Luận văn Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  Đỗ Thị Phương Quỳnh MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Nguyên – 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỤC LỤC Mở đầu 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình 6 1.2. Khoảng cách 7 1.3. Không gian Hyperbolic 12 1.4. Đa tạp phức 13 1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14 1.6. Miền taut 17 Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1. Mặt cực hạn 21 2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 31 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỞ ĐẦU Cho D là miền bị chặn trong n và f : D D là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó định nghĩa dãy lặp  nf của f như sau: 1 n n 1 f f f f .f .     Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy  nf có hội tụ đều trên các tập compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình nh : D  hay không ? Vào năm 1926 Wolff và Denjoy đã giải quyết vấn đề trên khi D   (  là đĩa đơn vị trong  ). Cụ thể họ đ ã chứng minh được định lí Denjoy – Wolff như sau: “ Cho :f   là một hàm chỉnh hình từ đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp  nf không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn nữa, giới hạn của  nf , khi nó tồn tại, là hằng số x ”. Để chứng minh định lí này trong trường hợp f có một điểm cố định 0 z  thì Denjoy và Wolff đã sử dụng bổ đề Schwarz. Tuy nhiên trong trường còn lại, f không có điểm cố định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một công cụ mới để thay thế. Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho :f   là hàm chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại x sao cho với mỗi R>0 có     , ,f E x R E x R ” được thay thế cho bổ đề Schwarz. Về bản chất, đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của  tại x. Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một miền tổng quát hơn trong  : “ Cho D là một miền hữu hạn liên thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 bị chặn bởi đường cong Jordan, và :f D D là một hàm chỉnh hình. Khi đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D. Hơn thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng x D ”. Năm 1983, MacCluer đã mở rộng kết quả của Denjoy - Wolff đối với hình cầu đơn vị trong n bằng việc đưa ra khái niệm mặt cực hạn cổ điển trong nB . Đến năm 1988, Marco Abate đã dựa vào mối liên hệ giữa khoảng cách Kobayashi và mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn trên một miền bất kì. Bây giờ, cho D là một miền bị chặn trong n và xét một ánh xạ chỉnh hình f : D D . Giả thiết f có một điểm cố định 0 z D , và khả vi tại 0 z . Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng của 0z df thuộc vào  . Sử dụng dạng chính tắc Jordan của 0z df , dễ dàng kiểm tra được rằng   0 n z df hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong  1 và khi đó cho ta một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong n , :f D D là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định 0 z D . Khi đó dãy lặp  nf hội tụ nếu và chỉ nếu 0z df không có giá trị riêng 1  và 1  ”. Định lí này đã mô tả một cách rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp  nf . Mục đích của luận văn là nghiên cứu về mặt cực hạn và sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, nội dung của luận văn gồm hai chương : Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ với nội dung chính của luận văn như : ánh xạ chỉnh hình, các giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Carathéodory, miền lồi, miền giả lồi mạnh, không gian hyperbolic, và miền taut. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Chương 2 trình bày khái niệm và các tính chất của mặt cực hạn trên miền D bất kì và trên miền giả lồi mạnh, sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai. Với tấm lòng thành kính tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô. Nhân dịp này tôi cũng xin được chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, cùng các thầy cô đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Đỗ Thị Phương Quỳnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1] 1.1.1. Định nghĩa + Giả sử X là một tập mở trong n , hàm số f : X   được gọi là khả vi phức tại 0x X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính n:   sao cho      0 0 h 0 f x h f x h lim 0 h      . Trong đó   n n 2 1 2 n i i 1 h ,h h ,h ,...,h , h h      . + Hàm f được gọi là chỉnh hình tại 0x X nếu tồn tại một lân cận mở U của 0x sao cho f khả vi phức với 0x x U  . + Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X. + Cho ánh xạ n mf :X ;   có thể viết dưới dạng  1 2 mf f ,f ,...,f . Trong đó i i f f : X    , i=1,...,m là các hàm toạ độ, và   m i 1 2 m i : f ,f ,...,f f .      Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu i f chỉnh hình trên X với mọi i=1,...,m. Chú ý : Ánh xạ   nf :X f X   được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và 1f  cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.1.2. Tính chất Định lí : Giả sử U là tập con mở của n , với mỗi ánh xạ :f U   các điều kiện sau đây là tương đương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 a. f là hàm chỉnh hình. b. f là liên tục c. f là liên tục và |U Mf  là chỉnh hình với   nM , M là không gian con hữu hạn chiều. 1.2. Khoảng cách 1.2.1. Định nghĩa [1] Khoảng cách d trên tập X là một hàm     d : X X x,y d x,y .     thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X. i)    d x,y 0;d x,y 0 x y    ; ii) d(x,y)=d(y,x); iii)      d x,y d x,z d z,y  ; Nếu d chỉ thoả mãn ii) và iii) và  d x,y 0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X. 1.2.2. Khoảng cách Bergman Poincaré [4]  z :| z | 1    là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức  . Trên  , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi   1 | z | 0,z log , z . 1 | z |       Lấy a,b , phép biến đổi z - b w= 1 - bz là một tự đẳng cấu của  mà biến b thành 0 và biến a thành a b 1 ab   . Vậy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8   a b 1 1 ba a,b log . a b 1 1 ba          1.2.3. Giả khoảng cách Kobayashi [1] 1.2.3.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X. Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm 0 1 kp x,p ,...,p y  của X, dãy các điểm 1 2 ka ,a ,...,a của D và dãy các ánh xạ chỉnh hình 1 2 kf ,f ,...,f trong Hol (D, X) thoả mãn    i i 1 i i if 0 p ,f a p ; i 1,...,k    . Tập hợp  0 k 1 2 k 1 2 kp ,...,p ,a ,a ,...,a ,f ,f ,...,f  thoả mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Ta định nghĩa     k X D i x,y i 1 d x,y inf 0,a ,            , trong đó x,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó X d : X X  là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng   k D i i 1 0,a   được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình. 1.2.3.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi + Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là       X Yd x, y d f x ,f y x, y X   , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình. Hơn nữa Xd là giả khoảng cách lớn nhất trên X thoả mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D X là giảm khoảng cách. + Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi Xd : X X   là hàm liên tục. + Nếu D là đĩa đơn vị trong  thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré. 1.2.4. Giả khoảng cách Carathéodory [10] 1.2.4.1. Định nghĩa: Cho một không gian phức X, kí hiệu Hol(X,  ) là tập các ánh xạ chỉnh hình f: X   . Giả khoảng cách Carathéodory xC trong X được định nghĩa như sau       xC p,q sup f p ,f q ; p,q X   . Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ  f Hol X,  . Khi  là đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con     F f Hol X,D ;f p 0   1.2.4.2. Một số tính chất *Mệnh đề 1 Cho đa tạp phức X, ta có    X Xd p,q C p,q , p,q X  . Chứng minh: Như trong định nghĩa của  Xd p,q , chọn 0 1 kp p ,p ,...,p q  của X, và các điểm 1 2 k 1 ka ,a ,...,a ,b ,...,b của  và các ánh xạ chỉnh hình 1 2 kf ,f ,...,f trong Hol(  ,X) thoả mãn    i i i 1 i i if a p ,f b p  . Cho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào  . Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10                  k k i i i i i i i 1 i 1 1 1 k k a ,b f f a ,f f b f f a ,f f b f p ,f q ,               Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó ,            k X i i X i=1 d p,q inf a ,b sup f p ,f q C p,q .      * Mệnh đề 2: Nếu X và Y là không gian phức thì         Y xC f p ,f q C p,q f Hol X,Y ;p,q X    thì f : X Y có tính giảm khoảng cách. *Mệnh đề 3: Cho  là một đĩa mở trong  , C   . Chứng minh: Sử dụng bổ đề Schwarz đối với ánh xạ chỉnh hình f : ta thu được    p,q C p,q , p,q .    Từ định nghĩa của C , xét phép biến đổi đồng nhất của  , ta thu được bất đẳng thức    p,q C p,q , p,q .     * Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức a) Nếu X là một giả khoảng cách như sau         Xf p ,f q p,q f Hol X, ;p,q X       thì    X XC p,q p,q ; p,q X    b) Nếu X là một giả khoảng cách thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11         X f a ,f b a,b ; f Hol X, ;a,b       thì    X Xp,q d p,q  . 1.2.4.3. Bổ đề Schwarz [10] Cho f là hàm chỉnh hình biến hình tròn đơn vị  (0,r) thành chính nó thoả mãn f(0)=0. Khi đó : i)  f z z ; z D   ii) Nếu  0 0f z z với điểm 0z 0 nào đó trong  thì  f z z  trong đó 1  . Chứng minh: Với r tuỳ ý , 0<r<1 theo công thức tích phân Cauchy ta có      D 0,r f1 f z d 2 i z       , đặc biệt      D 0,r f1 0 f 0 d 2 i        . Vì vậy           D 0,r D 0,r f1 1 1 z f z f d d 2 i z 2 i z                     tức là hàm         D 0,r f z f1 z d z 2 i z          chỉnh hình trên hình tròn  . Vì r<1 tuỳ ý nên  chỉnh hình trên  . Khi z r 1  thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12    f z 1 z z r    nên theo nguyên lý môđun cực đại   1 z r   với z r . Cho r 1 ta nhận được    f z z 1, z z      hay  f z z , z   Nếu    0 0 0 0 0 f z z 1, z ,0 z z       thì theo nguyên lí môđun cực đại  f z const z  . Tức là  f z z; 1     1.3. Không gian Hyperbolic [1] 1.3.1. Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian phức hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi xd là khoảng cách trên X, kí hiệu là xk , tức là :  xk p,q 0 p q, p,q X     1.3.2. Một số tính chất + Nếu X, Y là các không gian phức, thì X Y là không gian phức hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian phức hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 + Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác không gian con phức của một không gian phức hyperbolic là hyperbolic. 1.3.3. Ví dụ + Đĩa r D và đa đĩa m r D là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. + m không là hyperbolic, vì md 0 . 1.4. Đa tạp phức [1] 1.4.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff. + Cặp  U, được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và n: U  là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả mãn: i)  U là tập mở trong n . ii)  : U U  là một đồng phôi. + Họ   i i i IA U ,   các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn: i)  i i IU  là một phủ mở của X. ii) Với mọi i jU ,U mà i jU U  , ánh xạ    1j i i i j j i j. : U U U U      là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A và B được gọi là tương đương nếu hợp A  B là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 1.4.2. Ví dụ Giả sử D là miền trong n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương   DD,Id . 1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 1.5.1. Miền giả lồi [12] Miền lồi là các miền mà cùng với các điểm x’,x” tuỳ ý, chúng chứa mọi điểm x=tx’+(1-t)x”, trong đó  t 0,1 . Có định nghĩa tương đương: miền nD  được gọi là lồi, nếu hàm  lnd x, D  trong đó  d x, D là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên của miền, là hàm lồi trong D. Định nghĩa: Miền nD  được gọi là giả lồi, nếu hàm    z lnd z, D ,    trong đó  d z, D là khoảng cách Ơclit của điểm z đến biên D ,đa điều hòa dưới trong D. Ví dụ: trên mặt phẳng  miền tuỳ ý là giả lồi. 1.5.2. Miền giả lồi mạnh [10] 1.5.2.1. Định nghĩa Cho X là một miền bị chặn trong n với nz  1 2 n iz z ,z ,...,z ,z  , X là miền giả lồi mạnh với biên 2C nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới  xác định trong một lân cận U của biên X sao cho: i)  X U x X; (x) 0     ; ii) d 0  trong U. Dạng Levi của  tại 0x X là một dạng Hermitan cho như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15       0 2 ,x 0 i j 1 2 n i j L x , , ,..., z z               . Khi X là miền giả lồi mạnh biên 2C vì dạng 0,x L là xác định dương, X compact, tồn tại hai số dương 1 2c ,c sao cho   0 2 2 1 ,x 2c L c     . 1.5.2.2. Một số tính chất Bổ đề Cho rB là cầu Euclid bán kính r tâm O. Khi đó với mọi rz B        logr- logd , 0, 0, log2 log , r rr B B r z B C z d z r d z B      . Định lí 1 Cho nX  là miền giả lồi mạnh bị chặn với biên 2C . Khi đó tồn tại một lân cận X’ của X và một hàm liên tục : '   X X sao cho mỗi điểm cố định 0x X ,  0x , . là chỉnh hình trong X’ và  0x , . chuẩn hoá nên      0 0 0 0, 1, , 1, \     x x x z z X x . Định lí 2 Cho nX  là miền bị chặn với biên 2C và K là một tập con compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số 1 c  chỉ phụ thuộc vào X và K sao cho    0 1 0, log , , ,     Xd z z c d z X z X z K . Định lí 3 Cho nX  là miền giả lồi mạnh với biên 2C và K là tập con compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số 2 c  chỉ phụ thuộc vào X và K sao cho    2 0 0log , , , ,     Xc d z X C z z z X z K . Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Cho X’ là một lân cận nhỏ của X , và : X X'    , sao cho mỗi điểm cố định 0x X ,  0x , . là chỉnh hình trong X’ và nó chuẩn hoá vì thế      0 0 0 0x ,x 1, x ,z 1, z X \ x      , và định nghĩa           0 0 0 0 0 : X X X D 1 x,z x,z x,z , . 1 x,z 1 x,z               . Khi đó có 0 r , 00 r 1  , sao cho  0 0 0x,z r 1, x X,z K      ,  0x,z ,  được định nghĩa trong 01/ r X K D   . Thì ánh xạ        00 x,z 0 x,z ,z z x,z , x,z      là xác định và liên tục trên X K K'   nếu X’ là một lân cận đủ nhỏ của X , và mỗi 0x,z  là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại x D thoả mãn   0x,z 0 z 0  . Cho  P x, là đa đĩa bán kính  tâm x. Cho 0x X,z K  và  z P x,  .           0 0 0 0 x,z x,z x,z x,z P x, 2 X K P x, 1 z x z z x z c z x M z x ,                      trong hằng số M là độc lập với z và x. Đặt  2c min logM,log   . Chú ý rằng    B x, P x,   , đặt  x XU B x,   , với mỗi  >0 sao cho U là compact tương đối trong X. Xét 2 trường hợp: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 +) z X U  . Chọn x X sao cho  d z, X z x     . Khi đó     0 0x,z x,z 0 X D, z 0    , ta có         0 0 0 X 0 x,z 0 x,z x,z 1 C z ,z z , z log 1 z        . Vì       0 0x,z x,z 1 z 1 z M z x Md z, X         . Nên      X 0 2C z ,z logM logd z, X c logd z, X       . +) z X U    . Vì  d z, X   . Do đó,      X 0 2C z ,z 0 log logd z, X c logd z, X        Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau. 1.6. Miền taut [4] 1.6.1. Định nghĩa Giả sử M là một không gian phức: a. Dãy  k k 1f Hol( ,M)     được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tập compact K và với mỗi tập compact L M tồn tại số  0j j K,L sao cho  j 0f K L , j j    (  là đĩa đơn vị). b. M được gọi là taut nếu mọi dãy  k k 1f Hol( ,M)     chứa một dãy con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact. 1.6.2. Định lí Kiernan Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic. Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut. Các khẳng định ngược lại đều không đúng. Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và   2 21 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | 1    là một lân cận của p trong M sao cho q B .   2 2 2s 1 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | s 1     .   sV p' M; p,p ' s    .  2z ; z 1      . 1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự  r, các số dương được gọi là có tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : M với   rf 0 B ta có  f B  . 1.6.2.2. Bổ đề : Nếu tồn tại cặp  r, có tính chất A thì  , 0Md p q  . Chứng minh bổ đề Chọn hằng số c > 0 sao cho    d 0,a cd 0,a    với mọi / 2 . Giả sử  0 1 m 1 m 1 mL p p ,p ,...,p q;a ,...,a ;f ,...,f   là một dây chuyền Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 k / 2 0 1 k 1 r k ra ,...,a ,p ,p ,...,p B ,p B    . Khi đó :         k k i i i 1 i 1 k B i 1 i B k i 1 | L | d 0,a c d 0,a c d p ,p cd 0,p c '.               trong đó c’ là hằng số lớn hơn 0. Do đó  Md p,q c' 0  .  Chứng minh định lý Kiernan: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 i) Giả sử M là không gian hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p và q sao cho  Md p,q 0 Theo bổ đề trên, cặp  1/2;1/n không thoả mãn tính chất A với bất kì n>0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình nf : M mà  n 1/ 2f 0 B và  n 1/ nf B  . Dãy  if không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc phân kì compact. Do đó M không là taut. ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên  Hol ,M là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy  Hol ,M là chuẩn tắc, do đó M là taut.  1.6.2.3. Nhận xét Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên 2C là hyperbolic đầy. Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra miền giả lồi mạnh cũng là miền taut. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho :f   là một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp  nf không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn thế nữa, giới hạn của  nf , khi nó tồn tại, là hằng số x ” + Nếu f có một điểm cố định 0 z  (và f id )   , xét  0f ' z : nếu  0f ' z 1 , theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của  với đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ. Mặt khác, nếu  0f ' z 1 thì f là ánh xạ co của  , vì vậy n 0 f z . + Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy  nf phải là hằng số và thuộc vào biên của  . Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế. Khi đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường hợp này : “Cho x ; một đường cực hạn tại x là tập có dạng   2 2 1 , | , 1 zx E x R z R z           mọi R>0. Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên  tại x”. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Trong trường hợp f : D D mà nD=B , hình cầu đơn vị của n , định nghĩa mặt cực hạn [5] là : “Cho nx B và R>0, mặt cực hạn tâm x và bán kính R là tập     2 2 1 , , | 1 n z x E x R z B R z           , trong đó (. , .) là tích Hermit của n ”. Về mặt hình học, E(x, R) là ellipxôit tiếp xúc trong với biên nB tại x. Trong thực tế, MacCluer đã trình bày lại bổ đề Wolff trong nB và đã chứng minh định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp này. Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp tổng quát hơn thì ta cần một cách tiếp cận khác. Vào năm 1978, Yang [13] đã khám phá ra một đặc trưng thú vị của mặt cực hạn trong nB .      n nn B B 1 E x,R z B | lim k z,w k 0,w logR , 2            (2.1) trong đó nB k là khoảng cách Kobayashi trong nB . Khi khoảng cách Kobayashi được định nghĩa trong miền bất kỳ, ta cũng đã cố gắng sử dụng (2.1) như một định nghĩa về mặt cực hạn trong một miền tuỳ ý. Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong (2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại. Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn được tổng quát hơn trên một miền bất kì Marco Abate đưa ra định nghĩa sau đây. 2.1. Mặt cực hạn [5] 2.1.1. Định nghĩa Cho D là một miền bị chặn của n , chọn 0z D,x D  và R>0. Khi đó mặt cực hạn nhỏ   0z E x,R và mặt cực hạn lớn   0z F x,R tâm x, cực 0z và bán kính R được định nghĩa như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22             0 0 z D D 0 w x z D D 0 w x 1 E x,R z D | limsup k z,w k z ,w log R , 2 1 F x,R z D | liminf k z,w k z ,w log R . 2                         (2.2) Dk khoảng cách Kobayashi trên D. Trong (2.2), limsup và liminf luôn là hữu hạn. Thực vậy, nếu 0z ,z,w D thì hiển nhiên theo tính chất bất đẳng thức ta luôn có      D D 0 D 0| k z,w k z ,w | k z ,z  ; do đó với mọi x D ta có             D 0 D D 0 w x D D 0 D 0. w x k z ,z liminf k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w k z ,z .                 Mệnh đề dưới đây trả lời cho câu hỏi tại sao định nghĩa mặt cực hạn trong nB lại giống định nghĩa mặt cực hạn cổ điển. 2.1.2. Mệnh đề 2.1 Cho nB là cầu đơn vị của  n . Cho bất kì  nz B , kí hiệu z là tự đẳng cấu Mobius của nB sao cho   0 z z thì ta có mệnh đề sau: Cho  n x B và  nz B thì       2 2 w x 1 ,1 lim ,w 0,w log 2 1       n nB B z x k z k z . Chứng minh: Vì khoảng cách Kobayashi có tính giảm qua ánh xạ chỉnh hình và dấu bằng xảy ra khi ánh xạ  là song chỉnh hình, do vậy ta có              n n n n 2 z zB B B B z 1 w 1 w1 k z,w k 0,w k 0, w k 0,w log . . 2 1               Mặt khác ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23        2 2 2 2 1 z 1 w 1 w 1 z,w       . Vì vậy         n n 2 2 z 2B B 1 w 1 z,w1 k z,w k 0,w log . 2 1 w 1 z               . Vì  z w 1 khi w x   .Suy ra điều phải chứng minh.  2.1.3. Một số tính chất 2.1.3.1. Bổ đề Cho D là miền bị chặn của n , 0z D,x D  . Thì : i) Với mọi R>0 ta có     0 0 , ,z zE x R F x R ; ii) Với mọi 1 20 R R ta có     0 01 2 , ,z zE x R E x R và     0 01 2 , ,z zF x R F x R ; iii) Với mọi R>1 ta có   00 1 , logR , 2       k zB z E x R ; iv) Với mọi R<1 ta có   0 0 1 , , logR 2         z kF x R B z ; v)     0 00 0 , ,      z z R R E x R F x R D và   00 ,    z R E F x R ; vi) Nếu 0( ) ( ) Aut D C D , thì với mọi R>0        0 0, ,  z zE x R E x R và       0, ,  zF x R F x R ; vii) Nếu 1z D ,đặt    1 0 w x 1 log limsup ,w ,w 2     D DL k z k z thì với mọi R >0 ta có     1 0 , ,z zE x R E x LR và     1 0 , ,z zF x R F x LR . Chứng minh Từ i) đến vi) là hiển nhiên đúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 vii) Ta có                         D D 0 D D 1 D 1 D 0 D D 1 D D 0 D 0 D 1 k z,w k z ,w k z,w k z ,w k z ,w k z ,w , k z, k z , k z, k z , k z , k z , .                      lần lượt lấy limsup và liminf khi w x , ta được                 D D 0 D D 1 w x w x D D 1 D D 0 w x w x 1 limsup k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w logL, 2 1 liminf k z,w k z ,w liminf k z,w k z ,w logL, 2                      Mặt khác   1z z E x,R ta có    D D 0 w x 1 limsup k z,w k z ,w logR 2     . Nên        D D 0 D D 1 w x w x 1 limsup k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w logL 2 1 1 1 logR+ logL logRL. 2 2 2             Từ đó suy ra   0z z E x,LR , do đó     1 0z z E x,R E x,LR . Chứng minh tương tự ta có     1 0z z F x,R F x,LR . 2.1.3.2. Hệ quả i) Với mọi 0,x B z B  và R>0 ta có     0 0 , ,z zE x R F x R ; ii) Với mọi x B và R>0 mặt cực hạn   0 ,zE x R là một ellipxôit;         0 2 2 2 , 1 , , | 1               n z z x r z z x x E x R z r r (2.3) Trong đó 0 1 1     R r R . Chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 i) Hiển nhiên ii) Lấy nz thì ta có                  2 2 2 2 2 2 22 2 2 z,x 1 r r z z,x x r z,x 2 1 r z,x 1 r r z 2 z,x z,x x r .               Vì 2x B x 1                                                              22 22 2 22 2 22 2 22 2 22 22 2 2 2 z,x 2 1 r z,x 1 2r r r z r z,x r z,x 2 1 r z,x 1 r r r z r z,x 0 z,x 2 1 r z,x 1 r r 1 z r z,x 0 z,x 2 1 r z,x 1 r r z,x r 1 z z,x 1 r 2 1 r z,x 1 r r 1 z 1 r z,x 2 z,x 1 r 1 z 1 r 1 z,x r 1 z 1 z,x 1                                                                  2 2 B B2 w x r R 1 rz 1 z,x1 1 1 log log R lim k z,w k 0,w log R. 2 2 21 z              Suy ra  0z E x,R .  2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 2.2.1. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong n , và 0z D . Khi đó tồn tại hai hằng số 1 2c ,c  chỉ phụ thuộc vào D và 0z sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26        2 0 D 0 1 1 1 , log , , , log , . 2 2 Dz D c d z D C z z k z z c d z D         2.2.2. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong n . Khi đó tồn tại một lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục     : ' \ , , | , '       D D D x x z x D z D sao cho : i) Với x,y D; x y   , ánh xạ  x,y x,y   là ánh xạ chỉnh hình và  x,y D   ; ii) Với x,y D; x y   , ta có  , 1 x y x và  , 1  x y y . Từ kết quả của hai định lí trên ta có thể chứng minh định lí sau: 2.2.3. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong n : chọn hai điểm 1 2x  x D . Khi đó tồn tại  1 2, 0   x x và  1 2K K x ,x  sao cho với mỗi 1 2z ,z D mà  1,2   j jz x j ta có        1 2 1 2 1 2 1 1 , , log , log , . 2 2       D Dk z z C z z d z D d z D K Chứng minh : Cho lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục     : D D D' \ x,x,z | x D,z D'        như định lí 2.2.2. Vì    1 2 1 1 2 2x ,x ,x 1; x ,x ,x 1     , ta chọn 0  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27                   1 2 1 2 1 2 1 2 y ,y 1 y ,y 2 j j j j 1 y ,y 1 y ,y 2 j j j j 2 inf z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0, inf 1 z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0.                       (2.4) Hơn nữa, ta có thể lấy  đủ nhỏ để  jP x ,4 là compact tương đối trong D’ (j=1,2) và    1 2P x ,4 P x ,4    . Đặt    1 2U P x ,4 D P x ,4 D            . Chọn  1 1y P x ,2  và  2 2y P x ,2  . Nếu cố định một j=1 hoặc j=2, ta lấy    j jz,w P y ,2 P x ,4    , ta có           1 2 1 2 1 2 1 2 j j j y ,y y ,y y ,y y ,y P x ,4 P y ,2 U P x ,4 z w z w c z w z c z w M z w ,                    (2.5) trong đó M không phụ thuộc 1 2y ,y ,z,w hay j Bây giờ, cho j=1,2, cố định  j jz B x , D   và chọn jy D sao cho  j j jd z , D || z y ||   . Vì jx D , ta có  j j j jz y ; y P x ,2     . Đặt 1 2y ,y f   ; theo (2.5)                 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 f z f y f z M y z Md z , D , 1 f z f y f z M y z Md z , D ,               (2.6) với M độc lập với 1 2 1 2z ,z ,y ,y hơn nữa, vì  f D  ,         D 1 2 D 1 2 1 2k z ,z C z ,z f z ,f z   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Bây giờ, ta thử lại như sau:      2 2 2 11 , , 1 1 1                         . Vì vậy, theo (2.4) ta có                             2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 f z f z f z f z1 f z ,f z log 2 1 f z 1 f z 1 log log 1 f z 1 f z , 2                   từ (2.6) suy ra             2 1 1 1 2 2 2 2 1 f z 2 1 f z 2Md z , D , 1 f z 2 1 f z 2Md z , D .            Do đó         1 21 2 1 2 1 1 f z ,f z log logd z , D logd z , D 2M 2 2          .  Định lí sau sẽ trình bày một tính chất khá đẹp tương tự như tính chất của mặt cực hạn cổ điển, đó là mặt cực hạn tiếp xúc với biên của miền giả lồi mạnh tại tâm x. 2.2.4. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh biên 2C compact tương đối trong n . Khi đó với mọi 0 , , 0  z D x D R :     0 ,  zF x R D x . Chứng minh Trước tiên chứng minh x thuộc bao đóng của   0z F x, R . Với mọi 0  , n trong biên D định nghĩa z x n    và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29  nB z | z z      . Vì D là 2C miền, có 0  sao cho với mỗi    cầu  B x được chứa trong D và tiếp xúc với D tại x. Khi đó theo định lí 2.2.1, cho       D 1 1 1 1 k z ,z logc logd z , D logc log 2 2 2 2         , trong đó c là dương và độc lập với  . Do đó       xD B 1 - 1 2 1 2 k z ,z k z ,z log 0, log log . 2 c 2 c 2 c                        Cho  E B x là mặt cực hạn (trong  B x ) cực 0z , tâm x bán kính cR / 2 . Thì        B x B x0 1 cR z E lim k z,z k z ,z log 2 2              . Do đó với z E                  x x D D D D w x 0 B B 0 liminf k z,w k z ,w liminf k z,z k z ,z 1 2 liminf k z,z k z ,z log 2 c 1 logR, 2                             và  zE F x,R ; đặc biệt  zx F x,R . Tồn tại L > 0 sao cho    D D 0 w x 1 limsup k z ,w k z ,w logL 2       Theo bổ đề 2.1.3.1(vii)     0z z F x,R / L F x,R   , và   0z x F x,R . Để kết thúc chứng minh, ta cần chứng minh chỉ có duy nhất x là một điểm biên thuộc vào tập đóng của   0z F x,R . Giả sử ngược lại, tồn tại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30   0z y D F x,R ; y x   ; thì chúng ta có thể tìm thấy một dãy     0z z F x,R  với z y  . Theo định lí (2.2.3), với 0; K   liên kết thành một cặp (x, y); ta có thể giả sử z y    mọi  . Vì   0z z F x,R , ta có    D D 0 w x 1 , lim k z ,w k z ,w log R 2        : vì thế mỗi  ta có thể tìm được một dãy  w D  sao cho limw x   và    D D 0 1 lim k z ,w k z ,w log R 2         . Hơn nữa, ta có thể giả sử w x    và    D D 0 1 k z ,w k z ,w log R 2     với mọi ,  . Theo định lí 2.2.3 ta có           D D 0 D 0 1 , , logR k z ,w k z ,w 2 1 1 logd z , D logd w , D k z ,w K. 2 2                   Mặt khác, ước lượng biên (theo định lí 2.2.1) cho ta 1c 0 (độc lập với w  ) sao cho    D 0 1 1 , , k z ,w c logd w , D . 2       Vì vậy   1, 1 1 , logR logd z , D K c 2 2        , và, cho  thì ta thấy mâu thuẫn.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 2.3.1. Định lí Cartan - Carathéodory (tr 268, [10]) Cho X là không gian phức hyperbolic, 0 x là một điểm không kì dị của X. Cho :f X X là một ánh xạ chỉnh hình sao cho f( 0 x ) = 0 x , và 0 0 0 : x x xdf T X T X là vi phân của f tại 0 x . Khi đó : 1) Giá trị riêng của 0x df có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bằng 1. 2) Nếu 0x df là một phép biến đổi đồng nhất của 0x T X , thì f là một phép biến đổi đồng nhất của X; 3) Nếu   0 det 1xdf , thì f là ánh xạ song chỉnh hình. Chứng minh Ta lấy r > 0 sao cho hình cầu mở     0 X 0U x ,r x X;d x ,x r   có tập compact đóng  0B U x ,r . Gọi  là tập các ánh xạ có tính giảm khoảng cách từ B lên chính nó với X Bd | .  là tập compact ( theo định lí Arzela - Ascoli: “ Cho X là không gian compact địa phương và tách được, Y là không gian metric compact địa phương với hàm khoảng cách yd . Khi đó họ  F C X,Y là compact tương đối trong C(X,Y) (tức là, mọi dãy các ánh xạ  f C X,Y và hội tụ đều trên tập compact của X) nếu và chỉ nếu a. F là liên tục tại mọi điểm x X . b. x X  tập   f x ,f F là tập compact tương đối trong Y.” 1) Cho  f Hol X,X với f( 0 x ) = 0 x , cho  là giá trị riêng của 0x df . Với mỗi số nguyên dương k, ánh xạ lặp kf hạn chế trên B, thuộc  và vi phân của nó   0 k xdf có giá trị riêng k . Vì  là compact nên ta có 1  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 2) Kí hiệu 0 m xd f là toàn bộ đạo hàm riêng cấp m tại 0 x của f. Ta cần chỉ ra rằng nếu 0x df là phép biến đổi đồng nhất của 0x T X , thì 0 m xd f 0; m 2   . Cho m là số nguyên dương bé nhất 2 sao cho 0 m xd f 0 . Khi đó   0 0 m k m xx d f k.d f với mọi số nguyên dương k. Khi k tiến ra vô cùng,   0 0 m k m xx d f k.d f cũng tiến ra vô cùng, vì vậy mâu thuẫn với tính compact của  . 3) Giả sử rằng   0x det df 1 . Theo 1) giá trị riêng của 0x df có giá trị tuyệt đối bằng 1. Đặt 0x df trong dạng chuẩn tắc Jordan, ta cần chỉ ra rằng 0x df có dạng ma trận chéo, nếu không nó phải có dạng khối chéo 1 0 . 0 0 1 . 0 . . . . . . . . . . 0 . 0 0                . Với 1  ma trận đường chéo tương ứng của   0 k xdf là k k 1 k k 1 k k * . * 0 k . . . . . . . . . . . . 0 . 0 0                    . Đây là điều mâu thuẫn với tính compact của  khi k tiến ra vô cùng thì k 1k  tiến ra vô cùng . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Chúng ta chứng minh rằng một dãy con  ikf của dãy  kf hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của X. Vì 0x df có dạng ma trận chéo thì các số trên đường chéo có giá trị tuyệt đối bằng 1, tồn tại một dãy con   i 0 k x df của dãy   0 k xdf hội tụ đến ma trận đồng nhất. Vì  là tập compact, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng  ikf hội tụ đến một ánh xạ  0U x ,r h đi từ  0U x ,r lên chính nó. Vi phân của  0U x ,r h tại 0x , bằng  i 0 k x limd f , là phép biến đổi đồng nhất của 0x T X . Theo 2)  0U x ,r h phải là phép biến đổi đồng nhất của  0U x ,r . Gọi W là tập con mở lớn nhất của X có tính chất mọi dãy con của  ikf hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của W. (Để có được tập W như vậy, xét hợp jW= W của tất cả tập con mở jW trong X có tính chất mỗi jW mọi dãy con  jkf hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất. Một số đếm được của j'sW đã phủ W. Ta xét đến dãy con đếm được tương ứng của  ikf và trích ra một dãy con theo tiêu chuẩn. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng  ikf hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên W. Vì  0U x ,r W , W khác rỗng. Nếu W X , lấy x W và chọn s đủ nhỏ sao cho     XU x,s y X;d x,y s   và compact đóng. Vì iklimf x và f là giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình, có một lân cận xU của x sao cho    ik xf U U x,s . Cho 0i i . Cho F là tập toàn bộ các ánh xạ có tính giảm khoảng cách từ xU đến  U x,s . Dễ thấy F là tập compact. Ta trích ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 một dãy con từ  ikf hội tụ trên xU .Vì nó hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên xW U , nó phải hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên xU . Đó chính là mâu thuẫn lớn nhất của W, ta phải có W=X, thì mới chứng minh được khẳng định của ta. Ta có thể giả sử rằng  ikf hội tụ đến Xid . Bây giờ ta xét dãy   ik 1f  và chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ đến ánh xạ nghịch đảo của f. Cùng lý luận như trên, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng   ik 1f  hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình  0U x ,r g của U( 0 x ,r) lên chính nó. Cho V là tập con mở lớn nhất của X có tính chất vài dãy con của   ik 1f  hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình Vg của V. Sự tồn tại của V được chứng minh giống như sự tồn tại của W ở trên. Từ tính lớn nhất của V ta thu được V=X cũng tương tự như cách lý luận trên. Lấy một dãy con ta có thể giả sử rằng   ik 1f  hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g của X lên chính nó. Thì   i ik 1 k Xf g f lim f limf id    . Tương tự, Xg f id . Thì g là nghịch đảo của f.  Heins chỉ ra rằng “Cho D là một nhóm hữu hạn miền liên thông bị chặn bởi đường cong Jordan, và :f D D là hàm chỉnh hình thì dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là đẳng cấu của D. Hơn nữa nếu tồn tại giới hạn thì giới hạn đó là ánh xạ hằng x D ”. Bây giờ cho D là miền bị chặn trong n và xét ánh xạ chỉnh hình f : D D nếu f có một điểm cố Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 định 0z D , xét vi phân của f tại 0z . Theo định lí Cartan- Caratheodory giá trị riêng của 0z df được chứa trong  . Sử dụng dạng chính tắc của 0z df , dễ kiểm tra được rằng   0 n zdf hội tụ nếu giá trị riêng của nó thuộc  1 , và định lí dưới đây cho ta kết quả như sau: 2.3.2. Định lí [5] Cho D là miền taut compact tương đối trong n , cho :f D D là ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định 0z D . Thì dãy lặp  nf hội tụ nếu và chỉ nếu  0df z không có giá trị riêng 1  và 1  . Chứng minh: Giả sử  n nf h Hol D,C  . Thì  0 0h z z , và     0 0 0 n n z zz df d f dh  . Trong trường hợp đặc biệt, nếu  là giá trị riêng của   0 n zdf ,  phải hội tụ đến một giá trị riêng của 0z dh ; vì thế (theo định lí Cartan – Carathéodory) 1  hoặc 1  , như vậy một chiều của định lí đã được chứng minh. Đảo lại, giả sử rằng tất cả các giá trị riêng của 0z df nằm trong  1 , và đặt 0z df trong dạng chuẩn tắc Jordan. Ta cần chứng minh rằng, nếu 1 là giá trị riêng của 0z df thì ma trận con tương ứng là ma trận chéo. Nếu không, ma trận có dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 1 1 ... ... 0 0 .. .. .. : : .. .. .. : : .. .. 1 0 ... ... 0 1                 . Khi đó   0 k z df có dạng khối tương ứng là 1 k ... ... 0 0 .. .. .. : : .. .. .. : : .. .. k 0 ... ... 0 1                 , và, cho k  , ta có sự mâu thuẫn (   0 k zdf luôn có dãy con hội tụ). Bây giờ dễ dàng kiểm tra   0 k zdf hội tụ đến ma trận phức A cấp n n (thực tế , A có dạng rI 0 0 0       , trong đó rI là ma trận đồng nhất cấp r r và r là bội số của 1 như là một giá trị riêng của 0z df ). Vì vậy, nếu nh Hol(D, )  là điểm giới hạn của  nf , nên ta có   00 0 z h z z ;dh A  . Do đó, theo tính taut,  h Hol D,D , theo định lí tính duy nhất của Cartan, h là duy nhất được xác định. Mặt khác,  nf có một điểm giới hạn duy nhất, vì vậy hội tụ.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Hệ quả Cho D là miền taut compact tương đối trong n , và :f D D là ánh xạ chỉnh hình với một điểm cố định 0 z D . Thì  nf hội tụ đến một hằng số 0 z nếu và chỉ nếu 0z df 1 , trong đó || . || là dạng chuẩn tắc của toán tử. Tổng quát hoá định lí trên ta được định lí sau: 2.3.3. Định lí [10] Cho X là không gian phức taut, và  ,f Hol X X . Nếu dãy  kf hội tụ, nó hội tụ đến một co chỉnh hình  , và tại mỗi điểm không kì dị  0 z X vi phân 0z df có một giá trị riêng trong tập  1 . Đảo lại, nếu f có một điểm không kì dị cố định 0z X sao cho 0z df có giá trị riêng trong  1 , thì  kf hội tụ. Chứng minh: Giả sử rằng  kf hội tụ. Theo định lí Bedford nó hội tụ đến một co chỉnh hình và          k k 1 k k f z limf f z limf z z        vì vậy  X là cố định theo từng điểm của f. Cho  0z X là một điểm không kì dị và  là một giá trị riêng của 0z df . Thì  k tiến đến giá trị riêng của 0z d , tức là, 0 hay 1. Do  1 . Đảo lại, giả sử rằng f có một điểm không kì dị cố định 0z sao cho 0z df có giá trị riêng trong  1 , đặt 0z df trong dạng chuẩn tắc Jordan. Thì có dạng như sau rI 0 A 0 A        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Trong đó r là bội của 1 như là giá trị riêng của 0z df , và A là ma trận sao cho klimA 0 . Khi đó f có một điểm cố định,  kf không phân kì. Cho  là một co chỉnh hình, h là một điểm giới hạn bất kì của  kf . Thì h cố định 0z và 0 0 r z z I 0 dh d 0 0         . Vì vậy  chính là một đẳng cấu, và cũng là giới hạn điểm duy nhất của  kf .  Các định lí trên đã cho ta thấy  nf hội tụ khi nào, nhưng để mô tả một cách có hiệu quả giới hạn điểm của dãy  nf thì Bedford đã chứng minh được định lí sau: 2.3.4. Định lí (Bedford) [10] Cho  là miền liên thông có tính taut và compact tương đối trong ~  , cho jf  , 1 2 ...    là một dãy lặp của f, nó hội tụ đều trên tập compact của  đến một hàm :F  . Khi đó i)  f   hay ii) Có một đa tạp nhẵn V  , một co chỉnh hình : V  và  Aut V sao cho F . . Hơn thế, dim V chỉ phụ thuộc vào f mà không phụ thuộc vào dãy  j . Chứng minh i) Nếu i) không đúng, thì theo tính taut của F:    . Thay thế  j bởi một dãy con, ta có thể giả sử rằng dãy đó là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 j j 1 j j j j j 1 j q p p , r q p p 2p ,         cả hai cùng tiến ra vô cùng. Nếu cần thiết chúng ta có các hàm ~ ,G :  trong đó     j j q j r j limf z limf G z      hội tụ đều trên tập con compact của  . Xét đến     j 1 j jqf z f f z  , cho qua giới hạn khi j , ta có     F z F z  . (2.7) Vì vậy     , và lại theo tính taut,     . Qua giới hạn khi j hai vế của đẳng thức     j 1 j jqf z f f z  . Ta được     F z F z  . (2.8) Đặt   V z : z z    . Thì V là một đa tạp con của  và    F V    . (2.9) Theo (2.9) hạng của F tại một điểm luôn nhỏ hơn hay bằng hạng của  . Cho qua giới hạn khi j hai vế của đẳng thức     j j jq r pf z f f z ta được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40     z G F z  . (2.10) Tương tự ta cũng chứng minh được hạng của  nhỏ hơn hoặc bằng hạng của F. Khi đó  và F có cùng hạng. Từ (2.10) suy ra  1 V là một đa tạp con n chiều của  và vì vậy  1 V =  tức là  V   . Do đó 2   và  là co vào V. Sau đây ta sẽ chứng minh rằng V là một đa tạp. Đặt k=dimV. Với 0z V ta sẽ chứng minh rằng hạng của vi phân  0' z k  . Nếu đúng là như vậy, thì có một lân cận nhỏ U của 0z sao cho  U là một đa tạp nhẵn k chiều. Vì vậy,    U U V U V    , theo định nghĩa của V, sẽ chỉ ra rằng V là nhẵn tại 0z . Nhưng khi đó  là đồng nhất trên V, khoảng biến thiên của vi phân  0' z chứa nón tiếp xúc Whitney  0C V,z . Vì C(V) là đa tạp phức k chiều, bao tuyến tính của C(V) có chiều nhỏ nhất là k . Cuối cùng, đặt |VF cần chứng minh  Aut V . Theo (2.9)  V V  , theo tính taut và (2.10), G : , vì vậy ta có thể lấy giới hạn khi j của đẳng thức     j j jq rf z f f z thu được     z F G z  . Vì  z z  với z V , từ (2.10) suy ra F là tương ứng 1-1. Hơn nữa, vì  F  là tập con mở của V, và vì V là liên thông nên từ (2.10) suy ra 1 VG |  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Nếu  jf  là một dãy con hội tụ khác, jf F  , thì chúng ta có thể giả sử rằng j j js   và j j 1 jt    tiến đến vô cùng. Lí luận tương tự như trên, ta có thể kết luận rằng F và F có cùng hạng, vì vậy chiều của V chỉ phụ thuộc vào f, không phụ thuộc vào  j . Xét ánh xạ trong phép thấu xạ    * k kf :H , H ,    . Chọn một cơ sở của  kH ,  chứa phần tử của  kH ,  ta có thể viết * kf T . Trong đó kT là một ma trận vuông với các phần tử nguyên.  2.3.5. Mệnh đề [5] Cho D là tập compact tương đối trong  n và  ,f Hol D D sao cho f(D) là tập compact tương đối trong D thì f có duy nhất một điểm cố định 0z D . Định lí dưới đây là dạng tổng quát của bổ đề Wolff. 2.3.6. Định lí [5] Cho D là miền lồi compact tương đối trong n và : f D D là ánh xạ chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại x D sao cho mọi 0 , 0z D R  và n .      0 0 , ,n z zf E x R F x R . Chứng minh: Ta có thể giả sử rằng 0 D . Chọn một dãy các số thực dương  r hội tụ đến 1, và định nghĩa   g : D D z g z r z      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Khi đó D là lồi,  g D là compact tương đối trong D với  , và dãy  g hội tụ đến một ánh xạ đồng nhất của D. Đặt f g f   .Theo mệnh đề 2.3.5, mọi f có một điểm cố định w D . Lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng  w hội tụ đến một điểm x D . Nếu x D , thì      f x limf w lim w x        , Điều này là không thể, vì vậy x D . Bây giờ, với mỗi 0z D chúng ta có        D D 0 D D 0 w x z D, lim k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w .(2.11)              Cố định R>0 và   0z z E x,R , theo (2.11), tồn tại 0  và 0  sao cho    0 D D 0 1 k z,w k z ,w logR 2         Vì w là một điểm cố định của   n f mọi n , ta có       n0 D D 0 1k f z ,w k z ,w logR . 2          Và               n nn nD D Dk f z ,w k f z ,w k f z ,f z 0      , khi  ; do đó tồn tại 1 0  sao cho     n1 D D 0 1 k f z ,w k z ,w logR 2 2          . Vì vậy          n nD D 0 D D 0 w x 1 liminf k f z ,w k z ,w liminf k f z ,w k z ,w logR 2               và     0 n zf z F x,R .  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 2.3.7. Định lí [5] Cho D là miền 2C giả lồi mạnh compact tương đối trong n , và : f D D là ánh xạ chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó dãy lặp của f hội tụ đến một điểm trên biên. Chứng minh : Vì f không có điểm cố định, theo định lí (2.3.6) với một điểm x D chúng ta cần chứng tỏ rằng nf x . Gọi  nh Hol D,  là điểm giới hạn của  nf ; ta chỉ cần chứng minh h x . Chọn dãy con  nf  hội tụ đến h. Theo định lí 2.3.4 của Bedford, chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra:  h D D , hoặc  h Hol D,D . + Trong trường hợp thứ nhất, h có thể là một hằng số, vì D là miền lồi mạnh. Theo định lí 2.3.6, cho mọi 0z D và R > 0 ta có      0 0 n z z, f E x,R F x,R   . Cho qua giới hạn khi  ta được        0 0z z h E x,R F x,R D x   . Do vậy h x . + Trường hợp thứ hai: Giả sử ngược lại rằng  h Hol D,D theo định lí 2.3.4 (Bedford), ta có thể thay thế h bằng một co chỉnh hình từ D vào đa tạp con X, vẫn kí hiệu bởi h. Đặt xf | ; ta sẽ chỉ ra rằng  Aut X . Trước tiên, qua giới hạn đẳng thức n nf f f f   ta được        z X; f z f h z h f z ,    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 và  f X X . Lấy một dãy con, chúng ta có thể giả sử rằng  1f   hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình  . Qua giới hạn đẳng thức 1 1 f f f f f f            ta được        z X, f z h z z f z ,       (2.12) đặc biệt, Xid  và  Hol D,D . Bây giờ, qua giới hạn đẳng thức n 1 n n n 1 f f f f        ta được        z h z h z     . Vậy  X X  ; vì thế từ (2.12) suy ra X X| id   và  Aut X . Gọi  là bao đóng của  n trong  nHol X, ; ta sẽ chứng tỏ rằng  là một nhóm giao hoán, compact của các tự đẳng cấu của X. Vì D là taut,  là compact; nên chúng ta cần chỉ ra rằng mọi phần tử của  đều có nghịch đảo trong  (rõ ràng Xid nằm trong  ). Lấy  , và chọn một dãy con  k hội tụ đến  ; dãy  k có thể là hằng số, và  có thể là một luỹ thừa của  . Ta có thể giả sử rằng k    và k   hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình  . Lấy giới hạn n k k k k               ta được      z X, z z z        . Vì thế 1    . Bây giờ chú ý rằng DX X X k k |  . Thực vậy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45           1 2 D 1 2 X 1 2 X 1 2 D 1 2z ,z X k z ,z k z ,z k h z ,h z k z ,z .     Đặc biệt, một hình cầu Kobayashi trong X là giao của hình cầu Kobayashi trong D với X. Lấy 0z X ; thì     0 0z z |    là tập compact chứa trong X. Đặt C       k k 0B w,r | w X,r>0;B w,r z   , (trong đó  kB w,r là cầu Kobayashi trong D). Mọi  kB w,r là tập compact và lồi (vì D là tập lồi ); vì vậy, C  C là khác rỗng và là tập con compact lồi của D. Ta cần chỉ ra rằng  f C C . Cho z C , ta phải chỉ ra rằng    kf z B w,r với mọi w X và r>0 thì    k 0B w,r z . Bây giờ chỉ ra   1kB w ,r  C : thực vậy           1 1 1k k 0 0B w ,r X B w,r X z z           . Vì   1kz B w ,r  và            1 1D D Dk w,f z k f w ,f z k w ,z r      , nên    kf z B w,r . Cuối cùng,  f C C . Theo định lý Brouwer, f phải có một điểm cố định trong C, mâu thuẫn. Vì vậy  nf không thể có giới hạn điểm trong Hol(D,D).  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 2.3.7.1. Hệ quả Cho D là một miền 2C lồi mạnh compact tương đối trong n , và : f D D là ánh xạ chỉnh hình. Lấy một điểm 0z tuỳ ý thuộc D; thì f có một điểm cố định nếu và chỉ nếu dãy   0nf z có một điểm giới hạn trong D. Chứng minh: Nếu dãy   n 0f z có một giới hạn điểm trong D, dãy  nf không hội tụ đến một điểm trên biên, vì vậy theo định lí 2.3.7, f phải có một điểm cố định. Đảo lại, giả sử rằng f có một điểm cố định w D . Khi đó dãy   n 0f z được chứa trong hình cầu Kobayashi đóng tâm w và bán kính  D 0k z ,w là tập compact. Do đó   n 0f z có một điểm giới hạn trong D. 2.3.7.2. Hệ quả Cho D là một miền 2C lồi mạnh compact tương đối trong n , và  ,f Hol D D . Giả sử rằng tồn tại một tập con compact K của D sao cho  f K K . Khi đó f có một điểm cố định trong D. 2.3.7.3. Chú ý Định lí 2.3.7 không tổng quát hoá trong miền lồi tuỳ ý hay miền giả lồi mạnh. Thực vậy, cho 2D , và cho 2 2f :  sao cho   i11 2 2 1 1 z f z ,z ,e z , 3 z       mỗi  và ie 1  . Khi đó dễ thấy f có một điểm cố định, và  nf không hội tụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Mặt khác, cho   2 2 22D z,w | z w w 3     ; D là miền giả lồi mạnh nhẵn của 2 . Định nghĩa f : D D bởi   i 1 f z,w z,e w , 2       mỗi  và ie 1  . Khi đó (z, w) D ,w 0 , f có một điểm cố định nhưng  nf không hội tụ. Năm 1964, Shields đã chứng minh một hệ quả thú vị của định lí Denjoy - Wolff: “nếu f ,g : là chỉnh hình trong  , liên tục trong  và f g g f  , khi đó ta có một điểm cố định trong  ”. Kết quả này đã được mở rộng lần đầu tiên trên miền  bởi Eustice, và kế tiếp mở rộng trong nB . Sau đó nó được tổng quát hoá trong một miền lồi nhẵn. 2.3.8. Mệnh đề [5] Cho D là miền lồi mạnh nhẵn compact tương đối trong n , và cho f, g :D D là một chỉnh hình trong D, liên tục trong D sao cho  f g g f thì f và g có một điểm chung cố định trong D . Chứng minh: Giả sử f không có điểm cố định trong D. Thì theo định lí 2.3.7, dãy  nf hội tụ đến một điểm x D . Hiển nhiên, f(x)=x, ta cần chỉ ra g(x)=x. Thực vậy, lấy z D , thì        n n n n g x limg f z limf g z x      . Vì vậy, giả sử rằng giao của tập các điểm cố định X của f với D là khác rỗng. Vì f và g giao hoán,  g X X . Dễ thấy X là đồng phôi với một tập lồi đóng trong n .  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 KẾT LUẬN Dựa vào kiến thức cơ sở đã trình bày ở chương 1, luận văn đã trình bày lại một cách có hệ thống các kiến thức sau: Mặt cực hạn cổ điển. Mặt cực hạn trên miền bất kì và các tính chất của nó. Mặt cực hạn và tính chất trên miền giả lồi. Các tính chất của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. Và cuối cùng luận văn có trình bày được mối liên hệ giữa mặt cực hạn lớn, mặt cực hạn nhỏ và ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình.      0 0 n z zf E x,R F x,R . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt 1. Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian Hyperbolic, NXB Đại học Sư Phạm. 2. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. 3. Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục . 4. Đỗ Đức Thái (2003), Cơ sở lý thuyết hàm hình học, NXB Đại học Sư Phạm. Tiếng Anh 5. Abate. M (1988), Horospheres and Iterates of holomorphic maps, Math.Z, 198, tr 225- 238. 6. Burkel. R (1981), Iterating self – maps of the disk. Am, 88, tr 396- 407. 7. Bedford. E (1983), On the automorphism group of a stein manifod, Math. Ann, 266, tr 215- 227. 8. Josph. J, H. Kwach. M (1977), A generalization of a theorem, New York, 199, tr 235- 249. 9. Hiens. M (1941), On the iteration of functions which are analytic and single valued in a given multiply connected region,Math, 63, tr 461- 480. 10. Kobayashi. S (1998), Hyperbolic complex spaces, Berlin. 11. Kobayashi. S (1970),Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings, Berlin. 12. Sabat. BV (1979),Nhập môn giải tích phức, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội. 13. sYang. P (1978), Holomophic curves and boundary regularity of biholomorphic maps of pseudoconvex domain, Preprin.