Luận văn Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay robot bằng phương pháp quy hoạch phi tuyến

Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐHKT CƠNG NGHIỆP CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -----------***----------- THUYẾT MINH LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO CÁNH TAY ROBOT BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH PHI TUYẾN Học viên: Nguyễn Trung Thành Lớp: CH K10 Chuyên ngành: Tự động hố Người HD Khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Cơng HIỆU TRƯỞNG KHOA ĐT SAU ĐH CB HƯỚNG DẪN PGS.TS Nguyễn Hữu Cơng HỌC VIÊN Nguyễn Trung Thành Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CƠNG NGHIỆP ----------------***---------------- LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGÀNH: TỰ ĐỘNG HỐ Mã ng ành: 605260 NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO CÁNH TAY ROBOT BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH PHI TUYẾN NGUYỄN TRUNG THÀNH THÁI NGUYÊN 2009 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 LỜI CAM ĐOAN Tên tơi là: Nguyễn Trung Thành Sinh ngày 13 tháng 11 năm 1980 Học viên lớp Cao học Khố 10 Chuyên ngành Tự động hố- Trƣờng Đại Học Kỹ Thuật Cơng Nghiệp Thái Nguyên Đơn vị cơng tác: Trƣờng Đại học Kỹ thuật Cơng nghiệp Thái Nguyên Xin cam đoan: Đề tài: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến’’ do PGS.TS. Nguyễn Hữu Cơng hƣớng dẫn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Tất cả các tài liệu tham khảo đều cĩ nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 10 năm 2009 Tác giả Nguyễn Trung Thành Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỤC LỤC Lời cam đoan ................................................................................................. 1 Mục lục ......................................................................................................... 2 Danh mục các thuật ngữ, kí hiệu, từ viết tắt.................................................. 5 Danh mục các bảng biểu ............................................................................... 7 Danh mục các hình vẽ, đồ thị ........................................................................ 8 Lời nĩi đầu .....……………………………………………………………… 9 CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU…………. 11 1.1. Địnhnghĩa.................................................................................................. 11 1.2. Điều kiện hạn chế ………………………………………………………. 11 1.3. Bài tốn điều khiển tối ƣu…………………………...…………………. 12 1.3.1. Điều khiển tối ƣu tĩnh………………………………………….…….. 12 1.3.1.1. Mơ tả tốn học……………………………………...……….……… 13 1.3.1.2. Biểu diễn hình học…………………………………………….……. 13 1.3.1.3. Giả thiết cho lời giải ………………………………………….……. 14 1.3.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm…………………………………… 16 1.3.2. Điều khiển tối ƣu động……………………………………..………… 24 1.3.2.1. Phƣơng pháp biến phân………………………………………..……. 24 1.3.2.2. Phƣơng pháp quy hoạch động của Bellman…………………..…… 29 1.3.2.3. Nguyên lý cực đại…………….……………………………………. 34 CHƢƠNG 2: ROBOT CƠNG NGHIỆP VÀ GIỚI THIỆU BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐỘNG HỌC NGƢỢC ROBOT................................. 39 2.1. Tổng quan về robot cơng nghiệp.............................................................. 39 2.1.1. Tự động hĩa và robot cơng nghiệp………………….………………... 43 2.1.2. Các đặc tính của robot cơng nghiệp…………………….……………. 45 2.1.2.1. Tải trọng…………………………………………….……………… 45 2.1.2.2. Tầm với ……………………………………………….…………… 45 2.1.2.3. Độ phân giải khơng gian…………………………………………… 45 2.1.2.4. Độ chính xác………………………………………………………. 46 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 2.1.2.5. Độ lặp lại …………………………………………….……………. 47 2.1.2.6. Độ nhún …………………………………………………………… 47 2.2. Chất lƣợng quá trình làm việc và các thơng số điều khiển …………… 48 2.2.1. Yêu cầu về chất lƣợng trong điều khiển Robot……………….……… 48 2.2.2. Giới thiệu bài tốn điều khiển động học ngƣợc Robot …………....... 49 2.2.3. Bài tốn động học trên quan điểm điều khiển thời gian thực ………. 54 2.2.3.1. Yêu cầu về thời gian thực trong điều khiển động học robot ……… 54 2.2.3.2. Hiệu quả giải thuật trên quan điểm điều khiển thời gian thực…….. 56 CHƢƠNG 3: GIẢI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU CHO CÁNH TAYROBOT........................................................................... 58 3.1. Thành lập bài tốn điều khiển…………………………………………. 58 3.1.1. Mơ hình đối tƣợng………………………………………..……….…. 58 3.1.2. Phiếm hàm mục tiêu …………………………………………………. 61 3.1.2.1. Bài tốn tối ƣu về độ chính xác về vị trí và hƣớng của khâu chấp hành………………………………………………………………… 61 3.1.2.2. Bài tốn di chuyển tối thiểu……………………………………..….. 62 3.1.3. Điều kiện giới hạn của các biến............................................................. 63 3.2. Khả năng ứng dụng của giải thuật trên máy tính…………………….… 64 3.3. Thành lập bài tốn cho một số dạng robot……………………………... 65 3.3.1. Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay)…………………………... 65 3.3.1.1. Phƣơng trình động học (Mơ hình tốn học)....................................... 65 3.3.1.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 66 3.3.1.3. Điều kiện hạn chế .............................................................................. 67 3.3.2. Robot Elbow (Sáu bậc tự do tồn khớp quay)……………….…….…. 67 3.3.2.1. Phƣơng trình động học (Mơ hình tốn học) ...................................... 67 3.3.2.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 68 3.3.2.3. Điều kiện hạn chế ……………..................…………………..…..… 69 3.3.3. Robot Puma (Sáu bậc tự do tồn khớp quay)………………………… 69 3.3.3.1. Phƣơng trình động học (Mơ hình tốn học) .....………………….… 69 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 3.3.3.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 71 3.3.3.3. Điều kiện hạn chế ............................................................................. 71 3.4. Giới thiệu bài tốn quy hoạch phi tuyến với ràng buộc dạng chuẩn và nghiệm tối ƣu của nĩ ..................................................................……. 72 3.4.1. Bài tốn quy hoạch phi tuyến ………….…....................................... 72 3.4.2. Nhận định chung ................................................................................... 72 3.4.3. Tính chính xác ...................................................................................... 73 3.5. Lời giải bài tốn điều khiển tối ƣu cho Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay)........................................................................................... 73 3.5.1. Khởi tạo một số ma trận thế ngẫu nhiên cho lời giải……………….... 74 3.5.2. Ứng dụng Optimization Toolbox trong Matlab để giải bài tốn……... 74 3.5.2.1.Giới thiệu Optimization Toolbox trong Matlab…………………….. 74 3.5.2.2. Sử dụng Optimization Toolbox trong Matlab để giải bài tốn……... 77 3.5.3. Ứng dụng phƣơng pháp giải thuật di truyền (GA) giải bài tốn …..… 79 3.5.3.1. Giới thiệu phƣơng pháp giải thuật di truyền (GA)…………….…… 79 3.5.3.2. Các kỹ thuật trong giải thuật di truyền GA………………………… 80 3.5.3.3. Giải bài tốn bằng phƣơng pháp di truyền (GA)………….……..… 84 3.5.4. Sử dụng phƣơng pháp khai triển thành đa thức để giải bài tốn……… 86 3.5.4.1. Đặt vấn đề………………………………………………………...… 86 3.5.4.2. Đa thức nội suy ……………………………………………….…..… 87 3.5.4.3. Đa thức nội suy Lagrange .......................................................... 88 3.5.4.4. Áp dụng cho bài tốn cụ thể………………………………………... 88 CHƢƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………… 92 4.1. Các kết quả nghiên cứu của Luận văn…………………………..…..….. 92 4.2. Một số kiến nghị cho hƣớng nghiên cứu tiếp theo…………………...… 93 Tài liệu tham khảo………………………………………………………...… 94 Tĩm tắt………………………………………………………………….…... 97 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ, KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT TT KÝ HIỆU DIỂN GIẢI NỘI DUNG ĐẦY ĐỦ ĐƠN VỊ 1 a(…) Approach (Vectơ hƣớng tiếp cận vật thể của bàn kẹp) 2 an Lƣợng tịnh tiến dọc theo trục ox mm 3 Ai Ma trận truyền giữa khâu (i-1) và khâu (i) 4 aij Hệ số thứ (i) của đa thức nội suy thứ (j) 5 A T Transpose (A) 6 αn Gĩc quay quanh trục ox rad 7 D Miền thoả mãn của ràng buộc vậy lý của các khớp 8 DH Denavit-Hartenbeg 9 dn Lƣợng tịnh tiến dọc theo trục oz mm 10 E Véctơ mơ tả mũi dụng cụ(hoặc tâm bàn kẹp) trong hệ quy chiếu chung 11 ε Sai lệch tuyệt đối cho phép của hàm muc tiêu 12 GA Genetic Algorithms 13 IR Industrian Robot 14 J Vectơ định vị điểm đặt robot so với hệ quy chiếu chung 15 li Lower bound (i) 16 MRO Minimal Represent Orient 17 n(…) Normal (Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa s, a) 18 n Số bậc tự do của robot 19 NC Numerical Control 20 qi Biến khớp thứ (i) 21 s(…) Sliding (Vectơ hƣớng đĩng mở bàn kẹp) 22 o Tn Phƣơng trình động học thuận Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 23 i-1 Ti Biểu diễn của hệ quy chiếu (i) trong hệ quy chiếu (i-1) 24 ui Upper bound (i) 25 θn Gĩc quay quanh trục oz rad 26  Vectơ gradien Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU KÝ HIỆU NỘI DUNG BẢNG BIỂU TRANG 2.1 Số lượng Robot sản xuất ở một số nước cơng nghiệp phát triển 41 3.1 Bảng DH robot Elbow 68 3.2 Bảng DH robot Puma 70 3.3 Kết quả bài tốn ngược cơ cấu 3 khâu phẳng giải bằng hàm fmincon 79 3.4 Kết quả giải bài tốn ngược cơ cấu 3 khâu phẳng bằng phương pháp Giải thuật di truyền GA 86 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ KÝ HIỆU NỘI DUNG HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ TRANG 1.1 Đồ thị hàm mục tiêu 14 1.2 Minh họa cơng thức biến phân 26 1.3 Mơ tả nguyên lý tối ưu Bellman 30 1.4 Nguyên lý cực đại là trường hợp tổng quát của cơng thức biến phân 37 2.1 Quan hệ số loại và số lượng sản phẩm ứng với các dạng tự động hĩa 44 2.2 Minh họa độ chính xác và độ phân dải điều khiển 46 2.3 Các dạng sai số lặp lại 48 2.4 Trễ trong hệ thống điều khiển số 49 2.5 Sơ đồ điều khiển trong khơng gian khớp 50 2.6 Sơ đồ điều khiển trong khơng gian cơng tác 50 2.7 Chiều dài và gĩc xoắn của một khâu 51 2.8 Các thơng số của khâu θ, d, a và α 52 3.1 Các vectơ định vị trí và định hướng của bàn tay máy 59 3.2 Sơ đồ động học cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay) 65 3.3 Sơ đồ động học Robot Elbow 67 3.4 Sơ đồ động học Robot Puma 69 3.5 Sơ đồ cấu trúc kỹ thuật trong giải thuật di truyền 80 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 LỜI NĨI ĐẦU Khoa học kỹ thuật và cơng nghệ ở các nước trong khu vực và trên thế giới đang trong thời kỳ phát triển như vũ bão đã đưa Việt Nam đứng trước rất nhiều thời cơ vận hội và thách thức mới trên con đường hội nhập với nền kinh tế thế giới. Để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội, phục vụ cơng cuộc đổi mới của đất nước địi hỏi đội ngũ các nhà khoa học, cán bộ kỹ thuật và cơng nhân lành nghề phải khơng ngừng nghiên cứu, học tập nâng cao trình độ để kịp thời tiếp cận làm chủ các kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại và cơng nghệ tiên tiến. Các khố đào tạo thạc sỹ tại Trường Đại học Kỹ Thuật Cơng Nghiệp Thái Nguyên nhằm đào tạo những cán bộ khoa học cĩ trình độ cao để tiếp thu và làm chủ kỹ thuật hiện đại để phục vụ cho cơng tác nghiên cứu, giảng dạy và sản xuất. Là một giáo viên giảng dạy tại một trường kỹ thuật tơi rất vinh dự được học tập tại khố đào tạo thạc sỹ khố 10 của trường. Để đánh giá kết quả học tập trong tồn khố học tơi được giao đề tài luận văn tốt nghiệp: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến” Trong quá trình cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước, các ngành cơng nghiệp đang phát triển hết sức nhanh chĩng, nhiều nhà máy xí nghiệp được xây dựng với quy mơ và cơng nghệ hiện đại, tiên tiến đáp ứng được nhu cầu của tình hình sản xuất hiện nay. Trong đĩ phải kể đến sự tiến bộ vượt bậc của khoa học kỹ thuật, nhất là sự ra đời của máy tính và cơng nghệ thơng tin đã tạo tiền đề cho sự phát triển mạnh mẽ của nền sản xuất cĩ tính chất tự động hố cao, đã dần thay thế sức lao động của con người đồng thời hiệu quả của nĩ đem lại cho nền kinh tế là rất lớn. Hiện nay sự xuất hiện của các Robot trong các ngành cơng nghiệp, cũng như trong đời sống sinh hoạt đã trở nên phổ biến. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vục khác nhau, đặc biệt trong các ngành sản xuất cĩ tính dây truyền và cơng nghệ cao. Robot đĩng vai trị quan trọng, chúng vừa đảm bảo độ chính xác vừa đảm bảo tính liên tục của dây truyền mà với con người hay những máy mĩc thơng Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 thường khĩ cĩ thể đạt được. Đồng thời nĩ cĩ thể thay thế con người làm việc trong những mơi trường độc hại, nơi con người khĩ cĩ thể đặt chân tới như vũ trụ… Nĩi chung, ứng dụng của Robot là hết sức to lớn, vì vậy mà trong tương lai đây là nhân tố rất quan trọng trong sự phát triển của các ngành sản xuất của nền kinh tế hiện đại. Do vậy việc nghiên cứu các vấn đề về Robot mang tính thời sự. Để Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến, luận văn của tơi gồm bốn chương: Chƣơng 1: Giới thiệu chung về điều khiển tối ưu Chƣơng 2: Robot cơng nghiệp và giới thiệu bài tốn điều khiển động học ngược robot Chƣơng 3 Giải bài tốn điều khiển tối ưu cho cánh tay robot Chƣơng 4: Kết luận và kiến nghị Đề tài đã được hồn thành đúng thời hạn dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Hữu Cơng - Trưởng Khoa Điện Tử - Trường Đại học Kỹ thuật Cơng nghiệp Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp cùng sự nỗ lực của bản thân. Tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, các thầy giáo, cơ giáo thuộc trường Đại học kỹ thuật Cơng nghiệp Thái Nguyên đã giúp đỡ tơi trong quá trình học tập cũng như quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn. Vì nhiều điều kiện khách quan và khả năng của bản thân, luận văn hồn thành chắc chắn cịn thiếu sĩt. Rất mong sự gĩp ý của các thầy cơ giáo và các bạn đồng nghiệp. Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Trung Thành Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 CHƢƠNG 1 : GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU 1.1. Định nghĩa Điều khiển tối ưu là một chuyên ngành cơ bản trong điều khiển tự động, nĩ cĩ vai trị xác định và tạo lập những luật điều khiển cho hệ thống để hệ thống đạt được chỉ tiêu về tính hiệu quả đã được định trước dưới dạng ( phiếm) hàm mục tiêu Q. Trong thực tế tồn tại các bài tốn điều khiển tối ưu như sau: - Bài tốn tối ưu cực tiểu: + Xác định tham số của mơ hình sao cho bình phương sai lệch trung bình giữa mơ hình và đối tượng đạt giá trị nhỏ nhất, ví dụ như huấn luyện mạng nơ-ron, nhận dạng đối tượng, ... + Điều khiển một quá trình đạt chỉ tiêu chất lượng, kỹ thuật cho trước sao cho tổn hao năng lượng là nhỏ nhất. + Tạo ra một sản phẩm đạt chỉ tiêu chất lượng cho trước nhưng chi phí là nhỏ nhất. + Bài tốn tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ, ví dụ như xác định quĩ đạo chuyển động của cánh tay robot, đường đi thu rác, thu tiền điện, thu tiền nước, đi chào hàng ... - Bài tốn tối ưu cực đại. + Tạo ra sản phẩm với chi phí cho trước, nhưng cĩ chất lượng cao nhất. + Bài tốn tìm đường căng. - Bài tốn tối ưu tác động nhanh: Thời gian xảy ra quá trình là ngắn nhất, ví dụ như điều khiển tên lửa. 1.2. Điều kiện hạn chế Cho hệ thống nhiều đầu vào và nhiều đầu ra, được mơ tả bởi hệ các phương trình như sau: y = f(x,u) được gọi là mơ hình tốn học u = (u1 u2 . . . ur) T là các đầu vào x = (x1 x2 . . . xn) T là các trạng thái Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 y = (y1 y2 . . . ym) T là các đầu ra Do bài tốn tối ưu được thực hiện trên mơ hình hệ thống, cho nên lời giải của bài tốn tối ưu phụ thuộc vào độ chính xác của mơ hình hệ thống. Những tín hiệu khơng thể mơ tả được trong các phương trình trên sẽ được coi là nhiễu tác động. 1.3. Bài tốn điều khiển tối ƣu Bài tốn tối ưu được xây dựng dựa trên các giả thiết sau: + Cĩ một mơ hình tốn học. + Khơng cĩ nhiễu tác động. + Biết các điều kiện biên của mơ hình như : điểm làm việc, thời gian làm việc của hệ thống. + Biết miền giá trị cho phép của các đầu vào u. + Biết hàm mục tiêu Q mơ tả tính hiệu quả mà hệ thống cần đạt được. Mục đích của điều khiển tối ưu là tìm tín hiệu tối ưu u* để hàm mục tiêu Q đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Với những giả thiết này cĩ rất nhiều phương pháp giải bài tốn điều khiển tối ưu khác nhau. Trong nội dung của Luận văn sẽ giới thiệu các phương pháp cơ bản nhất của lĩnh vực điều khiển tối ưu, được chia thành hai nhĩm chính như sau: + Điều khiển tối ưu tĩnh. + Điều khiển tối ưu động. 1.3.1. Điều khiển tối ƣu tĩnh Bài tốn điều khiển tối ưu tĩnh là bài tốn trong đĩ quan hệ vào, ra và biến trạng thái của mơ hình khơng phụ thuộc vào thời gian. Giá trị đầu ra tại một thời điểm chỉ phụ thuộc vào các đầu đầu vào và trạng thái tại thời điểm đĩ. Mơ hình hệ thống được cho như sau: yk = fk(u1, u2, . . .ur), với k = 1, 2, . . ., m, viết gọn lại thành y = f(u). Hàm mục tiêu như sau: Q = Q(u,y). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Thay y = f(u) vào hàm mục tiêu được: Q = Q(u,y) = Q(u,f(u)) = Q(u), như vậy Q chỉ phụ thuộc vào các đầu vào và đầu ra. 1.3.1.1. Mơ tả tốn học Mơ hình hệ thống cĩ dạng như sau: y = f(u) với Uu u = (u1 u2 . . . ur) T các đầu vào y = (y1 y2 . . . ym) T các đầu ra U là miền thích hợp của các biến đầu vào, được định nghĩa như sau:  rkuuuuuuuU kkkTđ  1;)...,,( maxmin21 Hàm mục tiêu cĩ dạng như sau: Q = Q(u,y) = Q(u,f(u)) = Q(u) Khơng mất tính tổng quát nếu giả thiết tiêu chuẩn tối ưu là: Q(u) min Bài tốn điều khiển tối ưu tĩnh được phát biểu như sau: Tìm tín hiệu tối ưu u * U , sao cho Q(u *) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đĩ, ta cĩ )1()()( * UuuQuQ  Nếu u* thoả mãn (1) với mọi u thuộc U, thì u* được gọi là véc tơ tối ưu tồn cục. Nếu u* thoả mãn (1) với mọi u thuộc lân cận u*, thì u* được gọi là véc tơ tối ưu cục bộ. 1.3.1.2. Biểu diễn hình học Xét hệ thống cĩ hai tín hiệu đầu vào u1 và u2. Hàm mục tiêu Q chỉ phụ thuộc vào u1 và u2, Q = Q(u1,u2). Giả thiết hàm mục tiêu Q cĩ đồ thị như hình 1.1. Vậy điểm tối ưu u* =       * 2 * 1 u u là điểm thuộc mặt phẳng (u1,u2), tại đĩ mặt cong Q ở điểm thấp nhất. Điểm A là điểm tối ưu cục bộ, điểm B là điểm yên ngựa và điểm C là điểm tối ưu tồn cục. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng (u1,u2), tại các điểm đĩ hàm mục tiêu Q cĩ cùng giá trị được gọi là đường đồng mức. 1.3.1.3. Giả thiết cho lời giải a. Bài tốn tối ƣu khơng cĩ giới hạn - Nghiệm u* của bài tốn tối ưu khơng cĩ giới hạn là một điểm cực trị. Các điểm cực trị thoả mãn hệ phương trình vi phân rk u Q k ...,2,10    hay 0),...,,( 21           T ru Q u Q u Q u Q - Tại mỗi điểm u của mặt cong Q tồn tại véc tơ đạo hàm riêng u Q   , ký hiệu là u Q gradQ    , véc tơ đạo hàm riêng grad Q cĩ các tính chất sau: + Cĩ phương vuơng gĩc với mặt cong Q. + Cĩ hướng chỉ chiều tăng giá trị của các đường đồng mức. C B A u1 u2 O Q đường đồng mức Hình 1.1: Đồ thị hàm mục tiêu Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 + Cĩ độ lớn thể hiện tốc độ tăng hay giảm giá trị của Q. Do đĩ tại điểm cực trị của mặt cong Q phải cĩ grad Q = 0 (*). Hệ phương trình này chỉ là điều kiện cần để tìm nghiệm tối ưu u*. Để giải hệ phương trình (*) sẽ gặp những vấn đề sau: + Hệ phương trình (*) là hệ phi tuyến, dẫn đến việc giải trực tiếp khĩ thực hiện được. + Cĩ nhiều điểm u* thoả mãn hệ phương trình (*) nhưng khơng phải là nghiệm tối ưu. Thực tế, các phương pháp gần đúng được sử dụng nhiều hơn, theo thuật tốn tìm nghiệm từng bước. Thuật tốn tìm nghiệm từng bước. + Bước 1: Cho 0 bé tuỳ ý, chọn u0 bất kỳ. Thực hiện các bước sau với k = 1, 2 ... + Bước 2: Xác định hướng tìm và khoảng cách bước tìm. + Bước 3: Tìm uk theo hướng tìm và khoảng cách bước tìm. + Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Nếu || uk - uk-1 ||   chuyển sang bước 5. Nếu || uk - uk-1 || >  quay về bước 2. + Bước 5: Nghiệm tối ưu gần đúng là u* = uk với độ chính xác là  . b. Bài tốn tối ƣu cĩ giới hạn Bản chất là tìm nghiệm tối ưu u* gần đúng cho bài tốn mà u bị giới hạn bởi miền thích hợp U. Thuật tốn tìm nghiệm từng bước về cơ bản cũng giống như trên, nhưng cần phải chú ý các trường hợp sau: Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 + Nếu nghiệm tối ưu u* khơng nằm trên biên của U thì grad Q = 0 vẫn là điều kiện cần để tìm u*. + Nếu trong miền thích hợp U khơng tồn tại nghiệm u* thoả mãn điều kiện gradQ = 0, khi đĩ nghiệm tối ưu u* nằm trên biên của U và tại điểm u* véc tơ đạo hàm riêng grad Q phải cĩ hướng vào trong miền U. Thuật tốn tìm nghiệm tối ưu u* cho bài tốn tối ưu cĩ giới hạn: + Bước 1: Cho 0 bé tuỳ ý, chọn u0 bất kỳ. Thực hiện các bước sau với k = 1, 2 ... + Bước 2: Xác định hướng tìm và khoảng cách bước tìm thích hợp để cho Uu k  . + Bước 3: Tìm uk theo hướng tìm và khoảng cách bước tìm. + Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Nếu || uk - uk-1 ||   chuyển sang bước 5. Nếu || uk - uk-1 || >  quay về bước 2. + Bước 5: Nghiệm tối ưu gần đúng là u* = uk với độ chính xác là  . 1.3.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm a. Phƣơng pháp khơng dùng đạo hàm riêng a.1. Đặt vấn đề Việc tìm u* thơng qua hệ phương trình vi phân grad Q = 0 ,(*) khơng phải là tốt nhất cho mọi trường hợp vì những lý do sau: + Hệ phương trình (*) cĩ thể rất phức tạp. + Hàm mục tiêu Q cĩ thể tồn tại nhiều điểm cực trị tại điểm đĩ luơn thoả mãn hệ phương trình (*). + Khơng phải hàm mục tiêu nào cũng khả vi. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Chính vì những lý do này, mà cần phải cĩ các phương pháp tìm nghiệm tối ưu u* mà khơng dùng véc tơ đạo hàm riêng (gradient). a.2. Phƣơng pháp Gauss/ Seidel Cho mơ hình hệ thống y = f(u). Hàm mục tiêu được định nghĩa là Q = Q(u). Tìm u * để cho Q đạt giá trị nhỏ nhất, tức là Q min . Giả sử u* nghiệm tối ưu thoả mãn Q min , ký hiệu u* = argminQ. Nội dung của phương pháp Gauss/Seidel. + Hướng tìm được chọn song song với các trục toạ độ ui với i = 1, 2, ..., r. Kí hiệu hướng tìm ở bước thứ k là hk. + Khoảng cách bước tìm ở bước thứ k được ký hiệu là sk, sk được xác định như sau: )(minarg* kkkk hsuQs  Thuật tốn tìm nghiệm của Gauss/Seidel. + Bước 1: Cho 0 bé tuỳ ý, chọn u0 bất kỳ. Thực hiện các bước sau với k = 0, 1, 2 ... + Bước 2: - Xác định hướng tìm hk:                  0 . 1 . 0 0 kh , hk là véc tơ cĩ r hàng, chỉ cĩ hàng thứ k + 1 cĩ giá trị bằng 1, các hàng khác đều bằng khơng. - Xác định khoảng cách bước tìm sk: sk được xác định sao cho hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất trên hướng tìm hk. sk * = argminQ(uk + skhk) + Bước 3: uk+1 = uk + sk * hk + Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Nếu || uk+1 - uk ||   chuyển sang bước 5. Nếu || uk+1 - uk || >  quay về bước 2. + Bước 5: Nghiệm tối ưu gần đúng là u* = uk+1 Ví dụ: Cho hàm mục tiêu Q = 32 22 2 1  uu , tìm u * để cho Q → min Bước 1: Cho 310 , chọn        1 1 0u k = 0. Bước 2: Chọn        0 1 0h                     1 1 0 1 1 1 0 00001 s shsuu Q(u1) = 32)1( 20  s , ta cĩ 0)1(2 )( 0 0 1    s s uQ , suy ra s0 = -1 Vậy s0 * = argminQ(u1) = -1 Bước 3:                           1 0 1 1 0 1 1 1 0 00001 s shsuu Bước 4: ||u1 - u0|| = 1 >  quay về bước 2 k =1. Bước 2: Chọn        1 0 0h                     1 11112 1 0 1 0 1 0 s shsuu Q(u2) = 3)1(20 21  s , ta cĩ 0)1(4)( 1 1 2    s s uQ , suy ra s1 = -1 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Vậy s1 * = argminQ(u2) = -1 Bước 3:               0 0 1 0 * 1 2 s u Bước 4: ||u2 - u1|| = 1 >  quay về bước 2 k = 2. Bước 2: Chọn        0 1 2h                    10 1 1 0 2 22223 s shsuu Q(u3) = 30.222 s , ta cĩ 02 )( 2 2 3    s s uQ , suy ra s2 = 0 Vậy s2 * = argminQ(u3) = 0 Bước 3:              0 0 0 * 2 2 s u Bước 4: ||u3 - u2|| = 0 <  chuyển sang bước 5 Bước 5: u * = u3 =       0 0 Sau hai vịng tính ta đã tìm được nghiệm tối ưu u* = u2. Ưu điểm của phương pháp là: nếu hệ thống cĩ r đầu vào, hàm mục tiêu cĩ dạng chính phương thì nghiệm tối ưu u* sẽ được tìm thấy sau đúng r vịng. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 b. Phƣơng pháp Newton-Raphson b.1. Nội dung của phƣơng pháp Phương pháp tìm nghiệm tối ưu sử dụng đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm mục tiêu nên phải giả thiết hàm mục tiêu Q(u) khả vi hai lần. Để giải hệ phương trình 0 )(    u uQ (**) bằng phương pháp giải tích, trước tiên hệ (**) được khai triển thành chuỗi Taylor tại uk thuộc lân cận nghiệm tối ưu u * và là nghiệm của (**) như sau: 0...)( )()()( * 2 2 *          k k k u uu u uQ uu uQ uu uQ tiếp theo, bỏ qua các đạo hàm bậc cao. Khi đĩ u* sẽ khơng phải là nghiệm đúng nữa mà chỉ là nghiệm gần đúng. Gọi nghiệm gần đúng này là là uk+1  u * , thay vào hệ phương trình trên ta cĩ: 0 uu )u(Q )uu( uu )u(Q k 2 2 k1k k        Đặt H(u) =                         2 2 1 2 1 2 2 1 2 ... ...... ... rr r u Q uu Q uu Q u Q , )( kk ugradQg  . Suy ra uk+1 = uk - H -1 (uk)gk b.2. Thuật tốn Newton-Raphson Bước 1: Cho 0 đủ bé, chọn u0 bất kỳ. Thực hiện các bước sau với k = 0, 1, 2, ... Bước 2: Tính )( kk ugradQg  . Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Tính H(uk) Bước 3: Tính uk+1 = uk - H -1 (uk)gk Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Nếu || uk+1 - uk ||   chuyển sang bước 5. Nếu || uk+1 - uk || >  quay về bước 2. Bước 5: Kết thúc Nghiệm tối ưu gần đúng u* = uk+1. Ưu điểm: Nếu hàm mục tiêu cĩ dạng ubuAuQ TT  2 1 , phương pháp này sẽ cho đúng giá trị u* chỉ sau đúng một vịng tính. Ví dụ: Cho hàm mục tiêu Q = 3u1 2 + 4u2 2 + u1u2 với 310                           12 21 2 1 8 6 )( uu uu u Q u Q ugradQg                             81 16 )( 2 2 2 12 2 21 2 2 1 2 u Q uu Q uu Q u Q uH          61 18 47 1 )(1 uH Bước 1:        1 0 0u Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Bước 2:                      8 1 8 6 1 0 12 21 0 uu uu g ,           61 18 47 1 )()( 10 1 uHuH Bước 3:                             0 0 8 1 61 18 47 1 1 0 )( 00 1 01 guHuu Bước 4: ||u1 - u0|| = 1 >  quay về bước 2 k = 1. Bước 2:                      0 0 8 6 0 0 12 21 1 uu uu g ,           61 18 47 1 )()( 11 1 uHuH Bước 3:                             0 0 0 0 61 18 47 1 0 0 )( 11 1 12 guHuu Bước 4: ||u2 - u1|| = 0 <  chuyển sang bước 5 Bước 5: Nghiệm tối ưu là u* =        0 0 2u c. Phƣơng pháp sử dụng hàm phạt và hàm chặn c.1. Hàm phạt Trong quá trình tìm từng bước nghiệm tối ưu, hàm phạt cĩ được sử dụng để thơng báo rằng tại thời điểm hiện tại, giá trị uk đã ra ngồi miền U. Việc thơng báo của hàm phạt thường là bằng những giá trị rất lớn (một cách khơng bình thường) tại những điểm gần biên, bên trong hoặc bên ngồi. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Cho hàm mục tiêu Q(u). Tìm Uu uQu   min)(minarg * . Thay Q(u) = Q(u) +  S(u), với điều kiện: S(u) = 0 nếu Uu S(u) > 0 nếu Uu  là một số dương đủ lớn. Áp dụng các phương pháp giải bài tốn tối ưu khơng ràng buộc để tìm nghiệm min),(minarg)( *   uQu , nghiệm tối ưu u * được tìm theo cơng thức sau:    )(lim ** uu c.2. Hàm chặn Trong quá trình tìm từng bước nghiệm tối ưu, hàm chặn được sử dụng để ngăn cản việc giá trị uk hiện tại cĩ thể sẽ vượt ra ngồi miền U. Việc ngăn cản của hàm chặn thường là bằng những giá trị rất lớn (một cách khơng bình thường) tại những điểm gần biên, bên trong hoặc bên ngồi Thay Q(u) = Q(u) +  S(u), với điều kiện: S(u) = 0 nếu u cách xa biên. S(u) =  nếu u ở gần biên.  là một số dương đủ lớn. Áp dụng các phương pháp giải bài tốn tối ưu khơng ràng buộc để tìm nghiệm min),(minarg)( *   uQu , nghiệm tối ưu u * được tìm theo cơng thức sau:    )(lim ** uu Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 1.3.2. Điều khiển tối ƣu động Bài tốn điều khiển tối ưu động là bài tốn trong đĩ mơ hình tốn học cĩ ít nhất một phương trình vi phân. ),( uxf dt dx i i  Cho mơ hình hệ thống như sau: )...,,,...,,( 2121 rnii uuuxxxfx  với ni 1 , viết gọn lại thành: ),( uxfx  . Các đầu ra của hệ thống là ),( uxgy  với ),...,,( 21 myyyy  . Hàm mục tiêu được định nghĩa như sau: dtuxfQ T  0 0 ),( , trontg đĩ T là thời gian xảy ra quá trình tối ưu. Với bài tốn điều khiển tối ưu tĩnh, đây chính là bài tốn cực trị với những điều kiện ràng buộc. Cĩ nhiều phương pháp giải bài tốn cực trị, ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu các phương pháp phi tuyến: + Các phương pháp khơng dùng đạo hàm riêng. + Các phương pháp đạo hàm riêng. + Phương pháp hướng liên hợp. + Phương pháp Newton-Raphson. Với bài tốn điều khiển tối ưu động, chỉ nghiên cứu các phương pháp sau: + Phương pháp biến phân kinh điển. + Phương pháp nguyên lý cực đại của Pontrjagin + Phương pháp qui hoạch động của Bellman 1.3.2.1. Phƣơng pháp biến phân Biến phân là một phương pháp được xây dựng từ điều kiện cần phải cĩ của nghiệm tối ưu u(t) của bài tốn tối ưu động, liên tục, cĩ khoảng thời gian T xác định, cho trước và khơng bị ràng buộc bởi điều kiện U, hoặc nếu cĩ bị ràng buộc thì tập U của các (vector) tín hiệu điều khiển thích hợp phải là một tập hở. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Ý tưởng chính của biến phân cĩ thể được tĩm tắt như sau: - Từ giả thiết u(t) là tín hiệu điều khiển tối ưu, x(t) là quỹ đạo trạng thái tối ưu, người ta xây dựng một tín hiệu điều khiển khác cĩ một sai lệch nhỏ so với nĩ là:      ttutu u  ~ , trong đĩ  tu là rất nhỏ (1.1) Và xem  tu~ chưa phải là tín hiệu tối ưu. - Tiếp theo, người ta giả thiết quỹ đạo trạng thái  tx ~ do  tu ~ tạo ra cho hệ thống cũng chỉ cĩ một sai lệch rất nhỏ so với quỹ đạo trạng thái tối ưu x(t), tức là:      ttxtx x ~ cũng cĩ  tx rất nhỏ. (1.2) - Cuối cùng, từ điều kiện phải cĩ của tín hiệu điều khiển tối ưu:          ~~ ,, uxQuxQ (1.3) Người ta xác định tính chất của điều khiển tối ưu u(t), gọi là tính chất biến phân. Xét bài tốn tối ưu động, liên tục, cĩ điểm đầu x0 và thời gian T cố định, cho trước:                   min,, 0,, 0 0 T dtuxguxQ xxuxf dt xd (1.4) Giả sử u(t) là nghiệm tối ưu của bài tốn liên tục và x(t) là quỹ đạo trạng thái tối ưu tương ứng. Ký hiệu tiếp  tu ~ là vector tín hiệu điều khiển được biến phân từ u(t) theo cơng thức (1.1) và  tx~ là quỹ đạo trạng thái tương ứng của nĩ thỏa mãn điều kiện biến phân (1.2). Hiển nhiên khi đĩ ta cĩ bất đẳng thức (1.3). Hình 1.2 minh họa trực quan hai quỹ đạo trạng thái x(t) và  tx~ . Từ hình minh họa đĩ ta rút ra ngay được quan hệ giữa lượng biến phân trạng thái  tx và điểm trạng thái cuối xT như sau: Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 - Nếu xT là cố định và cho trước thì phải cĩ   0Tx - nếu xT khơng cố định, chẳng hạn bị ràng buộc, thì cĩ thể sẽ cĩ   0Tx Với các ký hiệu như trên thì sau cùng một khoảng thời gian T khơng đổi sẽ cĩ:      QQ T ux xuQdtuxguxQ         0,,,, 0 ~~ Bởi vậy, từ bất đẳng thức (1.3) và bằng phân tích chuỗi Taylor ta sẽ xấp xỉ được thành:                      T uxQ dt u g x g xuQuxQ 0 ~~ ,,0  (1.5) Trong đĩ:                nx g x g x g x g ,....,, 21 và                mu g u g u g u g ,....,, 21 là các ký hiệu Jacobi của hàm nhiều biến g(x,u). Hồn tồn tương tự, từ mơ hình trạng thái (1.4) của hệ ta cũng cĩ:  uxf dt xd , và    uxx uxf dt xd   , x0 x(t)  tx ~ xT   0Tx x0 x(t)  tx ~   0Tx ST Điểm đầu cố định và điểm cuối cố định Điểm đầu cố định, điểm cuối ràng buộc Hình 1.2: Minh họa cơng thức biến phân Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27     00 ,,                           ux xT ux x uxux x u f x f dt d p u f x f dt d u f x f uxfuxf dt d   Trong đĩ np là một vector n chiều tùy ý, và                                n nn n x f x f x f x f x f ........ . . ........ 1 1 1 1 ,                                m nn m u f u f u f u f u f ........ . . ........ 1 1 1 1 là các ma trận Jacobi của véc tơ hàm f(x,u). Kết hợp chung (1.5) và (1.6) lại với nhau ta đi đến:                        T ux xT uxQ dt u f x f dt d p u g x g 0 0  Và khi áp dụng cơng thức tích phân tồn phần, sẽ được:     dt x g x f p dt pd u f p u g TTp T x T T u T x T Q                             0 0  Vì   00 x , do điểm đầu x0 là điểm xác định cho trước (hình 1.2). Nhưng do vector p(t) là vector bất kỳ nên cĩ thể chọn: x g x f p dt pd T T       với điều kiện biên     0TTp x T  Khi đĩ p(t) được gọi là vector đồng trạng thái (costate), đồng thời bất đẳng thức (1.7a) trở thành: dt u f p u g T u T Q                      0 0  (1.7b) (1.6) (1.7a) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Cuối cùng, sử dụng ký hiệu hàm Hamilton:      uxguxfppuxH T ,,,,  (1.8) Ta sẽ được phương trình Euler-Lagrange như sau: T p H dt xd            , T x H dt pd          với     0TTp x T  (1.9) Đồng thời, cơng thức biến phân bậc nhất hàm mục tiêu (1.7b) trở thành:     T uQ dt u H 0 0  (1.10) Điều kiện cần: nếu u(t) là nghiệm của bài tốn tối ưu động liên tục (1.4) cĩ điểm đầu x0 và khoảng thời gian T cho trước thì nghiệm đĩ phải thỏa mãn:   T u puxH 0 ,,    (1.11) Trong đĩ H(x,u,p) là hàm Hamilton xác định theo cơng thức (1.8) và vector p(t) là nghiệm của phương trình Euler-Lagrange (1.9) ứng với u(t), x(t) tối ưu. Ví dụ: Cho hệ cĩ mơ hình: ux dt dx 2 1 2 1  (1.12) Hãy tìm u *(t) đưa hệ đi từ điểm đầu x(0) = 4 đến điểm cuối x(4) = 0 và làm cho:      4 0 22 min, dtuxuxQ Như vậy, đây là bài tốn tối ưu động, liên tục, khơng ràng buộc, cĩ điểm đầu, cuối cố định và khoảng thời gian T = 4 là cho trước. Để giải bài tốn ta áp dụng phương pháp biến phân với các bước như sau: - lập hàm Hamilton:   22 2 1 2 1 ,, uxuxppuxH        Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 - xác định quan hệ u(x,p) từ 0   u H được pu 4 1  - thay quan hệ tìm được vào (1.9) ta thu được hệ phương trình:                           p x p x dt d A  2 1 ..........2 8 1 ...... 2 1 - giải hệ phương trình vi phân trên được:       21 21 43 21 ss ss ekekp ekekx Trong đĩ s1 , s2 là những giá trị riêng của ma trận A, tức là nghiệm của: det(sI-A) = 0 2 1 , 2 1 21  ss các hệ số k1 , k2 được xác định từ điều kiện biên x(0) = 4 , x(4) = 0 như sau:   22 2 1 22 2 22 1 21 014,4014,0 014,4 014,0 0 4 tt eetx k k ekek kk                - thay nghiệm x(t) tìm được vào mơ hình (1.12) của hệ sẽ được u(t) tối ưu:   22 663,1034,0 tt eetu   1.3.2.2. Phƣơng pháp quy hoạch động của Bellman Phương pháp quy hoạch động được dựa trên nguyên lý tối ưu sơ khai của Bellman: Một chiến lược tối ưu cĩ tính chất khơng phụ thuộc vào những quyết định trước đĩ (ví dụ như những luật điều khiển) song các quyết định cịn lại phải cấu thành nên chiến lược tối ưu cĩ liên quan với kết quả của những quyết định trước đĩ. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Nguyên lý tối ưu của Bellman cĩ nội dung như sau: “ Mỗi đoạn cuối của quỹ đạo trạng thái tối ưu cũng sẽ là một quỹ đạo trạng thái tối ưu”. Cĩ thể kiểm chứng tính đúng đắn của nguyên lý Bellman nhờ hình minh họa Hình1.3. Giả sử quỹ đạo liền nét đi từ điểm x0 qua xk đến xN là tối ưu (gồm hai đoạn γα) trong đĩ phần quỹ đạo α từ xk đến xN lại khơng phải tối ưu. Vậy thì phải tồn tại đoạn tối ưu từ xk đến xN (đoạn β). Như vậy hàm mục tiêu Q từ xk đến xN theo đoạn β phải cĩ giá trị nhỏ hơn là theo đoạn α và do đĩ dọc theo hai đoạn γβ hàm Q cĩ giá trị nhỏ hơn là theo đoạn γα. Điều này trái với giả thiết rằng đoạn là tối ưu. Dựa vào nguyên lý tối ưu, ta xác định được quan hệ uk(xk), k = 0, 1, 2, …, N-1 cần phải cĩ giữa tín hiệu điều khiển tối ưu uk và trạng thái tối ưu xk bằng cách lập cơng thức biểu diễn giá trị hàm mục tiêu cho từng đoạn cuối như sau ( gọi là hàm Bellman ):      1 , N ki iik uxgB , k = 0, 1, …, N (1.13) Các hàm Bellman Bk , k = N, N-1, …, 1, 0 phải cĩ giá trị nhỏ nhất dọc theo quỹ đạo trạng thái tối ưu. Bởi vậy, khi đã cĩ giá trị hàm Bk+1 của đoạn cuối tối ưu tính từ điểm trạng thái xk+1 ta cũng sẽ xác định được quan hệ uk(xk) phải cĩ của tín hiệu điều khiển tối ưu ứng với điểm trạng thái xk theo quy tắc:   min,min 1   kk ukkkuk BuxgB (1.14a) Hay: x0 Đoạn γ Đoạn β Đoạn α xN Hình 1.3: Mơ tả nguyên lý tối ưu Bellman Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31                 1 ,...,... 11 min,minmin k uu kk u k uu BuxgB NkkNk (1.14b) Trong đĩ các giá trị biên B0, BN được xác định từ (1.13) như sau: BN = 0 và B0 = Qmin (1.15) Hai vịng tính của phƣơng pháp: Vịng ngƣợc (kỹ thuật nhúng) và vịng xuơi Cơng thức (1.14) với điểm xuất phát (1.15) là cơng cụ giúp ta xây dựng được các bước xác định quan hệ uk(xk) phải cĩ giữa tín hiệu điều khiển và trạng thái tối ưu. Ta sẽ gọi các bước tính này là vịng ngược vì nĩ cĩ thứ tự thực hiện đi ngược từ k = N ( ứng với điểm trạng thái cuối xN ) đến k = 0 ( ứng với điểm trạng thái đầu x0 ). Vịng tính ngược này cịn được Bellman gọi là kỹ thuật nhúng (imbedding technique). Nội dung của vịng ngược như sau: - Bắt đầu từ k = N ta cĩ BN = 0. - Với k = N-1 thì từ: xN = f(xN-1,uN-1) và do xN là đã cho trước nên ta cĩ được ngay quan hệ tối ưu: uN-1(xN-1) (1.16a) Thay quan hệ ( 1.16a ) tìm được vào: BN-1 = g(xN-1,uN-1) = BN-1(xN-1) (1.16b) Sẽ được hàm BN-1 tối ưu chỉ cịn phụ thuộc theo xN-1. - Với N-2 ≥ k ≥ 0 thì do hàm Bk+1 chỉ phụ thuộc theo xk+1, tức là Bk+1(xk+1), nên: Bk = g(xk,uk) + Bk+1(xk+1) = g(xk,uk) + Bk+1(f(xk,uk))  ku min (1.17a) Giải bài tốn tối ưu (tĩnh) trên ta cĩ quan hệ tối ưu: uk(xk) (1.17b) Thay quan hệ (1.17b) vừa tìm được vào (1.17a) để được hàm Bellman tối ưu: Bk = Bk(xk) (1.17c) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Bằng N bước tính ngược từ k = N-1 đến k = 0 như trên ta cĩ được N cơng thức mơ tả quan hệ uk = uk(xk) phải cĩ giữa tín hiệu điều khiển và trạng thái tối ưu. Sau khi đã cĩ các quan hệ này thì từng giá trị cụ thể của uk sẽ được tính nhờ mơ hình (1.15) mơ tả đối tượng. Ta gọi các bước tính này là vịng xuơi vì nĩ được thực hiện lần lượt từ k = 0 tới k = N-1. Nội dung của vịng xuơi như sau: - Với k = 0 cĩ: u0 = u0(x0) vì đã cĩ x0 → x1 = f(x0,u0) - Với 1 ≤ k ≤ N-1 cũng cĩ: uk = uk(xk) → xk+1 = f(xk,uk) Ví dụ: Xét đối tượng là khâu quán tính bậc nhất cĩ mơ hình trạng thái 1 2 k k k x u x    Đối tượng cần điều khiển qua 4 bước ( N = 4 ) từ x0 = 4 đến x4 = 0 sao cho   3 2 2 0 k k k Q x u min     Phương trình Bellman của ví dụ này dạng:  2 2 1( )k k k k kB x x u B    Với vịng ngược ta cĩ: k = 3: Từ điều kiện  3 3 4 1 0 2 x u x   cĩ ngay được 3 3x u  Suy ra hàm Bellman tối ưu 2 2 2 3 3 3 32B x u x   k = 2: Ta phải tìm quan hệ 2 2( )u x tối ưu để được: Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 u x u B x u B x u min             Do đây là bài tốn tối ưu khơng bị ràng buộc nên để tìm 2 2( )u x ta cĩ thể sử dụng điều kiện cần 2 2 0 B u    . Khi đĩ ta sẽ cĩ 2 2 3 x u   . Vậy: 22 22 2 2 2 2 1 4 2 3 2 3 3 x x x B x x                     . k = 1: Tương tự, ta phải tìm quan hệ tối ưu 1 1( )u x để cĩ:     1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 3 2 u x u B x u B x u min             Từ điều kiện cần 1 1 0 B u    được 1 1 4 x u   . Suy ra: 22 22 1 1 1 1 1 1 4 1 5 4 3 2 4 4 x x x B x x                     . k = 0: Để tìm quan hệ tối ưu 0 0( )u x từ:     0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 5 4 2 u x u B x u B x u min             Ta sử dụng điều kiện cần 0 0 0 B u    và được 0 0 5 21 x u   . Suy ra: 22 22 0 0 0 0 0 0 5 5 265 1 21 4 2 21 21 x x x B x x                     . Với vịng xuơi thì: k = 0 : 0 0 0 5 20 4 21 21 x x u      và 0 416 21 minQ B  . k = 1 : 0 0 1 1 1 32 8 2 21 4 21 x u x x u         Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 k = 2 : 1 1 2 2 2 12 4 2 21 3 21 x u x x u         k = 3 : 2 2 3 3 3 4 4 2 21 21 x u x u x         Đáp số:   20 8 4 4 , , , 21 21 21 21 ku           . 1.3.2.3. Nguyên lý cực đại Ta hãy đi từ một bài tốn tối ưu đơn giản cho đối tượng nửa tuyến tính 0 0 ( ) (0) ( , ) ( ) T T d x Ax h u x x u U dt Q x u a x r u dt min                (1.18) trong đĩ U là một tập con đĩng của m , cĩ điểm trạng thái đầu 0 (0)x x và khoảng thời gian T cho trước, cịn điểm trạng thái cuối Tx là tuỳ ý ( hoặc bị ràng buộc bởi TS ). Cũng giống như ở phương pháp biến phân, ta định nghĩa: – Hàm Hamilton:    , , ( ) ( )T TH x u p p Ax h u a x r u      (1.19) – Các biến đồng trạng thái: , T T d pd x H H dt p dt x                (1.20) Do tập U là tập đĩng, nghiệm tối ưu cĩ thể nằm trên biên của U, nên ta khơng thể xác định ( )u t tối ưu bằng điều kiện 0 TH x    và cũng khơng thể phân tín hiệu điều khiển tối ưu ( )u t thành ( ) ( ) uu t u t    mà khơng cĩ điều kiện gì kèm theo cho u . Để tránh dùng cơng thức biến phân, sau đây ta sẽ gọi ( )u t  và ( )u t là với 0 (0)x x và g(x.u) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 hai tín hiệu điều khiển nào đĩ thuộc U , cũng như ( )x t  và ( )x t là hai quỹ đạo trạng thái tương ứng cùng đi từ 0x do chúng mang lại cho đối tượng nửa tuyến tính cĩ mơ hình cho trong (1.18). Trước hết, với cơng thức tích phân tồn phần, ta cĩ ngay được: 0 0 0 T TT T Td pd x d x p x x dt p x x dt dt dt                                   Nhưng vì cĩ 0(0) (0)x x x   nên: 0 ( ) ( ) ( ) T T T p x x p T x T x T                 Suy ra: 0 ( ) ( ) ( ) 0 TT T Td pd x d x p x x dt p T x T x T dt dt dt                                   (1.21) Thay (1.18) vào (1.21) được: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 TT T TTd pp h u h u A p x x dt p T x T x T dt                                    Mặt khác, ta lại cĩ sau cùng khoảng thời gian T : 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) T TQ x u Q x u a x x r u r u dt                (1.23) Bởi vậy, sau khi trừ (1.22) cho (1.23) theo từng vế, sẽ đi đến: 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) T TQ x u Q x u p h u h u r u r u dt                    0 ( ) ( ) ( ) TT TTd p A p a x x dt p T x T x T dt                             (1.22) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Tiếp tục, sử dụng các quan hệ (1.19) và (1.20) với: T Td p H A p a dt x           Cũng như chọn nghiệm p thoả mãn điều kiện biên ( ) 0p T  của nĩ, ta sẽ được: 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) T TQ x u Q x u p h u h u r u r u dt                   0 ( , , ) ( , , ) T H x p u H x p u dt          Như vậy, nếu ( )u t là tín hiệu điều khiển tối ưu thì do ( , ) ( , )Q x u Q x u   với mọi ( )u t U  Ta cũng phải cĩ: ( , , ) ( , , )H x p u H x p u  với mọi ( )u t U  Vậy: Định lý 1: Nếu ( )u t U  là tín hiệu điều khiển tối ưu của bài tốn (1.18) thì với nghiệm ( )p t của (1.20) thoả mãn ( ) 0p T  , ta phải cĩ: ( , , ) ( , , ) u U H x p u max H x p u     (1.24) Tính chất (1.24) được gọi là nguyên lý cực đại, phát biểu cho lớp bài tốn (1.18). Ta cũng cĩ thể thấy, do bị ràng buộc bởi tập U , cơng thức biến phân 0 TH u    đã được thay thế bằng nguyên lý cực đại (1.24). Hơn nữa, nguyên lý cực đại (1.24) cịn tổng quát hơn cơng thức biến phân, vì nếu nghiệm tối ưu ( )u t là điểm trong của U thì từ nguyên lý cực đại (1.24) ta cũng suy ra được cơng thức biến phân, nhưng điều ngược lại thì khơng, chẳng hạn như trường hợp minh hoạ ở hình 1.4 với nghiệm nằm trên biên. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Nguyên lý cực đại (1.24) gợi ý cho ta cĩ thể tìm tín hiệu điều khiển tối ưu ( )u t U cho bài tốn (1.18) với những bước như sau: 1) Lập hàm Hamitol (1.19). 2) Xác định quan hệ ( , )u x p phải cĩ của tín hiệu tối ưu ( )u t U từ nguyên lý cực đại (1.24) phát biểu trong định lý 1. 3) Thay quan hệ tìm được vào phương trình Euler – Lagrange (1.20) và giải các phương trình đĩ với những điều kiện biên 0(0)x x , ( ) 0p T  để cĩ ( ), ( )x t p t . 4) Thay ( ), ( )x t p t đã tìm được ở bước 3 vào quan hệ ( , )u x p đã cĩ từ bước 2, hoặc vào mơ hình của đối tượng trong (1.18) để cĩ nghiệm tối ưu ( )u t . Ví dụ: Cho bài tốn tối ưu U u 0    TH u Khơng tồn tại   H u H(x, p, u) Hình 1.4 : Nguyên lý cực đại là trường hợp tổng quát của cơng thức biến phân Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 0 1 1 0 0 1 0 0 , , 1, 1 0 0 1 0 ( , ) 2 d x x u x u T dt Q x u x dt min                                Trước hết ta lập hàm Hamitol: 1 1 2 2 1 0 1 0 ( , , ) 2 2 0 0 1 T H x u p p x u x p x p u x                     Sau đĩ áp dụng nguyên lý cực đại (1.18) sẽ được: 2( )u sgn p trong đĩ p là nghiệm của 1 2d p pdt        với điều kiện biên 0 (1) 0 p        1( ) 2( 1) 0 khi 0 1p t t t T       , 2 2( ) ( 1) 0 p t t    Vậy tín hiệu điều khiển tối ưu của bài tốn là u(t) = – 1. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 CHƢƠNG 2: GIỚI THIỆU ROBOT CƠNG NGHIỆP VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐỘNG HỌC NGƢỢC ROBOT 2.1. Tổng quan về robot cơng nghiệp  Robot và Robotics. Sơ lược quá trình phát triển của robot cơng nghiệp (IR : Industrial Robot) Thuật ngữ “Robot” xuất phát từ tiếng Sec (Czech) “Robota” cĩ nghĩa là cơng việc tạp dịch trong vở kịch Rossum’s Universal Robots của Karel Capek, vào năm 1921. Trong vở kịch này, Rossum và con trai của ơng ta đã chế tạo ra những chiếc máy gần giống với con người để phục vụ con người. Cĩ lẽ đĩ là một gợi ý ban đầu cho các nhà sáng chế kỹ thuật về những cơ cấu, máy mĩc bắt chước các hoạt động cơ bắp của con người. Vào những năm 40 nhà viết văn viễn tưởng người Nga Issac Asimov mơ tả Robot là một chiếc máy tự động, mang diện mạo của con người, được điều khiển bằng một hệ thần kinh khả trình Pisitron, do chính con người lập trình. Asimov đặt tên cho ngành khoa học nghiên cứu về Robot là Robotics, trong đĩ cĩ 3 nguyên tắc cơ bản sau: - Robot khơng được xúc phạm con người và khơng gây tổn hại cho con người. - Hoạt động của robot phải tuân theo các nguyên tắc do con người đặt ra. Các nguyên tắc này khơng được vi phạm nguyên tắc thứ nhất. - Một robot cần phải bảo vệ sự sống của mình và khơng được vi phạm hai nguyên tắc trước. Các nguyên tắc này đã trở thành nền tảng cho việc thiết kế robot sau này. Đầu thập kỷ 60, cơng ty Mỹ AMF ( American Machine and Foundry Company ) quảng cáo một loại máy tự động vạn năng và gọi là “Người máy cơng nghiệp” ( Industrial Robot ). Ngày nay người ta đặt tên người máy cơng nghiệp ( hay robot cơng nghiệp ) cho những loại thiết bị cĩ dáng dấp và một vài chức năng như tay người được điều khiển tự động để thực hiện một số thao tác sản xuất. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Về mặt kỹ thuật, những robot cơng nghiệp ngày nay, cĩ nguồn gốc từ hai lĩnh vực kỹ thuật ra đời sớm hơn đĩ là các cơ cấu điều khiển từ xa (Teleoperators) và các máy cơng cụ điều khiển số ( NC - Numerically Controlled machine tool ). Các cơ cấu điều khiển từ xa ( hay các thiết bị kiểu chủ - tớ ) đã phát triển mạnh trong chiến tranh thế giới lần thứ hai nhằm nghiên cứu các vật liệu phĩng xạ. Người thao tác được tách biệt khỏi khu vực phĩng xạ bởi một bức tường cĩ một hoặc vài cửa quan sát để cĩ thể nhìn thấy được cơng việc bên trong. Các cơ cấu điều khiển từ xa thay thế cho cánh tay của người thao tác; nĩ gồm cĩ một bộ kẹp ở bên trong (tớ) và hai tay cầm ở bên ngồi (chủ). Cả hai, tay cầm và bộ kẹp, được nối với nhau bằng một cơ cấu sáu bậc tự do để tạo ra các vị trí và hướng tuỳ ý của tay cầm và bộ kẹp. Cơ cấu dùng để điều khiển bộ kẹp theo chuyển động của tay cầm. Vào khoảng năm 1949, các máy cơng cụ điều khiển số ra đời, nhằm đáp ứng yêu cầu gia cơng các chi tiết trong ngành chế tạo máy bay. Những robot đầu tiên thực chất là sự nối kết giữa các khâu cơ khí của cơ cấu điều khiển từ xa với khả năng lập trình của máy cơng cụ điều khiển số. Dưới đây chúng ta sẽ điểm qua một số thời điểm lịch sử phát triển của người máy cơng nghiệp. Một trong những robot cơng nghiệp đầu tiên được chế tạo là robot Versatran của cơng ty AMF, Mỹ. Cũng vào khoảng thời gian này ở Mỹ xuất hiện loại robot Unimate -1900 được dùng đầu tiên trong kỹ nghệ ơtơ. Tiếp theo Mỹ, các nước khác bắt đầu sản xuất robot cơng nghiệp : Anh - 1967, Thuỵ Điển và Nhật -1968 theo bản quyền của Mỹ; CHLB Đức -1971; Pháp - 1972; ở Ý - 1973. . . Tính năng làm việc của robot ngày càng được nâng cao, nhất là khả năng nhận biết và xử lý. Năm 1967 ở trường Đại học tổng hợp Stanford (Mỹ) đã chế tạo ra mẫu robot hoạt động theo mơ hình “mắt-tay”, cĩ khả năng nhận biết và định hướng bàn kẹp theo vị trí vật kẹp nhờ các cảm biến. Năm 1974 Cơng ty Mỹ Cincinnati đưa ra loại robot được điều khiển bằng máy vi tính, gọi là robot T3 (The Tomorrow Tool : Cơng cụ của tương lai). Robot này cĩ thể nâng được vật cĩ khối lượng đến 40 KG. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Cĩ thể nĩi, Robot là sự tổ hợp khả năng hoạt động linh hoạt của các cơ cấu điều khiển từ xa với mức độ “tri thức” ngày càng phong phú của hệ thống điều khiển theo chương trình số cũng như kỹ thuật chế tạo các bộ cảm biến, cơng nghệ lập trình và các phát triển của trí tuệ nhân tạo, hệ chuyên gia ... Trong những năm sau này, việc nâng cao tính năng hoạt động của robot khơng ngừng phát triển. Các robot được trang bị thêm các loại cảm biến khác nhau để nhận biết mơi trường xung quanh, cùng với những thành tựu to lớn trong lĩnh vực Tin học - Điện tử đã tạo ra các thế hệ robot với nhiều tính năng đăc biệt. Số lượng robot ngày càng gia tăng, giá thành ngày càng giảm. Nhờ vậy, robot cơng nghiệp đã cĩ vị trí quan trọng trong các dây chuyền sản xuất hiện đại. Một vài số liệu về số lượng robot được sản xuất ở một vài nước cơng nghiệp phát triển như bảng 2.1 Bảng 2.1. Số lượng Robot sản xuất ở một số nước cơng nghiệp phát triển Nước SX Năm 1990 Năm 1994 Năm 1998 Nhật 60.118 29.756 67.000 Mỹ 4.327 7.634 11.100 Đức 5.845 5.125 8.600 Ý 2.500 2.408 4.000 Pháp 1.488 1.197 2.000 Anh 510 1.086 1.500 Ngày nay, Robot đã được giới kỹ thuật hình dung như những chiếc máy đặc biệt, được con người phỏng tác theo cấu tạo và hoạt động của chính mình, dùng để thay thế mình trong một số cơng việc xác định. Robot được dùng hầu hết trong các ngành trong cơng nghiệp, đặc biệt trong những ngành cĩ mơi trường làm việc độc hại thì việc dùng robot thay thế con người là rất cần thiết. Để hồn thành những nhiệm vụ trên thì Robot cần cĩ khả năng cảm nhận các thơng số trạng thái của mơi trường và tiến hành các hoạt động tương tự con người: Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 - Khả năng hoạt động của Robot được đảm bảo bởi hệ thống cơ khí gồm cơ cấu vận động để đi lại và cơ cấu hành động để cĩ thể làm việc. Việc thiết kế và chế tạo hệ thống này thuộc lĩnh vực khoa học về cơ cấu truyền động, chấp hành và vật liệu cơ khí. - Chức năng cảm nhận của Robot gồm thu nhận tín hiệu về trạng thái mơi trường và trạng thái của bản thân hệ thống, do các cảm biến ( sensor ) và các thiết bị khác đảm nhiệm. Hệ thống này gọi là hệ thống thu nhận và xử lý số liệu hay hệ thống cảm biến. - Muốn phối hợp hoạt động của hai hệ thống trên và Robot hoạt động theo đúng chức năng mong muốn của con người thì robot phải cĩ hệ thống điều khiển. Như vậy, Robotics cĩ thể hiểu là một ngành khoa học, cĩ nhiệm vụ nghiên cứu về thiết kế, chế tạo các robot và ứng dụng chúng trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của xã hội lồi người, như nghiên cứu khoa học - kỹ thuật, kinh tế, quốc phịng và dân sinh. Robot được sử dụng để thay thế con người trong những cơng việc như: - Các cơng việc lặp đi lặp lại, nhàm chán, nặng nhọc: vận chuyển nguyên vật liệu, lắp ráp, lau cọ nhà,... - Trong mơi trường khắc nghiệt hoặc nguy hiểm: ngồi khoảng khơng vũ trụ, trên chiến trường, dưới nước sâu, trong lịng đất, nơi cĩ phĩng xạ, nhiệt độ cao,... - Những việc địi hỏi độ chính xác cao: lắp ráp các cấu tử trong các vi mạch,...  Robot cơng nghiệp. Ngày nay, hầu hết các robot đều được dùng trong cơng nghiệp. Chúng cĩ đặc điểm riêng về kết cấu, chức năng, đã được thống nhất hố và thương mại hố rộng rãi. Và được gọi là Robot cơng nghiệp ( Industrial Robot - IR ). Robot cơng nghiệp cĩ 2 đặc trưng cơ bản: - Là thiết bị vạn năng được tự động hố theo chương trình và cĩ thể lập trình lại để đáp ứng một cách linh hoạt, khéo léo các nhiệm vụ tiếp theo. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 - Được ứng dụng trong các trong những trường hợp mang tính cơng nghiệp đặc trưng như vận chuyển, xếp dỡ nguyên vật liệu, lắp ráp, đo lường,... 2.1.1. Tự động hĩa và robot cơng nghiệp Thuật ngữ robot được định nghĩa dưới dạng các khía cạnh khác nhau. Robot được coi là một tay máy cĩ một vài bậc tự do, cĩ thể được điều khiển bằng máy tính. Một định nghĩa khác về robot cơng nghiệp hiện nay được chấp nhận là: Robot cơng nghiệp là một cơ cấu cơ khí cĩ thể lập trình được và cĩ thể thực hiện những cơng việc cĩ ích một cách tự động khơng cần sự giúp đỡ trực tiếp của con người. Hiệp hội những nhà chế tạo – nhà sử dụng đưa ra định nghĩa robot như sau: Robot là một thiết bị cĩ thể thực hiện được các chức năng bình thường như con người và cĩ thể hợp tác nhau một cách thơng minh để cĩ được trí tuệ như con người. Trong bách khoa tồn thư mới viết: “Robot cĩ thể định nghĩa là một thiết bị tự điều khiển hồn tồn bao gồm các bộ phận điện tử, điện và cơ khí, …” Tự động hĩa ( Automation ) và kỹ thuật robot (Robotics) là hai lĩnh vực cĩ liên quan mật thiết với nhau. Về phương diện cơng nghiệp, tự động hĩa là một cơng nghệ liên kết với sử dụng các hệ thống cơ khí, điện tử và hệ thống máy tính trong vận hành và điều khiển quá trình sản xuất. Ví dụ, dây chuyền vận chuyển, các máy lắp ráp cơ khí, các hệ thống điều khiển phản hồi, các máy cơng cụ điều khiển chương trình số và robot. Như vậy, cĩ thể coi robot là một dạng của thiết bị tự động hĩa cơng nghiệp. Cĩ ba loại hệ thống tự động hĩa trong cơng nghiệp: Tự động hĩa cố định, tự động hĩa lập trình và tự động hĩa linh hoạt. Tự động hĩa cố định được sử dụng ở những dây chuyền sản xuất với số lượng sản phẩm lớn, do đĩ cần thiết kế các thiết bị đặc biệt để sản xuất các sản phẩm với số lượng lớn và hiệu xuất rất cao. Cơng nghiệp sản xuất ơ tơ cĩ thể coi là một ví dụ điển hình. Tính kinh tế của tự động hĩa cố định rất cao do giá thành thiết bị chuyên dụng được chia đều cho số lượng lớn các đơn vị sản phẩm, dẫn đến giá thành trên một đơn vị sản phẩm thấp hơn so với các phương pháp sản xuất khác. Tuy nhiên vốn đầu tư của hệ thống tự động hĩa cố Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 định cao, do đĩ nếu số lượng sản phẩm nhỏ hơn thiết kế, giá thành sản phẩm sẽ rất cao. Mặt khác, các thiết bị chuyên dụng được thiết kế cho sản xuất một loại sản phẩm, sau khi chu kỳ sản phẩm kết thúc, các thiết bị chuyên dụng đĩ sẽ trở thành lạc hậu. Tự động hĩa lập trình được sử dụng ở quá trình sản xuất với sản phẩm đa dạng và số lượng sản phẩm tương đối thấp. Trong hệ thống tự động hĩa này, các trang thiết bị sản xuất được thiết kế để thích nghi với các dạng sản phẩm khác nhau. Chương trình sẽ được lập trình và được đọc vào các thiết bị sản xuất ứng với các loại sản phẩm cụ thể. Về khía cạnh kinh tế, giá thành trang thiết bị lập trình cĩ thể phân bộ cho số lượng lớn sản phẩm, ngay cả với các loại sản phẩm khác nhau. Tự động hĩa linh hoạt hoặc hệ thống sản xuất linh hoạt (FMS), hệ thống sản xuất tích hợp máy tính (hình1.1). Ý tưởng của dạng tự động hĩa linh hoạt mới được phát triển và áp dụng vào thực tế quãng 20-25 năm cho thấy phạm vi ứng dụng thích hợp nhất đối với quá trình sản xuất cĩ số lượng sản phẩm trung bình. Dạng tự động hĩa linh hoạt sẽ bao gồm các đặc điểm của hai dạng tự động hĩa cố định và lập trình. Nĩ cần được lập trình cho các loại sản phẩm khác nhau, nhưng số dạng sản phẩm khác nhau sẽ hạn chế hơn loại tự động hĩa lập trình. Hệ thống sản xuất bao gồm nhiều trạm làm việc đặt nối tiếp nhau trong một dây chuyền. Máy tính trung tâm và hệ thống điều khiển trung tâm sẽ điều khiển đồng thời các trạm hoạt động. Hình 2.1: Quan hệ số loại và số lượng sản phẩm ứng với các dạng tự động hĩa Số lượng sản phẩm 15000 500 15 1 3 9 15 30 100 1000 TĐH lập trình TĐH linh hoạt TĐH cố định Số loại sản phẩm Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Robot cĩ liên quan mật thiết với tự động hĩa lập trình. Robot là một máy cĩ khả năng lập trình và cĩ một số đặc tính như con người. Robot cĩ thể được lập trình để di chuyển cánh tay thơng qua các trình tự chuyển động cĩ tính chu kỳ để thực hiện các nhiệm vụ khác nhau. Ví dụ, các máy bốc dỡ hàng, robot hàn, sơn…robot cũng được sử dụng rộng rãi trong hệ thống sản xuất linh hoạt hoặc thậm trí trong các hệ thống tự động hĩa cố định. Hệ thống này gồm một số máy, hoặc các robot làm việc cùng nhau được điều khiển bằng máy tính hoặc bộ điều khiển lập trình. Ví dụ, dây chuyền hàn vỏ ơ tơ gồm nhiều cánh tay robot cĩ nhiệm vụ hàn các bộ phận khác nhau. Chương trình lưu trữ trong máy tính được nạp cho từng robot làm việc ở mỗi bộ phận của dây chuyền hàn ơ tơ. Như vậy đây là một dây chuyền sản xuất linh hoạt với mức độ tự động hĩa cao. 2.1.2. Các đặc tính của robot cơng nghiệp 2.1.2.1. Tải trọng Tải trọng là trọng lượng robot cĩ thể mang và giữ trong khi vẫn đảm bảo một số đặc tính nào đĩ. Tải trọng lớn nhất lớn hơn tải trọng định mức nhiều, nhưng robot khơng thể mang tải trọng lớn hơn định mức, vì khi đĩ robot khơng đảm bảo được độ chính xác di chuyển. Tải trọng robot thơng thường rất nhỏ so với trọng lượng robot. Ví dụ, robot LR Mate của hãng Fanuc cĩ trọng lương 40kg chỉ mang được tải trọng 3kg ; Robot M-16i cĩ trọng lượng 269kg mang được tải trọng 15,8kg. 2.1.2.2. Tầm với Là khoảng cách lớn nhất robot cĩ thể vươn tới trong phạm vi làm việc. Tầm với là một hàm phụ thuộc vào cấu trúc của robot. 2.1.2.3. Độ phân giải khơng gian Là lượng gia tăng nhỏ nhất robot cĩ thể thực hiện khi di chuyển trong khơng gian. Độ phân dải phụ thuộc vào độ phân dải điều khiển và độ chính xác cơ khí. Độ Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 phân dải điều khiển xác định bởi độ phân dải hệ thống điều khiển vị trí và hệ thống phản hồi: là tỉ số của phạm vi di chuyển và số bước di chuyển của khớp được địa chỉ hĩa trong bộ điều khiển của robot: Số bước di chuyển = 2n Với n là số bit của bộ nhớ Ví dụ: Một khớp tịnh tiến của robot cĩ hệ thống điều khiển 12 bit di chuyển trong phạm vi 100mm, số bước di chuyển cĩ thể là: 212 = 4096. Độ phân dải tương ứng là: mm0244.0 4096 100  Độ di chuyển của robot là tổng các dịch chuyển thành phần. Do đĩ độ phân dải của cả robot là tổng các độ phân dải của từng khớp robot. Độ chính xác cơ khí trong cơ cấu truyền động các khớp và khâu phản hồi của hệ thống điều khiển servo sẽ ảnh hưởng đến độ phân dải. Các yếu tố làm giảm độ chính xác cơ khí như khe hở trong hộp truyền, rị rỉ của hệ thống thủy lực, tải trọng trên tay robot, tộc độ di chuyển, điều kiện bảo dưỡng robot,…Độ chính xác cơ khí giảm sẽ làm giảm độ phân dải. 2.1.2.4. Độ chính xác Đánh giá độ chính xác vị trí tay robot cĩ thể đạt được. Độ chính xác được định nghĩa theo độ phân dải của cơ cấu chấp hành. Độ chính xác di chuyển đến vị trí mong muốn sẽ phụ thuộc vào độ dịch chuyển nhỏ nhất của khớp. Khi coi cơ cấu cơ khí cĩ độ chính xác rất cao, cĩ thể định nghĩa sơ bộ độ chính xác bằng một nửa độ phân dải điều khiển như trên hình 2.2. Hình 2.2: Minh họa độ chính xác và độ phân dải điều khiển Độ chính xác đích Điểm được địa chỉ hĩa Độ phân dải điều khiển Điểm được địa chỉ hĩa Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Trong thực tế, độ phân dải bị ảnh hưởng bởi một số yếu tố. Độ chính xác sẽ thay đổi tùy thuộc vào phạm vi di chuyển của tay robot: phạm vi di chuyển càng xa bệ robot, độ chính xác càng giảm do độ mất chính xác cơ khí càng lớn. Độ chính xác sẽ được cải thiện nếu di chuyển của robot được giới hạn trong một phạm vi cho phép. Tải trọng cũng ảnh hưởng đến độ chính xác, tải trọng lớn sẽ gây ra độ chính xác cơ khí thấp và làm giảm độ chính xác di chuyển. Thơng thường độ chính xác di chuyển của robot cơng nghiệp đạt 0,025 mm. 2.1.2.5. Độ lặp lại Độ lặp lại đánh giá độ chính xác khi robot di chuyển để với tới một điểm trong nhiều lần hoạt động ( ví dụ 100 lần ). Do một số yếu tố mà robot khơng thể với tới cùng một điểm trong nhiều lần hoạt động, mà các điểm với của robot nằm trong một vịng trịn với tâm là điểm đích mong muốn. Bán kính của đường trịn đĩ là độ lặp lại. Độ lặp lại là đại lượng cĩ ý nghĩa quan trọng hơn độ chính xác. Độ chính xác đánh giá bằng sai số cố định; sai số cố định cĩ thể phán đốn được và cĩ thể hiệu chỉnh bằng chương trình. Nhưng sai số ngẫu nhiên sẽ khĩ cĩ thể khử được. Độ lặp lại cần phải được xác định bằng kết hợp nhiều thực nghiệm với tải trọng và các hướng di chuyển khác nhau ( phương thẳng đứng và phương nằm ngang,…). Độ lặp lại của các robot cơng nghiệp thơng thường là 0,025 mm. 2.1.2.6. Độ nhún Độ nhún biểu thị sự dịch chuyển của điểm cuối cổ tay robot đáp ứng lại lực hoặc mơ men tác dụng. Độ nhún lớn cĩ nghĩa là tay robot dịch chuyển nhiều khi lực tác dụng nhỏ và ngược lại. Độ nhún cĩ ý nghĩa quan trọng vì nĩ làm giảm độ chính xác dịch chuyển khi robot mang tải trọng. Nếu tay robot mang tải trọng nặng, trọng lượng tải trọng sẽ làm cho cánh tay robot bị dịch chuyển. VD: Khi robot thực hiện gia cơng khoan, ấn mũi khoan vào chi tiết phản lực sẽ làm cơ cấu tay di chuyển,…Nếu robot được lập trình trong điều kiện khơng tải của cơ cấu tay, độ chính xác sẽ giảm trong điều kiện làm việc cĩ tải. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 2.2. Chất lƣợng quá trình làm việc và các thơng số điều khiển 2.2.1. Yêu cầu về chất lƣợng trong điều khiển Robot Chất lượng quá trình làm việc được dùng làm căn cứ, đánh giá ảnh hưởng theo những chiều hướng khác nhau khi can thiệp vào một thơng số điều khiển. Quá trình làm việc cĩ chất lượng tốt được hiểu theo những nghĩa sau: Sai lệch quỹ đạo trong giới hạn cho phép, đây là tiêu chí nĩi lên độ chính xác về mặt động học cơ cấu. Sai số quỹ đạo cĩ hai nguyên nhân chính là cơ cấu khơng đáp ứng độ chính xác cần thiết, hoặc điều khiển khơng đáp ứng độ chính xác cần thiết. Nếu nguyên nhân thuộc về điều khiển thì cần được tiếp tục làm rõ do độ phân giải của thiết bị điều khiển khơng đủ (lí do về phần cứng), hoặc do giải thuật điều khiển khơng đáp ứng được (nguyên nhân do chuẩn bị điều khiển khơng đáp ứng yêu cầu gồm khơng đáp ứng được độ chính xác cần thiết hoặc khơng đáp ứng tốc độ tính tốn cần thiết). Hình 2.3 : Các dạng sai số lặp lại Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Robot cĩ thể thực hiện chính xác một quỹ đạo nào đĩ lặp đi lặp lại nhiều lần hay khơng, liên quan đến độ chính xác động học khi đảo chiều chuyển động, chính xác là khả năng khử khe hở mặt bên của bộ truyền cơ khí. Chất lượng của quá trình làm việc cịn đánh giá thơng qua ổn định động lực học, trong những chế độ làm việc đặc trưng khác nhau, như vận tốc, gia tốc, rung động và va chạm. Robot cơng nghiệp hiện đại thường duy trì cả hai mạch điều khiển là điều khiển vị trí trên cơ sở bài tốn động học ngược, và điều khiển lực trên cơ sở mơ hình động lực học hệ thống. 2.2.2. Giới thiệu bài tốn điều khiển động học ngƣợc Robot Bài tốn động học ngược được đặc biệt quan tâm vì lời giải của nĩ là cơ sở chủ yếu để xây dựng chương trình điều khiển chuyển động của robot bám theo quỹ đạo cho trước. Nhiệm vụ của phần cơng tác được thiết lập trong khơng gian cơng tác, trong khi tác động điều khiển lại đặt vào khớp, nên biến khớp là đối tượng điều khiển trực tiếp. Vì vậy bài tốn động học ngược bao giờ cũng phải được giải, nhưng vị trí của DAC (Trễ truyền thơng giữa controller và các driver) Cơ cấu chấp hành và đối tượng ĐK Controller (Trễ tính tốn) ZOH ADC (Trễ truyền thơng giữa các driver và controller) Khối đo lường; quan sát Hình 2.4 : Trễ trong hệ thống điều khiển số Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 nĩ khác nhau giữa trường hợp điều khiển trong khơng gian khớp và điều khiển trong khơng gian cơng tác. Khi điều khiển trong khơng gian khớp, bài tốn động học ngược được giải trước để chuyển các thơng số từ khơng gian cơng tác sang khơng gian khớp. Ở sơ đồ điều khiển trong khơng gian cơng tác, bài tốn ngược được giải trong mạch phản hồi. Nhiệm vụ của các khối trong sơ đồ: - Khối điều khiển: Bao gồm các thiết bị điều khiển, từ các giá trị đặt của bài tốn khối điều khiển sẽ đưa ra các tác động điều khiển lên các cơ cấu chấp hành để điều khiển đối tượng. x Động học ngược Khối điều khiển Khối chấp hành Tay máy Khối đo lường q _ Hình 2.5 : Sơ đồ điều khiển trong khơng gian khớp qd Khối điều khiển Khối chấp hành Tay máy Khối đo lường xd Hình 2.6 : Sơ đồ điều khiển trong khơng gian cơng tác Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 - Khối chấp hành: Bao gồm các động cơ, thiết bị chấp hành nhận lệnh từ khối điều khiển tác động trực tiếp lên đối tượng. - Khối đo lường: Bao gồm các cảm biến (sensor) dùng để đo các đại lượng cần điều khiển đưa về mạch phản hồi để so sánh với các đại lượng đặt. Cĩ thể thấy dữ liệu của bài tốn động học chia thành hai nhĩm: Nhĩm thơng số gồm các yếu tố cĩ thể xác định được dựa trên thiết kế của robot: - Chiều dài khâu. - Khoảng cách giữa hai gốc hệ quy chiếu kề nhau khơng cùng 1 khâu. - Gĩc xoắn của khâu. Các thơng tin này đều đã biết trước trong cả bài tốn thuận và bài tốn ngược. Nhĩm thứ hai là biến khớp: Bao gồm lượng tịnh tiến của khớp tịnh tiến hoặc gĩc quay của khớp quay, các giá trị này là đầu ra của bài tốn động học ngược. Trong bài tốn thuận đây là thơng tin biết trước. Để giải bài tốn ngược cần xác định thêm thơng tin về phần chấp hành (vị trí và hướng), dữ liệu này do người sử dụng đưa ra trong bài tốn ngược.  Bộ thơng số Denavit-Hartenberg (DH). Một robot nhiều khâu cấu thành từ các khâu nối tiếp nhau thơng qua các khớp động. Gốc chuẩn (Base) của một robot là khâu số 0 và khơng tính vào số các khâu. Khâu 1 nối với khâu chuẩn bởi khớp 1 và khơng cĩ khớp ở đầu mút của khâu cuối cùng. Bất kỳ khâu nào cũng được đặc trưng bởi hai kích thước : Hình 2.7 : Chiều dài và gĩc xoắn của một khâu Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 - Độ dài pháp tuyến chung : a n . - Gĩc giữa các trục trong mặt phẳng vuơng gĩc với a n : α n . Thơng thường, người ta gọi a n là chiều dài và αn là gĩc xoắn của khâu (Hình 2.7). Phổ biến là hai khâu liên kết với nhau ở chính trục của khớp (Hình 2.8). Mỗi trục sẽ cĩ hai pháp tuyến với nĩ, mỗi pháp tuyến dùng cho mỗi khâu (trước và sau một khớp). Vị trí tương đối của hai khâu liên kết như thế được xác định bởi d n là khoảng cách giữa các pháp tuyến đo dọc theo trục khớp n và θ n là gĩc giữa các pháp tuyến đo trong mặt phẳng vuơng gĩc với trục. d n và θ n thường được gọi là khoảng cách và gĩc giữa các khâu. Để mơ tả mối quan hệ giữa các khâu ta gắn vào mỗi khâu một hệ toạ độ. Nguyên tắc chung để gắn hệ tọa độ lên các khâu như sau: + Gốc của hệ toạ độ gắn lên khâu thứ n đặt tại giao điểm của pháp tuyến a n với trục khớp thứ n+1. Trường hợp hai trục khớp cắt nhau, gốc toạ độ sẽ đặt tại chính điểm cắt đĩ. Nếu các trục khớp song song với nhau, gốc toạ độ được chọn trên trục khớp của khâu kế tiếp, tại điểm thích hợp. + Trục z của hệ toạ độ gắn lên khâu thứ n đặt dọc theo trục khớp thứ n+1. + Trục x thường được đặt dọc theo pháp tuyến chung và hướng từ khớp n đến n+1. Trong trường hợp các trục khớp cắt nhau thì trục x chọn theo tích vectơ nZ  và 1nZ  . Hình 2.8 : Các thơng số của khâu θ, d, a và α Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 Trường hợp khớp quay thì θ n là các biến khớp, trong trường hợp khớp tịnh tiến thì d n là biến khớp và a n bằng 0. Các thơng số an, αn, dn và θn được gọi là bộ thơng số DH.  Đặc trƣng của các ma trận A : Trên cơ sở các hệ toạ độ đã ấn định cho tất cả các khâu liên kết của robot, ta cĩ thể thiết lập mối quan hệ giữa các hệ toạ độ nối tiếp nhau (n-1), (n) bởi các phép quay và tịnh tiến sau đây : - Quay quanh z n-1 một gĩc θ n - Tịnh tiến dọc theo z n-1 một khoảng d n - Tịnh tiến dọc theo x n-1 = x n một đoạn a n - Quay quanh x n một gĩc xoắn α n Bốn phép biến đổi thuần nhất này thể hiện quan hệ của hệ toạ độ thuộc khâu thứ n so với hệ toạ độ thuộc khâu thứ n-1 và tích của chúng được gọi là ma trận A : A n = Rot(z,θ) Trans(0,0,d) Trans(a,0,0) Rot(x,α) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n cos sin a sin cos cos sin A d sin cos                                 0 0 0 0 1 n cos sin cos sin sin acos sin cos cos cos sin asin A sin cos d                           Đối với khớp tịnh tiến ( a =0 và θn = 0 ) thì ma trận A cĩ dạng: Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 n cos sin A sin cos                 Đối với một khâu đi theo một khớp quay thì d, a và α là hằng số. Như vậy, ma trận A của khớp quay là một hàm số của biến khớp θ. Đối với một khâu đi theo một khớp tịnh tiến thì θ, α là hằng số. Ma trận A của khớp tịnh tiến là một hàm số của biến số d. Nếu các biến số được xác định thì giá trị của các ma trận A theo đĩ cũng được xác định. 2.2.3. Bài tốn động học trên quan điểm điều khiển thời gian thực 2.2.3.1. Yêu cầu về thời gian thực trong điều khiển động học robot Robot cơng nghiệp là một thiết bị điều khiển nhiều trục đồng thời, bài tốn động học robot được nghiên cứu trên hai phương diện chính là tổng hợp động học và phân tích động học. Trong đĩ bài tốn tổng hợp động học giải quyết các vấn đề về số lượng, kiểu, kích thước của các khâu (link) và các khớp (joint) hợp thành chuỗi động học (chain). Bài tốn phân tích động học cĩ hai nội dung là động học thuận và động học ngược. Nghiệm của bài tốn động học ngược là một trong các thơng tin quan trọng để điều khiển robot hoạt động trong đĩ cần quan tâm đến tốc độ hình thành lời giải với độ chính xác của lời giải bài tốn ngược vì những yếu tố này quyết định chất lượng điều khiển cũng như khả năng điều khiển thời gian thực. Động học robot yêu cầu quản lí được vị trí và hướng của các khâu so với nhau và so với vật chuẩn chung. Cần xác định các hệ quy chiếu duy nhất gắn với từng khâu của cấu trúc, định hướng giữa hai khâu trong cấu trúc là hướng giữa hai hệ quy chiếu gắn với chúng. Ví trí của các khâu đặc trưng bởi gốc hệ quy chiếu gắn với nĩ. Cĩ hai quy tắc xác định các hệ quy chiếu gắn với từng khâu thường sử dụng là quy tắc DH, và quy tắc chuyển vị xoắn liên tiếp [l 0]. Trên cơ sở các quy tắc này cĩ thể sử dụng phương pháp ma trận truyền để xác định vị trí và định hướng của hai khâu bất kì trong chuỗi động học so với nhau hoặc Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 so với giá, trong đĩ vị trí và định hướng của khâu tác động sau cùng gắn với bàn kẹp mơ tả trong hệ quy chiếu cơ sở thường được gọi là phương trình động học thuận (dạng ma trận), hoặc hệ phương trình động học thuận (dưới dạng đại số). Cách thơng thường nhất để xây dựng phương trình động học ngược là dựa trên quan hệ véc tơ vịng kín, như vậy phương trình cĩ thề được viết từ bất cứ điểm nào thuộc chuỗi động học. Vì thể hiện dưới dạng ma trận nên để chuyển một biến nào đĩ sang vế đối diện của phương trình phải nhân cả hai vế của phương trình hiện cĩ với nghịch đảo của ma trận chứa biến đĩ. Bằng kỹ thuật đĩ sau khi biến đổi phương trình vịng kín đến một bước phù hợp theo nhận định của người giải bài tốn, sẽ rút dần các ẩn số làm hệ suy biến và xác định tồn bộ các biến của hệ [8] . Bài tốn động học ngược trở nên đặc biệt khĩ giải trong trường hợp số biến n > 6 , với lý do hệ phi tuyến (gồm các hàm siêu việt), và các biến liên kết [8]. Trong trường hợp này thường khơng giải hệ bằng cách biến đổi phương trình vịng kín mà dùng các phương pháp số. Cĩ thể tham khảo các phương pháp điển hình sau đây: - Phương pháp loại trừ thẩm tách Sylvester [10]. - Phương pháp dựa trên khai triển chuỗi Taylor [8]. - Phương pháp RAGHAVAN và ROTH [10]. - Phương pháp Tsai-Morgan [ 10]. - Phương pháp Newton-Rapson [17]. Theo [8] “một số loại robot n ≥ 6 chỉ tồn tại lời giải bằng phương pháp số, việc giải bài tốn động học ngược bằng phương pháp số nhiều khi địi hỏi thời gian tính tốn kéo dài, thậm chí khơng đi đến lời giải. Sở dĩ như vậy vì thường gặp các hệ phương trình siêu việt khơng phải lúc nào cũng cĩ độ hội tụ lời giải". Trong khi đĩ việc biến đổi phương trình véc tơ vịng kín cũng khơng cho một giải thuật thuận lợi để lập trình vì các lý do như: - Thường sử dụng các đặc điểm riêng của cấu trúc như các trục khớp liên tiếp song song hoặc giao nhau. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 - Cần sử dụng trực giác để nhận biết dạng tương đương của phương trình véctơ vịng kín mà từ đĩ cho phép rút được một ẩn dưới dạng cơng thức. - Trình tự giải bài tốn ngược cho mỗi loại robot là khơng giống nhau. Cĩ thể nhận thấy vấn đề chính của động học robot chuỗi động hở là bài tốn ngược, dù giải bằng phương pháp số hay phương pháp liên tục. Bài tốn ngược cần cĩ một thuật tốn chung cho các loại robot khác nhau, mục đích để ứng dụng máy tính vào tự động hĩa chuẩn bị dữ liệu điều khiển robot. Hơn nữa giải thuật đĩ phải cĩ tính hữu hạn, thời gian chạy ngắn để đáp ứng yêu cầu điều khiển thời gian thực. 2.2.3.2. Hiệu quả giải thuật trên quan điểm điều khiển thời gian thực Trong điều khiển chuyển động robot, hệ thống phát tín hiệu dịch chuyển cho cơ cấu chấp hành gồm vị trí, định hướng khâu tác động cuối, thời gian, vận tốc, gia tốc chuyển động. Nĩi chung đây là các thơng số mơ tả quỹ đạo trong khơng gian cơng tác. Các thơng số này khơng thể sử dụng trực tiếp để tác động tới các động cơ dịch chuyển khớp mà phải chuyển đổi thành thơng số mơ tả quỹ đạo trong khơng gian khớp (các biến khớp), thơng qua việc giải bài tốn động học ngược. Cĩ thể nhận thấy cần một khoảng thời gian nhất định từ khi hệ điều khiển phát tín hiệu dịch chuyển tới khi cơ cấu chấp hành thực hiện hồn chỉnh di chuyển đĩ. Khoảng thời gian đĩ dùng vào việc chuyển đổi các thơng số mơ tả quỹ đạo từ khơng gian cơng tác sang khơng gian khớp. Theo cách thức truyền thống cĩ thể phân tích cụ thể các thao tác mà hệ điều khiển thực hiện trong thời gian này: - Nhận thơng tin về thơng số mơ tả quỹ đạo trong khơng gian cơng tác. - Xác định tồn bộ các phương án nghiệm tốn học của phương trình động học ngược. - Chọn trong các phương án nghiệm tốn học những phương án phù hợp với cấu trúc về mặt vật lí. - Phát tín hiệu điều khiển các động cơ cơng tác. Nếu tồn bộ quá trình này cĩ độ trễ về thời gian bé, được gọi là điều khiển thời gian thực. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 Bài tốn động học ngược robot được khảo sát vì nhiều mục đích, cĩ thể để xác định đầy đủ phản ứng của cấu trúc về mặt động học, cĩ thể là để tìm kiếm một phương án nghiệm cĩ lợi trên khía cạnh nào đĩ. Chẳng hạn hạ thấp trọng tâm cấu trúc tránh chướng ngại vật, di chuyển tối thiểu… Trước hết bài tốn ngược được giải để lấy dữ liệu điều khiển cơ cấu bám quỹ đạo cơng tác. Trên phương diện này bài tốn ngược cần cĩ một giải thuật hiệu quả để cĩ thể đưa ra được phương án khả thi trong thời gian ngắn nhất. Trong điều khiển số, tốc độ nội suy quỹ đạo cần vượt trước tốc độ dịch chuyển của phần chấp hành một số block lệnh nhất định để cĩ thể kiểm sốt được các khả năng phát sinh nhằm cảnh báo lỗi và làm chủ hoạt động. Với những cấu trúc ít khâu, việc xác định nhanh nghiệm của bài tốn ngược khơng gặp nhiều trở ngại song bởi những cấu trúc khơng gian phức tạp bài tốn gặp khĩ khăn cả về khối lượng tính tốn sơ cấp lẫn giải thuật. Các phương pháp số như trình bày ở trên nhằm giải quyết hai vấn đề này. Đầu tiên các phương pháp này được xây dựng tổng quát để cĩ thể áp dụng được cho tất cả các cấu trúc động học dạng chuỗi động học hở. Với ưu thế về tốc độ tính tốn và bộ nhớ lớn của máy tính, các phương pháp số khi ứng dụng máy tính trở thành những cơng cụ hiệu quả cho bài tốn ngược. Các giải thuật trình bày ở trên tuy làm được hai điều đã nĩi, nhưng trải qua rất nhiều bước phức tạp và đều tiêu tốn một khoảng thời gian khơng nhỏ vào việc xác định tất cả các nghiệm tốn học, sau đĩ mới tìm kiếm trong số đĩ một phương án chấp nhận được để thực hiện điều khiển cấu trúc. Nếu bài tốn ngược được giải vì mục đích lấy thơng tin phục vụ điều khiển, cĩ thể tiết kiệm được khoảng thời gian này nếu xác định ngay một nghiệm trong số đĩ sao cho cấu trúc cĩ thể đáp ứng được ràng buộc cơ học. Nếu cĩ một giải thuật như vậy tốc độ xây dựng dữ liệu sẽ là nhanh nhất, đảm bảo yêu cầu điều khiển thời gian thực. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 CHƢƠNG 3: GIẢI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU CHO CÁNH TAY ROBOT 3.1. Thành lập bài tốn điều khiển 3.1.1. Mơ hình đối tƣợng Bất kỳ một robot nào cũng cĩ thể coi là một tập hợp các khâu (links) gắn liền với các khớp (joints). Ta hãy đặt trên mỗi khâu của robot một hệ toạ độ. Sử dụng các phép biến đổi thuần nhất cĩ thể mơ tả vị trí tương đối và hướng giữa các hệ toạ độ này. Denavit. J. đã gọi biến đổi thuần nhất mơ tả quan hệ giữa một khâu và một khâu kế tiếp là một ma trận A. Nĩi đơn giản hơn, một ma trận A là một mơ tả biến đổi thuần nhất bởi phép quay và phép tịnh tiến tương đối giữa hệ toạ độ của hai khâu liền nhau. A 1 mơ tả vị trí và hướng của khâu đầu tiên; A 2 mơ tả vị trí và hướng của khâu thứ hai so với khâu thứ nhất. Như vậy vị trí và hướng của khâu thứ hai so với hệ toạ độ gốc được biểu diễn bởi ma trận : T2 = A1.A2 Cũng như vậy, A 3 mơ tả khâu thứ ba so với khâu thứ hai và : T3 = A1.A2.A3 ; v.v... Theo phép chuyển đổi thuần nhất thế của khâu chấp hành là hàm của các biến khớp, mơ tả bằng ma trận tổng hợp của phép chuyển đổi : 0 1 1 n i n i i A A     (3.1) Trong đĩ: 1i iA  với i = 1÷ n, là ma trận chuyển đổi giữa hệ tọa độ thứ i đến hệ i- 1, xác định theo quy tắc Denavit-Hartenherg; n là số biến khớp (bậc tự do) của robot. Cũng theo Denavit, tích của các ma trận A được gọi là ma trận T, thường cĩ hai chỉ số: trên và dưới. Chỉ số trên chỉ hệ toạ độ tham chiếu tới, bỏ qua chỉ số trên nếu chỉ số đĩ bằng 0. Chỉ số dưới thường dùng để chỉ khâu chấp hành cuối. Nếu một robot cĩ 6 khâu ta cĩ : T 6 = A 1 .A 2 .A 3 .A 4 .A 5 .A 6 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 T 6 mơ tả mối quan hệ về hướng và vị trí của khâu chấp hành cuối đối với hệ toạ độ gốc. Một robot 6 khâu cĩ thể cĩ 6 bậc tự do và cĩ thể được định vị trí và định hướng trong trường vận động của nĩ ( range of motion ). Ba bậc tự do xác định vị trí thuần tuý và ba bậc tự do khác xác định hướng mong muốn. T 6 sẽ là ma trận trình bày cả hướng và vị trí của robot. VD: Hình 3.1 mơ tả quan hệ đĩ với bàn tay máy. Ta đặt gốc toạ độ của hệ mơ tả tại điểm giữa của các ngĩn tay. Gốc toạ độ này được mơ tả bởi vectơ p (xác định vị trí của bàn tay). Ba vectơ đơn vị mơ tả hướng của bàn tay được xác định như sau : ∗ Vectơ cĩ hướng mà theo đĩ bàn tay sẽ tiếp cận đến đối tượng, gọi là vectơ a ∗ Vectơ cĩ hướng mà theo đĩ các ngĩn tay của bàn tay nắm vào nhau khi cầm nắm đối tượng, gọi là vectơ s ∗ Vectơ cuối cùng là vectơ pháp tuyến n Tổng quát, ma trận T6 cĩ thể biểu diễn gọn hơn như sau: (3.2) ( ) 0 0 0 1 x x x x o y y y y n z z z z n s a p n s a p q n s a pT             Hình 3.1: Các vectơ định vị trí và định hướng của bàn tay máy s Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 Trong đĩ ( ) o n qT = f (q1,q2,…,qn); q1 ÷ qn các biến khớp; n, s, a là các véc tơ chỉ phương; p là véc tơ chỉ vị trí; oxyz là hệ trục tọa độ gốc. Ma trận chuyển đổi tổng hợp cĩ dạng: (3.3) Các thành phần aij với i, j= 1÷ 3 là các cosin chỉ phương của n, s, a; a14, a24, a34 lần lượt là các thành phần chiếu lên hệ Oxyz của p. Do tính chất trực giao của các vec tơ chỉ phương, cho nên chỉ cĩ ba thành phần trong các cosin chỉ phương độc lập. Vì vậy kết hợp (3.2) và (3.3) nhận được:                 34 24 14 23 13 12 ap ap ap aa aa as z y x y x x (3.4) Giải hệ phương trình này nhận được giá trị các biến khớp. Khi giải cĩ thể gặp các trường hợp sau: - Hệ phương trình (3.4) cĩ thể phi tuyến hoặc phải xác định biến từ hàm siêu việt vì vậy kết quả khơng chính xác hoặc cĩ nhiều lời giải. - Hệ (3.4) cĩ thể vơ định vì số bậc tự do thừa. - Các kết quả cĩ thể khơng thoả mãn được các điều kiện ràng buộc về mặt kết cấu. 11 12 13 14 21 22 23 240 31 32 33 34 0 0 0 1 n a a a a a a a a A a a a a             Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 3.1.2. Phiếm hàm mục tiêu 3.1.2.1. Bài tốn tối ƣu về độ chính xác về vị trí và hƣớng của khâu chấp hành Mục tiêu của điều khiển động học là đạt được độ chính xác về vị trí và hướng của khâu chấp hành. Như vậy chỉ cần xác định các giá trị của các biến khớp sao cho đảm bảo sai số vị trí và hướng là nhỏ nhất đồng thời thoả mãn các điều kiện ràng buộc về mặt kết cấu. - Gọi q = {q1 ,q2 ,…qn} : là véc tơ các biến khớp. Q = f(q) : Hàm mơ tả sai lệch vị trí và hướng của khâu chấp hành. Bài tốn xác định giá trị các biến khớp được viết: Q = f (q1,q2,…,qn)  min (3.5) Trong đĩ: qi  D; i = 1 ÷ n Đây là bài tốn tối ưu, nghiệm của (3.5) phải là nghiệm của (3.4) vì vậy hàm mục tiêu được xác định theo (3.4) như sau, trước hết viết lại hệ phương trình (3.4) dưới dạng tương đương:                 0 0 0 0 0 0 34 24 14 23 13 12 ap ap ap aa aa as z y x y x x (3.6) Bình phương hai vế của hệ phương trình này và cộng theo vế để cĩ: (sx – a12) 2 +(ax – a13) 2 +(ay – a23) 2 + (px – a14) 2 +(py – a24) 2 +(pz – a34) 2 = 0 Rõ ràng vế trái khơng âm nên giá trị nhỏ nhất của vế trái bằng khơng, tương đương với hệ phương trình (3.4) được thỏa mãn. Đặt Q là hàm số ở vế trái : Q = (sx – a12) 2 +(ax – a13) 2 +(ay – a23) 2 +(px – a14) 2 +(py – a24) 2 +(pz – a34) 2 (3.7) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 Dạng hàm này cĩ tên gọi riêng là hàm Rosenhrock-Banana [22], do đĩ việc giải bài tốn sẽ cần xác định một giải thuật phù hợp. Trên cơ sở bài tốn đặt ra là điều khiển tối ưu cánh tay robot, với việc xác định khoảng thời gian để cánh tay robot di chuyển tới vị trí cần thiết là ngắn nhất, tức là ta đi tìm nghiệm tối ưu của hàm mục tiêu (3.7) sao cho Q → Min. 3.1.2.2. Bài tốn di chuyển tối thiểu Bài tồn di chuyển tối thiểu cĩ thể hiểu là tổng giá trị tuyệt đối lượng di động (di chuyển gĩc và di chuyển thẳng) là nhỏ nhất, trong các phương án nghiệm vật lí và các phương án nghiệm mà cấu trúc đáp ứng được. Di chuyển tối thiểu thường đồng nghĩa với thời gian đáp ứng nhanh nhất và năng lượng tiêu hao bé nhất. Trên cơ sở giải được bài tốn ngược với thời gian bé, việc xác định phương án di chuyển tối thiểu làm cho cấu trúc cĩ thời gian đáp ứng ngắn nhất với tín hiệu điều khiển. Bài tốn động học ngược trên cơ sở bài tốn tối ưu cho phép khởi tạo điều kiện di chuyển tối thiểu dưới hai hình thức: -Đặt lượng di chuyển tổng cộng làm mục tiêu:                        iii k k n i ik uql qh qg qqf ;0 ;0 min 1 1 1 1 (3.8) Trong đĩ i = 1÷ n là số bậc tự do của cấu trúc; 1i k k i q q q   : là biến thiên nghiệm thứ (i) giữa hai vị trí (k+1) và (k) của quỹ đạo; g(qk+1); h(qk+1) là các ràng buộc xây dựng từ vị trí và định hướng, dựa trên đồng nhất toạ độ thực và toạ độ lí thuyết của khâu tác động cuối cùng Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 li : giới hạn dưới của biến bị chặn; ui: giới hạn trên của biến bị chặn; 3.1.3. Điều kiện giới hạn của các biến Trong khơng gian khớp D xác định miền giá trị của các biến khớp:            nnn bqa bqa bqa . . 222 111 (3.9) Nghiệm q* = {q1 * ,q2 * ,…qn * } của (3.5) là nghiệm gần đúng của (3.4) thuộc khơng gian khớp. - Trong điều khiển chỉ địi hỏi độ chính xác hướng của khâu chấp hành, bài tốn tối ưu cĩ dạng: Q1 = f (q1,q2,…,qn) → min (3.10) V ≤ Q2 ≤ U Ràng buộc : qi Є D; i = 1 ÷ n Trong đĩ: - Hàm mơ tả sai lệch hướng Q1 = (sx – a12) 2 +(ax – a13) 2 +(ay – a23) 2 (3.11) - Hàm mơ tả sai lệch vị trí . Q2 = (px – a14) 2 +(py – a24) 2 +(pz – a34) 2 (3.12) U, V: Các sai lệch giới hạn xác định theo yêu cầu kỹ thuật. - Tương tự nếu địi hỏi độ chính xác vị trí của khâu chấp hành bài tốn tối ưu cĩ dạng: Q2 = f (q1,q2,…,qn)  min (3.13) V ≤ Q1 ≤ U Trong đĩ: qi Є D; i = 1 ÷ n Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 Về bản chất các bài tốn (3.5), (3.10), (3.13) là bài tốn tối ưu hĩa trên miền kín vì trên thực tế các khớp tịnh tiến hoặc quay của robot thường cĩ khơng gian hoạt động bị giới hạn trong một phạm vi nhất định. Dấu của biến khớp thể hiện hướng di chuyển của chuyển động, trong khi các biến đều chuyển động khứ hồi nên các ràng buộc thường cĩ dạng chung cho khớp tịnh tiến và quay: giới hạn dưới ≤ qi ≤ giới hạn trên Tập hợp ràng buộc của n biến khớp là một miền kín, từ (3.7) nhận thấy, vế phải của hàm mục tiêu luơn dương nên giá trị nhỏ nhất của mục tiêu là bằng khơng. Phương án (q1,q2,…,qn) làm cho giá trị hàm mục tiêu bằng khơng là phương án nghiệm vật lí, ngược lại nếu giá trị mục tiêu Q > 0, khơng tồn tại phương án nghiệm vật lí. 3.2. Khả năng ứng dụng của giải thuật trên máy tính Theo [8] nhận định “bài tốn động học ngược được đặc biệt quan tâm vì lời giải của nĩ là cơ sở chủ yếu xây dụng chương trình điều khiển chuyển động của robot bám theo quỹ đạo cho trước. Đối với trường hợp n>6, hầu như chỉ cĩ lời giải theo phương pháp số, đối với một số loại robot cụ thể nào đĩ nhưng chưa cĩ một phương pháp chung nào hiệu quả cả. Bản thân việc giải bài tốn động học ngược bằng phương pháp số nhiều khi địi hỏi thời gian tính tốn kéo dài thậm chí khơng đi đến lời giải. Sở dĩ như vậy vì thường gặp các hệ phương trình siêu việt khơng phải lúc nào cũng cĩ độ hội tụ lời giải. Điều đĩ ảnh hưởng lớn đến việc đảm bảo thời gian thực trong điều khiển robot " Yêu cầu của giải thuật phải cĩ tính hữu hạn, tức là phải đưa ra được kết quả sau một số hữu hạn vịng lặp. Nếu khơng hội tụ bài tốn phải đưa ra được cảnh báo. Trường hợp xấu nhất, thuật tốn tối ưu vẫn kết thúc với kết luận rõ ràng sau một khoảng thời gian hữu hạn cĩ thể dự báo được. Xét các ràng buộc về giới hạn hoạt động của biến khớp dạng bất đẳng thức: li ≤ q1 ≤ ui với i = 1÷ n n: số bậc tự do của cấu trúc. Trong đĩ: li : (lower bound(i) giới hạn dưới biến khớp) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 ui : (upper bound(i) giới hạn trên biến khớp) Trong khơng gian n chiều mơ tả n biến khớp, mỗi khớp bị chặn hai đầu bao điểm gốc tọa độ hình thành một miền đĩng. Bản chất của bài tốn là tối ưu hĩa trên miền kín nên luơn cĩ nghiệm. Tuy nhiên nếu giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu khơng về khơng (zero), bài tốn động học sẽ xét tiếp khả năng thứ hai, giá trị của hàm mục tiêu cĩ nhỏ hơn giá trị ε (epsilon) cho trước khơng. Nếu điều kiện này khơng thỏa mãn tương ứng với trường hợp ma trận thế ghép vào bài tốn ngược khơng biểu diễn một điểm nằm trong vùng làm việc. Cũng cần chú ý rằng một giải thuật ứng dụng máy tính cần thốt ly những nhận định chủ quan dựa trên trực giác tốn học như khi bài tốn làm bằng tay. Bài tốn tối ưu trình bày ở trên khơng dựa trên kĩ thuật biến đổi phương trình vịng kín mà sử dụng trực tiếp kết quả của bài tốn thuận. Các đặc điểm như trục khớp giao nhau, trục khớp song song thường sử dụng trong khi làm bằng tay. Khơng cần chú ý đến ở đây, bài tốn này cĩ những đặc điểm phù hợp để ứng dụng máy tính. 3.3. Thành lập bài tốn điều khiển cho một số dạng robot 3.3.1. Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay) 3.3.1.1. Phƣơng trình động học (Mơ hình tốn học) Sơ đồ động cơ cấu 3 khâu phẳng tồn khớp quay cho như hình vẽ: q1 q3 q2 x0 y0 x3 x1 y1 x2 y2 y3 Hình 3.2: Sơ đồ động học cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay) a1 a3 a2 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 Hệ phương trình động học của cơ cấu này chỉ cần dùng phương pháp hình học: Hệ phương trình động học thuận ở đây tham khảo từ [16] như sau: x 1 1 2 1 2 3 1 2 3 y 1 1 2 1 2 3 1 2 30 3 z p a cos(q ) a cos(q q ) a cos(q q q ) p a sin(q ) a sin(q q ) a sin(q q q ) A p 0 1 1             Phần định hướng bàn kẹp: x x x 1 2 3 1 2 3 y y y 1 2 3 1 2 3 z z z n s a cos(q q q ) sin(q q q ) 0 n s a sin(q q q ) cos(q q q ) 0 n s a 0 0 1           3.3.1.2. Hàm mục tiêu Vì cơ cấu phẳng, cĩ khả năng thỗ mãn định vị và định hướng đồng thời trong mặt phẳng cĩ toạ độ z = const. Giả sử chọn mơ tả định hướng của trục bàn kẹp qua thơng số: sy =cosin(y3;y0) = a22. Vì vậy ta cĩ dạng tổng quát của hàm mục tiêu như sau: Q= (sy – a22) 2 + (px – a14) 2 + (py – a24) 2 → Min (3.14a) Hàm mục tiêu cho Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay) cĩ dạng Q = (cos (q1+ q2 + q3) – a22) 2 + ((a1 cos(q1) + a2cos(q1+ q2)+ +a3cos(q1+ q2 + q3)) – a14) 2 + ((a1 sin(q1) + a2 sin(q1+ q2)+ +a3 sin(q1+q2 + +q3)) – a24) 2 → Min (3.14b) Trong đĩ: a1= 90(mm); a2= 80(mm); a3= 70(mm) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 3.3.1.3. Điều kiện hạn chế Giả sử điều kiện chọn nghiệm theo giới hạn hoạt động biến khớp như sau: - 3.14(rad) ≤ qi ≤ 3.14(rad) với i= 1 – 3 (3.14c) 3.3.2. Robot Elbow (Sáu bậc tự do tồn khớp quay) 3.3.2.1. Phƣơng trình động học (Mơ hình tốn học) Sơ đồ động, bảng DH và hệ phương trình động học thuận của robot như sau: Hình 3.3: Sơ đồ động học cơ cấu 3 khâu phẳng Robot Elbow Z0 Z1 Z2 Z3 Z5 Z4 Z6 a2 a3 a4 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 Bảng 3.1: Bảng DH robot Elbow KHỚP αi ai di θi 1 π/2 0 0 θ1 * 2 π/2 a2 0 θ2 * 3 0 a3 0 θ3 * 4 -π/2 a4 0 θ4 * 5 π/2 0 0 θ5 * 6 0 0 0 θ6 * Hệ phương trình động học thuận của robot Elbow như sau: Dữ liệu hướng: sx =cos(q1)*(-cos(q2+q3+q4)*cos(q5)*sin(q6)-sin(q2+q3+q4)*cos(q6)) + sin(q1)*sin(q5)*sin(q6) ax =cos(q1)*(cos(q2+q3+q4)*sin(q5))+sin(q1)*cos(q5); ay =sin(q1)*(cos(q2+q3+q4)*sin(q5))-cos(q1)*cos(q5); Dữ liệu vị trí: px = cos(q1)*(cos(q2+q3+q4)*a4+cos(q2+q3)*a3+cos(q2)*a2); py = sin(q1)*(cos(q2+q3+q4)*a4+cos(q2+q3)*a3+cos(q2)*a2); pz = sin(q2+q3+q4)*a4+sin(q2+q3)*a3+sin(q2)*a2; 3.3.2.2. Hàm mục tiêu Từ (3.7) ta cĩ hàm mục tiêu của Robot Elbow như sau: Q = ((cos(q1)*(-cos(q2+q3+q4)*cos(q5)*sin(q6)-sin(q2+q3+q4)*cos(q6)) + +sin(q1)*sin(q5)*sin(q6)) – a12) 2 + +((cos(q1)*(cos(q2+q3+q4)*sin(q5))+sin(q1)*cos(q5)) – a13) 2 + +((sin(q1)*(cos(q2+q3+q4)*sin(q5))-cos(q1)*cos(q5)) – a23) 2 + +((cos(q1)*(cos(q2+q3+q4)*a4+cos(q2+q3)*a3+cos(q2)* a2)) – a14) 2 + +(( sin(q1)*(cos(q2+q3+q4)*a4+cos(q2+q3)*a3+cos(q2)*a2)) – a24) 2 + +((sin(q2+q3+q4)*a4+sin(q2+q3)*a3+sin(q2)*a2) – a34) 2 → Min (3.15a) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 Trong đĩ a4= 180(mm); a3= 175(mm); a2= 160(mm). 3.3.2.3. Điều kiện hạn chế Điều kiện chọn nghiệm theo giới hạn hoạt động biến khớp: Giả sử rằng giới hạn cơ học của các khớp xác định được trong phạm vi sau: - 5.1(rad) ≤ q1, q2 ≤ 5(rad) - 4.4(rad) ≤ q3, q4 ≤ 3.14(rad) (3.15b) - 3.14(rad) ≤ q5, q6 ≤ 3(rad) 3.3.3. Robot Puma (Sáu bậc tự do tồn khớp quay) 3.3.3.1. Phƣơng trình động học (Mơ hình tốn học) Sơ đồ động, bảng DH và hệ phương trình động học thuận của robot như sau: Hình 3.4: Sơ đồ động robot Puma Z3 Z5 Z4 Z2 Z1 Z0 d6 d4 a2 d2 d1 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 KHỚP αi ai di θi 1 -π/2 0 0 θ1 * 2 0 a2 d2 θ2 * 3 π/2 a3 0 θ3 * 4 -π/2 0 d4 θ4 * 5 π/2 0 0 θ5 * 6 0 0 d6 θ6 * Hệ phương trình động học thuận của robot Puma như sau: Dữ liệu hướng: sx = cos(q1)*(-cos(q2+q3)*(cos(q4)cos(q5)*sin(q6)+sin(q4)*cos(q6)) + + sin(q2+q3)sin(q5)*sin(q6))-sin(q1)*(sin(q4)*cos(q5)*sin(q6) +cos(q4)*cos(q6)); ax = cos(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)+sin(q3)*cos(q5))- - sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)-cos(q3)*cos(cos(q5)))-sin(q1)*sin(q4)*sin(q5); ay = sin(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)+sin(q3)*cos(q5))- - sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)-cos(q3)*cos(cos(q5)))+cos(q1)*sin(q4)*sin(q5); Dữ liệu vị trí: px = cos(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6+sin(q3)*(cos(q5)*d6 + +d4)+cos(q3)*a3)-sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6-cos(q3)*(cos(q5)*d6 + +d4)+sin(q3)*a3)+(cos(q2)*a2)-sin(q1)*(sin(q4)*sin(q5)*d6+d2); py = sin(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6+sin(q3)*(cos(q5)*d6+ +d4)+cos(q3)*a3)-sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6-cos(q3)*(cos(q5)*d6+ +d4)+sin(q3)*a3)+(cos(q2)*a2)+cos(q1)*(sin(q4)*sin(q5)*d6+d2); pz = -(sin(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6+sin(q3)*(cos(q5)*d6+d4) +cos(q3)*a3)+cos(q2)*(sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6-cos(q3)*(cos(q5)*d6 + +d4)+sin(q3)*a3)+sin(q2)*a2); Bảng 3.2: Bảng DH robot Puma Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71 3.3.3.2. Hàm mục tiêu Từ (3.7) ta cĩ hàm mục tiêu của Robot Puma như sau: Q = ((cos(q1)*(-cos(q2+q3)*(cos(q4)cos(q5)*sin(q6)+sin(q4)*cos(q6)) + + sin(q2+q3)sin(q5)*sin(q6))-sin(q1)*(sin(q4)*cos(q5)*sin(q6) + +cos(q4)*cos(q6)))- a12) 2 +((cos(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)+ +sin(q3)*cos(q5))- sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)-cos(q3)*cos(cosq5)))- -sin(q1)*sin(q4)*sin(q5))– a13)) 2 +((sin(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)+ +sin(q3)*cos(q5))- sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)-cos(q3)*cos(cos(q5)))+ +cos(q1)*sin(q4)*sin(q5))–a23) 2 +((cos(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6+ +sin(q3)*(cos(q5)*d6+d4)+cos(q3)*a3)-sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6- -cos(q3)*(cos(q5)*d6+d4)+sin(q3)*a3)+(cos(q2)*a2)-sin(q1)*(sin(q4)*sin(q5)*d6+ +d2)) – a14) 2 + (sin(q1)*(cos(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6+ +sin(q3)*(cos(q5)*d6+d4)+cos(q3)*a3)-sin(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6- -cos(q3)*(cos(q5)*d6+d4)+sin(q3)*a3)+(cos(q2)*a2)+ +cos(q1)*(sin(q4)*sin(q5)*d6+d2))– a24) 2 + +((-(sin(q2)*(cos(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6+sin(q3)*(cos(q5)*d6+d4)+ +cos(q3)*a3)+cos(q2)*sin(q3)*cos(q4)*sin(q5)*d6-cos(q3)*(cos(q5)*d6+d4)+ +sin(q3)*a3)+sin(q2)*a2))– a34) 2 → Min (3.16a) Trong đĩ: a2=300(mm); d2=25(mm); a3=10(mm); d4=285(mm); d6=160(mm). 3.3.3.3. Điều kiện hạn chế Phạm vi biến thiên của biến khớp xác định từ kết cấu cụ thể của tay máy như sau: - 6(rad) ≤ q1