Luận văn Nguyên lí ánh xạ KKM và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --------------------------------- NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------------------------------- NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Lê Văn Chóng THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỤC LỤC Mở đầu ...................................................................................................1 Chương 1. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM 1.1. Bổ đề KKM ………………………………………………………..3 1.2. Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7 1.3. Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10 Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ 2.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13 2.2. Bài toán cân bằng vô hướng …………………………………… 16 2.3. Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu ………….. 23 2.4. Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu ………………………… 28 2.5. Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34 2.6. Một số mở rộng ………………………………………………… 39 Chương 3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ 3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu …… 51 3.2. Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56 Kết luận …………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo ……………………….......................................... 64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 MỞ ĐẦU Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả này sau gọi là Bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không gian vô hạn chiều, kết quả này sau gọi là Nguyên lí ánh xạ KKM. Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan chứng minh một bất đẳng thức quan trọng, sau gọi là Bất đẳng thức Ky Fan. Sau khi được công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến. Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức này từ Nguyên lí ánh xạ KKM là ý tưởng khởi nguồn của nhiều nghiên cứu tiếp theo về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong các không gian khác nhau (như không gian vectơ tôpô, không gian G -lồi, không gian siêu lồi…). Trong không gian vectơ tôpô , cách tiếp cận trên được nghiên cứu mở rộng ra bài toán cân bằng vô hướng với các kết quả cơ bản như Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972), Mosco [13](1976), Blum- Oettli [3](1993)…và mở rộng ra bài toán cân bằng vectơ (đơn trị, đa trị) với các kết quả quan trọng như Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Oettli [3](1997), Tấn-Tĩnh [16](1998), Fu [10](2000), Ansari- Konnov- Yao [1](2001), Tấn- Minh [17](2006)… Bài toán cân bằng vectơ đơn trị được xét trong luận văn là bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) 0f x y  với mọi y K , trong đó K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X , :f K K Y  , Y là một không gian vectơ tôpô với nón thứ tự C Y nhọn, lồi, đóng, intC  . Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét là các bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) intF x y C  với mọi y C , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Tìm x K sao cho ( , )F x y C với mọi y C , trong đó hàm đa trị : 2YF K K  (các tập ,K C và không gian Y như trên). Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày một số điểm cơ bản về xuất xứ của Nguyên lí ánh xạ KKM trong sự liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan). Chương 2 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị ở hai hướng nghiên cứu: sử dụng và không sử dụng giả thiết đơn điệu. Trước khi trình bày các kết quả này, chúng tôi đưa ra một số kết quả đặc thù ở bài toán cân bằng vô hướng để dễ thấy phần chính là kết quả và phương pháp ở bài toán cân bằng vectơ được mở rộng thế nào từ bài toán vô hướng. Một số kiến thức chuẩn bị về nón và quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu bài toán vectơ cũng được đưa vào chương này. Chương 3 đề cập đến một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học. Xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo thuộc Viện toán học và các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Xin được cảm ơn cơ quan, gia đình và bạn bè đã động viên rất nhiều giúp tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Nguyễn Thị Hòa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Chương 1 NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Như ta biết, Bổ đề KKM (1929) trong không gian hữu hạn chiều của ba nhà toán học Balan thiết lập được một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912) và sau đó bổ đề này được mở rộng ra không gian vô hạn chiều thành Nguyên lí ánh xạ KKM (1961). Bất đẳng thức Ky Fan (1972) được chứng minh bằng cách sử dụng nguyên lí này. Ở chương này chúng tôi đề cập tới một số điểm cơ bản của Nguyên lí ánh xạ KKM trong liên quan với các thành tựu trên của giải tích hàm phi tuyến (Định lí Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan). 1.1. BỔ ĐỀ KKM Trước hết ta nhắc đến một số khái niệm sau: Cho X là một không gian vectơ, tập hợp S trong X được gọi là một n- đơn hình nếu  0 1, ,..., nS co u u u với 0 1, ,..., nu u u X và các vectơ 1 0 0,..., nu u u u  là độc lập tuyến tính (ở đây ( )co A kí hiệu bao lồi của tập A ). Các điểm iu được gọi là các đỉnh. Bao lồi của ( 1)k  đỉnh được gọi là k -diện của S . Mỗi x S được biểu diễn duy nhất dưới dạng: 0 , n i i i x x u   với 0 0, 1 n i i i x x    . Ta viết 0 1( , ,..., )nx x x x và gọi các , ( 0,1,..., )ix i n là các tọa độ trọng tâm của x , chúng cũng biến đổi liên tục theo x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Dùng Bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian nR . Bổ đề KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz[11], 1929) Cho một n-đơn hình  0 1, ,..., nS co u u u trong nR và các tập hợp đóng 0 1, ,..., nF F F trong S thỏa mãn điều kiện: với mọi tập hợp con  0,1,...,I n ta có  :i i i I co u i I F    . (KKM) Khi đó 0 n i i F    . Chứng minh đầy đủ của Bổ đề KKM bằng cách dùng Bổ đề Sperner được giới thiệu trong Tân-Hà [18], do khuôn khổ của luận văn chúng tôi không nêu ra ở đây. Định lí điểm bất động Brouwer (Brouwer [5], 1912) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong nR vào chính nó đều có điểm bất động. Để chứng minh định lí này bằng cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết quả sau. Mệnh đề 1.1 Giả sử M là một tập hợp trong không gian tôpô có tính chất: mọi ánh xạ liên tục :T M M đều có điểm bất động. Khi ấy nếu M  đồng phôi với M thì M  cũng có tính chất đó. Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Cho  là phép đồng phôi từ M lên M  và :T M M   là ánh xạ liên tục. Ta cần chứng minh T  cũng có điểm bất động. Thật vậy, đặt 1 T T   ta được :T M M là ánh xạ liên tục, nên theo giả thiết tồn tại 0x M với 0 0Tx x . Khi đó 0( )x là điểm bất động của T  .  Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer Cho đơn hình S , vì hình cầu đơn vị đóng trong nR đồng phôi với một n- đơn hình S nên ta chỉ cần chứng minh ánh xạ liên tục :T S S có điểm bất động trong S . Với mỗi x S ta có 0 1( , ,..., ),nx x x x các ix với 0,1,...,i n là các tọa độ trọng tâm của x và 0 1( , ,..., )ny Tx y y y  . Ta đặt  : , 1,...,i i iF x S x y i n    . Do T liên tục nên các iF đều đóng. Ta sẽ chứng minh các iF thỏa mãn điều kiện (KKM) sau  :i i i I co u i I F    , trong đó I là một tập con bất kỳ của tập  0,1,...,n . Lấy  :ix co u i I  ta có 0 1( , ,..., )nx x x x với 0ix  nếu i I , 0ix  nếu i I và 0 1( , ,..., )ny y y y với 0 0, 1 n i i i y y    . Để chỉ ra i i I x F   ta cần chỉ ra tồn tại 0i I để 0i x F , tức là 0 0i i x y . Giả sử ngược lại rằng i ix y với mọi i I . Khi đó ta gặp mâu thuẫn: 0 0 1 1 n n i i i i i i I i I i x x y y             . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Vậy điều kiện KKM được thỏa mãn. Do đó theo bổ đề KKM tồn tại 0 n i i x F   . Khi đó ta có i ix y với 0,1,...,i n , trong đó iy là tọa độ trọng tâm của y Tx . Vì 0 0 1 n n i i i i x y      nên các bất đẳng thức trên phải là đẳng thức. Vậy ta có , 0,...,i ix y i n   hay x y Tx  và định lí được chứng minh.  Định lí điểm bất động Brouwer vẫn đúng nếu ta thay hình cầu đơn vị đóng trong nR bởi một tập lồi đóng bị chặn trong không gian tuyến tính hữu hạn chiều (điều kiện hữu hạn chiều là bắt buộc). Dùng định lí này ta cũng nhận được Bổ đề KKM như chứng minh dưới đây. Chứng minh Bổ đề KKM Giả sử  0 1, ,..., nS u u u là một đơn hình và 0 1, ,..., nF F F là các tập đóng trong S thỏa mãn điều kiện (KKM) nhưng 0 n i i F   . Khi đó với mỗi x S và mỗi 0,...,i n ta đặt ( ) ( , )i ix d x F  là khoảng cách từ x đến iF . Vì 0 n i i F   nên với mỗi x S tồn tại i sao cho ix F , tức là ( ) 0i x  do iF đóng . Vậy ta có thể định nghĩa hàm 0 ( ) ( ) , , 0,1,..., . ( ) i i n j j x x x S i n x        Các hàm i có tính chất: liên tục, 0 0 ( ) 1, ( ) 1 n i i i x x      với mọi x S . Với mỗi x S ta đặt 0 ( ) n i i i Tx x u   . Do S lồi nên ta có Tx S , ngoài ra T liên tục vì i liên tục. Theo Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại x S mà x Tx . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Đặt  : ( ) 0iI i x  . Khi đó ta có 0 ( ) ( ) n i i i i i i I Tx x u x u       . Nhưng vì ( ) 0i x  khi và chỉ khi ix F với mọi i I , nên i i I x F    . Điều này mâu thuẫn với x Tx  ( ) :i i i i i I i I x u co u i I F        , (do điều kiện KKM). Vậy Bổ đề KKM được chứng minh.  Nhận xét 1.1 Theo các chứng minh trên thì từ Bổ đề KKM ta nhận được Định lí Brouwer và ngược lại, như vậy Bổ đề KKM tương đương với Định lí Brouwer. 1.2. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Nguyên lí ánh xạ KKM là một mở rộng của Bổ đề KKM ra không gian vô hạn chiều và là trung tâm của Lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và sâu sắc của giải tích phi tuyến. Trước khi phát biểu và chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ KKM. Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô X , ánh xạ (đa trị) F từ C vào 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp hữu hạn  1 2, , ..., nx x x trong C ta có :  1 2 1 , ,..., ( ) n n i i co x x x F x   . Nguyên lí ánh xạ KKM (Ky Fan [8], 1961) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , : 2 X F C  là một ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A nằm trong C ta có: ( ) x A F x   . Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một tập hợp hữu hạn  1 2, ,..., nx x x trong C thỏa mãn 1 ( ) n i i F x   . Gọi L là không gian con tuyến tính của X sinh bởi  1 2, ,..., nx x x và d là một khoảng cách trên L tương thích với tôpô cảm sinh từ X . Ký hiệu 1{ ,..., }nco x x  . Đặt ( ) ( ) , 1,...,i iG x F x L i n  . Với mỗi x , đặt ( ) ( , ( ))i ix d x G x  . Vì 1 ( ) n i i F x   nên 1 ( ) n i i G x   . Do đó với mỗi x , tồn tại một i sao cho ( )ix G x , suy ra ( ) 0i x  do ( )iG x đóng. Vậy ta có thể đặt 1 ( ) ( ) , ( ) i i n j j x x x x        . Các hàm i đều liên tục và 1 0 ( ) 1, ( ) 1 n i i i x x      với mọi x . Đặt 1 ( ) n i i i Tx x u   , do  lồi ta được ánh xạ liên tục :T L với L hữu hạn chiều. Theo Định lí Brouwer, tồn tại x mà x Tx . Đặt  : ( ) 0iI i x  , ta được ( ) { : }i i i i i I i I x Tx x u co u i I F         , vì F là ánh xạ KKM. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Mặt khác, vì với mọi i I ta có ( ) 0i x  nên ( )ix G x . Vì x L nên ( )ix F x với mọi i I , tức là ( )i i I x F x    , ta gặp mâu thuẫn. Vậy Nguyên lí được chứng minh.  Nhận xét 1.2 Nếu trong Nguyên lí ánh xạ KKM, ánh xạ F có một giá trị compắc, chẳng hạn 0( )F x , khi ấy họ tập đóng  0( ) ( ) :F x F x x C thuộc tập compắc 0( )F x và có tính chất giao hữu hạn. Vì vậy họ này có giao khác rỗng. Kết quả này trong tài liệu gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây. Bổ đề Ky Fan ([8], 1961) Cho C là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và ánh xạ đa trị : 2XF C  thỏa mãn : 1)Với mỗi x C thì ( )F x là tập đóng, khác rỗng trong X ; 2) F là ánh xạ KKM; 3)Tồn tại 0x C sao cho 0( )F x compắc. Khi ấy ta có: ( ) x C F x   . Ở đây cần lưu ý là, trong ứng dụng, Nguyên lí ánh xạ KKM được dùng chủ yếu ở dạng Bổ đề Ky Fan. Ngoài ra cần lưu ý thêm là không gian X trong Nguyên lí ánh xạ KKM của Ky Fan được giả thiết là Hausdorff và trong các nghiên cứu sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM cho đến gần đây phần lớn đều dùng Nguyên lí này với giả thiết X là Hausdorff. Tuy nhiên điều kiện Hausdorff là không cần thiết và đã được Ding- Tân [7] chỉ ra từ 1992. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Nhận xét 1.3 Chúng ta đã chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM từ Định lí điểm bất động Brouwer. Mặt khác từ Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra Bổ đề KKM (với  0, , ..., , ( ) , 0,1,..., n n i iX R C u u F u F i n    ), còn Bổ đề KKM thì suy ra Định lí Brouwer. Vậy từ Nguyên lí ánh xạ KKM ta cũng nhận được Định lí điểm bất động Brouwer, nghĩa là Nguyên lí ánh xạ KKM tương đương với Định lí Brouwer. 1.3. BẤT ĐẲNG THỨC KY FAN Bất đẳng thức Ky Fan được chứng minh từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Bất đẳng thức này cùng với cách chứng minh của nó có nhiều ứng dụng, nhất là trong nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằng. Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan [9], 1972) Cho C là một tập hợp lồi, compắc trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và :f C C R  là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ( , )f x y tựa lõm theo x với mỗi y cố định; 2) ( , )f x y nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định; 3) ( , ) 0f x x  với mọi x C . Khi đó tồn tại y C sao cho ( , ) 0f x y  với mọi x C . Chứng minh Kết luận của Bất đẳng thức Ky Fan được suy ra từ Nguyên lí ánh xạ KKM như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Với mỗi x C đặt  ( ) : ( , ) 0F x y C f x y   . Vì hàm f nửa liên tục dưới theo y nên ( )F x là tập đóng. Ta kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng. Giả sử tồn tại 1,..., nx x C và  1,..., nx co x x mà 1 ( ) n i i x F x    . Khi đó: 1 1 , 0, 1 n n i i i i i i x x         . Vì 1 ( ) n i i x F x    , nên theo định nghĩa của tập hợp ( )iF x ta có: 1 ( , ) ( , ) 0, 1,..., n i i i i i f x x f x x i n     . Do ( , )f x y tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp  : ( , ) 0z C f z x  là lồi. Tập hợp này chứa mọi ix nên cũng chứa 1 n i i i x x   , vậy ta có: 1 1 ( , ) ( , ) 0 n n i i i i i i f x x f x x       , điều này trái với điều kiện 3). Vậy nên F là ánh xạ KKM. Vì C compắc nên ta có: ( ) x C F x   (theo Nguyên lí ánh xạ KKM). Lấy ( ) x C y F x   ta được ( , ) 0f x y  với mọi x C . Định lí được chứng minh.  Dùng Bất đẳng thức Ky Fan ta chứng minh được kết quả sau là một mở rộng của Định lí Brouwer . Mệnh đề 1.2 Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compắc trong một không gian Hilbert vào chính nó đều có điểm bất động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Thật vậy, cho C là một tập lồi, compắc trong không gian Hilbert với tích vô hướng , , :x y T C C   là một ánh xạ liên tục, với mỗi cặp ,x y C ta đặt ( , ) ,f x y Ty y x y    . Với mỗi y cố định, f là hàm affin theo biến x , nên cũng lõm. Với mỗi x cố định , f là hàm liên tục theo biến y (do T liên tục), vậy cũng nửa liên tục dưới. Hiển nhiên ( , ) 0f x x  với mọi x C . Do đó theo Bất đẳng thức Ky Fan tồn tại y C sao cho: ( , ) 0,f x y x C   , tức là , 0,Ty y x y x C       . Đặc biệt nếu x Ty ta có 2 0Ty y  do đó y Ty . Mệnh đề được chứng minh.  Nhận xét 1.4 Theo chứng minh trên và các nhận xét 1.1, 1.3 thì Bổ đề KKM, Định lí điểm bất động Brouwer, Nguyên lí ánh xạ KKM và Bất đẳng thức Ky Fan là tương đương với nhau. Chương 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ Sau khi được công bố (1972), Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến. Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972) chứng minh một kết quả quan trọng kết nối Bất đẳng thức Ky Fan và bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển. Mosco [13](1976) đưa ra kết quả mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan ra tập không compắc và kết quả mở rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển…Đây là các kết quả khởi đầu cơ bản về tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vô hướng được xây dựng từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM để thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng được nhiều nghiên cứu mở rộng hiệu quả cho trường hợp bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị như Ansari- Konnov- Yao [1] (2001), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Tan- Tinh [16](1998)… Chương này trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị theo cách tiếp cận nêu trên. Trước đó chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kết quả tiêu biểu cho cách tiếp cận này ở bài toán vô hướng để dễ thấy sự mở rộng cách tiếp cận này ở bài toán vectơ. Để tiện cho việc trình bày bài toán vectơ, trước hết chúng tôi đưa vào một số kiến thức chuẩn bị. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong chương này chủ yếu được tập hợp từ các bài báo [1, 2, 13, 16]. 2.1. NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ THEO NÓN Cho C là một tập con trong không gian vectơ tôpô Y . Tập C được gọi là một nón nếu tc C với mỗi c và 0t  . Như vậy theo định nghĩa, nón luôn có đỉnh tại gốc 0 Y . Nón C được gọi là lồi (đóng) nếu C là tập lồi (đóng, tương ứng). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Kí hiệu ( )l C là tập C C . Đặc biệt nếu C là lồi thì ( )l C C C  là không gian tuyến tính nhỏ nhất trong C và được gọi là phần trong tuyến tính của nón C . Nón lồi C trong Y được gọi là nhọn nếu  ( ) 0l C  . Rõ ràng tập  0 và cả không gian Y đều là nón, hơn nữa còn lồi, đóng, ta gọi các nón này là nón tầm thường. Trong không gian tuyến tính tôpô ta kí hiệu ( ), int( ), ( )cl C C co C lần lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón C . Ví dụ 1) Nón orthant dương: Cho  1( ,..., ) : , 1,...,n n jY R x x x x R j n      . Khi đó  1( ,..., ) : , 0, 1,...,n n j jC R x x x x R x j n       là một nón lồi, đóng, nhọn. 2) Nếu tập  1 1( ,..., ) : 0, , 2,...,n jC x x x x x R j n     thì C là nón lồi, đóng, nhưng không nhọn vì ta dễ dàng thấy:    2( ) (0, ,..., ) 0 .nnl C x x x R    Tập  1 1( ,..., ) : , 0, 2,...,nn ix x R x R x i n    cũng là một nón lồi, đóng, nhưng không nhọn. 3) Tập chứa 0 Y và các vectơ 1( ,..., )nx x x với cùng một tọa độ dương, chẳng hạn 1 0x  là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng. Tập     3 31 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) : 0, 1, 2, 3 , , : 0, 0iC x x x R x i x x x R x x x         cũng là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng. Ta nói nón C được gọi là thỏa mãn điều kiện (  ) nếu tồn tại nón lồi, đóng nhọn C với phần trong khác rỗng sao cho:  \ 0 intC C  . Nón C được gọi là sinh bởi tập B Y , ký hiệu ( )C cone B nếu: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18  : , 0C tb b B t   . Nếu ngoài ra B không chứa điểm gốc 0 và với mỗi , 0c C c  đều tồn tại duy nhất , 0b B t  sao cho c tb khi ấy B được gọi là cơ sở của nón C . Người ta chứng minh được rằng nếu nón C có cơ sở lồi, compắc thì nó thỏa mãn điều kiện (  ) ([16]). Từ kết quả này và theo định nghĩa ta có các ví dụ sau về nón thỏa mãn điều kiện (  ). Ví dụ 1) Cho B là một tập khác rỗng thuộc phần trong của hình cầu ,nB R 0 B  , ( ), ( )C cone B C cone B   . Khi ấy theo định nghĩa C là nón thỏa mãn điều kiện (  ) vì  \ 0 int .C C  2) Cho B là một tập con lồi compắc trong , 0nR B . Khi ấy nón ( )C cone B có cơ sở B lồi compắc nên thỏa mãn điều kiện (  ). Ta nhắc lại khái niệm Quan hệ thứ tự sinh bởi nón: Cho C là một nón nhọn, lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Y . Khi ấy C xác định một quan hệ thứ tự trong Y : với ,x y C ta viết x y khi và chỉ khi y x C  . x  y khi và chỉ khi y x C  . Trong trường hợp intC  , với ,x y C ta viết x y khi và chỉ khi inty x C  . x y khi và chỉ khi inty x C  . Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho các quan hệ thứ tự ,  , ,   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Ví dụ 1) Cho Y R , nón thứ tự nC R (nhọn, lồi, đóng). Với  1, ..., nx x x ,  1,..., n ny y y R  ta có , 1,..., .i ix y x y i n    , 1,...,i ix y x y i n    . x i iy x y  với ít nhất một  1,..., .i n i ix y x y  với ít nhất một  1,..., .i n 2)  2 21 2 1 2, ( , ) : .Y R C x x R x x    Với 2 1 2 1 2( , ), ( , )x x x y y y R   ta có 1 1 2 20 .x y y x y x     x 2 \ .y y x R C   1 1 2 2 2 0 . \ int . x y y x y x x y y x R C           Lưu ý là khi  , 0;Y R C   thì với ,x y R : . . x y y x x y y x       2.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÔ HƯỚNG Hai hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng là các nghiên cứu có giả thiết đơn điệu và các nghiên cứu không có giả thiết đơn điệu của hàm trong bất đẳng thức. Hướng thứ hai chính là các nghiên cứu mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan (xét ở Chương 1) ra tập không compắc mà dưới đây là một kết quả cơ bản. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Định lí 2.1 (Mosco[13], 1976) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , hàm :g C C R  với ( , ) 0 .g x x x C   Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) ( ,.)g x là lõm với mỗi x C ; 2) (., )g y là nửa liên tục dưới với mỗi y C ; 3)Điều kiện bức:Tồn tại một tập compắc B X và một vectơ 0y B C  sao cho 0( , ) 0 \ .g x y x C B   Khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng : ( , ) 0x C g x y y C    (2.1) là tập compắc, khác rỗng. Chứng minh: Đặt  ( ) : ( , ) 0 ,G y x C g x y y C    . Ta có ( )G y là đóng với mỗi y C (do Điều kiện 2)), do đó 0( )G y là tập đóng trong tập compắc B nên cũng compắc (Điều kiện 3)). Hơn nữa : 2CG C  là ánh xạ KKM. Thật vậy, giả sử trái lại, nghĩa là có tập hữu hạn  1, ..., ny y C mà  1 1 ,..., ( ) n n i i co y y G y    , khi ấy có một 1 n i i i y y   với 0,i  1 1 n i i    và   1,...,iy G y i n   , nghĩa là ( , ) 0 1,..., .ig y y i n   Do đó 1 ( , ) 0. n i i i g y y   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Do ( ,.)g y lõm nên: 1 1 ( , ) , ( , ) 0 n n i i i i i i g y y g y y g y y              , điều này mâu thuẫn với giả thiết ( , ) 0g y y y C   . Vậy G là ánh xạ KKM. Theo Bổ đề Ky Fan thì ( ) y C G y    nghĩa là bài toán cân bằng (2.1) có nghiệm. Do tập nghiệm của (2.1) là đóng (do 2)) và thuộc tập compắc B (do 3)) nên compắc. Định lí được chứng minh.  Nhận xét 2.1 Nếu C là tập lồi compắc thì Định lí 2.1 chính là Bất đẳng thức Ky Fan. Dùng chứng minh của Định lí 2.1 kết hợp với chứng minh của Bất đẳng thức Ky Fan, ta cũng chứng minh được Định lí 2.1 trong trường hợp tính lõm của hàm g được thay bằng tính tựa lõm. Để đưa ra kết quả trong trường hợp có giả thiết đơn điệu ta cần các khái niệm sau trong [13]. Cho C là một tập lồi trong không gian vectơ tôpô. Hàm :g C C R  gọi là hemi-liên tục nếu với ,x y C , hàm ( ( ), )f x t y x y  là liên tục theo [0,1]t tại 0t  . Hàm g gọi là đơn điệu nếu ( , ) ( , ) 0 ,g x y g y x x y C    . Hàm g gọi là đơn điệu chặt nếu ( , ) ( , ) 0 , ,g x y g y x x y C x y     . Ở một số tài liệu, chẳng hạn Blum-Oettli [3], hàm g được gọi là đơn điệu nếu g là đơn điệu theo nghĩa trên. Ở mục này tính đơn điệu của hàm hai biến g được hiểu theo nghĩa trên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng, dưới đây là một kết quả cơ bản ở hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu. Định lí 2.2 (Mosco [13], 1976) Cho C là tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và hàm :g C C R  với ( , ) 0g x x x C   sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1) g là hàm hemi-liên tục và đơn điệu; 2) Với mỗi x C , hàm ( ,.)g x là lõm và nửa liên tục trên; 3) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B C và 0y B sao cho 0( , ) 0, \ .g x y x C B   Khi ấy tập nghiệm của bài toán cân bằng : ( , ) 0,x C g x y y C    (2.2) là tập con khác rỗng, lồi và compắc trong B . Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [13] với 0  (Cho 0  để tránh các phức tạp không cần thiết trong trình bày và tiện sử dụng ở các phần sau). Định lí 2.2 được chứng minh bằng cách dùng Bổ đề Ky Fan và Bổ đề dưới đây (mở rộng một kết quả của Minty [12] về toán tử đơn điệu). Với mỗi y C đặt  ( ) : ( , ) 0G y x C g x y   ;  ( ) : ( , ) 0H y x C g y x   và ký hiệu ( )F y là bao đóng của ( ).G y Bổ đề 2.1 Cho tập C , hàm g như ở Định lí 2.2 và thỏa mãn điều kiện 1),2) của định lí này. Cho các tập ( ), ( ), ( )G y F y H y như ở trên. Khi ấy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 ( ) ( ) ( ). y C y C y C G y F y H y        Chứng minh Do ( ) ( )G y F y y C   nên chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ) y C y C y C F y H y G y        . Thật vậy, lấy ( )x G y ta có: ( , ) 0g x y  . Do g là đơn điệu nên ( , ) 0 ( , ) ( , ).g x y g x y g y x   Suy ra ( , ) 0g y x  , nghĩa là ( )x H y nên ( ) ( ).G y H y Ta có với mỗi , ( )y C H y là lồi và đóng do ( ,.)g y là lõm và nửa liên tục trên. Do ( )F y là bao đóng của ( )G y nên ( ) ( ).F y H y Vậy suy ra ( ) ( ). y C y C F y H y     Ta chứng minh: ( ) ( ) y C y C H y G y     nghĩa là chứng tỏ ( , ) 0g y x y C   , (2.3) kéo theo ( , ) 0g x y y C   . (2.4) Giả sử (2.4) không đúng, tức là tồn tại x C thỏa mãn (2.3) và một y C để cho ( , ) 0g x y  . (2.5) Xét véc tơ (1 ) , [0,1]tx ty t x t    . Theo điều kiện 1) của Định lí 2.2, hàm ( , )tg x y của biến thực  0,1t là liên tục khi 0t  . Do đó với 0t  (đủ nhỏ), từ (2.5) suy ra ( , ) 0, (0, )tg x y t t   . (2.6) Lấy ty x , từ (2.3) suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24  ( , ) 0, 0,1tg x x t   . (2.7) Do tính lõm của ( ,.)g x nên từ (2.6) và (2.7) suy ra ( , ) 0 (0, )t tg x x t t   , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy (2.4) đúng. Do đó ( ) ( ) y C y C H y G y     . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.2 Theo Bổ đề 2.1 và do ( )H y là lồi, đóng với mỗi y C ta có tập nghiệm của bài toán là lồi và đóng. Tập nghiệm này là compắc vì nó là tập con đóng của tập compắc B ( theo điều kiện bức 3)). Ta chứng minh tập nghiệm này khác rỗng bằng cách sử dụng Bổ đề Ky Fan với ánh xạ : 2XF C . Thật vậy, với mỗi y C ta có ( )F y là tập đóng và 0( )F y là bao đóng của tập 0( )G y thuộc tập compắc B C nên 0( )F y cũng compắc. Cho  1,..., ny y là một tập hữu hạn trong C . Ta chỉ cần chỉ ra  1 1 ,..., ( ) n n i i co y y F y   . Do ( )F y là bao đóng của ( )G y nên chỉ cần chỉ ra  1 1 ,..., ( ) n n i i co y y G y   . Giả sử ngược lại có một  1 1 ,..., \ ( ) n n i i y co y y G y    . Khi ấy có 0,i  1 1 1,..., , 1, , ( , ) 0 1,..., n n i i i i i i i n y y g y y i n           . Do đó, vì ( ,.)g y là hàm lõm ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 1 1 ( , ) , ( , ) 0 n n i i i i i i g y y g y y g y y              , điều này mâu thuẫn với giả thiết ( , ) 0g y y  . Vậy  1 1 ,..., ( ) n n i i co y y F y   . Theo Bổ đề Ky Fan ta có ( ) y C F y   và do đó theo Bổ đề 2.1, ( ) y C G y   . Định lí được chứng minh.  Về sự duy nhất nghiệm của Bài toán (2.2) ta có mệnh đề sau. Mệnh đề Nếu C là tập lồi và g là hàm đơn điệu chặt thì nghiệm của Bài toán cân bằng (2.2) là duy nhất. Chứng minh Giả sử 1 2,x x là nghiệm phân biệt của Bài toán (2.2), nghĩa là ,ix C 1, 2i  và ( , ) 0ig x y y C   . Thay 1 2 2 x x y   vào hai bất đẳng thức ở trên, do tính chất lõm của hàm ( ,.)g x nên khi cộng hai bất đẳng thức đó với nhau ta được  1 1 1 2 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 g x x g x x g x x g x x    . Vì 1 1 2 2( , ) ( , ) 0g x x g x x  nên:  1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) 0 2 g x x g x x  , do đó 1 2 2 1( , ) ( , ) 0g x x g x x  , điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của g . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Mệnh đề được chứng minh.  Sau hai kết quả trên của Mosco [13] có nhiều kết quả khác là mở rộng, hợp nhất các kết quả này như Blum- Oettli [3](1993), Chadli-Chbani-Riahi [6](2000)…Ở đây chúng tôi không đi sâu vào các mở rộng này mà chỉ nêu ra cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM trong bài toán vô hướng để dễ thấy sự mở rộng của cách tiếp cận này trong bài toán vectơ được xét ở các phần sau. 2.3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU Một hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ, cũng như đối với bài toán cân bằng vô hướng được xét ở trên, là hướng nghiên cứu không dùng giả thiết đơn điệu. Chúng tôi chọn trình bày một kết quả gần đây của Ansari- Konnov- Yao [1](2001) ở hướng nghiên cứu này. Cho ,X Y là các không gian vectơ tôpô, C là một nón nhọn, lồi, đóng trong Y với intC  . Một quan hệ thứ tự từng phần trong Y được xác định bởi nón C . Cho K là một tập lồi khác rỗng trong X và :f K K Y  là một hàm (đơn trị). Xét bài toán cân bằng vectơ sau Tìm x K sao cho ( , ) 0,f x y y K  . Bài toán trên có thể viết ở dạng: Tìm x K sao cho ( , ) int ,f x y C y K   . Một ánh xạ :q K Y gọi là tựa lồi nếu với mọi Y  tập Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27     :U x K q x    là lồi. Người ta có thể chỉ ra rằng nếu q là tựa lồi thì tập   :x K q x   cũng là tập lồi. Dễ thấy nếu  ; 0;Y R C   thì ta có khái niệm tựa lồi quen biết của hàm vô hướng. Một ánh xạ :q K Y gọi là nửa liên tục trên trên K nếu với mọi Y  tập  ( ) : ( )L x K q x    là đóng trong K . Dễ thấy, nếu  , 0;Y R C   thì ta có khái niệm nửa liên tục trên quen biết đối với hàm vô hướng. Với mỗi tập A X , ta ký hiệu Xcl A là bao đóng của A trong X và  X là họ các tập con hữu hạn không rỗng trong X . Đối với bài toán cân bằng vectơ trên ta có định lí tồn tại nghiệm dưới đây được chứng minh nhờ dùng Nguyên lí ánh xạ KKM. Định lí 2.3 (Ansari- Konnov- Yao[1], 2001) Cho ,X Y là các không gian vectơ tôpô, tập K X lồi khác rỗng, nón thứ tự C Y nhọn, lồi, đóng với intC  và hàm (đơn trị) :f K K Y  sao cho với mỗi , ( , ) 0x K f x x  và với mỗi y K hàm (., )f y là nửa liên tục trên trên mỗi tập khác rỗng compắc của K . Giả sử rằng tồn tại một hàm :p K K Y  sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1)Với mỗi , , ( , ) 0x y K f x y  kéo theo ( , ) 0;p x y  2) Với mỗi ( )A X và với mỗi x coA , hàm ( ,.)p x là tựa lồi; 3) Với mỗi , ( , ) 0;x K p x x  4) Điều kiện bức: tồn tại một tập lồi, compắc D K và 0y D sao cho 0( , ) 0p x y  với mọi \x K D . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Khi ấy tồn tại x K thỏa mãn ( , ) 0f x y  với mọi y K . Chứng minh Với mỗi y K ta đặt  ( ) : ( , ) 0G y x D f x y   . Ta có ( )G y là tập đóng trong tập compắc D . Do đó để chỉ ra họ tập  ( ) :G y y K có giao khác rỗng ta chỉ cần chỉ ra họ này có tính chất giao hữu hạn và khi ấy ta có điều phải chứng minh (vì mỗi điểm trong giao của họ tập này là nghiệm của bài toán cân bằng được xét trong định lí trên). Lấy  1 2, ,..., mB y y y là một tập con hữu hạn của K . Ta đặt ( )A co B D  . Ta có A là một tập lồi compắc của K . Xét ánh xạ : 2AF A xác định bởi:  ( ) : ( , ) 0 ,F y x A p x y y A   . Ta chứng minh họ  ( ( )) :Acl F y y A có giao khác rỗng. Thật vậy, ta có ( )F y  với mỗi y A (do giả thiết 3)). Mặt khác F là ánh xạ KKM. Thật vậy, giả sử F không phải là ánh xạ KKM, khi ấy tồn tại một tập hữu hạn  1 2, ,..., nv v v A và với mọi 1,...,i n các số 1 0, 1 n i i i      sao cho 1 1 ( ) nn i i i i i v F v     , nghĩa là ta có 1 , 0, 1,..., . n i i i i p v v i n           Do giả thiết 2) ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 1 1 , 0 n n i i i i i i p v v             , điều này mâu thuẫn với giả thiết 3). Vậy F là ánh xạ KKM. Theo Nguyên lí ánh xạ KKM thì họ tập  ( ( )) :Acl F y y A có giao khác rỗng, lấy ( ( ))A y A x cl F y   và lưu ý là  0 0,y D A F y D   (do giả thiết 4)), do đó : 0 0 0( ( )) ( ( )) ( ( )) .A K Dx cl F y cl F y cl F y D    Mặt khác ta có 1 ( ( )) m A j j x cl F y   ;   ( ( )) : ( , ) 0A j A jcl F y cl x A p x y       : ( , ) 0 : ( , ) 0A j jcl x A f x y x A f x y      (theo giả thiết 1) và do (., )f y nửa liên tục trên). Do đó   1 1 : ( , ) 0 ( ) m m j j j j x D x A f x y G y              . Vậy họ  ( ) :G y y K có tính chất giao hữu hạn, do đó ( ) . y K G y   Định lí được chứng minh.  Cần lưu ý là trong [1] các tác giả dùng giả thiết chung là ( , ) 0,f x x  x K  . Thực ra trong chứng minh không sử dụng đến giả thiết này. Trong Định lý 2.3, lấy p f ta nhận được kết quả sau. Hệ quả 2.1 Cho các không gian ,X Y , tập K X , nón thứ tự C Y như trong Định lí 2.3 và hàm :f K K Y  sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 1) ( , ) 0f x x  với mỗi x K ; 2) Với mỗi y K , hàm (., )f y là nửa liên tục trên trên K ; 3) Với mỗi x K , hàm ( ,.)f x là tựa lồi; 4) Điều kiện bức: tồn tại một tập compắc D K và 0y D sao cho 0( , ) 0, \f x y x K D  . Khi ấy tồn tại x K sao cho ( , ) 0, .f x y y K  Rõ ràng khi K là một tập compắc, ta có điều kiện bức trong hệ quả trên thỏa mãn và như vậy ta có dạng vectơ của Bất đẳng thức Ky Fan trong hệ quả sau của Định lí 2.3. Hệ quả 2.2 Cho các không gian ,X Y và nón thứ tự C Y như trong Định lý 2.3, K X là tập lồi compắc và hàm :f K K Y  thỏa mãn điều kiện sau: 1) ( , ) 0f x x  với mỗi x K ; 2) Với mỗi y K , hàm (., )f y là nửa liên tục trên trên K ; 3) Với mỗi x K , hàm ( ,.)f x là tựa lồi. Khi ấy, tồn tại x K sao cho ( , ) 0,f x y y K  . Nhận xét 2.2 Nếu trong Hệ quả 2.2 lấy  , ;0Y R C   và f g  , trong đó :g K K R là hàm có tính chất: 1) ( , ) 0g x x  với mỗi x K ; 2) Với mỗi ,y K hàm (., )g y là nửa liên tục dưới trên K ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 3) Với mỗi x K hàm ( ,.)g x là tựa lõm; thì theo Hệ quả 2.2 ta có x K sao cho ( , ) 0g x y y K   . Đây chính là bất đẳng thức Ky Fan (dạng vô hướng). 2.4. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECVƠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Một hướng cơ bản khác trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ là hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu. Nhiều kết quả quan trọng ở hướng nghiên cứu này đã được công bố như Oettli [14](1997), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997)…Chúng tôi chọn trình bày ở phần này kết quả lí thú của Bianchi- Hadjisavvas- Schaible sử dụng giả thiết giả đơn điệu (bao hàm trường hợp đơn điệu). Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , Y là không gian lồi địa phương được xắp thứ tự bởi nón C Y nhọn, lồi, đóng với intC  và hàm :F K K Y  với ( , ) 0F x x  , x K  . Bài toán cân bằng được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) 0F x y y K  , (2.8) trong đó F là một hàm giả đơn điệu. Hàm F được gọi là đơn điệu (đơn điệu chặt) nếu ( , ) ( , ) 0 ,F x y F y x x y K   ( ( , ) ( , ) 0 , , ,F x y F y x x y K x y    tương ứng). F được gọi là giả đơn điệu (giả đơn điệu chặt) nếu ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0F y x  với mọi ,x y K ( ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0,F y x  với mọi , ,x y K x y  , tương ứng). Dễ thấy, nếu F là đơn điệu (đơn điệu chặt) thì F cũng là giả đơn điệu (giả đơn điệu chặt, tương ứng), nhưng không ngược lại. Nếu F giả đơn điệu chặt thì cũng giả đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Hàm :f K Y gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) nếu với mọi Y tập mức  ( ) : ( )L x K f x    (  ( ) : ( ) ,U x K f x    tương ứng) là đóng trong K . Hàm f gọi là hemi-liên tục nếu với ,x y K hàm ( ) ( ( ))t f x t y x   , [0,1]t , là nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên theo t . Hàm f gọi là tựa lồi hiện (explicitly quasiconvex) nếu f là tựa lồi và với mọi ,x y K với ( ) ( )f x f y luôn có ( ) ( )tf z f y với (1 ) , (0,1)tz tx t y t    . Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng giả đơn điệu (2.8) ta có kết quả quan trọng sau được chứng minh trên cơ sở sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM. Định lí 2.4 (Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2],1997) Cho các không gian ,X Y , tập K , nón C và hàm F như trên. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) Với mỗi , (., )y K F y là hemi-liên tục; 2) F là giả đơn điệu; 3) Với mỗi , ( ,.)x K F x là nửa liên tục dưới và tựa lồi hiện ; 4) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B K và 0y B sao cho 0( , ) 0F x y  \x K B  . Khi ấy tập nghiệm của Bài toán (2.8) không rỗng và compắc. Các bổ đề dưới đây được dùng để chứng minh Định lí 2.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Bổ đề 2.2 Giả sử , , 0a b Y a  và b  0 . Khi ấy tập các cận trên của a và b là khác rỗng và giao với \Y C . Chứng minh Ta chỉ ra tồn tại c  0 để ,a c b c  : Do intC  nên tồn tại intd C sao cho d b C  . Với  0,1t , đặt (1 )td td t b   . Do C đóng và lồi nên tồn tại 0 (0,1)t  sao cho     0 0 , ,1 ; , 0, . t t d C t t d C t t       Đặc biệt ta có 0 0td a  , nên 0 inttd a C  . Như vậy, với 1 0t t đủ gần 0t ta có : 1 inttd a C  . Đặt 1t c d thì c C và như vậy c  0 . Hơn nữa, ta có: c a và 1 1 1 1 (1 ) ( ) 0tc b d b t d t b b t d b          . Bổ đề được chứng minh.  Với mỗi y K , đặt     ( ) : ( , ) 0 ; ( ) ( ) ; ( ) : ( , ) 0 . P y x K F x y Q y P y R y x K F y x          Dưới đây là một kết quả tương tự như ở bài toán cân bằng vô hướng (Bổ đề 2.1 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Bổ đề 2.3 Nếu các điều kiện 1), 2) và 3) của Định lí 2.4 thỏa mãn, khi ấy: ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        và mỗi giao trên là một tập đóng trong K . Chứng minh Từ giả thiết 3) suy ra: i) Với mỗi c  0 và mỗi x K , tập  : ( , )y K F x y c  là lồi; ii) Nếu ( , ) ( , )F x y F x z và ( , ) 0F x z  thì ( , ) ( , )tF x z F x z với tz (1 ) , (0,1)ty t z t    . Trước tiên ta chỉ ra ( ) ( ) y K y K R y P y     . Lấy ( ) y K x R y    ta có ( , ) 0F y x y K  . Với y K bất kỳ, đặt (1 ) , (0,1)ty ty t x t    , khi ấy ( , ) 0 (0,1)tF y x t  . (2.9) Ta chỉ ra: ( , ) 0 (0,1)tF y y t  . (2.10) Thật vậy, giả sử có một 0 (0,1)t  với 0 ( , ) 0tF y y  , khi đó a) Nếu 0 ( , ) 0tF y x  thì 0 0 ( , ) ( , )t tF y x F y y . Do ii) ta có: 0 0 0 ( , ) ( , )t t tF y y F y x . Theo giả thiết thì 0 0 ( , ) 0t tF y y  . Suy ra 0 ( , ) 0tF y x  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 điều này mâu thuẫn với (2.9). b) Nếu 0 ( , )tF y x  0 thì theo Bổ đề 2.2 tồn tại c  0 sao cho 0 ( , )tF y x c và 0 ( , )tF y y c . Do i) ta có 0 0 ( , )t tF y y c , suy ra 0c mâu thuẫn với c  0 . Vậy (2.10) được chứng minh. Từ (2.10) và Giả thiết 1) ta có ( , ) 0F x y  . Vì y K bất kỳ nên ( ) y K x P y    . Vậy ( ) ( ) y K y K R y P y     . (2.11) Mặt khác do F giả đơn điệu (Giả thiết 2)) nên ( ) ( )P y R y y K   . Do tính nửa liên tục dưới của F (Giả thiết 3)) nên ( )R y là đóng, suy ra ( ) ( ) ( )Q y P y R y  . Vậy ( ) ( ) ( )P y Q y R y  , do đó: ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . (2.12) Từ (2.11) và (2.12) có ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . Do ( )Q y đóng y K  nên mỗi giao trên đều là tập đóng trong K . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh định lí 2.4 Theo Bổ đề 2.3 ta chỉ cần chỉ ra: ( ) y K Q y   . Ta có ( )Q y đóng y K  . Do điều kiện bức (Giả thiết 4)) nên 0( )P y B và do B compắc nên 0 0( ) ( )Q y P y B  cũng compắc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Ta chứng minh ánh xạ : 2KP K  là ánh xạ KKM. Thật vậy, nếu trái lại sẽ có một tập hữu hạn  :iy i I và một  1,... \ ( )n i i I y co y y P y    , nghĩa là ( , ) 0iF y y i I  . Do tính tựa lồi của F (Giả thiết 3)) nên cũng có ( , ) 0F y y  , điều này mâu thuẫn với ( , ) 0F y y  . Vậy P là ánh xạ KKM. Do ( ) ( ),P y Q y y K  nên Q cũng là ánh xạ KKM. Theo Bổ đề Ky Fan ta có ( ) y K Q y   , nghĩa là Bài toán (2.8) có nghiệm. Theo Bổ đề 2.3 và điều kiện bức, tập nghiệm của bài toán (2.8) là compắc. Định lí được chứng minh.  Nhận xét 2.3 Khác với trường hợp vô hướng, ở trường hợp bài toán vectơ với các giả thiết của Định lí 2.4, tập nghiệm nói chung là không lồi. Dưới đây là một ví dụ Ví dụ Cho    2 2, 0,1 0,1 , ,X Y R K C R     hàm :F K K Y  được cho bởi 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ); ( , ), ( , )F x y y x y x x x x y y y     . (2.13) Dễ thấy các giả thiết của Định lí 2.4 thỏa mãn và 1 (0,1),x  2 (1,0)x  là các nghiệm của Bài toán (2.8) vì theo (2.13): Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 1 ( , )F x y  1 2( , 1) 0y y y K   và 2 ( , )F x y  1 2( 1, ) 0y y y K   . Nhưng (1 2, 1 2)x  không phải là nghiệm, vì 1 2( , ) ( 1 2, 1 2) 0F x y y y    với 1 2[0,1 2), [0,1 2)y y  , nghĩa là trong trường hợp ví dụ trên tập nghiệm của Bài toán (2.8) không lồi. Nhận xét 2.4 Nếu các giả thiết của Định lí 2.4 thỏa mãn và F là giả đơn điệu chặt thì bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm. Thật vậy, nếu 1 2,x x là nghiệm, 1 2x x thì 1 2( , ) 0F x x  và 2 1( , ) 0F x x  . Nhưng do tính giả đơn điệu chặt của F nên 2 1( , ) 0F x x  , mâu thuẫn với 2 1( , ) 0F x x  . 2.5. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TỰA ĐƠN ĐIỆU Cho không gian vectơ tôpô Hausdorff X, tập lồi, đóng, khác rỗng K X , không gian lồi địa phương Y được xắp thứ tự bởi nón nhọn, lồi, đóng C Y với intC  và hàm :F K K Y  với ( , ) 0F x x x K  . Bài toán cân bằng vectơ được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) 0F x y  với mọi y K , (2.14) trong đó F là một hàm tựa đơn điệu. Trước khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.14) ta cần một số khái niệm. Hàm :F K K Y  được gọi là tựa đơn điệu nếu với mọi ,x y K ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0F y x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Dễ thấy, nếu F là giả đơn điệu thì F cũng là tựa đơn điệu, nhưng không ngược lại. Hàm :f K Y được gọi là  - tựa lồi (  - tựa lồi nửa chặt)1 nếu với mọi * * ( \{0})C C  , hàm :f K Y  là tựa lồi (tựa lồi nửa chặt, tương ứng). Ở đây *C được xác định bởi  * * : ( ) 0C Y y y C      . Người ta chỉ ra được : a) y C khi và chỉ khi * ( ) 0y C   ; b) inty C khi và chỉ khi * ( ) 0 \{0}y C   . Hàm f gọi là  - tựa lõm nửa chặt nếu f là  - tựa lồi nửa chặt . Hàm :C R  được gọi là tựa lồi chặt (tựa lồi nửa chặt) nếu với , ,x y C x y  và mọi ( , )z x y luôn có: ( ) ( ) ( ( ) ( ),x y x y     tương ứng) kéo theo ( ) ( )z y  . Các tập ( ), ( )P y Q y và ( ),R y y K được định nghĩa như ở mục 2.4. Nhận xét 2.5 Nếu F là  - tựa lồi nửa chặt và hemi- liên tục thì F là tựa lồi hiện. Do đó, từ chứng minh Bổ đề 2.3 suy ra: nếu F là hemi- liên tục và  - tựa lồi nửa chặt thì ( ) ( ) y K y K R y P y     . Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu (2.14) ta có kết quả cơ bản sau. Định lí 2.5 (Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2],1997) 1 *- quasiconvex (*- semistrictly quasiconvex) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Cho các không gian X, Y, tập K , nón C và hàm F như trên. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) Với mỗi , (., )y K F y là hemi-liên tục; 2) F là tựa đơn điệu; 3) Với mỗi ,x K hàm ( ,.)F x là nửa liên tục dưới và  - tựa lồi nửa chặt; 4) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B K và 0y B sao cho 0( , ) 0, \F x y x K B  ; 5) Với mỗi ,x K hàm ( ,.)F x là  - tựa lõm nửa chặt; 6) Phần trong đại số ( )iA K của K không rỗng. Khi ấy Bài toán (2.14) có nghiệm. Bổ đề sau được dùng để chứng minh Định lí 2.5. Bổ đề 2.4 Giả sử các điều kiện1),2),5) thỏa mãn và ,x y K sao cho ( )x P y nhưng ( )x R y . Khi ấy tồn tại  * \ 0u C sao cho , ( , ) 0u F x y  ; , ( , ) , ( , )u F x y u F x y y K    . Chứng minh Vì ( )x P y nên ( , ) 0F x y  do đó tồn tại * \ {0}u C với , ( , ) 0u F x y  (vì nếu với mọi * \ {0}u C đều có , ( , ) 0u F x y  thì khi ấy ( , ) 0F x y  , mâu thuẫn với ( )x P y ). Vậy có bất đẳng thức đầu. Bất đẳng thức thứ hai được chứng minh phản chứng. Giả sử có y K với , ( , ) , ( , )u F x y u F x y  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Đặt  (1 ) , 0,1ty ty t y t    . Do ( ,.)F x  - tựa lõm nửa chặt nên cùng với bất đẳng thức đầu ta có:  , ( , ) , ( , ) 0 0,1tu F x y u F x y t    . Theo tính chất về tập *C nêu trên ta có ( , )tF x y C  , nghĩa là ( , )tF x y  0 và do tính tựa đơn điệu của F (Giả thiết 2)) suy ra ( , ) 0tF y x  (vì trái lại sẽ có ( , ) 0tF x y  , mâu thuẫn). Vì F hemi- liên tục (Giả thiết 1)) nên ( , ) 0F y x  , nghĩa là ( )x R y , mâu thuẫn với giả thiết. Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.5 Giả sử bài toán (2.14) không có nghiệm. Do điều kiện bức và tính tựa lồi của F (suy ra từ Giả thiết 3)), như trong chứng minh Định lí 2.4, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM ta có ( ) y K Q y   . Lấy ( ) y K x Q y    và ( )iz A K . Như vậy đặc biệt ( )x Q z . Do đó tồn tại dãy  ; ( )x x Q z   sao cho x x  . Giả sử có một   với ( )x R z . Theo Bổ đề 2.4 tồn tại  * \ 0u C sao cho: , ( , ) 0u F x z  ; , ( , ) , ( , )u F x y u F x z y K     . Vậy hàm tựa lồi nửa chặt ( ) , ( , )g y u F x y đạt cực đại toàn cục trên K tại z . Vì ( )iz A K nên g là hàm hằng trên K , nghĩa là: , ( , ) , ( , ) 0u F x y u F x z y K      . (2.15) Do đó ( , ) 0F x y y K   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 (vì nếu trái lại sẽ có một y với ( , ) intF x y C  và khi ấy (theo tính chất của *C nêu ở trên) sẽ có * , ( , ) 0 \{0}u F x y u C    , điều này mâu thuẫn với (2.15)). Như vậy Bài toán (2.14) có nghiệm, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng. Do đó ( )x R z   , nghĩa là ( , ) 0F z x  , vậy ( , ) 0F z x  (2.16) (do ( ,.)F z nửa liên tục dưới). Với mỗi ,x K đặt (1 ) , [0,1]tx tz t x t    . Khi ấy ( ) (0,1]t ix A K t   (theo tính chất điểm trong đại số), do đó theo (2.16) ta có ( , ) 0tF x x  . Do tính hemi- liên tục của F (Giả thiết 1)) suy ra ( , ) 0F x x x K  , nghĩa là ( ) x K x R x    . Vậy theo Nhận xét 2.5 ta có ( ) x K x P x    , nghĩa là Bài toán (2.14) có nghiệm, trái với giả thiết phản chứng. Định lí được chứng minh.  2.6. MỘT SỐ MỞ RỘNG Bên cạnh các nghiên cứu ở hai hướng dùng giả thiết đơn điệu và không dùng giả thiết đơn điệu như trình bày ở trên là một số nghiên cứu mở rộng hợp nhất hai hướng này. Bài toán cân bằng vectơ được xét là bài toán: Tìm x D sao cho ( , ) intF x y C y D   , (2.17) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 trong đó D là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian lồi địa phương Hausdorff X , C là một nón nhọn lồi đóng trong không gian lồi địa phương Hausdorff Y với int (C C  xác định trên Y một thứ tự từng phần) và :F D D Y  là một hàm đơn trị có dạng ( , ) ( , ) ( , )F x y G x y H x y  (2.18) với , :G H D D Y  . Hàm G được giả thiết có tính đơn điệu, còn H thỏa mãn một điều kiện nửa liên tục. Khi 0G  ta nhận được kết quả là một dạng vectơ của Bất đẳng thức Ky Fan, khi 0H  ta có kết quả của bài toán cân bằng vectơ đơn điệu. Các nghiên cứu ở hướng này là các nghiên cứu mở rộng vectơ kết quả của Blum- Oettli [3] ở trường hợp bài toán vô hướng. Phần này trình bày một số kết quả nghiên cứu tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ (2.17) với F có dạng (2.18) và với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM. Trước hết ta nhắc tới một số khái niệm cần thiết. Hàm :F D Y được gọi là lồi (lõm) theo nón C nếu  (1 ) ( ) (1 ) ( )F tx ty tF x t F y    ( ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ),F tx t y tF x t F y    tương ứng) với mọi  , , 0,1 .x y D t  F được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) theo C tại 0x D nếu với mỗi lân cận V của 0( )F x trong Y tồn tại lân cận U của 0x trong X sao cho  F U D V C   ( ( ) ,F U D V C   tương ứng). F được gọi là liên tục tại 0x D nếu nó vừa là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên tục trên theo C tại 0x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 F được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên, liên tục) theo C trên D nếu nó là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên, liên tục, tương ứng) theo C tại mọi điểm thuộc D . Hàm :G D D Y  được gọi là đơn điệu theo nón C nếu ( , ) ( , ) 0 ,G x y G y x x y D   . Dễ thấy rằng, nếu  0C  thì các khái niệm liên tục theo nón ở trên trùng với các khái niệm liên tục quen biết của hàm đơn trị. Đối với tính nửa liên tục dưới theo nón của một hàm ta có tính chất được phát biểu trong kết quả sau ([16]). a) Nếu F là nửa liên tục dưới theo nón C thì tập  : ( ) intA x D F x C   là đóng trong D . b) Nếu F là nửa liên tục dưới theo C tại 0x D và ( ) intF x C với mọi  0\x D x thì 0( ) intF x C . Cho C và B là các tập lồi trong một không gian vectơ tôpô, B C . Khi ấy, lõi của B theo C , kí hiệu Ccore B , được xác định bởi ( , ( , ] \ )Ca core B a B B a y y C B       . Lưu ý là Ccore C C . Đối với bài toán cân bằng vectơ nêu trên, bằng cách dùng một số khái niệm thích hợp đối với hàm vectơ như tính lồi theo nón, nửa liên tục theo nón, các tác giả của [16] đã chuyển Định lí 1 trong Blum- Oettli [3] cùng với chứng minh của nó về dạng vectơ như sau. Định lí 2.6 (Tan-Tinh [16], 1998) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Cho các không gian ,X Y và các tập D , C như trên, , :G H D D Y  là các hàm (đơn trị) thỏa mãn các điều kiện: 1) ( , ) 0,G x x x D   ; 2) G là hàm đơn điệu; 3) Với mỗi ,x y D cố định, hàm    : 0,1 (1 ) ,g t G ty t x y Y     là nửa liên tục trên theo nón C tại 0t  ; 4) Với mỗi x D cố định ,hàm  ,. :G x D Y là lồi, nửa liên tục dưới theo nón C trên D ; 5)  , 0,H x x x D   ; 6) Với mỗi y D cố định, hàm  ., :H y D Y là nửa liên tục trên theo nón C trên D ; 7) Với mỗi x D cố định, hàm  ,. :H x D Y là lồi; 8) Tồn tại một tập khác rỗng, lồi, compắc K D sao cho với mỗi x \ DK core K có Da core K thỏa mãn ( , ) ( , ) 0G x a H x a  . Khi ấy tồn tại x D sao cho ( , ) ( , ) int , ,G x y H x y C y D    ngoài ra nếu C thỏa mãn điều kiện (  ) thì tồn tại x D sao cho  ( , ) ( , ) ( \ 0 ),G x y H x y C y D    . Cũng như chứng minh Định lí 1 trong Blum-Oettli[3], Định lí 2.6 được chứng minh bởi ba bổ đề dưới đây. Bổ đề 2.5 Giả sử , , ,D K G H thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6. Khi ấy tồn tại một vectơ x K sao cho ( , ) ( , ) int , .G y x H x y C y K    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Chứng minh Với mỗi y K ta đặt  ( ) : ( , ) ( , ) intS y x K G y x H x y C    , ta có ( )S y là tập đóng trong X . Ta sẽ chỉ ra ( ) y K S y   . Cho  :iy i I là một tập hữu hạn bất kỳ của K , ở đây I là tập hữu hạn các số tự nhiên. Lấy  :iz co y i I  ta có i i i I z y   với 0, 1.i i i I      Ta có ( )i i I z S y   . Giả sử trái lại ( )i i I z S y    , điều này kéo theo    , , int , .i iG y z H z y C i I    Vậy thì  ( , ) ( , ) inti i i i I G y z H z y C    . (2.19) Theo giả thiết 2) và 4) ta có     , ( , ) ( , )i i i j i j i I i j I G y z G y y         , 1 ( , ) ( , ) 0 2 i j i j j i i j I G y y G y y      . Mặt khác theo giả thiết 5) và 7) ta có    0 , ,i i i I H z z H z y    . Kết hợp các kết quả trên ta có    , , ,i i i i i I i I G y z H z y      hay     , ,i i i i I G y z H z y C    . (2.20) Kết hợp (2.19), (2.20) ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46  ( , ) ( , ) int ( )i i i i I G y z H z y C C       , điều này vô lý. Vậy ( )i i I z S y   và  : ( )i i i I co y i I S y    , nghĩa là : 2 K S K  là ánh xạ KKM. Do ( )S y là đóng và K compắc nên theo Bổ đề Ky Fan (Chương 1) ta có ( ) . y K S y   Điều này có nghĩa tồn tại x với ( , ) ( , ) int ,G y x H x y C y K    . Bổ đề được chứng minh.  Bổ đề 2.6 Giả sử , , ,D K G H thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6, khi ấy các khẳng định sau là tương đương: 1) , ( , ) ( , ) int ,x K G y x H x y C y K     . 2) , ( , ) ( , ) int ,x K G x y H x y C y K     . Chứng minh Lấy x K sao cho ( , ) ( , ) int ,G y x H x y C y K    . Cố định y K ta đặt  (1 ) , 0,1tx ty t x t    , điều đó có nghĩa rằng tx K , với mọi  0,1t . Do đó ( , ) ( , ) intt tG x x H x x C  . Hơn nữa 0 ( , ) ( , ) (1 ) ( , )t t t tG x x tG x y t G x x   (2.21) và ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )tH x x tH x y t H x x tH x y   hay ( , ) ( , ) .ttH x y H x x C  Điều này dẫn đến  (1 ) ( , ) (1 ) ( , ) , 0,1 .tt tH x y t H x x C t      (2.22) Kết hợp (2.21) và (2.22) ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 ( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )t t ttG x y t G x x H x x t tH x y C      . Do ( , ) ( , ) intt tG x x H x x C  nên ta kết luận ( , ) (1 ) ( , ) int ,ttG x y t t H x y C   hay ( , ) (1 ) ( , ) int , (0,1].tG x y t H x y C t     Đặt ( ) ( , ) (1 ) ( , )tF t G x y t H x y   . Do giả thiết 3) nên F là nửa liên tục trên theo nón C hay nửa liên tục dưới theo nón C tại 0t  . Do đó ( ) int , (0,1]F t C t   , nên ta có (0) intF C hay ( , ) ( , ) int .G x y H x y C  Vậy ta có 1) suy ra 2). Bây giờ ta giả sử , ( , ) ( , ) int ,x K G x y H x y C y K     . Ta sẽ chứng minh ( , ) ( , ) int , .G y x H x y C y K    Giả sử rằng tồn tại y K sao cho ( , ) ( , ) intG y x H x y C  . Vậy ta có thể viết: ( , ) ( , ) ,G y x H x y  với intC . Mặt khác ( , ) ( , ) 0G x y G y x  nên ( , ) ( , )G y x G x y v   với v C . Như vậy ta có: ( , ) ( , ) int .H x y G x y v C     Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng. Vậy bổ đề được chứng minh.  Bổ đề 2.7 Giả sử ,D K thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6 và :D Y  là một hàm lồi, 0 Dx core K sao cho 0( ) 0, ( ) intx y C y K     . Khi ấy ( ) int ,y C  .y D  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Chứng minh Giả sử trái lại tồn tại \y D K với ( ) inty C  . Lấy  0 , ,z x y z  0 (1 ) , [0,1)x y     ta có 0 0( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )z x y x y          . Như vậy: 0( ) ( ) (1 ) ( ) int intz x y C C C C          . Hay nói cách khác  0( ) int , ,z C z x y    . Vì 0 Dx core K nên tồn tại  0 0 ,z x y K  . Vậy 0( ) intz C  , điều này trái giả thiết ( ) int ,y C y K    . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.6 Theo Bổ đề 2.5 tồn tại một vectơ x K sao cho ( , ) ( , ) int ,G y x H x y C y K    . Sử dụng Bổ đề 2.6 ta có ( , ) ( , ) int , .G x y H x y C y K    Ta định nghĩa hàm :D Y  xác định bởi ( ) ( , ) ( , )y G x y H x y  . Do giả thiết 4) và 7) về ,G H ta có  là lồi, theo trên ( ) int ,y C  với mọi y K . Nếu Dx core K ta chọn 0x x , trường hợp khác ta đặt 0x a , ở đây a thỏa mãn giả thiết 8). Như vậy ta luôn có 0( ) 0x  , bây giờ sử dụng Bổ đề 2.7 ta có ( ) int ,y C y D    hay Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 ( , ) ( , ) int , .G x y H x y C y D    Giả sử ngoài ra C thỏa mãn điều kiện (  ) và C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y sao cho  \ 0 intC C  thì , , , ,D K C G H thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lí 2.6 do đó ta có ( , ) ( , ) int , .G x y H x y C y D     Từ ( \{0}) intC C    ta có ( , ) ( , ) ( \{0}),G x y H x y C y D    . Định lí được chứng minh.  Một kết quả khác hợp nhất hai hướng nghiên cứu (có và không có giả thiết đơn điệu) cũng đã được thiết lập bởi Bianchi-Hadjisavass-schaible [2] (1997), ở đó các tác giả cũng xét Bài toán cân bằng (2.17) với hàm F có dạng (2.18) và dùng một khái niệm đơn điệu suy rộng. Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff, K X là một tập lồi đóng khác rỗng, Y là không gian lồi địa phương với nón thứ tự C Y nhọn, lồi, đóng, intC  và các hàm , :G H K K Y  . Hàm G được gọi là giả đơn điệu theo H (hay H -giả đơn điệu) nếu với mọi ,x y K , ( , ) ( , ) 0G x y H x y  kéo theo ( , ) ( , ) 0G y x H x y  . Dễ thấy, nếu 0H  định nghĩa trên trở thành định nghĩa giả đơn điệu thông thường của G . Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (2.17) với F có dạng (2.18) được thiết lập trong định lí sau. Định lí 2.7 ([2], 1997) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Cho các không gian ,X Y , tập K , nón C và các hàm ,G H như trên. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) ( , ) 0G x x x K  ; 2) Với mỗi y K , hàm (., )G y là hemi-liên tục; 3) G là H - giả đơn điệu; 4) Với mỗi x K , hàm ( ,.)G x là nửa liên tục dưới và lồi; 5) ( , ) 0H x x x K   ; 6) Với mỗi y K , hàm (., )H y là nửa liên tục trên; 7) Với mỗi x K , hàm ( ,.)H x là lồi; 8) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B K và 0y B sao cho 0 0( , ) ( , ) 0 \G x y H x y x K B   . Khi ấy tập nghiệm của Bài toán cân bằng : ( , ) ( , ) 0x K G x y H x y y K    (2.22 ) không rỗng và compắc. Định lí trên được chứng minh trên cơ sở ý tưởng cơ bản của chứng minh Định lí 2.4. Với mỗi y K ta đặt:     ( ) : ( , ) ( , ) 0 ; ( ) ( ) ; ( ) : ( , ) ( , ) 0 . P y x K G x y H x y Q y P y R y x K G y x H x y            Bổ đề 2.8 Nếu các Điều kiện 1)- 7) của Định lí 2.7 thỏa mãn, khi ấy ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        và mỗi giao trên là một tập đóng trong K . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 Chứng minh Trước hết ta chỉ ra: ( ) ( ) y K y K R y P y     . Lấy ( ) y K x R y    , ta có ( , ) ( , ) 0,G y x H x y y K   . Với y K bất kỳ (cố định) đặt (1 ) , (0,1)ty ty t x t    . Khi ấy ( , ) ( , ) 0, (0,1)t tG y x H x y t   , do đó (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )t t t tt G y x tG y y t H x y tG y y    . (2.23) Do điều kiện 1) và 4) ta có: 0 ( , ) ( , ) (1 ) ( , )t t t tG y y tG y y t G y x   . (2.24) Lưu ý là với , , , 0a b Y a b a   thì 0b  . Do đó, từ (2.23) và (2.24) suy ra: ( , ) (1 ) ( , ) 0t ttG y y t H x y   . (2.25) Từ điều kiện 5) và 7) ta có ( , ) ( , )tH x y tH x y . Do đó, từ (2.25) suy ra: ( , ) (1 ) ( , ) 0tG y y t H x y   . Vậy từ điều kiện 2) ta có: ( , ) ( , ) 0G x y H x y  , nghĩa là ( ) y K x P y    hay ( ) ( ) y K y K R y P y     . (2.26) Mặt khác, do G là H -giả đơn điệu (Điều kiện 3)) nên ( ) ( ),P y R y y K   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Do các điều kiện 4) và 6), ( )R y là đóng trong K , suy ra ( ) ( ) ( ),Q y P y R y y K    . Như vậy ( ) ( ) ( ),P y Q y R y y K    , do đó ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . (2.27) Từ (2.26) và (2.27) có: ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . Do ( )Q y đóng với mọi y K , nên mỗi giao trên đều là tập đóng trong K . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.7 Ta chỉ ra ( ) y K Q y   bằng Nguyên lí ánh xạ KKM. Ánh xạ : 2KP K  là ánh xạ KKM. Thật vậy, nếu trái lại sẽ có một tập hữu hạn  :iy i I K  và một  : \ ( )i i i I y co y i I P y     , nghĩa là có 0,i  1,i i i i I i I y y       sao cho ( , ) ( , ) 0,i iG y y H y y i I  . Do đó, từ tính lồi của ( ,.)G y và ( ,.)H y (Điều kiện 4), 7)) suy ra ( , ) ( , ) 0i i i I i I G y y H y y      , hay ( , ) ( , ) 0G y y H y y  . Do ( , ) 0H x x  (Điều kiện 5)) nên ( , ) 0G y y  , mâu thuẫn với Điều kiện 1). Vậy P là ánh xạ KKM. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 Do ( ) ( )P y Q y nên dễ thấy : 2 K Q K  cũng là ánh xạ KKM. Với mỗi y K , ta có ( )Q y là tập đóng. Hơn nữa do điều kiện bức (Điều kiện 8)) ta có 0( )Q y B là compắc. Do đó theo Nguyên lí ánh xạ KKM thì ( ) y K Q y   . Như vậy, theo Bổ đề 2.8 và điều kiện bức ta có tập nghiệm của Bài toán cân bằng (2.22 ) không rỗng và compắc. Định lí được chứng minh.  Nhận xét 2.6 Từ Định lí 2.6 và Định lí 2.7 ta nhận được kết quả là mở rộng vectơ (đơn trị) của Bất đẳng thức Ky Fan khi 0G  và kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ (đơn trị) đơn điệu khi 0H  . Chương 3 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ Để có thể cùng với Chương 2 đưa ra một cái nhìn chung về các nghiên cứu tồn tại nghiệm dùng Nguyên lí ánh xạ KKM đối với bài toán cân bằng vectơ, ở chương này chúng tôi đề cập đến một số kết quả nghiên cứu ở trường hợp bài toán cân bằng vectơ đa trị. Các kết quả nghiên cứu trực tiếp đối với bài toán này, theo hiểu biết của chúng tôi, còn hạn chế. Dưới đây là một số kết quả được tập hợp từ bài báo của Fu [10] và cuốn sách của Tấn- Minh [17]. 3.1. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Cho ,X Y là các không gian vectơ, Z là không gian vectơ tôpô, K X , D Y là các tập con khác rỗng và P Z là một nón nhọn lồi, đóng, xác định một thứ tự từng phần trên Z . Cho hàm đa trị : 2ZF K D . Xét bài toán cân bằng vectơ đa trị: Tìm y D sao cho ( , )F x y P với mọi x K . (3.1) Trước khi thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán trên chúng ta cần khái niệm tựa lồi chính thường đối với ánh xạ đa trị và khái niệm ánh xạ T KKM . Cho K X là một tập lồi và ánh xạ đa trị : 2ZG K  . Khi ấy G được gọi là tựa lồi chính thường nếu với mỗi , , ( ), ( )x y K u G x v G y   và [0,1]t tồn tại ( (1 ) )z G tx t y   sao cho z u hay z v . Nhận xét 3.1 Khái niệm tựa lồi trên là một mở rộng đa trị đối với khái niệm tựa lồi chính thường của hàm đơn trị: Một ánh xạ đơn trị :g K Z gọi là tựa lồi chính thường nếu với mỗi ,x y K và [0,1]t luôn có ( (1 ) ) ( )f tx t y f x   hay ( (1 ) ) ( )f tx t y f y   . Dễ thấy trong trường hợp , [0;+ )Z R P   thì khái niệm tựa lồi chính thường và khái niệm tựa lồi là tương đương. Bổ đề 3.1 Cho : 2ZG K  là ánh xạ đa trị. Khi ấy G là tựa lồi chính thường nếu và chỉ nếu với mỗi tập hữu hạn  1 2, ,..., , ( ), 0n i i ix x x K z G x t   , 1 1,2,..., , 1 n i i i n t    , luôn tồn tại 1 ( ) n i i i z G t x    và một i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55  1, 2,...,n sao cho iz z . Chứng minh Ta tiến hành chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp (chiều ngược lại là hiển nhiên). Với 2n  kết luận là đúng hiển nhiên theo định nghĩa. Giả sử rằng kết luận đúng với n m , ta phải chứng minh kết luận đúng với 1n m  . Nếu 1 1 1 1 ,..., , 0, 1, ( ), m m i i i i i x x K t t z G x        i  1,..., 1m  , ta viết 1 1 1 1 m m m m m m m m t t y x x t t t t         và 1 1 m i i i x t x     . Khi ấy 1 1 1 1 1... ( )m m m mx t x t x t t y       . Theo định nghĩa thì tồn tại ( )z G y sao cho: mz z hoặc 1mz z  . (3.2) Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại ( )z G x sao cho iz z với một i nào đó, hay z z . Nếu z z , do (3.2) ta có mz z hoặc 1mz z  . Bổ đề được chứng minh.  Cho K X là một tập lồi khác rỗng và các ánh xạ đa trị G , : 2 Y T K  . Khi ấy, G được gọi là ánh xạ T-KKM nếu với mỗi tập con hữu hạn  1 2x , ,..., nx x K luôn có  1 2 1 ( , ,..., ) ( ) n n i i T co x x x G x   . Bổ đề 3.2 (Shioji [15], 1991) Cho ,X Y là hai không gian vectơ tôpô, K X là tập lồi compắc và các ánh xạ đa trị , : 2 Y G T K  thỏa mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 1) T là nửa liên tục trên và G là T KKM ; 2) Với mỗi ; ( )x K T x là khác rỗng, lồi, compắc và ( )G x là tập đóng. Khi ấy: ( ) x K G x    . Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) được thiết lập trong định lí sau. Định lí 3.1 (Fu [10], 2000) Cho , ,X Y Z là các không gian vectơ tôpô, K X là một tập lồi compắc, khác rỗng, D Y là một tập lồi, đóng, khác rỗng và P Z là một nón nhọn lồi đóng, xác định một thứ tự từng phần trên Z . Cho : 2 D T K  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với ( )T x là một tập lồi, compắc, khác rỗng với mọi x K và : 2ZF K D  là một ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Với mỗi x K và ( )y T x có ( , )F x y P ; 2) Với mỗi x K , tập  : ( , )y D F x y P  là đóng; 3) Với mỗi y D , ánh xạ (., )F y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y D sao cho ( , )F x y P , với mọi x K . Chứng minh Ta xét ánh xạ : 2DG K  xác định bởi :  ( ) : ( , )G x y D F x y P x K     . Theo giả thiết 2), ( )G x là đóng, nên ta chỉ cần thể hiện G là ánh xạ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 T KKM . Giả sử trái lại rằng tồn tại 1 2, ,..., nx x x K và x   1 2, ,..., nco x x x thỏa mãn 1 ( ) ( ) n i i T x G x    . Khi ấy sẽ tồn tại ( )y T x sao cho 1 ( ) n i i y G x    , nghĩa là ( , )iF x y P , với mọi 1, 2,...,i n . Vậy với mỗi i tồn tại ( , )i iz F x y sao cho , 1,...,iz P i n  . (3.3) Do (., )F y là tựa lồi chính thường nên theo Bổ đề 3.1 tồn tại ( , )z F x y P  và một  1,...,i n sao cho 0 iz z  . (3.4) Kết hợp (3.3) và (3.4) ta nhận được mâu thuẫn, nghĩa là G là T-KKM, theo Bổ đề 3.2 ta có ( ) x K G x    , tức là tồn tại y D sao cho ( , )F x y P , với mọi x K . Định lí được chứng minh.  Từ Định lí 3.1 ta có hệ quả sau là dạng đa trị của Bất đẳng thức Ky Fan. Hệ quả 3.1 Cho , , ,X Z K P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1 và ánh xạ đa trị F : 2 Z K K  sao cho : 1) Với mỗi x K , có ( , )F x x P ; 2) Với mỗi x K , tập  : ( , )y K F x y P  là đóng; 3) Với mỗi y K , ánh xạ (., )F y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y K sao cho ( , )F x y P , với mọi x K . Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 Trong Định lí 3.1, lấy , ,X Y D K T I   (ánh xạ đồng nhất) ta có ngay điều cần chứng minh.  Hơn nữa, nếu F là ánh xạ đơn trị thì từ Hệ quả 3.1 ta có dạng vectơ sau của Bất đẳng thức Ky Fan. Hệ quả 3.2 Cho , , ,X Z K P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1, và ánh xạ đơn trị :f K K Z  sao cho: 1) Với mọi x K , có ( , ) 0f x x  ; 2) Với mỗi x K , tập  : ( , ) 0y K f x y  là đóng; 3) Với mỗi y K , ánh xạ (., )f y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y K sao cho ( , ) 0f x y  , với mọi x K . Nhận xét 3.2 Trong trường hợp , ( ,0], , :Z R P f g g K K R       sao cho: 1) Với mọi x K , có ( , ) 0g x x  ; 2) Với mỗi x K , hàm ( ,.)g x là nửa liên tục dưới; 3) Với mỗi y K , hàm (., )g y là tựa lõm; theo Hệ quả 3.2 ta có y K với ( , ) 0g x y  với mọi x K , nghĩa là có Bất đẳng thức Ky Fan (vô hướng). 3.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Cho ,X Y là hai không gian vectơ tôpô , tập lồi đóng D X , nón lồi đóng C Y với intC  và hàm đa trị : 2 , ( , )YF D D F x y   với mọi ,x y D . Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x D sao cho ( , ) intF x y C  với mọi y D , (3.5) trong đó F là một hàm đơn điệu. Để đưa ra kết quả tồn tại nghiệm của Bài toán (3.5) ta cần một số khái niệm. Hàm : 2YG D D  gọi là đơn điệu nếu ( , ) ( , ) ,G x y G y x C x y D     . Hàm : 2YT D gọi là C - lồi trên (C - lồi dưới) nếu ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )T x T y T x y C         ( ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )T x y T x T y C        , tương ứng). Hàm T được gọi là C - liên tục trên ( C - liên tục dưới) tại 0x D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại một lân cận U của 0x trong X sao cho với mọi x U domT  ta có 0( ) ( )T x T x V C   ( 0( ) ( )T x T x V C   , tương ứng). T được gọi là C - liên tục tại 0x nếu T vừa là C - liên tục trên vừa là C - liên tục dưới tại 0x . T được gọi là C - liên tục trên ( C - liên tục dưới, C - liên tục) trên D nếu T là C - liên tục trên ( C - liên tục dưới, C - liên tục, tương ứng ) tại mọi điểm thuộc D . Nhận xét 3.3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 a) Nếu G là đơn trị thì khái niệm đơn điệu trên chính là khái niệm đơn điệu ( theo nón C ) của hàm vectơ đơn trị (ở chương 2). b) Nếu T là đơn trị thì khái niệm C - lồi trên và C - lồi dưới là trùng nhau khi ấy T được gọi là C - lồi (hay lồi theo C ). c) Nếu T là đơn trị thì tính C - liên tục trên và C - liên tục dưới là một và khi ấy T được gọi là C - liên tục ( hay liên tục theo C ). Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán (3.5) với F G H  , trong đó G là một hàm vectơ đa trị và H là một hàm vectơ đơn trị ta có kết quả sau được phát biểu và chứng minh trong Tan-Minh [17] (2006). Định lí 3.2 Cho ,X Y là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D X là tập con lồi, đóng, khác rỗng, C Y là nón nhọn, lồi, đóng với intC  và : 2 , :YG D D H D D Y    là các hàm thỏa mãn các điều kiện sau: 1) 0 ( , )G x x với mọi x D ; 2) G là đơn điệu và ( , )G x y là compắc với mọi ,x y D ; 3) Với mỗi ,x y D cố định, hàm  : 0,1 2Yg  được xác định bởi ( ) ( (1 ) , )g t G ty t x y   là ( )C -liên tục trên tại 0t  ; 4) Với mỗi x D cố định, hàm ( ,.) : 2YG x D là C - liên tục dưới và C - lồi dưới; 5) ( , ) 0H x x  với mọi x D ; 6) Với mỗi y D cố định, hàm (., ) :H y D Y là ( )C - liên tục trên; 7) Với mỗi x D cố định, hàm ( ,.) :H x D Y là C - lồi; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 8) Tồn tại một tập lồi, compắc, khác rỗng K D sao cho với mỗi \ Dx K core K có một Da core K thỏa mãn ( , ) ( , )G x a H x a C   . Khi ấy tồn tại x K sao cho ( , ) ( , ) intG x y H x y C   với mọi y D . Nếu ngoài ra, C thỏa mãn điều kiện (  ) thì tồn tại x K sao cho  ( , ) ( , ) ( \ 0 )G x y H x y C y D     . Định lí 3.2 là một mở rộng đa trị của Định lí 2.6 (Chương 2) và được chứng minh dựa vào ý tưởng và kỹ thuật cơ bản của chứng minh Định lí 2.6. Chứng minh đầy đủ của Định lí 3.2 được trình bày trong [17]. Do khuôn khổ của luận văn, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những ý cơ bản của chứng minh định lí này. Tương tự như chứng minh Định lí 2.6, Định lí 3.2 được chứng minh qua ba bổ đề dưới đây. Trong các bổ đề này ta luôn giả thiết các điều kiện từ 1) đến 8) của Định lí 3.2 được thỏa mãn. Bổ đề 3.3 Tồn tại x K sao cho ( ( , ) ( , )) intG y x H x y C y K    . Chứng minh Với mỗi y K , đặt  ( ) : ( ( , ) ( , )) intS y x K G y x H x y C     . Từ giả thiết 2) và 5) suy ra ( )y S y , nghĩa là ( ) 0S y  với mọi y K . Do giả thiết 4) và 6) ta có ( )S y là đóng trong X . Lấy  :iy i I là một tập con hữu hạn bất kì của K ( I là tập hữu hạn bất kì của tập các số tự Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 nhiên). Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.5 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có  : ( )i i i I co y i I S y    , nghĩa là ánh xạ : 2KS K  là ánh xạ KKM. Do K là tập compắc nên theo Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra ( ) y K S y    , nghĩa là có kết luận của Bổ đề 3.3.  Bổ đề 3.4 Nếu x K thỏa mãn ( ( , ) ( , )) int ,G y x H x y C y K     , (3.6a) thì ( , ) ( , ) int ,G x y H x y C y K     . (3.6b) Chứng minh Lấy x K sao cho ( ( , ) ( , )) int ,G y x H x y C y K     . Với y K bất kì, cố định, đặt (1 ) , [0,1]tx ty t x t    . Do tx K với mọi [0,1]t nên ( ( , ) ( , )) intt tG x x H x x C  . Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có (1 ) ( , ) ( , ) inttt H x y G x y C    với 0t  . (3.7) Do tính liên tục của hàm ( , )tG x y theo t tại 0t  (Giả thiết 3)), từ (3.7) ta được ( , ) ( , ) intH x y G x y C   . Vì y K là bất kì nên có khẳng định của bổ đề.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 Lưu ý là Bổ đề 3.4 ở trên chỉ khẳng định Điều kiện (3.6a) suy ra Điều kiện (3.6b), trong khi đó ở trường hợp đơn trị, Bổ đề 2.6 chỉ ra sự tương đương giữa hai điều kiện tương ứng (Điều kiện 1) và 2) của bổ đề này). Bằng lập luận tương tự như chứng minh Bổ đề 2.7, ta có kết quả sau. Bổ đề 3.5 Nếu : 2YD  là C - lồi dưới và có các tính chất: 1) Tồn tại 0 Dx core K với 0( )x C   ; 2) ( ) inty C y K     , thì ( ) inty C y D     . Chứng minh Định lí 3.2 Theo Bổ đề 3.3 tồn tại x K sao cho ( ( , ) ( , )) intG y x H x y C y K    . Theo Bổ đề 3.4 thì ( , ) ( , ) int ,G x y H x y C y K     . Đặt ( ) ( , ) ( , ),y G x y H x y y D   . Áp dụng Bổ đề 3.5 đối với hàm : 2YD  và sử dụng lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có kết luận của Định lí 3.2.  Trong trường hợp 0H  , Định lí 3.2 cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu. Kết quả này được phát biểu thành định lí dưới đây. Định lí 3.3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 Cho các không gian ,X Y , tập D , nón C và hàm G như ở Định lí 3.2 sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1) 0 ( , )G x x với mọi x D ; 2) G là đơn điệu và ( , )G x y là compắc với mọi ,x y D ; 3) Với ,x y D bất kì, cố định, hàm Y:[0,1] 2g  được định nghĩa bởi ( ) ( (1 ) , )g t G ty t x y   là ( )C - liên tục trên tại 0t  ; 4) Với mỗi x D cố định, hàm ( ,.) : 2YG x D là C - lồi dưới và C - liên tục dưới; 5) Điều kiện bức: Tồn tại tập lồi, compắc, khác rỗng K D sao cho với mỗi \ Dx K core K có một Da core K thỏa mãn ( , ) ( )G x a C  . Khi ấy tồn tại x K sao cho ( , ) int ,G x y C y D    . Nếu ngoài ra, nón C thỏa mãn Điều kiện (  ) thì tồn tại x K sao cho  ( , ) ( \ 0 ),G x y C y D    . Nhận xét 3.3 1) Nếu G là hàm đơn trị thì từ Định lí 3.2 ta nhận được điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ đơn trị (2.17) với F có dạng (2.18). Trong trường hợp ,Y R C R  , điều kiện đủ này là kết quả của Blum- Oettli [3] cho bài toán cân bằng vô hướng. 2) Nếu G là đơn trị thì từ Định lí 3.3 ta nhận được một kết quả về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ đơn trị đơn điệu (được xét ở Chương 2) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn điệu bằng cách dùng Nguyên lí ánh xạ KKM, ngoài cách tiếp cận trực tiếp như ở một số kết quả nghiên cứu được trình bày ở chương này và chương trước, chúng tôi muốn lưu ý đến một cách tiếp cận gián tiếp là chuyển bài toán vectơ về bài toán vô hướng. Cách tiếp cận này được Oettli [14] đưa ra năm 1997 với một số kết quả ở bài toán vectơ đơn trị và với một số gợi ý nghiên cứu đối với bài toán vectơ đa trị. Ở đây, chúng tôi không đi sâu vào cách tiếp cận này. KẾT LUẬN  Luận văn này trình bày một số điểm cơ bản về Nguyên lí ánh xạ KKM ở không gian vectơ tôpô trong liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải tích phi tuyến là Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM và Bất đẳng thức Ky Fan (Chương 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66  Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM ở các trường hợp có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu (Chương 2).  Một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị ở các trường hợp đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu cũng được đề cập trong luận văn (Chương 3).  Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận văn về bài toán cân bằng vectơ được tập hợp từ một số bài báo công bố trong khoảng mười năm gần đây. Các kết quả này được lựa chọn và trình bày theo cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM và dựa vào ý tưởng cũng như kĩ thuật cơ bản ở bài toán cân bằng vô hướng. Luận văn là một bổ xung vào tài liệu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với cách tiếp cận này. Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong được các thày, cô giáo và bạn đọc chỉ giáo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Q. H. Ansari- I. V. Konov- J. C. Yao, Existence of a Solution and Variattional Principles for vector Equilibrium Problems, J. Optim. Theory Appl, Vol. 110 (2001), 481- 492. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 [2] M. Bianchi, N. Hadjisavvas and S. Schaible, Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, J. Optim. Theory Appl, Vol. 92 (1997), 527- 542. [3] E. Blum and W. Oettli, From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, Mathematics Student, Vol. 63(1993), 1-23. [4] H. Brezis, L. Nirenberg and G. Stampacchia, A Remark on Ky Fa n s Minimax Principle. Boll. Un. Mat. Ital. Vol. 6(1972). 293-300. [5] L. E. J. Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71 (1912), 97-115. [6] O.Chali, Z. Chbani and H.Riahi, Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions and Applications to Variational Inequalities, J. Optim. Theory Appl. Vol. 105(2000), 299-323. [7] X.P. Ding and K.K.Tan, A Minimax Inequality with Applications to Existence of Equilibrium Point and Fixed Point Theorems, Colloquium Mathematicum, Vol. 63 (1992), 233-247. [8] K. Fan. A Generalization of Tychonoff s Fixed Point Theorem, Math. Ann. 142 (1961), 305-310. [9] K. Fan, A Minimax Inequality and Applications. In: Inequalities III, ed. by O. Shisha, A cademic, Press, New York- Lon don (1972), 103-113. [10] Sun-Yi Fu, Generalized Vector Quasi-Equilibrium Problems, Math. Meth. Oper. Res. Vol. 52(2000), 57- 64. [11] B. Knaster, K. Kuratowski and S. Mazurkiewicz, Ein Beweis des Fixpunktsatzes f ur n-Dimensionale Simplexe, Fund. Math. 14 (1929), 132- 137. [12] G. Minty, Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert space, Duke Math. Journal, Vol. 29 (1962), 341-346. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 [13] U. Mosco, Implicit Variational Problems and Quasi- Variational Inequalities, Lecture Notes in Mathematics, Spriger- Verlag, Vol. 543 (1976), 83- 156. [14] W. Oettli, A Remark on Vector-Valued Equilibria and Generalized Monotonicity, Acta Mathematica Vietnama, Vol. 22(1997), 213-221. [15] N. Shioji, A Further Generalization of the Knaster- Kuratowski- Marurkiewicz Theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 111, (1991), 187- 195. [16] N. X. Tấn and P. N. Tĩnh, On the Exitstence of Equilibrium Points of Vector Functions, Numer. Funct. Anl. Optim. Vol. 19 (1998), 141- 156. [17] N.X.Tấn và N.B.Minh, Một số vấn đề trong lí thuyết tối ưu vectơ đa trị, NXB Giáo dục, 2006. [18] Đ.H.Tân và N.T.T.Hà, Các định lí điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm, 2003.