Luận văn Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức - Lưu Thị Minh Tâm

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRèNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thỏi Nguyờn - năm 2010 www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRèNH VI PHÂN PHỨC Chuyờn ngành: Giải tớch Mó số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thỏi Nguyờn - Năm 2010 www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 1 Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ•ợc đánh giá là một trong những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m•ơi. Đ•ợc hình thành từ những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết. Nội dung luận văn gồm hai ch•ơng: Ch•ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna. Ch•ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph•ơng trình vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph•ơng trình vi phân phức của tác giả Ping Li. Kết quả của luận văn: Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f coi nh• là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p1, p2 là 2 hàm nhỏ của ze và 1 2,  là 2 hằng số khác không. Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph•ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức:     1 21 2 . z znf z P f p e p e     Luận văn đ•ợc hoàn thành d•ới sự h•ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS - TSKH Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2 Thầy, Thầy không chỉ h•ớng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông cảm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr•ờng Đại học S• phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học và luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr•ờng cao đẳng Công Nghệ và Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên L•u Thị Minh Tâm www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3 Ch•ơng I Cơ sở lý thuyết Nevanlinna 1.1. Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ•ợc gọi là điểm bất th•ờng cô lập của hàm f(z) nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó. 1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th•ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ•ợc gọi là cực điểm của f(z) nếu  lim z a f z    . 1.1.3. Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức  đ•ợc gọi là hàm nguyên. Nh• vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất th•ờng hữu hạn. 1.1.4. Định nghĩa: Hàm f(z) đ•ợc gọi là hàm phân hình trong miền D   nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất th•ờng là cực điểm. Nếu D =  thì ta nói f(z) phân hình trên  , hay đơn giản, f(z) là hàm phân hình. *Nhận xét: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm  ,z D f z có thể biểu diễn đ•ợc d•ới dạng th•ơng của hai hàm chỉnh hình. 1.1.5. Định nghĩa: Điểm z0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) nếu trong lân cận của z0 , hàm       0 1 m f z h z z z   , trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của z0 và  0 0h z  . 1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f’(z) cũng là hàm phân hình trên D. Hàm f(z) và f’(z) cũng có các cực điểm tại những điểm nh• www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4 nhau. Đồng thời, nếu z0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z0 là cực điểm cấp m+1 của hàm f’(z). *Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ•ợc các cực điểm trên D. 1.1.7. Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong  , điều kiện cần và đủ để f(z) không có các điểm bất th•ờng khác ngoài cực điểm là f(z) là hàm hữu tỷ. 1.2. Định lý cơ bản thứ nhất 1.2.1. Công thức Poisson-Jensen Định lý: Giả sử   0f z  là một hàm phân hình trong hình tròn  z R với 0 R  . Giả sử  1,2,...a M   là các không điểm, mỗi không điểm đ•ợc kể một số lần bằng bội của nó, bv(v = 1,2,…N) là các cực điểm của f trong hình tròn đó, mỗi cực điểm đ•ợc kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó nếu      . , 0 , 0;iz r e r R f z f z      thì:           2 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 log log Re 2 2 log log . i M N v v v R r f z f d R Rrcos r R z a R z b R a z R b z                          (1.1) Chứng minh *Tr•ờng hợp 1. Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong  z R . Khi đó ta cần chứng minh:       2 2 2 2 2 0 1 log log Re . 2 2 i R rf z f d R Rrcos r           (1.1a) + Tr•ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng minh: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 5     2 0 1 log 0 log Re . 2 if f d       Do f(z) không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:       2 0 1 1 log 0 log log Re . 2 2 i z R dz f f z f d i z         Lấy phần thực ta thu đ•ợc kết quả tại z = 0.     2 0 1 log 0 log Re . 2 if f d       + Với z tùy ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến R  thành 1  và biến z  thành 0  . Đó là ánh xạ:   2 . R z R z       Nh• vậy R  t•ơng ứng với 1  . Trên R  , ta có:      22log log log log log . R z R z R z R z            Nên      22 2 2 . R z dd d zd z R z R z z                 (1*) Do log f(z) là chỉnh hình trong z R , theo định lý Cauchy ta có:     1 log log . 2 R d f z f i z      (2*) www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6 Mặt khác     22 1 1 log log . 2 2 R R zd d f f Ri iR z z               (3*) Do z z R  suy ra 2R R z  nghĩa là điểm 2R z nằm ngoài vòng tròn R  , nên hàm   2 1 log f R z    là hàm chỉnh hình. Nh• vậy tích phân trong vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có:          22 2 1 log log . 2 R R z d f z f i R z z          (1.2) Hơn nữa, trên R  , . ,i iR e d iRe d     và           2 2 2 Re Re 2 . i i i i R z z R R re re R Rrcos r                     Kết hợp với (1.2) ta thu đ•ợc:         2 22 2 2 0 1 log log Re . 2 2 i R r d f z f R Rrcos r            (1.3) Lấy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta đ•ợc:         2 22 2 2 0 1 log log Re . 2 2 i R r d f z f R Rrcos r            Đây là điều cần phải chứng minh. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7 * Tr•ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong  z R , nh•ng có hữu hạn không điểm và cực điểm cj trên biên R  . Với 0  nhỏ tùy ý, ta đặt:    .j jD z R U c      Gọi D là chu tuyến của D và  là các cung lõm vào trên D bao gồm những phần trên đ•ờng tròn R  cùng với các phần lõm vào của đ•ờng tròn nhỏ bán kính  và tâm là các không điểm hoặc cực điểm f(z) trên R  . Giả sử iz re  trong miền z R , tồn tại  đủ nhỏ sao cho z D . Khi đó:          22 2 1 log log 2 D R z d f z f i R z z          (1.2a) Giả sử z0 là một không điểm hay cực điểm của f(z) trên R  và  là cung tròn ứng với z0 trên D . Khi đó trên 0 ,    0 ... m f z c z z   trong đó m > 0 nếu z0 là không điểm và m < 0 nếu z0 là cực điểm. Suy ra   1 log logf z O         khi 0  . Nh• vậy: 1 1 log . . , 2 O M              trong đó M là một đại l•ợng bị chặn. Ta thấy www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 8 1 log . . 0O M         khi 0  . Cho 0  trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích phân trong vế phải của (1.3), tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Nh• vậy ta cũng thu đ•ợc công thức (1.3) trong tr•ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1). *Tr•ờng hợp 3. Bây giờ ta xét tr•ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các không điểm và các cực điểm trong z R đặt:         2 1 2 1 1 . . N v M v v R b f R a R b R a                   (1.4) Hiển nhiên    không có không điểm hoặc cực điểm trong z R . Nh• vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm    . Hơn thế nữa, nếu Rei  thì :      2 1, R a R a R a a               và      2 1, v v v v R b R b R b b            nên    f    . Vậy               2 22 2 2 0 2 22 2 2 0 1 log log Re 2 2 1 log Re . 2 2 i i R r d z R Rrcos r R r d f R Rrcos r                           (1.5) Mặt khác: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 9               2 2 1 1 2 2 1 1 log log log log log log log . M N v v v M N v v v R z a R z b z f z R a z R b z R z a R z b f z R a z R b z                            Thay  log z vào (1.5) ta thu đ•ợc kết quả. *ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong z R , thì ta có thể tìm đ•ợc giá trị của modulus f(z) bên trong đĩa z R . Khi z = 0 ta đ•ợc hệ quả quan trọng hay đ•ợc sử dụng về sau: * Hệ quả: Trong những giả thiết của định lý, đồng thời nếu   0,f z   thì khi z = 0 trong định lý (1.2.1) ta thu đ•ợc công thức Jensen.     2 1 10 1 log 0 log Re log log . 2 M N vi v a b f f d R R          (1.6) Khi   0,f z   công thức trên đây chỉ cần thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu   0,f z   hàm f(z) có khai triển tại lân cận z = 0 dạng:    ...,xf z c z Z    Xét hàm    R f z z z    ta thấy  0 0,   , đồng thời khi    Re ,i f     . Từ đó ta có:   2 1 10 1 log log Re log log log . 2 M N vi v a b c f d R R R            www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 Nhận xét: Giả sử f(z) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của hàm f(z) tại điểm 0z G , ký hiệu 0z o r d f , là số nguyên m sao cho hàm      0 m f z g z z z   chỉnh hình và khác 0 tại z0. Nh• vậy: 0z ord f  m > 0 nếu z0 là không điểm cấp m , bằng 0 nếu f(z) chỉnh hình, khác 0 tại z0, bằng – m nếu z0 là cực điểm cấp m. Với ký hiệu trên công thức Poisson-Jensen có thể viết d•ới dạng:         222 2 2 0 1 log log Re . .log 2 Re i i R z R z f z f d ord f R zz            , trong đó tổng lấy theo mọi  trong hình tròn  R  . 1.2.2. Hàm đặc tr•ng 1.2.2.1. Một số khái niệm Phần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc tr•ng và các tính chất của chúng. Tr•ớc hết ta định nghĩa: log+x = max{logx,0}. Rõ ràng nếu x > 0 thì logx = log+x – log+(1/x). Nh• vậy:       2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 log Re log Re log , 2 2 2 Re i i i f d f d d f              ta đặt:     2 0 1 , log Re . 2 im R f f d      (1.7) www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 11 Hàm m(R,f) đ•ợc gọi là hàm xấp xỉ. Gọi r1,r2,….,rN là các môdun của các cực điểm b1,b2,…bN của f(z) trong z R . Khi đó   1 1 0 log log log , , RN N v vv v R R R dn t f b r t      (1.8) trong đó n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong z t , cực điểm bậc q đ•ợc đếm q lần. Thật vậy, tr•ớc hết bằng ph•ơng pháp tích phân từng phần ta có:         00 0 0 log , log . , , log , RR R R R R R dt dn t f n t f n t f d n t f t t t t      , (a) mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử 1 20 ... Nr r r R    . Khi đó:         1 2 10 0 , , , ... , , N r rR R r r dt dt dt dt n t f n t f n t f n t f t t t t        ta thấy rằng:   1 1 2 2 3 0, 1, , 2, ... , N t r r t r n t f r t r N r t R              nên www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12                 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 0 0 0 2 1 3 2 1 2 1 , , , ... , 0. 1. ... . log 2log ... log log log 2 log log ... log log log log log ... log log log l N N N r rR R r r r r R r r r r R r r r N N dt dt dt dt n t f n t f n t f n t f t t t t dt dt dt N t t t t t N t r r r r N R r N R r r r R r                                      2 1 og log ... log log log ; N N v v R r R r R r      (b) từ (a) và (b) ta đ•ợc (1.8). Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm N(R,f). Giả sử n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong hình tròn z t ; r1,r2, … rN là môdun của các cực điểm b1,b2,…,bN ( mỗi cực điểm đ•ợc tính một số lần bằng bậc của nó). Khi đó ta có:   1 1 0 log log log , . RN N v vv v R R R dn t f b r t      Hàm đếm đ•ợc định nghĩa bởi công thức sau:     1 0 , log , . RN v v R dt N R f n t f b t    (1.9) 1 0 1 1 , log , . RN R dt N R n t f a f t                 (1.10) Với cách định nghĩa này công thức Jensen (1.6) sẽ đ•ợc viết lại nh• sau: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13       1 1 log 0 , , , , .f m R f m R N R f N R f f                Hoặc       1 1 , , , , log 0 .m R f N R f m R N R f f f                Bây giờ ta đặt:      , , , .T R f m R f N R f  (1.11) Khi đó công thức Jensen đ•ợc viết lại một cách rất đơn giản là:     1 , , log 0 .T R f T R f f        (1.12) Giá trị  ,m R f là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của  log f z trên z R trong đó f là lớn. Giá trị  ,N R f có quan hệ với cực điểm. Hàm  ,T R f đ•ợc gọi là hàm đặc tr•ng Nevanlinna của hàm phân hình  f z , có vai trò quan trọng chủ yếu trong lý thuyết của hàm phân hình. 1.2.2.2. Một số tính chất của hàm đặc tr•ng Chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số tính chất đơn giản của hàm      , , , , ,m R f N R f T R f . Chú ý a1, …,ap là các số phức thì 11 log log , p p v v vv a a    và   1,..., 1 1 log log log log . p p v v v v p v v a p max a a p          áp dụng các bất đẳng thức trên cho hàm phân hình    1 ,..., pf z f z và sử dụng (1.7) chúng ta thu đ•ợc các bất đẳng thức sau: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 1)      1 1 , , log . p p v v v v m r f z m r f z p            2)      11 , , . p p v v vv m r f z m r f z         3)      1 1 , , . p p v v v v N r f z N r f z           4)      11 , , . p p v v vv N r f z N r f z         Sử dụng (1.11) ta thu đ•ợc 5)      1 1 , , log . p p v v v v T r f z T r f z p            6)      11 , , . p p v v vv T r f z T r f z         Trong tr•ờng hợp đặc biệt khi      1 22, ,p f z f z f z a   = constant, ta suy ra    , , log log 2T r f a T r f a    . Và từ đó chúng ta có thể thay thế f + a, f bởi f, f ’ a và a bởi - a, suy ra:    , , log log2.T r f T r f a a    (1.13) 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna 1.2.3.1 .Định lý Giả sử f là hàm phân hình, a là một số phức tùy ý, khi đó ta có:       1 1 , , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R f a f a                 www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 15 trong đó:  , log log2.a R a   Ta th•ờng dùng định lý cơ bản thứ nhất d•ới dạng:     1 1 , , , 1 ,m R N R T R f O f a f a                trong đó O(1) là đại l•ợng giới nội khi r  . Chứng minh: Theo (1.11) và (1.12) ta có:     1 1 1 , , , , log 0 .m R N R T R T R f a f a f a f a f a                          Từ (1.13) ta suy ra:      , , , .T R f a T R f a R   Với  , log log2a R a   . Từ đó ta có:       1 1 , , , log 0 , .m R N R T R f f a a R f a f a                 Với  , log log2a R a   . Định lý đ•ợc chứng minh xong. *ý nghĩa: Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna, ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất. Hàm đếm 1 ,N R f a       đ•ợc cho bởi công thức: 1 1 , log M R N R f a a         , trong đó a là các nghiệm của ph•ơng trình  f z a trong hình tròn z R . www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 16 Hàm xấp xỉ:   2 0 1 1 1 , log . 2 Rei m R d f a f a            Nh• vậy, nếu f nhận c¯ng nhiều giá trị “gần a” ( tức l¯  Reif a  nhỏ, thì hàm m càng lớn. Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm “ đo độ lớn của tập nghiệm phương trình  f z a ” v¯ độ lớn tập hợp tại đó f(z) nhận giá trị gần bằng a. Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l•ợng giới nội). Vì thế, định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) “ nhận mỗi giá trị a ( và giá trị “gần a “) một số lần như nhau”. Đây l¯ một tương tự của định lý cơ b°n của đại số. Hàm đặc tr•ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh• đặc tr•ng cho “ cấp tăng” của một h¯m phân hình. Nhận xét: Nếu hàm f cố định, ta có thể viết        , , , , , ,m R a N R a n R a T R lần l•ợt thay cho   1 1 1 , , , , , , ,m R N R n R T R f f a f a f a                     nếu a là hữu hạn và      , , , , ,m R N R n R   thay cho      , , , , ,m R f N R f n R f . Nếu chúng ta cho R biến thiên thì định lý cơ bản thứ nhất có thể đ•ợc viết d•ới dạng nh• sau:        , , 1 .m R a N R a T R O   Với mỗi a là hữu hạn hay vô hạn. Số hạng m(R,a) dần tới trung bình nhỏ nhất có thể đ•ợc của f ’ a trên vòng tròn z R , số hạng N(R,a) dần đến số nghiệm của ph•ơng trình  f z a trong z R . Với mỗi giá trị của a, tổng của hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 17 1.2.3.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Xét hàm hữu tỷ   ... ... p p q q z a f z c z b      , trong đó 0c  . Giả sử p > q. Khi đó  f z  khi z  , nh• vậy khi a hữu hạn m(r,a) = 0 với mọi r > r0 nào đó. Ph•ơng trình f(z) = a có p nghiệm sao cho n(t,a) = p(t>t0), nh• vậy:      , , log 1 r a dt N r a n t a p r O t    khi r  , Do đó, khi r  ,    , log 1 ,T r f p r O  và    , log 1 ,N r a p r O     , 1 ,m r a O với a   . Nếu p < q,    , log 1 ,T r f q r O     , log 1 ,N r a q r O     , 1 ,m r a O với 0a  . Nếu p = q,    , log 1 ,N r f q r O     , log 1 ,N r a q r O     , 1 ,m r a O với a c . Nh• vậy, trong mọi tr•ờng hợp    , log 1 ,T r f d r O     , log 1 ,N r a d r O     , 1 ,m r a O với  a f  , trong đó d = max(p, q). www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 18 Trong tr•ờng hợp này, m(r, a) là bị chặn khi r  ngoại trừ một giá trị của a là  f  . Nếu ph•ơng trình f(z) = a có nghiệm bội  tại  với 0 d  , thì    , log 1 ,m r a r O      , log 1 .N r a d a r O   Ví dụ 2: Xét hàm    cos sin , r iz f z e e     với i z re   . Khi đó     cos sin coslog log log logi r ir rf z f re e e          , coslog ,cos 0 0,cos 0 r e         , cos log , 2 2 3 0, 2 2 r e                  , = cos , 2 2 3 0, 2 2 r                 . Từ đó:     2 2 0 2 1 1 , log cos . 2 2 i r m f a f re d r d                Do hàm z e không có không điểm trong z r nên N(r, f) = 0, nh• vậy,      , , , . r T r f m r N r      Do đó  , r T r f   . Ví dụ 3: Xét   ... p p P z az a   , là một đa thức và    P z f z e . Khi đó www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 19     ... p p az aP z f z e e     , Nh• vậy:      , , ... , . , log p p p p a aaz az T r f T r e T r e p T r e e          , =    . , 1 p az p T r e O . Tính  , p az T r e . Đặt paz g e . Ta có      , , ,T r g m r g N r g  . Do g chỉnh hình nên:  , 0N r g  suy ra      , , , p az T r g m r g m r e  .     2 0 1 , log , 2 i p a re p az m r e e d      =     2 cos sin 0 1 log 2 p ar p i p e d        , =  2 cos 0 1 log 2 p a r p e d       , =   2 2 1 cos 2 p p p a r p d        , =   2 2 1 1 . . sin 2 p p p p a r a r p p p       . Nh• vậy  , p a r T r g p  , www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 20 suy ra    , 1 . pa T r f r O    1.2.4. Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi 1.2.4.1. Định lý Giả sử f(z) là một hàm phân hình trong z R . Khi đó:       2 0 1 , , log 0 2 iT r f N r e d f      , với ( 0 < r <R). Chứng minh: Ta áp dụng công thức Jensen (1.6) cho hàm f(z) = a ’ z với R = 1 và thu đ•ợc: 2 0 log , 11 log . 2 log log 0, 1 i a a a e d a a a             Nh• vậy trong mọi tr•ờng hợp ta đều có: 2 0 1 log log . 2 ia e d a       (*) Lại áp dụng (1.6) cho hàm số   if z e  và có:         2 0 1 log 0 log . , , . 2 i i i if e f r e e d N r N r e          Lấy tích phân hai vế theo biến  và thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân vế phải ta có: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 21               2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 1 1 1 log 0 log . 2 2 2 1 1 , , 2 2 1 1 1 log . , , . 2 2 2 i i i i i i f e d f r e e d d N r d N r e d f r e e d d N r N r e d                                                              áp dụng công thức (*) ta có:         2 2 0 0 1 1 log 0 log , , . 2 2 i if f re d N r N e d           Từ đó:                       2 2 0 0 2 0 2 0 1 , log , log 0 , 2 1 , , , log 0 , 2 1 , , log 0 . 2 i i i i N r f re d N r e d f N r f m r f N r e d f T r f N r e d f                                   Với ( 0 < r < R). Vậy định lý đ•ợc chứng minh. 1.2.4.2. Hệ quả 1: Hàm đặc tr•ng Nevanlinna T(r,f) là một hàm lồi tăng của logr với 0 < r <R. Chứng minh: Ta thấy rằng  , iN r e  hiển nhiên là hàm tăng, lồi của logr nên ta suy ra hàm T(r,f) cũng có tính chất nh• vậy và hệ quả đ•ợc chứng minh. Trong tr•ờng hợp này chúng ta có: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 22     2 0 1 , , . 2 idr T r f n r e d dr     1.2.4.3. Hệ quả 2: Trong mọi tr•ờng hợp chúng ta đều có   2 0 1 , log 2. 2 im r e d      Chứng minh Sử dụng định lý cơ bản thứ nhất cho hàm f(z) với ia a  chúng ta có:          , , , log 0i i iT r f m r e N r e f e G       , trong đó   log 2G   . Lấy tích phân hai vế theo biến  ta có:       2 2 2 0 0 0 1 1 1 , , , 2 2 2 i iT r f d m r e d N r e d             +     2 2 0 0 1 1 log 0 . 2 2 if e d G d          Sử dụng định lý (1.2.4.1), công thức (*) ta sẽ thu đ•ợc:             2 2 0 0 1 1 , , , log 0 log 0 . 2 2 iT r f m r e d T f f f G d             Nh• vậy:     2 2 2 0 0 0 1 1 1 , log 2 log 2. 2 2 2 im r e d G d d               Hệ quả 2 đ•ợc chứng minh. * Nhận xét: Định lý Cartan v¯ hệ qu° chỉ ra rºng “trung bình “ của các giá trị của hàm m(r,a) lấy trên một vòng tròn l¯ “ khá nhỏ”, h¯m T(r,f) hầu nh• chỉ phụ thuộc trung bình của giá trị N(r,a) trên vòng tròn. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 23 1.3. Định lý cơ bản thứ hai 1.3.1. Giới thiệu Trong mục tr•ớc chúng ta đã định nghĩa hàm đặc tr•ng Nevanlinna và có đ•ợc định lý: với mỗi số phức a,        , , 1m R a N R a T R O   . Từ đó chúng ta cũng thấy rằng tổng m + N có thể xem là độc lập với a. Đó chính là kết quả của định lý thứ nhất. Định lý cơ bản thứ hai sẽ cho ta thấy rằng trong tr•ờng hợp tổng quát số hạng N(R,a) chiếm •u thế trong tổng m + N và thêm nữa trong N(R,a) chúng ta không thể làm giảm tổng đó nhiều nếu các nghiệm bội đ•ợc tính một lần. Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị. Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna đ•ợc suy từ định lý sau,đ•ợc gọi là bất đẳng thức cơ bản. 1.3.2. Bất đẳng thức cơ bản Để đơn giản, chúng ta sẽ viết m(r,a) thay cho m(r,1 / f ’ a) và  ,m r  thay cho m(r,f). 1.3.2.1. Định lý Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong z r . Giả sử a1, a2,….aq là các số phức hữu hạn riêng biệt, 0  và va a   với 1 v q   . Khi đó:          1 1 , , 2 , . q v v m r m r a T r f N r S r       Trong đó N1(r) d•ơng và đ•ợc định nghĩa:      1 1 , 2 , , ' . ' N r N r N r f N f f         www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 24    1 ' ' 3 1 , , log log 2 log . ' 0 q v v f f q S r m r m r q f f a f                Chứng minh: Với các số phân biệt av;     1 2 log 1 logq f z av       , ta xét hàm:     1 1 . q v v F z f z a    a) Giả sử rằng với một số v nào đó   3 vf z a q    . Khi đó với v  ta có:     2 . 3 3q f z a a a f z a             Bởi vậy với v      3 1 1 . 2 2 1 v z a q f z af       Nh• vậy ta có:           1 1 1 . 22 1 1 1 v v v v q F z z a z a z aqf z af f f               Từ đó ta có:     1log log log2.F z f z av     Trong tr•ờng hợp này:    1 1 2log log log log2 q F z q f z a          www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 25  1 1 3log log log2. q qq f z a         (**) Bởi vì với v  ,   1 3 2 log log log . 2f z a         Nên ta có:      1 1 11 log log log q vf z af z a f z av                 1 2 log 1 log .q f z av       Suy ra:     1 2 log 1 log . v q f z a          Từ đó ta có:     1 log log log 2 v f z f z a          1 1 1 log log log2 q vf z a f z a              ,     1 1 2 log 1 log log2. q q f z a            Suy ra: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 26    1 1 3log log log log2. q qF z q f z a         Vậy (**) đ•ợc chứng minh. Nh• vậy nếu tồn tại một giá trị v q để   3 vf z a q    thì (**) hiển nhiên đúng. b) Ng•ợc lại, giả sử   , , 3 vf z a v q     khi đó có một điều hiển nhiên là:    1 1 3log log log log2. q qF z q f z a         Bởi vì, do   , , 3 vf z a v q     nên   1 3 v q f z a    , suy ra:   1 3 log log , v q f z a     suy ra  1 1 3 log log log 2, q v v q q f z a         từ đó:    1 1 3 log 0 log log log 2. q v v q F z q f z a            Nh• vậy trong mọi tr•ờng hợp ta đều có:    1 1 3 log log log log 2. q v v q F z q f z a           Với iz re  lấy tích phân hai vế chúng ta suy ra: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 27     2 2 10 0 1 3 log log log log 2 . q i v v q F re d q d f z a                 Nên     1 3 , , log log2. q v v q m r F m r a       (1.14) Mặt khác ta xét:     1 1 , , ' , , , ' . ' ' f f m r F m r f F m r m r m r f F f f f f                      (1a) Theo công thức Jensen (1.12) ta có:         1 , , log 0 . 0 , , log . ' ' ' 0 T r f T r f f ff f T r T r f f f                     Hay     0' ' , , , , log . ' ' ' 0 ff f f f m r N r m r N r f f f f f                            Suy ra     0' ' , , , , log . ' ' ' 0 ff f f f m r m r N r N r f f f f f                            (2a) Và ngoài ra ta có:     1 1 , , , log 0 .T r f m r N r f f f               www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 28 Hay     1 1 1 , , , log . 0 m r T r f N r f f f               (3a) Kết hợp (2a) và (3a) thay vào bất đẳng thức (1a) ta đ•ợc:       1 1 ' , , , log , 0 f m r F T r f N r m r f ff                       0' , , log , ' . ' ' 0 ff f N r N r m r f F f f f                . Bất đẳng thức trên kết hợp với (1.14) chúng ta sẽ có:                   1 3 , , , , log log 2, 1 ' ' , , , , , ' 1 3 , ' log , , log log 2. ' 0 q v v q m r a m r m r F m r f q f f f T r f N r N r N r m r f f f f q m r f F T r f N r f q f                                                Sử dụng công thức Jensen cho hàm ' f f ta có:         2 0 0 1 ' log log , , . ' 0 2 '' i i f ref f f d N r N r f f ff re                   Suy ra:         2 0 0' 1 , , log log ' 2 ' 0' i i f re ff f N r N r d f f ff re                   , www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 29     2 0 1 log log 0 2 if re d f          2 0 1 log ' log ' 0 2 if re d f     ,     1 1 , , , , ' . ' N r N r f N r N r f f f                Cuối cùng ta có:           1 1 , , 2 , 2 , , ' , ' q v v m r a m r T r f N r f N r f N r f                     ' 1 3 , , ' log log log2. ' 0 f q m r m r f F q f f           Chú ý:   1 ' , ' , , q v v f m r f F m r f a         và đặt:      1 1 , 2 , , ' . ' N r N r N r f N r f f         Và:    1 ' ' 3 1 , , log log 2 log . ' 0 q v v f f q S r m r m r q f f a f                Khi đó ta có:          1 1 , , 2 , 0 q v v m r a m r T r f N r S       . Đây là điều cần phải chứng minh. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 30 * Nhận xét: N1(r) trong định lý (1.3.2.1) là d•ơng vì:   1 , log q v v R N r f b  . Trong tổng trên nếu bv là cực điểm bội k thì đ•ợc tính k lần. Giả sử 1,..., Nb b là các cực phân biệt của f(z) với cấp lần l•ợt là: 1,..., Nk k . Xét tại điểm bv ta thấy khai triển của f(z) sẽ có dạng:     ...v v k k v c f z z b     Khi đó f’(z) sẽ có khai triển là:     1 1 ' ' ...v v k k v c f z z b       Tức là bv sẽ là cực điểm cấp kv + 1 của hàm f’(z). Nh• vậy 1,..., Nb b sẽ là các cực điểm của f’(z) với cầp lần l•ợt là: 1 1,..., 1Nk k  . Tất nhiên f’(z) không có cực điểm nào khác. Nh• vậy:   1 , log N v v v R N r f k b  , và     1 , ' 1 log N v v v R N r f k b   . Nên:       1 1 2 , , ' 2 log 1 log N N v v v vv v R R N r f N r f k k b b       ,    1 2 1 log N v v v v R k k b    ,   1 2 1 log 0. N v v v R k b    www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 31 Từ đó ta có:      1 1 , 2 , , ' 0. ' N r N r N r f N r f f          1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna Định lý: Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng trên  và 1 2, ,..., qa a a là q > 2 điểm phân biệt. Khi đó:          1 1 1 1 , , , , , q j j q T r f N r f N r N r f S r f f a            ,      0 1 1 , , , , . q j j N r f N r N r f S r f f a           Trong đó     , ,S r f o T r f khi r  , r nằm ngoài một tập có độ đo hữu hạn,      1 1 , 2 , , ' ' N r N r N r f N r f f         , và 0 1 , ' N r f       là hàm đếm tại các không điểm của f mà không phải là không điểm của jf a , với j = 1,..,q. 1.3.4. Quan hệ số khuyết Chúng ta ký hiệu lại:    , , ,n t a n t a f là số các nghiệm của ph•ơng trình  f z a trong z t , nghiệm bội đ•ợc tính cả bội và ký hiệu  ,n t a là số nghiệm phân biệt của  f z a trong z t . T•ơng tự ta định nghĩa:                     0 0 , , , , , 0, log , , , , , , 0, log . r r n t a n a N r a N r a f dt n a r t n t a n a N r a N r a f dt n a r t           www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 32 Chúng ta sẽ ký hiệu    , , ,N r f T r f t•ơng ứng thay cho    , , , , ,N r f T r f  . Giả sử f(z) là hàm phân hình trong 0z R , nh• vậy:  ,T r f  khi 0r R . Theo định lý (1.2.3.1):        , , , 1m r a N r a T r f O   , khi 0r R . Ta định nghĩa:                               0 0 0 0 , , , 1 lim , , , 1 lim , , , , . lim lim r R r R r R r R m r a N r a a a f T r T r N r a a a f T r N r a N r a a a f T r                     Hiển nhiên, cho 0  , với r đủ gần R0 ta có:         , ,N r a N r a a T r   ,       , 1N r a a T r   . Từ đó suy ra:         , 1 2N r a a a T r     . Nh• vậy:      .a a a    L•ợng  a đ•ợc gọi là số khuyết của giá trị a,  a gọi là bậc của bội. Bây giờ chúng ta chứng minh một kết quả cơ sở của lý thuyết Nevanlinna , định lý sau đây gọi là định lý quan hệ số khuyết. 1.3.4.1. Định lý Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong 0z R . Khi đó tập hợp các giá trị của a mà   0a  cùng lắm là đếm đ•ợc, đồng thời ta có: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 33        2 a a a a a      . Chứng minh:     , ,n nS r f o T r f , khi 0nr R . Chọn một dãy  nr , sao cho 0nr R khi n  . Xét q điểm khác nhau 1 2, ,..., qa a a . Theo bất đẳng thức cơ bản ta có:           1 1 , , 2 , , . q n n v n n n v m r m r a T r f N r o T r f       Cộng thêm đại l•ợng     1 , , q n n v v N r N r a    vào hai vế của bất đẳng thức trên ta có:               1 1 , , 2 , , , , . q n n n n n v n n v T r f qT r f T r f N r N r a N r o T r f         Suy ra :              1 1 1 , , , , . q n n n n v n v q T r f o T r f N r N r a N r        Mặt khác :      1 1 , 2 , , ' ' n n n nN r N r N r f N r f f         . Đặt:         1 1 , , , 2 , , ' . ' q n n v n n n v A N r N r a N r N r f N r f f             Khi đó bất đẳng thức trên đ•ợc viết lại là:        1 , , .n nq T r f o T r f A   (1.15) www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 34 Giả sử f có cực điểm cấp k tại av , khi đó:     ....k k v c f z z a        1 1 ' ' ... k k v c f z z a       Do đó av sẽ có cực điểm cấp k + 1 của f’. Giả sử ; 1,vb v p là các cực điểm phân biệt của hàm f , với bội t•ơng ứng là 1 2, ,..., pk k k . Khi đó:     1 , , log ; p n n n p v v r N r N r f k b        1 , ' 1 log ; p n n p v v r N r f k b   từ đó:         1 , 2 , , ' 2 1 log ; p n n n n p p p v v r N r N r f N r f k k k b          1 log , ; p n n v v r N r b    nh• vậy (1.15) viết lại là:          1 1 1 1 , , , , . ' q n n v n n v q o T r f N r a N r N r f              Chúng ta thấy rằng một nghiệm của ph•ơng trình   vf z a có bậc p thì nó cũng là không điểm bậc p ’ 1 của f’(z) và nh• thế nó đóng góp một lần vào   1 , , ' vn t a n t f        . Do đó bất đẳng thức trên đ•ợc viết nh• sau: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 35          0 1 1 1 1 , , , , . ' q n n v n n v q o T r f N r a N r N r f              (1.16) Trong đó 0 1 , ' nN r f       đ•ợc tính tại những điểm là không điểm của f’ nh•ng không phải là nghiệm của ph•ơng trình   vf z a , v = 1,…,q. Chú ý rằng 0 1 , 0 ' nN r f       nên từ (1.16) ta có:          1 1 1 , , , . q n n v n v q o T r f N r a N r       (1.17) Chia cả hai vế của (1.17) cho  ,nT r f và bỏ qua đại l•ợng o(1) ta có:        1 , , 1. , , q n v n v n n N r a N r q T r f T r f     Lấy giới hạn khi 0nr R ta suy ra:         0 0 1 , , 1, , ,lim lim n n q n v n v n nr R r R N r a N r q T r f T r f      hay         0 0 1 1 , , 1, , ,lim lim n n q q n v n v v n nr R r R N r a N r q T r f T r f        tức là:      1 1 1 1. q v v a q        Hay     1 2 q v v a      . Do q bất kỳ nên định lý đ•ợc chứng minh xong. Định lý sau là hệ quả trực tiếp của quan hệ số khuyết. 1.3.4.2. Định lý Picard Giả sử f(z) là hàm phân hình, không nhận 3 giá trị 0,1, . Khi đó f là hàm hằng. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 36 Chứng minh: Giả sử f không phải là hàm hằng. Không mất tổng quát, có thể xem f(z) không nhận 3 giá trị 0,1, . Từ đó:  ,0 0N r  ;  ,1 0N r  ;  , 0N r f  . Suy ra  0 1  ;  1 1  ;   1   , nên   3    a a ; điều này mâu thuẫn với quan hệ số khuyết. Vậy f(z) phải là hàm hằng. 1.4. Một số ứng dụng của các định lý cơ bản 1.4.1. Các ví dụ Ví dụ 1: Giả sử  f z a vô nghiệm. Khi đó ta có  , 0,N r a r  suy ra   1a  . Chẳng hạn:  0 1z ff e    . Ví dụ 2: Giả sử có       , , 1N r a o T r f a  ( số khuyết bằng 1 khi số nghiệm của ph•ơng trình quá ít so với cấp số tăng của nó). Ví dụ 3: Giả sử f là hàm nguyên, khi đó f không có cực điểm nên   1   . Nh• vậy   1 a a     . Từ đó suy ra ph•ơng trình f(z) ’ a = 0 có nghiệm với mọi a trong mặt phẳng phức, trừ ra cùng lắm một giá trị. Chẳng hạn ta thấy hàm   zf z e là chỉnh hình trên  và    0 0 1   , nh• vậy hàm ze a sẽ có nghiệm với 0a  . Vậy vấn đề đặt ra là có bao nhiêu giá trị của a để ph•ơng trình f(z) ’ a = 0 gồm toàn nghiệm bội. Câu trả lời là: cùng lắm là có hai giá trị, bởi vì giả sử tại a1 và a2 ph•ơng trình f(z) ’ a1 = 0 ; f(z) ’ a2 = 0 gồm toàn nghiệm bội. Khi đó    1 2 1 2 a a   , do đó      1 2 2a a     nên với tất cả các giá trị a khác a1; a2 ph•ơng trình f(z) = a đều phải có nghiệm đơn. Ví dụ nh• www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 37 chúng ta xét hàm f(z) = sinz, với a1 = 1; a2 = -1 ta thấy: khi sin 1z   thì (sinz)’ = cosz = 0 nh• thế có nghĩa là các ph•ơng trình sinz = a1; sinz = a2 đều gồm toàn nghiệm bội. Nếu         1 1 1 1 ; 1 1 2 2          , suy ra ph•ơng trình sinz = a sẽ có nghiệm đơn với mọi a khác 1 . Ví dụ 4: Tr•ớc hết ta định nghĩa: Giá trị a đ•ợc gọi là bội ít nhất  2m m  nếu các nghiệm của ph•ơng trình f(z) = a bội lớn hơn hoặc bằng m. Giả sử f(z) là hàm phân hình và giả sử  va là tập hợp các giá trị bội ít nhất  vm . Khi đó:         1 1 , , , 1 .v v v v N r a N r a T r f O m m    Từ đó :   1 1v v a m    . Theo định lý Nevanlinna về số khuyết ta có: 1 1 2 v vm         . Mặt khác do 2m nên ta có: 1 1 1 2vm        . Nh• vậy ta thấy rằng đối với hàm phân hình có nhiều nhất 4 giá trị a mà nghiệm của ph•ơng trình f(z) = a có bội lớn hơn hoặc bằng 2. +) Trong tr•ờng hợp có 4 giá trị của a thỏa mãn, khi đó mv = 2. Ví dụ cụ thể của hàm loại này chính là hàm elliptic Weiestrass. +) Trong tr•ờng hợp có 3 giá trị của a thỏa mãn, do: 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 3 2. v vm m m m                   www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 38 Nên 1 2 3 1 1 1 1 m m m         . Khi đó chúng ta sẽ có các bộ  1 2 3; ;m m m nh• sau: (2;2;m) (2;3;3) (2;3;4) (2;3;5) (2;3;6) (2;4;4) (3;3;3). Tr•ờng hợp (2;2;m) tồn tại và ví dụ cụ thể về nó là hàm f(z) là sinz; cosz. Với   1f z   gồm toàn nghiệm bội 2 và  f z   . Trong các tr•ờng hợp khác, vấn đề nói chung là rất khó và đã đ•ợc nhiều nhà toán học nghiên cứu và cho kêt quả trong tr•ờng hợp tổng quát ( Christoffel-Schwarz, Lê Văn Thiêm,…) 1.4.2. Định lý 5 điểm của Nevanlinna 1.4.2.1. Định nghĩa Giả sử f là hàm phân hình trên  , a . Ta định nghĩa :     fE a z f z a   ( tập các nghiệm phân biệt của ph•ơng trình f(z) = a ). 1.4.2.2. Định lý Giả sử rằng    1 2, 2f z f là các hàm phân hình trên  . Nếu tồn tại 5 điểm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a sao cho:    1 2 ; 1,...,5f fj jE a E a j   Khi đó hoặc f1 và f2 là hằng số hoặc 1 2f f . Chứng minh: Ta giả sử rằng f1, f2 là các hàm không đồng thời là các hàm hằng và cũng không đồng nhất với nhau. Gọi 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a là các số phức phân biệt sao cho:    1 2 ; 1,...,5f fj jE a E a j   . Khi đó: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 39     1 2 1 1 , , ; 1,...,5j j j N r N r N r j f a f a                +) Giả sử một trong hai hàm f1, f2 là hàm hằng, không mất tính tổng quát ta giả sử f1 = const, khi đó f1 khác ít nhất 4 giá trị trong 5 giá trị ja ( j =1,…,5) không mất tính tổng quát ta có thể giả sử các giá trị đó là: 1 2 3 4, , ,a a a a nh• vậy: 1 1 , 0; 1,..., 4 j N r j f a         , vì thế: 2 1 , 0; 1,..., 4 j N r j f a         , nghĩa là f2 không nhận 4 giá trị 1 2 3 4, , ,a a a a . Theo định lý Picard f2 phải là hàm hằng. +) f1, f2 là các hàm khác hàm hằng, sử dụng bất đẳng thức cơ bản cho hàm f1 với 5 điểm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ta sẽ có:             5 ' 1 1 1' 1 1 1 , , 2 , , 2 , , .j j m r m r a T r f N r N r f N r f S r f              Cộng thêm vào hai vế bất đẳng thức trên một đại l•ợng là:     5 1 , , j j N r N r a    , ta đ•ợc:         5 1 1 1 1 6 , 2 , , , , ' j j T r f T r f N a N r N r f                 '1 12 , , .N r f N r f S r   www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 40 Do     5 5 0 0 1 1 1 1 1 , , , , ; , ' ' ' j j j j N r a N r N r a N r N r f f f                        do các cực điểm của 1/ f’ mà không phải là không điểm của jf a và    , ,N r N r f  . Suy ra:           5 ' 1 0 1 1 1 1 4 , , , , , ' j j T r f N r a N r N r f N r f S r f            ,       5 0 1 1 1 , , , ' j j N r a N r N r f S r f           ,       5 1 1 , ,j j N r a N r f S r             5 1 1 1 , , .j j N r T r f O T r f     Nh• vậy:        5 1 1 1 3 , , .j j T r f N r O T r f    T•ơng tự ta có:        5 2 2 1 3 , , .j j T r f N r O T r f    Bây giờ xét: 1 2 1 ,T r f f       . Theo định lý cơ bản thứ nhất ta có:       1 2 1 2 1 2 1 , , log 0 ,T r T r f f f f a r f f           ,    1 2, 1T r f f O   , www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 41      1 2, , 1T r f T r f O   ,             5 5 1 2 1 1 1 1 , , 1 3 3 j j j j N r o T r f N r o T r f O         ,        5 1 2 1 2 , , . 3 j j N r o T r f T r f     Ta thấy rằng, nếu z là nghiệm chung của các ph•ơng trình f1 = a; f2 = a thì z là nghiệm của ph•ơng trình f1 ’ f2 = 0, nên suy ra:     5 1 1 2 1 2 1 1 , , 1 ,j j N r N r T r O f f f f                 nh• vậy:   5 1 ,j j N r   là giới nội khi r  , điều này mâu thuẫn vì f1, f2 khác hàm hằng. định lý đ•ợc chứng minh. * Nhận xét Nghịch ảnh của 5 điểm đủ đảm bảo xác định một hàm phân hình. Số 5 đó là tốt nhất và không thể thay thế bởi số nhỏ hơn. Ví dụ nh• hàm sau: Xét hàm ;z zf e g e  với các điểm 1 2 3 40; 1; 1; ;a a a a      Thấy rằng:    1 1 .f qE a E a       2 2 2 , .f qE a E a k i k         3 3 2 1 , .f qE a E a k i k       4 4 .f qE a E a  Nh•ng f g và là các hàm khác hằng trên  . www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 42 Ch•ơng II Nghiệm toàn cục của ph•ơng trình vi phân 2.1. Giới thiệu Bằng cách sử dụng lý thuyết Nevanlinna chúng ta tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph•ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức nh• sau :     1 21 2 . z znf z P f p e p e     Trong đó p1, p2 là 2 hàm nhỏ của ze và 1 2,  là 2 hằng số khác không với một vài điều kiện, và P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f coi nh• là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1. Chúng ta gọi hàm phân hình a(z) là hàm nhỏ f(z) nếu T(r,a) = S(r,f). Cho P(f) là đa thức vi phân của f , và f , với hệ số là hàm nhỏ của f . A là tập hợp tất cả các hàm phân hình thỏa mãn:      ,1/ , ,N r h N r h S r h  . Chú ý: tất cả các hàm trong A là siêu việt và tất cả các hàm có dạng zbe là các hàm trong A, trong đó  là hằng số khác 0 và b là hàm hữu tỷ. Lý thuyết Nevanlinna đ•ợc sử dụng để nghiên cứu về tồn tại của nghiệm phân hình toàn cục của ph•ơng trình vi phân trong không gian phức, xem e.g [7,8]. Một số ph•ơng trình vi phân phi tuyến tính đ•ợc nghiên cứu trong [5,12,13]. Đặc biệt trong [13] đã chỉ ra rằng 4f3+ 3f’’ = -sin 3z có đúng 3 nghiệm toàn cục khác hằng số :       1 2 3 sin . 3 1 cos sin . 2 2 3 1 cos sin . 2 2 f z z f z z z f z z z       www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 43 2.2. Định nghĩa hàm nhỏ Giả sử cho f và a là hàm phân hình trong không gian phức. Nếu      , , ; . .,T r a S r f i e a S f  thì chúng ta gọi a là hàm nhỏ của f. 2.3. Một số bổ đề Ta sẽ sử dụng một sốbổ đề sau. 2.3.1. Bổ đề 1: ( Xem bổ đề [2,3] của Clunie). Giả sử f(z) là phân hình và siêu việt trong mặt phẳng và:       ,nf z P f Q f trong đó P(f) và Q(f) là các đa thức vi phân đối với f với hệ số là hàm nhỏ của f và bậc của Q(f) cao nhất là n . Khi đó M(r,P(f))=S(r,f). 2.3.2. Bổ đề 2: (Xem [4]). Giả sử f là hàm phân hình khác hằng số và F = fn + Q(f), trong đó Q(f) là đa thức vi phân đối với f với bậc  n -1. Nếu N(r,f)+N(r,1/F) = S(r,f), thì :   , n F f   trong đó  là phân hình và T(r,  ) = S(r,f). 2.3.3. Bổ đề 3. (Xem [11]). Giả sử h là hàm trong tập A. Cho 1 0 1 ... p p pf a h a h a     và 1 0 1 ... q q qg b h b h b     là đa thức của h với tất cả hệ số là hàm nhỏ của h và 0 0 0pa b a  . Nếu q p , thì m(r,g/f) = S(r,h). 2.4. Các định lý www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 44 2.4.1. Định lý A: Cho 4n  là một số nguyên, và P(f) là một đa thức vi phân đối với f có bậc  n ’ 3, p1, p2 là 2 đa thức khác 0, 1 và 2 là 2 hằng số khác 0 với 1 2    hữu tỷ. Khi đó ph•ơng trình vi phân     1 21 2 . z znf z P f p e p e     không có nghiệm nguyên siêu việt. 2.4.2. Định lý B: Cho 3n  là một số nguyên, và P(f) là một đa thức vi phân đối với f có bậc  n ’ 3, b(z) là hàm phân hình, và  , c1, c2 là 3 hằng số khác 0. Khi đó ph•ơng trình vi phân       1 2 ,n z zf z P f b z c e c e    không có nghiệm nguyên siêu việt thỏa mãn T(r,b) = S(r, f). Đó là giả thiết trong [10] về kết luận của định lý A còn đúng khi bậc của ph•ơng trình vi phân P(f) là n ’ 2 hoặc n ’ 1. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh các kết quả cho sự hoàn thiện của định lý A và B. 2.4.3. Định lý 1: Cho 2n  là số nguyên d•ơng. Cho f là hàm nguyên siêu việt, P(f) là một đa thức vi phân đối với f có bậc  n ’ 1. Nếu     1 21 2 , z znf z P f p e p e     (2.1) trong đó pi (i =1,2) là hàm nhỏ không triệt tiêu của e z ,  1, 2i i  là số d•ơng làm thỏa mãn   2 11 0n n    , thì tồn tại hàm nhỏ  của f sao cho:   22 . n z f p e   (2.2) Chứng minh : Đầu tiên , chúng ta viết  1nP f nh• sau:     1 0 , n j j j P f b M f    (2.3) www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 45 trong đó bj là hàm nhỏ của f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,…,n-1) là đơn thức vi phân đối với f có bậc j. Không mất tính tổng quát, chúng ta giả thiết 0 0b  , ngoài ra, chúng ta làm biến đổi f = f1 + c cho phù hợp hằng số c. Từ (2.1), chúng ta có:   1 2 1 2 1 11 2 0 1 2 0 1 1 1 . . n n j j z z z z j j b M f p e p e b p e p e b f f f                         (2.4) Chú ý     , / ,jjm r M f f S r f và do bổ đề 3 chúng ta có:    1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 , , , . z z z z m r S r p e p e S r f p e p e b              Bởi vậy, vế trái của (2.4) là đa thức của 1/f có bậc nhiều nhất bằng n ’ 1 với hệ số trở thành hàm gần đúng của 1/f . Từ đó:   1 , , .m r S r f f       (2.5) Đạo hàm hai vế của (2.1) cho:       1 21 ' '1 1 1 2 2 2' ' .z znnf f P f p p e p p e        (2.6) Khử 1ze  và 2ze , tách từ (2.1) và công thức ở trên, chúng ta đ•ợc:          1' 1 '2 2 2 2 2 2 2 2' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e        (2.7)          2' 1 '1 1 1 1 1 1 1 1' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e         (2.8) Trong đó  ' '1 2 2 1 2 1 1 2p p p p p p      , là các hàm nhỏ của f . Chúng ta chú ý rằng  không thể triệt tiêu một cách đồng nhất, cách khác, bằng phép lấy tích phân chúng ta đ•ợc  2 1 1 2 z p e C p    cho hằng số C, là không thể đ•ợc. Từ (2.7) và (2.8) chúng ta đ•ợc: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 46      , , , .j zm r e nT r f S r f   , j = 1,2 . (2.9) Từ (2.1) chúng ta có:           1 21 2, , , , , .z zn nnT r f m r f m r f P f T r p e p e S r f      (2.10) Bởi vậy,        1 2, , , :z zS r e S r e S r f S r    . Từ (2.4) chúng ta có 1 2 1 2 1 11 2 0 1 2 0 1 , 1,2. ii i n jzz zn j j z z z z j n j b e Me e i p e p e b p e p e b f f f                       Sau đó:  , , 1,2. i z n e m r S r i f        (2.11) Sau đó chúng ta chứng minh   1 1 , , 1,2. z n e m r S r i f          (2.12) Cố định r>0, cho iz re  . Cho khoảng mở [0, 2 ) có thể biểu thị hợp nhất cho 3 tập hợp rời nhau nh• sau:                   2 1 2 1 2 1 1 2 3 0,2 1 . 0,2 1, 1 . 0,2 1, 1 . z z z z z f z E e f z E e e f z E e e                                                   Do định nghĩa của hàm gần đúng, chúng ta có: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 47   2 1 2 31 1 0 1 , log . 2 i iz z n n e e m r d I I I f f z                 Trong đó   2 1 0 1 log , 1,2,3. 2 i z i n e I d i f z        Với 1E  , chúng ta có:    2 1f z e z  . Từ         1 2 2 11 z z n n z f ze e f z f z e      , chúng ta đ•ợc:   2 1 , z n e I m r S r f        . Với 2E  , chúng ta có 1 1 z e   , và nh• vậy     1 1 1 1 z n n e f z f z     . Sau đó từ (2.5) thì:  1 1 1 , n I m r S r f         . Với 3E  , chúng ta có    2 1f z e z  . Vì vậy:        1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 zz n n z n z n z ee f z e e           . Do giả thiết:   2 11n n   , chúng ta đ•ợc   1 1 1 z n e f z    . Vì vậy chúng ta có I3 = 0. Từ đó cố định (2.10). Sau đó từ (2.7) thì: www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 48   1 1 1 1 . . z n n n e f f R f f        (2.13) Trong đó  '2 2 2 2 'p p f np f    , và         '2 2 2 2 'R f p p P f p P f   , là đa thức vi phân đối với f có bậc lớn nhất n-1. Do bổ đề 1, chúng ta đ•ợc    ,m r S r  , chú ý rằng  là toàn cục, chúng ta có    ,N r S r  . Từ đó:    ,T r S r  ,i, e ,  là hàm nhỏ của f. Bằng định nghĩa của  , chúng ta đ•ợc: ' 2 2 2 2 2 ' . p p f f np np     Thế công thức ở trên vào (2.8) cho:        2 ' 2 1 1 111 1 2 2' . zn n p p pnp p p f f P f P f p e         Do bổ đề 2, chúng ta nhìn thấy sự tồn tại hàm nhỏ  của f trong   22 n zf p e  . Đây là điều phải chứng minh của định lý 1. 2.4.4. Định lý 2: Cho 2n  là số nguyên d•ơng,  1,2i i  là số thực và 1 20   . Cho p1,p2 là hàm nhỏ của e z. Nếu tồn tại hàm nguyên siêu việt f thỏa mãn ph•ơng trình vi phân (2.1), trong đó P(f) là đa thức vi phân đối với f có bậc không lớn hơn n ’ 2, thì 1 2 0   , thì tồn tại hằng số c1,c2 và hàm nhỏ 1 2,  với f          2' 1 '1 1 1 1 1 1 1 1' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e         1 2/ / 1 1 2 2 . z n z n f c e c e     (2.14) Hơn nữa, , 1,2ni ip i   . www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 49 Chứng minh: Chúng ta chỉ thảo luận cho tr•ờng hợp 1 2 0   . Còn tr•ờng hợp 1 2 0   có thể làm t•ơng tự. Giả sử f là nghiệm nguyên siêu việt của (2.1). Chứng minh t•ơng tự định lý 1, chúng ta vẫn lấy (2.5) – (2.11). Cố định r>0, cho iz re  . Cho khoảng mở [0, 2 ) có thể biểu thị hợp nhất cho 3 tập hợp rời nhau nh• sau:                   2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 0,2 1 . 0,2 1, 1 . 0,2 1, 1 . z z z z z f z E e f z E e e f z E e e                                                   Từ định nghĩa của hàm gần đúng, chúng ta có:       1 2 1 22 1 2 32 2 2 2 0 1 , log 2 z z n n e e m r d I I I f f z                     , trong đó     1 2 2 2 1 log , 1,2,3. 2 j z j n E e I d j f z         Với 1E  , chúng ta có:             1 2 2 2 2 1 2 22 2 2 2 . z z z n n nz f ze e e f z f z f ze            . Nh• vậy do (2.11), chúng ta đ•ợc  1I S r . www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 50 Với 2E  , từ 1ze  , và 1 2 0   thì  1 2 1 z e    . Vì vậy       1 2 2 2 2 2 1 z n n e f z f z      . Sau đó từ (2.5) thì:  2I S r . Với 3E  , chúng ta có    2 12 zf z e   . Vì vậy:            1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 z z n n z n z n z ee f z e e                 . Do đó:  3I S r . Từ đó chúng ta có     1 2 2 2 , , z n e m r S r f f          . (2.15) Nhân (2.7) với (2.8) cho:    1 22 2 2 .znf Q f e        (2.16) Trong đó Q(f) là đa thức vi phân trong f có bậc lớn nhất 2n ’ 2, và      ' '1 1 1 1 2 2 2 2' ' .p p f p nf p p f p nf       (2.17) Từ (2.16) và bổ đề 1, chúng ta đ•ợc    , ,m r S r f  . Vì vậy,    , ,T r S r f  . Nếu  '1 1 1 1 ' 0p p f np f   , bằng phép lấy tích phân chúng ta đ•ợc 1 1 znf cp e  , trong đó c là hằng số khác 0. Vì vậy, 1 /z nf ae , với a là hàm nhỏ của f. Chúng ta thấy vế trái của (2.1) là đa thức trong 1 /z ne  có bậc n. Mặt khác vế phải (2.1) không là đa thức trong 1 /z ne . Từ đó  '1 1 1 1 ' 0p p f np f   . www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 51 T•ơng tự, chúng ta có  '2 2 2 2 ' 0p p f np f   . Vì vậy 0  . Cho  '2 2 2 2 'p p f np f h   , (2.18) khi đó chúng ta có :  '1 1 1 1 'p p f np f h    . (2.19) Bằng cách khử f’ và f , tách ra từ (2.18) và (2.19) chúng ta đ•ợc: 1 2 1 . p p f h h      (2.20) Và  '' 2 2 21 1 1 1' . p pp p f h n n h        (2.21) Trong đó :  ' '1 2 2 1 2 1 1 2p p p p p p      là hàm nhỏ của f nó không thể triệt tiêu một cách đồng nhất. Từ (2.20) chúng ta thấy:      2 , , , .T r h T r f S r f  Vì vậy, mọi hàm nhỏ của f cũng là hàm nhỏ của h. Và từ vi phân của  chúng ta thấy h là một hàm trong A. Nh• vậy h’/h là hàm nhỏ của f. Bằng cách đạo hàm cả 2 vế của (2.20) , chúng ta đ•ợc: 1 1 2 2' ' 1' ' ' . p p p ph h f h h h h                               (2.22) So sánh hệ số vế phải của (4.7) và (4.8), suy ra ' 1 1 1 1 1 '' . p p p p h n h            (2.23)  '2 2 2 2 2 '' . p p p p h n h                (2.24) www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 52 Bằng phép lấy tích phân (2.23) và (2.24), tách ra, chúng ta đ•ợc: 1 1 1 1 n z pp e d h         ; 2 2 2 2 1 n z pp e d h           , (2.25) trong đó d1 và d2 là 2 hằng số khác 0. Từ 2 công thức trên, tồn tại 2 hàm nhỏ 1 2,  của ze thỏa mãn , 1,2ni ip i  . Và  1 2 1 2 1 2 1 2 2 . n z p p p p e d d             (2.26) Vế phải của công thức trên là một hàm nhỏ của f, nh• vậy là hàm nhỏ của ze . Vì vậy công thức trên chỉ đúng khi 1 2 0   . Ngoài ra, chúng ta thấy tồn tại 2 hằng số khác không c1 và c2 sao cho: 1 /1 1 1 z np h c e    ; 2 /2 2 2 1 z np c e h      (2.27) Cuối cùng, từ (2.20), chúng ta đ•ợc (2.3). Hệ quả 1: Cho ph•ơng trình vi phân: 3 4 '' 2 3 ,f f f cos z   có đúng 3 nghiệm nguyên:       1 2 3 2 . 1 3 cos sin . 2 2 1 3 cos sin . 2 2 f z cosz f z z z f z z z        2.4.5. Định lý 3: Giả sử 2n  là số nguyên d•ơng, cho p1, p2 là hàm nhỏ của e z, và  1,2i i  là số d•ơng thỏa mãn   2 11 0n n    . Nếu 1 2   là số vô tỷ, thì www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 53 ph•ơng trình vi phân (2.1) không có nghiệm nguyên, trong đó P(f) là đa thức vi phân đối với f có bậc  n-1. Chứng minh: Nếu f là nghiệm nguyên siêu việt của (2.1), thì do định lý 1, tồn tại hàm nhỏ  của f sao cho (2.2) cố định. Và nh• vậy     ,1 / ,N r f S r f  , i,e,  là hàm nhỏ ngoại lệ của f . Công thức (2.2) chứng tỏ sự tồn tại 2 hàm nhỏ 1 2,  của f sao cho ' 1 2f f   . Bằng phép thế công thức trong (2.1), chúng ta thấy 1 1 z p e  là đa thức đối với f có bậc k<n . Do bổ đề 2, tồn tại 2 hàm nhỏ 1,a  của f sao cho:   11 1 . k za f p e  (2.28) Vì vậy, 1 là hàm nhỏ ngoại lệ của f . Vì hàm nguyên siêu việt không thể có 2 hàm nhỏ ngoại lệ, chúng ta suy ra 1  . Từ (2.2) và công thức trên, chúng ta đ•ợc:  1 2 2 1 . k n n k z n p a e p    (2.29) Vế phải của công thức trên là hàm nhỏ của f , và cũng là hàm nhỏ của ez . Từ đó chúng ta đ•ợc 1 2 0n k   . Ngoài ra , 1 2/  là số hữu tỷ, mâu thuẫn với giả thiết. Đây là điều phải chứng minh của định lý 3. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 54 Kết luận Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và một số kết quả gần đây về việc áp dụng lý thuyết này để nghiên cứu tính chất nghiệm của ph•ơng trình vi phân phức. 1.Trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và một số ví dụ ứng dụng. 2.Trình bày một số kết quả gần đây về việc áp dụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu tính chất nghiệm của ph•ơng trình vi phân phức. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 55 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1. Hà Huy Khoái ,bài giảng lý thuyết Nevanlinna. Tiếng Anh 2. S. Bank, I. Laine, On the growth of meromorphic solutions of linear and algebraic differential equations, Math.Scand. 40 (1977) 119 - 126. 3. J. Clunie, On integral and meromorphic functions, J. London Math. Soc.37 (1962) 17 - 27. 4. w. Hayman, Meromorphic Functions, Clarendon Press, Oxford, 1964. 5. J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine, On meromorphic solutions of certain nonlinear differential equations, Bull. Austral. Math. Soc.66 (2) (2002) 331 - 343. 6. P - C . Hu, P.Li, C - C . Yang Unicihg of meromorphic Maping Klumer Accdamic Publisher 2003. 7. G. Jank, L. Volkmann, Einfuhrung in die Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf Differentialgleichungen, Birkhauser Verlag, Basel, 1985. 8. I. Laine, Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Stud. Math., vol. 15, Walter de Gruyter, Berlin, 1993. 9. P. Li, Entire solutions of certain type of differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 344 (2008) 253 - 259. 10. P. Li, C.-C.Yang, On the non-existence of entire solutions of certain type of nonlinear differential equations, J.Math. Anal. Appl. 320 (2006) 827 - 835. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 56 11. P. Li, W- J. Wang, Entire funtion that share a small funtion with its derivative, J. Math. Anal. Appl. 328 (2007) 743 - 751. 12. C.C. Yang, On entire solutions of a certain type of nonlinear differential equations, Bull. Austral. Math. Soc. 64 (3) (2001) 377 - 380. 13. C.C. Yang, P. Li, On the transcendental solutions of a certain type of nonlinear differential equations, Arch. Math. 82 (2004) 442 - 448. www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 57 Mục lục Mở Đầu ............................................................................................................ 1 Ch•ơng I. Cơ sở lý thuyết Nevanlinna ................................................................. 3 1.1. Hàm phân hình ......................................................................................... 3 1.2. Định lý cơ bản thứ nhất ............................................................................. 4 1.2.1. Công thức Poisson-Jensen .................................................................. 4 1.2.2. Hàm đặc tr•ng ................................................................................. 10 1.2.2.1. Một số khái niệm ...................................................................... 10 1.2.2.2. Một số tính chất của hàm đặc tr•ng ........................................... 13 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna ........................................... 14 1.2.4. Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi .................................... 20 1.3. Định lý cơ bản thứ hai ............................................................................. 23 1.3.1. Giới thiệu ......................................................................................... 23 1.3.2. Bất đẳng thức cơ bản ........................................................................ 23 1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna ............................................. 31 1.3.4. Quan hệ số khuyết ........................................................................... 31 1.4. Một số ứng dụng của các định lý cơ bản ................................................. 36 1.4.1. Các ví dụ .......................................................................................... 36 1.4.2. Định lý 5 điểm của Nevanlinna ........................................................ 38 Ch•ơng II. Nghiệm toàn cục của ph•ơng trình vi phân ...................................... 42 2.1. Giới thiệu ................................................................................................ 42 2.2. Định nghĩa hàm nhỏ ............................................................................... 43 2.3. Một số bổ đề ........................................................................................... 43 2.3.1. Bổ đề 1 ............................................................................................ 43 2.3.2. Bổ đề 2 ............................................................................................ 43 2.3.3. Bổ đề 3 ............................................................................................. 43 www.VNMATH.com Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 58 2.4. Các định lý ............................................................................................. 43 2.4.1. Định lý A ......................................................................................... 44 2.4.2. Định lý B ......................................................................................... 44 2.4.3. Định lý 1 ......................................................................................... 44 2.4.4. Định lý 2 .......................................................................................... 48 2.4.5. Định lý 3 .......................................................................................... 52 Kết luận ....................................................................................................... 54 Tài liệu tham khảo ................................................................................. 55 www.VNMATH.com