Luận văn Sử dụng phương pháp graph trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------------------- LÊ THỊ NGỌC ANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỤC LỤC Trang phụ Trang Lời nói đầu Các ký hiệu viết tắt MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề 1 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3 4. Giả thuyết khoa học 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài 4 7. Phƣơng pháp nghiên cứu 4 7.1 . Nghiên cứu lý luận 4 7.2. Thực nghiệm sƣ phạm 4 8. Cấu trúc luận văn 4 CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới PPDH 6 1.1.1. Nhu cầu đổi mới PPDH 6 1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH 7 1.2. Đặc điểm môn toán trong trƣờng phổ thông và quan điểm đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán 8 1.2.1. Đặc điểm môn Toán 8 1.2.2. Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán ở trƣờng THPT 9 1.3. Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 11 1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 1.3.2. Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy học: tiếp cận cấu trúc hệ thống 22 1.3.3. Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc áp dụng phƣơng pháp graph trong dạy học 22 1.3.4. Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy học 25 1.4. Ứng dụng của phƣơng pháp graph trong dạy học 28 1.4.1. Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học 28 1.4.2. Chuyển hoá graph thành phƣơng pháp graph dạy học 29 1.4.3. Những ứng dụng của graph trong dạy học 29 1.4.4. Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học 34 CHƢƠNG II: VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT 2.1. Graph dạy học toán học 36 2.1.1. Graph nội dung 36 2.1.2. Graph hoạt động 42 2.1.3. Mối quan hệ giữa graph nội dung và graph hoạt động 54 2.2. Một số ví dụ về thiết kế graph trong dạy học toán 55 2.2.1. Thiết kế một số graph của một số nội dung trong chƣơng trình toán THPT 55 2.2.2. Thiết kế graph một số chuyên đề toán học 62 2.2.3. Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập toán học 66 2.3. Sử dụng graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT 70 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 2.3.1. Một số nguyên tắc khi sử dụng graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT 70 2.3.2. Sử dụng graph trong quá trình dạy học 71 2.3.3. Một số tình huống sử dụng graph nôi dung trong quá trình dạy học 72 CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm 79 3.1.1. Mục đích thực nghiệm 79 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 79 3.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm 79 3.1.4. Nội dung thực nghiệm 79 3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 79 3.2.1. Hình thức tiến hành thực nghiệm 79 3.2.2. Kế hoạch tiến hành thực nghiệm 80 3.2.3. Giáo án thực nghiệm 80 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 88 3.3.1. Về nội dung tài liệu thực nghiệm 88 3.3.2. Về phƣơng pháp giảng dạy 89 3.3.3. Về kết quả thực nghiệm 90 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm 97 KẾT LUẬN 98 PHỤ LỤC 99 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT GD & ĐT : Giáo dục và đào tạo GV : Giáo viên HS : Học sinh PT : Phƣơng trình PPDH : Phƣơng pháp dạy học SGK : Sách giáo khoa TB : Trung bình THPT : Trung học phổ thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài - Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định: “Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn lên” (Luật Giáo dục 2005). - Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) khẳng định: “Phải đổi mới phƣơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy sáng tạo của ngƣời học. Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và phƣơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”. - Đổi mới phƣơng pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh. - Nhiệm vụ đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh không chỉ là định hƣớng mà còn đòi hỏi cần nghiên cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phƣơng pháp dạy học tích cực. Việc kết hợp các phƣơng pháp truyền thống với các phƣơng pháp dạy học đặc thù nhƣ phƣơng pháp mô hình hoá, phƣơng pháp graph là một giải pháp tốt. - Công nghệ dạy học hiện đại đã trở thành một xu thế chung của thế giới trong việc đổi mới giáo dục. - Graph là một chuyên ngành toán học hiện đại đã đƣợc ứng dụng vào nhiều ngành khoa học khác nhau nhƣ: khoa học, kỹ thuật, kinh tế học, hoá học…. Bởi vì graph toán học là phƣơng pháp khoa học có tính khái quát cao, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 có tính ổn định vững chắc để mã hoá các mối quan hệ của các đối tƣợng đƣợc nghiên cứu. - Việc vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học toán học nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học môn học này ở trƣờng THPT, đƣợc xem nhƣ là một trong những tiếp cận mới vừa bổ sung vào hệ thống các phƣơng pháp dạy học truyền thống, vừa làm phong phú thêm kho tàng các phƣơng pháp dạy học toán học. Theo hƣớng này, có nhiều tác giả đã thành công trong việc nghiên cứu và vận dụng lý thuyết graph vào dạy học một số môn học ở trƣờng phổ thông và đã có những kết quả bƣớc đầu. Năm 1980, tác giả Trần Trọng Dƣơng đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phƣơng pháp graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phƣơng pháp giải, xây dựng hệ thống về lập công thức hoá học ở trƣờng phổ thông”. Năm 1984, Phạm Tƣ với sự hƣớng dẫn của giáo sƣ Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu đề tài: “Dùng graph nội dung của bài lên lớp để dạy và học chƣơng Nitơ- Phôtpho ở lớp 11 trƣờng trung học phổ thông”. Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu: “Dùng phƣơng pháp graph lập chƣơng trình tối ƣu để dạy môn sử”. Trong dạy học sinh học ở trƣờng phổ thông, Nguyễn Phúc Chỉnh là ngƣời đầu tiên đi sâu nghiên cứu về lý thuyết graph và ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu - Sinh lý ngƣời (năm 2005). - Đối với phƣơng pháp graph trong dạy học toán, các chuyên gia Hoàng Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hƣớng nhƣng chƣa có học viên cao học nào nghiên cứu một cách chi tiết. - Xuất phát từ lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh”, với mục tiêu vận dụng một phƣơng pháp dạy học có nhiều tiềm năng phát huy năng lực nhận thức của học sinh, góp phần thiết thực vào việc đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán học ở trƣờng phổ thông. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hƣớng vận dụng phƣơng pháp graph để xây dựng một số graph nội dung và graph hoạt động vào dạy học toán ở trƣờng THPT theo chƣơng trình mới. 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu - Khách thể nghiên cứu: Chƣơng trình toán THPT, học sinh THPT, GV giảng dạy Toán ở các trƣờng THPT. - Đối tƣợng nghiên cứu: Dạy học Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng pháp graph. - Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong một số nội dung của chƣơng trình toán THPT nhƣ: Thống kê, xác suất…. 4. Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học một số nội dung của chƣơng trình Toán thì sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, phát triển tƣ duy hệ thống và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở THPT. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu quan điểm dạy học Toán theo tinh thần đổi mới. - Tìm hiểu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy học. - Chỉ ra nội dung môn toán trong chƣơng trình toán THPT có thể vận dụng lý thuyết graph - Thiết kế các graph (nội dung và hoạt động). - Kiểm tra hiệu quả các graph đã thiết kế để dạy học Toán bằng thực nghiệm sƣ phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài - Về lý luận: Hệ thống và làm rõ thêm việc vận dụng lý thuyết graph vào dạy học Toán ở THPT. - Về thực tiễn: Đƣa ra một số graph nội dung và graph hoạt động môn Toán và những hƣớng dẫn sƣ phạm trong việc áp dụng những graph này vào thực tiễn dạy học Toán. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu 7.1. Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan đến: đổi mới phƣơng pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị dạy học toán 10, 11, 12. - SGK, phân phối chƣơng trình, sách GV… - Các tài liệu về lý thuyết graph và những ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống và trong dạy học. - Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phƣơng pháp graph và việc đổi mới phƣơng pháp dạy học. 7.2. Thực nghiệm sƣ phạm - Biên soạn giáo án có sử dụng graph hoạt động và graph nội dung về môn Toán THPT phù hợp với chƣơng trình lên lớp. - Tiến hành thực nghiệm. - Đánh giá kết quả thực nghiệm. 8. Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: Phần mở đầu. Chƣơng I: Cơ sở lý luận của đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Chƣơng II: Vận dụng lý thuyết graph vào dạy học toán ở trƣờng THPT. Chƣơng III: Thực nghiệm sƣ phạm. Kết luận. Tài liệu tham khảo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Chƣơng I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới PPDH 1.1.1. Nhu cầu đổi mới PPDH Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nƣớc đang đòi hỏi phải cấp bách nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nƣớc ta đang chuyển đổi từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trƣờng có sự quản lý của nhà nƣớc. Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những thay đổi mới căn bản về phƣơng pháp dạy học. Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta còn có những nhƣợc điểm phổ biến: Thầy thuyết trình tràn lan; Tri thức đƣợc truyền thụ dƣới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện; Thầy áp đặt, trò thụ động; Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, sáng tạo của ngƣời học; Không kiểm soát đƣợc việc học. Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời xây dựng xã hội công nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục và Đào tạo từ một số năm nay với những tƣ tƣởng chủ đạo đƣợc phát biểu dƣới nhiều hình thức khác nhau, nhƣ “Phát huy tính tích cực”, “Phƣơng pháp dạy học tích cực”, “Tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá ngƣời học”v.v… [6]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH Định hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc xác định trong nghị quyết Trung ƣơng 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung ƣơng 2 khoá VIII (12- 1996), đƣợc thể chế hoá trong luật giáo dục (2005), đƣợc cụ thể hoá trong các chỉ thị của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4- 1999). Luật giáo dục 2005, chƣơng I, điều 24 đã ghi “Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho mỗi học sinh”. Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc”; Chƣơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ - BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trƣởng bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trƣng môn học, đặc điểm đối tƣợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dƣỡng cho học sinh phƣơng pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho từng học sinh” [10]. Đổi mới PPDH đƣợc coi là một trong những nhiệm vụ chiến lƣợc. Chính vì vậy PPDH cần hƣớng vào việc tổ chức cho ngƣời học học tập trong hoạt động, kết hợp tốt học với hành. Đổi mới phƣơng pháp dạy và học theo hƣớng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của ngƣời học; tăng cƣờng thực hành, thực tập; ứng dụng mạnh mẽ công nghệ thông tin và các thành tựu khác của khoa học, công nghệ vào việc dạy và học. Đổi mới và hiện đại hoá phƣơng pháp giáo dục, chuyển từ truyền đạt tri thức thụ động, giáo viên giảng, học sinh ghi sang hƣớng dẫn ngƣời học tƣ duy trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho ngƣời học phƣơng pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách hệ thống và có tƣ duy phân tích, tổng hợp và phát triển đƣợc năng lực của mỗi cá nhân; tăng cƣờng tính chủ động, tính tự chủ của học sinh… Hiện nay, trên thế giới đã có rất nhiều chuyên gia và GV áp dụng và chuyển hoá các phƣơng pháp khoa học, các thành tựu của kỹ thuật tiên tiến và công nghệ mới thành phƣơng pháp dạy học đặc thù. Trong đó, tiếp cận - chuyển hoá lý thuyết graph toán học thành phƣơng pháp dạy học là một trong những hƣớng có nhiều triển vọng. 1.2. Đặc điểm môn toán trong trƣờng phổ thông và quan điểm đổi mới phƣơng pháp dạy học toán 1.2.1. Đặc điểm môn toán Toán học nói chung và môn toán ở trƣờng THPT nói riêng là môn học mang tính trừu tƣợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Tính trừu tƣợng của toán học và của môn toán trong nhà trƣờng do chính đối tƣợng của toán học quy định. Toán học là khoa học nghiên cứu các quan hệ số lƣợng, hình dạng và lôgic trong thế giới khách quan Tính trừu tƣợng có trong mọi ngành khoa học, tuy nhiên trong toán học tính trừu tƣợng tách ra khỏi mọi chất liệu đối tƣợng, chỉ giữ lại những quan hệ số lƣợng dƣới dạng cấu trúc mà thôi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Sự trừu tƣợng hoá trong toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tƣợng từ những đối tƣợng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, khái niệm hình bình hành… Toán học là môn học có tính phổ dụng cao, điều này là do đặc tính trừu tƣợng của môn học này quyết định Ví dụ: xét tƣơng quan y = ax (a 0), trong toán học nó thể hiện tƣơng quan của hàm bậc nhất. Tuy nhiên nó còn thể hiện ở nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn: + Trong vật lí ta có tƣơng quan sau: - Tƣơng quan giữa quãng đƣờng trong một chuyển động đều với vận tốc v cho trƣớc tỷ lệ thuận với thời gian t là: s = vt - Tƣơng quan giữa hiệu điện thế U với cƣờng độ dòng điện trong trƣờng hợp điện trở R không đổi: U = IR. + Trong hoá học ta có: phân tử gam M của một chất khí tỷ lệ thuận với tỷ khối d của chất khí đó đối với không khí: M = 29d. Ngày nay toán học đã thâm nhập vào hầu hết mọi ngành khoa học. Nó là nền tảng cho các môn khoa học khác, do đó đổi mới phƣơng pháp dạy học toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của nền giáo dục phổ thông. 1.2.2 Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán ở trƣờng THPT Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh. Về phƣơng pháp giáo dục, phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phƣơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dƣỡng cho học sinh năng lực tƣ duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”. Các quan điểm trên đây đã đƣợc pháp chế hoá trong luật giáo dục. Nhƣ vậy quan điểm chung về hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc khẳng định. Cốt lõi của việc đổi mới PPDH môn toán ở trƣờng THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Vậy quan điểm chung về đổi mới PPDH môn toán hiện nay ở trƣờng THPT là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Trong những năm gần đây, đã có những công trình khoa học xét quá trình dạy học dƣới mức độ định lƣợng bằng những công cụ của toán học hiện đại. Việc này có tác dụng nâng cao hiệu quả của hệ dạy học cổ truyền, đồng thời mở ra những hệ dạy học mới tăng cƣờng tính khách quan hoá (vạch kế hoạch chi tiết có tính algorit), cá thể hoá (nâng cao tính tích cực, tự lực và sáng tạo)… Trong dạy học việc truyền thông tin không chỉ theo hƣớng từ giáo viên đến học sinh mà còn theo hƣớng từ học sinh đến giáo viên (liên hệ ngƣợc) hoặc giữa học sinh với các phƣơng tiện dạy học (sách, đồ dùng dạy học…) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 hoặc giữa học sinh với học sinh. Nhƣ vậy, giữa giáo viên và học sinh; giữa phƣơng tiện dạy học với học sinh; giữa học sinh với học sinh đều có các đƣờng (kênh) để chuyển tải thông tin đó là: kênh thị giác (kênh hình); kênh thính giác (kênh tiếng)….Trong đó kênh thị giác có năng lực truyền tải thông tin nhanh nhất, hiệu quả nhất. Đối với học sinh đổi mới PPDH là: học tập một cách tích cực, chủ động, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo, hình thành và ổn định phƣơng pháp tự học. Đối với giáo viên đổi mới PPDH là: -Thay đổi quan niệm: dạy học là truyền thụ một chiều, hƣớng tới dạy ngƣời học phát triển và giải quyết vấn đề. - Phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học - Nâng cao hơn việc sử dụng phƣơng tiện dạy học, thành tựu của công nghệ thông tin, tăng cƣờng tri thức toán gắn với thực tiễn. 1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hƣớng hoặc có hƣớng) nối các đỉnh đó. Ngƣời ta phân loại graph tuỳ theo đặc tính và số cạnh nối các đỉnh của graph. Số đỉnh của graph G đƣợc kí hiệu bằng V(G) hay V. Số cạnh của graph G đƣợc kí hiệu bằng E(G) hay E. Trong mỗi graph các cạnh của graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào, đều không phải là điều quan trọng, mà điều quan trọng là graph có bao nhiêu cạnh và đỉnh nào đƣợc nối với đỉnh nào. Xét một đỉnh của graph, số cạnh tới đỉnh đó đƣợc gọi là bậc (degree) của đỉnh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Một graph đƣợc gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ đƣợc trên một mặt phẳng mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các cạnh). Hình vẽ nhƣ thế đƣợc gọi là một biểu diễn phẳng của graph. Mỗi graph có thể có nhiều biểu diễn phẳng khác nhau, nhƣng phải chỉ rõ đƣợc mối quan hệ giữa các đỉnh. Graph có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng sơ đồ, dạng biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận). Ví dụ: Trong một graph có thể có đỉnh lại là một graph thì những đỉnh đó gọi là graph con. 1.3.1.1 Phân loại graph * Graph vô hƣớng: Một graph vô hƣớng G=(V,E) gồm một tập V≠ Ø mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh có thể chứa cạnh bội nhƣng không có khuyên. Grap con (Đỉnh C là graph con) A B e g h C Hai cách thể hiện khác nhau của một graph Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Ví dụ: V= {A, B, C, D, E, G} E={(A, B),(B, C),(A, D),(A, E),(E, C),(B, D)} Hai đỉnh u và v trong graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liền kề nếu (u,v) E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e. Bậc của đỉnh v trong graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh đƣợc tính hai lần cho bậc của nó Đỉnh v đƣợc gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)= 0. Ví dụ: Deg(A)=3; deg(B)=2 Deg(C)=4; deg(D)=4 Deg(F)=1( Flà đỉnh treo) Deg(G)=0 (G là đỉnh cô lập) * Graph có hƣớng: Một graph có hƣớng G= (V,E) gồm một tập V≠Ø mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp sắp thứ tự của các phần tử thuộc V. Ví dụ: A B C D A D B F C G A D B C E G Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Đỉnh u đƣợc gọi là nối tới v hay v đƣợc gọi là nối tới u trong graph có hƣớng nếu (u,v) là một cung của graph. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cung này. Bán bậc vào của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg + (v) là số các cung có đỉnh cuối là v. Bán bậc ra của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg - (v) là số các cung có đỉnh đầu là v. Ví dụ: Deg + (A)= 1; deg - (A)= 4 Deg + (B)= 2; deg - (B)= 2 Deg + (C)= 2;deg - (C)= 0 Deg + (D)= 1; deg - (D)= 0 Deg + (E)= 0; deg - (E)= 0 D là đỉnh treo, E là đỉnh cô lập Nếu deg + (v)= deg - (v)= 0 thì v là đỉnh cô lập. Nếu deg + (v)= 1 và deg - (v)= 0 thì v là đỉnh treo. Trong dạy học, ngƣời ta thƣờng chỉ quan tâm đến graph có hƣớng vì graph có hƣớng cho biết cấu trúc của đối tƣợng nghiên cứu. * Một số dạng graph đặc biệt Ta xét một số dạng graph đơn vô hƣớng đặc biệt, có thể ứng dụng đƣợc trong thực tế. + Graph đầy đủ Graph đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi Kn, là graph vô hƣớng mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó luôn có cạnh nối (cạnh liền kề) Nhƣ vậy, Kn có 2 )1(nn cạnh và mỗi đỉnh của Kn có bậc là n-1. E B B C D A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví dụ: + Graph vòng Graph vòng Cn, n 3, gồm n đỉnh v1, v2,..., vn và các cạnh (v1,v2), (v2,v3),…,(vn-1, vn), (vn, v1). Nhƣ vậy mỗi đỉnh của Cn có bậc là 2. Ví dụ: + Graph bánh xe Graph Wn thu đƣợc từ Cn bằng cách bổ xung vào một đỉnh mới vn+1, nối với tất cả các cạnh của Cn. Nhƣ vậy graph Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, 1 đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3. Ví dụ: V1 V3 V2 C3 V1 V2 V4 V3 C4 V3 V5 V1 V2 V4 V1 V2 V3 V4 K5 K4 V1 V3 V2 K3 V2 V1 V3 V4 W3 V2 V1 V3 C3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 + Graph lập phương Graph lập phƣơng n đỉnh Qn là graph với các đỉnh biểu diễn 2 n xâu nhị phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi hai xâu nhị phân tƣơng ứng với hai đỉnh này chỉ khác nhau một bit. + Graph hai phía Graph đơn G = (V, E) sao cho V = V1 V2 , V1 V2 = Ø, V1 ≠ Ø, V2 ≠ Ø và mỗi cạnh của G đƣợc nối với một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 đƣợc gọi là graph phân đôi. Nếu graph phân đôi G = (V, E) sao cho mọi v1 V1, v2 V2; (v1, v2) E thì G đƣợc gọi là graph phân đôi đầy đủ. Nếu V1= m, V2= n thì graph phân đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n. Vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh V1 có bậc n và V2 có bậc m. Ví dụ: K2,3 1.3.1.2 Graph Euler và graph Hamilton: Đƣờng đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dƣơng, trong graph G = (V, E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2,…,en của graph V1 V2 V3 V4 V5 10 11 00 01 V1 V2 Q1 Q2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 sao cho e1=(x0, x1); e2=(x1, x2);…;en=(xn-1, xn) với x0= u và xn= v. Khi graph không có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đƣờng đi này bằng dãy các đỉnh x1, x2,…, xn. Đƣờng đi gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh. Đƣờng đi gọi là chu trình đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung) quá một lần. Một graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liên thông nếu có đƣờng đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của graph. Ví dụ: Đường đi Euler và graph Euler [11]: Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) đơn chứa tất cả các cạnh (hoặc cung) của graph (có hƣớng hoặc vô hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi) Euler. Một graph liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hƣớng)có chứa một chu trình (đƣờng đi) Euler đƣợc gọi là graph Euler (nửa Euler). Ví dụ: X T Y U Z V G liên thông G ’ không liên thông gồm 2 thành phần liên thông A C D B G H Z I C D E B A E D C A B C A B D E G1 G2 G3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Graph G1 trong hình trên là graph Euler vì nó có chu trình Euler A, E, C, D, E, B, A. Graph G3 không có chu trình Euler nhƣng nó có đƣờng đi Euler A, C, D, E, B, D, A, B, vì thế G3 là nửa Euler. Graph G2 không có chu trình cũng nhƣ đƣờng đi Euler. Đường đi Hamilton và graph Hamilton [11]: Định nghĩa : Chu trình (đƣờng đi) sơ cấp chứa tất cả các đỉnh của graph (vô hƣớng hoặc có hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi) Hamilton. Một graph có chứa một chu trình (đƣờng đi) Hamilton đƣợc gọi là graph Hamilton (nửa Hamilton). Ví dụ: Trong hình trên G3 là Hamilton, G2 là nửa Haminlton, còn G1 không là nửa Haminlton. Bài toán về đƣờng đi có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Trong dạy học, ứng dụng bài toán về chu trình có thể lập đƣợc các graph ở nhiều nội dung khác nhau. 1.3.1.3 Khái niệm “cây” trong lý thuyết graph Định nghĩa: Cây (tree) là một graph vô hƣớng liên thông, không chứa chu trình. Một graph vô hƣớng không chứa chu trình gọi là một rừng. Trong một rừng, mỗi thành phần liên thông là một cây. Ví dụ: Trong hình dƣới đây là một rừng có 3 cây T1, T2, T3. G1 G2 G3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Khảo sát về cây là một nội dung quan trọng của lý thuyết graph và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Cây khung: Định nghĩa: Giả sử G (V, E) là đồ thị vô hƣớng liên thông. Cây T = (V, F) với F E đƣợc gọi là cây khung của đồ thị G. Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất Đây là bài toán tối ƣu trên graph tìm đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống. Cho G = (V, E) là graph vô hƣớng liên thông có trọng số, mỗi cạnh e E có trọng số m(e) 0. Giả sử T = (VT, ET) là cây khung của đồ thị G (VT = V). Ta gọi độ dài m(T) của cây khung T là tổng trọng số các cạnh của nó. Bài toán đặt ra là trong tất cả các cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất. Cây khung nhƣ vậy đƣợc gọi là cây khung nhỏ nhất. Ví dụ 1: Tìm cây khung cực tiểu cho graph sau theo thuật toán Kruskal. T1 T2 T3 2 V1 V4 V3 V2 8 9 5 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Bắt đầu từ graph rỗng T có 4 đỉnh V1, V2, V3, V4. Sắp xếp các cạnh của graph theo thứ tự tăng dần của trọng số { (V2,V4), (V2, V3), (V3, V4), (V3, V1), (V1, V2)} Thêm vào graph cạnh (V2, V4). Vì số cạnh của T là 1< 4-1=3 nên ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V2, V3). Số cạnh của T tăng thành 2 vẫn nhỏ hơn 4-1, ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V3, V1) ( không thêm cạnh (V3, V4), vì nhƣ vậy sẽ tạo thành chu trình). Vậy ta đƣợc cây khung cực tiểu: Tmin= 2+ 5+ 8 =15 Cây có gốc Định nghĩa: Cây có hƣớng là graph có hƣớng mà graph vô hƣớng nền của nó là một cây. Cây có gốc là một cây có hƣớng, trong đó có một đỉnh đặc biệt gọi là gốc, từ gốc có đƣờng đi đến mọi đỉnh khác của cây. Ví dụ: Trong cây có gốc thì gốc R có bậc vào bằng 0, còn tất cả các đỉnh khác đều có bậc vào bằng 1. E F A B G O H R J C I L M N Q K P D V1 V1 V4 V3 V2 8 2 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Một cây có gốc thƣờng đƣợc vẽ với gốc R ở trên cùng và cây phát triển từ trên xuống, gốc r gọi là đỉnh mức 0. Các đỉnh kề với r đƣợc xếp ở phía dƣới và gọi là đỉnh mức 1. Đỉnh ngay dƣới mức 1 gọi là đỉnh mức 2,… Tổng quát trong một cây có gốc thì v là đỉnh mức k khi và chỉ khi đƣờng đi từ r đến v có độ dài bằng k. Mức lớn nhất của một đỉnh bất kỳ trong cây gọi là chiều cao của cây. Cây có gốc trên thƣờng đƣợc vẽ nhƣ sau để làm rõ mức của đỉnh: Cây đa phân: Một cây có gốc T đƣợc gọi là cây đa phân nếu bậc ở tất cả các đỉnh đều không xác định. R A C B E F J G O D H Q K I N M L P Cây đa phân Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Trong toán học, cây đa phân có thể dùng để hệ thống hoá khái niệm, mô hình hoá tài liệu giáo khoa (có thể là nội dung một phần kiến thức, một bài hoặc một chƣơng). Cây nhị phân: Một cây có gốc T đƣợc gọi là cây nhị phân nếu bậc ở tất cả các đỉnh đều không lớn hơn 2, hay mỗi đỉnh của T chỉ có tối đa hai con. Ví dụ: Trong dạy học toán học, có thể dùng cây nhị phân để lập các sơ đồ rẽ nhánh. 1.3.2 Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy học: tiếp cận theo hƣớng cấu trúc hệ thống Cơ sở triết học của việc chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học là phƣơng pháp tiếp cận theo hƣớng cấu trúc - hệ thống. Lý thuyết hệ thống là một luận thuyết nhằm nghiên cứu và giải quyết các vấn đề theo quan điểm toàn vẹn tức là nghiên cứu giải quyết các vấn đề một cách có căn cứ khoa học, có hiệu quả và thực hiện dựa trên tất cả các yếu tố cấu thành nên đối tƣợng. Việc ứng dụng graph trong dạy học là tiếp cận cấu trúc - hệ thống graph để phân tích đối tƣợng nghiên cứu thành các yếu tố cấu trúc, xác định các đỉnh của graph trong một hệ thống mang tính lôgic khoa học, qua đó thiết lập các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc trong một tổng thể. Tính đặc thù phƣơng pháp luận của tiếp cận cấu trúc hệ thống đƣợc biểu thị ở chỗ hƣớng nghiên cứu vào việc khám phá tính chỉnh thể của đối tƣợng Cây nhị phân (binary tree) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 và các cơ chế đảm bảo tính chỉnh thể đó. Tiếp cận cấu trúc - hệ thống nhằm hƣớng nghiên cứu vào tính tổng thể của đối tƣợng, làm sáng tỏ các mối liên hệ đa dạng, phức tạp. Giúp ngƣời học có thể nắm đƣợc lý thuyết một cách tổng thể. 1.3.3 Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học PPDH môn toán phải dựa vào những thành tựu của tâm lý học, đặc biệt là tâm lí học phát triển, tâm lí học sƣ phạm và tâm lí học tƣ duy để xác định mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học. Trong quá trình dạy học, hoạt động học tập của học sinh là quá trình tiếp nhận thông tin. Những thông tin đƣợc giới thiệu tạo cho học sinh tri giác sẽ khái quát hóa, trừu tƣợng hoá và cuối cùng là mô hình hoá thông tin để ghi nhớ theo mô hình. Sử dụng graph trong dạy học thực chất là hành động mô hình hoá, tạo ra những đối tƣợng nhân tạo tƣơng tự về một mặt nào đó với đối tƣợng hiện thực để tiện cho việc nghiên cứu. Rõ ràng graph giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát hơn. Học sinh sẽ dễ dàng hiểu sâu đƣợc cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất của nội dung học tập. Mô hình là vật thể đƣợc dựng lên một cách nhân tạo dƣới dạng sơ đồ, cấu trúc vật lý, dạng ký hiệu hay công thức tƣơng ứng với đối tƣợng nghiên cứu (hay hiện tƣợng) nhằm phản ánh và tái tạo dƣới dạng đơn giản và sơ lƣợc nhất cấu trúc, tính chất, mối liên hệ và quan hệ giữa các bộ phận của đối tƣợng nghiên cứu. Mô hình là vật đại diện thay thế cho vật gốc, có những tính chất tƣơng tự với vật gốc, nhờ đó khi nghiên cứu mô hình ngƣời ta sẽ nhận đƣợc những thông tin về những tính chất hay quy luật của vật gốc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Mô hình hoá thực ra là đơn giản hoá thực tại bằng cách, từ một tập hợp tự nhiên các hiện tƣợng, trạng thái về hệ gắn bó qua lại với nhau, ta tách ra những yếu tố nào cần nghiên cứu, rồi dùng ký hiệu quy ƣớc diễn tả chúng thành những sơ đồ, đồ thị, biểu đồ và công thức để mô phỏng một mặt nào đó của thực tại. Mô hình hoá là một hành động học tập, giúp con ngƣời diễn đạt lôgíc khái niệm một cách trực quan. Qua mô hình các mối quan hệ của khái niệm đƣợc quá độ chuyển vào trong (tinh thần). Nhƣ mô hình là “cầu nối” giữa vật chất và tinh thần. Graph giúp HS có một điểm tựa tâm lý rất quan trọng trong sự lĩnh hội, học tập. Từ những hình ảnh trực quan hay lời nói của GV mô tả về đối tƣợng nghiên cứu, bằng các thao tác tƣ duy học sinh sẽ chuyển những thông tin đó sang “ngôn ngữ graph”, tức là học sinh tự thiết lập các graph trong não. Học sinh sẽ dễ dàng hiểu sâu đƣợc cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất của nội dung học tập. Theo tâm lý học nhận thức, mọi hình ảnh (kể cả âm thanh) học sinh tri giác đƣợc đều đƣợc mô hình hoá bằng các thao tác tƣ duy, do đó graph đã giúp cho học sinh thuận lợi hơn trong khâu khái quát hoá. Hình ảnh trực quan là điểm tựa quan trọng cho sự ghi nhớ và tái hiện tri thức của học sinh về nội dung bài học. Ngôn ngữ graph ngắn gọn, súc tích chứa đựng nhiều thông tin sẽ giúp cho học sinh xử lý thông tin nhanh chóng và chính xác hơn. Đối với việc ghi nhớ, học sinh không phải thuộc lòng mà chỉ cần ghi nhớ những dấu hiệu cơ bản của đối tƣợng nghiên cứu và các quy luật về mối quan hệ của các yếu tố trong một hệ thống nhất định. Còn đối với việc vận dụng tri thức, học sinh phải thực hiện một thao tác tƣ duy là chuyển từ “ngôn ngữ graph” sang ngôn ngữ “ngữ nghĩa”, việc làm này giúp cho học sinh vận dụng kiến thức chính xác và hiệu quả hơn. Sử dụng graph trong dạy học còn có tác dụng rèn luyện cho học sinh năng lực tƣ duy khái quát (tƣ duy hệ thống). Đây là một hoạt động có hiệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 quả lâu dài, ảnh hƣởng đến khả năng tƣ duy và hoạt động trong suốt cuộc đời của mỗi học sinh. 1.3.4 Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy học 1.3.4.1 Trên thế giới Lý thuyết graph là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại. Những tƣ tƣởng cơ bản của lý thuyết graph đƣợc đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ XVIII bởi nhà toán học lỗi lạc ngƣời Thụy Sỹ Leonhard Euler. Chính ông là ngƣời đã sử dụng graph để giải bài toán nổi tiếng “Bảy cây cầu ở Konigsburg” (công bố vào năm 1736). Trong những năm cuối thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của toán học và nhất là toán học ứng dụng, những nghiên cứu về vận dụng lý thuyết graph đã có những bƣớc tiến nhảy vọt. Sau khi lý thuyết graph hiện đại đƣợc công bố, nhiều nhà toán học trên thế giới đã nghiên cứu làm cho môn học này ngày càng phong phú. Năm 1958, tại Pháp Claude Berge đã viết cuốn “Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó”. Trong cuốn sách tác giả đã trình bày những khái niệm và định lý toán học cơ bản của lý thuyết graph, đặc biệt là những ứng dụng của lý thuyết graph trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiện nay, nhiều trƣờng đại học trên thế giới có những nhóm tác giả đang nghiên cứu về lý thuyết graph, về sự chuyển hoá của lý thuyết graph vào những lĩnh vực khoa học khác nhau, đơn cử: - Trƣờng đại học Antrep - Bỉ có nhóm nghiên cứu của giáo sƣ Dirk Janssens; trƣờng Đại học kỹ thuật Beclin - Đức có nhóm nghiên cứu của giáo sƣ Hartmut Ehrig; trƣờng Đại học tổng hợp Layden - Hà Lan có giáo sƣ Grzegorz Rozenberg … - Ở Hoa Kỳ có nhiều tác giả đã nghiên cứu sâu về lý thuyết graph làm cơ sở cho lý thuyết mạng máy tính và chuyển hoá vào các ngành khoa học khác. Trong đó nổi bật nhất là những công trình nghiên cứu của Jonathan L Gross Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 (trƣờng Đại học Columbia, NiuYooc) và Jay Yellen (trƣờng Rolin, Florida). Hai tác giả này đã công bố nhiều công trình về graph… Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó đã và đang đƣợc nghiên cứu một cách hết sức cẩn thận ở nhiều nƣớc trên thế giới. Năm 1965, tại Liên Xô (cũ), A.M.Xokhor là ngƣời đầu tiên vận dụng một số quan điểm của lý thuyết graph để mô hình hoá nội dung tài liệu giáo khoa (một khái niệm, một định luật…). Ông đã nghiên cứu sâu về lĩnh vực phƣơng pháp dạy học hoá học, ông đã sử dụng graph để mô hình hoá tài liệu giáo khoa môn hoá học. A.M.Xokhor đã diễn tả những khái niệm bằng những graph, trong đó các nội dung cơ bản của khái niệm đƣợc bố trí trong các ô và các mũi tên chỉ sự liên hệ giữa các nội dung. Theo ông đặc điểm khách quan đặc trƣng nhất cho tính vừa sức của một tài liệu giáo khoa (đƣợc xây dựng theo một logic nào đó) là số lƣợng các cạnh (diện) của graph. Năm 1965, V.X.Poloxin dựa theo cách làm của A.M.Xokhor đã dùng phƣơng pháp graph để diễn tả trực quan những diễn biến của một tình huống dạy học, tức đã diễn tả bằng một sơ đồ trực quan trình tự những hoạt động của giáo viên và học sinh trong việc thực hiện một thí nghiệm hoá học. Ông cũng mô tả trình tự các thao tác dạy học trong một tình huống dạy học bằng graph. Năm 1972, V.P.Grakumop đã sử dụng phƣơng pháp graph để mô hình hoá các tình huống của dạy học nêu vấn đề. Theo ông, trong việc tạo ra các mẫu của tình huống nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, thì việc vận dụng lý thuyết graph có thể giúp ích rất nhiều cho các nhà lý luận dạy học. Năm 1973 cũng tại Liên Xô (cũ) tác giả Nguyễn Nhƣ Ất đã vận dụng phƣơng pháp graph kết hợp với phƣơng pháp ma trận nhƣ một phƣơng pháp hỗ trợ để xây dựng logic cấu trúc các khái niệm “tế bào học” trong giáo trình môn sinh học đại cƣơng trƣờng phổ thông của nƣớc Việt Nam. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 1.3.4.2 Ở Việt Nam Từ năm 1971, giáo sƣ Nguyễn Ngọc Quang là ngƣời đầu tiên nghiên cứu chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học và đã công bố nhiều công trình trong lĩnh vực này. Trong các công trình đó, giáo sƣ đã nghiên cứu những ứng dụng cơ bản của lý thuyết graph trong khoa học giáo dục, đặc biệt trong giảng dạy hoá học. Sau đó cũng đã có nhiều tác giả đi sâu nghiên cứu trong lĩnh vực này. Năm 1980, tác giả Trần Trọng Dƣơng đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phƣơng pháp graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phƣơng pháp giải, xây dựng hệ thống bài toán về lập công thức hoá học ở trƣờng phổ thông”. Năm 1983, Nguyễn Đình Bào nghiên cứu sử dụng graph để hƣớng dẫn ôn tập môn toán, Nguyễn Anh Châu đã nghiên cứu sử dụng graph hƣớng dẫn ôn tập môn văn. Các tác giả này đã sử dụng sơ đồ graph để hệ thống hoá kiến thức mà học sinh đã học trong một chƣơng hoặc trong một chƣơng trình nhằm thiết lập mối liên hệ các phần kiến thức đã học, giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn. Năm 1984, Phạm Tƣ đã nghiên cứu đề tài “Dùng graph nội dung của bài lên lớp để dạy và học chƣơng Nitơ - Photpho ở lớp 11 trƣờng phổ thông trung học”. Với thành công của ông, lý thuyết graph đã đƣợc vận dụng nhƣ một phƣơng pháp dạy học hoá học thực sự có hiệu quả. Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu “Dùng phƣơng pháp graph lập chƣơng trình tối ƣu để dạy môn sử”. Năm 1993, Hoàng Việt Anh đã nghiên cứu “Vận dụng phƣơng pháp sơ đồ - graph vào giảng dạy địa lý các lớp 6 và 8 ở trƣờng trung học cơ sở”. Tác giả đã sử dụng phƣơng pháp graph để phát triển tƣ duy của học sinh trong học tập địa lý và rèn luyện kỹ năng khai thác sách giáo khoa cũng nhƣ các tài liệu tham khảo khác. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Trong lĩnh vực dạy học sinh học ở trƣờng phổ thông Nguyễn Phúc Chỉnh là ngƣời đầu tiên đi sâu nghiên cứu một cách hệ thống về lý thuyết graph và ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu – Sinh lý ngƣời (2005). 1.4. Ứng dụng của phƣơng pháp graph trong dạy học 1.4.1 Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học đang là một hƣớng đi trong việc đổi mới phƣơng pháp dạy học. Graph có tác dụng mô hình hoá các đối tƣợng nghiên cứu và mã hoá các đối tƣợng đó bằng một loại “ngôn ngữ” vừa trực quan, vừa cụ thể và cô đọng. Vì vậy dạy học bằng graph có tác dụng nâng cao hiệu quả truyền thông tin nhanh chóng và chính xác hơn. Giúp học sinh thu nhận kiến thức một cách khoa học hơn, hiểu vấn đề một cách khái quát hơn. Xử lý thông tin là sử dụng các thao tác tƣ duy nhằm phân tích thông tin, phân loại thông tin và sắp xếp thông tin vào những hệ thống nhất định (thiết lập mối quan hệ giữa các thông tin). Hiệu quả những thao tác đó phụ thuộc vào chất lƣợng thông tin và năng lực nhận thức của từng học sinh. Tuy nhiên nhờ các graph mã hoá các thông tin theo những hệ thống logic hợp lý đã làm cho việc xử lý thông tin hiệu quả hơn rất nhiều. Lƣu trữ thông tin là việc ghi nhớ kiến thức của học sinh. Những cách dạy học cổ truyền thƣờng yêu cầu học sinh ghi nhớ một cách máy móc (học thuộc lòng) vì vậy học sinh dễ quên. Graph sẽ giúp học sinh ghi nhớ một cách khoa học, tiết kiệm “bộ nhớ” trong não học sinh. Hơn nữa việc ghi nhớ các kiến thức bằng graph mang tính hệ thống sẽ giúp cho việc tái hiện và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 1.4.2. Chuyển hoá graph thành phƣơng pháp graph dạy học Trong nhận thức khoa học, có thể phân loại các phƣơng pháp khoa học thành ba nhóm: phƣơng pháp khái quát, phƣơng pháp riêng rộng và phƣơng pháp đặc thù. Hệ thống các phƣơng pháp khoa học gắn bó với nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ra nhau, chúng có thể chuyển hoá cho nhau để hình thành ra những phƣơng pháp mới phù hợp với mục tiêu và nội dung đặc thù của từng hoạt động. Phƣơng pháp graph toán học là phƣơng pháp khoa học thuộc loại riêng rộng, có tính khái quát cao, tính ổn định vững chắc và có thể dùng mã hoá các mối quan hệ của các đối tƣợng đƣợc nghiên cứu. Vì vậy trong những năm cuối thế kỷ XX, trên thế giới đã xuất hiện xu hƣớng chuyển hoá phƣơng pháp graph của toán học thành phƣơng pháp dạy học nhiều bộ môn không phải là toán học, nhằm cung cấp cho học sinh một phƣơng pháp tƣ duy và tự học có hiệu quả. Từ năm 1971, giáo sƣ Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu chuyển hóa các phƣơng pháp khoa học thành phƣơng pháp dạy học, thông qua xử lý sƣ phạm là một trong những hƣớng của chiến lƣợc đổi mới và hiện đại hoá phƣơng pháp dạy học. Quá trình chuyển hoá phƣơng pháp graph toán học thành phƣơng pháp graph dạy học thông qua xử lý sƣ phạm đƣợc thực hiện theo công thức sau: 1.4.3. Những ứng dụng của graph trong dạy học * Dùng graph để hệ thống hoá khái niệm: “Trong việc dạy học toán, cũng nhƣ ở việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trƣờng phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách Ψ Phƣơng pháp graph dạy học Phƣơng pháp graph toán học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học” (Hoàng Chúng 197, tr. 116). Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống các khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm. Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm. Có thể dùng graph để hệ thống hoá các khái niệm trong một tổng thể, qua đó mở rộng hiểu biết về đối tƣợng cần nghiên cứu một cách khái quát. Điều đó giúp học sinh hiểu khái niệm một cách không hình thức, không máy móc. Ví dụ: Để hình thành khái niệm trung điểm đoạn thẳng phải định nghĩa “đoạn thẳng”. Để đi đến định nghĩa đoạn thẳng phải dựa vào khái niệm “nằm giữa” và “điểm”, hơn nữa khái niệm cách đều phải dựa vào khái niệm cơ bản là độ dài đoạn thẳng. Để hình thành khái niệm hình vuông thì phải dựa vào khái niệm hình chữ nhật và hình thoi, để có khái niệm hình chữ nhật phải có khái niệm hình bình hành, khái niệm tứ giác và tứ giác lồi. Đoạn thẳng Nằm giữa Điểm Trung điểm đoạn thẳng Cách đều Độ dài đoạn thẳng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 * Dùng graph cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa: Nếu nội dung bài học chỉ đƣợc truyền tới ngƣời học dƣới dạng văn bản thì ngƣời học sẽ có thể kém hứng thú, có khi dẫn đến việc hiểu sai nội dung việc ghi nhớ rất khó khăn. Xây dựng mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức trong một hệ thống nhất định (trong một chƣơng trình, một chƣơng hay một bài). Cấu trúc hoá tài liệu giáo khoa cho phép tạo nên hệ thống kiến thức cho học sinh. Điều này giúp cho hoạt động dạy học có hiệu quả hơn, vì nó cho biết mối quan hệ hữu cơ giữa những bộ phận kiến thức trong mối liên hệ logic với nhau. Học sinh có thể định hƣớng đƣợc các hoạt động trí tuệ và kích thích sự tìm tòi để chiếm lĩnh hệ thống tri thức mới. Những tri thức mà học sinh tự tìm tòi chiếm lĩnh đƣợc sẽ nhớ lâu hơn, tái hiện chính xác hơn. Cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa đƣợc xem nhƣ một cách làm có hiệu quả. Cách làm này vừa phù hợp điều kiện hoàn cảnh nƣớc ta hiện nay, vừa đón trƣớc đƣợc xu thế phát triển của khoa học thế giới. Ví dụ: Với nội dung bài “Phƣơng trình đƣờng thẳng” ta có thể cấu trúc hoá nội dung dƣới dạng sơ đồ. Việc làm này sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng thể đối với bài toán, thấy đƣợc những nội dung cơ bản và các yếu tố cấu trúc trong nội dung đó. Tứ giác Hình bình hành Hình thoi Hình vuông Hình chữ nhật Tứ giác lồi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 * Dùng graph hướng dẫn học sinh tự học: Chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu là ghi nhớ kiến thức, đối phó với thi cử sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chú trọng hình thành năng lực tự học dƣới sự giúp đỡ, hƣớng dẫn tổ chức của giáo viên. Những gì mà học sinh nghĩ đƣợc, làm đƣợc, giáo viên không làm thay, nói thay. Phƣơng pháp tích cực xem việc rèn luyện phƣơng pháp học tập cho học sinh không chỉ là biện pháp nâng cao hiệu quả mà còn là mục tiêu của dạy học. Nếu rèn luyện cho ngƣời học có đƣợc phƣơng pháp, kỹ năng, thói quen, Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Hệ số góc của đƣờng thẳng PT tham số PT tổng quát PT chính tắc Góc giữa hai đƣờng thẳng Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng ỨNG DỤNG Hình 1.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi con ngƣời, kết quả học tập sẽ nhân lên gấp bội. Với lƣợng kiến thức cập nhật ngày càng nhiều, song chúng ta không thể nhồi nhét tất cả tri thức đó cho học sinh mà phải dạy học sinh phƣơng pháp học và lĩnh hội kiến thức. Tự học không chỉ có ý nghĩa trong thời gian học tập ở nhà trƣờng, mà còn có ý nghĩa lớn trong cuộc đời của mỗi ngƣời. Thông qua hoạt động học tập bằng graph, học sinh sẽ hình thành tƣ duy hệ thống. Từ đó có thể phát huy tính độc lập, sáng tạo của học sinh. Giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh nghiên cứu nội dung của bài khoá trong sách giáo khoa hoặc quan sát mô hình, vật mẫu cụ thể… để đi đến các yếu tố cấu trúc của đối tƣợng nghiên cứu rồi lập graph để thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc đó. Hình thức này giúp cho học sinh có một phƣơng thức tự học theo sách giáo khoa một cách chủ động. Ngoài ra học sinh còn có thể tự học ở nhà, bằng graph học sinh có thể lập đƣợc dàn ý cơ bản của các nội dung học tập. Từ đó tạo điểm tựa để học sinh ghi nhớ và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, có hệ thống. Ví dụ: Giáo viên có thể cho học sinh nghiên cứu nội dung của bài: “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, yêu cầu học sinh xác định kiến thức trọng tâm của nội dung (các bƣớc khảo sát hàm số…), tìm những yếu tố cấu trúc của các kiến thức đó rồi lập graph thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 1.4.4. Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học Trong lý luận dạy học, vận dụng lý thuyết graph đã trở thành một tiếp cận mới thuộc lĩnh vực phƣơng pháp dạy học, cho phép GV quy hoạch đƣợc quá trình dạy học tổng quát cũng nhƣ từng mặt của nó. Dùng graph có thể thiết kế tối ƣu hoạt động dạy - học và điều khiển hợp lý quá trình này tiến tới công nghệ hoá một cách có hiệu quả quá trình dạy học trong nhà trƣờng theo hƣớng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. Thay vì hỗ trợ cho môi trƣờng dạy - học thụ động, việc lập graph khuyến khích học sinh tham gia tích cực vào tƣ duy, mổ xẻ và phát triển ý tƣởng. Học sinh không chỉ dừng ở việc nắm tri thức một cách đơn lẻ mà xâu chuỗi, kết nối một cách có hệ thống các tri thức đó lại để hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa chúng. Quan trọng hơn là học sinh sẽ học đƣợc một qui trình điều tra, hình Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên b. Tìm cực trị c. Tìm giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có) a. Xét chiều biến thiên Suy ra chiều biến thiên của hàm số Xét dấu của đạo hàm Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định Tính đạo hàm d. Lập bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị Hình 1.2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 dung và tổ chức thông tin. Học cách tổ chức các ý tƣởng là một kỹ năng học tập quan trọng trong việc giúp hiểu kiến thức cơ bản của bất kỳ bài học nào. Từ hình ảnh trực quan và các kết quả thí nghiệm có thể dùng graph để mô hình hoá mối quan hệ về mặt cấu trúc và về mặt chức năng của các đối tƣợng nghiên cứu, giúp học sinh hiểu bài và hệ thống hoá kiến thức tốt hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Chƣơng II VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT 2.1 Graph dạy học toán học Phƣơng pháp graph toán học đã đƣợc một số nhà nghiên cứu và một số tác giả nghiên cứu chuyển hoá thành graph dạy học. Ở Việt Nam, giáo sƣ Nguyễn Ngọc Quang là ngƣời đầu tiên đƣa phƣơng pháp graph vào dạy học môn hoá học, theo ông trong mỗi hoạt động bao giờ cũng có hai mặt, đó là: mặt “tĩnh” và mặt “động”. Trong dạy học mặt tĩnh là nội dung kiến thức, còn mặt động là các hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình hình thành tri thức. Có thể mô tả mặt “tĩnh” của hoạt động dạy học bằng “graph nội dung” và mô tả mặt “động” của hoạt động bằng “graph hoạt động dạy học”. Nhƣ vậy, graph dạy học bao gồm: graph nội dung và graph hoạt động. (H 2.1) 2.1.1. Graph nội dung Graph nội dung là graph phản ánh một cách khái quát, trực quan cấu trúc lôgic phát triển bên trong của một bài học. Giáo viên cần nghiên cứu nội dung chƣơng trình giảng dạy để lựa chọn những bài, những tổ hợp kiến thức có khả năng lập graph nội dung. Sự lựa GRAPH DẠY HỌC GRAPH NỘI DUNG GRAPH HOẠT ĐỘNG Hình 2.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 chọn đó là cần thiết vì không phải bài học nào cũng có thể lập đƣợc graph nội dung và nội dung các kiến thức khác nhau mang tính đặc thù. Dựa vào nội dung dạy học (khái niệm, định lý, bài học…), ta chọn những kiến thức chốt (đây là những kiến thức cơ bản và đầy đủ về mặt ngữ nghĩa) đặt chúng vào các đỉnh của graph. Nối các đỉnh với nhau bằng các cung theo lôgic dẫn xuất, tức là theo sự phát triển bên trong của nội dung đó. Trong dạy học, có thể sử dụng graph nội dung các thành phần kiến thức hoặc nội dung bài học. Ví dụ: Graph nội dung: Giải và biện luận bất phƣơng trình dạng 0bax . S = Ø a 0 a = 0 (1) có dạng: 0 x < b 0bax (1) a > 0 a < 0 b < 0 b 0 RS ),/( abS )/,( abS Hình 2.2. Graph giải và biện luận bất phương trình dạng ax+b<0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 2.1.1.1.Quy trình lập graph nội dung *Bước 1: Xác định các đỉnh của graph. - Lựa chọn những kiến thức cơ bản của nội dung bài học . - Mã hoá chúng sao cho thật súc tích, khoa học (có thể dùng các kí hiệu để quy ƣớc). - Đặt chúng vào các đỉnh của graph. * Bước 2: Thiết lập các cung. Ta thiết lập các mối quan hệ giữa các đỉnh của graph, nối chúng bằng các mũi tên để diễn tả mối liên hệ giữa nội dung các đỉnh với nhau. Các mối quan hệ đó phải bảo đảm tính lôgic khoa học, tuân theo những quy luật khách quan và tính hệ thống của nội dung kiến thức. *Bước 3: Hoàn thiện graph (bố trí các đỉnh và các cung lên mặt phẳng). Khi đã xác định đƣợc các đỉnh (đơn vị kiến thức) và mối quan hệ giữa chúng, có thể xếp các đỉnh lên mặt phẳng theo một lôgic khoa học, sao cho: - Trung thành với nội dung đƣợc mô hình hoá về cấu trúc lôgic. - Phải chú ý đến tính khoa học (phản ánh đƣợc lôgic phát triển bên trong của tài liệu) - Phải đảm bảo tính sƣ phạm (đảm bảo tính trực quan, không nên lập những graph phức tạp, rắc rối làm cho học sinh khó hiểu). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 2.1.1.2.Ví dụ về lập graph nội dung bài học Việc xây dựng graph nội dung bài học đòi hỏi nhà sƣ phạm phải kết hợp hài hoà các mặt khoa học, sƣ phạm và hình thức bố cục trình bày. Ví dụ 1: Lập graph nội dung bài: “Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản”. - Bƣớc 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph. + Tìm kiến thức cơ bản của nội dung (kiến thức chốt) Các phƣơng trình lƣợng giác: mxsin , mxcos , mxtan , mxcot và công thức nghiệm của các phƣơng trình này. + Các công thức lƣợng giác và các công thức nghiệm sẽ là các đỉnh của grap. + Xếp đỉnh: Từ nội dung bài: “Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản” có thể xác định 13 đỉnh, trong đó 4 đỉnh chính tƣơng ứng với 4 phƣơng trình lƣợng giác cơ bản và 9 đỉnh nhỏ tƣơng ứng với các công thức nghiệm của các phƣơng trình lƣợng giác. - Bƣớc 2: Thiết lập các cung. Nối các đỉnh với nhau bằng các mũi tên theo mối quan hệ lôgic giữa chúng. hợp lý Không hợp lý K iể m t ra t ín h h ợ p l ý c ủ a g ra p h Tổ chức các đỉnh của graph Thiết lập các cung Hoàn thiện grap (Bố trí các đỉnh và cung lên một mặt phẳng) Hình 2.3. Quy trình lập graph nội dung Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 - Bƣớc 3: Bố trí các đỉnh và các cung lên mặt phẳng. Sau khi xác định đƣợc các đỉnh và các cung, ta đặt các đỉnh lên mặt phẳng để tạo ra một graph nội dung hoàn chỉnh (H 2.4). Ví dụ 2: Lập graph nội dung của bài: “Một số công thức lƣợng giác”. - Bƣớc 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph. + Tìm kiến thức cơ bản của nội dung (kiến thức chốt). Các công thức lƣợng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi (công thức góc nhân ba, công thức hạ bậc), công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích. PTLG cơ bản mxcot mxsin mxtan mxcos x + 2k 2kx + 2k x + 2k x π – + 2k kx kx Hình 2.4 PTVN PTVN 1m 1m 1m 1m Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Các công thức lƣợng giác cơ bản vừa xác định này sẽ là các đỉnh của graph. + Xếp đỉnh: Từ nội dung bài “Một số công thức lƣợng giác” có thể xác định 6 đỉnh (tƣơng ứng với các công thức lƣợng giác). - Bƣớc 2: Thiết lập các cung. Nối các đỉnh với nhau bằng các mũi tên theo mối quan hệ lôgic giữa chúng. Chẳng hạn: Công thức nhân đôi đƣợc suy ra từ công thức cộng do phép đặt α=β (tƣơng tự cũng có thể suy ra góc nhân ba). Cũng từ công thức cộng có thể suy ra các công thức biến đổi tích thành tổng. Rồi với phép đặt α + β = x , α − β = y thì từ công thức biến đổi tích thành tổng ta suy ra đƣợc công thức biến đổi tổng thành tích. Công thức góc nhân đôi cũng có thể suy ra công thức hạ bậc. - Bƣớc 3: Bố trí các đỉnh và cung lên mặt phẳng. Sau khi xác định đƣợc các đỉnh và các cung, chúng ta đặt các đỉnh lên mặt phẳng để tạo ra một graph nội dung hoàn chỉnh (H2.5). Công thức nhân đôi Công thức biến tổng thành tích Công thức biến tích thành tổng Công thức hạ bậc Công thức cộng Công thức nhân ba Hình 2.5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 2.1.1.3. Ý nghĩa của graph nội dung: Graph nội dung là một công cụ đắc lực trợ giúp học sinh tiếp cận, tìm hiểu hệ thống hoá và phát triển trí tuệ. Sử dụng graph nội dung không chỉ giúp học sinh nhớ đƣợc tốt hơn, có nhiều cơ hội hơn để xử lý thông tin ở “cấp độ cao hơn” mà còn tạo cơ hội cho lối tƣ duy chia sẻ, hợp tác, vừa kích thích tƣ duy, vừa hứng thú học tập. Ngoài ra, sử dụng graph nội dung còn có thể hƣớng cho học sinh cách sắp xếp, tổ chức và thể hiện tƣ duy của chúng. Graph nội dung giúp học sinh tái hiện kiến thức dƣới dạng trực quan, để thể hiện mối quan hệ giữa các nội dung, đồng thời tạo ra các kết nối thông tin mới với những kiến thức cũ. Graph nội dung có nhiều dạng và đƣợc sử dụng Công thức nhân đôi aaa 22 sincos2cos Công thức biến tổng thành tích 2 cos 2 cos2coscos yxyx yx Công thức biến tích thành tổng bababa coscos 2 1 coscos Công thức hạ bậc 2 2cos1 cos 2 a a Công thức cộng bababa sinsincoscos)cos( Công thức nhân ba aaa cos3cos43cos 3 Hình 2.5 ’ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 trong các bối cảnh học tập khác nhau. Graph cũng có thể đƣợc khai thác trong các cuộc thảo luận nhóm và là công cụ cho cách học tập hợp tác. 2.1.2 Graph hoạt động Graph hoạt động là graph mô tả trình tự các hoạt động sƣ phạm theo lôgic hoạt động nhận thức nhằm tối ƣu hoá bài học. Graph hoạt động là graph mô tả phƣơng pháp dạy học, nó đƣợc xây dựng trên cơ sở của graph nội dung kết hợp các biện pháp sƣ phạm của giáo viên và hoạt động của học sinh ở trên lớp, bao gồm cả việc sử dụng những phƣơng pháp, biện pháp và phƣơng tiện dạy học. Graph hoạt động là một dạng algorit hoá hoạt động dạy - học theo phƣơng pháp đƣờng găng (con đƣờng tối ƣu). Để xây dựng đƣợc graph hoạt động của một bài học, giáo viên phải phân tích những hoạt động sƣ phạm thành các yếu tố cấu trúc của bài học, đó là các “hoạt động” và tổng hợp các hoạt động đó trong một hệ thống hoàn chỉnh, thống nhất. Mối liên hệ giữa các hoạt động của bài học có thể biểu diễn bằng các hoạt động dạy học. Trong mỗi bài học, các hoạt động đều mang tính hệ thống, tức là thứ tự của mỗi hoạt động đòi hỏi phải có tính lôgic khoa học. Ví dụ, xây dựng graph hoạt động ngƣời ta đánh số thứ tự từ 1 đến n (bài học có n hoạt động), bắt buộc phải thực hiện xong thao tác 1 mới thực hiện thao tác 2, xong thao tác 2 rồi mới thực hiện thao tác 3… Thực chất xây dựng graph hoạt động là xác định các phƣơng án khác nhau để triển khai bài học, việc này phụ thuộc vào grap nội dung và quy luật nhận thức. Trong dạy học, graph hoạt động giống nhƣ một chƣơng trình kiểm tra tin học, theo graph đó giáo viên có thể chủ động lựa chọn các cách tổ chức bài học sao cho hiệu quả nhất. Mô hình graph dạy học có thể cấu trúc nhƣ sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 2.1.2.1. Quy trình lập graph hoạt động. Quy trình lập graph hoạt động đƣợc dựa trên tƣ tƣởng “bài toán con đƣờng ngắn nhất” của lý thuyết graph trong dạy học, nhằm thực hiện bài toán theo hƣớng tối ƣu hoá, tức là xác định các phƣơng án khác nhau để triển khai bài học. Graph hoạt động đƣợc lập để dạy một tổ hợp kiến thức hoặc một bài học, theo một quy trình nhƣ sau (H 2.7): *Bước 1. Xác định mục tiêu bài học: Mục tiêu bài học là những yêu cầu đặt ra đối với học sinh khi thực hiện bài học. Có nhiều yếu tố tác động đến việc xác định mục tiêu bài học, trong đó đáng chú ý nhất là các yếu tố: nội dung bài học, yếu tố nhận thức của học sinh, năng lực của giáo viên. * Bước 2: Xác định các hoạt động: Xác định các hoạt động trong một bài học có thể dựa trên graph nội dung bài học hoặc dựa vào việc phân tích cấu trúc nội dung bài học. Mỗi hoạt động tƣơng ứng với một đơn vị kiến thức . BẮT ĐẦU Hoạt động 1 KẾT THÚC Hoạt động 3 Hoạt động 2 Hình 2.6. Mô hình graph hoạt động dạy - học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 * Bước 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động: Trong mỗi hoạt động, chúng ta cần xác định các thao tác chính để đạt đƣợc mục tiêu. *Bước 4: Lập grap hoạt động dạy học: Sau khi đã xác định đƣợc các hoạt động và các thao tác của một bài học, giáo viên lập graph mô tả diễn biến chính của bài học. Sau đó vận dụng tƣ tƣởng thuật toán “Con đƣờng ngắn nhất” để lập graph hoạt động dạy học theo hƣớng tối ƣu hoá bài học. 2.1.2.2. Ví dụ về lập graph hoạt động. Ví dụ1:Lập graph hoạt động bài: “Công thức nhị thức NIU - TƠN” (Đại số và giải tích lớp 11) - Bƣớc 1: Xác định mục tiêu bài học. 1. Về kiến thức: Hiểu đƣợc: Công thức nhị thức Niu-tơn, tam giác Pa-xcan. Bƣớc đầu vận dụng vào bài tập. Hình 2.7. Quy trình lập graph hoạt động Bƣớc 1 Xác định mục tiêu bài học Bƣớc 2 Xác định các bƣớc hoạt động Bƣớc 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động Bƣớc 4: Vận dụng tƣ tƣởng thuật toán: “Con đƣờng ngắn nhất” để lập graph hoạt động dạy học theo hƣớng tối ƣu hoá bài học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 2. Về kỹ năng: Thành thạo trong việc: - Khai triển nhị thức Niu-tơn trong trƣờng hợp cụ thể, tìm ra một số hạng thứ k trong khai triển. - Tìm ra hệ số của kx trong khai triển. - Biết tính tổng dựa vào công thức nhị thức Niu-tơn. - Thiết lập tam giác Paxcan có n hàng, sử dụng thành thạo tam giác Pa-xcan để triển khai nhị thức Niu-tơn. 3. Về tƣ duy: Học sinh biết thực hiện các thao tác tƣ duy nhƣ quy nạp và khái quát. 4. Về thái độ: Rèn luyện đức tính cẩn thận, chính xác. - Bƣớc 2: Xác định các hoạt động. Bài học bao gồm các hoạt động sau: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2: Xây dựng công thức nhị thức Niu-tơn. Hoạt động 3: Xây dựng tam giác Pa-xcan. Hoạt động 4: Kiểm tra đánh giá. - Bƣớc 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động. + Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. T1.1. Giáo viên giao nhiệm vụ: Nhắc lại các hằng đẳng thức: 2 ba , 3 ba T1.2. Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của tổ hợp Học sinh nhớ lại các kiến thức trên và đƣa ra câu trả lời + Hoạt động 2: Xây dựng công thức nhị thức Niu-tơn. T2.1. Giáo viên giao nhiệm vụ sau: - Nhận xét về số mũ của a , b trong khai triển 2 ba , 3 ba ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 (HS dựa vào số mũ của a , b trong khai triển để phát hiện ra đặc điểm chung: số mũ của a giảm dần đến 0 còn số mũ của b tăng dần đến số mũ của hằng đẳng thức) - Yêu cầu học sinh sử dụng MTĐT để tính các tổ hợp số và cho biết C 0 2 , C 1 2 , C 2 2 , C 0 3 , C 1 3 , C 2 3 , C 3 3 bằng bao nhiêu? - Các số tổ hợp này có liên hệ gì với hệ số của khai triển 2 ba , 3 ba - Ta có thể đƣa ra công thức tổng quát nào trong khai triển trên? T2.2. Chính xác hoá và đƣa ra công thức trong SGK. T2.3. Khai triển n ba có bao nhiêu số hạng, đặc điểm chung của các số hạng đó? T2.4. Số hạng kknk n baC gọi là số hạng tổng quát của khai triển. T2.5. Xem VD3 SGK và công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để làm VD sau: Khai triển 5 1x thành đa thức bậc 5 (GV chỉnh sửa và đƣa ra kết quả đúng: 5 1x = xxxxx 2345 464 ) T2.6. Trả lời các câu hỏi sau: - Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển 9 12x ? - Số hạng kknk n baC là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển (kể từ trái sang phải)? - Hệ số của x 8 trong khai triển 9 12x ? T2.7. Áp dụng khai triển n ba với .1ba - Nhận xét ý nghĩa của các số hạng trong khai triển. - Từ đó suy ra số tập con của tập hợp có n phần tử. + Hoạt động 3: Xây dựng tam giác Pa-xcan. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 T3.1. GV giao nhiệm vụ: - Nhóm 1: Tính hệ số của khai triển 4 ba - Nhóm 2: Tính hệ số của khai triển 5 ba . - Nhóm 3: Tính hệ số của khai triển 6 ba . T3.2. Viết vào giấy dán theo hàng nhƣ sau: (Lƣu ý giấy đã kẻ ô, cách một ô một số). T3.3. Tam giác vừa xây dựng là tam giác Pa-xcan. Hãy nói cách xây dựng tam giác? T3.4. Củng cố kiến thức. Khai triển: .1 10 x + Hoạt động 4: Kiểm tra đánh giá. T4.1. Chọn phƣơng án đúng. Khai triển: 5 12x là A: 11040808032 2345 xxxxx B: 1520204016 2342 xxxxx C: 11040808032 2345 xxxxx D: 11040808032 2345 xxxxx T4.2. Số hạng thứ 12 kể từ trái sang phải của khai triển 15 2 x là. A: 1111 15 .16 xC B: 1111 15 .16 xC 0 0 C 1 0 1 C 1 1 C 1 1 0 2 C 1 2 C 2 2 C 1 2 1 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 3 C 1 3 3 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 C: 114 5 11 .2 xC D: 114 5 11 .2 xC - Bƣớc 4: Lập graph hoạt động. Ví dụ 2: Lập graph hoạt động bài: “Vectơ trong không gian” (Hình học 11). - Bƣớc 1: Xác định mục tiêu. 1. Về kiến thức: - Hiểu đƣợc các khái niệm, các phép toán về vectơ trong không gian. - Biết khái niệm đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. 2. Về kĩ năng: - Xác định đƣợc phƣơng, hƣớng, độ dài của vectơ trong không gian. - Thực hiện đƣợc các phép toán vectơ trong mặt phẳng và trong không gian. - Xác định đƣợc ba vectơ đồng phẳng hay không đồng phẳng. H1 T1.1 T1.2 H2 T2.1 T2.2 H3 T3.1 T3.2 H4 Hình 2.8. Graph hoạt động bài: “Công thức nhị thức Niu-tơn” Hình 2.6. Grap hoạt động bài “Công thức nhị thức Niu-tơn” Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 3. Về tƣ duy: - Phát huy trí tƣởng tƣợng không gian; Biết quy lạ về quen; Rèn luyện tƣ duy lôgic. - Liên hệ đƣợc nhiều vấn đề thực tế với vectơ trong không gian. - Có nhiều sáng tạo trong hình học. 4. Thái độ: - Tích cực tham gia vào bài học. - Hứng thú trong học tập, tích cực phát huy tính độc lập trong học tập. - Bƣớc 2: Xác định các hoạt động. Bài có 6 hoạt động chính: + Hoạt động 1: Ôn tập lại kiến thức cũ. + Hoạt động 2: Chiếm lĩnh tri thức về định nghĩa vectơ trong không gian. + Hoạt động 3: Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian. + Hoạt động4: Chiếm lĩnh tri thức về phép nhân vectơ với một số trong không gian. + Hoạt động 5: Sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. + Hoạt động 6: Củng cố toàn bài. - Bƣớc 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động. + Hoạt động 1: Ôn tập lại kiến thức cũ (có thể cho học sinh hoạt động nhóm để trả lời). T1.1. Ôn tập phần các định nghĩa. - Cho biết định nghĩa vectơ trong mặt phẳng, phƣơng, hƣớng, độ dài của vectơ trong mặt phẳng? - Cho biết khái niệm hai vectơ bằng nhau trong mặt phẳng? T1.2. Ôn tập về các phép toán vectơ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 - Nhắc lại phép cộng hai vectơ và quy tắc cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ và quy tắc trừ hai vectơ? - Phép nhân vectơ với một số, điều kiện hai vectơ cùng phƣơng? T1.3. Củng cố kiến thức cũ. - Nhận xét và chính xác hoá lại các câu trả lời của học sinh. - Tổng kết thành bảng. + Hoạt động 2: Chiếm lĩnh tri thức về định nghĩa vectơ trong không gian. T2.1. Giáo viên cho học sinh quan sát trên hình hộp và trả lời: - Từ hình hộp trên hãy chỉ ra một số vectơ? - Em hãy nêu khái niệm vectơ trong không gian? - Giáo viên nêu định nghĩa. T2.2. Chia nhóm và yêu cầu học sinh nhóm 1, 3 làm , còn học sinh nhóm 2, 4 làm trong SGK. (Đại diện nhóm trình bày) + Hoạt động 3: Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian. T3.1. Giáo viên giao nhiệm vụ sau: - Yêu cầu học sinh đọc SGK trang 118, phần 2. - Yêu cầu học sinh phát biểu về phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian. T3.2. Củng cố kiến thức: Giáo viên cho học sinh thực hiện ví dụ 1, sử dụng hình 3.1 SGK và đặt ra các tình huống sau: - Hãy phân tích vectơ AC ? (GV gợi ý trả lởi) - Hãy thực hiện cách chứng minh? - Hãy chứng minh bằng cách khác? T3.3. GV cho học sinh vẽ hình và đặt câu hỏi sau: - Nhận xét gì về hai vectơ AB và CD ? C A D B Hình 2.9 ?1 ?2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 - Nhận xét gì về hai vectơ FE và GH ? - Hãy thực hiện câu a) - Hãy chỉ ra vectơ bằng vectơ CH ? - Hãy thực hiện câu b) + Hoạt động 4: Chiếm lĩnh tri thức phép nhân vectơ với một số trong không gian. T4.1. Giáo viên đƣa ra yêu cầu sau: - Yêu cầu học sinh đọc SGK trang 119, phần 3. Phép nhân vectơ với một số trong không gian. - Yêu cầu học sinh phát biểu về phép nhân vectơ với mọt số trong không gian. T4.2. Củng cố kiến thức. - Chia nhóm và yêu cầu học sinh làm bài tập ở phiếu học tập số 1(ở phần cuối của bài), làm ví dụ 2 ý b SGK trang 120. - Đại diện nhóm trình bày. - Cho học sinh nhóm khác nhận xét. Có cách nào khác không? - GV nhận xét các câu trả lời của học sinh, chính xác hoá nội dung. T4.3. Củng cố các phép toán vectơ trong không gian. + Hoạt động 5: Sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. T5.1. Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: - Cho biết ba đƣờng thẳng phân biệt trong không gian mà đồng quy thì có đồng phẳng không? - Cho biết ba vectơ khác vectơ không trong không gian mà có giá đồng quy thì có đồng phẳng không? - Đọc SGK trang 121, phần 1 và nêu khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. A F G H D C B E Hình 2.10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 T5.2. Đƣa ra định nghĩa: - Nhận xét và chính xác hoá lại các câu trả lời của học sinh. - Đƣa ra định nghĩa chính xác. T5.3. Củng cố kiến thức vừa học. - Yêu cầu học sinh làm ví dụ 3, SGK trang 122. + Hoạt động 6: Củng cố toàn bài. T6.1. Hãy cho biết bài học vừa rồi có những nội dung chính gì? T6.2. Theo em, qua bài học này ta cần đạt đƣợc điều gì? - Bƣớc 4: Lập graph hoạt động. H1 H2 H6 H3 H4 H5 T1.1 T1.2 T1.3 T2.1 T2.2 T3.1 T3.2 T3.3 T4.1 T4.2 T4.3 T5.1 T5.2 T5.3 Hình 2.11. Graph hoạt động bài: “Vectơ trong không gian” Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 2.1.2.3. Ý nghĩa của graph hoạt động. Graph hoạt động mô tả các thao tác sƣ phạm- những hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình hình thành tri thức mới. Graph hoạt động là kịch bản thiết kế của cấu trúc một bài học. Đối với giáo viên, graph hoạt động giúp giáo viên ghi nhớ giáo án, chủ động, sáng tạo hơn trong giờ lên lớp. Sử dụng graph hoạt động dạy học giúp giáo viên sẽ thoát ly khỏi giáo án, chủ động trong khâu tổ chức hoạt động học tập của học sinh theo hƣớng tích cực hoá hoạt động học tập. Graph hoạt động dạy học có thể đƣợc sử dụng trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, để hình thành tri thức mới, hoàn thiện tri thức hoặc kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh. 2.1.3. Mối quan hệ giữa graph nội dung và graph hoạt động trong dạy học Graph nội dung và graph hoạt động dạy học đều đƣợc tiến hành trong một bài học, chúng thể hiện mối quan hệ lôgic giữa các thành phần tham gia, chúng là những phƣơng thức giúp đạt đƣợc những mục đích nhất định của nhà sƣ phạm trong quá trình giảng dạy. Graph nội dung thể hiện lôgic của các thành phần nội dung kiến thức trong một bài học, có tính khách quan và về cơ bản không thay đổi, nó phù hợp với việc phải đạt “chuẩn kiến thức” của bài học đã quy định. Còn graph hoạt động dạy học là mô hình hoá hoạt động của giáo viên và học sinh nhằm thực hiện mục tiêu bài học, nó có tính linh hoạt cao. Graph hoạt động là mô hình hoá tiến trình, kế hoạch bài học đƣợc dự kiến trong giáo án. * Đối với giáo viên Trong khâu chuẩn bị bài (viết bài soạn), dựa vào nội dung sách giáo khoa, chƣơng trình, tài liệu tham khảo… lập graph nội dung của một tổ hợp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 kiến thức hay trong một bài học. Từ graph nội dung, giáo viên xác định các hoạt động dạy học để lập graph hoạt động. Trên lớp, giáo viên đƣa ra các tình huống dạy học, tức là triển khai graph nội dung theo graph dạy học và chỉ đạo hoạt động lĩnh hội tri thức của học sinh theo hƣớng đã định của graph. *Đối với học sinh Ở trên lớp, thực hiện các hoạt động dƣới sự tổ chức của giáo viên để tự lập đƣợc graph nội dung (hệ thống hoá khái niệm), qua đó hiểu bản chất vấn đề, chiếm lĩnh tri thức nội dung học tập. Ở nhà, học sinh tự học bằng graph để ghi nhớ nội dung bài học và có thể vận dụng linh hoạt trong các trƣờng hợp cần thiết. Nhƣ vậy: Graph nội dung và graph hoạt động có mối liên hệ hai chiều, chúng liên quan mật thiết với nhau tác động và chuyển hoá cho nhau. Trong dạy học, ngay từ khâu chuẩn bị bài giáo viên căn cứ vào graph nội dung để lập graph hoạt động dạy học, trong khâu thực hiện bài học, giáo viên dùng graph hoạt động để tổ chức học sinh thiết lập graph nội dung theo một lôgic khoa học. Với mục đích cuối cùng là học sinh có đƣợc graph nội dung trong tƣ duy. 2.2. Một số ví dụ về thiết kế graph trong dạy học toán 2.2.1. Thiết kế graph của một số nội dung trong chƣơng trình toán THPT Khi thiết lập graph dạy học phải thống nhất đƣợc ba thành tố cơ bản của quá trình dạy học là mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học. Thống nhất giữa mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học trong việc thiết kế graph dạy học phải trả lời các câu hỏi sau: - Thiết kế graph để làm gì? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 - Graph đƣợc thiết kế nhƣ thế nào? - Việc thiết kế graph liên quan tới việc sử dụng graph nhƣ thế nào? Ngoài ra, để thiết kế đƣợc những graph đạt yêu cầu của nội dung một bài học không những về logic khoa học mà còn đảm bảo mục đích và cách sử dụng graph đó chúng ta còn phải tuân theo các nguyên tắc sau: + Nguyên tắc thống nhất giữa cụ thể và trừu tƣợng; + Nguyên tắc thống nhất giữa toàn thể và bộ phận; + Nguyên tắc thống nhất giữa dạy và học; Các nguyên tắc cơ bản trên đây định hƣớng cho việc thiết kế graph dạy học. Kết quả của việc thiết kế graph dạy học là lập đƣợc các graph nội dung và graph hoạt động. Một graph đƣợc thiết lập phải dựa trên các đối tƣợng (các đỉnh) và mối quan hệ (các cạnh) của các đối tƣợng đó. Vì vậy một bài học cụ thể có thể lập đƣợc graph nếu nó có đối tƣợng và các mối quan hệ lôgic giữa chúng. a, Graph nội dung Lập graph nội dung bài: “Phƣơng trình đƣờng Elip” - Bƣớc 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph. + Tìm kiến thức cơ bản: Định nghĩa Elip, phƣơng trình đƣờng Elip, hình dạng của Elip trong mặt phẳng toạ độ ứng với mỗi phƣơng trình đại số. Hình dạng đó đƣợc thể hiện thông qua: - Tính đối xứng của Elip - Hình chữ nhật cơ sở. - Tâm sai của Elip. Mối liên hệ với đƣờng tròn: Phƣơng trình đƣờng tròn, hình dạng đƣờng tròn. Các kiến thức cơ bản này sẽ là các đỉnh của graph. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 Từ bài “phƣơng trình đƣờng Elip” có thể xác định 10 đỉnh bao gồm 7 đỉnh lớn: Elip, đƣờng tròn, định nghĩa Elip, PT chính tắc của Elip, hình dạng của Elip, PT đƣờng tròn, hình dạng của đƣờng tròn và 3 đỉnh nhỏ là: Tính đối xứng của Elip, hình chữ nhật cơ sở, tâm sai của Elip. - Bƣớc 2: Thiết lập các cung. Nối các đỉnh với nhau bằng các mũi tên theo mối quan hệ lôgic giữa chúng: - Elip và đƣờng tròn đƣợc nối với nhau bằng mũi tên hai chiều. - Nội dung kiến thức về Elip (khái niệm Elip, PT chính tắc và hình dạng của Elip) đƣợc nối với đỉnh Elip bằng mũi tên một chiều xuất phát từ Elip. - PT đƣờng tròn, hình dạng của đƣờng tròn đƣợc nối với đỉnh đƣờng tròn. - Bƣớc 3: Hoàn thiện graph (bố trí các đỉnh và các cung lên mặt phẳng) (H2.12). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 b) Graph hoạt động Lập graph hoạt động bài: “Bảng phân bố tần số và tần suất” PT chính tắc của (E) Hình dạng của (E) Hình 2.12. Graph phương trình đường Elip. ĐN đƣờng (E) Tính đối xứng của (E) Tâm sai của (E) Hình chữ nhật cơ sở Hình dạng của PT Elip (E) Đƣờng tròn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 - Bƣớc 1: Xác định mục tiêu bài học: 1. Về kiến thức: - Học sinh cần nắm đƣợc khái niệm về bảng phân bố tần số và tần suất. - Biết cách lập và đọc bảng phân bố tần số, tần suất. 2. Về kỹ năng: - Thành thạo các bƣớc phải thực hiện để lập bảng phân bố tần số và tần suất. 3. Về tƣ duy: Hình thành tƣ duy thống kê cho học sinh, để học sinh làm quen với quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. 4. Về thái độ: - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. - Thấy đƣợc ứng dụng của toán học trong thực tiễn. -Bƣớc 2: Xác định các hoạt động. Bài có 8 hoạt động chính: - Hoạt động 1: Ôn tập (kiểm tra bài cũ) Nhắc lại các khái niệm: số liệu thống kê, tần số, tần suất. - Hoạt động 2: Lập bảng phân bố tần số, tần suất theo mẫu ở bảng 1 - Hoạt động 3: Phân lớp các số liệu thống kê ở bảng 3. - Hoạt động 4: Xác định tần số, tần suất của các lớp. - Hoạt động 5: Hoàn thành bảng phân bố tần số, tần suất. - Hoạt động 6: Nêu xu hƣớng tập trung của số liệu thống kê. - Hoạt động 7: Lập bảng phân bố tần số, tần suất (bảng 5- SGK). - Bƣớc 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động: - Hoạt động 1: Ôn tập các khái niệm số liệu thống kê, tần số, tần suất. T1.1. Xét ví dụ cụ thể. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 T1.2. Yêu cầu trả lời câu hỏi sau: - Số liệu thống kê là gì? - Tần số, tần suất của một số liệu thống kê là gì? - Hoạt động 2: Lập bảng phân bố tần số, tần suất rời rạc theo mẫu ở bảng 1. T2.1. Giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện các yêu cầu sau: - Chỉ ra các giá trị khác nhau từ thấp đến cao của năng suất lúa trong bảng 1. - Chỉ ra tần số i n ứng với i x . - Tính tần suất i f ứng với i x . T2.2. Giáo viên đƣa ra khung (bảng 2 – SGK) cho học sinh và yêu cầu học sinh điền số liệu vào bảng 2. - Hoạt động 3: Phân các số liệu thống kê ở bảng 3. T3.1. Giáo viên đƣa ra bảng số liệu 3 – SGK và yêu cầu học sinh tự lập bảng phân bố tần số và tần suất từ đó đƣa ra yêu cầu cần phân lớp. T3.2. Hƣớng dẫn học sinh nhận xét các số liệu thống kê gần nhau, hƣớng dẫn học sinh phân lớp. - Hoạt động 4: Xác định các giá trị trung tâm, tần số, tần suất của lớp. T4.1. Giáo viên hình thành cho học sinh các khái niệm: - Giá trị trung tâm của một lớp, công thức tính giá trị trung tâm x 0 i . - Tần số của lớp thứ i, ký hiệu i n . - Tần suất của lớp thứ i, ký hiệu if = n ni T4.2. Yêu cầu học sinh xác định: 0 1x , 0 2x , 0 3x , 0 4x . - Các 1 n , 2 n , 3 n , 4 n . - Tính 1 f , 2 f , 3 f , 4 f của bảng 3 - Hoạt động 5: Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 T5.1. Giáo viên đƣa ra khung bảng 4 – SGK và hƣớng dẫn học sinh điền các số liệu ni, fi tƣơng ứng vào các lớp. T5.2. Yêu cầu học sinh so sánh với bảng phân bố tần suất rời rạc. T5.3. Lập grap quy trình lập bảng phân bố ghép lớp. - Hoạt động 6: Xu hướng tập trung của các số liệu thống kê. T6.1. Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét chỉ ra các khoảng thoả mãn: + Chứa thành phần có tần suất cao nhất. + Chứa trên 50% số liệu thống kê. T6.2. Từ đó nêu ra ý nghĩa của việc cần thiết phải lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp trong toán học và trong thực tiễn. - Hoạt động 7: Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp bảng 5 (Áp dụng). T7.1. Yêu cầu học sinh lập bảng phân bố tần suất ghép lớp. T7.2. Hƣớng dẫn học sinh thay đổi cột tần suất bằng cột tần số. - Bƣớc 4: Lập graph hoạt động: Từ việc chia các hoạt động và các thao tác tƣơng ứng ta có graph sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 2.2.2. Thiết kế graph một số chuyên đề toán học Đối với chƣơng trình đại số ở trƣờng THPT, bài toán về chứng minh bất đẳng thức là một loại toán khó và có nhiều bài đòi hỏi kỹ thuật giải đặc biệt. Do đó SGK chỉ yêu cầu học sinh nắm và vận dụng đƣợc các tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân và bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản; qua đó biết cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức (với không quá ba biến). Đây là một nội dung tƣơng đối khó với học sinh phổ thông, thƣờng là học sinh không biết sử dụng các tính chất hợp lý và không có cái nhìn tổng H1 T1.1 T1.2 T2.2 T2.1 T3.2 T3.1 T4.2 T4.1 T5.3 T5.2 T5.1 T6.2 T6.1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 Hình 2.13. Bảng phân bố tần số và tần suất Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 thể. Vì vậy việc lập graph, hệ thống các kiến thức theo từng chủ đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và hệ thống hơn. 1) Dùng các phép biến đổi tƣơng đƣơng và các bất đẳng thức cơ bản. Ví dụ: Chứng minh rằng: 22 222 baba (*); ba, R (*) 24 2 2222 bababa 2222 222 bababa 22 2 baba 0 ( ba )2 0 đúng đpcm. A ≥ B B ≥ C C ≥ D A-B ≥ 0 A ≥ C A+ C ≥ B+ D A+C ≥ B+C C=0 C>0 C<0 B>0 12n A ≥ 12n B n A2 ≥ n B2 AC=BC AC≤BC AC≥BC Hình 2.14 (2) (3) (1) (1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 2) Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai. Ví dụ: Chứng minh rằng yx, ta đều có: 36245 22 yxxyyx > 0 Chứng minh: Đặt 365)21(2)( 22 yyyxxxf (1) ∆ ’ = ( y21 )2 - ( 365 2 yy ) = 365441 22 yyyy = 222 2yy = - ( 1y )2 - 1 < 0 Mà a = 1 > 0 (2a) 0)(xf yx, đpcm. )(xf < 0 )0()( 2 acbxaxxf a > 0 a < 0 ∆ < 0 )(xf > 0 Hình 2.15 (1) (2b) (2a) (3a) (3b) (3a) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 3) Dùng bất đẳng thức để tính giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất. Ví dụ1: (Đƣa về dạng F(X) = a ± g 2 (x)) Tìm giá trị lớn nhất của: yxxyxyyxf 22),( 22 Ta có: 4)44()44()2( 2 1 ),( 2222 yyxxyxxyyxf = 4)2()2()( 2 1 4 222 yxyx ),( yxf đạt giá trị lớn nhất khi 2yx Ví dụ 2: (Dựa vào miền giá trị) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2 12 2x x y Giải: Dùng các bất đẳng thức cơ bản (Cauchy, Bunhiacopxki) Dựa vào miền giá trị hàm số Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Dùng tam thức bậc hai Đƣa về dạng: F(X) = a ± g2(x) Hình 2.16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 0 Y thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phƣơng trình: 0 Y = 2 12 2x x có nghiệm. Tức là: 0122 0 2 0 YxxY có nghiệm (1) +) Nếu 0 0 Y thì 2 1 x +) Nếu 0 0 Y (1) có nghiệm ∆’= 0)12(1 00 YY 012 00 YY 1 2 1 0 Y Vậy 2 1 min y và 1max y 2.2.3. Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập toán học Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh: - Nắm vững tri thức - Phát triển tƣ duy - Hình thành kĩ năng, kĩ xảo - Ứng dụng toán học vào thực tiễn Giải bài tập toán học là một hoạt động không thể thiếu của giáo viên và học sinh trong dạy và học toán. Trong thực tế giảng dạy khi giải các bài tập toán học, học sinh vẫn còn chƣa biết cách trình bày, hoặc lời giả i quá dài. Vì vậy cần quy hoạch các bƣớc giải bài tập một cách khoa học để học sinh dễ vận dụng, nhờ đó có thể khắc phục đƣợc các lỗi của học sinh khi giải bài tập. Thực tiễn cho thấy phƣơng pháp graph có những ƣu thế sau: Nhờ có phƣơng pháp graph ta có thể: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 - Mô hình hoá cấu trúc của quy trình hoạt động thành hệ thống các nhiệm vụ - mục tiêu, các công đoạn thực hiện cùng với những yêu cầu chặt chẽ. - Mô hình hoá lôgic triển khai hoạt động, tức là con đƣờng vận động từ điểm bắt đầu cho đến điểm kết thúc, cùng với những con đƣờng phân nhánh của nó. -Tính toán đƣợc con đƣờng tới hạn và thời lƣợng tối đa phải hoàn thành một hoạt động. Kết hợp phƣơng pháp graph cùng với quy trình 4 bƣớc của G. Polia ta có thể hệ thống hoá các bài toán để học sinh thấy đƣợc tính chất đa dạng của các bài toán thông qua các mô hình đó. Cụ thể ta có thể vận dụng phƣơng pháp graph trong các trƣờng hợp sau: a. Lập graph của đề toán. - Graph đề toán là sơ đồ diễn tả cấu trúc lôgic của: những điều kiện (cái cho), những yêu cầu (cái tìm) và những mối liên hệ tƣơng tác giữa chúng. - Cách lập graph đề bài toán: + Xác định nội dung các đỉnh của graph: tất cả các dữ liệu nằm trong đề bài, kể cả cái cho và cái tìm, + Mã hoá chúng theo một quy ƣớc nhất quán (dùng ký hiệu). + Dựng đỉnh: đặt các số liệu cho và tìm của đầu bài toán vào vị trí các đỉnh. + Lập cung: nối các đại lƣợng lại với nhau tuỳ mối vào quan hệ giữa chúng bằng những mũi tên. - Graph thô và graph đầy đủ của đầu bài toán. Thông thƣờng trong đề bài toán, ban đầu ngƣời ta chỉ cho những điều kiện tối thiểu cần thiết ghi đƣợc thành lời văn của bài toán. Muốn giải bài toán này, ngƣời giải còn phải biết phát hiện ra những điều kiện “tiềm ẩn” Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 không ghi trong lời văn của đầu bài toán, bổ sung chúng vào đầu bài toán và phát biểu lại bài toán ban đầu. Do đó khi lập graph của đầu bài toán, ta sẽ có 2 loại graph: + Graph thô: Chỉ chứa những dữ kiện tƣờng minh đƣợc ghi trong văn bản của bài toán ban đầu. + Graph đủ: Chứa tất cả những dữ kiện tƣờng minh và tàng ẩn, cần và đủ để giải bài toán. Ta có thể dựa vào lời văn ban đầu của bài toán mà lập graph thô trƣớc, rồi bổ sung thêm dữ kiện ẩn để có graph đủ. Ví dụ: Graph đầu bài toán: * Bài toán: Cho dãy số liệu thống kê (SLTK): 1; 2; 3; 5; 7; 9;12. Hãy xác định phƣơng sai của số liệu thống kê trên. - Graph thô: SLTK, 2 x s . - Graph đủ: Bổ sung thêm số trung bình cộng của dãy vào graph thô ta có graph đủ: SLTK, x , 2 x s . b. Lập graph giải bài tập. Graph giải bài toán là sơ đồ trực quan diễn tả chƣơng trình giải bài toán, vạch ra những mối liên hệ lôgic giữa các yếu tố điều kiện và yêu cầu của bài toán, những phép biến đổi của bài toán để đi tới kết quả. Mỗi bài toán thƣờng có nhiều cách giải, do đó nó có thể có nhiều graph giải tƣơng ứng. - Cách lập graph giải bài toán: 2 x s SLTK 2 x s SLTK x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 Quy trình gồm các bƣớc sau: + Bƣớc 1: Xác định nội dung của các đỉnh. Đó là những số liệu nằm trong thành phần của những điều kiện tƣờng minh và tàng ẩn đƣợc bổ sung, là các thao tác biến hoá (phƣơng tiện giải hay các phép toán) để biến bài toán ban đầu thành những bài toán trung gian. + Bƣớc 2: Mã hoá chúng. + Bƣớc 3: Dựng đỉnh. + Bƣớc 4: Lập cung. - Ví dụ 1: lập graph giải của bài toán trên: + Xác định nội dung các đỉnh: đó là 3 số liệu: Dãy SLTK, số TB cộng, phƣơng sai. + Mã hoá chúng: Dùng các ký hiệu: SLTK, x , 2 x s . + Dựng đỉnh và lập cung ta đƣợc graph sau: - Ví dụ 2: Vận dụng graph quy hoạch các bƣớc giải bài tập phần diện tích và thể tích của hình tròn xoay. SLTK x = n 1 n i i x 1 n i ix xx n s 1 2 )( 1 Hình 2.17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 2.3. Sử dụng graph trong dạy học toán ỏ trƣờng THPT 2.3.1. Một số nguyên tắc khi sử dụng graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT + Phƣơng pháp graph là một phƣơng pháp tƣ duy thuộc nhóm phƣơng pháp riêng rộng, vì vậy phải dùng phƣơng pháp graph phối hợp với các phƣơng pháp dạy học hoặc phƣơng tiện kỹ thuật để nâng cao hiệu quả của phƣơng pháp dạy học. + Tránh tính hình thức trong việc lập và sử dụng graph vì: - Tính hình thức sẽ dẫn đến tình trạng học sinh chỉ ghi nhớ kiến thức một cách máy móc, chỉ thấy quan hệ bên ngoài, không hiểu bản chất của kiến thức. - Học sinh không thấy đƣợc mối quan hệ giữa các thành phần kiến thức, không thiết lập đƣợc mối liên hệ giữa các kiến thức đã biết với kiến thức mới cần tiếp thu, học sinh không biết sử dụng những kiến thức đã có nhƣ là những R Sxq l h V Vận dụng Giải Kết luận Xây dựng công thức Sxq = 2πRl V = πR2h Hình 2.18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71 thông tin tƣ liệu minh hoạ làm cơ sở để tiếp nhận kiến thức mới. Sau khi học xong các chƣơng, các phần, học sinh không thấy tính hệ thống của kiến thức. - Học sinh không thấy đƣợc nguồn gốc của kiến thức khoa học, không thấy đƣợc ý nghĩa của kiến thức đƣợc vận dụng vào thực tiễn. + Tránh lạm dụng graph: Grap chỉ có tác dụng là phƣơng tiện tƣ duy nhằm xác định mối quan hệ của các đối tƣợng đƣợc nghiên cứu trong một hệ thống nhất định, qua đó nâng cao chất lƣợng học tập, vậy phải kết hợp một cách khoa học giữa graph với các phƣơng tiện dạy học để nâng cao hơn nữa chất lƣợng dạy học. 2.3.2. Sử dụng graph trong quá trình dạy học Trong quá trình dạy học giáo viên có thể sử dụng phƣơng pháp graph trong những trƣờng hợp sau: Thứ nhất, có thể dùng graph nội dung trong khâu nghiên cứu tài liệu mới. Theo hệ thống phân loại phƣơng pháp dạy học của Nguyễn Ngọc Quang, dạy học graph đƣợc xếp vào nhóm các “phức hợp dạy học chuyên biệt hoá”. Trong dạy - học, hiệu quả của việc sử dụng phƣơng pháp graph tuỳ thuộc vào mức độ học sinh tham gia thiết kế graph. Giáo viên có thể sử dụng graph để tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh nhƣ sau: Mức độ 1: Giáo viên lập graph nội dung. Ví dụ: Khi dạy bài: “Các đƣờng cônic”, giáo viên có thể lập một graph nội dung trƣớc. Sau khi kết thúc bài học giáo viên có thể đƣa ra cho học sinh để học sinh có thể khái quát đƣợc nội dung của toàn bài học. So sánh các đƣờng cônic học sinh sẽ dễ dàng nắm đƣợc bài (Tâm sai, PT chính tắc, tiêu điểm, tiêu cự…) Mức độ 2: Tổ chức học sinh lập graph nội dung. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 72 Ví dụ: GV chia học sinh thành từng nhóm, sau đó yêu cầu mỗi nhóm nghiên cứu một phần tài liệu để tìm những kiến thức cơ bản và mối quan hệ giữa chúng. GV hƣớng dẫn học sinh lập graph trên những kết quả vừa tìm đƣợc. Mức độ 3: Học sinh tự lập graph nội dung. Thứ hai, có thể sử dụng graph trong khâu hoàn thiện tri thức. Graph có thể đƣợc sử dụng trong phần củng cố cuối bài hoặc trong bài ôn tập cuối chƣơng. Giáo viên có thể cho học sinh tự thiết kế graph hoặc hoàn thiện graph do giáo viên gợi ý. Hệ thống hoá kiến thức giúp cho học sinh có một “bức tranh” tổng thể. Hệ thống hoá kiến thức có thể là một hoạt động trong khâu hoàn thiện tri thức áp dụng sau khi học một chƣơng, một phần hay một chƣơng trình. Thứ ba, có thể dùng graph để kiểm tra đánh giá kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo. GV sử dụng graph để kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu bài của học sinh. Ví dụ: GV có thể đƣa ra một graph nội dung chƣa hoàn thiện rồi yêu cầu học sinh hoàn thành. 2.3.3. Một số tình huống sử dụng graph nội dung trong quá trình dạy học 2.3.3.1. Dùng graph nội dung trong khâu nghiên cứu tài liệu mới Phƣơng án 1: GV lập graph nội dung. + Hình thức: - GV giảng kiến thức đồng thời lập graph nội dung. - HS lĩnh hội kiến thức, kết hợp quan sát các mối liên hệ của nội dung. + Thực hiện: GV lập graph nội dung của một bài hay một tổ hợp kiến thức. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 73 Giảng đến phần kiến thức nào GV sẽ lập luôn graph của phần kiến thức đó, sau đó GV treo graph nội dung chi tiết lên phần bên của bảng. Giáo viên tiến hành giảng bài theo nội dung cơ bản. Trong quá trình giảng bài chú ý đi sâu vào phần kiến thức chính, mối quan hệ giữa các phần kiến thức. Giáo viên có thể mở rộng kiến thức để nâng cao tính sáng tạo của học sinh, sau đó dùng graph khung để củng cố kiến thức, giao bài tập về nhà. Học sinh nghe giảng, quan sát graph, qua đó lĩnh hội tri thức. Ví dụ: Dạy “định lý về dấu của tam thức bậc hai” - Giáo viên đƣa ra khái niệm tam thức bậc hai, sau đó đƣa ra một tam thức cụ thể: 45)( 2 xxxf , Yêu cầu học sinh: + Tính )4(f , )2(f , )1(f , )0(f ? + Nhận xét về dấu của chúng? Bằng vốn kiến thức và kĩ năng tính toán học sinh dễ dàng tính đƣợc các giá trị trên. - GV treo đồ thị hàm số trên lên cho học sinh quan sát và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dƣới trục hoành. - GV đƣa ra một số đồ thị khác nhau yêu cầu học sinh quan sát và rút ra mối liên hệ về dấu của giá trị cbxaxxf 2)( ứng với x tuỳ theo dấu của biệt thức acb 42 . - Sau khi HS trả lời, GV lập graph xét dấu của tam thức bậc hai. Dựa trên graph GV giảng giải cho học sinh các bƣớc xét dấu của tam thức bậc hai. Giảng giải đến đâu dùng các mũi tên (trong graph) thể hiện diễn biến của quá trình xét dấu đến đó. Với cách dạy nhƣ thế này, học sinh sẽ hiểu đƣợc bản chất của quá trình xét dấu tam thức bậc hai. Học sinh tự rút ra kết luận về dấu của tam thức bậc hai. Kết luận đó đƣợc nhận xét trực giác trên đồ thị hàm số bậc hai. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 Phƣơng án 2: giáo viên hƣớng dẫn học sinh lập graph nội dung. + Hình thức: Giáo viên hƣớng dẫn học sinh lập graph nội dung bài học, thông qua đó học sinh tự lĩnh hội đƣợc kiến thức mới. + Thực hiện: Giáo viên hƣớng dẫn học sinh quan sát mô hình, phƣơng tiện trực quan hoặc SGK. Giáo viên nêu câu hỏi đàm thoại, gợi vấn đề, yêu cầu học sinh trả lời. Học sinh lập graph nội dung của một tổ hợp kiến thức và một bài học. Ví dụ: Dạy nội dung bài: “Đạo hàm của các hàm số lƣợng giác”. Giáo viên yêu cầu học sinh nghiên cứu trƣớc tài liệu giáo khoa, đặt câu hỏi hƣớng dẫn học sinh chiếm lĩnh tri thức: )0()( 2 acbxaxxf acb 42 a b x 2 a b x 2 0)(: xafRx )(xf có hai nghiệm 21 xx 0 0 0 ,, 21 xxx 0)(xaf 21 , xxx 0)(xaf Hình 2.19. Graph về dấu của tam thức bậc hai Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 75 - Các hàm số lƣợng giác gồm những hàm số nào? Đạo hàm của chúng đƣợc tính nhƣ thế nào? - Các hàm số hợp của các hàm số lƣợng giác? Đạo hàm của hàm số hợp? Học sinh nghiên cứu tài liệu, trả lời câu hỏi rồi tự lập đƣợc graph. Phƣơng án 3: Học sinh tự lập graph nội dung. + Hình thức: - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh tự nghiên cứu hoặc làm việc theo nhóm. - Học sinh tự nghiên cứu và lập graph nội dung cho một tổ hợp kiến thức hoặc một bài học. + Thực hiện: - Giáo viên nêu vấn đề cần nghiên cứu cho từng nhóm học sinh hoặc cá nhân học sinh. - Học sinh thảo luận theo nhóm và lập graph nội dung, báo cáo kết quả. - Giáo viên nhận xét và thống nhất một graph chung. xu xu xu 2 ' ' sin cot xx sincos ' x x sin 1 cot ' xu xu xu 2 ' ' cos tan xx cossin ' xuxuxu ' ' .cossin x x 2 ' cos 1 tan xuxuxu ' ' sincos Đạo hàm các hàm số lƣợng giác Hình 2.20. Graph đạo hàm của các hàm số lượng giác. xuu xuu xuu xuu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 76 Khi học sinh đã hình thành đƣợc kỹ năng lập graph, giáo viên có thể tổ chức những bài học mang tính tự học cao. Hình thức này có ý nghĩa không những đối với các bài học ở trên lớp mà còn có ý nghĩa đối với việc tự học của học sinh. Đây là một mục tiêu quan trọng cần đạt đƣợc của việc sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học. Ví dụ: Yêu cầu học sinh nghiên cứu và lập graph nội dung tính số trung bình cộng. 2.3.3.2. Dùng graph nội dung để hoàn thiện tri thức (kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo) Graph có thể đƣợc sử dụng trong phần củng cố cuối bài hoặc trong bài ôn tập cuối chƣơng. Giáo viên có thể cho học sinh tự thiết kế các graph hoặc hoàn thiện các graph do giáo viên gợi ý. Hệ thống hoá kiến thức giúp cho học sinh có một “bức tranh” tổng thể, hệ thống về những kiến thức đƣợc học trong Tính x Công thức cơ bản Sử dụng bảng phân bố tần số, tần suất Sử dụng bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp x n i i x n 1 1 n i ii xn N x 1 1 n i ii cn N x 1 1 n i ii xfx 1 n i ii cfx 1 Hình 2.21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 77 một lĩnh vực nhất định. Hệ thống hoá kiến thức có thể là một hoạt động trong khâu hoàn thiện tri thức áp dụng sau khi học một chƣơng, một phần hay một chƣơng trình. Sử dụng graph trong khâu này dƣới các mức độ nhƣ sau: Mức độ 1: Giáo viên đƣa ra graph chƣa hoàn chỉnh (đỉnh còn trống hoặc chƣa rõ cung) yêu cầu học sinh bổ sung hoàn chỉnh. Mức độ 2: Học sinh tự xây dựng graph thể hiện các kiến thức đã học theo một lôgic mà mỗi học sinh tự xác định dƣới sự hƣớng dẫn của giáo viên. Ví dụ: Lập graph nội dung bài ôn tập chƣơng GV có thể hƣớng dẫn học sinh lập graph ôn tập chƣơng theo các cách sau: - Giáo viên đƣa ra graph có các đỉnh là nội dung kiến thức cơ bản trong toàn chƣơng, nhƣng chƣa có cạnh thể hiện mối liên hệ. Yêu cầu học sinh hoàn thành graph theo mối quan hệ giữa các đỉnh của graph. - Sau khi học xong các nội dung kiến thức chƣơng (trƣớc tiết ôn tập), giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tự lập graph nội dung hệ thống lại toàn bộ kiến thức trọng tâm đã học trong chƣơng, xác định mối quan hệ giữa các nội dung kiến thức. 2.3.3.3. Dùng graph nội dung để đánh giá kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo + Hình thức: Có thể dùng graph để kiểm tra bài cũ, kiểm tra ngay khi kết thúc bài mới (kiểm tra viết hoặc vấn đáp) + Thực hiện: - Giáo viên cho trƣớc một graph khung, sau đó đặt câu hỏi kiểm tra, học sinh trả lời và điền nội dung vào các đỉnh. - Giáo viên yêu cầu học sinh lập graph nội dung bài học. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 78 - Giáo viên cho trƣớc một graph sai (sai cung, sai nội dung các đỉnh, hay nhầm lẫn nội dung giữa các đỉnh), yêu cầu học sinh nhận xét và sửa lại thành graph đúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 79 Chƣơng III THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm 3.1.1. Mục đích thực nghiệm - Kiểm nghiệm tính khả thi của việc áp dụng lý thuyết graph vào dạy học toán ở trƣờng THPT và hiệu quả của nó. - Tìm hiểu khả năng triển khai của đề tài trong thực tiễn giáo dục hiện nay ở Việt Nam. 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm - Đƣa ra một số giáo án thể hiện việc sử dụng phƣơng pháp graph vào dạy học. - Tổ chức dạy học thực nghiệm và dạy học đối chứng. - Đƣa ra đề kiểm tra và đáp án để kiểm tra quá trình nhận thức của học sinh. - Phân tích kết quả thực nghiệm. 3.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm - Đảm bảo kiến thức cơ bản của chƣơng trình THPT. - Phù hợp với đối tƣợng học sinh. - Trình độ nhận thức toán học của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng tƣơng đƣơng nhau. - Kết quả thực nghiệm phải đƣợc xử lý một cách khách quan, khoa học. 3.1.4. Nội dung thực nghiệm Nội dung dạy học là kiến thức thuộc chƣơng V: “Thống kê” trong chƣơng trình đại số 10. 3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 3.2.1 Hình thức - Dạy trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 80 + Sử dụng phƣơng pháp grap dạy học trong quá trình giảng dạy đối với các lớp thực nghiệm. + Dạy theo các phƣơng pháp thông thƣờng (thuyết trình, đàm thoại, trực quan…) đối với các lớp đối chứng. - Tiến hành kiểm tra bằng các bài tập vận dụng ngay sau giờ giảng để kiểm tra khả năng hiểu bài nhanh của học sinh. - Kiểm tra, đánh gi