Luận văn Phương trình sóng phi tuyến kirchhoff - Carrier trong màng tròn đơn vị

3 Chương 0 TỔNG QUAN BÀI TỐN Kí hiệu, ( ){ }2 21 , : 1x y x yΩ = + < là một màng trịn đơn vị. Chúng tơi xét phương trình sĩng phi tuyến trong màng trịn đơn vị 1Ω : ( ) ( )2 2 21 1, , , ( , ) , 0ttu u u f x y t u x y t Tµ− ∇ ∆ = + ∈Ω < < (0.1) với điều kiện biên trên đường trịn ( ){ }2 2 21 , : 1x y x y∂Ω = ∈ + =ℝ là: ( ) ( ) 1, , 0, , , 0 ,u hu x y t x y t Tν ∂ + = ∈∂Ω ≤ ≤ ∂ (0.2) điều kiện đầu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1, ,0 , , , , , , , ,= = ∈Ωtu x y u x y u x y t u x y x y (0.3) trong đĩ ν là véctơ pháp tuyến đơn vị trên biên 1∂Ω hướng ra ngồi, 0h > là hằng số, 0 1, ,f u u là các hàm cho trước. Chuẩn xét đến là: ( ) 1 2 2 2 . Ω ∇ = +∫ x yu u u dxdy (0.4) Liên quan đến bài tốn (0.1) (0.4)− , trong [5] tác giả đã xét bài tốn ( ) ( )2 2 2, , , , , , , 0− ∇ ∇ = ∇ ∈Ω < <tt tu B u u u f x t u u u x t T (0.5) 20, , 0 , ∂ + = ∈∂Ω < < ∂ν u hu x t T (0.6) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2,0 , ,0 , .= = ∈Ωtu x u x u x u x x (0.7) Ở đây, 2Ω là tập bị chặn trong nR với biên 2 ,∂Ω ( ) ( ) 2 2 222 1 , , i n x i u u x t dx u x t dx =Ω Ω ∇ = ∇ =∑∫ ∫ , 4 và ν là véctơ đơn vị trên 2∂Ω hướng ra ngồi. Trong trường hợp một chiều, phương trình (0.5) là trường hợp tổng quát của phương trình mơ tả dao động của dây đàn hồi (xem [6]) ( ) 2 0 0 , 0, 0 , 0 , 2  ∂  − + = < < < <  ∂  ∫ρ L tt xx Eh uhu P y t dy u x L t T L y (0.8) với u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, L là chiều dài sợi dây, E là module Young và 0P là lực căng ban đầu. Trong [3], Carrier đã thiết lập mơ hình dạng: ( )20 1 0 , ,   = +    ∫ L tt xxu P P u y t dy u (0.9) trong đĩ 0 1,P P là các hằng số. Cũng trong trường hợp ( )21, 0,1N = Ω = dạng phương trình (0.5) được nghiên cứu bởi rất nhiều tác giả. Khi 0f = , ( ) 2 2 ,xB B u x t dx Ω   =       ∫ , bài tốn Caychy hoặc hỗn hợp (0.5) – (0.7) đã được nghiên cứu bởi Ebihara, Medeiros, Miranda [4], Pohozaev [17]. Trong [11], tác giả Nguyễn Thành Long nghiên cứu bài tốn (0.5) – (0.7) với ( )2, xB t u , ( ), , , ,x tf x t u u u , và trong [12] với ( )22, , xB t u u , ( 2, , , , , ,x tf x t u u u u )2 .xu Ta tìm nghiệm của bài tốn ( ) ( )0.1 0.4− ở dạng: ( ) ( ) ( )2 2, , , , .u x y t v x y t v r t= + = Bằng phương pháp tọa độ cực, từ (0.4) dẫn tới ( ) 1 2 2 0 2 , . r u rv r t drpi∇ = ∫ Với chú ý, 5 1 , r rr u v v r ∆ = + ( )1,ru v tν ∂ = ∂ trên 2∂Ω , ( ) 0 lim , r r rv r t +→ < ∞ , và đặt: ( ) ( ) 1 2 2 0 0 , r r v t rv r t dr= ∫ , ( ) ( )2 21 0 ,ru v∇ =µ µ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0, , ,u x y u r u r t u r= =ɶ ɶ , dẫn tới thay vì khảo sát bài tốn hai chiều ( ) ( )0.1 0.4− , chúng tơi khảo sát bài tốn một chiều: ( ) ( )20 1 , , , 0 1, 0 , − + = < < < <  µtt r rr rv v v v f r t v r t Tr (0.10) ( ) ( ) ( ) 0 lim , , 1, 1, 0, +→ < +∞ + = r r r rv r t v t hv t (0.11) ( ) ( ) ( ) ( )0 1,0 , ,0 ,= =ɶ ɶtv r u r v r u r (0.12) ( ) 1 22 0 0 , .= ∫r rv r v r t dr (0.13) Nội dung của luận văn được chia thành các chương như sau: Chương 0, là phần tổng quan giới thiệu về bài tốn sẽ khảo sát trong luận văn, nêu các kết quả liên quan đã cĩ và giới thiệu bố cục luận văn. Chương 1, nêu các kí hiệu, các kết quả chuẩn bị. Chương 2, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cho bài tốn (0.10) – (0.13). Chương 3, khảo sát sự hội tụ bậc hai về nghiệm yếu bài tốn ( ) ( )0.10 0.13− với ( )20ruµ = 20 0ru+µ . Chương 4, nghiên cứu khai triển tiệm cận của bài tốn ( )Pε theo tham số bé 6 Chương 5, chúng tơi trình bày một ví dụ để minh họa cụ thể về khai triển tiệm cận của bài tốn ( )Pε . Cuối cùng là phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.