Luận văn Quá trình lévy và ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH NGỌC TRÂM ANH QUÁ TRÌNH LÉVY VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành : XÁC SUẤT - THỐNG KÊ Mã số : 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Nguyễn Văn Thu TP.Hồ Chí Minh - 2009 Lời cảm ơn Con xin cảm ơn ba mẹ đã luôn động viên, ủng hộ con về tinh thần cũng như vật chất trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn của em, GS.TSKH. Nguyễn Văn Thu. Thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em xin cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Bác Văn, TS. Tô Anh Dũng, TS. Dương Tôn Đảm. Các thầy đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tôi xin cảm ơn Th.S. Nguyễn Hữu Thái và bạn Hoàng Văn Hà đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi tài liệu cài đặt và sử dụng phần mềm MikTex trong quá trình soạn thảo luận văn. Tôi xin cảm ơn các bạn cùng khóa Cao học 16 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi. Tôi mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của quý thầy cô và các bạn để luận văn hoàn thiện hơn. TP.Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2009 Học viên Huỳnh Ngọc Trâm Anh. 1 Mục lục Lời cảm ơn 1 Mục lục 2 Các ký hiệu 6 Lời nói đầu 8 I Lý thuyết 11 Giới thiệu 12 1 Quá trình Lévy 15 1.1 Độ đo và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Không gian đo và không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.4 Tính độc lập và tích các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.5 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.6 Các quá trình biến phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.7 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.8 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1.9 Trường ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Phân phối khả phân vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1 Tích chập các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.2 Định nghĩa khả phân vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.3 Các ví dụ của khả phân vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.4 Công thức Lévy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.2.5 Sự chuyển hướng: Lý thuyết số và tương đối . . . . . . . . . . . 36 1.3 Quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.1 Các quá trình phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.2 Các ví dụ của quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.3 Nửa nhóm tích chập của các độ đo xác suất . . . . . . . . . . . 57 1.3.4 Quá trình Lévy chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.5 Bản sao của quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 1.3.6 Sự phân tích Wiener-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.3.7 Thời điểm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2 Martingale, thời điểm dừng và độ đo ngẫu nhiên 63 2.1 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.1 Bộ lọc và quá trình thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . 63 2.1.2 Martingale và quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.3 Không gian martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1 Khai triển Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.2 Thời điểm dừng và quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3 Bước nhảy của quá trình Lévy-Độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . 72 2.3.1 Độ đo ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.2 Tích phân Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4 Khai triển Lévy-Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5 Cấu trúc đan xen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.1 Các trường hợp giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.2 Sự đan xen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.6 Nửa martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II Ứng dụng trong tài chính 93 3 Giới thiệu mô hình thị trường Lévy 94 3.1 Các tài sản tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2 Chứng khoán phái sinh (Derivative Securities) . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.1 Các quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3 Độ chênh thị giá (Arbitrage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3.1 Cặp đôi quyền chọn mua-quyền chọn bán (The Put-Call parity) 96 3.4 Ước lượng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5 Mô hình thị trường Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1 Độ đo martingale tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5.2 Mô hình chỉ số S&P 500 với quá trình Lévy . . . . . . . . . . . 101 4 Sự vận dụng mô hình ngược 102 4.1 Định giá quyền chọn trung hòa rủi ro (Risk-neutral option pricing) . . 102 4.2 Công thức định giá các quyền chọn Châu Âu thông thường . . . . . . . 103 4.2.1 Công thức Black-Schole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.2 Sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3 Sự vận dụng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Các kết quả vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.1 Sự lựa chọn dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.2 Kết quả vận dụng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3 5 Kỹ thuật mô phỏng 112 5.1 Sự mô phỏng của các quá trình ngẫu nhiên cơ bản . . . . . . . . . . . . 112 5.1.1 Sự mô phỏng của chuyển động Brown tiêu chuẩn . . . . . . . . 112 5.1.2 Sự mô phỏng của một quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . 112 5.2 Sự mô phỏng của quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.1 Phép xấp xỉ Poisson phức hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3 Sự mô phỏng các quá trình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.1 Quá trình Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.2 Quá trình VG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.3 Quá trình TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.4 Quá trình IG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3.5 Quá trình NIG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6 Định giá quyền chọn ngoại lai 122 6.1 Quyền chọn với rào cản và quyền chọn nhìn lại (Barrier and Lookback options) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.1.2 Giá quyền chọn với rào cản Black-Scholes và giá quyền chọn nhìn lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1.3 Quyền chọn nhìn lại và quyền chọn với rào cản trong thị trường Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.2 Các quyền chọn ngoại lai khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.1 Quyền chọn mua và bán vô thời hạn kiểu Mỹ . . . . . . . . . . 128 6.2.2 Quyền chọn vô thời hạn kiểu Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.3 Quyền chọn Touch-and-Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3 Định giá quyền chọn ngoại lai bằng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo . 129 6.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3.2 Định giá Monte Carlo sử dụng quá trình Lévy . . . . . . . . . . 130 6.4 Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Kết luận 132 A S&P 500 giá quyền chọn mua 133 B Hàm Bessel 134 B.1 Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 B.2 Hàm Bessel cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 C Quá trình Lévy 136 C.1 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C.1.1 Phân phối trên số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C.1.2 Phân phối trên nửa đường thẳng dương . . . . . . . . . . . . . . 136 C.1.3 Phân phối trên đường thẳng thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C.2 Bộ ba Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 C.2.1 γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 C.2.2 Độ đo Lévy ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4 D Paul Lévy (1886-1971) 138 Tài liệu tham khảo 139 5 CÁC KÝ HIỆU Rd là không gian Euclide d-chiều. Phần tử của Rd là vectơ x = (x1, x2, . . . , xd) với mỗi xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ d. Tích vô hướng trong Rd giữa hai vectơ x = (x1, x2, . . . , xd) và y = (y1, y2, . . . , yd) là (x, y) = d∑ i=1 xiyi. Chuẩn Euclide (độ lớn của một vectơ) là |x| = (x, x) 12 = ( d∑ i=1 x2i ) 1 2 . Tập tất cả các ma trận giá trị thực d× d được ký hiệu là Md(R). Nếu S ⊆ Rd khi đó phần bù trực giao của S là S⊥ = {x ∈ Rd; (x, y) = 0 với ∀ y ∈ S} Quả cầu mở bán kính r có tâm thuộc Rd được ký hiệu là Br(x) = {y ∈ Rd; |y − x| < r} và ta viết Bˆ = B1(0). Ta viết R+ = [0,∞), R = R ∪ {−∞,∞} Dấu của u được ký hiệu bởi sgn(u), sgn(u) = ( u |u| ) nếu u 6= 0, với sgn(0) = 0. Cho z ∈ C, <(z) và =(z) ký hiệu phần thực và phần ảo của z, theo thứ tự. Phần bù của A được ký hiệu là Ac và A¯ là bao đóng của A. B(Rd) là σ-đại số Borel của Rd. Cho B ∈ B(Rd), B(B) là σ-đại số các tập Borel của B. B(B) còn được viết là BB. δa là độ đo xác suất tập trung tại a. µ|B là hạn chế của độ đo µ trên tập B. 6 µ1 ∗ µ2 là tích chập của hai độ đo hữu hạn µ1 và µ2; µn = µ∗n là n lần tích chập của µ. Khi n = 0, µn được hiểu là δ0. Cho a, b ∈ R, a ∧ b = min{a, b} và a ∨ b = max{a, b}. X d = Y có nghĩa là X và Y có phân phối đồng nhất. 1B(x) là hàm chỉ tiêu của B, 1B(x) = { 1 nếu x ∈ B 0 nếu x /∈ B . #A là số các phần tử của tập A. f(x) ∼ g(x) khi x→ a có nghĩa là lim x→a [f(x) g(x) ] = 1. Nếu f : Rd → R khi đó lims↑t f(s) = l có nghĩa là lims→t, s<t f(s) = l. Tương tự lims↓t f(s) = l nghĩa là lims→t, s>t f(s) = l. 7 Lời nói đầu Quá trình Lévy là các quá trình ngẫu nhiên cơ bản có số gia dừng và độc lập. Tầm quan trọng của quá trình Lévy trong lý thuyết xác suất cũng như trong thực tiễn xuất phát từ những lý do sau: VỀ MẶT LÝ THUYẾT • Các quá trình Lévy là lớp đơn giản nhất của quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo mẫu liên tục phải và có một số (đếm được) các bước nhảy ngẫu nhiên gián đoạn xuất hiện tại các thời điểm ngẫu nhiên. • Các quá trình Lévy bao gồm một số các quá trình quan trọng: chuyển động Brown, quá trình Poisson, quá trình Poisson phức hợp, các quá trình phụ thuộc, quá trình tương đối, quá trình Riemann zeta . . . • Các quá trình Lévy hình thành lớp con đặc biệt của nửa martingale và của quá trình Markov dạng Feller. • Tiếng ồn. Các quá trình Lévy là mô hình tốt của "tiếng ồn" trong hệ động lực ngẫu nhiên. Nhập vào + Tiếng ồn = Xuất ra Một lớp lớn các quá trình Markov có thể được xây dựng như là nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên điều khiển bởi tiếng ồn Lévy. • Cấu trúc Robust. Hầu hết ứng dụng của quá trình Lévy lấy giá trị trong không gian Euclide nhưng ta có thể thay bằng không gian Hilber, không gian Banach, nhóm compact địa phương, đa tạp. Các phương án lượng tử hóa là các quá trình Lévy không giao hoán trên các nhóm lượng tử. VỀ MẶT ỨNG DỤNG Gồm có: • Sự nhiễu qua phương trình Burger (Bertoin) • Các ví dụ mới của lý thuyết trường lượng tử (Albeverio, Gottshalk, Wu) • Tính nhớt dẻo (Bouleau) • Chuỗi thời gian (Brockwell) 8 • Tài chính (có hàng ngàn ứng dụng) Sự bùng nổ lớn nhất là hoạt động trong lĩnh vực toán tài chính. Hai phạm vi hoạt động chính là: • Định giá quyền chọn. • Mô hình hóa lãi suất. Luận văn được chia làm hai phần. Phần I gồm hai chương đầu trình bày lý thuyết cơ sở của quá trình Lévy. Phần II gồm bốn chương sau trình bày các ứng dụng của quá trình Lévy trong tài chính. Phần I LÝ THUYẾT Chương 1 trình bày tóm tắt lý thuyết xác suất và độ đo cơ bản. Giới thiệu quá trình Lévy và phân phối khả phân vô hạn. Nghiên cứu mối liên hệ giữa quá trình Lévy, phân phối khả phân vô hạn và nửa nhóm tích chập các độ đo xác suất liên tục yếu. Chương 2 giới thiệu các khái niệm quan trọng như bộ lọc, quá trình thích nghi và martingale. Thiết lập tính Markov mạnh cho quá trình Lévy và chứng minh mọi quá trình Lévy có một bản sao càdlàg. Kết quả quan trọng là chứng minh khai triển Lévy-Itô của một quá trình Lévy bất kỳ dựa trên martingale. Giới thiệu cấu trúc đan xen, qua đó quỹ đạo của một quá trình Lévy nhận được như là giới hạn hầu chắc chắn của một dãy các chuyển động Brown với độ dịch chuyển có các bước nhảy ngẫu nhiên rời rạc xuất hiện tại các thời điểm ngẫu nhiên. Phần II ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chương 3 giới thiệu khái niệm về các tài sản cơ sở, chứng khoán phái sinh, các quyền chọn, độ chênh thị giá. Giới thiệu mô hình thị trường Lévy, trong đó giá cổ phiếu theo một quá trình Lévy mũ. Trình bày phép biến đổi Esscher và hiệu chỉnh trung bình để tìm một độ đo martingale tương đương. Chương 4 sử dụng cách tiếp cận ngược để vận dụng mô hình các quá trình Lévy NIG, CGMY và Meixner; trong đó ta đặt giá quyền chọn lý thuyết dự đoán của mô hình vào chỉ số S&P 500 thực. Giới thiệu mô hình định giá quyền chọn trung hòa rủi ro. Trình bày công thức Black-Schole và phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để định giá các quyền chọn Châu Âu thông thường. Cuối chương trình bày các kết quả vận dụng. Chương 5 trình bày kỹ thuật mô phỏng. Ta sử dụng phương pháp tổng quát xấp xỉ quá trình Lévy bằng quá trình Poisson phức hợp. Các quá trình Lévy đặc biệt được mô phỏng bằng cách sử dụng một vài tính chất của chúng, ví dụ như quá trình Gamma, quá trình VG, quá trình TS, quá trình IG, quá trình NIG... 9 Chương 6 giới thiệu định giá quyền chọn ngoại lai. Các quyền chọn ngoại lai có quỹ đạo phụ thuộc là quyền chọn với rào cản và quyền chọn nhìn lại. Ta sử dụng kỹ thuật mô phỏng được mô tả ở chương 5 và các kết quả vận dụng chương 4 kết hợp với phương pháp kỹ thuật Monte Carlo để định giá các quyền chọn ngoại lai Châu Âu. 10 Phần I Lý thuyết 11 Giới thiệu Giả sử ta có không gian xác suất (Ω,F , P ). Một quá trình Lévy X = (X(t), t ≥ 0) lấy giá trị trên Rd là một quá trình ngẫu nhiên có số gia dừng và độc lập. Ta luôn giả sử là X(0) = 0 với xác suất 1. Vì vậy: • Mỗi X(t) : Ω→ Rd; • Cho trước các thời điểm phân biệt 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn, các vectơ ngẫu nhiên X(t1), X(t2)−X(t1), X(t3)−X(t2), . . . , X(tn)−X(tn−1) độc lập nhau. • Cho trước hai thời điểm phân biệt 0 ≤ s < t < ∞, phân phối xác suất của X(t)−X(s) trùng với phân phối xác suất của X(t− s). Công thức Lévy-Khintchine cho thấy hàm đặc trưng của quá trình Lévy bất kỳ có dạng đặc biệt. Chính xác hơn, với mọi t ≥ 0, u ∈ Rd, E(ei(u,X(t))) = etη(u) (0.1) trong đó η(u) = i(b, u)− 1 2 (u, au) + ∫ Rd−{0} [ ei(u,y) − 1− i(u, y)10<|y|<1(y) ] ν(dy). (0.2) Trong công thức trên b ∈ Rd, a là một ma trận đối xứng d× d xác định dương và ν là độ đo Lévy trên Rd − {0}, do đó ∫Rd−{0}min{1, |y|2}ν(dy) <∞. Để tìm hiểu ý nghĩa của (0.2), đầu tiên ta giả sử a = ν = 0; khi đó (0.1) trở thành E(ei(u,X(t))) = eit(u,b), do đó X(t) = bt là chuyển động tất định đơn giản trên một đường thẳng. Vectơ b xác định vận tốc của chuyển động này và thường được gọi là độ dịch chuyển. Giả sử ta có a 6= 0, khi đó (0.1) có dạng E(ei(u,X(t))) = exp{t[i(b, u) − 1 2 (u, au)]}. Đây là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Gauss có vectơ trung bình tb và ma trận hiệp phương sai ta. Trong trường hợp này, quá trình (X(t), t ≥ 0) là một chuyển động Brown với độ dịch chuyển và lớp các quá trình như vậy được nghiên cứu rộng rãi hơn 100 năm qua. Đặc biệt, quỹ đạo mẫu t → X(t)(ω) là liên tục với ω ∈ Ω. Trường hợp b = 0, a = I ta thường gọi quá trình (X(t), t ≥ 0) là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Trường hợp ν 6= 0. Nếu ν là độ đo hữu hạn, ta viết lại (0.2) η(u) = i(b ′ , u)− 1 2 (u, au) + ∫ Rd−{0} (ei(u,y) − 1)ν(dy) 12 trong đó b ′ = b−∫ 0<|y|<1 yν(dy). Ta sẽ lấy dạng đơn giản nhất cho ν, tức là ν = λδh, trong đó λ > 0 và δh là khối lượng Dirac tập trung tại h ∈ Rd − {0}. Trường hợp này ta đặt X(t) = b ′ t + √ aB(t) + N(t), trong đó B = (B(t), t ≥ 0) là chuyển động Brown tiêu chuẩn và N = (N(t), t ≥ 0) là một quá trình độc lập với E(ei(u,N(t))) = exp [ λt(ei(u,h) − 1)]. Ta thấy N như một quá trình Poisson với cường độ λ lấy giá trị trong tập {nh, n ∈ N}, do đó P (N(t) = nh) = e−λt [(λt)n n! ] và N(t) đếm các biến cố rời rạc xuất hiện tại các thời điểm (Tn, n ∈ N). Quỹ đạo của X theo quỹ đạo của chuyển động Brown với độ dịch chuyển từ thời điểm gốc cho đến thời điểm ngẫu nhiên T1. Tại thời điểm T1 quỹ đạo có một bước nhảy với cỡ là |h|. Giữa T1 và T2 ta lại thấy chuyển động Brown với độ dịch chuyển và có một bước nhảy khác có cỡ là |h| tại thời điểm T2. Ta có thể tiếp tục xây dựng quỹ đạo theo cách này một cách vô hạn. Bước tiếp theo là lấy ν = ∑m i=1 λiδhi , trong đó m ∈ N, λi > 0 và hi ∈ Rd−{0}, với 1 ≤ i ≤ m. Khi đó ta có thể viết X(t) = b ′ t+ √ aB(t) +N1(t) + · · ·+Nm(t), trong đó N1, . . . , Nm là các quá trình Poisson độc lập; mỗi Ni có cường độ λi và lấy giá trị trong tập {nhi, n ∈ N}, trong đó 1 ≤ i ≤ m. Trong trường hợp này, quỹ đạo của X lại là một chuyển động Brown với độ dịch chuyển có các bước nhảy ngẫu nhiên rời rạc xuất hiện tại các thời điểm ngẫu nhiên. Tại thời điểm này, cỡ của mỗi bước nhảy là một trong m số |h1|, . . . , |hm|. Khi ν <∞, ta có thể viết dạng khai triển quỹ đạo mẫu một cách trực tiếp như sau X(t) = bt+ √ aB(t) + ∑ 0≤s≤t ∆X(s), (0.3) trong đó ∆X(s) là bước nhảy tại thời điểm s (nếu ν = λδh khi đó ∆X(s) = 0 hay h). Để đếm các thời điểm tại đó các bước nhảy xuất hiện, cho A là một tập Borel trong Rd − {0} và t ≥ 0 ta định nghĩa N(t, A) = #{0 ≤ s ≤ t; ∆X(s) ∈ A}. Nếu ta cố định t và A khi đó N(t, A) là một biến ngẫu nhiên; tuy nhiên, nếu ta cố định ω ∈ Ω và t ≥ 0 khi đó N(t, ·)(ω) là một độ đo. Cuối cùng, nếu ta cố định A với ν(A) <∞ khi đó (N(t, A), t ≥ 0) là một quá trình Poisson với cường độ ν(A). Khi ν <∞, ta có thể viết∑ 0≤s≤t ∆X(s) = ∫ R−{0} xN(t, dx). 13 Trường hợp ν tổng quát, qua phép phân tích tinh xảo các bước nhảy nhỏ và độ dịch chuyển trở nên hợp nhất dẫn tới khai triển Lévy-Itô nổi tiếng: X(t) = bt+ √ aB(t) + ∫ 0<|x|<1 x [ N(t, dx)− tν(dx)]+ ∫ |x|≥1 xN(t, dx). Ở chương 1 và chương 2 ta sẽ chứng minh công thức Lévy-Khintchine và khai triển Lévy-Itô. 14 Chương 1 Quá trình Lévy 1.1 Độ đo và xác suất 1.1.1 Không gian đo và không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1. σ-đại số Cho S là tập khác rỗng và F là tập hợp các tập con của S. Ta nói F là một σ-đại số nếu (1) S ∈ F . (2) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F . (3) Nếu (An, n ∈ N) là dãy các tập con thuộc F khi đó ∞⋃ n=1 An ∈ F . Cặp (S,F) được gọi là không gian đo được. Định nghĩa 1.1.2. Độ đo Một độ đo trên (S,F) là một ánh xạ µ : F → [0,∞] thỏa (1) µ(∅) = 0, (2) µ ( ∞⋃ n=1 An ) = ∞∑ n=1 µ(An) với mọi dãy (An, n ∈ N) các tập rời nhau trong F . Bộ ba (S,F , µ) được gọi là một không gian đo. Đại lượng µ(S) được gọi là tổng khối lượng của µ và µ là hữu hạn nếu µ(S) <∞. Tổng quát, một độ đo µ là σ-hữu hạn nếu có một dãy (An, n ∈ N) trong F sao cho S = ∞⋃ n=1 An và mỗi µ(An) <∞. 15 Chương 1. Quá trình Lévy Định nghĩa 1.1.3. Độ đo Borel Cho S là một tập con của Rd. Ta trang bị cho S tôpô cảm sinh bởi Rd; do đó U ⊆ S là mở trong S nếu U ∩ S mở trong Rd. Đặt B(S) ký hiệu σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của S. Ta gọi B(S) là σ-đại số Borel của S. Mỗi phần tử thuộc B(S) là một tập Borel và độ đo bất kỳ trên (S,B(S)) gọi là độ đo Borel. Một ví dụ thường gặp của độ đo Borel là độ đo Lebesgue trên S = Rd. A = (a1, b1)× (a2, b2)× · · · × (ad, bd) trong đó −∞ < ai < bi <∞ : µ(A) = d∏ i=1 (bi − ai). Độ đo Lebesgue rõ ràng là σ-hữu hạn nhưng không hữu hạn. Định nghĩa 1.1.4. Độ đo xác suất Ta viết S = Ω. Lấy Ω biểu diễn tập các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên. Các phần tử của F được gọi là các biến cố và độ đo bất kỳ trên (Ω,F) có tổng khối lượng bằng 1 được gọi là độ đo xác suất và ký hiệu là P . Khi đó bộ ba (Ω,F , P ) được gọi là không gian xác suất. Đôi lúc ta sử dụng độ đo đếm, là độ đo lấy các giá trị trong N ∪ {0}. Mệnh đề p các phần tử của tập S được nói là có tính chất hầu khắp nơi (viết tắt là h.k.n.) theo độ đo µ nếu N = {s ∈ S; p(s) sai} ∈ F và µ(N ) = 0. Trong trường hợp độ đo xác suất, ta sử dụng thuật ngữ ‘ hầu chắc chắn’ (viết tắt h.c.c) thay cho ‘ hầu khắp nơi’ hoặc thay cho ‘ với xác suất 1’. Tương tự, ta nói ‘ hầu hết’ các phần tử của tập A có tính chất chắc chắn nếu tập con của A không có tính chất đó có độ đo 0. Định nghĩa 1.1.5. Tính liên tục của độ đo Đặt (A(n), n ∈ N) là dãy các tập trong F với A(n) ⊆ A(n+ 1) với mỗi n ∈ N. Khi đó ta viết A(n) ↑ A, trong đó A = ⋃∞n=1A(n) và ta có µ(A) = lim n→∞ µ(A(n)). Một phân hoạch đo được (hữu hạn) của một tập A ∈ F là một họ các tập B1, B2, . . . , Bn ∈ F , Bi ∩ Bj = ∅ khi i 6= j và ⋃n i=1Bi = A. Ta sử dụng tên gọi phân hoạch Borel khi F là một σ-đại số Borel. Nếu {Gi, i ∈ I} là một họ các σ-đại số con của F khi đó ⋂ i∈I Gi là σ-đại số con lớn nhất chứa trong mỗi Gi và ∨ i∈I Gi ký hiệu σ-đại số con nhỏ nhất chứa mỗi Gi. Nếu P là độ đo xác suất và A,B ∈ F , để tiện ký hiệu ta viết P (A,B) = P (A ∩B). Định nghĩa 1.1.6. Mở rộng của một độ đo Cho (S,F , µ). Định nghĩa N = {A ⊆ S;∃N ∈ F với µ(N) = 0 và A ⊆ N} và F = {A ∪B;A ∈ F , B ∈ N}. Khi đó F là một σ-đại số và mở rộng của độ đo µ trên (S,F) là độ đo µ trên (S,F) được xác định bởi µ(A ∪B) = µ(A), A ∈ F , B ∈ N . 16 Chương 1. Quá trình Lévy Trường hợp đặc biệt, B(S) được gọi là σ-đại số các tập đo được Lebesgue trong S. 1.1.2 Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng Cho i = 1, 2, đặt (Si,Fi) là các không gian đo được. Một ánh xạ f : S1 → S2 là (F1,F2)-đo được nếu f−1(A) ∈ F1 với ∀ A ∈ F2. Nếu mỗi S1 ⊆ Rd, S2 ⊆ Rm và Fi = B(Si), khi đó f là đo được Borel. Trong trường hợp d = 1, ta viết hàm đo được Borel f là f+ − f−, trong đó f+(x) = max{f(x), 0} và f−(x) = −min{f(x), 0}, với x ∈ S1. Nếu f = (f1, f2, . . . , fd) là ánh xạ đo được từ S1 tới Rd, viết f+ = (f+1 , f+2 , . . . , f+d ) và f− = (f−1 , f − 2 , . . . , f − d ). Định nghĩa 1.1.7. Biến ngẫu nhiên Cho trước không gian xác suất (Ω,F , P ), khi đó ánh xạ đo được từ Ω vào Rd được gọi là biến ngẫu nhiên. Ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên là X, Y, . . . Giá trị của chúng là kết quả của các lần quan trắc trên tập Ω. Chú ý nếu X là một biến ngẫu nhiên khi đó f(X) = f ◦X, với f là một ánh xạ đo được Borel từ Rd tới Rm. Một ánh xạ đo được Z = X + iY từ Ω vào C (được trang bị cấu trúc Borel tự nhiên từ R2) được gọi là một biến ngẫu nhiên phức. Chú ý Z đo được khi và chỉ khi cả X và Y là đo được. Nếu X là một biến ngẫu nhiên, luật phân phối (hay phân phối) của nó là độ đo xác suất Borel pX trên Rd được xác định bởi pX = P ◦X−1. Ta nói X là đối xứng nếu pX(A) = pX(−A) với ∀ A ∈ B(Rd). Hai biến ngẫu nhiên X và Y có cùng luật phân phối xác suất thì ta nói chúng có phân phối đồng nhất. Ký hiệu X d = Y. Cho biến ngẫu nhiên một chiều X, hàm phân phối của nó là hàm tăng, liên tục bên phải xác định bởi FX(x) = pX((−∞, x]) với mỗi x ∈ R. Nếu W = (X, Y ) là biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong R2d, luật phân phối xác suất của W được gọi là phân phối đồng thời của X và Y . Khi đó các đại lượng pX và pY được gọi là các phân phối biên duyên của W , với pX(A) = pW (A,Rd) và pY (A) = pW (Rd, A) với mỗi A ∈ B(Rd). Giả sử cho trước tập hợp các biến ngẫu nhiên (Xi, i ∈ I) trong một không gian xác suất cố định; khi đó ký hiệu σ(Xi, i ∈ I) là σ-đại số nhỏ nhất chứa trong F theo đó mọi biến Xi là đo được. Khi trong tập hợp trên chỉ có một biến ngẫu nhiên X, ta ký hiệu σ-đại số này là σ(X). 17 Chương 1. Quá trình Lévy Đặt (S,F) là không gian đo được. Một hàm đo được f : S → Rd được gọi là đơn giản nếu f = n∑ j=1 cj1Aj với n ∈ N, cj ∈ Rd và Aj ∈ F , 1 ≤ j ≤ n. Ta gọi 1A là hàm chỉ tiêu được xác định bởi 1A(x) = 1 khi x ∈ A; 1A(x) = 0 khi x /∈ A. Đặt Σ(S) ký hiệu không gian tuyến tính tất cả các hàm đơn giản trên S và cho µ là độ đo trên (S,F). Tích phân theo µ là ánh xạ tuyến tính từ Σ(S) vào Rd xác định bởi Iµ(f) = n∑ j=1 cjµ(Aj) với f ∈ Σ(S). Tích phân được mở rộng cho hàm đo được f = (f1, f2, . . . , fd), trong đó mỗi fi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d Iµ(fi) = sup{Iµ(gi), g = (g1, . . . , gd) ∈ Σ(S), gi ≤ fi} và hàm đo được f bất kỳ bởi Iµ(f) = Iµ(f +)− Iµ(f−). Ta viết Iµ(f) = ∫ f(x)µ(dx) hay Iµ(f) = ∫ fdµ. Ta nói f khả tích nếu |Iµ(f+)| <∞ và |Iµ(f−)| <∞. Cho A ∈ F bất kỳ, định nghĩa∫ A f(x)µ(dx) = Iµ(fχA). Định nghĩa 1.1.8. Kỳ vọng Cho không gian xác suất (Ω,F , P ), ánh xạ tuyến tính IP được gọi là kỳ vọng, viết đơn giản là E. Do đó cho một biến ngẫu nhiên X và ánh xạ đo được Borel f : Rd → Rm, ta có E(f(X)) = ∫ Ω f(X(ω))P (dω) = ∫ Rm f(x)pX(dx). Trong trường hợp d = m = 1 ta có bất đẳng thức Jensen f(E(X)) ≤ E(f(X)), khi f : R→ R là hàm lồi và X, f(X) đều khả tích. Trung bình của X là vectơ E(X) và đôi lúc được ký hiệu là µ (nếu không có độ đo µ trong lân cận được đặt là µ) hay µX , nếu ta muốn nhấn mạnh biến ngẫu nhiên X. Nếu X = (X1, X2, . . . , Xd) và Y = (Y1, Y2, . . . , Yd) là hai biến ngẫu nhiên khi đó ma trận d × d với thành phần thứ (i, j) E[(Xi − µXi)(Yj − µYj)] được gọi là hiệp phương sai của X và Y . Ký hiệu Cov(X, Y ). Trong trường hợp X = Y và d = 1, viết Var(X) = Cov(X, Y ) và gọi đại lượng này là 18 Chương 1. Quá trình Lévy phương sai của X. Ký hiệu σ2 hay σ2X . Khi d = 1 đại lượng E(Xn), với n ∈ N, được gọi là mômen cấp n của X. Bất đẳng thức Chebyshev-Markov cho một biến ngẫu nhiên X là P (|X − αµ| ≥ C) ≤ E(|X − αµ| n Cn , với C > 0, α ∈ R, n ∈ N. Dạng thường gặp nhất là bất đẳng thức Chebyshev (n = 2, α = 1) và bất đẳng thức Markov (n = 1, α = 0). Trở lại không gian đo (S,F , µ) ta liệt kê một số định lý then chốt để chứng minh tính khả tích của các hàm từ S tới Rd. Định lý 1.1.9. (Định lý hội tụ đơn điệu) Nếu (fn, n ∈ N) là dãy các hàm đo được không âm trên S đơn điệu tăng (h.k.n.) và hội tụ điểm tới f (h.k.n), khi đó lim n→∞ ∫ S fn(x)µ(dx) = ∫ S f(x)µ(dx). Từ đây ta dễ dàng suy ra Hệ quả 1.1.10. (Bổ đề Fatou) Nếu (fn, n ∈ N) là dãy các hàm đo được không âm trên S, khi đó lim inf n→∞ ∫ S fn(x)µ(dx) ≥ ∫ S lim inf n→∞ fn(x)µ(dx), Định lý 1.1.11. (Định lý hội tụ trội Lebesgue) Nếu (fn, n ∈ N) là dãy các hàm đo được từ S tới Rd hội tụ điểm tới f (h.k.n.) và g ≥ 0 là hàm khả tích sao cho |fn(x)| ≤ g(x) (h.k.n.) với ∀ n ∈ N, khi đó lim n→∞ ∫ S fn(x)µ(dx) = ∫ S f(x)µ(dx). 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện Cho (S,F , µ) là một không gian đo bất kỳ. Ta nói độ đo ν trên (S,F) tuyệt đối liên tục đối với µ nếu A ∈ F , µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0. Ta viết ν  µ. Hai độ đo µ và ν là tương đương nếu chúng tuyệt đối liên tục đối với nhau. Định lý 1.1.12. (Radon-Nikodym) Giả sử (S,F , µ) là không gian đo. Nếu µ là độ đo σ-hữu hạn và ν là độ đo hữu hạn với ν  µ, khi đó tồn tại và duy nhất hàm F-đo được g : S → R+ sao cho ν(A) = ∫ A g(x)µ(dx) = Iµ(fχA), ∀ A ∈ F Ta gọi f là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ và viết f = dν dµ . 19 Chương 1. Quá trình Lévy Ví dụ nếu X là một biến ngẫu nhiên với luật phân phối pX tuyệt đối liên tục đối với độ đo Lebesgue trên Rd và viết fX = dpX dx và gọi fX là hàm mật độ xác suất (hay còn gọi là hàm mật độ và viết tắt là pdf). Cho (Ω,F , P ) là một không gian xác suất và G là σ-đại số con của F do đó (1) G là một σ-đại số. (2) G ⊆ F . Định nghĩa 1.1.13. Kỳ vọng có điều kiện Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực với E(|X|) < ∞ và giả sử rằng X ≥ 0. Xác định độ đo hữu hạn QX trên (Ω,G) bởi QX(A) = E(X1A) với A ∈ G; khi đó QX  P và ta viết E(X|G) = dQX dP . Ta gọi E(X|G) là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G. Nó là một biến ngẫu nhiên trên (Ω,G, P ) và được xác định duy nhất. Với X nhận giá trị thực bất kỳ với E(|X|) <∞, ta định nghĩa E(X|G) = E(X+|G)− E(X−|G). Khi X = (X1, X2, . . . , Xd) lấy giá trị trong Rd với E(|X|) <∞, ta định nghĩa E(X|G) = (E(X1|G),E(X2|G), . . . ,E(Xd|G)). Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện: • E(E(X|G) = E(X). • |E(X|G)| ≤ E(|X||G) h.c.c. • Nếu Y là một biến ngẫu nhiên G-đo được và E(|(X, Y )|) <∞ khi đó E((X, Y )|G) = (E(X|G), Y ) h.c.c. • Nếu H là σ-đại số con của G khi đó E(E(X|G)|H) = E(X|H) h.c.c. • Ánh xạ E : L2(Ω,F , P )→ L2(Ω,G, P ) là một phép chiếu trực giao. Trường hợp đặc biệt, cho trước biến ngẫu nhiên G-đo được Y bất kỳ sao cho E(|Y |) <∞ và E(Y 1A) = E(X1A) với ∀ A ∈ G; khi đó Y = E(X|G) (h.c.c). 20 Chương 1. Quá trình Lévy Mệnh đề 1.1.14. Nếu Y là một biến ngẫu nhiên với E(|Y |) < ∞ và (Gn, n ∈ N) là một dãy giảm các σ-đại số con của F , khi đó lim n→∞ E(Y |Gn) = E(Y |G) h.c.c, trong đó G = ⋂n∈N Gn. Nếu Y là một biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất như X ta viết E(X|Y ) = E(X|σ(Y )). Nếu A ∈ F ta viết E(X|A) = E(X|σ(A)) với σ(A) = {A,Ac,Ω, ∅}. Nếu A ∈ F ta định nghĩa P (A|G) = E(1A|G). Ta gọi P (A|G) là xác suất có điều kiện của A cho trước G. Chú ý trong trường hợp tổng quát nó không phải là độ đo xác suất trên F (ngay cả h.c.c) mặc dù nó thỏa các tiên đề cần thiết với xác suất 1. Cho Y là một biến ngẫu nhiên Rd-giá trị trên Ω; cho trước G, phân phối có điều kiện của Y là ánh xạ PY |G : B(Rd)× Ω→ [0, 1] sao cho PY |G(B,ω) = P (Y −1(B)|G)(ω) với B ∈ B(Rd), ω ∈ Ω. Khi đó PY |G là độ đo xác suất trên B(Rd) với ∀ ω ∈ Ω. Hơn nữa, cho ánh xạ g : Rd → Rd với |E(g(Y ))| <∞, ta có E(g ◦ Y |G) = ∫ Rd g(y)PY |G(dy, ·) h.c.c (1.1) 1.1.4 Tính độc lập và tích các độ đo Cho (Ω,F , P ) là không gian xác suất. Một dãy (Fn, n ∈ N) các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu với i1, i2, . . . , in bất kỳ và Aij ∈ Fj bất kỳ, 1 ≤ j ≤ n, P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Ain) = n∏ j=1 P (Aij). Đặc biệt, một dãy các biến ngẫu nhiên (Xn, n ∈ N) được gọi là độc lập nếu (σ(Xn), n ∈ N) là độc lập. Một dãy các biến ngẫu nhiên được gọi là i.i.d. nếu các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối đồng nhất, tức là luật phân phối (pXn , n ∈ N) là các độ đo xác suất đồng nhất. Cho G là σ-đại số con của F , ta nói biến ngẫu nhiên X và G là độc lập nếu σ(X) và G độc lập. Trong trường hợp này ta có E(X|G) = E(X) h.c.c. Cho {(S1,F1, µ1), . . . , (Sn,Fn, µn)} là họ các không gian đo. Ta nói tích của chúng là không gian (S,F , µ), trong đó S là tích Descartes S1×S2 · · ·×Sn, F = F1⊗F2⊗· · ·⊗Fn là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập có dạng A1 × A2 × · · · × An với mỗi Ai ∈ Fi và µ = µ1 × µ2 × · · · × µn là độ đo tích với µ(A1 × A2 × · · · × An) = n∏ i=1 µ(Ai). 21 Chương 1. Quá trình Lévy Định lý 1.1.15. (Fubini) Nếu (Si,Fi, µi) là các không gian đo với i = 1, 2 và nếu f : S1×S2 → R là F1⊗F2-đo được với ∫ ∫ |f(x, y)|µ1(dx)µ2(dy) <∞, khi đó ∫ S1×S2 f(x, y)(µ1 × µ2)(dx, dy) = ∫ S2 [ ∫ S1 f(x, y)µ1(dx) ] µ2(dy) = ∫ S1 [ ∫ S2 f(x, y)µ2(dy) ] µ1(dx). Hàm số y → ∫ f(x, y)µ1(dx) và x → ∫ f(x, y)µ2(dy) được xác định µ2 (h.c.c) và µ1 (h.c.c) theo thứ tự. Cho Xj, 1 ≤ j ≤ n là các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất và tạo thành vectơ ngẫu nhiên X = (X1, X2, . . . , Xn); khi đó Xn độc lập khi và chỉ khi pX = pX1 × pX2 × · · · × pXn . Định lý 1.1.16. (Fubini có điều kiện) Cho (Ω,F , P ) là một không gian xác suất và G là một σ-đại số con của F . Nếu (S,Σ, µ) là một không gian đo và F ∈ L1(S × Ω,Σ⊗F , µ× P ), khi đó E (∣∣∣∣ ∫ S EG(F (s, ·))µ(ds) ∣∣∣∣) <∞, và EG (∫ S F (s, ·)µ(ds) ) = ∫ S EG(F (s, ·))µ(ds) h.c.c. Bổ đề 1.1.17. Cho G là σ-đại số con của F . Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên Rd-giá trị sao cho X là G-đo được và Y là độc lập của G khi đó E(f(X, Y )|G) = Gf (X) h.c.c với ∀ f ∈ Bb(R2d), trong đó Gf (x) = E(f(x, Y )) với x ∈ Rd. 1.1.5 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên Cho (Xn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên Rd-giá trị và X là một biến ngẫu nhiên Rd-giá trị. Định nghĩa 1.1.18. Hội tụ hầu chắc chắn Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu lim n→∞ X(n)(ω) = X(ω), với ∀ x ∈ Ω−N , trong đó N ∈ F thỏa P (N ) = 0; 22 Chương 1. Quá trình Lévy Sự hội tụ hầu chắc chắn được ký hiệu là Xn h.c.c−→ X. Định nghĩa 1.1.19. Hội tụ theo trung bình Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (1 ≤ p <∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu lim n→∞ E(|X(n)−X|p) = 0. Hội tụ theo trung bình bậc p ký hiệu là Xn Lp→ X, với (1 ≤ p <∞). Trường hợp p = 2 ta gọi là hội tụ theo trung bình bậc 2. Định nghĩa 1.1.20. Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với ∀ a > 0, lim n→∞ P (|X(n)−X| > a) = 0; Hội tụ theo xác suất được ký hiệu là Xn P→ X. Định nghĩa 1.1.21. Hội tụ theo phân phối Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên X nếu lim n→∞ ∫ Rd f(x)pX(n)(dx) = ∫ Rd f(x)pX(dx), ∀ f ∈ Cb(Rd). Hội tụ theo phân phối được ký hiệu là Xn d→ X. Trường hợp d = 1 hội tụ theo phân phối tương đương với lim n→∞ FX(n)(x) = FX(x) tại mọi điểm liên tục của FX . Ta có mối liên hệ giữa các dạng hội tụ: Hội tụ hầu chắc chắn ⇒ hội tụ theo xác suất ⇒ hội tụ theo phân phối; Hội tụ theo trung bình bậc p ⇒ hội tụ theo xác suất ⇒ hội tụ theo phân phối. Ngược lại, nếu Xn hội tụ theo xác suất tới X thì ta luôn tìm được một dãy con hội tụ hầu chắc chắn tới X. Đặt L0 = L0(Ω,F , P ) ký hiệu không gian tuyến tính mọi lớp tương đương các biến ngẫu nhiên được qui ước là hầu chắc chắn; khi đó L0 là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric Ky Fan d(X, Y ) = inf{ε > 0, P (|X − Y | > ε) ≤ ε} với X, Y ∈ L0. Mêtric d hội tụ theo xác suất vì một dãy (X(n), n ∈ N) thuộc L0 hội tụ theo xác suất tới X ∈ L0 khi và chỉ khi lim n→∞ d(X(n), X) = 0. Mệnh đề 1.1.22. Nếu (X(n), n ∈ N) và (Y (n), n ∈ N) là hai dãy các biến ngẫu nhiên với X(n)→ X theo xác suất và Y (n)→ 0 hầu chắc chắn, khi đó X(n)Y (n)→ 0 theo xác suất. 23 Chương 1. Quá trình Lévy Một dãy (µ(n), n ∈ N) các độ đo trên Rd được gọi là hội tụ yếu tới độ đo xác suất µ nếu lim n→∞ ∫ f(x)µ(n)(dx) = ∫ f(x)µ(dx) với ∀ f ∈ Cb(Rd). Điều kiện đủ (nhưng không là điều kiện cần) để điều này đúng là µ(n)(E)→ µ(E) khi n→∞, với ∀ E ∈ B(Rd). 1.1.6 Các quá trình biến phân hữu hạn Hàm càdlàg Định nghĩa 1.1.23. càdlàg Một ánh xạ f : [a, b]→ Rd được gọi là càdlàg nếu với mọi t ∈ (a, b], f liên tục bên phải tại t và có giới hạn bên trái tại t, tức là • Cho mọi dãy (tn, n ∈ N) thuộc [a, b] với mỗi tn ≥ t và limn→∞tn = t, ta có limn→∞f(tn) = f(t); • Cho mọi dãy (tn, n ∈ N) thuộc [a, b] với mỗi tn < t và limn→∞tn = t, ta có limn→∞f(tn) tồn tại. Một hàm càglàd (tức là hàm liên tục bên trái và có giới hạn bên phải) được định nghĩa tương tự. Hàm liên tục bất kỳ là càdlàg. Nếu f là càdlàg, ta sẽ ký hiệu giới hạn trái tại mỗi điểm t ∈ (a, b] bởi f(t−) = lims↑t f(s). Ta có f(t−) = f(t) khi và chỉ khi f liên tục tại t. Ta ký hiệu bước nhảy tại t bởi ∆f(t) = f(t)− f(t−). Hàm biến phân hữu hạn (vô hạn) Đặt P = {a = t1 < t2 < · · · < tn < tn+1 = b} là một phân hoạch của đoạn [a, b] ⊂ R. Ta định nghĩa biến phân của ánh xạ càdlàg f : [a, b]→ Rd trên phân hoạch P bởi varP(f) = n∑ i=1 |f(ti+1)− f(ti)|. Nếu V (f) = supP varP(f) < ∞, ta nói f có biến phân hữu hạn trên [a, b]. Nếu V (f) = supP varP(f) =∞, ta nói f có biến phân vô hạn trên [a, b]. Nếu f được xác định trên toàn bộ R (hay R+), f có biến phân hữu hạn nếu nó có biến phân hữu hạn trên mỗi khoảng compact. Ngược lại, ta nói f có biến phân vô hạn. Chú ý mọi hàm f không giảm có biến phân hữu hạn. Ngược lại, nếu f có biến phân hữu hạn, khi đó f luôn được viết như hiệu của hai hàm không giảm: 24 Chương 1. Quá trình Lévy f = V (f) + f 2 − V (f)− f 2 , trong đó V (f)(t) là biến phân của f trên [a, t]. Hàm có biến phân hữu hạn rất quan trọng trong lý thuyết tích phân: nếu ta muốn lấy tích phân một hàm liên tục g trên một đoạn nào đó theo hàm f , khi đó ta có thể định nghĩa tích phân Stieltjes ∫ I g(x)df(x) như là giới hạn của tổng Riemann chỉ khi f có biến phân hữu hạn. Ta nói một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt, t ≥ 0} là có biến phân hữu hạn nếu quỹ đạo mẫu có biến phân hữu hạn với xác suất 1. 1.1.7 Hàm đặc trưng Định nghĩa 1.1.24. Hàm đặc trưng Cho X là một biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F , P ) và nhận giá trị trong Rd với phân phối xác suất pX . Hàm đặc trưng của X là hàm số φX : Rd → C được xác định bởi φX = E(ei(u,X)) = ∫ Ω ei(u,X(ω))P (dω) = ∫ Rd ei(u,y)pX(dy), với u ∈ Rd. Tổng quát, nếu p là một độ đo xác suất trên Rd khi đó hàm đặc trưng của X là ánh xạ u→ ∫Rd ei(u,y)p(dy). Ta có các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng: • |φX(u)| ≤ 1; • φX(−u) = φX(u); • φX(u) là hàm thực khi và chỉ khi X đối xứng, tức là X và −X cùng phân phối hay tương đương pX(A) = pX(−A), ∀ A ∈ B(Rd); • Nếu X = (X1, . . . , Xd) và E(|Xnj |) <∞ với 1 ≤ j ≤ d và n ∈ N khi đó E(Xnj ) = i−n ∂n ∂unj φX(u) ∣∣∣∣∣ u=0 Nếu MX(u) = φX(−iu) tồn tại, ít nhất trong một lân cận của u = 0, khi đó MX được gọi là hàm sinh mômen của X. Trong trường hợp này mọi mômen của X đều tồn tại và có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm riêng của MX như ở trên. Cố định u1, . . . , ud ∈ Rd, ta ký hiệu ΦX là ma trận d × d với phần tử (i, j) là φX(ui − uj). 25 Chương 1. Quá trình Lévy Bổ đề 1.1.25. (1) ΦX là xác dịnh dương với ∀ u1, . . . , ud ∈ Rd. (2) φX(0) = 1. (3) Ánh xạ u→ φX(u) là liên tục tại gốc. Định lý 1.1.26. (Định lý Bochner) Nếu φ : Rd → C thỏa (1), (2) và (3) của bổ đề 1.1.24. thì φ là hàm đặc trưng của một phân phối xác suất. Ta nói ψ : Rd → C là xác định dương có điều kiện nếu với ∀n ∈ N và c1, c2, . . . , cn ∈ C với ∑n j=1 cj = 0 ta có n∑ j,k=1 cj c¯kψ(uj − uk) ≥ 0 với mọi u1, u2, . . . , un ∈ Rd. Ánh xạ ψ : Rd → C được gọi là hermit nếu ψ(u) = ψ(−u) với ∀ u ∈ Rd. Định lý 1.1.27. (Phép tương ứng Schoenberg) Ánh xạ ψ : Rd → C là hermit và xác định dương có điều kiện khi và chỉ khi etψ xác định dương với t ≥ 0. Định lý 1.1.28. (Glivenko) Nếu φn và φ là các hàm đặc trưng của phân phối xác suất pn và p (theo thứ tự), với n ∈ N, khi đó φn(u)→ φ(u) với ∀ u ∈ Rd ⇒ pn → p yếu khi n→∞. Định lý 1.1.29. (Định lý liên tục Lévy) Nếu (φn, n ∈ N) là một dãy các hàm đặc trưng và tồn tại hàm ψ : Rd → C sao cho với ∀ u ∈ Rd, φn(u)→ ψ(u) khi n→∞ và ψ liên tục tại 0; khi đó ψ là hàm đặc trưng của một phân phối xác suất. Cho X1, X2, . . . , Xn là họ các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất ta có kết quả sau Định lý 1.1.30. (Định lý Kac) Các biến ngẫu nhiên X1, X2, . . . , Xn là độc lập khi và chỉ khi E ( exp [ i n∑ j=1 (uj, Xj) ]) = φX1(u1) · · ·φXn(un) với ∀ u1, u2, . . . , un ∈ Rd. 26 Chương 1. Quá trình Lévy 1.1.8 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.31. Quá trình ngẫu nhiên Các quá trình ngẫu nhiên là những mô hình thay đổi theo thời gian của các hiện tượng ngẫu nhiên. Đây là họ các biến ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) được xác định trên cùng một không gian xác suất. Hai quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) và Y = (Y (t), t ≥ 0) là độc lập nếu với ∀m,n ∈ N, mọi 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞ và mọi 0 ≤ s1 < s2 < · · · < sm < ∞, các σ-đại số σ(X(t1), X(t2), . . . , X(tn)) và σ(Y (s1), Y (s2), . . . , Y (sm)) là độc lập. Tương tự, một quá trình ngẫu nhiênX = (X(t), t ≥ 0) và một σ-đại số con G độc lập nếu G và σ(X(t1), X(t2), . . . , X(tn)) độc lập với ∀ n ∈ N, 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn <∞. Phân phối hữu hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên X là tập hợp các độ đo xác suất (pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn <∞, n ∈ N) được xác định trên Rdn với n ∈ N bởi pt1,t2,...,tn(H) = P ((X(t1), X(t2), . . . , X(tn)) ∈ H) với H ∈ B(Rdn). Đặt pi là một hoán vị của {1, 2, . . . , n}; khi đó với H1, H2, . . . , Hn ∈ B(Rd), pt1,t2,...,tn(H1 ×H2 × · · · ×Hn) = ptpi(1),tpi(2),...,tpi(n)(Hpi(1) ×Hpi(2) × · · · ×Hpi(n)); (1.2) pt1,t2,...,tn,tn+1(H1 ×H2 × · · · ×Hn × Rd) = pt1,t2,...,tn(H1 ×H2 × · · · ×Hn). (1.3) Phương trình (1.2) và (1.3) được gọi là tiêu chuẩn nhất quán Kolmogorov. Giả sử cho trước một họ các độ đo xác suất (pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn <∞, n ∈ N) thỏa tiêu chuẩn trên. Cấu trúc Kolmogorov (ta sẽ miêu tả sau) cho phép xây dựng một quá trình ngẫu nhiên có phân phối hữu hạn chiều. Phương pháp thực hiện như sau. Đặt Ω là tập tất cả các ánh xạ từ R+ vào Rd và F là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập trụ có dạng IHt1,t2,...,tn = {ω ∈ Ω; (ω(t1), ω(t2), . . . , ω(tn)) ∈ H}, trong đó H ∈ B(Rdn). Định nghĩa quá trình tọa độ X = (X(t), t ≥ 0) bởi X(t)(ω) = ω(t), t ≥ 0, ω ∈ Ω. Kết quả chính là 27 Chương 1. Quá trình Lévy Định lý 1.1.32. (Định lý tồn tại Kolmogorov) Cho trước một họ các độ đo xác suất (pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞, n ∈ N) thỏa tiêu chuẩn nhất quán Kolmogorov, khi đó tồn tại một độ đo xác suất P trên (Ω,F) sao cho quá trình tọa độ X là một quá trình ngẫu nhiên trên (Ω,F , P ) có phân phối hữu hạn chiều pt1,t2,...,tn. Một quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) được gọi là tách được nếu tồn tại một tập con đếm được D ⊂ R+ sao cho với t ≥ 0, tồn tại một dãy (t(n), n ∈ N) thuộc D với t(n) 6= t sao cho lim n→∞ t(n) = t và lim n→∞ X(t(n)) = X(t). Định lý Kolmogorov có thể được mở rộng để chỉ ra rằng, cho trước một họ (pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn <∞, n ∈ N) các độ đo xác suất thỏa tiêu chuẩn nhất quán Kolmogorov. Ta có thể thiết lập quá trình X = (X(t), t ≥ 0) tách được trên không gian (Ω,F , P ) nào đó có phân phối hữu hạn chiều pt1,t2,...,tn . Ánh xạ từ R+ tới Rd cho bởi t→ X(t)(ω), trong đó ω ∈ Ω được gọi là quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên X. Ánh xạ đó là quá trình liên tục, bị chặn, tăng... nếu hầu hết mọi quỹ đạo mẫu của nó có tính chất vừa nêu. Đặt G là nhóm các ma trận trên Rd. Ta nói một quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) là G-bất biến nếu luật phân phối pX(t) là G-bất biến với ∀ t ≥ 0. Rõ ràng X là G-bất biến khi và chỉ khi φX(t)(g Tu) = φX(t)(u) với ∀ t ≥ 0, u ∈ Rd, g ∈ G. Trong trường hợp G = O(d), nhóm tất cả ma trận d × d trực giao trên Rd, ta nói quá trình X là luân phiên bất biến và khi G là nhóm con chuẩn của O(d) gồm có hai điểm {−I, I} ta nói X là đối xứng. 1.1.9 Trường ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.33. Trường ngẫu nhiên Trường ngẫu nhiên là sự suy rộng tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên trong đó khoảng thời gian được thay bằng một tập E khác. Giả sử E ∈ B(Rd) và định nghĩa trường ngẫu nhiên trên E là một họ các biến ngẫu nhiên X = (X(y), y ∈ E). Định lý 1.1.34. (Tiêu chuẩn liên tục Kolmogorov) Cho X là một trường ngẫu nhiên trên E và giả sử tồn tại hằng số dương ngặt γ, C và ε sao cho E(|X(y2)−X(y1)|γ) ≤ C|y2 − y1|d+ε với mọi y1, y2 ∈ E. Khi đó tồn tại trường ngẫu nhiên khác X˜ trên E sao cho X˜(y) = X(y) (h.c.c), với mọi y ∈ E và X˜ là liên tục hầu chắc chắn. 28 Chương 1. Quá trình Lévy 1.2 Phân phối khả phân vô hạn 1.2.1 Tích chập các độ đo Cho M1(Rd) là ký hiệu tập tất cả các độ đo xác suất Borel trên Rd. Ta định nghĩa tích chập của hai độ đo xác suất như sau: (µ1 ∗ µ2)(A) = ∫ Rd µ1(A− x)µ2(dx) (1.4) với µi ∈M1(Rd), i = 1, 2, và a ∈ B(Rd), trong đó A− x = {y − x, y ∈ A}. Mệnh đề 1.2.1. Tích chập µ1 ∗ µ2 là một độ đo xác suất trên Rd. Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra tích chập là một độ đo. Đặt (An, n ∈ N) là dãy các tập rời nhau thuộc B(Rd); khi đó với mỗi x ∈ Rd, các phần tử của dãy (An − x, n ∈ N) là rời nhau và (µ1 ∗ µ2) ( ⋃ n∈N An ) = ∫ Rd µ1 [( ⋃ n∈N An ) − x ] µ2(dx) = ∫ Rd µ1 [ ⋃ n∈N (An − x) ] µ2(dx) = ∫ Rd ∑ n∈N µ1(An − x)µ2(dx) = ∑ n∈N ∫ Rd µ1(An − x)µ2(dx) = ∑ n∈N (µ1 ∗ µ2)(An), trong đó việc hoán đổi tổng và tích phân được đảm bảo do sự hội tụ trội. µ1 ∗ µ2 là độ đo xác suất được suy ra dễ dàng nhờ ánh xạ từ Rd vào chính nó cho bởi phép tịnh tiến y → y − x là một song ánh, và vì vậy Rd = Rd − x. Từ mệnh đề trên ta thấy tích chập là một phép toán nhị phân trênM1(Rd). Mệnh đề 1.2.2. Nếu f ∈ Bb(Rd) khi đó với ∀ µi ∈M1(Rd), i=1,2,3, (1) ∫ Rd f(y)(µ1 ∗ µ2)(dy) = ∫ Rd ∫ Rd f(x+ y)µ1(dy)µ2(dx), (2) µ1 ∗ µ2 = µ2 ∗ µ1 (3) (µ1 ∗ µ2) ∗ µ3 = µ1 ∗ (µ2 ∗ µ3). 29 Chương 1. Quá trình Lévy Chứng minh. Chứng minh (1). Ta dễ dàng kiểm tra kết quả đối với hàm chỉ tiêu, với A ∈ B(Rd) và x, y ∈ Rd, 1A(x+ y) = 1A−x(y). Ta mở rộng kết quả cho hàm đơn giản tuyến tính. Kết quả tổng quát được xác định bằng phương pháp xấp xỉ sau. Đặt M = supx∈Rd |f(x)|, cố định ε > 0 và cho n ∈ N, đặt a(n)0 < a(n)1 < · · · < a(n)mn sao cho tập hợp các khoảng {(a(n)i−1, a(n)i ]; 1 ≤ i ≤ mn} phủ [−M,M ] với max1≤i≤mn |a(n)i − a (n) i−1| < ε, với n đủ lớn. Xác định dãy hàm đơn giản fn = ∑mn i=1 a (n) i−11A(n)i , với mỗi A (n) i = f −1((a(n)i−1, a (n) i ]). Khi đó cho n đủ lớn ta có∫ Rd |fn(x)− f(x)|(µ1 ∗ µ2)(dx) ≤ sup x∈Rd |fn(x)− f(x)| = max 1≤i≤mn sup x∈A(n)i |fn(x)− f(x)| < ε. Nếu định nghĩa gn(x, y) = fn(x + y) và g(x, y) = f(x + y) với n ∈ N, x, y ∈ Rd; khi đó lập luận tương tự như trên ta được limn→∞ gn = g trong L1(Rd × Rd, µ1 × µ2). Từ định lý hội tụ trội ta có điều phải chứng minh. Chứng minh (2). Từ (1) sử dụng định lý Fubini ta được∫ Rd f(z)(µ1 ∗ µ2)(dz) = ∫ Rd f(z)(µ2 ∗ µ1)(dz) Lấy f = 1A với A là tập Borel và ta có điều phải chứng minh. Chứng minh (3). Sử dụng định lý Fubini một lần nữa ta thấy cả hai biểu thức đều bằng với ∫ Rd ∫ Rd ∫ Rd f(x+ y + z)µ1(dx)µ2(dy)µ3(dz). Cho X1 và X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ) với phân phối đồng thời p và các phân phối biên duyên tương ứng là µ1 và µ2. Hệ quả 1.2.3. Với f ∈ Bb(Rn), E(f(X1 +X2)) = ∫ Rd f(z)(µ1 ∗ µ2)(dz). Chứng minh. Sử dụng (1) của mệnh đề 1.2.2, E(f(X1 +X2)) = ∫ Rd ∫ Rd f(x+ y)p(dx, dy) = ∫ Rd ∫ Rd f(x+ y)µ1(dx)µ2(dy) = ∫ Rd f(z)(µ1 ∗ µ2)(dz). 30 Chương 1. Quá trình Lévy Từ hệ quả 1.2.3 ta thấy tích chập cho luật phân phối xác suất của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập X1 và X2, tức là P (X1 +X2 ∈ A) = E(1A(X1 +X2)) = (µ1 ∗ µ2)(A). Mệnh đề 1.2.2 cho thấyM1(Rd) là nửa nhóm giao hoán dưới ∗ trong đó phần tử đơn vị được cho bởi độ đo Dirac δ0. Ta nhắc lại dạng tổng quát, cho x ∈ Rd, δx(A) = { 1 nếu x ∈ A, 0 nơi khác, với tập Borel A bất kỳ, vì vậy ta có δ0 ∗ µ = µ ∗ δ0 = µ với ∀ µ ∈M1(Rd). Định nghĩa µ∗ n = µ ∗ · · · ∗ µ (n lần) và µ có căn bậc n tích chập nếu tồn tại một độ đo µ1/n ∈M1(Rd) với (µ1/n)∗n = µ. > Ghi chú Nói chung căn bậc n tích chập của một độ đo xác suất có thể không duy nhất. Tuy nhiên nó luôn duy nhất khi độ đo là khả phân vô hạn. (Xem Sato [10], t.34). 1.2.2 Định nghĩa khả phân vô hạn Cho X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên Rd với luật phân phối µX . X được gọi là khả phân vô hạn nếu với ∀ n ∈ N, tồn tại các biến ngẫu nhiên có phân phối độc lập và đồng nhất (i.i.d.) Y (n) 1 , . . . , Y (n) n sao cho X d = Y (n) 1 + · · ·+ Y (n)n . (1.5) Đặt φX(u) = E(ei(u,X)) ký hiệu hàm đặc trưng của X, với u ∈ Rd. Tổng quát, nếu µ ∈M1(Rd) thì φµ(u) = ∫ Rd e i(u,y)µ(dy). Mệnh đề 1.2.4. Các điều sau đây là tương đương: (1) X là khả phân vô hạn; (2) µX có căn bậc n tích chập là luật phân phối của một biến ngẫu nhiên với mỗi n ∈ N; (3) φX có căn bậc n là hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên với mỗi n ∈ N. Chứng minh. (1)⇒ (2). Luật thông thường của Y (n)j là căn bậc n tích chập cần tìm. (2) ⇒ (3). Đặt Y là một biến ngẫu nhiên với luật phân phối (µX)1/n. Từ mệnh đề 1.2.2(1) ta có với u ∈ Rd, φX(u) = ∫ · · · ∫ ei(u,y1+···+yn)(µX)1/n(dy1) · · · (µX)1/n(dyn) = ψY (u) n 31 Chương 1. Quá trình Lévy trong đó ψY (u) = ∫ Rd e i(u,y)(µX) 1/n(dy), và suy ra điều phải chứng minh. (3) ⇒ (1). Chọn Y (n)1 , · · · , Y (n)n là các bản sao độc lập của các biến ngẫu nhiên cho trước; khi đó ta có E(ei(u,X)) = E(ei(u,Y (n) 1 )) · · ·E(ei(u,Y (n)n )) = E(ei(u,Y (n)1 +···+Y (n)n )), từ đây ta suy ra (1.5). Vậy X là khả phân vô hạn. Từ mệnh đề 1.2.4 (2) ta khái quát định nghĩa của khả phân vô hạn như sau: µ ∈M1(Rd) là khả phân vô hạn nếu nó có căn bậc n tích chập thuộcM1(Rd) với mỗi n ∈ N. 1.2.3 Các ví dụ của khả phân vô hạn Ví dụ 1.2.5 (Biến ngẫu nhiên Gauss). Đặt X = (X1, . . . , Xd) là một vectơ ngẫu nhiên. Ta nói X là (không suy biến) Gauss, hay chuẩn nếu tồn tại một vectơ m ∈ Rd và ma trận A d× d đối xứng xác định dương ngặt sao cho hàm mật độ xác suất (pdf) của X có dạng f(x) = 1 (2pi)d/2 √ det(A) exp [ − 1 2 (x−m,A−1(x−m)) ] , (1.6) với ∀ x ∈ Rd. Trong trường hợp này ta viết X ∼ N(m,A). Vectơ m là trung bình của X, do đó m = E(X). Và A là ma trận hiệp phương sai nên A = E((X − m)(X − m)T ). Tính toán chuẩn thu được φX(u) = exp [ i(m,u)− 1 2 (u,Au) ] , (1.7) do đó [ φX(u) ]1/n = exp [ i( m n , u)− 1 2 (u, 1 n Au) ] , Do vậy X là khả phân vô hạn với Y (n) j ∼ N(m/n, (1/n)A), 1 ≤ j ≤ n. X là phân phối chuẩn khi X ∼ N(0, σ2I) với σ > 0. >Chú ý: Gauss suy biến Giả sử ma trận A chỉ có tính chất xác định dương, khi đó det(A) = 0; trong trường hợp này hàm mật độ (1.3) không tồn tại. Đặt φ(u) = exp [ i(m,u)− 1 2 (u,Au) ] . Trong công thức trên ta thay A bởi A+ (1/n)I và lấy giới hạn khi n→∞. Từ định lý hội tụ Lévy suy ra φ là hàm đặc trưng của độ đo xác suất µ. Một biến ngẫu nhiên X với luật phân phối µ được gọi là một Gauss suy biến, và viết X ∼ N(m,A). 32 Chương 1. Quá trình Lévy Đặt S là ký hiệu không gian con tuyến tính của Rn. S là miền tuyến tính các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác không của A; khi đó hạn chế của A trong S là xác định dương ngặt, do vậy nó liên kết với hàm mật độ Gauss không suy biến có dạng (1.6). Trên S⊥ ta có φ(u) = eimu tương ứng với một biến ngẫu nhiên lấy giá trị m không đổi hầu chắc chắn. Như vậy có thể hiểu Gauss suy biến là phép nhúng Gauss không suy biến vào trong không gian có số chiều lớn hơn. Ví dụ 1.2.6 (Biến ngẫu nhiên Poisson). Trong trường hợp này ta lấy d = 1 và xét một biến ngẫu nhiên X lấy giá trị trong tập n ∈ N ∪ {0}. Ta nói X là Poisson nếu tồn tại c > 0 sao cho P (X = n) = cn n! e−c. Trong trường hợp này ta viết X ∼ pi(c). Ta có E(X) = V ar(X) = c. Khi đó φX(u) = exp[c(e iu − 1)], từ đây suy ra X là khả phân vô hạn với mỗi Y (n) j ∼ pi(c/n), 1 ≤ j ≤ n, n ∈ N. Ví dụ 1.2.7 (Biến ngẫu nhiên Poisson phức hợp). Giả sử (Z(n), n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên có phân phối độc lập và đồng nhất lấy giá trị trong Rd với luật phân phối chung µZ và đặt N ∼ pi(c) là một biến ngẫu nhiên Poisson độc lập của mọi Z(n). Biến ngẫu nhiên Poisson phức hợp X được định nghĩa như sau: X = Z(1) + · · ·+ Z(N) do vậy X là một di động ngẫu nhiên với một số ngẫu nhiên các bước nhảy và được điều khiển bởi biến ngẫu nhiên Poisson N. Mệnh đề 1.2.8. Với u ∈ Rd, φX(u) = exp [ ∫ Rd (ei(u,y) − 1)cµZ(dy) ] . Chứng minh. Đặt φZ là hàm đặc trưng chung của Zn. Ta có φX(u) = ∞∑ n=0 E(exp [i(u, Z(1) + · · ·+ Z(N))]|N = n) P (N = n) = ∞∑ n=0 E(exp [i(u, Z(1) + · · ·+ Z(N))]) e−c c n n! = e−c ∞∑ n=0 [cφZ(u)] n n! = exp[c(φZ(u)− 1)], Thay φZ(u) = ∫ Rd e i(u,y)µZ(dy) ta được điều phải chứng minh. 33 Chương 1. Quá trình Lévy > Ghi chú Ta sử dụng quy ước Z(0) = 0 (h.c.c). Nếu X là Poisson phức hợp như ở trên ta viết X ∼ pi(c, µZ). Khi đó X là khả phân vô hạn với Y (n) j ∼ pi(c/n, µZ), 1 ≤ j ≤ n. 1.2.4 Công thức Lévy-Khintchine Định nghĩa 1.2.9. Độ đo Lévy Cho ν là độ đo Borel xác định trên Rd − {0} = {x ∈ Rd, x 6= 0}. Ta nói ν là độ đo Lévy nếu ∫ Rd−{0} (|y|2 ∧ 1)ν(dy) <∞. (1.8) Vì |y|2 ∧ ε ≤ |y|2 ∧ 1 khi 0 < ε ≤ 1, từ (1.8) suy ra ν((−ε, ε)c) 0. Ta có thể thay (1.8) bởi ∫ Rd−{0} |y|2 1 + |y|2ν(dy) <∞. (1.9) Định lý 1.2.10. (Lévy-Khintchine) µ ∈ M1(Rd) là khả phân vô hạn nếu tồn tại một vectơ b ∈ Rd, ma trận A là ma trận d× d đối xứng xác định dương và độ đo Lévy ν trên Rd − {0} sao cho với mọi u ∈ Rd, φµ(u) = exp { i(b, u)− 1 2 (u,Au) + ∫ Rd−{0} [ ei(u,y) − 1− i(u, y)1Bˆ(y) ] ν(dy) } , (1.10) trong đó Bˆ = B1(0). Ngược lại ánh xạ bất kỳ có dạng (1.10) là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất khả phân vô hạn trên Rd. Chứng minh. Ta chỉ chứng minh phần 2 của định lý; phần đầu sẽ được chứng minh như một kết quả của khai triển Lévy-Itô trong chương 2. Ta chỉ ra vế phải của (1.10) là hàm đặc trưng. Đặt (α(n), n ∈ N) là một dãy trong Rd đơn điệu giảm tới 0 và với ∀ u ∈ Rd, n ∈ N, ta có φn(u) = exp [ i ( b− ∫ [−α(n),α(n)]c∩Bˆ yν(dy), u ) − 1 2 (u,Au) + ∫ [−α(n),α(n)]c (ei(u,y) − 1)ν(dy) ] . Khi đó φn biểu diễn tích chập của một phân phối chuẩn với một phân phối Poisson phức hợp độc lập; do đó φn là hàm đặc trưng của độ đo xác suất µn. Rõ ràng ta có φµ(u) = lim n→∞ φn(u). 34 Chương 1. Quá trình Lévy Từ định lý liên tục Lévy suy ra φµ là hàm đặc trưng. Ta chỉ cần chỉ ra nó liên tục tại 0. Đặt ψµ(u) = ∫ Rd−{0} [ ei(u,y) − 1− i(u, y)1Bˆ(y) ] ν(dy). Ta chứng minh ψµ(u) liên tục tại 0 với mỗi u ∈ Rd, ψµ(u) = ∫ Rd−{0} [ ei(u,y) − 1− i(u, y)1Bˆ(y) ] ν(dy) = ∫ Bˆ [ ei(u,y) − 1− i(u, y)]ν(dy) + ∫ Bˆc (ei(u,y) − 1)ν(dy). Sử dụng định lý Taylor, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, (1.8) và sự hội tụ trội ta được |ψµ(u)| ≤ 1 2 ∫ Bˆ |(u, y)|2ν(dy) + ∫ Bˆc |ei(u,y) − 1|ν(dy) ≤ |u| 2 2 ∫ Bˆ |y|2ν(dy) + ∫ Bˆc |ei(u,y) − 1|ν(dy) → 0 khi u→ 0. Trong phần chứng minh định lý 1.2.10. ta viết lại hàm đặc trưng φµ(u) = e η(u). Khi đó ánh xạ η : Rd → C là ký hiệu Lévy, nó là ký hiệu cho một toán tử giả vi phân. Ta còn gọi η là đặc trưng mũ hay Lévy mũ. Vì ∀ u ∈ Rd, |φµ(u)| ≤ 1 với độ đo xác suất µ bất kỳ và φµ(u) = eη(u); khi đó với µ là khả phân vô hạn ta suy ra <η(u) ≤ 0. Định lý 1.2.11. Ánh xạ η là một ký hiệu Lévy khi và chỉ khi nó là một hàm liên tục, hermit, xác định dương có điều kiện với η(0) = 0. Chứng minh. Giả sử η là một ký hiệu Lévy. Khi dó tồn tại độ đo xác suất µ(t) với t ≥ 0 sao cho φµ(t)(u) = etη(u), u ∈ Rd. Nhưng η liên tục và η(0) = 0. Vì φµ xác định dương nên η là hermit và xác định dương có điều kiện do phép tương ứng Schoenberg. Ngược lại, giả sử η liên tục, hermit và xác định dương có điều kiện với η(0) = 0. Do phép tương ứng Schoenberg (định lý 1.1.26) và định lý Bochner tồn tại độ đo xác suất µ sao cho φµ(u) = e tη(u), với u ∈ Rd. Vì với n ∈ N, η/n là hàm liên tục, hermit và xác định dương có điều kiện khác triệt tiêu tại gốc, ta thấy µ khả phân vô hạn và kéo theo điều phải chứng minh. Định lý 1.2.12. Độ đo xác suất khả phân vô hạn bất kỳ có thể đạt được như là giới hạn yếu của một dãy các phân phối Poisson phức hợp. Chứng minh. Đặt φ là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất khả phân vô hạn bất kỳ µ, do đó φ1/n là hàm đặc trưng của µ1/n; khi đó với n ∈ N, u ∈ Rd, ta định nghĩa φn(u) = exp { n [ φ1/n(u)− 1]} = exp [ ∫ Rd (ei(u,y) − 1)nµ1/n(dy) ] , 35 Chương 1. Quá trình Lévy φn là hàm đặc trưng của một phân phối Poisson phức hợp. Khi đó ta có φn(u) = exp [ n(e(1/n)log[φ(u)] − 1)] = exp { log[φ(u)] + n o ( 1 n )} → φ(u) khi n→∞, trong đó ‘log’ là giá trị cơ bản của lôgarit. Từ định lý Glivenko ta suy ra điều phải chứng minh. Hệ quả 1.2.13. Tập hợp tất cả các độ đo xác suất khả phân vô hạn trên Rd trùng với bao đóng yếu của tập hợp tất cả các phân phối Poisson phức hợp trên Rd. Chứng minh. Được suy ra trực tiếp từ định lý 1.2.12. 1.2.5 Sự chuyển hướng: Lý thuyết số và tương đối Ta sẽ tìm hiểu hai ví dụ lý thú của phân phối khả phân vô hạn. Phân phối Riemann zeta Hàm Riemann zeta ζ được xác định, khởi đầu cho các số phức z = u + iv với u > 1 bởi phép khai triển chuỗi hội tụ tuyệt đối ζ(z) = ∞∑ n=1 1 n2 , khai triển trên tương đương với công thức tích Euler ζ(z) = ∏ p∈P 1 1− p−z , (1.11) P là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Riemann chỉ ra rằng ζ có thể được mở rộng bởi sự mở rộng giải tích thành hàm phân hình trên toàn bộ C, có một cực đơn tại z = 1. Riemann cũng nghiên cứu điểm 0 của ζ và chỉ ra các điểm 0 này tại {−2n, n ∈ N} và trong miền |u| ≤ 1. Giả thiết Riemann nổi tiếng nói rằng mọi lớp cuối đều nằm trên đường thẳng u = 1/2 và câu hỏi đó vẫn chưa có lời giải mặc dù Hardy đã chỉ ra một số vô hạn các điểm 0 có dạng này. Để tìm hiểu kỹ hơn về vấn đề này và các kết quả liên quan tham khảo chương 9 của Patterson [22]. Ta chú ý mối liên hệ giữa hàm Riemann zeta và khả phân vô hạn được khởi xướng bởi Khintchine A.; mặc dù nó được nghiên cứu trước đó bởi Jessen và Wintner [25]. Cố định u ∈ R với u > 1 và định nghĩa φu : R→ C bởi φu(v) = ζ(u+ iv) ζ(u+ i0) , với ∀ v ∈ R. 36 Chương 1. Quá trình Lévy Mệnh đề 1.2.14. (Khintchine) Với mỗi u > 1, φu là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất khả phân vô hạn. Chứng minh. Sử dụng (1.11) và khai triển chuỗi Taylor cho hàm phức log(1 + ω), với |ω| < 1, ta thấy với ∀ ∈ R, log[φu(v)] = log[ζ(u+ iv)]− log[ζ(u+ i0)] = ∑ p∈P log(1− p−u)− ∑ p∈P log(1− p−(u+iv)) = ∑ p∈P ∞∑ m=1 ( p−m(u+iv) m − p −mu m ) = ∑ p∈P ∞∑ m=1 p−mu m (e−im log(p)v − 1) = ∑ p∈P ∞∑ m=1 ∫ R (eiαv − 1)e uα m δm log(p)(dα). Do đó φu là giới hạn của một dãy các hàm đặc trưng của luật phân phối Poisson. Từ định lý Glivenko và định lý liên tục Lévy suy ra φu là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất khả phân vô hạn. Phân phối tương đối Xét một ví dụ bắt nguồn từ thuyết tương đối của Einstein. Một chất điểm khối lượng tĩnh m > 0 có động lượng p = (p1, p2, p3) ∈ R3. Theo thuyết tương đối, năng lượng toàn phần của nó là E(p) = √ m2c4 + c2|p|2, trong đó c > 0 là vận tốc ánh sáng (xem Born [29], t.291) và khi ta trừ đi năng lượng phụ thuộc khối lượng tĩnh mc2 ta được động năng, tức là năng lượng do chuyển động tạo thành, Em,c(p) = √ m2c4 + c2|p|2 −mc2. Định nghĩa φm,c(p) = e −Em,c(p), trong đó để cho tổng quát ta lấy p ∈ Rd. Định lý 1.2.15. φm,c là hàm đặc trưng của một phân phối xác suất khả phân vô hạn. Chứng minh. Từ định lý Bochner ta có φm,c là hàm đặc trưng; ta chỉ cần chứng tỏ nó là xác định dương. Vì Em,c là hermit và bởi sự tương ứng Schoenberg, chứng minh φm,c là xác định dương tương đương với việc chứng minh n∑ i,j=1 αiα¯jEm,c(pi − pj) ≤ 0 37 Chương 1. Quá trình Lévy với ∀n ∈ N, αi ∈ C, pi ∈ Rd, 1 ≤ i ≤ n, với n∑ i=1 αi = 0. Ta có n∑ i,j=1 αiα¯jEm,c(pi − pj) = mc2 n∑ i,j=1 αiα¯j [( 1 + |pi − pj|2 m2c2 )1/2 − 1 ] = mc2 n∑ i,j=1 αiα¯j ( 1 + |pi − pj|2 m2c2 )1/2 ≤ mc2 n∑ i,j=1 αiα¯j ( 1 + |pi − pj|2 m2c2 ) = 1 m n∑ i,j=1 αiα¯j|pi − pj|2 ≤ 0, trong đó khẳng định cuối cùng có được do ánh xạ p→ −|p|2 là ký hiệu Lévy của phân phối chuẩn và do vậy nó là xác định dương có điều kiện. Để kiểm tra độ đo xác suất liên kết là khả phân vô hạn ta có[ φm,c(p) ]1/n = φnm,c/n(p) với ∀p ∈ Rd, n ∈ N. 1.3 Quá trình Lévy Định nghĩa 1.3.1. Một quá trình ngẫu nhiên càdlàg trên không gian xác suất (Ω,F , P) lấy giá trị trên Rd được gọi là một quá trình Lévy nếu: (L1) X(0) = 0 hầu chắc chắn. (L2) Tính chất số gia dừng: X(t+ s)−X(t) không phụ thuộc t, nghĩa là X(t+ s)− X(t) d = X(s). (L3) Tính chất số gia độc lập: Với mỗi n ∈ N và mỗi 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn < ∞ các biến ngẫu nhiên X(t0), X(t1)−X(t0), . . . , X(tn)−X(tn−1) độc lập nhau. (L4) Liên tục ngẫu nhiên: Cho ∀a > 0 và ∀s ≥ 0, lim t→s P (|X(t)−X(s)| > a) = 0. Chú ý rằng (L1), (L2), (L3) và (L4) tương đương với điều kiện lim t↓0 P (|X(t)| > a) = 0 với ∀a > 0. Ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa quá trình Lévy và phân phối khả phân vô hạn. Mệnh đề 1.3.2. Nếu X là một quá trình Lévy, khi đó X(t) có phân phối khả phân vô hạn với mỗi t ≥ 0. 38 Chương 1. Quá trình Lévy Chứng minh. Cho mỗi n ∈ N, ta có thể viết X(t) = Y (n) 1 (t) + · · ·+ Y (n)n (t) trong đó Y (n) k (t) = X ( kt n ) −X ( (k − 1)t n ) . Y (n) k (t) có phân phối độc lập và đồng nhất do (L2),(L3). Từ mệnh đề 1.3.2, ta có thể viết φX(t)(u) = e η(t,u) với t ≥ 0, u ∈ Rd, trong đó mỗi η(t, ·) là một ký hiệu Lévy. Bổ đề 1.3.3. Nếu quá trình X = (X(t), t ≥ 0) là liên tục ngẫu nhiên, khi đó ánh xạ t −→ φX(t)(u) liên tục với mỗi u ∈ Rd. Chứng minh. Cho s, t ≥ 0 với t 6= s, viết X(s, t) = X(t) −X(s). Cố định u ∈ Rd. Vì ánh xạ y −→ ei(u,y) liên tục tại điểm gốc, cho trước ε > 0 bất kỳ ta tìm được δ1 > 0 sao cho sup 0≤|y|<δ1 |ei(u,y) − 1| < ε 2 và do tính liên tục ngẫu nhiên, ta tìm được δ2 > 0 sao cho khi 0 < |t − s| < δ2 thì P (|X(s, t)| > δ1) < ε/4. Do đó cho mọi 0 < |t− s| < δ2 ta có |φX(t)(u)− φX(s)(u)| = ∣∣∣∣∫ Ω ei(u,X(s)(ω)) [ ei(u,X(s,t)(ω)) − 1]P (dω)∣∣∣∣ ≤ ∫ Rd |ei(u,y) − 1|pX(s,t)(dy) = ∫ Bδ1 (0) |ei(u,y) − 1|pX(s,t)(dy) + ∫ Bδ1 (0) c |ei(u,y) − 1|pX(s,t)(dy) ≤ sup 0≤|y|<δ1 |ei(u,y) − 1|+ 2P (|X(s, t)| > δ1) < ε. Định lý 1.3.4. Nếu X là một quá trình Lévy, khi đó φX(t)(u) = e tη(u) với u ∈ Rd, t ≥ 0, trong đó η là ký hiệu Lévy của X(1). Chứng minh. Giả sử X là một quá trình Lévy. Với mỗi u ∈ Rd, t ≥ 0. Đặt φu(t) = φX(t)(u). Từ (L2), (L3) với mọi s ≥ 0 φu(t+ s) = E(ei(u,X(t+s))) = E(ei(u,X(t+s)−X(s))ei(u,X(s))) = E(ei(u,X(t+s)−X(s)))E(ei(u,X(s))) = φu(t)φu(s) (1.12) 39 Chương 1. Quá trình Lévy Do đó φu(0) = 1 (1.13) Do (L1), (L4) và bổ đề 1.3.3 ta có ánh xạ t −→ φu(t) liên tục. Tuy nhiên, nghiệm đơn trị liên tục của (1.12), (1.13) được cho bởi φu(t) = e tα(u), trong đó α : Rd → C. Do mệnh đề 1.3.2, X(1) có phân phối khả phân vô hạn, do đó α là một ký hiệu Lévy và ta suy ra điều phải chứng minh. Ta có công thức Lévy-Khinchine với một quá trình Lévy X = (X(t), t ≥ 0), E(ei(u,X(t))) = exp ( t { i(b, u)− 1 2 (u,Au) + ∫ Rd−{0} [ ei(u,y) − 1− i(u, y)1Bˆ(y) ] ν(dy) }) (1.14) với mỗi t ≥ 0, u ∈ Rd, trong đó (b, A, ν) là bộ ba đặc trưng của X(1). Ví dụ 1.3.5. Cho X = (X(t), t ≥ 0) và Y = (Y (t), t ≥ 0) là hai quá trình Lévy độc lập với bộ ba đặc trưng (b1, A1, ν1) và (b2, A2, ν2) Khi đó X+Y = (X(t)+Y (t), t ≥ 0) là một quá trình Lévy với bộ ba đặc trưng (b, A, ν) trong đó b = b1 + b2 − ∫ [− √ 2,−1]∪[1, √ 2] yν(dy), A = A1 + A2, ν(B) = ν1(B) + ν2(B) ∀B ∈ B(R). Định lý 1.3.6. Cho X = (X(t), t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên. Giả sử có một dãy các quá trình Lévy (Xn, n ∈ N) với mỗi Xn = (Xn(t), t ≥ 0) sao cho Xn(t) hội tụ theo xác suất tới X(t) với mỗi t ≥ 0 và limn→∞limsupt→0P (|Xn(t) −X(t)| > a) = 0 với mọi a > 0, khi đó X là một quá trình Lévy. Chứng minh. Dãy (Xn(0), n ∈ N) có một dãy con hội tụ tới 0 hầu chắc chắn. Từ đó ta suy ra (L1). Ta có các số gia dừng được suy ra từ nhận xét sau: với mỗi u ∈ Rd, 0 ≤ s < t <∞, E(ei(u,X(t)−X(s))) = lim n→∞ E(ei(u,Xn(t)−Xn(s))) = lim n→∞ E(ei(u,Xn(t−s))) = E(ei(u,X(t−s))), trong đó sự hội tụ của hàm đặc trưng được suy ra từ lập luận trong phần chứng minh của bổ đề 1.3.3. Tính độc lập của các số gia được chứng minh tương tự. Khi đó ta được (L2), (L3). Cuối cùng, để có (L4), với mỗi a > 0, t ≥ 0, n ∈ N P (|X(t)| > a) ≤ P (|X(t)−Xn(t)|+ |Xn(t)| > a) ≤ P ( |X(t)−Xn(t)| > a 2 ) + P ( |Xn(t)| > a 2 ) 40 Chương 1. Quá trình Lévy và do đó lim sup t→0 P (|X(t)| > a) ≤ lim sup t→0 P ( |X(t)−Xn(t)| > a 2 ) + lim sup t→0 P ( |Xn(t)| > a 2 ) . (1.15) Vì mỗi Xn là một quá trình Lévy nên lim sup t→0 P ( |Xn(t)| > a 2 ) = lim t→0 P ( |Xn(t)| > a 2 ) = 0, Và lấy limn→∞ trong (1.15) ta được (L4). 1.3.1 Các quá trình phụ thuộc Một quá trình phụ thuộc là quá trình Lévy một chiều tăng hầu chắc chắn. Các quá trình đó được xem như một mô hình biến đổi theo thời gian. Một cách tương đương, cho T là một quá trình phụ thuộc, bộ ba đặc trưng của nó thỏa ν(−∞, 0) = 0, A = 0, ∫ (0,1) yν(dy) <∞ và γ = b− ∫ (0,1) yν(dy) > 0. Vì T = (T (t), t ≥ 0) là một quá trình phụ thuộc, ta có T (t) ≥ 0 h.c.c với ∀t > 0 và T (t1) ≤ T (t2) h.c.c khi t1 ≤ t2. Cho X(t) ∼ N(0, At) ta có P (X(t) ≥ 0) = P (X(t) ≤ 0) = 1/2, rõ ràng một quá trình như vậy không phải là quá trình phụ thuộc. Tổng quát hơn ta có Định lý 1.3.7. Nếu T là một quá trình phụ thuộc, khi đó ký hiệu Lévy của nó có dạng η(u) = iγu+ ∫ ∞ 0 (eiuy − 1)ν(dy), (1.16) trong đó γ ≥ 0 và độ đo Lévy ν thỏa điều kiện ν(−∞, 0) = 0 và ∫ ∞ 0 (y ∧ 1)ν(dy) <∞. Ngược lại, bất kỳ ánh xạ từ Rd → C có dạng (1.16) là ký hiệu Lévy của quá trình phụ thuộc. Ta gọi (γ, 0, ν) là bộ ba đặc trưng của quá trình phụ thuộc T. Đặt f ∈ C∞((0,∞)) với f ≥ 0. Ta nói f là đơn điệu khắp nơi nếu (−1)nf (n) ≥ 0 với mọi n ∈ N và f là hàm Bernstein nếu (−1)nf (n) ≤ 0 với mọi n ∈ N. Khi đó ta có: 41 Chương 1. Quá trình Lévy Định lý 1.3.8. (1) f là một hàm Bernstein khi và chỉ khi ánh xạ x → e−tf(x) đơn điệu khắp nơi với mọi t ≥ 0. (2) f là một hàm Bernstein khi và chỉ khi nó có biểu diễn f(x) = a+ bx+ ∫ ∞ 0 (1− e−yx)ν(dy) với mọi x > 0, trong đó a, b ≥ 0 và ∫∞ 0 (y ∧ 1)ν(dy) <∞. (3) g đơn điệu khắp nơi khi và chỉ khi tồn tại một độ đo µ trên [0,∞) sao cho g(x) = ∫ ∞ 0 e−xyµ(dy). Ta định nghĩa quá trình TS = (TS(t), t ≥ 0) lấy giá trị trong R+ ∪ {∞} cho bởi biểu thức TS(t) = { T (t) với 0 ≤ t < S, ∞ với t ≥ S. Ta gọi quá trình trên là quá trình phụ thuộc triệt tiêu. Mệnh đề 1.3.9. Có sự tương ứng 1 − 1 giữa quá trình phụ thuộc triệt tiêu T (S) và hàm Bernstein f , cho bởi E(e−uTs(t)) = e−tf(u) với mỗi t, u ≥ 0. Chứng minh. Do tính độc lập ta có E(e−uTs(t)) = E(e−uTs(t)1[0,S)(t)) + E(e−uTs(t)1[S,∞)(t)) = E(e−uT (t))P (S ≥ t) = e−t[ϕ(u)+a], trong đó ta chấp nhận quy ước e−∞ = 0. Một trong những ứng dụng xác suất quan trọng nhất của quá trình phụ thuộc là "sự thay đổi thời gian". Cho X là một quá trình Lévy bất kỳ và T là quá trình phụ thuộc cùng xác định trên một không gian xác suất sao cho X và T độc lập. Ta có thể định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên mới Z = (Z(t), t ≥ 0) theo công thức sau Z(t) = X(T (t)) với mỗi t ≥ 0. Vì vậy với mỗi ω ∈ Ω thì Z(t)(ω) = X(T (t)(ω))(ω). Khi đó ta có định lý sau Định lý 1.3.10. Z là một quá trình Lévy. 42 Chương 1. Quá trình Lévy Chứng minh. (L1) là hiển nhiên. Để chứng minh (L2) ta chứng minh tính chất số gia dừng. Cho 0 ≤ t1 < t2 <∞ và tập A ∈ B(Rd). Ký hiệu pt1,t2 là luật phân phối xác suất đồng thời của T (t1) và T (t2). Khi đó vì X và T độc lập với nhau và tính chất số gia dừng của X ta có P (Z(t2)− Z(t1) ∈ A) = P (X(T (t2))−X(T (t1)) ∈ A) = ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 P (X(s2)−X(s1) ∈ A) pt1,t2(ds1, ds2) = ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 P (X(s2 − s1) ∈ A) pt1,t2(ds1, ds2) = P (Z(t2 − t1) ∈ A). Để chứng minh (L3)(tính chất số gia độc lập), cho 0 ≤ t1 < t2 < t3 < ∞. Ký hiệu pt1,t2,t3 là luật phân phối xác suất đồng thời của T (t1), T (t2) và T (t3). Với y ∈ Rd bất kỳ, hy : R+ → C xác định bởi hy(s) = E(ei(y,X(s))). Với y1, y2 ∈ Rd bất kỳ, fy1,y2 : R+ × R+ × R+ → C xác định bởi fy1,y2(u1, u2, u3) = E(exp[i(y1, X(u2)−X(u1))])× E(exp[i(y1, X(u3)−X(u2))]), với 0 ≤ u1 < u2 < u3 <∞. Do X và T độc lập nhau và tính chất số gia độc lập của X ta có E(exp {i[(y1, Z(t2)− Z(t1)) + (y2, Z(t3)− Z(t2))]}) = E(fy1,y2(T (t1), T (t2), T (t3))). Vì X có số gia độc lập nên fy1,y2(u1, u2, u3) = hy1(u2 − u1)hy2(u3 − u2) với mỗi 0 ≤ u1 < u2 < u3 <∞. Do tính chất số gia độc lập của T ta có E(exp {i[(y1, Z(t2)− Z(t1)) + (y2, Z(t3)− Z(t2))]}) = E(hy1(T2 − T1)hy2(T3 − T2)) = E(hy1(T2 − T1))E(hy2(T3 − T2)) = E(exp[i(y1, Z(t2 − t1))])E(exp[i(y2, Z(t3 − t2))]). Ta chứng minh (L4). Vì X và T liên tục ngẫu nhiên, với mỗi a ∈ Rd, cho trước  > 0 bất kỳ khi đó ta tìm được δ > 0 sao cho 0 a) 0 sao cho 0 < h < δ ′ ⇒ P (|X(h)| > a) < ε/2. Với mọi t ≥ 0 và mọi 0 ≤ h < min{δ, δ′}, ta có P (|Z(h)| > a) = P (|X(T (h))| > a) = ∫ ∞ 0 P (|X(u)| > a) pT (h)(du) = ∫ [0,δ) P (|X(u)| > a) pT (h)(du) + ∫ [δ,∞) P (|X(u)| > a) pT (h)(du) ≤ sup 0≤u<δ P (|X(u)| > a) + P (T (h) ≥ δ) < ε 2 + ε 2 = ε. 43 Chương 1. Quá trình Lévy Mệnh đề 1.3.11. Giả sử ηZ là ký hiệu Lévy của quá trình phụ thuộc Z. Khi đó ηZ = −ψT ◦ (−ηX). Chứng minh. Với mỗi u ∈ Rd, t ≥ 0, E(eiηZ(t)(u)) = E(ei(u,X(T (t)))) = ∫ ∞ 0 E(ei(u,X(s))) pT (t)(ds) = ∫ ∞ 0 e−s(−ηX(u)) pT (t)(ds) = E(e−ηX(u)T (t)) = e−tψT (−ηX(u)). Định lý 1.3.12. Với mỗi u ∈ Rd, ηZ(u) = bηX(u) + ∫ Rd (ei(u,y) − 1)mX,T (dy) Chứng minh. Từ mệnh đề 1.3.11 và định lý Fubini ta có ηZ(u) = bηX(u) + ∫ ∞ 0 (esηX(u) − 1)ν(ds) = bηX(u) + ∫ ∞ 0 [E(ei(u,X(s)))− 1]ν(ds) = bηX(u) + ∫ ∞ 0 ∫ Rd (ei(u,y) − 1) pX(s)(dy)ν(ds) = bηX(u) + ∫ Rd (ei(u,y) − 1)mX,T (dy) 1.3.2 Các ví dụ của quá trình Lévy Chuyển động Brown >Lịch sử của chuyển động Brown Lịch sử của chuyển động Brown bắt đầu năm 1828 khi nhà thực vật học người Scotland Robert Brown quan sát các hạt phấn hoa ở trạng thái lơ lửng nổi trên mặt nước dưới kính hiển vi và ông thấy các hạt phấn hoa nhỏ chạy theo chuyển động hằng bất thường. Lặp lại thí nghiệm với các hạt bụi, ông kết luận chuyển động do các hạt phấn hoa là tồn tại nhưng nguồn gốc của chuyển động vẫn chưa được lý giải. Năm 1900, người đầu tiên đưa ra lý thuyết của chuyển động Brown là Louis Bachelier, ông xem chuyển động Brown như một mô hình cho giá thị trường cổ phiếu. Mô hình Bachelier là luận án tiến sĩ của ông. Ở thời điểm đó đề tài đã không được đánh giá cao. Năm 1905 Albert Einstein xem chuyển động Brown như một mô hình các hạt lơ lửng. 44 Chương 1. Quá trình Lévy Ông là người đầu tiên lý giải được nguồn gốc của chuyển động Brown. Theo ông nếu thuyết động lực học của chất lỏng đúng thì các phân tử nước sẽ chuyển động một cách ngẫu nhiên. Do đó một hạt nhỏ sẽ nhận được một số lần ngẫu nhiên tác động của lực ngẫu nhiên từ các phương ngẫu nhiên trong khoảng thời gian ngắn bất kỳ. Sự va đập này làm cho một hạt đủ nhỏ chuyển động đúng theo cách mà Brown mô tả. Eistein cũng dùng nó để ước lượng số Avogadro. Năm 1923 Norbert Wiener định nghĩa và xây dựng chuyển động Brown một cách chặt chẽ lần đầu tiên. Quá trình ngẫu nhiên này được lấy tên là quá trình Wiener để tỏ lòng tôn kính ông. Cùng với sự nghiên cứu của Samuelson (1965) mà chuyển động Brown một lần nữa lại xuất hiện như một công cụ mô phỏng trong tài chính. Hình 1.1 Quỹ đạo của một chuyển động Brown Một chuyển động Brown (tiêu chuẩn) trong Rd là một quá trình Lévy B = (B(t), t ≥ 0) với B(1) B(t) ∼ N(0, tI) với t ≥ 0, B(2) B có quỹ đạo mẫu liên tục. 45 Chương 1. Quá trình Lévy Từ B(1) ta suy ra nếu B là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, khi đó hàm đặc trưng của nó cho bởi φB(t)(u) = exp ( − 1 2 t|u|2 ) với u ∈ Rd, t ≥ 0. Ta giới thiệu các quá trình biên Bi = (Bi(t), t ≥ 0), với mỗi Bi(t) là thành phần thứ i của B(t); khi đó ta có Bi là các chuyển động Brown độc lập lẫn nhau trong R. Ta quy các chuyển động này về chuyển động Brown một chiều. Có nhiều phương pháp hay để xây dựng chuyển động Brown, một trong số những phương pháp thú vị nhất được đề xướng bởi Paley và Wiener [17] thu được chuyển động Brown trong trường hợp d = 1 như một chuỗi Fourier ngẫu nhiên: B(t) = √ 2 pi ∞∑ n=0 sin[pit(n+ 1 2 )] n+ 1 2 ξ(n) với t ≥ 0 và (ξ(n), n ∈ N ∪ {0}) là một dãy các biến ngẫu nhiên N(0, 1) có phân phối độc lập và thuần nhất; xem chương 1 Knight [19]. Một cách xây dựng chuyển động Brown từ quan sát một điểm wavelet trong Steele [12], t.35− 39. Ta liệt kê một số tính chất có ích của chuyển động Brown trong trường hợp d = 1 : • Chuyển động Brown liên tục Ho¨lder địa phương với số mũ α (mọi 0 < α < 1/2), tức là cho mọi T > 0, ω ∈ Ω, tồn tại K = K(T, ω) sao cho |B(t)(ω)−B(s)(ω)| ≤ K|t− s|α với mọi 0 ≤ s < t ≤ T. • Quỹ đạo mẫu t→ B(t)(ω) là không đâu khả vi hầu chắc chắn. • Với dãy bất kỳ (tn, n ∈ N) thuộc R+ với tn ↑ ∞, lim inf n→∞ B(tn) = −∞ h.c.c, lim sup n→∞ B(tn) =∞ h.c.c. • Luật lôgarit lặp, P ( lim sup t↓0 B(t) {2t log[ log(1/t)]}1/2 = 1 ) = 1 Chứng minh các tính chất trên tham khảo Sato [10], t.22 − 28, Revuz & Yor [20], Karatzas & Shreve [18], Knight [19]. Cho A là một ma trận d× d đối xứng xác định dương và cho σ là căn bậc hai của A, do đó σ là ma trận d×m với σσT = A. Cho b ∈ Rd và B là một chuyển động Brown trong Rm. Ta xây dựng một quá trình C = (C(t), t ≥ 0) trong Rd bởi C(t) = bt+ σB(t); 46 Chương 1. Quá trình Lévy khi đó C là một quá trình Lévy với C(t) ∼ N(tb, tA). Ta có C cũng là một quá trình Gauss, tức là mọi phân phối hữu hạn chiều của nó là Gauss. C còn được gọi là chuyển động Brown với độ dịch chuyển. Ký hiệu Lévy của C là ηC(u) = i(b, u)− 1 2 (u,Au). Trường hợp b = 0, ta viết BA(t) = C(t), với t ≥ 0 và gọi quá trình đó là chuyển động Brown với hiệp phương sai A. Quá trình Poisson Quá trình Poisson là quá trình Lévy đơn giản nhất. Nó dựa trên phân phối Poisson(λ), λ > 0, có hàm đặc trưng φPoisson(u; λ) = exp(λ(exp(iu)− 1)). Phân phối Poisson dựa trên các số nguyên {0, 1, 2, . . .}; khối lượng xác suất tại điểm j bằng exp(−λ)λ j j! . Hình 1.2 Quỹ đạo của một quá trình Poisson 47 Chương 1. Quá trình Lévy Vì phân phối Poisson(λ) là khả phân vô hạn, ta có thể định nghĩa một quá trình Poisson N = {Nt, t ≥ 0} với tham số cường độ λ > 0 như một quá trình bắt đầu tại điểm gốc, có gia số dừng và độc lập; trong đó gia số trên khoảng thời gian có độ dài s > 0 theo phân phối Poisson(λs). Quá trình Poisson là một quá trình nhảy thuần túy tăng với các cỡ nhảy luôn bằng 1. Khi đó bộ ba Lévy của quá trình Poisson là [0, 0, λδ(1)], trong đó δ(1) ký hiệu độ đo Dirac tại điểm 1, tức là độ đo với khối lượng là 1 tại điểm 1. Thời điểm giữa hai bước nhảy liên tiếp theo một phân phối mũ với trung bình λ−1, tức là luật phân phối Gamma(1, λ). Ta có trung bình và phương sai của phân phối Poisson với tham số λ đều bằng λ. Poisson(λ) Trung bình λ Phương sai λ Hệ số lệch 1/ √ λ Độ nhọn 3 + λ−1 Quá trình Poisson phức hợp Giả sử N = {Nt, t ≥ 0} là một quá trình Poisson với tham số cường độ λ > 0. Dãy Zi, i = 1, 2, . . . , là một dãy i.i.d. (có phân phối độc lập và đồng nhất) các biến ngẫu nhiên độc lập của N theo luật phân phối L với hàm đặc trưng φZ(u). Khi đó ta nói Xt = Nt∑ k=1 Zi, t ≥ 0, là một quá trình Poisson phức hợp. Giá trị của quá trình Xt tại thời điểm t là tổng của các số ngẫu nhiên Nt với luật phân phối L. Hàm phân phối (cho một tập Borel A) với luật phân phối L là: P (Zi ∈ A) = ν(A) λ , trong đó ν(R) = λ <∞. Khi đó hàm đặc trưng của Xt cho bởi E[exp(iuXt)] = ∫ +∞ −∞ (exp(iux)− 1)ν(dx) ) = exp(tλ(φZ(u)− 1)). Từ đây ta có bộ ba Lévy: [ ∫ +1 −1 xν(dx), 0, ν ] . 48 Chương 1. Quá trình Lévy Hình 1.3 Quỹ đạo của một quá trình Poisson phức hợp Quá trình Gamma Hàm mật độ của phân phối Gamma, Gamma(a, b) với tham số a > 0 và b > 0 cho bởi fGamma(x; a, b) = ba Γ(a) xa−1 exp(−xb), x > 0. Rõ ràng hàm mật độ có một đuôi (bên phải) nửa nặng. Hàm đặc trưng cho bởi φGamma(u; a, b) = (1− iu/b)−a. Hàm đặc trưng của phân phối Gamma là khả phân vô hạn. Quá trình Gamma X(Gamma) = {X(Gamma)t , t ≥ 0} với các tham số a, b > 0 được định nghĩa như một quá trình bắt đầu tại điểm gốc và có số gia được phân phối Gamma dừng và độc lập. Chính xác hơn, thời điểm vào tham số đầu tiên: X (Gamma) t theo phân phối Gamma(at, b). Bộ ba Lévy của quá trình Gamma cho bởi [a(1− exp(−b))/b, 0, a exp(−bx)x−11(x>0)dx]. Tính chất sau của phân phối Gamma được suy dễ dàng từ hàm đặc trưng: 49 Chương 1. Quá trình Lévy Gamma(a, b) Trung bình a/b Phương sai a/b2 Hệ số lệch 2a−1/2 Độ nhọn 3(1 + 2a−1) Quá trình Inverse Gaussian (Quá trình IG) Đặt T (a,b) là thời điểm đầu tiên mà một chuyển động Brown tiêu chuẩn với độ dịch chuyển b > 0, {Bs + bs, s ≥ 0} tới mức a > 0. Thời điểm ngẫu nhiên này dẫn tới luật phân phối Inverse Gaussian, IG(a, b) và có hàm đặc trưng φIG(u; a, b) = exp(−a( √ −2iu+ b2 − b)). Ta có phân phối IG là khả phân vô hạn và ta định nghĩa quá trình IG X(IG) = {X(IG)t , t ≥ 0}, với tham số a, b > 0 như một quá trình bắt đầu tại điểm gốc, có số gia dừng và độc lập sao cho E[exp(iuX(IG)t )] = φIG(u; at, b) = exp(−at( √ −2iu+ b2 − b)). Hàm mật độ của luật phân phối IG: fIG(x; a, b) = a√ 2pi exp(ab)x−3/2 exp(−1 2 (a2x−1 + b2x)), x > 0. Độ đo Lévy của luật phân phối IG(a, b) cho bởi νIG = (2pi) −1/2ax−3/2 exp(−1 2 b2x)1(x>0)dx, và thành phần đầu tiên của bộ ba Lévy bằng γ = a b ( 2N(b)− 1), trong đó N(x) = ∫ x −∞ fChuẩn(u; 0, 1)du là hàm phân phối chuẩn. Hàm mật độ là một mốt tại ( √ 4a2b2 + 9− 3)/(2b2). Nếu X suy ra luật phân phối IG(a, b), ta có E[X−α] = ( b a )2α+1 E[Xα+1], α ∈ R. IG(a, b) Trung bình a/b Phương sai a/b3 Hệ số lệch 3(ab)−1/2 Độ nhọn 3(1 + 5(ab)−1) 50 Chương 1. Quá trình Lévy Quá trình Tempered Stable (Quá trình TS) Hàm đặc trưng của luật phân phối Tempered Stable, TS(κ, a, b), a > 0, b ≥ 0 và 0 < κ < 1, cho bởi φTS(u;κ, a, b) = exp(ab− a(b1/κ − 2iu)κ). Phân phối này là khả phân vô hạn và ta có thể định nghĩa quá trình TS X(TS) = {X(TS)t , t ≥ 0} như một quá trình bắt đầu tại điểm gốc, có số gia dừng và độc lập; trong đó gia số X (TS) s+t −X(TS)s trên khoảng thời gian [s, t+ s] theo luật phân phối TS(κ, ta, b). Từ hàm đặc trưng ta có thể suy ra độ đo Lévy của quá trình TS: νTS = a2 κ κ Γ(1− κ)x −κ−1 exp(−1 2 b1/κx)1{x>0}dx. Quá trình có hoạt động vô hạn. Số hạng đầu tiên của bộ ba Lévy cho bởi γ = a2κ κ Γ(1− κ) ∫ 1 0 x−κ exp(−1 2 b1/κx)dx. Hàm mật độ không có dạng thông thường, chỉ có biểu diễn chuỗi sau: fTS(x;κ, a, b) = exp(ab) exp(−1 2 b1/κx) × 1 2pia1/κ ∞∑ k=1 (−1)k−1 sin(kpiκ)Γ(kκ+ 1) k! 2kκ+1 ( x a1/κ )−kκ−1 . Ta tính được các đặc trưng sau: TS(κ, a, b) Trung bình 2aκb (κ−1) κ Phương sai 4aκ(1− κ)b (κ−2)κ Hệ số lệch (κ− 2)(abκ(1− κ))−1/2 Độ nhọn 3 + (4κ− 6− κ(1− κ))(abκ(1− κ))−1 FTrường hợp đặc biệt >Phân phối IG(a, b). Cho κ = 1/2 phân phối TS(κ, a, b) quy về phân phối IG(a, b). >Phân phối Gamma(a, b). Trường hợp giới hạn, cho κ → 0 ta được phân phối Gamma(a, b). 51 Chương 1. Quá trình Lévy Quá trình Variance Gamma (Quá trình VG) Hàm đặc trưng của luật phân phối VG(σ, ν, θ) cho bởi φVG(u;σ, ν, θ) = (1− iuθν + 1 2 σ2νu2)−1/ν Phân phối này là khả phân vô hạn và ta có thể định nghĩa quá trình VG X(VG) = {X(VG)t , t ≥ 0} như một quá trình bắt đầu tại điểm gốc, có số gia dừng và độc lập; trong đó gia số X (VG) s+t − X(VG)s trên khoảng thời gian [s, t + s] theo luật phân phối VG(σ √ t, ν/t, tθ), E[exp(iuX(VG)t )] = φVG(u;σ √ t, ν/t, tθ) = (φVG(u;σ, ν, θ)) t = (1− iuθν + 1 2 σ2νu2)−t/ν . Madan et al. [11] chỉ ra quá trình VG có thể được biểu diễn như hiệu của hai quá trình Gamma độc lập. Tính chất này suy ra độ đo Lévy được xác định: νVG(dx) = { C exp(Gx)|x|−1dx, x < 0, C exp(−Mx)x−1dx, x > 0, trong đó C = 1/ν > 0, G = ( √ 1 4 θ2ν2 + 1 2 σ2ν − 1 2 θν)−1 > 0, M = ( √ 1 4 θ2ν2 + 1 2 σ2ν + 1 2 θν)−1 > 0. Với tham số hóa này, rõ ràng ta có X (VG) t = G (1) t −G(2)t trong đó G(1) = {G(1)t , t ≥ 0} là một quá trình Gamma với tham số a = C và b = M và G(2) = {G(2)t , t ≥ 0} là một quá trình Gamma độc lập với tham số a = C và b = G. Độ đo Lévy có khối lượng vô hạn, do đó một quá trình VG có nhiều bước nhảy vô hạn trong khoảng thời gian hữu hạn bất kỳ. Vì∫ 1 −1 |x|νVG(dx) <∞, quá trình VG có quỹ đạo của biến phân hữu hạn. Quá trình Lévy có 0 thành phần Brown và bộ ba Lévy của nó được cho bởi [γ, 0, νVG], trong đó γ = −C(G(exp(−M)− 1)−M(exp(−G)− 1)) MG . 52 Chương 1. Quá trình Lévy Với việc tham số hóa các số hạng của C, G và M , hàm đặc trưng của X (VG) 1 đọc như sau: φVG(u;C,G,M) = ( GM GM + (M −G)iu+ u2 )C Trong biểu diễn trên ta sẽ chỉ ra phân phối bởi VG(C,G,M). Một phương pháp khác để định nghĩa quá trình VG là xem nó như chuyển động Brown thay đổi theo thời gian với độ dịch chuyển. Chính xác hơn, đặt G = {Gt, t ≥ 0} là một quá trình Gamma với tham số a = 1/ν > 0 và b = 1/ν > 0. Đặt B = {Bt, t ≥ 0} là ký hiệu chyển động Brown tiêu chuẩn. Cho σ > 0 và θ ∈ R; khi đó quá trình VG X(VG) = {X(VG)t , t ≥ 0}, với các tham số σ > 0, ν > 0 và θ có thể được định nghĩa cách khác như sau X (VG) t = θGt + σBGt . Khi θ = 0, khi đó G = M và phân phối là đối xứng. Giá trị âm của θ dẫn tới trường hợp G < M , kết quả cho hệ số lệch âm. Tương tự, tham số ν = 1/C chủ yếu điều chỉnh độ nhọn: VG(σ, ν, θ) VG(σ, ν, 0) Trung bình θ 0 Phương sai σ2 + νθ2 σ2 Hệ số lệch θν(3σ2 + 2νθ2)/(σ2 + νθ2)3/2 0 Độ nhọn 3(1 + 2ν − νσ4(σ2 + νθ2)−2) 3(1 + ν) Bảng trên được viết lại theo các tham số CGM như sau: VG(C,G,M) VG(C,G,G) Trung bình C(G−M)/(MG) 0 Phương sai C(G2 +M2)/(MG)2 2CG−2 Hệ số lệch 2C−1/2(G3 −M3)/(G2 +M2)3/2 0 Độ nhọn 3(1 + 2C−1(G4 +M4)/(M2 +G2)2) 3(1 + C−1) Quá trình Normal Inverse Gaussian (Quá trình NIG) Phân phối Normal Inverse Gaussian (NIG) với tham số α > 0, −α 0, NIG(α, β, δ) có hàm đặc trưng (xem Barndorff-Nielsen (1995) [52]) cho bởi φNIG(u;α, β, δ) = exp(−δ( √ α2 − (β + iu)2 − √ α2 − β2)). Rõ ràng đây là một hàm đặc trưng khả phân vô hạn. Do đó ta có thể định nghĩa quá trình NIG X(NIG) = {X(NIG)t , t ≥ 0} với X (NIG) 0 = 0 và các số gia có phân phối NIG dừng và độc lập. Để chính xác hơn ta nói X (NIG) t có một luật phân phối NIG(α, β, tδ). 53 Chương 1. Quá trình Lévy Độ đo Lévy của quá trình NIG cho bởi νNIG = δα pi exp(βx)K1(α|x|) |x| dx, trong đó Kλ(x) = 1 2 ∫ ∞ 0 uλ−1 exp { − 1 2 z(u+ u−1) } du, x > 0, là hàm Bessel mở rộng dạng thứ ba với chỉ số λ. Quá trình NIG có 0 thành phần Brown và bộ ba Lévy cho bởi [γ, 0, νNIG], trong đó γ = 2δα pi ∫ 1 0 sinh(βx)K1(αx)dx. Hàm mật độ của phân phối NIG(α, β, δ) cho bởi fNIG(x;α, β, δ) = αδ pi exp(δ √ α2 − β2 + βx)K1(α √ δ2 + x2√ δ2 + x2 Ta có thể liên hệ quá trình NIG với một chuyển động Brown Inverse Gaussian thay đổi theo thời gian. Đặt B = {Bt, t ≥ 0} là một chuyển động Brown tiêu chuẩn và đặt I = {It, t ≥ 0} là một quá trình IG với tham số a = 1 và b = δ √ α2 − β2, với α > 0, −α < β < α và δ > 0; khi đó ta có quá trình ngẫu nhiên Xt = βδ 2It + δBIt là một quá trình NIG với tham số α, β và δ. Nếu một biến ngẫu nhiên X được phân phối NIG(α, β, δ) thì ta có −X được phân phối NIG(α,−β, δ). Nếu β = 0, phân phối là đối xứng. Điều này có thể thấy dễ dàng từ đặc trưng của phân phối NIG sau đây: NIG(α, β, δ) NIG(α, 0, δ) Trung bình δβ/ √ α2 − β2 0 Phương sai α2δ(α2 − β2)−3/2 δ/α Hệ số lệch 3βα−1δ−1/2(α2 − β2)−1/4 0 Độ nhọn 3 ( 1 + α 2+4β2 δα2 √ α2−β2 ) 3(1 + δ−1α−1) Phân phối NIG có đuôi nửa nặng, đặc biệt fNIG(x;α, β, δ) ∼ |x|3/2 exp((∓α + β)x) khi x→ ±∞, tiến tới một hệ số phóng đại. 54 Chương 1. Quá trình Lévy Quá trình CGMY Phân phối CGMY(C,G,M, Y ) là một phân phối bốn tham số, với hàm đặc trưng φCGMY(u;C,G,M, Y ) = exp(CΓ(−Y )((M − iu)Y −MY + (G+ iu)Y −GY )). Phân phối CGMY là khả phân vô hạn và ta có thể định nghĩa quá trình Lévy CGMY X(CGMY) = {X(CGMY)t , t ≥ 0} như một quá trình bắt đầu tại điểm gốc, có số gia dừng và độc lập; trong đó gia số trên một khoảng thời gian có chiều dài s theo phân phối CGMY(sC,G,M, Y ); nói cách khác hàm đặc trưng của X (CGMY) t được cho bởi E[exp(iuX(CGMY)t )] = φCGMY(u; tC,G,M, Y ) = (φCGMY(u;C,G,M, Y )) t = exp(CtΓ(−Y )((M − iu)Y −MY + (G+ iu)Y −GY )). Độ đo Lévy của quá trình CGMY cho bởi νCGMY = { C exp(Gx)(−x)−1−Y dx, x < 0, C exp(−Mx)x−1−Y dx, x > 0. Tham số thứ nhất của bộ ba Lévy bằng γ = C ( ∫ 1 0 exp(−Mx)x−Y dx− ∫ 0 −1 exp(Gx)|x|−Y dx). Miền của tham số bị giới hạn bởi C, G, M > 0 và Y < 2. Chọn tham số Y lớn hơn hay bằng 2 không thu được độ đo Lévy có thể chấp nhận được. Đặc trưng sau của phân phối CGMY có thể tính được dễ dàng CGMY(C,G,M, Y ) Trung bình C(MY−1 −GY−1)Γ(1− Y ) Phương sai C(MY−2 +GY−2)Γ(2− Y ) Hệ số lệch C(MY−3 −GY−3)Γ(3− Y ) (C(MY−2 +GY−2)Γ(2− Y ))3/2 Độ nhọn 3 + C(MY−4 +GY−4)Γ(4− Y ) (C(MY−2 +GY−2)Γ(2− Y ))2 Quá trình CGMY là một quá trình nhảy thuần túy, nó chứa 0 thành phần Brown. Biểu diễn của quỹ đạo được xác định bởi tham số Y . Nếu Y < 0, quỹ đạo có hữu hạn bước nhảy trong khoảng hữu hạn bất kỳ; nếu không, quỹ đạo có vô hạn các bước nhảy trong khoảng thời gian hữu hạn nào đó, tức là quá trình có độ hoạt động vô hạn. 55 Chương 1. Quá trình Lévy FTrường hợp đặc biệt >Phân phối VG(C,G,M). Phân phối/quá trình Variance Gamma là một trường hợp đặc biệt của phân phối/quá trình CGMY. Nếu Y = 0, CGMY quy về VG: CGMY(C,G,M, 0) = VG(C,G,M). Quá trình Meixner Hàm mật độ của phân phối Meixner (Meixner(α, β, δ)) cho bởi fMeixner(x;α, β, δ) = (2 cos(β/2))2δ 2αpiΓ(2δ) exp ( βx α )∣∣∣∣Γ(δ + ixα )∣∣∣∣2, trong đó α > 0, −pi 0. Hàm đặc trưng của phân phối Meixner(α, β, δ) cho bởi φMeixner(u;α, β, δ) = ( cos(β/2) cosh((αu− iβ)/2) )2δ . Phân phối Meixner(α, β, δ) là khả phân vô hạn: φMeixner(u;α, β, δ) = (φMeixner(u;α, β, δ/n)) n. Vì vậy ta có thể kết hợp nó với một quá trình Lévy, ta gọi quá trình đó là quá trình Meixner. Chính xác hơn, một quá trình Meixner X(Meixner) = {X(Meixner)t , t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên bắt đầu tại điểm gốc, tức làX (Meixner) 0 = 0, có số gia dừng và độc lập, và trong đó phân phối của X (Meixner) t được cho bởi phân phối Meixner(α, β, δt). Ta có thể chỉ ra rằng quá trình Meixner có 0 thành phần Brown và thành phần nhảy thuần túy được điều chỉnh bởi độ đo Lévy ν = δ exp(βx/α) x sinh(pix/α) dx. Tham số thứ nhất của bộ ba Lévy bằng γ = αδ tan(β/2)− 2δ ∫ ∞ 1 sinh(βx/α) sinh(pix/α) dx. Vì ∫ +1 −1 |x|ν(dx) =∞, quá trình là biến phân vô hạn. Mômen của mọi bậc của phân phối này đều tồn tại. Nếu một biến ngẫu nhiên X được phân phối Meixner(α, β, δ) thì −X được phân phối Meixner(α,−β, δ). Tiếp theo ta chỉ ra một vài đại lượng thích hợp cho trường hợp tổng quát và trường hợp đối xứng xung quanh 0, tức là với β = 0: 56 Chương 1. Quá trình Lévy Meixner(α, β, δ) Meixner(α, 0, δ) Trung bình αδ tan(β/2) 0 Phương sai 1 2 α2δ(cos−2(β/2)) 1 2 α2δ Hệ số lệch sin(β/2) √ 2/δ 0 Độ nhọn 3 + (2− cos(β))/δ 3 + 1/δ Rõ ràng độ nhọn của phân phối Meixner luôn lớn hơn độ nhọn của phân phối chuẩn (độ nhọn chuẩn luôn bằng 3). Phân phối Meixner(α, β, δ) có đuôi nửa nặng, fMeixner(x;α, β, δ) ∼ { C−|x|ρ− exp(−η−|x|) x→ −∞, C+|x|ρ+ exp(−η+|x|) x→ +∞, trong đó ρ− = ρ+ = 2δ − 1, η− = (pi − β)/α, η+ = (pi + β)/α. và cho C−, C+ ≥ 0. Quá trình Meixner liên quan đến quá trình nghiên cứu bởi Biane et al. (2001) [55], χt = 2 pi2 ∞∑ n=1 Γn,t (n− 1/2)2 cho một dãy các quá trình Gamma độc lập Γn,t (với a = 1 và b = 1), tức là quá trình Lévy với E[exp(iθΓn,t)] = (1− iθ−t). Biane et al. (2001) [55] chỉ ra χt có hàm đặc trưng E[exp(iuχt)] = ( 1 cosh √−2ui )t . Đặt B = {Bt, t ≥ 0} là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, khi đó chuyển động Brown thay đổi theo thời gian Bχt có hàm đặc trưng E[exp(iuBχt)] = ( 1 coshu )t , hay Bχt dẫn tới phân phối Meixner(2, 0, t). 1.3.3 Nửa nhóm tích chập của các độ đo xác suất Trong phần này ta sẽ xét một đặc trưng quan trọng của quá trình Lévy. Đặt (pt, t ≥ 0) là họ các độ đo xác suất trên Rd. Ta nói nó hội tụ yếu tới δ0 nếu lim t↓0 ∫ Rd f(y)pt(dy) = f(0) với ∀ f ∈ Cb(Rd). 57 Chương 1. Quá trình Lévy Mệnh đề 1.3.13. Nếu X là một quá trình ngẫu nhiên trong đó X(t) có luật phân phối pt với t ≥ 0 và X(0) = 0 (h.c.c) khi đó (pt, t ≥ 0) hội tụ yếu tới δ0 nếu và chỉ nếu X liên tục ngẫu nhiên tại t = 0. Chứng minh. Giả sử X liên tục ngẫu nhiên tại t = 0 và f ∈ Cb(Rd) với f 6= 0; khi đó cho trước ε > 0 bất kỳ, tồn tại δ > 0 sao cho supx∈Bδ(0) |f(x)− f(0)| ≤ ε/2 và tồn tại δ ′ > 0 sao cho 0 < t < δ ′ ⇒ P (|X(t)| > δ) < ε/(4M), với M = supx∈Rd |f(x)|. Khi đó ta có∣∣∣∣ ∫ Rd [f(x)− f(0)]pt(dx) ∣∣∣∣ ≤ ∫ Bδ(0) |f(x)− f(0)|pt(dx) + ∫ Bδ(0)c |f(x)− f(0)|pt(dx) ≤ sup x∈Bδ(0) |f(x)− f(0)|+ 2MP (X(t) ∈ Bδ(0)c) < ε. Ngược lại, giả sử (pt, t ≥ 0) hội tụ yếu tới δ0. Sử dụng lập luận trong Malliavin et al. [56], t.98-99. Cố định r > 0 và ε > 0. Đặt f ∈ Cb(Rd) với giá trong Br(0) sao cho 0 ≤ f ≤ 1 và f(0) > 1− (ε/2). Do sự hội tụ yếu ta có thể tìm được t0 > 0 sao cho 0 ≤ t < t0 ⇒ ∣∣∣∣ ∫ Rd [f(y)− f(0)]pt(dy) ∣∣∣∣ < ε2 . Khi đó ta có P (|X(t)| > r) = 1− P (|X(t)| ≤ r) ≤ 1− ∫ Br(0) f(y)pt(dy) = 1− ∫ Rd f(y)pt(dy) = 1− f(0) + ∫ Rd [f(0)− f(y)]pt(dy) < ε 2 + ε 2 = ε. Một họ các độ đo xác suất (pt, t ≥ 0) với p0 = δ0 được gọi là nửa nhóm tích chập nếu ps+t = ps ∗ pt ∀ s, t ≥ 0, và nửa nhóm như vậy được gọi là liên tục yếu nếu nó hội tụ yếu tới δ0. Mệnh đề 1.3.14. Nếu X = (X(t), t ≥ 0) là một quá trình Lévy trong đó X(t) có luật phân phối pt với t ≥ 0, khi đó (pt, t ≥ 0) là một nửa nhóm tích chập liên tục yếu. Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ mệnh đề 1.3.13. 58 Chương 1. Quá trình Lévy 1.3.4 Quá trình Lévy chính tắc Đặt (pt, t ≥ 0) là một nửa nhóm tích chập liên tục yếu của các độ đo xác suất trên Rd. Xác định Ω = {ω : R+ → Rd;ω(0) = 0}. Ta xây dựng một σ-đại số các tập con của Ω như sau: Với n ∈ N, chọn A1, A2, . . . , An ∈ B(Rd). Định nghĩa các tập hình trụ IA1,A2,...,Ant1,t2,...,tn bởi IA1,A2,...,Ant1,t2,...,tn = {ω ∈ Ω;ω(t1) ∈ A1, ω(t2) ∈ A2, . . . , ω(tn) ∈ An}. Đặt F ký hiệu σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập hình trụ của Ω. Ta xác định một hàm tập P trên tập hợp tất cả các các tập hình trụ P (IA1,A2,...,Ant1,t2,...,tn ) = ∫ A1 pt1(dy1) ∫ A2 pt2−t1(dy2 − y1) · · · ∫ An ptn−tn−1(dyn − yn−1) = ∫ Rd ∫ Rd · · · ∫ Rd 1A1(y1)1A2(y1 + y2) · · · 1An(y1 + y2 + · · ·+ yn) × pt1(dy1)pt2−t1(dy2) · · · ptn−tn−1(dyn). (1.17) Do biến phân yếu trong định lý tồn tại Kolmogorov, P mở rộng duy nhất thành một độ đo xác suất trên (Ω,F). Hơn nữa nếu ta xác định X = (X(t), t ≥ 0) bởi X(t)(ω) = ω(t) với ∀ ω ∈ Ω, t ≥ 0, khi đó X là một quá trình ngẫu nhiên trên Ω với phân phối hữu hạn chiều cho bởi P (X(t1) ∈ A1, X(t2) ∈ A2, . . . , X(tn) ∈ An) = P (IA1,A2,...,Ant1,t2,...,tn ), do đó mỗi X(t) có luật phân phối pt. Ta sẽ chỉ ra X là một quá trình Lévy. Ta có được (L1) và (L4) ngay (từ mệnh đề 1.3.13). Để có (L2), (L3) chú ý rằng với f ∈ Bb(Rdn), E(f(X(t1), X(t2), . . . , X(tn))) = ∫ Rd ∫ Rd · · · ∫ Rd f(y1, y1 + y2, . . . , y1 + y2 + · · ·+ yn) × pt1(dy1)pt2−t1(dy2) · · · ptn−tn−1(dyn) Thật vậy điều này cho ta phương trình (1.17) một cách chính xác khi f là hàm chỉ tiêu và kết quả tổng quát hơn suy ra từ tính tuyến tính, xấp xỉ và sự hội tụ trội. Cố định u ∈ Rn và đặt f(x1, x2, . . . , xn) = exp [ i n∑ j=1 (uj, xj − xj−1) ] với mỗi x ∈ Rd (xem thêm Sato [10], t.36) 59 Chương 1. Quá trình Lévy Định lý 1.3.15. Nếu (p(t), t ≥ 0) là một nửa nhóm tích chập các độ đo xác suất liên tục yếu, khi đó tồn tại một quá trình Lévy X sao cho với mỗi t ≥ 0, X(t) có luật phân phối p(t). Ta gọi quá trình X được xây dựng như trên là quá trình Lévy chính tắc. Chú ý cấu trúc Kolmogorov đảm bảo rằng F = σ{X(t), t ≥ 0}. Hệ quả 1.3.16. Nếu µ là một độ đo xác suất khả phân vô hạn trên Rd với ký hiệu Lévy η, khi đó tồn tại một quá trình Lévy X sao cho µ là luật phân phối của X(1). Chứng minh. Giả sử µ có bộ ba đặc trưng (b, A, ν); khi đó với t ≥ 0 ánh xạ từ Rd tới C cho bởi u → etη(u) có dạng (1.10) và do đó bởi định lý 1.2.10, với t ≥ 0 nó là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất khả phân vô hạn p(t). Rõ hơn ta có p(0) = δ0 và do sự tương ứng duy nhất giữa độ đo và hàm đặc trưng, ta được p(s+ t) = p(s) ∗ p(t) với s, t ≥ 0. Từ định lý Glivenko ta có sự hội tụ yếu p(t) → δ0 khi t ↓ 0, và từ định lý 1.3.15 ta được điều phải chứng minh. > Ghi chú: Đặt (pt, t ≥ 0) là họ các độ đo xác suất trên Rd. Ta nói nó hội tụ mờ tới δ0 nếu lim t↓0 ∫ Rd f(y)pt(dy) = f(0), với ∀ f ∈ Cb(Rd). 1.3.5 Bản sao của quá trình Lévy Cho X = (X(t), t ≥ 0) và Y = (Y (t), t ≥ 0) là hai quá trình ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất. Y được gọi là bản sao của X nếu với mỗi t ≥ 0, P (X(t) 6= Y (t)) = 0. Khi đó X và Y có cùng phân phối hữu hạn chiều. Bổ đề 1.3.17. Nếu X là một quá trình Lévy và Y là bản sao của X. Khi đó Y là một quá trình Lévy có cùng hàm đặc trưng với X. Chứng minh. (L1) là hiển nhiên. Để chứng minh (L2), cố định 0 ≤ s < t <∞ và đặt N (s, t) = {ω ∈ Ω; X(s)(ω) = Y (s)(ω) và X(t)(ω) = Y (t)(ω)} , Suy ra P (N (s, t)) = 1 vì P (N (s, t)c) = {ω ∈ Ω; X(s)(ω) 6= Y (s)(ω) hoặc X(t)(ω) 6= Y (t)(ω)} ≤ P (X(s) 6= Y (s)) + P (X(t) 6= Y (t)) = 0. Để chứng minh Y có số gia dừng, cho A ∈ B(Rd) ta có P (Y (t)− Y (s) ∈ A) = P (Y (t)− Y (s) ∈ A,N (s, t)) + P (Y (t)− Y (s) ∈ A,N (s, t)c) = P (X(t)−X(s) ∈ A,N (s, t)) ≤ P (X(t)−X(s) ∈ A) = P (X(t− s) ∈ A) = P (Y (t− s) ∈ A). 60 Chương 1. Quá trình Lévy 1.3.6 Sự phân tích Wiener-Hopf Cho X là quá trình Lévy một chiều với quỹ đạo càdlàg và định nghĩa quá trình cực trị M = (M(t), t ≥ 0) và N = (N(t), t ≥ 0) với M(t) = sup 0≤s≤t X(s) và N(t) = inf 0≤s≤t X(s). Ta sẽ mô tả sự phân tích Wiener-Hopf, đây là một trong số những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất. Trước tiên, cố định q > 0, khi đó tồn tại hai hàm đặc trưng khả phân vô hạn φ+q và φ−q : φ+q (u) = exp [∫ ∞ 0 t−1e−qt ∫ ∞ 0 (eiux − 1)pX(t)(dx)dt ] , φ−q (u) = exp [∫ ∞ 0 t−1e−qt ∫ 0 −∞ (eiux − 1)pX(t)(dx)dt ] , với mỗi u ∈ R. Sự phân tích Wiener-Hopf, sự phân tích của phép biến đổi của hàm đặc trưng liên kết của X và M −X trong các số hạng của φ+q và φ−q . Chính xác hơn ta có: Định lý 1.3.18. (Sự phân tích Wiener-Hopf) Với mỗi q, t > 0, x, y ∈ R ta có q ∫ ∞ 0 e−qtE (exp(i {xM(t) + y[X(t)−M(t)]})) dt = q ∫ ∞ 0 e−qtE (exp(i {yN(t) + x[X(t)−N(t)]})) dt = φ+q (x)φ − q (y). Chứng minh định lý trên và các kết quả liên quan xem chương 9 Sato [10]. Sự phân tích Wiener-Hopf và các dạng khác của lý thuyết độ biến động cho quá trình Lévy được ứng dụng cho một lớp các ‘vấn đề dự trữ’ như: mô hình hồ chứa nước, vấn đề xếp hàng, bảo hiểm rủi ro... 1.3.7 Thời điểm địa phương Định nghĩa 1.3.19. Thời điểm địa phương Thời điểm địa phương của quá trình Lévy là một trường ngẫu nhiên sao cho, với mỗi x ∈ Rd, mô tả lượng thời gian trải qua bởi quá trình tại x trong đoạn [0, t]. Chính xác hơn ta định nghĩa một ánh xạ đo được L : Rd × R+ × Ω→ R+ như sau L(x, t) = lim sup ε↓0 1 2ε ∫ t 0 1{|X(s)−x|<ε}ds. 61 Chương 1. Quá trình Lévy Ta có công thức hàm mật độ∫ t 0 f(X(s))ds = ∫ ∞ −∞ f(x)L(x, t)dx h.c.c với mọi hàm f không âm, f ∈ Bb(Rd). Từ đây ta có thể hiểu thời điểm địa phương như một phân phối ngẫu nhiên, tức là L(x, t) = ∫ t 0 δ(|x−X(s)|)ds, trong đó δ là hàm delta Dirac. Điều kiện đơn giản hơn trong trường hợp X là ma trận đối xứng. Trong trường hợp này, ta định nghĩa hàm mật độ mũ bậc 1 của X là u(y) = ∫ ∞ 0 e−tpX(t)(y)dt với mỗi u ∈ Rd. Ta xét trường Gauss trung tâm (G(x), x ∈ Rd), với mỗi x, y ∈ Rd, E(G(x)G(y)) = u(x− y). Kết quả chính trong trường hợp này là điều kiện cần và đủ để L liên tục đồng thời (theo x và t) hầu chắc chắn là G liên tục hầu chắc chắn. Một tính chất có ích khác của thời điểm dừng liên quan đến quá trình ngược tại điểm gốc, tức là quá trình L−10 = (L −1 0 (t), t ≥ 0), trong đó mỗi L−10 (t) = inf {s ≥ 0;L(0, s) ≥ t} . 62 Chương 2 Martingale, thời điểm dừng và độ đo ngẫu nhiên 2.1 Martingale 2.1.1 Bộ lọc và quá trình thích nghi với một bộ lọc Định nghĩa 2.1.1. Bộ lọc Cho F là σ-đại số các tập con của Ω. Họ (Ft, t ≥ 0) các σ-đại số con của F được gọi là một bộ lọc nếu Fs ⊆ Ft nếu s ≤ t. Một không gian xác suất (Ω,F , P ) trên đó trang bị thêm một bộ lọc (Ft, t ≥ 0) được gọi là không gian xác suất được lọc. Ta viết F∞ = ∨ t≥0Ft. Một họ các σ-đại số (Gt, t ≥ 0) được gọi là bộ lọc con của bộ lọc (Ft, t ≥ 0) nếu Gt ⊆ Ft với t ≥ 0. Định nghĩa 2.1.2. Quá trình thích nghi với một bộ lọc Cho X = (X(t), t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω,F , P ) được lọc. Khi đó X được gọi là thích nghi với một bộ lọc (hay Ft-thích nghi) nếu X(t) là Ft-đo được với mỗi t ≥ 0. Mọi quá trình X thích nghi với bộ lọc của chính nó FXt = σ {X(s); 0 ≤ s ≤ t}. FXt là σ-đại số sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X(s) với 0 ≤ s ≤ t, σ-đại số này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t, ta thường gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X. Nếu quá trình X là thích nghi ta có E(X(s)|Fs) = X(s) h.c.c. Cho X và Y là hai quá trình Ft-thích nghi và cho α, β ∈ R; khi đó có một dãy đơn giản đo được sao cho các quá trình sau cũng là thích nghi • αX + βY = (αX(t) + βY (t), t ≥ 0); 63 Chương 2. Martingale, thời điểm dừng và độ đo ngẫu nhiên • XY = (X(t)Y (t), t ≥ 0); • f(X) = (f(X(t)), t ≥ 0) với f là hàm Borel đo được trên Rd; • limn→∞Xn = (limn→∞Xn(t), t ≥ 0), với (Xn, n ∈ N) là một dãy các quá trình thích nghi trong đó Xn(t) hội tụ điểm hầu chắc chắn với mỗi t ≥ 0. Không gian xác suất đầy đủ được lọc (Ω,F , P ) được gọi là thỏa các giả thiết thông thường nếu: (1) (Tính đầy đủ) F0 chứa tất cả các tập P -đo được bằng 0; (2) (Tính liên tục phải) Ft = Ft+, với Ft+ = ⋂ ε>0Ft+ε. Cho trước một bộ lọc (Ft, t ≥ 0), ta luôn luôn có thể mở rộng để nó thỏa tính chất (1) (tính đầy đủ) như sau: ChoN là kí hiệu tập hợp tất cả các tập P -đo được bằng 0 trong F và đặt Gt = Ft∨N với mỗi t ≥ 0. Khi đó (Gt, t ≥ 0) là bộ lọc mới của F , ta gọi đó là bộ lọc mở rộng. Khi đó ta có: • Mọi quá trình ngẫu nhiên Ft-thích nghi là Gt-thích nghi; • Mọi biến ngẫu nhiên Y xác định trên (Ω,F , P ), ta có E(Y |Gt) = E(Y |Ft) (h.c.) với mọi t ≥ 0. Nếu X là một quá trình ngẫu nhiên với bộ lọc tự nhiên FX khi đó ta kí hiệu bộ lọc mở rộng là GX và gọi nó là bộ lọc tự nhiên mở rộng. 2.1.2 Martingale và quá trình Lévy Định nghĩa 2.1.3. Martingale Cho X là một quá trình thích nghi xác định trên một không gian xác suất được lọc thỏa điều kiện khả tích E(|X(t)|) <∞ với mọi t ≥ 0. X được gọi là một martingale nếu với mọi 0 ≤ s < t <∞, E(X(t)|Fs) = X(s) h.c.c. Nếu X là một martingale khi đó ánh xạ t→ E(X(t)) là ánh xạ hằng. Một quá trình thích nghi X thỏa E(|X(t)|) < ∞ với ∀t ≥ 0 là một martingale dưới nếu với mọi 0 ≤ s < t <∞, 1 ≤ i ≤ d, E(Xi(t)|Fs) ≥ Xi(s) h.c.c. Ta gọi X là một martingale trên nếu −X là một martingale dưới. Mệnh đề 2.1.4. Nếu X là một quá trình Lévy với kí hiệu Lévy η, khi đó, với mỗi u ∈ Rd, Mu = (Mu(t), t ≥ 0) là một martingale phức theo FX , với Mu(t) = exp [i(u,X(t))− tη(u)] . 64 Chương 2. Martingale, thời điểm dừng và độ đo ngẫu nhiên Chứng minh. Ta có: E(|Mu(t)|) = exp [−tη(u)] <∞ với mỗi t ≥ 0. Với mọi 0 ≤ s ≤ t, viết Mu(t) = Mu(s) exp [i(u,X(t)−X(s))− (t− s)η(u)]; khi đó do (L2) và định lý 1.3.4 ta có: E(Mu(t)|FXs ) = Mu(s)E(exp [i(u,X(t− s))]), exp [−(t− s)η(u)] = Mu(s) Định lý 2.1.5. (Bất đẳng thức martingale Doob) Nếu (X(t), t ≥ 0) là một martingale dưới xác định dương, khi đó với p > 1 bất kỳ, E ( sup 0≤s≤t X(s)p ) ≤ qp E(X(t)p), với 1/p+ 1/q = 1. Định lý 2.1.6. Cho M = (M(t), t ≥ 0) là một martingale dưới. (1) Với tập con dày đặc đếm được bất kỳ D ⊂ R+, giới hạn trái và giới hạn phải sau tồn tại và hữu hạn hầu chắc chắn với mỗi t > 0: M(t−) = lim s∈D, s↑t M(s); M(t+) = lim s∈D, s↓t M(s). (2) Nếu bộ lọc (Ft, t ≥ 0) thỏa mãn giả thiết thông thường và ánh xạ t −→ E(M(t)) liên tục phải, khi đó M có một bản sao càdlàg. Định lý 2.1.7. Mọi quá trình Lévy đều có một bản sao càdlàg là một quá trình Lévy. Chứng minh. Cho X là một quá trình Lévy thích nghi với bộ lọc tự nhiên của chính nó. Với mỗi u ∈ Rd, nhớ lại martingale Mu của mệnh đề 2.1.4. Cho D là tập con đếm được, dày đặc của R+. Từ định lý 2.1.6 suy ra với mỗi t > 0, các giới hạn bên trái và giới hạn bên phải Mu(t−) và Mu(t+) tồn tại trong D hầu chắc chắn. Với mỗi u ∈ Rd, cho Ou là tập con của Ω s