Luận văn Phương trình sóng với nguồn phi tuyến tổng quát với điều kiện biên neuuman không thuần nhất

6 Chương 0 PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu sau ( ) ( , , , , ), 0 1, 0 , tt xx x t u t u f x t u u u x t T      (0.1) 0 1 ( ) (0, ) ( ) ( ) (1, ) ( ) 0, x x t u t g t t u t g t     (0.2) 0 1 ( , 0) ( ), ( , 0) ( ) t u x u x u x u x   , (0.3) trong đó 0 1 0 1 , , , ,g g u u   là những hàm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là một hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Bài toán (0.1)-(0.3) có nhiều ý nghĩa trong Cơ học và được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Nhiều tác giả đã nghiên cứu và khảo sát phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của  và f và các điều kiên biên khác nhau, chẳng hạn: Trong [4], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của phương trình 3 1 2 2 xx tt t u u u u u b       , với 0  bé. Trong [14], Rabinowitz đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình 1 2 ( , , , ) xx tt t x t u u u f x t u u   , trong đó  là một tham số bé và f là một hàm tuần hoàn theo thời gian. Trong [2], Caughey và Ellison đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước đây để bàn sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục. Trong [3], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán (01)-(0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất (0, ) (1, ) 0u t u t  , 7 trong đó ( ) 1t  , 1 1 ( , ), ([0, ), )f f t u f C    . Trong [7], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.1)-(0.3) với ( ) 1t  và điều kiện biên hổn hợp thuần nhất 0 1 (0, ) (0, ) (1, ) (1, ) 0 x x u t h u t u t h u t    , trong đó 0 h , 1 h là các hằng số không âm cho trước với 0 1 0h h  và số hạng phi tuyến ở vế phải có dạng 1 ( , , , , ) ( , , , , ) x t x t f f x t u u u f x t u u u  , trong trường hợp, 2 3([0,1] [0, ) )f C    , 1 3 1 ([0,1] [0, ) )f C    các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u đến cấp hai theo  , với  đủ nhỏ. Trong phần đầu của luận văn, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3) và khảo sát tính ổn định nghiệm của bài toán. Trong phần hai của luận văn, chúng tôi khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u của bài toán nhiễu theo một tham số  đủ nhỏ, bài toán nhiễu được cho như sau             1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) , , , , , 0 1, 0 , ( ) (0, ) ( ) ( ) (1, ) ( ) 0, ( , 0) ( ), ( , 0) ( ), , , , , , , , , , , , , , tt xx x t x x t x t x t x t u t t u F x t u u u x t T t u t g t t u t g t P u x u x u x u x F x t u u u f x t u u u f x t u u u                           trong đó 0 1 0 1 , , , ,g g u u   , f và 1 f sẽ thỏa mãn một số điều kiện phụ. Kế đến là khảo sát một ví dụ cụ thể. Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Chương 0, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó và nêu bố cục của luận văn. 8 Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3). Chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định nghiệm của bài toán (0.1)-(0.3) theo 0 1 , ,g g . Chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo một tham số bé  đến cấp N + 1. Chương 5, chúng tôi xét một bài toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài toán trên. Kế đến là phần kết luận của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.