là tập mờ nhỏ hơn và B là tập mờ lớn hơn. 5. Luật phát biểu Unless (trừ khi): một số luật đ−ợc thể hiện d−ới dạng phát biểu trừ khi: y is G Unless x1 is F1 and …and xp is Fp Luật này có thể đ−ợc biểu diễn lại d−ới dạng if-then: if not(x1 is F1 and …and xp is Fp) then y is G Sử dụng luật De Morgan BA∩ = A ∪ B , luật trên có thể đ−ợc biểu diễn: if x1 is not F1 or…or xp is not Fp then y is G ở đây “not Fi” là một tập mờ. Luật này lại có thể đ−ợc tách thành p luật mờ không đầy đủ: if xi is not Fi then y is G, i= 1..p Mở rộng cho hệ logic mờ loại hai, giả sử có p biến đầu vào x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, …,xp ∈ Xp và một biến đầu ra y ∈ Y, hệ có M luật. Dạng luật mờ chuẩn thứ l của hệ đ−ợc phát biểu: Rl : if x1 is 1 ~F and … and x2 is pF ~ then y is G~ , l = 1..M Mỗi luật thể hiện mối quan hệ giữa không gian đầu vào X1ìX2ì…ìXp và không gian đầu ra Y của hệ. 3.4. Một số ph−ơng pháp suy diễn mờ loại hai 3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành Cơ sở của ph−ơng pháp suy diễn này là dựa vào phép hợp thành giữa tập mờ đầu vào và quan hệ mờ đ−ợc xác định từ các luật. Từ dạng phát biểu if-then của luật trong (3-16), chúng ta có thể biểu diễn lại (3-16) d−ới dạng một phép kéo theo mờ: Rl : llllp l GAGFF ~~~~...~1 →=→ìì , l = 1…M ở đây ký hiệu lp ll FFA ~...~~ 1 ìì= (3-16) (3-17) 47 Rl đ−ợc đặc tr−ng bởi hàm thuộc ),( yxlRà = ),,...,( 1 yxx pRlà ),( yxlRà = ),(~~ yxll GÀ → Rl thể hiện mối quan hệ mờ giữa p tập mờ loại hai đầu vào pl l l FF ~,...,~ và tập mờ loại hai đầu ra lG~ do đó ta có: ),( yxlRà = ),(~~ yxll GÀ → = )()(...)( ~~1~1 yxx llpl GpFF ∏∏∏ ààà = )()( ~1 ~ yx lli Gi p i F ∏∏ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ = àà p giá trị đầu vào của hệ xác định một tập mờ xA ~ có hàm thuộc nh− sau: )(~ x xA à = ∏∏ )(...)( ~1~ 1 pXX xx p àà = )(1 ~ ipi X xi∏= à iX ~ (i=1..p) là các nhãn của các tập mờ đầu vào. Mỗi luật Rl xác định một tập mờ loại hai lB~ đầu ra t−ơng ứng với mỗi tập mờ đầu vào xA ~ nh− sau: lB~ = xA ~ o lR và hàm thuộc của lB~ đ−ợc xác định theo (3-21): )(~ ylBà = )(~ ylx RÀ o = Xx∈C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∏ ),()(~ yxx lx RA àà , y ∈ Y, l = 1..M Biểu thức (3-21) thể hiện mối quan hệ giữa tập mờ loại hai đầu vào và tập mờ loại hai đầu ra thông qua phần tử suy diễn của hệ logic mờ đ−ợc mô tả trong Hình (3-1). Đây chính là phép hợp thành giữa tập tập mờ đầu vào và luật bị đốt cháy. Từ (3-19), (3-20), (3-21) chúng ta có: )(~ ylBà = Xx∈C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∏ ),()(~ yxx lx RA àà = Xx∈C ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∏ ∏∏∏ == )()()( ~1 ~1 ~ yxx lii Gipi Fipi X ààà = Xx∈C ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∏∏∏= )()()( ~~1 ~ yxx lii GiFipi X ààà = )(~ ylGà ∏ {[ 11 Xx ∈C )( 1~1 xXà ∏ )( 1~1 xlFà ]∏ …∏ [ pp Xx ∈C )(~ pX xpà ∏ )(~ pF xlpà ]}, y∈Y (3-18) (3-19) (3-20) (3-21) (3-22) 48 Tập mờ kết quả đầu ra cuối cùng B~ nhận đ−ợc từ việc kết hợp M tập mờ lB~ , l =1..M: B~ = 1~B ⊕…⊕ MB~ . 3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự t−ơng tự của các tập mờ Phần 3.4.1 đã trình bày một ph−ơng pháp suy diễn mờ, ph−ơng pháp đó dựa vào việc xác định phép hợp thành giữa sự kiện (fact) và cơ sở luật (rule) đề đ−a ra kết luận (conclusion). Trong phần này trình bày một ph−ơng pháp suy diễn khác dựa vào sự t−ơng tự của các luật. Kết luận đ−ợc xác định dựa trên việc xác định sự t−ơng tự giữa sự kiện (fact) và giả thiết của luật (vế trái của luật). Ph−ơng pháp này đ−ợc đề xuất bởi Tsang, Turksen và Zhong. Tr−ớc khi xem xét chi tiết phép suy diễn, chúng ta xem xét một số khái niệm liên quan: phép chiếu của một quan hệ mờ, độ t−ơng tự giữa hai tập mờ loại hai. 3.4.2.1. Phép chiếu của một quan hệ mờ loại hai Gọi Q~ là một quan hệ mờ loại hai trong không gian tích Đê-các X1ìX2ì…Xn, và {i1, …, ik} là một dãy con của dãy {1, 2,…, n}, khi đó phép chiếu của Q~ lên không gian kii XX ìì ... 1 là một quan hệ mờ pQ ~ trong không gian kii XX ìì ... 1 đ−ợc định nghĩa: pQ ~ = ),...,/()],...,([ 1,..., 1~,...,)()(11 )()(11 sup ikinQ xxXxXx xxXxXxknJknjJj knJknjJj∑ −− −−∈∈ ∈∈ à = ),...,/()],...,([ 11~,..., ,...,)()(11 )()(11 ikinQ xxxxXxXx XxXxknJknjJj knJknjJj à∑ −− −− ∈∈ ∈∈U = ).../()].../()(...)([ 1,..., )(,..., )()()(11 1 1 ikiknJwJu xxwuwxfuXxXx xf knjknJknjJj j j ∨∨∨∨ −−− ∑ ∑∈∈ −∈∈ ở đây, {xj1,…,xj(n-k)} là phần bù của {xi1, …,xik} trong tập {x1, …,xn} và U ký hiệu cho phép toán chiếu của tập mờ loại hai. 3.4.2.2. Độ t−ơng tự giữa hai tập mờ loại hai Gọi A~ và B~ là hai tập mờ loại hai xác định trên không gian rời rạc X: A~ = ii N i A xx /)( 1 ~∑= à = iNi u x xuuf i /]/)([1∑ ∑= , ixJu∈ (3-23) 49 B~ = ii N i B xx /)( 1 ~∑= à = iNi u x xuug i /]/)([1∑ ∑= , ixJu∈ ở đây Bx A xx iii JJJ ~~ == là các hàm thuộc sơ cấp tại các giá trị cụ thể của x của A~ và B~ . Khi đó độ t−ơng tự giữa hai tập mờ A~ và B~ , ký hiệu )~,~(~ BAS đ−ợc xác định nh− sau: )~,~(~ BAS = ∑ =Ni iBiA xxSN 1 ~~ ))(),((1 àà Trong đó S(.) là độ t−ơng tự của hai tập mờ loại một. Độ t−ơng tự của hai tập mờ loại một A và B lần l−ợt có hàm thuộc là )(x À và )(xBà đ−ợc định nghĩa theo (3-25): 2)}(),(max{ )}()({ ),( xx xx BAS BAXx Xx BA àà àà ∑ ∑ ∈ ∈= Vì )(~ xÀ và )(~ xBà là các tập mờ loại hai, dó đó, từ (3-24) và (3-25) ta có: )~,~(~ BAS = ∑ =Ni iBiA xxSN 1 ~~ ))(),((1 àà = ∑ ∑ ∑ = N i u xx u xx uguf uguf N ii ii 1 2 ])}(),([max{ )}().({1 ở đây Xxi ∈ và xJu∈ . Quy −ớc: Khi ∑u xx uguf ii ])}(),([max{ 2 = 0 thì 1))(),(( ~~ =iBiA xxS àà và S( A~ , B~ ) = 1. Chú ý rằng, trong định nghĩa trên các giá trị hàm thuộc sơ cấp AxiJ ~ của A~ và BxiJ ~ của B~ tại mỗi giá trị xi của x là nh− nhau ( AxiJ ~ = BxiJ ~ , với mọi xi). Trong tr−ờng hợp AxiJ ~ và BxiJ ~ khác nhau, khi đó chúng ta có thể điều chỉnh đề hai tập A xi J ~ và BxiJ ~ thành ' ix J bằng cách gán giá trị 0 cho độ thuộc thứ cấp tại các phần tử đ−ợc thêm vào mỗi tập AxiJ ~ và BxiJ ~ đề trở thành ' ix J . Xét ví dụ sau đây: Giả sử U={ 321 , , xxx } và: (3-24) (3-25) (3-26) 50 1 2 3 (0.4 / 0.5) (0.5 / 0.6) (0.7 / 0.4) (0.4 / 0.5) (0.8 / 0.3) (0.9 / 0.4)A x x x + + += + +% , 1 2 3 (0.3 / 0.5) (0.2 / 0.6) (0.5 / 0.4) (0.4 / 0.5) (0.4 / 0.4)B x x x + += + +% ở đây ta có AxJ ~ 1 = BxJ ~ 1 , AxJ ~ 2 = BxJ ~ 2 còn AxJ ~ 3 ≠ BxJ ~ 3 , do vậy ta điều chỉnh BxJ ~ 3 bằng cách thêm phần tử 0.3 còn thiếu với giá trị độ thuộc là 0, khi đó tập mờ B~ trở thành: 1 2 3 (0.3 / 0.5) (0.2 / 0.6) (0.5 / 0.4) (0.4 / 0.5) (0 / 0.3) (0.4 / 0.4)B x x x + + += + +% Từ (3-26), ta có: 3 21 2 2 2 2 2 2 { ( ) ( )}1( , ) 3 [max{ ( ), ( )} ] 1 0.12 0.1 0.35 0.16 0.36( ) 3 0.4 0.5 0.7 0.4 0.8 0.9 0.52. i i i i x xu i x xu f u g u S A B f u g u= ⋅= + += + ++ + + = ∑∑ ∑% % % Từ định nghĩa trên chúng ta suy ra đ−ợc các tính chất sau đây đối với độ t−ơng tự của hai tập mờ loại hai: Tính chất 1: )~,~(~ AAS = 1 Chứng minh: Từ (3-26) ta có ∑== Ni iAiA xxSNAAS 1 ~~ ))(),((1)~,~(~ àà = ∑ ∑ ∑ = N i u xx u xx ufuf ufuf N ii ii 1 2 ])}(),([max{ )}().({1 = 1.1 =N N ở đây, tất cả các tập có N phần tử và Xxi ∈ và u ixJ∈ Tính chất 2: Với mọi tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian nền, )~,~(~ BAS = )~,~(~ ABS Chứng minh: Từ (3-26) ta có: 51 1 21 21 1( , ) ( ( ), ( )) { ( ) ( )}1 [max{ ( ), ( )} ] { ( ) ( )}1 [max{ ( ), ( )} ] ( , ), i i i i i i i i N i iBAi N x xu i x xu N x xu i x xu S A B S x x N f u g u N f u g u g u f u N g u f u S B A à à= = = = ⋅= ⋅= = ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ % %% % % % %% ở đây, tất cả các tập có N phần tử và Xxi ∈ và u ixJ∈ Tính chất 3: Với mọi tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian nền, )~,~(~ BAS = )~,~(~ BAS . Chứng minh: Theo định nghĩa phần bù của tập mờ loại hai, tập mờ loại hai A~ và phần bù A~ của nó chỉ khác nhau ở giá trị độ thuộc sơ cấp. Tại mỗi giá trị của x, giá trị sơ cấp của chúng lần l−ợt là u và 1-u. Nh−ng giá trị độ thuộc thứ cấp của )(~ xÀ và )(~ xÀ là nh− nhau và bằng )(uf x với mọi giá trị của x. Nh− vậy, từ (3-26) ta có: ))(),((1)~,~(~ ~1 ~ iAi N i A xxS N BAS àà∑ == = ∑ ∑ ∑ = N i u xx u xx uguf uguf N ii ii 1 2 ])}().([max{ )}().({1 = )~,~(~ BAS ở đây, tất cả các tập có N phần tử và Xxi ∈ và u ixJ∈ Tính chất 4: Với mọi tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian nền, 0 ≤ )~,~(~ BAS ≤ 1. Chứng minh: Ta có 0)(),(0 ≤≤ uguf ii xx , với Xxi ∈∀ và ixJu∈∀ ⇒ 1)}(),(max{))().((0 2 ≤≤≤ ugufuguf iiii xxxx ⇒ 1 )}(),(max{ )().( 0 2 ≤≤ uguf uguf ii ii xx xx 52 ⇒ N uguf ugufN i xx xx ii ii ≤≤ ∑ =1 2)}(),(max{ )().( 0 ⇒ ∑ ∑ ∑ = ≤≤ N i u xx u xx uguf uguf N ii ii 1 2 1 ])}().([max{ )}().({10 Tính chất 5: Hai tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian nền bằng nhau khi và chỉ khi )~,~(~ BAS =1 Chứng minh: Tr−ớc hết, chúng ta sẽ chứng minh nếu BA ~~= thì )~,~(~ BAS =1 Điều này đúng (theo hệ quả 1). Tiếp theo, chúng ta chứng minh nếu )~,~(~ BAS =1 thì BA ~~= Vì )~,~(~ BAS =1, nên theo theo (3-26) ta có ))(),((1)~,~(~ ~1 ~ iAi N i A xxS N BAS àà∑ == = ∑ ∑ ∑ = N i u xx u xx uguf uguf N ii ii 1 2 ])}().([max{ )}().({1 = 1 (*) Ta có 1)(),(0 ≤≤ uguf ii xx , với Xxi ∈∀ và ixJu∈∀ ⇒ 1)}(),(max{))().((0 2 ≤≤≤ ugufuguf iiii xxxx (**). Từ (*) và (**) ⇒ 2)}(),(max{))().(( ugufuguf iiii xxxx = ⇒ )()( uguf ii xx = với Xxi ∈∀ và ixJu∈∀ ⇒ BA ~ ~= . Tính chất 6: Với mọi tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian nền , nếu )~,~(~ BAS = 0 thì A~ ∩ B~ = φ . Chứng minh: Giả sử )~,~(~ BAS = 0 với mọi tập có N phần tử và Xxi ∈∀ và ixJu∈∀ , do đó 0 ])}().([max{ )}().({ 1 2 =∑ ∑ ∑ = N i u xx u xx uguf uguf ii ii Theo hệ quả 4, 0 ])}().([max{ )}().({ 2 ≥∑ ∑ u xx u xx uguf uguf ii ii và 0])}().([max{ 2 ≠∑u xx uguf ii do đó 0)}().({ =∑u xx uguf ii ⇒ 0)().( =uguf ii xx với ixJu∈∀ 53 Từ đó, theo định nghĩa giao của hai tập mờ loại hai ta có A~ ∩ B~ = φ . 3.4.2.3. Suy diễn với sự t−ơng tự loại hai Giả sử hai tập mờ loại hai A~ và '~A xác định trên không gian X; hai tập mờ loại hai khác B~ và '~B xác định trên không gian Y. Xét mệnh đề sau: rule: If is then is fact: is conclusion: is . x A y B x A y B ′ ′ % % % % Các b−ớc sau đây cho phép xác định '~B : 1. Xác định quan hệ mờ loại hai Q~ = BA ~~ì của luật. 2. Xác định độ t−ơng tự giữa tập mờ A~ (giả thiết của luật) và tập mờ '~A (sự kiện) )~,~(~ 'AAS 3. Điều chỉnh quan hệ mờ Q~ bằng độ t−ơng tự )~,~(~ 'AAS 4. Kết luận '~B nhận đ−ợc qua phép chiếu của quan hệ mờ của luật đã điều chỉnh lên không gian Y. Với ph−ơng pháp này, kết luận bị ảnh h−ởng bởi phép điều chỉnh quan hệ mờ ở b−ớc 3. Có hai ph−ơng pháp điều chỉnh quan hệ mờ đã đ−ợc đề xuất t−ơng ứng với hai tr−ờng hợp sau: Tr−ờng hợp điều chỉnh gi∙n nở hàm thuộc: ),( '~ yx Qà = ))'~,~(~),,(( ~1 AASyxm Qà = )'~,~(~ / )'~,~(~ )( , , AAS u J AAS u yx u yxf∑ ∈ , YyXx ∈∈ , Tr−ờng hợp điều chỉnh co hẹp hàm thuộc: ),( '~ yx Qà = ))'~,~(~),,(( ~2 AASyxm Qà =∑ ∈J AASuAASuyxu yxf, )'~,~(~./)'~,~(~).(, , YyXx ∈∈ , ở đây Q~ là quan hệ mờ trong không gian tích Đê-các XìY của luật, m1(.) và m2(.) là hai hàm điều chỉnh t−ơng ứng với hai tr−ờng hợp gi∙n nở và co hẹp. fx,y(u) là độ thuộc thứ cấp của quan hệ mờ của luật. Tr−ờng hợp điều 54 chỉnh co hẹp đ−ợc áp dụng khi chúng ta cần một kết luận chính xác hơn. Rõ ràng, trong cả hai tr−ờng hợp điều chỉnh, nếu A~ = '~A thì ta sẽ nhận đ−ợc '~~ BB = . Khi )~,~(~ 'AAS = 0, tức là A~ và '~A hoàn toàn khác nhau, khi đó có thể kết luận BB ~'~ = . Tiếp theo, giả sử có k biến ngôn ngữ x1, …, xk theo thứ tự đ−ợc định nghĩa trên không gian Đê-các X1 ,…, Xk. Và chúng ta cần xác định kết luận ' ~B cho mệnh đề sau: Rule: if x1 is 1 ~A and … and xk is kA ~ then y is B~ Fact: x1 is ' 1' ~A and … and xk is '~ kA Conclusion: y is '~B Nh− vậy, trong tr−ờng hợp này, phần giả thiết của luật có nhiều hơn một tập mờ. Thuật toán sau đây cho phép xác định '~B trong tr−ờng hợp này. 1. Xác định quan hệ mờ Q~ của luật: Q~ = 1 ~A ì…ì kA~ ì B~ 2. Tính toán độ t−ơng tự giữa các tập mờ của giả thiết của luật với các tập mờ t−ơng ứng của sự kiện: )~,~(~ '11 AAS , ) ~,~(~ '22 AAS ,…, ) ~,~(~ 'kk AAS 3. Gọi )'~,~(~ AAS = min{ )~,~(~ '11 AAS , ) ~,~(~ '22 AAS ,…, ) ~,~(~ 'kk AAS } 4. Điều chỉnh Q~ bởi việc tác động độ t−ơng tự )'~,~(~ AAS lên Q~ để nhận đ−ợc quan hệ điều kiện '~Q : ),,...( 1'~ yxx kQà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠∑ ∈ 0)'~,~(~),( 0)'~,~(~,)))] )'~,~(~ ,1/(min() )'~,~(~ ,1[(min( ~ ),,...( ,,...1 1 AASify AASif AAS u AAS f B Ju yxx yxkx k à ở đây, 11 Xx ∈ ,…, kk Xx ∈ , Yy∈ chú ý rằng ∑ ∈= J uufyxx yxkx ku yxxkQ ,,...1 1 ]/)([),,...( ),,...(1~à 5. Chiếu '~Q lên không gian Y để nhận đ−ợc '~B 55 1 1 1 1 1 , , 1 , , ( ) sup ( , , , ) ( , , , ), k k k k kB Q x X x X kQx X x X y x x y x x y à à à ′ ′∈ ∈ ′∈ ∈ = = % % K % K K U K với y Y∈ Để minh hoạ cho phép suy diễn này, chúng ta xem xét một ví dụ đơn giản sau đây: Ví dụ 3-6: Xét không gian X={x1, x2} và Y={y1, y2}. A ~ , '~A và B~ là các tập mờ loại hai đ−ợc xác định nh− sau: 1 2 0.4 / 0.3 0.2 / 0.4 0.5 / 0.5 0.4 / 0.6A x x ⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟⎝ ⎠ % , 1 2 0.4 / 0.3 0.6 / 0.4 0.7 / 0.5 0.8 / 0.6A x x ⎛ ⎞+ +′ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ % , 1 2 0.25 / 0.2 0.3 / 0.3 0.5 / 0.4 0.6 / 0.5B y y ⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟⎝ ⎠ % . Chúng ta cần xác định '~B cho mệnh đề sau: rule: If is then is fact: is conclusion: is . x A y B x A y B ′ ′ % % % % Tr−ớc hết, chúng ta xác định quan hệ mờ Q~ giữa tập mờ A~ và B~ của luật: ),( )3.0/3.02.0/25.0()4.0/2.03.0/4.0(~ 11 yx Q +∏+= + ),( )5.0/6.04.0/5.0()4.0/2.03.0/4.0( 21 yx +∏+ + ),( )5.0/6.04.0/5.0()6.0/4.05.0/5.0( 22 yx +∏+ = ),( )3.0/2.02.0/2.03.0/3.02.0/25.0( 11 yx +++ + 56 ),( )4.0/2.04.0/2.03.0/4.03.0/4.0( 21 yx +++ + ),( )3.0/3.02.0/25.03.0/3.02.0/25.0( 12 yx +++ + ),( )5.0/4.04.0/4.05.0/5.04.0/5.0( 22 yx +++ = ),( )3.0/3.02.0/25.0( 11 yx + + ),( )4.0/2.03.0/4.0( 21 yx + + ),( )3.0/3.02.0/25.0( 12 yx + + ),( )5.0/5.04.0/5.0( 22 yx + Độ t−ơng tự giữa A~ và '~A : 2 1 2 2 2 2 1( , ) ( ( ), ( )) 2 1 0.4 0.4 0.2 0.6 0.5 0.7 0.4 0.8( ) 2 0.4 0.6 0.7 0.8 0.57. i iA Ai S A A S x xà à ′=′ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= ++ + = ∑ % %% % % Điều chỉnh Q~ bởi )'~,~(~ AAS để nhận đ−ợc '~Q : = ),( ) 57.0 3.0/ 57.0 3.0 57.0 2.0/ 57.0 25.0( 11 yx + + ),( ) 57.0 4.0/ 57.0 2.0 57.0 3.0/ 57.0 4.0( 21 yx + + ),( ) 57.0 3.0/ 57.0 3.0 57.0 2.0/ 57.0 25.0( 12 yx + + ),( ) 57.0 5.0/ 57.0 5.0 57.0 4.0/ 57.0 5.0( 22 yx + = ),( 35.0/53.053.0/44.0 11 yx + + ),( 7.0/35.053.0/7.0 21 yx + + + ),( 53.0/53.035.0/44.0 12 yx + + ),( 88.0/9.07.0/9.0 22 yx + Cuối cùng, chiếu '~Q lên Y để nhận đ−ợc '~B '~B = ∑ ∈Yy Q yyxx /)],,([sup 21'~à = ∑ ∈Yy Qxx yyxx /)],,([ 21'~, 21 àU = 1 )53.0/53.035.0/44.0()35.0/53.053.0/44.0( y ++ U 57 + 2 )88.0/9.07.0/9.0()7.0/35.053.0/7.0( y ++ U = 1 53.0/53.035.0/53.053.0/53.053.0/44.0 y +++ + 2 88.0/9.07.0/9.088.0/9.07.0/9.0 y +++ = 1 53.0/53.035.0/53.0 y + + 2 88.0/9.07.0/9.0 y + 3.5. Nhận xét Mục 3.4.1. và 3.4.2 trình bày hai ph−ơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai: ph−ơng pháp thứ nhất dựa trên mối quan hệ hợp thành giữa giữa giả thiết của sự kiện và các luật; ph−ơng pháp thứ hai dựa trên mối quan hệ hợp thành của luật với sự tác động của độ đo sự t−ơng tự giữa giả thiết của luật và giả thiết của sự kiện. Sau đây, ta đánh giá hai ph−ơng pháp trên qua hai tiêu chí độ phức tạp của thuật toán và kết quả của phép suy diễn: Về độ phức tạp của thuật toán: Giả sử giả thiết của luật đ−ợc cấu thành từ p tập mờ và mỗi tập mờ xác định trong không gian Xi với | Xi | = M, khi đó độ phức tạp tính toán của các ph−ơng pháp nh− sau: a) Đối với ph−ơng pháp dựa trên phép hợp thành: Với ph−ơng pháp này, chúng ta cần xác định mối quan hệ mờ giữa các tập mờ giả thiết và kết luận của các luật luật bị đốt cháy và mối quan hệ mờ giữa các luật đó với nhau và với tập mờ đầu vào. Để xác định đ−ợc quan hệ mờ giữa các tập mờ giả thiết và kết luận của một luật ta cần thực hiện T(pM) phép tính. Khi đó, để xác định đ−ợc mối quan hệ mờ của các luật bị đốt cháy chúng ta cần T((L1+1)p M) phép tính với L1 là số luật bị đốt cháy. b) Đối với ph−ơng pháp dựa trên độ t−ơng tự: Ph−ơng pháp này cần xác định độ t−ơng tự giữa tập mờ đầu vào và các tập mờ giả thiết của luật. Xác định phép chiếu của quan hệ mờ có độ t−ơng tự lớn nhất sau lên Y sau khi đã có sự điều chỉnh phép chiếu bởi độ t−ơng tự đã đ−ợc xác đinh. 58 Để xác định độ t−ơng tự của một luật chúng ta cần O(pM) phép tính. Giả sử hệ có L luật khi đó cần O(LpM) phép tính. Phép chiếu của Q lên Y cần pM phép tính. Do đó, độ phức tạp tính toán của ph−ơng pháp này là O(LpM + pM). Nh− vậy, ph−ơng pháp suy diễn dựa trên độ t−ơng tự có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn ph−ơng pháp suy diễn dựa trên phép hợp thành. Về kết quả của phép suy diễn: Đối với ph−ơng pháp suy diễn dựa trên mối quan hệ hợp thành, trong một số tr−ờng hợp, kết quả phép suy diễn không đ−ợc phù hợp và tính ổn định của kết quả không cao. Đó là trong các tr−ờng hợp giả thiết của sự kiện (đầu vào) xuất hiện những điểm đột biến (nhiễu). Điều này đ−ợc giải thích bởi kết quả của các phép toán hợp và giao trong phép hợp thành của giả thiết của sự kiện và mối quan hệ mờ của luật phụ thuộc vào việc định nghĩa của các t- norm và t-conorm và bị ảnh h−ởng rất lớn bởi các điểm đột biến. Ch−ơng một đã chỉ ra rằng đối với tập mờ giao của một tập mờ với phần bù của nó có kết quả khác φ . Chúng ta có thể chỉ ra một số tr−ờng hợp đặc biệt sau: Tr−ờng hợp giả thiết của sự kiện trùng với giả thiết của luật, song, kết quả của phép suy diễn lB ~ ≠ yB~ . Với ph−ơng pháp suy diễn thứ hai, các nh−ợc điểm của ph−ơng pháp thứ nhất đ−ợc giải quyết. Kết quả của phép suy diễn ít bị ảnh h−ởng lớn bởi các điểm đột biến. Điều này đ−ợc lý dải do việc xác định kết quả phép suy diễn yB ~ không dựa trên mối quan hệ hợp thành giữa giả thiết của sự kiện và luật do đó không bị ảnh h−ởng bởi sự tác động của các phép toán hợp và giao. Chính vì vậy, so với ph−ơng pháp thứ nhất, kết quả phép suy diễn cho bởi phép suy diễn thứ hai ổn định hơn trong các tr−ờng hợp đột biến. Nh− vậy, với tập mờ loại hai tổng quát, số phép tính cần thực hiện trong phép suy diễn là rất lớn. Ch−ơng bốn trình bày một tr−ờng hợp đặc biệt của tập mờ loại hai tổng quát, đó là tập mờ loại hai khoảng. Với cấu trúc đặc biệt của mình, các phép suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp nhỏ hơn rất nhiều so với tr−ờng hợp tổng quát. 59 Ch−ơng 4. Hệ logic mờ loại Hai khoảng Hệ logic mờ loại hai tổng quát có độ phức tạp tính toán rất lớn, tập trung trong các phép toán suy diễn và cac phép toán giảm loại. Tập mờ loại hai khoảng có các độ thuộc thứ cấp bằng 1, nó là một tr−ờng hợp riêng của tập mờ loại hai tổng quát, nên độ phức tạp tính toán trong các phép toán suy diễn và giảm loại nhỏ hơn rất nhiều so với tập mờ loại hai tổng quát. Chính vì vậy, tập mờ loại hai khoảng trở thành công cụ hữu ích để xây dựng các ứng dụng sử dụng hệ logic mờ loại hai. Ch−ơng này, giới thiệu các khái niệm, các phép toán, phép suy diễn đối với tập mờ loại hai khoảng và một ph−ơng pháp thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng. 4.1. Định nghĩa Định nghĩa 4-1: Tập mờ loại hai khoảng A~ xác định trên không gian X là một tập mờ loại hai đ−ợc định nghĩa nh− sau: A~ = {((x, u), ),(~ uxÀ ) | ),(~ uxÀ = 1 với Xx∈∀ , ]1,0[⊆∈∀ J xu } A~ có thể đ−ợc biểu diễn lại: A~ = ∫ ∫ ∈ ⊆∈Xx u J ux x ]1,0[ ),/(1 Hoặc A~ = {(x, )(~ xÀ )| Xx∈∀ } ≡ xx Xx A /)(~∫ ∈ à = x J u Xx u x //1 ]1,0[ ∫ ∫ ∈ ⊆∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ở đây, x là biến sơ cấp có miền trị là X; u là biến thứ cấp có miền trị là J x tại mỗi giá trị x ∈ X. J x là độ thuộc sơ cấp và )(~ xÀ là hàm thuộc thứ cấp của A~ tại x. )(~ xÀ = ∫∈J uxu /1 . Nh− vậy, khác với tập mờ loại hai tổng quát, các độ thuộc thứ cấp của một tập mờ loại hai khoảng đều bằng nhau và bằng một. Một ví dụ về tập mờ loại hai khoảng đ−ợc minh hoạ trong Hình 4-1. J1 = J2 = J4 = J5 = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J3 = {0.6, 0.8}. Các giá trị độ thuộc thứ cấp f(u) đều bằng 1. (4-2) (4-1) (4-3) 60 4.2. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của tập mờ loại hai khoảng Khái niệm hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của tập mờ loại hai đã đ−ợc chỉ ra trong Ch−ơng hai. Với tập mờ loại hai khoảng, hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới đóng vai trò quyết định trong việc đơn giản hoá các tính toán trên chúng. Giả sử )(~ kxF l k à là hàm thuộc thứ cấp; )(~ kxF lkà và )(~ kxF lkà là các hàm thuộc d−ới và hàm thuộc trên của tập mờ loại hai khoảng F l k ~ , khi đó )(~ kxF l k à có thể đ−ợc biểu diễn qua hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của nó: )(~ kxF l k à = ∫ ∈ )](),([ ~~ /1kl kF kl kF l xxw lwàà , kk Xx ∈ Ví dụ 4-1: Hàm thuộc trên và và hàm thuộc d−ới của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình không chắc chắn: Giả sử hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình không chắc chắn đ−ợc cho bởi biểu thức (4-4) d−ới đây: )( k l k xà = ])(2 1exp[ 2l k l kk mx δ −− , ],[ 21 lklklk mmm ∈ Hình 4-1. Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không gian rời rạc. Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU (4-4) 61 khi đó hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của )( k l K xà đ−ợc xác đinh nh− sau: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤≤ < = l kkk l k l k l kk l k l kkk l k l k k l k mxxmN mxm mxxmN x 22 21 11 ,),,( ,1 ,),,( )( δ δ à ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +> +≤ = 2 ),,,( 2 ,),,( )( 21 1 21 2 l k l k kk l k l k l k l k kk l k l k k l k mmxxmN mmxxmN x δ δ à ở đây: ),,( 1 k l k l k xmN δ ≡ ])(2 1exp[ 21l k l kk mx δ −− Quan sát minh hoạ ở Hình 4-2 (a) Ví dụ 4-2: Hàm thuộc trên và và hàm thuộc d−ới của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn không chắc chắn: Giả sử hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn không chắc chắn đ−ợc cho bởi biểu thức (4-7) d−ới đây: )( k l k xà = ])(2 1exp[ 2l k l kk mx δ −− , ],[ 21 lklklk δδδ ∈ khi đó hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của )( k l K xà đ−ợc xác định theo (4-8) và (4-9) d−ới đây: ),,()( 2 k l k l kk l k xmNx δà = ),,()( 1 k l k l kk l k xmNx δà = Quan sát minh hoạ ở Hình 4-2 (b) (4-5) (4-6) (4-7) (4-8) (4-9) 62 4.3. Phép toán hợp và giao của tập mờ loại hai khoảng Ch−ơng hai, chúng ta đã đ−a ra cách xác định phép hợp và phép giao của tập mờ loại hai tổng quát. Các phép toán này đ−ợc xác định dựa trên cơ sở phép hội và tuyển của các hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng. Do hàm thuộc thứ cấp của tập mờ loại hai khoảng là các tập mờ loại một khoảng nên việc xác định phép hợp và giao đối với tập mờ loại hai khoảng trở thành xác định phép toán hội và tuyển đối với các tập mờ loại một khoảng. Các định lý sau đây cho phép xác định các phép toán hội và tuyển của các tập mờ loại một khoảng. Các định lý này đ−ợc đ−a ra trong [3] Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2. Đ−ờng nét đậm là hàm thuộc trên, đ−ờng nét đứt là hàm thuộc d−ới 63 Đinh lý 4-1: Tuyển (join), Cni iF1= , của n tập mờ loại một khoảng, F1, F2,…, Fn, có miền trị theo thứ tự t−ơng ứng là [l1, r1], …, [ln, rn] là một tập mờ khoảng có miền trị là [(l1∨ l2∨…∨ ln), (r1∨ r2∨…∨ rn)], ở đây ∨ ký hiệu cho phép toán maximum. F1C F2…C Fn = ∫ ∨∨∨∨∨∨∈ )]...(,)...[( 2121 /1 rrrlll g nn g Định lý 4-2: Hội (meet), ∏=ni iF1 của n tập mờ loại một khoảng F1, F2,…, Fn, có miền trị theo thứ tự t−ơng ứng là [l1, r1], …, [ln, rn] là một tập mờ khoảng có miền là [(l1∗ l2∗…∗ ln), (r1∗ r2∗…∗ rn)], ở đây ∗ ký hiệu cho phép toán minimum hoặc một hàm t-norm. F1 ∏ F2…∏ Fn = ∫ ∧∧∧∧∧∧∈ )...),(...[( 2121 /1 rrrlll q nn q 4.4. Suy diễn với tập mờ loại hai khoảng Giả sử hệ logic mờ có M luật đ−ợc phát biểu nh− sau: Rl : llllp l GAGFF ~~~~...~1 →=→ìì , l = 1…M với liF ~ , i = 1..p là các tập mờ loại hai khoảng có hàm thuộc t−ơng ứng là )(~ iF xlià và lG~ cũng là tập mờ loại hai khoảng có hàm thuộc là )(~ ylGà . Trong mục 3.4.1 Ch−ơng hai, chúng ta đã xác định đ−ợc: )(~ ylBà = Xx∈C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∏ ),()(~ yxx lx RA àà = Xx∈C ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∏ ∏∏∏ == )()()( ~1 ~1 ~ yxx lii Gipi Fipi X ààà = Xx∈C ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∏∏∏= )()()( ~~1 ~ yxx lii GiFipi X ààà = )(~ ylGà ∏ {[ 11 Xx ∈C )( 1~1 xXà ∏ )( 1~1 xlFà ]∏ …∏ [ pp Xx ∈C )(~ pX xpà ∏ )(~ pF xlpà ]}, y∈Y Khi các giá trị đầu vào đ−ợc mờ hoá bằng bộ mờ hoá đơn trị, (4-12) trở thành: (4-11) (4-12) (4-10) 64 )(~ ylBà = )(~ ylGà ∏ {[ 11 Xx ∈C )( 1~1 xXà ∏ )( 1~1 xlFà ]∏ …∏ [ pp Xx ∈C )(~ pX xpà ∏ )(~ pF xlpà ]} = )(~ ylGà ∏ {[ )'( 1~1 xXà ∏ )'( 1~1 xlFà ]∏ …∏ [ )'(~ pX xpà ∏ )'(~ pF xlpà ]} = )(~ ylGà ∏ [ )'(1 ~ ipi F xli∏= à ], y∈Y Chú ý: xA ~ đ−ợc gọi là một bộ mờ hoá đơn trị loại hai nếu )(~ x xA à = 1 / 1 với x = x’ và )(~ x xA à = 1 / 0 với mọi x ≠ x’. Từ (4-13), ta xây dựng công thức xác định )(~ ylBà áp dụng cho tr−ờng hợp hệ logic mờ loại hai khoảng. Định lý 4-3 d−ới đây là cơ sở toán học của phép suy diễn trên các tập mờ loại hai khoảng. Định lý này đ−ợc đ−a ra bởi Liang and Mendel [3] Định lý 4-3: Trong một tập mờ loại hai khoảng đơn trị: (a) Kết quả phép toán hội giữa tập mờ đầu vào và các tập mờ là giả thiết của luật bị đốt cháy là một tập mờ loại một khoảng đ−ợc xác định nh− sau: )'()'( 1 xFx li p i F li ≡∏ = à ],[)]'(),'([)'( ffff llll l xxxF ≡= ở đây: )'(xf l = )'(...)'( 1 1 pxF x F lpl àà ∗∗ và )'(xf l = )'(...)'( 1 1 pxF x F lpl àà ∗∗ (b) Tập mờ đầu ra t−ơng ứng với luật bị đốt cháy, )(~ yB là , là một tập mờ loại một khoảng đ−ợc xác định theo (4-17): )(~ yB là = ∫ ∗∗∈ ])(),([ ~~ /1yy llGllGll ffb bàà , y ∈ Y (4-14) (4-15) (4-16) (4-17) (4-13) 65 ở đây )(~ yB là và )(~ yBlà là các hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của )(~ yB là . (c) Giả sử N của M luật trong hệ bị đốt cháy, với N ≤ M, khi đó đầu ra của hệ là một tập mờ loại một )(~ yBà nhận đ−ợc từ việc kết hợp N tập mờ đầu ra )(~ yB là t−ơng ứng với các luật bị đốt cháy: )(~ yBà = CNi yBl1 )(~= à , y ∈ Y )(~ yBà = ∫ ∗∨∨∗∗∨∨∗∈ ]])([...])([,)]([...)]([[ ~1~1~1~1 /1yyyy NGNGNGNG ffffb bàààà , y ∈ Y Ví dụ 4-3: Ví dụ sau đây minh hoạ việc xác định đầu ra cho một hệ logic mờ loại hai khoảng có hai luật (L = 2), vế trái của mỗi luật có 2 tập mờ loại hai khoảng và giá trị đầu vào của hệ đ−ợc mờ hoá bằng bộ mờ hoá đơn trị. áp dụng Định lý 4-3, kết quả phép toán hội giữa tập mờ đầu vào và các tập mờ giả thiết của luật l là một tập loại một khoảng ],[ ll ff với: f l = )'()'( 21 21 x F x F ll àà ∗ và f l = )'()'( 21 21 x F x F ll àà ∗ Khi ∗ là một minimum t-norm thì: f l = min[ )'(),'( 21 21 x F x F ll àà ] và f l = min[ )'(),'( 21 21 x F x F ll àà ] Khi ∗ là một product t-norm thì: f l = )'()'( 21 21 x F x F ll àà ì và f l = )'()'( 21 21 x F x F ll àà ì (4-18) (4-19) (4-20) (4-21) (4-22) 66 Hình 4-3 minh họa việc xác định các giá trị f l và f l . Hình 4-4 minh họa cách xác định đ−ợc giá trị đầu ra )(~ ylBà cho mỗi luật. )(~ yf lG l à∗ xác định hàm thuộc d−ới của )(~ ylBà ( t−ơng ứng với đ−ờng đậm nét đứt ) và )(~ yf lG l à∗ xác định hàm thuộc trên của )(~ ylBà (t−ơng ứng với đ−ờng đậm nét liền), với (l = 1, 2) và Yy∈∀ . Hàm thuộc sơ cấp của )(~ ylBà , nghĩa là FOU( lB~ ), là vùng nằm giữa hai hàm )(~ yf lG l à∗ và )(~ yf lGl à∗ (vùng tô đen). Hình 4-5 mô tả kết quả đầu ra )(~ yBà của hệ. )]([)]([ 21 ~2~1 yfyf GG àà ∗∨∗ xác hàm thuộc d−ới của )(~ yBà và )]([)]([ 21 ~2~1 yfyf GG àà ∗∨∗ xác định hàm thuộc trên của )(~ yBà . Hàm thuộc sơ cấp của )(~ yBà là vùng nằm giữa hai hàm )]([)]([ 21 ~ 2 ~ 1 yfyf GG àà ∗∨∗ và )]([)]([ 21 ~ 2 ~ 1 yfyf GG àà ∗∨∗ , với Yy∈∀ (vùng tô đen). 0.2 2 6 8 10 2 4 6 10 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 x'1 x'2 min min lf l f )'( 1 1 x F l à )'( 2 2 x F l à )'( 1 1 x F là )'( 2 2 x F là x1 x2 (a) 67 0.2 2 6 8 10 2 4 6 10 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 x'1 x'2 prod prod lf l f )'( 1 1 x F l à )'( 2 2 x F l à )'( 1 1 x F là )'( 2 2 x F là x1 x2 0.2 2 6 8 10 2 4 6 10 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 y y 1f 1 f 2 f 2f 0.2 2 6 8 10 2 4 6 10 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 y y 1f 1 f 2 f 2f Hình 4-3: Xác định lf và l f . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm. (a) (b) Hình 4-4: Xác định )(~ ylBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm (b) 68 4.5. Giảm loại và khử mờ Hệ logic mờ loại hai đơn trị là một ánh xạ fs2 : R p -> R1. Sau các quá trình mờ hoá, suy diễn mờ là quá trình giảm loại và khử mờ để nhận đ−ợc kết quả đầu ra là số rõ. Trong phần này giới thiệu một ph−ơng pháp giảm mờ và giảm loại th−ờng đ−ợc áp dụng trong các hệ logic mờ, giảm loại trọng tâm của tập (center – of - set). Kết quả của phép giảm loại là một tập khoảng có cấu trúc nh− sau: YTR = [ yl , yr] Trong ph−ơng pháp giảm loại trọng tâm của tập, YCOS đ−ợc xác định nh− sau: YCOS(x’) = [ yl, yr ] = ∫ ∫ ∑ ∑∫∫ ∈ ∈ = = ∈∈ ],[ ],[ 1 1 ],[],[ 111111 /1...... M r M l M MMM rl yyy fff M i i M i ii fffyyy f yf Chú ý rằng: [ yl i , yr i] ( i = 1…M ) cần phải đ−ợc tính toán tr−ớc khi tính YCOS(x’). Để tính YCOS(x’) ta cần phải tính hai điểm yl và yr . Các điểm f i và yi sử dụng để xác định yl ký hiệu là fl i và yl i ; các điểm fi và yi sử dụng để xác định yr ký hiệu là fr i và yr i . Nh− vậy, từ (4-23) ta có: 0.2 2 6 8 10 0.4 0.6 0.8 1 0 y 1f 2f (a) 0.2 2 6 8 10 0.4 0.6 0.8 1 0 y 1f (b) Hình 4-5: Xác định )(~ yBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm 2 f (4-23) 69 yl = ∑ ∑ = = M i i l M i i l i l f yf 1 1 và yr = ∑ ∑ = = M i i r M i i r i r f yf 1 1 Chú ý rằng các giá trị yl , fl i , yr và fr i phụ thuộc vào giá trị đầu vào x’ của hệ, nghĩa là khi x’ thay đổi ta sẽ nhận đ−ợc các giá trị khác nhau của yl , fli , yr và fr i khác nhau. Để tính đ−ợc yl ta cần xác định đ−ợc các giá trị fli , i = 1 ..M, và các giá trị yl i , i =1..M đ−ợc kết hợp với các giá trị fli đó ; và để tính đ−ợc yr chúng ta cần xác định đ−ợc các giá trị fri , i = 1 ..M, và các giá trị yri , i =1..M đ−ợc kết hợp với các giá trị fr i đó. Thuật toán sau cho phép xác định các giá trị yl và yr. Thuật toán này đ−ợc đ−a ra bởi Karnik và Mendel, còn gọi là thuật toán KM. Các b−ớc của thuật toán KM để xác định yr nh− sau: Không giảm tính tổng quát, giả sử các giá trị xác định ban đầu yr i đ−ợc sắp xếp theo theo thứ tự tăng dần theo chỉ số tăng dần: yr 1 ≤ yr2 ≤ …≤ yrM 1. Tính giá trị yr trong (4-25) bởi việc khởi tạo các giá trị i rf = ( ii ff + ) / 2 với i =1 ..M, ở đây if và if đ−ợc xác định theo (4-11) và (4-12). Đặt y’r ≡ yr . 2. Tìm R ( 1 ≤ R ≤ M-1) thoả mãn yRr ≤ ry' ≤ y R r 1+ . 3. Tính yr trong (4-25) với irf = if với i ≤ R và irf = if với i > R. Đặt "y r ≡ yr . 4. Nếu "y r ≠ 'y r , chuyển qua b−ớc 5. Nếu "y r = 'y r , kết thúc. 5. Đặt 'y r = "y r và chuyển qua b−ớc 2. (4-24) (4-25) 70 Trong thuật toán trên số R đóng vai trò vô cùng quan trọng. Với i ≤ R, i rf = if và i > R, irf = i f ; nh− vậy, trong (4-25) có thể biểu diễn yr là một hàm số của các các biến số sau: yr = )...,,,...,,...,,( 1 11 M rr MRR r yyffffy + Việc xác định yl cũng t−ơng tự nh− các b−ớc xác định yr bởi việc thay thế yr bởi yl . Trong b−ớc 2, tìm L ( 1 ≤ L ≤ M-1) thoả mãn y L l ≤ ly' ≤ yLl 1+ . Trong b−ớc 3, tính yl trong (4-24) với ilf = i f với i ≤ L và ilf = if với i > L. Nh− vậy, yl trong (4-24) có thể biểu diễn là một hàm số của các biến số sau: yl = ),...,,,...,,...,,( 1 11 M ll MLL l yyffffy + Do YCOS là một tập khoảng nên ta có thể giảm mờ cho YCOS theo ph−ơng pháp trung bình của yl và yr . Nh− vậy, đầu ra đã đ−ợc giảm mờ của hệ logic mờ loại hai đơn trị là: y(x’) = fs2(x’) = ( yl + yr )/2 4.6. Thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng bằng ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc BP (Back-Propagation) Một trong những tiêu trí của hệ logic mờ là đáp ứng đ−ợc các yêu cầu đề ra của hệ thống với độ chính xác cao. Có nhiều ph−ơng pháp khác nhau để thiết kế hệ logic mờ. Một trong những ph−ơng pháp khá hiệu quả đó là ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc. Cơ sở của ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc là điều chỉnh các tham số của hệ thống nhằm nâng cao độ chính xác của kết quả đầu ra dựa trên thuật toán giảm nhanh thông qua các mẫu huấn luyện. Trong phần này giới thiệu ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng. Thuật toán giảm nhanh nhằm tối −u hàm )(θJ với tham sô θ có cấu trúc nh− sau: )1( +iθ = )(iθ - ijgrad |)]([ θα θ , ở đây α là kích th−ớc của b−ớc giảm. Sau b−ớc lặp thứ i tham số của hệ thống θ ≡ iθ . (4-26) (4-27) (4-28) 71 Giả sử chúng ta có các cặp mẫu huấn luyện ( x(t): y(t) ), dựa trên các mẫu huấn luyện đó chúng ta phải thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng đơn trị có hàm lỗi (4-29) đ−ợc cực tiểu hoá. e(t) = 1/2[fs2(x (t)) – y(t)]2 , t = 1..N Chúng ta biết rằng fs2(x (t)) trong (4-28) phụ thuộc vào hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của các tập mờ giả thiết của các luật và hai điểm yll và yrl của kết luận. Nh− vậy, chúng ta có thể tối thiểu (4-29) thông qua việc điều chỉnh các hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới, và các giá trị yll và yrl này. Việc điều chỉnh các hàm thuộc này chính là điều chỉnh các thông số của chúng. Các b−ớc của thuật toán sau đây cho phép xác định các tham số trên để nhận đ−ợc hàm lỗi (4-29) đ−ợc tối thiểu hoá. Giả sử chúng ta có N mẫu huấn luyện ( x(t) : y(t)), t = 1..N và thực hiện E lần huấn luyện để điều chỉnh các tham số cho hệ. 1. Khởi tạo tất cả các tham số cho các tập mờ trong giả thiết và kết luận của các luật trong hệ. 2. Đặt biến đếm số lần huấn luyện e là 0: e = 0. 3. Đặt biến đếm số mẫu huấn luyện t là 1: t =1. 4. Với mẫu huấn luyện t, t−ơng ứng với x(t) , xác định các giá trị if và i f ( i = 1 ..p ) sử dụng (4-15) và (4-16). 5. Tính các giá trị yl và yr sử dụng thuật toán lặp 4 b−ớc KM. Và xác định các giá trị L và R. Khi đó yl và yr trong (4-24) và (4-25) có thể đ−ợc biểu diễn lại nh− sau: yl = ∑ ∑ = = M i i l M i i l i l f yf 1 1 = ∑∑ ∑∑ +== +== + + M Lj i L i i M Lj j l iL i i l i ff yfyf 11 11 = ),...,,,...,,...,,( 11 1 M ll MLL l yyffffy + (4-29) (4-30) 72 yr = ∑ ∑ = = M i i r M i i r i r f yf 1 1 = ∑∑ ∑∑ +== +== + + M Ri iR i i M Rj i r iR i i r i ff yfyf 11 11 = )...,,,...,,...,,( 1 11 M rr MRR r yyffffy + 6. Tính đầu ra đã đ−ợc giảm mờ của hệ: fs2(x (t)) = [yl(x (t)) + yr(x (t))]/2 7. Xác định chính xác sự phụ thuộc của yl và yr vào các hàm thuộc. (do giá trị R và L tại b−ớc 5 thay đổi nên sự phụ thuộc của yl và yr vào các hàm thuộc cũng bị thay đổi ). Từ (4-15), (4-16), (4-30) và (4-31) chúng ta có: ly = ),(...,),(),(...,),(),...,(...,),([ 11 11 11 1 ~1~~1~~1~ pFF p FF p FF l xxxxxxy L p LL p L p àààààà ++ ],...),(...,),(..., 1~1~ 1 M llp FF yyxx M p M àà ry = ),(...,),(),(...,),(),...,(...,),([ 11 11 11 1 ~1~~1~~1~ pFF p FF p FF r xxxxxxy R p RR p R p àààààà ++ ],...),(...,),(..., 1~1~ 1 M rrp FF yyxx M p M àà 8. Với mỗi thành phần của x(t) , xác định chính xác hàm của hàm thuộc )(~ kF xlk à và )(~ kF xlkà (với k = 1..p, l = 1..M) theo tham số – đ−ợc gọi là nhánh kích hoạt. Ví dụ xác định hàm thuộc )(~ kF xlk à và )(~ kF xlkà theo (4-5) và (4-6) nếu sử dụng hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình không chắc chắn và sử dụng (4-8), (4-9) nếu sử dụng hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn không chắc chắn. 9. Thay đổi tham số của các nhánh kích hoạt của các hàm thuộc là giả thiết và kết luận của mỗi luật bằng việc sử dụng thuật toán giảm nhanh đối với hàm lỗi (4-29). 10. Đặt t = t + 1. Nếu t = N + 1, chuyển qua b−ớc 11; ng−ợc lại chuyển qua b−ớc 4. 11. Đặt e = e + 1. Nếu e = E, kết thúc thuật toán; ng−ợc lại chuyển qua b−ớc 3. (4-31) (4-32) (4-33) (4-34) 73 Ví dụ 4-4: Ví dụ sau minh hoa một vài b−ớc chính trong thuật toán BP. Giả sử chúng ta có hệ logic mờ loại hai khoảng đơn trị chỉ có hai luật nh− sau: R1: if x1 is 1 1 ~F and x2 is 1 2 ~F then y is 1 ~G và R2: if x1 is 2 1 ~F and x2 is 2 2 ~F then y is 2 ~G Hàm thuộc đ−ợc sử dụng cho các tập mờ trong các luật là hàm thuộc Gaussian với giá trị trung bình không chắc chắn với các tham số mik1, m i k2 và i kδ với k = 1, 2 và i = 1, 2 nh− trong ví dụ 4-1. Các tham số đ−ợc khởi tạo ban đầu cho các hàm thuộc đó nh− diễn tả trong Hình 4-6. Trọng tâm của các hàm thuộc à 1 ~G và à 2 ~G đ−ợc giả thiết là CG1~ = [2.6, 3.9] = [yl1 , yr1] và CG2~ = [4.2, 6.4] = [yl 2 , yr 2]. 0.2 2 m111 8 10 m121 10 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.