Luận văn Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

- 1 - §¹i häc th¸i nguyªn Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ---------------------------------------- TrÇn thiÖn to¶n MéT Sè TÝNH CHÊT ®Þnh tÝnh cña hÖ ph­¬ng tr×nh SAI ph©n ÈN TUYÕN TÝNH LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Thái Nguyên 2008 - 2 - §¹i häc th¸i nguyªn Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ---------------------------------------- trÇn thiÖn to¶n MéT Sè TÝNH CHÊT ®Þnh tÝnh cña hÖ ph­¬ng tr×nh SAI ph©n ÈN TUYÕN TÝNH Chuyªn nghµnh: Gi¶i tÝch M· sè: 60.46.01 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc : pGS-TS T¹ Duy Ph­îng Thái Nguyên 2008 Th¸i Nguyªn 2008 - 3 - Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu...............................................................................................1-2 Ch­¬ng 1. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH ………………………………………...………...3 1.1 Hệ phương trình sai phân ẩn chứa tham số điều khiển...............................3 1.2 Công thức nghiệm Cauchy của phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng...................................................................................................................4 1.3 Khái niệm cặp ma trận chính quy................................................................7 1.4 Công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính có điều khiển với cặp ma trận chính qui.............. .................................................................12 Ch­¬ng 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH…………………………..……….19 2.1 Tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn…..............................19 2.2 Tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn…..................................29 2.3 Nghiệm, tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính……………………….......................................................34 2.4 Tính ổn định và ổn định hóa được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính………………….......................................................................................42 2.5 Quan sát trạng thái của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính .............57 Ch­¬ng 3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN............................................................................................................64 3.1 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển…… ….…………….…......................64 3.2 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển……………………………………….…...........66 KÕt luËn....................................................................... .............................70 Tµi liÖu tham kh¶o..................................................................................71 - 4 - LỜI NÓI ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn (phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhà toán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phân thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển. Luận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2]. Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6]. Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7]. Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7], nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái - 5 - niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích dẫn. Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân thành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học tập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập. Thái Nguyên, 20.9.2008 Trần Thiện Toản - 6 - CHƯƠNG I CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng ( ( 1), ( ),..., (0), ( ), ( 1),..., (0)) 0; ( ) ( ( ), ( 1),..., (0), ( ), ( 1),..., (0)), h x k x k x u k u k u y k g x k x k x u k u k u       (1.1) trong đó k là biến thời gian thực rời rạc, 0,1,2,...k  ; ( ) nx k  được gọi là trạng thái pha; ( ) mu k  được gọi là biến điều khiển; ( ) py k  được gọi là tham số đo đầu ra hay đầu ra. Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ ( ) ( 1) ( ( ), ( )); ( ) ( ( ), ( )), 0,1,2,... E k x k H x k u k y k J x k u k k     (1.2) trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương ứng là n và p . Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0). Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... E k x k A k x k B k u k y k C k x k k      (1.3) Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa tham số điều khiển. Trường hợp các ma trận ( ), ( ), ( ), ( )E k A k B k C k là các ma trận hằng thì hệ (1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2,... Ex k Ax k Bu k y k Cx k k      (1.4) Đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn này là các hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.3) và (1.4). - 7 - Nhận xét Khi E là ma trận không suy biến thì hệ (1.4) trở thành 1 -1( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... x k E Ax k E Bu k y k Cx k k       (1.5) Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ phương trình (1.3), chúng ta thường coi ( )E k là ma trận suy biến, tức là ( )rankE k n với mọi 0,1,2,...k  Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường hợp đặc biệt. 1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ); (0) , 0,1,2,... E k x k A k x k f k x x k        (1.6) trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiều là n n , ( )f k là hàm véc tơ của biến số rời rạc k , 0,1,2....k  Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừng thông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem [3]). 1.2.1 Bổ đề. Giả sử ( , )F k i là ma trận hàm có số chiều n n thỏa mãn phương trình ma trận ( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1,..., 1F k i E i F k i A i i k    (1.7) với điều kiện ban đầu - 8 - ( , 1) , ( , ) 0,nF k k I F k i i k    . (1.8) Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau: 1 0 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1,2,... k i E k x k F k E x F k i f i k       (1.9) Ở đây nI được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n. Chứng minh Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định, ta có: ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,..., 1E i x i A i x i f i i k      . (1.10) Giả sử ( , )F k i là ma trận n n . Nhân hai vế của (1.10) với ( , )F k i ta được: ( , ) ( 1) ( 1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ), 0,1,2,..., 1F k i E i x i F k i A i x i F k i f i i t      . (1.11) Lấy tổng hai vế của các đẳng thức (1.11) theo i từ 0 đến 1k ta được: 1 1 0 0 ( , ) ( 1) ( 1) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k k i i F k i E i x i F k i A i x i F k i f i          . (1.12) Do vế trái của (1.12) có thể viết dưới dạng: 1 0 ( , ) ( 1) ( 1) k i F k i E i x i     1 0 ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) k i F k i E i x i F k k E k x k F k E x         nên (1.12) có thể viết dưới dạng ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)F k k E k x k F k E x    1 1 0 0 ( , 1) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k k i i F k i E i x i F k i A i x i F k i f i          . Do giả thiết ( , 1) nF k k I  nên 1 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) ( , 1) ( ) ( ) k i E k x k F k E x F k i E i x i        1 0 [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k i F k i A i x i F k i f i     . - 9 - hay 1 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) [ ( , ) ( ) ( , 1) ( )] ( ) k i E k x k F k E x F k i A i F k i E i x i        1 0 ( , ) ( ) k i F k i f i    . Do ( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1,..., 1F k i E i F k i A i i k    . nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu 0(0)x x ta có: 1 0 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ) k i E k x k F k E x F k i f i      . Đây chính là điều phải chứng minh. Nhận xét Công thức (1.9) tỏ ra hiệu quả khi nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (xem [3]). Khi ( ) nE k I nó trở về công thức nghiệm cho phương trình của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính không dừng trong [8]. Tuy nhiên nó có hạn chế sau đây: Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy ( )x k chưa được tính ở dạng tường minh (vẫn còn ( )E k kèm theo). Sau đây ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.6) trong trường hợp các ma trận ( )E k , ( )A k là các ma trận hằng với giả thiết rằng ( , )E A là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thể chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có tham số điều khiển. 1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY 1.3.1 Định nghĩa Cặp ma trận , n nE A  được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức   sao cho định thức 0E A   hay đa thức 0sE A  . - 10 - 1.3.2 Bổ đề Cặp ma trận  ,E A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho 1 0 0 nIQEP N      , 1 2 0 0 n AQAP I      , (1.13) trong đó 1 2n n n  , 111 n nA  , 1nI và 2nI là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp 1n và 2n ; 2 2n nN  là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự nhiên h sao cho 0hN  ). Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho (1.13) là đúng. Ta chọn 1( )Aa s , trong đó 1( )As là phổ của ma trận 1A (tập tất cả các giá trị riêng của 1A , tức là các số  sao cho 1 0I Aa   ). Vì 1( )As chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số 1( )Aa s . Khi đó ta có  1 1 1 1 1 1 1 0. E A Q Q E A PP Q QEP QAP P Q I A P a a a a               Suy ra 0E Aa   . Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận ( , )E A là chính quy. Điều kiện đủ Giả sử ( , )E A là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn tại số a sao cho 0E Aa   . Xét hai ma trận 1ˆ ( )E E A Ea   và 1ˆ ( )A E A Aa   . Ta có:           1 1 1 1 1 ( ) ˆ ˆ . E A E A I E A A E A E I E A A I E A E A I E a a a a a a a a a                      Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem [10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho - 11 - 1 1 2 ˆ ˆ ˆ( , )TET diag E E  , trong đó 1 11ˆ n nE  là ma trận không suy biến và 2 22ˆ n nE  là ma trận lũy linh (tồn tại một số tự nhiên h để 22 ˆ h nE O , trong đó 2nO là ma trận vuông gồm tất cả các phần tử bằng 0). Chứng tỏ ma trận 2 2 ˆ nI Ea là không suy biến. Đặt 1 1 1 1 2 ˆ ˆ( ,( ) ) ( )Q diag E I E T E Aa a     và 1P T . Khi đó  1 1 1 11 2ˆ ˆ,( ) ( )QEP diag E I E T E A ETa a      =  1 1 11 2ˆ ˆ ˆ,( )diag E I E TETa   =  1 11 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ,( ) ( , )diag E I E diag E Ea  = = 1 1 1 1 11 2 22 2 ˆ ˆ 0 0 0 ˆ ˆˆ ˆ 0 ( )0 ( ) 0 nIE E I E EI E E aa                                1 1 0 , 0 n n I diag I N N        , trong đó 12 2ˆ ˆ: ( )N I E Ea   là ma trận lũy linh do 2Eˆ là ma trận lũy linh. Tương tự, ta cũng có:  1 1 1 11 2ˆ ˆ,( ) ( )QAP diag E I E T E A ATa a       = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ,( )) ( ,( )) (( ),( ))diag E I E TAT diag E I E diag I E I Ea a a a       2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ( ) 0 ( ) 0 ˆ ˆ 00 ( ) 0 ( ) n E I E E I E II E I E a a a a                                  21 ( , )ndiag A I , trong đó 11 1 2ˆ ˆ: ( )A E I Ea  . Vậy bổ đề 1.3.2 được chứng minh. 1.3.3 Thí dụ Xét cặp ma trận ( , )E A dưới đây - 12 - 0 1 1 1 0 1 1 1 0 , 0 2 0 1 0 1 1 0 1 E A                   . (1.14) Tính toán trực tiếp ta có:     2 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 det 1 1 0 0 2 0 det 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 det 2 ( 1) (2 )( 1) 0. 1 ( 1) 1 s s sE A s s s s s s s s s s s s s s s s                                                             Do đó,  ,E A là cặp ma trận chính quy. Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó khăn khi E, A là các ma trận cấp cao. Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận  ,E A , được gọi là thuật toán trộn. Cho  E A là ma trận cấp n2n. Nếu E là không suy biến thì  ,E A là cặp ma trận chính quy và dừng thuật toán. Còn nếu E là suy biến, bằng cách biến đổi hàng ta có thể chuyển  E A về ma trận khối dạng 1 1 20 E A A     , (1.15) trong đó 1 q nE  có hạng dòng đầy đủ với q rank E . Khi đó, ta trộn dòng khối thứ hai trong (1.15) để đưa nó về dạng 1 1 2 0 E A A     . (1.16) Nếu   11 2 2 / E E A A      là không suy biến thì  ,E A là cặp ma trận chính quy và dừng thuật toán. Còn không, ta lặp lại thuật toán. Thuật toán sẽ kết thúc theo - 13 - cách sau đây: Ma trận có dạng n cột không suy biến dẫn tới  ,E A là cặp ma trận chính quy hoặc cuối cùng là một dòng không xuất hiện trong ma trận (1.16) dẫn tới  ,E A là cặp ma trận không chính quy. 1.3.4 Thí dụ Xét cặp ma trận  ,E A trong Thí dụ 1   0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 0 1 1 0 1 E A         . (1.17) Ma trận E là suy biến. Biến đổi dòng trong (1.17) như sau: Cộng dòng thứ hai với dòng thứ 3, sau đó nhân dòng thứ nhất với (-1) và cộng với dòng thức ba ta được:   0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 2 2 0 E A                           . (1.18) Trộn (1.18) bằng cách đổi chỗ ma trận  0 0 0 và  2 2 2 0A   ở dòng cuối cùng, ta được 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 2 2 0 0 0 0       . Ma trận trái cấp 33 là không suy biến, do đó  ,E A là cặp ma trận chính quy. - 14 - 1.4 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH ẨN VỚI CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY Xét hệ ( 1) ( ) ( )Ex k Ax k Bu k   , ( ) ( ) ( )y k C k x k , 0,1,2,...k  (1.19) Bổ đề 1.3.2 chỉ ra rằng, với giả thiết chính quy của cặp ma trận  ,E A , hệ (1.19) có thể đưa về dạng sau: 1 1 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ); (1.20 ) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,.... (1.20 ) x k A x k B k u k a Nx k x k B k u k k b         Thật vậy, do ( , )E A là cặp ma trận chính quy nên theo Bổ đề 1.3.2 tồn tại hai ma trận không suy biến ,P Q sao cho 11 2 00 , 00 n n AIQEP QAP IN               . Đưa vào biến mới 1( ) ( )z k P x k hay 1 2 ( )( ) ( ) ( ) z k x k Pz k P z k        và đặt 1 2 ( )( ) ( ) B kQB k B k      . Khi ấy (1.19) có thể viết lại như sau: 1 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) z k z k EP AP B k u k z k z k                . (1.21) Nhân hai vế của (1.21) với Q ta được: 1 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) z k z kQEP QAP QB k u k z k z k                . Theo Bổ đề 1.3.2 ta có 11 1 11 2 2 22 0 0 ( 1) ( ) ( ) ( )0( 1) ( ) ( )0 n n AI z k z k B k u k Iz k z k B kN                                       . Từ đây ta có - 15 - 1 1 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ); (1.22 ) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... (1.22 ) z k A z k B k u k a Nz k z k B k u k k b         Đây chính là công thức (1.20). Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận  ,E A là chính qui. Như vậy, để nghiên cứu hệ phương trình sai phân (1.19) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.22) (thường được viết dưới dạng (1.20)). Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22). 1.4.1 Mệnh đề Với mỗi điều kiện ban đầu 11(0) nz  và dãy điều khiển ( ), 0,1,2,...u i i , nghiệm của (1.22a) có dạng 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) (0) ( ) ( ) k k k i i z k A z A B i u i      . (1.23a) Chứng minh Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) bằng phương pháp quy nạp. Với 1k  ta có 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (1) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0)i i z A z A B i u i A z B u      . Giả sử với mọi k s công thức (1.23a) đúng, khi ấy công thức (1.23a) đúng với k s : 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) (0) ( ) ( ) s s s i i z s A z A B i u i      . Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) đúng với 1k s  . Thật vậy, từ (1.20a) và qui nạp ta có: 1 1 1 1( 1) ( ) ( ) ( )z s A z s B s u s   = = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( (0) ( ) ( )) ( ) ( ) s s s i i A A z A B i u i B s u s      = 1 1 1 1 1 1 1 0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s i i A z A B i u i B s u s      - 16 - = 1 1 1 1 1 0 (0) ( ) ( ) s s s i i A z A B i u i    . Vậy công thức (1.23a) được chứng minh. Công thức (1.23a) thực chất là công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]). 1.4.2 Mệnh đề Giả sử L>0 là một số cố định cho trước. Khi đó với điều kiện cuối 2( )z L và dãy điều khiển ( )u k , 0,1,2,...,k L cho trước, nghiệm của phương trình 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )Nz k z k B k u k   , 0,1,2,...,k L (1.20b) được tính theo công thức sau: 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L k L k i i z k N z L N B k i u k i        , 0,1,2,...,k L . (1.23b) Chứng minh Ta có 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )Nz k z k B k u k   . Suy ra 2 2 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)Nz L z L B L u L     . Do đó   1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) ( L k L k L k L k L k L k L k L k L k L k L k N z L N z L N B L u L N Nz L N B L u L N z L B L u L N B L u L N Nz L N B L u L N B L u L N z L B L u L                                                      2 1 1 1 0 2 2 2 2 0 0 3) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L k L k L k L k i i i i N B L u L N B L u L N z k N B k i u k i z k N B k i u k i                           Vậy - 17 - 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L k L k i i z k N z L N B k i u k i         , 0,1,2,...,k L . Công thức (1.23b) được chứng minh. Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (1.20) (hay (1.22)) với 0,1,2,...,k L thường được gọi là chuỗi thời gian hữu hạn (the finite time series). Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tính được tường minh theo công thức các công thức (1.23a) và (1.23b). Trong trường hợp (1.22) là hệ phương trình hệ sai phân ẩn tuyến tính dừng ( ( )B k B ) thì các công thức nghiệm của nó được xác định như sau: 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) (0) ( ) k k k i i z k A z A B u i      , 0,1,2,...,k L ; (1.24a) 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) L k L k i i z k N z L N B u k i        , 0,1,2,...,k L . (1.24b) 1.4.3 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 x k x k u k k L                                   . (1.25) Đặt 1 21 2 2 ( )( ) ; ( ), ( )( ) x k x k x k x k x k         . Khi ấy hệ (1.25) có thể viết lại như sau: 1 1 2 2 1 1 0( 1) ( ) ( ); 0 1 1 0 1 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... . 0 0 1 x k x k u k x k x k u k k L                                        Ta có: 1 1 1 0 1 A      , 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 A               ,…, 1 1 1 1 0 1 k kA       , - 18 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 k k k kA A A                ; 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 k i k i k iA B                   ; 0 1 0 0 N      , 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N               ; 2 0 1 1 1 0 0 1 0 NB               . Theo công thức (1.23a) và (1.23b), nghiệm của (1.25) được tính như sau: , 1 11 11( ) (0) ( ) (0) ( ) 01 1 1 1 1 10 00 1 1 k kk k ik k i x k A x A B u i x u i k L i i                         . Trạng thái 2 ( )x k được tính theo công thức: 0 1 1( ) ( ), 1;21 0 0 1( ) ( ) ( )2 2 20 1( 1) ( ), 0 2. 1 1 0 x L u k k L L kL k i x k N x L N B u k i i u k u k k L                                          Ta thấy 2 ( )x k là không phụ thuộc vào trạng thái cuối 2 ( )x L khi 2k L  . Phương trình (1.22a) là một công thức truy hồi tiến và nghiệm của nó được tính theo công thức (1.23a), trong đó trạng thái 1( )z k tại thời điểm k hoàn toàn được xác định duy nhất bởi điều kiện đầu 1(0)z và các đầu vào ( ), 0,1,..., 1u i i k  trước thời điểm k . Mối quan hệ giữa trạng thái ban đầu ( )x k và ( )u k như vậy được gọi là quan hệ nhân quả. Chính xác hơn, ta đưa vào định nghĩa sau. 1.4.4 Định nghĩa Chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) được gọi là có tính chất nhân quả nếu trạng thái ( )x k , 0 k L  của nó tại bất kỳ thời điểm k được xác định hoàn toàn - 19 - bởi duy nhất điều kiện ban đầu x(0) và các đầu vào u(0), u(1),…,u(k). Nếu ngược lại thì chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) không có tính chất nhân quả. Hiển nhiên, theo công thức nghiệm (1.23a), hệ phương trình sai phân thường là hệ có tính chất nhân quả. Phương trình (1.22b) là một công thức truy hồi lùi, trong đó trạng thái 2 ( )z k hoàn toàn được xác định bởi 2( )z L và các điều khiển ( ), , 1,...,u i i k k L  theo công thức (1.23b). Khi 0N  , từ (1.23b), ta có 2 2( ) ( ) ( )z k B k u k  , tức là 2( )z k hoàn toàn xác định bởi duy nhất một điều khiển ( )u k , và ta cũng có mối quan hệ nhân quả. Công thức (1.23a) và (1.23b) cũng chỉ ra rằng, điều kiện ban đầu 1(0)z và điều kiện cuối 2 ( )z L tạo thành một điều kiện trọn vẹn (the complete condition), với điều kiện ấy trạng thái ( )x k và đầu ra ( )y k của hệ (1.19) sẽ được tính một cách duy nhất theo các điều khiển ( ), 0,1,...,u i i L theo công thức sau (kết hợp hai công thức (1.23a) và (1.23b)): 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k L k n k k i L k i ni i I x k P A z A B i u i P N z L N B i u k i I                                ( ) ( ) ( )y k C k x k , 0,1,...,k L . (1.24) Công thức (1.24) cho ta nghiệm tổng quát của chuỗi thời gian hữu hạn. Ta thấy, trạng thái ( )x k tại mỗi thời điểm k của chuỗi thời gian hữu hạn được xác định không chỉ bởi điều kiện ban đầu 1(0)z và các điều khiển ( ), 0,1,..., 1u i i k  trước đó (như trong hệ phương trình sai phân thường), mà còn bởi trạng thái cuối 2 ( )z L và các điều khiển tương lai ( ), 1,...,u i i k L  (từ thời điểm 1k  cho tới tận thời điểm L . Điều này thể hiện sự khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn. - 20 - CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN Trong phần này chúng ta sẽ xét tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn ( 1) ( ) ( )Ex k Ax k Bu k   , 0,1,2,...,k L , (2.1) trong đó L là một số cố định cho trước, ( )x k là các véc tơ trạng thái trong không gian Euclid n chiều n ; ( )u k là véc tơ điều khiển trong không gian Euclid r chiều k ; ,A B là các ma trận có số chiều tương ứng là n n và n r . Trong phương trình trên ma trận E nói chung suy biến (định thức có thể bằng 0), vì vậy phương trình (2.1) nói chung không giải được một cách hiển đối với ( )x k . Trong 1.4 của Chương 1 ta đã chứng minh công thức nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1). Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm và các tiêu chuẩn điều khiển được của hệ (2.1). 2.1.1 Điều khiển được hoàn toàn 2.1.1.1 Định nghĩa Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu với mọi điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( )x x L và mọi trạng thái nw tồn tại một thời điểm 1k , 10 k L  và các điều khiển u(0), u(1),…,u(L) sao cho 1( )x k w . Như vậy tính điều khiển được được xét ở đây là điều khiển được theo điểm. Mục đích của chúng ta là đi tìm các tiêu chuẩn (điều khiển được hoàn toàn) để có thể đi từ vị trí trọn vẹn  1 2(0) / ( )x x L bất kì tới vị trí bất kì w nào trong - 21 - không gian n nhờ các điều khiển ( )u k , 0,1,2,...,k L . Nói cách khác, điều khiển được hoàn toàn cho phép từ vị trí bất kì  1 2(0) / ( )x x L có thể tràn lên toàn bộ không gian n nhờ các điều khiển tương ứng. Nếu  ,E A là cặp ma trận chính qui thì (xem 1.4) tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho (2.1) có thể được đưa về dạng 1 1 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) ( ); (2.2a) ( 1) ( ) ( ), 0,1,2,..., . (2.2b) x k A x k B u k Nx k x k B u k k L         Với điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( ) nx x L  cho trước, phương trình (2.2a) và (2.2b) có nghiệm tương ứng là (xem các công thức (1.24a), (1.24b)): 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) (0) ( ) k k k i i x k A x A B u i      , 0,1,2,...,k L . (2.3a) 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) L k L k i i x k N x L N B u k i       , 0,1,2,...,k L . (2.3b) Hai công thức trên có thể viết gọn thành 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0( ) (0) ( ) ( ) ( ) 0 k L k n k k i L k i ni i I x k P A z A Bu i P N z L N B u k i I                                , 0,1,2,...,k L . (2.4) 2.1.1.2 Định lý Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn nếu và chỉ nếu  1 11 1 1 1 1 1, ,..., nrank B A B A B n  ; (2.5a)  2 12 2 2 2, ,..., nrank B NB N B n  . (2.5b) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn. Khi ấy với 1 2(0) 0, ( ) 0x x L  và với bất kỳ nw tồn tại một thời - 22 - điểm 1k và u(i), i=0,1,...,L sao cho 1( )x k w . Mặt khác, từ công thức (2.4) ta có (với 1 2(0) 0, ( ) 0x x L  ):   1 1 2 2 1 1 1 (0)1 ,..., , ,...,1 1 1 1( ) ( )/ ( )1 1 1 2 1 1 ( ),..., , ,...,2 2 2 nm nm n m n m k uA B AB B O O w x k x k x k L k u LO O B NB N B                  (2.6) Kí hiệu 1 1 2 2 1 1 11 ,..., , ,...,1 1 1 1 : 1 ,..., , ,...,2 2 2 n m n m n m n m k A B A B B O O M L kO O B NB N B         và (0) : ( ) u u u L        , trong đó in m O , 1,2i  là ma trận chữ nhật cấp in m , gồm tất cả các phần tử đều bằng 0. Khi ấy với mỗi nw bất kì phương trình Mu w luôn có nghiệm (tồn tại u ) hay M là ánh xạ tràn. Từ đây suy ra (2.5a) và (2.5b). Điều kiện đủ Với bất kỳ điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( ) nx x L  , từ các công thức (2.3a) và (2.3b), trạng thái x(k) được xác định như sau:   1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (0) ,..., , ,...,1 1 1 1( ) ( )/ ( ) 1 ,..., , ,..., ( )2 2 2 (0) ( ) n m n m n m n m k L k k uA B A B B O O x k x k x k L kO O B NB N B u L A x N x L                      (2.7) Giả sử (2.5a) và (2.5b) được thỏa mãn. Khi ấy ma trận  1 11 11 1 1 1 1 2 2 2,..., , , , ,...,n L nM diag A B A B B B NB N B          với L n là ma trận có hạng dòng đầy đủ (ma trận có n dòng độc lập tuyến tính), tức là ma trận vuông TMM là ma trận khả nghịch. Do đó với nw - 23 - bất kỳ, chọn 1 1k n và 1 1 1 1 1 2 (0)(0) ( ) ( 1) ( ) n T T L n A xu M MM w u L N x L                          thì ta có   11 ,..., , ,..., (0)1 1 1 1 1 1 1( ) ( )/ ( )1 1 1 2 1 1 ( )1 ,..., , ,...,2 2 22 2 1 (0)1 1 1 ( )2 n A B A B B O O un m n m x n x n x n L n u LO O B NB N Bn m n m n A x L n N x L                               1 1(0) (0)11 1 1 1(0)1 11( ) 1 ( )1 12( ) (2 2 n n nA x A xA x T TMM MM w wL n L n L nN x L N x L N x                                                      ) 1 (0)1 1 . 1 ( )2 L n A x wL n N x L                                                Vậy 1( )x n w , tức là từ bất kì vị trí trọn vẹn  1 2(0) / ( )x x L nào ta đều có thể đi tới vị trí bất kì nw sau 1n bước bởi các điều khiển được chọn như trên. Điều kiện đủ chứng minh xong. Chứng tỏ (2.5a) và (2.5b) là điều kiện cần và đủ để chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn. Nhận xét Theo chứng minh trên, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi hai hệ tiến (2.2a) và hệ lùi (2.2b) tương ứng là điều khiển được hoàn toàn. Hơn nữa, bởi vì 1( )x k được tính một cách độc lập chỉ theo các điều khiển (0), (1),..., ( 1)u u u k  và 2 ( )x k được tính chỉ theo các điều khiển ( ), ( 1),..., ( 1)u k u k u L  nên ta có thể chọn các điều khiển tương ứng một cách độc lập để hệ (2.2a) và hệ (2.2b) là điều khiển được hoàn toàn. - 24 - 2.1.2 R-Điều khiển được Với bất kỳ điều kiện cuối cố định 22 ( ) nx L  , kí hiệu 2 ( )Rx L là tập tất cả các trạng thái ( )x k của hệ (2.1), xuất phát từ một điểm ban đầu bất kì nào đó. Tập 2 ( )Rx L được gọi là tập đạt được ban đầu (initial reachable set). Ta có 1 1 2 1 , (0), 0 , à (0), (1),..., ( )( ( ) sao cho ( ) ). nw x k L v u u u L R x L x k w           (2.8) Rõ ràng ta thấy tập đạt được ban đầu 2 ( )Rx L phụ thuộc vào 2 ( )x L . Với 2 ( )x L khác nhau, 2 ( )Rx L có thể khác nhau. 2.1.2.1 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 x k x k u k k L                                   . (2.9) Đặt 1 21 2 2 ( )( ) ; ( ), ( )( ) x k x k x k x k x k         , 1 2 2n n  . Khi ấy hệ (2.9) có thể viết lại như sau: 1 1 2 2 1 1 0( 1) ( ) ( ); 0 1 1 0 1 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... . 0 0 1 x k x k u k x k x k u k k L                                        Ta có: 1 1 1 0 1 A      ; 1 0 1 B      ; 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 A B               ;  1 1 1 10 1, 21 1rank B A B rank n       . - 25 - Tương tự, 0 1 0 0 N      ; 2 1 1 B      ; 2 0 1 1 1 0 0 1 0 NB               ;  2 2 21 1, 21 0rank B NB rank n       . Chứng tỏ chuỗi thời gian hữu hạn (2.9) là điều khiển được hoàn toàn theo Định lí 2.1.1.2, do đó ta có 2 ( ) nRx L   với bất kỳ điều kiện cuối 2 ( )x L (không phụ thuộc vào điều kiện cuối 2( )x L ) . 2.1.2.2 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn 1 1 2 2 1 0 0 2 0 0 1( 1) ( ) 0 0 1 0 1 0 0 ( ).( 1) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 x k x k u k x k x k                                     (2.10) với 21 2( ) , ( )x k x k   , tức là 1 1( 1) 2 ( ) ( )x k x k u k   và 2 2 0 1 1 0( 1) ( ) 0 0 0 1 x k x k           . Với điều kiện đầy đủ  1 2(0) / ( )x x L , trạng thái của (2.10) được biểu diễn theo công thức: 1 1 1 0 2 2 ( ) 2 (0) 2 ( ); 0 1 ( ) khi 1;( ) 0 0 0 khi 0 1. k k k i i x k x u i x L k L x k k L                  (2.11) Như vậy, với điều kiện cuối 2( )x L cho trước, tập đạt được ban đầu là 2 2 2 0 1( ) ( ) ( ) 0 0 Rx L x L x L               . Rõ ràng 2 ( )Rx L phụ thuộc vào 2 ( )x L . - 26 - Từ Thí dụ trên, ta đưa ra khái niệm R-điều khiển được sau . 2.1.2.3 Định nghĩa Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được trong tập đạt được ban đầu hay R-điều khiển được nếu với mọi điều kiện cuối cố định cho trước 2 ( )x L , mọi trạng thái xuất phát từ một điều kiện ban đầu bất kì đều có thể điều khiển được về một trạng thái bất kỳ nào trong 2 ( )Rx L bởi các điều khiển ( )u k sau một thời gian nào đó. 2.1.2.4 Định lý Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) là R-điều khiển được nếu và chỉ nếu  1 11 1 1 1 1 1, ,..., nrank B A B A B n  . Điều này có nghĩa là hệ con (2.2a) là điều khiển được hoàn toàn. Vì hệ (2.9) trong Thí dụ 2.1.2.1 là điều khiển được hoàn toàn nên nó là R-điều khiển được. Trong Thí dụ 2.1.2.2 ta có:    1 12 1rank B rank n   nên hệ (2.10) là R- điều khiển được. Mặt khác 0 1 0 0 N      ; 2 0 0 B      nên  2 2 2 0 0 , 0 2 0 0 rank B NB rank n       nên hệ (2.10) không điều khiển được hoàn toàn. Ta cũng có thể kiểm tra trực tiếp như sau. Chọn    1 2(0) / ( ) 0 0 0 Tx x L  và  0 0 0 Tw  thì  2( ) 0 0x k  với mọi 0,1,...,k L theo công thức (2.11) nên không thể tồn tại 1k và ( )u k , 0,1,...,k L để  1( ) 0 0 0x k w  được, hay hệ (2.10) là không điều khiển được hoàn toàn, mặc dù nó là R-điều khiển được. - 27 - 2.1.3 Điều khiển được nhân quả Xét chuỗi thời gian hữu hạn (2.1). Chọn điều khiển theo liên hệ ngược dạng tuyến tính ( ) ( ) ( )u k Kx k v k  , 0,1,...,k L , (2.12) trong đó m nK  là ma trận hằng, còn ( )v k là một điều khiển mới. Thay ( )u k theo công thức (2.12) vào hệ (2.1) ta được một hệ đóng ( 1) ( ) ( ) ( )Ex k A BK x k Bv k    , 0,1,...,k L . (2.13) 2.1.3.1 Định nghĩa Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được nhân quả hay Y-điều khiển được nếu tồn tại một điều khiển theo liên hệ ngược (2.12) sao cho hệ đóng (2.13) là nhân quả. Kí hiệu Y-điều khiển được là được lấy từ chữ cái đầu tiên của từ “nhân quả” của tiếng Trung Quốc. Ta có thể thấy, trong nhiều hệ thực tế, tính không nhân quả thường gây nhiều bất ngờ khó kiểm soát. Mặt khác, nó có thể là nguyên nhân gây ra nhiều vấn đề trong điều khiển, nhận dạng và đánh giá hệ thống. Tính Y-điều khiển được đảm bảo khả năng điều khiển mang tính nhân quả nhờ các điều khiển ngược theo trạng thái. Từ Định lý 2.1.1.2, ta có thể chứng minh định lý sau đây. 2.1.3.2 Định lý Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là Y-điều khiển được nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận m nK  sao cho  deg ( )zE A BK rankE   . Điều kiện trên tương đương điều kiện sau: 0 0E rank rankE A E B      . - 28 - 2.2 TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN Xét chuỗi thời gian hữu hạn ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ex k A k x k B k u k y k Cx k     , 0,1,2,...,k L . (2.14) Trong 2.1 ta đã đưa ra khái niệm điều khiển được hoàn toàn, R-điều khiển được và Y-điều khiển được cho chuỗi thời gian hữu hạn, là các khái niệm điều khiển đầu vào ( )u k tác động lên trạng thái ( )x k . Trong phần này, ta đưa ra ba khái niệm quan sát được, là các khái niệm đối ngẫu tương ứng với ba khái niệm điều khiển được đã nêu. Khái niệm quan sát được cho phép mô tả khả năng khôi phục lại trạng thái theo các quan sát (theo các phép đo) đầu ra ( )y k , 0,1,...,k L . Như đã chỉ ra trong 1.4, đối với chuỗi thời gian hữu hạn, trạng thái ( )x k tại mọi thời điểm k , 0 k L  là hoàn toàn được xác định bởi điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( ) nx x L  và các đầu vào ( )u k , 0,1,...,k L . Bởi vì ( )u k là vectơ biết trước nên tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) thực chất là khả năng khôi phục lại điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( ) nx x L  từ các phép đo đầu ra ( )y k . 2.2.1 Định nghĩa Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nếu trạng thái ( )x k của nó tại mọi thời điểm k bất kì đều được xác định duy nhất bởi các điều khiển ( )u i và các đầu ra ( )y i , 0,1,...,i L . - 29 - Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là R-quan sát được nếu nó là quan sát được trong mọi tập đạt được ban đầu 2 ( )Rx L với mọi điều kiện cuối 2 2( ) nx L  cố định. Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nhân quả nếu trạng thái ( )x k của nó tại mọi thời điểm k được xác định duy nhất bởi điều kiện ban đầu 1(0)x và các điều khiển đầu vào ( )u i , 0,1,2,...,i k . 2.2.2 Định lý Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là quan sát được hoàn toàn nếu và chỉ nếu 1 11 1 1 1 1 1/ / .../ n rank C C A C A n    (2.15a) và 2 1 2 2 2 2/ / .../ n rank C C N C N n    . (2.15b) Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là R-quan sát được nếu và chỉ nếu  1 11 1 1 1 1 1/ / .../ nrank C C A C A n  . (2.16) Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là Y-quan sát được nếu và chỉ nếu 0 0 E A rank E n rankE C         . (2.17) 2.2.2.1 Thí dụ Xét chuỗi thời gian rời rạc   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ); 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 0 1 1 0 ( ); 0,1,2,... . x k x k u k y k x k k L                                    (2.18) - 30 - Đặt 1 21 2 2 ( )( ) ; ( ), ( )( ) x k x k x k x k x k         , 1 2 2n n  . Hệ (2.18) có thể viết như sau:   1 1 2 2 1 1 0( 1) ( ) ( ); 0 1 1 0 1 1( 1) ( ) ( ); 0 0 1 ( ) 0 1 1 0 ( ); 0,1,2,... . x k x k u k x k x k u k y k x k k L                                         Ta có: 1 1 1 0 1 , 0 1 0 1 A N           ,    1 20 1 , 1 0C C  ;    1 1 1 10 1 0 10 1C A      ;    2 0 11 0 0 10 1C N      ; 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 C rank rank n C A             ; 2 2 2 1 0 2 0 1 C rank rank n C N            . Vì ma trận 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 E A E C                          có ma trận con lớn nhất cấp 7 7 không suy biến - 31 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1             nên 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 E A rank E rank C                            4 3 n rankE   . Theo Định lý 2.2.2, chuỗi thời gian hữu hạn (2.18) là không quan sát được (và không R-quan sát được), nhưng nó là Y-quan sát được. 2.2.2.2 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn    1 1 2 2 1 2 1 0 0 2 0 0 1( 1) ( ) 0 0 1 0 1 0 0 ( );( 1) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 ( ) 1 0 0 ( ) / ( ) ; 0,1,2,... . x k x k u k x k x k y k x k x k k L                                       (2.19) với 21 2( ) , ( )x k x k   , tức là hệ 1 1( 1) 2 ( ) ( )x k x k u k   và - 32 - 2 2 0 1 1 0( 1) ( ) 0 0 0 1 x k x k           . Ta có:      1 1 20 12 , , 1 , 0 00 0A N C C        ;  1 1 2C A  và    2 0 10 0 0 00 0C N      ; 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 E A E C                       . Vì 0 0 E A E C       có ma trận con lớn nhất 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1        cấp 4 4 không suy biến nên 1 2 1 2 1 1 2 1 1 , 0 2 , 2 0 4 5 . 0 C C rank rank n rank n C A C N E A rank E n rankE C                             Vậy chuỗi thời gian hữu hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không là Y-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được. 2.3 NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.3.1 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng - 33 - ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2,... Ex k Ax k Bu k y k Cx k k      (2.20) Trong (2.20), ( ) nx k  là trạng thái, ( ) mu k  là điều khiển đầu vào và ( ) ry k  là đầu ra quan sát. Các ma trận , , ,n n n m r nE A B C       là các ma trận hằng. Ta giả sử rằng hệ (2.20) là suy biến, tức là rankE n . Sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn (2.20) và chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là hệ (2.1) là hệ rời rạc hữu hạn, tức là 0,1,...,k L , trong đó L là cố định cho trước, do đó nghiệm của nó được xác định theo cả điều kiện đầu 1(0)x và điều kiện cuối 2 ( )x L . Còn hệ (2.20) là một chuỗi thời gian vô hạn nên ta chỉ có điều kiện ban đầu. Trước tiên, với hệ suy biến (2.20), nếu ( , )E A là cặp ma trận chính quy thì theo Bổ đề 1.3.2 Chương 1, tồn tại hai ma trận không suy biến ,P Q sao cho 11 2 00 , 00 n n AIQEP QAP IN               . Sử dụng phép biến đổi 1 2 ( )( ) ( ) x k x k P x k      , trong đó 1 2 1 2 1 2, , n n x x n n n     , ta có thể đưa hệ (2.20) về dạng 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ); x k A x k B u k y k C x k     (2.21a) 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ); Nx k x k B u k y k C x k     (2.21b) 1 2( ) ( ) ( ); 0,1,2,...y k y k y k k   , (2.21c) trong đó 1 1 1 n n A  ,    1 2 1 2: / , :QB B B CP C C  - 34 - và 2 2 n n N  là lũy linh cấp h. Các hệ con (2.21a) và (2.21b) được gọi là hệ con tiến và hệ con lùi. Hệ con tiến (2.21a) là hệ phương trình sai phân thường, nghiệm của nó có thể tính được nhờ công thức sau: 1 1( ) (0) ( ), 0,1,2,...1 1 1 1 10 kk k ix k A x A B u i k i      . (2.22a) Công thức nghiệm trên thể hiện mối quan hệ nhân quả giữa trạng thái 1( )x k và các đầu vào ( ), 0,1,..., 1u i i k  . Hệ con lùi (2.21b) là một công thức truy hồi lùi của trạng thái. Bằng cách lặp lại các phép nhân bên trái với 0 1 2 1, , ,... hN I N N N  , chúng ta có ( ) ( 1) ( )2 2 2 2( ) ( 2) ( 1)2 2 2 2 3 2( 2) ( 3) ( 2)2 2 2 ... 1 1( 1) ( ) ( 1)2 2 2 x k Nx k B u k Nx k N x k NB u k N x k N x k N B u k h h hN x k h N x k h N B k h                     Ta cộng các phương trình này lại và chú ý rằng 0hN  ta có công thức biểu diễn của trạng thái con 2 ( )x k : 1( ) ( ), 0,1,2,...2 20 h ix k N B u k i k i     . (2.22b) Từ công thức này chúng ta thấy rằng, để xác định được trạng thái con 2 ( )x k thì cần phải biết các điều khiển đầu vào tương lai u(i) , ( 1k i k h    ). So sánh (2.22b) với (2.3b) chúng ta thấy rằng chúng đồng nhất với nhau khi k L h  . Sự khác nhau chỉ xảy ra tại thời điểm L h k L   . Vì vậy chúng ta có thể coi (2.1) như là trường hợp riêng của (2.20) và (2.3b) là trường hợp riêng của (2.22b). - 35 - Kết hợp (2.22a) và (2.22b) ta thu được công thức nghiệm tổng quát cho hệ (2.20) 0( ) ( ) ( )1 20 1 101 1( (0) ( ) ( );1 1 1 20 0 0 0 ( ) ( ). I x k P x k P x k I k hI Ik k i iP A P x A B u i P N B u k i Ii i y k Cx k                                      (2.23) Công thức (2.23) là công thức biểu diễn trạng thái x(k) và đầu ra đo được tại thời điểm 0,1,2,...k  bất kì. 2.3.1.1 Thí dụ Xét hệ rời rạc suy biến sau:   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ); 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 0 1 1 0 ( ); 0,1,2,... x k x k u k y k x k k                                    (2.24) Hệ này có dạng hệt như trong Thí dụ 1.4.3 Chương 1 với một sai khác duy nhất là (2.24) là một chuỗi thời gian vô hạn. Đặt 1 2( ) ( ( ) / ( ))x k x k x k . Khi ấy ta có thể viết (2.24) dưới dạng 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( )1 1 0 ( ); 0 1 1( 1) ( ) ( 1) ( )0 1 1 ( ). 0 0 1( 1) ( ) x k x k u k x k x k x k x k u k x k x k                                                             Từ các tính toán trong Thí dụ 1.4.3 Chương 1 và các công thức (2.22a), (2.22b), ta có thể biểu diễn trạng thái 1 2( ) ( ( ) / ( ))x k x k x k trong Thí dụ 2.3.1.1 như sau. - 36 - 1( ) 1 11 11 1( ) (0) ( ) (0) ( );1 1 1 1 1 12 10 10 0( )1 1 ( ) 1 12( ) ( ) ( )2 22 1 0( )2 x k k kk k ik k ix k A x A B u i x u i i ix k x k ix k N B u k i u k x k                                                            1 ( 1) ( )( 1) ,( )0 h u k u k u k u ki                  0,1,2,...k  Ta thấy, tọa độ thứ nhất 12 ( ) ( 1) ( )x k u k u k   của 2 ( )x k tại thời điểm k phụ thuộc vào điều khiển tương lai ( 1)u k  (trước một bước) và điều khiển ( )u k (tại chính thời điểm k ), trong khi đó tọa độ thứ hai 22 ( ) ( )x k u k của 2 ( )x k chỉ phụ thuộc vào điều khiển ( )u k . Nhận xét Với điều kiện ban đầu cho trước, hệ phương trình sai phân thường luôn có nghiệm, còn hệ phương trình sai phân ẩn thì không phải lúc nào cũng có nghiệm với bất kỳ điều kiện ban đầu. Ta có thể kiểm tra điều này một cách dễ dàng vì trong công thức (2.22b) khi cho 0k  thì ta sẽ được: 1(0) ( )2 20 h ix N B u i i    (2.25) hay dưới dạng khác   11 2 0 0 (0) ( ) h i i I P x N B u i     . (2.26) Như vậy, (0)x không thể là bất kì mà phải thỏa mãn điều kiện (2.26). Điều kiện (2.26) được gọi là điều kiện ban đầu chấp nhận được thỏa mãn theo trạng thái ban đầu (0)x . Kí hiệu 0I là tập hợp các trạng thái ban đầu chấp nhận được, 1 1 0 2 0 (0) (0 ) (0) ( ) h n i i I x I P x N B u i              . (2.27) Khi ( ) 0u k  thì từ (2.20) ta có: - 37 - 1 1 1 2 ( ) (0); ( ) 0, 0,1,2,... kx k A x x k k    Như vậy, trạng thái con 2 (0)x của hệ con lùi phải đồng nhất bằng 0. Các công thức (2.25) và (2.26) không chỉ cho ta thấy sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình sai phân thường. Nó còn cho ta thấy sự khác nhau giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 243). 2.3.2 Tính nhân quả Thí dụ 2.3.1.1 cho thấy, hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn nói chung không có tính nhân quả. Để xác định được trạng thái của hệ, nói chung ta phải cần đến các điều khiển tương lai. Tính không nhân quả là đặc trưng cho hệ rời rạc suy biến. Tính không nhân quả cũng là hiện tượng thường xảy ra trong các hệ thống thực tế. Thí dụ, mô hình động Leontief trong hệ thống kinh tế được mô tả bởi hệ phương trình sau  ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k Ax k B x k x k d k     , 0,1,2,...k  , trong đó ( )d k là đầu vào, bao gồm cả các khoản mục như tiêu dùng. Mục đích của sản xuất là để tiêu dùng. Nhưng thời gian bị chậm giữa hai pha sản xuất và tiêu dùng. Do đó, mục tiêu của tiêu dùng tương lai thường được sử dụng cho sản xuất trong thời điểm hiện tại. Hệ thống sẽ là không nhân quả nếu các biến không gian nhiều hơn các biến thời gian. 2.3.2.1 Tính nhân quả giữa trạng thái và đầu vào Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng hệ (2.20) có dạng (2.21). Rõ ràng, nếu hệ con lùi (2.21b) là nhân quả thì hệ (2.21) là nhân quả. Từ công thức (2.23) ta thấy rằng tồn tại mối quan hệ nhân quả giữa trạng thái và đầu vào nếu và chỉ nếu 2 0NB  . - 38 - 2.3.2.2 Tính nhân quả giữa đầu vào và đầu ra Bởi vì quan hệ vào-ra chỉ phụ thuộc vào tính điều khiển được và tính quan sát được của các hệ con nên ta giả sử rằng cặp ma trận 2 2( , , )N B C là điều khiển được và quan sát được, tức là  2 12 2 2 2, ,..., nrank B NB N B n  và 2 12 2 2 2/ / .../ n rank C C N C N n    . Do hệ phương trình sai phân thường (2.21a) có quan hệ nhân quả nên quan hệ nhân quả tồn tại giữa ( )y k và  ( ), 0,1,2,...,u i i k nếu và chỉ nếu mối quan hệ ấy tồn tại giữa 2 ( )y k và  ( ), 0,1,2,...,u i i k . Hơn nữa, từ công thức (2.22b) ta có 1 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... h i i y k C x k C N B u k i k       . (2.28) Như vậy, quan hệ nhân quả giữa 2 ( )y k và các đầu vào  ( ), 0,1,2,...,u i i k xảy ra (và do đó có quan hệ nhân quả giữa ( )y k và các đầu vào  ( ), 0,1,2,...,u i i k xảy ra) khi và chỉ khi 2 2 0, 1,2,..., 1 iC N B i h   . Hệ 1h  điều kiện trên có thể viết gọn lại dưới dạng 1 1 2 2 2 2 2 2/ / .../ , ,..., 0 h hC C N C N N B NB N B         . (2.29) Do giả thiết 2 2( , , )N B C là điều khiển được và quan sát được, tức là  2 12 2 2 2, ,..., nrank B NB N B n  và 2 1 2 2 2 2/ / .../ n rank C C N C N n    nên 0N  . - 39 - 2.3.3 Tính điều khiển được và quan sát được Tương tự như trong 2.2 và 2.3, ta đưa vào các khái niệm điều khiển được và quan sát được cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn như sau. 2.3.3.1 Định nghĩa Hệ (2.20) được gọi là điều khiển được (tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu với mọi Ln đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được (tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được). Hệ (2.20) được gọi là quan sát được (tương ứng, R-quan sát được; Y-quan sát được) nếu với mọi Ln đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là quan sát được (tương ứng R-quan sát được; Y-quan sát được). Song song với hệ phương trình sai phân ẩn (2.20), ta xét hệ phương trình vi phân ẩn (hệ phương trình vi phân đại số) tuyến tính dừng sau đây ( ) ( ); ( ) ( ), 0. Ex Ax t Bu t y t Cx t t      (2.30) Định lý dưới đây cho mối quan hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 244). 2.3.3.2 Định lý Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được). Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là quan sát được (R-quan sát được, Y-quan sát được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là quan sát được (R- quan sát được, Y-quan sát được). Như vậy, nhờ định lý này, ta có thể kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn (2.20) bằng cách sử dụng các tiêu chuẩn điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.30). - 40 - 2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH Một trong những tính chất quan trọng của hệ động lực là tính ổn định. Với hệ có tham số điều khiển, vấn đề khi nào hệ có thể ổn định hóa được là rất quan trọng trong cả lý thuyết và ứng dụng. Trong phần này, chúng ta xét khái niệm ổn định và ổn định hóa được cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính. 2.4.1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn không có điều khỉển ( ) ( ), 0,1,2,...Ex k Ax k k  (2.31) 2.4.1.1 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.31) được gọi là ổn định nếu tồn tại hai số 0,0 1    sao cho mọi nghiệm ( )x k của nó thỏa mãn bất đẳng thức ( ) (0)kx k x (2.32) với bất kỳ điều kiện ban đầu chấp nhận được (0)x và mọi 1,2,...k  . Nhận xét Theo định nghĩa trên, do 0 1  nên nếu hệ (2.31) là ổn định thì mọi nghiệm của phương trình sai phân (2.31) thỏa mãn điều kiện lim ( ) 0 k x k  (2.33) với mọi (0)x chấp nhận được. Như vậy, khái niệm ổn định theo Định nghĩa 2.4.1.1 là mạnh hơn khái niệm ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov (Ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov chỉ đòi hỏi điều kiện lim ( ) 0 k x k  với mọi (0)x chấp nhận được mà không đòi hỏi bất đẳng thức (2.32). Nếu hệ (2.31) là chính qui (cặp ma trận  ,E A là chính qui) thì hệ (2.31) đưa được về dạng (xem công thức 2.21a) và (2.21b) khi ( ) 0u k  ): - 41 - 1 1 1( 1) ( )x k A x k  ; (2.32a) 2 2( 1) ( )Nx k x k  , 0,1,2,...k  (2.32b) Phương trình (2.31) có nghiệm là (xem công thức (2.21a) và (2.21b): ( ) (0)1 1 1 kx k A x ; (2.33a) (0) 02x  , 0,1,2,...k  (2.33b) Như vậy, hệ chính qui (2.31) là ổn định khi và chỉ khi hệ (2.32a) là ổn định. Điều này dẫn ta tới Định lý sau. 2.4.1.2 Định lý ([6], trang 245) Hệ phương trình sai phân (2.31) là ổn định nếu và chỉ nếu tập các điểm cực hữu hạn (the finite pole set) của nó  ( , ) : , 0E A s sE As     nằm trọn trong hình tròn đơn vị  2 2: , , , 1U z x iy x y x y       trên mặt phẳng phức. 2.4.1.3 Thí dụ Hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0( 1) ( ); 0,1,2,... 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x k x k k                      (2.34) có 1 0 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 s-1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 s 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0-1 s sE A s                                                             . Vậy - 42 - 2 1 2 -1 -1 0 0 0 s-1 0 0 det( ) ( 1) 0 1 0 0 -1 s 0 0 0-1 s sE A s s s        . Chứng tỏ hệ (2.34) không ổn định. Hệ phương trình sai phân (2.34) có thể viết tường minh dưới dạng 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) ( )1 0 0 0 1 1 0 0 ( 1) ( )0 1 0 0 0 1 0 0 ( 1) ( )0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1( 1) ( ) x k x k x k x k x k x k x k x k                                         hay 1 1 2 2 2 4 3 4 ( 1) ( ) ( ); ( 1) ( ); ( 1) ( ); 0 ( ). x k x k x k x k x k x k x k x k         Phương trình 2 2( 1) ( )x k x k  cho 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1) ... (0)x k x k x k x      . Từ đây hiển nhiên điều kiện (2.32) (hay (2.33)) không được thỏa mãn. Vậy hệ (2.31) không ổn định (theo Định nghĩa 2.4.1.1). Hệ (2.31) là phương trình sai phân ẩn tuyến tính với cặp ma trận  ,E A chính qui. Nó có thể đưa về dạng sau (xem các tính toán trong Thí dụ 2.3.1.1 khi cho ( ) 0u k  , 0,1,2,...k  ): 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( )1 1 ; 0 1( 1) ( ) ( 1) ( )0 1 . 0 0 ( 1) ( ) x k x k x k x k x k x k x k x k                                          Hệ phương trình này có nghiệm là - 43 - 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 2 ( ) 1( ) (0) (0); 0 1( ) ( ) 0( ) , 0,1,2,... 0( ) kx k kx k A x x x k x k x k k x k                           hay 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) (0) (0); ( ) (0); ( ) 0; ( ) 0; 0,1,2,... x k x kx x k x x k x k k        Theo công thức nghiệm trên, vì 2 21 1lim ( ) (0) 0k x k x   khi 2 1 (0) 0x  nên hệ (2.34) là không ổn định theo Định nghĩa 2.4.1.1. Hơn nữa, nếu 21 (0) 0x  thì  2 1 21 1 1lim ( ) lim (0) (0)k kx k x kx     . 2.4.1.4 Thí dụ Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn 1 0 2 21 0 -1 10 1 0 ( 1) 1 1 ( ), 0,1,2,... 3 0 0 0 0 0 1 x k x k k                                   (2.35) Ta có: 1 0 2 21 0 -1 10 1 0 , -1 -1 3 0 0 0 0 0 1 E A                               ; 1 1 0 2 0 -s-2 2 21 0 -1 1 10 1 0 -1 -1 1 s- 1 3 3 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 s sE A s                                                               ; - 44 -   1 2 1 0 -s-2 2 1 1 1 1 1det 1 s- 1 0 ; 3 2 3 2 3 0 0 -1 s sE A s s s s                     . Tập các điểm cực hữu hạn của hệ (2.35) là  1 1( , ) ,2 3E A Us    . Vậy hệ (2.35) là ổn định. Hệ (2.35) có thể viết dưới dạng tường minh hơn: 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2( 1) ( )1 0 -1 10 1 0 ( 1) 1 1 ( ) 3 0 0 0 ( 1) ( )0 0 1 x k x k x k x k x k x k                                                      hay (với  1 2 21 1 1( ) ( ) ( ) Tx k x k x k  ; 2 ( )x k  ) , 1 1 2 1 0 2( 1) ( ); 11 3 0 ( ), 0,1,2,... x k x k x k k                     Vì 1 1 0 2 11 3 A             nên - 45 - 22 2 1 11 2 2 0 11 1 1 0 0 0 0 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 3 3 2 3 3 3 2 3 i i i A                                                                                                       ; 2 3 3 1 1 21 2 2 3 0 0 1 11 0 0 02 22 11 1 1 1 1 11 33 2 3 3 2 3 i ii i i i A                                                                                     . Ta có thể chứng minh 1 11 0 1 0 2 1 1 1 3 2 3 k k k i i kk i A                                                 . (2.36) Thật vậy, giả sử công thức (2.36) đúng với mọi s k . Khi ấy ta có 1 1 1 1 1 11 0 1 11 0 0 02 22 . 11 1 1 11 33 2 3 3 k k k k k i i k k ik i i A A A                                                                                  10 1 1 2 3 ik k                     Theo công thức (2.33a), hệ 1 1 1 1 1 0 2( 1) ( ) ( ) 11 3 x k x k A x k               có nghiệm là ( ) (0)1 1 1 kx k A x hay - 46 - 1 1 1 1 12 21 1 1 0 1 0( ) (0)2 ( ) (0)1 1 1 3 2 3 k k i i kk i x k x x k x                                                         , tức là 1 1 1 1 1( ) (0) 2 k x k x       , 0,1,2,...k  (2.37a) và 2 2 1 1 1 1 111 1 1( ) (0) (0) 3 3 20 ik k ik x k x x i                    , 1,2,...k  . (2.37b) Cũng có thể chứng minh trực tiếp công thức (2.37) như sau. Hệ (2.35) có dạng 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1( 1) ( 1) ( ) 2 ( ); 2 1( 1) ( ) ( ) ( ); 3 0 ( ), 0,1,2,... x k x k x k x k x k x k x k x k x k k             Vì 20 ( ), 0,1,2,...x k k  nên hai phương trình đầu trở thành 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1( 1) ( ); (2.38 ) 2 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... (2.38 ) 3 x k x k a x k x k x k k b        Theo công thức (2.31a), từ phương trình (2.37a) ta có (2.36a): 1 1 1 1 1( ) (0) 2 k x k x       . (2.37a) Công thức này cũng có thể dễ dàng tính trực tiếp: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 1) ( 2) ... (0) 2 4 2 k x k x k x k x            . - 47 - Thay vào phương trình (2.38b) ta được 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) ( ) ( ) ( ) (0) 3 3 2 k x k x k x k x k x           . Áp dụng Mệnh đề 1.4.1 Chương 1 cho phương trình này ta lại được (2.37b): 2 2 1 1 1 1 111 1 1( ) (0) (0) 3 3 20 ik k ik x k x x i                    , 1,2,...k  . (2.37b) Công thức (2.37b) cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng qui nạp như sau. Thay 0k  vào phương trình (2.38b) ta được: 2 2 1 1 1 1 1(1) (0) (0) 3 x x x  . Công thức này hoàn toàn trùng với công thức (2.37b) khi 1k  . Tương tự, thay 1k  vào phương trình (2.38b) ta được: 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 11 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1(2) (1) (1) (0) (0) (0) 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1(0) (0) (0) (0) (0). 3 3 2 3 3 2 i i i x x x x x x x x x x x                                                                      Công thức trên hoàn toàn trùng với (2.37b) khi 2k  . Giả sử công thức (2.37b) đúng với mọi k q . Với 1k q  , từ công thức (2.38b) và công thức (2.37b) (đúng theo qui nạp khi k q ), ta có: 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 11 (0) 0 1 (0) 0 1 1 1( 1) ( ) ( ) ( ) (0) 3 3 2 1 1 1 1 1(0) (0) 3 3 3 2 2 1 1 3 3 q i qq q iq x i q q iq x i x q x q x q x q x x x                                                                      1 1 1 (0). 2 i x      Vậy công thức (2.37b) đúng với mọi 0,1,2,...k  . Bây giờ ta có thể chứng minh trực tiếp tính ổn định của hệ (2.35) theo Định nghĩa 2.4.1.1 (mà không sử dụng Định lý 2.4.1.2) như sau. - 48 - Trước tiên ta chứng minh 1 11 1 1 1 3 2 20 k i i kk i                      (2.39) với mọi 1,2,...k  . Thật vậy, dễ dàng kiểm tra công thức (2.39) đúng cho 1,2k  . Giả sử (2.39) đúng cho mọi k q . Ta sẽ chứng minh nó đúng cho 1k q  . Vì 1 11 1 1 1 . 3 3 3 3 k i k i k i                     và 1 11 1 1 1 . 2 2 2 2 q q q                  với mọi 0,1,2,..., 1i q  , 1,2,...q nên ta có 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 2 20 0 q i i q i i q q q q q q i i                                                          . Vậy công thức (2.39) đúng với 1k q  . Theo qui nạp, công thức (2.39) đúng với mọi 1,2,...k  Từ bất đẳng thức (2.39) và bất đẳng thức      22 221 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b    với mọi 1 2 1 2, , ,a a b b suy ra           2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 1 1 1 111 1 1(0) (0) 3 3 20 21 1 1(0) (0) 2 (0) (0) . 2 2 2 ik k ik x x i k k k x x x x                                                            Cuối cùng ta có: - 49 -                      2 22 1 2 1 1 1 2 2 21 2 1 1 1 1 2 2 22 2 1 1 1 1 2 2 22 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 21 1(0) 2 (0) (0) 2 2 2 21 12 (0) (0) (0) 2 2 2 21 13 2 (0) (0) 6 (0) 2 2 k x k x k x k k x x x k k x x x k k x x x                                                Do 20 ( ), 0,1,2,...x k k  nên 1 1 1 1( ) ( ) 6 (0) 6 (0) 2 2 k k x k x k x x            . Chứng tỏ, theo Định nghĩa 2.4.1.1, hệ (2.35) là ổn định. Nhận xét Dễ dàng chứng minh được 11lim ( ) 0k x k  và 2 1lim ( ) 0k x k  nên nếu trong Định nghĩa 2.4.1.1 ta chỉ đòi hỏi lim ( ) 0 k x k  (như trong khái niệm ổn định tiệm cận theo Lyapunov) thì chứng minh đơn giản hơn. 2.4.2 Tính ổn định hóa được của hệ phương trình sai phân tuyến tính có tham số điều khiển Nói chung tính chất ổn định là rất quan trong đối với các hệ thống trong thực tế, tuy nhiên với một hệ bất kì, tính chất này không phải lúc nào cũng có. Câu hỏi đặt ra là: Liệu có thể sử dụng một điều khiển dạng liên hệ ngược ( ) ( ) ( )u k Kx k v k  , (2.40) trong đó m nK  , còn ( )v k là điều khiển đầu vào mới, để hệ phương trình sai phân trở nên ổn định hay không? Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có điều khiển dạng - 50 - ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), 0,1,2,... Ex k Ax k Bu k y k Cx k k     (2.41) Thay điều khiển dạng liên hệ ngược (2.40) vào phương trình (2.41) ta được hệ đóng sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ex k A BK x k Bv k y k Cx k     (2.42) Để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm với bất kỳ điều khiển nào, ta luôn giả thiết rằng hệ đóng (2.42) là chính quy. 2.4.2.1 Định nghĩa Hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn (2.41) được gọi là ổn định hóa được (stabilizable) nếu tồn tại một hệ số liên hệ ngược m nK  sao cho hệ đóng (2.42) là ổn định (theo Định nghĩa 2.4.1.1). Hệ (2.41) được gọi là có thể nhận biết được (detectable) nếu hệ đối ngẫu của nó ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2,... T T T T E x k A x k C u k y k B x k k      là ổn định hóa được. 2.4.2.2 Định lý Hệ (2.41) là ổn định hóa được (nhận biết được) nếu và chỉ nếu ( , ) , , 1rank zE A B n z z     (2.43a) (   / , , 1rank zE A C n z z     ). (2.43b) Chứng minh Ta chứng minh tiêu chuẩn ổn định hóa được (2.43a). Tiêu chuẩn nhận biết được (2.43b) chứng minh tương tự. - 51 - Điều kiện cần Giả sử hệ (2.41) là ổn định hoá được. Khi đó tồn tại một ma trận m nK  sao cho ( , )E A BK Us   . Vì vậy , 1,z z z   là hữu hạn ta có ( ( ))rank zE A BK n   . Mặt khác vì ( ) ( , ) IzE A BK zE A B K          nên ( ( )) ( , ) Irank zE A BK rank zE A B K          Kết hợp hai công thức trên cho ta kết quả ( , ) , , 1rank zE A B n z z     . Vậy (2.43a) được chứng minh. Điều kiện đủ Vì (2.41) là chính quy nên tồn tại hai ma trận không suy biến ,Q P sao cho 1 21 1 2 ( , ), ( , ), ( / )n nQEP diag I N QAP diag A I QB B B   , trong đó 1 2n n n  và 2 2n nN  là ma trận lũy linh. Nếu (2.42a) được thỏa mãn thì ta có 1 1 2 1 1 2 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 n rank zE A B rank zQEP QAP QB zI A B rank n rank zI A B zN I B            với mọi , 1,z z z  hữu hạn. Suy ra 1 1 1( , )rank zI A B n  với mọi , 1,z z z  hữu hạn. Do đó ta có thể chọn được ma trận 1K sao cho 1 1 1( )A B K U   . Chọn ma trận hệ số liên hệ ngược là 11( ,0)K K P . Dễ dàng kiểm tra được 1 1 1( , ) ( )E A BK A B K    nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức. Vậy hệ (2.40) là ổn định hóa được. - 52 - Nhận xét Trong chứng minh Định lý ta cũng đã chỉ ra rằng, hệ chính qui (2.41) là ổn định hóa được (nhận biết được) khi và chỉ khi hệ con tiến là ổn định hóa được (nhận biết được). 2.4.2.3 Thí dụ Xét hệ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ); 0,1,2,... 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 x k x k u k k                                   (2.44) Ta có 1 0 0 0 1 1 0 0 z-1 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 z-1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 z 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 zE A z                                   ;   z-1 -1 0 0 0 0 z-1 0 0 1 , 4 0 0 -1 z 1 0 0 0 -1 -1 rank zE A B rank          với mọi z . Chứng tỏ hệ (2.44) ổn định hóa được. Thí dụ, chọn ( 0,75 2 0 0)K    , ta có   1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0,75 2 0 0 0,75, 2,0,0 10 0 1 0 0 0 1 0 0,75 2 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0,75 2 0 0 A BK                                                 1 0 0 0,75 1 0 0 0,75 2 1 0 0,75 2 0 1            1 0 0 0 1 1 0 0 z-1 -1 0 0 0 1 0 0 0,75 1 0 0 0,75 z+1 0 0 0 0 0 1 0,75 2 1 0 0,75 2 -1 z 0 0 0 0 0,75 2 0 1 -0,75 -2 0 -1 zE A BK z                                 - 53 -    z-1 -1 0 0 0,25 z+1 0 0 det det 0,25 2 -1 z -0,25 -2 0 -1 z-1 -1 0 0 0,75 z+1 0 0 det 0,75-0,75z 2-2z -1 zE A BK            2 0,25 0 0 -0,75 -2 0 -1 z           Vậy 1,2 0,5z   và  ( , ) 0,5, -0,5E A BK   nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức. Chứng tỏ hệ (2.43) là ổn định hóa được, mặc dù ta đã biết trong Thí dụ 2.4.1.3, hệ (2.41) là không ổn định. Ta có quan hệ giữa các khái niệm điều khiển được, ổn định, quan sát được và nhận biết được như sau. Điều khiển được R-điều khiển được ổn định hóa được. Điều khiển được Y-điều khiển được. Điều khiển được R-điều khiển được+  rank E B n . Quan sát được R-quan sát được nhận biết được. Quan sát được Y-quan sát được. Quan sát được R-quan sát được +  /rank E C n . 2.5 QUAN SÁT TRẠNG THÁI CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2,..., Ex k Ax k Bu k y k Cx k k      (2.45) trong đó ( ) , ( ) , ( ) , , , ,n m r n n n m r nx k u k y k E A B C             là các ma trận hằng. Ta luôn giả thiết rằng rankE n . - 54 - Trong hệ (2.45), điều kiện ban đầu (0)x thường là không biết trước, do đó khó hoặc không thể xác định được chính xác trạng thái ( )x k và đầu ra ( )y k . Do đó ta phải xây dựng “trạng thái quan sát được” (state observer) ˆ( )x k sao cho giữa trạng thái thật ( )x k của hệ (2.45) và trạng thái quan sát được ˆ( )x k có tính chất tiệm cận. Như vậy, ta phải xây dựng một hệ động lực mà đầu vào phải gồm đầu vào và đầu ra của hệ (2.45). Cụ thể hơn, bài toán xây dựng trạng thái quan sát được đối với hệ (2.45) là bài toán xây dựng hệ động lực dạng ( 1) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ), c c c c c c c E x k A x k B u k Gy k w k F x k Fu k Hy k        (2.46) trong đó ( ) , ( ) , , , , , , ,c c cn n nnc c c c cx k w k E A B G F F H     là các ma trận hằng và 0c czE A  , sao cho trạng thái của hệ mới (2.46) và hệ cũ (2.45) thỏa mãn tính chất tiệm cận lim( ( ) ( )) 0 k w k x k   với mọi (0), (0)cx x . (2.47) Hệ (2.46) thỏa mãn tính chất (2.47) được gọi là hệ quan sát của hệ (2.45). Nếu c crankE n thì hệ quan sát (2.46) được gọi là hệ quan sát suy biến. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết c crankE n và cc nE I . Khi ấy hệ (2.46) được gọi là hệ quan sát chuẩn tắc (a normal observer). Đối với hệ (2.45), chúng ta xét hệ động lực dưới đây ˆ ˆ ˆ( 1) ( ) ( ) ( ( ) ( ))Ex k Ax k Bu k G y k Cx k     . (2.48) Trong hệ (2.48), hai thành phần đầu của vế phải ˆ( ) ( )Ax k Bu k chính là vế phải của hệ (2.45), còn thành phần cuối ˆ( ( ) ( ))G y k Cx k được sử dụng để hiệu chỉnh sai số trong quá trình mô hình hóa. Nếu ˆ(0) (0)x x thì các trạng thái của hệ (2.48) và hệ (2.45) là đồng nhất, tức là ˆ( ) ( )x k x k với mọi 0,1,2,...k  . - 55 - Đặt ˆ( ) ( ) ( )e k x k x k  là ước lượng sai số giữa ( )x k và ˆ( )x k . Khi ấy ( )e k thỏa mãn hệ động lực sau ˆ( 1) ( ) ( ), (0) (0) (0)Ee k A GC e k e x x     . (2.49) Nếu (2.45) là nhận biết được thì ma trận G có thể được chọn sao cho ta có ( , )E A GC Us   . Chứng tỏ hệ (2.49) là ổn định, do đó lim ( ) 0, (0) k e k e   hay ˆlim ( ) ( ) 0 k x k x k   với mọi ˆ(0), (0)x x . Điều này có nghĩa là trạng thái ˆ( )x k của hệ mới và trạng thái của hệ cũ thỏa mãn tính chất tiệm cận. 2.5.1 Định lý Nếu hệ (2.45) là nhận biết được, thì tồn tại một ma trận n rG  sao cho (2.48) là một hệ quan sát của hệ (2.45). 2.5.2 Định lý Nếu hệ (2.45) có hệ quan sát và rankE n thì tồn tại một ma trận G sao cho trạng thái của hệ (2.45) có thể khôi phục lại được một cách chính xác nhờ hệ quan sát (2.48). Định lý 2.5.2 nói rằng, không cần biết trạng thái ban đầu (0)x , trạng thái của hệ (2.45) vẫn có thể khôi phục lại được nhờ hệ (2.48). 2.5.3 Thí dụ Xét hệ sau   1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1( 1) ( ) ( ); 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 ( ) 0 1 1 -1 ( ), 0,1,2,... x k x k u k y k x k k                                                              (2.50) - 56 - trong đó ma trận  1 0 0 -1 TC thỏa mãn ( ) 1zE A GC   constant. Theo Định lý 2.5.2, tại mỗi bước k , hệ quan sát 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0( 1) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 x k x k u k y k                                                                                         xác định chính xác trạng thái của hệ (2.48). Giả sử hệ (2.44) được đưa về dạng: 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ); x k A x k B u k y k C x k     (2.51a) 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ); Nx k x k B u k y k C x k     (2.51b) 1 2( ) ( ) ( ); 0,1,2,...y k y k y k k   , (2.51c) Ta thấy rằng Định lý 2.5.2 vẫn đúng với điều kiện hệ (2.51) là R-quan sát được, 2, 0rankE n C  . 2.5.4 Định lý Giả sử rằng hệ (2.45) là nhận biết được và Y-quan sát được, khi đó nó có hệ quan sát trạng thái có bậc không lớn hơn hạng của E dạng ( 1) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ), c c c c c c x k A x k B u k Gy k w k F x k Fy k Hu k        trong đó ( ) , , ( )d ncx k d rankE w k    , sao cho lim( ( ) ( )) 0, (0), (0)ck w k x k x x    . Như đã phân tích trong 2.3, quan hệ nhân quả nói chung là không tồn tại giữa trạng thái và đầu vào trong hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Trạng thái ( )x k tại thời điểm k nói chung không được xác định chỉ bởi điều kiện ban đầu và các đầu vào (0), (1),..., ( )u u u k như trong trường hợp phương trình sai phân thường. Nhưng Định lý 2.5.4 đã chỉ ra một hiện tượng khá thú vị là, - 57 - dưới một vài điều kiện, trạng thái ( )x k tại thời điểm k của hệ (2.45) có thể được đánh giá tiệm cận bởi các đầu ra (0), (1),..., ( )y y y k cùng với các đầu vào (0), (1),..., ( )u u u k trước đó. Hơn nữa, sai số có thể nhỏ tùy ý khi số bước k đủ lớn. Ta có thể minh họa cách thiết kế hệ quan sát qua thí dụ sau. 2.5.5 Thí dụ Hệ (2.49) có 1rankC và hai ma trận không suy biến 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 , 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 Q P                                thỏa mãn 3(0, ); 1 0 0 0QEP diag I CP      ; 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 , 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 QAP QB                                . Đặt 11 31 2 2 ( )( ) , ( ) , ( )( ) x k P x k x k x k x k            , hệ (2.49) được đưa vầ dạng   1 2 2 2 ( ) ( ); 1 0 0 0 0 ( 1) 1 1 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ); 0 1 1 2 1 0 0 1 ( ) 0. x k y k x k x k u k y k y x k                                                  (2.52) Giả sử 2 1 1 ,1, 6 6 T G      . Khi ấy 2G thỏa mãn  2 2 1 0 0 1/ 6 1 2( ) ( 1 1 0 1 0 0 1 ) 0, , 2 3 0 1 1 11/ 6 A G Cs s                                     - 58 - nằm trong hình tròn đơn vị của mặt phẳng phức. Do đó ta có thể xây dựng được hệ quan sát cho trạng thái con 2 ( )x k :  2 2 2 2 1 0 0 0 0 ˆ ˆ( 1) ( 1 1 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 1 1 2 1 x k G x k u k y k G y                                                  (2.53) sao cho 2 2 2ˆ ˆlim( ( ) ( )) 0, (0), (0).k x k x k x x    Kết hợp (2.51) với (2.52) ta nhận được quan sát chuẩn của hệ (2.49) có dạng 11 0 - 0 06 ( 1) 1 1 -1 ( ) 1 ( ) 0 ( ); 5 2 10 1 - 6 1 0 0 0 0 1 0 0( ) ( ) 0 0 1 0 0 1 1 1 c c c x k x k u k y k w k x k                                                                  ( ),y k     (2.54) trong đó 2ˆ( ) ( )cx k x k và lim( ( ) ( )) 0, (0), (0)c x w k x k x x    . Như vậy, ta đã thiết kế được hệ quan sát có bậc là 3 (giảm bậc), trong đó các đầu vào ( )u k không tham gia trong công thức đầu ra ( )w k . Hơn nữa, ta còn có thể chứng minh được rằng trạng thái tại mọi thời điểm k có thể được khôi phục một cách chính xác từ các đầu ra (0), (1),..., ( )y y y k cùng với các đầu vào (0), (1),..., ( )u u u k trước đó. - 59 - CHƯƠNG III TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Trong Chương 2 ta đã nghiên cứu các tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính chứa ( )u k là véc tơ điều khiển r chiều. Các điều khiển ( )u k là các vectơ bất kì trong không gian r . Tuy nhiên, các bài toán thực tế thường đòi hỏi các điều khiển phải thỏa mãn một số hạn chế nào đó, thí dụ, các điều khiển phải có các tọa độ dương chẳng hạn. Chương này trình bày một số nghiên cứu về tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo [7]. 3.1. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG TUYẾN TÍNH DỪNG CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng ( 1) ( ) ( ), 0,1,...,x k Ax k Bu k k    (3.1) trong đó ( ) , ( ) ,n mx k u k A   là một ma trận hằng.Giả thiết rằng m  là tập lồi và 0 . Ta nói véc tơ x tựa trên  nếu , 0,x u u   và vectơ x được gọi là trực giao (vuông góc) với  nếu , 0x u  u  . Tập tất cả các vectơ vuông góc với  được gọi là phần bù vuông góc của  và ký hiệu là  . Với một trạng thái ban đầu 0x và điều khiển ( ), 0,1,2,...u k k  thì nghiệm của (3.1) được cho bởi công thức (xem Mệnh đề 1.4.1 Chương 1) 1 1 0 0 ( ) ( ), 0,1,... k k k i i x k A x A u i k        - 60 - 3.1.1 Định nghĩa Điểm x được gọi là 0-điều khiển được (tương ứng, 0-đạt được) sau N bước nếu tìm được một dãy điều khiển (0), (1),..., ( 1)u u u N  , ( )u i  , 0,1,2,..., 1i N  sao cho dãy nghiệm tương ứng của (3.1) thỏa mãn điều kiện (0)x x , ( ) 0x N  (tương ứng, (0) 0x  , ( )x N x ). Ký hiệu NC và NR là tập tất cả các điểm 0-điều khiển được (tương ứng, 0-đạt được) sau N bước. Hệ (3.1) được gọi là 0-điều khiển được địa phương (0-đạt được địa phương) sau N bước nếu NC (tương ứng, NR ) chứa một lân cận mở của gốc, tức là 0 int NC (tương ứng, 0 int NR ). Nếu nNC   (tương ứng, nNR   ) thì ta nói hệ (3.1) là 0-điều khiển được toàn cục (tương ứng, 0-đạt được toàn cục) sau N bước. Ký hiệu 1 N N C C    , 1 N N R     . Hệ (3.1) được gọi là 0-điều khiển được địa phương (tương ứng, 0-đạt được địa phương) nếu C (tương ứng,) chứa một lân cận mở của gốc, tức là 0 intC (tương ứng, 0 int  ). Ý nghĩa của 0-điều khiển được địa phương (0-đạt được địa phương) là ta có thể đi từ một điểm bất kì trong lân cận của gốc tọa độ trong không gian n về gốc tọa độ sau một thời gian hữu hạn (tương ứng, từ gốc tọa độ đi tới một điểm bất kỳ trong lân cận của gốc tọa độ trong không gian n sau một thời gian hữu hạn. Tương tự, hệ (3.1) được gọi là 0-điều khiển được toàn cục (tương ứng, 0-đạt được toàn cục ) nếu 1 n N N C C      (tương ứng, 1 n N N R       ). Ta có tiêu chuẩn 0-điều khiển được địa phương sau đây (xem [7], trang 51). - 61 - 3.1.2 Định lý Hệ (3.1) là 0-điều khiển địa phương nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị TA không có véc tơ riêng tựa trên  tương ứng với giá trị riêng dương cũng không có vectơ riêng phức nào ứng với giá trị riêng phức khác 0 vuông góc với  . 3.2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH DỪNG CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng ( 1) ( ) ( ), 0,1,...,Ex k Ax k Bu k k    (3.2) trong đó ( ) , ( ) , ,n mx k u k E A   là các ma trận hằng. Hệ (3.2) là mở rộng của hệ (3.1). Nếu  ,E A là ma trận không suy biến thì hệ (3.2) có thể đưa được về dạng (xem 2.3) 1 1 1 1( 1) ( ) ( )x k A x k B u k   ; (3.3a) 2 2 2( 1) ( ) ( )Nx k x k B u k   . (3.3b) Các hệ phương trình sai phân (2.2a) và (2.2b) có nghiệm dạng 1 1 1( ) (0) ( ), 1,2,...1 1 1 10 kk k ix k A x A B u i k i      (3.4a) với các ( )u i  , 0,1,2,..., 1i k  ; 1,2,...k  và 1( ) ( ), 0,1,2,...2 20 h ix k N B u k i k i     . (3.4b) với các ( )u k i  , 0,1,2,..., 1i h  ; 0,1,2,...k  Các khái niệm điều khiển được và đạt được phát biểu trong 3.1 cho hệ phương trình sai phân thường (3.1) cũng được áp dụng cho hệ phương trình sai phân ẩn (3.2). Ta có các tiêu chuẩn đạt được và điều khiển được cho hệ phương trình sai phân ẩn dưới đây (xem [7], trang 83). - 62 - 3.2.1 Định nghĩa Ta nói  là một nón lồi nếu nó thỏa mãn hai điều kiện: 1)  là một nón: nếu x thì x  với mọi 0  . 2)  là một tập lồi: nếu ,x y thì (1 )x y    với mọi 0 1  . 3.2.2 Định nghĩa Giả sử rM   là một tập nào nó. Ký hiệu *M là nón cực (dương) của M , tức là  * * *: : 0rM x x x x M     . 3.2.3 Định lý Giả sử  là một nón lồi. Hệ (3.2) là đạt được toàn cục nếu và chỉ nếu: (i)  ,rank E A B n   với mọi  ,  là tập các số phức. (ii) Các ma trận chuyển vị 1TA và TN tương ứng không có các vectơ riêng trong  *1B và  *2B  với các giá trị riêng không âm. Chứng minh Tương tự như trong Chương 2, ta có thể chứng minh được rằng (3.2) là 0-điều khiển được toàn cục khi và chỉ khi hệ phương trình sai phân thường (3.3) là điều khiển được toàn cục; Hệ (3.2) là 0-đạt được toàn cục nếu và chỉ nếu hệ (3.3a) và hệ (3.3b’) là 0-đạt được toàn cục, trong đó (3.3b’) có dạng 2 2 2( 1) ( ) ( ), 0,1,...x k Nx k B v k k    (3.3b’) ( )v k  . Chú ý rằng trạng thái 2 ( )x k của (3.3b’) được cho bởi công thức 1 2 2 0 ( ) ( 1) k i i x k N B v k i       . Vì 0 và 0hN  ( N là ma trận lũy linh cấp h ) nên trạng thái 2 ( )x k của (3.3b’) có dạng - 63 - 2 2 0 ( ) ( 1) h i i x k N B u k     . Đây cũng là nghiệm của (3.3b). Như vậy, chứng minh Định lý 3.2.3 được đưa về việc áp dụng Định lý 3.1.2. 3.2.4 Ví dụ Xét hệ (3.2), trong đó 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E A                     ,  1 2 1 2 0 1 1 0 , ( , ) : 0, 1 0 0 2 B                 . (3.4) Trạng thái của hệ con tiến và hệ con lùi được xác định như sau 1 1 2 2 1 1 0 1( 1) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 0 1 0( 1) ( ) 1 0 0 2 x k x k u k x k x k                         Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng TiA có véc tơ riêng khác không với giá trị riêng 1  và TN không có giá trị riêng trên *2( )B  . Mặt khác ta có    1 1 2 2, 2, , 2rank B A B rank B NB     *1 1 2 1 2( , ) : 0, 0B        . Vì vậy hệ (3.4) là 0-đạt được toàn cục. Do 1 2,A A là các ánh xạ tràn, giá trị riêng 0  , nên hệ cũng là điều khiển được toàn cục. - 64 - KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày các công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính nhằm làm sáng tỏ sự khác biệt cơ bản giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn. Công thức nghiệm của phương trình sai phân cũng là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển. Luận văn cố gắng trình bày một số vấn đề của lý thuyết định tính phương trình sai phân ẩn tuyến tính (tính đạt được, tính điều khiển được, tính quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) dưới dạng một tổng quan tương đối đầy đủ và thời sự về những vấn đề này. Nhiều vấn đề của lý thuyết phương trình sai phân ẩn còn chưa được làm sáng tỏ. Hy vọng nó sẽ được quan tâm trong thời gian tới. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế, nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đồng nghiệp. - 65 - TÀI LIỆU THAM KHẢO I. Tiếng Việt 1. Phạm Kỳ Anh: Lý thuyết số trong bài toán điều khiển tối ưu, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001. 2. Vi Diệu Minh, Trần Thiện Toản: Công thức nghiệm của hệ động lực suy biến không dừng có điều khiển, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, No2 (46), Tập 2 (2008), trang 105-109. 3. Phạm Thị Bích Ngọc: Phương trình xác định và tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân tuyến tính (Luận văn Cao học), Đại học sư phạm Thái Nguyên, 2002. 4. Vũ Ngọc Phát: Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học (trong Bộ sách Cao học, Viện Toán học), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001. 5. Tạ Duy Phượng: Điều khiển được, ổn định và ổn định hóa (Giáo trình Cao học), 2008. I. Tiếng Anh 6. L. Dai: Singular Control Systems (in Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol 118), Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1989. 7. Vu Ngoc Phat: Constrained Control Problems of Discrete Processes, Nhà xuất bản Wolld Scientific, Singapor, 1996. II. Tiếng Nga 8. P. Gabasov, Ph. Kirrilova: Tối ưu hóa hệ tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Bielorus, Minsk, 1973. 9. P. Gabasov, Ph. Kirrilova: Lý thuyết định tính của các quá trình tối ưu, Nhà xuất bản Nauka, Moscow, 1971. 10. Ph. P. Gantmacher: Lý thuyết ma trận, Nhà xuất bản sách Kỹ thuật-Lý thuyết, Moscow, 1954.