Luận văn Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann

Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Đại số von Neumann và vết . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phép tính liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn . . . . 6 1.2 Toán tử đo được theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn . . . . . . . 9 1.2.3 Mở đầu về phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được . . . . . . . . . 12 1.3 Không gian Lp theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . 24 1.3.2 Các kiểu hội tụ ′′ hầu chắc chắn ′′ trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff . . . . 28 1.3.4 Khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 31 2.1 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann . . . . . . 32 2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao . . . . . . . . . 34 2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli . 41 2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả 44 2.6 Luật mạnh số lớn đối với vết . . . . . . . . . . . . . . . . 47 i MỤC LỤC 1 2.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . 62 2.8 Chú ý và chú thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 72 Lời nói đầu Các tài liệu khoa học hiện tại đưa ra nhiều bằng chứng rằng các phương pháp đại số vốn đã cách mạng hóa toán học thuần thúy thì nay lại đang gây ảnh hưởng tương tự đối với khoa học vật lý. Tiếp cận đại số đối với cơ học thống kê và lý thuyết trường lượng tử là một ví dụ cho định hướng mới này. Gần đây nhiều tác giả đã mở rộng các định lý hội tụ điểm cơ bản trong lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic sang (ngữ cảnh) đại số von Neumann.Họ đã cung cấp một số công cụ mới cho vật lý toán và đồng thời tạo ra nhiều kĩ thuật hấp dẫn cho lý thuyết đại số toán tử. Mục đích chính của đề tài là trình bày bản chất của một số ý tưởng và kết quả từ lĩnh vực nói trên,chuyển các kết quả cổ điển đã biết trong lý thuyết xác suất đến các phiên bản không giao hoán của chúng, đưa vào các ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử. Đại số von Neumann là một sự tổng quát hóa không giao hoán rất tự nhiên của đại số L∞ và những cấu trúc tốt của nó đem lại khả năng thu được các phiên bản ′′ hầu chắc chắn ′′ của các định lý giới hạn .Trong đại số von Neumann, ta có thể đưa ra khái niệm hội tụ ′′ hầu đều ′′ tương đương với khái niệm hội tụ hầu chắc chắn trong đại số L∞.Kiểu hội tụ này sẽ là nền tảng cho toàn bộ đề tài. Nội dung của đề tài gồm hai chương : Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu chương 2 bao gồm các kiến thức nền tảng về giải tích và xác suất.Một số tính chất của hội tụ ′′ hầu đều ′′ trong đại số von Neumann. Chương 2 Nội dung chính của đề tài: ′′ Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann ′′ Trình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả khác. Nếu như trong xác suất cổ điển các dạng hội tụ theo xác suất ,hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ trung bình của dãy biến nhiên đóng vai trò then chốt 2 Lời nói đầu 3 trong Luật số lớn thì ở đây chúng ta được tiếp cận với 1 kiểu hội tụ hoàn toàn mới ′′ hội tụ hầu đều ′′.Các định lý được chứng minh đối với trạng thái , đối với vết. Vì một trạng thái thì không cộng tính dưới trên dàn các phép chiếu nên các qui tắc và các kĩ thuật đối với trạng thái không vết khác nhiều và khó khăn hơn nhiều so với các qui tắc đối với vết. Đáng chú ý ở đây là các lập luận cần dùng đối với vết thường rất giống trường hợp cổ điển. Nhưng trong một số thường hợp thì chúng ta cần hướng tiệm cận mới . Hầu hết các kết quả được trình bày trong đề tài là kết quả mới. Một số nội dung của đề tài là một trong số các bài giảng tại Đại Học Tenessee ở Knoxville và tại Trung Tâm Quá Trình Ngẫu Nhiên (Centerfor Stochastic Processes) tại đại học North Carolina ở Chapel Hill (bởi R.Jajte) Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng quan tâm của nhiều nhà toán học và vật lý học trong các lĩnh vực đại số toán tử và các ứng dụng của chúng như Lance 1976-1978 ; Goldstein 1981; Watanabe 1979; Yeadon 1975-1980; Kiinrinerre 1978;....... Trong quá trình tìm hiểu , nghiên cứu nội dung các công trình của người khác chúng tôi đã hệ thống , giới thiệu nhằm phác họa triển vọng ứng dụng các kết quả nghiên cứu của mình trong tương lai. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là PGS. TS. Phan Viết Thư, người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu bản luận này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, và các thầy cô giáo ở Viện Toán học -Viện KHCNVN đã tận tình giảng dạy ,tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian Tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, năm 2009 Học viên Vũ Thị Hương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày một số kiến thức cho việc nghiên cứu ở chương 2. Các khái niệm ,định nghĩa đưa ra để hiểu rõ các từ khóa của đề tài. Một vài khái niệm được trình bày theo nghĩa cổ điển ( và theo nghĩa mở rộng ). Nội dung bao gồm hai phần chính: Phần 1: Nghiên cứu về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann (sự trình bày được chỉnh sửa từ tài liệu của E.Nelson [ 6 ] ). Phần 2: Trình bày lý thuyết về không gian Lp kết hợp với đại số von Neumann . Cụ thể là xây dựng không gian Lp theo một vết , cốt yếu của việc xây dựng các không gian Lp là lý thuyết toán tử đo được theo một vết trên đại số von Neumann ( lý thuyết này được phát triển bởi Haagerup ); Các khái niệm về hội tụ điểm...Tất cả các kiến thức trong chương này đều đã có, không thuộc phần sáng tạo của đề tài. Các khái niệm ,thuật ngữ , kết quả được dùng đều có thể tra cứu trong các tài liệu tham khảo kèm theo. 1.1 Đại số von Neumann và vết 1.1.1 Đại số Banach Kí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trường phức. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A là không gian tuyến tính (phức) và trong 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 A có phép nhân: A×A −→ A (x, y) 7−→ xy thỏa mãn các tính chất sau : 1. x(yz) = (xy)z; 2. (x+ y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz; 3. α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, α ∈ C Khi đó , A được gọi là một đại số phức. Hơn nữa , nếu A là một không gian Banach (với chuẩn ||.||) thỏa mãn các tính chất sau : 4. ||xy|| ≤ ||x||.||y||; (x ∈ A, y ∈ B) 5. A chứa phần tử đơn vị e sao cho xe = ex = x (x ∈ A); 6. ||e|| = 1; thì A được gọi là một đại số Banach. Nếu phép nhân giao hoán thì gọi là đại số (đại số Banach) giao hoán . 1.1.2 Phép tính liên hợp Định nghĩa 1.1.2. Giả sử A là một đại số phức , ánh xạ x ∈ A → x∗ gọi là phép liên hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau : (i) (x+ y)∗ = x∗ + y∗ (ii) (λx)∗ = λ¯x∗ (iii) (xy)∗ = y∗x∗ (iv) (x∗)∗ = x Đại số phức A đóng đối với phép liên hợp gọi là ∗− đại số . Nếu A là đại số Banach đóng đối với phép liên hợp thì gọi là một ∗− đại số Banach . Nếu A là một ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x|| = ||x∗|| thì A gọi là đại số Banach liên hợp. Nếu ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||xx∗|| = ||x||2, ∀x ∈ A thì gọi là một C∗− đại số CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 Phần tử x ∈ A (A là ∗− đại số ) gọi là chuẩn tắc nếu xx∗ = x∗x. Gọi là Hermit nếu x∗ = x, unitar nếu x∗x = xx∗ = e, (e là đơn vị của A). Nếu A là C∗− đại số thì ||x|| = ||x∗||, ∀x ∈ A. Vậy mọi C∗− đại số đều là đại số Banach liên hợp. 1.1.3 Đại số von Neumann Định nghĩa 1.1.3. Giả sử H là không gian Hilbert, B(H) là đại số các toán tử bị chặn. A ∈ B(H) là một đại số con. Đại số A ∈ B(H) gọi là đại số von Neumann nếu: (i) A là kín đối với phép lấy liên hợp; (ii) I ∈ A (iii) A đóng đối với topo hội tụ yếu, tức là An w −→ A nếu :→ với mọi x, y ∈ H Như vậy đại số von Neumann là một C∗− đại số. 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn Định nghĩa 1.1.4. (*) Giả sử A là đại số von Neumann. Phiếm hàm tuyến tính : Φ : A −→ C gọi là dương nếu: Φ(xx∗) ≥ 0, ∀x ∈ A (*) Φ gọi là phiếm hàm dương chính xác (đúng) nếu: Φ(xx∗) ≥ 0 và từ Φ(xx∗) = 0 suy ra x = 0 Đặc biệt : ||Φ|| = Φ(I) (*) Nếu Φ(I) = 1 thì Φ gọi là trạng thái Định nghĩa 1.1.5. Kí hiệu : A+ = {x ∈ A : x ≥ 0} . Ánh xạ τ : A+ → [0,∞] thỏa mãn tính chất : (i) τ(x+ y) = τ(x) + τ(y), x, y ∈ A+ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 (ii) τ(λx) = λτ(x), λ ≥ 0; x ∈ A+ (quy ước 0.∞ = 0) (iii) Nếu U là unitar thì : τ(UxU−1) = τ(x), ∀x ∈ A+ Khi đó τ gọi là vết của đại số A . Nếu : τ(x) <∞, ∀x ∈ A+ thì τ gọi là vết hữu hạn. Nếu : τ(x) = sup{τ(y)|y ≤ x; τ(y) <∞} thì τ gọi là vết nửa hữu hạn . Nếu : τ(x) = 0, x ≥ 0 mà suy ra x = 0 thì τ gọi là vết chính xác (hay vết đúng) Vết τ gọi là chuẩn tắc (Normal) nếu: τ(T ) = supα τ(Tα) trong đó Tα là dãy các toán tử tăng tới T . Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọi x ∈ A, x 6= 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ(x) 6= 0. Trên đại số von Neumann nửa hữu hạn luôn tồn tại một vết chuẩn tắc , chính xác nửa hữu hạn. 1.2 Toán tử đo được theo một vết Phần này ta sẽ định nghĩa khái niệm về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann A và chỉ ra rằng tập A˜ các toán tử τ đo được là một ∗− đại số topo đầy đủ. Giả sử A là một đại số von Neumann nửa hữu hạn hoạt động trên không gian Hilber H và τ là trạng thái nửa hữu hạn chuẩn đúng trên A. 1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A là đại số Banach . G = G(A)− là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A . Khi đó G lập thành một CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 nhóm . Phổ σ(x) của x ∈ A là tập hợp tất cả các số phức λ sao cho λe−x không có khả nghịch . C/σ(x)− được gọi là tập hợp chính quy của phần tử x. C/σ(x) = {λ : (λe− x)−1∃} Số ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của phần tử x. Ta luôn chứng minh được rằng σ(x) 6= ∅, ∀x ∈ A. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử a là toán tử tuyến tính với miền xác định D(a) . Kí hiệu D(a∗) = {g : ∃ ! g∗, = ∀f ∈ D(a)} với giả thiết D(a) = H. Khi đó D(a∗) là không gian con và toán tử a∗g = g∗, g ∈ D(a∗), g∗ là phần tử duy nhất để = là một toán tử tuyến tính. a∗ gọi là liên hợp của toán tử a. Nếu a ⊂ a∗ thì a gọi là toán tử đối xứng . Nếu a = a∗ thì a gọi là tự liên hợp. Khi a là toán tử đóng và D(a) = H thì khi đó D(a∗) = H và a∗∗ = a. Chú ý. Đại số con A của đại số B(H) gọi là chuẩn tắc nếu nó giao hoán và nếu T ∈ A thì T ∗ ∈ A. Định nghĩa 1.2.3. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu nếu D(P ) = H;P ∗ = P = P 2 Như vậy , toán tử chiếu P là bị chặn và có sự tương ứng một - một giữa các toán tử chiếu và các không gian con đóng trong không gian Hilbert. Định nghĩa 1.2.4. Xét H là không gian Hilbert . (Ω, Σ) là một không gian đo, Σ là σ− trường. P là tập hợp các toán tử chiếu trong không gian Hilbert H. Ánh xạ E : Σ → P được gọi là một khai triển đơn vị trên (Ω, Σ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn : 1. E(∅) = 0, E(Ω) = I CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 2. E(AB) = E(A)E(B) 3. E(A ∪B) = E(A) + E(B) nếu AB = ∅ 4. ∀x, y ∈ H hàm tập hợp Ex,y xác định bởi công thức Ex,y(A) = là một độ đo phức trên Ω Định lý 1.2.5. (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H) và T là toán tử chuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borel của phổ σ(T ) của toán tử T sao cho T = ∫ σ(T ) λdE(λ) Nếu T là tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R. Khi đó T = b∫ a λdEλ Nếu T là toán tử unitar TT ∗ = T ∗T = I . Khi đó σ(T ) nằm trong vòng tròn đơn vị . Khi đó T = 2pi∫ 0 eiφdE(φ) 1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn Với các toán tử (tuyến tính) a, b trên H ta có thể định nghĩa tổng a+ b và tích ab là các toán tử trên H với miền xác định : D(a+ b) = D(a) ∩D(b) D(ab) = {ξ ∈ D(b) ∣∣∣ bξ ∈ D(a)} Các phép toán này có tính chất kết hợp, vì thế a+b+c và abc là các toán tử được định nghĩa tốt. Hơn nữa ,với mọi a, b, c ta có : (a+ b)c = ac+ bc và c(a+ b) ⊇ ca+ cb CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 Định nghĩa 1.2.6. Một toán tử a trên H là đóng nếu đồ thị G(a) của nó đóng trong H ⊕H ; a là trước đóng nếu bao đóng G(a) của đồ thị của nó là đồ thị của một toán tử đóng nào đó ( gọi là bao đóng của a , kí hiệu là [a]) ; a là xác định trù mật nếu D(a) trù mật trong H. Nếu a, b và ab xác định trù mật thì : (ab)∗ ⊇ b∗a∗ đẳng thức xảy ra nếu a bị chặn và xác định khắp nơi. Toán tử đóng , xác định trù mật a có biểu diễn cực: a = u|a| ở đây |a| là toán tử tự liên hợp dương , và u là một đẳng cự riêng với supp(a) là phép chiếu đầu của nó và r(a) , phép chiếu lên bao đóng của miền giá trị của a , là phép chiếu cuối của nó. Định nghĩa 1.2.7. Nếu tổng a + b của hai toán tử xác định trù mật a và b là trước đóng và xác định trù mật , thì bao đóng [a+ b] được gọi là tổng mạnh của a và b. Tương tự , tích mạnh là bao đóng [ab] nếu ab là trước đóng và xác định trù mật. Ta viết ||a|| = sup{||aξ|| ∣∣∣ ||ξ|| ≤ 1} với mọi toán tử xác định khắp nơi a trên H, bị chặn hoặc không. Khi đó ước lượng sau đây đúng : ||a+ b|| ≤ ||a||+ ||b||; ||ab|| ≤ ||a||.||b|| Kí hiệu A′ là hoán tập của A (hoán tập A′ của đại số von Neumann A là tập tất cả các b trong B(H) giao hoán với a trong A). Định lý hoán tập 2 lần von Neumann khẳng định A′′ = A. Định nghĩa 1.2.8. Toán tử tuyến tính a trên H được gọi là kết hợp với A (và ta viết aηA) nếu: ∀y ∈ A′ : ya ⊆ ay Ta kí hiệu A là tập tất cả các toán tử đóng , xác định trù mật kết hợp với A CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.2.3 Mở đầu về phép chiếu Kí hiệu Aproj là dàn các phép chiếu ( trực giao ) trong A . Đối với họ (pi)i∈I các phép chiếu trực giao trong A, kí hiệu :∧ i∈I pi; ( ∨ i∈I pi) là phép chiếu lên ⋂ i∈I piH; ( ⋃ i∈I piH) Ta có : ( ∧ i∈I pi) ⊥ = ∨ i∈I p⊥i ; ( ∨ i∈I pi) ⊥ = ∧ i∈I p⊥i ở đây p⊥ = 1− p là phép chiếu trực giao với p. Hai phép chiếu p và q là tương đương nếu p = u∗u và q = uu∗ với u ∈ A nào đó. Ta kí hiệu sự tương đương là ∼ . Các phép chiếu tương đương có cùng vết. Mệnh đề 1.2.9. Giả sử a là toán tử đóng, xác định trù mật kết hợp với A. Khi đó: supp(a) ∼ r(a) ở đây r(a) kí hiệu phép chiếu lên bao đóng miền giá trị của a. Với các phép chiếu p, q ∈ A ta có: (p ∨ q)− p ∼ q − (p ∧ q) kéo theo : τ(p ∨ q) ≤ τ(p) + τ(q) Tổng quát hơn : τ( ∨ i∈I pi) ≤ ∑ i∈I τ(pi) đối với họ tùy ý (pi)i∈I các phép chiếu trong A ( nếu I hữu hạn thì điều này kéo theo bằng qui nạp; đối với trường hợp tổng quát , sử dụng tính chuẩn tắc của τ ). Nhận xét 1.2.10. p, q ∈ Aproj : p ∧ q = 0 =⇒ p . 1− q CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 ( ở đây . có nghĩa ′′tương đương với một phép chiếu con của ′′ ). Thật vậy : p = 1− q⊥ = (p ∧ q)⊥ − p⊥ = (p⊥ ∨ q⊥)− p⊥ ∼ q⊥ − (p⊥ ∧ q⊥) . q⊥ = 1− q 1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được Định nghĩa 1.2.11. Giả sử ε, δ ∈ R+ . Khi đó ta kí hiệu D(ε, δ) là tập tất cả các toán tử aηA sao cho tồn tại phép chiếu p ∈ A thỏa mãn : (i) pH ⊆ D(a) và ||ap|| ≤ ε (ii) τ(1− p) ≤ δ Khi pH ⊆ D(a) thì toán tử ap xác định khắp nơi , đòi hỏi ||ap|| ≤ ε kéo theo ap bị chặn . Mệnh đề 1.2.12. Cho ε1, ε2, δ1, δ2 ∈ R+ . Khi đó: (i) D(ε1, δ1) +D(ε2, δ2) ⊆ D(ε1 + ε2, δ1 + δ2) (ii) D(ε1, δ1).D(ε2, δ2) ⊆ D(ε1ε2, δ1, δ2) Mệnh đề 1.2.13. Giả sử ε, δ ∈ R+: (i) Nếu a là toán tử trước đóng , thì: a ∈ D(ε, δ) ⇒ [a] ∈ D(ε, δ). (ii) Nếu a là toán tử đóng , xác định trù mật với biểu diễn cực a = u|a| thì: a ∈ D(ε, δ) ⇔ u ∈ A, |a| ∈ D(ε, δ) Bổ đề 1.2.14. Cho a ∈ A và ε, δ ∈ R+ . Khi đó : a ∈ D(ε, δ) ⇔ τ(χ]ε,∞[(|a|)) ≤ δ ( ở đây χ]ε,∞[(|a|) kí hiệu phép chiếu phổ của |a| tương ứng với khoảng ]ε,∞[ ). CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 Chứng minh. ′′ ⇐′′ Đặt : p = χ[0,∞](|a|) . Khi đó: pH ⊆ D(|a|) và || |a|p|| ≤ ε ′′ ⇒′′ Với p ∈ Aproj nào đó ta có : || |a|p|| ≤ ε và τ(1− p) ≤ δ Giả sử: |a| = ∞∫ 0 λdeλ là phân tích phổ của |a| . Bây giờ: ∀ξ ∈ pH ta có: || |a|ξ||2 ≤ ε2||ξ||2 và : ∀ξ ∈ (1− eε)H{0} ta có: || |a|ξ||2 > ε2||ξ||2 Vì: || |a|ξ||2 = ∞∫ 0 λ2d(eλξ|ξ) = ∫ ]ε,∞[ λ2d(eλξ|ξ) nên: (1− eε)H ∩ pH phải là {0} ,tức là (1− eε) ∧ p = 0 Vậy 1− eε . 1− p, do đó τ(1− eε) ≤ δ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 Mệnh đề 1.2.15. Cho a ∈ A¯ và ε, δ ∈ R+. Khi đó: a ∈ D(ε, δ) ⇔ a∗ ∈ D(ε, δ) Chứng minh. Giả sử a = u|a| là biểu diễn cực của a. Khi đó u là một đẳng cự của χ]0,∞[(|a|) = supp(a) lên χ]0,∞[(|a ∗|) = supp(a∗) = r(a) Do tính duy nhất của phân tích phổ suy ra với mỗi λ ∈ R+, u là một đẳng cự của χ]λ,∞[(|a|) lên χ]λ,∞[(|a∗|). Áp dụng bổ đề trên có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.16. Một không gian con E của H được gọi là τ− trù mật nếu ∀δ ∈ R+ , tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho pE ⊆ E và τ(1− p) ≤ δ. Mệnh đề 1.2.17. Giả sử E là không gian con τ− trù mật của H . Khi đó tồn tại một dãy tăng (pn)n∈N các phép chiếu trong A với pn ↑ 1, τ(1− pn) → 0, ∞∑ n=1 pnH ⊆ E . Chứng minh. Lấy các phép chiếu qk ∈ A, k ∈ N sao cho : qkH ⊆ E và τ(1− qk) ≤ 2−k. Với mỗi n ∈ N , đặt : pn = ∞∧ k=n+1 qk Khi đó pnH = ∞⋂ k=n+1 qkH ⊆ E CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 và τ(1− pn) = τ ( ∞∨ k=n+1 (1− qk) ) ≤ ∞∑ k=n+1 τ(1− qk) ≤ ∞∑ k=n+1 2−k = 2−n . Kéo theo: pn ↑ 1. Thật vậy, kí hiệu p là supremum của dãy tăng pn , ta có ∀n ∈ N : τ(1− p) ≤ τ(1− pn) ≤ 2 −n do đó τ(1− p) = 0 và p = 1. Hơn nữa ∞⋃ n=1 pnH ⊆ E Vậy nếu E là không gian con τ− trù mật của H thì E trù mật trong H. Bổ đề 1.2.18. (i) Cho p0 ∈ Aproj.Giả sử rằng : ∀δ ∈ R+, ∃p ∈ Aproj : p0 ∧ p = 0 và τ(1− p) ≤ δ. Khi đó : p0 = 0. (ii) Cho p1, p2 ∈ Aproj. Giả sử rằng ∀δ ∈ R+, ∃p ∈ Aproj : p1 ∧ p = p2 ∧ p và τ(1− p) ≤ δ. Khi đó: p1 = p2. Mệnh đề 1.2.19. Cho a, b ∈ A¯ và E là không gian con τ− trù mật của H chứa trong D(a) ∩D(b). Giả sử a|E = b|E . Khi đó a = b Chứng minh. Xét trong không gian Hilbert H2 = H ⊕ H đại số von Neumann A2 =  A A A A   được trang bị vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 xác định bởi τ2  x11 x12 x21 x22   = τ(x11) + τ(x22). Kí hiệu pa và pb là các phép chiếu lên đồ thị G(a) và G(b) của a và b .Vì a và b kết hợp với A nên G(a) và G(b) bất biến dưới tất cả các phần tử của A′2 = {  y 0 0 y   |y ∈ A′} và do đó pa, pb ∈ A2 . Giả sử δ ∈ R+ khi đó tồn tại một phép chiếu p ∈ A với pH ⊆ E và τ(1− p) ≤ δ/2. Đặt p2 =  p 0 0 p   Khi đó: τ2(1− p2) ≤ δ. Hơn nữa pa ∧ p2 = pb ∧ p2 Vì a và b thống nhất trên pH ⊆ E nên G(a) ∩ (pH ⊕ pH) = {(ξ, aξ)|ξ ∈ pH, aξ ∈ pH} = {(ξ, bξ)|ξ ∈ pH, bξ ∈ pH} = G(b) ∩ (pH ⊕ pH) Theo bổ đề trên , ta suy ra pa = pb, do đó a = b. Định nghĩa 1.2.20. Một toán tử đóng , xác định trù mật kết hợp với A được gọi là τ− đo được nếu với mọi δ ∈ R+ , tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho pH ⊆ D(a) và τ(1− p) ≤ δ. Kí hiệu A˜ là tập tất cả các toán tử đóng , τ− đo được ,xác định trù mật Nhận xét 1.2.21. 1. Nếu a, b ∈ A˜ và a ⊆ b thì a = b. 2. Nếu a ∈ A˜, và a là đối xứng thì a tự liên hợp . 3. Nếu a đóng và p ∈ Aproj thỏa mãn pH ⊆ D(a) thì toán tử , xác định khắp nơi ap cũng đóng và bị chặn. Định nghĩa 1.2.22. Toán tử aηA được gọi τ− tiền đo được nếu với mọi δ ∈ R+ tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho pH ⊆ D(a), ||a|| <∞ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 và τ(1− p) ≤ δ. Hay tương đương Giả sử aηA . Khi đó a là τ− tiền đo được khi và chỉ khi ∀δ ∈ R+, ∃ε ∈ R+ : a ∈ D(ε, δ) Mệnh đề 1.2.23. (i) Ta có A ⊆ A˜. (ii) Với a ∈ A˜ thì a∗ ∈ A˜. (iii) Cho a, b ∈ A˜ khi đó a+ b và ab xác định trù mật và tiền đóng , và [a+ b] ∈ A˜, [ab] ∈ A˜. (iv) A˜ là một ∗− đại số đối với tổng mạnh và tích mạnh. Từ đây ta sẽ bỏ qua kí hiệu [ ] trong kí hiệu tổng mạnh và tích mạnh. Định nghĩa 1.2.24. Với mọi ε, δ ∈ R+ , ta đặt N(ε, δ) = A˜ ∩D(ε, δ) tức là , N(ε, δ) là tập các a ∈ A¯, τ− đo được sao cho tồn tại phép chiếu p ∈ A thỏa mãn ||ap|| ≤ ε và τ(1− p) ≤ δ. Định lý 1.2.25. (i) N(ε, δ), với ε, δ ∈ R+ tạo thành cơ sở cho các lân cận của 0 đối với topo trên A˜ biến A˜ thành không gian véc tơ topo. (ii) A˜ là ∗− đại số topo Hausdorff đầy đủ và A là một tập con trù mật của A˜ Chứng minh. Điều kiện (i) là hiển nhiên . Ta chứng minh (ii) : (1) . Để A˜ là Hausdorff , ta sẽ chứng minh rằng⋂ ε,δ∈R+ N(ε, δ) = {0} Lấy a ∈ ⋂ ε,δ∈R+ N(ε, δ) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18 Khi đó : ∀δ ∈ R+, ∀ε ∈ R+ : τ(χ]ε,∞[(|a|)) ≤ δ Vì τ là đúng (faithful) , điều này kéo theo χ]ε,∞[(|a|) = 0 , do đó a = 0. (2). Tiếp theo ta sẽ chứng minh A˜ là ∗− đại số topo. Theo kết quả trên phép toán liên hợp là liên tục. Lấy a0, b0 ∈ A˜ và ε, δ ∈ R+ . Chọn µ, λ ∈ R+ sao cho a0 ∈ N(µ, δ), b0 ∈ N(λ, δ) Khi đó với mọi a, b ∈ A˜ thỏa mãn a− a0 ∈ N(ε, δ) và b− b0 ∈ N(ε, δ) , ta có ab− a0b0 = (a− a0)(b− b0) + a0(b− b0) + (a− a0)b0 ∈ N(ε, δ)N(ε, δ) +N(µ, δ)N(ε, δ) +N(ε, δ)N(λ, δ) ⊆ N(ε2, 2δ) +N(µε, 2δ) +N(λε, 2δ) ⊆ N(ε(ε+ λ+ µ), 6δ) Do đó (a, b) → ab là liên tục. (3).A là trù mật trong A˜. Thật vậy , giả sử a ∈ A˜ , lấy các phép chiếu pn ∈ A sao cho pn ↗ 1, τ(1− pn) → 0, ⋃ n∈N pnH ⊆ D(a) Khi đó apn ∈ A và apn → a trong A˜ vì ||(apn − a)pm|| = 0 với mọi m ≤ n và τ(1− pm) → 0 khi n→∞ (4). Cuối cùng ta sẽ chứng minh rằng không gian véc tơ topo A˜ là đầy đủ. Vì A˜ có một cơ sở đếm được cho các lân cận của 0 ( chẳng hạn sử dụng N(1/n, 1/m), n,m ∈ N CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 19 ) ta chỉ cần chứng minh rằng mọi dãy Cauchy (an)n∈N trong A˜ hội tụ . Vì vậy giả sử (an)n∈N là một dãy Cauchy trong A˜ và ∀n ∈ N : an+1 − an ∈ N(2 −(n+1), 2−n) Lấy phép chiếu pn ∈ A sao cho ||(an+1 − an)pn|| ≤ 2 −(n+1) và τ(1− pn) ≤ 2−n. Với mỗi n ∈ N ,đặt: qp = ∞∧ k=n+1 pk Vì τ(1− qn) = τ( ∞∨ k=n+1 (1− pk)) ≤ ∞∑ k=n+1 τ(1− pk) ≤ ∞∑ k=n+1 2−k = 2−n và ∀m ≥ n+ 1, ∀l ∈ N : ||(am+l − am)qn|| ≤ 2 −m Vì qn ≤ pkvới mọi k ≥ m ≥ n+ 1 và do đó ||(am+l − am)qn|| ≤ m+l−1∑ k=m ||(ak+1 − ak)qn|| ≤ m+l−1∑ k=m ||(ak+1 − ak)pk|| ≤ m+l−1∑ k=m 2−(k+1) ≤ 2−m Lấy ξ ∈ ⋃ n∈N qnH .Khi đó ξ ∈ qnH với n ∈ N nào đó,và do đó dãy (amξ)m∈N là dãy Cauchy. Đặt aξ = limm→∞amξ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 Như vậy ta đã định nghĩa một toán tử a với D(a) = ⋃ n∈N qnH (chú ý rằng D(a) là không gian tuyến tính con vì (qn)n∈N là một dãy tăng các phép chiếu). Theo các xây dựng , a là τ− tiền đo được . Với mọi n ∈ N ta có qnH ⊆ D(a) và τ(1− qn) ≤ 2−n. Ta khẳng định rằng a cũng tiền đóng. Để thấy điều này , áp dụng lập luận ở trên cho (a∗n)n∈N. Do đó tồn tại một toán tử τ− tiền đo được b sao cho bn = limm→∞a ∗ nη, η ∈ D(b) Khi đó ∀ξ ∈ D(a), ∀η ∈ D(b) : (aξ|η) = lim(amξ|η) = lim(ξ|a ∗ mη) = (ξ|bη) nên a ⊆ b∗. Như vậy a tiền đóng . Vậy [a] ∈ A˜. Đặt: a0 = [a], cuối cùng ta chứng minh an → a0 trong A˜. Giả sử ε, δ ∈ N0. Lấy n0 ∈ N sao cho 2−(n0+1) ≤ ε và 2−n0 ≤ δ. Khi đó với mọi m ≥ n0 + 1 ta có ||(a0 − am)qn0|| ≤ 2 −(n0+1) ≤ ε và τ(1− qn0) ≤ 2 −n0 ≤ δ vì ∀ξ ∈ H : (a0 − am)qn0ξ = liml→∞(am+l − am)qn0ξ và ||(am+l − am)qn0|| ≤ 2 −m ≤ 2−(n0+1) ≤ ε do đó ∀b ≥ n0 + 1 : a0 − am ∈ N(ε, δ) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21 1.3 Không gian Lp theo một vết Trong phần này chúng ta sẽ định nghĩa không gian Lp , Lp = Lp(A, τ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và xây dựng các tính chất cơ bản của chúng. Segal đã làm với p = 1, 2,∞ ( không gian L∞ chính là A ) , và Kunze đã nghiên cứu trong trường hợp tổng quát. Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trên khái niệm hội tụ theo độ đo đã trình bày trong phần trên sẽ đơn giản hơn. Cho trước một vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ trên đại số von Neumann A trên không gian Hilbert. Giả sử L2 = {a ∈ A : τ(a ∗a) <∞} Cho a trong L2 và b trong A . Khi đó (ba)∗ba ≤ ||b||a∗a nên ba cũng trong L2 . Vì a và b đều trong L2 nên a+ b cũng trong L2 vì (a+ b)∗(a+ b) ≤ 2(a∗a+ b∗b) Do đó L2 là một idean trái . Vậy nó là tự liên hợp và do đó là idean hai phía (sau này ta sẽ đồng nhất L2 với L2 ∩ L∞) . Đặt L = L22 . Khi đó L cũng là một idean hai phía (sau này ta sẽ đồng nhất nó với L1 ∩ L∞). Nếu a trong A+ và τ(a) < ∞ thì a1/2 trong L2 , nên a trong L. Ngược lại, giả sử c ≥ 0 với c trong L. Khi đó c là tổng hữu hạn c = ∑ biai với bi, ai trong L2. Vì c ≤ 1 2 ∑ (bib ∗ i + a ∗ iai) nên ta có τ(c) < ∞. Do đó L chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử a trong A+ với τ(a) < ∞, và các phần tử này tạo thành L ∩ A+. Như vậy τ mở rộng duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính (vẫn kí hiệu là τ ) trên L. Theo biểu diễn cực thì τ(b∗a) = τ(ab∗), và do đó τ(ba) = τ(ab) với mọi a, b trong L. Vì vậy ,nếu a ≥ 0 và a trong L thì τ(ab) = τ(a1/2ba1/2) nên 0 ≤ τ(ba) ≤ ||b||τ(a) với mọi b ≥ 0 trong Lvà do đó, theo tính chuẩn tắc và nửa hữu hạn của τ ,với mọi b trong A+. Kết quả là |τ(ba)| ≤ ||b||τ(a) với mọi b trong A. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 22 Ta cũng sẽ sử dụng kí hiệu ||b||∞ cho chuẩn toán tử của phần tử b trong A, và ta đặt ||a||1 = τ(|a|) với a trong L. Vì a = u|a| với ||u||∞ = 1 nên ta có |τ(ba)| ≤ ||b||∞||a||1; b ∈ A, a ∈ L (1.1) với 1 ≤ p <∞ và a trong L , đặt ||a||p = τ(|a|p)1/p.Ta khẳng định rằng bất đẳng thức Holder: |τ(ba)| ≤ ||b||q||a||p (1.2) đúng , với a, b trong L và ( 1 p ) + ( 1 q ) = 1. Để thấy điều này , giả sử u và v trong A với ||u||∞ ≤ 1, ||v||∞ ≤ 1 và giả sử c ≥ 0, d ≥ 0, c ∈ L, d ∈ L thỏa mãn c và d bị chặn cách xa 0 trên bổ sung đủ trực giao của các không gian trống của chúng. Do tính liên tục nên sự giới hạn này về sau sẽ bỏ qua, và ta không nhắc đến nữa . Khi đó s 7−→ τ(udsvc1−s) liên tục và bị chặn trên 0 ≤ Res ≤ 1 và chỉnh hình ở phần trong. Theo ví dụ về nguyên lý Phragmén-Lindelof được biết đến như là định lý 3 đường thẳng ,ta có : |τ(udkvc1−p)| ≤ supRes=1|τ(ud svc1−s)|ksupRes=0|τ(ud svc1−s)|1−k với 0 ≤ k ≤ 1, và theo (1.1) vế phải ≤ ||d||k1||c|| 1−k 1 . Áp dụng điều này với c = |a|1/k, d = |b|1/(1−k) ở đây a = u|a|, b = v|b|, k = 1/q, và 1 − k = 1/q , điều này kéo theo (1.2). Với a = u|a| trong L, đặt b = |a|p−1u∗ ||a|| p/q p ở đây 1/p+ 1/q = 1 . Khi đó dễ thấy ||b||q = 1 và τ(ba) = ||a||p. Tức là ||a||p = sup||b||q=1|τ(ba)| (1.3) và supremum là đạt được. Từ đây ta dễ dàng thu được bất đẳng thức Minkowski ||a + b||p ≤ ||a||p + ||b||p (1.4) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23 với a, b trong L. Vì vế trái là τ(c(a+ b)) với c thỏa mãn ||c||q = 1 ,nhưng nó bằng τ(ca)+τ(cb), do đó nhỏ hơn vế phải theo bất đẳng thức Holder. Cuối cùng ,chú ý rằng ||a||p = 0 kéo theo a = 0 do tính đúng của τ . Do vậy L là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn ||.||p . Gọi Lp là không gian Banach tương ứng với L sau bổ sung cho đầy đủ. Nếu a ≥ 0 trong L với biểu diễn phổ a = ∞∫ 0 λdeλ thì ||a||pp = τ(a p) = ∞∫ 0 λpdτ(eλ) nên ||a||pp ≥ λ pτ(eλ) (1.5) với mọi λ ≥ 0. Vậy , nếu an trong L là dãy Cauchy trong Lp thì nó là dãy Cauchy theo độ đo. Do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính tự nhiên liên tục của Lp vào A˜. Ta chứng minh được rằng ánh xạ tự nhiên này là đơn ánh. Định nghĩa 1.3.1. Đối với toán tử dương tự liên hợp a kết hợp với A bất kì , ta đặt τ(a) = supn∈Nτ( n∫ 0 λdeλ) ở đây a = ∞∫ 0 λdeλ là biểu diễn phổ của a . Khi đó với mỗi p ∈]1,∞[ ta có thể định nghĩa Lp(A, τ) = {a ∈ A¯ ∣∣∣τ(|a|p) <∞} và ||a||p = τ(|a| p)1/p <∞, a ∈ Lp(A, τ) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 24 .(Lp(A, ), ||.||p) là các không gian Banach trong đó I = {x ∈ A ∣∣∣τ(|x|) <∞} là trù mật , và tất cả chúng được chứa trong ( hoặc thậm chí là nhúng liên tục trong ) A˜ Lời bình Khái niệm về toán tử đo được được đưa ra bởi I.E.Segal [17] và tạo thành cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết tích phân không giao hoán , tức là lý thuyết ′′ tích phân ′′ . Ở đó L∞(X, µ) ( tương ứng với không gian đo (X, µ) ) được thay thế bởi đại số von Neumann tổng quát hơn. Lý thuyết này đóng vai trò chính trong việc xây dựng các không gian Lp kết hợp với các đại số von Neumann nửa hữu hạn là không gian cụ thể của các toán tử đóng xác định trù mật .Trong [18] , E.Nelson đã đưa ra một hướng tiếp cận mới đòi hỏi ít kiến thức về kĩ thuật đại số von Neumann − cho lý thuyết này , dựa trên khái niệm về tính đo được theo một vết (bắt nguồn từ khái niệm hội tụ theo độ đo được giới thiệu bởi W.F.Stinespring trong [16] ).Toán tử đo được bất kì cũng đo dược theo nghĩa Segal ( trong khi điều ngược lại nói chung không đúng ). Tuy nhiên ,tập hợp các toán tử τ− đo được đủ lớn để chứa các không gian Lp theo τ . 1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann Lý thuyết xác suất không giao hoán là nền tảng toán học của cơ học lượng tử, nó có thể coi là mở rộng tự nhiên của lý thuyết xác suất cổ điển. Trong cơ học cổ điển, với mỗi hệ hạt điểm vật lý có một đa tạp khả vi U tương ứng .Các trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các điểm của U , và các lượng vật lý (các quan sát được ) sẽ được mô tả bởi các hàm (đo được) trên đa tạp U . Trong cơ học lượng tử, với mỗi hệ vật lý có một không gian Hilbert H tương ứng. Với hệ có số bậc tự do hữu hạn , các trạng thái hỗn hợp được cho bởi các toán tử lớp vết dương ( toán tử trù mật ) .Các quan sát được sẽ được biểu diễn bởi các toán tử tự liên hợp hoạt động trên H. Đối với hệ hạt có số bậc tự do vô hạn , người ta đồng nhất trạng thái của hệ với trạng thái ( toán học ) trên một đại số toán tử A thích hợp . Trong hầu hết trường hợp ta có thể lấy A là đại số toán tử von Neumann hoạt động trên một không gian phức CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 25 (khả ly) . Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại số von Neumann. Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumann giao hoán L∞(U,Bu, µ) các hàm đo được bị chặn trên một không gian đo (U,Bu, µ) . Khi đó các hàm đo được không bị chặn sẽ được ′′ gắn ′′ vào L∞(U,Bu, µ) một cách tự nhiên. Độ đo µ sau khi thác triển duy nhất thành tích phân ∫ U f(dµ) là một trạng thái chuẩn tắc đúng trên L∞. Do đó trường hợp cổ điển được coi là sườn của đại số von Neumann (giao hoán). Đối với một không gian xác suất (Ω, F, µ) , gọi L∞(Ω, F, µ) là đại số (các lớp tương đương ) tất cả các hàm nhận giá trị phức, bị chặn cốt yếu và F− đo được trên Ω. Nó có thể coi là một đại số von Neumann giao hoán hoạt động trong L2(Ω, F, µ) nếu ta đồng nhất hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân ag : f → fg, với f ∈ L2. Đại số A = L∞(Ω, F, µ) có trạng thái vết chuẩn đúng τµ ( cho bởi τµ(f) = ∫ Ω fdµ ). Theo định lý Ergoroff, sự hội tụ µ− hầu chắc chắn của dãy (fn) từ A là tương đương với sự hội tụ hầu đều của nó. Tức là ta có thể phát biểu lại hội tụ hầu chắc chắn bằng chuẩn trong L∞ , trạng thái τµ và các hàm đặc trưng. Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ. Ta nói rằng dãy (xn) các phần tử của A hội tụ hầu đều tới phần tử x ∈ A nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tại một phép chiếu p ∈ A với φ(1− p) < ε thỏa mãn ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞. Chú ý. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn φ do đó hội tụ hầu đều tương đương với hai điều kiện sau: (*) Trong mọi lân cận mạnh của đơn vị trong A , tồn tại phép chiếu p sao cho ||(xn − x)p|| → 0 , khi n→∞ (**) Với mỗi trạng thái chuẩn đúng φ trên A và ε, tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1− p) < ε thỏa mãn ||(xn − x)p|| → 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 26 Nhận xét. Nếu φ là một trạng thái chuẩn tắc đúng thì topo mạnh trong hình cầu đơn vị S trong A có thể metric hóa bởi khoảng cách dist(x, y) = φ[(x− y)∗(x− y)]1/2 Định lý 1.3.3. Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ. Với dãy bị chặn các toán tử (xn) từ A sự hội tụ hầu đều kéo theo sự hội tụ mạnh (σ− mạnh) của (xn). 1.3.2 Các kiểu hội tụ ′′ hầu chắc chắn ′′ trong đại số von Neumann Khái niệm hội tụ hầu đều là sự tổng quát của khái niệm hội tụ hầu chắc chắn cho đại số von Neumann . Ta có thể xét các phiên bản không giao hoán khác của khái niệm này. Định lý 1.3.4. Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ .Với mọi dãy bị chặn (xn) trong A, các điều kiện sau là tương đương (i) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p trong A với φ(1 − p) < ε và số nguyên dương N sao cho ||(xn − x)p|| < ε với n ≥ N. (ii) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1− p) < ε sao cho ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞. (iii) Với ε, tồn tại dãy các phép chiếu (pn) trong A tăng tới 1.( trong topo mạnh ) sao cho ||(xn − x)pn|| < ε với n = 1, 2, ... CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 27 (iv) Với mọi phép chiếu khác không p trong A tồn tại phép chiếu khác không q ∈ A sao cho q ≥ p và ||(xn − x)q|| → 0 khi n→∞ Rõ ràng trong trường hợp đại số von Neumann giao hoán L∞(Ω, F, µ) cả 4 điều kiện vừa thành lập đều tương đương với hội tụ µ− hầu chắc chắn. Định lý 1.3.5. Nếu φ là một trạng thái vết chuẩn đúng ( tức A là đại số von Neumann hữu hạn ) thì cả 4 điều kiện trên là tương đương. Giả sử φ là một vết ( hữu hạn hoặc nửa hữu hạn ) . Xét ∗− đại số A các toán tử đo được đối với (A, φ) theo nghĩa Segal − Nelson. Hội tụ hầu đều (hay hội tụ gần đều khắp nơi )cũng có thể được xét đối với dãy trong A˜ (cụ thể là đối với dãy (xn) trong L1(A, φ)). Định nghĩa 1.3.6. Một dãy (xn) trong A˜ được gọi là hội tụ hầu đều tới x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho φ(p⊥) < ε, (xn − x)p ∈ A với n > n0 và ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞. Định lý 1.3.7. Dãy (xn) trong A ( trong A˜ nếu φ là một vết ) được gọi là hội tụ hầu đều hai phía tới x ∈ A hay (A˜) nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 28 1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff Mệnh đề 1.3.8. Giả sử A là một đại số von Neumann hoạt động trong không gian Hilbert H. Nếu dãy (xi) trong A hội tụ mạnh tới x0 thì với mọi ε > 0 , tồn tại dãy (pi) ⊂ ProjA sao cho pi → 1 mạnh và ||(xi − x0)pi|| < ε với i = 1, 2, ... Định lý 1.3.9. (Định lý Egoroff không giao hoán) Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ ; xn là dãy trong A hội tụ đến x theo topo toán tử mạnh . Khi đó với mọi phép chiếu p ∈ A và mọi ε > 0, tồn tại phép chiếu q ≤ p trong A và dãy con (xnk) của (xn) sao cho φ(p− q) < ε và ||(xnk − x)q|| → 0 khi k →∞. Bổ đề 1.3.10. Giả sử {xn} là một dãy toán tử dương từ A và {εn} là một dãy số dương . Nếu ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn) < 1/2 thì tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho φ(p) ≥ 1− 2 ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn) và ||pxnp|| ≤ 2εn với mọi n = 1, 2, .... Định lý 1.3.11. Định lý Rademacher-Menchoft. Giả sử ξ1, ξ2, .... là dãy các biến ngẫu nhiên trực giao và c1, c1, .... là dãy số thực thỏa mãn ∞∑ k=1 c2k(lgk) 2 <∞ Khi đó chuỗi ∞∑ k=1 ckξk hội tụ với xác suất 1. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 29 Các kí hiệu sử dụng trong đề tài : A kí hiệu 1 đại số von Neumann hoạt động trong một không gian Hilbert phức H ; A′ là hoán tập của A;φ là một trạng thái trên A ; A+ là nón các toán tử dương trong A ; ProjA là tập hợp tất cả các phép chiếu trực giao trong A .Với p ∈ ProjA luôn luôn p⊥ = 1 − p. Toán tử đơn vị trong A là 1, đối với tập con Borel Z của đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp x , kí hiệu eZ(x) là phép chiếu phổ của x tương ứng với Z. Với x ∈ A thì |x|2 = x∗x. A˜ là tập các toán tử đóng ,τ− đo được , xác định trù mật. A là tập các toán tử đóng , xác định trù mật và kết hợp với A 1.3.4 Khái niệm về luật số lớn Một biến cố ngẫu nhiên có thể xảy ra mà cũng có thể không xảy đối với mỗi phép thử. Đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy một trong các giá trị có thể của nó. Nhưng khi xét một số lớn những biến cố ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên , ta có thể thu được kết luận nào đó mà trên thực tế có thể xem là chắc chắn. Trong lý thuyết xác suất người ta gọi những định lý khẳng định dãy nào đó những đại lượng ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất về hằng số là những định lý luật số lớn . Những định lý luật số lớn cổ điển ( luật số lớn đối với hội tụ theo xác suất ) như định lý Bernoulli và định lý Chebyshev , Khinchin...và luật số lớn đối với hội tụ hầu chắc chắn như định lý Kolmogorov. Định nghĩa 1.3.12. Luật yếu số lớn còn được gọi là định lý Khinchin Xét n biến ngẫu nhiên X1, X2, ...., Xn độc lập , cùng phân phối với phương sai hữu hạn và kỳ vọng E(X). Khi đó với mọi số thực ε dương , xác suất để khoảng cách giữa trung bình tích lũy Yn = X1 +X2 + ...+Xn n và kỳ vọng E(X) lớn hơn ε là tiến về 0 khi n tiến về vô cực. limn→∞P (∣∣∣X1 +X1 + ....+Xn n −E(X) ∣∣∣ ≥ ε) = 0 Định nghĩa 1.3.13. Luật mạnh số lớn Kolmogorov Xét n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, ........., Xn cùng phân phối xác suất với phương sai E(|X|) <∞ . Khi đó trung bình tích lũy Yn = X1 +X2 + ....+Xn n CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 30 hội tụ hầu như chắc chắn về E(X) .Tức là P ( limn→∞Yn(ω) = E(X) ) = 1 Chương 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số kết quả được coi là mở rộng của định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( hay không tương quan ) . Dĩ nhiên ta sẽ cần khái niệm tổng quát tương ứng về tính độc lập trong đại số von Neumann. Việc thiết lập lại định nghĩa cổ điển không khó. Nhưng điều cần nhấn mạnh ở đây là tính độc lập liên quan đến trạng thái φ là một điều kiện rất hạn chế ,đặc biệt khi φ không phải là vết.Khái niệm độc lập trong xác suất không giao không đóng vai trò quá quan trọng như trong xác suất cổ điển. Đó là lý do vì sao các định lý về dãy toán tử độc lập dường như ít quan trọng so với các định lý martingale hay ergodic . Rất may là đối với trạng thái vết (tracial state) thì các kĩ thuật vẫn tương tự như trường hợp cổ điển.Vì vậy ta thu được rất nhiều kết quả đúng cho cả trường hợp giao hoán và không giao hoán theo cách làm không khác nhiều cách làm cổ điển . Thay cho việc nghiên cứu tính độc lập, ta sẽ nghiên cứu tính trực giao ( liên quan đến trạng thái φ) với điều kiện kém chặt hơn nhiều. Các định lý liên quan đến dãy trực giao dường như được ứng dụng nhiều hơn, và sẽ được nghiên cứu trong chương này. Các định lý như vậy có liên hệ với lý thuyết tương quan trong các quá trình ngẫu nhiên lượng tử ( xem [14] ) và cho ta một số thông tin về biến thiên tiệm cận của dãy quan sát được không tương quan. 31 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 32 Nếu trạng thái φ là vết thì ta sẽ thiết lập được một số định lý cho dãy toán tử đo được. Chính xác hơn, ta sẽ xét dãy (xn) ⊂ A˜ ,với A˜ là *- đại số tô pô các toán tử đo được theo nghĩa Segal-Nelson . Các thuật ngữ và một số kết quả liên quan đến toán tử đo được có thể xem thêm tài liệu trong phần phụ lục. 2.1 Tính độc lập Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ ( faithful normal state φ ) . Kí hiệu A1, A2 là các đại số von Neumann con của A . Theo Batty [11] ta có 2 phiên bản của khái niệm φ− độc lập đối với dãy toán tử . Định nghĩa 2.1.1. Các đại số con A1, A2 được gọi là độc lập ( liên quan đến φ ) nếu φ(xy) =φ(x)φ(y) với mọi x ∈ A1, y ∈ A2 . Rõ ràng quan hệ độc lập có tính chất đối xứng. Định nghĩa 2.1.2. Các phần tử x, y ∈ A ( hay từ A˜ nếu φ là trạng thái vết ) được gọi là độc lập nếu các đại số von Neumann W ∗(x) và W ∗(y) lần lượt sinh ra bởi x và y là độc lập. Dãy {xn} các phần tử từ A ( hay A˜ nếu φ là một vết ) được gọi là độc lập liên tiếp nếu với mỗi n , đại số W ∗(xn) độc lập với W ∗(x1, x2, ...., xn−1) . Định nghĩa 2.1.3. Họ {Bλ, λ ∈ Λ} của các đại số von Neumann con của A ( hay trong A˜ nếu φ là vết ) gọi là độc lập yếu nếu Bλ độc lập với W ∗{Bµ;µ ∈ Λ− {λ}} 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann Từ đây ta sẽ sử dụng một số kiểu hội tụ trong A Ta công nhận định nghĩa sau: CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 33 Định nghĩa 2.2.1. Dãy {xn} trong A được gọi là hội tụ hầu đầy đủ tới x nếu với mọi ε > 0 ,tồn tại dãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho∑ n φ(1− qn) <∞ và ||(xn − x)qn|| < ε; n = 1, 2, .... Trước hết ta lưu ý rằng nếu φ là vết thì hội tụ hầu đầy đủ kéo theo hội tụ hầu đều. Chứng minh. Thật vậy , giả sử xn → 0 hầu đầy đủ. Khi đó tồn tại dãy các phép chiếu qn sao cho ||xnqn|| < ε, n = 1, 2, ... và∑ n φ(q⊥n ) <∞ Đặt : pn = ∞∧ s=n qn , ta có : φ(1− pn) ≤ ∞∑ s=n φ(1− qn) → 0 Tức là xn → 0 hầu khắp nơi . Theo định lý 1.3.5 thì xn → 0 hầu đều. Khi φ là một trạng thái , ta có kết quả sau: Định lý 2.2.2. Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (xn) là dãy bị chặn trong A . Nếu xn → x hầu đầy đủ thì xn → x hầu đều. Chứng minh. Giả sử ||xn|| ≤ 1 và x = 0 . Cho trước ε > 0. Ta sẽ tìm dãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho :∑ n φ(q⊥n ) <∞ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 34 và ||xnqn|| < ε với n = 1, 2, ... Cố định dãy số dương (εn) thỏa mãn: εn → 0 và ∞∑ n=1 φ(1− qn)ε −1 n < ε/2 Theo bổ đề 1.3.10 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(p⊥) < ε và thỏa mãn ||pq⊥n p|| = ||qnp ⊥||2 < 2εn;n = 1, 2, .... Khi đó ta có: ||xnp|| ≤ ||xnqnp||+ ||xnq ⊥ n p|| ≤ ||xnqn||+ ||q ⊥ n p|| < ε+ (2εn) 1/2 < 2ε với n > M0(ε) Vì vậy điều kiện sau được thỏa mãn: (*) Với mỗi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p với φ(p) ≥ 1− ε và thỏa mãn ||xnp|| n0(ε); Theo định lý 1.3.4 thì xn → 0 hầu đều ; 2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao Trong mục này ta sẽ chứng minh định lý giới hạn mạnh sau đây về dãy trực giao liên quan đến một trạng thái . Định lý 2.3.1. [15] Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (xn) là dãy trực giao từng đôi trong A (tức là φ(x∗nxm) = 0 với m 6= n) Nếu : ∞∑ n=1 ( lgn n )2φ(|xn| 2) <∞ (2.1) Thì các trung bình : Sn = 1 n n∑ k=1 xk (2.2) hội tụ hầu đều tới 0 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 35 Để chứng minh định lý này ta sẽ bắt đầu với kết quả như sau . Mệnh đề 2.3.2. Giả sử (yn) là dãy trực giao từng đôi trong A . Đặt: tn = n∑ k=1 yn (2.3) Khi đó tồn tại dãy toán tử dương Bm trong A sao cho : |tn| 2 ≤ (m+ 1)Bm 1 ≤ n ≤ 2 m (2.4) và φ(Bm) ≤ (m+ 1) 2m∑ k=1 φ(|yk| 2) (2.5) Chứng minh. Việc chứng minh dựa trên ý tưởng của Plancherel [ 7] và được trình bày trong lý thuyết về chuỗi trực giao ( xem [8] ). Ta sẽ bắt đầu với biểu diễn nhị phân của chỉ số n ; ta chia khoảng I = (0, 2m] thành các khoảng (0, 2m−1] và (2m−1, 2m] ,mỗi khoảng này lại tiếp tục được chia đôi .... và ta sẽ thu được dãy phân hoạch của I . Các phân tử của phân hoạch đầu tiên có độ dài 2m−1 ,cácphân tử của phân hoạch thứ r có độ dài 2m−r . Đối với số nguyên dương n ≤ 2m , ta có biểu diễn nhị phân của nó. Khi đó khoảng (0, n] có thể viết thành tổng của nhiều nhất m khoảng rời nhau I(n)j mỗi khoảng thuộc một phân hoạch khác nhau , tức là : (0, n] = m⋃ j=0 I (n) j (2.6) Với I(n)j là tập rỗng hoặc là khoảng có độ dài |I (n) j | ; (j=1,2,...m) Ta có thể viết : tn = m∑ j=0 ∑ k∈I (n) j yk (2.7) (đương nhiên , ta sẽ đặt ∑ k∈I (n) j yk = 0 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 36 nếu I(n)j trống ) . Bây giờ ta chú ý rằng với dãy Z1, Z2, ...., Zn trong A , ta có : | n∑ k=1 Zk| 2 ≤ n n∑ k=1 |Zk| 2 (2.8) Điều này dễ dàng suy ra bằng quy nạp từ bất đẳng thức : x∗y + y∗x ≤ x∗x+ y∗y Đặt: Bm = ∑ I | ∑ k∈I yk| 2 (2.9) Ở đây I chạy trên tất cả các khoảng là phần tử của phân hoạch của (0, 2m]. Khi đó ta có: |tn| 2 ≤ (m+ 1) m∑ j=0 | ∑ k∈I (n) j yk| 2 ≤ (m+ 1)Bm (2.10) Hơn nữa Bm không phụ thuộc vào n ∈ (0, 2] nên (2.5) đúng . Mệnh đề được chứng minh xong . * Chứnh minh định lý 2.3.1 Chứng minh. Đặt : SN = 1 N N∑ k=1 xk . Giả sử : 2k < N ≤ 2k+1. Khi đó : |SN − S2k| 2 = |( 1 N − 1 2k ) 2k∑ s=1 xs + 1 N N∑ s=2k+1 xs| 2 (2.11) ≤ 2[( 1 N − 1 2k )2| 2k∑ s=1 xs| 2 + 1 N2 | n∑ s=2k+1 xs| 2] Áp dụng mệnh đề 2.3.2 , ta có: |SN − S2k| 2 ≤ 21−2k[| 2k∑ s=1 xs| 2 + (k + 2)Bk] CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 37 Ở đây Bk là toán tử dương , không phụ thuộc vào N ∈ (2k, 2k+1] và thỏa mãn : φ(Bk) ≤ (k + 2) 2k+1∑ s=2k+1 φ(|xs| 2) (2.12) Do đó , với 2k < N ≤ 2k+1, ta có: |SN − S2k| 2 ≤ Dk (2.13) Với Dk ∈ A+, và φ(Dk) ≤ 2 1−2k[ 2k∑ s=1 φ(|xs| 2) + (k + 2) 2k+1∑ s=2k+1 φ(|xs| 2)] (2.14) Theo giả thiết của định lý , ta có : ∞∑ k=1 φ(Dk) ≤ ∞∑ k=1 21−2k 22k k2 2k∑ s=1 φ(|xs| 2)( lg s s )2 + ∞∑ k=1 21−2k 22k k2 (k + 2)2 2k+1∑ s=2k+1 φ(|xs| 2)( lg s s )2 ≤ ∞∑ s=1 φ(|xs| 2)( lg s s )2( ∞∑ k=1 2 k2 + const) (2.15) Hơn nữa: ∞∑ k=1 φ(|S2k| 2) = ∞∑ k=1 1 22k 2k∑ s=1 φ(|xs| 2) ≤ ∞∑ k=1 2−2k 22k k2 ∞∑ s=1 φ(|xs| 2)( lg s s )2 <∞ (2.16) Cho trước ε > 0.Từ (2.15) ,(2.16) suy ra ta có thể tìm được dãy số dương (εk) sao cho εk → 0 và : ∞∑ k=1 ε−1k φ(|S2k| 2 +Dk) < ε/2 (2.17) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 38 Theo bổ đề 1.3.10 tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(p) ≥ 1− ε thỏa mãn: ||p|S2k| 2p|| < 2εk; ||pDkp|| < 2εk (2.18) Như vậy ,với 2k < N ≤ 2k+1 , ta có ước lượng sau : ||SNp|| 2 + ||(SN − S2k)p+ S2kp|| 2 ≤ 2[||(SN − S2k)p|| 2 + ||S2kp|| 2] = 2[p|SN − S2k| 2p||+ ||p|S2k| 2p||] ≤ 2[||pDkp||+ ||p|S2k| 2p||] < 8εk → 0 khiN →∞. Điều này có nghĩa là : SN = 1 N N∑ s=1 xs hội tụ hầu đều về 0 Định lý được chứng minh xong. Ta sẽ thiết lập phiên bản r− chiều của định lý 2.3.1 Định lý 2.3.3. Giả sử (x(i)n ); i = 1, 2, ...., r là một hệ hữu hạn các dãy trực giao từng đôi trong A ( tức là φ((x(i)n )∗x (i) m ) = 0 với m 6= n và i = 1, 2, ..., r). Giả thiết : ∞∑ n=1 ( lgn n )2φ(|x(i)n | 2) <∞; i = 1, 2, ..., r Khi đó, với mỗi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1 − p) < ε và thỏa mãn: Max1≤i≤r|| 1 N N∑ n=1 x(i)n p|| → 0; N →∞ tức là, các trung bình 1 N N∑ n=1 x(i)n hội tụ tới 0 hầu đều và đều theo 1 ≤ i ≤ r; CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 39 Dĩ nhiên nếu φ là một vết thì định lý này là hệ quả tầm thường của định lý 2.3.1. Nếu φ là trạng thái chuẩn tắc đúng tổng quát , chứng minh có thể thu được bằng cách xem xét kỹ chứng minh của định lý 2.3.1. Chứng minh. Đặt : S (i) N = 1 N N∑ n=1 x(i)n Và áp dụng mệnh đề 2.3.2 , ta có ước lượng : |S (i) N − S (i) 2k | ≤ D (i) k ; (i = 1, 2, ..., r) Với D(i)k ∈ A+ nào đó có tính chất giống Dk . Đến đây ta có thể đặt : Dk = r∑ i=1 D (i) k ; SN = ( r∑ i=1 |S (i) N | 2)1/2 Và tiếp tục chứng minh như trong định lý 2.3.1 Ta sẽ so sánh định lý 2.3.1 với các kết quả cổ điển . Định lý Rademacher - Menchoft về sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi trực giao [8] cùng với bổ đề Kronecker cho ta luật mạnh số lớn sau đây: Định lý 2.3.4. Đối với dãy (Xn) các biến ngẫu nhiên không tương quan , nếu : ∑ n ( lgn n )2var(Xn) <∞ Thì: 1 n n∑ k=1 (Xk − EXk) → 0 với xác suất 1 Rõ ràng định lý 2.3.1 có thể được coi là sự mở rộng của luật mạnh số lớn nói trên cho trường hợp không giao hoán . Với một vài điều kiện mạnh hơn trong định lý 2.3.1 ta sẽ thu được sự hội tụ tốt hơn của dãy trung bình . Do đó dễ dàng chứng minh 2 định lý sau: CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 40 Định lý 2.3.5. Giả sử (xn) là dãy trong A trực giao liên quan tới trạng thái φ . Nếu ∞∑ s=1 asφ(|xs| 2) <∞ khi 0 < as ↓ 0 và ∞∑ s=1 1 s2as <∞ thì 1 n n∑ s=1 xs → 0 hầu đầy đủ. Chứng minh. Đặt: Sn = 1 N N∑ s=1 xs , khi đó: φ(|SN | 2) = 1 N2 N∑ s=1 φ(|xs| 2) ≤ 1 N2aN N∑ s=1 asφ(|xs| 2) Do vậy : ∑ φ(|SN | 2) <∞ Với ε > 0 , ta đặt : qN = e[0,ε2](|SN | 2) Khi đó :||SNqN || < ε với N = 1, 2, ... Hơn nữa : ∞∑ N=1 φ(q⊥N) ≤ ε −2 ∞∑ k=1 φ(|Sk|) <∞ Kết thúc chứng minh. Định lý tiếp theo là kết quả mạnh hơn của Batty [11] (định lý 2.3.1) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 41 Định lý 2.3.6. Giả sử (xn) là dãy độc lập yếu bị chặn đều trong A với φ(xk) = 0 . Khi đó 1 n n∑ s=1 xs → 0 hầu đầy đủ. Chứng minh. Cho trước ε > 0. Đặt : SN = 1 N N∑ s=1 xs Dễ dàng chỉ ra rằng : φ(|SN | 4) ≤ N−4(3N2 −N) Do đó : ∑ N φ(|SN | 4) <∞ Đặt : qn = e[0,ε4](|SN | 4) suy ra: ∑ N φ(q⊥N) <∞ và ||SNqN || 4 ≤ || |SN | 4qN || < ε 4 Với N = 1, 2, ... suy ra điều phải chứng minh. 2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli Ta cần thêm một định nghĩa nữa. Định nghĩa 2.4.1. Giả sử ξ và γ là 2 toán tử tự liên hợp được sát nhập với A . Gọi eξ(.) và eγ(.) là các độ đo phổ của ξ và γ .Ta nói rằng ξ và γ là cùng phân phối nếu φ(eξ(Z)) = φ(eγ(Z)) với mọi tập con Borel Z của đường thẳng thực. CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 42 Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát của định lý Glivenko-Cantelli về phân phối thực nghiệm. Định lý 2.4.2. [9] Giả sử ξn là dãy toán tử tự liên hợp , độc lập từng đôi và cùng phân phối , sát nhập với A. Khi đó với mỗi ε > 0 , tồn tại một phép chiếu p trong A sao cho : sup−∞<λ<∞‖p[N −1 N∑ n=1 eξn(−∞, λ)− φ(eξ1(−∞, λ))]p‖ → 0; N →∞ ( Kể từ đây ta sẽ bỏ qua ký hiệu 1 ( đơn vị trong A ) trong biểu thức λ1 khi λ là một số ) Chứng minh. Với mỗi số thực λ , đặt: ψN(λ+ 0) = N −1 N∑ n=1 eξn(−∞; λ]; ψN(λ− 0) = N −1 N∑ n=1 eξn(−∞; λ); ψ(λ+ 0) = φ(eξ1(−∞, λ]); ψ(λ− 0) = φ(eξ1(−∞, λ)); Gọi λi,k xác định bởi : λi,k = inf{λ : ψ(λ− 0) ≤ i k ≤ ψ(λ+ 0)} Với i = 1, 2, ...., k− 1 và k = 1, 2, .... Giả sử λi,k < λi+1,k . Nếu λi,k < λ ≤ λi+1,k với i, k nào đó thì: ψ(λi,k + 0) ≤ ψ(λ− 0) ≤ ψ(λi+1,k − 0); ψN(λi,k + 0) ≤ ψN(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0); Do đó: ψN(λi,k + 0)− ψ(λi+1,k − 0) ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi,k + 0) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 43 Nhưng từ định nghĩa của λi,k, ta có : ψ(λi+1,k − 0)− ψ(λi,k + 0) ≤ 1 k Và kết quả là : ψN(λi,k + 0)− ψ(λi,k + 0)− 1 k ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi+1,k − 0) + 1 k (2.19) Nếu λ ≤ λ1,k thì: − 1 k ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λ1,k − 0)− ψ(λ1,k − 0) + 1 k (2.20) Và nếu λ > λ1,k thì: ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) = 0 (2.21) Để thuận tiện ta đặt : ψN(λ0,k + 0)− ψ(λ0,k + 0) = ψN(λ1,k − 0)− ψ(λ1,k − 0) = 0 Theo (2.19) ,(2.20) ,(2.21) thì với mỗi số thực λ và k = 1, 2, ... tồn tại một i giữa 0 và k − 1 sao cho : ψN(λi,k + 0)− ψ(λi,k + 0)− 1 k ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi+1,k − 0) + 1 k ; do vậy với phép chiếu p tùy ý từ A ta có: p[ψN(λi,k + 0)− ψ(λi,k + 0)]p− 1 k p ≤ p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p ≤ p[ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi+1,k − 0)]p+ 1 k p Và ta thu được kết quả: ||p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p|| ≤ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 44 max1≤i≤k,θ=±0 ||p[ψN(λ+ θ)− ψ(λi,k + θ)]p||+ 1 k Kéo theo : sup−∞<λ<+∞ ||p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p|| ≤ max1≤i≤k,θ=±0 ||p[ψN(λi,k + θ)− ψ(λi,k + θ)]p||+ 1 k Với mọi k = 1, 2, ... và mọi phép chiếu p từ A . Nhưng theo định lý 2.3.3 với mỗi ε > 0, tồn tại một phép chiếu p trong A với φ(p⊥) ≤ ε và thỏa mãn: max1≤i≤k,θ=±0 ||p[ψN(λi,k + θ)− ψ(λi,k + θ)]p|| → 0; N →∞ Với mọi k cố định . Vì vậy ta kết luận : lim N→∞ sup−∞<λ<∞||p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p|| ≤ 1 k Với mọi k chứng minh được hoàn tất 2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả Trong mục này (và các mục tiếp theo) ta giả thiết τ là một trạng thái vết chuẩn tắc đúng trên A .Tính cộng tính dưới của vết trên dàn các phép chiếu giúp ta có thể nghiên cứu sâu hơn so với trường hợp trạng thái bất kỳ. Ở đây ta sẽ trình bày dạng tổng quát của Bất Đẳng Thức Kolmogorov được đưa ra bởi Batty [11] Định lý 2.5.1. Giả sử {xn} là dãy độc lập liên tiếp trong L2(A, τ), sn = n∑ r=1 xr Với ε > 0 tồn tại phép chiếu q trong A sao cho : τ(q) ≤ ε−2 ∞∑ r=1 ||xr − τ(xr)|| 2 2 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 45 và: ||(sn − τ(sn))(1− q)|| ≤ ε n ≥ 1 Chứng minh. Ta có thể giả sử τ(xn) = 0. Ta sẽ định nghĩa các dãy phép chiếu pn, qn trong A bằng quy nạp. Đặt q0 = 0 . Cho trước qn−1 ,đặt: pn = e(ε2,∞){(1− qn−1)s ∗ nsn(1− qn−1)} và : qn = pn + qn+1 Rõ ràng các pn trực giao , qn = N∑ r=1 pr , pn và qn thuộc W ∗{xn : r ≤ n} .Từ tính độc lập và các tính chất của vết thì với r ≤ n: τ(pr|sn| 2pr) = τ(pr((sn − sr) + sr) ∗((sn − sr) + sr)pr) ≥ τ((sn − sr) ∗srpr) + τ(prs ∗ r(sn − sr)) + τ(prs ∗ rsrpr) = τ((sn − sr) ∗srpr) + τ(prs ∗ r(sn − sr)) + τ(prs ∗ rsrpr) = τ(pr(1− qr−1)s ∗ rsr(1− qr−1)pr) ≥ ε 2τ(pr); và: τ(qn) ≤ ε −2 n∑ r=1 τ(s∗nsnpr) = ε −2τ(s∗nsnqn) ≤ ε−2τ(s∗nsn) = ε −2 n∑ j=1 ||xj|| 2 2 Đặt : q = ∞∑ r=1 pr , khi đó: τ(q) ≤ ε−2 n∑ j=1 ||xj|| 2 2 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 46 , và: ||(1− q)s∗nsn(1− q)|| ≤ ||(1− pn)(1− qn−1)s ∗ nsn(1− qn−1)(1− pn)|| ≤ ε 2 Như là hệ quả của định lý trên, ta nhận được dạng suy rộng sau đây của định lý Kolmogorov. Định lý 2.5.2. Giả sử xn là dãy độc lập liên tiếp trong L2(A, τ) sao cho chuỗi ∞∑ n=1 ||xn − τ(xn)|| 2 2 hội tụ , và gọi sn = n∑ k=1 xk . Khi đó dãy sn − τ(sn) hội tụ hầu đều. Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng xn là tự liên hợp và τ(xn) = 0 . Chọn số nguyên nk sao cho ∞∑ n=nk τ(x2n) < 8 −k Theo định lý 2.5.1 tồn tại các phép chiếu qk với τ(qk) < 2−k thỏa mãn ||(sn − sm)(1− qk)|| < 2 −(k−1) với m,n ≥ nk Nên {sn} là dãy Cauchy theo độ đo . Gọi s là giới hạn theo độ đo của nó . Khi đó ta có: ||(sm − s)(1− qk)|| < 2 −(k+1) với n > nk. Vì vậy sn → s trên các tập lớn và do đó hội tụ hầu đều . Sử dụng bổ đề Kronecker ta thu được : CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 47 Định lý 2.5.3. Giả sử {xn} là dãy độc lập liên tiếp trong L2(A, τ) sao cho ∞∑ n=1 n−2||xn − τ(xn)|| 2 2 <∞ . Khi đó n−1 n∑ k=1 (xk − τ(xk)) hội tụ hầu đều . Chú ý rằng từ kết quả vừa nêu ta có thể suy ra mở rộng sau đây của luật mạnh số lớn Kolmogorov. Định lý 2.5.4. Giả sử {xn} là dãy các toán tử cùng phân phối , độc lập liên tiếp và tự liên hợp trong L1(A, τ) . Khi đó : n−1 n∑ k=1 xk → τ(x1) hầu đều. Ta bỏ qua chứng minh của định lý này vì trong phần sau ta sẽ nêu ra kết quả tổng quát hơn. 2.6 Luật mạnh số lớn đối với vết Ta sẽ bắt đầu với định lý 2.5.2 từ đó suy ra mở rộng của ′′ phần đủ ′′ của định lý ba chuỗi Kolmogorov. Bổ đề 2.6.1. Giả sử {ξk} là dãy toán tử đo được độc lập liên tiếp từ A˜. Với d > 0 , đặt ξ¯k = ξke[0,d]{|ξk|} . Khi đó các điều kiện : (i) ∑ k τ(e(d,∞){|ξk|}) <∞ (ii) ∑ k τ(ξ¯k ∗ ξ¯k) <∞ (iii) ∑ k τ(ξ¯k) hội tụ . CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 48 Kéo theo sự hội tụ hầu đều của chuỗi ∑ k ξk; Chứng minh. Theo định lý 2.5.2 và (ii) chuỗi∑ k (ξ¯k − τ(ξk)) hội tụ hầu đều , và do đó theo (iii) chuỗi∑ k ξ¯k hội tụ hầu đều . Điều này cùng với (i) cho ta sự hội tụ hầu đều của∑ k ξk. Thật vậy, đặt : sn = n∑ k=1 ξk ; s¯n = n∑ k=1 ξ¯k Rõ ràng chỉ cần chứng minh {sn} là dãy Cauchy hầu đều , tức là : Với mọi ε > 0 , tồn tại p ∈ ProjA (tập hợp các phép chiếu của A) với τ(p) ≥ 1− ε và số nguyên dương N sao cho ||(sn − sm)p|| < ε với n,m ≥ N .Vì chuỗi ∑ k ξ¯k hội tụ hầu đều nên với mỗi ε > 0 , ta tìm được q ∈ ProjA và N sao cho ||(s¯n − s¯m)q|| < ε với n > m ≥ N và τ(q⊥) < ε/2. Đặt : p = q̂ ∞∧ k=m+1 e[0,d]{|ξk|} CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 49 theo (i) ta có: τ(p⊥) ≤ τ(p⊥) + ∞∑ k=m+1 τ(e(d,∞){|ξk|}) < ε Với m đủ lớn (m ≥ N) . Khi đó: ||(sn − sm)p|| ≤ ||(s¯n − s¯m)q|| < ε với n > m ≥ N Do đó {sn} là dãy Cauchy hầu đều . Kết thúc chứng minh. Biến đổi một chút định lý trên ta có kết quả sau: Bổ đề 2.6.2. Giả sử {ξn} và {ηn} là các dãy toán tử đo được từ A˜ và {cn} là dãy số dương . Đặt: ξ¯n = ξne[0,cn]{|ξn|}. Nếu ∑ n τ(e(cn,∞){|ξn|}) <∞ thì chuỗi ∑ n (ξn + ηn) hội tụ hầu đều khi và chỉ khi chuỗi∑ n (ξ¯n + ηn) hội tụ hầu đều. Nói riêng nếu ∑ n τ(e(cn,∞){|ξn|}) <∞ , thì chuỗi ∑ k ξk hội tụ hầu đều khi và chỉ khi chuỗi∑ k ξ¯k hội tụ hầu đều . CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 50 Chứng minh. Đặt : sn = n∑ k=1 (ξk + ηk) ; s¯n = n∑ k=1 (ξ¯k + ηk) Và xử lý các hiệu (sn − sm), (s¯n − s¯m) như cách đã chỉ ra trong chứng minh định lý trên. Định lý 2.6.3. Giả sử φn : R+ → R+ là dãy hàm không giảm sao cho φn(λ)/λ và λ2/φn(λ) không giảm với mọi n .Giả sử 0 < xn ↑ ∞ Nếu {ξk} là dãy toán tử độc lập liên tiếp liên kết với A và thỏa mãn τ(ξj) = 0 và ∞∑ k=1 τ(φn|ξk|) φ(xk) <∞ (2.22) Thì chuỗi ∞∑ k=1 ξk xk (2.23) hội tụ hầu đều. Chứng minh. Đặt : ηn = ξne[0,xn]{|ξn|} = ξne[0,1]{| ξn xn |}; n = 1, 2, .... Khi đó ta có : τ(e[xn,∞]){|ξn|}) ≤ τ(φn|ξn|) φn(xn) Từ (2.22) ta thu được : ∞∑ n=1 τ(e(1,∞){| ξn xn |}) <∞ (2.24) Hơn nữa , vì : λ2 x2n ≤ φn(λ) φn(xn) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 51 với 0 ≤ λ ≤ xn nên ta có: τ(|ηn| 2) ≤ x2n φn(xn) τ( xn∫ 0 φn(λ)edλ{|ξn|}) ≤ x2n φn(xn) τ(φn|ξn|) Và do đó : ∞∑ n=1 τ (∣∣∣ηn xn ∣∣∣2)= ∞∑ n=1 τ (∣∣∣ ξn xn e[0,1]{| ξn xn |} ∣∣∣2)<∞ (2.25) Vì : τ(ξn) = 0 nên ta có : |τ(ηn)| ≤ τ(|ξn|e[xn,∞){|ξn|}) ≤ τ(φ|ξn|) φ(xn) xn (Vì λ ≤ φn(λ) φn(xn) xn với λ ≥ xn). Do vậy : ∞∑ n=1 ∣∣∣τ(ηn xn )∣∣∣ ≤ ∞∑ n=1 τ(φn|ξn|) φ(xn) <∞ (2.26) Theo bổ đề 2.6.1 và (2.24) ,(2.25) ,(2.26) ta thu được (2.23). Kết thúc chứng minh. Bây giờ ta sẽ chứng minh luật mạnh số lớn mà không cần giả thiết về tính hữu hạn của các mô men thường của ξn. Định lý 2.6.4. Giả sử φn : R+ → R+ là dãy hàm không giảm thỏa mãn λ2/φn(λ) không giảm , và giả sử 0 < xn ↑ ∞ , {ξn} là dãy toán tử đo được độc lập liên tiếp . Đặt: µn(dλ) = τ(edλ{|ξn|}) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 52 Nếu : ∞∑ n=1 ∞∫ 0 φn(λ) φn(xn) + φn(λ) µn(dλ) <∞ (2.27) Thì tồn tại dãy hằng số (Ck) sao cho : 1 xn n∑ k=1 (ξk − Ck) → 0 (2.28) hầu đều. Và trong trường hợp này ta có thể đặt : Ck = τ(ξke[0,xk]{|ξk|}) (2.29) Chứng minh. Đối với hàm không giảm φ : R+ → R+ và toán tử ξ với |ξ| = ∞∫ 0 λe(dλ) ta đặt µ(.) = τ(e(.)) thì sẽ có ước lượng sau ( với x > 0 ) ∞∫ 0 φ(λ) φ(x) + φ(λ) µ(dλ) ≥ 1 2φ(x) x∫ 0 φ(λ)µ(dλ) + 1 2 ∞∫ x µ(dλ) = 1 2φ(x) τ(φ(|ξ|e[0,x]{|ξ|})) + τ(e(x,∞){|ξ|}) = 1 2φ(x) τ(φ(|ξ|e[0,x]{|ξ|})) + τ(e(x,∞){|ξ|}) Vì vậy ta có : ∑ n τ(φn|ξ˜n|) φ(xn) <∞ (2.30) Và: ∑ n τ(e(xn,∞){|ξn|}) <∞ (2.31) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 53 Với: ξ˜n = ξne[0,xn]{|ξn|} (2.32) Hơn nữa : τ(|ξ˜n| 2) ≤ x2n φn(xn) τ(φn|ξn|) Và do đó : ∑ n τ(|ξ˜n| 2) x2n <∞ Điều này kéo theo sự hội tụ của chuỗi : ∑ n ξ˜n − τ(ξ˜n) xn Và do vậy theo bổ đề 2.6.2 ta suy sự hội tụ hầu đều của chuỗi ∑ n ξ − τ(ξ˜n) xn Bây giờ ta chỉ việc áp dụng bổ đề Kronecker. Hai định lý sau đây chỉnh sửa một số kết quả của W.Feller ( đối với biến ngẫu nhiên thực) Định lý 2.6.5. Giả sử {ξk} là dãy toán tử tự liên hợp , cùng phân phối đối xứng và độc lập liên tiếp , liên kết với (A, τ) .Giả sử rằng φ là hàm không giảm sao cho λ2/φ(λ) không giảm. Giả thiết: 0 = x0 < x1 < x2, .... và ∞∑ k=n 1 φ(xk) = 0( n φ(xn) ) (2.33) Khi đó điều kiện : ∑ n τ(e(xn,∞){|ξ1|}) <∞ (2.34) Kéo theo: 1 xn n∑ k=1 ξk → 0 (2.35) hầu đều . CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 54 Chứng minh. Đặt: ξ˜n = ξne[0,xn){|ξn|} . Khi đó: ∞∑ n=1 τ(φ|ξ˜n|) φ(xn) = n∑ k=1 τ(φ|ξ1|e[xk−1,xk){|ξ1|}) ∞∑ n=k 1 φ(xn) ≤ C ∞∑ k=1 k ∫ [xk−1,xk) φ(λ) φ(xk) τ(edλ{|ξ1|}) ≤ C ∞∑ k=0 τ(e(xk,∞){|ξ1|}) <∞ Do đó (2.30) đúng. Hơn nữa (2.31) thỏa mãn theo giả thiết và τ(ξ˜n) = 0. ( vì ξn phân phối đối xứng ). Lập lại phần chứng minh của định lý (2.6.4) sau công thức (2.31) ta thu được (2.35) . Điều phải chứng minh. Trong trường hợp ξn không phân phối đối xứng ta cần hạn chế thêm điều kiện đối với {xk} Định lý 2.6.6. Giả sử {ξn} là dãy cùng phân phối , độc lập liên tiếp, φ và {xn} được mô tả như trong định lý (2.6.4) Nếu thêm vào đó τ(ξ1) = 0; xk xn ≤ C0 k n ; k ≥ n (2.36) thì (2.34) kéo theo (2.35). Chứng minh. Tương tự định lý (2.6.5) ta chỉ ra rằng : 1 xn n∑ k=1 (ξk − τ(ξ˜k)) → 0 hầu đều. Và do đó : 1 xn n∑ k=1 τ(ξ˜k) → 0 Ta có ước lượng sau: 1 xn ∣∣∣ n∑ k=1 τ(ξ˜n) ∣∣∣ ≤ 1 xn n∑ k=1 ∞∫ xk λτ(edλ{|ξ1|}) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 55 Do sử dụng phân tích cực : ξk − ξ˜k = uk|ξk − ξ˜k| ta có: |τ(ξk − ξ˜k)| ≤ ||uk||τ(|ξk − ξ˜k|) = τ(|ξk − ξ˜k|) và |ξk − ξ˜k| = |ξk|e(xk,∞){|ξk|} Vì vậy : 1 xn ∣∣∣ n∑ k=1 τ(ξ˜k) ∣∣∣ ≤ 1 xn ( n∑ m=1 m∑ k=1 + ∞∑ m=n+1 n∑ k=1 ) xm+1∫ xm λτ(edλ{|ξ1|}) ≤ S1 + S2 Với : S1 = 1 xn n∑ m=1 mxm+1τ(e[xm,xm+1){|ξ1|}) S2 = 1 xn n∑ m=n+1 nxm+1τ(e[xm,xm+1){|ξ1|}) S1 → 0 vì : n∑ m=0 (m+ 1)τ(e[xm,xm+1){|ξ1|}) = ∑ m τ(e(xm,∞){|ξ1|}) <∞ Theo giả thiết và do đó ta có thể áp dụng bổ đề Kronecker. Lập luận tương tự cho S2 . Chứng minh được hoàn thành. Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả cho trường hợp không giao hoán của luật số lớn Marcinkiewicz. Ta bắt đầu với 2 mệnh đề sau: Mệnh đề 2.6.7. Giả sử {ξn} là dãy độc lập liên tiếp trong A˜ và ∞∑ n=1 1∫ 0 λτ(e[λ,∞){|ξn|})dλ <∞ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 56 Khi đó chuỗi ∞∑ n=1 (ξ − τ(ξ¯n)) hội tụ hầu đều , ở đây : ξ¯n = ξne[0,1){|ξn|} Chứng minh. Tích phân từng phần , ta có: 1∫ 0 λτ(e[λ,∞){|ξn|})dλ = 1 2 τ(e[1,∞){|ξn|}) + 1 2 1∫ 0 λ2τ(edλ{|ξn|})dλ = 1 2 τ(e[1,∞){|ξn|}) + 1 2 τ(|ξ¯n| 2) Và do đó , theo giả thiết ta suy ra:∑ n τ(|ξ¯n| 2) <∞ và ∑ n τ(e[1,∞){|ξn|}) <∞ Bất đẳng thức thứ nhất cùng với định lý 2.6.2 cho ta sự hội tụ hầu đều của chuỗi ∑ n (ξ¯n − τ(ξ¯n)) và cùng với bất đẳng thức thứ hai và bổ đề 2.6.2 suy ra sự hội tụ hầu đều của ∞∑ n=1 (ξn − τ(ξ¯n)) . CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 57 Mệnh đề 2.6.8. Giả sử {ξn} xác định như trên và ∞∑ n=1 1∫ 0 λτ(e[bnλ,∞){|ξn|})dλ <∞ với {bn} là dãy hằng số dương , bn ↑ ∞. Khi đó: (i) ∞∑ n=1 b−1n (ξn − τ(ξ˜n)) hội tụ hầu đều , và (ii) b−1n n∑ k=1 (ξk − τ(ξ˜k)) → 0 hầu đều Ở đây ξ˜n = ξne[0,bn){ ξn} Chứng minh. Ta có : 1∫ 0 λτ(e[bnλ,∞){|ξn|})dλ = 1∫ 0 λτ(e[λ,∞){ ∣∣∣ξn bn ∣∣∣})dλ Và theo mệnh đề 2.6.7 chuỗi ∞∑ n=1 (ξn bn − τ ([ξn bn ]− )) hội tụ hầu đều ,với : [ ξn bn ]− = ξn bn e[0,1){| ξn bn |} = ξn bn e[0,bn){|ξn|} Vì vậy ta có (i) Áp dụng bổ đề Kronecker ta thu được (ii). CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 58 Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả tương tự của Marcin Kiewicz theo Luczak [9] Định lý 2.6.9. Giả sử {ξn} là dãy toán tử độc lập liên tiếp , cùng phân phối , từ Lr(A, τ), 0 < r < 2. Khi đó n−1/r n∑ k=1 (ξk − αk) → 0 hầu đều. Ở đây αk = 0 với r < 1 và αr = τ(ξ1) với 1 ≤ r < 2 Chứng minh. Với phân phối xác suất trên nửa đường thẳng thực: F (λ) = τ(e[0,λ){|ξ|}), λ ≥ 0, ξ ∈ A, ta có ước lượng sau: λr ∞∑ n=1 τ(e[λn1/r ,∞){|ξ|}) ≤ τ(|ξ| r) ≤ 1 + λr ∞∑ n=1 τ(eλn1/r,∞){|ξ|}) (2.37) Chẳng hạn xem [10] . Sử dụng (2.37) ta thu được: ∞∑ n=1 1∫ 0 τ(eλn1/r,∞){|ξ1|})dλ ≤ τ(|ξ1| r) 1∫ 0 λ1−rdλ <∞ Nếu r < 2 bất đẳng trên cùng với mệnh đề 2.6.8 cho ta : n−1/r n∑ k=1 (ξk − τ(ηk)) → 0 hầu đều với : ηk = ξke[0,n1/r]{|ξk|} → 0 Lập luận tiêu chuẩn chỉ ra rằng : n−1/r n∑ k=1 (τ(ηk)− αk) → 0, n→∞ (Chẳng hạn , xem [10], chứng minh hoàn tất.) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 59 Ta sẽ kết thúc phần này với một số luật yếu số lớn trong đại số von Neumann. Định lý 2.6.10. Cho {ξn} là dãy các toán tử tự liên hợp đo được , cùng phân phối , độc lập liên tiếp từ A˜ . Nếu : lim n→∞ nτ(e(n,∞){|ξ1|}) = 0 thì : n−1 ∞∑ k=1 (ξk − αn) → 0 theo độ đo, với : αn = τ(ξ1e[0,n){|ξ1|}) Chứng minh. Giả sử A tác động trong không gian Hilberte H, đặt : Sn = n∑ k=1 ξk; ξ (n) k = ξke[0,n){|ξk|} S˜n = n∑ k=1 ξ (n) k ; m˜n = τ(S˜n) = nτ(ξ (n) 1 ) Với số γ > 0 bất kỳ , ta có: p = e[2γ,∞)(|Sn − m˜n|) ∧ e[0,γ)(|S˜n − m˜n|) ∧ n∧ k=1 e[0,n){|ξk|} = 0 Thật vậy, nếu với x nào đó có chuẩn bằng 1 , px = x thì x ∈ e[0,n){|ξk|}(H) và do đó ξkx = ξ (n) k x với k = 1, 2, ...n. Kéo theo Snx = S˜nx .Vì thế ta thu được : 2γ ≤ || |Sn − m˜n|e(2γ,∞){|Sn − m˜n|x}|| CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 60 = ||(Sn − m˜n)x|| ≤ ||(Sn − S˜n)x||+ ||(S˜n − m˜n)x|| = || |S˜n − m˜n|e[0,γ){|S˜n − m˜n|x}|| ≤ γ Điều này không thể xảy ra, vậy p = 0 và do đó (xem phụ lục) e[2γ,∞){|S˜n − m˜n|} ≤ e[γ,∞){|S˜n − m˜n|} ∨ n∨ k=1 e[n,∞){|ξk|} (2.38) Theo bất đẳng thức Tchebyshev và từ kết quả : τ(|ξ − τ(ξ)|2) ≤ τ(|ξ|2) Ta thu được : τ(e[2γ,∞)(|Sn − m˜n|)) ≤ γ −2τ(|S˜n − m˜n| 2) + τ( n∧ k=1 e[n,∞)(|ξk|)) ≤ γ−2 n∑ k=1 τ(|ξ (n) k | 2) + n∑ k=1 τ(e[n,∞)) = γ−2nτ(|ξ (n) 1 | 2) + nτ(e[n,∞)(|ξ1|)) (2.39) Bây giờ lấy ε > 0 tùy ý , từ (2.39) với γ = nε 2 , ta có: τ ( e[ε,∞)(| Sn n − αn|) ) = τ ( e[ε,∞)(| Sn − m˜n n |) ) = τ ( e[nε,∞)(|Sn − m˜n|) ) ≤ 4τ(|ξ (n) 1 | 2) ε2n + nτ ( e[n,∞)(|ξ1|) ) = 4ε−2n−1 ∫ [0,n) λ2τ ( edλ(|ξ1|) ) +nτ ( e[n,∞)(|ξ1|) ) Tích phân cuối cùng có thể ước lượng như sau: ∫ [0,n) λ2τ ( edλ{|ξ1|}) ≤ n−1∑ k=0 (k + 1)2τ(e[k,k+1){|ξ1|}) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 61 = n−1∑ k=0 (2k + 1)τ(e[k,n){|ξ1|}) ≤ τ(e[0,n){|ξ1|}) +3 n−1∑ k=1 kτ(e[k,n){|ξk|}) ≤ 1 + 3 n−1∑ k=1 kτ(e[k,∞){|ξ1|}) Do vậy cuối cùng: τ(e[ε,∞){| Sn n − αn|}) ≤ 4ε−2n−1[1 + 3 n−1∑ k=1 kτ(e[k,∞){|ξ1|})] + nτ(e[n,∞){|ξ1|}) → 0 khi n→∞ Chứng minh được hoàn tất. Sử dụng kỹ thuật tương tự ta có thể chứng minh kết quả sau của luật yếu số lớn. Định lý 2.6.11. Cho {ξn} là dãy phần tử tự liên hợp độc lập liên tiếp từ L1(A, τ). Nếu: (i) n∑ k=1 τ(e[n,∞){|ξk − αk|}) → 0 khi n→∞ (ii) n−1 n∑ k=1 τ(|ξk − αk| ∼) → 0 khi n→∞ ,với |ξ|∼ = |ξ|e[0,n){|ξ|} và : (iii) n−2 n∑ k=1 τ([|ξk − αk| 2]∼) → 0 khi n→∞ với αk = τ(ξk) thì : n−1 n∑ k=1 (ξk − αk) → 0 theo độ đo. CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 62 2.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn Các kết quả trong phần này có trong tư tưởng của các định lý Spitzer- Hsu-Robbins-Katz đối với biến ngẫu nhiên thực. Chúng ta sẽ đi theo phương pháp dựa trên ước lượng ′′ đủ tốt ′′ của các mô men của biến ngẫu nhiên bị chặt cụt nêu ra bởi Dugue [12] (xem thêm [13]) Trong phần này {ξn} sẽ kí hiệu cho dãy toán tử độc lập liên tiếp từ A˜ . Một vài kết quả sẽ liên quan tới trường hợp ξn tự liên hợp và cùng phân phối . Trong các định lý khác ta sẽ giả thiết ξn không nhất thiết tự liên hợp nhưng các toán tử (|ξk|, k = 1, 2, ....) cùng phân phối với r > 0 và t > 0 ta đặt : ξ (n) k = ξ (n) k,r,t = ξke[0,nr/t]{|ξk|} , 1 ≤ k ≤ n Và : η (n) k = η (n) k,r,t = ξ (n) k,r,t − τ(ξ (n) k,r,t) Ta sẽ thiết lập hai mệnh đề phụ trợ sau: Mệnh đề 2.7.1. Cho {ξn} độc lập và thỏa mãn |ξk| cùng phân phối (A) Nếu 0 0 thì điều kiện τ(ξt1) <∞ kéo theo ∞∑ n=1 nr−2τ(e(nr/t,∞){| n∑ k=1 ηnk |}) <∞ (2.40) (B) Nếu 0 < t < 1, r ≥ 1 thì điều kiện τ(|ξ1|t) <∞ kéo theo τ(|ξ (n) 1 |) = 0(n r/t−1) (2.41) Chứng minh. Giả sử o 0, , τ(|ξ1| t) <∞ Khi đó theo bất đẳng thức Tchebysev ta có : ∞∑ n=1 nr−2τ(e(nr/t,∞){| n∑ k=1 η (n) k |}) ≤ const ∞∑ n=1 nr−2n−2r/tnτ(|ξ (n) 1 | 2) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 63 Đối với độ đo xác suất ν trên [0,∞) , ∞∫ 0 xt ν(dx) <∞ và β ≥ r t α > 0 kéo theo: ∞∑ n=1 1 nβ+1 nr/t∫ 0 xt+α ν(dx) (2.42) ≤ const ∞∑ k=1 k(r/t)α−β kr/t∫ (k−1)r/t xt ν(dx) ( so sánh [12] ). Trong trường hợp của chúng ta thì : τ(|ξ (n) 1 | 2) = δnn (r/t)(2−t)+1 với ∑ 1 δn <∞ Và do đó ta có (2.40) Bây giờ ta sẽ chứng minh (2.41) với giả thiết (B) . Thật vậy, đặt: |ξ|1 = ∞∫ 0 ue (du) (biểu diễn phổ) và ν(du) = τ(e(du)). Ta có : n1−r/tτ(|ξ (n) 1 |) ≤ nr/t∫ 0 xt( x nr/t )1−t ν(dx) → 0 vì r ≥ 1 và τ(|ξ|t) <∞ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 64 Mệnh đề 2.7.2. Giả sử {ξn} độc lập với {|ξk|} cùng phân phối và τ(|ξ|2) <∞. Khi đó ta có: ∞∑ m=n τ(e(n,∞){| n∑ k=1 η (n) k |}) <∞ (2.43) Chứng minh. Hiển nhiên ta có: τ(| n∑ k=1 η (n) k | 4) ≤ const ∑ k 6=1 τ(|η (n) k | 2|η (n) 1 | 2) + n∑ k=1 τ(|η (n) k | 4) Hơn nữa: τ(|η (n) k | 4) = βnn 3 + τ(|ξ (n) 1 | 4) Với: ∞∑ n=1 βn <∞ (vì chẳng hạn: ∣∣∣τ(|ξ(n)k |2ξ(n)k )∣∣∣ ≤ τ(∣∣∣ξ1∣∣∣2||ξ(n)k ||) ≤ const.n ). Sử dụng công thức (2.42) ta thu được : τ(|ξ (n) 1 | 4) ≤ n3δn với ∞∑ n=1 δn <∞ Vì vậy: τ (∣∣∣ n∑ k=1 η (n) k ∣∣∣4)≤ δnn4 với ∞∑ n=1 δn <∞ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 65 và do đó: δnn 4 ≤ τ (∣∣∣ n∑ k=1 η (n) k ∣∣∣4)≥ τ(∣∣∣∑ η(n)k ∣∣∣4e(n,∞){∣∣∣ n∑ 1 η (n) k ∣∣∣}) ≥ const.n4τ ( e(n,∞){ ∣∣∣ n∑ 1 η (n) k ∣∣∣}) Cuối cùng ta thu được: ∞∑ n=1 τ ( e(n,∞){ ∣∣∣ n∑ k=1 η (n) k ∣∣∣})<∞ Định lý 2.7.3. Cho {ξn} độc lập và |ξk| cùng phân phối , 0 < t < 1. Khi đó điều kiện τ(|ξ1|t) <∞ kéo theo ∞∑ n=1 n−1τ ( e(ε,∞){ ∣∣∣ 1 n1/t n∑ k=1 ξk ∣∣∣})<∞ (2.44) với mỗi ε > 0 Định lý 2.7.4. Cho{ξn} độc lập , tự liên hợp và cùng phân phối. Giả thiết : τ(|ξ1|t) <∞, 1 ≤ t ≤ 2 và τ(ξ1) = 0. Khi đó: ∞∑ n=1 nt−2τ ( e(ε,∞){ ∣∣∣1 n n∑ k=1 ξk ∣∣∣})<∞ (2.45) đúng với mỗi ε > 0. Chứng minh. Bây giờ ta sẽ thiết lập 2 điều kiện : (a) {ξn} độc lập và |ξk| cùng phân phối 0 < t < 1, τ(|ξ1| t) <∞, r ≥ 1 (b) {ξn} độc lập ,cùng phân phối ,tự liên hợp 1 ≤ t ≤ 2, τ(|ξ1| t) <∞, τ(ξ1) = 0, r = t CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 66 Rõ ràng để chứng minh các định lý trên ,ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi một trong các điều kiện (a),(b) kéo theo: ∞∑ n=1 nr−2τ ( e(nr/t,∞){ ∣∣∣ n∑ k=1 ξk ∣∣∣})<∞ (2.46) Để làm điều này ,ta sẽ đặt với r > 0, t > 0, n = 1, 2, .... pn = pn,r,t = e(nr/t,∞){| n∑ k=1 ξk|} qn = qn,r,t = n∨ k=1 e(nr/t,∞){|ξk|} ρn = ρn,r,t = e((n−1)r/t,∞){| n∑ k=1 ξ (n) k,r,t|} Chý ý rằng : pn ∧ q ⊥ n ∧ ρ ⊥ n = 0 với mọi n. Thật vậy, nếu có : 0 6= x = pn ∧ q ⊥ n ∧ ρ ⊥ nx thì ta sẽ có : || n∑ k=1 ξkx|| = || ∣∣∣ n∑ k=1 ξk ∣∣∣pnx|| ≥ nr/t||x|| Và cùng lúc đó: || ∣∣∣ n∑ k=1 ξkx ∣∣∣|| ≤ ||∣∣∣ n∑ k=1 ξ (n) k ∣∣∣x|| < (n− 1)r/t||x|| Là điều không thể xảy ra. Vì vậy, ta có: pn . qn ∨ ρn và do đó τ(pn) ≤ τ(qn) + τ(ρn) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 67 Đến đây ta cần chỉ ra được: ∞∑ n=1 nr−2τ(qn) <∞ (2.47) Và: ∞∑ n=1 nr−2τ(ρn) <∞ (2.48) Nếu t > 0, r > 0 và τ(|ξ1|t) <∞ thì rõ ràng ∞∑ n=1 nr−2τ(qn,r,t) ≤ ∞∑ n=1 nr−1τ(e(nr/t,∞){|ξ1|}) <∞ Vì vậy chỉ còn chứng minh (2.48) .Giả sử (a) đúng, ta sẽ chứng minh : Qn = ρn ∧ e[0,(nr/t)/4]{| n∑ k=1 η (n) k |} = 0 (2.49) Thực ra nếu tồn tại 0 6= x = Qnx thì ta sẽ có : || n∑ 1 η (n) k x|| ≤ (n r/t)/4||x|| và: || n∑ 1 η (n) k x|| ≤ (n− 1) r/t||x|| Đặt: ε (n) k = τ(ξ (n) k ), εn = max1≤k≤n|ε (n) k | Áp dụng phân tích cực của ξ(n)k và theo mệnh đề (2.7.1.b) ta có : εn ≤ τ(|ξ (n) 1 |) < 1 4 nr/t−1 Vì vậy với n đó , ta thu được : || n∑ 1 ξ (n) k x|| ≤ || n∑ 1 η (n) k x||+ n|εn|.||x|| ≤ nr/t 2 ||x|| CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 68 Điều này là không thể ,do đó (2.48) đúng. Điều này kéo theo: ρn . e((nr/t)/4,∞){| n∑ 1 η (n) k |} Xem xét tới (2.40) ta thu được (2.48) . Bây giờ ta giả sử (b) đúng. Nếu 1 ≤ t < 2 thì (2.40) đúng (với r = t và áp dụng mệnh đề (2.8.a)) . Trong trường hợp t = 2 ta có (2.43) theo mệnh đề (2.7.2). Chú ý rằng εn = |τ(ξ (n) 1 )| → 0 , ta có thể chứng minh (2.49) ( với t = r) và kết thúc chứng minh như trường hợp (a). 2.8 Chú ý và chú thích Batty đưa ra rất nhiều khái niệm về dãy toán tử độc lập. Chúng ta chỉ xử lý dãy độc lập yếu và độc lập liên tiếp. Định nghĩa 2.8.1. Họ {Bλ, λ ∈ Λ} các đại số von Neumann con của A được gọi là độc lập mạnh nếu W ∗{Bλ, λ ∈ Λ1} độc lập với W ∗{Bµ, µ ∈ Λ2} với mọi tập con rời nhau Λ1,Λ2 của Λ . Dãy ( hay họ ) toán tử ξλ trong A (hay A˜ nếu φ là vết) là độc lập mạnh nếu các đại số von Neumann W ∗(ξλ) độc lập mạnh. Trong [11] ta có thể tìm thấy trình bày cụ thể liên quan tới mối quan hệ giữa các kiểu độc lập. Ở đây ta đề cập đến một luật số lớn mạnh được nêu ra bởi S.M.Goldstein liên quan đến dãy toán tử thỏa mãn điều kiện Rosenblatt. Định nghĩa 2.8.2. Cho A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ . Dãy {ξn} từ A được gọi là thỏa mãn điều kiện Rosenblatt nếu tồn tại dãy số dương {an} giảm về 0 sao cho: |φ(xy)− φ(x)φ(y)| ≤ an||x||.||y|| với mọi x ∈ W ∗(ξ1, ξ2, ....ξk) và y ∈ W ∗(ξk+n, ξk+n+1, ....); (k, n = 1, 2, ...) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 69 Dãy {ξn} được gọi là thỏa mãn điều kiện ||.||2 (||.||∞) hay tiệm cận giao hoán nếu tồn tại dãy số dương {bn} giảm về 0 sao cho : ||xy − yx||2 ≤ bn||x||∞||y||∞ (hay tương ứng ||xy − yx||∞ ≤ ||x||∞||y||∞ ) với mọi x ∈ W ∗(ξ1, ...., ξk), y ∈ W ∗(ξk+n, ξk+n+1, .....) (k, n = 1, 2, ....). Định lý 2.8.3. Cho {ξn} là dãy từ A thỏa mãn điều kiện Rosenblatt cùng với dãy {an} và đặt : bn = sup|i−j|≤n||ξiξj − ξjξi||∞ (n = 1, 2, ....) Giả sử rằng (∗) an ≤ c1n −ε1, bn ≤ c2n −ε2 với c1, c2, ε1, ε2 là các hằng số dương, n = 1, 2, ... và : (∗∗) sup||ξn|| <∞ Khi đó : n−1 n∑ k=1 (ξk − φ(ξk)) → 0 hầu đều . Chứng minh. Ta công nhận định lý trên. Kết luận Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất. Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn. Luật số lớn đầu tiên được công bố vào năm 1713 bởi Jamer Bernoulli. Sau đó kết quả được Poisson ,Chebyshev ,Markov ,Liapunov mở rộng. Luật mạnh số lớn được phát hiện bởi E.Borel năm 1909 và được Kol- mogorov hoàn thiện năm 1926. Luận văn đã đề cập đến một vấn đề hoàn toàn mới trong xác suất hiện đại ,đó là sự quan hệ chặt chẽ giữa đại số toán tử , vật lý lượng tử và xác suất. Các kết quả , phương pháp , mô hình trong xác suất cổ điển đã được thay thế bởi các kĩ thuật chứng minh, các khái niệm ,định nghĩa mới. Nghiên cứu luật mạnh số lớn dựa trên các toán tử trực giao ,vết , trạng thái ,đại số von Neumann,...các dạng hội tụ ′′ hầu đều ′′,′′ hầu chắc chắn ′′...Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới, nhiều công trình khoa học không ngừng được công bố như:Lý thuyết tích phân không giao hoán được sáng tạo bởi I.Segal (1953), được áp dụng vào lý thuyết biểu diễn các nhóm com- pact địa phương ( Ray Kunze....) . Ngày nay nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử ,điều này đã được dự báo trong các công trình của Segal ...Hay lý thuyết về không gian Lp ′′ trừu tượng ′′ của J.Dixmier ; Khái niệm hội tụ theo độ đo (tính đo được theo một vết) được giới thiệu bởi W.F.Stinespring (1959), E.Nelsen(1972)...Và gần đây nhất là các lý thuyết và chứng minh khởi nguồn của Haagerup(1974) về không gian trừu tượng Lp kết hợp với đại số von Neumann. Sau sự xuất hiện các không gian Lp của Haagerup, A.Connes đã đưa ra định nghĩa về không gian Lp dựa trên khái niệm đạo hàm không gian. Những không gian này đã được nghiên cứu bởi M.Hilsum..... Vấn đề được đề cập trong luận văn tương đối mới và phức tạp.Vì 70 Kết luận 71 vậy luận văn không tránh khỏi những hạn chế .Tác giả mong muốn nhận được ý kiến đóng của các thầy cô giáo ,các đồng nghiệp để bổ sung , hoàn thiện đề tài. Tài liệu tham khảo [1] Vũ Viết Yên-Nguyễn Duy Tiến (2001) ,Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản giáo dục. [2] Nguyễn Viết Phú-Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất , Nhà xuất bản đại học Quốc gia. [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Giải tích ngẫu nhiên ,tập 3, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Hà Nội. [4] Ryszard Jajte (1984), Strong Limit Theorems in Non-Commutative Probability, Springer -Verlag, Berlin New York Tokyo. [5] Marianna Terp(1981), Lp Spaces Associated with von Neumann Al- gebras , Universitetsparken. [6] Edward Nelson(1972) ,Notes on Non-commutative Integration∗, Princeton University, New Jersey. [7] M.Plancherel (1913), Sur la convergence des series de fonctions or -thogonalles, Acad . Sci. Paris. [8] G.Alexits (1961), Convergence problems of orthogonal series, New York- Oxford-Paris. [9] A.Luczak, Some limit theorems in von Neumann algebras, Studia Math. [10] M.Loeve(1960), Probability theory , New Jersey. [11] K.Batty(1979),The strong law of large numbers for states and traces of a W ∗− algebra, Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw . 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 [12] D.Dugue(1958), Traite de statistique theorique et appliquee, Paris. [13] S.Goldstein(1981), Theorems in almost everywhere convergence in von Neumann algebras, J.Oper.Theory 6. [14] L.Accardi(1980), Quantum stochastic processes, Dublin Institute for Advanced Studies, Ser.A29. [15] R.Jajte , Strong limit theorems for orthogonal sequences in von Neu- mann algebras, Proc.Amer .Math.Soc. [16] W.Stinespring(1959), Integration theorems for gages and duality for unimodular groups, Trans.Amer.Math.Soc. [17] I.E.Segan(1953), A non-commutative extension of abstract integra- tion, Ann.of Math.57. [18] A.Zygmund (1959), Trigonomtric Series, Vol.II, Cambridge Uni- vesity Press, London, New York.