Luận văn Phương trình, đường lối chung để giải một phương trình - Phạm Hùng Cường

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM HÙNG CƯỜNG PHƯƠNG TRÌNH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái Nguyên - Năm 2010 www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM HÙNG CƯỜNG PHƯƠNG TRÌNH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mà SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH PP TOÁN SƠ CẤP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội Thái Nguyên - Năm 2010 www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu……………………………………………………………... 2 Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH………………………… 3 1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn……………………. 3 1.1.1. Đẳng thức.............................................................................. 3 1.1.2. Phƣơng trình.......................................................................... 3 1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số................................................... 4 1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến................................................. 4 1.2.2. Hàm số .................................................................................. 4 1.2.3. Phƣơng trình một ẩn............................................................... 5 1.3. Nhận xét ........................................................................................... 5 Chƣơng 2: ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH. 7 2.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện………………………... 7 2.2. Bài toán giải phƣơng trình……………………………………… 8 2.2.1. Đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình – Các ví dụ . 9 2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng………….. 13 2.2.3. Phƣơng trình tham số………………………………………. 17 2.3. Đặt điều kiện trong bài toán giải phƣơng trình…………………… 20 2.3.1. Tập xác định của phƣơng trình– Điều kiện của phƣơng trình 20 2.3.2. Hệ lụy của khái niệm tập xác định của phƣơng trình – điều kiện xác định của phƣơng trình……………………………………….. 20 2.3.3. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại… 29 2.3.4. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng…….. 35 2.4. Đặt điều kiện trong bài toán rút gọn biểu thức, bài toán chứng minh hằng đẳng thức…………………………………………………. 39 Kết luận………………………………………………………………… 43 Danh mục tài liệu tham khảo………………………………………….. 44 www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 LỜI NÓI ĐẦU “Phƣơng trình” là một vần đề quan trọng trong chƣơng trình toán phổ thông, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có rất nhiều vấn đề đáng quan tâm. Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm nhất vẫn là các kỹ thuật giải phương trình . Tuy nhiên, vì quá quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên chúng ta (SGK và những ngƣời giáo viên toán) thƣờng không chú ý tới các vấn đề khác: định nghĩa phương trình, đường lối chung để giải một phương trình. Với các em học sinh, tình trạng trên dẫn đến một hệ quả tất yếu: chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Rất nhiều học sinh không trả lời đƣợc các câu hỏi đại loại nhƣ: “1=2 là đẳng thức hay là phƣơng trình?”; “Mục đích của việc đặt điều kiện trong khi giải phƣơng trình?” …. Chính vì lẽ đó, em chọn cho mình đề tài luận văn: “ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình” Luận văn nhằm phân tích 2 cách định nghĩa phƣơng trình trong chƣơng trình Toán phổ thông để từ đó đƣa ra nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa nào thuận lợi cho việc giải phƣơng trình ở phổ thông. Hình thành các phƣơng pháp tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện. Phân tích vai trò của bƣớc đặt điều kiện khi giải phƣơng trình và đặt điều kiện nhƣ thế nào cho đơn giản và thuận lợi. Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Minh Hà đã tận tình hƣớng dẫn , chỉ bảo em trong quá trình viết luận văn. Đồng thời em cũng xin đƣợc cảm ơn nhà trƣờng và các thầy giáo, cô giáo đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn này. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chƣơng 1 ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH Trong chƣơng trình toán phổ thông khái niệm phƣơng trình đƣợc định nghĩa hai lần bằng hai cách khác nhau. 1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn 1.1.1. Đẳng thức Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng đƣợc gọi là đẳng thức. Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của đẳng thức. Dƣới đây là một vài ví dụ. 2 = 2 (đẳng thức đúng). 1 = 2 (đẳng thức sai). 5x + 1 = 5 (đẳng thức, có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của biến x). 3x 2 +xy 3 = 5zy +z 4 (đẳng thức có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của biến x, y, z). Chú ý: Việc biết một đẳng thức đúng hay sai nói chung là không đơn giản, bởi vì sẽ có những biểu thức rất phức tạp nên để xét sự bằng nhau của chúng hoàn toàn không dễ dàng. Nhƣ vậy câu hỏi “1 = 2 là phƣơng trình hay đẳng thức?” đã đƣợc trả lời. Câu trả lời là: “1 = 2” là đẳng thức (đẳng thức sai) và cũng là phƣơng trình (phƣơng trình vô nghiệm). 1.1.2. Phƣơng trình Hai biểu thức có chứa các đại lƣợng chƣa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi một dấu bằng đƣợc gọi là phƣơng trình. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của phƣơng trình. Những giá trị của ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đúng đƣợc gọi là nghiệm của phƣơng trình. Dƣới đây là một vài ví dụ. 2 = 2 (phƣơng trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm). 1 = 2 (phƣơng trình vô nghiệm). 5x + 1 = 5 (phƣơng trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x = 4 5 ). 3x 2 +xy 3 = 5zy +z 4 (phƣơng trình ba ẩn x, y, z phƣơng trình này có nhiều nghiệm, (x, y, z)=(0, 0, 0) là một nghiệm của nó). Trừ một số loại phƣơng trình đã đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình toán phổ thông, nhìn chung việc tìm các nghiệm của một phƣơng trình là không đơn giản. 1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số 1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến Một câu khẳng định đúng hoặc sai đƣợc gọi là một mệnh đề. Câu khẳng định đúng đƣợc gọi là một mệnh đề đúng. Câu khẳng định là sai đƣợc gọi là một mệnh đề sai. Mệnh đề chứa một hay nhiều biến nhận giá trị trong một tập X nào đó và tính đúng sai của chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của các biến đó đƣợc gọi là mệnh đề chứa biến. 1.2.2. Hàm số Cho tập số thực khác rỗng D. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tƣơng ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x). Số f(x) đƣợc www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 gọi là giá trị của f tại x. Tập D đƣợc gọi là tập xác định (hay miền xác định), x đƣợc gọi là biến số hay đối số của f. 1.2.3. Phƣơng trình một ẩn Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lƣợt là Df và Dg. Đặt D là giao của Df và Dg. Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi là phƣơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số, D đƣợc gọi là tập xác định của phƣơng trình. Số x0 thuộc D đƣợc gọi là nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là mệnh đề đúng. 1.3. Nhận xét Với các em học sinh phổ thông, định nghĩa nào trong hai định nghĩa trên là hợp lí? Ta hãy cùng phân tích để tìm câu trả lời. Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm “Hàm số”. Nói cách khác, không có khái niệm hàm số, loài ngƣời đã biết định nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn. Tất cả các loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến trong chƣơng trình Toán phổ đều có thể định nghĩa bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp các phƣơng trình. Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), trong đó 2 2 1 1 3 2 1 x khi x f(x) x x khi x        và g(x) = x 2 – x + 3, chỉ có thể định nghĩa bằng khái niệm hàm số chứ không thể định nghĩ bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn. Tuy nhiên, trong SGK đại số 10, 11, 12 không có một ví nào đại loại nhƣ ví dụ trên, do đó, đa số học sinh không thể thấy đƣợc ý nghĩa của sự mở rộng nói trên. Định nghĩa phƣơng trình bằng khái niệm hàm số rất dễ dẫn đến khái niệm tập xác định của phƣơng trình và trên thực tế, trong SGK đại số 10 đã có khái niệm này. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Khi đƣa ra một khái niệm toán học mới, tác giả của khái niệm trƣớc hết phải trả lời đƣợc câu hỏi “Để làm gì?”. Hình nhƣ tác giả của khái niệm tập xác định chƣa nghĩ tới việc trả lời câu hỏi trên. Sự xuất hiện của khái niệm tập xác của phƣơng trình – điều kiện của phƣơng trình sẽ kéo theo một quan niệm sai lầm: trước khi giải phương trình cần phải tìm tập xác định của phương trình – điều kiện của phương trình. Vì định nghĩa bằng khái niệm hàm số nên SGK đại số 10 rơi vào tình trạng tiền hậu bất nhất: định nghĩa phƣơng trình một ẩn bằng khái niệm hàm số, định nghĩa phƣơng trình nhiều ẩn bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn. Rất phản sƣ phạm! Tất cả các lập luận trên giúp ta đi đến khẳng định: nhiều bài toán giải phƣơng trình ta không nhất thiết phải tìm tập xác định, điều kiện ngay khi bắt tay vào giải, ta có thể thực hiện bƣớc tìm điều kiện nhƣ một bƣớc trong lời giải. Khẳng định trên sẽ đƣợc minh hoạ cụ thể bởi các ví dụ trong mục 2.3.2. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Chƣơng 2 ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH 2.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả chúng ta. Về hình thức, nó đƣợc phát biểu nhƣ sau. Tìm tất cả các đối tƣợng A( ).a Kí hiệu A( )a biểu thị đối tƣợng A có tính chất .a Cùng với kí hiệu A( ),a ta còn dùng kí hiệu A( )a để biểu thị đối tƣợng A không có tính chất .a Các kí hiệu A( )a và A( )a có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này. Trong bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm đƣợc”. Nói một cách chính xác, tìm tập hợp { }A A( ) .a Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phƣơng pháp giải, đƣợc mô hình hoá nhƣ sau. Phƣơng pháp 1: biến đổi hệ quả và thử lại*. Bƣớc 1: biến đổi hệ quả*. A( ) A .a Þ Î T Bƣớc 2: thử lại*. A A( ).Î Þ aT Phƣơng pháp 2: biến đổi tương đương*. A( ) A .a Û Î T Chú ý: Về phƣơng diện logic, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng cũng chính là phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp nào trong hai phƣơng pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi ngƣời giải toán phải có kĩ năng. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Phƣơng pháp 3: đoán nhận và khẳng định*. Bƣớc 1: đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng { }A( ) .Ð aT Bƣớc 2: khẳng định*. A A( ).Ï Þ aT A A( ).Î Þ aT Chú ý: Nếu sử dụng phƣơng pháp đoán nhận và khẳng định thì ta phải có công đoạn đoán nhận tập hợp T trƣớc khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh A A( ).Î Þ aT Nhƣ vậy, phƣơng pháp đoán nhận và khẳng định không tự nhiên bằng phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Vì lí do trên, phương pháp đoán nhận và khẳng định ít đƣợc sử dụng hơn phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, về phƣơng diện lôgic, song hành với các phƣơng pháp 1, 3 còn có hai phƣơng pháp giải khác, đƣợc mô hình hoá nhƣ sau. Phƣơng pháp 1’, bao gồm hai bƣớc. Bƣớc 1. TA A( ).Ï Þ a Bƣớc 2. TA( ) A .a Þ Ï Phƣơng pháp 3’, bao gồm hai bƣớc. Bƣớc 1. A( ) A .a Þ Î T Bƣớc 2. TA( ) A .a Þ Ï Tuy nhiên, trong thực tế giải toán, để giải các bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, ngƣời ta chỉ sử dụng các phƣơng pháp 1, 2, 3, các phƣơng pháp 1’, 3’ không bao giờ đƣợc sử dụng. 2.2. Bài toán giải phƣơng trình 2.2.1. Đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình – Các ví dụ www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Giải phƣơng trình tức là tìm hết các nghiệm của phƣơng trình. Nhƣ vậy bài toán giải phƣơng trình là một trong các bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện. Do đó, về phƣơng diện logic nó chỉ có thể đƣợc giải bởi một trong ba phƣơng pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại; biển đổi tương đương; đoán nhận và khẳng định. Các ví dụ dƣới đây là sự cụ thể hoá ba phƣơng pháp trên. Ví dụ 2.2.1.1. Biến đổi hệ quả và thử lại. Giải phƣơng trình sau. 1632  xx (1). Lời giải. Bƣớc 1: biến đổi hệ quả. Giả sử x0 là nghiệm của (1). Ta thấy: 0 0 x 3 16 2x- = - là đẳng thức đúng 2 0 0 x 3 (16 2x )Þ - = - 2 0 0 0 x 3 256 2x 4xÞ - = - + 2 0 0 4x 65x 256 0Þ - + = 0 0 x 7 37 x 4 é = ê êÞ ê = êë Bƣớc 2, thử lại. Với x0 = 7 thay vào phƣơng trình (1): 2.7 7 3 16   nên 7 là nghiệm của phƣơng trình. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Với 0 37 x 4 = thay vào vế trái phƣơng trình (1): 37 37 2. 3 16 4 4    nên 37 4 không là nghiệm của phƣơng trình. Kết luận. Phƣơng trình (1) có nghiệm là 7. Ví dụ 2.2.1.2 Biến đổi tương đương. Giải phƣơng trình sau. x 1 x(x 3)- = - - (1). Lời giải. Cách 1. Ta thấy: x0 là nghiệm của (1) 0 0 0 x 1 x (x 3)Û - = - - là đẳng thức đúng 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 x (x 3) x 1 0 lµ tuyÓn hai hÖ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc®óng (x 1) x (x 3) x 1 0 éí - = - -ïêìêï - ³ïîêÛ ê í - - = - -ïê êì ïê - <îë 0 0 2 0 0 2 0 0 x 2x 1 0 x 1 lµ tuyÓn hai hÖ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc®óng x 4x 1 0 x 1 éíï - - =ïê ìêï ³êïî êÛ êíï + + =ïê ìêï <êïîë 0 0 0 0 0 0 x 1 2 x 1 2 x 1 lµ tuyÓn hai hÖ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc®óng x 2 3 x 2 3 x 1 éí éï = +ê ï ê ì = -êëï ï ³ïîê Û ê í éïê = - +ï êêïï êêì = - -êê ëïêïïê <ïîë www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 0 0 0 x 1 2 x 2 3 lµ tuyÓn ba ®¼ng thøc®óng. x 2 3 é = +ê ê Û = - +ê ê ê = - -êë Kết luận. Phƣơng trình có nghiệm là 1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - - Cách 2. Trƣờng hợp 1. 0x 1 0.  Ta thấy: x0 là nghiệm của phƣơng trình 0 0 0 x 1 x (x 3)Û - = - - là đẳng thức đúng 0 2 0 x 2x 1 0Û - - = là đẳng thức đúng 0 0 x 1 2 x 1 2 é = +êÛ ê = -êë là tuyển hai đẳng thức đúng Kết hợp với điều kiện 0x 1 0,  ta thấy: x0 là nghiệm của phƣơng trình 0 x 1 2Û = + là đẳng thức đúng. Trƣờng hợp 2. 0x 1 0.  Ta thấy: x0 là nghiệm của phƣơng trình 0 0 0 (x 1) x (x 3)Û - - = - - là đẳng thức đúng 0 2 0 x 4x 1 0Û + + = là đẳng thức đúng 0 0 x 2 3 x 2 3 é = - +êÛ ê = - -êë là tuyển hai đẳng thức đúng Kết hợp với điều kiện 0x 1 0,  ta thấy: www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 x0 là nghiệm của phƣơng trình 0 0 x 2 3 x 2 3 é = - +êÛ ê = - -êë là tuyển hai đẳng thức đúng Kết luận. Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là 1 2,+ 2 3, 2 3.    Nhận xét. Để phân biệt cách 1 và cách 2, ngƣời ta nói cách 1 là biến đổi tương đương, cách 2 là biến đổi tương đương trong điều kiện. Ví dụ 2.2.1.3. đoán nhận và khẳng định. Giải phƣơng trình sau trong 0( , ). 2 10 xxx x   (1). Lời giải. Bƣớc 1, đoán nhận Dễ nhận thấy x = 1 là nghiệm của (1). Bƣớc 2, khẳng định Khi x > 1, ta có x x > 1 x =1 và x 2 > x, do đó x – x2 < 0, suy ra 2 010 10 1x x   , điều đó có nghĩa là 2 10   x x x x . Vậy (1) không có nghiệm khi x > 1. Khi 0 < x < 1, ta có x x < 1 x =1 và x 2 0, suy ra 2 0 10 10 1 x x   , điều đó có nghĩa là 210  x x xx . Vậy (1) không có nghiệm khi 0 < x < 1. Kết luận. x = 1 là nghiệm của phƣơng trình (1) Ví dụ 2.2.1.4. đoán nhận và khẳng định. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 ( ) 5 4x 1 1 2 x- + = - (1). Lời giải. Vì các số dƣới căn bậc chẵn phải nhận giá trị không âm nên 1 < x < 2. Vì 1 < x < 2 nên ( ) 5 4 2 x 1 x 1 1 .- < < - + Kết luận. Phƣơng trình (1) vô nghiệm. Chú ý. Vì phƣơng trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bƣớc đoán nhận mà chỉ có bƣớc khẳng định. 2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng Lời giải của ví dụ 2.2.1.1 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại, lời giải của ví dụ 2.2.1.2 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng. Tuy nhiên, cả hai lời giải trên đều qúa rƣờm rà. Để khắc phục tình trạng trên, sử dụng các khái niệm của lí thuyết tập hợp, ngƣời ta đƣa ra hai khái niệm: phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng. Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nằm trong tập nghiệm của phƣơng trình F(x) = G(x) thì phƣơng trình F(x) = G(x) đƣợc gọi là phƣơng trình hệ quả của phƣơng trình f(x) = g(x). Để biểu thị F(x) = G(x) là hệ quả của f(x) = g(x), ta viết: f(x) = g(x)  F(x) = G(x). Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) bằng tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) thì ta nói phƣơng trình f(x) = g(x) và phƣơng trình F(x) = G(x) là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng. Để biểu thị f(x) = g(x) và f(x) = g(x) tƣơng đƣơng, ta viết: f(x) = g(x)  F(x) = G(x). www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Đƣơng nhiên f(x) = g(x)  F(x) = G(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)  F(x) = G(x) và F(x) = G(x)  f(x) = g(x). Hãy chú ý tới sự hoàn hảo của kí hiệu, dấu  bao gồm hai dấu:  và  . Nhờ các khái niệm phƣơng trình hệ quả và phƣơng trình tƣơng đƣơng, lời giải của các ví dụ 2.2.1.1 và 2.2.1.2 đƣợc thể hiện đơn giản hơn. Ví dụ 2.2.2.1. (giải lại bằng khái niệm phƣơng trình hệ quả). Giải phƣơng trình sau. 1632  xx (1) Lời giải. Bƣớc 1, biến đổi hệ quả x 3 16 2x- = - 2x 3 (16 2x)Þ - = - 2x 3 256 2x 4xÞ - = - + 24x 65x 256 0Þ - + = x 7 37 x 4 é = ê êÞ ê = êë Bƣớc 2, thử lại. Khi x = 7, vế trái của (1) = 2.7 7 3 16   = vế phải của (1). Do đó 7 là nghiệm của phƣơng trình (1). Khi 37 x 4 = vế trái của (1) = 37 37 2. 3 16 4 4    = vế phải của (1). Do đó 37 4 không là nghiệm của phƣơng trình. Kết luận. Phƣơng trình có nghiệm là 7. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Lời giải. Ví dụ 2.2.2.2. (Giải lại bằng khái niệm phƣơng trình tƣơng đƣơng). Giải phƣơng trình sau. x 1 x(x 3).- = - - (1) Lời giải. Cách 1. x 1 x(x 3)- = - - x 1 x(x 3) x 1 0 (x 1) x(x 3) x 1 0 éí - = - -ïïêìêï - ³ïîêÛ êí - - = - -ïêï ìê ï - <êïîë 2 2 x 2x 1 0 x 1 x 4x 1 0 x 1 éíï - - =ïêìêï ³ïîê Û ê íïê + + =ïêì ïê <ïîë x 1 2 x 1 2 x 1 x 2 3 x 2 3 x 1 éí éï = +ïê êïï ê ìê = -êëïïïê ³ïîêÛ êí éïê = - +ï êïêï êêì = - -êëêïïêï <ïêîë x 1 2 x 2 3 x 2 3 é = +ê ê Û = - +ê ê ê = - -êë Kết luận. Phƣơng trình có nghiệm là 1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - - www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Cách 2. Trƣờng hợp 1. x 1 0.  Ta thấy: x 1 x(x 3) x 1 x(x 3) - = - - Û - = - - 2x 2x 1 0Û - - = x 1 2 x 1 2 é = +êÛ ê = -êë Kết hợp với điều kiện x 1 0,  ta thấy x 1 2= + là nghiệm của (1). Trƣờng hợp 2. x 1 0.  x 1 x(x 3) (x 1) x(x 3) - = - - Û - - = - - 2x 4x 1 0Û + + = x 2 3 x 2 3 é = - +êÛ ê = - -êë Kết hợp với điều kiện x 1 0,  ta thấy x 2 3,x 2 3= - + = - - là các nghiệm của (1). Kết luận. Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là 1 2,+ 2 3, 2 3.    Nhận xét. Cách 1 vẫn đƣợc gọi là biến đổi tương đương, cách 2 vẫn đƣợc gọi là biến đổi tương đương trong điều kiện. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 2.2.3. Phƣơng trình tham số Phƣơng trình tham số là phƣơng trình có chứa những số đã biết nhƣng chƣa cụ thể (tham số). Ví dụ (m + 1)x – 3 = 0 là một phƣơng trình ẩn x chứa tham số m; trình y2 – 2y + t = 0 có thể đƣợc coi là một phƣơng trình ẩn y chứa tham số t. Giải và biện luận phƣơng trình chứa tham số nghĩa là giải một họ các phƣơng trình (mỗi giá trị cụ thể của tham số cho ta một phƣơng trình trong họ). Ví dụ 2.2.3.1: Giải và biện luận phƣơng trình tham m: 2x m x   (1) Lời giải: 2 2 2 2 2 0 ( 2) 2 5 4 0 2 5 9 ( ) 2 4 2 5 9 2 4 5 9 2 4 9 4 x m x x x m x x x x m x x m x x m x m m                                            www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 2 5 9 2 4 9 4 2 5 9 2 4 9 4 5 9 2 2 4 5 9 2 4 9 4 5 9 2 2 4 5 9 2 4 9 4 x x m m x x m m m x m m m x m m                                                    1 9 0 2 4 5 9 2 4 9 4 1 9 2 4 5 9 2 4 9 4 m x m m m x m m                           www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 9 4 5 9 2 4 9 4 1 9 4 4 5 9 2 4 9 4 5 9 2 4 9 4 2 5 9 2 4 9 4 5 9 2 4 9 2 4 5 9 2 4 m x m m m x m m x m m m x m m x m m x m                                                 Kết luận: Khi 9 4 m  thì phƣơng trình (1) vô nghiệm. Khi 9 2 4 m  thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm là: www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 5 9 2 4 x m   Khi 2m thì phƣơng trình (1) có một nghiệm là: 5 9 2 4   x m Nhân xét: Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng rất ƣu việt trong các bài toán giải và biện luận các phƣơng trình chứa tham số. 2.3. Đặt điều kiện trong bài toán giải phƣơng trình 2.3.1. Tập xác định của phƣơng trình – điều kiện của phƣơng trình Nếu hàm số y = f(x) có tập xác định là Df và hàm số y = g(x) có tập xác định là Dg , thì tập xác định của phƣơng trình f(x) = g(x) là tập hợp D = Df ∩ Dg Giả sử D là tập xác định của phƣơng trình f(x) = g(x). Điều kiện để x thuộc D (hay điều kiện của x để f(x) và g(x) có nghĩa) đƣợc gọi là điều kiện xác định của phƣơng trình (gọi tắt là điều kiện của phƣơng trình). 2.3.2. Hệ lụy của khái niệm tập xác định của phƣơng trình – điều kiện xác định của phƣơng trình Đặt điều kiện trong khi giải phƣơng trình là vấn đề rất đáng quan tâm. Câu hỏi “Mục đích của việc đặt điều kiện?” là câu hỏi khó trả lời không chỉ với các em học sinh mà với cả những ngƣời làm toán sơ cấp chuyên nghiệp. Nếu không trả lời đƣợc câu hỏi trên thì ngƣời giải phƣơng trình rất dễ rơi vào các tình trạng sau: + Khi không cần đặt điều kiện thì lại đặt điều kiện + Khi cần đặt điều kiện thì lại không đặt điều kiện www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 + Khi cần đặt điều kiện không biết cách đặt điều kiện sao cho đơn giản và hiệu quả. Trong tình hình trên, sự xuất hiện của khái niệm tập xác định của phƣơng trình – điều kiện của phƣơng trình (mà lại xuất hiện trong SGK) quả là mảnh đất tốt để nảy sinh cách sử lí máy móc sau: tìm điều kiện xác định của phƣơng trình trƣớc khi giải bất cứ một phƣơng trình nào. Cách sử lí trên có hợp lí không? Các ví dụ dƣới đây sẽ trả lời điều đó. Ví dụ 2.3.2.1: Giải phƣơng trình 3 2 2log x x sin x 1 tan x.     Lời giải. Vì 3 2 2log x x sin x 1 1 0 tan x       nên phƣơng trình vô nghiệm. Nhận xét. Đặt điều kiện để làm gì khi mà ta trông thấy ngay phƣơng trình vô nghiệm? Mục đích của chúng ta là tìm nghiệm của phƣơng trình cơ mà. Ví dụ 2.3.2.2: Tìm m sao cho phƣơng trình sau có nghiệm: 3x m x   (1) Lời giải. Cách 1. (Thừa nhận khái niệm miền xác định của phƣơng trình). Miền xác định của phƣơng trình:  ;D m  Nếu x < 3 thì phƣơng trình đã cho vô nghiệm. Nếu x 3 thì phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình 2x 7x m 9 0    www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Vậy: (7) có nghiệm 2x 7x m 9 0     có nghiệm x 3 và x m 2 2 7 9 0 3 7 13 2 4 3 7 13 2 4 7 13 2 4 3 13 4 x x m x cãnghiÖm x m (x ) m x cãnghiÖm x m (x ) m (x ) m cãnghiÖm x x m m                                          www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 3 13 4 7 13 2 4 3 13 4 7 13 2 4 7 13 3 2 4 7 13 2 4 13 4 7 13 2 4 7 13 3 2 4 7 13 2 4 13 4 7 13 2 4 x x m m x m cãnghiÖm x x m m x m m m m m x m m m m m x m                                                                    cãnghiÖm           www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 13 7 4 2 13 4 7 13 2 4 13 1 4 2 13 7 4 2 13 4 7 13 2 4 m m m x m cãnghiÖmm m m m x m                                7 2 13 4 7 13 2 4 3 7 2 13 4 7 13 2 4 m m x m cãnghiÖmm m m x m                          www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 13 4 7 13 2 4 13 3 4 7 13 2 4 m x m cãnghiÖm m x m                  Vậy điều kiện để phƣơng trình (1) có nghiệm là 13 4 m  . Cách 2. (Không thừa nhận khái niệm miền xác định của phƣơng trình). Ta có phƣơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2x m (x 3) x 3       có nghiệm 2x 7x m 9 0 x 3         có nghiệm 27 13(x ) m 2 4 x 3         có nghiệm 7 13 (x ) m 2 4 7 13 (x ) m 2 4 13 m 4 x 3                    có nghiệm www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 7 13 2 4 13 4 3 7 13 2 4 13 4 3 x m m x x m m x                           có nghiệm 7 13 m 3 2 4 13 m 4 7 13 m 3 2 4 13 m 4              có nghiệm 13 1 m 4 2 13 m 4 13 1 m 4 2 13 m 4             có nghiệm www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 13 4 3 13 4 13 4 m cãnghiÖmm m m cãnghiÖm           Vậy điều kiện để phƣơng trình (1) có nghiệm là 13 4 m  . Nhận xét. Bài toán “Tìm m sao cho phƣơng trình 2x 7x m 9 0    có nghiệm x 3 và x m ” khó hơn bài toán “Tìm m sao cho phƣơng trình 2x 7x m 9 0    có nghiệm x 3 ”. Nói cách khác, cách 2 tốt hơn cách 1. Ví du 2.3.2.3: Giải phƣơng trình 4245 1 532 2 xxxx x    (1) Lời giải. Cách 1. Điều kiện của phƣơng trình là: x 5 - 2x 4 + 3x 2 – 5  0 (a) và x 4  0 (b). Trong điều kiện trên, ta có: 4245 1 532 2 xxxx x     ( x – 2 ).x4 = x5 – 2x4 + 3x2 – 5  3x 2 – 5 = 0 www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28  5 x 3   Khi 5 x 3   , vế trái của (a) là số vô tỉ ≠ 0 = vế phải của (a); vế trái của (b) là số vô tỉ ≠ 0 = vế phải của (b). vào điều kiện (a) dễ thấy vế trái (a) là số vô tỷ, nên vế trái (a) khác 0. Vậy (1) có hai nghiệm là 5 x . 3   Cách 2. 4245 1 532 2 xxxx x    5 4 2 4 4 5 4 2 x 2x 3x 5 0 x 0 (x 2).x x 2x 3x 5               4 4 5 4 2 x 2 x 0 (x 2).x x 2x 3x 5           2 x 2 x 0 3x 5 0 5 x . 3            Vậy (1) có hai nghiệm là 5 x . 3   Nhận xét. 4 5 4 2 5 4 2x 0; x 2; (x 2).x x 2x 3x 5 x 2x 3x 5 0.            www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Việc kiểm tra 5 x 3   thoả mãn các điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 2 đơn giản hơn việc kiểm tra 5 x 3   thỏa mãn các điều kiện x5 - 2x 4 + 3x 2 – 5  0 và x 4  0. Điều đó có nghĩa là cách 2 tốt hơn cách 1. Qua các ví dụ trên, có thế nói rằng bất cứ lời giải nào của bài toán giải phƣơng trình có chứa công đoạn tìm điều kiện xác định của phƣơng trình cũng có thể thay thế bởi một lời giải không dài hơn và không có công đoạn tìm điều kiện xác định của phƣơng trình, có thể nói rằng trong khá nhiều trƣờng hợp công đoạn tìm điều kiện xác định của phƣơng trình làm cho lời giải bài toán giải phƣơng trình dài ra, phức tạp hơn. 2.3.3. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại Nếu giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại thì việc đặt điều kiện có vai trò nhƣ một hoặc một vài phép biến đổi hệ quả. Hiểu rõ vấn đề này, ta sẽ biết cách đặt điều kiện sao cho hợp lí trong khi giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Nhận định trên sẽ đƣợc minh hoạ qua các ví dụ có kèm theo nhận xét dƣới đây. Ví dụ 2.3.3.1: Giải phƣơng trình 2x 3x 2 2x 3 (1).    Lời giải. Cách 1: Điều kiện 2 x 1 x 3x 2 0 x 2 x 2. 2x 3 0 3 x 2                www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Ta có 2 2 2 5 5 x 2 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3 x 5x 5 0 5 5 x 2                      Ta có 5 5 5 4 3 2. 2 2 2      Do đó 5 5 x 2   không là nghiệm của (1). Ta có 25 5 5 5 5 5 3 2 2 3. 2 2 2            Do đó 5 5 x 2   là nghiệm của (1). Tóm lại (1) có nghiệm 5 5 x . 2   Cách 2. Điều kiện 3 2x 3 0 x . 2     Ta có 2 2 2 5 5 x 2 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3 x 5x 5 0 5 5 x 2                      Ta có 5 5 5 4 3 . 2 2 2     Do đó 5 5 x 2   không là nghiệm của (1). Ta có 25 5 5 5 5 5 3 2 2 3. 2 2 2            www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Do đó 5 5 x 2   là nghiệm của (1). Tóm lại (1) có nghiệm 5 5 x . 2   Nhận xét. Các phép biến đổi hệ quả 2 2 x 1 x 3x 2 0 x 2 x 3x 2 2x 3 x 2 2x 3 0 3 x 2                    “mịn” hơn và tất nhiên là phức tạp hơn các phép biến đổi hệ quả. 2 3x 3x 2 2x 3 2x 3 0 x . 2          Tuy nhiên, cả hai có cùng một tác dụng: loại ngay, không phải thử trực tiếp vào (1), giá trị 5 5 x . 2   Do đó lời giải 2 hay hơn lời giải 1. Ví dụ 2.3.3.2: Giải phƣơng trình x 1 x 2 (1).   Lời giải. Cách 1. Điều kiện 1x Ta có 2 2 5 5 x 2 x 1 x 2 x 1 x 4x 4 x 5x 5 0 . 5 5 x 2                     Ta có 5 5 1 0 2    và 5 5 3 5 1 0. 2 2      Do đó 5 5 x 2   và 5 5 x 2   cùng thoả mãn điều kiện x 1 0.  www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Ta có 25 5 5 5 5 5 1 2 2. 2 2 2             Do đó 5 5 x 2   là nghiệm của (1). Ta có 5 5 1 5 5 5 2 0 1. 2 2 2         Do đó 5 5 x 2   không phải là nghiệm của (1). Tóm lại (1) có nghiệm 5 5 x . 2   Lời giải 1. Ta có 2 2 5 5 x 2 x 1 x 2 x 1 x 4x 4 x 5x 5 0 . 5 5 x 2                     Ta có 25 5 5 5 5 5 1 2 2. 2 2 2             Do đó 5 5 x 2   là nghiệm của (1). Ta có 5 5 1 5 2 0. 2 2      Do đó, dù 5 5 1 2   vô nghĩa hay có nghĩa thì 5 5 x 2   vẫn không phải là nghiệm của (1). Tóm lại (1) có nghiệm 5 5 x . 2   Nhận xét. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Phép biến đổi hệ quả x 1 x 2 x 1 0      qúa “thô” nên không có lợi trong việc tìm nghiệm của (1). Do đó điều kiện x 1 0  làm cho lời giải 1 dài ra một cách không cần thiết. Vì không sử dụng điều kiện x 1 0  nên lời giải 2 ngắn gọn hơn lời giải 1. Ví dụ 2.3.3.3: Giải phƣơng trình 2 4 2 2 2 x x x x      (1) Lời giải. Cách 1. Điều kiện 2x  . 2 4 2 2 2 x x x x      2 2 4 2 2 5 0 ( 5) 0 5 0                x x x x x x x x x Vì x = 0 không thỏa mãn điều kiện, nên không phải nghiệm. Thử lại, x = 5 thấy thỏa mãn (1). Vậy (1) có một nghiệm là x = 5. Cách 2. 2 4 2 2 2 x x x x      www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 2 2 4 2 2 5 0 ( 5) 0            x x x x x x x 5 0     x x Vì x = 0 không thỏa mãn điều kiện, nên không phải nghiệm. Thử lại, x = 5 thấy thỏa mãn (1). Vậy (1) có một nghiệm là x = 5. Nhận xét. Vì việc kiểm tra x = 0 không thoả mãn điều kiện x > 2 và việc kiểm tra x = 0 không thoả mãn điều kiện 2 4 2 2 2 x x x x      dễ nhƣ nhau nên lời giải 1 và lời giải 2 có độ khó dễ nhƣ nhau. Nói cách khác, biến đổi hệ quả 2 4 2 2 2 0 2 2           x x x x x x không có ý nghĩa trong việc giải phƣơng trình (1). Ví dụ 2.3.3.4: Giải phƣơng trình x 2 1 x sin x (1).    Lời giải. Cách 1. Điều kiện x 2 0 x 2 1 x 0 . x 1 sin x 0          Vì không có x thoả mãn điều kiện trên nên (1) vô nghiệm. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 Cách 2. Ta có x 2 0 x 2 x 2 1 x sin x . 1 x 0 x 1                Vì không có x thoả mãn điều kiện trên nên (1) vô nghiệm. Cách 3.      x 2 1 x sin x x 2 1 x 2 x 2 1 x sinx 2 x 2 1 x sinx+1 4 x-2 1 x sinx+1 .....                    Nhận xét. Vì biến đổi hệ quả x 2 0 x 2 x 2 1 x x 1 x 0 x 1 sin x 0               phức tạp hơn biến đổi hệ quả x 2 0 x 2 x 2 1 x sin x 1 x 0 x 1                nên cách 2 hay hơn cách 1. Tuy nhiên cách 3 là cách giải tồi nhất, có cảm giác nhƣ là không thể giải đƣợc phƣơng trình     4 x-2 1 x sinx+1 .  2.3.4. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Nếu giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng thì việc đặt điều kiện có vai trò hỗ trợ quá trình biến đổi tƣơng đƣơng. Hiểu rõ vấn đề này, ta sẽ biết cách đặt điều kiện sao cho hợp lí trong khi giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng. Nhận định trên sẽ đƣợc minh hoạ qua các ví dụ có kèm theo nhận xét dƣới đây. Ví dụ 2.3.4.1: Giải phƣơng trình 2x 3x 2 2x 3 (1).    Lời giải. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Cách 1. Điều kiện 2 x 1 x 3x 2 0 . x 2        Ta có 2 2 2 5 5 x 2 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3 x 5x 5 0 . 5 5 x 2                      Kết hợp với điều kiện x 1 , x 2    (1) có nghiệm 5 5 x . 2   Lời giải 2: Điều kiện 3 2x 3 0 x . 2     Ta có 2 2 2 5 5 x 2 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3 x 5x 5 0 . 5 5 x 2                      Kết hợp với điều kiện 3 x , 2  (1) có nghiệm 5 5 x . 2   Cách 1’. Ta có 2 2 2 2 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 0 5 5 x 2 x 5x 5 0 5 55 5 x .xx 1 22 x 2 x 1 x 2                                   www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Lời giải 2’. Ta có 2 2 2 x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3 2x 3 0 5 5 x 2 x 5x 5 0 5 55 5 x .3 x 2x 2 2 3 x 2                                   Nhận xét. Trong lời giải 1, nếu không có điều kiện 2 x 1 x 3x 2 0 x 2        thì biến đổi tƣơng đƣơng 2 2x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3         không đúng. Trong lời giải 2, nếu không có điều kiện 3 2x 3 0 x 2     thì biến đổi tƣơng đƣơng 2 2x 3x 2 2x 3 x 3x 2 2x 3         không đúng. Vì điều kiện 3 2x 3 0 x 2     đơn giản hơn điều kiện 2 x 1 x 3x 2 0 x 2        nên lời giải 2 đơn giản hơn lời giải 1. Ta so sánh các lời giải của các lời giải ví dụ 2.3.3.1 và ví dụ 2.3.3.2 với ví dụ 2.3.3.1 trong mục 2.3.3 để thấy đƣợc tính ƣu việt của phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng: không phải thử lại nghiệm, cụ thể, không phải kiểm tra tính “đúng” của đẳng thức 5 5 5 5 1 2. 2 2      Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng trong cách 1 và cách 2, chính là phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng trong điều kiện (đã đƣợc nói tới trong trong www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 các mục 2.2.1 và 2.2.2) , dành cho những ai mới làm quen với cách giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng. Cách 1’ và cách 2’ là hình thức thể hiện khác của cách 1 và cách 2, dành cho những ai đã quen thuộc với cách giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng. Cách 1’ và cách 2’ khẳng định nhận xét đã nêu ở trên “Nếu giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng thì việc đặt điều kiện có vai trò hỗ trợ quá trình biến đổi tƣơng đƣơng”. Ví dụ 2.3.4.2. Giải phƣơng trình 2x 2 2x 2x 4x.   (1) Lời giải. Cách 1.   2 2 x 2 2x 2x 4x x 2 2x 2x 4x 0 0.          Vì phƣơng trình 0 = 0 nhận mọi x là nghiệm nên (1) nhận mọi x là nghiệm. Cách 2. Điều kiện 2 x 2 0 x 2 2x 0 x 0 x 2. x 22x 4x 0 x 0                       Ta có www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39   2 2 x 2 2x 2x 4x x 2 2x 2x 4x 0 0.          Vì phƣơng trình 0 = 0 nhận mọi x là nghiêm nên, chú ý rằng x 2, suy ra (1) nhận mọi x 2 là nghiệm. Cách 3. Ta có   2 2 x 2 2x 2x 4x x 2 2x 2x 4x x 2 0 x 0 x 2.                 Nhận xét. Cách 1 sai, biến đổi  2 2x 2 2x 2x 4x x 2 2x 2x 4x       không đúng. Cách 2 đúng, trong điều kiện x 2, biến đổi  2 2x 2 2x 2x 4x x 2 2x 2x 4x       đúng. Vì   2 2 x 2 2x 2x 4x x 2 0 2x 4x 0 x 0              nên cách 3 đúng. Đƣơng nhiên cách 3 đơn giải hơn cách 2. 2.4. Đặt điều kiện trong bài toán rút gọn biểu thức, bài toán chứng minh hằng đẳng thức. Đẳng thức và phƣơng trình là hai khái niệm khác hoàn toàn khác nhau nhƣng về mặt hình thức thì đẳng thức và phƣơng trình lại có vẻ giống nhau. Do đó, rất nhiều giáo viên toán thƣờng bắt học sinh đặt điều kiện trong khi giải các www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 bài toán: rút gọn biểu thức, chứng minh hằng đẳng thức. Thậm chí, trong rất nhiều kì thi ngƣời làm đáp án có tính điểm phần đặt điều kiện trong các bài toán: rút gọn biểu thức, chứng minh hẳng đẳng thức. Phức tạp hơn khi mà trong rất nhiều sách và tại liệu tham khảo, trang này có bài rút gọn biểu thức có phần đặt điều kiện, trang kia có bài chứng minh hằng đẳng thức không có phần đặt điều kiện và ngƣợc lại trang này có bài rút gọn biểu thức không có phần đặt điều kiện, trang kia có bài chứng minh hằng đẳng thức có phần đặt điều kiện và ngƣợc lại. Để chấm dứt tình trạng hỗn loạn nói trên, luận văn này xin nêu hai ví dụ đơn giản có kèm theo nhận xét nhằm khẳng đị nh rằng: khi giải bài toán rút gọn biểu thức và bài toán chứng minh hằng đẳng thức, không cần có phần đặt điều kiện. Ví dụ 2.4.1. Rút gọn biểu thức sau: 2 4 2 x A x    +) Lời giải đúng: Ta có: ( 2)( 2) 2 2 x x A x x       Nhận xét. A đã đƣợc rút gọn, A = x + 2 (tất nhiên trong điều kiện A có nghĩa). +) Lời giải chưa hoàn thiện: www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 2 2 2 ( 2)( 4) ( 2)( 2) ( 2)( 4) ( 4) 2 x x A x x x x x x            Nhận xét. Lời giải trên chƣa hoàn thiện, vì mới chỉ chứng minh đƣợc: A = x+ 2 với 2x   . Muốn hoàn thiện lời giải này, ta làm nhƣ sau: Khi 2x   , ta có 2 2 2 ( 2)( 4) ( 2)( 2) ( 2)( 4) ( 4) 2 x x A x x x x x x            Khi x = – 2, ta có A = 0 = x + 2 Tóm lại, với mọi x làm cho A có nghĩa, A = x + 2. Không có lí do gì buộc ngƣời làm toán phải đặt điều kiện x 2 0.  Ví dụ 2.4.2. Chứng minh hằng đẳng thức sau: 2x 2 2x 2x 4x.   Lời giải.   2x 2 2x x 2 2x 2x 4x     Vậy 2x 2 2x 2x 4x   (khi x làm cho hai vế của đẳng thức có nghĩa). Nhận xét. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Đẳng thức 2x 2 2x 2x 4x   đúng trong điều kiện hai vế của đẳng thức có nghĩa. Không có lí do gì buộc ngƣời làm toán phải đặt điều kiện 2 x 2 0 x 2 2x 0 x 0 x 2. x 22x 4x 0 x 0                       www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ luận văn của em. Luận văn đã nói đƣợc rõ định nghĩa về phƣơng trình và đẳng thức. Để chúng ta có thể trả lời đƣợc câu hỏi: “1 = 2 là phƣơng trình hay đẳng thức?” mà ban đầu đã đặt ra. Luận văn đã nói đƣợc cơ sở rất tự nhiên để hình thành 3 phƣơng pháp tổng quát để giải phƣơng trình. Trong nhiều bài toán giải phƣơng trình, luận văn đã chỉ ra sự phức tạp, rƣờm rà của lời giải khi sử dụng khái niệm miền xác định của phƣơng trình và vận dụng máy móc khái niệm miền xá c định của phƣơng trình ; luận văn nêu đƣợc ý nghĩa của đặt điều kiện khi giải phƣơng trình, chỉ ra đƣợc vai trò của bƣớc đặt điều kiện trong bài toán giải phƣơng trình khi ta sử dụng phép biến đổi “tƣơng đƣơng” hoặc “biến đổi hệ quả và thử lại”. Từ đó mà học sinh có thể biết đƣợc lúc nào nên đặt điều kiện của phƣơng trình và đặt điều kiện nhƣ thế nào cho đơn giản. Từ việc đặt điều kiện khi giải phƣơng trình luận văn đề cập tới khía cạnh: trong bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức có cần đặt điều kiện hay không? Và câu trả lời là: trong bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức ta không cần đặt điều kiện. Luận văn trên là sự cố gắng hết mình của em. Tuy nhiên do thời gian và năng lực có hạn nên luận văn của em sẽ có nhiều thiếu sót. Rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vĩnh Cận – Sai lầm phổ biến khi giải Toán – NXB GD - 1997. [2] Phạm Minh Phƣơng – Nguyễn Sơn Hà – Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên môn toán 1998 – 2009 – NXB GD - 2009. [3] Đoàn Quỳnh – Đại số 10 (Nâng cao) – NXB GD - 2006. [4] Nguyễn Đức Tấn – Phƣơng trình và Hệ phƣơng trình không mẫu mực – NXB GD - 1998. [5] Tôn Thân – Đại số 8 – NXB GD - 2004. www.VNMATH.com