Luận văn Phân lớp đối đồng điều các Ann-Hàm tử và các Ann-phạm trù biện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62. 46. 05. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62. 46. 05. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG Hà Nội - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với các đồng tác giả. Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, các kết quả được trình bày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Đặng Đình Hanh LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác giả đang là sinh viên. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Đại số và Lý thuyết số, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán -Tin đã tạo một môi trường công tác và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin cảm ơn Ths. Nguyễn Thu Thủy về những sự giúp đỡ chân thành. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học và BCN khoa Toán - Tin đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng, GS. TS. Lê Văn Thuyết, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lập về những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị em hai bên nội ngoại, cùng vợ. Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớn đối với tác giả. Tác giả 1Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bảng thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Sơ đồ liên hệ giữa các chương, mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 ⊗-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Gr-phạm trù và Pic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành . . . . . . . . 32 1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số . . . . . . . 35 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN- HÀM TỬ 37 2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . . . 37 2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 22.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild . . . . . . . . . . 45 2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù . . . . . . . . . 66 3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN 72 3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện . . . . . . 76 3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza . . 79 3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN 86 4.1 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Các định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 DANHMỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac Lane [29], J. Bénabou [51] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân m : C × C → C được thay thế bởi một hàm tử. Trong [29], S. Mac Lane đã đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù monoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là một phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất. Kết quả này đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận [50], C. Kassel [23], P. Schauenburg [48]. Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề của một phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [26]. Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính đối xứng trong một phạm trù monoidal [24]. Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [28], N. Saavedra Rivano [54]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem A. Fro¨hlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây. Các Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H3(G,A) (xem [55]). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù đối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19]. Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street, như là sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm 4trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên cứu về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [32, 33]. Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben H3ab(G,A) [13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard) đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55]. Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra bởi A. Fro¨hlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]). Các định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3. Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trù có tính phân phối. Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù này. Sau đó, trong [16], A. Fro¨hlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M. L. Laplaza [27]. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các môđun trên một vành giao hoán. Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù của các không gian vectơ trên một trường K, cùng với tích tenxơ và tổng trực tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K. Các phạm trù vành đã được sử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25]. Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trù hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem 5[6, 54, 55]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19]. Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35]. Năm 2008, N. T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane H3MaL(R,M) (xem [38]). Trường hợp chính quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X) đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H3Sh(R,M) (xem [2]). Từ các kết quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC của V. Schmitt [49]. Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào? Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong [12, 19]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành [19]. Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù,... Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu trên. II. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù; đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp 6riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hành phân lớp các Ann-phạm trù bện. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và tính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm trù. Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể, nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau. IV. Phương pháp nghiên cứu Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng. V. Những đóng góp mới của luận án Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9). Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4). Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann- phạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân 7phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề: phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng định được A. Fro¨hlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16]. Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R,M) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). Những kết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đã được A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]). VI. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fro¨hlich và C. T. C. Wall, N. T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili, V. Schmitt, M. Dupont, ... luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann- phạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc monoidal. Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có về việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chung của Toán học hiện đại. VII. Bố cục của luận án Ngoài các phần lời cam đoan, lời cảm ơn, một số ký hiệu dùng trong luận án, mở đầu, kết luận, các công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệu tham khảo và bản danh mục các từ khóa, luận án gồm bốn chương sau. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày về một số kiến thức và một số kết quả có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện, phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, Pic-phạm trù, Ann-phạm trù. Phần cuối của chương 1 trình bày về hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành của Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild, để sử dụng cho những kết quả phân lớp ở chương 2 và chương 4. 8Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử. Chương này được viết dựa theo [42, 43, 45] và được trình bày trong ba mục. Toàn bộ chương này trình bày về hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, đó là Ann-phạm trù [2] và vành phạm trù [22]. Mục 2.1 đưa ra một tiêu chuẩn tương đương của Ann-hàm tử, từ đó bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử đã được giải quyết nhờ các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane, và trong một trường hợp riêng, chúng tôi đã sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớp các Ann-hàm tử mạnh. Mục 2.2 trình bày về cách xây dựng đối ngẫu B∗ của một cặp (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là một Ann-hàm tử. Trong trường hợp F = idA, thì đối ngẫu A∗ chính là tâm của một Ann-phạm trù được trình bày trong [44]. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạm trù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là một vành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thì sẽ trở thành một Ann-phạm trù. Chương 3: Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [44], bao gồm bốn mục. Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối xứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này. Trong những ví dụ đó, đáng lưu ý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xây dựng đối ngẫu của cặp (A, idA) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạt được là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung không đối xứng. Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện. Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fro¨hlich và C. T. C. Wall. Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc của bốn tiên đề trong hệ tiên đề của phạm trù có tính phân phối, đồng thời suy ra được định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng. Mục 3.4 chứng tỏ rằng hai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành là tương đương. Chương 4: Phân lớp đối đồng điều của các Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [46] và được chia thành ba mục. Trong mục đầu tiên chúng tôi trình bày về một số tính chất của Ann-hàm tử bện và chứng minh 9định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ đó chúng tôi tiến hành xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn của một Ann-phạm trù bện bất kỳ. Trong mục 4.2, chúng tôi giải quyết bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện. Kết quả chính của chương này nằm trong mục 4.3. Dựa trên các kết quả về Ann-phạm trù thu gọn và sự phân lớp các Ann-hàm tử bện, mục này trình bày các định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). 10 BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu Nghĩa C,D phạm trù monoidal A,B Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện SA Ann-phạm trù (bện) thu gọn của A (R,M, h) Ann-phạm trù (R,M, h, β) Ann-phạm trù bện S Ann-phạm trù (bện) kiểu (R,M, h) ((R,M, h, β)) R vành phạm trù (2-phạm trù) P phạm trù Picard (Pic-phạm trù) ZC tâm của phạm trù C CA tâm của Ann-phạm trù A Ob(C) tập các vật của phạm trù C XY = X ⊗ Y tích tenxơ của hai vật X và Y a+ ràng buộc kết hợp của phép cộng a ràng buộc kết hợp của phép nhân c+ ràng buộc giao hoán của phép cộng c ràng buộc giao hoán (bện) của phép nhân (0, g, d) ràng buộc đơn vị của phép cộng (1, l, r) ràng buộc đơn vị của phép nhân idX mũi tên đồng nhất của vật X L(R) ràng buộc phân phối bên trái (phải) (F, F˜ , Fˆ ) hàm tử monoidal idC hàm tử đồng nhất của phạm trù C (F, F˘ , F˜ , F ∗) Ann-hàm tử (H, H˘, H˜), (G, G˘, G˜) các Ann-hàm tử (bện) chính tắc u : F → F ′ mũi tên hàm tử Aut(F ) tập các tự mũi tên của F [X] lớp tương đương của X pi0(A) tập các lớp vật của phạm trù A pi1(A) = Aut(0) tập các tự mũi tên của vật 0 MA(PA) vành các song tích (ngoài) của vành A CA song tâm của vành A 11 ZnMacL nhóm các n-đối chu trình của vành theo nghĩa Mac Lane BnMacL nhóm các n-đối bờ của vành theo nghĩa Mac Lane HnMacL nhóm đối đồng điều thứ n của vành theo nghĩa Mac Lane ZnHoch nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại số theo nghĩa Hochschild BnHoch nhóm các n-đối bờ của các Z-đại số theo nghĩa Hochschild HnHoch nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại số theo nghĩa Hochschild 12 BẢNG THUẬT NGỮ Dịch Thuật ngữ phạm trù category phạm trù monoidal monoidal category phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category tenxơ phạm trù bện braided tensor category nhóm phạm trù categorical group nhóm phạm trù đối xứng symmetric cat-group nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group phạm trù Picard phân bậc graded Picard category vành phạm trù categorical ring phạm trù vành ring category phạm trù tựa vành ring-like category phạm trù có tính phân phối distributivity category hàm tử functor hàm tử monoidal monoidal functor hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor hàm tử monoidal bện braided monoidal functor tương đương monoidal monoidal equivalence mở rộng extension tương đẳng congruence 2-nhóm 2-group 2-nhóm đối xứng symmetric 2-group 2-vành 2-ring phép biến đổi tự nhiên natural transformation phép biến đổi monoidal tự nhiên monoidal natural transformation ràng buộc constraint ràng buộc kết hợp associativity constraint ràng buộc giao hoán commutativity constraint ràng buộc đơn vị unit constraint ràng buộc phân phối distributivity constraint cấu trúc monoidal monoidal structure định lý phân lớp classification theorem 13 định lý khớp coherence-theorem lý thuyết cản trở obstruction theory vật không zero object vật đơn vị unit object vật chính quy regular object 14 SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC IV.1 III.1 I.1 II.2 II.1 IV.2 III.2 I.2 III.3 I.3 II.3 IV.3 III.4 I.4 - - - - - - -ff ff ? ? ?       =       = ) 6 PP PP PP PP PP PP PP PP Pi Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z} - 6 ff 6 ff 15 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. S. Mac Lane đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đã đưa ra khái niệm Gr-phạm trù ([55], 1975), A. Joyal và R. Street đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal bện ([21], 1991). Những kết quả cơ bản về Ann-phạm trù đã được trình bày trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang ([2], 1988). Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả chủ yếu, dùng làm cơ sở cho các chương sau. Phần cuối của chương trình bày về các nhóm đối đồng điều vành của S. Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild. Các nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các Ann-hàm tử. Trong toàn bộ luận án này, đôi khi chúng ta viết XY thay cho tích tenxơ X ⊗Y của hai vật. Các biểu đồ được sử dụng thường xuyên để việc theo dõi các các chứng minh được thuận lợi. 1.1 Phạm trù monoidal bện 1.1.1 ⊗-phạm trù Định nghĩa 1.1.1. Cho một phạm trù C. Một hàm tử ⊗ : C × C −→ C được gọi là một phép toán- hay một luật trên C. Khi đó phạm trù C với phép toán ⊗ được gọi là một ⊗−phạm trù và thường được ký hiệu (C,⊗). Định nghĩa 1.1.2. Cho C là một ⊗-phạm trù, và A là một vật của C. Ta gọi A là vật chính quy nếu các hàm tử F = −⊗ A và G = A ⊗− từ C vào C là những tương đương phạm trù. Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù). Một A-phạm trù C là một ⊗-phạm trù C cùng với một đẳng cấu tự nhiên aX,Y,Z : A⊗ (B ⊗ C) ∼−→ (A⊗B)⊗ C, A,B,C ∈ Ob(C), 16 thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi là tiên đề ngũ giác) sau A⊗ (B ⊗ (C ⊗D)) (A⊗ B)⊗ (C ⊗D)) A⊗ ((B ⊗ C)⊗D) ((A⊗ B)⊗ C)⊗D (A⊗ (B ⊗ C))⊗D -a ? id⊗a ? a HHHHHHj a   * a⊗id (1.1) với mọi vật A,B,C,D của C. Đẳng cấu tự nhiên a còn được gọi là một ràng buộc kết hợp. Trong trường hợp A⊗ (B ⊗ C) = (A⊗ B)⊗ C và aA,B,C = id thì a = id gọi là ràng buộc kết hợp chặt chẽ và C được gọi là A-phạm trù chặt chẽ. 1.1.2 Phạm trù monoidal Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù monoidal). Một phạm trù monoidal (hay một AU-phạm trù ) C là một A-phạm trù C cùng với một vật 1 ∈ Ob(C) và hai đẳng cấu tự nhiên lA : 1⊗ A→ A; rA : A⊗ 1→ A, thỏa mãn điều kiện l1 = r1 và làm cho biểu đồ sau giao hoán với mọi vật A,B của C: A⊗ (1⊗ B) (A⊗ 1)⊗ B A⊗ B -aA,1,B HHHjid⊗lB  rA⊗id (1.2) Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị. Phạm trù monoidal C được ký hiệu là (C,⊗, a, (1, l, r)). Để đơn giản ta có thể ký hiệu phạm trù monoidal C là (C,⊗). Chú ý 1.1.5. 1) Ràng buộc đơn vị được gọi là chặt chẽ nếu các đẳng cấu l, r đều là đồng nhất. 2) Một phạm trù monoidal (C,⊗, a, (1, l, r)) được gọi là phạm trù monoidal chặt chẽ nếu các ràng buộc a, l, r đều là đồng nhất. 17 Mệnh đề 1.1.6 ([26, G. M. Kelly]). Trong phạm trù monoidal, tính giao hoán của biểu đồ (1.2) tương đương với tính giao hoán của hai biểu đồ sau 1⊗ (A⊗ B) (1⊗ A)⊗ B A⊗ (B ⊗ 1) (A⊗ B)⊗ 1 A⊗ B A⊗ B -a1,A,B HHHjlA⊗B  lA⊗idB -aA,B,1 HHHjidA ⊗rB  rA⊗B Định lý 1.1.7 ([29, S. Mac Lane]). Giữa hai vật bất kỳ của một phạm trù monoidal C, tồn tại không quá một mũi tên được xây dựng từ a, l, r, phép đồng nhất và luật ⊗. Định lý này thường được gọi là định lý khớp. 1.1.3 Hàm tử monoidal Định nghĩa 1.1.8. Cho hai phạm trù monoidal (C,⊗, a, (1, l, r)) và (C′,⊗′ , a′, (1′, l′, r′)). Một hàm tử monoidal hay một AU-hàm tử từ C đến C′ bao gồm: 1. một hàm tử F : C → C′, 2. một họ đẳng cấu F˜A,B : F (A⊗B)→ FA⊗ FB tự nhiên với A, B, 3. một đẳng cấu Fˆ : F1→ 1′, sao cho F tương thích với các ràng buộc kết hợp và các ràng buộc đơn vị, nghĩa là các biểu đồ sau giao hoán F (A⊗ (B ⊗ C)) FA⊗ F (B ⊗ C) FA⊗ (FB ⊗ FC) F ((A⊗ B)⊗ C) F (A⊗ B)⊗ FC (FA⊗ FB)⊗ FC) -F˜ ? F (a) -id⊗F˜ ? a′ -F˜ -F˜⊗id (1.3) FA⊗ 1 FA FA⊗ F1 F (A⊗ 1) -rFA 6 id⊗Fˆ 6 F (rA) ff F˜A,1 (1.4) 1⊗ FA FA F1⊗ FA F (1⊗ A) -lFA 6 Fˆ⊗id 6 F (lA) ff F˜1,A (1.5) Chú ý 1.1.9. 1. Nếu cặp (F, F˜ ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.3) thì nó được gọi là một A-hàm tử. 2. Nếu cặp (F, F˜ ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.4), (1.5) thì nó được gọi là một U-hàm tử. 18 Mệnh đề 1.1.10. Cho hai hàm tử monoidal (F, F˜ , Fˆ ) : C → C′, (F ′, F˜ ′, Fˆ ′) : C′ → C′′. Hợp thành của hai hàm tử trên là một hàm tử monoidal (F ′F, F˜ ′F , F̂ ′F ) từ C đến C′′, trong đó F ′F là hợp thành của hai hàm tử theo nghĩa thông thường, và các đẳng cấu F˜ ′FA,B : F ′F (A⊗ B)→ F ′FA⊗ F ′FB, F̂ ′F : F ′F1→ 1′′ được xác định bởi các biểu đồ sau F ′ F (A⊗ B) (F ′F )A⊗ (F ′F )B F ′ (FA⊗ FB) -F˜ ′FA,B HHHHHjF ′(F˜A,B)   * F˜ ′FA,FB F ′ F1 1 ′′ F ′ 1 ′ -F̂ ′F @ @@RF ′(Fˆ )  Fˆ ′ 1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal Định nghĩa 1.1.11. Giả sử (F, F˜ , Fˆ ), (K, K˜, Kˆ) : C → D là hai hàm tử monoidal giữa hai phạm trù monoidal. Một phép biến đổi monoidal tự nhiên hay một mũi tên hàm tử u : F −→ K là một phép biến đổi tự nhiên sao cho các biểu đồ sau giao hoán. F (A⊗ B) FA⊗ FB K(A⊗ B) KA⊗KB -F˜A,B ? uA⊗B ? uA⊗uB -K˜A,B (1.6) F1 K1 1 ′ -u1 @ @RFˆ Kˆ (1.7) Định nghĩa 1.1.12. Cho (F, F˜ , Fˆ ) : C → D là một hàm tử monoidal. Trong trường hợp tồn tại một hàm tử monoidal (K, K˜, Kˆ) : D → C và các phép biến đổi monoidal tự nhiên KF ∼→ idC, FK ∼→ idD, chúng ta nói rằng (F, F˜ , Fˆ ) là một tương đương monoidal và C, D là hai phạm trù monoidal tương đương. Bổ đề 1.1.13 ([55, H.X.Sinh]). Cho (F, F˘ ), (K, K˘) : C → C′ là những ⊗-hàm tử tương thích với các ràng buộc đơn vị và Fˆ : F1→ 1′, Kˆ : K1→ 1′ là những đẳng cấu tương ứng. Khi đó nếu u : F → K là một ⊗-mũi tên sao cho u1 là một đẳng cấu thì biểu đồ sau giao hoán F1 K1 1 ′ -u1 @ @RFˆ Kˆ 19 nghĩa là Kˆ ◦ u1 = Fˆ . 1.1.5 Phạm trù monoidal bện Chúng ta nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal bện theo [21]. Định nghĩa 1.1.14. Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ các đẳng cấu tự nhiên c = cA,B : A⊗B ∼−→ B ⊗ A, trong C sao cho nó thoả mãn hai biểu đồ giao hoán (1.8) và (1.9) sau đây. (A⊗ B)⊗ C (B ⊗ A)⊗ C B ⊗ (A⊗ C) A⊗ (B ⊗ C) (B ⊗ C)⊗ A B ⊗ (C ⊗ A) -c⊗id ? a−1 -a−1 ? id⊗c -c -a−1 (1.8) A⊗ (B ⊗ C) A⊗ (C ⊗ B) (A⊗ C)⊗ B (A⊗ B)⊗ C C ⊗ (A⊗ B) (C ⊗ A)⊗ B -id⊗c ? a -a ? c⊗id -c -a (1.9) Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c) bao gồm một phạm trù monoidal C và một bện c. Hơn nữa, nếu cB,A ◦ cA,B = idA⊗B, (1.10) thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng , hay một ACU-phạm trù. Chú ý 1.1.15. Đẳng cấu tự nhiên c = cA,B : A⊗B ∼−→ B ⊗ A, thỏa mãn điều kiện (1.10) được gọi là ràng buộc giao hoán hay ràng buộc đối xứng. Nhận xét 1.1.16. 1. Trong một phạm trù monoidal đối xứng, tiên đề (1.8) được suy ra từ các tiên đề còn lại. 2. Bởi Định lý khớp của S. Mac Lane ([29]), trong một phạm trù monoidal đối xứng C, tồn tại duy nhất mũi tên vA,B,C,D : (A⊗ B)⊗ (C ⊗D)→ (A⊗ C)⊗ 20 (B ⊗D) được xác định như sau: (A⊗ B)⊗ (C ⊗D) A⊗ (B ⊗ (C ⊗D)) A⊗ ((B ⊗ C)⊗D) (A⊗ C)⊗ (B ⊗D) A⊗ (C ⊗ (B ⊗D)) A⊗ ((C ⊗ B)⊗D) - a −1 A,B,C⊗D ? vA,B,C,D -idA ⊗aB,C,D ? idA ⊗(cB,C⊗idD) ffaA,C,B⊗D ff idA ⊗a−1C,B,D (1.11) Đẳng cấu v được gọi là ràng buộc kết hợp-giao hoán của phạm trù monoidal đối xứng C. Định nghĩa 1.1.17 (Hàm tử monoidal bện (đối xứng)). Cho C và D là hai phạm trù monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F, F˜ , Fˆ ) từ C đến D được gọi là bện (đối xứng) nếu với mỗi cặp (A,B) những vật của C, hình vuông F (A⊗ B) FA⊗ FB F (B ⊗ A) FB ⊗ FA -F˜A,B ? F (cA,B) ? c′FA,FB -F˜B,A (1.12) giao hoán. Một hàm tử monoidal đối xứng còn được gọi là một ACU-hàm tử. Giả sử C và D là hai phạm trù monoidal đối xứng. Nếu ⊗-hàm tử (F, F˜ ) : C → D là một A-hàm tử và thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.12) thì nó được gọi là một AC-hàm tử. 1.2 Gr-phạm trù và Pic-phạm trù Các khái niệm và các kết quả trình bày trong tiểu mục này là theo Hoàng Xuân Sính [55]. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (C,⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal. Vật X của C được gọi là vật khả đảo nếu tồn tại các vật X ′, X ′′ của C sao cho X ′⊗X ' 1, X ⊗X ′′ ' 1. Nhận xét 1.2.2. Nếu X ′ ⊗X x ′ ' 1, X ⊗X ′′ x ′′ ' 1 thì X ′ ' X ′′. Hệ quả 1.2.3. X khả đảo khi và chỉ khi tồn tại vật X ′ thỏa mãn X ⊗X ′ ' 1 và X ′ ⊗X ' 1. Mệnh đề 1.2.4. X khả đảo khi và chỉ khi X là vật chính quy. Định nghĩa 1.2.5. Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất cả các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các mũi tên đều là đẳng cấu. 21 Từ định nghĩa ta suy ra mọi vật của một Gr-phạm trù đều là chính quy. Một Gr-phạm trù còn được gọi là nhóm phạm trù theo cách gọi gần đây [6, 7], hay một 2-nhóm trong [12]. Mệnh đề 1.2.6. Giả sử G,G′ là những Gr-phạm trù và (F, F˜ ) : G→ G′ là một ⊗-hàm tử tương thích với các ràng buộc kết hợp. Khi đó (F, F˜ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị. Ta gọi một ⊗-hàm tử kết hợp giữa hai Gr-phạm trù là một Gr-hàm tử . Như vậy, một Gr-hàm tử bao giờ cũng là một hàm tử monoidal. Định nghĩa 1.2.7. Một phạm trù Picard hay một Pic-phạm trù P là một Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết hợp. Một phạm trù Picard còn được gọi là một nhóm phạm trù đối xứng [5] hay một 2-nhóm đối xứng [12, 19]. Chú ý rằng trong một Pic-phạm trù, ràng buộc giao hoán bao giờ cũng tương thích với ràng buộc đơn vị. Định nghĩa 1.2.8. Một AC-hàm tử giữa hai Pic-phạm trù được gọi là một Pic-hàm tử. 1.3 Ann-phạm trù Các khái niệm, các kết quả và các ví dụ trong mục này là của Nguyễn Tiến Quang [2, 38]. 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù Định nghĩa 1.3.1. Một Ann-phạm trù gồm: (i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕,⊗ : A×A → A; (ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a+, c+, g, d, sao cho (A,⊕, a+, c+, (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng; (iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho (A,⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal; 22 (iv) Các đẳng cấu tự nhiên L,R (các ràng buộc phân phối bên trái, bên phải) LA,X,Y : A⊗ (X ⊕ Y ) → (A⊗X)⊕ (A⊗ Y ), RX,Y,A : (X ⊕ Y )⊗ A → (X ⊗ A)⊕ (Y ⊗ A), sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (LA, L˘A), (RA, R˘A) xác định bởi các hệ thức sau: LA = A⊗−, L˘AX,Y = LA,X,Y , RA = −⊗ A, R˘AX,Y = RX,Y,A. là những ⊕−hàm tử tương thích với a+, và với c+. (Ann-2) Đối với mọi vật A,B,X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán: (AB)(X ⊕ Y ) A(B(X ⊕ Y )) A(BX ⊕ BY ) (AB)X ⊕ (AB)Y A(BX)⊕ A(BY ) ? L˘AB -idA ⊗L˘ B ffaA,B,X⊕Y ? L˘A ff aA,B,X⊕aA,B,Y (1.13) (X ⊕ Y )(BA) ((X ⊕ Y )B)A (XB ⊕ Y B)A X(BA)⊕ Y (BA) (XB)A⊕ (Y B)A ? R˘BA -aX⊕Y,B,A -R˘ B⊗idA ? R˘A -aX,B,A⊕aY,B,A (1.14) (A(X ⊕ Y ))B A((X ⊕ Y )B) A(XB ⊕ Y B) (AX ⊕ AY )B (AX)B ⊕ (AY )B A(XB)⊕ A(Y B) ? L˘A⊗idB ffaA,X⊕Y,B -idA ⊗R˘ B ? L˘A -R˘B ffa ⊕ a (1.15) (A⊕ B)X ⊕ (A⊕ B)Y (A⊕ B)(X ⊕ Y ) A(X ⊕ Y )⊕ B(X ⊕ Y ) (AX ⊕ BX)⊕ (AY ⊕ BY ) (AX ⊕ AY )⊕ (BX ⊕ BY ) ? R˘X⊕R˘Y ffL˘ -R˘ ? L˘A⊕L˘B -v (1.16) trong đó v = vU,V,Z,T : (U ⊕ V )⊕ (Z ⊕ T )→ (U ⊕Z)⊕ (V ⊕ T ) là mũi tên được xác định trong biểu đồ (1.11). (Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán: 1(X ⊕ Y ) 1X ⊕ 1Y X ⊕ Y -L˘1 Q QQslX⊕Y   + lX⊕lY (1.17) (X ⊕ Y )1 X1⊕ Y 1 X ⊕ Y -R˘1 Q QQsrX⊕Y   + rX⊕rY (1.18) Định nghĩa 1.3.2. Một Ann-phạm trù A có ràng buộc giao hoán c thỏa mãn điều kiện cX,X = id với mọi X ∈ A gọi là một Ann-phạm trù chính quy . 23 Lớp các Ann-phạm trù chính quy có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết đối đồng điều đại số của U. Shukla [56], thể hiện qua định lý phân lớp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý 3.1, chương V [2]), và với bài toán mở rộng vành của một đồng cấu chính quy (ví dụ 2.4, chương II [2]). Tiếp theo chúng ta trình bày một số ví dụ thường gặp về Ann-phạm trù. Các ví dụ này sẽ được sử dụng ở các chương tiếp theo. Ví dụ 1.3.3 (Ann-phạm trù kiểu (R,M)). Giả sử R là một vành có đơn vị 1 6= 0 và M là một R-song môđun. Ta xét một phạm trù I có vật là các phần tử của vành R, còn các mũi tên đều là những tự đẳng cấu. Cụ thể với mỗi x ∈ R ta có: Aut(x) = {x} ×M. Hợp thành của các mũi tên trong I là phép cộng trong M . Hai phép toán ⊕ và ⊗ trên I được xác định như sau: x⊕ y = x+ y, (x, a)⊕ (y, b) = (x+ y, a+ b); x⊗ y = x.y, (x, a)⊗ (y, b) = (xy, xb+ ay). Các ràng buộc đơn vị của phép cộng và phép nhân đều chặt chẽ theo nghĩa g = id, d = id, l = id, r = id. Ràng buộc kết hợp a+ : x+ y + z → x+ y + z là một họ các mũi tên (x + y + z, ξ(x, y, z)), với ξ : R3 → M là một hàm thỏa mãn tiên đề ngũ giác, nghĩa là ξ(y, z, t)− ξ(x+ y, z, t) + ξ(x, y + z, t)− ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0. (1.19) Tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc đơn vị dẫn đến ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0. (1.20) Ràng buộc giao hoán c+ : x + y → y + x là họ các mũi tên (x + y, η(x, y)), trong đó η : R2 →M là một hàm thỏa mãn điều kiện η(x, y) + η(y, x) = 0, (1.21) và thỏa mãn tiên đề lục giác về tính tương thích của a+ với c+: ξ(x, y, z)− ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x+ y, z)− η(x, z)− η(y, z) = 0. (1.22) Các ràng buộc kết hợp a của phép nhân và các ràng buộc phân phối L,R tương ứng là các hàm α, λ, ρ từ R3 đến M thỏa mãn các hệ thức sau: xα(y, z, t)− α(xy, z, t) + α(x, yz, t)− α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0. (1.23) 24 α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0. (1.24) xξ(y, z, t)− ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t)−λ(x, y+ z, t) +λ(x, y, z+ t)−λ(x, y, z). (1.25) ξ(x, y, z)t− ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t)− ρ(x+ y, z, t) + ρ(x, y + z, t)− ρ(x, y, t). (1.26) xη(y, z)− η(xy, xz) = λ(x, y, z)− λ(x, z, y). (1.27) η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z)− ρ(y, x, z). (1.28) α(x, y, z+ t)−α(x, y, z)−α(x, y, t) +xλ(y, z, t) +λ(x, yz, yt)−λ(xy, z, t) = 0. (1.29) α(x, y+z, t)−α(x, y, t)−α(x, z, t)−xρ(y, z, t)+ρ(xy, xz, t)−λ(x, yt, zt) = 0. (1.30) α(x+ y, z, t)−α(x, z, t)−α(y, z, t) + ρ(x, y, z)t+ ρ(xz, yz, t)− λ(x, y, zt) = 0. (1.31) ρ(x, y, z + t)− ρ(x, y, z)− ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t)− λ(x+ y, z, t) = −ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz)− η(xt, yz) + ξ(xz, yz, xt+ yt)− ξ(xz, yz, xt). (1.32) λ(1, y, z) = ρ(x, y, 1) = 0. (1.33) Ví dụ trên đóng vai trò quan trọng trong việc xét cấu trúc của các Ann-phạm trù [2], và nó được gọi là Ann-phạm trù kiểu (R,M) . Với mỗi Ann-phạm trù kiểu (R,M), bộ năm hàm h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một 3-đối chu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Mac Lane (xem phần 1.4). Nếu η có thêm điều kiện chính quy η(x, x) = 0 thì h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một 3-đối chu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Shukla (xem chương IV [2]). Ví dụ 1.3.4 (Ann-phạm trù các song tích MA của vành A). Cho A là một vành (không nhất thiết có đơn vị). Theo Mac Lane [31], ta gọi một song tích của vành A là một cặp ánh xạ a→ σa, a→ aσ từ A vào chính nó, thỏa mãn các điều kiện sau: σ(a+ b) = σa+ σb, σ(ab) = (σa)b, (a+ b)σ = aσ + bσ, (ab)σ = a(bσ), a(σb) = (aσ)b, với mọi a, b ∈ A. Tổng và tích của hai song tích σ và ν được xác định bởi: (σ + ν)a = σa+ νa; a(σ + ν) = aσ + aν; (σν)a = σ(νa); a(σν) = (aσ)ν. 25 Tập hợp tất cả các song tích của vành A cùng với hai phép toán trên lập thành một vành có đơn vị, ký kiệu bởi MA. Mỗi phần tử c ∈ A cảm sinh một song tích µc xác định bởi các hệ thức µca = ca; aµc = ac, ∀a ∈ A, và được gọi là một song tích trong của A. Ánh xạ µ : A→ MA là một đồng cấu vành và nếu A có đơn vị 1 thì µ(1) = 1. Bởi vì σµc = µσc; µcσ = µcσ nên ảnh µA của đồng cấu µ là một iđêan hai phía của vành MA. Bây giờ ta xét phạm trù MA mà các vật là các phần tử của vành MA, và nếu ϕ, λ là hai song tích của A thì ta đặt HomMA(ϕ, λ) = {c ∈ A | λ = µc + ϕ}. Phép hợp thành các mũi tên là phép cộng trong A. Các phép toán ⊕,⊗ được xác định bởi các hệ thức sau ϕ⊕ λ = ϕ+ λ, c⊕ d = c+ d, ϕ⊗ λ = ϕ ◦ λ, c⊗ d = cd+ cλ+ ϕd, với λ, ϕ ∈ MA, c : ϕ → ϕ′, d : λ → λ′. Với hai phép toán này, MA trở thành một Ann-phạm trù với các ràng buộc được xác định một cách tự nhiên đều là chặt chẽ. Ví dụ 1.3.5 (Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy). Cho A là một vành (không nhất thiết có đơn vị). Ta gọi PA = MA/µA là vành các song tích ngoài của vành A. Giả sử R là một vành có đơn vị 1 6= 0. Mỗi mở rộng vành của A bởi R cảm sinh một đồng cấu chính quy θ : R→ PA nghĩa là: θ(1) = 1 và hai phần tử bất kỳ của θR là giao hoán [Hai song tích ϕ, ψ được gọi là giao hoán nếu ϕ(aψ) = (ϕa)ψ và ψ(aϕ) = (ψa)ϕ với mọi a ∈ A]. Đảo lại, theo [31], mỗi đồng cấu chính quy θ : R→ PA cảm sinh cấu trúc R-song môđun trên song tâm CA = {c ∈ A | ca = ac = 0, ∀a ∈ A}, 26 với các tác động xc = (ϕx)c, cx = c(ϕx), ∀c ∈ CA, x ∈ R, ϕx ∈ θx. Giả sử σ : R → MA là một ánh xạ sao cho σ(x) ∈ θx với x ∈ R và σ thỏa mãn các điều kiện σ(0) = 0, σ(1) = 1. Khi đó ta xác định được hai ánh xạ f : R×R → A, g : R×R → A, sao cho µf(x, y) = σ(x) + σ(y)− σ(x+ y), µg(x, y) = σ(x)σ(y)− σ(xy), x, y ∈ R. Từ tính chất kết hợp của phép nhân trong vành MA ta suy ra: xg(y, z)− g(xy, z) + g(x, yz)− g(x, y)z = α(x, y, z) ∈ CA. (1.34) Tương tự, từ tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng trong vành MA ta suy ra: f(y, z)− f(x+ y, z) + f(x, y + z)− f(x, y) = ξ(x, y, z) ∈ CA. (1.35) f(x, y)− f(y, x) = η(x, y) ∈ CA. (1.36) Cuối cùng từ tính chất phân phối trong vành MA ta suy ra: xf(y, z)− f(xy, xz) + g(x, y + z)− g(x, y)− g(x, z) = λ(x, y, z) ∈ CA. (1.37) f(x, y)z − f(xz, yz) + g(x+ y, z)− g(x, z)− g(y, z) = ρ(x, y, z) ∈ CA. (1.38) Ta gọi họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) ∈ Z3MacL(R,CA) các ánh xạ được xác định bởi các hệ thức (1.34)-(1.38) là một cản trở của đồng cấu chính quy (A,R, θ), [h] ∈ H3MacL(R,CA) được gọi là cản trở của đồng cấu θ. Khi tất cả các hàm này đều bằng không thì ta có mở rộng vành 0 −→ A −→ S −→ R −→ 0 cảm sinh đồng cấu chính quy θ : R→ PA. Cụ thể, S = {(a, r), a ∈ A, r ∈ R} là một vành với hai phép toán (a1, r1) + (a2, r2) = (a1 + a2 + f(r1, r2), r1 + r2), (a1, r1).(a2, r2) = (a1a2 + r1a2 + a1r2 + g(r1, r2), r1r2). 27 Trường hợp tổng quát được phát biểu trong kết quả dưới đây. Mệnh đề 1.3.6 ([2, Mệnh đề 2.5, chương II]). Nếu h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một cản trở của một đồng cấu chính quy θ : R → PA thì chúng cùng với (0, id, id) và (1, id, id) là một họ ràng buộc của một Ann-phạm trù kiểu (R,CA). Tiếp theo chúng ta nhắc lại một số tính chất của vật 0 trong một Ann-phạm trù A. Mệnh đề 1.3.7 ([3, Mệnh đề 3.1]). Trong Ann-phạm trù A, tồn tại duy nhất các đẳng cấu LˆA : A⊗ 0→ A, RˆA : 0⊗ A→ A, sao cho các biểu đồ sau giao hoán AX A(0⊕X) 0⊕ AX A0⊕ AX ? L˘A ffL A(g) 6 g ffLˆ A⊕id (1.39) AX A(X ⊕ 0) AX ⊕ 0 AX ⊕ A0 ? L˘A ffL A(d) 6 d ffid⊕Lˆ A (1.40) XA (0⊕X)A 0⊕XA 0A⊕XA ? R˘A ffL A(g) 6 g ffRˆ A⊕id (1.41) XA (X ⊕ 0)A XA⊕ 0 XA⊕ 0A ? R˘A ffL A(d) 6 d ffid⊕Rˆ A (1.42) nghĩa là, (LA, L˘A, LˆA), (RA, R˘A, RˆA) là những hàm tử tương thích với các ràng buộc đơn vị của phép ⊕ (còn được gọi là những U−hàm tử). Mệnh đề 1.3.8 ([2, Mệnh đề 3.2]). Trong một Ann-phạm trù A, họ (LˆA) (tương ứng (RˆA)) là một mũi tên đẳng cấu giữa hàm tử (A 7→ A ⊗ 0) (tương ứng, A 7→ 0 ⊗ A) và hàm tử A → 0. Nghĩa là, nếu f : A → B là một mũi tên trong Ann-phạm trù A thì các biểu đồ sau giao hoán A⊗ 0 B ⊗ 0 0 -f⊗id @ @RLˆA LˆB (1.43) 0⊗ A 0⊗ B 0 -id⊗f @ @RLˆA LˆB (1.44) Mệnh đề 1.3.9 ([2, Mệnh đề 3.3]). Đối với các vật X, Y của Ann-phạm trù A, các biểu đồ sau giao hoán 28 X ⊗ (Y ⊗ 0) X ⊗ 0 (X ⊗ Y )⊗ 0 0 -id⊗Lˆ Y ? a ? LˆX -LˆXY (1.45) 0⊗ (X ⊗ Y ) 0 (0⊗X)⊗ Y 0⊗ Y -RˆXY ? a -Rˆ X⊗id 6 RˆY (1.46) X ⊗ (0⊗ Y ) (X ⊗ 0)⊗ Y X ⊗ 0 0 0⊗ Y -a ? id⊗RˆY ? LˆX⊗id -LˆX ffRˆY (1.47) Mệnh đề 1.3.10 ([2, Mệnh đề 3.4]). Trong Ann-phạm trù A, các biểu đồ sau giao hoán 0⊕ 0 0 (X ⊗ 0)⊕ (Y ⊗ 0) (X ⊕ Y )⊗ 0 -g0=d0 6 LˆX⊕LˆY ffR˘0 6 LˆX⊕Y (1.48) 0⊕ 0 0 (0⊗X)⊕ (0⊗ Y ) 0⊗ (X ⊕ Y ) -g0=d0 6 RˆX⊕RˆY ffL˘0 6 RˆX⊕Y (1.49) nghĩa là (LˆA) (tương ứng, họ (RˆA)) là ⊕-mũi tên đẳng cấu giữa ⊕-hàm tử (R0, R˘0) (tương ứng, (L0, L˘0)) và ⊗-hàm tử (θ : A 7→ 0, θ˜ = g−10 ). Mệnh đề 1.3.11 ([2, Mệnh đề 3.5]). Trong Ann-phạm trù A có các đẳng thức sau Lˆ1 = l0 và Rˆ 1 = r0. (1.50) 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử Theo Mệnh đề 1.2.6, nếu (F, F˘ ) : A → A′ là một ⊕-hàm tử tương thích với các ràng buộc kết hợp của của hai nhóm phạm trù thì nó cũng tương thích với các ràng buộc đơn vị, nghĩa là suy ra được đẳng cấu F+ : F (0)→ 0′ sao cho (F, F˘ , F+) là một hàm tử monoidal. Với những chú ý này chúng ta có định nghĩa Ann-hàm tử sau đây. Định nghĩa 1.3.12. Cho A và A′ là những Ann−phạm trù. Một Ann−hàm tử từ A đến A′ là một bộ bốn (F, F˘ , F˜ , F∗) trong đó (F, F˘ ) là một hàm tử monoidal đối xứng đối với phép toán ⊕, (F, F˜ , F∗) là hàm tử monoidal đối với phép toán ⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau: F (X(Y ⊕ Z)) FX.F (Y ⊕ Z) FX(FY ⊕ FZ) F (XY ⊕XZ) F (XY )⊕ F (XZ) FX.FY ⊕ FX.FZ ? F (L) -F˜ -id⊗F˘ ? L′ -F˘ -F˜⊕F˜ (1.51) 29 F ((X ⊕ Y )Z) F (X ⊕ Y ).FZ (FX ⊕ FY ).FZ F (XZ ⊕ Y Z) F (XZ)⊕ F (Y Z) FX.FZ ⊕ FY.FZ ? F (R) -F˜ -F˘⊗id ? R′ -F˘ -F˜⊕F˜ (1.52) Tính giao hoán của hai biểu đồ trên được gọi là tính tương thích của hàm tử F với các ràng buộc phân phối của hai Ann-phạm trù A,A′. Ta gọi u : F → K là một Ann−mũi tên hay một đồng luân giữa hai Ann−hàm tử (F, F˘ , F˜ , F∗) và (K, K˘, K˜,K∗) nếu nó đồng thời là một ⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên. Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ , F∗) : A → A′ được gọi là một Ann-tương đương nếu tồn tại một Ann-hàm tử (F ′, F˘ ′, F˜ ′, F ′∗) : A′ → A và các Ann-mũi tên đẳng cấu tự nhiên u : F ◦ F ′ ∼= idA′ , u′ : F ′ ◦ F ∼= idA. Chúng ta có thể chứng minh được rằng một Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ , F∗) : A → A′ là một Ann-tương đương khi và chỉ khi F là một tương đương phạm trù. Để sử dụng cho những phần sau, chúng ta chứng minh bổ đề dưới đây. Bổ đề 1.3.13. Mỗi Ann-hàm tử F = (F, F˘ , F˜ , F∗) : A → A′ đồng luân với một Ann-hàm tử F ′ = (F ′, F˘ ′, F˜ ′, F ′∗) mà ở đó F ′1 = 1′, F ′∗ = id1′. Chứng minh. Ta xét họ các mũi tên đẳng cấu trong A′: θX = idFX nếu X 6= 1,F∗ nếu X = 1, với X ∈ A. Khi đó từ F ta có thể dựng được Ann-hàm tử F ′ theo cách duy nhất sao cho θ : F → F ′ trở thành một đồng luân, ở đó F ′X = FX nếu X 6= 1,1′ nếu X = 1; F ′(f : X → Y ) = (θXF (f)(θY )−1 : F ′X → F ′Y ); F˘ ′X,Y = (θX ⊕ θY )F˘X,Y θ−1X⊕Y ; F˜ ′X,Y = (θX ⊗ θY )F˜X,Y θ−1XY ; F ′∗ = F∗θ−11 = id1. Do Bổ đề 1.3.13, ta có thể ký hiệu một Ann-hàm tử bởi (F, F˘ , F˜ ) khi không cần nhắc tới F∗. 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn Giả sử A là một Ann-phạm trù với họ các ràng buộc (a+, c+, (0, g, d), a, (1, l, r),L,R). 30 Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu pi0(A) của A là một vành đối với hai phép toán +,×, cảm sinh bởi các phép toán ⊕,⊗ trên A, còn pi1(A) = Aut(0) là một nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +. Định lý 1.3.14 ([2, Định lý 1.3, chương IV]). Các tác động bên trái, bên phải của vành pi0(A) lên nhóm aben pi1(A) xác định lần lượt bởi các hệ thức su = λX(u), us = ρX(u), (1.53) với X ∈ s, s ∈ pi0(A), u ∈ pi1(A), biến pi1(A) thành pi0(A)-song môđun, trong đó λ, ρ là các hàm được xác định bởi các biểu các biểu đồ giao hoán sau: X.0 0 X.0 0 -LˆX ? id⊗u ? λX (u) -LˆX (1.54) 0.X 0 0.X 0 -RˆX ? u⊗id ? ρX (u) -RˆX (1.55) Định lý dưới đây nói về tính chất bất biến của pi0(A) và pi1(A). Định lý 1.3.15 ([2, Định lý 1.6, chương IV]). Cho A và A′ là hai Ann-phạm trù. Khi đó mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : A → A′ đều cảm sinh cặp đồng cấu vành: F0 : pi0(A) → pi0(A′) ; F1 : pi1(A) → pi1(A′) [X] 7→ [FX] u 7→ γ−1F0(Fu) thoả mãn các hệ thức F1(su) = F0(s)F1(u), F1(us) = F1(u)F0(s), trong đó pi1(A) được coi là vành với phép nhân không. Hơn nữa, F là một tương đương khi và chỉ khi F0, F1 là những đẳng cấu. Dưới đây, chúng ta nhắc lại những nét chính của phép xây dựng Ann-phạm trù thu gọn SA của một Ann-phạm trù A, nhờ phép chuyển cấu trúc (chi tiết xem [2]). Phạm trù SA có các vật là các phần tử của pi0(A), còn các mũi tên là những tự đẳng cấu, (r, a) : r → r, r ∈ pi0(A), a ∈ pi1(A). Hợp thành của hai mũi tên được xác định bởi (r, a) ◦ (r, b) = (r, a+ b). Trong A chọn hệ đại diện Xs, s ∈ pi0(A) sao cho X0 = 0, X1 = 1, và một họ các đẳng cấu iX : X → Xs thoả mãn iXs = idXs. Khi đó ta có thể xác định hai hàm tử 31 G : A → SA, G(X) = [X] = s, G(f) = (s, γ−1Xs (iY fi −1 X )), H : SA → A, H(s) = Xs, H(s, u) = γXs(u), với X, Y ∈ s và f : X → Y , còn γX là ánh xạ được xác định bởi biểu đồ giao hoán sau: X X 0⊕X 0⊕X -γX (u) 6 g X -u⊕id 6 gX (1.56) Hai phép toán trên SA được xác định bởi s⊕ t = G(H(s)⊕H(t)) = s+ t, s⊗ t = G(H(s)⊗H(t)) = st, (s, u)⊕ (t, v) = G(H(s, u)⊕H(t, v)) = (s+ t, u+ v), (s, u)⊗ (t, v) = G(H(s, u)⊗H(t, v)) = (st, sv + ut), với s, t ∈ pi0(A), u, v ∈ pi1(A). Hiển nhiên chúng không phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ đại diện Xs, iX . Các ràng buộc trong SA được xác định bởi các ràng buộc trong A nhờ khái niệm đính. Một đính trong A gồm một hệ đại diện (Xs)s∈pi0(A) sao cho X0 = 0, X1 = 1 và các đẳng cấu ϕs,t : Xs ⊕Xt → Xs+t, ψs,t : XsXt → Xst, với mọi s, t ∈ pi0(A) sao cho ϕ0,t = gXt , ϕs,0 = dXs , ψ1,t = lXt , ψs,1 = rXs , ψ0,t = Rˆ Xt , ψs,0 = Lˆ Xs . Đối với hai phép toán ⊕,⊗ trên SA các ràng buộc đơn vị được chọn tương ứng là (0, id, id) và (1, id, id). Đặt ϕ = (ϕs,t) và ψ = (ψs,t) ta có thể xác định được các ràng buộc ξ, η, α, λ, ρ lần lượt tương thích với các ràng buộc a+, c+, a,L,R của A qua H, H˘ = ϕ−1, H˜ = ψ−1, H∗ = id1. Khi đó (SA, ξ, η, (0, id, id), α, (1, id, id), λ, ρ) là một Ann-phạm trù tương đương với A bởi Ann-tương đương (H, H˘ = ϕ−1, H˜ = ψ−1, H∗). Đồng thời, hàm tử G : A → SA cùng với các đẳng cấu hàm tử G˘X,Y = G(iX ⊕ iY ), G˜X,Y = G(iX ⊗ iY ), G∗ = id1 32 là một Ann-tương đương. (H, H˘, H˜), (G, G˘, G˜) được gọi là các Ann-tương đương chính tắc. Mệnh đề 2.8, chương IV [2], đã chứng tỏ rằng, trong một Ann-phạm trù thu gọn SA, họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) thỏa mãn các hệ thức (1.57)–(1.60), (1.69)–(1.76), và do đó nó là một 3-đối chu trình của vành pi0(A) lấy hệ tử trong pi0(A)-song môđun pi1(A) theo nghĩa Mac Lane. Từ Định lý 1.3.15 và Định lý 7.6 [38], mỗi Ann-phạm trù A được xác định duy nhất, sai khác bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng: 1. Vành pi0(A) các lớp vật của phạm trù A; 2. pi0(A)-song môđun pi1(A) = Aut(0); 3. Phần tử [h] ∈ H3MacL(pi0(A), pi1(A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac Lane). Trong trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (có ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X) thì phần tử [h] được nói đến ở trên thuộc vào nhóm H3Sh(pi0(A), pi1(A)) của các Z-đại số theo nghĩa Shukla (xem Định lý 3.1, chương IV [2]). 1.4 Đối đồng điều 1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã được Nguyễn Tiến Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [38]. Trong phần 2.1, chúng ta sẽ sử dụng các nhóm đối đồng điều này để tiến hành phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù. Giả sử R là một vành và M là một R−song môđun. Từ định nghĩa đối đồng điều vành của S. Mac Lane [53], chúng ta thu được mô tả về các phần tử của nhóm đối đồng điều H3MacL(R,M) như sau. Nhóm Z3MacL(R,M) các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−song module M bao gồm các bộ bốn h = (σ, α, λ, ρ) các ánh xạ: σ : R4 →M ; α, λ, ρ : R3 →M, thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z, t ∈ R: xα(y, z, t)− α(xy, z, t) + α(x, yz, t)− α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0, (1.57) 33 α(x, z, t) +α(y, z, t)−α(x+ y, z, t) + ρ(xz, yz, t)− ρ(x, y, zt) + ρ(x, y, z)t = 0, (1.58) − α(x, y, t)− α(x, z, t) + α(x, y + z, t) + xρ(y, z, t)− ρ(xy, xz, t) − λ(x, yt, zt) + λ(x, y, z)t = 0, (1.59) α(x, y, z) +α(x, y, t)−α(x, y, z+ t) +xλ(y, z, t)−λ(xy, z, t) +λ(x, yz, yt) = 0, (1.60) λ(x, z, t) + λ(y, z, t)− λ(x+ y, z, t) + ρ(x, y, z) + ρ(x, y, t)− ρ(x, y, z + t) + σ(xz, xt, yz, yt) = 0, (1.61) λ(x, a, b) + λ(x, c, d)− λ(x, a+ c, b+ d)− λ(x, a, c)− λ(x, b, d) + λ(x, a+ b, c+ d)− xσ(a, b, c, d) + σ(xa, xb, xc, xd) = 0, (1.62) ρ(a, b, x) + ρ(c, d, x)− ρ(a+ c, b+ d, x)− ρ(a, c, x)− ρ(b, d, x) + ρ(a+ b, c+ d, x)− σ(ax, bx, cx, dx) + σ(a, b, c, d)x = 0, (1.63) − σ(a, b, c, d)− σ(x, y, z, t) + σ(a+ x, b+ y, c+ z, d+ t) + σ(a, b, x, y) + σ(c, d, z, t)− σ(a+ c, b+ d, x+ z, y + t) − σ(a, c, x, z)− σ(b, d, y, t) + σ(a+ b, c+ d, x+ y, z + t) = 0, (1.64) và bốn hàm này thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc: α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0, λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0, ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0, σ(a, b, 0, 0) = σ(0, 0, c, d) = σ(a, 0, c, 0) = σ(0, b, 0, d) = σ(a, 0, 0, d) = 0. Nhóm con B3MacL(R,M) ⊂ Z3MacL(R,M) của các 3-đối bờ là những bộ bốn h = (σ, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (µ, ν) : R2 →M thoả mãn h = ∂MacLg, nghĩa là: α(x, y, z) = xν(y, z)− ν(xy, z) + ν(x, yz)− ν(x, y)z, (1.65) λ(x, y, z) = ν(x, y + z)− ν(x, y)− ν(x, z) + xµ(y, z)− µ(xy, xz), (1.66) ρ(x, y, z) = ν(x+ y, z)− ν(x, z)− ν(y, z) + µ(x, y)z − µ(xz, yz), (1.67) σ(x, y, z, t) = µ(x, y)+µ(z, t)−µ(x+z, y+t)−µ(x, z)−µ(y, t)+µ(x+y, z+t). (1.68) Để thuận lợi cho việc sử dụng đối đồng điều Mac Lane vào bài toán phân lớp các Ann-phạm trù [38], N. T. Quang đã đưa ra một mô tả khác cho lớp đối đồng điều vành của Mac Lane như sau (xem Mệnh đề 7.2, Mệnh đề 7.3 [38]). 34 Nhóm Z3MacL(R,M) các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−song module M bao gồm các bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) các ánh xạ: ξ, α, λ, ρ : R3 →M, η : R2 →M thoả mãn các hệ thức (1.57)–(1.60) và các hệ thức dưới đây, với mọi x, y, z, t ∈ R: ξ(y, z, t)− ξ(x+ y, z, t) + ξ(x, y + z, t)− ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.69) ξ(x, y, z)− ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x+ y, z)− η(x, z)− η(y, z) = 0, (1.70) η(x, y) + η(y, x) = 0, (1.71) xη(y, z)− η(xy, xz) = λ(x, y, z)− λ(x, z, y), (1.72) η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z)− ρ(y, x, z), (1.73) xξ(y, z, t)− ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t)−λ(x, y+ z, t) +λ(x, y, z+ t)−λ(x, y, z), (1.74) ξ(x, y, z)t− ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t)− ρ(x+ y, z, t) + ρ(x, y + z, t)− ρ(x, y, z), (1.75) ρ(x, y, z + t)− ρ(x, y, z)− ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t)− λ(x+ y, z, t) = ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz)− η(xt, yz) + ξ(xz + yz, xt, yt)− ξ(xz, yz, xt), (1.76) và thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc: ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0, α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0, α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0, λ(1, y, z) = λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0, ρ(x, y, 1) = ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0. Nhóm con B3MacL(R,M) ⊂ Z3MacL(R,M) của các 3-đối bờ là những bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (µ, ν) : R2 →M thoả mãn h = ∂MacLg, nghĩa là α, λ, ρ thỏa mãn các đẳng thức (1.65)–(1.67) và các hàm ξ, η thỏa mãn các đẳng thức: ξ(x, y, z) = µ(y, z)− µ(x+ y, z) + µ(x, y + z)− µ(x, y), (1.77) η(y, x) = µ(x, y)− µ(y, x), (1.78) ở đó µ, ν thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc µ(0, y) = µ(x, 0) = 0 và ν(0, y) = ν(x, 0) = ν(1, y) = ν(x, 1) = 0. 35 Nhóm Z2MacL(R,M) bao gồm các 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) của vành R lấy hệ tử trong R−song module M thoả mãn ∂MacLg = 0. Nhóm con B2MacL(R,M) ⊂ Z2MacL(R,M) của các 2-đối bờ gồm những cặp (µ, ν) sao cho tồn tại các ánh xạ t : R→M thoả mãn (µ, ν) = ∂MacLt, nghĩa là: µ(x, y) = t(y)− t(x+ y) + t(x), (1.79) ν(x, y) = xt(y)− t(xy) + t(x)y, (1.80) trong đó t thoả mãn điều kiện chuẩn tắc t(0) = t(1) = 0. Nhóm Z1MacL(R,M) bao gồm các 1-đối dây chuyền t của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M thoả mãn ∂MacLt = 0. Nhóm con B1MacL(R,M) ⊂ Z1MacL(R,M) của các 1-đối bờ là những hàm t sao cho tồn tại a ∈ R thoả mãn t(x) = ax− xa. Các nhóm thương HiMacL(R,M) = Z i MacL(R,M)/B i MacL(R,M), i = 1, 2, 3 được gọi là nhóm đối đồng điều Mac Lane thứ i của vành R với hệ tử trong R-song môđun M . 1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số Giả sử K là một vành giao hoán, Λ là một đại số trên K và A là một Λ-song môđun. Từ định nghĩa đối đồng điều đại số của Hochschild [18], chúng ta thu được mô tả về các phần tử của nhóm đối đồng điều HnHochs(Λ, A), n = 1, 2, 3 như sau, với λ1, λ2, λ3, λ4 ∈ Λ. Nhóm Z1Hochs(Λ, A) các 1-đối chu trình bao gồm các đồng cấu K-môđun f : Λ→ A thỏa mãn đẳng thức f(λ1, λ2) = λ1f(λ2) + f(λ1)λ2. (1.81) Nhóm B1Hochs(Λ, A) bao gồm các 1-đối bờ là những hàm có dạng fa(λ) = aλ− λa, (1.82) 36 với một a cố định nào đó thuộc A. Nhóm Z2Hochs(Λ, A) bao gồm các 2-đối chu trình là những hàm song tuyến tính g : Λ2 → A thỏa mãn điều kiện λ1g(λ2, λ3)− g(λ1λ2, λ3) + g(λ1, λ2λ3)− g(λ1, λ2)λ3 = 0. (1.83) Nhóm B2Hochs(Λ, A) bao gồm các 2-đối bờ là những hàm g : Λ 2 → A sao cho tồn tại đồng cấu K-môđun f : Λ→ A thỏa mãn đẳng thức g(λ1, λ2) = λ1f(λ2) + f(λ1)λ2. (1.84) Nhóm Z3Hochs(Λ, A) bao gồm các 3-đối chu trình là những hàm đa tuyến tính α : Λ3 → A thỏa mãn điều kiện λ1α(λ2, λ3, λ4)−α(λ1λ2, λ3, λ4)+α(λ1, λ2λ3, λ4)−α(λ1, λ2, λ3λ4)+α(λ1, λ2, λ3)λ4 = 0. (1.85) Nhóm B3Hochs(Λ, A) bao gồm các 3-đối bờ là những hàm α : Λ 3 → A sao cho tồn tại hàm song tuyến tính g : Λ→ A thỏa mãn đẳng thức α(λ1, λ2, λ3) = λ1g(λ2, λ3)− g(λ1λ2, λ3) + g(λ1, λ2λ3)− g(λ1, λ2)λ3. (1.86) Cuối cùng HnHochs(Λ, A) = Z n Hochs(Λ, A)/B n Hochs(Λ, A), n = 1, 2, 3, được gọi là nhóm đối đồng điều thứ n của K-đại số Λ lấy hệ tử trong Λ-song môđun A. 37 Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-HÀM TỬ Năm 1988, Nguyễn Tiến Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù và phân lớp đối đồng điều cho các Ann-phạm trù chính quy [2]. Tiếp theo, năm 1992, Trần Phương Dung đã phân lớp đối đồng điều cho các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy [1] nhờ các nhóm đối đồng điều của Shukla. Vào năm 2008, Nguyễn Tiến Quang đã hoàn thành bài toán phân lớp các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát [38]. Chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu nối tiếp về Ann-phạm trù. Mục 2.1 trình bày về các kết quả phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù tổng quát bởi nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane. Mục 2.2 xây dựng một Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù. Các kết quả của chương này được viết dựa theo [42, 43, 45]. 2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử với các nhóm đối đồng điều Mac Lane của vành, trước hết chúng ta chỉ ra một tính chất đặc trưng của Ann- hàm tử, có liên quan tới ràng buộc kết hợp-giao hoán v của phạm trù monoidal đối xứng. Định nghĩa 2.1.1. Cho A, A′ là những ⊕−phạm trù monoidal đối xứng. Khi đó ⊕−hàm tử (F, F˘ ) : A → A′ được gọi là tương thích với các ràng buộc "kết hợp 38 - giao hoán" v, v ′ nếu biểu đồ sau là giao hoán với mọi X, Y, Z, T ∈ Ob(A) F ((X ⊕ Y )⊕ (Z ⊕ T )) F (X ⊕ Y )⊕ F (Z ⊕ T ) (FX ⊕ FY )⊕ (FZ ⊕ FT ) F ((X ⊕ Z)⊕ (Y ⊕ T )) F (X ⊕ Z)⊕ F (Y ⊕ T ) (FX ⊕ FZ)⊕ (FY ⊕ FT ) ? F (v) -F˘ -F˘+F˘ ? v′ -F˘ -F˘+F˘ (2.1) Khi đó Bổ đề 2.1.2. Giả sử ⊕−hàm tử (F, F˘ ) : A → A′ tương thích với các ràng buộc đơn vị. Thế thì (F, F˘ ) là một AC−hàm tử khi và chỉ khi nó tương thích với các ràng buộc v, v ′ . Chứng minh. Điều kiện cần đã được chứng minh bởi D. B. A. Epstein (Bổ đề 1.5 [15]). Bây giờ ta giả sử biểu đồ (2.1) giao hoán. Để chứng minh cặp (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc giao hoán ta xét biểu đồ dưới đây: (F0⊕ FX)⊕ (FY ⊕ F0) (F0⊕ FY )⊕ (FX ⊕ F0) (0⊕ FX)⊕ (FY ⊕ 0) (0⊕ FY )⊕ (FX ⊕ 0) FX ⊕ FY FY ⊕ FX F (X ⊕ Y ) F (Y ⊕X) F (0⊕X)⊕ F (Y ⊕ 0) F (0⊕ Y )⊕ F (X ⊕ 0) F ((0⊕X)⊕ (Y ⊕ 0)) F ((0⊕ Y )⊕ (X ⊕ 0)) -v ′  (F̂ ⊕ id)⊕ (id⊕F̂ ) @ @ @I (F̂ ⊕ id)⊕ (id⊕F̂ ) -v ′ 6 g′ ⊕ d′ @ @ @R F (g)⊕ F (d) @ @ @R F (g ⊕ d) F (g)⊕ F (d) F (g ⊕ d) ? F˘ 6 g′ ⊕ d′ ? F˘ -c ′+ - F (c+) ? F˘ ⊕ F˘ ? F˘ ? F˘ ⊕ F˘ ? F˘ -F (v) (I) (III) (V) (VII) (II) (VI) (IV) (VIII) Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của mũi tên v, miền (II) và miền (IV) giao hoán do (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị, miền (III) và miền (VII) giao hoán do định lý khớp trong một một trù monoidal đối xứng, miền (VI) và miền (VIII) giao hoán do tính chất tự nhiên của F˘ , miền ngoài giao hoán theo biểu đồ (2.1). Từ đó suy ra miền (V) giao hoán. Vậy (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc giao hoán. 39 Để chứng tỏ cặp (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc kết hợp, chúng ta xét biểu đồ dưới đây. (FX ⊕ F0)⊕ (FY ⊕ FZ) (FX ⊕ FY )⊕ (F0⊕ FZ) (FX ⊕ 0)⊕ (FY ⊕ FZ) (FX ⊕ FY )⊕ (0⊕ FZ) FX ⊕ (FY ⊕ FZ) (FX ⊕ FY )⊕ FZ F (X ⊕ 0)⊕ F (Y ⊕ Z) F (X ⊕ Y )⊕ F (0⊕ Z) FX ⊕ F (Y ⊕ Z) F (X ⊕ Y )⊕ FZ F (X ⊕ (Y ⊕ Z)) F ((X ⊕ Y )⊕ Z) F ((X ⊕ 0)⊕ (Y ⊕ Z)) F ((X ⊕ Y )⊕ (0⊕ Z)) -v′  (id⊕F̂ )⊕ id @ @ @I id⊕(F̂ ⊕ id) -v ′ 6 g′ ⊕ id 6 id⊕d′ -a +@ @ @I F (g−1)⊕ F˘ ˘ F ⊕ F (d−1) 6 id⊕F˘ 6 F˘ ⊕ id  F (g)⊕ id @ @ @I id⊕F (d) 6 F˘ 6 F˘ -F (a +) F (id⊕d) @ @ @R F (g ⊕ id) -F (v) 6 F˘ ⊕ F˘ 6 F˘ 6 F˘ ⊕ F˘ 6 F˘ (I) (III) (V) (VI) (VII) (VIII) (IX) (X) (II) (IV) Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của mũi tên v; miền (II) có thành phần thứ nhất giao hoán do (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị, thành phần thứ hai giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên và do đó miền (II) giao hoán; miền (III) và miền (X) giao hoán do định lý khớp trong một phạm trù monoidal đối xứng; miền (IV) có thành phần thứ nhất giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên, thành phần thứ hai giao hoán do (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị, do đó miền (IV) giao hoán; các miền (V) và (VII) giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên; các miền (VIII) và (IX) giao hoán do tính chất tự nhiên của F˘ ; miền ngoài giao hoán do biểu đồ (2.1). Vậy miền (V) giao hoán, nghĩa là cặp (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc kết hợp. Mệnh đề 2.1.3. Trong định nghĩa của Ann-hàm tử, điều kiện (F, F˘ ) là ⊕-hàm tử monoidal đối xứng tương đương với hai điều kiện sau: (i) (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị của phép cộng, (ii) (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc kết hợp–giao hoán v, v ′ . Chứng minh. Trực tiếp suy ra từ Bổ đề 2.1.2. 40 2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) Dưới đây, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : A → A′ cảm sinh một Ann-hàm tử SF trên các Ann-phạm trù thu gọn của chúng. Theo Định lý 1.3.15, mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : A → A′ đều cảm sinh cặp đồng cấu vành: F0 : pi0(A) → pi0(A′) ; F1 : pi1(A) → pi1(A′) [X] 7→ [FX] u 7→ γ−1F0(Fu) thoả mãn các hệ thức F1(su) = F0(s)F1(u); F1(us) = F1(u)F0(s). (2.2) Cặp (F0, F1) được gọi là cặp đồng cấu cảm sinh của Ann−hàm tử (F, F˘ , F˜ ). Nếu S,S ′ tương ứng là những Ann−phạm trù thu gọn của A,A′ thì hàm tử SF : S → S ′ xác định bởi SF (s) = F0(s), SF (s, u) = (F0s, F1u) được gọi là hàm tử cảm sinh của (F, F˘ , F˜ ) trên các Ann−phạm trù thu gọn. Mệnh đề 2.1.4. Giả sử SF là hàm tử cảm sinh của Ann−hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : A → A′. Khi đó biểu đồ dưới đây là giao hoán A A′ S S ′ -F ? G′ 6 H -SF trong đó, H,G′ là những Ann-tương đương chính tắc, và do đó SF cảm sinh một Ann-hàm tử. Chứng minh. Được suy ra từ Mệnh đề 3.3, chương IV [2]. Định nghĩa 2.1.5. Giả sử S = (R,M, h), S ′ = (R′,M ′, h′) là những Ann−phạm trù. Một hàm tử F : S → S ′ được gọi là một hàm tử kiểu (p, q) nếu F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)), trong đó p : R→ R′ là một đồng cấu vành và q : M →M ′ là một đồng cấu nhóm thỏa mãn q(xa) = p(x)q(a), q(ax) = q(a)p(x), (2.3) với x ∈ R, a ∈M. 41 Mệnh đề 2.1.6 ([43, Mệnh đề 4.3]). Giả sử A = (R,M, h), A′ = (R′,M ′, h′) là hai Ann-phạm trù và (F, F˘ , F˜ ) là một Ann-hàm tử từ A đến A′. Khi đó (F, F˘ , F˜ ) là một hàm tử kiểu (p, q). Chứng minh. Với x, y ∈ R, ta có F˘x,y : F (x⊕ y)→ F (x)⊕ F (y), F˜x,y : F (x⊗ y)→ F (x)⊗ F (y), là những mũi tên trong A′. Từ đó F (x) + F (y) = F (x + y), F (x). F (y) = F (xy), bởi vậy ánh xạ p : R→ R′ cho bởi p(x) = F (x) là một đồng cấu vành. Giả sử F (x, a) = (p(x), qx(a)). Do (F, F˘ ) là một Gr-hàm tử nên theo Định lý 5 [40], ta suy ra qx = q với mọi x ∈ R, hơn nữa q là một đồng cấu nhóm: q(a+ b) = q(a) + q(b), (2.4) với mọi a, b ∈M . Do (F, F˜ ) là một ⊗−hàm tử nên biểu đồ sau là giao hoán F (x⊗ y) F˜−−−→ Fx⊗ Fy F ((x,a)⊗(y,b)) y yF ((x,a))⊗F ((y,b)) F (x⊗ y) F˜−−−→ Fx⊗ Fy với mọi mũi tên (x, a), (y, b). Vì vậy ta có F ((x, a) ⊗ (y, b)) = F (x, a) ⊗ F (y, b), nghĩa là: qxy(ay + xb) = qx(a)F (y) + F (x)qy(b). (2.5) Thay qx = qy = qxy = q vào (2.5) ta được: q(ay + xb) = q(a)F (y) + F (x)q(b). (2.6) Thay x = 1 vào (2.6) ta được: q(ay) = q(a)F (y) = q(a)p(y). (2.7) Thay y = 1 vào (2.6) ta được: q(xb) = F (x)q(b) = p(x)q(b). (2.8) Nếu ta xem R′–song môđun M ′ như là một R−song môđun bởi các tác động xa′ = p(x).a′, a′x = a′p(x) thì từ các đẳng thức (2.4), (2.7), (2.8) chúng ta thu được q : M →M ′ là một đồng cấu giữa các R–song môđun. 42 2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã được Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý 4.2, Định lý 4.4 [1]) nhờ các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của Shukla [2]. Trong mục này, chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả phân lớp của Trần Phương Dung cho các Ann-hàm tử trong trường hợp tổng quát. Trong cả mục này, ta ký hiệu S,S ′ là những Ann-phạm trù dạng (R,M, h), (R′,M ′, h′). Định nghĩa 2.1.7. Nếu F : S → S ′ là một hàm tử kiểu (p, q) thì F cảm sinh các 3-đối chu trình h∗ = q∗h = qh, h′ ∗ = p∗h′ = h′p, chẳng hạn, σ′∗(x, y, z, t) = σ′(p(x), p(y), p(z), p(t)), σ∗(x, y, z, t) = q(σ(x, y, z, t)). Hàm k = q∗h− p∗h′ được gọi là một cản trở của hàm tử kiểu (p, q). Giả sử (F, F˘ , F˜ ) : S → S ′ là một Ann-hàm tử kiểu (p, q). Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát mối liên hệ giữa các đẳng cấu F˘ , F˜ với các ràng buộc của các Ann-phạm trù S,S ′. Bởi vì F˘x,y = (•, µ(x, y)), F˜x,y = (•, ν(x, y)) với các hàm µ, ν : R2 → M ′, nên ta sẽ gọi gF = (µ, ν) là cặp hàm liên kết với F˘ , F˜ và ta có thể xem mỗi Ann-hàm tử F : S → S ′ là một bộ ba (p, q, gF ), trong đó p : R → R′ là một đồng cấu vành, q : M →M ′ là một đồng cấu nhóm thỏa mãn điều kiện (2.3). Theo Bổ đề 2.1.2, (F, F˘ , F˜ ) tương thích với cặp ràng buộc (v, v′), nghĩa là biểu đồ (2.1) giao hoán, và do đó ta được: σ∗(x, y, z, t)− σ′∗(x, y, z, t) =µ(x, y) + µ(z, t)− µ(x+ z, y + t)− µ(x, z) − µ(y, t) + µ(x+ y, z + t) (2.9) Bởi vì F tương thích với các ràng buộc kết hợp của phép nhân, ràng buộc phân phối của hai Ann-phạm trù S và S ′ nên ta có: α∗(x, y, z)− α′∗(x, y, z) = xν(y, z)− ν(xy, z) + ν(x, yz)− ν(x, y)z. (2.10) λ∗(x, y, z)−λ′∗(x, y, z) = ν(x, y+ z)− ν(x, y)− ν(x, z) +xµ(y, z)−µ(xy, xz). (2.11) ρ∗(x, y, z)− ρ′∗(x, y, z) = ν(x+ y, z)− ν(x, z)− ν(y, z) + µ(x, y)z− µ(xz, yz). (2.12) 43 Từ các đẳng thức (2.9)− (2.12) ta suy ra: q∗h− p∗h′ = δMacLgF . (2.13) Từ đó chúng ta có định lý sau nói về sự tồn tại của các Ann-hàm tử. Định lý 2.1.8 ([43, Định lý 4.4]). Hàm tử F : S → S ′ kiểu (p, q) là một Ann−hàm tử nếu và chỉ nếu cái cản trở [k] = 0 trong H3MacL(R,M ′). Chứng minh. Giả sử (F, F˘ , F˜ ) : S → S ′ là một Ann−hàm tử kiểu (p, q). Từ đẳng thức (2.13) ta suy ra cái cản trở [k] của F triệt tiêu trong nhóm H3MacL(R,M). Ngược lại, giả sử cái cản trở của hàm tử F triệt tiêu trong nhóm H3MacL(R,M ′). Từ đó suy ra tồn tại một 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) sao cho q∗h−p∗h′ = δMacLg. Lấy F˘ , F˜ là các mũi tên hàm tử liên kết với các hàm µ, ν. Khi đó, do các hàm µ, ν thỏa mãn các đẳng thức (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), ta suy ra F tương ứng tương thích với các ràng buộc kết hợp-giao hoán của phép ⊕, các ràng buộc kết hợp của phép ⊗, các ràng buộc phân phối bên trái và các ràng buộc phân phối bên phải. Từ đó suy ra (F, F˘ , F˜ ) là một Ann-hàm tử. Định lý sau trình bày về sự phân lớp các Ann-hàm tử có cùng kiểu (p, q). Định lý 2.1.9 ([43, Định lý 4.5]). Nếu có một Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : S → S ′, kiểu (p, q) thì: (i) Tồn tại một song ánh giữa tập các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử kiểu (p, q) và nhóm đối đồng điều H2MacL(R,M ′) của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M ′. (ii) Tồn tại một song ánh Aut(F )→ Z1MacL(R,M ′) giữa nhóm của các tự mũi tên của Ann-hàm tử F và nhóm Z1MacL(R,M ′). Chứng minh. (i) Giả sử tồn tại Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : S → S ′, kiểu (p, q). Từ đó gF thỏa mãn đẳng thức (2.13). Cố định 2-đối dây chuyền gF . Bây giờ giả sử (K, K˘, K˜) : S → S ′ là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) đã cho. Khi đó suy ra gK thỏa mãn đẳng thức q∗h− p∗h′ = δMacLgK . (2.14) 44 Từ các đẳng thức (2.13) và (2.14) ta suy ra gF − gK là một 2-đối chu trình. Xét tương ứng: Φ : [K] 7→ [gF − gK ], giữa tập hợp các lớp tương đẳng của các Ann-hàm tử kiểu (p, q) từ S đến S ′ và nhóm H2MacL(R,M ′). Trước hết chúng ta chỉ ra rằng tương ứng trên là một ánh xạ. Thật vậy, giả sử (K ′, K˘ ′, K˜ ′) : S → S ′ cũng là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) và u : K → K ′ là một Ann-mũi tên. Từ u là ⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên chúng ta suy ra các biểu đồ sau giao hoán: K(x⊕ y) K(x)⊕K(y) K(x⊗ y) Kx⊗Ky K ′ (x⊕ y) K′x⊕K′y K′(x⊗ y) K′x⊗K′y -K˘ ? ux⊕y ? ux⊕uy -K˜ ? ux⊗y ? ux⊗uy -K˘′ -K˜′ Từ đó ta được: gK′ = gK + δMacL(u). (2.15) Do đó gF − gK′ = gF − gK − δMacL(u). Vậy [gF − gK ] = [gF − gK′ ] ∈ H2MacL(R,M ′). Bây giờ chúng ta chứng minh Φ là một đơn ánh. Giả sử (K, K˘, K˜), (K ′, K˘ ′, K˜ ′) : S → S ′ là hai Ann-hàm tử cùng kiểu (p, q) và thoả mãn điều kiện [gF − gK ] = [gF − gK′ ] ∈ H2MacL(R,M ′). Khi đó tồn tại 1-đối dây chuyền u sao cho gF − gK = gF − gK′ + δMacL(u) nghĩa là gK′ = gK + δMacL(u). Từ đẳng thức trên ta suy ra u : K → K ′ là một Ann-mũi tên, do vậy ta được [K] = [K ′]. 45 Cuối cùng chúng ta còn phải chỉ ra tương ứng Φ là một toàn ánh. Thật vậy giả sử g là một 2-đối chu trình bất kỳ. Ta có: δMacL(gF − g) = δMacLgF − δMacLg = δMacLgF = q∗h− p∗h′. Khi đó theo Định lý 2.1.8, tồn tại Ann-hàm tử (K, K˘, K˜) : S → S ′ kiểu (p, q), với cặp đẳng cấu K˘, K˜ liên kết với 2-đối dây chuyền gF − g. Rõ ràng Φ(K) = [g]. Vậy Φ là một toàn ánh. (ii) Giả sử F = (F, F˘ , F˜ ) : S → S ′ là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) và u ∈ Aut(F ). Với mỗi x ∈ R ta có ux = (p(x), t(x)) : F (x) → F (x), trong đó t : R → M ′ là một hàm. Do u là những ⊕, ⊗-mũi tên nên ta có: t(x)− t(x+ y) + t(y) = 0, (2.16) t(x)y − t(xy) + xt(y) = 0. (2.17) Từ đó suy ra t ∈ Z1MacL(R,M ′). Vậy tồn tại ánh xạ Aut(F ) → Z1MacL(R,M ′) u 7→ t. Do ux = (p(x), t(x)) trong đó p cố định nên ánh xạ trên là một đơn ánh. Ngược lại, với mỗi t ∈ Z1ab(R,M ′) ta xét mũi tên ux = (p(x), t(x)) : F (x)→ F (x). Do t thoả mãn đẳng thức (2.16) nên ta suy ra u là một ⊕-mũi tên. Tương tự, do t thoả mãn đẳng thức (2.17) nên ta suy ra u là một ⊗-mũi tên. Vậy u ∈ Aut(F ). Tóm lại ta có song ánh Aut(F )↔ Z1MacL(R,M ′). 2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild Mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử mạnh, chính quy giữa các Ann-phạm trù chính quy với các nhóm đối đồng điều Hochschild đã được được thiết lập trong [41] (chi tiết, xem các Mệnh đề 3, Định lý 4 [41]). Sau đó các kết quả này đã được 46 làm mạnh lên bởi các kết quả trong [43] bằng cách bỏ đi điều kiện chính quy của các Ann-hàm tử. Các kết quả dưới đây được viết dựa theo [43]. Dưới đây, chúng ta sẽ tìm điều kiện để tồn tại các Ann-hàm tử có dạng F = (F, id, F˜ ) : S → S ′ kiểu (p, 0), trong đó p : R→ R′ là một đồng cấu vành. Giả sử tồn tại Ann-hàm tử F = (F, id, F˜ = ν) : S → S ′ kiểu (p, 0). Khi đó, các đẳng thức (2.9) - (2.12) trở thành: σ′∗(x, y, z, t) = 0. (2.18) −α′∗(x, y, z) = xν(y, z)− ν(xy, z) + ν(x, yz)− ν(x, y)z. (2.19) −λ′∗(x, y, z) = ν(x, y + z)− ν(x, y)− ν(x, z). (2.20) −ρ′∗(x, y, z) = ν(x+ y, z)− ν(x, z)− ν(y, z). (2.21) và Định lý 2.1.8 trở thành Hệ quả 2.1.10 ([43, Hệ quả 5.1]). Giả sử p : R → R′ là một đồng cấu vành. Tồn tại một Ann-hàm tử (F, id, F˜ ) từ S đến S kiểu (p, 0) khi và chỉ khi [h′∗] = 0 ∈ H3MacL(R,M ′). Mỗi đối chu trình của các Z−đại số theo nghĩa Hochschild đều là những hàm đa tuyến tính. Điều đó gợi ý chúng ta đến định nghĩa dưới đây: Định nghĩa 2.1.11. Một Ann-hàm tử (F, id, F˜ ) : S → S ′ kiểu (p, 0) được gọi là một Ann-hàm tử mạnh nếu hàm ν : R2 → M ′ tương ứng với F˜ là song cộng tính. Nếu ν là một hàm song cộng tính chuẩn tắc thì ν là một 2-đối chu trình của Z-đại số của R với hệ tử trong R−song môđun M ′ theo nghĩa Hochschild. Từ đó, trong các đẳng thức (2.18)-(2.21), α′∗ là một hàm đa tuyến tính chuẩn tắc, các hàm còn lại bằng 0. Bởi vậy chúng ta có thể đồng nhất h′∗ ≡ α′∗ = δ(−ν), trong đó δ(ν) một 3-đối bờ của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M ′ theo nghĩa Hochschild. Từ đó chúng ta có mệnh đề sau, như là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.8. 47 Mệnh đề 2.1.12 ([43, Mệnh đề 5.2]). Giả sử F : S → S ′ là một hàm tử kiểu (p, 0). Tồn tại một Ann-hàm tử mạnh (F, id, F˜ ) khi và chỉ khi lớp đối đồng điều [h′∗] = 0 trong nhóm đối đồng điều nhóm H3Hochs(R,M ′). Định lý 2.1.13 ([43, Định lý 5.3]). Nếu có một Ann-hàm tử mạnh (F, id, F˜ ) : S → S ′, kiểu (p, 0) thì: (i) Tồn tại một song ánh từ tập hợp các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử mạnh kiểu (p, 0) đến nhóm đối đồng điều H2Hochs(R,M ′) của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M ′. (ii) Tồn tại một song ánh Aut(F )→ Z1Hochs(R,M ′) giữa nhóm của các tự mũi tên của Ann-hàm tử mạnh F và nhóm Z1Hochs(R,M ′). Chứng minh. (i) Cái hạn chế ΦH của ánh xạ Φ, nói trong Định lý 2.1.9, trên tập các lớp tương đẳng của các Ann-hàm tử mạnh cho ta một đơn ánh tới nhóm H2Hochs(R,M ′). Hơn nữa, dễ thấy ΦH cũng là một toàn ánh. (ii) Giả sử F = (F, id, F˜ ) : S → S ′ là một Ann−hàm tử mạnh kiểu (p, 0) và u ∈ Aut(F ). Khi đó u là song tuyến tính đối với phép cộng, do đó u ∈ Z1Hochs(R,M ′). Điều ngược lại cũng đúng. 2.1.5 Ứng dụng Giả sử A là một vành (không nhất thiết có đơn vị) và MA là Ann-phạm trù của vành A (xem ví dụ 1.3.5). Ta gọi S là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù MA. Giả sử R là vành có đơn vị 1 6= 0 và θ : R→ PA là một đồng cấu chính quy (chi tiết, xem ví dụ 1.3.5). Chúng ta xét R như một Ann-phạm trù kiểu (R, 0, id). Đồng cấu θ xác định một hàm tử kiểu (θ, 0): (θ, 0) : (R, 0, id)→ S = (pi0, pi1, k). Cản trở của hàm tử này là một phần tử [k∗] ∈ H3MacL(R, pi1), k∗ = θ∗(k). Chúng ta có kết quả sau nói về mối liên hệ giữa cản trở của một đồng cấu chính quy và cản trở của Ann-hàm tử: 48 Mệnh đề 2.1.14 ([43, Mệnh đề 6.1]). Giả sử S = (pi0, pi1, k) là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù chặt chẽ MA. Khi đó: (i) pi0 = PA = MA/µA, pi1 = CA; (ii) k∗ = θ∗(k) thuộc cùng lớp đối đồng điều với cản trở h của đồng cấu θ đã được trình bày trong Ví dụ 1.3.5. Chứng minh. Từ định nghĩa của Ann-phạm trù MA và Ann-phạm trù thu gọn, chúng ta có pi0 = PA = MA/µA, pi1 = CA. Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng θ∗(k) = [h]. Thật vậy, do (H, H˘, H˜) là Ann-tương đương chuẩn tắc từ S đến MA, nên các biểu đồ sau giao hoán H(r+s)+(t+w) Hr+s +Ht+w (Hr +Hs) + (Ht +Hw) H(r+t)+(s+w) Hr+t +Hs+w (Hr +Ht) + (Hs +Hw) ? H(•,σ(r,s,t,w)) -H˘r+s,t+w -H˘r,s+H˘t,w ? id -H˘r+t,s+w -H˘r,t+H˘s,w (2.22) Hr(st) Hr ⊗Hst Hr ⊗ (Hs ⊗Ht) H(rs)t Hrs ⊗Ht (Hr ⊗Hs)⊗Ht ? H(•,α(r,s,t)) -H˜r,st -id⊗H˜s,t ? id -H˜rs,t -H˜r,s⊗id (2.23) Hr(s+t) Hr ⊗Hs+t Hr ⊗ (Hs ⊕Ht) Hrs+rt Hrs ⊕Hrt (Hr ⊗Hs)⊕ (Hr ⊗Ht) ? H(•,λ(r,s,t)) -H˜r,s+t -id⊗H˘s,t ? id -H˘rs,rt -H˜r,s⊕H˜r,t (2.24) H(r+s)t Hr+s ⊗Ht (Hr ⊕Hs)⊗Ht Hrt+st Hrt ⊕Hst (Hr ⊗Ht)⊕ (Hs ⊗Ht) ? H(•,ρ(r,s,t)) -H˜r+s,t -H˘r,s⊗id ? id -H˘rt,st -H˜r,t⊕H˜s,t (2.25) với mọi r, s, t, u ∈ pi0. Vì MA là Ann-phạm trù chặt chẽ nên ta có γr(u) = u với mọi r ∈MA, u ∈ CA = C. Kết hợp với cách xác định của hàm tử H ta thu được H(•, c) = c với mọi c ∈ C. Từ tính chất giao hoán của các biểu đồ (2.22)–(2.25) ta suy ra: h1(r+ s, t+w) +h1(r, s) +h1(t, w) = σ(r, s, t, w) +h1(r+ t, s+w) +h1(r, t) +h1(s, w), (2.26) 49 h2(r, st) +Hr(h2(s, t)) = α(r, s, t) + h2(rs, t) + h2(r, s)Ht, (2.27) h2(r, s+ t) +Hr(h1(s, t)) = λ(r, s, t) + h1(rs, rt) + h2(r, s) + h2(r, t), (2.28) h2(r + s, t) + h1(r, s)Ht = ρ(r, s, t) + h1(rt, st) + h2(r, t) + h2(s, t), (2.29) trong đó h1(r, s) = H˘r,s, h2(r, s) = H˜r,s là những hàm từ pi20 đến A. Với đồng cấu chính quy (R,A, θ), chúng ta chọn hàm ϕ = H.θ : R → MA. Rõ ràng ϕ(1) = 1. Hơn nữa, từ H˘θ(x),θ(y) : Hθ(x+ y) → Hθ(x) +Hθ(y), H˜θ(x),θ(y) : Hθ(x.y) → Hθ(x).Hθ(y), là những mũi tên của phạm trù MA, với mọi x, y ∈ R, ta có ϕ(x) + ϕ(y) = Hθ(x) +Hθ(y) = τf(x,y) +Hθ(x+ y) = τf(x,y) + ϕ(x+ y), ϕ(x).ϕ(y) = Hθ(x).Hθ(y) = τg(x,y) +Hθ(x.y) = τg(x,y) + ϕ(x.y), trong đó f(x, y) = H˘θ(x),θ(y), g(x, y) = H˜θ(x),θ(y). Vì vậy, cặp (ϕ, (f, g)) là một hệ nhân tử của đồng cấu chính quy (R,A, θ). Do đó, tồn tại một cản trở h′ = (σ′, α′, λ′, ρ′) thỏa mãn α′(x, y, z) = ϕ(x)[g(y, z)]− g(xy, z) + g(x, yz)− g(x, y)ϕ(z), (2.30) λ′(x, y, z) = g(x, y + z)− g(x, y)− g(x, z) + ϕ(x)[f(y, z)]− f(xy, xz), (2.31) ρ′(x, y, z) = f(x+ y, z)− g(x, z)− g(y, z)− f(xz, yz) + f(x, y)ϕ(z), (2.32) σ′(x, y, z, p) = f(x, y)+f(z, p)−f(x+z, y+p)−f(x, z)−f(y, p)+f(x+y, z+p). (2.33) Do đó: [h′] = [h] ∈ H3MacL(pi0, CA). Bây giờ, với r = θ(x), s = θ(y), t = θ(z), w = θ(p), các đẳng thức (2.26)–(2.29) trở thành: (θ∗α)(x, y, z) = ϕ(x)[g(y, z)]− g(xy, z) + g(x, yz)− g(x, y)ϕ(z), (2.34) (θ∗λ)(x, y, z) = g(x, y + z)− g(x, y)− g(x, z) + ϕ(x)[f(y, z)]− f(xy, xz), (2.35) (θ∗ρ)(x, y, z) = g(x+ y, z)− g(x, z)− g(y, z)− f(xz, yz) + f(x, y)ϕ(z), (2.36) (θ∗σ)(x, y, z, p) = f(x, y) + f(z, p)− f(x+ z, y+ p)− f(x, z)− f(y, p) + f(x+ y, z+ p). (2.37) Từ đó suy ra [θ∗k] = [h′] = [h]. 50 2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù Trong mục này chúng ta xây dựng một Ann-phạm trù B∗, cảm sinh bởi một Ann-hàm tử F : B → A, được gọi là đối ngẫu của (B, F ), dựa trên phép dựng đối ngẫu của phạm trù monoidal của S. Majid [32]. Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy của bài toán mở rộng vành (ví dụ 1.3.5). Hơn nữa, trong một trường hợp riêng, nó cung cấp cho chúng ta cách thức xây dựng một Ann-phạm trù bện được trình bày ở phần 3.1 của chương 3. Trong mục này, một số biểu đồ cồng kềnh được đặt ở cuối mục nhằm tạo thuận lợi cho việc trình bày. Trước hết chúng ta trình bày sơ lược các kết quả của S. Majid về cách xây dựng đối ngẫu của phạm trù monoidal theo [32]. Để cho việc trình bày được ngắn gọn, S. Majid đã trình bày cho các lớp phạm trù monoidal chặt chẽ. Định nghĩa 2.2.1. Giả sử V là một phạm trù monoidal. Một phạm trù monoidal C được gọi là functored trên V nếu tồn tại một hàm tử monoidal (F, F˜ , Fˆ ) : C → V. Cặp (C, F ) được gọi là một functored monoidal category trên V. Theo thuật ngữ của Grothendieck thì C được gọi là một phạm trù monoidal trên V [52]. Ta sẽ sử dụng thuật ngữ này. Định nghĩa 2.2.2. Giả sử V là một phạm trù monoidal chặt chẽ và C là một phạm trù monoidal trên V. Một (C, F )-môđun phải là một vật A của V và một phép biến đổi tự nhiên uA,X : A⊗F (X)→ F (X)⊗A sao cho uA,1 = id và biểu đồ sau giao hoán A⊗ (FX ⊗ FY ) FX ⊗ A⊗ FY FX ⊗ FY ⊗ A A⊗ F (X ⊗ Y ) F (X ⊗ Y )⊗ A -uA,X⊗id -id⊗uA,Y 6 id⊗F˜ -uA,X⊗Y 6˜ F⊗id (2.38) Định lý 2.2.3 ([32, Định lý 3.3]). Giả sử V là một phạm trù monoidal và C là một phạm trù monoidal trên V. Giả sử C∗, F ∗ được xác định như sau. Các vật của C∗ là các (C, F )–môđun phải. Các mũi tên f : (A, uA) → (B, uB) là các mũi tên f : A→ B trong V sao cho tam giác sau giao hoán với mọi X thuộc C: A⊗ FX FX ⊗ A B ⊗ FX FX ⊗ B -uA,X ? f⊗id ? id⊗f -uB,X (2.39) 51 F ∗ : C∗ → V là hàm tử quên. Khi đó C∗ là một phạm trù monoidal trên V. S. Majid đã gọi C∗ = (C∗, F ∗) là phạm trù đối ngẫu phải đầy đủ của (C, F ) và ông cũng đưa ra định nghĩa phạm trù con đầy (C, F )0 ⊂ (C, F )∗ bao gồm các môđun (A, uA) trong đó uA,X là những đẳng cấu. Giả sử A là một Ann-phạm trù. Một Ann-phạm trù B được gọi là một Ann- phạm trù trên A nếu tồn tại một Ann-hàm tử F : B → A. Chúng ta nhắc lại rằng một Ann-phạm trù được gọi là khá chặt chẽ nếu tất cả các ràng buộc tự nhiên, trừ ràng buộc giao hoán và ràng buộc phân phối bên trái, đều là chặt chẽ. Mỗi Ann-phạm trù đều Ann-tương đương với một Ann-phạm trù khá chặt chẽ kiểu (R,M) (xem [3, 36, 39]). Trong phạm trù này, với mỗi vật A ∈ Ob(A), tồn tại vật A′ ∈ Ob(A) sao cho A⊕ A′ = 0. (2.40) Vì vậy, dưới đây chúng ta luôn giả sử A là một Ann-phạm trù khá chặt chẽ thoả mãn điều kiện (2.40) và Ann-hàm tử F : B → A thoả mãn điều kiện F (0) = 0, F (1) = 1. Định nghĩa 2.2.4. Giả sử A là một Ann-phạm trù và B là một Ann-phạm trù trên A. Một (B, F )-môđun phải là một cặp (A, uA) gồm vật A của A và phép biến đổi tự nhiên uA,X : A⊗ F (X)→ F (X)⊗A sao cho uA,1 = id, các biểu đồ (2.38) , (2.41) giao hoán với mọi vật X thuộc B. A⊗ (FX ⊕ FY ) (A⊗ FX)⊕ (A⊗ FY ) (FX ⊗ A)⊕ (FY ⊗ A) A⊗ F (X ⊕ Y ) F (X ⊕ Y )⊗ A (FX ⊕ FY )⊗ A - L˘AFX,FY -uA,X⊕uA,Y -uA,X⊕Y 6 id⊗F˘ -F˘⊗id 6 id (2.41) Một mũi tên f : (A, uA) → (B, uB) giữa các (B, F )-môđun phải là mũi tên f : A→ B trong A sao cho biểu đồ (2.39) giao hoán với mọi X ∈ B. Với B là một Ann-phạm trù trên A, ta xét phạm trù B∗ = (B, F )∗ được xác định như sau. Các vật của B∗ là các (B, F )-môđun phải. Các mũi tên của B∗ là các mũi tên giữa các (B, F )-môđun phải. Bây giờ chúng ta sẽ trang bị các phép toán và các cấu trúc cho B∗ để B∗ trở thành một Ann-phạm trù. Bổ đề 2.2.5 ([45, Bổ đề 3.2]). Với hai vật (A, uA), (B, uB) bất kỳ thuộc B∗, 52 (A⊕B, uA⊕B) là một vật của B∗, trong đó uA⊕B được xác định như sau: (A⊕ B)FX (A⊗ FX)⊕ (B ⊗ FX) FX ⊗ (A⊕ B) (FX ⊗ A)⊕ (FX ⊗ B) -id ? uA⊕B,X ? uA,X⊕uB,X - L˘FXA,B nghĩa là uA⊕B,X = L−1FX,A,B ◦ (uA,X ⊕ uB,X), (2.42) với mọi X ∈ A. Chứng minh. Bởi vì uA,1 = id, uB,1 = id,LF1,A,B = L1,A,B = id nên ta suy ra uA⊕B,1 = id. Để chứng minh uA⊕B thoả mãn biểu đồ (2.41), ta xét biểu đồ (2.45). Trong biểu đồ (2.45), các miền (I) và (II) giao hoán do tính chất tự nhiên của R˘ = id, các miền (III), (VI), (VIII) giao hoán do định nghĩa của uA⊕B, các miền (IV) và (X) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, các miền (VII) và (IX) giao hoán do tính chất tự nhiên của L, miền ngoài giao hoán do uA, uB thoả mãn biểu đồ (2.41). Từ đó suy ra miền (V) giao hoán, nghĩa là uA⊕B thoả mãn biểu đồ (2.41). Để chứng minh uA⊕B thoả mãn biểu đồ (2.38), ta xét biểu đồ (2.46). Trong biểu đồ (2.46), các miền (I) và (VII) giao hoán do cách xác định của của uA⊕B, miền (II) giao hoán do tính chất tự nhiên của R = id, các miền (III) và (VI) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền (V) giao hoán do tính chất tự nhiên của L, miền (VIII) giao hoán do tính chất tự nhiên của v, miền ngoài giao hoán do (A, uA), (B, uB) thoả mãn biểu đồ (2.38). Từ đó suy ra miền (IV) giao hoán, nghĩa là (A⊕B, uA⊕B) thoả mãn biểu đồ (2.38). Vậy (A⊕B, uA⊕B) là một vật của B∗. Bổ đề 2.2.6. Giả sử f : (A, uA) → (B, uB) và g : (C, uC) → (D, uD) là hai mũi tên của phạm trù B∗. Khi đó f ⊕ g : (A⊕ C, uA⊕C)→ (B ⊕D, uB⊕D), cũng là một mũi tên của phạm trù B∗. Chứng minh. Giả sử f : (A, uA) → (B, uB), g : (C, uC) → (D, uD) là hai mũi tên trong phạm trù B∗. Ta sẽ chứng tỏ f ⊕ g : (A⊕ C, uA⊕C)→ (B ⊕D, uB⊕D), 53 thoả mãn (2.39) và do đó nó một mũi tên của phạm trù B∗. Xét biểu đồ: AFX ⊕ CFX (A⊕ C)FX (B ⊕D)FX BFX ⊕DFX (FX)A⊕ (FX)C (FX)(A⊕ C) (FX)(B ⊕D) (FX)B ⊕ (FX)D ? (f ⊕ g)⊗ id 6˘ L ? id⊗(f ⊕ g) ? L˘ -uA,X ⊕ uC,X -uA⊕C,X -uB⊕D,X -uB,X ⊕ uD,X- (f ⊗ id)⊕ (g ⊗ id) ff (id⊗f)⊕ (id⊗g) (I) (II) (III) (IV) (V) Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của R = id, miền (II) giao hoán do định nghĩa của uA⊕C , miền (IV) giao hoán do định nghĩa của uB⊕D, miền (V) giao hoán do tính chất tự nhiên của L; mỗi thành phần của miền ngoài giao hoán do f, g là những mũi tên của B∗, do đó miền ngoài giao hoán. Vậy miền (III) giao hoán, nghĩa là f ⊕ g là mũi tên của B∗. Do hai Bổ đề 2.2.5 và 2.2.6, ta có thể xác định phép toán + trên B∗ khi tổng của hai vật được xác định bởi (A, uA) + (B, uB) = (A⊕B, uA⊕B), và tổng của hai mũi tên là tổng của hai mũi tên trong A. Mệnh đề 2.2.7 ([45, Mệnh đề 3.3]). (B∗,+) là một nhóm phạm trù đối xứng với ràng buộc kết hợp chặt chẽ, ràng buộc đơn vị ((0, u0,X = Lˆ −1 FX), id, id), và ràng buộc giao hoán c(A,uA),(B,uB) = c + A,B. Chứng minh. Trước hết chúng ta sẽ chứng tỏ: a+ = id : ((A, uA) + (B, uB) + (C, uC))→ (A, uA) + ((B, uB) + (C, uC)) 54 là mũi tên trong phạm trù B∗. Xét biểu đồ dưới đây: (AFX ⊕ BFX)⊕ CFX (A⊕ B)FX ⊕ CFX ((A⊕ B)⊕ C)FX (FX)((A⊕ B)⊕ C) (FX)(A⊕ B)⊕ (FX)C ((FX)A⊕ (FX)B)⊕ (FX)C AFX ⊕ (BFX ⊕ CFX) AFX ⊕ (B ⊕ C)FX (A⊕ (B ⊕ C))FX (FX)(A⊕ (B ⊕ C)) (FX)A⊕ (FX)(B ⊕ C) (FX)A⊕ ((FX)B ⊕ (FX)C) ? u(A⊕B)⊕C,X ? L˘ ? L˘⊗ id ? uA⊕(B⊕C),X ? L˘ ? id⊗L˘ - α2 - α1 ff α3 ff α4 (I) (III) (II) (IV) (V) (VI) trong đó α1 = (uA,X ⊕ uB,X)⊕ uC,X α2 = uA⊕B,X ⊕ uC,X α3 = uA,X ⊕ uB⊕C,X α4 = uA,X ⊕ (uB,X ⊕ uC,X) Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do định nghĩa của uA⊕B,X , miền (II) giao hoán do định nghĩa của uB⊕C , miền (III) giao hoán do định nghĩa của u(A⊕B)⊕C , miền (IV) giao hoán do định nghĩa của uA⊕(B⊕C), miền (VI) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền ngoài giao hoán do tính chất tự nhiên của a+ = id. Từ đó suy ra miền (V) giao hoán, nghĩa là a+ = id là một mũi tên của B∗. Để chứng tỏ: c+ : (A, uA) + (B, uB)→ (B, uB) + (A, uA) là mũi tên của phạm trù B∗, chúng ta xét biểu đồ dưới đây: AFX ⊕ BFX (A⊕ B)FX (FX)(A⊕ B) (FX)A⊕ (FX)B BFX ⊕ AFX (B ⊕ A)FX (FX)(B ⊕ A) (FX)B ⊕ (FX)A ? uA⊕B,X ? L˘ ? uB⊕A,X ? L˘ -c + -c + ⊗ id -id⊗c + -c + - uA,X ⊕ uB,X ff uB,X ⊕ uA,X (I) (II) (III) (IV) (V) 55 Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do định nghĩa của uA⊕B, các miền (II) và (IV) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền (V) giao hoán do định nghĩa của uB⊕A, miền ngoài giao hoán do tính chất tự nhiên của c+. Từ đó suy ra miền (III) giao hoán, nghĩa là c+ là một mũi tên của B∗. Chúng ta có thể thử lại được rằng ((0, u0,X = Lˆ −1 FX), id, id) là ràng buộc đơn vị của B∗. Cuối cùng chúng ta sẽ chứng tỏ mỗi vật của B∗ đều khả nghịch. Giả sử (A, uA) là một vật của B∗. Theo điều kiện (2.40), tồn tại vật A′ ∈ Ob(A) sao cho A⊕ A′ = 0. Họ các đẳng cấu tự nhiên uA′,X : A′⊗FX → FX ⊗A′ được xác định nhờ biểu đồ giao hoán sau: 0 0⊗ FX FX ⊗ 0 (A⊕ A′)⊗ FX FX ⊗ (A⊕ A′) A⊗ FX ⊕ A′ ⊗ FX FX ⊗ A⊕ FX ⊕ A′  Rˆ -u0,X ? id @ @ @ @I Lˆ ? id ? id ? L - uA,X⊕uA′,X nghĩa là uA,X ⊕ uA′,X = LFX,A,A′ ◦ u0,X . (2.43) Để chứng minh (A′, uA′) thoả mãn biểu đồ (2.41), ta xét biểu đồ (2.47). Trong biểu đồ (2.47), miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của R, các miền (III) và (VII) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền (IV) giao hoán do (0, u0) là một vật của C∗, miền (V) giao hoán do tính chất tự nhiên của v, miền (VI) có từng thành phần giao hoán do cách xác định uA′, do đó miền (VI) giao hoán; miền ngoài giao hoán do cách xác định uA′,X⊕Y . Từ đó suy ra miền (II) giao hoán. Mặt khác, thành phần thứ nhất của miền (II) giao hoán do (A, uA) ∈ B∗. Suy ra thành phần thứ hai của miền (II) giao hoán, nghĩa là (A′, uA′) thoả mãn biểu đồ (2.41). Để chứng minh (A′, uA′) thoả mãn biểu đồ (2.38), ta xét biểu đồ dưới đây: 56 AF (XY )⊕ A′F (XY ) A(FXFY )⊕ A′(FXFY ) @ @ @R t1 0(FXFY ) 0F (XY ) (FX)AFY ⊕ (FX)A′FY  t2 (FX)0FY (F (XY ))A⊕ (F (XY ))A′ (FXFY )A⊕ (FXFY )A′ (FXFY )0 (F (XY ))0 6 id0⊗F˜ ? (idA⊗F˜ )⊕ (idA′ ⊗F˜ ) 6 F˜ ⊗ id0 6 L˘ ? (F˜ ⊗ idA)⊕ (F˜ ⊗ idA′ ) -u0,XY -u0,X ⊗ idFY -idFX ⊗u0,Y -uA,XY ⊕ uA′,XY- id ff L˘(I) (II) (III) (IV) (V) trong đó t1 = (uA,X ⊗ id)⊕ (uA′,X ⊗ id), t2 = (id⊗uA,Y )⊕ (id⊗uA′,Y ) Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của R = id, miền (IV) giao hoán do (0, u0) thoả mãn biểu đồ (2.38), miền (V) giao hoán do tính chất tự nhiên của L, miền ngoài giao hoán do A là một Ann-phạm trù. Ta sẽ chứng minh miền (III) giao hoán ở phần cuối của mệnh đề. Vậy miền (II) giao hoán. Mặt khác, thành phần thứ nhất của miền (II) giao hoán, do đó thành phần thứ hai của miền (II) cũng giao hoán, nghĩa là (A′, uA′) thoả mãn biểu đồ (2.38). Bây giờ ta sẽ chứng tỏ miền (III) giao hoán. Ta xét biểu đồ (2.48). Trong biểu đồ (2.48), các miền (III.1), (III.4), (III.7) giao hoán do A là một Ann-phạm trù. Miền (III.2) giao hoán do tính chất tự nhiên của R = id; các miền (III.3) và (III.6) giao hoán do cách xác định của uA′, miền (III.5) giao hoán do tính chất tự nhiên của L. Từ đó suy ra miền ngoài giao hoán, nghĩa là miền (III) giao hoán. Bổ đề 2.2.8 ([45, Bổ đề 3.4]). Với hai vật (A, uA), (B, uB) bất kỳ thuộc B∗, (A⊗B, uA⊗B) là một vật của B∗, trong đó uA⊗B được xác định nhờ biểu đồ giao hoán sau: (AB)FX A(BFX) A((FX)B) (FX)(AB) ((FX)A)B (AFX)B -id ? uAB,X -idA ⊗uB,X ? id -id ffuA,X⊗id nghĩa là: uA⊗B,X = (uA,X ⊗ idB) ◦ (idA⊗uB,X). (2.44) 57 Chứng minh. Giả sử (A, uA), (B, uB) là hai vật của B∗. Khi đó do uA,1 = id, uB,1 = id nên ta có uA⊗B,1 = id. Mặt khác, theo Định lý 2.2.3, uA⊗B thoả mãn biểu đồ (2.38). Cuối cùng, để chứng tỏ uA⊗B thoả mãn quan hệ (2.41) ta xét biểu đồ (2.49). Trong biểu đồ (2.49), miền (I) giao hoán do (B, uB) thoả mãn biểu đồ (2.41), các miền (II), (VII) và (IX) giao hoán do tính chất tự nhiên của a+ = id, miền (III) giao hoán do tính chất tự nhiên của L, các miền (IV) và (XI) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, các miền (VI) và (VIII) giao hoán do cách xác định của uAB, miền (X) giao hoán do (A, uA) thoả mãn biểu đồ (2.41), miền (XII) giao hoán do tính chất tự nhiên của R˘ = id; miền ngoài giao hoán do A là một Ann-phạm trù. Từ đó suy ra miền (V) giao hoán, nghĩa là (AB, uAB) thoả mãn biểu đồ (2.41). Vậy (A⊗B, uA⊗B) là một vật của phạm trù B∗. Do Bổ đề 2.2.8, ta có thể xác định phép toán × trên B∗ khi tích của hai vật được xác định bởi (A, uA)× (B, uB) = (A⊗B, uA⊗B), và tích của hai mũi tên là tích tensor của hai mũi tên trong A. Mệnh đề 2.2.9 ([45, Mệnh đề 3.5]). (B∗,×) là một phạm trù monoidal chặt chẽ. Chứng minh. Giả sử f : (A, uA) → (B, uB), g : (C, uC) → (D, uD) là hai mũi tên trong phạm trù B∗. Khi đó theo Định lý 2.2.3, mũi tên f × g = f ⊗ g : (A, uA)× (C, uC)→ (B, uB)× (D, uD) thoả mãn mối quan hệ (2.39), nghĩa là f × g là một mũi tên của B∗. Hợp thành của hai mũi tên trong B∗ là phép hợp thành thông thường. Cũng theo Định lý 2.2.3, B∗ có ràng buộc kết hợp chặt chẽ. Chúng ta dễ chứng tỏ được rằng (1, id) là một vật của B∗ và nó cùng với các ràng buộc chặt chẽ l = id, r = id là ràng buộc đơn vị của phép × trong B∗. Sau đây, chúng ta phát biểu kết quả chính của mục này. Định lý 2.2.10 ([45, Định lý 3.6]). B∗ là một Ann-phạm trù với các ràng buộc phân phối được xác định bởi: L(A,uA),(B,uB),(C,uC) = LA,B,C , R(A,uA),(B,uB),(C,uC) = id . 58 Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2.7, (B∗,+) là một nhóm phạm trù đối xứng. Theo Mệnh đề 2.2.9, (B∗,×) là một phạm trù monoidal. Để chứng tỏ L : (A, uA)× ((B, uB) + (C, uC))→ (A, uA)× (B, uB) + (A, uA)× (C, uC) là mũi tên của B∗, chúng ta xét biểu đồ dưới đây: A((FX)B ⊕ (FX)C) A(BFX ⊕ CFX) A((FX)(B ⊕ C)) A((B ⊕ C)FX) (A(B ⊕ C))FX (AB ⊕ AC)FX (AB)FX ⊕ (AC)FX A(BFX)⊕ A(CFX) A((FX)B)⊕ A((FX)C) (AFX)(B ⊕ C) ((FX)A)(B ⊕ C) (FX)(A(B ⊕ C)) (FX)(AB ⊕ AC)) (FX)(AB)⊕ (FX)(AC) ((FX)A)B ⊕ ((FX)A)C (A(FX))B ⊕ (A(FX))C-L˘ 6 id⊗(uB,X ⊕ uC,X) -L˘ ff id⊗L˘ 6 id⊗uB⊕C,X ? L˘⊗ id ? (id⊗uB,X)⊕ (id⊗uC,X) -a = id -uA(B⊕C),X -uAB⊕AC,X -uAB,X ⊕ uAC,X -id⊕ id ? uA,X ⊗ id ? id⊗L˘ ? L˘ 6 (uA,X ⊗ idB)⊕ (uA,X ⊗ idC) L˘ ff L˘ ff (I) (III) (II) (VIII) (IX) (IV) (V) (VI) (VII) Trong biểu đồ này, các miền (I) và (VIII) giao hoán do tính chất tự nhiên của L, miền (II) giao hoán do cách xác định của uB⊕C,X , các miền (III), (IX) và miền ngoài giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền (IV) giao hoán do cách xác định của uA(B⊕C),X , miền (VI) giao hoán do cách xác định của uAB⊕AC,X ; thành phần thứ nhất của miền (VII) giao hoán do cách xác định của uAB,X , thành phần thứ hai của miền (VII) giao hoán do cách xác định của uAC,X , do đó miền (VII) giao hoán. Từ đó suy ra miền (V) giao hoán, nghĩa là L là một mũi tên trong B∗. Chứng minh tương tự, R = id cũng là một mũi tên của B∗. Mặt khác, do các ràng buộc a+ = id, c+, a = id,L,R của Ann-phạm trù A thoả mãn các điều kiện (Ann-1), (Ann-2), (Ann-3) nên trong phạm trù B∗, các ràng buộc tự nhiên này cũng thoả mãn các điều kiện này. Vậy B∗ là một Ann-phạm trù. 59 Mệnh đề sau là hiển nhiên Mệnh đề 2.2.11 ([45, Mệnh đề 3.7]). B∗ là một Ann-phạm trù trên A với Ann-hàm tử quên F ∗ : B∗ → A. Ví dụ 2.2.12 (Tâm của một Ann-phạm trù A). Giả sử A là một Ann-phạm trù. Lấy B = A và F = idA. Khi đó B∗ = CA, trong đó CA là tâm của Ann-phạm trù A, được xây dựng trong [44]. Đó là một Ann-phạm trù bện với bện (tựa đối xứng) được xác định bởi: c(A,uA),(B,uB) = uA,B : A⊗B → B ⊗ A. Ví dụ này sẽ được trình bày chi tiết trong chương 3. Ví dụ này chỉ ra sự tồn tại của các Ann-phạm trù bện được xây dựng từ các Ann-hàm tử. Ví dụ 2.2.13 (Đối ngẫu của Ann-phạm trù kiểu (R,M)). Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng các kết quả trên để xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của cặp (B, F ), trong đó B = (R′,M ′, h′) là một Ann-phạm trù và A = (R,M, h) là một Ann- phạm trù khá chặt chẽ. Ta lưu ý rằng, các ràng buộc của A đều chặt chẽ, trừ ràng buộc phân phối bên trái và ràng buộc giao hoán, theo thứ tự liên kết với các hàm λ : R3 →M, η : R2 →M : Lx,y,z = (•, λ(x, y, z)) : x(y + z)→ xy + xz, c+x,y = (•, η(x, y)) : x+ y → y + x, trong đó λ : R3 → M, η : R2 → M là những hàm thoả mãn một vài điều kiện khớp (chi tiết, xem ví dụ 1.3.3). Giả sử (F, F˘ , F˜ ) : B → A là một Ann-hàm tử. Khi đó, theo Định lý 2.1.6, F là một hàm tử kiểu (p, q), nghĩa là F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)) trong đó p : R′ → R là một đồng cấu vành và q : M ′ →M là một đồng cấu nhóm thoả mãn điều kiện (2.3). Hơn nữa F˘ , F˜ tương ứng liên kết với các hàm µ, ν thoả mãn một vài điều kiện khớp [chi tiết, xem Định lý 2.1.8]. Theo các bước xây dựng ở trên, mỗi vật của B∗ là một cặp (r, ur), trong đó r thuộc cái tâm hoá của Im p = p(R′) trong vành R, (nghĩa là rp(x) = p(x)r ∀x ∈ R′) và ur : R′ →M là hàm thoả mãn điều kiện ur,1 = 0 và hai điều kiện dưới đây: u(r, x)− u(r, x+ y) + u(r, y) = µ(x, y)r + rµ(x, y)− λ(r, px, py), xu(r, y)− u(r, xy) + u(r, x)y = rν(x, y)− ν(x, y)r 60 với mọi x, y ∈ R′. Bây giờ ta mô tả mũi tên f : (r, ur) → (s, us) trong B∗. Do f : r → s là một mũi tên trong phạm trù A, nên s = r, và f = (r, a) với a ∈M . Từ tính giao hoán của biểu đồ (2.39) ta suy ra p(x)a = ap(x), với mọi x ∈ R′. Bây giờ, B∗ là một Ann-phạm trù với các phép toán được cho bởi: (r, ur) + (s, us) = (r + s, ur+s) (r, ur)× (s, us) = (rs, urs), trong đó ur+s,x = ur,x + us,x − λ(px, r, s); urs,x = ur,xs+ r.us,x, và f + g = f ⊕ g, f × g = f ⊗ g với f : (r, ur)→ (r, ur), g : (s, us)→ (s, us). Các ràng buộc của B∗ đều là chặt chẽ, trừ ràng buộc giao hoán và ràng buộc phân phối bên trái được xác định bởi: c+ (r,ur),(s,us) = c+r,s = (•, η(r, s)); L(r,ur),(s,us),(t,ut) = Lr,s,t = (•, λ(r, s, t)). Phần tử nghịch đảo của vật (r, ur) đối với phép toán + là (−r, u−r), trong đó −r là phần tử đối của r trong nhóm (R,+) và u−r : R′ →M được xác định bởi: u−r,x = λ(px, r,−r)− ur,x. 61 A F (X ⊕ Y ) ⊕ B F (X ⊕ Y ) (A ⊕ B )F (X ⊕ Y ) (F (X ⊕ Y )) (A ⊕ B ) (F (X ⊕ Y )) A ⊕ (F (X ⊕ Y )) B A (F X ⊕ F Y ) ⊕ B (F X ⊕ F Y )  L˘ ⊕ L˘ (A ⊕ B )( F X ⊕ F Y ) - L˘ A ⊕ B F X ,F Y (F X ⊕ F Y )( A ⊕ B ) - id (F X ⊕ F Y )A ⊕ (F X ⊕ F Y )B @ @ @ @R id (A F X ⊕ A F Y ) ⊕ (B F X ⊕ B F Y ) (A F X ⊕ B F X ) ⊕ (A F Y ⊕ B F Y ) (A ⊕ B )F X ⊕ (A ⊕ B )F Y (F X )( A ⊕ B ) ⊕ (F Y )( A ⊕ B ) (( F X )A ⊕ (F X )B ) ⊕ (( F Y )A ⊕ (F Y )B ) (( F X )A ⊕ (F Y )A ) ⊕ (( F X )B ⊕ (F Y )B ) ?u A ⊕ B ,X ⊕ Y ?L˘ F (X ⊕ Y ) A ,B ?L˘ F X ⊕ F Y A ,B - (F˘ ⊗ id ) ⊕ (F˘ ⊗ id ) - F˘ ⊗ id - id ⊗ F˘ - (i d ⊗ F˘ ) ⊕ (i d ⊗ F˘ ) 6 v ? u A ⊕ B ,X ⊕ u A ⊕ B ,Y ? L˘ ⊕ L˘ ?v - t 1 fft 2 ff t 3 (I ) (I I) (I II ) (V ) (V I) (I V ) (V II ) (V II I) B iể u đ ồ (2 .4 5 ) tr o n g đ ó t 1 = u A ,X ⊕ Y ⊕ u B ,X ⊕ Y t 2 = (u A ,X ⊕ u B ,X ) ⊕ (u A ,Y ⊕ u B ,Y ) t 3 = (u A ,X ⊕ u A ,Y ) ⊕ (u B ,X ⊕ u B ,Y ) 62 A (F X F Y ) ⊕ B (F X F Y ) id -(A F X )F Y ⊕ (B F X )F Y - (u A ,X ⊗ id ) ⊕ (u B ,X ⊗ id ) (A F X ⊕ B F X )F Y - (u A ,X ⊕ u B ,X ) ⊗ id (( A ⊕ B )F X )F Y (A ⊕ B )( F X F Y ) - u A ⊕ B ,X ⊗ id (A ⊕ B )F (X Y ) - u A ⊕ B ,X Y A F (X Y ) ⊕ B F (X Y ) - u A ,X Y ⊕ u B ,X Y (( F X )A ⊕ (F X )B )F Y  id (F X )( A F Y ⊕ B F Y ) - id ⊗ (u A ,Y ⊕ u B ,Y ) @ @ @@I L˘ (( F X )A )F Y ⊕ (( F X )B )F Y - (i d ⊗ u A ,Y ) ⊕ (i d ⊗ u B ,Y ) (F X )( A ⊕ B )F Y - id ⊗ u A ⊕ B ,Y @ @ @@I L˘ ⊗ id  id (F X F Y )A ⊕ (F X F Y )B (F X )( (F Y )A ) ⊕ (F X )( (F Y )B ) (F X )( (F Y )A ⊕ (F Y )B ) (F X )( (F Y )( A ⊕ B )) (F X F Y )( A ⊕ B ) F (X Y )( A ⊕ B ) (F (X Y )) A ⊕ (F (X Y )) B 6 id ⊗ F˜ 6 L˘ F X (F Y )A ,( F Y )B 6 id ⊗ L˘ F Y A ,B 6˜F ⊗ id ?L˘ F (X Y ) A ,B - t 4 ff t 5 L˘ ff (I ) (I X ) (X ) (I I) (V II ) (I II ) (V II I) (I V ) (V ) (V I) B iể u đ ồ (2 .4 6 ) tr o n g đ ó t 4 = (i d A ⊗ F˜ X ,Y ) ⊕ (i d A ⊗ F˜ X ,Y ) t 5 = (F˜ X ,Y ⊗ id A ) ⊕ (F˜ X ,Y ⊗ id B ) 63 A F (X ⊕ Y ) ⊕ A ′ F (X ⊕ Y ) - u A ,X ⊕ Y ⊕ u A ′ , X ⊕ Y A (F X ⊕ F Y ) ⊕ A ′ ( F X ⊕ F Y ) - L˘ A F X ,F Y ⊕ L˘ A ′ F X ,F Y 0 (F X ⊕ F Y ) - L˘ 0 F X ,F Y 0 (F (X ⊕ Y ) - u 0 ,X ⊕ Y (F (X ⊕ Y )) A ⊕ (F (X ⊕ Y )) A ′ (A F X ⊕ A F Y ) ⊕ (A ′ F X ⊕ A ′ F Y ) - (u A ,X ⊕ u A ,Y ) ⊕ (u A ′ , X ⊕ u A ′ , Y ) (A F X ⊕ A ′ F X ) ⊕ (A F Y ⊕ A ′ F Y ) - (u A ,X ⊕ u A ′ , X ) ⊕ (u A ,Y ⊕ u A ′ , Y ) 0 F X ⊕ 0 F Y - u 0 ,X ⊕ u 0 ,Y (F (X ⊕ Y )) 0 (F X ⊕ F Y )A ⊕ (F X ⊕ F Y )A ′ - (F˘ ⊗ id ) ⊕ (F˘ ⊗ id ) (( F X )A ⊕ (F Y )A ) ⊕ (( F X )A ′ ⊕ (F Y )A ′ ) (( F X )A ⊕ (F X )A ′ ) ⊕ (( F Y )A ⊕ (F Y )A ′ ) (F X )0 ⊕ (( F Y )0 (F X ⊕ F Y )0 - F˘ ⊗ id - R˘ = id 6 id 0 ⊗ F˘ ?id A ⊗ F˘ ⊕ id A ′ ⊗ F˘ 6 v ? L˘ ⊕ L˘ 6 v ff L˘ (I ) (I I) (I II ) (I V ) (V ) (V I) (V II ) B iể u đ ồ (2 .4 7 ) 64 0 (F X F Y ) (0 F X )F Y ) (A F X ⊕ A ′ F X )F Y ) (A F X )F Y ⊕ (A ′ F X )F Y A (F X F Y ⊕ A ′ ( F X F Y ) (( F X )0 )F Y ) (( F X )A ⊕ (F X )A ′ ) F Y (( F X )A )F Y ⊕ (( F X )A ′ ) F Y (F X )( 0 F Y ) (F X )( A F Y ⊕ A ′ F Y ) (F X )( A F Y ) ⊕ (F X )( A ′ F Y ) (F X F Y )0 (F X )( (F Y )0 ) (( F X )( (F Y )A ⊕ (F Y )( A ′ ) )) (F X )( (F Y )A ⊕ (F Y )A ′ ) (F X F Y )A ⊕ (F X F Y )A ′ - id - u 0 ,X ⊗ id - (u A ,X ⊕ u A ′ , X ) ⊗ id - u A ,X ⊗ id ⊕ u A ′ , X ⊗ id 6 L˘ ⊗ id 6 L˘ - id ⊗ u 0 ,Y - id ⊗ (u A ,Y ⊕ u A ′ , Y ) - id ⊗ u A ,Y ⊕ id ⊗ u A ′ , Y 6˘ L ff L˘ (I II .1 ) (I II .2 ) (I II .3 ) (I II .4 ) (I II .5 ) (I II .6 ) (I II .7 ) B iể u đ ồ (2 .4 8 ) 65 A (( F X )B ⊕ (F Y )B ) A (B F X ⊕ B F Y ) A (B (F X ⊕ F Y )) (A B )( F X ⊕ F Y ) (A B )F (X ⊕ Y ) A (B (F (X ⊕ Y )) ) A (( F (X ⊕ Y )) B ) A (( F X ⊕ F Y )B ) A (( F X )B ) ⊕ A (( F Y )B ) A (B F X ) ⊕ A (B F Y ) (A B )F X ⊕ (A B )F Y (F (X ⊕ Y )) (A B ) (F (X ⊕ Y )A )B (A (F (X ⊕ Y )) B (A (F X ⊕ F Y )) B (A F X )B ⊕ (A F Y )B (( F X )A )B ⊕ (( F Y )A )B (F X )( A B ) ⊕ (F Y )( A B ) (F X ⊕ F Y )( A B ) (( F X ⊕ F Y )A )B (( F X )A ⊕ (F Y )A )B (A F X ⊕ A F Y )B 6 id ⊗ (u B ,X ⊕ u B ,Y ) 6 id ⊗ L˘ 6 id ⊗ F˘ ? id ⊗ u B ,X ⊕ Y ? id ⊗ (F˘ ⊗ id ) 6 id ⊗ (u B ,X ⊕ u B ,Y ) 6 u A ,X ⊕ Y ⊗ id ? (i d ⊗ F˘ ) ⊗ id ? (u A ,X ⊗ id ) ⊕ (u A ,Y ⊗ id ) 6 (u A ,X ⊕ u A ,Y ) ⊗ id - L˘ - L˘ - L˘ - u A B ,X ⊕ Y - a = id - a = id - id ⊕ id - u A B ,X ⊕ u A B ,Y - F˘ ⊗ id - (F˘ ⊗ id ) ⊗ id - L˘ ⊗ id - id ⊗ (i d ⊗ F˘ ) - id ⊗ R˘ ff R˘ = id ff R˘ = id (I ) (I I) (I II ) ( IV ) (V I) (V II ) (V ) (V II I) (I X ) (X ) (X I) (X II ) B iể u đ ồ (2 .4 9 ) 66 2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù Có nhiều cách khác nhau để phạm trù hóa tiên đề của cấu trúc vành. Nguy