Luận văn Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Mà SỐ : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC Trang Mở đầu.............................................................................................................. ...1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................5 1.1. Miền xấp xỉ.....................................................................................5 1.2. Tập đa cực.......................................................................................9 1.3. Hàm cực trị tương đối.....................................................................9 1.4. Độ đo đa điều hoà dưới.................................................................10 1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.................................................................11 1.6. Tính chất thác triển Hartogs..........................................................14 1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình......................................................................................15 Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến.....................................................................................................................17 2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp , A D B G ................................................................................17 2.2 Bài toán 1 trong trường hợp ,   A D B G .............................23 2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát..........................................36 2.4. Bài toán 2......................................................................................51 2.5. Một số áp dụng............................................................................ 55 Kết luận .............................................................................................................58 Tài liệu tham khảo............................................................................................59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein ... Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau: Bài toán 1: Cho ,X Y là hai đa tạp phức, giả sử D ( tương ứng G ) là một tập con mở của X (tương ứng Y ), A (tương ứng B ) là một tập con của D (tương ứng G ) và Z là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ thập như sau: : (( ) ) ( ( )).  W D A B A G BÈ È È Bao chỉnh hình của chữ thập W là một tập con mở ''tối ưu'' của X Y ký hiệu là W được đặc trưng bởi các tính chất sau: Với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn ( , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ) ( , ), ,   f a G B Z G Z a A f b D A Z D Z b B Î È Ç Î Î È Ç Î C O C O thì tồn tại một ánh xạ  ( , )f W ZÎ O sao cho với mọi ( ) ,WÎz,h ( , )f z w dần tới ( , )f z h khi ( , )z w WÎ dần tới ( )z,h . Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký hiệu sau: Cho , , , , ,X Y D G A B và Z và W như trong bài toán 1.Giả sử ,M W tập hợp  : : ( , ) , ,aM w G a w M a AÎ Î Î được gọi là thớ thẳng đứng của M trên a (tương ứng  : : ( , ) , ,bM z D z b M b BÎ Î Î được gọi là thớ nằm ngang của M trên b ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Ta nói rằng M có tính chất nào đó trong các thớ trên A (tương ứng B ) nếu tất cả các thớ thẳng đứng , ,aM a AÎ (tương ứng tất cả các thớ nằm ngang , ,bM b BÎ ) có tính chất này. Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu W là bao chỉnh hình của W được đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con M W đa cực địa phương đóng tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên A và B (có thể M Æ ) thì tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị  M W là đa cực địa phương đóng tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối) được đặc trưng bởi các tính chất sau. Với mọi ánh xạ : f W Z thoả mãn ( , ) (( ) , ) ( , ), , ( , ) (( ) , ) ( , ), ,   a a b b f a G B \ M Z G \ M Z a A f b D A \ Z D \ Z b B Î È Ç Î Î È Ç Î C O C thì tồn tại ánh xạ   ( \ , )f W M ZÎ O sao cho với mọi ( ) ,W \ MÎz,h ( )f z w dần tới ( , )f z h khi  ( , ) \z w W MÎ dần tới ( )z,h . Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải quyết bài toán 1 trong trường hợp , , , ,       n mX Y A D B G Z và kết quả là   W D G . Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp , , ,      A D B G X Y Z . Các bước nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong không gian giải tích phức (xem [33]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp ,  A D B G và ,X Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình W được cho bởi    : ( , ) ) : ( , , ) ( , , ) 1  W z w D G z A D w B GÎ <w w , trong đó ( , , ) A Dw và ( , , ) B Gw là các hàm độ đo đa điều hoà dưới. Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem [24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu này. Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp ,X Y là các đa tạp tuỳ ý. Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà dưới, định lý chữ thập hỗn hợp. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp tổng quát của bài toán 1và bài toán 2. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em trong suốt khoá học. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con S của không gian tôpô M , ký hiệu S là bao đóng của S trong M . Với hai không gian giải tích phức (tương ứng, hai không gian tôpô) D và Z , ( , )D ZO ( tương ứng ( , )D ZC ) là ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z . 1.1. Miền xấp xỉ 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức và D X là một tập con mở. Một hệ các miền xấp xỉ của D là một tập hợp , ( ( )) (     D I IA= A z a zz a z với mọi DÎz ) các tập con mở của D có các tính chất sau: (i) Với mọi DÎz , hệ ( ( )) IA za az tạo nên một cơ sở các lân cận mở của z (tức là với mỗi lân cận mở U của một điểm DÎz tồn tại Î I za sao cho ( )AÎ Uaz z ). (ii) Với mọi DÎz và za IÎ , ( )AÎ az z . ( )Aa z thường được gọi là một miền xấp xỉ tại z . Hơn nữa A được gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất sau (mạnh hơn (ii)). (ii') Với mọi điểm Î Dz tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở ( ) IU za a của z trong X sao cho ( ) , .A Ç ÎU D Ia a zz a Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo. Các hệ của các miền xấp xỉ của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 D được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong D của các ánh xạ xác định trên một số tập con mở của D . Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1 suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con ,( ( ))  D IA za z az không phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ A . Vì vậy hai hệ chính tắc của các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau: Với mỗi tập mở D X chúng ta cố định một hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ A của một tập mở D X ta chỉ cần chỉ rõ họ con ,( ( ))  D IA za z az . Nếu ta cố định một tập con mở D X và một hệ các miền xấp xỉ , ( ( ))    D I A= A z a z a z của D thì với mỗi hàm  : ,  u D định nghĩa , ( ), ( limsup )( ) : sup limsup ( ) , I     z w z w z u z u w z D A A Î aa Từ định nghĩa 1.1.1(i), ( limsup ) DuA | trùng với khái niệm hàm chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của .u 1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức. Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó. 1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1 (i)-(ii'). 1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở Cho E là một đĩa đơn vị mở của  . Đặt ( ) : : arg , ,0 , 2             t t E EA Î < Î < <a z z a z a z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Trong đó ( , ]  C arg : là hàm argument thông thường. ,0 2 ( ( ))   a z a z E < < A là hệ các miền xấp xỉ góc( hoặc Stolz) của E . Trong trường hợp này A -giới hạn cũng được gọi là giới hạn góc. 1.1.2.3. Hệ các miền xấp xỉ góc của các tập con mở "tốt" của các diện Riemann. Chúng ta sẽ khái quát việc xây dựng (cho đĩa đơn vị mở) trong trường hợp tổng quát. Đặc biệt hơn, chúng ta sẽ sử dụng mô hình có tính địa phương hệ các miền xấp xỉ góc của E . Cho X là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khác X là diện Riemann) và D X là một tập mở, khi đó D được gọi là tốt tại một điểm Dz Î nếu tồn tại một miền Jordan U X sao cho Î Uz và U DÇ là phần trong của một cung Jordan. Giả sử D được gọi là tốt tại z , điểm này được gọi là kiểu 1 nếu tồn tại một lân cận V của z sao cho 0 V V DÇ là một miền Jordan. Nếu không tồn tại lân cận V như vậy thì z được gọi là kiểu 2. Dễ dàng nhận thấy nếu z là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở V của z và hai miền Jordan rời nhau 1 2,V V sao cho 1 2V D V VÇ È . Hơn nữa D được gọi là tốt trên một tập con A của D nếu D là tốt tại tất cả các điểm của A . Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa trên. Cho G là hình vuông mở trong  với các đỉnh là 1 , 1 , 1 ,    i i i 1 i . Định nghĩa miền 1 1 : , 2 2        D G \ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Khi đó D là tốt trên 1 1 , 2 2        G È , tất cả các điểm của G là kiểu 1 và tất cả các điểm của 1 1 , 2 2       là kiểu 2. Giả sử D là tốt trên một tập con khác rỗng A của D . Ta định nghĩa hệ các miền xấp xỉ góc giá trên A : , ( ( ))    z a z a z D I A A như sau: • Nếu Î D Az \ thì ( ( ))  za az IA trùng với các miền xấp xỉ chính tắc. • Nếu Î Az thì bằng cách sử dụng ánh xạ bảo giác  từ 0V (tương ứng 1 2,V V ) tới E khi z là kiểu 1(tương ứng kiểu 2), ta có thể ''chuyển" các miền xấp xỉ góc tại điểm 0 2 ( ) : ( ( ( )))   A < < Î E a a z z tới điểm Î Dz (xem [28]). Bằng cách sử dụng các ánh xạ bảo giác theo con đường cổ điển ta có thể chuyển nhiều khái niệm tồn tại trên E (tương ứng E ) tới D (tương ứng D ). 1.1.2.4. Hệ các miền xấp xỉ nón Cho   nD là một miền và A D . Giả sử với mọi điểm Î Az thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực) Tz của D tại z . Ta định nghĩa hệ các miền xấp xỉ nón giá trên A : , ( ( ))    z a z a z D I A A như sau: • Nếu D \ AÎz thì ( ( ))  za az IA trùng với các miền xấp xỉ chính tắc. • Nếu Î Az thì  ( ) : : . ( , ) ,T z D z zA distÎ <a zz z a trong đó : (1, ) I z và ( , )Tz zdist là ký hiệu khoảng cách Euclid từ điểm z tới Tz . Ta có thể khái quát việc xây dựng hệ các miền xấp xỉ nón giá trênA trong trường hợp tổng quát: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 X là một đa tạp phức tuỳ ý, D X là một tập mở và A D là một tập con với tính chất: tại mọi điểm Î Az thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực) Tz của D . Ta cũng có thể xây dựng các khái niệm các điểm kiểu 1 hoặc các điểm kiểu 2 trong trường hợp tổng quát bằng cách tương tự như trong phần 1.1.2.3. 1.2. Tập đa cực Cho X là một đa tạp phức, D X là một tập con mở, ký hiệu ( )DP SH là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên D . Khi đó + A D được gọi là mỏng trong D nếu mọi điểm a DÎ , tồn tại lân cận liên thông  aU U D và một hàm chỉnh hình f trên D không đồng nhất bằng không sao cho 1(0)U A fÇ . + A D được gọi là đa cực trong D nếu có ( )P SHÎu D sao cho u không đồng nhất bằng  trên mọi thành phần liên thông của D và  : ( )  ÎA z D u z . + A D được gọi là đa cực địa phương trong D nếu với mỗi Îz A có một lân cận mở V D của z sao cho A VÇ là đa cực trong V . + A được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương) nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương). Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4]) ta thấy nếu D là một miền Riemann- Stein thì A D là đa cực địa phương nếu và chỉ nếu nó là đa cực. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối Với một tập A D đặt  , : sup : ( ), 1 trong , - limsup 0 trong ,  A Dh u u D u D u APSH AÎ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Định nghĩa 1.3.1. Với một tập A D hàm cực trị tương đối của A đối với D là hàm ( , , )w A D được xác định bởi ,( , , ) ( , , ) : ( limsup )( ), .   A Dz A D z A D h z z DA A Îw w Chú ý rằng khi A D định nghĩa trên trùng với định nghĩa cổ điển về hàm cực trị tương đối của Siciak. Khi D là đa tạp phức 1 chiều và A là hệ chính tắc thì hàm ( , , )w A D thường được gọi là hàm độ đo điều hoà của A tương đối với D . Định nghĩa 1.3.2. + Một tập A D là đa chính quy địa phương tại một điểm a AÎ nếu ( , , ) 0w a A U D UÇ Ç với mọi lân cận mở U của a . + Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy địa phương tại mọi điểm Îa A . Ta ký hiệu A là tập hợp sau ( ) : Ç È Î ÇA D a A D A là đa chính quy địa phương tại a . Nếu A D không đa cực địa phương thì một kết quả cổ điển của Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra rằng A là đa chính quy địa phương và A A\ là đa cực địa phương. Hơn nữa A là địa phương kiểu G ( nghĩa là với mỗi Îa A có một lân cận mở U D của a thoả mãn A UÇ là giao đếm được của các tập mở ). 1.4. Độ đo đa điều hoà dƣới Với một tập A D , đặt   ( ) ( )     P A A A PA trong đó ( ) ( , ) : :   A A P DA { là đa chính quy địa phương, P A } , Hàm độ đo đa điều hoà dưới của A đối với D là hàm ( , , )w A D được định nghĩa bởi : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11  ( , , ) : ( , , ), z A D z A D z DÎw w . Suy ra ( , , ) ( ) P SHÎA D Dw và 0 ( , , ) 1,   Îz A D z Dw . Hơn nữa  ( limsup ( , , ))( ) 0,   A ÎA D z z Aw . (1.1) Alehyane và Zeriahi đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ rằng (xem [3])  ( , , ) ( , , ) w wz A D z A D trên D . Ta sẽ so sánh hàm độ đo đa điều hoà dưới ( , , )w A D với hàm cực trị tương đối của Siciak ( , , )w A D trong hai trường hợp đặc biệt quan trọng: A D và , A D trong phần này ta chỉ thảo luận trường hợp A D còn trường hợp A D sẽ thảo luận ở phần 2.2 và 2.5. Nếu A là một tập con mở của một đa tạp phức tuỳ ý D , thì dễ thấy ( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dw w . Nếu A là một tập con (không nhất thiết là mở) của một đa tạp phức tuỳ ý D thì ta chứng minh được rằng (xem bổ đề 7.1 trong [22]) ( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dw w . Mặt khác nếu D là một tập con mở bị chặn của  n thì ta có (xem ví dụ, bổ đề 3.5.3 trong [13]) ( , , ) ( , , ),  z A D z A D z Dw w . Từ đó dưới giả thiết ( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dw w chúng ta có thể kết luận ít nhất trong trường hợp A D khái niệm độ đo đa điều hoà dưới là công cụ tốt với hàm cực trị tương đối Siciak tổng quát đối với các đa tạp phức trong lý thuyết chỉnh hình tách. 1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách 1.5.1. Chữ thập 2- lá Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Cho ,X Y là hai đa tạp phức, D X và G Y là các tập mở khác rỗng, cho , A D B G . Hơn nữa D (tương ứng G ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ , ( ) ( ( ))    D I D z a z a zA A (tương ứng , ( ) ( ( ))    G I G h a h a hA A ). Ta định nghĩa chữ thập 2- lá W , phần trong W o và phần chính quy W (tương ứng với ( )DA và ( )GA ) như sau:       ( , ; , ) : (( ) ) ( ( )), ( , ; , ) : ( ) ( ), ( , ; , ) : (( ) ) ( ( )),             W A B D G D A B A B G W A B D G A G D B W A B D G D A B A G B o o X X X È È È È È È È trong đó A và B được định nghĩa trong định nghĩa độ đo đa điều hoà dưới. Hơn nữa đặt    ( , ) : ( , , ) ( , , ), ( , ) , ( , ) : ( , , ) ( , , ), ( , ) .       z w z A D w B G z w D G z w z A w B z w Î Î w w w w w w với chữ thập 2-lá : ( , ; , )W A B D GX định nghĩa           : ( , ; , ) ( , ) : ( , ) 1 , : ( , ; , ) ( , ) : ( , ) 1 .       W A B D G z w D G z w W A B D G z w D G z w X X Î < Î < w w 1.5.2. Ánh xạ chỉnh hình tách Cho Z là không gian giải tích phức và M W là một tập con đóng tương đối trong các thớ trên A và B . Ta nói rằng một ánh xạ 0: f W M Z\ là chỉnh hình tách và viết là 0( , )OÎ Sf W M Z\ nếu với mỗi a AÎ ( tương ứng Îb B ) ánh xạ ( , ) aG M f a | \ (tương ứng ( , ) D  bMf b | \ ) là chỉnh hình. Ánh xạ : f W M Z\ là liên tục tách và viết là ( , )sCÎf W M Z\ nếu với mỗi a AÎ (tương ứng Îb B ) ánh xạ ( )( , ) G È| aB Mf a \ (tương ứng ( ) ( , ) D A  È | bMf b \ ) là liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Cho W là một tập con mở của D G , một điểm ( , ) Î D Gz h được gọi là một điểm cuối của W tương ứng với ( ) ( ) D GA= A A nếu với mỗi ( , ) Î I Iz ha b tồn tại các lân cận mở U của z trong X và V của h trong Y sao cho ( ( )) ( ( )) U Va bz hA AÇ Ç W Tập tất cả các điểm cuối của W ký hiệu là End( W ). Từ (1.1) ta suy ra nếu  , A B thì  End( ).W W 1.5.3. A - giới hạn Cho S là một tập con đóng tương đối của W và ( , ) End( )Î W Sz h \ . Khi đó một ánh xạ : f W S Z\ được gọi là nhậnA - giới hạn l tại ( , )z h và ký hiệu là ( lim )( , ) A f z h l , nếu với mọi , ,IÎ Î Iz ha b ta có  ( , ) ( , ), ( ), ( ) lim ( , . W S       A Az w z w f z w) z h z h l \ Cho M là một không gian tô pô + Một ánh xạ : f ZM được gọi là bị chặn nếu tồn tại một lân cận mở U của ( )f M trong Z và một phép nhúng chỉnh hình f của U trong đa đĩa đơn vị của k sao cho ( ) U là tập giải tích trong đa đĩa này. + f được gọi là bị chặn địa phương dọc theo N M nếu với mỗi điểm NÎz có một lân cận mở U của z ( trong M ) thoả mãn : Uf U Z| bị chặn. + f được gọi là bị chặn địa phương nếu nó bị chặn với N= M . Hiển nhiên nếu  Z thì các khái niệm bị chặn ở trên trùng với khái niệm bị chặn thông thường. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 1.6. Tính chất thác triển Hartogs Xét ánh xạ 2 1: f P được cho bởi 2 2( ) : ( ) , ( , ) (0,0), ( , ) : 1:1 , ( ) (0,0).        z w z w z w f z w z [ ] [ ] , thì 0 1( ( , ; , ), )s    X POÎf nhưng f không liên tục tại (0,0). Định nghĩa 1.6.1. Cho số nguyên 2p , với 0 1r< < tập hợp  ( ) : ( , ) : 1 ,E pp p pH r z z z r z r¢ ¢Î ½½½½ được gọi là lược đồ Hartogs p chiều. Trong đó E là đĩa đơn vị mở của  và 1 1 1 1 ( ,..., ), max .     p j j p z z z z z¢ ¢½½½½: Định nghĩa 1.6.2. Không gian giải tích phức Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs với chiều p nếu mọi ánh xạ ( ( ), )OÎ pf H r Z đều thác triển tới ánh xạ  ( , )OÎ pf E Z . Hơn nữa, Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu nó có tính chất thác triển Hartogs với mọi chiều 2p . Ivashkovich đã chứng minh được nếu Z có tính chất thác triển Hartogs trong chiều 2 thì nó sẽ đúng với mọi chiều 2p (xem[12]). Shiffman (xem [33]) đã chứng minh được một đặc trưng quan trọng của không gian có tính chất thác triển Hartogs như sau: Định lý 1.6.3 (Shiffman). Không gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu với mọi miền D của đa tạp Stein M , mọi ánh xạ ( , )OÎf D Z đều thác triển được thành ánh xạ  ( , )OÎf D Z , trong đó D là bao chỉnh hình của D . Alehyane và Zeriahi đã giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp ,  A D B G và ,X Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Cụ thể ta có định lý sau: hoặc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Định lý 1.6.4 (Alehyane - Zeriahi ). Cho ,X Y là các đa tạp Stein, và , D X G Y là các miền, , A D B G là các tập con không đa cực. Cho Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z như trong giả thiết của bài toán 1 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất  ( , )f W ZOÎ sao cho  f f trên W WÇ . Định lý 1.6.4 vẫn đúng với chữ thập N- lá ( 2N ). Sau đó Gonchar đã chứng minh được một kết quả tổng quát hơn các kết quả trước đó của bài toán 1, đó là: D và G là các miền Jordan trong , A ( tương ứng )B là một tập con mở của D (tương ứng ),G và . Z Ta có định lý. Định lý 1.6.5( Gonchar). Cho   X Y , và , D X G Y là các miền Jordan, và A ( tương ứng B) là một tập mở khác rỗng của D (tương ứng .G) Khi đó với mỗi hàm ( , )f WCÎ thoả mãn giả thiết của bài toán 1 với  Z thì tồn tại một hàm duy nhất   ( , ) ( , ) f W W WC OÎ È Ç sao cho  f f trên W . Trong đó   : ( , ) : ( , , ) ( , , ) 1 ,  W z w D G z A D w B GÎ <w w và ( , , ) A Dw và ( , , ) B Gw là các hàm độ đo điều hoà. 1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Lý thuyết Poletsky về các đĩa được phát minh bởi Poletsky (xem [30,31]) vào cuối những năm 1980. Nguyễn Việt Anh đã đưa ra một cách tiếp cận mới tới lý thuyết chỉnh hình tách dựa trên lý thuyết Poletsky về các đĩa. Chúng tôi sẽ trình bày lại một số nội dung trong lý thuyết này. Ký hiệu E là đĩa đơn vị mở trong  . Với một đa tạp phức M , ký hiệu ( , )O ME là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình : MEf có tính chất Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 thác triển chỉnh hình trong một lân cận cuả E . Ánh xạ f như vậy được gọi là đĩa chỉnh hình trên M . Hơn nữa, với một tập con A của M , đặt , 1, , 1 ( ) : 0, . A A A     z z z M M Î Î \ Rosay đã chứng minh được một kết quả đáng chú ý sau Định lý 1.7.1( Định ký Rosay [32]). Giả sử u là một hàm nửa liên tục trên trên đa tạp phức M . Khi đó phiếm hàm Poisson của u định nghĩa bởi 2 0 1 ( ) : inf ( ( )) : ( , ), (0) 2 e d            iu z u E zP O M[ ] Îf f f , là đa điều hoà dưới trên M . Định lý của Rosay mở ra một sự phát triển quan trọng trong lý thuyết Poletsky về các đĩa. Các trường hợp đặc biệt của định lý đã được xét đến trong các công trình nghiên cứu của Poletsky, La'ransson-Sigurdsson và Edigarian. Bổ đề 1.7.2. Nếu T là một tập con mở của E , thì 2 , 0 1 (0, , ) 1 ( ) . 2 e d     Ç i E T TT E E \w Kết quả sau đây là một hệ quả quan trọng của định lý Rosay nêu lên mối liên hệ giữa phiếm hàm Poisson và độ đo đa điều hoà dưới. Bổ đề 1.7.3. Nếu M là một đa tạp phức và A là một tập con mở khác rỗng của M khi đó ,( , , ) 1 ( ),  M MM P M .[ ] ÎAz A z zw \ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu xung quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong các trường hợp đặc biệt và trường hợp tổng quát với ,X Y là các đa tạp phức tuỳ ý, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. 2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trƣờng hợp A D , B G . Chúng tôi sẽ đưa ra những áp dụng đầu tiên của lý thuyết Poletsky trên các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Chú ý rằng dưới giả thiết A D , B G và các định nghĩa về chữ thập 2- lá W , phần trong W o và phần chính quy W ở phần 1.5 ta có W W o và  W W W WÇ Ç. Từ   W D G khái niệmA -giới hạn tại một điểm của W trùng với khái niệm giới hạn thông thường nghĩa là A là hệ chính tắc. Hơn nữa ta có thể thấy rằng \W W là tập con đa cực địa phương của D G . Vì thế theo quan điểm của lý thuyết đa thế vị thì W WÇ "gần như" bằng với W . Định lý sau là một dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriahi. Định lý 2.1(Nguyễn Việt Anh). Cho ,X Y là các đa tạp phức tuỳ ý, D X và G Y là các tập mở và , A D B G là các tập con không đa cực địa phương. Cho Z là một không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ  ,oÎ OSf W Z tồn tại một ánh xạ duy nhất   , Î Of W Z sao cho  f f trên W W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Trong giả thiết của định lý trên Nguyễn Việt Anh đã bỏ đi các giả thiết giả lồi của các không gian nguồn ,X Y trong định lý 1.6.4. Tức là X và Y có thể là các đa tạp phức tuỳ ý. Để chứng minh định lý này Nguyễn Việt Anh đã sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay . Chứng minh của định lý được chia làm bốn bước, trong bước 3 và bước 4 có sử dụng một số kết quả trong công trình chung của Nguyễn Việt Anh với Pflug (xem[ 27]). Chứng minh: Bước 1: Trường hợp D là một đa tạp phức tuỳ ý, A là tập con mở của D và G là tập con mở bị chặn của n . Sơ lược chứng minh bước 1: Ta xác định f như sau Giả sử W= là tập tất cả các điểm ( , ) Îz w D G với tính chất tồn tại một đĩa chỉnh hình ( , )E DOÎf và t EÎ sao cho ( ) t zf và  1( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXt w A E B E G. Theo định lý 1.6.4 thì ff là ánh xạ duy nhất trong  1( ( ( ) , ; , ), )E E A B G Zf ÇXO thoả mãn  ( , ) ( ( ), )f t w f t wf f (2.1) với 1 1( , ) ( ( ) , ; , ) ( ( ) , ; , ) f fÎ Ç Ç ÇX Xt w A E B E G A E B E G . Khi đó ta định nghĩa ánh xạ thác triển f như sau  ( , ) : ( , )f z w f t wf (2.2) Sử dụng tính duy nhất của định lý 1.6.4 ta có thể chứng minh ¦ hoàn toàn xác định trên W . Từ bổ đề 1.7.2 và bổ đề 1.7.3 suy ra WW= . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Hơn nữa từ cách xây dựng ¦ , cố định mọi Îz D , ánh xạ thu hẹp ( ,.)f z là chỉnh hình trên một tập mở  : ( , )Î Îw G z w W . Tuy nhiên là rất khó để chỉ ra f chỉnh hình đối với cả hai biến ( , )z w . Một chứng minh đầy đủ của kết luận này được đưa ra trong định lý 4.1 trong [21]. Ở đây chúng ta chỉ giải thích ngắn gọn tại sao f chỉnh hình trong một lân cận của một điểm cố định tuỳ ý  0 0( , )z w WÎ . Với mục đích này ta "thêm" một chiều phức của một lân cận phù hợp của 0 0( , )z w để chữ thập 2- lá ban đầu thành chữ thập 3- lá. Cuối cùng ta áp dụng định lý 1.6.4 với chữ thập 3 lá để hoàn thành chứng minh. Bước 2: Trường hợp D , G là các đa tạp phức tuỳ ý nhưng , A D B G là các tập con mở. Sơ lược chứng minh bước 2: Theo giả thiết ở bước 2 ta có  W W và  = W W W WÇ . ta sẽ tìm giá trị của f tại một điểm tuỳ ý cố định  0 0( , ) Îz w W . Với 0 > bất kỳ thoả mãn 0 02 1 , , ) ( , , )  z A D w B Gw w< ( (2.3) áp dụng định lý Rosay và bổ đề 1.7.3 có một đĩa chỉnh hình ( , ) E Df O (tương ứng ( , )y Î O E G ) sao cho 0(0)  zf (tương ứng 0(0) = )wy và 2 2 \ 0 \ 0 0 0 1 1 1 ( ( )) , , ) , 1 ( ( )) , , ) 2 2 i ie d e d              D A G Bz A D w B Gf w y w Sử dụng kết quả này và ước lượng (2.3) và bổ đề 1.7.2 ta có  1 1(0,0) ( ( ) , ( ) ; , ) X A E B E E Ef yÎ Ç Ç Hơn nữa từ  ,o¦ Î OS W Z , ta có ánh xạ h cho bởi ( , ) : ( ( ), ( ))h t f tt f y t , 1 1( , ( ( ) , ( ) ; , ) f yÎ Ç ÇXt A E B E E E thuộc vào 1 1( ( ( ) , ( ) ; , ), ) XOs A E B E E E Zf yÇ Ç Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 từ định lý 1.6.4 ta có   1 1( ( ( ) , ( ) ; , ), ) h A E B E E E ZO XÎ Ç Çf y là ánh xạ duy nhất sao cho  1 1( , ) ( , ) ( ( ), ( )), ( , ) ( ( ) , ( ) ; , )  h t h t t t A E B E E EXÎ Ç Çt t ¦ f y t t f y . Ta có   0 0 0 0(0,0) (0,0) ( (0), (0)) ( , ) = ( , )   h h f f z w f z wf y suy ra    0 0 0 0( , ) (0,0), ( , ) Îf z w h z w W . Từ đó dễ dàng chỉ ra ƒ hoàn toàn xác định trên W . Sau đây chúng tôi giải thích tại sao   ,Oƒ W ZÎ , nếu ta cố định f và cho y thay đổi (hoặc ngược lại cho y cố định còn f thay đổi) trong xây dựng ở trên sau đó ta thực hiện tương tự như (2.1) và (2.2) và áp dụng kết quả của bước 1 hai lần ta có kết luận: với mọi  0 0( , ) Îz w W thì  0( , )f z là hàm chỉnh hình trong  0: ( , )Î Îw G z w W (tương ứng  0( , )f w là hàm chỉnh hình trong  0: ( , )Î Îz D z w W . Áp dụng định lý thác triển Hartogs cổ điển ta có   ,f W ZOÎ . Để tiếp tục chứng minh ta cần giới thiệu một số ký hiệu . Không mất tính chất tổng quát giả sử D và G là các miền có số chiều lần lượt là m , n . Với mỗi a AÎ ( tương ứng b BÎ ),cố định một lân cận mở aU của a (tương ứng bV của b ) sao cho aU (tương ứng bV ) là song chỉnh hình tới một miền bị chặn trong  m (tương ứng n ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Với mỗi 1 0 2  < định nghĩa         , , , , : : ( , , ) , , : : ( , , ) , : , : , : : ( , , ) , : : ( , , ) . A A B                           a a a a b b b b a b a b U z U z A U U a A A V w V w B V V b B B A U B V D z D z A D G w G w B G Ç Ç Î Ç < Î Ç Î Ç < Î Ç Î < 1- Î < 1- B w w w w (2.4) Chú ý rằng ,aU (tương ứng ,bV ) là một lân cận mở của a (tương ứng b). Hơn nữa ta có ( , ; , )  A A B B D G W WX Ç Ç Ç. Bước 3: Trường hợp G là một tập con mở bị chặn trong n . Sơ lược chứng minh bước 3. Chúng tôi chỉ mô tả cách xây dựng f . Với mỗi Î Ça A A cho ( , ; , ): a aa A U B U Gf f X ǽ , từ  ,osÎ Of W Z suy ra ( ( , ; , ), )s a aÎ ÇXOaf A U B U G Z . Vì aU (tương ứng bV ) là song chỉnh hình tới một tập mở bị chặn trong  m (tương ứng  n ) nên áp dụng định lý 1.6.4 cho af thì có một ánh xạ duy nhất  ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho  ( , ) ( , ) ( , ), a af z w f z w f z w( , ) ( , ; , )  Î Ç Ç ÇX a az w A A U B B U G (2.5) Cho 1 0 2  < , từ (2.4) và (2.5) ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) a G   a U a A A f Ç | được ánh xạ dán  ( , )  Î Of A G Z (2.6) Từ (2.5) và (2.6) ta xác định được ánh xạ mới f d trên ( , ; , )  A B B D GX Ç như sau:   , : , ( ).           f A G f f D B BÇ , trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 sử dụng kết quả này và (2.5), (2.6) ta có  ( ( , ; , ), )S  Î ÇXf Of A B B D G Z , và   f f trên ( , ; , )  A A B B D GX Ç Ç . Vì A là một tập con mở của đa tạp phức D và G là song chỉnh hình tới tập mở bị chặn trong  n nên áp dụng bước 1 cho  f để có được ánh xạ  ( ( , ; , ), )   Î ÇXf Of A B B D G Z sao cho    f f trên ( , ; , )  A B B D GX Ç . Dán họ ánh xạ  1 0 2 ( )    f < lại với nhau để được f như sau:   0 : lim   f f trên W . Thực ra đẳng thức   1 0 2 ( , ; , )     XfW A B B D G < < Ç có được từ (2.4). Bước 4: Hoàn thành chứng minh định lý. Sơ lược chứng minh bước 4. Với mỗi Î Ça A A cho ( , ; , ): a aa A U B U Gf f X ǽ , từ  ,sÎ Of W Zo suy ra ( ( , ; , ), )s XOa a af A U B U G ZÎ Ç . Do aU là song chỉnh hình tới một tập mở bị chặn trong  m nên áp dụng bước 3 cho af thì có một ánh xạ  ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho  ( , ) ( , ),af z w f z w( ) ( , ; , )   a az w A A U B B U GX Ç Ç Ç (2.7) Cho 1 0 2  < , từ (2.7) ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) aU G A A   a a f Ç | được ánh xạ  ( , )  Of A G Z¢ Î . Tương tự, với mỗi b B BÎ Ç có một ánh xạ  ( ( , ; , ), )Î ÇXOb b bf A B V D V Z sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23  ( , ) ( , ),bf z w f z w ( , ) ( , ; , ) Î Ç Ç ÇX b bz w A A B B V D V (2.8) Hơn nữa ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) b   b D V b B B f Ç ½ để có được ánh xạ  ( , )  Of D B Z¢¢ Î . Từ (2.4), (2.7) và (2.8) suy ra    f ¢ ¢¢ ¦ trên  A B . Sử dụng kết quả này ta có thể định nghĩa ánh xạ mới  ¦ : ( , ; , )    A B D G ZX như sau    , , : , .              A G D B ¢ ¢¢ ¦ ¦ ¦ sử dụng công thức trên ta có thể kiểm tra  ( ( , ; , ), )S    ¦ Î Xf O A B D G Z . Từ (2.4) ta có A (tương ứng B ) là một tập con mở của Df (tương ứng Gf ) nên áp dụng bước 2 cho  ¦ với mỗi 1 0 2  < ta được một ánh xạ  ( ( , ; , ), )    ¦ Î Xf O A B D G Z sao cho    ¦ ¦ trên ( , ; , )   A B D GX . Ta có thể định nghĩa ánh xạ thác triển f .   0 : lim  ¦ ¦ trên W . Thực ra đẳng thức   1 0 2 ( , ; , )      W A B D Gf X < < có được từ (2.4). 2.2. Bài toán 1 trong trƣờng hợp ,   A D B G . Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai trường hợp riêng của bài toán 1 với mục đích sử dụng hai hệ các miền xấp xỉ khác nhau được định trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 nghĩa trong phần 1.1.2. Các kết quả này là công trình nghiên cứu chung của Nguyễn Việt Anh và Pflug (xem [27,28,29]). 2.2.1. Trường hợp ,X Y là các đa tạp một chiều. Định lý 2.2.1. Cho ,X Y là các diện Riemann và D X và G Y là các tập con mở, A (tương ứng B ) là tập con của D (tương ứng G ) sao cho D (tương ứng G ) là tốt trên A (tương ứng B ), cả A và B đều là các tập có chiều dài dương. Đặt       : ( , ; , ), : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1 , : ( , ) : , , ) ( , , ) 1 . W W W W         X XA B D G A B D G z w D G z A D w B G z w D G z A D w B G ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ w w w Î ( < Î ( < Trong đó A ¢ (tương ứngB ¢ ) là tập hợp các điểm mà tại đó A (tương ứng B )là đa chính quy địa phương tương ứng với hệ các miền xấp xỉ góc giá trên A (tương ứng B ) và ( , , ) A Dw , ( , , ) A D¢w (tương ứng ( , , ) B Gw , ( , , ) B G¢w ) được tính với hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Khi đó với mỗi hàm : W ¦ thoả mãn các điều kiện sau: (i) Với mọi Îa A hàm ( , ) Gf a ½ là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm Îb B , và với mọi Îb B hàm ( , ) Df b ½ là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm Îa A . (ii) f là bị chặn địa phương. (iii) A Bf½ là liên tục. thì tồn tại một hàm duy nhất   ',Î Of W nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của W W ¢Ç . Nếu , A B là các tập Borel hoặc nếu   X Y thì  W W ¢ . Chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Chứng minh của định lý này gồm hai bước. Trước hết P. Pflug và Nguyễn Việt Anh chứng minh định lý trong trường hợp D và G là các miền Jordan trong . Sau đó họ chứng minh định lý trong trường hợp tổng quát. Với mỗi 0 1< < tập hợp  : : ( , , ) 1  D z D z A DwÎ <(tương ứng  : : ( , , ) 1 )  G w G w B GÎ <wđược gọi là một tập mức của hàm độ đo điều hoà ( , , ) A Dw (tương ứng ( , , ) B Gw ). Trong bước thứ nhất P. Pflug và Nguyễn Việt Anh cải tiến phương pháp của Gonchar (xem [8, 9]) bằng việc vận dụng công thức của Carleman (xem [3]) và các tính chất hình học của các tập mức của các hàm độ đo điều hoà. Trong bước thứ hai họ áp dụng định lý kiểu chữ thập hỗn hợp để chứng minh định lý 2.2.1 với D (tương ứng G ) được thay thế bởi D (tương ứng G ). Khi đó họ đi đến kết luận với các tập mở gốc D (tương ứng G ) bằng kỹ thuật dán. Bƣớc 1: Giả sử D và G là các miền Jordan. Cho Î{ }j j Ja là dãy hữu hạn hoặc tập con đếm được của A với các tính chất sau: (i) Với bất kỳ Îj J có một lân cận mở jU của ja sao cho jD UÇ cũng là một miền Jordan hoặc là hợp rời nhau của hai miền Jordan. (ii)   j j J A U Với mỗi 1 0 2  < ta định nghĩa     , , : : ( , , ) , : , : : ( , , ) .             j j j j j j J U z D U z A U D U j J, A U G w G w B G Î È Ç Ç < Î Î < 1- w w Hơn nữa với mỗi Îj J đặt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26    : ( ( ) , ; , ), : ( ( ) , ; , ), :      X X j j j j j j j j W W D U A B D U G W D U A B D U G f f | Ç Ç Ç Ç Ç Ç ¢ ¢ (2.9) Sử dụng giả thiết của f và chú ý rằng  , jf j JÎ thoả mãn điều kiện (i), (ii) của định lý, hơn nữa vì G là miền Jordan và jD UÇ , Îj J cũng là miền Jordan hoặc hợp rời nhau của hai miền Jordan ta có thể suy ra với Îj J có duy nhất một hàm  ( )O jjf WÎ ¢ , một tập con jA của ( ) D U AÇ Ç , một tập con jB của B sao cho j jA A ( ( ) ) jD U A AÇ Ç \ và jB B\ có độ dài không . (2.10)  jf nhận giới hạn góc f trên (( ( ) ) ) ( )  j j jD U A G D BÇ Ç È . Đặt    j j J A A và    j j J B B    0 0 ( , ; , ), ( , ; , ).        W A B D G W A B D G X X (2.11) Ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) J  jj U G jf ½ để được một hàm  ( )  Î Of A G. Tiếp theo xét hàm  :    f W xác định bởi     : ( )            f A G f f D B BÇ (2.12) Từ (2.9) và (2.12) suy ra A A\ và B B\ có độ dài không (2.13) Và trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( ) 0 0 0 0 , ( ), lim ( , ) ( , ), 0 , , , 2 lim ( , ) ( , ), 0 , , . 2 A A             a a a a Î Î < < Î Î Ç < < Î Î z z w b w b z a z a w w f z w f z b z D b B B f z f a w a A w G (2.14) Từ (2.12) và (2.14) suy ra có một hàm  ( ) Of WÎ ¢ với mọi 10 2 < < . Từ (2.14) suy ra    f f trên  A G và      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( ) 0 0 0 0 , ( ), lim ( , ) ( , ), 0 , , , 2 lim ( , ) ( , ), 0 , , . 2 A A               a a a a < < Î Î Ç < < Î Î z z w b w b z a z a w w f z w f z b z D b B B f z f a w a A w G (2.15) Dán các ánh xạ  1 0 2 ( )  f < < lại với nhau để có được ánh xạ như sau:   0 : lim   f f trên   ( , ; , )XW A B D G¢ ¢ (2.16) Có thể kiểm tra rằng giới hạn trong (2.16) là tồn tại và có tất cả các tính chất cần có. Điều đó được suy ra từ bổ đề sau. Bổ đề: Với mỗi ( , )z w WÎ ¢ đặt ( , ) 1 ( , , ) ( , , ) 2     z w z A D w B Gw w thì  ( , ) ( , )f z w f z w với mọi ( , )0   z w< Vậy  ( )Of WÎ ¢ . Chứng minh tính duy nhất của hàm f . Thực vậy cho  ( )Of WÎ ¢ có các tính chất sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 i) Có một tập con A (hoặc B ) của A AÇ (tương ứng B BÇ ) sao cho  mes( ) mes( )A \ A B \ B và f nhận giới hạn góc f tại mỗi điểm của     A G D BÈ ii) Cố định một điểm tuỳ ý  0 0( , )z w WÎ ¢, cho U là một thành phần liên thông chứa 0z của tập mở  0: ( , , ) 1 ( , , )w wÎ <z D z A D w B G . Vì f , f là các hàm chỉnh hình,  0( , ) Uf w và  0( , ) Uf w nhận giới hạn góc 0( , )f w tại mỗi điểm của  DA A UÇ Ç ta có   0 0( , ) ( , )  f w f w trên U , suy ra   0 0 0 0( , ) ( , )f z w f z w . Vì  0 0( , )z w WÎ ¢tuỳ ý nên f là duy nhất. Bƣớc 2: Trường hợp tổng quát. Áp dụng cách chứng minh giống như bước 1, để chỉ ra f nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của W W ¢Ç P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh f nhận giới hạn góc 0 0( , )f a w tại 0 0( , ) a w A GÎ ¢ và f nhận giới hạn góc 0 0( , )f z b tại 0 0( , ) z b D BÎ ¢ . Vậy định lý được chứng minh. 2.2.2. Dạng tổng quát của định lý Gonchar Trước hết ta có một vài định nghĩa sau. +) Với mỗi tập con mở 2 1  nU và mỗi hàm liên tục :  h U đồ thị  ' ' ' '( , ) ( , ) : ( , ) , = ( , ) nn   În n n n nz z z z x iy z x U y h z x được gọi là một siêu mặt tôpô trong n . +) Cho X là một đa tạp phức có số chiều n , một tập con A X được gọi là một siêu mặt tôpô nếu với mỗi điểm Îa A có một bản đồ địa phương ( , : )nU Uf quanh a sao cho ( )A Uf Ç là một siêu mặt tôpô trong n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 +) Cho D X là một tập con mở và cho A D là một tập con mở (với phương diện tôpô phát sinh trên D ). Giả sử A là siêu mặt tôpô , một điểm Îa A được gọi là kiểu 1(tương ứng với D ) nếu với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a sao cho V U và V DÇ là một miền. Nếu a không thoả mãn điều kiện trên thì a được gọi là kiểu 2. Dễ dàng thấy rằng nếu a là kiểu 2 thì với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a và hai miền 1 2,V V sao cho 1 2,  V U V D V VÇ È và tất cả các điểm trong A VÇ là kiểu 1 tương ứng với 1V và 2V . P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh đã chứng minh được mệnh đề sau: Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con mở của X , A D là một tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Với mọi 0 1 < đặt  : : ( , , ) 1 .  D z D z A DÎ <w Khi đó 1) A cũng là một tập mở của D và lim ( , , ) 0   z z A D z w với mọi AÎz . 2) Hơn nữa, ( , , ) ( , , ) , . 1    z A D z A D z DÎ w w 3) (Định lý duy nhất) Nếu ( )Of DÎ sao cho lim ( ) 0   z f z z với mọi AÎz , thì 0.f Từ mệnh đề trên Nguyễn Việt Anh đưa ra mệnh đề sau. Mệnh đề 2.2.2.1 Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con mở của X , D được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Giả sử A D là tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Khi đó A là đa chính quy địa phương và  A A . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Kết quả chính của phần này là Định lý 2.2.2.2 Cho ,X Y là hai đa tạp phức, ,  D X G Y là hai tập mở khác rỗng. D (tương ứng G ) được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Cho A (tương ứng B ) là một tập con mở khác rỗng của D (tương ứng G ) và cũng là một siêu mặt tôpô. Định nghĩa    : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1     XW A B D G W z w D G z A D w B Gw wÎ ( < Cho :  W¦ thoả mãn (i) 0( , ) ( , )s s ¦ Î ÇC OW W ; (ii) ¦ bị chặn địa phương trên W ; (iii) A B½¦ liên tục. Khi đó tồn tại một hàm duy nhất   ,¦ Î O W sao cho   ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ), ( , ) W      z w f z w f Wz z z . Chứng minh: Phương pháp chứng minh gồm 3 bước. Trong bước 1 ta giả sử G là một miền trong  m và A là một tập con mở của D . Bước thứ 2 bằng phương pháp lát cắt và sử dụng định lý 1.6.5 ta chứng minh định lý trong trường hợp cặp ( , )D A và ( , )G B đủ tốt đối với phương pháp lát cắt. Trong bước cuối cùng chúng ta chuyển tính chỉnh hình từ trường hợp địa phương tới trường hợp tổng quát bằng việc sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Bƣớc 1: Giả sử G là một miền trong  m , và A là một tập con mở của D . Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Bổ đề 2.2.2.3: Giữ nguyên giả thiết như trong định lý, với 1,2Î { }j , cho ( , )f Î Oj E D là một đĩa chỉnh hình và Îjt E sao cho 1 1 2 2( ) ( )t tf f và 2 , 0 1 1 ( ( )) 1, =1,2. 2 e d     i D A D j jf <\ Khi đó 1)Với 1,2Î { }j , hàm ( , ) ( ( ), ) jt w f t wf thuộc vào 1 0 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , ))s s   j jA E B E G A E B E GC OX XÇ Ç Çf f và liên tục trên 1( ( ) ) j A E Bf Ç trong đó 1( ) : : ( ) j jA t E t A{ Î Î }f f . 2) Với 1,2Î { }j , cho  jf là hàm duy nhất trong  1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç o thoả mãn  1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ) f fÎ ÇXj j jƒ t w f t w t w A E B E G thì   1 21 2( , ) ( , ),ƒ t w ƒ t w với mọi Îw G sao cho  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G , 1,2Î { }j . Chứng minh bổ đề: Phần 1) được suy ra ngay từ giả thiết. Chứng minh phần 2). Cố định 0 Î Èw G B thoả mãn  1 0 ( , ) ( ( ) , ; , ) fÎ ÇXj jt w A E B E G với 1,2Î { }j . Ta cần chỉ ra rằng   1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w Chú ý cả hai hàm  1 1( , )w f t wGÎ và  2 2( , )w f t wGÎ đều thuộc vào ( )O G , trong đó G là thành phần liên thông chứa 0w của tập mở 1 1,2 : ( , , ) 1 max ( ( ) , )   j j j w G w B G t A E Ew w ,f { } { Î < Ç } . Mặt khác với mỗi 1,2Î { }j và Îw B ,  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G , kết hợp với đẳng thức 1 1 2 2( ) ( )t tf f ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32   1 21 1 1 2 2 2( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ), .  f f ΃ t w f t w f t w ƒ t w w B Theo định lý duy nhất suy ra   1 21 2( , ) ( , ), . Î Gƒ t w ƒ t w w Vậy   1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w Vậy bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta quay trở lại chứng minh bước 1. Cho W là tập tất cả các cặp điểm ( , ) ( )Î Èz w D G B với các tính chất có một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D và Ît E sao cho ( ) t zf và  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇX jt w A E B E G Cho f f là hàm duy nhất trong  1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç o sao cho  1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ).f f fÎ ÇXƒ t w f t w t w A E B E G (2.17) thì hàm thác triển f được cho bởi  ( , ) : ( , ).f z w ƒ t wf (2.18) Từ phần 2) của bổ đề trên suy ra f hoàn toàn xác định trên W . Tiếp theo ta sẽ chứng minh WW= = (2.19) Thật vậy +) Chứng minh WW= = . Cho ( , ) Î Wz w , từ cách định nghĩa W ta có thể tìm thấy một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D , một điểm Ît E sao cho ( ) t zf và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXt w A E B E G Từ 1( ( ), , ) ( , ( ) , )t A D t A E Ew f w f Ç ta thấy 1( , , ) ( , , ) ( , ( ) , ) ( , , ) 1  z A D w B G t A E E w B Gw w w f wÇ < Vậy ( , ) Îz w W suy ra WW= = . +) Chứng minh  W= W . Cho ( , ) Îz w W và cố định mỗi 0 > thoả mãn 1 ( , , ) ( , , ).  < w wz A D w B G (2.20) Áp dụng định lý Rosay và bổ đề 1.7.3 có một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D sao cho (0)  zf và 2 , 0 1 1 ( ( )) ( , , ) . 2 e d      <f w i D A D z A D\ (2.21) Chú ý rằng 2 1 , 0 1 (0, ( ) , ) ( , , ) 1 ( ( )) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1. D D e d           w f w f w w w i AA E E w B G w B G z A D w B G Ç < < \ trong đó bất đẳng thức đầu tiên suy ra từ việc áp dụng bổ đề 1.7.2, bất đẳng thức thứ hai có được từ (2.21) và bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ (2.20). Do đó  1 (0, ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXw A E B E G suy ra ( , ) Î Wz w . Vậy WW= = . Từ ( 2.19) suy ra ƒ hoàn toàn xác định trên =W . Từ (2.17) và (2.19) và sử dụng cách chứng minh như trong bước 2, bước 3 của định lý 2.1 ta có  f f trên W và   ,¦ Î O W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Hoàn thành chứng minh bước 1. Bƣớc 2: Giả sử các cặp ( , )D A và ( , )G B đủ tốt. Không mất tính chất tổng quát giả sử ,   n mD G . Với mọi 1 0 2 < < định nghĩa 2 2 , 2 2 , : ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1) : ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1) : : ( , , ) , : : ( , , ) , : int G                     , , , , , , , , , , n n n n n n nz z z z , , m m m m m m mw w w w z E z z z z E z A E z E w w w w E w B E w D z D z A D w G w B G A E { Î , ( , ) < }, Î , { Î , ( , ) < }, Î , { Î < 1- } { Î < 1- } ( w w w w 2 2 2 2 , , ( 1,1) ( 1,1) , : int        , , , n , m w z w B E) ( ). (2.22) Trước hết chúng ta áp dụng phương pháp lát cắt Với mọi 2 2( 1,1)   nz¢ xét hàm ( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ' ' ' 'n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E GXÎ Ç (2.23) Áp dụng định lý của Gonchar ta có được một hàm thác triển    0(( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ' ' ' ' ' ' 'z n n n nz z z z z zf A E B E G A E B E GC OX XÎ ( Ç )Ç ( Ç ) sao cho  ( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). Î ÇX' ' ' ' 'z n n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E G (2.24) Từ (2.22) và (2.24) ta xác định được một hàm mới  f trên ( , ; , ) A B D GX như sau:   ( , ), ( , ) ,( , ) : ( , ), ( , ) .         'z nf z w z w A Gf z w f z w z w D B Î Î (2.25) Áp dụng bước 1 ta có hàm thác triển    0( , ; , ) ( , ; , )    Î ÇX XC Of A B D G A B D G( ) ( ) thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35  ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )    Î Xf z w f z w z w A B D G (2.26) Mặt khác từ (2.22) ta thấy 0 lim ( , ) ( , )  w wz A ,D z A,D và 0 lim ( , , ) ( , , )  w B G w B Gw w (2.27) Bằng cách dán các ánh xạ  1 0 2  < < ( )f lại với nhau ta có ánh xạ f    0 lim ( ) :        f W D B f f A G o È (2.28) Từ (2.23) và (2.27) ta thấy giới hạn trong (2.28) tồn tại và có tất cả các tính chất cần có trong định lý. Bước 3: Trường hợp tổng quát Tiếp tục xét các hàm sau với mọi 2 2( 1,1)   nz¢ và 2 2( 1,1)   mw¢ ( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ( , ) : ( , ), ( , ) (( ,( ) ; ,( ) )     ' ' ' ' w' ' ' ' n n n nz z z z m m m mw w w f z w f z w z w A E B E G f z w f z z A B E D E X X Î Ç Î Ç (2.29) Áp dụng kết quả bước 2 ta có hai hàm thác triển tương ứng là       0 0 (( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ( ,( ) ; ,( ) ( ,( ) ; ,( )     Î ( Ç )Ç ( Ç ), Î ( Ç )) Ç ( Ç )) X X X X C O C O ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z n n n nz z z z z z w m m m mw w w w w w f A E B E G A E B E G f A B E D E A B E D E thoả mãn   ( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( ,( ) ; ,( ) ). B    Î Ç Î Ç X X ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z n n n n nz z z z w m m m m mw w w w f z w f z w z w A E E G f z w f z w z w A B E D E (2.30) Từ (2.22) -(2.24) và (2.29)- (2.30) có thể kiểm tra được  ( , ) ( , ), ( , ) .  ¢ ¢ Îz n mwf z w f z w z w A B Vì thế ta có thể định nghĩa một hàm mới  f trên ( , ; , )   A B D GX như sau:    ( , ), ( , ) , ( , ) : ( , ), ( , ) .             'z n w n f z w z w A G f z w f z w z w D B¢ (2.31) trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Áp dụng định lý 2.1 suy ra hàm   0( , ; , )    Î XOf A B D G( )sao cho  ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )      Î Xf z w f z w z w A B D G (2.32) Bằng cách dán các ánh xạ  1 0 2  < < ( )f lại với nhau để có ánh xạ sau    0 lim : .       f W f f W o (2.33) Sử dụng đồng nhất thức đầu tiên trong (2.27) và (2.29)- (2.32) suy ra giới hạn trong (2.33) là tồn tại. Hơn nữa  f f trên W và   ( ) ( )Î ÇC Of W W o. Vậy định lý đã được chứng minh. 2.3. Bài toán 1 trong trƣờng hợp tổng quát. Trong phần 2.1 và 2.2 chúng ta đã giải quyết được bài toán 1 trong một số trường hợp riêng biệt nhưng rất quan trọng. Những kết quả này cho chúng ta hy vọng rằng có thể giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp tổng quát. Mục đích chính của phần này là chứng tỏ suy luận trên. Kết quả chính là định lý sau: Định lý 2.3.1 Cho , X Y là hai đa tạp phức, ,  D X G Y là hai tập mở, A (tương ứng B ) là tập con của D (tương ứngG ),D (tương ứngG ) được trang bị với một hệ các miền xấp xỉ , ( )  D I A( ) z a z a z (tương ứng , ( )  G I A( ) h b h b h . Giả sử ( , , ) 1 <w A D trên D và ( , , ) 1 <w B G trên G . Cho Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn các điều kiện sau: • ( , ) ( , )s s oÎ ÇC Of W Z W Z ; • f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX ; • A Bf½ liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G . trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất   ,Î Of W Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î ÇW W . Định ký 2.3.1 có một hệ quả quan trọng, trước khi nói đến hệ quả này ta cần giới thiệu một thuật ngữ. Một đa tạp phức M được gọi là một đa tạp Liouville nếu ( )P SH M không chứa bất kỳ một hàm bị chặn trên khác hằng nào. Ta thấy lớp các đa tạp Liouville chứa lớp các đa tạp compact liên thông. Hệ quả 2.3.2. Chúng ta giữ nguyên giả thiết và ký hiệu như trong định lý 2.3.1. Giả sử rằng G là một đa tạp Liouville. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn các điều kiện sau: • ( , ) ( , )Î ÇC O oS Sf W Z W Z ; • f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX ; • ½A Bf là hàm liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G , thì tồn tại một ánh xạ duy nhất   ,Î Of D G Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î ÇW W. Hệ quả 1 được suy ra từ định lý 2.3.1 khi ( , , ) 0 B Gw . Để chứng mịnh định lý 2.3.1 ta cần đưa ra định nghĩa và chứng minh các mệnh đề sau. Định nghĩa: Cho D là một tập mở bị chặn trong  n , 0,   ÎA D z D và 0 > .Cho A là một hệ các miền xấp xỉ của D . Giả sử A là đa chính quy địa phương (tương đối với A ) và ( , , ) 1 A D <w trên D . Khi đó tồn tại một ánh xạ bị chặn ( , )  nEOf và một tập con đếm được 0 EG với các tính chất sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 1) Mỗi điểm của 0G là một điểm trù mật của 0G , 0(0)  zf , ( )E Df ,  0 : ( ) , z f zG Î ÎE A và 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) . 2  z A DG < w 2) Cho ( , ) ( , ) C OD A D¦ Î È Ç sao cho ( )f D bị chặn, thì tồn tại một hàm bị chặn ( , )Î Og E sao cho  g f f trong một lân cận của 0 EÎ và ( ) ( )( ) g fz f z với mọi 0z Î G . Hơn nữa 0 0 ( , )G½Î GCg . Khi đó mỗi cặp 0( )Gf , được gọi là  - candidate của bộ ba 0( , , ).z A D Mệnh đề 2.3.3. Cho D là một tập mở bị chặn trong  n , 0,   ÎA D z D và 0 > .Cho A là một hệ các miền xấp xỉ của D . Giả sử A là đa chính quy địa phương (tương đối với A ) và ( , , ) 1 A D <w trên D . Khi đó tồn tại một ánh xạ bị chặn ( , )  nEOf và một tập con đếm được 0 EG với các tính chất sau: 1) Mỗi điểm của 0G là một điểm trù mật của 0G , 0(0)  zf , ( )E Df ,  0 : ( ) , z f zG Î ÎE A và 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) . 2  z A DG < w 2) Cho ( , ) ( , ) C OD A D¦ Î È Ç sao cho ( )f D bị chặn, thì tồn tại một hàm bị chặn ( , )Î Og E sao cho  g f f trong một lân cận của 0 EÎ và ( ) ( )( ) g fz f z với mọi 0z Î G . Hơn nữa 0 0 ( , )G½Î GCg . Chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Trước hết ta sẽ xây dựng f , để làm được điều này ta sẽ xây dựng một dãy   1 ( , )   f Ok k E D mà xấp xỉ f khi k . Điều này cho phép xác định ánh xạ : lim   k k f f , việc xây dựng dãy được chia ra làm 3 bước. Với 0 , 1< <r cho   , , , , , , , , : ( , ), . : : ( , ( , ), , , : , A         B B a r a r a r a r r a r a D D a r a A A z D z A a r D a A A A w Ç Î Î Ç < Î (2.34) trong biểu thức thứ hai ,a rD được trang bị hệ phát sinh của các miền xấp xỉ của A trong ,a rD . Không mất tính chất tổng quát giả sử (0,1)D B . Bước 1: Xây dựng 1f . Cho 0 : 3    và 0 : 1r . Cố định 0 10 3  < < và 0 10 3 < < r r Áp dụng bổ đề 1.7.3 ta có 1 ( , )f Î O E D thoả mãn 1 0(0) f z và 1 1 1 1 1 1 , 0 , 0 1 1 .mes( ( )) ( , , ) . 2       r rE A z A Df wÇ Với 1 1 1 0 1 ,( )   rE AfG Ç hàm 1f thoả mãn điều kiện thứ nhất của mệnh đề. Mặt khác sử dụng (2.34) và định nghĩa hàm cực trị tương đối và giả thiết A là đa chính quy địa phương ta có 1 10 , 0 ( , , ) ( , , ). w wrz A D z A D Do đó ta có thể chọn một tập con 1G của 1 1 1 0 1 ,: ( )   rE AfG Ç bao gồm các cung đóng rời nhau hữu hạn 11 ( ) G j j J vì vậy 1 11 0 , 0 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) 2 ( , , ) 2 , 2      G < w wrz A D z A D (2.35) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Và 1 1 1 1 1 1 1 , , sup , sup ( ) ( ) , . t t t t     t t t f f t G G < 2 < 2 Î j j r j J Bước 2: Xây dựng 1f k từ f k với mọi 1k . Bằng quy nạp ta có với 10 3   < < kk , 10 3 < < kk r r và ( , )f Î Ok E D sao cho 0(0) f k z , và tồn tại một tập con đóng Gk của 1 , 1( )   Ç ÇGf k kk r kE A gồm các cung đóng hữu hạn ,( ) G kk j j J sao cho Gk là compact tương đối trong phần trong của 1Gk và 1 1 1 1 1 .mes( ) 1 .mes( ) 2 , 2 2      G < Gk k k (2.36) đồng thời , ,, , sup , sup ( ) ( ) , , t t t t      G G < 2 < 2 t t t f f t k j k j k k k k kr j J và 1 12 .  k k k krf f G < Trong đó ta quy ước rằng bất đẳng thức cuối là rỗng khi 1k . Vì ,( ) Gf k kk k rA , nên từ (2.34) với mỗi ( )z fÎ Gk k có Îa A sao cho ,z Î k ka,rA thì ,( , ( , ), ) Ç <w z kk a r kA a r DB . Sử dụng giả thiết A là đa chính quy địa phương và (2.34) ta thấy , , , ,( , , ) ( , , ), ), 0 , 1. Ç Ç ( < <w wk k kr a r a r k a rz A D D z A a r D rB Suy ra với mỗi ( )z fÎ Gk k có Îa A sao cho , , ,( , , ) , 0 , 1.a a  k kr r r kA D D rw z Ç < < < Sử dụng ước lượng cuối ta có thể chọn 10 3   < < k k , 10 3 < < k k r r và 1 ( , )f Î Ok E D sao cho 1 0(0) k zf và tồn tại một tập con đóng 1Gk của 1 1 1 1 ,( )    Ç ÇGk kk r kE Af gồm các cung đóng hữu hạn 11, ( )   G kk j j J thoả mãn 1Gk là compact tương đối trong phần trong của Gk và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 1 1 1 1 .mes( ) 1 .mes( ) 2 , 2 2    G < Gk k k (2.37) đồng thời 1, 1, 1 1 1 1 1 , , sup , sup ( ) ( ) , ,             G G < 2 < 2 k j k j k k k k k t t t t r j J t t t f f t và 1 1 2 .     < k k k krf f Bƣớc 3: Xây dựng f từ dãy   1  k k f . Tóm lại ta đã xây dựng được một dãy tăng   1  k k G của các tập con đóng của E . Xét tập đóng mới 1 :     k k G từ (2.36) và (2.37) ta có 1 1 1 1 1 1 1 .mes( ) .mes( ) 2 .mes( ) 3 . 2 2 2         G G > Gk k kết hợp với (2.35) ta có tính chất (i) 1 1 0 0 1 0 1 1 1 .mes( ) 1 .mes( ) 3 ( , , ) 2 3 2 2 ( , , ) ,             G < G < z A D z A D w w mặt khác, từ cách xây dựng hàm 1f k ta có các tính chất sau: (ii) ,( ) ( )  G G k kk k k rAf f . (iii) 0 0 1 1, 1, 0 , 0 3 3 3       < < < <k kk k rr r và 1 1 1 2 .        < k k k k k krf f f f (iv) , ,, , sup , sup ( ) ( ) , ,      G G < 2 < 2 k j k j k k k k k t t t t r j J t t t f f t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 (v) Với mỗi z Î G tồn tại một dãy   1k k j thoả mãn Îk kj J và z là điểm trong của ,G kk j , và 11, , G GÐ k kk j k j và , 1   z G kk j k . Đến đây ta có thể áp dụng định lý Khinchin - Ostrowski cho dãy   1  k k f suy ra dãy này hội tụ đều trên các tập con compact của E tới ánh xạ ( , )f Î O E D hơn nữa f nhận giá trị biên tại mọi điểm của G và , 1 ( )     G k kr k A Af . Vậy tồn tại ánh xạ bị chặn ( , )nf Î O E thoả mãn điều kiện thứ nhất của mệnh đề. Ta chứng minh f thoả mãn điều kiện thứ hai của mệnh đề. Vì 0(0) (0)  k z Df f và ( , ) ( , ) Î È ÇC Of D A D nên dãy   1    k kf f hội tụ đều tới ¦ f trên một lân cận của 0 Î E . Mặt khác ( )f D bị chặn theo giả thiết, theo định lý Montel họ   1 ( , )    Ok kf Ef là thường. Suy ra dãy   1    k kf f hội tụ đều trên các tập con compact của E . Cho g là ánh xạ giới hạn khi đó ( , )Î Og E và  g ¦ f trong một lân cận của 0 Î E . Hơn nữa từ (i) và (iii) và giả thiết ( , )Î ÈCf D A suy ra ( ) ( )( ) g fz f z với mọi z Î G .Từ (iii) và (v) ở trên suy ra ( , )G½Î GCg . Cuối cùng ta có thể chọn một tập con đa chính quy địa phương 0 G G (tương đối với hệ các miền xấp xỉ góc) thoả mãn 0mes ( ) mes ( )G G . Suy ra ( ) ( )( ) g fz z với mọi 0z Î G và 0 0 ( , )G½Î GCg .Vậy mệnh đề được chứng minh. Chú ý rằng ( )E Df nhưng nhìn chung ( )E Df . Mệnh đề 2.3.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Cho , n m  D G là các tập mở liên thông bị chặn. D (tương ứng G ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ   , ( )  D IA zz z (tương ứng , ( ( ))  G IA hh h ). Cho A (tương ứng B ) là một tập con khác rỗng của D (tương ứng G ) sao cho A và B là đa chính quy địa phương. Đặt   : ( , ; , ), : ( , ; , ). : ( , ; , ), : ( , ; , ).     X X X X o o W A B D G W A B D G W A B D G W A B D G Khi đó với mỗi hàm bị chặn : f W thoả mãn ( , ) ( , ) Î ÇC O o S Sf W W và  | A B f liên tục tại mọi điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G thì tồn tại một hàm bị chặn duy nhất   ,Î Of W nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î W . Chứng minh: Bƣớc 1: Xây dựng hàm   ,Î Of W . Chứng minh bước 1: Ta xác định f tại một điểm tuỳ ý ( , ) Îz w W như sau: Cho 0 > sao cho ( , , ) ( , , ) 2 1  <z A D w B Gw w (2.38) Áp dụng mệnh đề 2.3.3 và định nghĩa ở trên có một  -candidate ( , )Gf ( tương ứng ( , )Dy ) của ( , , )z A D ( tương ứng ( , , )w B G ). Hơn nữa sử dụng giả thiết ta thấy hàm ,ff y định nghĩa bởi , ( , ) : ( ( ), ( )), ( , ) ( , ; , ), Xt t t E Ef y¦ t ¦ f y t t Î G D o (2.39) cũng thoả mãn giả thiết của định lý nên ta có  ,f f y là hàm duy nhất trong  ( , ; , )G D E EX thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44  , ,( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , ) f y f yt t t Î G DXA f t f t t E E o (2.40) Từ (2.38) và mệnh đề 2.3.3 và bổ đề 1.7.2 ta có (0,0) ( , ; , )Î G DX E E . Khi đó ta có thể xác định giá trị của hàm thác triển f tại ( , )z w như sau   ,( , ) : (0,0)f z w f f y (2.41) Phần còn lại của bước này là chứng minh rằng f hoàn toàn xác định và chỉnh hình trên W . Cố định một điểm tuỳ ý 0 Îw G , một số 0 0 0: 0 1 ( , , )  < < w B Gw và một 0 - candidate 0 0( , )Dy tuỳ ý của 0( , , )w B G . Đặt   0 0( , ) : ( , ) ( , , ) 1  t w w tÎ D <W z D E z A D E, (2.42) Từ (2.41) ta xác định một hàm   00 :  f W như sau   00 , ( , ) : (0, )f z f f yt t (2.43) ở đây ta đã sử dụng một  - candidate ( , )Gf của ( , , )z A D với  được chọn tuỳ ý, vì thế 00 1 ( , , ) ( , , )  < < Dz A D Ew w t. Sử dụng (2.39) - (2.40) và (2.43) và cách chứng minh phần 2 của bổ đề 2.2.2.3 thì  0f hoàn toàn xác định trên  0W . Với mọi 1< <0 cho  : : ( , , ) A z D z A DwÎ < và  0: : ( , , ) E w E w EwÎ D < 1- (2.44) Từ (2.43) suy ra  0 ( , )¦ z chỉnh hình trên E với mỗi Îz A cố định. Ta có thể xác định một hàm mới  f trên ( , ; , ) A B D EX như sau  0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) : ( , ( )) ( , ) .         f z z A E f z f z z D t t t y t t Î Î D (2.45) sử dụng giả thiết của hàm ¦ suy ra  ( ( , ; , ), )   ¦ Î XOS A B D E o . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Vì A là một tập mở trong D và áp dụng chứng minh bước 2 của định lý 2.2.2.2 nên có một hàm duy nhất  ( ( , ; , ), )   XOf A B D EÎ thoả mãn  ( , ) ( , ), ( , ) .    Îf z w f z w z w A E Điều này kết hợp với (2.45) ta có  0f chỉnh hình trên  A G . Mặt khác từ (2.42) và (2.44) ta có   0 0 0 1 ( , ; , ) .      < < DW A D E A GX Vậy   00 ( , )Î Of W . Tóm lại ta thấy  0f trong (2.43) hoàn toàn xác định và chỉnh hình trên  0W . Bây giờ chúng ta chứng minh rằng ¦ trong (2.41) hoàn toàn xác định. Cố định một điểm tuỳ ý  0 0( , ) Îz w W , một 0 0 0: 0 1 ( , , )  w< < z D G , và hai 0 - candidate 1 1( , )Dy và 2 2( , )Dy của 0( , , )w B G . Cho     : ( , ) : ( , , ) ( , , ) 1 , 1,2 .    j jW z D E z A D E jt w w t D < Sử dụng đẳng thức (2.43) với  1,2Îj , định nghĩa một hàm  :  jjf W như sau   ,( , ) : (0, )jjf z f f yt t (2.46) (Ở đây ta sử dụng  - candidate ( , )Gf của ( , , )z A D với 0 > phù hợp) Cho t Îj E sao cho  0( ) , 1,2 j j w jy t . Khi đó từ (2.41) và (2.46) và sự xác định của  0f , ¦ ta có   1 21 2( ( ), ) ( ( ), )f t f tf t f t (2.47) với mọi t E và mọi  - candidate ( , )Gf của ( ( ), , )t A Df thoả mãn    1 1 2 2 1,2 ( , , ) : 1 max ( , , ), ( , , ) j    t A E Ew w t w tG < D D . Khi đó f hoàn toàn xác định trên W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Như trong (2.44), với mọi 1< <0 đặt         : : ( , , ) , : : ( , , ) , : : ( , , ) , : : ( , , ) .             A z D z A D B w G w B G D z z G w wÎ < Î < Î < 1- Î < 1- Kết hợp với (2.44) suy ra  0f trong (2.43) hoàn toàn xác định và chỉnh hình trên 0W , và f hoàn toàn xác định trên W . Từ đó ta có được ( , ) ( , ), , 0 1.   Î < <Of w D w B từ công thức (2.41), với f là đối xứng với hai biến ( , )z w ta cũng có ( , ) ( , ), , 0 1.A   Î Î < <Of z G z Từ (2.47) ta có  0 1 0 1 ,           < < < < W A G D B Với mọi điểm ( , ) Îz w W có một lân cận mở U của z ( tương ứng V của w ) thoả mãn 0( ( , ; , ), )Î XOSf U V U V . Theo định lý thác triển Hartogs cổ điển thì ( , ) Of U VÎ . Vậy  ( , )Î Of W . Bước 2: Chứng minh ( , )   ½ Î C A B f A B Chứng minh bước 2: Sử dụng giả thiết ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục của  ½ A B f tại mỗi điểm 0 0( , ) ( )Î Ça w A G B và tại mỗi điểm 0 0( , ) ( )Î Çz b D A B . Để làm được điều này ta xét dãy 1( )   k ka A và dãy 1( ) ( )    Çk kw G B sao cho 0lim  k k a a và 0lim  k k w w . Ta cần chỉ ra rằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 0 0lim ( , ) ( )  k k k f a w f a w, (2.48) Do W f½ bị chặn địa phương ta có thể chọn một lân cận mở liên thông V của 0w sao cho 1 sup ( , )   <k V k f a , theo định lý Montel có một dãy 1( )  p pk sao cho ( ( , )) pk f a hội tụ đều trên các tập con compact của V tới một hàm ( )Î Og V . Từ (2.48) suy ra 0( , ) g f a trên V , do ( , )Î CSf W nên 0( , ) f a g trên ÇB V . Mặt khác ÇB V không đa cực địa phương vì B là đa chính quy địa phương và 0 Îw B . Vậy theo nguyên lý duy nhất hì 0( , ) g f a trên V . Bƣớc 3: Chứng minh ƒ nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î W . Chứng minh bước 3: Ta chỉ cần chứng minh rằng  0 0 0 0 0( limsup ( , ) )( , )  f fA <z h z h với một điểm cố định tuỳ ý 0 0( , )z h Î W và một 0 cố định tuỳ ý sao cho 0 10< < . Không mất tính chất tổng quát giả sử 1 2  W f (2.49) Đầu tiên ta xét 0 0( , ) z h Î A B , do ( , ) Î Cf A B nên ta có thể tìm thấy một lân cận mở U của 0z trong  n ( tương ứngV của 0h trong  m ) vì vậy 2 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) . 4    Ç Ç < A U B V f f z h Xét các tập mở 1 : : ( , , ) 2        D z D z A U D¢ w Ç < và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 1 : ( , , ) 2        G w G w B V G¢: wÎ Ç < (2.50) Từ (2.49) và (2.50) ta có 2 1 ( , , ) '0 0 0( , ) ( , ) ( ) , , . 4 2    wz z h zÇ Î Ç Îw B V Gf w f A U w G Vậy 0 0 0 ( , ; , ) ( , ) . 2   A U B V D G f f X Ç Ç <¢ ¢z h (2.51) Xét hàm ' ': ( , ; , ) Ç Çg A U B V E GX cho bởi 0 0( , ) ( , ) ( , ) g z w ƒ z w ƒ z h (2.52) Áp dụng kết quả của bước 1 ta có thể xây dựng một hàm  ( ( , ; , ), )¢ ¢Î Ç ÇXOg A U B V D G từ g giống như cách xây dựng hàm  ( , )Î Of W từ f . Hơn nữa kết hợp (2.41) và (2.52) ta có   0 0( , ) g f f z h trên  ' '( , ; , )A U B V D GX Ç Ç (2.53) Mặt khác từ công thức (2.52) và (2.51) ta thấy   ' ' 0 ( , ; , ) . 2   A U B V D G |g | Ç ÇX kết hợp với (2.53) và (2.50) suy ra  0 0 0 0 0limsup ( , ) ( , ) ( , ) 2    f z w fA z h z h( ) . Vậy lim f fA trên A B Bây giờ ta xét 0 0( , ) z h Î A G , sử dụng giới hạn cuối và cách chứng minh bước 2 ta có thể thấy rằng  0 0 0 0lim ( , ) ( , ) f fA z h z h Bƣớc 4: Chứng minh tính duy nhất của f . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Chứng minh bước 4: Giả sử  ( , )Î Og W là một hàm bị chặn nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î W . Cố định một điểm tuỳ ý  0 0( , ) Îz w W ta cần chỉ ra rằng g thoả mãn   0 0 0 0( ) ( )f z w g z w, , .Vì cả hai hàm  0( )f z , và  0( , )g z đều bị chặn và chỉnh hình trên tập  - mức của G tương ứng đối với B :  , 0: : ( , , ) 1 ( , , )  BG w G w B G z A Dw wÎ < . Trong đó 0: ( , , )  z A Dw . Mặt khác chúng nhận A - giới hạn 0( , )f z h tại mọi điểm Bh và   0 0( , ) ( , )  f z g z trên , BG suy ra   0 0 0 0( , ) ( , )f z w g z w . Vậy f là hàm duy nhất. Ta có điều phải chứng minh. Chứng minh định lý 2.3.1: Theo giả thiết của ¦ ta thấy ¦ thác triển tới ánh xạ (cũng ký hiệu bởi) ¦ xác định trên ( , ; , ) È ÈA A B B D GX sao cho ¦ là chỉnh hình tách trên 0( , ; , ) È ÈA A B B D GX và ( , ; , ) A B D G f X ½ bị chặn địa phương. Với mỗi ( ), PÎP A U là song chỉnh hình tới một tập mở trong P d . Hơn nữa ánh xạ ( , ; , ) : P P P  B U G f f X ½ thoả mãn giả thiết của mệnh đề 2.3.4 Khi đó ta xác định được duy nhất ánh xạ   0( ( , ; , ), )P PÎ XOf P B U G Z thoả mãn  ( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )  Î ÇXA P Pf z w f z w z w P B B U G. (2.54) Cho 1 0 2  < sử dụng (2.54) ta có thể tập hợp họ   , ( )U G A    ½ PP P f( ) để được ánh xạ  ( , )A  Î Of A G Z. Tương tự với mỗi ( )ÎQ B có duy nhất ánh xạ   0( ( , ; , ), )Î XOQ Qf A Q D V Z thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50  ( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )  Î ÇXA Q Qf z w f z w z w A A Q D V . (2.55) Hơn nữa ta có thể tập hợp họ   , ( )   ( ½ QQ D V Q Bf ) để được ánh xạ  ( , )  Î OBf D B Z. Tiếp theo Nguyễn Việt Anh chứng minh     A B f f trên  A B . (2.56) Thực vậy từ (2.54) và (2.55) rõ ràng với mỗi ( )ÎP A và ( )ÎQ B và mỗi 1 0 2  < ta có   , ,( , ) ( , ), ( , ) U V  ÎP Q P Qf z w f z w z w . Mặt khác từ (2.54) và (2.55) thì  ( lim )( , ) ( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )    Î XA AP Q P Qf z w f z w f z w z w P Q U V . Vì PU (tương ứng QV ) là song chỉnh hình tới một miền trong  Pd (tương ứng  Qd ) nên áp dụng tính duy nhất của mệnh đề 2.3.4 ta có   ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , ) P Q P Qf z w f z w z w P Q U VX . suy ra (2.56) được chứng minh. Từ (2.56) chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ mới  0: ( , ; , )     f A B D G ZX như sau    , , : , .              A B f A G f f D B (2.57) Sử dụng công thức (2.57) ta có thể kiểm tra  0 ( ( , ; , ), )s    Î XOf A B D G Z Do A (tương ứng B ) là một tập con mở của D (tương ứng G ) nên ta có thể áp dụng định lý 2.1 cho  f với mọi 1 0 2  < . Từ đó ta có ánh xạ duy nhất   ( ( , ; , ), )    Î XOf A B D G Z sao cho trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51    f f trên 0( , ; , )   A B D GX (2.58) Từ (2.54)-(2.55) và (2.57)-(2.58) ta có lim  A f f trên  ( , ; , ) Ç ÇA A B B D GX . Với mỗi 0 1 0 2   < và mỗi ( )  Îz w A B, có ( )ÎP A sao cho 0, Î Pz U vì thế ta xây dựng được ánh xạ   A f trong (2.57) và (2.58) như sau    0 ( , ) ( , ) ( , )  Pf z w f z w f z w Suy ra   0  f f trên  A B với 0 1 0 2   < . Khi đó   0  f f trên 0 0 ( , ; , )   A B D GX , 0 1 0 2   < . Vậy   1: lim   k k f f trên W . 2.4. Bài toán 2 Bài toán 2 khái quát hoá bài toán 1 đối với trường hợp ta thêm một tập các điểm kỳ dị M đối với chữ thập. Jarnicki - Pflug đã giải quyết được bài toán 2 trong trường hợp ,X Y là các miền Riemann-Stein, , D X G Y là các miền con. Định lý 2.4.1(Jarnicki-Pflug). Cho ,X Y là các miền Riemann-Stein, , D X G Y là các miền con và ,  A D B G là các tập con không đa cực. Giả sử ( , )D ZO ( tương ứng ( , )GO ) tách các điểm trong D (tương ứng trong G ). Cho M W là một tập con đóng tương đối mà là đa cực (tương ứng mỏng) trong các thớ trên A và B . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Khi đó tồn tại một tập đa cực đóng tương đối ( tương ứng tập giải tích đóng tương đối ) M  W sao cho (i)   M W W MÇ Ç (ii) Với mỗi hàm f như trong giả thiết của bài toán 2 với  Z thì tồn tại một hàm duy nhất   ( \ , )f W MOÎ sao cho  f f trên ( ) \W W MÇ . Một trong các hướng nghiên cứu các định lý chữ thập với tập giải tích hoặc các điểm kỳ dị đa cực là các chữ thập trong trường hợp ,  A D B G (xem ví dụ [14,15,16,18]). Câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên rằng liệu có tồn tại một định lý chữ thập tổng quát với các điểm kỳ dị không? Tức là tồn tại dạng tổng quát của định lý 2.4.1 trong tinh thần của định lý 2.3.1. Một số kết quả gần đây trong công trình chung của Nguyễn Việt Anh và P.Pflug (xem [23, 24]) đã đưa ra một lời giải hợp lý cho vấn đề này. Từ đó Nguyễn Việt Anh đã nảy sinh ý tưởng là nghiên cứu như trong trường hợp không kỳ dị. Tức là, trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp cụ thể mà các chữ thập biên được định nghĩa trên song đĩa, sau đó sẽ mở rộng trường hợp này tới trường hợp tổng quát. Bằng cách sử dụng ý tưởng Jarnicki và Pflug trong [15, 17], áp dụng kỹ thuật các ánh xạ bảo giác, kỹ thuật các tập mức và các kết quả của Chirka (xem [6]), Imomkulov- Khujamov( xem [10]) và Imomkulov (xem [11]) Nguyễn Việt Anh đã chứng minh được phiên bản "đo được" với các điểm kỳ dị của định lý 1.6.5 như sau. Định lý 2.4.2. Cho  D G E và ,    A D B G là các tập con đếm được sao cho mes( ) 0, mes( ) 0A B> > . Giả sử D và G được trang bị với hệ các miền xấp xỉ góc. Xét chữ thập : ( , ; , )W A B D GX , M là tập con đóng tương đối của W thoả mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 • aM là đối cực ( tương ứng rời rạc) trong G với mọi a AÎ và bM là đối cực ( tương ứng rời rạc) trong D với mọi b BÎ . • ( ) M A BÇ Khi đó tồn tại một tập con đa cực đóng tương đối ( tuơng ứng tập con giải tích) M của W với hai tính chất sau: (i) Tập các điểm cuối của  \W M chứa ' '(( ) ( )) \ A G D B MÈ trong đó 'A (tương ứng 'B ) là ký hiệu tập các điểm trù mật của A ( tương ứng B ). (ii) Cho : f W M\ là hàm bị chặn địa phương thoả mãn • Với mọi a AÎ , ( , ) aG M f a ½\ chỉnh hình và nhận giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm b BÎ . • Với mọi b BÎ , ( , ) bD Mf b ½\ chỉnh hình và nhận giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm a AÎ . • A Bf½ là đo được. thì có một hàm duy nhất   ( , ) Of W M\ sao cho f nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của '' ''(( ) ( )) \ A G D B MÈ , trong đó ''A (tương ứng ''B ) là tập con của 'A (tươngứng 'B )với ' ''mes( ) 0A A\ (tươngứng ' ''mes( ) 0B B\ ). Hơn nữa nếu M thì  M . Hành trình đi từ định lý 2.4.2 tới dạng tổng quát của nó khó hơn nhiều trong trường hợp không có điểm kỳ dị. Khó khăn xuất hiện khi chúng ta muốn chỉ ra f nhận A - giới hạn muốn có. Trong trường hợp không có điểm kỳ dị ta có thể chứng minh định lý tổng quát dựa trên định lý hai hằng số nhưng trong trường hợp với các điểm kỳ dị thì không được. Nguyễn Việt Anh đã tìm ra một cách khắc phục khó khăn này là sử dụng một số định lý chữ thập hỗn hợp đặc biệt với các điểm kỳ dị (xem [24]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Ta nhớ rằng một tập con S của một đa tạp phức M được gọi là mỏng nếu với mọi Mx Î có một lân cận liên thông ( MU U x) và một hàm chỉnh hình f trên U không đồng nhất không sao cho 1(0)U S fÇ . Sau đây là kết quả chính của Nguyễn Việt Anh là. Định lý 2.4.3. Cho ,X Y là hai đa tạp phức, cho , D X G Y là hai tập mở, A (tương ứng B ) là một tập con củaD (tương ứngG ),D (tương ứngG ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ   , ( )   A D I z a z a z (tương ứng   , ( )  A G I h b h b h Î ). Giả sử A A và B B và ( , , ) 1 A Dw < trênD và ( , , ) 1 B Gw < trênG . Cho Z là một không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. M là một tập con đóng tương đối của W với các tính chất sau: • M là mỏng trong các thớ (tương ứng là đa cực địa phương trong các thớ) trên A và trên B . • (( ) ) (( ( )) .     M A D B M A B GÇ Ç Ç Ç Khi đó tồn tại một tập giải tích đóng tương đối (tương ứng một tập con đa cực địa phương đóng tương đố) M của W sao cho   M W MÇ và   End( )W \ M W \ M và với mọi ánh xạ : f W M Z\ thoả mãn các điều kiện sau: (i) 0( , ) ( , )s sC Of W \ M Z W \ M ZÇ (ii) f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) X A D B G D G \ MÇ Ç ; (iii) ( )A B \ Mf½ là liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  A D B GÇ Ç thì tồn tại ánh xạ duy nhất    ,Of W \ M Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )W \ Mz h . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 2.5. Một số ứng dụng Trong phần này chúng tôi chỉ giới thiệu một số áp dụng của định lý 2.4.3 với hệ các miền xấp xỉ nón. Cho X là một đa tạp phức tuỳ ý và D X là một tập con mở. + Ta nói rằng một tập A D là chứa được địa phương trong một đa tạp tổng quát nếu tồn tại một tập chỉ ( ít nhất đếm được) J , một họ các tập con mở ( ) j j JU của X và một họ các đa tạp tổng quát ( ) j j JM sao cho ,j jA U j JMÇ Î và  jj JA UÎ . Số chiều của jM có thể khác nhau với j JÎ . + Giả sử A D là chứa được trong một đa tạp tổng quát. Khi đó ta nói rằng A có cỡ dương nếu mes ( ) 0 J j jj A UM Ç > trong đó mes jM là ký hiệu của độ đo Lebesgue trên jM . + Một điểm a AÎ được gọi là điểm trù mật tương đối với A nếu nó là điểm trù mật tương đối với jA UÇ trên jM với j JÎ . Ký hiệu A' là tập tất cả các điểm trù mật tương đối với A . Giả sử A D có cỡ dương, ta trang bị cho D hệ các miền xấp xỉ nón giá trên A . Sử dụng các kết quả nghiên cứu của B. Coupet và B.Joricke (xem [7,19]) ta có thể thấy rằng A là đa chính qui địa phương tại tất cả các điểm trù mật tương đối với A và A ' A . Do đó từ định nghĩa độ đo đa điều hoà dưới ta có  '( , , ) ( , , ),  z A D z A D z Dw w . ước lượng này kết hợp với định lý 2.4.3 ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.5.1. Cho ,X Y là hai đa tạp phức, cho , D X G Y là hai tập mở liên thông,A (tương ứng B ) là một tập con của D (tương ứng G ). D (tương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 ứng G ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ nón   , ( )  D I za z a zA (tương ứng   , ( ) G I h b h b hA ) giá trên A (tương ứng B ). Giả sử A và B có cỡ dương. Định nghĩa    ' ' ' ' : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1      W A B D G W z w D G z A D w B G ¢ ¢ w w( < X trong đóA ¢ (tương ứngB ¢ ) là tập các điểm trù mật tương đối với A (tương ứng B ) . Cho M là mộ tập con đóng tương đối của W với các tính chất sau:  M là mỏng trong các thớ (tương ứng đa cực địa phương trong các thớ) trên A và trên B .  ( ) M A BÇ . Khi đó tồn tại một tập con giải tích đóng tương đối (tương ứng một tập con đa cực địa phương đóng tương đối) M của  'W sao cho với mọi ánh xạ : \ f W M Z thoả mãn các điều kiện sau: (i) 0( , ) ( , )s sf W \ M Z W \ M ZÇC O (ii) f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , )A B D G \ MX ; (iii) ( )A B \ Mf½ là liên tục thì tồn tại duy nhất ánh xạ    ' ,f W \ M ZO nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm '( , ) ( ) W W \ Mz h Ç . Áp dụng thứ hai là một định lý chữ thập hỗn hợp rất tổng quát sau. Hệ quả 2.5.2: Cho ,X Y là hai đa tạp phức, cho , D X G Y là các tập mở liên thông, A là một tập con của D và B là một tập con của G ,D được trang bị một hệ các miền xấp xỉ nón   , ( )  D I za z a zA giá trên A vàG được trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 bị một hệ các miền xấp xỉ nón   , ( )  G I h b h b hA . Giả sử A có cỡ dương và  B B . Định nghĩa    ' ' ' ' : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1      W A B D G W z w D G z A D w B G ¢ ¢ w w( < X trong đó A ¢ là tập các điểm trù mật tương đối với A . Cho M là tập con đóng tương đối của W với các tính chất sau:  M là mỏng trong các thớ ( tương ứng đa cực địa phương trong các thớ) trên A và trên B .  ( ) M A BÇ . Khi đó tồn tại một tập con giải tích đóng tương đối ( tương ứng một tập con đa cực địa phương đóng tương đối )M của  'W sao cho  ' '\ End( \W M W M ) và với mọi ánh xạ : \ f W M Z thoả mãn các điều kiện sau: (i) 0( , ) ( , )s sf W \ M Z W \ M ZÇC O (ii) f bị chặn địa phương dọc theo ( )A G \ M thì tồn tại duy nhất ánh xạ    ' ,f W \ M ZO nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm '( , )W \ Mz h . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 KẾT LUẬN Bài toán nghiên cứu về các ánh xạ chỉnh hình tách biến luôn là một bài toán mở với những người nghiên cứu. Với mục đích bước đầu tìm hiểu về hướng nghiên cứu này, luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến mà cụ thể là các kết quả nghiên cứu gần đây của NguyễnViệt Anh. Với mục đích đó, luận văn đã đạt được các kết quả sau đây: + Hệ thống kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu. + Trình bày lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. + Trình bày một cách hệ thống chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. 2. O. Alehyane et J. M. Hecart (2004), Propriete de stabilite de la fonction extremale relative, Potential Anal., 21, no. 363-373. 3. O. Alehyane et A. Zeriahi (2001), Une nouvelle version du theoreme d'extension de Hartogs pour les applications separement holomorphes entre espaces analytiques, Ann. Polon. Math., 76, 245-278. 4. E. Bedford (1982), The operator ( )c ndd on complex spaces, Semin. P. Lelong - H. Skoda, Analyse,Annees 1980/81, Lect. Notes Math., 47, 1-4. 5. E. Bedford, B. A. Taylor (1982), A new capacity for plurisubharmonic function, Acta Math., 149, 1-40. 6. E. M. Chirka (1993), The extension of pluripolar singularity sets, Proc. Steklov Inst. Math. 200, 369-373. 7. B. Coupet (1992), Construction de disques analytiques et regularite de fonctions holomorphes au bord, Math. Z. 209, no. 2, 179-204. 8. A. A. Gonchar (2000), On Bogolyubov's "edge-of-the-wedge" theorem, Proc. Steklov Inst. Math., 228,18-24. 9. F. Hartogs (1906), Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrer unabhangiger Veranderlichen, insbesondere uber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veranderlichen fortschreiten, Math. Ann., 62, 1-88. 10. S. A. Imomkulov, J. U. Khujamov (2005), On holomorphic continuation of functions along boundary sections, Math. Bohem., 130, no. 3, 309- 322. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 11. S. A. Imomkulov (2005), On the holomorphic continuation of functions defined on a boundary pencil of complex lines, (Russian) Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 69, no. 2, 125-144; translation in Izv. Math. 69, no. 2, 345-363. 12. S. M. Ivashkovich (1987), The Hartogs phenomenon for holomorphically convex Kahler manifold, Math. USSR-Izv., 29, 225- 232. 13. M. Jarnicki and P. Pflug (2000), Extention of Holomorphic Function, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter. 14. M. Jarnicki and P. Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with analytic singularities, Ann. Pol. Math., 80, 143-161. 15. M. Jarnicki and P. Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities, Trans. Amer. Math. Soc., 355, No. 3, 1251-1267. 16. M. Jarnicki and P. Pflug (2003), An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities, Kyushu J. Math., 57, No. 2, 291-302. 17. M. Jarnicki and P. Pflug (2006), A remark on separate holomorphy, Studia Math., 174 (3), 309-317. 18. M. Jarnicki and P. Pflug (2007), A general cross theorem with singularities, Analysis (Munich), 27, no. 2-3, 181-212. 19. B. Joricke (1982), The two - constants theorem for functions of several complex variables, (Russian), Math. Nachr. 107, 17-52. 20. B. Josefson (1978), On the equivalênc between polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on n , Ark. Mat. 16, 109-115. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 21. N. V. Anh (2005), A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., serie V, Vol. IV(2), 219-254. 22. N. V. Anh (2008), A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., serie V, Vol. VII(2), 181-240. 23. N. V. Anh and P. Pflug, Boundary cross theorem in dimension 1 with singularities, Indiana Univ. Math. J. 24.N.V. Anh and P. Pflug, Cross theorems with singularities, arXiv:math.CV.0901. 25. O. Oktem (1998), Extension of separately analytic functions and applications to range characterization of exponential Radon transform, Ann. Polon. Math., 195-214. 26. O. Oktem (1999), Extension of separately analytic functions in n m with singularities, Extension of separately analytic functions and applications to mathematical tomography ( Thesis), Dep. Math. Stockholm Univ. 27. P. Pflug and V-A. Nguyên (2004), A boundary cross theorem for separately holomorphic functions, Ann. Polon. Math., 84, 237-271. 28. P. Pflug and V-A. Nguyên (2007), Boundary cross theorem in dimension 1, Ann. Polon. Math., 90(2),149-192. 29. P. Pflug and V-A. Nguyên (2007), Generalization of a theorem of Gonchar, Ark. Mat., 105-122. 30. E. A. Poletsky (1991), Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems, Several complex variables and complex geometry, Proc. Summer Res. Inst., Santa Cruz/CA (USA) 1998, Proc. Symp. Pure Math. 52, Part 1, 163-171. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 31. E. A. Poletsky (1993), Holomorphic currents, Indiana Univ. Math. J., 42, No.1, 85-144. 32. J. P. Rosay (2003), Poletsky theory of disks on holomorphic manifolds, Indiana Univ. Math. J., 52, No.1, 157-169. 33. B. Shiffman (1971), Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds, Math. Ann., 194, 249-258.