Luận văn Phương trình Schrodinger phi tuyến

Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------------------- Phan Thị Vân Huyền PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 1 - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------------------- Phan Thị Vân Huyền PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TSKH. NGUYỄN MINH TRÍ THÁI NGUYÊN – 2009 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 2 - MỤC LỤC Trang Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bất đẳng thức Holder…………………………………………….. 4 1.2. Khơng gian L p……………………………………………………. 5 1.3. Khơng gian Sobolev……………………………………………… 8 1.4. Một số kết quả đã cĩ của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger….. 10 1.5. Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của tốn tử phi tuyến……. 12 Chƣơng 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT 2.1. Định lý duy nhất………………………………………………….. 16 2.2. Bổ đề 2.2…………………………………………………………. 22 2.3. Chứng minh định lý 2.1………………………………………….. 25 2.4. Hệ quả……………………………………………………………. 27 Chƣơng 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA Hs - NGHIỆM H s NGHIỆM TỒN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ 3.1. Sự tồn tại địa phƣơng của Hs - nghiệm…………………………... 29 3.2. H s nghiệm tồn cục với điều kiện ban đầu nhỏ…………………... 42 3.3. Định lý duy nhất cho Hs - nghiệm ………………………………. 47 KẾT LUẬN…………………………………………………………….. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………….. 51 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 3 - MỞ ĐẦU Phƣơng trình Schrodinger là một trong những phƣơng trình cơ bản nhất trong lý thuyết cơ học lƣợng tử. Từ khi xuất hiện phƣơng trình này đã cĩ một số lớn các cơng trình nghiên cứu các tính chất của nĩ. Trƣớc đây phần lớn các nghiên cứu tập trung vào phƣơng trình Schrodinger tuyến tính. Gần đây một số các chuyên gia nhƣ T. Kato, T. Tao, C. Kening, … đã tập trung vào nghiên cứu :Phƣơng trình Schrodinger phi tuyến. Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu cơng trình của T. Kato, một trong những cơng trình quan trọng trong hƣớng nghiên cứu này. Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ, bao gồm bất đẳng thức Holder, khơng gian L p, khơng gian Sobolev và một số ký hiệu hình học đƣợc sử dụng trong luận văn. Ngồi ra phần mở đầu cịn trình bày về một số kết quả đã cĩ của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger dựa theo các tài liệu [11, 12, 14]. Chƣơng 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT, bao gồm định lý duy nhất (phát biểu và chứng minh định lý), một số chú ý và Hệ quả của nĩ về tính đặt chỉnh khơng điều kiện. Chƣơng 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA HS – NGHIỆM. HS – NGHIỆM TỒN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ, bao gồm định lý về sự tồn tại của Hs – nghiệm, với một vài sự hạn chế khi s  0, nếu m  7 và F() khơng là đa thức của  và  . Thêm vào độ trơn của F, giả thiết chính ở đây, là k  1 + 4 2m s nếu s < 2 m , k <  nếu s = 2 m và k =  (khơng cần giả thiết) nếu Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 4 - s > 2 m . H s – nghiệm đã đƣợc nghiên cứu chi tiết bởi Cazenave – Weissler [3], ở đây, khơng gian loại Besov đã đƣợc sử dụng nhƣ những khơng gian phụ trợ. Ta sử dụng các khơng gian loại Lebesgue để thay thế, mà sự xuất hiện của nĩ thì thích hợp hơn cho vấn đề này. Khi đĩ chúng ta thu đƣợc những kết quả sau sự đánh giá cho khoảng T* của Hs – nghiệm u chỉ phụ thuộc vào ||  u(0)||2 (trong đĩ,  = (–)1/2) với giá trị nhất định nào đĩ của  < s, khơng phụ thuộc vào || (0) || sHu . Những đánh giá này dẫn tới một cách tự nhiên định lý về độ trơn. Ngồi ra định lý tồn tại tổng :Quát đã đƣợc chứng minh cho Hs – nghiệm tồn cục với điều kiện ban đầu nhỏ, dƣới điều kiện thêm vào chính là F() = O (||1+4/m) với  nhỏ; F() khơng cần phải là thuần nhất hoặc là lũy thừa giới hạn. Ở đây, lặp lại tính nhỏ của H ||u(0)||  với  < s là đủ trong hầu hết các trƣờng hợp. Nếu F là một đa thức, thì khoảng biến thiên chấp nhận đƣợc của  đƣợc mở rộng. Luận văn đƣợc thực hiện với sự hƣớng dẫn nhiệt tình và đầy trách nhiệm của PGS.TS. Nguyễn Minh Trí. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy. Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ trong Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy trong phịng Phƣơng trình Vi phân của Viện Tốn học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt quá trình học tập và viết đề tài này. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 5 - Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bất đẳng thức Holder Cho một khơng gian E và một độ đo  trên một  – đại số  các tập con của E. Nếu f(x), g(x) là những hàm số đo được xác định trên E, và p, q là hai số thực sao cho 1 < p <  và 1 1 1 p q   thì (1.1.1) 1 1 | | | | | | p q p q E E E fg d f d g d                 . Để chứng minh định lý trƣớc hết ta cĩ Bổ đề sau Bổ đề. Cho a, b khơng âm và p, q là là hai số thực sao cho 1 < p <  và 1 1 1 p q   thì ta cĩ (1.1.2) ab  pa p + qb q . Thật Vậy Xét hàm 1 1 ( ) p t t t p q     (t  0), ta thấy (1) = 0 và 1 11 1 '( ) pt t p p     dƣơng với t > 1, âm với t < 1, vậy ( )t đạt cực tiểu tại t = 1. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 6 - Do vậy, với mọi t  0 ta cĩ 11 pt t p q    (1) = 0. Đặc biệt t = .p pa b  0 (cĩ thể giả thiết b > 0 vì nếu b = 0 thì (1.1.2) hiển nhiên đúng) ta cĩ . 1 0 p p p qa b ab p q     hay pa p + qb q – ab  0 đĩ chính là bất đẳng thức (1.1.2). ■ Chứng minh bất đẳng thức (1.1.1). Áp dụng bất đẳng thức (1.1.2) cho     1 1 | | | | , | | | |p qp q f g a b f g     , ta đƣợc         1 1 | | | | | | | | | | | | | | p q p q p qp q fg f g p f q g f g       . Lấy tích phân hai vế ta cĩ         1 1 | | | | | | 1 1 1 | | | | | | | | p q p q p qp q fg f g p qp f q g f g            từ đĩ suy ra bất đẳng thức (1.1.1). ■ 1.2. Khơng gian L p 1.2.1. Định nghĩa. Cho một khơng gian E và một độ đo  trên một  – đại số  các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f(x) cĩ lũy thừa bậc p (1  p  ) của mođun khả tích trên E, tức là sao cho | |p E f d   được gọi là khơng gian Lp(E, ). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 7 - Khi E là một tập đo đƣợc Lebesgue trong k , và  là độ đo Lebesgue, thì ta viết là Lp(E). Nếu E = [a, b]  1 , và  là độ đo Lebesgue thì ta viết L p [a, b] hoặc p [a, b]L và nếu E = [0, 1] thì ta viết đơn giản là Lp. Ta cĩ Tập hợp Lp(E, ), trong đĩ, ta khơng phân biệt các hàm tương đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một khơng gian vectơ định chuẩn. Với các phép tốn thơng thƣờng về nhân hàm số với số và cộng hàm số, và với chuẩn là 1 || || | | p p E f f d       . 1.2.2. Một số ký hiệu (i) L r (L q ) là L r ((0, T); L q ( m )), ở đây, 1  q, r   và 0 < T < , với chuẩn là 1 1 ( ) ( ) 0 0 || ( , ) || = ( , ) || ( , ) ||r q q m m r r T T rq r q L L L u x t u x t dx dt u x t dt                    . (ii) L  (L ) sẽ đƣợc hiểu nhƣ là L( T ), ở đây, T = (0, T)  m , với chuẩn là m ( ) (0, T) || ( , ) || = ess sup | ( , ) | L L u x t u x t   . (iii) a  b và a  b lần lƣợt là min{a, b} và max{a, b}. (iv) Để làm đơn giản các chứng minh trong các chƣơng sau ta sử dụng các ký hiệu hình học giới thiệu trong [12] và vài nơi khác. Ký hiệu P = (x, y); 0  x, y  1 là một điểm trong hình vuơng đơn vị  = [0, 1]  [0, 1]  2 . Ta viết x = x(P), y = y(P). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 8 - Đoạn thẳng nối P, Q   đƣợc kí hiệu bởi (PQ), [PQ], [PQ)... tùy theo nĩ là mở hoặc đĩng tại điểm cuối và kí hiệu độ dài của PQ bởi |PQ|. Ta cũng xem xét P   nhƣ một vectơ 2 chiều với gốc O = (0, 0), Vì vậy, aP (a  0) và P + Q là cĩ ý nghĩa (miễn là chúng vẫn thuộc ). Ta giới thiệu sự sắp xếp thẳng \ trong . Q\ P tức là Q là dƣới P, nghĩa là x(Q) = x(P) và y(Q)  y(P). Với bất kỳ đoạn thẳng  trong , R\  [\R] nghĩa là cĩ S   sao cho R\S [S\R]. Cĩ một vài điểm quan trọng đặc biệt trong  B = 1 ( ,0) 2 ; B ' = ( 1 2 , 1); C = (1 2 – 1 m , 1 2 ); C ' = ( 1 2 + 1 m , 1 2 ); (C = (0, 1 4 ); C ' = (1, 3 4 ) nếu m = 1). Đoạn thẳng l = [BC) và l' = [BC') là quan trọng nhất (l = [BC]; l' = [B'C'] nếu m = 1). Đĩ là các phần của các đoạn thẳng x + 2 y m = 1 2 và x + 2 y m = 1 2 + 2 m . (xem hình 1 và 1a). Hình.1. Hình.1a. m = 3 B' C' B C l l' m = 1 B' C' B C l l' O O Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 9 - Cuối cùng ta đặt L(P) = Lr(Lq) nếu :P = ( 1 q , 1 r ); Chuẩn trong L(P) đƣợc kí hiệu là || :L(P)||, hoặc đơn giản là || :P||. Cụ thể với P = ( 1 q , 1 r ); u  L(P) thì ||u :P|| = 1 1 ( ) 0 0 ( , ) || ( , ) || q m m r r T T rq r q L u x t dx dt u x t dt                    . BC biểu thị lớp các hàm số liên tục, bị chặn. C biểu thị là hằng số dƣơng bất kỳ. 1.3. Khơng gian Sobolev 1.3.1. Định nghĩa (i) Với s là số nguyên, s > 0, ký hiệu Hs() là khơng gian các hàm thuộc L 2 () cĩ đạo hàm suy rộng Du, ||  s, Du  L2(), với chuẩn là ||u||s = 1 2 2 | | | | s D u dx          . Chú ý Đây là khơng gian Hilbert với tích vơ hƣớng | | ( , ) ( ). ( ) s s u v D u x D v x dx      . Với s = 0 thì H0()  L2(). (ii) Nếu s là số thực tùy ý thì Hs(n) được định nghĩa là ( )s nH  {u  S ' | 1ˆ( ) ( )nlocu L   sao cho 2 2ˆ(1 | | ) | ( ) | n s u d    } < . ( )s nH  là khơng gian Hilbert với tích vơ hƣớng Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 10 - (u, v)s = 2 ˆ ˆ(1 | | ) ( ) ( ) n su u d     , 2 2 2ˆ|| || (1 | | ) | ( ) | n s su u d     . Chú ý Nếu u  Hs thì D(u)  | |( )s nH   . 1.3.2. Định lý nhúng Sobolev Định lý. Nếu u  ( )s nH  , s > k + 2 n , k là số nguyên khơng âm thì u  C k hầu khắp và || || || ||k sCu A u , A là hằng số khơng phụ thuộc u. Chứng minh Ta cĩ  ( , ) ( , )2 2 | | ˆ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ). n n i x i x k D u x D u e d u e d                  . Vậy ( , )2 2ˆ ˆ|| ( ) || (2 ) ( ). (2 ) ( ) n n i xD u x u e d u d             .     2 22 22 ˆ|| ( ) || (2 ) 1 ( ) 1 s sn D u x u d             1 1 22 22 2 2 2 ˆ(2 ) 1 ( ) 1 n s s u d d                       1 2 2 2 2(2 ) || || 1 n n s su d               . Mặt khác,         | |2 2 2 2 | | 2 1 1 ' 1 1 ' 1n n n s s s d C d C d                         . Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 11 - Mà s – ||  s – k > n 2 do ||  k  s – || > n 2 nên   | | 2 1 ' 1n s C d        < . Vậy | | | ( ) | || || sup | ( ) | || || || || || || .ks s sC x k D u x C u D u x A u u A u         ■ 1.4. Một số kết quả đã cĩ của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger Xét bài tốn về giá trị ban đầu của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger (NLS) tu = i(u – F(u)), t  0, x  m , m   . Với các giả thiết dƣới đây của F(u) (1.4.1) F  C1 ( ,  ); F(0) = 0, (1.4.2) DF() = O(||k – 1) với k  1, khi || → . Ở đây, đạo hàm DF là đạo hàm theo nghĩa thực, Vì vậy, nĩ cĩ thể đƣợc kiểm tra trên một ma trận thực vuơng cấp 2. Đơi khi (1.4.2) là thừa, trong trƣờng hợp nhƣ vậy ta đặt k = . Chú ý rằng (1.4.2) khơng xác định k một cách duy nhất. Nĩi chung khơng cĩ một quy luật bảo tồn nào cả. Ta bắt đầu với việc tổng :Quan lại về khái niệm tính đặt chỉnh. Theo nguyên lý Hadamard, ta nĩi rằng một vấn đề là (địa phƣơng) đặt chỉnh trong một khơng gian hàm số X đƣợc định nghĩa trên Rm nếu với mỗi   X cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u  C ([0, T ); X) của (NLS) với u(0) = . (Trong định nghĩa này ta cĩ thể bao gồm sự phụ thuộc liên tục của u vào , nhƣng để đơn giản ta sẽ khơng để ý đến điểm này). Tuy nhiên, thực tế thƣờng thì một vài điều kiện (khơng gian) phụ trợ đƣợc cần đến để đảm bảo tính đặt chỉnh. Điều này đƣợc minh họa rõ nhất bởi các ví dụ. Nhắc lại hai định lý sau (theo [11, 12, 14]). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 12 - Định lý A. Trong (1.4.2) giả sử k < 1 + 4 2m  (khơng cần nếu giả thiết m=1). (i) Cho bất kỳ   H1 = H1( m ), khi đĩ cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u C([0, T); H1) của (NLS) với u(0)= . (ii) u cĩ các tính chất thêm vào là u  Lr([0, T); Lq) với 1 q + 2 mr = 1, 1 2 – 1 m < 1 q < 1 2 . Định lý B. Cho k < 1 + 4 m . Với bất kỳ   L2 thì cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u của (NLS) với các tính chất sau (i) u  C([0, T); L2) với u(0)= , (ii) u  Lr((0, T); Lq) với 1 q + 2 mr = 1, 1 2 – 1 m < 1 q < 1 2 . Để chứng minh sự duy nhất chỉ cần điều kiện (i), (ii) với một cặp (q, r) là đủ. Trong Định lý A, phần (i) cấu thành một định lý độc lập bởi chính nĩ. Phần (ii) là phần phát triển thêm, nĩ cĩ thể cĩ hoặc khơng xuất hiện trong định lý. Vì lý do này ta cĩ thể nĩi rằng (ii) là điều kiện phụ cĩ thể bỏ đƣợc, và (NLS) là đặt chỉnh khơng điều kiện trong H1. Trong hầu hết các trƣờng hợp nhƣ vậy, những điều kiện (khơng gian) phụ trợ phát sinh nhƣ những cơng cụ cho việc xây dựng nghiệm. Trong Định lý B, rL ([0, T); qL ) là các khơng gian phụ trợ. Khơng giống nhƣ Định lý A, phần (ii) là một phần cốt yếu của định lý; nếu khơng cĩ một điều kiện nhƣ vậy cho ít nhất một cặp (r, q) thì sự duy nhất cĩ thể khơng đạt đƣợc hoặc thậm chí khơng cĩ ý nghĩa. Trong trƣờng hợp này ta nĩi (NLS) là đặt chỉnh cĩ điều kiện trong L2, với một khơng gian phụ rL ((0, T); qL ). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 13 - 1.5. Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của tốn tử phi tuyến Bổ đề A1. Giả sử F  C1( ;  ); G  C( ;   ) sao cho (1.5.1) |F'( + (1 – )|  ()(G() + G()); ,    , 0    1, ở đây, (.)  L1(0, 1). Khi đĩ ta cĩ với 0 < s < 1 thì (1.5.2) ||sF()||r  c||G()|| q ||s||p ; 1 2 1 1 1 ( = ( ) ) r p q      , p, r  (1, ), q  (1, ], ở đây, c phụ thuộc vào , s, p, q , r ( ký hiệu một hàm số trong m ; trong luận văn ta áp dụng Bổ đề này chỉ cho  mà với nĩ sự tồn tại của s là hiển nhiên). Đây là một dạng biến đổi nhỏ của những kết quả do Christ – Weinstein [4] và Staffilani [13], và cĩ thể đƣợc chứng minh cùng phƣơng pháp nhƣ vậy. Bổ đề A2. Cho F  C1( ;  ), với (1.5.3) F(0) = 0; |F'()|  ||k – 1,    ở đây, k  1. Nếu 0  s  1 thì (1.5.4) ||sF()||r  1 1 1 1|| || || || ; r k s q p k c p q      ; p, q, r  (1, ), trong đĩ, c phụ thuộc vào s, p, q, r (nếu k = 1 đặt p = r và bỏ qua 1|| ||kq  ). Chứng minh Trƣờng hợp s = 0 là tầm thƣờng vì |F()|  c||k – 1 ||. Giống nhƣ vậy với s = 1, vì F() = F'() và ||||p là tƣơng đƣơng với ||||p, ... Vì vậy, ta cĩ thể giả sử rằng 0 < s < 1 thì |F'( + (1 – )|  | + (1 – )|k – 1  c(||k – 1 + ||k – 1). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 14 - Nhƣ vậy điều kiện (1.5.1) đƣợc gặp với G() = c||k – 1. Do đĩ, theo Bổ đề A1 thì (1.5.2) là đúng. Khi đĩ (1.5.4) đƣợc suy ra trong phép đặt 1 q q k   . ■ Bổ đề A3. Cho F  Cn( ,  ), n  .Giả rằng cĩ k  n sao cho (1.5.5) |D i F()|  ||k – i, i = 1, 2, ..., n Nếu 0  s  n thì (1.5.4) là đúng. Hơn nữa, (1.5.6) ||sF(u):R||  c||u:Q||k – 1||su:P|| với R = P + (k – 1)Q, P,Q,R  ', ở đây, c phụ thuộc vào s, P, Q, R .(u là một hàm số tổng :Quát trong (0,T)  m ; ' là  với 2 chiều dọc đã bị bỏ đi). Chứng minh (Theo G.Ponce) Nếu n = 1, (1.5.4) đƣợc chứng minh trong Bổ đề A2. Trƣờng hợp tổng :Quát kéo theo bởi phép qui nạp theo n . Giả sử (1.5.4) đã đƣợc chứng minh với n  1 và giả rằng k  n + 1 ( 2).Nếu s  n thì (1.5.7) ||s+1F()||r  c||  s F()||r = c||  s (F())||r = c||  s (F'())||r  c 1 (|| '( ) || || || || '( ) || || || )s sq p k F F            , 1 r = 1  + 1  ; ở đây, ta đã sử dụng một cơng thức Leibniz suy rộng với những đạo hàm bậc khơng nguyên ( xem ví dụ [4, 5, 9] ). Vì |F'()|  ||k –1, thành phần đầu tiên trong vế phải của (1.5.7) thỏa mãn (1.5.4) với s đƣợc thay thế bởi s + 1. Vì F' thỏa mãn các điều kiện của F với k đƣợc thay thế bởi k – 1, là thành phần thứ hai, bởi giả thiết qui nạp, đƣợc đánh giá trên bởi 2|| || || || || ||k sq       , trong đĩ, 1 1 2 1 1 1k q p q         (nếu k = 2 bỏ qua thừa số 2|| ||kq  ). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 15 - Ở trên ,  là tùy ý chỉ cần thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 p q     trong đĩ, p, q, ,   (1, ). Đặt 1 1 1 1 ; ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) s s s p s q s p s q        . Theo Định lý 3 đƣờng thẳng (xem [1, trang 168]), ta cĩ 1 1 1 1 1 1 1 1 || || || || || || , || || || || || || . s s s s s p q s s s s p q c c                     Kết quả đĩ đƣợc làm trội bởi ||s+1||p||||q . Điều này kéo theo (1.5.4), hồn thành quá trình qui nạp. ■ (1.5.6) đƣợc kéo theo từ (1.5.4) nhƣ cơng thức (1.5.2) đƣợc kéo theo từ bất đẳng thức Holder thơng thƣờng. Những kết quả trƣớc cĩ thể đƣợc chứng minh nếu F() là một đa thức của  và  . Bổ đề A4. Cho s > 0. Thì với bất kỳ số nguyên k  1, ||s(1 ... k)||r  1 1 2 1 22 1 2 (|| || || || ... || || ... || || || || ... || || k k s s p q k q q q k pc         ) với 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... k k kr p q q q q p          , pj  (1, ), qj  (1, ], j = 1, ..., k. Chứng minh Điều này đƣợc kéo theo bởi sự áp dụng lại của cơng thức Lepnit suy rộng đã nĩi đến ở trên. Bổ đề A5. Giả sử F() là đa thức thuần nhất của  và  bậc k  1. Thì (1.5.4) và (1.5.6) là đúng với bất kỳ s  0. Chứng minh Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 16 - Chỉ cần đặt trong Bổ đề A4, j =  hoặc  và pj = p  (1, ), qj = q  (1, ) với 1 r = 1 p + 1k q  . ■ Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 17 - Chƣơng 2. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT 2.1. Định lý duy nhất Để chỉ ra rằng, một điều kiện phụ cĩ thể bỏ đi đƣợc thì cần một Định lý duy nhất mạnh. Mục đích của phần này là để chỉ ra rằng định lý duy nhất (của (NLS)) khơng địi hỏi tính khả vi của nghiệm. Sử dụng định lý này sự tồn tại của các khơng gian phụ trợ đã đƣợc chỉ ra là cĩ thể bỏ đƣợc. Lời trình bày của định lý đƣợc biểu diễn trong dạng "Tính duy nhất trong khơng gian ." Nĩ cĩ nghĩa là (1) Chỉ ra rằng u  là một nghiệm của (NLS) với t  (0, T); (2) Giá trị ban đầu u(0) = 0 lim t u(t) tồn tại nhƣ một hàm suy rộng trên m ; (3) Cĩ cùng lắm là một nghiệm u  của (NLS) với một hàm suy rộng cho trƣớc nhƣ là giá trị ban đầu. Định lý 2.1 (Định lý duy nhất) Giả thiết (1.4.1 – 2). Nếu m  2, sự duy nhất là trong L(L2)  Lr(Lq) thỏa mãn với (2.1.1) 1 1 1 2 m q k   và 1 2 1 2 2 ( 1)q mr m k     trừ một số ngoại lệ sau Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 18 - Nếu k = 1, thì điều kiện 1 2 1 2 2 ( 1)q mr m k     được thay bởi 1 2 1 2q mr   . Nếu 4 1 2 k m     và r = , thay thế  trong (2.1.1) bởi <. Nếu k =  (xem phần1.4 chương 1 ), thay thế Lr(Lq) bởi L( T ). Nếu m = 1 thì sự duy nhất là trong L(L2)  Lr(Lq) thỏa mãn với (2.1.2) 1 q  1 k và 1 2 1 2 2 1q r k     . Chú ý (a) Nhắc lại rằng F khơng :Quyết định k; nếu k đã thỏa mãn (1.4.2) thì bất kỳ k nào khác lớn hơn cũng sẽ thỏa mãn. Điều kiện (2.1.1) trở nên mạnh hơn với k tăng. (b) Các điều kiện đĩ đƣa ra dạng đơn giản hơn khi đƣợc áp dụng với một k đặc trƣng. Ví dụ nếu k < 2 1 m  thì (q, r) = (2, ) đƣợc kéo theo; Do đĩ, sự duy nhất là trong L(L2). Cũng chú ý rằng 1 2 1 2 ( 1) 2m k    nếu 4 1k m   và bằng 2 ( 1)m k  nếu 4 1k m   . Điều kiện đầu tiên trong (2.1.1) là thừa nếu 4 1 2 k m    và r < , bởi vì, nĩ đã đƣợc suy ra bởi điều kiện thứ 2. (c) Sử dụng các ký hiệu hình học đã đƣa ở chƣơng trƣớc ta cĩ các cơng thức sau (theo [7, 8, 11, 12]) (CT1) Nếu R  [PQ] thì L(P)  L(Q)  L(R)  L(P) + L(Q), với Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 19 - || :R||  || :P||1 –  || :Q|| nếu  = |PR|/|PQ|. Thật Vậy Gọi 1 1 1 1 1 1 Q , ; , ; R ,P q p r                    . Khi đĩ L(Q) = Lq(L), L(P) = L p (L  ), L(R) = L r (L  ). Khơng mất tính tổng :Quát ta cĩ thể giả sử 1  q < r  p < , 1   <    < . Đặt  = | | | | PR PQ = 1 1 ( ) 1 1 ( ) q p rr p r p q q p      1 –  = | | | | QR PQ = 1 1 ( ) 1 1 ( ) p r qq r r p q q p     . Xét 1 1 ( ) 1 ( ) 1 . . ( ) ( ) q p r p r q q p q r p q p r p q r           .  (1 ) 1 r r q p     . Tƣơng tự ta cĩ (1 ) 1         .  u  L(P)  L(Q) xét (1 )| ( , ) | | ( , ). ( , ) | m m u x t dx u x t u x t dx          Q R P 1 q 1 r 1 p 1  1  1  Hình 2 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 20 - (1 ) (1 ) .. (1 ) (1 )| ( , ) | | ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | m m m u x t u x t dx u x t dx u x t dx                                 1 1 . .(1 ) | ( , ) | . | ( , ) | m m u x t dx u x t dx                          1 | ( , ) | m u x t dx             1 1 . .(1 ) | ( , ) | . | ( , ) | m m u x t dx u x t dx                        ( ) || ( , ) || mLu x t    ( ) || ( , ) || mLu x t    1 ( ) || ( , ) || mLu x t    . Vì r > 1 nên cĩ ( ) || ( , ) || m r L u x t    ( ) || ( , ) || m r L u x t    (1 ) ( ) || ( , ) || m r L u x t    . Tích phân hai vế ta đƣợc ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t dt   ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t     (1 ) ( ) || ( , ) || m r L u x t dt   ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t dt   . ( ) 0 || ( , ) || m r q qrT r L u x t dt               (1 ) (1 ) . (1 ) ( ) 0 || ( , ) || m r pT pr r L u x t dt               ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t dt   1 . ( ) 0 || ( , ) || m r q qT L u x t dt            . 1 .(1 ) ( ) 0 || ( , ) || m r T pp L u x t dt          1 ( ) 0 || ( , ) || m r rT L u x t dt            1 . ( ) 0 || ( , ) || m T qq L u x t dt          . 1 .(1 ) ( ) 0 || ( , ) || m T pp L u x t dt           ||u :R||  ||u :Q||. ||u :P||1 –  . Vì u  L(P)  L(Q)  ||u :Q|| < ; ||u :P||1 –  < .  ||u R|| <   u  L(R). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 21 -  L(P)  L(Q)  L(R). ■ (CT2) f L(P) và g  L(Q) suy ra rằng fa.gb  L (aP + bQ); với ||fa.gb :aP + bG||  || f :P||a . || g :Q||b, với a, b  0. Thật Vậy Gọi 1 1 1 1 Q , ; ,P q p              .  aP , ; bQ , . a a b b p q               aP + bQ = , ; a b a b p q         Đặt 1 1 , a b a b h k p q       , 1 ha hb ka kb p q     . Với f L(P) và g  L(Q) xét . . 1 1 . . | ( , ). ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | m m m m m m a b h ah bh ha hb ah bh ha hb ha hb f x t g x t dx f x t g x t dx f x t dx g x t dx f x t dx g x t dx                                                      1 | ( , ). ( , ) | m h a b hf x t g x t dx         1 1 . . | ( , ) | . | ( , ) | m m a b f x t dx g x t dx                     ( ) || ( , ). ( , ) || h m a b L f x t g x t   ( ) || ( , ) || m a L f x t   ( )|| ( , ) || m b L g x t     bQ P 1/q 1/p    Q aP aP + bQ Hình 3 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 22 -  ( ) 0 || ( , ). ( , ) || h m T k a b L f x t g x t dt   ( 0 || ( , ) || m T a L f x t   ( )|| ( , ) || m bk L g x t dt  . ( ) 0 || ( , ) || m ka pT pak ka L f x t dt          . ( ) 0 || ( , ) || m kb qT qbk kb L g x t dt          1 . ( ) 0 || ( , ) || m ka T pp L f x t dt         1 . ( ) 0 || ( , ) || m kb T qq L g x t dt         = ||f(x, t) P|| ka . ||g(x, t) Q|| kb  1 ( ) 0 || ( , ). ( , ) || h m T kk a b L f x t g x t dt          ||f(x, t) P||a. ||g(x, t) Q||b  || ( , ). ( , )a bf x t g x t :aP + bQ||  ||f(x, t) ::P||a. ||g(x, t) Q||b. Vì f L(P) và g  L(Q) nên || ( , ). ( , )a bf x t g x t :aP + bQ||  ||f(x, t) :P||a. ||g(x, t) :Q||b <   fa. gb  L(aP + bQ). ■ (CT3) Giả sử T <  và Q\P thì L(Q)  L(P) với đơn ánh bị chặn bởi T với  = y (P – Q). Thật Vậy Vì Q\P nên ta gọi 1 1 1 1 Q , ; ,P q p               L(P) = Lp(L); L(Q) = Lq(L) Khi đĩ  = y (P – Q) = 1 1 p q        1 1 1 p p p q q         P Q 1 p 1 q 1  Hình 4 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 23 -  u  L(Q) ta cĩ ||u :P|| = 1 ( ) 0 || ( , ) || m T pp L u x t          . Xét ( ) 0 || ( , ) || m T p L u x t   , áp dụng Bất đẳng thức Holder ta cĩ ( ) ( ) 0 0 1 . . ( ) 0 0 || ( , ) || 1 . || ( , ) || 1 || ( , ) || . || ( , ) : || m m m T T p p p L L p p qT T qp p p p L p p u x t dt u x t dt dt u x t dt T u x t Q                               ||u :P||  T.||u :Q|| Vì u  L(Q) nên ||u :P||  T.||u :Q|| <   u  L(P)  L(Q)  L(P). ■ (CT4) Tốn tử tích phân G xác định bởi Gf(t) = 0 ( ). ( ) t i U t f d    , là bị chặn từ L(P') bất kỳ với bất kỳ P'  l' vào L(P) bất kỳ với bất kỳ P  l, với biên độc lập với T. Ở đây, L(B) cĩ thể được thay thế bởi BC ([0, T); L2). (CT5) Tốn tử  xác định bởi (  )(t) = U(t), với U(t) = exp(it) là bị chặn từ L 2 vào L(P) với bất kỳ P  l, với biên độc lập với T. Nhắc lại L(B) cĩ thể được thay thế bởi BC ([0, T); L2) trong trường hợp cận là 1. Định lý 2.1 sẽ đƣợc suy ra từ Bổ đề và các cơng thức sau 2.2. Bổ đề 2.2 Giả sử P, Q, R   thỏa mãn (2.2.1) [BQ]\P  l, R = P + (k – 1)Q \ l' (xem hình 5) Khi đĩ sự duy nhất là trong  = L(B)  L(Q). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 24 - O Q Q P R S Chứng minh. Bước 1. Đầu tiên ta chỉ ra   L(P). Thực Vậy CT1 cho thấy  ( )L Q với bất kỳ Q  [BQ]. Do đĩ, từ giả thiết ta cĩ Q \ P, từ CT3 suy ra   L(P). Tiếp theo ta chỉ ra rằng (NLS) là cĩ nghĩa với u  . Để làm đƣợc điều đĩ ta chỉ ra F cĩ thể viết dƣới dạng tổng của hai thế vị lũy thừa đơn (2.2.2) F = F1 + Fk, (2.2.3) |F1()|  M||, |DF1()|  M, (2.2.4) |Fk()|  N|| k , |DF()|  N||k – 1. trong đĩ, M, N  0 là các hằng số. Điều này cĩ thể cĩ đƣợc bằng cách nhân F với những hàm số cắt trơn đã biết. Giả sử u   . Hiển nhiên, F1(u)  L(B). Vì u  L(P)  L(Q) và R = P + (k – 1)Q, theo CT2 Fk(u)  L(R). Do đĩ, F(u)  L(B) + L(R)  L1(L2 + L1), Vì vậy, (NLS) là cĩ nghĩa với tu  L 1 (H –2 + L 1 + L 2 )  L 1 (H –m – 1 ). Từ đĩ dễ dàng kết luận rằng u(0)  H–m – 1  S' tồn tại. Vì vậy, (NLS) là tƣơng đƣơng với phƣơng trình tích phân sau Hình 5 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 25 - (2.2.5) u =  (u(0)) + GF(u), trong đĩ, (2.2.6) (  )(t) = U(t), Gf(t) = 0 ( ) ( ) t i U t f d    , U(t) = e it . Bước 2 Để chỉ ra tính duy nhất trong , giả sử cĩ 2 nghiệm u, v  của (INT) với u(0) = v(0). Bằng phép trừ ta thu đƣợc w = u – v, (2.2.7) w = G(F1(u) – F1(v)) + G(Fk(u) – Fk(v)). Từ đĩ ta sẽ kết luận w = 0 nếu T đủ nhỏ (thƣờng thì độ lớn của T là khơng :Quan trọng trong Định lý duy nhất). Từ (2.2.3 – 4), (sử dụng Định lý giá trị trung bình) ta cĩ (2.2.8) |F1(u) – F1(v)|  M|w|, |Fk(u) – Fk(v)|  cN|w| (|u| k –1 + |v| k – 1 ). Giả sử S  l' sao cho R\S (điều này là tồn tại vì R\ l'). Do đĩ, theo CT4, G là bị chặn từ L(B') vào L(B) và từ L(S) vào L(P). Theo CT3, L(B)  L(B') với phép đơn ánh bị chặn bởi T, và L(R)  L(S) với phép đơn ánh bị chặn bởi T, trong đĩ,  = y(S – R)  0. Do đĩ, ||G(F1(u) – F1(v)) :B||  ||G(F1(u) – F1(v)) :P||  c|| F1(u) – F1(v) :B'||  cT|| F1(u) – F1(v) :B||  cTM|| :B||; Chú ý rằng w  L(B) cho nên || G(Fk(u) – Fk(v)) :B||  || G (Fk (u) – Fk(v)) :P||  c|| Fk(u) – Fk(v) :S||  cT θ || Fk(u) – Fk(v) :R||  cTN || |w|(|u|k – 1 + |v|k – 1) :P + (k – 1)Q|| (theo (2.2.1), (2.2.8))  cT N|| w :P|| (||u :Q||k – 1 + || v :Q||k –1); (theo CT2) Nhắc lại rằng u, v  L(P)  L(Q). Nếu ta đặt  = || w :B||  || w :P||, ta thu đƣợc từ (2.2.7) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 26 -   c(MT + NTK), K = || u :Q||k – 1 + ||v :Q||k –1. Hệ số của  trong vế phải cĩ thể làm nhỏ tùy ý bằng cách lấy T nhỏ, thậm chí lấy  = 0. Thực vậy  = 0 kéo theo R  l', vì P  l, ta cĩ (k – 1)y(Q) = y(R) – y(P) > 0, Do đĩ, y(Q) > 0. Vì || Q|| là chuẩn tích phân và k trở thành nhỏ tùy ý với T nhỏ tùy ý. Điều đĩ chứng minh rằng  = 0, Do đĩ, w = 0. Bổ đề 2.2 đƣợc chứng minh. ■ 2.3. Chứng minh Định lý 2.1 Đặt Q = ( 1 q ; 1 r ). Ta phải chỉ ra tính duy nhất trong L(B)  L(Q). Để đƣợc điều này ta đi kiểm tra các giả thiết của Bổ đề 2.2. Vì đây là một định lý hình học sơ cấp nên nĩ sẽ đủ để chỉ ra cách chọn P, Q, R nhƣ thế nào. Đầu tiên giả sử m  2. Ta xét một vài trƣờng hợp riêng sau (a) 1  k < 1 + 2 m . Ta cĩ thể giả sử rằng :Q = B, bởi vì, nếu tính duy nhất đúng trong L(B) thì nĩ tất nhiên đúng trong L(B)  L(Q) với Q bất kỳ. Vì vậy, đặt P = Q = B thì R = kB\ l'. (b) 1 + 2 m  k < 1 + 4 m . Giả sử lˆ là thác triển lớn nhất trong  của l. (2.1.1) kéo theo rằng :Q là trên hoặc trái của lˆ với x(Q) < ak  1 1 2 m k   1 2 . Sử dụng CT1 và CT3, khơng khĩ để thấy rằng ˆQˆ l sao cho L(B)  L(Q)  L(B)  L( Qˆ ) và Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 27 - x( Qˆ ) = ak – , trong đĩ,  > 0 cĩ thể bé tùy ý cho trƣớc. Vì vậy, ta cĩ thể giả thiết từ đầu là Q thỏa mãn các điều kiện của Qˆ . Sau đĩ, đặt P = Q, và chỉ ra rằng kP = R \ l'. (c) 1 + 4 m  k < . Giả sử ˆ kl là đoạn lớn nhất trong  song song với l và điểm dƣới cùng là (bk, 0), trong đĩ, bk = 2 ( 1)m k   1 2 . Điều kiện thứ 2 trong (2.1.1) là tƣơng đƣơng với Q là trên hoặc trái của ˆ kl . Nhƣ trong trƣờng hợp (b) dễ thấy rằng L(B)  L(Q)  L(B)  L( Qˆ ) với Qˆ  ˆ kl đã biết. Ở đây, y( Qˆ ) = 0 bị loại trừ bởi giả thiết. Nhắc lại ta cĩ thể giả thiết bản thân Q thỏa mãn các điều kiện của Qˆ . Dễ thấy rằng ta cĩ thể chọn P  l và R  l' sao cho (PR) song song với (OQ); chú ý rằng (PR) cĩ thể giữ độ nghiêng bất kỳ trong khoảng (0, ]; với bất kỳ cặp P, Q ta luơn cĩ P + (k – 1)Q = R (đây là một kết quả đơn giản trong hình học); chỉ cịn phải chỉ ra rằng, [BQ] \ P. Điều đĩ là đúng nếu k  1 + 4 2m  ; điều đĩ kéo theo bk  1 2 – 1 m = x(C). (Trong trƣờng hợp này điều kiện đầu tiên của (2.1.1) đƣợc suy ra bởi điều kiện thứ hai). Trƣờng hợp 1 + 4 m  k < 1 + 4 2m  thì phức tạp hơn. Tuy nhiên, nĩ cĩ thể đƣợc chứng minh rằng điều kiện đƣợc yêu cầu cĩ thể đƣợc thỏa mãn bởi một sự lựa chọn thích đáng của P  l và R  l', miễn là x(Q) < ak, đĩ là điều kiện đầu tiên trong (2.1.1). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 28 - (d) k = . Điều đĩ cĩ nghĩa là khơng cĩ giả thiết nào về tốc độ tăng của F(). Trong trƣờng hợp này ta quay lại phƣơng trình tích phân (2.2.7). Nếu u, v  L( T ), giá trị của F() với || đủ lớn là khơng cần để ý đến. Do đĩ, ta cĩ thể giả thiết rằng F() = 0 với || lớn, và một điều kiện bất kỳ của những điều kiện trƣớc cĩ thể đƣợc áp dụng để chứng minh u = v. (Chú ý L(B)  L  ( T )  L(Q) với bất kỳ Q thỏa mãn x(Q)  1 2 ). Trƣờng hợp m = 1 cĩ thể đƣợc vận dụng theo cách trên, chú ý rằng l, l' là đĩng. Nếu k  2, ta cĩ thể giả sử (nhƣ trong trƣờng hợp (a) ở trên) rằng :Q = B. Đặt P = Q = B, R = kB \ l'. Nếu 2 < k  5, (2.1.2) kéo theo Q là trên hoặc trái của ˆ kl với x(Q)  1 k < 1 2 . Nhƣ trong hợp (b) ở trên, ta cĩ thể giả sử rằng :Q là trên l với x(Q) = 1 k . Đặt P = Q thì R = kP \ l'. Nếu k  5, (2.1.2) kéo theo Q là trên hoặc trái của ˆ kl cĩ điểm dƣới là ( 2 1k  , 0). Nhƣ trong trƣờng hợp (c), ta cĩ thể giả sử rằng :Q  ˆ kl với x(Q)  1 k . Khơng khĩ để thấy rằng ta cĩ thể chọn P  l, R  l' sao cho (PR) song song với (OQ) và [BQ] \ P; chú ý rằng (PR) cĩ thể cĩ độ nghiêng tùy ý trong [ 1 2 , ]. Việc xây dựng đƣờng thẳng ở trên cũng suy ra đƣợc P + (k –1)Q = R. 2.4. Hệ quả 2.4.1. Hệ quả 2.4.1 Nếu m  2, sự duy nhất trong L(L2  Lq) thỏa mãn với Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 29 - (2.4.1) 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 ( 1) m q k m k      (q =  nếu k = ). Nếu m = 1, sự duy nhất là trong L(L2  L2 k). Chứng minh Chỉ cần đặt r =  trong Định lý 2.1. ■ 2.4.2. Hệ quả 2.4.2 Cho s 0. Sự duy nhất là trong C([0, T); Hs) trong mỗi trường hợp sau (i) s 2 m , (ii) m  2, 0 s < 2 m và k < 1 + 4 (2 2) 2 s m s    , (iii) m = 1, 0  s < 1 2 và k  2 1 2s . Chứng minh Ta cĩ thể giảm T nếu cần thiết và thay thế C ([0, T); H2) bởi   L  ((0, T); H 2 )  L  (L 2  Lq ), (sử dụng Định lý nhúng Sobolev) q = 2 2 m m s nếu s < 2 m ; q <  nếu s = 2 m , q =  nếu s > 2 m . Vì vậy, ta phải chỉ ra sự duy nhất là trong L(L2  Lq ). Nhìn lại Hệ quả (2.4.1), chỉ cần kiểm tra lại (2.4.2) với q = q . Trƣờng hợp (i) là hiển nhiên, vì nĩ suy ra rằng q =  hoặc lớn tùy ý. Trƣờng hợp (ii) đặt q = q trong (2.4.2) đƣa đến sự thỏa mãn điều kiện. Tƣơng tự, trƣờng hợp (iii) q  2  k đƣợc thấy là thỏa mãn. ■ Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 30 - Chƣơng 3. SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA HS – NGHIỆM. HS NGHIỆM TỒN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ. 3.1. Sự tồn tại địa phƣơng của Hs – nghiệm Ta quay lại với một vài vấn đề về sự tồn tại, và đƣa ra một chứng minh mới về tính giải đƣợc địa phƣơng của (NLS) trong Hs với giá trị s > 0 thực. Hs nghiệm đƣợc xây dựng trong [3] chủ yếu là cho thế lũy thừa đơn F(u), sử dụng khơng gian phụ Besov. Ta xét mở rộng tổng :Quát F(u) với sự suy giảm yếu nhất tại u = 0, sử dụng khơng gian phụ s = (1 – ) –s/2 ({L(P); P  l}) (3.1.1) = {Lr(Lq,s); 1 2 1 1 ; 2 2 r q mr    }. Ở đây, , / 2(1 )q s s qL L  là một khơng gian Lebesgue. Chuẩn của   Lq,s là tƣơng đƣơng với ||||q  || s||q trong đĩ,  = (– ) 1/2 . Đặc biệt điều này là đúng cho Hs = L2, s. Với thế F(u), ta tạo giả thiết (F1), (F2) đƣa ra dƣới đây, trong đĩ, {s} ký hiệu là số nguyên dƣơng nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng s. (Vì vậy, {s} = [s] + 1 nếu khơng là số nguyên, {s} = s nếu s số nguyên  1, và {0} = 1). On là ký hiệu Landau, nĩ cĩ thể đƣợc đạo hàm n lần. Vì vậy, F = O{s}(||k) nghĩa là (3.1.2) D i F() = O(||k – i), i = 0, 1, ..., {s}.  là hàm số thực mở rộng đƣợc cho bởi Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 31 - () = 1 + 4 2m  ; –     2 m ((– ) = 1; 2 m         ). Với hàm ngƣợc là –1() = 2 2 1 m    ; 1    , –1(1) = – ; –1() = 2 m . (F1) (tính trơn) F  C {s} ( ;  ), với F(0) = 0. (F2) (tốc độ tăng với  lớn) Nếu s > 2 m , khơng cần giả thiết. Nếu s  2 m và nếu F() là đa thức của  và  thì bậc của F bằng k  (s). Nếu s  2 m và nếu F khơng là đa thức thì F() = O {s} (||k) khi || → . Trong đĩ, k là một số hữu hạn thỏa mãn (3.1.3) {s}  k  (s). Chú ý (a) (3.1.3) kéo theo (3.1.4) {s}  (s), một sự hạn chế của s khi F khơng là đa thức. Rõ ràng (3.1.4) chứa cả trƣờng hợp s  0 nếu m  6. Nếu m  7, vùng cĩ thể chấp nhận của s về cơ bản gồm cĩ hai khoảng [0, 1] và [ s , ] trong đĩ, s là hơi nhỏ hơn 2 m . Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 32 - Nếu m = 7, ở đây, cĩ một khoảng khác [1,5; 2] nằm giữa, nĩ đƣợc thu gọn thành một điểm {2} nếu m = 8 và {5} nếu m = 11. Với những giá trị của s nằm ngồi các khoảng đĩ, định lý của ta chỉ áp dụng với đa thức F cĩ bậc nhỏ hơn hoặc bằng (s). Nĩ là điều thất vọng nếu m  7, giá trị của s chỉ lớn 1 đã bị loại trừ với F khơng là đa thức, hoặc là đa thức, duy nhất đa thức tuyến tính là đƣợc chấp nhận (bởi vì, (s) < 2) (b) Cĩ một lý thuyết độc lập cho H2– nghiệm (xem [3, 12, 15]), nĩ sẽ bổ sung cho kết quả của ta . Nĩ chỉ ra rằng (NLS) là đặt chỉnh trong H2 nếu F  C1 và k < (2), một trƣờng hợp khơng đƣợc xét bởi định lý dƣới đây. Nĩ là khơng biết cĩ hay khơng với những giá trị khơng nguyên của s  (1, 1) chẳng hạn. (c) Vì (F2) là về tốc độ tăng của F(), điều kiện k  {s} trong (3.1.3) cĩ thể xuất hiện kỳ lạ. Nhƣng vì (3.1.2) khơng tạo ý nghĩa nhiều nên k < {s}, điều kiện này là tự nhiên. Nếu (3.1.2) xảy ra với k < {s}, ta cĩ thể luơn luơn tăng nĩ lên tới k = {s} để thỏa mãn cả (3.1.2 – 3) với điều kiện là (3.1.4) đƣợc thừa nhận. Sự phức tạp nhƣ vậy khơng xuất hiện nếu F là 1 đa thức. Định lý 3.1.1 Giả sử (F1), (F2), khi đĩ với bất kỳ   H s, cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u  C([0, T]; Hs)   s của (NLS) với u(0) = . Khơng gian phụ  s là cĩ thể bỏ được (vì (NLS) là đặt chỉnh tuyệt đối trong Hs) nếu s  m 2 , hoặc nếu s < m 2 và (3.1.5) k < 1 + 4 (2 ) 2 s s m s    (k  2 1 2s nếu m = 1). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 33 - Chú ý (d) (3.1.5) là điều kiện nhẹ. Nếu 1  s < m 2 , chỉ cĩ một trƣờng hợp (dƣới (F2)) khơng thỏa mãn (3.1.5) đĩ là trƣờng hợp "tới hạn" k = (s) . Cĩ một vài trƣờng hợp nhƣ vậy nữa với 0 < s < 1. (e) Các nghiệm đƣợc đƣa ra bởi [3] là trùng với nghiệm của ta. Điều đĩ là hiển nhiên trong trƣờng hợp khơng điều kiện. Ngay cả trong trƣờng hợp cĩ điều kiện, nĩ vẫn đúng vì tất cả các nghiệm đều cĩ thể tính đƣợc bằng cách xấp xỉ liên tục với hàm số ban đầu U(t). Định lý 3.1.2. ( Vùng tồn tại) Cho [0, T *) là khoảng lớn nhất của sự tồn tại của u trong Định lý 3.1.1. T* phụ thuộc vào theo các cách sau (i) Cho s  m 2 . Cố định  sao cho (3.1.6)   [0; m 2 )  [– 1 (k), s] (ia) Nếu  > – 1 (k), thì cĩ một hàm số dương, đơn điệu tăng  =  với (+0) = , sao cho T*  (|| ||2). Vì vậy, T * cĩ thể được đánh giá chỉ theo ||||2 và T * →  khi ||||2 → 0 (ib) Nếu  = – 1 (k), T* chỉ cĩ thể được ước lượng theo chuẩn của   L2, chứ khơng nhất thiết chỉ phụ thuộc vào chuẩn (đĩ là giá trị duy nhất chấp nhận được của  (= s) trong "trường hợp tới hạn" k = (s)). (ii) Cho s > m 2 . Cố định  sao cho (3.1.7) m 2 <   s. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 34 - Thì cĩ một hàm số  với những đặc tính như trên sao cho T *  (||||2  || ||2). Chú ý (f) Trong trƣờng hợp (i), (3.1.6) bao gồm  = s nếu s < m 2 nhƣng khơng gồm trƣờng hợp s = 2 m , nĩ sẽ phức tạp hơn khi  = 0. Nĩ đã cĩ trong trƣờng hợp (ia) khi k < 1 + 4 m = (0), và trong (ib) khi k = (0) (nhƣng nhớ rằng k  {s} trừ khi F là đa thức). Chú ý rằng ||||2 với  khác là khơng so sánh đƣợc, tất cả chúng đƣợc làm trội bởi |||| sH . Bất đẳng thức || ||2  []  1 2 2|| || || || ss s       chỉ ra rằng T*  ([]). Đặc biệt T* →  nếu ||||2 → 0 với || ||2 cố định. Hệ quả 3.1.3 (tính đều) Trong Định lý 3.1.2, giả sử rằng T* < . Trong trường hợp (ia), || u(t)||2 bùng nổ tại t = T * với tất cả  trong (3.1.6). Trong trường hợp (ii), ||||2  || ||2 bùng nổ tại t = T * với tất cả  trong (3.1.7). Chú ý (g) Trong trƣờng hợp (ia), ||u(t)||2 bùng nổ nếu k < 1 + 4 m . Nếu s = m 2 ta khơng biết ||su(t)||2 bùng nổ hay khơng. Nhƣng ||u(t)||2  || s u(t)||2 thì cĩ, vì nĩ làm trội || u(t)||2 với   (0, s). Định lý 3.1.1–2 sẽ đƣợc chứng minh trong phần tiếp theo. Ở đây, ta chứng minh một bổ đề về sự phân tích F(u) thành các thành phần tựa thuần nhất, tổng Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 35 - :Quát hĩa (2.2.2). Ta nĩi rằng một hàm số F:  →  là tựa thuần nhất bậc k và bậc n nếu F là On(||k) khi || → 0 và → , chính xác hơn nếu (3.1.8) |D i F()|  M.||k – i, 0  i  j  n,   C Trong đĩ, M là hằng số, nĩ đƣợc gọi là "sức mạnh" của F. Chú ý rằng F cĩ thể là hai bậc khác nhau đồng thời. Ví dụ F  0C  (  \{0} ) là tựa thuần nhất bậc bất kỳ. Bổ đề 3.1.4 Giả sử (F1–2) với s  m 2 . Nếu F là một đa thức bậc k, hiển nhiên nĩ là tổng của các đa thức thuần nhất bậc từ 1 tới k. Ngồi ra F cĩ thể được viết dưới dạng (3.1.9) F = F1 + F2 + ...+ F{s} –1 + F{s} + Fk , trong đĩ, Fj với j = 1, ...., {s} – 1 là đa thức thuần nhất bậc j, trong khi F{s} và Fk tƣơng ứng là tựa thuần nhất bậc {s} và bậc k. Nếu k = {s}, F{s} là thừa và sẽ bị bỏ qua. (Chú ý rằng ở đây, và trong phần tiếp theo ta sử dụng chỉ số dƣới k khơng cần phải là số nguyên). Chứng minh Giả sử R() là phần dƣ trong khai triển Taylor của F() từ  = 0 đến bậc {s} – 1. Theo (F1–2), R() là O{s}(||{s}) với  nhỏ và là O{s}(||k) với  lớn. Nếu k = {s}, ta đặt Fk = R, Vì vậy, kết quả khơng cĩ số hạng F{s}. Nếu k > {s}, ta chia R thành hai phần F{s}, Fk với những thuộc tính nhƣ đã đƣa ra ở trên, đặt F{s} = R, Fk = (1 – )R, trong đĩ,  là hàm số trơn với giá compact nĩ bằng 1 trong một lân cận của gốc. ■ Chú ý Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 36 - (h) Bổ đề (3.1.4) là ít đƣợc sử dụng nếu F đã là tựa thuần nhất. Nếu ứng dụng nhƣ vậy vào hàm F nĩ sẽ chia F thành 2 phần (trừ khi k = {s}). Chứng minh Định lý 3.1.1–2 Ta giả sử rằng F khơng là đa thức cho đến hết phần này, ở đây, trƣờng hợp đa thức đã đƣợc chú giải ở trên ta xét một vài trƣờng hợp khác nhau, phụ thuộc vào sự phân loại trong Định lý 3.1.2. Trƣờng hợp (ia) (s  m 2 ,   [0, m 2 )  (–1(k), s]) Bước 1. Trƣớc tiên ta cần một vài kết quả hình học. Đặt (3.1.10) B = ( 1 2 – m  , 0)   (sao cho x(B) > 0). Ký hiệu l là đƣờng thẳng đi qua B song song với l chia cắt phần ngồi của . Bổ đề 3.1.5 Cho {s} + 1 điểm B = P1, P2, ..., P{s} và Pk trên l, Q  l với y(Q)  y(Pk) (Q = B là chấp nhận được nếu m  2). Với các tính chất sau (xem hình 6) (P{s} sẽ bỏ được nếu k = {s}) (3.1.11) Pj + (j – 1)Q  Rj \ l' (nghiêm ngặt), j = 1, 2, ..., {s}, và k. m = 3 s = 5 4 ; {s} = 2 (s) = 9 k = 4, –1(k) = 5 6 ;  = 1 B = ( 1 6 , 0); () = 5. O B l Q P4 P2 R2 R4 S4 S2 B' = S1 P1 = B = R1 Hình 6 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 37 - Chứng minh. Đầu tiên chọn Pk  l sao cho | | 1 1 | | ( ) 1 kBP k BC       . Nếu m  2, (3.1.11) là đúng với Q = B bằng cách đặt (3.1.12) Pj = ((k – j)B + (j – 1)Pk)/(k – 1) j = 1, ..., {s}. (Nếu k = 1 điều đĩ kéo theo {s} = 1, đặt P1 = B). Thực ra Rj là trên đoạn thẳng [BC') ta cũng cĩ thể di chuyển Q lên một đoạn nhỏ trên l Giữ nguyên các tính chất (3.1.11). Nếu m = 1 ta chọn Q gần tâm l. Việc chứng minh là sơ cấp và cĩ thể bỏ qua. Bước 2. Bây giờ ta sẽ giải phƣơng trình tích phân (xem (2.2.6)) (INT) u = u   + GF(u) với (3.1.13) u  sY  (1 – )–s/2(L(Pk)  L(B)), ở đây, khoảng [0, T) là đƣợc ngầm hiểu. Giả sử  là tập con đĩng, bị chặn của sY sao cho (3.1.14a, b) ||u B||  ||u :Pk||  L, || s u B||  ||su :Pk||  K, (3.1.14c) ||u B||  ||u :Pk||  N, trong đĩ, T, L, K và N là đã đƣợc xác định.  là tập con đĩng, bị chặn của sY . Bổ đề 3.1.6. T, L, K và N cĩ thể được chọn sao cho ánh xạ  từ  vào  trở thành ánh xạ co trong metric– L(Pk), khi đĩ  là đầy đủ. (Vì vậy,  cĩ một điểm cố định u, nĩ sẽ là nghiệm cần tìm của (NLS)). Chứng minh Do chứng minh nhƣ vậy là cơ bản, ta sẽ bỏ qua chi tiết và ta sẽ hạn chế bằng cách chỉ đƣa ra những đánh giá cần thiết. Do đĩ, ta sẽ sử dụng một vài Bổ đề về đạo hàm cấp phân số của F(u) đã đƣợc đƣa ra trong chƣơng 1. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 38 - Cho u   . Từ Pj  [BPk] ta cĩ từ CT1 và 3.1.14. (3.1.15) || u :Pj ||  L; ||  s u :Pj ||  K, ||   u :Pj ||  N, j = 1, ..., {s} và k. Hơn nữa,, ta cĩ (3.1.16) u  L(Q) với || u :Q ||  cN. Thực vậy, vì khoảng cách nằm ngang của Q tới l bằng m  , (3.1.16) đƣợc kéo theo từ (3.1.14a) và Định lý nhúng Sobelev . Mặt khác,, trong (3.1.8) và (3.1.11) với j = k, nĩ kéo theo từ cơng thức 2, Bổ đề A3 (với s đƣợc thay bởi 0, s,  ), (3.1.14) và (3.1.16) nhƣ sau (3.1.17a) || Fk(u) Rk||  cMk|| u :Pk|| ||u :Q|| k – 1  cMkLN k – 1 , (3.1.17b) ||sFk(u) Rk||  cMk||  s u :Pk ||||u :Q|| k – 1  cMkKN k – 1 , (3.1.17c) || Fk(u) Rk||  cMk||  s u :Pk ||.||u :Q|| k – 1  cMkN k . Ở đây, Mk là độ mạnh của Fk . Những kết quả giống nhƣ vậy đạt đƣợc cho Fk đƣợc thay thế bởi F{s} với chỉ số k đƣợc thay thế hồn tồn bởi {s}. Ta cũng chỉ muốn một ứng dụng giống nhƣ vậy cho Fj với j  {s} – 1 nhƣng Bổ đề A3 (địi hỏi k  n) khơng thể áp dụng cho nĩ đƣợc. Để thay thế ta cĩ thể sử dụng Bổ đề A5 (nĩ khơng cĩ một sự hạn chế nào cả), vì Fj là các đa thức. Bằng cách đĩ, với Mj là độ mạnh của Fj ta cĩ (3.1.18a,b) || Fj(u) Rj ||  cMjLN j – 1 , || sFj(u) Rj ||  cMjKN j – 1 , (3.1.18c) || Fj(u)Rj||  cMjN j , 1  j  {s} . Vì Rj \ l' ( bao gồm j = k ), cĩ Sj  l' sao cho Rj\ Sj (với tất cả quan hệ ngặt \ ), Vì vậy, L(Rj)  L(Sj) với đơn ánh bị chặn bởi lũy thừa đơn j của T theo CT3 ( ở đây, 1 = 1, vì P1 = R1 = B, S1 = B'). Vì ánh xạ G từ L(S) bất kỳ vào L(P) bất kỳ là liên tục với P  l (CT4), và vì s,  thay thế G, ta kết luận từ (3.1.9) nhƣ sau Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 39 - (3.1.19a) || GF(u) B ||  || GF(u) Pk ||  cL(T, N); (3.1.19b) || sGF(u) B ||  || sGF(u) Pk ||  cK(T, N); (3.1.19c) || GF(u) B ||  || GF(u) Pk ||  cN(T, N); với (3.1.20) (T, N) = M1T + M2N T • + ...+ MkN k – 1 T•, ở đây, T• ký hiệu là lũy thừa dƣơng đã biết của T. Bước 3 Vì   Hs, Mặt khác, CT5 chỉ ra rằng   sY  sY , với || B||  || Pk||  c0|| ||2 với  = 0, s, . Từ (3.1.19) suy ra  là ánh xạ từ  vào chính nĩ nếu (3.1.21a,b) c0||||2 + cL(T, N)  L, c0|| s||2 + cK(T, N)  K, (3.1.21c) c0|| ||2 + cN(T, N)  N. ở đây, (3.1.21c) cĩ thể đƣợc thỏa mãn nếu ta chọn N = 2c0|| ||2 và T đủ nhỏ, phụ thuộc vào ||||2. Khi đĩ (3.1.21a, b) đƣợc thỏa mãn bằng cách chọn L và K lớn. Chú ý rằng, (3.1.21c) kéo theo c(T, N) < 1. Bằng cách này, ta vừa chỉ ra rằng  ánh xạ từ  vào chính nĩ bởi một sự lựa chọn T, L, K, N thích hợp, với T chỉ phụ thuộc vào ||||2. Việc chứng minh  là một phép co trong metric–L(Pk) (Hơn nữa, việc rút gọn T nếu cần thiết) là thơng thƣờng. Đến đây hồn thành chứng minh Bổ đề 3.1.6.■ Khi INT đã đƣợc giải, thì CT4 chỉ ra rằng u, su  C ([0, T); B)  L ( )P với P  l, Do đĩ, u  C([0, T); H s )  s. Sự đặt chỉnh khơng điều kiện đƣợc Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 40 - nĩi đến trong định lý này đƣợc suy ra từ sự duy nhất mà đƣợc kéo theo bởi Hệ quả 3.1.3. Định lý 3.1.1 đã đƣợc chứng minh trong trƣờng hợp (ia). Trƣờng hợp (ib) (s  2 m ) với  =  –1 (k)  0) Trong trƣờng hợp này ta cần một vài sự điều chỉnh trong chứng minh của phần (ia) đƣa ra ở trên. Việc xây dựng trong Bổ đề 3.1.5 sẽ dẫn tới Pk = C là khơng thuộc l, trong khi Rk sẽ thuộc l' (giả sử rằng :Q  B). Nếu ta di chuyển Pk xuống một chút trên l từ C, thì Rk sẽ di chuyển xuống trên l' (đây là một kiến thức hình học). Theo cách này thì tƣơng tự Bổ đề 3.1.5, ngoại trừ Rk  l' (khơng chặt phía dƣới). Đĩ là một kết quả xấu chắc chắn xảy ra, khi j = k thì sẽ làm mất đi một số lần nhân tử  đĩ là điều cần thiết trong chứng minh ở trên. Để vƣợt qua đƣợc khĩ khăn này, ta làm mịn (3.1.14c) thành ||u B||  N, ||u :Pk||   N < N, trong đĩ,  < 1 là một tham số nhỏ bất định. Khi đĩ ta cĩ thể chỉ ra rằng sử dụng CT1 và Định lý nhúng Sobolev nhƣ trong (3.1.16) thì ||u :Q||  c   N, với 0 <  < 1. Theo cách này ta đi tới bất đẳng thức (3.1.21), ở đây, (3.1.21c) sẽ đƣợc thay thế bởi hai bất đẳng thức (3.1.22c',c'') c0.|| ||2 + cN1  N, c0.||  Pk|| + cN1   N, trong đĩ, (3.1.23) 1 = 1(T, N,  ) = M1T + M2N T • + ...+ M{s}N {s}–1 T•+ Mk  1+ N k–1 . Chú ý rằng số hạng cuối cùng trong 1 khơng cĩ một nhân tử T •nào nhƣng lại cĩ một nhân tử  1+. Ta làm thỏa mãn (3.1.22c') bằng cách chọn Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 41 - N = 2c0|| ||2, T và  nhỏ. Khi đĩ ta làm thỏa mãn (3.1.22 c'') bằng cách thay  bằng <, nếu khơng để ý đến số hạng tự do thì bằng cách làm nhỏ Hơn nữa, T và  ; chú ý rằng 1 cĩ một lũy thừa  lớn hơn 1. Sau đĩ, T đƣợc làm nhỏ đi Hơn nữa, cho tới khi số hạng tự do || Pk|| nhỏ, sao cho (3.1.22 c'') đƣợc lập thành; ở đây, || Pk|| là chuẩn tích phân và dần tới 0 với T là cần thiết. Tuy vậy (3.1.22a, b) cĩ thể đƣợc thỏa mãn bằng cách chọn L và K lớn. Tổng :Quát lại T cĩ thể đƣợc xác định phụ thuộc vào   L2, nhƣng khơng cần thiết chỉ là chuẩn. Với kết quả này, ta đã chứng minh đƣợc một sự tƣơng tự Bổ đề 3.1.6. Phần cịn lại của chứng minh cĩ thể đƣợc bỏ qua. Trƣờng hợp (ii) ( s > m 2 ) ; (  ( m 2 , s]). Xác định  bởi điều kiện sau (3.1.24) || u B||  ||u B||  N  2||||2  || ||2, || s u B||  K. Vì  > m 2 , u   kéo theo || u :Q||  C.N với bất kỳ Q  [OB], theo Định lý nhúng Sobolev. Đặc biệt u(t, x) là bị chặn đều, Vì vậy, ta cĩ thể biến đổi F() tùy thích với || lớn, miễn là ta xét F(u) với u   . Vì vậy, ta cĩ thể giả sử rằng F cĩ một tốc độ tăng hữu hạn k > {s}. Khi đĩ ta áp dụng Bổ đề 3.1.4 vào sự phân tích F = F1 +... + F{s} + Fk. Vì sự sửa đổi của F sử dụng ở đây, chỉ phụ thuộc vào N nên các kết quả (bao gồm cả các giá trị của Mj) chỉ phụ thuộc vào N. Sau đĩ, ta cĩ thể chọn Q  (OB) đủ gần tới O để B + (j – 1)Q \ l' với j = 1, ..., {s}, k. Thì (3.1.11) đạt đƣợc với Pj = B. (Ở đây, ta chỉ sử dụng cạnh cơ sở của ). Các lập luận cịn lại giống trƣờng hợp (i). Ta thu đƣợc một kết quả tƣơng tự (3.1.21) trong dạng sau Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 42 - (3.1.25a, b) ||||2  || ||2 + cN(T, N)  N, || ||2 + cK(T, N)  K, ở đây, (T, N) giống trong (3.1.20). Nhƣng (3.1.25 a) đã vừa xuất hiện trong (3.1.24) với T = 0. Ở đĩ nĩ đúng với T đủ nhỏ. Khi đĩ (3.1.25 b) cĩ thể đƣợc thỏa mãn bằng cách chọn K lớn. Phần cịn lại của chứng minh này cĩ thể đƣợc bỏ qua. ■ Chứng minh Định lý 3.1.2. Ta đã vừa chỉ ra trong trƣờng hợp (ia), T* là đƣợc ƣớc lƣợng phụ thuộc vào ||||2. Nĩ đƣợc chờ đợi rằng T* sẽ lớn nếu || ||2 nhỏ, nhƣng điều này khơng đƣợc kéo theo trực tiếp từ (3.1.21c), vì (T, N) chứa một thành phần M1T là độc lập với N (xem 3.1.20). Vì vậy, ta sẽ phải lặp lại lập luận đĩ. Đặt T = T = 1 2c M1. Khi đĩ (3.1.21c) trở thành (3.1.26) c0|| ||2 + N'(N)  2 N , ở đây, '(N) là một giả đa thức của N với lũy thừa dƣơng hoặc '(N) = 0. Vì (3.1.26) cĩ một nghiệm N nếu ||||2 đủ nhỏ. Chính xác hơn, cho  > 0 và  > 1 sao cho ||||2     kéo theo N  . Ta bắt đầu :Quá trình này trong khoảng [ T, 2T ] chú ý rằng giá trị ban đầu ||u(T )||2 cho khoảng mới khơng đƣợc vƣợt quá giá trị cũ của N, và tiếp tục nhƣ vậy. Nĩ kéo theo nếu ||||2   –n  , thì N tồn tại trên các khoảng [0, T ], ..., [(n – 1)T , nT ] với N   sao cho T *  nT . Vì T * lớn tùy ý nếu ||||2 là đủ nhỏ (chứng minh này sẽ chỉ ra rằng T * ít ra là bậc log(1/||||2)). Một chứng minh tƣơng tự đƣợc đƣa ra trong trƣờng hợp (ii), nhƣng ||||2 phải đƣợc thay thế bởi ||||2  || ||2. Chú ý trong trƣờng hợp đa thức F Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 43 - Trƣờng hợp k  {s} khơng đƣợc giả thiết đến, nhƣng chứng minh đƣa ra ở trên là đúng. Thực tế, ta chỉ cần điều kiện bởi vì, Bổ đề A3 yêu cầu k  n. Nếu F là đa thức, ta khơng cần Bổ đề A3; Bổ đề A5 đủ để thay thế rồi, nhƣ chú ý ở trên. 3.2. H s – nghiệm tồn cục cho điều kiện ban đầu nhỏ Trong phần này ta chứng minh sự tồn tại của Hs – nghiệm tồn cục dƣới những điều kiện nhẹ hơn. Với sự vắng mặt của các quy luật bảo tồn, nghiệm tồn cục đã đƣợc biết đến chỉ tồn tại cho thế tựa thuần nhất F(u) cĩ bậc tới hạn (xem [3]). Ở đây, ta giả thiết ít hơn, chỉ thêm vào một điều kiện duy nhất ta cần là (F3) F() = O{s}(||h) khi ||  0, ở đây, h = 1 + 4 m = (0). Định lý 3.2.1 Giả sử (F1), (F2), (F3) (i) Nếu   Hs với |||| H đủ nhỏ, thì (NLS) cĩ một nghiệm tồn cục duy nhất u thuộc BC([0, ); Hs)  s với u(0) = , ở đây, s được đưa ra bởi (3.1.1) trên khoảng [0; ). Khơng gian phụ trợ s là cĩ thể bỏ được với những điều kiện giống như trong Định lý 3.1.1. Ở đây,  là một số bất kỳ thỏa mãn (3.1.6) hoặc (3.1.7), theo s  2 m hoặc s > 2 m . ii) Nếu s  m 2 và F là tựa thuần nhất bậc k, thì kết luận là đúng với   Hs với 2|| ||  đủ nhỏ, ở đây,  = 0  –1(k). Chú ý (a) Nhắc lại rằng ta giả sử {s}  k (trong các điều kiện khác) trừ khi F là đa thức Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 44 - (xem (F2)). (b) Nếu s  2 m , phần (i) địi hỏi rằng chuẩn khơng thuần nhất || || H  là nhỏ; Do đĩ, kết quả là tối ƣu, ít ra là về mặt định tính khi  =  = 0  –1(k), giá trị dƣơng nhỏ nhất của . Nếu s > 2 m , dƣờng nhƣ khơng cĩ một giá trị tối ƣu nào. Mặt khác, phần (ii) bao gồm chuẩn thuần nhất ||||2 và xuất hiện chỉ đúng với  =  (xem [3]). Chú ý rằng nếu k = (s) (trƣờng hợp tới hạn) chỉ cĩ một giá trị cĩ thể của  là s. Tất nhiên tất cả những điều kiện nhỏ đĩ đƣợc gặp nếu || || sH đủ nhỏ. (c) Chúng ta cĩ thể phát triển thành một lý thuyết tán xạ cho những nghiệm nhỏ u đƣợc xem xét. Ví dụ cho   Hs thỏa mãn u(t) – U(t) → 0 trong H s khi t → . Xem [12] cho vấn đề này và kết quả liên quan. Để chứng minh Định lý 3.2.1, ta sử dụng chú ý của phần trƣớc. Nếu F là một đa thức, áp dụng chú ý cuối cùng của phần 5. Do đĩ, ta cĩ thể giả sử trong Hệ quả là F khơng là một đa thức. Khi s  2 m , thì rất thuận tiện để chia thành 2 trƣờng hợp h  {s} và h > {s}. Trƣờng hợp (i') (s  m 2 và h  {s}). Từ giả thiết (F3) kéo theo Fj với j < h là khơng cĩ trong (3.1.9), vì chúng là các đa thức bậc j. Vì vậy, chỉ số dƣới j chỉ cĩ thể chạy từ {h} tới k. Ta sử dụng một phép đặt hình học khác so với phép đặt hình học đã sử dụng trong chứng minh Định lý 3.1.1. Chọn hai điểm K  l', P  l trên đƣờng Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 45 - chéo chính x = y. Thì dễ dàng thấy rằng R = hP. Hơn nữa, ta chọn các điểm Qj trên (OP] sao cho (3.2.1) R = hP = P + (j – 1)Qj, j = {h}, ..., {s}, k. (xem hình 7), Qj  (OP] vì j  h. Khơng giống nhƣ Bổ đề 3.1.5, ở đây, ta sử dụng một cặp điểm đơn P  l, R  l' và một vài điểm Qj. Giả sử l giống nhƣ trƣớc đây (xem phần sau của (3.1.10)) và giả sử Q = l  (OP], sao cho P + (() – 1)Q = R. Vì j  k = (  )  () ta cĩ |OQ|  |OQj) với tất cả j (cả k). Mặt khác,, Qj  [PQ]. Ta sẽ chứng minh tƣơng tự Bổ đề 3.1.6 với T = . Giả sử 2 s (1 ) ( ( ) ( )) s L P L B     Y trên (0, ). Ta định nghĩa tập   sY theo (3.1.14), ở đĩ Pk sẽ đƣợc thay thế bởi P. Bổ đề 3.2.2. Nếu   Hs với ||||2  || ||2 đủ nhỏ, các tham số L, K, N cĩ thể chọn sao cho ánh xạ  từ  vào  trở thành ánh xạ co trong L(P) – metric. Chứng minh m = 5 s = 9 4 , {s} = 3, (s) = 9 k = 4, –1(k) = 11 6 ,  = 2 B = ( 1 10 , 0), () = 5. • • • • • • 2(1 ) ( ( ) ( )) s s L P L B       • Q Q4 Q3 Q2 P R B B Hình 7 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 46 - Vì Q  l , ta cĩ ||u :Q||  cN nhƣ trong (3.1.16). Vì ||u :P||  L và vì Pj  [PQ], từ CT1 kéo theo ||u :Qj||  cL  N. Sử dụng (3.2.1) và Bổ đề A3, A5 (chƣơng 1) , nhƣ trong chứng minh Định lý 3.1.1, ta sẽ suy ra một bất đẳng thức tƣơng tự (3.1.21), ở đấy Pk sẽ đƣợc thay thế bởi P và (T, N) đƣợc thay thế bởi 2(L, N) = c 1 j {h} j k M ( ) jL N     . Điểm quyết định ở đây, là nhờ cĩ R  l' nên 2 khơng chứa T mà nĩ xuất hiện trong . Nhƣng 2 cĩ hai tham số L, N ta phải giải hai bất đẳng thức (đã làm sai lệch đi) (3.1.21a) và (3.1.21c) nhƣ là một hệ cho L và N; điều này cĩ thể làm đƣợc nếu ||||2  || ||2 là đủ nhỏ. Sau đĩ,, (3.1.21b) cĩ thể đƣợc giải bằng cách làm K lớn. Nĩ sẽ chứng minh rằng ánh xạ  là ánh xạ từ  vào chính nĩ với các giá trị của L, K, N. Nhƣ thƣờng lệ phần cịn lại của chứng minh Bổ đề và định lý này cĩ thể đƣợc bỏ qua. Trƣờng hợp (i") (s  2 m và h > {s}) Ta luơn luơn cĩ trƣờng hợp này nếu s  (0, 1) (trừ khi m = 1). Ngồi ra nĩ chỉ thỏa mãn với m  3. Tất cả những đa thức Fj, 1  j  {s} – 1 bị bỏ qua. Vì vậy, F = F{s} + Fk theo Bổ đề (3.1.4) (ở đây, F{s} là thừa nếu k = {s}). Nếu k > {s} thì Fk là đồng nhất 0, gần  = 0 (xem chứng minh của Bổ đề 3.1.4) sao cho F{s} = O(|| h) với  nhỏ Vì {s} < h, kết quả nhƣ vậy vẫn đúng với  lớn. Vì vậy, ta thấy nĩ thuận tiện để viết lại F{s} nhƣ là Fh, sao cho Fh, Fk là tựa thuần nhất bậc h, k tƣơng ứng. Ở đây, k  h là dƣơng (nếu nĩ xảy ra). Tuy nhiên, F tự nĩ là tựa thuần nhất bậc h, và ta cĩ một thành phần đơn F = Fh, Fk là thừa. Phép đặt hình học của ta bây giờ gồm 3 điểm R  l', Qh = P  l và Qk  (OP] trên đƣờng chéo chính với Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 47 - R = hP = P + (k – 1)Qk, Qk  [PQ], Q  l  (OP], ở đây, Qk là thừa nếu k  h. Với những lý Do đĩ, phần cịn lại của chứng minh này là giống nhƣ trên. Trƣờng hợp (i"') (s > 2 m ) Với bất kỳ   , 2 m s       cố định, ta định nghĩa tập  bởi (3.1.14) . Nhƣ trong trƣờng hợp (ii) trong phần trƣớc, u   là bị chặn đều bởi cL  N. Do đĩ, ta cĩ thể thay đổi những giá trị của F() với || > cL  N sao cho F cĩ tốc độ tăng hữu hạn k > {s}. Khi đĩ ta dựng các điểm Q và Qj (gồm cả Qk) nhƣ trên. Định lý nhúng Sobolev chỉ ra rằng ||u :Q||  L  N với bất kỳ Q  (OP] Do đĩ, nĩ cũng thỏa mãn với mọi Qj. Vì vậy, ta cĩ thể tiếp tục chứng minh nhƣ trong trƣờng hợp (i'). Ta cĩ thể phải làm giảm L  N Hơn nữa, để thỏa mãn bất đẳng thích hợp trong sự kết hợp với độ lớn của ||||2  || ||2. Nhƣng việc đĩ khơng gây nhiễu cho sự thay đổi của F vừa làm ở trên. Sau đĩ, k cĩ thể chọn để thỏa mãn bất đẳng thức cịn lại. Cĩ thể bỏ qua phần chi tiết Hơn nữa,. Trƣờng hợp (ii) Cuối cùng xét trƣờng hợp F là tựa thuần nhất. Ta cĩ thể đặt Fk = F, trong đĩ, h  k  (s) chỉ cĩ một điểm Qj duy nhất là Qk. Nếu  = 1( )k   , ta cĩ ||u :Qk||  cN nhƣ trên. Do đĩ, 2(L, N) thực sự chỉ phụ thuộc vào N, và (sự biến đổi) bất đẳng (3.1.21c) cĩ thể đƣợc giải với N nếu 2|| ||  nhỏ. (3.1.21a, b) cĩ thể đƣợc giải sau đĩ, bởi cách làm cho L và K lớn. Phần cịn lại của chứng minh này giống nhƣ trƣờng hợp (i'). ■ Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 48 - 3.3. Định lý duy nhất cho Hs – nghiệm 3.3.1. Nghiệm chính tắc Các nghiệm u khơng chỉ thỏa mãn định lý cơ bản (C) u  C([0, T); Hs), mà cịn thỏa mãn điều kiện phụ u  s, ví dụ (A) u  Lr((0, T); Lq, s), 1 q + 2 mr = 1 2 , 1 2 – 1 m < 1 q  1 2 , với một vài sự biến đổi khi m = 1. Ta sẽ gọi nghiệm như vậy là Hs – nghiệm chính tắc. Định lý 3.1.1 nĩi rằng dƣới những điều kiện nhẹ chắc chắn với bất kỳ  thuộc Hs, tồn tại một nghiệm chính tắc duy nhất Hs – nghiệm u với u(0) =  trên một khoảng [0, T). Định lý 2.1 kéo theo rằng một nghiệm u là chính tắc nếu nĩ thỏa mãn (C) và (A) với một cặp đơn (q, r)  (2, ) nhƣ đã chỉ ra. Các nghiệm xây dựng trong [3] cũng là chính tắc. 3.3.2. Định lý duy nhất cho H s - nghiệm Định lý 3.3.2. Dưới những giả thiết của Định lý 3.1.1, giả sử v là một nghiệm của (NLS) sao cho v  s ,([0, T); H ) ((0, ); )r q slocC L T L với một cặp đơn (q, r)  (2, ) như trong (A). Khi đĩ v là nghiệm chính tắc duy nhất (kết quả này là khơng thú vị nếu vấn đề này được biết như là đặt chỉnh vơ điều kiện chẳng hạn như trường hợp (3.1.5)). Để chứng minh ta cần một Bổ đề về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm chính tắc vào các dữ kiện ban đầu. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 49 - Bổ đề Dưới các giả thiết của Định lý 3.1.1, cho u là Hs – nghiệm chính tắc của (NLS) trong khoảng đĩng hữu hạn [0, T]. Cho {n} là dãy thỏa mãn n →  = u(0) trong H s. Khi đĩ cĩ T' > 0 sao cho nghiệm chính tắc un với un(0) = n tồn tại trong [0, T'] thỏa mãn với n lớn, và un → u trong C([0, T']; H s' ) khi n → , với bất kỳ s' < s. Nếu s = 0 hoặc 1, ta cĩ thể lấy T' = T, s' = s. Chứng minh Điều này đã đƣợc chứng minh trong [11, 12] với s = 0 và 1, và trong [3] cho s tổng :Quát "lũy thừa đơn" các thế vị F. Để ý rằng ngồi các trƣờng hợp chung, dịng chú giải sau trong trƣờng hợp (ib) phần chứng minh Định lý 3.1.1–2 là đủ. Nghiệm u đƣợc xây dựng bởi Định lý ánh xạ co, trong đĩ, khơng gian  với metric của L(Pk) đã đƣợc sử dụng. Vì vậy, dễ thấy rằng n →  trong H s kéo theo un tồn tại trong  và un → u trong L(Pk) nếu ||  Pk|| là nhỏ đều theo n (tất cả trên các khoảng (0, T')). Nhƣng điều này là đúng nếu T' là nhỏ và n là lớn, vì ||n Pk|| là nhỏ với T' nhỏ và || (n – ) Pk||  c||n – || sH . Điều này đã chứng minh sự phụ thuộc liên tục trong L(Pk) – metric vào (0, T') với T' đủ nhỏ. Với những lập luận đã sử dụng trong chứng minh tồn tại, dễ thấy rằng những kết quả giống nhƣ vậy đúng trong L(Pk) đƣợc thay thế bởi L(B) = C([0, T']; L 2) (cĩ thể với T' đƣợc làm nhỏ đi một chút). Tuy nhiên, do un theo cách xây dựng là bị chặn đều trong C([0, T']; H s ). Nĩ kéo theo un → u đạt đƣợc trong C([0, T']; H s') với bất kỳ s' < s. Chứng minh Định lý 3.3.2. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 50 - Trong Định lý 3.1.1 và Định lý 2.1 (áp dụng với giá trị ban đầu  > 0), v là nghiệm chính tắc trong [, T – ) với  > 0 nhỏ, vì v  ,((0, ); )r q slocL T L kéo theo v  Lr((, T – ); Lq, s). Nếu ta đặt v(t) = v(t + ) với 0 <  < T 4 thì v() là nghiệm chính tắc trong [0, T 2 ] với v(0) = v(). Cho u là H s – nghiệm chính tắc với u(0) = v(0); ta sẽ chỉ ra rằng v = u. Vì v(0) = v() → v(0) = u(0) trong H s khi  → 0 nên nĩ kéo theo bởi Bổ đề là v → u trong C([0, T']; L 2) với T' > 0. Vì v → v trong C([0, T 2 ]; H s ), mặt khác, ta đã chứng minh đƣợc rằng v = u trong [0, T'  T 2 ] nên suy ra v = u. Mở rộng kết quả tới tất cả t  [0, T) là tầm thƣờng, do định lý duy nhất 2.1 đƣợc áp dụng cho T   > 0. ■ KẾT LUẬN Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 51 - Trong luận văn này chúng tơi đã trình bày về phƣơng trình Schrodinger phi tuyến (NLS) với một thế tổng :Quát F(u), với nĩ khơng cĩ một quy luật bảo tồn chung nào cả. Giả thiết chính là tốc độ tăng của hàm F(u) nhƣ |u|k khi |u| lớn, thêm vào đĩ là tính trơn của F :Phụ thuộc vào vấn đề xem xét. Định lý duy nhất đƣợc chứng minh với giả thiết về tính trơn nhỏ nhất cĩ thể của F và u và sử dụng năm cơng thức từ CT1 đến CT5, điều đĩ rất hữu ích cho việc bớt đi những điều kiện phụ trong nhiều trƣờng hợp. Một định lý về sự tồn tại nghiệm địa phƣơng trong khơng gian Hs đã đƣợc chứng minh sử dụng một khơng gian phụ trợ thuộc loại khơng gian Lebesgue (chứ khơng phải là khơng gian Besov); ở đây, giả thiết chính là k  1 + 4 2m s nếu s < 2 m ; k <  nếu s = 2 m (khơng cần giả thiết s > 2 m ). Hơn nữa,, định lý tồn tại tổng :Quát đã đƣợc chứng minh cho H s – nghiệm tồn cục với điều kiện ban đầu nhỏ, với điều kiện thêm vào chính là F(u) = O(|u| 1 + 4/m ). Kết quả là đúng với tất cả các giá trị s  0 nếu m  6, Tuy nhiên, vẫn cịn cĩ một vài hạn chế nếu m  7 và nếu F(u) khơng phải là đa thức của u và u . TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 52 - [1] J. Bergh and J. Lưfstrưm (1976), Interpolation Spaces, Springer, Berlin. [2] H.Brezis (1994), Remarks on the preceding paper by M. Ben–Artzi "Global solutions of two – dimensional Navier–Stokes and Euler equations", Arch. Rational Mech. Anal. 128, 359–360. [3] T.Cazenave and F. B. Weissler (1990), The Cauchy problem for the critical nonlinear Schrưdinger equation in H s , Nonliner Analysis 14, 807–836. [4] F. M Christ and M. I. Weinstein (1991), Dispersion of small amplitude solutions of generalized Korteweg–de Vries equation, J. Funct. Anal 100, 87–109. [5] R. R. Coifman and Y.Meyer (1986), Nonliear harmonic analysis, operator theory and P.D.E., Beijing Lectures in Harmonic Analysis, Princeton, pp. 3–45. [6] Y. Giga, T. Miyakawa and H. Osada (1988), Two–dimensional Navier– Stokes flow with measures as initial velocity, Arch. Rational Mech. Anal. 104, 223–250. [7] J. Ginibre and G. Velo (1984), Théorie de la diffusion dans l'énergie pour une classe d'equations de Schrưdinger non linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris 298, 137–141. [8] J. Ginibre and G. Velo (1985), Global Cauchy prblem for the nonlinear Schrưdinger equation revisited, Ann. Inst. Henri Poincaré, analyse non linéaires 2, 309–327. [9] A. Gulisashvili and M. A. Kon (1994), Smoothness of Schrưdinger semigroups and eigenfunctions, International Math. Res. Notices, 193–199. [10] T. Kato (1984), Strong L p solutions of the Navier–Stokes equation in m , with applications to weak solutions, Math. Z. 187, 471–480. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 53 - [11] T. Kato (1987), On nonlinear Schrưdinger equations, Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 46, 113–129. [12] T. Kato (1989), Nonlinear Schrưdinger equations, Lecture Notes in Physics, Vol. 345, Springer, Berlin, pp. 218–263. [13]. G.Staffilani (1995), The initial value problem for some dispersive differential equations, Dissertation, University of Chicago. [14]. Y. Tsutsumi (1987), L 2–solutions for nonlinear Schrưdinger equations and nonliear groups, Funkcial Ekvac. 30, 115–125. [15] Y. Tsutsumi (1987), Global strong solutions for nonlinear Schrưdinger equations, Nonlinear Analysis 11, 1143–1154. [16] T. Kato (1995), On nonlinear Schrưdinger equations, II. H s -solutions and unconditional well-posedness, Journal D'analyse Mathesmatique, Vol. 67, 281–305.