Luận văn Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

Trang 5 MỞ ĐẦU Trong cuộc sống, một cá nhân, hay một tổ chức thường bị đặt vào tình huống phải lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết một vấn đề nào đó. Khi ấy chúng ta phải tiến hành thu thập, phân tích và chọn lựa thông tin nhằm tìm ra một giải pháp tốt nhất để hành động. Các phương án đề xuất ấy có thể giải quyết một hay nhiều vấn đề cùng một lúc tùy thuộc vào tình huống và yêu cầu đặt ra của chúng ta. Trong toán học có rất nhiều lý thuyết cơ sở làm nền tảng giúp tìm ra một phương án tối ưu để giải quyết vấn đề như: lý thuyết thống kê, lý thuyết quyết định, lý thuyết tối ưu, vận trù học,… Do tính ưu việt và hiệu quả, tối ưu hóa nhiều mục tiêu là một trong những lý thuyết toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như: kỹ thuật công nghệ, hàng không, thiết kế, tài chính,… Tối ưu hóa nhiều mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhất theo một nghĩa nhất định nào đó để đạt được (cực đại hay cực tiểu) nhiều mục tiêu cùng một lúc và một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng. Trong một bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đại hay cực tiểu một mục tiêu có thể sẽ làm “giảm” gía trị cực đại hay cực tiểu của các mục tiêu khác nên việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm. Vì vậy cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất cả các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là phương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau đề cập đến phương án/nghiệm tối ưu như: Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker,…Các định nghĩa này thường có sự tương quan với nhau và chúng được biểu hiện cụ thể thông qua các định lý, mệnh đề và tính chất. Như chúng ta đã biết một trong những cơ sở để định nghĩa về nghiệm tối ưu là quan hệ thứ tự trong không gian nhất là quan hệ hai ngôi. Chương I trong luận văn này sẽ trình bày những khái niệm và các vấn đề liên quan đến quan hệ thứ tự hai ngôi trong không gian, tập hợp. Đồng thời phát biểu các dạng của bài toán tối ưu nhiều mục tiêu và giới thiệu một số khái niệm về nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu chặt, yếu, nghiệm tối ưu chính thường theo định nghĩa Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker và một số định lý để cho thấy mối liên hệ giữa chúng. Trang 6 Chương II là chương giới thiệu các phương pháp mới để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bên cạnh các phương pháp thông dụng như phương pháp ràng buộc, phương pháp tổng trọng số chúng tôi sẽ trình bày một lớp các phương pháp và thuật giải chính như sau: Một là: Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán hai và nhiều mục tiêu. Mục đích chính của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung. Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non-Pareto. Hai là: Dùng ý tưởng từ thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bao gồm cách thuật toán chính yếu: MOGA, SPEA2, NSGA-II. Cách thức tìm nghiệm của các thuật toán này là từ các nghiệm được khởi tạo một cách ngẫu nhiên ban đầu qua đó thuật toán sẽ tìm nghiệm tối ưu Pareto thông qua việc tìm biên Pareto xấp xỉ của bài toán. Ngoài ra chương II cũng minh họa thêm hình ảnh và tính toán số trong Matlab để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bằng hai thuật toán SPEA2, NSGA-II. Chương III sẽ trình bày nội dung ứng dụng thực tế của các thuật giải di truyền nhằm giải quyết một dạng bài toán thực tiễn đó là bài toán lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu nhiều mục tiêu với hai mô hình: Mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí cố định và mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí biến đổi.