Luận văn Một số mô hình dạng vi phân, sai phân trong kinh tế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - 2009 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy đã giành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy trong Khoa Toán - Tin - Cơ, phòng Sau Đại học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy, các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Chương Mỹ B về sự ủng hộ quý giá, về những điều kiện thuận lợi. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự giúp đỡ thân tình. Hà Nội 11/ 2009 Ngụy Thị Thanh Hải i Mục lục Lời cảm ơn i Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 2 1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . 3 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân . . . . 8 1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW . . . . . . . . . . . . 10 2 Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng 14 2.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Lập mô hình di cư lao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình . . . . . . . . . . 18 2.2 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không . . . . . . . . 21 2.2.1 Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương . . . . . . . . . 39 2.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương . . . . . . . . 40 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 ii Bảng ký hiệu a Hệ số khuếch tán lao động b Hệ số di cư lao động c Tỷ lệ gia tăng Vốn - đầu ra (thu nhập quốc dân) L Lao động K Vốn R Tỷ số Vốn - Lao động s Hệ số tiết kiệm X Hàm chi phí Y Hàm sản xuất µ Hệ số trượt giá iii Mở đầu Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa bằng mô hình toán học. Để xây dựng mô hình toán cần thiết phải đưa vào các giả thiết nhằm đơn giản hóa mô hình. Đây là một vấn đề rất khó khăn và phức tạp, không có một mô hình nào có thể mô tả đầy đủ mọi vấn đề kinh tế cần giải thích và phải chấp nhận những sai khác với mức độ nhất định so với thực tế. Một mô hình kinh tế quá đơn giản thì ta có thể dễ dàng xây dựng và giải mô hình đó, nhưng nó thiếu tính chính xác khi bỏ qua nhiều yếu tố quan trọng của thực tiễn. Một mô hình kinh tế quá phức tạp có đầy đủ các yếu tố thực tiễn thì sẽ phải sụp đổ dưới sức nặng của chính nó. Do vậy ta cần phải dựa vào quan sát và các số liệu thống kê để đưa ra một mô hình vừa đủ để có thể giải quyết được, nhưng cũng đủ để đưa ra những dự báo, những giải thích, đánh giá có độ tin cậy. Các mô hình này thường được mô tả bởi các phương trình vi phân hoặc sai phân. Trong các mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô hình và để khảo sát tính ổn định của mô hình ta sử dụng lý thuyết ổn định. Lý thuyết này đã được xây dựng cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga V. I. Lyapunov. Từ đó đến nay lý thuyết này không ngừng phát triển và trở thành một hướng Toán học có nhiều thành tựu trong việc nghiên cứu định tính các quá trình thực tiễn [1-16]. Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên đi xây dựng mô hình kinh tế sau đó khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiều. Bố cục luận văn gồm hai chương chính: - Chương 1: Giới thiệu về lý thuyết ổn định, các phương pháp nghiên cứu ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển. - Chương 2: Giới thiệu mô hình "Di cư lao động giữa hai vùng" và khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình đã được một số tác giả nghiên cứu ([13, 14, 16]). Chúng tôi là người thu thập, tự tìm cách tái xây dựng lại mô hình, khôi phục lại việc chứng minh các kết quả, rút ra ý nghĩa kinh tế từ những mệnh đề thuần tuý Toán học trong các công trình trên. 1 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định 1.1.1 Khái niệm Xét hệ phương trình vi phân thường x˙ = f(t, x), (1.1) trong đó t ≥ 0, x ∈ X (X nói chung là không gian Banach, đôi khi lấy X = Rn), f : R+ ×D −→ X (D ⊆ X). f đủ tốt để thỏa mãn điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm trên R+ ×D. Định nghĩa 1.1. Giả sử x = x∗(t) là một nghiệm của hệ (1.1). Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀ t0 ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t0) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa mãn: ||x(t0) − x∗(t0)|| < δ thì ||x(t) − x∗(t)|| < , ∀ t ≥ t0. Nếu x = x∗(t) ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại δ1 > 0, sao cho: ‖x(t0) − x ∗(t0)‖ < δ1 ⇒ ‖x(t) − x ∗(t)‖ → 0 khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận. Nếu δ, δ1 có thể chọn không phụ thuộc vào t0 thì các nghĩa ổn định trên được gọi là ổn định đều. Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết f(t, 0) = 0 ∀t ≥ 0. Khi đó nghiệm x = x∗(t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗(t) ≡ 0. Nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho: ||x(t)|| ≤ Ne−δ(t−t0) ∀ t ≥ t0 thì nói hệ là ổn định mũ. 2 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản, có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp (được trình bày trong chương 2 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đẳng thức mở rộng). a. Phương pháp thứ nhất Liapunov Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự: - Hệ tuyến tính thuần nhất dừng. - Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng. - Hệ tuyến tính. - Hệ tựa tuyến tính. - Hệ phi tuyến. Hệ tuyến tính thuần nhất dừng Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng x˙ = Ax (1.2) t ≥ 0, x ∈ X. Phổ của hệ (1.2) là tập σ(A) = {λ ∈ C : (A− λI) không khả nghịch}. Nếu A là ma trận hằng cỡ n× n thì σ(A) = {λ ∈ C : det(A− λI) = 0}. Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực âm thì hệ (1.2) là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x ≡ 0 là ổn định tiệm cận). - Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực không dương và các phần tử có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định. - Nếu σ(A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định. Tiêu chuẩn Hurwitz. Với A là ma trận hằng, cỡ n × n, việc tìm phổ σ(A) là khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lý 1.2) để xét tính ổn định của hệ (1.2). 3 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Định lí 1.2. Giả sử phương trình đặc trưng det(A− λI) = 0 của hệ (1.2) là f(λ) = a0 + a1λ + a2λ 2 + · · ·an−1λ n−1 + anλ n có dạng chuẩn, nghĩa là a0 > 0 và an 6= 0. Khi đó mọi phần tử của phổ σ(A) (hay mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận sau xác định dương (các định thức con chính đều dương). A =   a1 a0 0 0 0 . . . 0 a3 a2 a1 a0 0 . . . 0 a5 a4 a3 a2 a1 . . . 0 ... ... ... ... ... . . . ... a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 a2n−5 . . . an   , trong đó as = 0 khi s n. . Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng x˙ = A(t)x. (1.3) Với hệ này ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây dựng phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2). Định nghĩa 1.2. Giả sử x = x(t) là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới hạn χ[x] = lim t→+∞ 1 t ln‖x(t)‖ là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác ±∞ của tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này. Định lí 1.3. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R+ ‖A(t)‖ ≤ C ∀ t ≥ 0 (0 < C < ∞) thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn. Trong trường hợp này hệ (1.3) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác nhau). Định lí 1.4. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm λmax = max{λi} < 0 (λi là phần tử phổ của A(t)). 4 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển . Hệ tuyến tính Hệ tuyến tính là hệ có dạng x˙ = A(t)x + f(t). (1.4) Nếu f(t) là một hàm liên tục, giới nội trên R+ thì tính ổn định của hệ (1.4) được suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3). Hệ tựa tuyến tính Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng x˙ = A(t)x + f(t, x). (1.5) Giả sử A(t) là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc O ∈ X sao cho với mọi x thuộc lân cận đó có ‖f(t, x)‖ ≤ α(t)‖x‖, trong đó α(t) là một hàm dương nào đó trên R+ và α(t) → 0 khi t → +∞ thì hệ (1.5) ổn định. Có thể thay điều kiện α(t) → 0 khi t → +∞ bởi điều kiện ∫ +∞ 0 α(t)dt ≤ c < +∞. Hệ phi tuyến Hệ phi tuyến là hệ có dạng x˙ = f(t, x) f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0. (1.6) Giả sử hàm f(t, x) đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor f(t, x) tại x = 0 ta có f(t, x) = ∂f(t, 0) ∂x x + g(t, x)x, trong đó g(t, x) = 0(||x||). Đặt A(t) = ∂f(t, 0) ∂x ta đưa hệ (1.6) về dạng x˙ = A(t)x + g(t, x). Vậy, nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận ∂f(t, 0) ∂x đều âm (hay số mũ cực đại âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận. 5 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển b. Phương pháp thứ hai Liapunov Xét hệ x˙ = f(t, x) f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0, (1.7) trong đó x ∈ X( hoặc x ∈ Rn) và f đủ tốt. Ta kí hiệu K là lớp các hàm số a(.) : R+ −→ R+, trong đó a(.) là hàm liên tục đơn điệu tăng trên R+ và a(0) = 0. Định nghĩa 1.3. Một hàm V (t, x) khả vi liên tục theo t và theo x trên một lân cận R+ ×D ⊆ R+ nhận giá trị trong R+ V : R+ ×D −→ R+, V ∈ C (1,1) t,x (R + ×D) được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu: i) V (t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0. ii) Tồn tại hàm a ∈ K sao cho a(||x||) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R+ ×D. iii) dfV (t, x) = ∂V ∂t + ∂V ∂t f(t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ ×D. Trường hợp V (t, x) là hàm Liapunov và tồn tại b, c ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||) ∀(t, x) ∈ R+ ×D, dfV (t, x) ≤ −c(||x||) ∀t ∈ R +, ∀x ∈ D \ {0} thì V (t, x) được gọi là hàm Liapunov chặt của hệ (1.7). Định lí 1.5. Nếu hệ (1.7) có hàm Liapunov thì nó ổn định, có hàm Liapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận đều. Lưu ý. Định lí trên đây chỉ cho điều kiện đủ về ổn định. Việc tìm hàm V (t, x) chưa có phương pháp tổng quát và hàm V (t, x) không duy nhất cho mỗi hệ. Người ta còn dùng hàm bổ trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm. 6 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, phức tạp và chịu tác động của nhiều yếu tố mang tính ngẫu nhiên. Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô. Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng thời cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống trong nghiên cứu kinh tế-xã hội. Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một số thuật ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế. Đặc điểm của các biến số kinh tế Các biến Kinh tế nói chung thô ráp, không đơn giản và tròn trĩnh như những gì thường được dùng trong lý thuyết. Các mối quan hệ qua lại giữa chúng và quan hệ với các lĩnh vực khác của Xã hội như Chính trị, Văn hoá, Quốc phòng, Đối ngoại, ... lại càng phức tạp. Điều đó làm cho việc mô tả các mô hình trở nên khó khăn, thường là không sát lắm so với thực tiễn. Để có thể mô tả được chúng bằng ngôn ngữ của Toán học ta cần lý tưởng hoá chúng bằng các quy ước nhất định. Khi mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh tế liên quan tới đối tượng, chúng ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ dữ liệu liên quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau: - Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp hoặc gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân. Tổng quát hơn, biến nội sinh là các biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình. - Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của các tác nhân trong mô hình. Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế. Biến ngoại sinh còn được gọi là các tham biến. Tùy vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội sinh và biến nào là biến ngoại sinh. 7 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Xây dựng và phân tích mô hình i) Đặt vấn đề Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế cần quan tâm, mục đích là gì, các nguồn lực có thể tham gia nghiên cứu. ii) Mô hình hóa Quá trình mô hình hóa các đối tượng liên quan đến vấn đề đã đặt ra thường gồm các công việc sau: - Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà ta có thể cảm nhận trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lí luận đã lựa chọn. - Lượng hoá các yếu tố này của mô hình. - Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập hệ thức toán học mô tả quan hệ giữa các biến. - Giải mô hình nhằm xác định mối quan hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh và ngoại sinh cùng các tham số, tức là biểu diễn dưới dạng các hệ thức khác nhau giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh và tham số và có thể theo biến nội sinh khác. Phân tích mô hình Khi chúng ta đã tìm được nghiệm mô hình là một biến nội sinh phụ thuộc vào các biến ngoại sinh và tham số, chúng ta quan tâm phân tích là khi biến ngoại sinh thay đổi giá trị sẽ tác động như thế nào tới nghiệm. Từ đó chúng ta có thể dự báo được những thay đổi nào của môi trường sẽ ảnh hưởng tới biến đó. Kiểu phân tích này trong một mô hình toán kinh tế gọi là phân tích so sánh tĩnh. So sánh bởi vì chúng ta đang so sánh một điểm cân bằng ổn định với một điểm mới được tạo thành khi các tham số này thay đổi. Ổn định (hay tĩnh) vì chúng ta không thường xuyên xem xét điểm cân bằng trong trạng thái động, thay đổi từ vị trí này đến vị trí khác. Phân tích so sánh tĩnh thường đưa ra các dự báo mang tính chất định tính. Chúng ta chỉ quan tâm đến kết quả định tính hoặc những thay đổi lớn vì các mô hình toán thường trừu tượng và thiếu sự phù hợp với thực tế, điều đó dẫn tới kết quả dự báo chưa có tính chính xác. 1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân 1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vấn đề được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu cầu về vốn. 8 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư của nền kinh tế nhằm đảm bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến. Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một công ty, một ngành công nghiệp hay toàn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tổng số vốn đầu tư cho nó. Nếu gọi Yt là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn St là mức tích luỹ (tiết kiệm) thì St = sYt, trong đó s là một hằng số và được gọi là tỉ lệ tích luỹ trong GDP. Đầu tư It tỉ lệ với sự thay đổi của thu nhập quốc dân ở mỗi thời kỳ, nên ta có It = c(Yt − Yt−1), trong đó c là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra. Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức làSt = It. Ta có mô hình tăng trưởng Harod-Domar St = sYt, It = c(Yt − Yt−1), St = It. Từ hệ trên ta có c(Yt − Yt−1) = sYt. (1.8) Phương trình (1.8) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hệ số hằng. Giải phương trình này ta tìm được Yt = ( c c− s )tY0. Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào c c− s . Do c là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra nên c > 1. Chính vì thế Yt tăng nhanh nhưng không bị dao động. Thu nhập sẽ phát triển không giới hạn và cũng có nghĩa là nó không bị chặn. Từ (1.8) ta thấy thu nhập ở mỗi giai đoạn bằng c c− s lần thu nhập của giai đoạn trước Yt = c c− s Yt−1. Tỉ lệ tăng trưởng giữa các giai đoạn được xác định là g = Yt − Yt−1 Yt−1 = c (c− s) Yt−1 − Yt−1 Yt−1 = s c− s . 9 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Vậy tỉ lệ tăng trưởng là g = s c− s . Mô hình Harod-Domar chỉ ra sự tăng trưởng là do kết quả tương tác giữa tiết kiệm với đầu tư, là động lực cơ bản của sự phát triển kinh tế. Đầu tư phát sinh ra lợi nhuận và gia tăng khả năng sản xuất của nền kinh tế. Tuy nhiên trong giả thiết của mô hình vẫn còn nhiều yếu tố bất cập như đầu tư tính theo tỉ lệ cố định với thu nhập. Có thể dẫn đến đầu tư nhanh hoặc chậm hơn mức cần thiết, gây ra tình trạng thiếu hoặc thừa năng lực sản xuất. 1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow. Ông đã nghiên cứu mô hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970. Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những đóng góp to lớn của ông về lý thuyết tăng trưởng. Khi xem xét nền kinh tế thế giới, chúng ta có thể dễ dàng nhận ra sự khác biệt rất lớn giữa các nền kinh tế. Từ đó chúng ta có thể đặt ra các câu hỏi như: Tại sao có nhiều quốc gia phát triển nhanh trong khi nhiều quốc gia khác lại không phát triển hoặc phát triển rất chậm? Làm thế nào để giải thích sự tăng trưởng kinh tế bền vững? Mô hình tăng trưởng kinh tế Solow có thể giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó. Các giả thiết của mô hình Solow: - Thời gian là liên tục. - Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi. - Không có sự tham gia của chính phủ hoặc thương mại quốc tế. - Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm. - Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi n = L′ L . - Giá trị ban đầu của vốn và lao động là K0, L0. - Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (Hàm Cobb-Douglas) Y (t) = F [K(t), L(t)] = γK(t)αL(t)1−α. Để đơn giản ta ký hiệu Y = γKαL1−α, trong đó K là vốn, L là lao động. Y là hàm thuần nhất cấp một vì F (λK, λL) = λF (K,L) = λγKαL1−α. 10 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển - Mô hình thoả mãn điều kiện ban đầu F (0, 0) = F (K, 0) = F (0, L) = 0. - Sản xuất cận biên là dương  ∂F ∂K = αγK α−1L1−α > 0, ∂F ∂L = (1 − α)γK αL−α > 0. - Sản xuất cận biên giảm, tức là  ∂2F ∂K2 = (α− 1)αγK α−2L1−α < 0, ∂2F ∂L2 = (−α)(1 − α)γK αL−α−1 < 0. Xây dựng mô hình Đặt y = Y L là giá trị đầu ra trên một lao động. Khi đó y = Y L = γKαL1−α L = γ( K L )α( L L )1−α = γ( K L )α = γRα, (1.9) trong đó R = K L là vốn trên một lao động. Tại mọi thời điểm, đầu tư I = sY biểu thị tốc độ gia tăng vốn, nên ta có phương trình tích luỹ vốn K ′ = sY − µK, trong đó tỉ lệ tiết kiệm s là hằng số, tỉ lệ trượt giá µ là hằng số. Chia hai vế phương trình trên cho K ta có K ′ K = s Y K − µ ⇔ K ′ K = s Y L K L − µ = s y R − µ. Ta có R = K L ⇒ R′ = K ′L−KL′ L2 ⇒ R′ R = K ′L−KL′ L2 . L K = K ′ K − L′ L = K ′ K − n. ⇒ K ′ K = R′ R + n ⇒ R′ R + n = s y R − µ. ⇒ R′ = sy − (µ + n)R. (1.10) Từ phương trình (1.9) và (1.10) ta được phương trình vi phân của mô hình Solow R′ = sγRα − (µ + n)R. Đây là phương trình Becnully, ta có thể giải phương trình để tìm R theo γ, s, n, µ. 11 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Phân tích mô hình Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái ổn định là khi có nguồn vốn R∗ thỏa mãn phương trình sγ(R∗)α − (n + µ)R∗ = 0 ⇒ R∗ = ( sγ n + µ ) 1 1−α . Khi đó đầu ra ổn định trên một lao động là y∗ = γ ( sγ n + µ ) α 1−α . Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ lệ gia tăng dân số và tỉ lệ trượt giá. Ta có ∂y∗ ∂s = γ ( γ n + µ ) α 1−α α 1 − α s 2α−1 1−α > 0, ∂y∗ ∂µ = ∂y∗ ∂n = γ ( sγ n + µ ) 2α−1 1−α α 1 − α −sγ (n + µ)2 < 0. Từ đó ta có thể rút ra kết luận rằng nếu các quốc gia đang trong tình trạng ổn định thì: - Những quốc gia giàu có tỉ lệ tiết kiệm cao hơn những quốc gia nghèo. - Những quốc gia giàu có tỉ lệ gia tăng dân số thấp hơn các quốc gia nghèo. Một vài trường hợp đặc biệt a. Mô hình sản xuất Cobb-Douglas Hàm sản xuất Cobb-Douglas chỉ sử dụng hai yếu tố đầu vào là vốn và lao động có dạng Y = γKαLβ, trong đó Y là sản lượng, γ là năng suất toàn bộ nhân tố, K là lượng vốn, L là lượng lao động và α, β lần lượt là hệ số co dãn theo sản lượng của vốn và lao động. Hệ số α, β là cố định và phụ thuộc vào công nghệ: - Nếu α + β = 1 thì hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo qui mô. - Nếu α + β < 1 thì hàm sản xuất có lợi tức giảm theo qui mô. - Nếu α + β > 1 thì hàm sản xuất có lợi tức tăng theo qui mô. b. Mô hình di cư quần thể Giả sử có hai vùng sinh thái có điều kiện sống tương tự nhau, được ký hiệu là X và Y . Sống và thông thương được trên hai vùng sinh thái đó là n loài động vật. Gọi xi là mật độ của loài động vật thứ i có ở vùng X, yi là mật độ của loài động vật thứ i sống ở vùng Y . Xét mô hình   x˙i = xi(bi + ∑n j=1 aijxj) + Di(yi − xi), y˙i = yi(b ′ i + ∑n j=1 a ′ ijyj) + D ′ i(yi − xi), 12 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển trong đó aij , bi, b′i, a′ij là các hằng số dương. Luật cạnh tranh sinh tồn dẫn đến hiện tượng động vật có xu hướng di cư từ nơi có mật độ cao đến nơi có mật độ thấp. Như vậy: - Nếu xi > yi thì loài thứ i có xu hướng di cư từ miền X sang miền Y . - Nếu xi < yi thì loài thứ i có xu hướng di cư từ miền Y sang miền X. Di và D′i là các hằng số không âm, gọi là hệ số di cư giữa hai miền X và Y . Có nhiều định tính của mô hình đã được nghiên cứu. Trong mô hình trên các biến x; y đều có số mũ là 1 hoặc 2. Mô hình mà ta sẽ quan tâm trong chương hai của luận văn này sẽ có bản chất sai khác không nhiều với mô hình vừa nêu trên, nhưng có độ phức tạp cao hơn (số mũ của các biến không còn là các số nguyên 1 hoặc 2 mà là các số thực (α0;α1, β0, β1 ∈ R). 13 Chương 2 Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng 2.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình 2.1.1 Lập mô hình di cư lao động Ta quy ước gọi chung các địa phương nông thôn của một quốc gia nào đó là "vùng Nông thôn", và ký hiệu là vùng Ω0. Các thành phố, thị xã của quốc gia đó gọi là "vùng Thành thị", ký hiệu là Ω1. Nói chung giữa hai vùng kinh tế này của bất kỳ quốc gia nào cũng có sự khác biệt, các ưu thế thường là nghiêng về phía vùng Thành thị. Điều này được thể hiện bằng những điều kiện xác định trong mô hình. Việc luân chuyển cư dân (chủ yếu là lực lượng lao động) giữa hai vùng này thường diễn ra liên tục hoặc theo thời vụ. Đó là một quá trình đa dạng, khó kiểm soát một cách cụ thể mà chỉ có thể nói về những nét cơ bản nhất, tổng quan nhất mang tính quy luật chung. Nhu cầu về nhân lực và nhu cầu về thu nhập bằng lao động luôn là những yếu tố gây nên những biến động về lượng lao động. Nói cách khác, sự biến động của lượng lao động chủ yếu được gây ra bởi sự chênh lệch về "tỷ số vốn - lao động" giữa hai vùng trên. Sự dịch chuyển lao động, được gây ra bởi nguyên nhân này gọi là sự "di cư lao động". Ngoài ra, trong thực tế, hoặc thường xuyên hoặc theo thời vụ vẫn tồn tại một lượng lao động dịch chuyển qua lại giữa hai vùng với một tỷ lệ nào đó của sự khác nhau về lượng lao động trên hai vùng. Ta gọi sự dịch chuyển dạng này là sự "khuếch tán lao động". Không phải toàn bộ sự khác biệt đều chuyển hoá thành di cư hay khuếch tán lực lượng lao động mà chỉ một tỷ lệ nào đó của sự sai khác này được chuyển hoá thành sự dịch chuyển, gọi các tỷ lệ đó là các hệ số. Có thể khái quát một cách không thật chính xác rằng, hiện tượng di cư mang tính quy luật, hiện tượng khuếch tán mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn, thường diễn ra theo thời vụ. Để tìm hiểu cách xây dựng mô hình ta đưa vào một số ký hiệu sau: 14 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng -) L0;L1 tương ứng là lượng lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị. -) K0;K1 tương ứng là lượng vốn ở vùng nông thôn; vùng thành thị. -) R0;R1 tương ứng là tỷ lệ vốn - lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị, dành cho lao động. -) Y0;Y1 tương ứng là lượng sản phẩm lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị. -) X0;X1 tương ứng là lượng chi phí ở vùng nông thôn; vùng thành thị khi sử dụng hết lượng lao động. Lấy hàm sản xuất là hàm Cobb-Douglas Yi = γiK αi i L βi i , với trường hợp đặc biệt αi + βi = 1 (i = 0, 1). Hàm chi phí Xi = δiYi + iLi = δiγiK αi i L βi i + iLi với 0 0. Các đại lượng Li;Ki;Ri;Yi;Xi đều là hàm số của biến thời gian t: Li = Li(t), Ki = Ki(t), Ri = Ri(t), Yi = Yi(t), Xi = Xi(t). Tỷ số vốn - lao động Ri = Ki Li (với i = 0, 1), thực chất là tỷ số giữa khối lượng việc làm quy ra tiền trên một đơn vị lao động ở khu vực thứ i. Một điều tự nhiên là lực lượng lao động sẽ có xu hướng giảm ở vùng có ít việc làm và tăng ở vùng có nhiều việc làm, nghĩa là khi R1−i > Ri thì lao động có hướng di cư từ khu vực Ωi sang Ω1−i. Nhưng không phải bất kỳ một lượng sai khác nào về tỷ lệ vốn - lao động cũng gây ra một lượng chuyển dịch lao động hoàn toàn tương xứng. Người ta cho rằng chỉ một tỷ lệ nào đó của lượng sai khác được chuyển hoá thành dòng di cư lao động. Ta gọi tỷ lệ đó là hệ số di cư lao động và ký hiệu là b (0 < b < ∞). Tương tự như vậy, hệ số khuếch tán lao động được định nghĩa và ký hiệu là a (0 ≤ a < ∞). Ta có quan hệ dKi(t) dt = −µiKi + Yi(Ki;Li) −Xi(Ki;Li) = −µiKi + γiK αi i L βi i − γiδiK αi i L βi i − iLi = −µiKi + γi(1 − δi)K αi i L βi i − iLi = −µiKi + νiK αi i L βi i − iLi, với ký hiệu νi = γi(1 − δi) 15 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ta có hệ phương trình   dK0(t) dt = −µ0K0 + ν0K α0 0 L β0 0 − 0L0, dK1(t) dt = −µ1K1 + ν1K α1 1 L β0 1 − 1L1, dL0(t) dt = a(L1 − L0) − b(R1 − R0)+L0 + b(R0 − R1)+L1, dL1(t) dt = a(L0 − L1) + b(R1 −R0)+L0 − b(R0 − R1)+L1. Mặt khác Ri(t) = Ki(t) Li(t) ⇒ dRi dt = 1 L dKi dt − 1 L2 dLi dt . Vậy, hệ phương trình trên trở thành   dR0(t) dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − 0 − [a(L1 − L0) − b(R1 − R0)+L0 + b(R0 −R1)+L1] R0 L0 , dR1(t) dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 − 1 − [a(L0 − L1) + b(R1 − R0)+L0 − b(R1 −R0)+L1] R1 L1 , dL0(t) dt = a(L1 − L0) − b(R1 − R0)+L0 + b(R0 −R1)+L1, dL1(t) dt = a(L0 − L1) + b(R1 − R0)+L0 − b(R0 −R1)+L1. Trong hệ phương trình trên 0 là chi phí cho một đơn vị lao động (chẳng hạn là trung bình lương của một nhân công), nó rất bé, không đáng kể so với dR0 dt là tốc độ thay đổi tỷ số vốn trên lao động của toàn xã hội. Vậy, trong hệ phương trình trên có thể bỏ bớt số hạng 0 ở vế phải. Tương tự, cũng có thể bỏ 1, ta đi đến hệ   dR0(t) dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [a(L1 − L0) − b(R1 − R0)+L0 + b(R0 −R1)+L1] R0 L0 , dR1(t) dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 − [a(L0 − L1) + b(R1 −R0)+L0 − b(R1 −R0)+L1] R1 L1 , dL0(t) dt = a(L1 − L0) − b(R1 − R0)+L0 + b(R0 −R1)+L1, dL1(t) dt = a(L0 − L1) + b(R1 − R0)+L0 − b(R0 −R1)+L1. (2.1) Trong mô hình này: - αi là số mũ trong hàm sản xuất trên khu vực i, giả thiết 0 < α0 < α1 < 1. - µi là hệ số chỉ độ sụt giảm vốn ở khu vực i, giả thiết 0 < µ0 < µ1 < ∞. - γi là hệ số được xác định bởi hàm sản phẩm và hàm chi dùng ở khu vực i, giả thiết 0 < γ0; γ1 < ∞. Giả thiết 0 < ( ν0 µ0 )1/β0 < ( ν1 µ1 )1/β1 < ∞. (2.2) 16 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Điều đó nói lên ưu thế của vùng thành thị trước vùng nông thôn. Ta ký hiệu: (R)+ =   R nếu 0 ≤ R < ∞, 0 nếu −∞ < R < 0. G = {(R0;R1;L0) : 0 < R0, R1 < ∞, 0 < L0 < 1}. Mọi điểm thuộc miền này có các thành phần tọa độ đều dương. Thuật ngữ "điểm cân bằng dương" dùng để chỉ một điểm cân bằng, thuộc miền G của hệ. Trường hợp đặc biệt, khi không có sự chuyển dịch lao động giữa các vùng (a = b = 0) ta có hệ đơn giản hơn  dR0(t) dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 , dR1(t) dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 , dL0(t) dt = 0, dL1(t) dt = 0. Điểm cân bằng tìm được  −µ0R0 + ν0R α0 0 = 0, −µ1R1 + ν1R α1 1 = 0 ⇔   R0 = ( ν0 µ0 )1/β0 = r0, R1 = ( ν1 µ1 )1/β1 = r1. Nhận xét: i) Hệ cuối có duy nhất một điểm cân bằng dương với hai thành phần toạ độ đầu là r0 = ( ν0 µ0 )1/β0 , r1 = ( ν1 µ1 )1/β1 . Các giá trị này tương ứng là hoành độ các giao điểm với trục R của đường cong Z = −µ0R + ν0Rα0 (I) và Z = −µ1R+ ν1Rα1 (II) (hình 2.1). Giả thiết (2.2) cho ta thấy, khi không có sự chuyển dịch lao động thì tỷ lệ vốn - lao động ở trạng thái cân bằng ở thành phố là thực sự cao hơn ở nông thôn. ii) Điểm cân bằng (r0; r1) là ổn định toàn cục, tức là R0(t) → r0 và R1(t) → r1 khi t → ∞. Thật vậy, cả hai phương trình trên là phương trình Bernouly có nghiệm: R0(t) = (C1e −µ0(1−α0)t + ν0 µ0 ) 1 β0 , R1(t) = (C2e −µ1(1−α1)t + ν1 µ1 ) 1 β1 . Cho t → ∞ thì R0(t) → ( ν0 µ0 ) 1 β0 = r0 và R1(t) → ( ν1 µ1 ) 1 β1 = r1. iii) Các phương trình trên có dạng phi tuyến với ẩn là R0(t), R1(t), L0(t), R1(t). iv) So với mô hình di cư quần thể n loài giữa hai vùng mô hình di cư lao động có độ phức tạp cao hơn. Điều này thể hiện ở số mũ của R0 là α0 6= 1 và số mũ của R1 là α1 6= 1. 17 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.1: 2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình Ta viết hệ phương trình vi phân (2.1) một cách ngắn gọn hơn và tìm cách đưa nó về một hệ phương trình vi - tích phân thuận lợi cho việc đánh giá nghiệm sau này. Do lực lượng lao động của toàn xã hội là không đổi (L0(t) + L1(t) = l, l là một hằng số). Không mất tổng quát, ta lấy l = 1. Vậy trong hệ (2.1) ta bớt đi được một ẩn L1(t) = 1 − L0(t). Đặt P (t) = ( R0(t);R1(t);L0(t) ) , F ( P (t) ) = (dR0(t) dt ; dR1(t) dt ; dL0(t) dt ) . Ta có hệ dP dt = F (P ). Hay  dR0 dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0] R0 L0 , (a) dR1 dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + [a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 −R0|)L0] R1 1 − L0 , (b) dL0 dt = a + b(R0 −R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0. (c) (2.3) Phương trình (2.3.c) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với L0. Giải phương trình này: dL0 dt = a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 18 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Xét phương trình thuần nhất dL0 dt = −(2a + b|R1 −R0|)L0 ⇔ ∫ t 0 dL0 L0 = − ∫ t 0 (2a + b|R1 −R0|)dt ⇔L0(t) = e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0). Sử dụng công thức nghiệm Cauchy, ta được L0(t) =e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [ a + b ( R0(s) −R1(s) ) + ] ds. (2.4) Tương tự, giải phương trình dL1 dt = −(2a + b|R1 − R0|)L1 + a + b(R1 − R0)+ ta được L1(t) =e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL1(0) + ∫ t 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [ a + b ( R0(s) −R1(s) ) + ] ds. (2.5) Từ phương trình (2.3.c) ta có dL0 dt = a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ⇔ d dt (lnL0) = L˙0 L0 = 1 L0 [a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 −R0|)L0]. Khi đó ta đưa được phương trình (2.3.a) về dạng dR0 dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − ( d dt lnL0)R0. Đây là phương trình Bernouly đối với R0. Phương trình này được viết lại như sau R˙0 Rα00 = −µ0R 1−α0 0 + ν0 − ( d dt lnL0)R 1−α0 0 . Đặt ρ0(t) = R0(t) 1−α0 = R0(t) β0 , khi đó ta được ρ˙0 = −β0(µ0 + d dt lnL0)ρ0 + β0ν0. (2.6) 19 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, trước hết ta xét phương trình thuần nhất ρ˙0 ρ0 = −β0µ0 − β0 d dt (lnL0). Nghiệm tổng quát của phương trình này là ρˆ0(t) = e −β0µ0te−β0 [ lnL0(t)−lnL0(0) ] C = e−β0µ0te ln [ L0(0) L0(t) ]β0 C. Ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) = e−β0µ0te ln [ L0(s) L0(t) ]β0 . Theo công thức nghiệm Cauchy, ta có nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.6) là ρ0(t) =e −β0µ0te ln [ L0(0) L0(t) ]β0 ρ0(0) + β0ν0 ∫ t 0 e−β0µ0(t−s)e ln [ L0(s) L0(t) ]β0 ds =e−β0µ0t [(L0(0) L0(t) )β0 ρ0(0) + β0ν0 ∫ t 0 e β0ν0s ( L0(s) L0(t) )β0 ds ] . Thay ngược lại R0(t) = [ ρ0(t) ] 1 β0 , ta được R0(t) = e−µ0t L0(t) { [L0(0)R0(0)] β0 + β0ν0 ∫ t 0 [ eµ0sL0(s) ]β0 ds } 1 β0 . (2.7) Tương tự, giải phương trình dR1 dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + dL0 dt R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 − ( d dt lnL1 ) R1, ta có R1(t) = e−µ1t L1(t) { [L1(0)R1(0)] β1 + β1ν1 ∫ t 0 [eµ1sL1(s)] β1ds } 1 β1 . (2.8) 20 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng 2.2 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không 2.2.1 Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương Khi a = 0 hệ (2.3) trở thành   dR0 dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [b(R0 − R1)+ − b|R1 − R0|L0] R0 L0 , dR1 dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + [b(R0 − R1)+ − b|R1 −R0|L0] R1 1 − L0 , dL0 dt = b(R0 −R1)+ − b|R1 − R0|L0, (L1 = 1 − L0). (2.9) Viết ngắn gọn hệ (2.9) dP dt = F (P ). Định lí 2.1. Hệ (2.9) không có điểm cân bằng dương. Chứng minh. Giả sử (R0;R1;L0) là một điểm cân bằng dương của hệ (2.9). Khi đó ta có hệ phương trình   dR0 dt = 0, dR1 dt = 0, dL0 dt = 0 ⇔   −µ0R0 + ν0R α0 0 = 0, −µ1R1 + ν1R α1 1 = 0, R0 = R1 ⇔   R0 = ( ν0 µ0 )1/β0 = r0, R1 = ( ν1 µ1 )1/β1 = r1, R0 = R1. Hệ này vô nghiệm do r0 < r1. Vậy hệ (2.9) không có điểm cân bằng dương. Hệ quả 2.1. Nếu thành phần thứ ba L0(t) của nghiệm P (t) của hệ (2.9) có giới hạn khi t → ∞ thì giới hạn đó chỉ có thể là 0 hoặc 1. Hơn nữa, nếu L0(t) → 0 thì R1(t) → r1, nếu L0(t) → 1 thì R0(t) → r0 khi t → ∞. Chứng minh. Giả sử L0(t) → lˆ0 ∈ (0, 1) khi t → ∞. Ta chỉ ra R0(t) → r0 khi t → ∞. R0(t) = e−µ0t L0(t) { [L0(0)R0(0)] β0 + β0ν0 ∫ t 0 [ eµ0sL0(s) ]β0 ds }1/β0 = 1 L0(t) { [e−µ0tL0(0)R0(0)] β0 + β0ν0 ∫ t/2 0 [e−β0µ0teβ0µ0sL0(s) β0ds + β0ν0 ∫ t t/2 e−β0µ0(t−s)[L0(s) β0 − lˆβ00 ]ds + β0ν0 lˆ β0 0 ∫ t t/2 e−β0µ0(t−s)ds] }1/β0 . 21 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Do L0(t) → lˆ0 nên ta thấy: - Số hạng thứ nhất 1 L0(t) [e−µ0tL0(0)R0(0)] β0 → 0 khi t → ∞. - Số hạng thứ hai β0ν0 ∣∣∣ ∫ t/2 0 [e−β0µ0teβ0µ0sL0(s) β0ds ∣∣∣ ≤ β0ν0 sup 0≤s<∞ |L0(s)| β0e−β0µ0t ∫ t/2 0 eβ0µ0sds ≤ e−β0µ0t ( eβ0µ0t/2 − 1 ) = e−β0µ0t/2 − e−β0µ0t → 0 khi t → ∞. - Với mọi  > 0 cho trước, bé tuỳ ý luôn có thể chọn t đủ lớn sao cho ∣∣∣L0(s)β0 − lˆβ00 ∣∣∣ <  2 ∀s ≥ t/2 (Do L0(t) → lˆ0 khi t → ∞). Vậy, ta có đánh giá cho số hạng thứ ba ∣∣∣β0ν0 ∫ t t/2 e−β0µ0(t−s)[L0(s) β0 − lˆβ00 ]ds ∣∣∣ ≤  2 e−β0µ0t ∫ t t/2 eβ0µ0sds =  2 e−β0µ0t[eβ0µ0t − eβ0µ0t/2] =  2 (1 − e−β0µ0t/2) <  khi t đủ lớn. - Số hạng cuối β0ν0 lˆ β0 0 ∫ t t/2 e−β0µ0(t−s)ds = β0ν0 lˆ β0 0 ∫ t t/2 e−β0µ0teβ0µ0sds = ν0 µ0 lˆβ00 e −β0µ0t[eβ0µ0t − eβ0µ0t/2] = ν0 µ0 lˆβ00 − ν0 µ0 lˆβ00 e −β0µ0t/2 → ν0 µ0 lˆβ00 khi t → ∞. Vậy R0(t) → 1 lˆ0 ( ν0 µ0 lˆβ00 ) 1 β0 = r0 khi t → ∞. Tương tự, chứng minh được R1(t) → r1 khi t → ∞. Như vậy, (r0; r1; lˆ0) là một điểm cân bằng nằm ở phần trong của tập G của hệ (2.9). Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.1. Do đó L0(t) → 0 hoặc L0(t) → 1. Hơn nữa dễ dàng thấy: - Nếu L0(t) → 1 thì R0(t) → r0. - Nếu L0(t) → 0 thì L1(t) → 1. Do đó R1(t) → r1. 22 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng 2.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm Khi hệ số khuếch tán lao động a = 0 thì hệ (2.3) trở thành hệ (2.9). Ta khảo sát dáng điệu nghiệm của hệ này. Định lí 2.2. Mỗi nghiệm P (t) của hệ (2.9), xuất phát từ điểm P (0) ∈ G đều dần tới một điểm biên P = (r′0; r1; 0) của tập G khi t → ∞, trong đó r ′ 0 ∈ (r0; r1) là nghiệm dương duy nhất của phương trình (ẩn là R0) −µ0R0 + ν0R α0 0 + b(r1 − R0)R0 = 0. Chứng minh. Để chứng minh định lý này ta phải xét ba mặt cong trong G như sau: Mặt cong thứ nhất S0 được xác định sao cho dọc theo nó thành phần thứ nhất của trường F (P ) triệt tiêu. Khi đó mặt S0 được xác định bởi phương trình L0 = Φ0(R0;R1) = b(R0 −R1)+ b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 . Dễ thấy: Nếu R0 < R1 thì L0 = Φ0(R0;R1) = 0. Nếu R0 > R1 thì L0 = Φ0(R0, R1) = b(R0 −R1) b(R1 − R0) − µ0 + ν0R −β0 0 . Vậy, để 0 < Φ0(R0;R1) < 1 chỉ cần   R0 > R1, −µ0 + ν0R −β0 0 > 0 ⇔   R0 > R1, R0 < ( ν0 µ0 )1/β0 = r0. Tóm lại, 0 < L0 < 1 ⇔ 0 < R1 < R0 < r0. Vậy mặt S0 chỉ căng trên miền E (0) 1 = {(R0;R1) : 0 < R1 < R0 < r0}. Đặt E (0) 2 = {(R0;R1) : 0 < R0 < R1 < ∞; R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ) < R1 < ∞}, E (0) 3 = {(R0;R1) : r0 < R0 < ∞; 0 < R1 < R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 )}. Khi đó miền D = R2+ thành các miền con E (0) 1 , E (0) 2 , E (0) 3 (hình 2.2) 23 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.2: Gọi n0 (hình 2.2) là đoạn đường cong có phương trình   R1 = R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ), R1 > r0. Ta thấy: - Đường cong n0 có vị trí nằm phía trên đường phân giác R0 = R1 (do R0 > r0 ⇒ µ0 − ν0R −β0 0 > 0 ⇒ R1 > R0). - Dọc theo mặt cong n0 × (0, 1) thành phần thứ nhất của trường véc tơ F (P ) là triệt tiêu (dR0/dt = 0). Thật vậy, khi R1 > R0 ta có (R0 − R1)+ = 0 và dR0 dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 + [b(R1 − R0)L0] R0 L0 = 0 ⇔− µ0R0 + ν0R α0 0 + b(R1 − R0)R0 = 0 ⇔− µ0 + ν0R −1+α0 0 + b(R1 − R0) = 0 ⇔R1 = R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ). Đây là phương trình mặt cong n0 × (0, 1) với R1 > R0. Bổ đề 2.1. Thành phần thứ nhất của trường véc tơ F (P ) của hệ (2.9) triệt tiêu trên mặt S0 và mặt trụ n0 × (0, 1). Thành phần này mang dấu dương trên miền E (0) 2 × (0, 1), mang dấu âm trên miền E (0) 3 × (0, 1). Trên miền E (0) 1 thành phần này dương phía trên mặt S0, và âm phía dưới mặt S0. 24 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Chứng minh. Ta có dR0 dt = 0 trên n0×(0, 1) (đã được chứng minh ở trên). dR0 dt = 0 trên mặt S0 được chứng minh như sau. L0 = b(R0 − R1)+ −µ0 + ν0R −β0 0 + b|R1 − R0| ⇔(−µ0 + ν0R −β0 0 )L0 − b(R0 − R1)+ + b|R1 − R0|L0 = 0 ⇔− µ0R0 + ν0R α0 0 − [b(R0 −R1)+ − b|R1 −R0|L0] R0 L0 = 0 ⇔ dR0 dt = 0. Vậy dR0 dt = 0 trên mặt S0. Đây là điều cần chứng minh. Xét dấu của dR0 dt trên miền E(0)2 × (0, 1) và trên miền E (0) 3 × (0, 1). Phương trình thứ nhất của hệ (2.9) được viết lại L0 R0 dR0 dt = [ b|R1 −R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ] L0 − b(R0 −R1)+. Khi R1 ≥ R0, ta có L0 R0 dR0 dt = [ b(R1 −R0) − µ0 + ν0R −β0 0 ] L0. - Nếu (R0;R1) ∈ n0 thì dR0 dt = 0 (vì vế phải của phương trình bằng 0). - Nếu (R0;R1) ∈ E(0)2 thì dR0 dt > 0 (vế phải của phương trình dương). - Nếu (R0;R1) ∈ E(0)3 thì dR0 dt < 0 (vế phải của phương trình âm). Khi R1 < R0, ta có L0 R0 dR0 dt = ( − µ0 + ν0R −β0 0 ) L0 + b(R0 − R1)(L0 − 1). Nếu (R0;R1) ∈ E(0)3 thì R0 > r0, do đó −µ0 + ν0R −β0 0 < 0 ⇒ dR0 dt < 0. Vậy dR0 dt > 0 trên miền E(0)2 và dR0 dt < 0 trên miền E(0)3 . Xét dấu của dR0 dt trên miền E(0)1 . Khi (R0;R1) ∈ E(0)1 thì b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 > 0. Do đó dR0 dt cùng dấu với L0 − b(R0 − R1)+ b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 . - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt S0 thì dR0 dt > 0. - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt S0 thì dR0 dt < 0. 25 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Xét mặt cong thứ hai S1, sao cho dọc theo nó thành phần thứ hai của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu, được xác định bởi phương trình L0 = Ψ1(R0;R1) = b(R1 − R0)+ − µ1 + ν1R −β1 1 b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 . Tương tự như mặt S0, ta có 0 < L0 < 1 ⇔ 0 < R0 < R1 < r1. Vậy, mặt S1 chỉ căng trên miền E (1) 1 = {(R0;R1) : 0 < R0 < R1 < r1}. Đặt E (1) 2 = { (R0;R1) : r1 < R1 < ∞; 0 < R0 < R1 + 1 b (µ1 − ν1R −β1 1 ) } , E (1) 3 = { (R0;R1) : 0 < R1 < R0 < ∞;R1 + 1 b (µ1 − ν1R −β1 1 ) < R0 < ∞ } . Khi đó miền D được chia thành ba miền con E(1)1 , E (1) 2 , E (1) 3 (hình 2.3). Hình 2.3: Gọi n1 là đoạn đường cong được xác định bởi  R0 = R1 + 1 b (µ1 − ν1R −β1 1 ), R1 > r1. 26 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Ta thấy đường cong n1 có vị trí nằm phía dưới đường phân giác R0 = R1 (do R1 > r1 ⇒ µ1 − ν1R −β1 1 < 0 ⇒ R0 < R1). Bổ đề 2.2. Thành phần toạ độ thứ hai của trường F (P ) của hệ (2.9) triệt tiêu trên mặt S1 và mặt trụ n1× (0, 1). Thành phần này dương trên miền E (1) 3 × (0, 1) và âm trên miền E(1)2 × (0, 1). Còn trên miền E (1) 1 thành phần này là dương ở phía dưới mặt S1 và âm ở phía trên mặt S1. Chứng minh. Ta có dR1 dt = 0 trên mặt S1 (chứng minh tương tự bổ đề 2.1). Từ phương trình thứ hai của hệ (2.9) ta có 1 − L0 R1 dR1 dt = −µ1 + ν1R −β1 1 + b(R0 −R1)+ − ( b|R0 −R1| − µ1 + ν1R −β1 1 ) L0. (2.10) Xét dấu của dR1 dt trên miền E(1)2 × (0, 1) và miền E (1) 3 × (0, 1). Khi R0 ≥ R1, vế phải của (2.10) là[ b(R0 − R1) − µ1 + ν1R −β1 1 ] (1 − L0). - Nếu (R0;R1) ∈ n1 thì dR1 dt = 0. - Nếu (R0;R1) ∈ E(1)3 thì dR1 dt > 0. - Nếu (R0;R1) ∈ E(1)2 thì dR1 dt < 0. Khi R0 < R1, vế phải của (2.10) là −b(R1 − R0)L0 − (µ1 − ν1R −β1 1 )(1 − L0). Nếu (R0;R1) ∈ E(1)2 thì dR1 dt < 0. Vậy dR1 dt > 0 trên miền E(1)3 × (0, 1) và dR1 dt < 0 trên miền E(1)2 × (0, 1). Xét dấu dR1 dt trên miền E(1)1 . Do (R0;R1) ∈ E11 nên −µ1 + ν1R −β1 1 > 0 ⇒ b(R1 −R0) − µ1 + ν1R −β1 1 > 0. Khi đó ta viết lại (2.10) 1 − L0 R1 dR1 dt = −µ1 + ν1R −β1 1 − [ b(R1 −R0) − µ1 + ν1R −β1 1 ] L0 = − ( L0 − µ1 + ν1R −β1 1 b(R1 − R0) − µ1 + ν1R −β1 1 ) . - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt S1 thì dR1 dt < 0. - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt S1 thì dR1 dt > 0. 27 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Xét mặt cong thứ ba T được cho bởi phương trình L(0) = Ψ(R0;R1) = b(R0 − R1)+ b|R1 − R0| =   0 khi R1 > R0, 1 khi R1 < R0. Như vậy miền mặt T không tồn tại trong miền G (vì nếu mặt T tồn tại trong G thì 0 < Ψ(R0;R1) < 1). Đặt D0 = {(R0;R1) : 0 < R1, R0 < ∞}, D1 = {(R0;R1) : 0 < R0, R1 < ∞} (hình 2.4) và G0 = D0 × (0, 1), G1 = D1 × (0, 1). Hình 2.4: Bổ đề 2.3. Thành phần thứ ba của trường F (P ) của hệ (2.9) triệt tiêu trên mặt phẳng {0 < R0 = R1 < ∞} × (0, 1). Thành phần này dương trên miền G0 và âm trên miền G1. Do T 6⊆ G nên ta không quan tâm tới việc dL0 dt có triệt tiêu trên mặt T hay không. Tuy nhiên, phương trình của mặt T được tìm theo cách giải phương trình dL0 dt = 0 (với C = 0). 28 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Chứng minh. Ta có dL0 dt = b(R0 − R1)+ − b|R1 − R0|L0 ⇒ dL0 dt =   −b(R1 − R0)L0 khi R1 ≥ R0, b(R0 −R1)(1 − L0) khi R1 < R0. - Nếu R0 = R1 thì dL0 dt = 0. - Nếu (R0;R1;L0) ∈ G0 thì dL0 dt > 0. - Nếu (R0;R1;L0) ∈ G1 thì dL0 dt < 0. Mệnh đề 2.1. Với mỗi điểm P = P (0) = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) ∈ G đều có đúng một nghiệm P (t) của hệ (2.9). Nghiệm này kéo dài trên [0;∞) và thỏa mãn các hệ thức  e−µ0tL0(0)R0(0) ≤ R0(t) ≤ R0(0) + R1(0) + r1 := R(P ), e−µ1t(1 − L0(0))R1(0) ≤ R1(t) ≤ R0(0) + R1(0) + r1 := R(P ), e−bR(P )tL0(0) ≤ L0(t) ≤ 1 − e −bR(P )t(1 − L0(0)) (2.11) với mọi t ∈ [0;∞). (Ký hiệu: R0(0) + R1(0) + r1 := R(P )) Chứng minh. Đặt G(P ) := { (R0;R1) : 0 < R0, R1 < R(P ) } × (0, 1). Gọi [ 0; τ(P ) ) là khoảng thời gian cực đại mà nghiệm P (t) xuất phát từ P vẫn còn nằm lại trong G(P ). Từ các hệ thức (2.4), (2.5), (2.7) và (2.8) với t ∈ [0; τ(P )) ta có R0(t) ≥ e−µ0t L0(t) L0(0)R0(0) ≥ e −µ0tL0(0)R0(0), R1(t) ≥ e−µ1t L1(t) L1(0)R1(0) ≥ e −µ1t(1 − L0(0))R1(0), L0(t) ≥ e −b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) ≥ e −bR(P )tL0(0), 1 − L0(t) ≥ e −b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτ (1 − L0(0)) ≥ e −bR(P )t[1 − L0(0)]. Vậy, các bất đẳng thức ở (2.11) được thoả mãn với mọi t ∈ [ 0; τ(P ) ) . Ta sẽ chỉ ra rằng τ(P ) = ∞. Giả sử τ(P ) < ∞. Khi đó với t ∈ [ 0; τ(P ) ) , theo các bất đẳng thức (2.11), ba thành phần của nghiệm P (t) đều giới nội, liên tục và đơn điệu. Vậy phải có giới hạn của P (t) khi t → τ(P ). Ta ký hiệu giới hạn đó là P∞. Hiển nhiên P∞ ∈ ∂G(P ) (nếu ngược lại thì nghiệm vẫn còn có thể kéo dài, khi đó khoảng [ 0, τ(P ) ) chưa phải là cực đại). 29 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Các bất đẳng thức ở (2.11) cho thấy giới hạn P∞ của nghiệm P (t) không thể đạt trên các mặt toạ độ OR0L0, OR1L0 mà chỉ có thể là một trong các trường hợp sau (hình 2.5): i) P∞ ∈ {R1 = R(P ), 0 < R0 < R(P )} × (0, 1). ii) P∞ ∈ {R0 = R(P ), 0 < R1 < R(P )} × (0, 1). iii) P∞ ∈ { ( R(P );R(P ) ) } × (0, 1). Hình 2.5: Ta xét lần lượt từng trường hợp: i) Giả sử P∞ ∈ {R1 = R(P ), 0 < R0 < R(P )} × (0, 1). Khi đó ta có P (t) ∈ E(1)2 × (0, 1). Do đó trường véc tơ tại P∞ có dấu như sau: F (P ) = (∗;−; ∗) Đặt H0 = {R1 = R(P ), 0 < R0 < R(P )}, khi đó véc tơ pháp của mặt H0 tại P hướng vào trong miền G(P ) là nH0 = (0;−1; 0). Do đó nH0F (P ) > 0, điều này có nghĩa góc giữa nH0 và F (P ) là góc nhọn. Vậy, nghiệm P (t) nhận F (P ) làm tiếp tuyến phải có hướng về phía trong miền G(P ). 30 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ii) Giả sử P∞ ∈ {R0 = R(P ), 0 < R1 < R(P )} × (0, 1). Lập luận tương tự trường hợp trên với F (P ) ∈ E(0)3 và mặt H1 = {R0 = R(P ), 0 < R1 < R(P )} ta có nghiệm P (t) hướng vào phía trong miền G(P ). iii) Giả sử P∞ ∈ {R1 = R0} × (0, 1). Dấu của trường véc tơ tại P∞ như sau: F (P ) = (−;−; ∗). Trường hợp này nghiệm P (t) cũng hướng vào phía trong miền G(P ). Tóm lại, tại P∞ cả ba thành phần toạ độ của P (t) đều hướng vào phía trong của miền G(P ). Điều này chứng tỏ [ 0; τ(P ) ) không phải là khoảng thời gian cực đại để nghiệm chưa ra khỏi G(P ), vậy τ(P ) = ∞. Gọi r∗; r∗ là các nghiệm dương của phương trình −µ0 + ν0R α0 = −µ1 + ν1R α1 . Trên hình (2.1) ta thấy r∗, r∗ là các số dương và có thứ tự r∗ < r0 < r1 < r ∗. Đặt ∆ = {(R0;R1) : r∗ < R0 < R1 < r ∗} (hình 2.6), G∆ := ∆ × (0, 1). Mệnh đề 2.2. Mỗi nghiệm P (t) của hệ (2.9), xuất phát từ điểm P (0) ∈ G∆ ∩G hội tụ tới điểm P khi t → ∞. Chứng minh. Ta kí hiệu điểm ban đầu P = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) = P (0). Đầu tiên ta chứng minh mọi nghiệm xuất phát từ P ∈ ∂G∆ ∩ G đi vào G∆ khi t > 0. Rõ ràng G∆ gồm có ba miền Q1, Q2, Q3 (hình 2.7). Trong đó Q1 := {R0 = r∗; r∗ < R1 < r ∗} × (0, 1), Q2 := {R1 = r∗; r∗ < R0 < r ∗} × (0, 1), Q3 := {r∗ < R0 = R1 < r ∗} × (0, 1) và các đoạn thẳng:{(r∗; r∗)} × (0, 1), {(r∗; r∗)} × (0, 1), {(r∗; r∗)} × (0, 1). Lưu ý. Q1 ⊂ E(0)2 × (0, 1), Q2 ⊂ E (1) 2 × (0, 1). Khi đó có các khả năng: P ∈ Q1; P ∈ Q2; P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1); P ∈ Q3; P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1) và P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1). 31 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.6: Hình 2.7: 32 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Ta lần lượt xét các trường hợp trên. i) Khi P ∈ Q1. Do Q1 ⊂ E(0)2 × (0, 1) nên dấu F (P ) = (+; ∗; ∗). Véc tơ pháp của mặt Q1 tại P hướng vào phía trong miền G∆ là nQ1 = (1; 0; 0). Do đó nQ1F (P ) > 0. Vậy, nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P ∈ Q1 đi vào miền G∆ và không ra khỏi miền này với mọi t > 0 đủ bé. ii) Khi P ∈ Q2, ta có kết quả tương tự: nghiệm P (t), xuất phát từ điểm P ∈ Q2 đi vào miền G∆ và không ra khỏi miền này với mọi t > 0 đủ bé. iii) Khi P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1) ⊆ E (0) 2 × (0, 1) ∪E (1) 2 × (0, 1) ta có kết quả tương tự trên. Nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1) đi vào miền G∆ với mọi t > 0 đủ bé. iv) Khi P ∈ Q3. Véc tơ pháp tại P của Q3, hướng vào phía trong miền G∆ có dấu nQ3 = (−1; 1; 0). Do P ∈ Q3 nên R0 = R1 ⇒ F (P ) = (−µ0R0 + ν0Rα00 ;−µ1R1 + ν1R α1 1 ; 0). Ta có nQ3 .F (P ) = −(−µ0R0 + ν0R α0 0 ) + (−µ1R1 + ν1R α1 1 ) > 0. (Do r∗ < R0 = R1 < r∗ nên tích này dương (hình 2.1). Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào G∆ với t > 0 đủ bé. v) Khi P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1). Trong trường hợp này, trường véc tơ là khác với trường trên mặt phẳng Q3. Để viết gọn hơn các biểu thức tiếp theo ta ký hiệu ρ(t) = R1(t) −R0(t), fi(R) = −µiR + νiR αi (i = 0; 1), χ0(t) =   1 khi R0(t) > R1(t), 0 khi R0(t) ≤ R1(t), χ1(t) =   1 khi R1(t) > R0(t), 0 khi R1(t) ≤ R0(t). 33 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Từ (2.9), ta có dρ(t) dt = dR1(t) dt − dR0(t) dt = − µ1R1 + ν1R α1 1 + [ b(R0 − R1)+ − b|R1 − R0|L0 ]R1 L1 − { − µ0R0 + ν0R α0 0 + [b(R0 −R1)+ − b|R1 −R0|L0] R0 L0 } = [ f1(R1(t)) − f1(R0(t)) ] + [ f1(R0(t)) − f0(R0(t)) ] + { b(−ρ)+ − b|ρ| }L0R1 + R0L1 L1 . Theo Định lý giá trị trung bình, tồn tại θ, sao cho f1 ( R1(t)) − f1(R0(t) ) = ∫ R1(t) R0(t) f ′1(R)dR =f ′1 [ R0(t) + θ(R1(t) −R0(t)) ]( R1(t) − R0(t) ) =f ′1 [ R0(t) + θ ( R1(t) −R0(t) )] ρ(t). Ta thấy ( R0(t) − R1(t) ) + = ( − χ0(t) ) ρ(t), |R1(t) −R0(t)| = ( χ1(t) − χ0(t) ) ρ(t). Tóm lại, tồn tại một hàm số ζ(t), sao cho dρ(t) dt = [f1(R0(t)) − f0(R0(t))] + ζ(t)ρ(t). Giải phương trình vi phân tuyến tính này, ta có ρ(0) = R1(0) − R0(0) = r∗ − r∗ = 0. Khi đó ρ(t) = R1(t) − R0(t) = ∫ t 0 e ∫ t 0 ζ(τ )dτ [ f1 ( R0(s) ) − f0 ( R0(s) )] ds. Với t > 0 đủ bé ta có R0(s) > r∗, ∀s ∈ (0; t]. Do đó ta có (hình 2.1) f1 ( R0(s) ) − f0 ( R0(s) ) > 0, ∀ s ∈ (0; t]. Vậy R1(t) > R0(t). Từ R0(t) > r∗, R1(t) > R0(t), R0(0) = R1(0) = r∗, ta có ( R0(t);R1(t) ) ∈ ∆. Như vậy, nghiệm xuất phát từ P sẽ đi vào miền G∆ và không ra khỏi miền này với mọi t > 0 đủ bé. 34 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng vi) Khi P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1). Trường hợp này được xét tương tự trường hợp trên (v). Ta biết rằng nếu P ∈ G∆ thì nghiệm P (t) không ra khỏi miền đó với mọi t ∈ (0;∞). Khi đó, theo Bổ đề 2.3 hàm L0(t) là hàm giảm, có giới hạn khi t → ∞. Hệ quả 2.1 cho thấy L0(t) → 0 và R1(t) → r1 khi t → ∞. Vấn đề còn lại ta cần chỉ ra R0(t) → r′0, trong đó r′0 là nghiệm dương duy nhất của phương trình −µ0R + ν0R α0 + b(r1 − R0)R = 0. (2.12) Ta thấy r′0 được xác định như giao của cung n0 và đường thẳng R1 = r1. Thật vậy. R0 = r ′ 0 ⇔   R1 = r1, R1 = R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ) ⇒r1 = R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ) ⇔br1R0 = bR 2 0 + µ0R0 − ν0R α0 0 ⇔− µ0R0 + ν0R α0 0 + bR0(r1 − R0) = 0. Vậy r′0 là nghiệm dương duy nhất của phương trình (2.12). Tiếp theo ta cần chỉ ra R0(t) → r′0 khi t → ∞ (L0(t) → 0;R1(t) → r1). Xét lân cận U của điểm (r′0; r1) ∈ ∆. U := { (R0;R1) : |R0 − r ′ 0| < 0, |R1 − r1| < 1 } . Lấy 1 đủ bé sao cho tập V V := { (R0;R1) : |R0 − r ′ 0| ≥ 0, |R1 − r1| < 1 } không giao với cung n0 (điều này có thể làm được vì r′0 < r1 (hình 2.8). Như vậy ( R0(t);R1(t) ) ∈ U hay |R0(t) − r′0| < 0. Do 0 > 0 bé tuỳ ý nên R0(t) → r ′ 0 Mệnh đề 2.3. Mọi nghiệm P (t) của hệ (2.9), xuất phát từ điểm P ∈ G0∩G đều chạy vào G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn. 35 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.8: Chứng minh. Ta xét P = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) = P (0) ∈ ∂G0 ∩G. Đặt Q3 = {r∗ < R0 = R1 < r ∗} × (0, 1), Q4 = {0 < R0 = R1 < r∗} × (0, 1), Q5 = {r ∗ < R0 = R1 < ∞}× (0, 1). Ta lần lượt xét các trường hợp: i) Khi P ∈ Q3, trường hợp này đã được xét ở trên (mệnh đề 2.2). ii) Khi P ∈ Q4. Véc tơ pháp của mặt Q4 tại P hướng vào trong miền G0 là nQ4 = (1;−1; 0). Do R0 = R1 nên ta có F (P )+ = (−µ0R0 + ν0R α0 0 ;−µ1R1 + ν1R α1 1 ; 0) ⇒ nQ4F (P ) = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [−µ1R1 + ν1R α1 1 ] > 0 Nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ Q4 đi vào G0 với mọi t > 0 đủ bé (hình 2.1). iii) Khi P ∈ Q5, trường hợp này được xét tương tự trên (trường hợp (ii)). Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm P (t), xuất phát từ P ∈ G0 sẽ ra khỏi G0 đi vào G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Thật vậy, giả sử có nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ G0 và nằm lại trong đó với mọi t ∈ (0;∞). Nếu vậy, theo bổ đề (2.3) hàm L0(t) là hàm tăng và có giới hạn khi t → ∞. Theo hệ quả (2.1), ta có L0(t) ↑ 1; R0(t) → r0. 36 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Do r0 0 đủ lớn, ta có P (t) ∈ E (1) 3 × (0, 1). Vậy R1(t) là hàm tăng và bị chặn, do đó có giới hạn. Giả sử R1(t) → rˆ1 khi t → ∞ Do ( R0(t);R1(t) ) ∈ E (1) 3 nên R1(t) < R0(t) và giới hạn của chúng thoả mãn rˆ1 ≤ r0. Mặt khác, khi t → ∞ ta có R0(t) → r0, R1(t) → rˆ1, L0(t) → 1 ⇒ dR1(t) dt → −µ1rˆ1 + ν1rˆ α1 1 + b(r0 − rˆ1)rˆ1 > 0. (2.13) Thật vậy, do R1 < R0 nên dR1(t) dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + { b(R0 − R1)+ − b|R1 − R0|L0 }R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 + { b(R0 − R1) − b(R0 −R1)L0 }R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 + b(R0 − R1)(1 − L0) R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 + b(R0 − R1)R1 ⇒ dR1(t) dt → −µ1rˆ1 + ν1rˆ α1 1 + b(r0 − rˆ1)rˆ1 := M ( khi t → ∞). Nếu rˆ1 0. Nếu rˆ1 = r0 thì M > 0 ⇔ −µ1r0 + ν1rα10 > 0 ⇔ r0 < ( ν1 µ1 )1/β1 = r1 (đúng) . Tóm lại, với t > 0 đủ lớn, chẳng hạn t ≥ T ta luôn có dR1(t) dt → M > 0 ⇒ R1(t) ≥ R1(T ) + ∫ ∞ T (M − )dt = ∞, trong đó  là một số dương đủ bé, sao cho M −  > 0. Điều này mâu thuẫn với R1(t) → rˆ1 ≤ r0. Mâu thuẫn này là do giả thiết nghiệm P (t) không ra khỏi miền G0 khi t → ∞. Vậy P (t) phải ra khỏi miền G0 sau một khoảng thời gian hữu hạn nào đó, chẳng hạn ( 0; τ(P ) ) . Mặt khác, các bất đẳng thức ở (2.11) cho thấy P (t) không thể ra khỏi G0 qua mặt phẳng toạ độ R1 = 0, vậy nó chỉ có thể đi vào miền G1. Mệnh đề 2.4. Nghiệm P (t) xuất phát từ P (0) ∈ G1 \ G∆ quay về G0 hoặc G∆ sau một khoảng thời gian hữu hạn. 37 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Chứng minh. Theo chứng minh mệnh đề (2.2) và (2.3), nếu P = P (0) ∈ ∂(G1 \ G∆) thì nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào G0 hoặc G∆ sau một khoảng thời gian hữu hạn. Do vậy, ta chỉ cần chứng minh không có nghiệm P (t) nào xuất phát từ P ∈ G1 \G∆ lưu lại trong miền P ∈ G1 \G∆ với mọi t ∈ (0,∞). Giả sử có nghiệm P (t) như thế. Khi đó, theo bổ đề (2.3) và hệ quả (2.1), ta có L0(t) ↓ 0; R1(t) → r1 khi t → ∞. Do P (t) ∈ G1 \ G∆ với mọi t > 0 nên khi t đủ lớn ta có P (t) ∈ E(0)2 × (0, 1) hay( R0(t);R1(t) ) ∈ E (0) 2 , R0(t) có giới hạn khi t → ∞. Gọi giới hạn đó là rˆ0: R0(t) → rˆ0 khi t → ∞. Vì (rˆ0; r1) 6∈ ∆ nên rˆ0 < r∗. Mặt khác, khi P (t) → (rˆ0; r1; 0), ta có dR0(t) dt → −µ0rˆ0 + ν0rˆ α0 0 + b(r1 − rˆ0)rˆ0 > 0. Tương tự như mệnh đề (2.3), ta có dR0(t) dt dần tới một số dương khi t → ∞, hàm R0(t) không thể giới nội ở vô cùng. Điều này trái với R0(t) → rˆ0 ≤ r∗, do đó điều giả sử trên là sai. Mệnh đề 2.5. Với mỗi P = P (0) ∈ (G0 ∩ G) ∪ (G1 \ G∆) tồn tại T0 > 0 đủ lớn sao cho mỗi nghiệm P (t) xuất phát từ P (0) ∈ G0 ∩G hoặc từ P (0) ∈ G1 \G∆ đều đi vào miền G∆ sau một khoảng thời gian hữu hạn không nhỏ hơn T0. Chứng minh. Theo mệnh đề (2.4), mọi nghiệm xuất phát từ P (0) ∈ G1 \G∆ đều đi vào G∆ hoặc vào G0 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Nếu nghiệm đi vào G∆ thì ta đã có điều cần chứng minh. Nếu nghiệm đi vào G0 thì theo mệnh đề (2.3) nó sẽ quay lại miền G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Nếu sau n lần quay đi quay lại giữa G0 và G1 \ G∆ mà nghiệm vẫn không rơi vào miền G∆ thì ta có thể tìm được n đủ lớn sao cho kể từ vòng thứ n + 1 trở đi nghiệm chỉ chạy qua biên giới của G0, G1 trong hành lang rˆ0 −  < R0 < rˆ0 + , trong đó  = 1 2 (rˆ0 − r∗) . Trong trường hợp này dễ thấy chỉ có thể nghiệm từ G0 sang G1 qua mặt Q3, nghĩa là nó đi vào miền G∆. Đây là điều cần chứng minh. Bây giờ trở lại chứng minh định lý (2.2). - Theo mệnh đề (2.3), mọi nghiệm xuất phát từ P ∈ G0 ∩ G sẽ đi vào miền G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn nào đó. 38 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng - Theo mệnh đề (2.4), mọi nghiệm xuất phát từ P ∈ G1 \ G∆ sẽ đi vào miền G0 sau một khoảng thời gian hữu hạn nào đó. - Theo mệnh đề (2.5), khi t > 0 đủ lớn mọi nghiệm từ P ∈ G0 ∩ G sẽ đi vào miền G1 qua mặt Q3 hay nghiệm đi vào miền G∆. Như vậy, với mọi vị trí ban đầu P (0), nghiệm P (t) sẽ có lúc rơi vào miền G∆. Theo mệnh đề (2.2), nghiệm hút về điểm giới hạn trên biên là P (r′0; r1; 0). Định lý được chứng minh. 2.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương 2.3.1 Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương Ta xét hệ (2.3) với a > 0. Định lí 2.3. Khi a > 0 thì điểm Pˆ = (r0; r1; l0), trong đó r0 = ( ν0 µ0 ) 1 β0 , r1 = ( ν1 µ1 ) 1 β1 , l0 = a 2a + b(r1 − r0) là điểm cân bằng duy nhất của hệ (2.3) trong miền G. Điểm cân bằng này là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Nếu (R0;R1;L0) là điểm cân bằng của hệ thì  −µ0R0 + ν0R α0 0 − [ a + b(R0 −R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ]R0 L0 = 0, −µ1R1 + ν1R α1 1 + [ a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ] R1 1 − L0 = 0, a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 = 0 ⇔   −µ0R0 + ν0R α0 0 = 0, −µ1R1 + ν1R α1 1 = 0, L0 = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| ⇔   R0 = ( ν0 µ0 ) 1 β0 = r0, R1 = ( ν1 µ1 ) 1 β1 = r1, L0 = a 2a + b(r1 − r0) = l0 (Do R0 = r0 < r1 = R1) Vậy Pˆ = (( ν0 µ0 ) 1 β0 ; ( ν1 µ1 ) 1 β1 ; a 2a + b(r1 − r0) ) 39 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng là điểm cân bằng duy nhất trong G của hệ (2.3). Ma trận Jacobian của hệ (2.3) tại điểm cân bằng là A =   −al−10 bl0 −bl0 ar0l −2 0 −br0 − µ0ν0 br0 −ar1l −1 0 (1 − l0) −1 br1l0(1 − l0) −1 −br1l0(1 − l0) −1 − µ1ν1   . Phương trình đặc trưng của ma trận này là φA(λ) =λ 3 + [al−10 + b(r0 + r1l0(1 − l0) −1) + µ0ν0 + µ1ν1]λ 2 + [al−10 (µ0ν0 + µ1ν1) + b(r0µ1ν1 + r1µ0ν0l0(1 − l0) −1) + µ0ν0µ1ν1]λ + al−10 µ0ν0µ1ν1 = 0. Ma trận Hurwitz H có đa thức đặc trưng φA(t) = λ3 + c1λ2 + c2λ + c3 H =   c1 1 0 c3 c2 c1 0 0 c3   . Mọi nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu các định thức con chính của ma trận Hurwitz đều dương, hay khi c1 > 0, c1c3 − c2 > 0, c3 > 0. Ta kiểm tra các bất đẳng thức này. Ta có c1 = 2a + b(r1 − r0) + b(r0 + ar1 a + b(r1 − r0) ) + µ0β0 + µ1β1 > 0. Hai bất đẳng thức còn lại kiểm tra một cách tương tự. Theo Định lý Hurwitz ta có điểm cân bằng Pˆ là ổn định tiệm cận. 2.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương Định lí 2.4. Khi a > 0 điểm cân bằng Pˆ là ổn định toàn cục trong G nghĩa là mỗi nghiệm P (t) của hệ (2.3) với điểm xuất phát P (0) ∈ G đều hút về điểm Pˆ khi t → +∞. Chứng minh. Để chứng minh định lý này ta chia miền G G := {(R0;R1;L0) : 0 < R0, R1 < ∞; 0 < L0 < 1} ⊆ (R+) 3 thành một số miền con không giao nhau bởi một số mặt cong và mặt phẳng sẽ trình bày dưới đây và xét bài toán tuỳ theo các trường hợp điểm xuất phát của 40 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng nghiệm thuộc tập con, biên của tập con nào đó của G. Đầu tiên ta chia miền G bởi mặt cong thứ nhất được xác định bởi phương trình L0 = Φ0(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 . Ta thấy: - Khi µ0 ≤ a < ∞ thì 0 < Φ0(R0;R1) < 1, ∀ 0 < R0, R1 < ∞. Trong trường hợp này mặt cong trên căng trên toàn bộ miền D = {(R0;R1) : 0 < R0, R1 < ∞}. - Khi 0 < a < µ0, thì 0 < Φ0(R0;R1) < 1 ⇔ (R0;R1) ∈ D(0)1 , trong đó D (0) 1 = { 0 < R0 < ( ν0 µ0 − a ) 1 β0 ; 0 < R1 < ∞ } ∪ { ( ν0 µ0 − a ) 1 β0 ≤ R0 < ∞;− ν0 b R−β00 + R0 + µ0 − a b < R1 < ∞ } . Do đó mặt cong chỉ căng trên tập này. Ta gọi mặt cong này là S0. Mặt S0 là trơn trừ đường cong được xác định bởi giao tuyến của nó với mặt phẳng R0 = R1. Véc tơ pháp của mặt S0 dọc theo giao tuyến này là xác định duy nhất và có thành phần thứ hai là Φ0,R1(R0;R1) =   −ab (2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ) 2 khi R1 > R0, −(a− µ0 + ν0R −β0 0 )b (2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ) 2 khi R1 < R0. (2.14) Mặt cong S0 chia miền G thành hai miền con, miền trên và miền dưới S0. Bổ đề 2.4. Thành phần thứ nhất của trường véc tơ F (P ) của hệ (2.3) triệt tiêu trên mặt S0. Mặt S0 chia miền G thành hai phần: phía trên mặt S0 có dR0 dt > 0 và phía dưới mặt này có dR0 dt < 0. Chứng minh. Ta có dR0 dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 −R0|)L0] R0 L0 = 0 ⇔(−µ0 + ν0R α0−1 0 + 2a + b|R1 − R0|)L0 = a + b(R0 −R1)+ ⇔L0 = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 = Φ0(R0;R1). Vậy dR0 dt = 0 trên mặt S0. 41 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Để xét dấu của dR0 dt ta chia ra các trường hợp sau: Trường hợp 1. Khi 0 < a < µ0 2 . Đặt D (0) 2 = {(R0;R1) : 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ≤ 0}. Do 0 < a < µ0 2 ⇒ 2a − µ0 < 0 cho nên khi R0 = R1 thì tập D(0)2 6= ∅. Ta thấy D (0) 2 ⊆ D \ D (0) 1 (vì trên D (0) 1 có 0 < Φ0 < 1). Nói cách khác mặt S0 không xác định trên tập D(0)2 . Vậy ta có D = D (0) 1 ∪ (D \D (0) 1 \D (0) 2 ) ∪D (0) 2 . Trên miền D(0)1 có 2a+ b|R1−R0| −µ0 + ν0R −β0 0 > 0, do đó dấu của dR0 dt trùng với dấu của L0 − Φ0. L0 − Φ0 = L0 − a + 2b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 nên dấu đó là dương hay âm tuỳ theo vị trí tương đối của điểm được xét là trên hay dưới mặt cong S0. Nếu điểm (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt S0 thì dR0 dt > 0, nếu điểm (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt S0 thì dR0 dt < 0. Trên miền D \D(0)1 \D (0) 2 dấu của hai biểu thức nói trên cũng vẫn trùng nhau. Mặt khác a + 2b(R0 −R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ≥ 1 nên dR0 dt < 0. Trên D(0)2 , dễ thấy dR0 dt mang dấu âm. Vậy, bổ đề được chứng minh cho trường hợp 0 < a < µ0 2 Trường hợp 2. Khi µ0/2 ≤ a < µ0, ta có 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 > 0 ⇒ D (0) 2 = ∅. Dấu của dR0 dt được chứng minh tương tự như trường hợp 1. Trường hợp 3. Khi 0 < a ≤ µ0 ta có D \D(0)1 = ∅. Dấu của dR0 dt cũng được chứng minh tương tự như trường hợp 1. Chia miền G bằng mặt cong thứ hai được xác định bởi phương trình L0 = Φ1(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 . 42 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Đây là mặt cong mà dọc theo nó trường véc tơ F (P ) có thành phần thứ hai triệt tiêu F (P ) = (dR0 dt ; 0; dL0 dt ) . Thật vậy. dR1 dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + [ a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ] R1 1 − L0 = 0 ⇔ (1 − L0)(−µ1 + ν1R −β1 1 ) + a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 = 0 ⇔ L0(2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 ⇔ L0 = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) = Φ1(R0;R1). Xét tương tự như với trường hợp trên, ta thấy - Khi µ1 ≤ a < ∞ ta có Φ1(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 a + a + b(R0 −R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 ∈ (0, 1) ∀ 0 < R0, R1 < ∞ (vì a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R−β11 > 0). Mặt cong căng trên toàn bộ miền D = (R+)2. - Khi 0 < a < µ1 thì 0 < Φ1(R0;R1) < 1 ⇔ a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 > 0 ⇔ (R0;R1) ∈ D (1) 1 = { 0 < R0 < ∞; 0 < R1 < ( ν1 µ1 − a ) 1 β1 } ∪ { − ν1 b R−β11 + R1 + µ1 − a b < R0 < ∞; ( ν1 µ1 − a ) 1 β1 ≤ R1 < ∞ } . Mặt cong này (ký hiệu là S1) chỉ căng trên miền con D(1)1 của miền D. Các véc tơ pháp của mặt S1 xác định duy nhất trừ đường cong dọc theo giao tuyến S1 ∩ {(R0;R1) : R0 = R1}. Ta có Φ1,R0(R0;R1) =   (a− µ1 + ν1R −β1 1 )b (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) 2 khi R1 > R0, ab (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) 2 khi R1 < R0. (2.15) Bổ đề 2.5. Thành phần thứ hai của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu trên mặt S1. Phía trên mặt cong S1 của miền G thành phần này mang dấu dương, phía dưới mang dấu âm. 43 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Chứng minh. Ta có dR1 dt = 0 (được chứng minh trong phần giới thiệu mặt S1). Xét dấu của dR1 dt như sau. Ta viết lại phương trình (2.3.b) của hệ (2.3) 1 − L0 R1 dR1 dt =[a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 ] − [2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ]L0 =Φ1(R0;R1) − L0. Trường hợp 1. Khi 0 < a < µ1 2 , xét miền D (1) 2 = {(R0;R1) ∈ D : (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) 2 ≤ 0}. Ta thấy D(1)2 6= ∅ do R1 = R0 và D (1) 2 ⊂ D \D (1) 1 , nên D = D (1) 1 ∪ (D \D (1) 1 \D (1) 2 ) ∪D (1) 2 . Trên miền D(1)1 , do 2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 > 0 nên dR1 dt cùng dấu với Φ1(R0;R1) − L0. Do đó: - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt S1 thì dR1 dt < 0 - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt S1 thì dR1 dt > 0 Trên D \D(1)1 \D (1) 2 dấu của hai biểu thức trên trùng nhau, ta có  Φ1(R0;R1) ≥ 1, 2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 > 0 ⇒ dR1 dt > 0. Trên D(1)2 rõ ràng dR1 dt > 0 Trường hợp 2. Khi µ1 2 ≤ a < µ1 có D(1)2 = ∅. Trường hợp 3. Khi µ1 ≤ a < ∞ có D \D(1)1 = ∅. Trường hợp 2 và 3, dấu của dR1 dt được xét tương tự như trường hợp 1. Bổ đề (2.5) được chứng minh. Chia tập G bởi mặt cong thứ ba được xác định bởi phương trình L0 = Ψ(R0;R1) = a + b(R0 −R1)+ 2a + b|R1 − R0| . Dọc theo mặt này, thành phần thứ ba của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu, thật vậy. dL0 dt = a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 = 0 44 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ⇔ L0 = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| = Ψ(R0;R1). Ta gọi mặt cong này là T , với mọi (R0;R1) ∈ D ta có 0 < Ψ(R0;R1) < 1 và mặt T chia miền G thành hai nửa trên và dưới. Mặt T là trơn vì hàm f(x) = a + b(x)+ 2a + b|x| là hàm C1(−∞,+∞). Véc tơ pháp của hàm T là ( ab (2a + b|R1 −R0|)2 ; −ab (2a + b|R1 − R0|)2 ;−1 ) . (2.16) Nhận xét. Trong miền G, trên mặt phẳng R0 = r0, hai mặt T và S0 cắt nhau, thật vậy. Với R0 = r0, ta có Φ(r0;R1) = a + b(r0 − R1)+ 2a + b|R1 − r0| − µ0 + ν0r −β0 0 = a + b(r0 − R1)+ 2a + b|R1 − r0| = Ψ(r0;R1) (do −µ0 + ν0r−β00 = 0). Gọi giao tuyến của mặt S0 và T trong miền D là m0. Tương tự, trên mặt trụ R1 = r1 hai mặt T và S1 cắt nhau. Gọi giao tuyến của hai mặt này trong miền D là m1. Bổ đề 2.6. Thành phần thứ ba của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu trên mặt T . Phía trên mặt T có dL0(t) dt < 0 và phía dưới mặt T có dL0(t) dt > 0. Chứng minh. Ta có dL0 dt = 0 được chứng minh trong phần giới thiệu mặt T . dL0 dt > 0 ⇔ L0 < a + b(R0 −R1)+ 2a + b|R1 − R0| = Ψ(R0;R1). Khi đó (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt T . dL0 dt a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| = Ψ(R0;R1) Khi đó (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt T . Ta chia miền D thành các miền con (hình 2.9) Da = {(R0;R1) : 0 < R0 < r0; r1 < R1 < ∞}, Db = {(R0;R1) : r0 < R0 < ∞; r1 < R1 < ∞}, Dc = {(R0;R1) : 0 < R0 < r0; 0 < R1 < r1}, Dd = {(R0;R1) : r0 < R0 < ∞; r1 < R1 < ∞}. 45 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Miền G được chia thành các miền con Ga, Gb, Gc, Gd chúng được định nghĩa tích Decart của Da, Db, Dc, Dd với (0, 1). Nhận xét. Trên miền Ga các mặt S0;S1 nằm phía dưới mặt T . Trên miền Gb các mặt S0 nằm phía trên mặt T , S1 nằm dưới mặt T . Trên miền Gc các mặt S0 nằm phía dưới mặt T , S1 ở phía trên T . Trên miền Gd các mặt S0;S1 nằm phía trên mặt T . Thật vậy, trên Da ta có 0 < R0 < r0 ⇔ 0 < R0 < ( ν0 µ0 ) 1 β0 ⇔ −µ0 + ν0R −β0 0 > 0 ⇒ a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 < a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| ⇔ Φ0(R0;R1) < Ψ(R0;R1). Vậy mặt S0 nằm phía dưới mặt T . Các trường hợp khác được chứng minh tương tự. Hình 2.9: 46 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Các mặt S0, S1, T chia miền Ga, Gb, Gc, Gd thành các miền nhỏ hơn Ga(0, T ) = {(R0;R1;L0) ∈ Ga : 0 < L0 < Ψ(R0;R1)}, Ga(T, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Ga : Ψ(R0;R1) < L0 < 1}, Gb(0, S1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gb : 0 < L0 < Φ1(R0;R1)}, Gb(S1, S0) = {(R0;R1;L0) ∈ Gb : Φ1 < L0 < Φ0}, Gb(S0, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gb : Φ0 < L0 < 1}, Gc(0, S0) = {(R0;R1;L0) ∈ Gc : 0 < L0 < Φ0}, Gc(S1, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gc : Φ1 < L0 < 1}, Gd(T, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gd : Ψ(R0;R1) < L0 < 1}. Mệnh đề 2.6. Nghiệm P (t) xuất phát từ P (0) ∈ Ga(0, T )∩G hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đặt P (0) = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) = P . Đầu tiên ta chỉ ra rằng với P ∈ ∂Ga(0, T )∩G \ {Pˆ} luôn tồn tại nghiệm P (t) của hệ (2.3) xuất phát từ P nằm trong tập mở Ga(0, T ) với mọi t > 0 đủ bé (hình 2.10). Thật vậy. - Khi P ∈ T ∩ Ga. Gọi nT là véc tơ pháp của mặt T hướng vào trong tập Ga(0, T ). Theo (2.16), ta có nT = ( ab (2a + b|R1 − R0|)2 ;− ab (2a + b|R1 − R0|)2 ;−1 ) . Dấu của nT = (+;−;−). Do P ∈ T và P ∈ Ga nên P nằm phía trên của mặt S0 và S1 (hình 2.10). Theo bổ đề (2.4) và (2.5) ta có trường véc tơ trong một miền con đủ bé của Ga, có dấu F (P ) = (+;−; 0). Do đó nT .F (P ) > 0. Điều này cho thấy góc giữa F (P ) và nT là góc nhọn. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P nhận F (P ) làm tiếp tuyến phải đi từ biên vào miền trong của tập Ga(0, T ), do Ga(0, T ) 6= ∅ nên tồn tại t > 0 đủ bé để nghiệm P (t) nằm trong tập Ga(0, T ) (t ∈ (0, t(P )), trong đó t(P ) là thời điểm cuối cùng nghiệm xuất phát từ P ra khỏi Ga(0, T )). 47 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.10: Gọi Q0, Q1 là các mặt phẳng: Q0 = {R0 = r0; 0 < R1 < ∞; 0 < L0 < 1}, Q1 = {R1 = r1; 0 < R0 < ∞; 0 < L0 < 1}. - Khi P ∈ Q0 nhưng không nằm trên giao tuyến m0 và cũng không nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm Pˆ và (r0; r1; 0), nghĩa là P ∈ Q0 ∩ ∂Ga(0, T ) \m0 \ [ (r0; r1; 0), Pˆ ] . Véc tơ pháp của mặt Q0 tại điểm P hướng vào phía trong tập Ga(0, T ) là nQ0 = (−1; 0; 0). Do P nằm phía dưới mặt S0 nên thành phần thứ nhất của trường F (P ) mang dấu âm F (P ) = (−; ∗; ∗). 48 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Vậy nQ0 .F (P ) > 0. Lập luận tương tự như phần trên ta có nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào miền trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ Q1 ∩ ∂Ga(0, T ) \m1 \ [(r0; r1; 0), Pˆ ], xét hoàn toàn tương tự trên ta có nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào miền trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ [ (r0; r1; 0), Pˆ ] \ { (r0; r1; 0), Pˆ } , xét tương tự như trên ta có nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào miền trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ m0 ∩ ∂Ga(0, T ) \ {Pˆ} ta có P ∈ S0 và P ∈ T : Trường hợp 1. P ∈ T véc tơ pháp của mặt T tại P hướng xuống phía dưới là nT = (+;−;−). Do P ∈ S0 và P ∈ T nên dR0 dt = dL0 dt = 0, và mặt S1 nằm phía dưới mặt T nên dR1 dt < 0. Ta có dấu của trường véc tơ F (P ) = (0;−; 0) ⇒ nTF (P ) > 0 Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P nằm phía dưới mặt T khi t > 0 đủ bé Trường hợp 2. P ∈ S0, trong miền Ga ta có R1 > R0 > 0 nên véc tơ pháp của mặt S0 tại P hướng xuống phía dưới là nS0 = ( ∗; −ab (2a + b|R1 −R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ) 2 ;−1 ) = (∗;−;−) ⇒ nS0F (P ) > 0. Điều này chứng tỏ tồn tại t0 > 0 đủ bé sao cho với t ∈ (0, t0) thì nghiệm P (t) xuất phát từ P nằm phía dưới mặt S0. Khi đó dR0 dt < 0 với 0 < t < t0 ⇒ R0(t) < R0(0) = R0 < r0 (do ta xét trong miền Da). Vậy nghiệm P (t) nằm ở phần trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ m1 ∩ ∂Ga(0, T ) \ {Pˆ}, trường hợp này được chứng minh tương tự với trường hợp P ∈ m0 ∩ ∂Ga(0, T ) \ {Pˆ}. Qua các trường hợp trên ta thấy nếu P ∈ Ga(0, T )∩T \ {Pˆ} (tức là điểm khởi tạo xuất phát trên biên, nhưng khác với điểm cân bằng) thì nghiệm P (t) sẽ nằm ở phần trong của tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. Vậy, ta chỉ cần xét bài toán cho trường hợp P ∈ Ga(0, T ) (tập này mở) là đủ (vì có thể lấy điểm khởi tạo là một điểm bất kỳ P = P (t∗) với t∗ ∈ (0, t0)). 49 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Với mỗi điểm P ∈ Ga(0, T ), giả sử [0, τ(P )) là khoảng thời gian cực đại, sao cho nghiệm P (t) xuất phát từ P vẫn chưa ra khỏi tập Ga(0, T ). Theo bổ đề 2.6, trong khoảng thời gian này nghiệm luôn nằm phía dưới mặt T và dL0(t) dt > 0 nên ta có L0 < L0(t) < l0, ∀t ∈ (0; τ(P )). Ta có, với (R0;R1) ∈ Da ⇒ Ψ(R0;R1) < l0, thật vậy. (R0;R1) ∈ Da ⇒ R0 (r1 − r0) và (R0 −R1)+ = 0. Mà Ψ(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| = a 2a + b(R1 − R0) < a 2a + b(r1 − r0) = l0 ⇒ Ψ(R0;R1) < l0. Mặt khác ta có biểu diễn R0(t) = e−µ0(t) L0(t) {[ L0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 ∫ t 0 [ eµ0sL0(s0) ]β0 ds } 1 β0 . Do L0 0 sao cho c < R0(t) < C. Thật vậy, do L0 < L0(t) < l(0) ∀t ∈ (0, τ(P )) nên e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 ∫ t 0 [eµ0sL0] β0ds } 1 β0 < R0(t) < e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 ∫ t 0 [eµ0sl0] β0ds } 1 β0 ⇒ e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 L β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 < R0(t) < e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0l β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 ⇒ sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 L β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 < R0(t) < sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0l β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 . Vậy tồn tại c = sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 L β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 50 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng và C = sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0l β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 sao cho c ≤ R0(t) ≤ C, ∀t ∈ ( 0; τ(P ) ) . Tương tự đối với R1(t) tồn tại c và C > 0, sao cho c ≤ R1(t) ≤ C, ∀t ∈ ( 0; τ(P ) ) . Vậy, các hàm trên là liên tục (Lipschitz) đều trên [0, τ(P )]. Ta có hai khả năng: - Nếu τ(P ) là hữu hạn và P (t) đã đạt được điểm cân bằng Pˆ . Trường hợp này bài toán đã được giải quyết. - Nếu τ(P ) là hữu hạn và nghiệm P (t) vẫn chưa đạt tới điểm cân bằng Pˆ , nghĩa là P∞ = P (τ(P )) 6= Pˆ . (Ở đây ta đã ký hiệu điểm cuối của nghiệm P (t) là P∞). Ta sẽ chỉ ra điều này là vô lý. Thật vậy, nếu τ(P ) < ∞ và P∞ 6= Pˆ . Với t > 0 đủ bé, nghiệm P (t) thuộc phần trong của tập Ga(0, T ) (do L0(t) > 0;R0(t) ≥ c). Vậy phải có một đoạn của quỹ đạo P = P (t) nằm hoàn toàn ở phần trong của tập Ga(0, T ). Dễ thấy P∞ ∈ ∂Ga(0, T )∩G (vì nếu P∞ vẫn ở phần trong của Ga(0, T ) thì nghiệm vẫn có thể kéo dài được, nên [ 0, τ(P ) ) chưa phải là cực đại, điều này mâu thuẫn với giả thiết là [ 0, τ(P ) ) cực đại). Do P∞ 6= Pˆ nên P∞ ∈ ∂Ga(0, T ) ∩G \ {Pˆ}. Theo chứng minh trên, nếu P∞ ∈ ∂Ga(0, T )∩G\{Pˆ} thì có thể coi nó là điểm khởi tạo để tiếp tục thác triển nghiệm vào phía trong tập Ga(0, T ). Khi đó [ 0, τ(P ) ) vẫn chưa phải là cực đại, ta có mâu thuẫn. Vậy, chỉ có thể là τ(P ) = ∞. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra P (t) → Pˆ khi t → ∞, nghĩa là   R0(t) → r0, R1(t) → r1, L0(t) → l0. Do dL0 dt > 0 với 0 < t < ∞ và L0(t) bị chặn nên L0(t) có giới hạn, đặt là lˆ0 khi t → ∞ và L0 < lˆ0 < l0. 51 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Mặt khác, theo chứng minh trong hệ quả (2.1) ta có R0(t) → r0 và R1(t) → r1 khi t → ∞. Do đó, (r0; r1; lˆ0) là điểm cân bằng nằm trong tập G của hệ (2.3), điều này mâu thuẫn với định lí (2.3) nên ta có l0 = lˆ0. Như vậy, nếu P = P (0) ∈ Ga(0, T )∩G thì P (t) → Pˆ = (r0; r1; l0) khi t → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 2.7. Mọi nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gd(T, 1) ∩ G thì hội tụ đến Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh rằng mọi nghiệm bắt đầu từ P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ ∂Gd(T, 1) ∩G \ {Pˆ} đi vào Gd(T, 1) với t > 0 (hình 2.11). Thật vậy. - Nếu P ∈ T ∩Gd khi đó véc tơ pháp của mặt T tại P có hướng đi vào phía trong Gd(T, 1) là nT = (−ΨR0(R0;R1);−ΨR1(R0;R1); 1) = (− ab (2a + b|R1 − R0|)2 ; ab (2a + b|R1 −R0|)2 ; 1). Dấu của véc tơ nT = (−; +; +). Trong trường hợp này điểm P ∈ T và P ở phía dưới mặt S0 và S1 nên dR0 dt < 0, dR1 dt > 0, dL0 dt = 0 ⇒ F (P ) = (−; +; 0) ⇒ nTF (P ) > 0. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào trong Gd(T, 1) với t > 0 đủ bé. - Nếu P ∈ Q0 nhưng không thuộc giao tuyến m0, nghĩa là P ∈ Q0 ∩ ∂Gd(T, 1) \m0 \ {Pˆ}. Lập luận tương tự trên, ta có nQ0 = (1; 0; 0) và F (P ) = (+; ∗; ∗) ⇒ nQ0F (P ) > 0. Khi đó nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ Q0 ∩ ∂Gd(T, 1) \ m0 \ {Pˆ} đi vào trong Gd(T, 1) với mọi t > 0 đủ nhỏ. - Nếu P ∈ Q1 \m1, lập luận hoàn toàn tương tự như trên. - Nếu P ∈ m0 và P 6= Pˆ . Do m0 = S0 ∩ T nên P ∈ S0 và P ∈ T . Khi P ∈ T , véc tơ pháp của mặt T tại P hướng lên phía trên là nT = (− ab (2a + b|R1 −R0|)2 ; ab (2a + b|R1 − R0|)2 ; 1). 52 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.11: Dấu của nT là nT = (−; +; +). Do P ∈ T và P ∈ S0 nên dL0 dt = 0 và dR0 dt = 0, mặt khác mặt T nằm phía dưới mặt S1 nên dR1 dt > 0. Khi đó F (P ) = (0; +; 0) ⇒ nTF (P ) > 0. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại trên T với mọi t > 0 đủ bé. Khi T ∈ S0, trường véc tơ tại P là F (P ) = (0; +; 0). Véc tơ pháp của mặt S0 tại P hướng lên phía trên là nS0 = (−Φ0R0 ;−Φ0R1 ; 1) = (∗;−Φ0R1 ; ∗). Do (R0;R1) ∈ D(0)1 nên a − µ0 + ν0R −β0 0 > 0. Khi đó theo công thức (2.14) ta có dấu của nS0 = (∗; +; +) ⇒ nS0F (P ) < 0. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại ở phía trên S0 với mọi t > 0 đủ bé, điều này có nghĩa dR0 dt > 0 và R0(t) > r0 với 0 0 nào đó. 53 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Do đó nghiệm phải đi vào Gd(T, 1). Vậy ta chỉ cần chứng minh mệnh đề với T ∈ Gd(T, 1) là đủ. Giả sử [ 0, τ(P ) ) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) xuất phát từ P vẫn còn ở trong Gd(T, 1). Do nghiệm P (t) ở trong Gd(T, 1) tức là P (t) nằm phía trên mặt T với t ∈ [0, τ(P )). Khi đó dR0 dt < 0 với t ∈ [ 0, τ(P ) ) ⇒ L0(t) < L0(0) = L0. Mặt khác, do (R0;R1) ∈ Dd nên Ψ(R0;R1) > l0 ⇒ l0 < L0(t) < L0. Kết hợp với dR0 dt < 0 ta có L0(t) có giới hạn khi t → τ(P ). Lập luận tương tự mệnh đề 2.7 ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.8. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm ban đầu P (0) ∈ Gb(S1, S0) ∩ Gb đi vào Ga(0, T )∪Gd(T, 1) trong một thời gian hữu hạn hoặc hội tụ đến điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh mọi nghiệm xuất phát từ điểm ban đầu P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ (S1 ∪ S0) ∩ Gb đi vào trong Gb(S1, S0) với t > 0 (hình 2.12). Hình 2.12: 54 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Thật vậy. - Nếu P ∈ (S0 ∩Gb) thì trường véc tơ tại P có dấu F (P ) = (0;−;−). Véc tơ pháp của S0 tại P hướng vào trong tập Gb(S1, S0) nS0 = ( Φ0R0(R0;R1); Φ0R1(R0;R1);−1 ) = ( ∗; Φ0,R1(R0;R1);−1 ) Theo công thức (2.14) ta thấy: + Khi R1 > R0 thì Φ0,R1(R0;R1) < 0. + Khi R1 < R0, do (R0;R1) ∈ D(0)1 nên a−µ0 + ν0R −β0 0 > 0, vậy Φ0,R1(R0;R1) < 0. + Khi R1 = R0 thì véc tơ pháp không được xác định duy nhất. Do đó ta phải xét hai giới hạn của véc tơ pháp với các điểm từ S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 > R1 } và S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 < R1 } dần đến P . + Khi (R0;R1;L0) ∈ S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 < R1 } , ta có Φ0,R1 = lim R1→R0 Φ0(R0;R1) − Φ0(R0;R0) R1 − R0 = lim R1→R0 a 2a + b(R1 − R0) − µ0 + ν0R −β0 0 − a 2a− µ0 + ν0R β0 1 R1 − R0 = lim R1→R0 −ab(R1 − R0) (R1 −R0)[2a + b(R1 −R0) − µ0 + ν0R −β0 0 ](2a− µ0 + ν0R −β0 0 ) = − ab 2a− µ0 + ν0R −β0 0 . + Khi (R0;R1;L0) ∈ S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 > R1 } , ta có Φ0,R1 = lim R0→R1 Φ0(R0;R1) − Φ0(R0;R0) R1 − R0 = lim R0→R1 a + b(R0 − R1) 2a + b(R1 − R0) − µ0 + ν0R −β0 0 − a 2a− µ0 + ν0R β0 1 R1 − R0 = lim R0→R1 (ab− µ0b + ν0R −β0 0 b)(R1 −R0) R1 −R0 = − (a− µ0 + ν0R −β0 0 )b 2a− µ0 + ν0R −β0 0 . Trong mọi trường hợp véc tơ pháp của mặt S0 tại P hướng vào trong tập Gb(S1;S0) là nS0 = (∗;−;−) ⇒ F (P )nS0 > 0. 55 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại dưới mặt S0 với mọi t > 0 đủ bé. Tương tự, nếu P ∈ (S1∩Gb) thì nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại trên mặt S1 với mọi t > 0 đủ bé. Do đó ta chỉ cần chứng minh mệnh đề với điểm ban đầu P ∈ Gb(S1, S0) là đủ. Giả sử [ 0, τ(P ) ) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) còn ở trong Gb(S1, S0). Do dR0 dt < 0, dR1 dt < 0 với 0 ≤ t < τ(P ) ⇒r0 < R0(t) ≤ R0 và r1 < R1(t) ≤ R1 với 0 ≤ t < τ(P ). Khi đó R0(t) và R1(t) hội tụ đến rˆ0 và rˆ1 khi t → τ(P ). - Nếu τ(P ) < ∞ thì L0(t) và 1 − L0(t) cũng hội tụ khi t → τ(P ). Vậy nghiệm P (t) → P∞ khi t → τ(P ). Rõ ràng P∞ ∈ ∂Gb(S1, S0) ∩ G (vì nếu không thì nghiệm P (t) còn kéo dài được nữa khi đó [ 0, τ(P ) ) không phải là cực đại). Do P∞ /∈ (S1 ∪ S0) ∩ Gb (vì nếu P∞ ∈ (S1 ∪ S0) ∩ Gb) thì nghiệm P (t) còn thác triển được vào phía trong Gb(S1, S0). Điều này mâu thuẫn với giả thiết [ 0, τ(P ) ) là cực đại). ⇒ P∞ ∈ ∂Gb(S1, S0) ∩ (Q0 ∪Q1). Theo chứng minh mệnh đề 2.6, nghiệm xuất phát từ ∂Ga(0, T )∩Q0 ⊃ ∂Gb(S1, S0)∩ Q0 (tương ứng ∂Gd(T, 1) ∩ Q1 ⊃ ∂Gb(S1, S0) ∩ Q1) đi vào Ga(0, T ) (tương ứng Gd(T, 1)). Vậy P ∈ Gb(S1, S0) ∩ Gb đi vào Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) trong một khoảng thời gian hữu hạn. - Nếu τ(P ) = ∞, ta sẽ chứng minh P (t) → Pˆ khi t → ∞. Trước hết ta chứng minh L0(t) hội tụ khi t → ∞, thật vậy. L0(t) =e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds 56 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ⇔ L0(t) =e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds + ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds =e−2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds + ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ{a + b ( R0(s) − R1(s) ) + − [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]}ds + ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]ds. (2.17) Số hạng thứ nhất e−2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) ≤ e −2ate −b inf 0≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| ∫ t 0 dτ L0(0) ≤ L0(0)Me −2ate−t = L0(0)Me (−2a+1)t → 0 khi t → ∞, (2.18) trong đó M = e b inf 0≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| Số hạng thứ hai ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) −R1(s))+]ds ≤ sup 0≤s<∞ [a + b(R0(s) −R1(s))+] ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e −b inf 0≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| ∫ t s dτ ds ≤ N ∫ t 2 0 e−2a(t−s)Me−(t−s)ds = MN ∫ t 2 0 e−(2a+1)(t−s)ds = MNe−(2a+1)te t 2 −MNe−(2a+1)t → 0 khi t → 0. (2.19) Số hạng thứ ba ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ{a + b(R0(s) −R1(s))+ − [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]}ds. Ta có với mọi  > 0 bé tùy ý có thể chọn t > 0 đủ lớn sao cho |b(R0(s) − R1(s))+ − b(rˆ0 − rˆ1)+| t. 57 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Khi đó ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [b(R0(s) −R1(s))+ − b(rˆ0 − rˆ1)+]ds ∣∣∣ ≤  ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e −b inf t/2≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| ∫ t s dτ ds ∣∣∣ ≤ M ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−(t−s)ds ∣∣∣ ≤ (1 − e−(2a+1) t 2 ) < . (2.20) Số hạng cuối ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]ds. Ta có |e−ξ − e−η| ≤ |ξ − η| (ξ, η ≥ 0), khi đó ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτds = ∫ t t 2 e−2a(t−s)[e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ − e−b|rˆ1−rˆ0|(t−s)]ds + ∫ t t 2 e−(2a+b|rˆ1−rˆ0|)(t−s)ds. (2.21) Ta có đánh giá ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)[e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ − e−b|rˆ1−rˆ0|(t−s)]ds ∣∣∣ ≤ b ∫ t t 2 e−2a(t−s) ∫ t s ∣∣|R1(τ) −R0(τ)| − |rˆ1 − rˆ0|∣∣dτds ≤ b sup t/2≤τ<∞ (|R1(τ) − rˆ1 − | − |R0(τ) − rˆ0|) ∫ t t 2 (t− s)e−2a(t−s)ds → 0 khi t → ∞ và∫ t t 2 e−(2a+b|rˆ1−rˆ0|)(t−s)ds = 1 2a + b|rˆ1 − rˆ0| (1 − e−(2a+b|rˆ1−rˆ0|) t 2 ) → 1 2a + b|rˆ1 − rˆ0| khi t → ∞ ⇒ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(rˆ0 − rˆ1]ds → a + b(rˆ0 − rˆ1 2a + b|rˆ1 − rˆ0| khi t → ∞ ⇒ L0(t) → lˆ0 khi t → ∞ ⇒ P (t) → (rˆ0, rˆ1, lˆ0) khi t → ∞. 58 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Mặt khác theo định lí 2.3 thì rˆ0 = r0, rˆ1 = r1, lˆ0 = l0. Vậy P (t) → Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề 2.9. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm ban đầu P (0) ∈ Gb(0, S1) (tương ứng (Gb(S1, 1)) ) đi vào Gb(S1, S0) (tương ứng Gd(T, 1)) trong một thời gian hữu hạn. Chứng minh. Xét điểm P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ Gb(0, S1) Giả sử [0, τ(P )) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P tồn tại trong Gb(S1, S0). Do nghiệm P (t) nằm trong tập Gb(, 0S1) nên nghiệm P (t) nằm dưới các mặt phẳng S0, S1, T . Khi đó dR0 dt < 0, dR1 dt > 0, dL0 dt > 0. Ta có r0 < R0(t) ≤ R0, R1(t) ≥ R1, L0(t) ≥ L0 với 0 ≤ t < τ(P ). Do vậy R1 ≤ R1(t) ≤ C với 0 ≤ t 0 nào đó. Ngoài ra R0(t), R1(t), L0(t) tương ứng có các giới hạn rˆ0, rˆ1, lˆ0. Do rˆ1 > R1 > r1 nên P∞ = (rˆ0; rˆ1; lˆ0) ∈ ∂Gb(0, S1) ∩ (S1 ∪Q0) ∩G. Giả sử τ(P ) = ∞ khi đó điểm P∞ phải trùng với Pˆ nhưng điều này không thể do rˆ1 > r1 nên τ(P ) phải hữu hạn. Khi P∞ ∈ S1 ∩Gb theo mệnh đề 2.3 nghiệm từ P∞ đi vào Gb(S1, S0). Mặt khác khi P∞ ∈ ∂Gb(0, S1) ∩ Q0 ⊂ ∂Ga(0, T ) ∩ Q0 theo mệnh đề 2.1 nghiệm từ P∞ đi vào Ga(0, T ). Vậy trường hợp P ∈ Gb(0, S1) đã dược chứng minh. Khi P ∈ Gb(S1, 1) được chứng minh tương tự. Mệnh đề 2.10. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gc(S0, S1) ∩ Gc hoặc đi vào tập Ga(0, T )∪Gd(T, 1) trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề 2.11. Nghiệm xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gc(0, S0) (tương ứng Gc(S1, 1)) đi vào Gc(S0, S1) hoặc Ga(0, T ) (tương ứng Gd(T, 1)) trong thời gian hữu hạn. Hai mệnh đề trên được chứng minh tương tự với mệnh đề trước. Mệnh đề 2.12. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Ga(T, 1) ∩ G đi vào tập Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) ∪ Gb ∪ Gc trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đầu tiên ta xét trường hợp điểm ban đầu P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ Ga(T, 1). 59 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Giả sử [0, τ(P )) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại trong Ga(T, 1). Do nghiệm P (t) ở trên mặt S0 và S1 nên dR0 dt > 0 và dR1 dt < 0 với 0 ≤ t < τ(P ). Vậy, R0 ≤ R0(t) < r0 và r1 < R1(t) ≤ R1 với 0 ≤ t < τ(P ). Mặt khác do nghiệm cũng ở trên mặt T nên dL0 dt < 0 với 0 ≤ t < τ(P ) vậy lˆ0 < L0(t) ≤ L0 với 0 ≤ t < τ(P ), ở đây 0 < lˆ0 = lim t→τ (P ) L0(t). Nếu τ(P ) < ∞ khi đó R0(t) và R1(t) là liên tục Lipschitz đều và có giới hạn khi t → τ(P ). Giới hạn này thuộc vào biên của tập Ga(T, 1) chính xác hơn là thuộc vào tập ∂Ga(T, 1) ∩G \ Pˆ . Nếu τ(P ) = ∞ theo chứng minh trước ta có R0(t) → r0 và R1(t) → r1 do đó nghiệm hội tụ tới điểm Pˆ . Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề với điểm P ∈ ∂Ga(T, 1) ∩G \ {Pˆ}. Khi P ∈ T theo chứng minh của mệnh đề (2.1) nghiệm P (t) đi vào tập Ga(0, T ). Nếu P ∈ Q0 \ [Pˆ , (r0; r1; 1)] khi đó do dR0 dt > 0 và véc tơ pháp của mặt Q0 tại P hướng vào trong tập Ga(T, 1) là nQ0 = (−1; 0; 0) ⇒ nQ0F (P ) < 0 điều này chứng tỏ nghiệm P (t) đi vào tập Gb. Tương tự khi P ∈ Q1 \ [Pˆ , (r0; r1; 1)] nghiệm P (t) đi vào tập Gc. Khi P ∈ [Pˆ , (r0; r1; 1)]\{Pˆ , (r0; r1; 1)} nghiệm P (t) đi vào Gd(T, 1) bằng cách tương tự là ta xét tích của F (P ) và hai véc tơ pháp nQ0 và nQ1 tại P . Mệnh đề 2.13. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gd(0, T ) ∩ G đi vào tập Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) ∪ Gb ∪ Gc trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề này được chứng minh tương tự mệnh đề trên. Bây giờ ta quay trở lại chứng minh định lý (2.4): Từ 8 mệnh đề trên ta suy ra được định lý (2.4), thật vậy. Do mệnh đề (2.6) và (2.7), mọi điểm xuất phát từ điểm ban đầu thuộc Ga(0, T ) ∩ G và Gd(T, 1) ∩ G hội tụ tới Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề (2.8) và (2.9) chỉ ra rằng nghiệm xuất phát từ Gb đi vào Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ đến Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề (2.10) và (2.11) cũng chỉ ra rằng nghiệm xuất phát từ Gc đi vào Ga(0, T ) ∪Gd(T, 1) trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ đến Pˆ khi t → ∞. Cuối cùng từ mệnh đề (2.12) và (2.13), nghiệm xuất phát từ Gd(T, 1)∩G và Gd(0, T )∩G đi vào tập Ga(0, T )∪Gd(T, 1)∪Gb ∪Gc trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. 60 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Ý nghĩa của các Định lý. Sự chênh lệch về tỷ lệ vốn - lao động giữa hai vùng là một nguyên nhân gây ra hiện tượng nguồn lực lao động luân chuyển qua lại giữa hai vùng. Nhưng ngoài nguyên nhân này còn có các nguyên nhân khác. Sự sai khác về lượng lao động trong cả quá trình hoặc trong các thời điểm cụ thể (các thời vụ) là một trong các nguyên nhân còn lại. Nó được gọi là sự khuếch tán lao động. Khuếch tán lao động không có vai trò cố định mang tính quyết định như di cư lao động nhưng lại có vai trò điều tiết nào đó mà khi thiếu nó thì mô hình không thể có sự cân bằng thực sự (cân bằng dương). Thiếu nó, về lâu về dài tất yếu sẽ đưa hệ thống về tình trạng cạn kiệt lượng lao động ở vùng nông thôn. 61 Kết luận Luận văn đã trình bày tóm tắt khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân, một số phương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định và giới thiệu một số mô hình kinh tế được mô tả bởi các phương trình vi phân, sai phân. Luận văn chủ yếu tập trung vào việc xây dựng mô hình di cư lao động giữa hai vùng (nông thôn - thành thị) và khảo sát tính ổn định của mô hình này. Tính ổn định của mô hình được khảo sát một cách trực tiếp, bằng cách chia tập xác định của hệ phương trình vi phân xác định bởi mô hình di cư lao động trên thành từng miền nhỏ hơn và khảo sát tính ổn định của hệ trong từng miền nhỏ này. Luận văn đã chỉ ra được về tính không tồn tại điểm cân bằng dương của hệ phương trình vi phân trên khi hệ số khuếch tán lao động bằng không, và có sự ổn định của điểm cân bằng dương khi hệ số khuếch tán lao động dương. Từ đó rút ra được vai trò của sự khuếch tán lao động, nếu thiếu nó về lâu dài sẽ dẫn tới sự cạn kiệt lao động ở vùng nông thôn. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ nên còn điểm hạn chế: - Chưa đề cập nhiều đến mô hình kinh tế dạng sai phân (luận văn chỉ giới thiệu qua về mô hình kinh tế Harod-Doma được mô tả bởi phương trình sai phân) - Chưa đưa ra được những ứng dụng trực tiếp đối với nền kinh tế Việt Nam. Luận văn có thể được phát triển tiếp theo các hướng khác nhau như đa dạng hóa hàm sản xuất hoặc đưa vào hệ thống có các tác nhân điều khiển. Nghiên cứu ứng dụng với đặc điểm kinh tế, chính trị và xã hội của Việt nam. 62 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở Phương trình vi phân và Lý thuyết ổn định , NXB Giáo Dục, Hà nội. [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, Hà nội. [3] Lê Đình Thúy (2007),Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐH Kinh tế Quốc Dân, Hà nội. [4] T. T. Anh and T. V. Nhung (1997), Three species competition in periodic environment, ACTA Math Vietnam , 22, PP.395-405. [5] N. S. Bay, N. T. Hoan and N. M. Man (2008), On the Asymp- totic Equilibrium and Asymptotic Equivalence of Differential Equations in Banach spacaes, Ucrainian Mathematical journal, Volume 60, PP.626 - 635. [6] N.H. Du, T.T. Trung (2007), Dynamics of predator-prey population with modified leslie gower and holling type II schemes, ACTA Math Vietnam, 32(1), PP.99-111. [7] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh (2006), Stabily radii for linear time - varying differential-algebraic equations with respect to dynamic pertubations, Diff. Eq., 230, PP.579-599. [8] Vu N. Phat, Do Q. Vinh and Nguyen S. Bay (2008), L2-stability and H∞-control for linear non-autonomous time-delay systems in Hilbert 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO spaces via Riccati equations, Inter. Publ. (USA), Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Volume 11(2), PP.75 - 86. [9] Freedman H. I.(1980 ), Deterministic Mathematical Models in Population Ecology, Marcel Dekker, New York. [10] Jensen B. S.(1994), The Dynamic Systems of basic Economic Growth Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [11] Li Y., M., Zhu Y.(2009), The cntrol and the reconfigurable control for prey - predator ecosystem with time delay, Applied Mathematical Modelling, 33, PP.148-160. [12] Qian W., Meng F., Ke W.(2003), Dynamics of a class of nonautonomous semi - ratio - dependent predator-prey systems with functional respones, Math. Anal. Appl.,, 278, PP.443-471. [13] Solomonovich M., Freedman H. I., Schilizzi S. G. M., Belostotski L.(1998), Stability and bifurcations in an Environmental recovery Model of Economic Agriculture - Industry interactions, Natural Resource Modeling , Vollume 11, (1). [14] Takagi I., Tabata M., Hiroyama T., Yagi A.( 1995), An Economic analysis of urbanization process: The system of nonlinear ordinary differ- entialequations, Res. Inst. Gen. Edu. Kyushu Tokai Univ., 7, PP.39-44. [15] Takeuchi Y.(2000), Global Dynamical properties of Lotka-Volltera sys- tems, World Scientific. [16] Yutaka N. K., Kohzaburo O., and Atsushi Y.(1997), Global Stability of Economic Growth Model with the Labor Mobility, Funfcialaj Ekvacioj, 40, PP.93-212. 64